九年级数学---点的运动轨迹问题
数学轨迹问题
数学轨迹问题
数学轨迹问题是指研究设定的数学函数或方程所描述的几何图形的运动规律和特点。
这类问题通常需要将数学方法与几何图形的运动相结合，通过分析数学函数或方程的性质，来研究图形的形状、位置、变化等问题。
常见的数学轨迹问题包括：
1. 平面曲线轨迹问题：给定一个平面曲线的方程，研究曲线上点的运动轨迹。
例如，求解抛物线上一动点的坐标关系。
2. 空间曲线轨迹问题：给定一个空间曲线的参数方程，研究曲线上点的运动轨迹。
例如，求解螺线上一动点的坐标关系。
3. 平面图形轨迹问题：给定一个平面图形的特定性质，研究这个图形在不同位置、形态下的变化。
例如，研究圆心在直线上的所有圆的轨迹。
4. 空间图形轨迹问题：给定一个空间图形的特点，研究这个图形在不同位置、形态下的变化。
例如，研究圆锥的截面在不同高度下的形状。
数学轨迹问题在几何学、微积分等数学分支中都有广泛的应用。
通过研究数学轨迹问题，可以揭示数学函数或方程的性质，并帮助我们更好地理解几何图形的变化和相互关系。
点的运动轨迹
点的运动轨迹符合一定条件的动点所形成的图形,或者说,符合一定条件的点的全体所组成的集合,叫做满足该条件的点的轨迹.“动点路径”就是一个比较抽象的问题,但在高中解析几何中的学习就是非常有用的,也就是非常重要的。
在研究动点问题时,可以在运动中寻找不变的量,即不变的数量关系或位置关系.如果动点的轨迹就是一条线段,那么其中不变的量便就是该动点到某条直线的距离始终保持不变;如果动点的轨迹就是一段圆弧,那么其中不变的量便就是该动点到某个定点的距离始终保持不变.因此,解决此类动点轨迹问题便可转化为寻找变量与不变的关系。
常用的基本轨迹: 1、如图,已知AB=10,P 就是线段AB 上的动点,分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作等边△ACP 与△PDB,连接CD,设CD 的中点为G,当点P 从点A 运动到点B 时,则点G 移动路径的长就是______.变式1、(2010桂林)如图:已知AB=10,点C 、D 在线段AB 上且AC=DB=2;P 就是线段CD 上的动点,分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作等边△AEP 与等边△PFB,连接EF,设EF 的中点为G;当点P 从点C 运动到点D 时,则点G 移动路径的长就是______.变式2、如图:已知AB=10,点C 、D 在线段AB 上且AC=DB=2;P 就是线段CD 上的动点,分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作正方形APEF 与正方形PBGH,点O 1与O 2就是这两个正方形的中心,连接O 1O 2,设O 1O 2的中点为Q;当点P 从点C 运动到点D 时,则点Q 移动路径的长就是______.2、如图,已知线段AB=10,AC=BD=2,点P 就是CD 上一动点,分别以AP 、PB 为边向上、向下作正方形APEF 与PHKB,设正方形对角线的交点分别为O1、O2,当点P 从点C 运动到点D 时,线段O1O2中点G 的运动路径的长就是_____.母题:若3x t +=,5y t -=,则y 与x 之间的关系就是 _________ .3、如图1,在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=6,BC=8,动点P 从点A 开始沿边AC 向点C 以1个单位长度的速度运动,动点Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以每秒2个单位长度的速度运动,过点P 作PD ∥BC,交AB 于点D,连接PQ 分别从点A 、C 同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t 秒(t ≥0).(1)直接用含t 的代数式分别表示:QB= _________ ,PD= _________ .(2)就是否存在t 的值,使四边形PDBQ 为菱形？若存在,求出t 的值;若不存在,说明理由.并探究如何改变Q 的速度(匀速运动),使四边形PDBQ 在某一时刻为菱形,求点Q 的速度;(3)如图2,在整个运动过程中,求出线段PQ 中点M 所经过的路径长.变式1:如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上,OA ＝4,OC ＝2.点P 从点O 出发,沿x 轴以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动,当点P 到达点A 时停止运动,设点P 运动的时间就是t 秒.将线段CP 的中点绕点P 按顺时针方向旋转90°得点D ,点D 随点P 的运动而运动,连接DP 、DA .(1)请用含t 的代数式表示出点D 的坐标;(2)请直接写出随着点P 的运动,点D 运动路线的长、变式2:如图,边长为4的等边三角形AOB 的顶点O 在坐标原点,点A 在x 轴正半轴上,点B 在第一象限.一动点P 沿x 轴以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动,当点P 到达点A 时停止运动,设点P 运动的时间就是t 秒.将线段BP 的中点绕点P 按顺时针方向旋转60°得点C ,点C 随点P 的运动而运动,连接CP 、CA ,过点P 作PD ⊥OB 于点D .(1)填空:PD 的长为 用含t 的代数式表示);(2)求点C 的坐标(用含t 的代数式表示);(3)在点P 从O 向A 运动的过程中,△PCA 能否成为直角三角形？求t 的值.若不能,说理由;(4)填空:在点P 从O 向A 运动的过程中,点C 运动路线的长为 、4、在矩形ABCD 中,点P 在AD 上,AB= ,AP=1。
2024年中考数学复习 瓜豆原理中动点轨迹直线型最值问题以及逆向构造(原卷版+答案解析)
瓜豆原理中动点轨迹直线型最值问题以及逆向构造【专题说明】近些年的中考中，经常出现动点的运动轨迹类问题，通常出题以求出轨迹的长度或最值最为常见。
很多考生碰到此类试题常常无所适从，不知该从何下手。
