数学物理方法 第四章一节
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数学物理方法第四章伽玛函数
数学物理方法第四章伽玛函数1.引言伽玛函数是数学分析中的一种特殊函数，由欧拉在18世纪提出。
它在数学物理、统计学和其他领域中具有重要的应用。
本章将介绍伽玛函数的定义、性质以及一些常见的应用。
2.伽玛函数的定义伽玛函数是一个无穷积分，定义如下：Γ(x) = ∫(0到∞) e^(-t) * t^(x-1) dt其中，x是一个实数。
3.伽玛函数的性质伽玛函数具有很多重要的性质，以下是其中一些重要性质：3.1对于正整数n，有Γ(n)=(n-1)!这一性质是伽玛函数与阶乘之间的关系。
当x为正整数时，伽玛函数可以表示阶乘。
3.2Γ(1/2)=√π这一性质表明伽玛函数在1/2处的值是根号π。
3.3Γ(x+1)=x*Γ(x)这一性质是伽玛函数的递推关系式，可以用来计算伽玛函数的值。
3.4 Γ(x) * Γ(1-x) = π / sin(πx)这一性质是伽玛函数的对称关系，可以用来计算伽玛函数的特殊值。
3.5对于任意正整数n，有Γ(x+n)/Γ(x)=x(x+1)...(x+n-1)这一性质是伽玛函数的倍增关系，可以用来计算伽玛函数的值。
4.伽玛函数的应用伽玛函数在各个领域中都有广泛的应用，以下是一些常见的应用：4.1概率统计学伽玛函数在概率统计学中用于定义一些重要的概率分布，如伽玛分布和贝塔分布。
这些分布在描述随机事件的出现频率和概率密度函数等方面起着重要的作用。
4.2电磁场理论伽玛函数可以用来表示电磁场中的电势和磁势分布。
在电磁场理论中，伽玛函数是求解麦克斯韦方程组的一种常用方法。
4.3数论伽玛函数在数论中有一些重要的应用。
例如，伽玛函数与Riemann zeta函数之间存在着一种特殊的函数关系，称为伽玛函数和zeta函数的函数方程。
4.4统计学伽玛函数在统计学中有一些重要的应用，如用于插值和拟合数据、计算积分和求和等。
4.5物理学伽玛函数在物理学中有广泛的应用，如量子力学、统计物理学、流体力学、热力学等领域。
数学物理方法第4章留数定理2016
的无心领域的洛朗级数有没有或有多少正幂项来划分的.因此无论
点是什么类型的奇点,都有可能有
1 z
项或没有
1 z
项,即a1 都可能不等于
零或等于零.
26
【例8】求f(z)=
在孤立奇
点(包括无穷远点）处的留数． 解 z=b1是二阶极点，z=b2是一阶极点，得
27
由留数和定理，易得
由于不存在z-1 项，故 Res f(∞)
柯西定理
y
柯西公式
高阶导数公式
闭路变形原理
L
o
x
y
bL
o
x
3
f(z)在除起点外解析 =?
L 逆时针+L0 顺时针
4
§4.1.1 留数定理
一、留数（残数，Residue, 缩写Res）的定义
如果b 是f (z)的一个奇点，其中L是此去心邻域内的任意
一条简单闭曲线.
f (z) ak (z b)k , k
2z
4z2 2!
8z3 3!
2 z3
2 z2
4 3z
,
0 z
由此得
Re
sf
0
a1
4 3
21
[例 7]
求
f
(z)
z
z2
12
2z z2
4
在有限远奇点的留数。
解: 由分母为零易得z=-1是二阶极点, z=±2i是一
阶极点,由(4.1.7)可得
Res
f (1) 1 lim d [(z 1)2 1! z1 d z
根据留数定理、积分主值的定义，以及引理1
的结论
则有
41
【例4.2.2】计算积分 解 (1)辅助函数． 由于被积函数为偶函数，故
数学物理方法第4章
1
1
Re sf ( z)
k 1
n
z 1
表示f(z)在单位圆内所 有奇点的留数和
证明： 令:
ze
i
则:
dz ie d izd
i
0 2
cos (e e sin (e e
1 1 Re sf () Re s[ ,0] 10 2 (1 / z i ) (1 / z 1)(1 / z 3) z z10 Re sf () Re s[ ,0] 0 10 (1 iz ) (1 z )(1 3z )
得：
1 I 10 2(3 i )
§4.2 利用留数定理计算实变函数定积分
1 2 1 i f ( i ) i d 2i 0 re re
1 2 1 i i f ( i ) i 2 d ( re ) 2i 0 re ( re ) 1 1 i f ( ) 2 d Re s() 2i 1
f(z)在ρ<|z|<+∞解析，从而f(1/ξ)在0<|ξ|<1/ρ内解析， 除ξ=0外没有其它奇点，由留数定理得：
( z z0 ) f ( z ) a1 a0 ( z z0 ) a1 ( z z0 )
2
lim ( z z0 ) f ( z ) a1
z z0
非零的有限值
Re sf ( z0 )
若
P( z ) f ( z) Q( z ) P( z ) z z0 Re sf ( z ) lim ( z z0 ) lim P( z ) z z0 Q ( z ) z z0 Q ( z ) P ( z0 ) Q ' ( z0 )
数学物理方法第四章2013
1
1
单位圆外
1 (1 ) 1
1 1 2
1 1 2
1 (1 )(1 )
单位圆内
1 1 2 z0
1 f (z) 2 z 2z
1 1 1 2 1 1 2 (z )( z )
dx , n 为正整数 例I 2 n (1 x )
1 1 f (z) 2 n (1 z ) ( z i )n ( z i )n
a 1
j
R
R
f ( x )dx
上半平面上有 n 阶极点 i
