刘薇数学：2.2.1综合法分析法

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数学：2..2..1《综合法和分析法》教案(新人教A版选修2-2)

数学：2.2.1《综合法和分析法》教案教学目标：＜一）知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

＜二）过程与方法：培养学生的辨析能力和分析问题和解决问题的能力；＜三）情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

第一课时221 综合法和分析法＜一）教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.tFAx82mkCG 教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程 .教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 已知“若三I ,且耳，则回”，试请此结论推广猜想.＜答案：若，且，贝S ㈢ I 回） 2. 已知，，求证：先完成证明 -讨论：证明过程有什么特点？二、讲授新课：1. 教学例题：① 出示例1:已知a, b, c 是不全相等的正数，求证：a （b2 + c2＞ + b （c2 + a2＞ + c （a2 + b2＞＞ 6abc.tFAx82mkCG分析：运用什么知识来解决？＜基本不等式）—板演证明过程＜注意等号的处理）-讨论：证明形式的特点② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.tFAx82mkCG 导果.c 是全不相等的正实数，求证 ④出示例2:在厶ABC中，三个内角 A B C 的对边分别为a 、b 、 c ,且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列.求证：ABC 等边三角形.tFAx82mkCG框图表示:要点：顺推证法；由因③练习：已知分析：从哪些已知，可以得到什么结论？如何转化三角形中边角关系？f板演证明过程f讨论：证明过程的特点.-小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件＜内角和）2. 练习：①回为锐角，且■■，求证：. ＜提示：算二^ ）②已知|㈢求证：| 乂|3. 小结：综合法是从已知的P出发，得到一系列的结论三| , 直到最后的结论是Q.运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.tFAx82mkCG三、巩固练习：1. 求证：对于任意角0, ■. ＜教材P100练习1题）＜两人板演f 订正f 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）2. I上J的三个内角㈢|成等差数列，求证：I x7"! .3. 作业：教材P102 A组2、3题.第二课时2.2.1 综合法和分析法＜二）教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.tFAx82mkCG教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 提问：基本不等式的形式？2. 讨论：如何证明基本不等式I = I .＜讨论f板演f分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）二、讲授新课：1. 教学例题：①出示例1:求证I * I .讨论：能用综合法证明吗？ T 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？T 板演证明过程＜注意格式）T 再讨论：能用综合法证明吗？ T 比较：两种证法② 提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件＜已知条件、定理、定义、公理等）为止.tFAx82mkCG索因. ③ 练习：设x ＞ 0 , y ＞ 0 ,证明不等式：=I .先讨论方法 T 分别运用分析法、综合法证明. ④ 出示例2:见教材P97. 讨论：如何寻找证明思路？＜从结论出发，逐步反推）⑤ 出示例3:见教材P99. 讨论：如何寻找证明思路？＜从结论与已知出发，逐步探求）2. 练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面＜指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.tFAx82mkCG提示：设截面周长为I ，则周长为I 的圆的半径为因，截面积为 ,冈，周长为I 的正方形边长为I ，截面积为回，问题只需证：_ .tFAx82mkCG3. 小结：分析法由要证明的结论 Q 思考，一步步探求得到 Q 所需要的已知上j ，直到所有的已知P 都成立；比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”（分析＞，从“已知”推“可知” ＜综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径. ＜框图示意）tFAx82mkCG 三、巩固练习:1. 设a, b, c 是的△ ABC 三边，S 是三角形的面积，求证:略证：正弦、余弦定理代入得： ■ ,即证：| 厂—，即：|,即证： KI ＜成立）.2. 作业：教材P100练习2、3题.要点：逆推证法；执果框图表示:第三课时222 反证法教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法一一反证法；了解反证法的思考过程、特点.教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程 .教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法 .教学过程：一、复习准备：1. 讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转 2枚，你能使三枚反面都朝上吗？＜原因：偶次）2. 提出问题：平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一直线上的三点A 、B C 不能作圆” 明这个命题？ tFAx82mkCG3. 给出证法：先假设可以作一个OO 三占- 4 八、、’则0在AB 的中垂线I 上，垂线m 上，即0是I 与m 的交点。

高中数学第二章推理与证明2.2.1综合法与分析法教案新人教A版选修2_2

§2.2.1 综合法与分析法教学目标：1．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；2．通过本节内容的学习了解分析法和综合法的思考过程、特点；3．增强学生的数学应用意识，提高学生数学思维的情趣，给学生成功的体验，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度。

教学重点：分析法和综合法的思考过程；教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点．教学过程设计（一）、情景引入，激发兴趣。

【教师引入】合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的。

数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明。

本节我们将学习两类基本的证明方法：直接证明与间接证明。

(二)、探究新知，揭示概念探究一：在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，通过推理推导出所要的结论。

例如：已知a,b>0,求证教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。

教师最后归结证明方法。

学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法证明:因为，所以。

因为，所以。

因此。

一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种方法叫做综合法。

探究二：证明数学命题时，还经常从要证的结论 Q 出发，反推回去，寻求保证 Q 成立的条件，即使Q 成立的充分条件P1，为了证明P1成立，再去寻求P1成立的充分条件P2，为了证明P2成立，再去寻求P2成立的充分条件P3，……直到找到一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。

例如：基本不等式（a>0，b>0）的证明就用了上述方法。

要证，只需证，只需证，只需证由于显然成立，因此原不等式成立。

一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。

这种方法叫做分析法。

（三）、分析归纳，抽象概括用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论，则综合法可表示为：综合法的特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。

教学设计6：2.2.1 综合法和分析法(一)

