医用高等数学课件

dx n
dx n
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
例1 已知指数函数 y eax ( a 为常数) ,求 y(n)
解 y aeax , y a2eax ,
y a3eax ,, y(n) a neax
例2 已知 n 次多项式 Pn ( x) a0 xn a1xn1 an
求 pn ( x) 的各阶导数. 解 Pn( x) na0 x n1 (n 1)a1x n2 an1
解 令y ln u, u cos v, v x2,则
y dy du dv (ln u)(cosv)(x2 ) du dv dx
1 (sin x2 ) (2x) 2x tan x2 u
比较熟练后,中间变量不必写出来,直接按锁链法则对 复合函数求导.
例2-14 已知函数 y 3 1 2x2 ,求 y
ealn x a xa ax1 axa1 x
例如,
(
x )
1
(x 2 )
1
1
x2
1
2
2x
( 1 ) x
( x 1 )
x2
1 x2
例2-16 已知函数 y xsin x ,求 y 解 y xsin x为幂指函数, 将其化为 y esin xln x ,则
y (esin xln x ) esin xln x (sin x ln x)
)
sin(
x
)
sin(
x
2
)
2
22
2
y
cos(
x
2
2
)
sin(
x
3
) 2
y(n) sin( x n )
2
同理可得 (cos x)(n) cos( x n ) 2
为
f [(x)] f (u)(x) 或 dy dy du
dx du dx
即 因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量
求导，乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)
推广 设 y f (u), u (v), v (x),
则复合函数 y f [ (x)] 的导数为
y f (u)(v) (x) 或 dy dy du dv .
Pn( x) n(n 1)a0 x n2 (n 1)(n 2)a1xn3 2an2
Pn(n) ( x) n(n 1) 2 1a0 n!a0
Pn(n1) ( x)
P (n2 n
)
(
x
)
0
例3 设 y arctan x, 求f (0), f (0).
解:
y
1
1 x
2
y
( 1
1 x
2
e y y y xy
解得
y
ey
y
x
当x 0时,从原方程解得y 1.
所以
y
x0
y ey
x
x0 e1
y 1
对数求导法
方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数.
适用范围: 多个函数相乘除和幂指函数 u( x)v ( x )的情形.
例2-23 已知函数 y 3 ( x 1)(x 2) ,求 y (x 3)(x 4)
解
1
y [(1 2x2 )3 ]
1
(1
2
x
2
)
2 3
(1
2
x
2
)
3
1
(1
2x2
)
2 3
(4x)
3
4x 33 (1 2x2 )2
例2-15 证明幂函数的求导公式 (xa ) axa1对任意实
数指数 a 成立.ln x ) ealn x (a ln x)
(cos2x) 2 ln sin x sin 2x 1 cosx sin x
2cos2x ln sin x 2cos2 x
四、隐函数的导数
如果联系两个变量 x 和 y 的函数式是由方程 F (x, y) 0
来确定的，这样的函数称为隐函数.
y f ( x) 形式称为显函数.
F(x, y) 0
第二节 导数的运算
一、四则运算求导法则 二、反函数求导法则 三、复合函数求导法则 四、隐函数的求导法则 五、参数方程的导数 六、高阶导数
三、复合函数求导法则
定理2-2 设函数u (x)在点 x处可导, 而y f (u)在x点 对应u处可导, 则复合函数 y f [(x)]在点x处可导, 且其导数
五、参数方程确定函数的导数
若参数方程
可确定一个 y 与 x 之间的函数
关系,
可导, 且
则
(t) 0 时, 有
dy dx
dy dt d t dx
dy dt
1 dx
(t) (t )
dt
例5. 求由参数方程
x ln(1 t 2 )
y
1
arctan t
所确定的函数 y y(x)的导数。
解：dy
dy dt
1 t2 1
1
dx dx 2t
2t
dt 1 t2
六、高阶导数
如果函数f (x)的导数f (x)在点x处可导,即
( f (x)) lim f (x x) f (x)
x0
x
存在,则称( f (x))为函数f (x)在点x处的二阶导数.
记作
f
( x),
y,
d2y dx 2
或
d
2 f (x) dx 2
y f ( x) 隐函数的显化
例如 x y3 1 0
y 3 1 x （显化）
y 5 3sin xy 5x 4 1 （不能显化）
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?
直接从方程 F(x, y) 0两边来求导,称为隐函数的 求导法则.
例2-20
的,求 y
已知函数
y是由椭圆方程
x2 a2
.
二阶导数的导数称为三阶导数,
f (x),
y,
d 3 y d 3 f (x) dx3 , dx3 .
三阶导数的导数称为四阶导数,
f (4) (x),
y(4) ,
d 4 y d 4 f (x) dx4 , dx4 .
一般地, 函数f (x)的n 1阶导数的导数称为函数f (x)的 n阶导 数, 记作
f (n) ( x), y(n) , d n y 或 d n f ( x) .
例2-24 已知函数 y (tan x)sin x,求 y
解 两边取对数，得 ln y sin x ln tan x
上式两边对x求导得
1 y cos x ln tan x sin x 1 sec2 x
y
tan x
y y(cosx ln tan x sec x)
(tan x)sin x (cos x ln tan x sec x)
y2 b2
1所确定
解 方程两边分别关于 x 求导,由复合函数求导法则
和四则运算法则有
解得
2x 2 y y 0 a2 b2
y b2 x a2 y
例2-21 已知函数 y 是由方程 e y xy e 确定的.
求y和 y x0
解 方程两边分别关于 x 求导,由复合函数求导法则
和四则运算法则有
dx du dv dx
例2-12 已知函数 y (x3 sin x)4,求 y
解 令 y u4 , u x3 sin x,则 y dy du (u4 )(x3 sin x) du dx
4u3 (3x2 cos x)
4(x3 sin x)3(3x2 cos x)
例2-13 已知函数 y ln cos x2 ,求 y
xsin x[(sin x) ln x sin x(ln x)] xsin x (cosx ln x sin x )
x
例2-17 已知函数 y sin 2x ln sin x,求 y 解 y (sin 2x ln sin x)
(sin 2x)ln sin x sin 2x(ln sin x)
解 两边取对数，得
ln y 1[ln(x 1) ln( x 2) ln( x 3) ln( x 4)] 3
两边对 x 求导，得
1 y 1 ( 1 1 1 1 ) y 3 x 1 x 2 x 3 x 4
所以
y 1 3 (x 1)(x 2) ( 1 1 1 1 ) 3 (x 3)(x 4) x 1 x 2 x 3 x 4
)
(1
2x x2
)2
y
(
(1
2x x2
)2
)
2(3 x 2 (1 x
1) 2 )3
f
(0)
(1
2x x2 )2
0;
x0
f (0)
2(3x 2 1) (1 x 2 )3
x0
2.
例4 设 y sin x, 求y(n) .
解: y cos x sin( x ) 2
y
cos( x