1 d n 1 1 d n 1 1 lim n 1 ( z i )n f ( z ) lim n 1 ( n 1)! z i dz ( n 1)! z i dz ( z i )n ( n)( n 1) ( 2n 2) 1 n( n 1) (2n 2) i 2 n 1 2 n 1 ( n 1)! (2i ) ( n 1)!2
(4) 计算沿单位圆 z 1 的如下回路积分。
dz z 1 z 2 2 z 0 1
解：
寻找被积函数在单位圆内的极点，
1 1 2 z
即它的分母在单位圆内的零点。
z 2 2 z 0,
9
1 1 2
1 1 2
j
R
R
f ( x )dx
CR
f ( z )dz
14
CR
f ( z )dz
CR
数学物理方法 级数
第四节 Laurent级数表示
双边幂级数
a n ( z z0 ) n a 2 ( z z0 ) 2 a1 ( z z0 ) 1 a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 ) 2 an ( z z0 ) n
2 4 6 8
数学物理方法2015.02
第一节 复数项级数
复数项级数 概念
形如 w1 w2 wn wn 的表达
式被称为复数项级数，其中wn是复数。
n 1
收敛与发散
若 wn 的前n项和 Sn w j 有极限（n）, 则称该级数收敛，且称此极限值为该无穷级数的 和；否则称为发散。
n 1
可积性
在C上连续，则
C n 1 n
n 1
w ( z)dz w ( z)dz
n 1 C n
数学物理方法2015.02
第一节 复数项级数
级数 wn ( z ) 在B内一致收敛f(z)，且
n 1
解析性
wn(z)在B内解析，则f(z)在B内解析，且
函数 f(z)=1/(1-z2) 分别在1<|z|< 和 0<|z-1|<2内的 Laurent级数展开
2 1 -1
1 -1
1
1<|z|<
数学物理方法2015.02
0<|z-1|<2
第五节 孤立奇点的分类
概念 若函数 f(z) 在点z0处不可导，而在z0的某邻域
内除z0外连续可导，则称z0为f(z)的孤立奇点； 若在z0的无论多小的邻域内总可以找到z0以外 的不可导点，则称z0为f(z)的非孤立奇点。
数学物理方法课件：第四章 留数定理及其应用
z0
z0 z 2i 2i 2
z0 0 是f（z）的三阶极点
Re
s
f（0）
lim
z0
1 2！
d2 dz 2
z3 f（z）
1 d2
lim
z0
2！
dz
2
1
z
2i
12
lim
z0
2！（z
2i）3
1 i
8i 8
[例2] [解1]
求
f（z）
1 zn 1
f（z）（z 1）（z
在z0=1的留数
k！
Re s
f（z0）
a1
bm 1 （m
1
d m1
1）！dzm1
（z）
z z0
Re s
f（z0）（m
1 1）！zlimz0
ddzmm11（z
z0）m
f（z）
[推论]
若
f（z）
P（z），其中
Q（z）
P（z）和
Q（z）都在
[z则证0点：明解] 析R，Pe（s且zf0）（Pz（00），z0）QQ（P0（（，z0）zzQ00））（0z0） 0，Q（z0） 0
对
R
z
k
环 域中一个正向
（顺时针）回路l’，另作一
l
个围绕 点半径r很大的圆
形环路C。根据柯西定理：
C
f（z）dz f（z）dz ak zkdz
l
C（）
k C
zkdz （rei）kd（rei）
C
C
ir
k
1
2
e
i（k
1）
d
0
2i
k 1 k 1
0
数学物理方法第4章留数定理-2016
式中
称为f(z)在bk处的留数,
它等于f(z)在bk的无心邻域的洛
朗展开中的洛朗系数
f(z) 的洛朗展开为
6
证明 首先在 内以各奇点为圆心,作小圆周 L1,L2,L3,…,Lk,… 分别包围各奇点,如图4.1所示.这样,
由外边界线 L0与内边界线L1,L2,L3,…,Lk,… 为边界 构成了复通区域.由复通区域的柯西定理，得
1 lim
(m 1)! zb
d m 1 d z m1
[( z
b)m
f
( z )]
4.1.7
即
Res
f
(b)
1 lim (m 1)! zb
d m 1 d z m1
[( z
b)m
f
(z)] .
10
3. 若 b 为 f (z) 的一阶极点 (1) 第 一 种 情 形 ： 若 b 为 f (z) 的 一 阶 极 点 ， 则 f (z) 在
因此对于本性奇点处的留数，就只能利用罗朗展开式的方法或 计算积分的方法来求．
13
14
15
16
17
18
例5
求
f
(
z)
1
1 z
4
在有限远奇点的留数。
解: f(z)分母的零点由 1 z4 0 确定,易见
z k 4 1 4 e i2 k 1 e i2 k 4 1 , k 0 ,1 ,2 ,3
其次,对于沿Lk的积分,由式(4.1.2)可得
将式(4.1.4)代入式(4.1.3),并将
代入,即有
7
4.1.2、计算留数的方法
1 若 b 为 f (z) 的可去奇点，则 f (z) 在 0 z b R 内
数学物理方法第4章留数定理
朗展开中的洛朗系数
f(z) 的洛朗展开为
6
证明 首先在 内以各奇点为圆心,作小圆周 L1,L2,L3,…,Lk,… 分别包围各奇点,如图4.1所示.这样,
由外边界线 L0与内边界线L1,L2,L3,…,Lk,… 为边界 构成了复通区域.由复通区域的柯西定理，得
其次,对于沿Lk的积分,由式(4.1.2)可得
柯西定理
y
柯西公式
高阶导数公式
闭路变形原理
L
o
x
y
bL
o
x
3
f(z)在除起点外解析 =?