2.2.1综合法和分析法（一）整体设计教材分析在以前的学习中，学生已经能用综合法和分析法证明数学问题，但他们对综合法和分析法的内涵和特点不一定非常清楚．本节内容结合学生已学过的数学知识，通过实例引导学生分析综合法与分析法的思考过程与特点，并归纳出操作流程图，使他们在以后的学习中，能自觉地、有意识地运用综合法和分析法进行数学证明，养成言之有理、论证有据的习惯．教学目标1．知识与技能目标(1)理解综合法证明的概念；(2)能熟练地运用综合法证明数学问题．2．过程与方法目标(1)通过实例引导学生分析综合法的思考过程与特点；(2)引导学生归纳出综合法证明的操作流程图．3．情感、态度与价值观(1)通过综合法的学习，体会数学思维的严密性、抽象性、科学性；(2)通过综合法的学习，养成审慎思维的习惯．重点难点重点：(1)结合已经学过的数学实例理解综合法；(2)了解综合法的思考过程、特点．难点：(1)对综合法的思考过程、特点的概括；(2)运用综合法证明与数列、几何等有关内容．教学过程引入新课证明对我们来说并不陌生，我们在上一节学习的合情推理，所得的结论的正确性就是要证明的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识．提出问题：给出以下问题，让学生思考应该如何证明．请同学们证明：已知a，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.活动设计：学生先独立思考，然后小组讨论，找出以上问题的证明方法，教师巡视指导，并注意与学生交流．活动结果：(学生板书证明过程)证明：因为b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc.又因为c2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc.因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.设计意图引导学生应用不等式证明以上问题，体会综合法证明的思考过程，为引出综合法的定义做准备．探究新知提出问题：请同学们回顾，你证明这道题的思维过程．活动设计：学生自由发言．教师活动：整理学生发言，得到证明上题的思维过程．首先，分析待证不等式的特点：不等式右端是3个数a，b，c乘积的四倍，左端为两项之和，其中每一项都是一个数与另两个数的平方和之积，据此，只要把两个数的平方和转化为这两个数的积的形式，就能使不等式两端出现相同的形式；其次，寻找转化的依据及证明中要用的知识，本题应用不等式x2＋y2≥2xy就能实现转化，不等式的基本性质是证明的依据；最后，给出证明即可．(在总结证明上题思维过程的同时，向学生灌输解决问题先粗后细，先框架，后具体的思想)这样，我们可以把上题的证明过程概括为：从已知条件、不等式x2＋y2≥2xy和不等式的基本性质出发，通过推理得出结论成立．活动结果：综合法定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．设计意图让学生先表达综合法证明的特点，但他们对综合法的内涵和特点表达不一定非常清楚，因此再由老师整理出综合法证明的思维特点来，进而将问题一般化，得到综合法的定义．运用新知例1 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形．思路分析：本题首先把已知条件进行语言转换，即将A ，B ，C 成等差数列转化为2B ＝A ＋C ，a ，b ，c 成等比数列转化为b 2＝ac ，接着把隐含条件显性化，将A ，B ，C 为△ABC 三个内角明确表示为A ＋B ＋C ＝π，然后寻找条件与结论的联系；利用余弦定理可以把边和角联系起来，建立边和角的关系，进而判断三角形的形状．这样，就可以尝试直接从已知条件和余弦定理出发，运用综合法来推导出结论．证明：由A ，B ，C 成等差数列，有2B ＝A ＋C ，①由A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，所以A ＋B ＋C ＝π.②由①②，得B ＝π3，③ 由a ，b ，c 成等比数列，有b 2＝ac ，④ 由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0，从而a ＝c ，所以A ＝C .⑤由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3，所以△ABC 为等边三角形．点评：在证明数学命题时，经常要把已知条件进行语言转换，把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等，还要把命题中的隐含条件显性化，然后寻找条件与结论的联系，最后运用综合法来推导结论．巩固练习设a ＋b >0，n 为偶数，证明b n -1a n ＋a n -1b n ≥1a ＋1b. 证明：b n -1a n ＋a n -1b n －1a －1b ＝(a n －b n )(a n -1－b n -1)(ab )n， (1)当a >0，b >0时，(a n －b n )(a n －1－b n －1)≥0，(ab )n >0，所以(a n －b n )(a n -1－b n -1)(ab )n ≥0，故b n -1a n ＋a n -1b n ≥1a ＋1b. (2)当ab 为负值时，不妨设a >0，b <0，由于a ＋b >0，所以a >|b |.又n 是偶数，所以(a n －b n )(a n －1－b n －1)>0.又(ab )n >0，故(a n －b n )(a n －1－b n －1)(ab )n >0，即b n -1a n ＋a n -1b n >1a ＋1b .综合(1)(2)可知，b n -1a n ＋a n -1b n ≥1a ＋1b成立．理解新知(1)由于综合法证明的特点，我们有时也把这种证明方法叫“顺推证法”或“由因导果法”．(2)框图表示P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q 表示要证明的结论．2.如图，在三棱锥S —ABC 中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，∠BAC ＝90°，O 为BC 中点．证明SO ⊥平面ABC .思路分析：从已有的定义、定理、公理出发，推出要证的结论．证明：由题设AB ＝AC ＝SB ＝SC ＝SA ，连接OA ，△ABC 为等腰直角三角形，所以OA ＝OB ＝OC ＝22SA ，且AO ⊥BC . 又因为△SBC 与△ABC 全等，故有SO ⊥BC ，且SO ＝22SA ，从而OA 2＋SO 2＝SA 2.所以△SOA 为直角三角形，所以SO ⊥AO .又AO ∩BO ＝O ，所以SO ⊥平面ABC .点评：让学生进一步熟悉综合法证明的思维过程与特点，学习综合法证明的规范证明过程，同时熟悉综合法证明的操作流程图．巩固练习已知a ，b ，c ∈R ＋，求证：(a ＋b ＋c )(1a ＋1b ＋c)≥4. 证明：由于a ，b ，c ∈R ＋，则(a ＋b ＋c )(1a ＋1b ＋c )＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝1＋b ＋c a ＋1＋a b ＋c＝2＋(b ＋c a ＋a b ＋c)≥2＋2b ＋c a ·a b ＋c＝4. 变练演编已知x ，y ，z ∈R ，a ，b ，c ∈R ＋，求证：b ＋c a x 2＋c ＋a b y 2＋a ＋b c z 2≥2(xy ＋yz ＋zx )．思路分析：抓住要证明式子的结构特征，合理运用均值不等式，用综合法证明上述不等式．证明：由于x ，y ，z ∈R ，a ，b ，c ∈R ＋，则b ＋c a x 2＋c ＋a b y 2＋a ＋b c z 2＝b a x 2＋c a x 2＋c b y 2＋a b y 2＋a cz 2＋b c z 2＝(b a x 2＋a b y 2)＋(c a x 2＋a c z 2)＋(c b y 2＋b cz 2)≥2xy ＋2xz ＋2yz ＝2(xy ＋xz ＋yz )，所以有b ＋c a x 2＋c ＋a b y 2＋a ＋b cz 2≥2(xy ＋yz ＋zx )．点评：学会结合条件及所证的结论，寻找到解决问题所需的知识，充分体会综合法证明不等式的方法，规范解题步骤．达标检测1．综合法：(1)一般的，利用____________，经过____________最后________，这种证明方法叫做综合法．2．已知a ，b ，c 均大于1，且log a c ·log b c ＝4，则下列各式中，一定正确的是( )A ．ac ≥bB ．ab ≥cC ．bc ≥aD ．ab ≤c【答案】1.已知条件和某些数学定义，公理，定理一系列的推理论证推导出证明的结论成立2.B课堂小结1．综合法证明是证明题中常用的方法．从条件入手，根据公理、定义、定理等推出要证的结论．2．综合法证明题时要注意，要先作语言的转换，如把文字语言转化为符号语言，或把符号语言转化为图形语言等，还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．3．综合法可用于证明与函数、数列、不等式、向量、立体几何、解析几何等有关的问题．基础练习1．△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，且cos A ＝cos C ，求证：△ABC 为等边三角形．证明：由3b ＝23a sin B 3sin B ＝23sin A sin B sin A ＝32A ＝π3或2π3. 由cos A ＝cos C A ＝C ，且A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝C ＝π3＝B .所以△ABC 为等边三角形．拓展练习⇒⇒⇒2．已知函数f (x )＝x 2＋2x＋a ln x (x >0)，f (x )的导函数是f ′(x )．对任意两个不相等的正数x 1、x 2，证明当a ≤0时，f (x 1)＋f (x 2)2>f (x 1＋x 22)．证明：由f (x )＝x 2＋2x＋a ln x ，得f (x 1)＋f (x 2)2＝12(x 21＋x 22)＋(1x 1＋1x 2)＋a 2(ln x 1＋ln x 2) ＝12(x 21＋x 22)＋x 1＋x 2x 1x 2＋a ln x 1x 2. f (x 1＋x 22)＝(x 1＋x 22)2＋4x 1＋x 2＋a ln x 1＋x 22， ∵x 1≠x 2且都为正数，有12(x 21＋x 22)>14[(x 21＋x 22)＋2x 1x 2]＝(x 1＋x 22)2. ① 又(x 1＋x 2)2＝(x 21＋x 22)＋2x 1x 2>4x 1x 2，∴x 1＋x 2x 1x 2>4x 1＋x 2. ② ∵x 1x 2<x 1＋x 22，∴ln x 1x 2<ln x 1＋x 22. ∵a ≤0，∴a ln x 1x 2>a ln x 1＋x 22. ③ 由①、②、③得f (x 1)＋f (x 2)2>f (x 1＋x 22)．设计说明本节通过具体证明实例，使学生了解直接证明的基本方法——综合法，了解综合法的思考过程、特点；培养学生的数学计算能力，分析能力，逻辑推理能力；并能用综合法证明数列、几何等有关内容．本节重点突出学生的自主性，教师主要是点拨思路，与知识升华，在教师所提问题的引导下，学生自主完成探究新知和理解新知的过程，加深对知识的理解和提高证明问题的能力．。

《课程讲解》-2.2.1 综合法和分析法课件(人教A版选修1-2)

做一做 1.以下命题中正确的是( ) A．综合法是执果索因的逆推法 B．综合法是由因导果的顺推法 C．综合法是因果互推的两头凑法 D．综合法就是举反例答案：B
2.要证明 3＋ 7<2 5可选择的方法有以下几
种，其中最合理的是( )
A．综合法
B．分析法
C．类比法
D．归纳法
分析法的思考过程、特点.
Q P1
P1 P2
P2 P3
…
得到一个明显成立的结论
2．2.1 综合法和分析法
新知初探思维启动
综合法和分析法
已知条件
定义
公理
定理
推理论证
要证明充分条件
定义公理
定理
P⇒Q1 → Q1⇒Q2 → Q2⇒Q3 →…→ Qn⇒Q
已知条件定义公理定理所要证明的结论
所以
a+b 2
a b 成立
典题例证技法归纳
题型探究
题型一综合法的应用
例1 已知 x＋y＋z＝m.求证：x2＋y2＋z2≥m32.
【证明】 ∵x＋y＋z＝m， ∴(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2(xy＋yz＋zx)＝m2. 又∵x2＋y2≥2xy，y2＋z2≥2yz，z2＋x2≥2xz. ∴2(x2＋y2＋z2)≥2(xy＋yz＋zx)，即 x2＋y2＋z2≥xy＋yz＋zx， ∴m2＝x2＋y2＋z2＋2(xy＋yz＋zx)≤3(x2＋y2＋z2)． ∴x2＋y2＋z2≥m32.
复习
推理
合情推理
（或然性推理）
演绎推理（必然性推理）
归纳
(特殊到一般）
类比
三段论
（特殊到特殊）（一般到特殊）
演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程.