动点轨迹问题是中考的重要压轴点.受学生解析几何知识的局限和思维能力的束缚,该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎,致使该压轴点成为学生在中考中失分的一个黑洞.掌握该压轴点的基本图形,构建问题解决的一般思路,是中考专题复习的一个重要途径.本文就动点轨迹问题的基本图形作一详述.动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型.其实初中阶段如遇求轨迹长度仅有2种类型：“直线型”和“圆弧型”（两种类型中还会涉及点往返探究“往返型”），对于两大类型该如何断定，通常老师会让学生画图寻找3处以上的点来确定轨迹类型进而求出答案，对于填空选择题而言不外乎是个好方法，但如果要进行说理很多考生难以解释清楚。
瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的轨迹相同．只要满足：1.两“动”，一“定”；2.两动点与定点的连线夹角是定角3.两动点到定点的距离比值是定值。
【引例】（选讲）如图，△APQ是等腰直角三角形，∠P AQ=90°且AP=AQ，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？【分析】当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形．当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段．【模型总结】必要条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠P AQ是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．结论：P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于∠P AQ（当∠P AQ≤90°时，∠P AQ等于MN与BC夹角）P、Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ（由△ABC∽△AMN，可得AP:AQ=BC:MN）如图，D 、E 是边长为4的等边三角形ABC 上的中点，P 为中线AD 上的动点，把线段PC 绕C 点逆时针旋转60°，得到P ’，EP ’的最小值【分析】结合这个例题我们再来熟悉一下瓜豆模型第一层：点P ’运动的轨迹是直线吗？第二层：点P ’的运动长度和点P 的运动长度相同吗？第三层：手拉手模型怎么构造？第四层：分析∠CAP 和∠CBP ’第五层：点P 和点P ’轨迹的夹角和旋转角的关系P'P'P'总共提到了3种处理方式： 1.找始末，定轨迹2.在轨迹上找一点旋转，构造手拉手模型，再通过角度相等得到从动点轨迹.3.反向旋转相关定点，构造手拉手模型，代换所求线段，即逆向构造. 那么什么具体选择什么方法更合适呢？我们再看一道例题 【例题2 宿迁中考】如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE ＝1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为 ．现在，我们分别用上面提到的3种策略来处理这个题目策略一：找始末，定轨迹我们分别以BE ，AE 为边，按题目要求构造等边三角形得到G 1与G 2，连接G 1与G 2得到点G 的轨迹，再作垂线CH 得到最小值.前面提到过从动点轨迹和主动点轨迹的夹角与旋转角有关，我们可以调用这个结论，得到∠AMG 1＝60°，BABABABA22进一步得到△MBG 1为等腰三角形后，求CH 就不难了.策略二：在点F 轨迹上找一点进行旋转.我们分别对A ，B 顺时针旋转60°，构造手拉手模型，再通过角度相等得到从动点轨迹，对A 点旋转会得到一个正切值为14的角，即1tan tan 4∠G M E =∠A FE=，然后进一步算出最值【简证】311202EM AE EN NEC IC ⇒°⇒∠,则5=2CH对B 点旋转得到∠EMG ＝∠FBE ＝90°，相对来说要容易一些.策略三：反向旋转相关定点，构造手拉手模型，代换所求线段.将点C 逆时针旋转60°，得到点H ，易证△CGE ≌△HFE ，则有CG ＝HF ，作MH ⊥AB 于M ，HM 即为所求．相比之下，先求轨迹后再求垂线段时，比较麻烦，而反向旋转代换所求线段感觉清爽很多.BABA如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE ＝1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为底向右侧作等腰直角△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为 ．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，F 为AB 边上一点，连接EF ，以EF 为底向右侧作等腰直角△EFG ，连接CG ，则AG 的最小值为 ．1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是BC边的中点，点P是AC边上一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方作等边△PDQ，连接CQ．则CQ的最小值是2.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝5 3,点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点A 为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为3、如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,P是对角线AC上的动点,连接DP,将直线DP绕点P顺时针旋转,使∠1=∠2,且过点D作DG⊥PG,连接CG.则CG最小值为瓜豆原理中动点轨迹直线型最值问题以及逆向构造【专题说明】近些年的中考中，经常出现动点的运动轨迹类问题，通常出题以求出轨迹的长度或最值最为常见。
初中数学说题动点轨迹问题精品PPT课件
BC边上的动点，将△EFB沿EF所在的直线折叠得到△EFB'，连结B'D，
求B'D的最小值.