L 逆时针+L0 顺时针
4
§4.1.1 留数定理
一、留数（残数，Residue, 缩写Res）的定义
如果b 是f (z)的一个奇点，其中L是此去心邻域内的任意
一条简单闭曲线.
f (z) ak (z b)k , k
第4章 留数定理 包含奇点的积分如何求？
1
柯西(Augustin Louis Cauchy, 1789—1857) 法国数学家、物理学家、天文学家
他的父亲与Lagrange, Lapalce交往密切 柯西极限，柯西不等式，柯西积分公式，柯西定理 等 （800篇论文）
拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736~1813）
0 z b R 内的罗朗展开式为
f (z) a1(z b)1 a0 a1(z b)
显然
a1
lim(z
zb
b)
f
(z)
，故当 b
为
f
(z)
的一阶极点时，
Res f (b) lim(z b) f (z) zb
f(z) 的洛朗展开为
6
证明 首先在 内以各奇点为圆心,作小圆周 L1,L2,L3,…,Lk,… 分别包围各奇点,如图4.1所示.这样,
由外边界线 L0与内边界线L1,L2,L3,…,Lk,… 为边界 构成了复通区域.由复通区域的柯西定理，得
其次,对于沿Lk的积分,由式(4.1.2)可得
柯西定理
y
柯西公式
高阶导数公式
闭路变形原理
L
o
x
y
bL
o
x
3
f(z)在除起点外解析 =?
L 逆时针+L0 顺时针
4
§4.1.1 留数定理
一、留数（残数，Residue, 缩写Res）的定义
如果b 是f (z)的一个奇点，其中L是此去心邻域内的任意
一条简单闭曲线.
f (z) ak (z b)k , k
第4章 留数定理 包含奇点的积分如何求？
1
柯西(Augustin Louis Cauchy, 1789—1857) 法国数学家、物理学家、天文学家
他的父亲与Lagrange, Lapalce交往密切 柯西极限，柯西不等式，柯西积分公式，柯西定理 等 （800篇论文）
拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736~1813）
0 z b R 内的罗朗展开式为
f (z) a1(z b)1 a0 a1(z b)
显然
a1
lim(z
zb
b)
f
(z)
，故当 b
为
f
(z)
的一阶极点时，
Res f (b) lim(z b) f (z) zb
《数学物理方法》第4章留数定理及其应用
法则1 如果z0为f (z)的一级极点，那么
Re
s[
f
( z ),
z0
]
lim ( z
z z0
z0
)
f
(z)
证明
f (z)
c1
z
1 z0
c0
c1 ( z
z0 )
(z z0 ) f (z) c1 c0 (z z0 ) c1(z z0 )2
例1 计算积分
C
zez z2
1
dz,
其中C为正向圆周：| z
12
3)
Re s[
tan
z,
2k 1] 2
sin (cos
z z)
z 2k 1
1
.
2
2
tan zdz 2i
Res[tan z, 2k 1] = 10i
|z|3
k 0
2
11
z sin z
例5 计算下列积分 |z|1
z6 dz.
解 z 0为f (z)的三级极点.
f (z)dz=2i Res[ f (z), 0]
n
f (z)dz 2i R es[ f (z), zk ]
C
k 1
证明 由复闭路定理得
n
f (z)dz f (z)dz
C
k 1 Ck
由留数的定义得
n
f (z)dz 2i R es[ f (z), zk ]
C
k 1
y C1
C
z•1 C2 o C3 • z3 •z2 x
5
三、留数的计算
z0
]
lim(
lim
z z0
P(z0 ) Q(z0 )
数学物理方法 第4章 留数定理
e
ma
2 ia
0
cos ma x a
2 2
dx i
e
ma
e
ma
2 ia
2a
y
例：
0
sin x x
dx
Cε
CR
解：如图4.9所示，
图4.9
0
x
sin x x
dx lim
R 0
R
sin x x
R e imx dx lim dx R 2i 0 x 1
1
z 1
1 2
z z 2
1
2
iz
dz
z 1
z (1 ) z
2 2
i
f (z)
dz
z 1
( z 1)( z )
1
记：
z
( z 1)( z )
它在复平面上有2个单极点
和
1
其中 z 在单位圆内，其留数为：
CR
x 图4.7
f ( x ) dx 2 i
{
f (z)
在上半平面所有奇点的留数之和}
例：
dx 1 x
2
解： 记：
z i
f (z)
1 1 z
2
,它在上半平面有单极点
其留数为：
1 zi 1 2i
Re sf ( i ) lim ( z i ) f ( z ) lim
1 z ( z 2i)
3
并求函数在这些极点的留数。
数学物理方法 第四章 留数定理
wuxia@
2、单极点留数
Res[ f ( z0 )] = lim ( z − z0 ) f ( z )
z →z 0
证明：z0是f ( z )的单极点， 洛朗级数为：f ( z ) = a−1 + a0 + a1 ( z − z0 ) + aห้องสมุดไป่ตู้ ( z − z0 ) 2 + ⋯ z − z0