高中数学选修1-2教案7：2.2.1 综合法和分析法教学设计

2.2.1 综合法和分析法教学目标：1．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；2．通过本节内容的学习了解分析法和综合法的思考过程、特点；3．增强学生的数学应用意识，提高学生数学思维的情趣，给学生成功的体验，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度.教学重点：分析法和综合法的思考过程；教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点．教学过程设计（一）、情景引入，激发兴趣.教师引入合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的.数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明.本节我们将学习两类基本的证明方法：直接证明与间接证明.(二)、探究新知，揭示概念探究一：在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，通过推理推导出所要的结论.例如：已知a ，b >0，求证.教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明.教师最后归结证明方法.学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法证明：因为，所以.因为，所以.因此 .一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种方法叫做综合法.2222()()4a b c b c a abc +++≥222,0b c bc a +≥>22()2a b c abc +≥222,0c a ac b +≥>22()2b c a abc +≥2222()()4a b c b c a abc +++≥探究二：证明数学命题时，还经常从要证的结论 Q 出发，反推回去，寻求保证 Q 成立的条件，即使Q 成立的充分条件P 1，为了证明P 1成立，再去寻求P 1成立的充分条件P 2，为了证明P 2成立，再去寻求P 2成立的充分条件P 3，…… 直到找到一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.例如：基本不等式（a >0，b >0）的证明就用了上述方法. 要证，只需证，只需证，只需证由于显然成立，因此原不等式成立.一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.这种方法叫做分析法.（三）、分析归纳，抽象概括用P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q 表示要证明的结论，则综合法可表示为：综合法的特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法.分析法可表示为：分析法的特点是：执果索因（四）、知识应用，深化理解ab b a ≥+2ab b a ≥+2ab b a 2≥+02≥-+ab b a 0)(2≥-b a 0)(2≥-b a ()()()11223().....n P Q Q Q Q Q Q Q ⇒→⇒→⇒→→⇒()()1121().....()n n n Q P P P P P P P -⇐←⇐←⇐←⇐例1 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为，且A ，B ，C 成等差数列，成等比数列，求证△ABC 为等边三角形.分析：将 A ， B ， C 成等差数列，转化为符号语言就是2B =A + C ； A ， B ， C 为△ABC 的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A + B + C =π； a ， b ，c 成等比数列，转化为符号语言就是．此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求．于是，可以用余弦定理为工具进行证明．证明：由 A ， B ， C 成等差数列，有 2B =A + C ． ①因为A ，B ，C 为△ABC 的内角，所以 A + B + C =π． ②由①② ，得 B =π3． ③由a ， b ，c 成等比数列，有． ④由余弦定理及③，可得．再由④，得．即，因此．从而 A =C ．由②③⑤，得A =B =C =π3．所以△ABC 为等边三角形．注：解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．例2 求证.分析：从待证不等式不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证不等式出发，分析其成立的充分条件. 证明：因为都是正数，所以为了证明 ,,a b c ,,a b c 2b ac =2b ac =222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-22a c ac ac +-=2()0a c -=a c =5273<+5273和+，只需明，展开得，只需证，因为成立，所以成立.在本例中，如果我们从“21〈25”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论.但由于我们很难想到从“21<25”入手，所以用综合法比较困难.事实上，在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ‘；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论 P ‘．若由P ‘可以推出Q ‘成立，就可以证明结论成立．下面来看一个例子．例4 已知，且①②求证：. 分析：比较已知条件和结论，发现结论中没有出现角，因此第一步工作可以从已知条件中消去.观察已知条件的结构特点，发现其中蕴含数量关系，于是，由 ①2一2×② 得．把与结论相比较，发现角相同，但函数名称不同，于是尝试转化结论：统一函数名称，即把正切函数化为正（余）弦函数．把结论转化为5273<+22)52()73(<+2021210<+521<2521<22)52()73(<+,()2k k Z παβπ≠+∈sin cos 2sin θθα+=2sin cos sin θθβ=22221tan 1tan 1tan 2(1tan )αβαβ--=++θθ2(sin cos )2sin cos 1θθθθ+-=224sin 2sin 1αβ-=224sin 2sin 1αβ-=，再与比较，发现只要把中的角的余弦转化为正弦，就能达到目的．证明：因为，所以将 ① ② 代入，可得 . ③另一方面，要证，即证，即证，即证，即证 .由于上式与③相同，于是问题得证.课堂练习：1.课本练习1、2、3.（五）、归纳小结、布置作业综合法和分析法的特点布置作业：课本1、2、3. 22221s sin (s sin )2co co ααββ-=-224sin 2sin 1αβ-=22221s sin (s sin )2co co ααββ-=-2(sin cos )2sin cos 1θθθθ+-=224sin 2sin 1αβ-=22221tan 1tan 1tan 2(1tan )αβαβ--=++22222222sin sin 11cos cos sin sin 12(1)cos cos βαβααβαβ--=++22221s sin (s sin )2co co ααββ-=-22112sin (12sin )2αβ-=-224sin 2sin 1αβ-=。

原创2：2.2.1　综合法和分析法

;25”出发，逐步倒推回去，
就可以用综合法证出结论.但由于我们很难想到从“21<25”
入手，所以用综合法比较困难.
9
练习
求证： + < +
证法一：为了证明
因为
所以只需证明

2
7
2
7和 3
( 2
3
6
成立
6都是正数,
7 ) 2 ( 3 6 ) 2 成立
只需证
+ − ≥
只需证
因为
所以
−
−
+

≥
≥ 成立
≥ 成立
思考：上述两种证法有什么异同？
相同
不同
都是直接证明
证法1 从已知条件出发,以已知的定义、公理、定理为依据,逐步下推，直
到推出要证明的结论为止
综合法
证法2 从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使
公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法。其特点是：执果索因，即要证结果Q，只
需证条件P.
类似于综合法，我们也可以用框图来表示分析法。
用表示使所要证明结论成立的充分条件，Q表示所要证明的结论.则分析法的思路过程，
特点用框图表示为:
Q P1
P1 P2
P2 P3
…
得到一个明显成立的
结论
注意：证明最后面的明显成立的条件可以是：
18
( k z ), 且
2
sin cos 2 sin ,
sin cos sin 2
1 tan 2
1 tan 2
求证：
＝
2

【高中数学选修2-2】2.2.1综合法和分析法

(a m)b a(b m)
am a bm b
即证即 ab bm ab am
即 bm am 即证
即证 b a
因为b a 成立，
am a 所以成立 bm b
综合法与分析法的综合使用：例3.已知， k k Z , 且 sin cos 2 sin ① 2 2 2 1 tan 1 tan 2 sin cos sin ② 求证： 2 1 tan 2 1 tan2 sin cos 2 2 sin cos 1 证明：因为 1 2 2 2 2
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫做分析法（逆推证法）
用Q表示要证明的结论，分析法可用框图表示为：
Q P1 P1 P2 P2 P3
…
一个明显成立的结论
分析法关键特征:“执果索因”
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫做分析法（逆推证法）
分析法证明不等式有严格的书写格式：
或 ”表示， ①可用逻辑关系符号“
②也可用“要想证…只需证…即证…即证…”
一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法(顺推证法) 用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.
则综合法可用框图表示为: Q1 Q 2 P Q1 Q2 Q3

高中数学 2.2.1 第2课时综合法和分析法教案选修1-2

第2课时分析法及其应用(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能结合学过的数学实例，了解直接证明的基本方法：分析法．了解分析法的思维过程、特点．2．过程与方法会用分析法证明数学问题，培养学生的分析问题、解决问题的能力，提高学生思维能力．3．情感、态度与价值观通过学生参与，激发其学习数学的兴趣，端正严谨治学的态度，提高逆向思维的论证能力．●重点难点重点：掌握分析法的思维过程、特点及其解题步骤，会用分析法证明数学问题．难点：根据问题的特点，结合分析法的思考过程、特点，应用分析法证明较复杂的数学问题．分析法是从结论到条件的逻辑推理方法，即从题目结论入手索证结论成立的充分条件，经过一系列的中间推理索证，最后要把证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，所以对结论变形、转化是问题解决的关键，也是问题的突破点，应该重点讲解．(教师用书独具)●教学建议建议本节课采取探究式教学方法，教师主要作用在“引导”“点拨”，让学生自主思考分析法的证明特点，掌握分析法的证明格式与解题步骤，对于不同类型的问题如何思考、如何进行逆向推理，教师应给出必要的指导．另外应注意引导学生学会由结论去索证问题成立的充分条件，从结论入手并不是说证明就不需要已知条件，而是证明过程要时时处处关注已知，将证明引向已知或明显成立的式子是证明的关键．证明过程每一步都需可逆．在解答每一个例证前，最好先引导学生分析出思维路线图，然后再由学生给出证明．●教学流程创设问题情境，引出问题，引导学生认识直接证明的方法之一——分析法．让学生自主完成填一填，使学生进一步了解分析法的证明格式、步骤等．引导学生分析例题1中所证结论的转化条件及转化方向，师生共同探究逆向推理思路，学生自主完成证明过程，教师指导完善，并完成互动探究．学生分组探究例题2的证明思路，总结分析法证明数列问题的规律方法．完成变式训练中三角恒等问题的证明．完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法．并进行反馈矫正．归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．学生自主完成例题3，总结分析法综合法相结合综合应用的特点．并仿照例题3完成变式训练．让学生自主分析例题3，老师适当点拨解题思路，学生分组讨论给出解法．老师组织解法展示，引导学生总结解题规律．课标解读1.了解分析法证明数学问题的格式、步骤．(重点)2.理解分析法的思考过程、特点，会用分析法证明较复杂的数学问题．(难点)分析法【问题导思】证明不等式：3＋22<2＋7成立，可用下面的方法进行．证明：要证明3＋22<2＋7，由于3＋22>0,2＋7>0，只需证明(3＋22)2<(2＋7)2.展开得11＋46<11＋47，只需证明6<7，显然6<7成立．∴3＋22<2＋7成立．1．本题证明从哪里开始？【提示】从结论开始．2．证题思路是什么？【提示】寻求每一步成立的充分条件．1．分析法的定义从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，这种证明方法叫做分析法．2．分析法的框图表示Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件应用分析法证明不等式设a，b为实数，求证：a2＋b2≥22(a＋b)．【思路探究】分析：讨论a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立的条件，分a ＋b ≥0和a ＋b <0两种情况．【自主解答】若a ＋b <0，a 2＋b 2≥22(a ＋b )显然成立．若a ＋b ≥0，要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立，只需证a 2＋b 2≥12(a ＋b )2成立，即证a 2＋b 2≥12(a 2＋2ab ＋b 2)成立，即证12(a 2－2ab ＋b 2)≥0，即12(a －b )2≥0成立，因为12(a －b )2≥0成立，且以上每步都可逆．所以a ＋b ≥0时，a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立，综上可知：a ，b 为实数时，a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 1．分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论．2．用分析法证明不等式是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．3．用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好反推符号“⇐”或“要证明”、“只需证明”、“即证明”等词语．已知a >0，b >0，证明不等式a 2b ＋b 2a ≥a ＋b .【证明】要证a 2b ＋b 2a≥a ＋b ，只需证a 3＋b 3≥a 2b ＋b 2a ，只需证a 3＋b 3－a 2b －b 2a ≥0，即证(a －b )2(a ＋b )≥0.又a ＞0，b ＞0，(a －b )2(a ＋b )≥0显然成立．因此，原不等式成立.用分析法证明其他问题在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝12a n ＋12n ＋1，设b n ＝2na n ，证明：数列{b n }是等差数列．【思路探究】分析{b n }成为等差数列的条件是否成立．【自主解答】要证{b n }为等差数列，只要证b n ＋1－b n ＝d (常数)(n ≥1)，即证2n ＋1a n ＋1－2n a n 为常数．即证2n ＋1(12a n ＋12n ＋1)－2na n 为常数，而2na n ＋1－2na n ＝1为常数成立． ∴{b n }是等差数列．1．利用分析法证明时，在叙述过程中“要证”“只需证”“即要证”这些词语必不可少，否则会出现错误．2．逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解．已知α，β≠k π＋π2(k ∈Z )，且sin θ＋cos θ＝2sin α，sin θ·cos θ＝sin 2β，求证：1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β21＋tan 2β. 【证明】 1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β21＋tan 2β⇐1－sin 2αcos 2α1＋sin 2αcos 2α＝1－sin 2βcos 2β21＋sin 2βcos 2β ⇐cos 2α－sin 2α＝cos 2β－sin 2β2⇐2(1－2sin 2α)＝1－2sin 2β ⇐4sin 2α－2sin 2β＝1，由已知得：4sin 2α＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θcos θ，＝1＋2sin θcos θ， 2sin 2β＝2sin θcos θ， ∴4sin 2α－2sin 2β＝1成立， ∴1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β21＋tan 2β成立.综合法和分析法的综合应用已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 为等差数列，且a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．求证：(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.【思路探究】利用分析法得出c 2＋a 2＝b 2＋ac ，再利用综合法证明其成立．【自主解答】要证(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1，即证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c，只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋cb ＋c＝3. 化简，得c a ＋b ＋ab ＋c＝1，即c (b ＋c )＋(a ＋b )a ＝(a ＋b )(b ＋c )，所以只需证c 2＋a 2＝b 2＋ac .因为△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，所以B ＝60°，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，即a 2＋c 2－b 2＝ac 成立．∴(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1成立．1．综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路． 2．在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用．已知a 、b 、c 是不全相等的正数，且0＜x ＜1. 求证：log xa ＋b2＋log xb ＋c2＋log xa ＋c2＜log x a ＋log x b ＋log x c . 【证明】要证明log x a ＋b2＋log x b ＋c 2＋log xa ＋c2＜log x a ＋log x b ＋log x c ，只需要证明log x (a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2)＜log x (abc )．由已知0＜x ＜1，只需证明a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2＞abc .由公式a ＋b2≥ab ＞0，b ＋c2≥bc ＞0，a ＋c2≥ac ＞0.又∵a ，b ，c 是不全相等的正数， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2＞a 2b 2c 2＝abc . 即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2＞abc 成立．∴log xa ＋b2＋log xb ＋c2＋log xa ＋c2＜log x a ＋log x b ＋log x c 成立.