l
wuxia@
再讨论l包围f ( z )的n个孤立奇点b1 , b2 ,⋯, bn的情况， 做回路l1 , l2 ,⋯, ln分别紧紧包围着b1 , b2 ,⋯, bn . 按照柯西定理， f ( z )dz = ∫ ∫
l l 1 l1
+∫
l2 2
+⋯+ ∫ ,
ln n
∫ f ( z )dz = 2πi[Res f (b ) + Res f (b ) + ⋯ + Res f (b )]
在挖去孤立奇点z0而形成的环域上的解析函数 z f(z)的洛朗级数分三种： （1）无负幂项 z0为f(z)的可去奇点 （2）有有限个负幂项 z0为f(z)的极点 （3）有无限个负幂项 z0为f(z)的本性奇点
wuxia@
第四章 留数定理
wuxia@
4、1 留数定理
wuxia@
在收敛环内任取一个包围z0的小回路l0 , 按照柯西定理
∫ f ( z )dz = ∫
l
l0
f ( z )dz, 带入上式，得： ak ( z − z0 ) k dz = ∑
∞
∫
l
f ( z )dz = ∫
l
k = −∞
k = −∞
ak ∫ ( z − z0 ) k dz ∑
第四章 数理方法 留数定理
1、留数的来历—— 始于f (z)的奇点 ★柯西定理的含义 逆时针→
l
f ( z )dz 0
l
f ( z )dz
l0
f ( z )dz ←逆时针
z0
l0 l
★内、外境界线逆时针积分相等。 ★如果
f ( z)
k
ak ( z z0 ) k
图4.1
★如果 f ( z )
l
∞
l
f ( z )dz
( a z
l k k
k
)dz
图4.3 绕行走点 在左手侧正方向
a1 2、函数在无穷远点留数：
k
数学物理方法
★设函数在无穷远点∞上解析，在l 所围的区域 内除有限个孤立奇点外无其它奇点，则:
l
f ( z )dz
( ak z dz )
2 2
1 1 2 z1 1 1 2 z2
1 1 1 1 ( ) 1 i 2 i 2 1 2 1 2
§4.2 应用留数定理计算实变 函数定积分
数学物理方法
一、思路:实函数定积分转换为复函数回路积分
方法2：
数学物理方法
dz 2 i Res f ( z1 ) 2 z 1 z 2 z 1 2 i lim[( z z1 ) ] z z1 ( z z1 )( z z2 ) 1 2 i lim[ ] z z1 ( z z ) 2 2 i 1
l k 1
n
数学物理方法
三、单极点处留数的计算
1、单极点的留数 方法1：
Res f ( z0 ) lim( z z0 ) f ( z )
l
f ( z )dz 0
l
f ( z )dz
l0
f ( z )dz ←逆时针
z0
l0 l
★内、外境界线逆时针积分相等。 ★如果
f ( z)
k
ak ( z z0 ) k
图4.1
★如果 f ( z )
l
∞
l
f ( z )dz
( a z
l k k
k
)dz
图4.3 绕行走点 在左手侧正方向
a1 2、函数在无穷远点留数：
k
数学物理方法
★设函数在无穷远点∞上解析，在l 所围的区域 内除有限个孤立奇点外无其它奇点，则:
l
f ( z )dz
( ak z dz )
2 2
1 1 2 z1 1 1 2 z2
1 1 1 1 ( ) 1 i 2 i 2 1 2 1 2
§4.2 应用留数定理计算实变 函数定积分
数学物理方法
一、思路:实函数定积分转换为复函数回路积分
方法2：
数学物理方法
dz 2 i Res f ( z1 ) 2 z 1 z 2 z 1 2 i lim[( z z1 ) ] z z1 ( z z1 )( z z2 ) 1 2 i lim[ ] z z1 ( z z ) 2 2 i 1
l k 1
n
数学物理方法
三、单极点处留数的计算
1、单极点的留数 方法1：
Res f ( z0 ) lim( z z0 ) f ( z )
§1留数定理
=
nπ
+
π 2
是
1 cos
z
的单极点。
由推论 1：
Re s
1
=
lim
z
−
1 2
(2n
+ 1) π
洛毕达法则
=−
lim
1 = ( ) −1 n+1 。
( ) cos 1 2n +1 π
z→ 1 (2n+1)π
2
cos z
z→1(2n s
1
=1
=− 1
= ( ) −1 n+1 。
域 0 < z − z0 < R 内，将 f ( z) 作罗朗展开
f (z) =
+
(z
a−2
− z0 )2
+
a−1 z − z0
+
a0
+
a1
(z
−
z0
)
+
a2
(z
−
z0
)2
+
，将 f ( z) 沿着完全在
0 < z − z0 < R 内且包围 z0 的围线 l 的积分，得 ∫l f ( z) dz = a−12π i ，
∫lk f ( z) dz = 2π i Re sf ( zk ) ，
n
∴
∫l
f
( z) dz
=
2π i∑ Re sf k =1
( zk
)
（留数定理）
复变函数的围线积分等于被积函数在围线所围区域内各孤立奇点处的留数
之和的 2πi 倍。 以上的留数均是对有限远的奇点而言的，对于无穷远点处也可同样定义它
数学物理方法第四章1
数列{M n} ，使对一切 z，有
| fn (z) | M n (n 0,1, 2,)
而正项级数 M n 收敛，则复函数项级数 fn (z) 绝
n0
n0
对收敛且一致收敛.