因逻辑混乱而出错设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，若tan αtan β＝16，求证：a ∥b .【错解】 ∵a ∥b ，且a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)， ∴(4cos α)·(4cos β)＝sin αsin β，即sin αsin β＝16cos αcos β， ∴sin αcos α·sin βcos β＝16， ∴tan αtan β＝16，即结论正确．【错因分析】以上证明混淆了已知和结论，把头脑中的分析过程当成了证明过程，如果按分析法书写就正确了；当然，本题用综合法书写证明过程更简洁．【防范措施】分析法的优点是方向明确，思路自然，故利于思考，但表述易错；综合法的优点是易于表达，条理清晰，形式简捷，故我们一般用分析法寻求解题思路，用综合法书写解题过程．【正解】分析法：要证明a ∥b ，而a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)， ∴即要证明(4cos α)·(4cos β)＝sin αsin β，即要证sin αsin β＝16cos αcos β，即要证sin αcos α·sin βcos β＝16，即要证tan αtan β＝16，而tan αtan β＝16已知，所以结论正确．综合法：∵tan αtan β＝16，∴sin αcos α·sin βcos β＝16，即sin αsin β＝16cos αcos β， ∴(4cos α)·(4cos β)＝sin αsin β，即a ＝(4cos α，sin α)与b ＝(sin β，4cos β)共线， ∴a ∥b .1．综合法的特点是：从已知看可知，逐步推出未知． 2．分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知．3．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．1．直接证明中最基本的两种证明方法是( )A ．类比法和归纳法B ．综合法和分析法C ．比较法和二分法D ．换元法和配方法【解析】根据综合法和分析法的定义可知，二者均为直接证明方法．【答案】 B2．欲证2－3＜6－7，只需要证( ) A ．(2－3)2＜(6－7)2B ．(2－6)2＜(3－7)2C ．(2＋7)2＜(3＋6)2D ．(2－3－6)2＜(－7)2【解析】 ∵2－3＜0，6－7＜0， ∴要证2－3＜6－7，只需证 2＋7＜3＋6，即证(2＋7)2＜(3＋6)2. 【答案】 C3．在证明命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ”的过程“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ＋sin 2θ)(cos 2θ－sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ”中应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．分析法和综合法综合使用D ．间接证法【解析】符合综合法的证明思路．【答案】 B4．已知a >b >0，试用分析证明a 2－b 2a 2＋b 2>a －ba ＋b.【证明】要证明a 2－b 2a 2＋b 2＞a －ba ＋b(由a ＞b ＞0，得a －b ＞0)．只需证(a 2－b 2)(a ＋b )＞(a 2＋b 2)(a －b )，只需证(a ＋b )2＞a 2＋b 2，即2ab ＞0，因为a ＞b ＞0，所以2ab ＞0显然成立．因此当a ＞b ＞0时，a 2－b 2a 2＋b 2＞a －ba ＋b成立.一、选择题 1．下列表述：①综合法是由因导果法； ②综合法是顺推法； ③分析法是执果索因法； ④分析法是间接证明法； ⑤分析法是逆推法．其中正确的语句有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【解析】结合综合法和分析法的定义可知①②③⑤均正确，分析法和综合法均为直接证明法，故④不正确．【答案】 C2．要证明a ＋a ＋7＜a ＋3＋a ＋4(a ≥0)可选择的方法有多种，其中最合理的是( )A ．综合法B ．类比法C ．分析法D ．归纳法【解析】要证a ＋a ＋7＜a ＋3＋a ＋4，只需证2a ＋7＋2a a ＋7＜2a ＋7＋2a ＋3a ＋4，只需证a a ＋7＜a ＋3a ＋4，只需证a (a ＋7)＜(a ＋3)(a ＋4)，只需证0＜12，故选用分析法最合理．【答案】 C 3．已知f (x )＝a 2x ＋1－22x＋1是奇函数，那么实数a 的值等于( )A ．1B ．－1C ．0D ．±1【解析】当a ＝1时，f (x )＝2x－12x ＋1，f (－x )＝1－2x2x ＋1＝－f (x )，f (x )为奇函数．a ＝－1,0时得不出f (x )为奇函数，故A 正确．【答案】 A4．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)【解析】若满足题目中的条件，则f (x )在(0，＋∞)上为减函数，在A 、B 、C 、D 四选项中，由基本函数性质知，A 是减函数，故选A.【答案】 A5．对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．[－2,2] C ．[－2，＋∞)D ．[0，＋∞)【解析】用分离参数法可得a ≥－(|x |＋1|x |)(x ≠0)，而|x |＋1|x |≥2，∴a ≥－2，当x ＝0时原不等式显然成立．【答案】 C 二、填空题6．设A ＝12a ＋12b ，B ＝2a ＋b(a >0，b >0)，则A 、B 的大小关系为________．【解析】 A －B ＝a ＋b 2ab －2a ＋b ＝a ＋b 2－4ab2ab a ＋b≥0.【答案】 A ≥B7．若抛物线y ＝4x 2上的点P 到直线y ＝4x －5的距离最短，则点P 的坐标为________．【解析】数形结合知，曲线y ＝4x 2在点P 处的切线l 与直线y ＝4x －5平行．设l ：y ＝4x ＋b .将y ＝4x ＋b 代入y ＝4x 2，得4x 2－4x －b ＝0，令Δ＝0，得b ＝－1. ∴4x 2－4x ＋1＝0， ∴x ＝12，∴y ＝1.【答案】 (12，1)8．补足下面用分析法证明基本不等式a 2＋b 22≥ab 的步骤：要证明a 2＋b 22≥ab ，只需证明a 2＋b 2≥2ab ，只需证____________，只需证____________．由于____________显然成立，因此原不等式成立．【解析】要证明a 2＋b 22≥ab ，只需证明a 2＋b 2≥2ab ，只需证a 2＋b 2－2ab ≥0，只需证(a－b)2≥0，由于(a－b)2≥0显然成立，因此原不等式成立．【答案】a2＋b2－2ab≥0(a－b)2≥0(a－b)2≥0三、解答题9．如图2－2－3所示，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，BC的中点，EF∩BD ＝G.图2－2－3求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1.【证明】要证明平面B1EF⊥面BDD1B1，只需证面B1EF内有一线垂直于面BDD1B1，即EF ⊥面BDD1B1.要证EF⊥面BDD1B1，只需证EF垂直平面BDD1B1内两条相交直线即可，即证EF⊥BD，EF⊥B1G.而EF∥AC，AC⊥BD，故EF⊥BD成立．故只需证EF⊥B1G即可．又∵△B1EF为等腰三角形，EF的中点为G，∴B1G⊥EF成立．∴EF⊥面BDD1B1成立，从而问题得证．10．设a，b>0，且a≠b，用分析法证明：a3＋b3>a2b＋ab2.【证明】要证a3＋b3>a2b＋ab2成立．只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)成立，又因a＋b>0，只需证a2－ab＋b2>ab成立，只需证a2－2ab＋b2>0成立，即证(a－b)2>0成立．而依题设a≠b，则(a－b)2>0显然成立．由此命题得证．11．已知a >0，b >0，用两种方法证明：a b ＋b a ≥a ＋b . 【证明】法一 (综合法)：因为a >0，b >0，所以a b ＋b a－a －b ＝(a b －b )＋(b a －a ) ＝a －b b ＋b －a a ＝(a －b )(1b －1a) ＝a ＋b a －b 2ba 所以a b ＋b a ≥a ＋b . 法二 (分析法)：要证a b ＋b a≥a ＋b ，只需证a a ＋b b ≥a b ＋b a ，即证(a －b )(a －b )≥0，因为a >0，b >0，a －b 与a －b 同号，所以(a －b )(a －b )≥0成立，所以a b ＋b a≥a ＋b 成立. (教师用书独具)已知函数f (x )＝lg(1x －1)，x ∈(0，12)，若x 1，x 2∈(0，12)，且x 1≠x 2. 求证：12[f (x 1)＋f (x 2)]＞f (x 1＋x 22)．【思路探究】用分析法，逆推所证不等式成立的充分条件．【自主解答】要证12[f (x 1)＋f (x 2)]＞f (x 1＋x 22)，只需证lg(1x 1－1)＋lg(1x 2－1)＞2lg(2x 1＋x 2－1)，只需证(1x 1－1)(1x 2－1)＞(2x 1＋x 2－1)2. ∵(1x 1－1)(1x 2－1)－(2x 1＋x 2－1)2 ＝x 1－x 221－x 1－x 2x 1x 2x 1＋x 22. 由于x 1，x 2∈(0，12)，且x 1≠x 2， ∴x 1－x 221－x 1－x 2x 1x 2x 1＋x 22＞0，即(1x 1－1)(1x 2－1)＞(2x 1＋x 2－1)2， ∴12[f (x 1)＋f (x 2)]＞f (x 1＋x 22)．本题依托对数函数，考查分析法的应用，对对数函数的性质要会灵活运用．已知非零向量a ，b 且a ⊥b ，求证：|a |＋|b ||a －b |≤ 2. 【证明】要证|a |＋|b ||a －b |≤2，只要证|a |＋|b |≤2|a －b |，即证|a |2＋|b |2＋2|a ||b |≤2|a 2－2a ·b ＋b 2|.①∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，∴①⇔|a |2＋|b |2＋2|a ||b |≤2|a |2＋2|b |2⇔(|a |－|b |)2≥0成立， ∴原不等式成立．。

教学设计8：2.2.1　综合法和分析法

2.2.1综合法和分析法教材分析《直接证明与间接证明》是在学习了推理方法的基础上学习的，研究的是如何正确利用演绎推理来证明问题．本节课是《直接证明与间接证明》的第一节，主要介绍了两种证明方法的定义和逻辑特点，并引导学生比较两种证明方法的优点，进而灵活选择证明方法，规范证明步骤．本节课的学习需要学生具有一定的认知基础，应尽量选择学生熟悉的例子．教学目标1．知识与技能目标(1)了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法．(2)了解分析法和综合法的思维过程和特点．2．过程与方法目标(1)通过对实例的分析、归纳与总结，增强学生的理性思维能力．(2)通过实际演练，使学生体会证明的必要性，并增强他们分析问题、解决问题的能力．3．情感、态度及价值观通过本节课的学习，了解直接证明的两种基本方法，感受逻辑证明在数学及日常生活中的作用，养成言之有理、论之有据的好习惯，提高学生的思维能力．重点难点重点：分析法和综合法的思维过程及特点．难点：分析法和综合法的应用．教学过程创设情境、引入新课提出问题1：前面我们学习了两种重要的推理方法，请同学们回忆，我们学习了什么推理方法，它们各自的特点和作用各是什么？活动设计：学生思考并举手回答，教师提问．活动成果：前面已经学习了合情推理和演绎推理．合情推理是提出新问题、获得新知识的主要推理方式，特点是结论不一定可靠；演绎推理是证明结论的主要推理方式，特点是只要大前提正确，推理形式正确，结论一定正确．提出问题2：使用演绎推理证明，怎样才能保证推理形式正确？活动设计：设问引出将要学习的内容是证明方法．提出问题3：我们先来看看我们已经证明过的两个问题，试找出证明过程的差异．1．在正方体ABCD—A′B′C′D′中，求证：A′C⊥BD.证明：连接AC.∵ABCD—A′B′C′D′是正方体，∴AA′⊥平面ABCD.又∵BD⊂平面ABCD，∴AA′⊥BD.又∵AC⊥BD，AA′∩AC＝A，∴BD⊥平面A′AC.又∵A′C⊂平面A′AC，∴A′C⊥BD.2．已知直线a，和直线外一点A，求证：过点A有且只有一条直线平行于a.证明：假设过点A有两条不同的直线AB、AC都平行于直线a，即AB∥a，AC∥a，由平行公理可得AB∥AC，这与AB∩AC＝A矛盾，∴过点A有且只有一条直线平行于a.活动设计：学生先独立思考，后合作交流，然后请学生回答．活动成果：第一个是直接证明结论，第二个是先假设结论不成立，得出矛盾．从而引出单元标题《直接证明与间接证明》．探究新知提出问题1：再来看第一个小题，试总结证明过程的特点．活动设计：先独立思考，再小组交流，然后请学生回答．活动成果：证明过程是从原因推导到结果．提出问题2：我们把这种证明方法叫做综合法，请同学们试给综合法下个较为准确的定义．活动设计：请几个同学总结补充，最后教师总结给出定义．活动成果：从原因推导到结果的思维方法叫综合法(又叫顺推法)．提出问题3：如果条件用P来表示，结论用Q来表示，请同学们试把综合法的证明过程用符号语言表示出来．活动设计：先独立思考，再小组交流，然后请学生回答．活动成果：用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：提出问题4：你能用更简练的语言概括综合法的特点吗？活动设计：请几个同学总结补充，最后教师总结给出特点．活动成果：综合法的特点：由因导果．理解新知1已知a>0，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(a2＋c2)≥4abc.活动设计：学生到黑板板演．活动成果：证明：∵b2＋c2≥2bc，a>0，∴a(b2＋c2)≥2abc.又∵c2＋a2≥2ac，b>0，∴b(c2＋a2)≥2abc.因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.提出问题：这是用的什么证明方法？活动设计：提问．活动成果：综合法．加深学生对综合法的理解．探究新知2求证：3＋7<2 5.活动设计：找两个学生到黑板板演．活动成果：证明：因为3＋7和25都是正数，所以要证3＋7<25，只需证(3＋7)2<(25)2，只需证10＋221<20，只需证21<5，只需证21<25，而21<25显然成立，所以3＋7<2 5.提出问题1：这种证明方法是综合法吗？你能总结出这种证明方法的证明过程的特点吗？活动设计：先独立思考，再小组交流，然后请学生回答．活动成果：不是综合法．是从结论入手逐步寻找到一个明显成立的条件的证明过程，我们把它称为分析法．提出问题2：请试着给分析法下个准确的定义．活动设计：请几个同学总结补充，最后教师总结给出定义．活动成果：一般地，从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．提出问题3：如果条件用P来表示，结论用Q来表示，请同学们试把分析法的证明过程用符号语言表示出来．活动设计：先独立思考，再小组交流，然后请学生回答．提出问题4：你能用更简练的语言概括分析法的特点吗？活动设计：请几个同学总结补充，最后教师总结给出特点．活动成果：分析法的特点：执果索因．理解新知提出问题：请对综合法与分析法进行比较，说出它们各自的特点．活动设计：请几个同学总结补充，最后教师总结给出特点．活动成果：综合法“由因导果”，宜于表达；分析法“执果索因”，利于思考．应用新知1．已知函数f(x)＝x3，x∈(1，＋∞)，求证：f(x)在(1，＋∞)上是增函数．证明：∵f′(x)＝3x2，x∈(1，＋∞)，∴f′(x)>0.∴f(x)在x∈(1，＋∞)上是增函数．提出问题1：这是使用的什么证明方法？活动设计：集体回答．活动成果：综合法．2．求证：a－a－1<a－2－a－3 (a≥3)．证明：要证a－a－1<a－2－a－3，只需证a＋a－3<a－2＋a－1，只需证(a＋a－3)2<(a－2＋a－1)2，只需证2a－3＋2a2－3a<2a－3＋2a2－3a＋2，只需证a2－3a<a2－3a＋2，只需证0<2，而0<2显然成立，所以a－a－1<a－2－a－3(a≥3)．提出问题2：这是使用的什么证明方法？还有别的方法吗？活动设计：先独立思考，后小组交流．活动成果：证明：∵a ＋a －1>a －2＋a －3， ∴1a ＋a －1<1a －2＋a －3， ∴a －a －1<a －2－a －3.提出问题3：你得到什么启示？活动设计：请几个同学总结，教师补充．活动成果：1.证明时，既可以使用综合法也可以使用分析法．2．将分析法的过程倒过来就是综合法．拓展提高已知1－tan α2＋tan α＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)．活动设计：先独立思考，后小组讨论．活动成果：证明：要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)，只需证cos α－sin αcos α＋sin α＝3，只需证1－tan α1＋tan α＝3，只需证1－tan α＝3(1＋tan α)，只需证tan α＝－12， ∵1－tan α2＋tan α＝1，∴1－tan α＝2＋tan α，即2tan α＝－1. ∴tan α＝－12显然成立，∴结论得证．提出问题：从证明过程中，你得到什么启示？活动设计：请几个同学总结，教师补充．活动成果：在证明过程中，分析法和综合法可以综合使用．。

2.2.1综合法与分析法

b(a 2 b2 ) 2abc, c(a2 b2 ) 2abc 因为a,b, c是不全相等的正数，故上述三式不能同时取得号。
a(b2 c2 ) b(a2 c2 ) c(b2 a2 ) 6abc
例1:如图,△ABC在平面α外,
AB P, BC Q, AC R.
分析：由已知条件和结论我们联想到数量
积定义和三解形的面积公式：
S 1 ab sin C 2
利用sin C 1 c os2 C
由数量积定义和上公式结合结论探求证明思路
证明：因为SABC

1 2
a
b sin C，cosC

a.b ab
所以S
2 ABC

1
a 2 b 2 s in 2 C
求证:P,Q,R三点共线.
A
Q
B C
P R
• 分析：立体几何中证明三点共线或三线共点一般
要用公理2。公理2的内容是什么?
• 此题要证明三点共线，需要说明这三点均在一个
平面上，则这三点一定在交线上。
证明： AB P，BC Q，AC R
P，Q，R
（1）
P AB，Q BC，R AC.
2.2 直接证明与间接证明
推理
合情推理
演绎推理
归纳
类比
三段论
(特殊到一般）（特殊到特殊）（一般到特殊）
合情推理所得结论的正确性是需要证明的，数学结论的正确性必须通过逻辑推理加以证明.
数学中常用的证明方法有哪些呢？
证明的方法
直接证明
综合法分析法
间接证明（反证法）
2.2.1 综合法和分析法