这样的正项级数 M n 称为复函数项级数 fn (z)
n0
n0
的强级数，上述 M 判别法又称为强级数判别法.
例 讨论级数 zn 的收敛性，并讨论该级数在 n0
处收敛，还是发散?
解：令 t z 2 ，则得 tn 在点 z0 0 处即在 n0
t0 z0 2 2 处收敛.
根据阿贝尔定理， tn 在点 z 3 处，即在 n0
t z 2 1处满足
| t | 1 | t0 | 2
故原级数 cn (z 2)n 在 z 3 处收敛且绝对收敛. n0
n0
n0
(anb0 an1b1 an2b2 a0bn )zn n0
wn
n0
级数发散
设 wn un ivn (n 0,1, 2,) ，且 s i ，则
wn 收敛于 s 的充分必要条件是
n0
lim
n
un
n0
且
lim
n
vn
n0
.
级数 wn 收敛的必要条件是 n0
lim
n
wn
0
例
考察级数
解：
n1
1 n
i 2n
的敛散性.
由定理知，只需讨论级数的实部级数
cntn ， 为了方便，今后就以函数项级数 cn zn 来
n0
n0
进行讨论.
阿贝尔（Abel）定理 如果级数 cn zn 在点 n0
z z0,(z0 0) 收敛，那么对满足 z z0 的 z ，
数学物理方法第四章
数学物理方法第四章第四章是关于数值方法的章节，介绍了数学物理问题求解的数值方法和计算机模拟方法。
本章主要分为三个部分，分别是插值与拟合方法、微分方程数值解、积分方法。
插值与拟合方法是数值计算中常用的一种方法。
在实际问题中，我们经常会遇到一些数据点，需要通过这些数据点确定一个函数。
插值方法利用已知数据点之间的关系，通过构造一个函数使得这个函数在已知数据点上与实际函数值相等，从而得到一个函数。
拟合方法则是通过已知数据点拟合出一个函数，使得这个函数与实际函数的误差最小。
插值与拟合方法包括拉格朗日插值、牛顿插值、最小二乘法等。
微分方程数值解是解决微分方程的常用方法。
微分方程描述了许多自然现象和物理过程，但大多数微分方程无法解析求解，需要通过数值方法进行求解。
微分方程数值解的关键是将微分方程离散化为差分方程，然后通过迭代方法求解差分方程。
常用的微分方程数值解方法有欧拉方法、龙格-库塔方法、多步法等。
积分方法是求解定积分的方法。
在数学物理问题中，我们经常会遇到需要求解定积分的情况。
积分方法包括数值积分和数值微分。
数值积分是通过将定积分转化为求和的形式，将区间离散化，然后通过插值或者拟合方法求解。
数值微分则是通过差商的形式来逼近导数。
常用的积分方法有梯形法则、辛普森法则、龙贝格法则等。
在实际问题中，我们常常需要将这些数值方法结合起来。
例如，对于一个实际物体的运动问题，我们可以通过数值方法求解微分方程，得到物体的运动轨迹，然后通过插值与拟合方法，将数值结果与实际数据进行拟合，得到一个准确的运动模型。
再例如，对于一个实际的物理实验，我们可以通过测量得到的数据点，利用插值与拟合方法拟合出一个合适的函数，然后通过积分方法计算出该物理实验的一些重要参数。
在数学物理方法的第四章中，我们学习了插值与拟合方法、微分方程数值解、积分方法等重要的数值计算方法。
通过学习这些方法，我们可以更好地理解和解决实际的数学物理问题，提高问题的求解效率和准确性。
数学物理方法课件(北师大版)4
cc??????????????bosonzfifermionzfizfzfsidzzfzfnnnnzcn22re2??????????的极点re2zfcczfzfsidzzfzf?由于0??cdzzfzf于是有??????????的极点的极点rerezfbzffnnbosonzfzfsfermionzfzfszf????2?
y=sinφ π/2
讨论：对于m为负数，约旦引理是否成立？如何处理？
例1. 计算积分：0
fz e
x sin mx dx 2 1 x
y z=i
imz
z imz e 1 z2
O z=-i x
x sin mx 1 x sin mx 1 xe imx 0 1 x 2 dx 2 1 x 2 dx 2i 1 x 2 dx Re s[ f ( z )eimz ]
n n a z z n 0 .
• 由积分公式：
0, 1 n z z0 dz I 2i 1, (n 1) (n 1)
为什么a-1特殊？
fzdz
n
n a z z n 0 dz 2i a -1
(0 1)
p65
思考：当函数 f (z) 在上半平面上有无穷多个奇点时该如 何处理？
1 dx 例3. cosh x
1 C cosh z dz R R 1 1 dx dx R cosh x R cosh( x i ) 0 1 1 i dy i dy 0 cosh( R iy ) cosh( R iy )
2
z 2i 的极点，并求 f (z) 在 5 3 z 4z
y=sinφ π/2
讨论：对于m为负数，约旦引理是否成立？如何处理？
例1. 计算积分：0
fz e
x sin mx dx 2 1 x
y z=i
imz
z imz e 1 z2
O z=-i x
x sin mx 1 x sin mx 1 xe imx 0 1 x 2 dx 2 1 x 2 dx 2i 1 x 2 dx Re s[ f ( z )eimz ]
n n a z z n 0 .