教学设计8：2.2.1 综合法与分析法

2.2.1 综合法与分析法教学目标1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．知识链接1．综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？答综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．2．基本不等式a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)是怎样证明的？答要证a ＋b 2≥ab ，只需证a ＋b ≥2ab ，只需证a ＋b －2ab ≥0，只需证(a －b )2≥0，因为(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立．教学导引1．直接证明从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性．常用的直接证明方法有综合法和分析法．2．综合法(1)定义：一般地，从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论，这种证明方法叫做综合法．(2)框图表示：用P 表示已知条件，已有的定义、公理、定理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为： P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q3．分析法(1)定义：从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实，这种证明方法叫做分析法．(2)框图表示：用Q 表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→得到一个明显成立的条件课堂讲义要点一综合法的应用例1 已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b≥4. 证明方法一 ∵a ，b 是正数且a ＋b ＝1，∴a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤12，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab≥4. 方法二 ∵a ，b 是正数，∴a ＋b ≥2ab >0，1a ＋1b ≥2 1ab>0， ∴(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4.又a ＋b ＝1，∴1a ＋1b≥4. 方法三 1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝1＋b a ＋a b＋1≥2＋2b a ·a b＝4.当且仅当a ＝b 时，取“＝”号．规律方法利用综合法证明问题的步骤：(1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．(2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．(3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结优化解法．跟踪演练1 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形．证明由A 、B 、C 成等差数列，有2B ＝A ＋C .①因为A 、B 、C 为△ABC 的内角，所以A ＋B ＋C ＝π.②由①②，得B ＝π3.③ 由a 、b 、c 成等比数列，有b 2＝ac .④由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac .再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0，因此a ＝c ，从而有A ＝C .⑤由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3.所以△ABC 为等边三角形．要点二分析法的应用例2 设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b )．证明当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0，∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立．当a ＋b >0时，用分析法证明如下：要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )，只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎡⎦⎤22(a ＋b )2，即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab . ∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立，∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立．综上所述，不等式得证．规律方法分析法格式与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的．它的常见书写表达式是“要证……只需……”或“⇐”．跟踪演练2 如图所示，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，过A 作SB 的垂线，垂足为E ，过E 作SC 的垂线，垂足为F .求证：AF ⊥SC .证明要证AF ⊥SC ，只需证SC ⊥平面AEF ，只需证AE ⊥SC (因为EF ⊥SC )，只需证AE ⊥平面SBC ，只需证AE ⊥BC (因为AE ⊥SB )，只需证BC ⊥平面SAB ，只需证BC ⊥SA (因为AB ⊥BC )．由SA ⊥平面ABC 可知上式成立，所以AF ⊥SC .要点三综合法和分析法的综合应用例3 已知a 、b 、c 是不全相等的正数，且0<x <1.求证：log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c . 证明要证明：log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c ，只需要证明log x ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2<log x (abc )．由已知0<x <1，只需证明a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>abc . 又∵a ，b ，c 是不全相等的正数，∴a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，a ＋c 2≥ac >0， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>a 2b 2c 2＝abc . 即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>abc 成立． ∴log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c 成立．规律方法综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P ；若由P 可推出Q ，即可得证．跟踪演练3 设实数a ，b ，c 成等比数列，非零实数x ，y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，试证：a x ＋c y＝2. 证明由已知条件得b 2＝ac ，①2x ＝a ＋b,2y ＝b ＋c .②要证a x ＋c y＝2，只要证ay ＋cx ＝2xy ，只要证2ay ＋2cx ＝4xy .由①②得2ay ＋2cx ＝a (b ＋c )＋c (a ＋b )＝ab ＋2ac ＋bc ，4xy ＝(a ＋b )(b ＋c )＝ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝ab ＋2ac ＋bc ，所以2ay ＋2cx ＝4xy .命题得证.当堂检测1．已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( )A ．x <x ＋y 2<y <2xy B ．2xy <x <x ＋y 2<y C ．x <x ＋y 2<2xy <y D ．x <2xy <x ＋y 2<y 【答案】D【解析】∵y >x >0，且x ＋y ＝1，∴设y ＝34，x ＝14，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38，∴x <2xy <x ＋y 2<y ，故选D.2．欲证2－3<6－7成立，只需证( )A ．(2－3)2<(6－7)2B ．(2－6)2<(3－7)2C ．(2＋7)2<(3＋6)2D ．(2－3－6)2<(－7)2【答案】C【解析】根据不等式性质，a >b >0时，才有a 2>b 2， ∴只需证：2＋7<6＋3，只需证：(2＋7)2<(3＋6)2.3．求证：1log 519＋2log 319＋3log 219<2. 证明因为1log b a＝log a b ，所以左边＝log 195＋2log 193＋3log 192＝log 195＋lo g 1932＋log 1923＝log 19(5×32×23)＝log 19360.因为log 19360<log 19361＝2，所以1log 519＋2log 319＋3log 219<2. 4．已知1－tan α2＋tan α＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)．证明要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)，只需证cos α－sin αcos α＋sin α＝3，只需证1－tan α1＋tan α＝3，只需证1－tan α＝3(1＋tan α)，只需证tan α＝－12， ∵1－tan α2＋tan α＝1，∴1－tan α＝2＋tan α，即2tan α＝－1.∴tan α＝－12显然成立，∴结论得证．。

课件4：2.2.1 综合法和分析法

C.1a＋1b＋1c≥2 3 D．abc(a＋b＋c)≤13
[答案] B
[解析] 因为a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc，将三式相加得2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2ac＋2bc，
即a2＋b2＋c2≥1 又因为(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋ 2ac＋2bc 所以(a＋b＋c)2≥1＋2×1＝3，B成立．故应选B.
只需证 (a＋1)(a－2)< a(a－1)，只需证(a＋1)(a－2)<a(a－1)，即证－2<0，而－2<0 显然成立，所以 a＋1－ a< a－1－ a－2成立.
[例3] △ABC的三个内角A、B、C成等差数列，A、B、C的对边分别为a、b、c.
求证：a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c.
c2a＋c2b)＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)． ∴a3＋b3＋c3≥13(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．
已知 a、b、c∈R＋且 a＋b＋c＝1，
求证：1a－1·1b－1·1c－1≥8.
[证明] ∵1a－11b－11c－1 ＝(b＋c)(aa＋bcc)(a＋b)
≥2
bc·2 ac·2 abc
＝lg2(n＋lg1n)－lg(lng＋n·l1g)(n＋2)
∵n(n＋2)<(n＋1)2 ∴lg[n(n＋2)]<lg(n＋1)2 ∵lgnlg(n＋2)<lgn＋lg2(n＋2)2 ＝lgn(n2＋2)2<lg(n＋2 1)22＝lg2(n＋1) ∴logn(n＋1)－logn＋1(n＋2)>0 ∴logn(n＋1)>logn＋1(n＋2)．
已知 a，b 是不等正数，且 a3－b3＝a2－b2，求证：1<a ＋b<43.

课件4：2.2.1 综合法与分析法

例2．如图，设四面体PABC中,
P
∠ABC=90°，PA=PB=PC，D
是AC的中点，求证：PD垂直于 A
D C
△ABC所在的平面。
B
证明：连接PD，BD，因为BD是Rt△ABC 斜边上的中线，所以 DA=DB=DC，又因为 PA=PB=PC，而PD是△PDA、△PBD、△PCD的公共边, 所以△PDA≌△PBD≌△PCD，
（3）由三个三角形全等，推出∠PDA= ∠PDB=∠PDC=90°,记为P2P3; （4）由∠PDA=∠PDB=∠PDC=90°,推出 PD垂直于△ABC所在的平面，记为P3 P4(结论)；
这个证明步骤用符号表示就是 P0(已知)P1P2P3P4(结论).
二．分析法例3．求证： 3 7 2 5
于是∠PDA=∠PDB=∠PDC，而∠PDA=∠PDC=90°，可见PD⊥AC，PD⊥BD，由此可知，PD垂直于△ABC所在的平面.
这个证明的步骤是：（1）由已知BD是Rt△ABC斜边上的中线, 推出DA=DB=DC，记为P0(已知)P1;
（2）由DA=DB=DC，和已知条件，推出三个三角形全等，记为P1P2；
在分析法证明中，从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是结论成立的充分条件，最后一步归结到已被证明的事实。因此从最后一步可以倒推回去，直到结论，但这个倒推过程可以省略。
例4．求证：当一个圆与一个正方形的周长相等时，这个圆的面积比正方形的面积大
证明：设圆和正方形的周长为L，
依题意，圆的面积为 ( L )2
例1．求证：log15
19
2 log3
19
3 log2
19
2
证明：因为
loga
b

2.2.1综合法分析法

❖ 只需证 0 < 6
❖ 因为 0 < 6 成立.
❖ 所以 a -5 - a -3 < a - 2 - a 成立.
分析基本不等式：a
+ 2
b
ab
(a>0,b>0)的证明.
证明:要证;a
+ 2
b
ab
只需证;a + b 2 ab
只需证;a + b 2 ab 0
只需证;( a b)2 0
因为;( a b)2 0 成立
b
1 logb
a
所以左式=log195+2log193+3log192 =log19(5×32×23)=log19360.
因为log19360<log19361=2，所以 1 2 3 2
log5 19 log3 19 log2 19
引例：四边形ABCD是平行四边形，求证：AB=CD，BC=DA
本题条件已知定义已知公理已知定理
… 本题结论
从已知条件出发，以已知定义、公理、定理等为依据,逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法叫做综合法(顺推证法)
用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.
则综合法用框图表示为:
P Q1
Q1 Q2
பைடு நூலகம்
Q2 Q3
… Qn Q
分析:由A,B,C成等差数列可得什么?A C 2B B 600(为什么?)
由a,b,c成等比数列可得什么? b2 ac
怎样把边,角联系起来?
余弦定理 : b2 a2 c2 2ac cos B
练习：求证： 1 2 3 2
log5 19 log3 19 log2 19