• 由积分公式：
0, 1 n z z0 dz I 2i 1, (n 1) (n 1)
为什么a-1特殊？
fzdz
n
n a z z n 0 dz 2i a -1
(0 1)
p65
思考：当函数 f (z) 在上半平面上有无穷多个奇点时该如 何处理？
1 dx 例3. cosh x
1 C cosh z dz R R 1 1 dx dx R cosh x R cosh( x i ) 0 1 1 i dy i dy 0 cosh( R iy ) cosh( R iy )
2
z 2i 的极点，并求 f (z) 在 5 3 z 4z
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n
存在，则称级数在处收 敛.而S ( z0 )称为它的和 .如 果级数在D内处处收敛，那末它的 和一定是z的函 数. S ( z ) f1 ( z ) f 2 ( z ) ... f n ( z ) ... S ( z )称为级数 f n ( z )的和函数.
n 1
n 1
f ( n ) ( z0 ) ( z z0 ) n n!
此式称为f ( z )在z0的泰勒展开式， 右端级数称为 f ( z )在z0的泰勒级数 .
如果f ( z )在z0解析，则使f ( z )在z0 定理： 的泰勒展开式成立的圆 域的半径R就等 于从z0到f ( z )的距z0最近的奇点之间的 距离，即 R z0 .
若 0, 则 R , 若 , 则R 0.
例1： 求幂级数 z 1 z z ... z ...
n 2 n n 1
的 收敛半径和和函数.
cn1 1 解： lim lim1 1. 故 R 1 n c n n 1 z n 1 S n ( z ) 1 z ... z 1 z
n 1 n n
n
0
定义： 如果 n 收敛，则称 n绝对收敛.
n 1 n 1
如果 n收敛， n 发散，
n 1 n 1
则称 n条件收敛.
n 1
定理四：如果 n 收敛，则 n 也收敛.
n 1 n 1
且有不等式
n 1
此圆CR 称为级数的收敛圆 , 在收敛圆周上 的点, 级数是收敛的还是发散 的, 要作具体 分析，不能给 出一半的结论 .
收敛圆CR的半径R称为级数的收敛半径 .
3. 收敛半径的求法： 对于幂级数 cn z n，有
n 0
定理二（此值法）：
cn 1 1 如果 lim ，则 R n c n
f ( z ) g ( z ) ( an z n ) ( bn z n )
n 0 n 0
（a0bn a1bn 1 ... anb0 ) z n
n 0
n 定理四： 设 cn ( z a ) 的收敛半径为R， n 0
则 （ 1 ） 和函数f ( z )在 z a R内解析.
f
n 1
n
( z ) f1 ( z ) f 2 ( z ) ... f n ( z ) ...
称为复变函数项级数 .
其前面n项的和 S n ( z ) f1 ( z ) f 2 ( z ) ... f n ( z ) 称为级数的部分和 .
如果对于D内的某一点z0，极限 lim S n ( z0 ) S ( z0 )
4. 幂级数的运算性质.
设 f ( z ) an z
n 0
n
R r1 R r2
g ( z ) bn z n
n 0
则在 z R min(r1 , r2 )内, 有
f ( z ) g ( z ) an z n bn z n
n 0 n 0
பைடு நூலகம்
n lim an a, lim bn b 定理一：lim n n n
2. 级数的概念： 设 n an bni为一复数列， 表达式
n 1
n
1 2 ... n
称为无穷级数 .其最前面n项的和 S n 1 2 ... n 称为级数的部分和 .
n
(1) 1 (3) [ n i] n 2 n 1
1 i 1 1 解： (1) (1 ) ( 2 i ) n n n 1 n n 1 n
1 而 an 发散.故原级数发散 . n 1 n 1 n
(2)
n 1
(8i ) n 8n n! n 1 n!
1 如 f ( z) 在z0 1处解析，则 z ( z 1) f ( z )的泰勒展开式（在 z0 1处）的收 敛半径为 R 1 0 1.
定理： 任何解析函数展开式幂 级数的
结果就是泰勒级数，即 展开式是唯一 的.
e , sin z, cos z, 在z 0处展开成幂级数， 1 (n) 可直接通过计算系数 cn f (0)来 n! 求得，结果为：
形如：
n 2 n c ( z a ) c c ( z a ) c ( z a ) ... c ( z a ) ... n 0 1 2 n n 0
及 cn z n c0 c1 z c2 z 2 ... cn z n ...
n 0
2.收敛圆与半径
对一个幂级数来说，其 收敛情况不外于 下述三种：
(1) 对所有的正实数都是收 敛的.此时, 根据阿贝尔定理知，级 数在复平面 内处处绝对收敛 .
(2) 级数除原点外处处发散 .
(3) 有一个以原点为心 , R为半径的圆CR , CR 内的点, 级数绝对收敛 .CR 外部的点，级 数发散.
8n 而 收敛.故原级数绝对收敛 . n 1 n!
(1) n 1 (1) n (3) 收敛, n 收敛 , 但 n n n 1 n 1 2 n 1
发散. 故原级数条件收敛 .
§3 幂级数
1. 幂级数概念： 设 f n ( z )(n 1,2,3...)是一个定义 在区域D内 的函数列，表达式
(2)在收敛圆内可逐次求导 . f ' ( z ) ncn ( z a) n 1
n 1
(3) 在收敛圆内可以逐次积 分
C z
f ( z )dz cn ( z a) dz
n n 0 C
a
cn n 1 f ( z )dz ( z a) n 0 n 1
1 例1： 把函数 展开成z的幂级数， 2 (1 z ) 即在z0 0处展开成泰勒级数 .