2.2.1 综合法和分析法教案(2)2020-2021学年高二数学人教A版选修1-2

2.2直接证明与间接证明【学情分析】教学对象是高二的学生，学生在学习完合情推理和演绎推理后,开始对证明的两种基本方法进行学习，而综合法作为直接证明的一种常用方法，重要性不言而喻，所以在学习过程中不但要强调基础知识的掌握，更应体现其证明的思想，感受由因导果的过程。

【教学目标】（1）结合已经学过的教学实例，了解直接证明的定义及其方法。

（2）了解综合法的证明过程和特点。

【教学重点】熟练运用综合法证题【教学难点】熟练运用综合法证题【教学过程设计】三、练习巩固练习．已知0,0a b >>，求证：a b a b b a+≥+ 证明：()()()()2a b aa b bb aaba b a ab baba bab aba bab++=+-+=+-≥=+练习：已知A ，B 都是锐角，且A+B ≠ ，(1+tanA)(1+tanB)=2,求证： A+B=45° 四、小结综合法的特点：综合法条理清晰，易于表达。

（在实际解题时，常常把综合法和分析法结合使用，先以分析法寻求解题思路，再用综合法表述解答过程。

有时分析法和综合法要交替使用。

）本节课讲了数学证明中的直接证明方法之一——综合法，要求同学们了解综合法思考过程和特点，并且会用这种方法证题。

五、作业作业：1.课本P102.A.2,32.设0a >，()x x e af x a e=+在R 上为偶函数（1）求a 的值（2）证明：()f x 在()0,+∞上为增函数 3．0,a c b c <<<，求证：22c c ab a c c ab --<<+-【练习与测试】：1．命题“对任意角θθθθ2cos sin cos ,44=-都成立”的证明过程如下：“θθθθθθθθθ2cos sin cos )sin )(cos sin (cos sin cos 22222244=-=+-=-”，该过程应用了（） A. 分析法 B. 综合法 C. 综合法与分析法结合使用 D. 间接证法答案：B解：因为是利用三角公式和乘法公式直接推出结论，故选B 。

2.2.1 综合法和分析法

忻州二中高二数学学科学案
（选修2-2）第二章推理与证明
2.2.1 综合法和分析法（第1课时）
（主编：薛富旭审核：终审：编号：22119 启用：）【学习目标】
1、综合法
2、分析法
【文本研读】研读要求：阅读课本85-89页完成下列问题：
1、综合法的思路是什么？
2、综合法的特点是什么？
3、分析法的思路是什么？
2、分析法的特点是什么？
【思维导图】
【尝试探究】
DC 复述识记：
1、复述综合法、分析法思路
2、识记综合法、分析法特点
DC 阅读思考：
3>-++-++-+c
c b a b b a c a a c b c b a 求证：为不全相等的正实数，
、、已知
DC 针对练习：
S
I S ca bc ab S c b a I c b a 43,
,12<≤++=++=求证：为任意三角形三边长，、、、设
为偶函数。

求证：轴对称，
的图象关于与若函数、设)2
1()()1(),0()(22++≠++=x f y x f x f a c bx ax x f
BA 典型强化：
++∈++=->∈++=N n a T n b T a b a S N n a a S S n a n n n n b n n n n n n n n n ),3(log 13}{112
}{2}{11
,216}{21 项和，求证：的前为，并记）（满足）设数列（的通项公式
）求（，且））（（满足项和中，若前在各项均为正数的数列
BA 自主设计：
重点备展与参展内容：
【学程总结】课前疑惑：
课间得失：
学班学组姓名。

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3.综合法和分析法是两种互逆的思维模式，在证明某些较复杂的问题时，常采用分析综合法，用综合法拓展条件，用分析法转化结论，找出已知与结论的连结点.
直接证明（数学理论）
上述两种证法有什么异同？
相同
都是直接证明证法1 从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止综合法证法2 从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件吻合为止分析法
例2.如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作 SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂 S 足为F,求证 AF⊥SC
证明:要证AF⊥SC 只需证:SC⊥平面AEF 只需证:AE⊥SC 只需证:AE⊥平面SBC 只需证:AE⊥BC 只需证:BC⊥平面SAB 只需证:BC⊥SA 只需证:SA⊥平面ABC
证明:因为b2+c2
≥2bc,a>0
所以a(b2+c2)≥2abc. 又因为c2+b2
≥2bc,b>0
所以b(c2+a2)≥ 2abc.
因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
例2.ABC在平面外，AB P, BC Q AC R, 证明P, Q, R，三点共线。
不同
ab
(a>0,b>0)的证明.
a+b 证明:要证 ab 2 只需证 a + b 2 ab
只需证 a + b 2 ab 0 只需证 ( a b ) 0
2
因为 ( a b )2 0 成立
a+b 所以 2
ab 成立
从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件为止，这种证明的方法叫做分析法．这个明显成立的条件可以是：已知条件、定理、定义、公理等
复习
推理
合情推理
（或然性推理）
演绎推理（必然性推理）三段论（一般到特殊）
归纳
(特殊到一般）
类比（特殊到特殊）
演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程. 数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.
合情推理与演绎推理的区别
合情推理
归纳推理类比推理演绎推理
区别
推理由部分到整体、个由特殊到特殊由一般到特殊的推理。形式别到一般的推理。的推理。
2 2
用P表示已知条件,定义,定理,公理等,用Q表示要证的结论,则上述过程可用框图表示为:
小结
1.在数学证明中，综合法和分析法是两种最常用的数学方法，若从已知入手能找到证明的途径，则用综合法，否则用分析法.
2.综合法的每步推理都是寻找必要条件，分析法的每步推理都是寻找充分条件，在解题表述中要注意语言的规范性和逻辑性.
0 A C 2 B B 60 (为什么?) 分析 :由A,B,C成等差数列可得什么?
由a,b,c成等比数列可得什么? b 2 ac
怎样把边,角联系起来?
余弦定理 : b2 a 2 c2 2ac cos B
文字语言学会语言转换
找出隐含条件
图形语言
符号语言
a+b 分析基本不等式： 2
F E
A
B
C
因为:SA⊥平面ABC成立所以. AF⊥SC成立
π 例3. 已知α, β≠ kπ+ (k Z),且 2 sinθ+ cosθ= 2sinα sinθ cosθ= sin 2 β 1 - tan α 1 - tan β 求证: = . 2 2 1 + tan α 2(1 + tan β )
C
从已知条件出发，以已知定义、公理、定理等为依据,逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法叫做综合法(顺推证法) 用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论. 则综合法用框图表示为:
P Q1
Q1 Q2
Q 2 Q3
…
Qn Q
特点:“由因导果”
例1:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc
还原成综合法：证明:
2 ( a b ) 0 因为;
只需证;a + b 2 ab 0
( a b) 0 只需证;
2
所以 a + b 2 ab 0 所以 a + b 2 ab
因为;( a b )2 0 成立
a+b 所以 2
a+b ab 成立所以 2 ab成立
推理结论结论不一定正确，有待进一步证明。
在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确。
联系
合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的方向和思路一般是通过合情推理获得的。
2.2.1 综合法和分析法
引例：四边形ABCD是平行四边形，
求证：AB=CD，BC=DA
B
A
特点：执果索因即：
要证结果Q，只需证条件P
【分析法】
从结论出发，寻找结论成立的充分条件直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件。要源自：要证：格式
只要证：只需证：
显然成立
上述各步均可逆

所以结论成立
所以结论成立
例1 求证
3 72 5
例3.在ABC中，设 CB a , CA b , 1 2 2 2 求证S ABC a b (a b ) 2

例4：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，a、b、c成等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形．
D
3 2
1 4
证明连结AC，因为四边形ABCD是平行四边形
所以AB//CD，BC//DA 故1 2，3 4 故 AB=CD ， BC=DA 又AC=CA 所以ABC CDA 从已知条件出发，以已知定义、公理、定理等为依据,逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法叫做综合法(顺推证法) 本题条件已知定义 … 本题结论已知公理已知定理
解:要证 3 7 2 5 只需证 (
3 7 ) 2 (2 5 ) 2
展开,只需证只需证 21<25
21 5
因为 21<25成立,所以 3 7 2 5 成立.
a+b 分析基本不等式： 2
ab
(a>0,b>0)的证明.
a+b 证明:要证; ab 2 只需证;a + b 2 ab