1 解： f ( z) 有一个奇点 1, 2 (1 z ) 从而 R 0 (1) 1
1 2 n 由： 1 z z ... z ... z 1 1 z
2 n
例2： 求下列幂级数的收敛半 径 z （ 1 ） 3（并讨论在收敛圆周上 的情况） n 1 n ( z 1) n （ 2 ） （并讨论z 0,2时的情况） n n 1
n （ 3 ） (cos in ) z n 0 n
cn 1 解： （ 1 ） lim n c n 故R
§4 泰勒级数
由上一节的定理四，我 们知道一个 幂级数的和函数在它的 收敛圆的内部是 一个解析函数。现在来 研究其反问题， 就是：任何一个解析函 数是否能用幂级 数来表达？关于这个问 题，有如下泰勒 展开定理：
设 f ( z )在区域D内解析，z0为D内 定理： 的一点，d为z0到D的边界上各点的最短 距离，则当 z z0 d 时， f ( z)
的级数称为幂级数 .
因为令 z a, 前一级数变成后一级数 ， 故常就后一种级数进行 讨论.
定理一（阿贝尔定理) ：
如果级数 cn z n在z z0 ( z0 0)收敛，则对
n 1
满足 z z0 的一切z，级数绝对收敛 .如果在 z z0级数发散，则对满足z z0 的z，级数 发散.
z
z z e 1 z ... ... 3! n! n z R n 0 n!
z
3
n
z z z n sin z z ... (1) ... 3! 5! (2n 1)! z (1) (2n 1)! n 0
n 2 4 2n 2 n 1
1 1 2 n n 可知： 1 z z ... (1) z ... 1 z 1 ( z ) z 1
1 2 n n 1 两边求导 1 2 z 3 z ... ( 1 ) nz ... 2 (1 z ) z 1
第五章 级数
§ 1 复数项级数
1. 复数列的极限： 设 n an bni (n 1,2,3...) 为一复数列， a bi为一确定的复数，当 n充分大时， n充分接近，则称为复数列
n 当n 时的极限，记作lim n ， n
也称 n收敛于 .
n
n
n 1
定理五： n 收敛 an , bn 收敛.
n 1 n 1 n 1
例1： 下列数列是否收敛？如 果收敛，求出其极限 . 1 (1) n (1 )e n
i
i
n
(2) n n cosin
1 1 解：(1) n (1 )e (1 )(cos i sin ) n n n n
(2) n n cosin n
e
n
e 1 n n (ne ne ) 2 2
n
所以当n 时， n .即 n发散.
例2： 下列级数是否收敛？ 是否绝对收敛？ 1 i (1) (1 ) n n 1 n
n
(8i ) ( 2) n! n 1
如果S n 收敛，则称级数 n收敛.
n 1
且极限 lim S n S称为级数的和 .
n
如果 S n 不收敛 ,则称级数 n 发散 .
n 1
定理二： n收敛 an , bn 都收敛.
n 1 n 1 n 1
存在，则称级数在处收 敛.而S ( z0 )称为它的和 .如 果级数在D内处处收敛，那末它的 和一定是z的函 数. S ( z ) f1 ( z ) f 2 ( z ) ... f n ( z ) ... S ( z )称为级数 f n ( z )的和函数.
n 1
n 1
f ( n ) ( z0 ) ( z z0 ) n n!
此式称为f ( z )在z0的泰勒展开式， 右端级数称为 f ( z )在z0的泰勒级数 .
如果f ( z )在z0解析，则使f ( z )在z0 定理： 的泰勒展开式成立的圆 域的半径R就等 于从z0到f ( z )的距z0最近的奇点之间的 距离，即 R z0 .
若 0, 则 R , 若 , 则R 0.
例1： 求幂级数 z 1 z z ... z ...
n 2 n n 1
的 收敛半径和和函数.
cn1 1 解： lim lim1 1. 故 R 1 n c n n 1 z n 1 S n ( z ) 1 z ... z 1 z
n 1 n n
n
0
定义： 如果 n 收敛，则称 n绝对收敛.
n 1 n 1
如果 n收敛， n 发散，
n 1 n 1
则称 n条件收敛.
n 1
定理四：如果 n 收敛，则 n 也收敛.
n 1 n 1
且有不等式
n 1
此圆CR 称为级数的收敛圆 , 在收敛圆周上 的点, 级数是收敛的还是发散 的, 要作具体 分析，不能给 出一半的结论 .
收敛圆CR的半径R称为级数的收敛半径 .
3. 收敛半径的求法： 对于幂级数 cn z n，有
n 0
定理二（此值法）：
cn 1 1 如果 lim ，则 R n c n
f ( z ) g ( z ) ( an z n ) ( bn z n )
n 0 n 0
（a0bn a1bn 1 ... anb0 ) z n
n 0
n 定理四： 设 cn ( z a ) 的收敛半径为R， n 0
则 （ 1 ） 和函数f ( z )在 z a R内解析.
f
n 1
n
( z ) f1 ( z ) f 2 ( z ) ... f n ( z ) ...
称为复变函数项级数 .
其前面n项的和 S n ( z ) f1 ( z ) f 2 ( z ) ... f n ( z ) 称为级数的部分和 .
如果对于D内的某一点z0，极限 lim S n ( z0 ) S ( z0 )
4. 幂级数的运算性质.
设 f ( z ) an z
n 0
n
R r1 R r2
g ( z ) bn z n
n 0
则在 z R min(r1 , r2 )内, 有
f ( z ) g ( z ) an z n bn z n
n 0 n 0
பைடு நூலகம்
n lim an a, lim bn b 定理一：lim n n n
2. 级数的概念： 设 n an bni为一复数列， 表达式
n 1
n
1 2 ... n
称为无穷级数 .其最前面n项的和 S n 1 2 ... n 称为级数的部分和 .
n
(1) 1 (3) [ n i] n 2 n 1
1 i 1 1 解： (1) (1 ) ( 2 i ) n n n 1 n n 1 n
1 而 an 发散.故原级数发散 . n 1 n 1 n
(2)
n 1
(8i ) n 8n n! n 1 n!
1 如 f ( z) 在z0 1处解析，则 z ( z 1) f ( z )的泰勒展开式（在 z0 1处）的收 敛半径为 R 1 0 1.
定理： 任何解析函数展开式幂 级数的
结果就是泰勒级数，即 展开式是唯一 的.
e , sin z, cos z, 在z 0处展开成幂级数， 1 (n) 可直接通过计算系数 cn f (0)来 n! 求得，结果为：
形如：
n 2 n c ( z a ) c c ( z a ) c ( z a ) ... c ( z a ) ... n 0 1 2 n n 0
及 cn z n c0 c1 z c2 z 2 ... cn z n ...
n 0
2.收敛圆与半径
对一个幂级数来说，其 收敛情况不外于 下述三种：
(1) 对所有的正实数都是收 敛的.此时, 根据阿贝尔定理知，级 数在复平面 内处处绝对收敛 .
(2) 级数除原点外处处发散 .
(3) 有一个以原点为心 , R为半径的圆CR , CR 内的点, 级数绝对收敛 .CR 外部的点，级 数发散.
8n 而 收敛.故原级数绝对收敛 . n 1 n!
(1) n 1 (1) n (3) 收敛, n 收敛 , 但 n n n 1 n 1 2 n 1
发散. 故原级数条件收敛 .
§3 幂级数
1. 幂级数概念： 设 f n ( z )(n 1,2,3...)是一个定义 在区域D内 的函数列，表达式
(2)在收敛圆内可逐次求导 . f ' ( z ) ncn ( z a) n 1
n 1
(3) 在收敛圆内可以逐次积 分
C z
f ( z )dz cn ( z a) dz
n n 0 C
a
cn n 1 f ( z )dz ( z a) n 0 n 1
1 例1： 把函数 展开成z的幂级数， 2 (1 z ) 即在z0 0处展开成泰勒级数 .
1 解： f ( z) 有一个奇点 1, 2 (1 z ) 从而 R 0 (1) 1
1 2 n 由： 1 z z ... z ... z 1 1 z
2 n
例2： 求下列幂级数的收敛半 径 z （ 1 ） 3（并讨论在收敛圆周上 的情况） n 1 n ( z 1) n （ 2 ） （并讨论z 0,2时的情况） n n 1
n （ 3 ） (cos in ) z n 0 n
cn 1 解： （ 1 ） lim n c n 故R
§4 泰勒级数
由上一节的定理四，我 们知道一个 幂级数的和函数在它的 收敛圆的内部是 一个解析函数。现在来 研究其反问题， 就是：任何一个解析函 数是否能用幂级 数来表达？关于这个问 题，有如下泰勒 展开定理：
设 f ( z )在区域D内解析，z0为D内 定理： 的一点，d为z0到D的边界上各点的最短 距离，则当 z z0 d 时， f ( z)
的级数称为幂级数 .
因为令 z a, 前一级数变成后一级数 ， 故常就后一种级数进行 讨论.
定理一（阿贝尔定理) ：
如果级数 cn z n在z z0 ( z0 0)收敛，则对
n 1
满足 z z0 的一切z，级数绝对收敛 .如果在 z z0级数发散，则对满足z z0 的z，级数 发散.
z
z z e 1 z ... ... 3! n! n z R n 0 n!
z
3
n
z z z n sin z z ... (1) ... 3! 5! (2n 1)! z (1) (2n 1)! n 0
n 2 4 2n 2 n 1
1 1 2 n n 可知： 1 z z ... (1) z ... 1 z 1 ( z ) z 1
1 2 n n 1 两边求导 1 2 z 3 z ... ( 1 ) nz ... 2 (1 z ) z 1
第五章 级数
§ 1 复数项级数
1. 复数列的极限： 设 n an bni (n 1,2,3...) 为一复数列， a bi为一确定的复数，当 n充分大时， n充分接近，则称为复数列
n 当n 时的极限，记作lim n ， n
也称 n收敛于 .
n
n
n 1
定理五： n 收敛 an , bn 收敛.
n 1 n 1 n 1
例1： 下列数列是否收敛？如 果收敛，求出其极限 . 1 (1) n (1 )e n
i
i
n
(2) n n cosin
1 1 解：(1) n (1 )e (1 )(cos i sin ) n n n n
(2) n n cosin n
e
n
e 1 n n (ne ne ) 2 2
n
所以当n 时， n .即 n发散.
例2： 下列级数是否收敛？ 是否绝对收敛？ 1 i (1) (1 ) n n 1 n
n
(8i ) ( 2) n! n 1
如果S n 收敛，则称级数 n收敛.
n 1
且极限 lim S n S称为级数的和 .
n
如果 S n 不收敛 ,则称级数 n 发散 .
n 1
定理二： n收敛 an , bn 都收敛.
n 1 n 1 n 1