先找到动点的起点和终点
A
6
DA
DA
D
B'
B'
4E
E
E
B
B' BF
CB
C(F) B
C(F)
小结：利用“圆的定义” “找定点，寻定长” 动点轨迹
感悟提升
动点轨迹问题
线段型
圆弧型
寻找定直线
线段和圆 弧结合型
寻找定点
E D
O
B
C
F
解法展示
第五步：计算点D的运动路径长
A(E)
根据图1，得到CD最小值= 6 2
D
B
C(F)
(1)
当C、O、D三点共线，CD最大值=12
A(E) E1
D1 D
点D的运动路径长为2DD1=
2(12 - 6 2) 24 12 2
B
C(F)
F1
解法展示
△ABD的面积最大值为
cm2.
A(E)
E1
D1
D
显然，点D运动到点D1的位置时， △ABD的面积最大
B
C(F) G F1
求图形面积的方法：1.割补法 2.等积变形法
作D1G//AB，则SABD1
SABG
1 12（4 2
36
2 -2
6）
（同底等高的三角形面积相等）
拓展延伸
1.如图，一副含450和300 角的 三角板ABC和EDF拼合在一个平面
上，边AC与EF重合，AC=12cm.当点E从从A出发沿AC方向滑动
数学初中动点问题解题技巧
在解决初中数学中的动点问题时，以下是一些常用的解题技巧和方法：
建立坐标系：通常在动点问题中，建立一个适当的坐标系可以帮助我们更好地理解和描述问题。
根据题目中给出的条件，选择适当的坐标轴和原点，以便对动点的位置进行数值表示。
给定量关系：分析题目中给定的量关系，包括速度、距离、时间等。
使用代数符号和方程式表示这些关系，以便推导出所需的结果。
图形分析：根据问题的描述，绘制图形来帮助可视化动点的运动轨迹。
这可以帮助我们更好地理解问题和找到解决方案。
利用平均速度：在某些情况下，题目可能会给出平均速度或平均速率的信息。
利用平均速度的概念可以推导出距离、时间或速度的关系。
利用相对速度：当涉及到多个动点之间的相对运动时，可以使用相对速度的概念来分析它们之间的关系。
相对速度是指一个动点相对于另一个动点的速度差。
使用代数和方程：将动点的位置、速度、时间等用代数符号表示，并建立方程来描述它们之间的关系。
通过求解方程组或代数方程，可以得到所需的结果。
注意特殊情况：在解决动点问题时，要注意特殊情况，如起点、终点、相遇点等。
对于不同的情况，可能需要采用不同的方法和技巧来求解。
实际意义的解释：最后，确保将问题的解释与实际意义相结合，以便对问题进行正确的解释和解读。
在解决动点问题时，理解问题的条件和要求非常重要。
仔细阅读问题，画出图形，并根据已知条件进行逻辑推理和数学建模，可以帮助你找到解决问题的方法和答案。
实践和练习可以进一步提高解决动点问题的技巧和能力。
点的运动轨迹
点的运动轨迹在日常生活中，我们经常看到各种不同的点在空间中运动，它们的运动轨迹各不相同，引起了我们的好奇心。
本文将以点的运动轨迹为题，介绍几种常见的运动轨迹。
一、直线运动直线运动是最简单的一种运动轨迹，也是我们最常见的一种运动形式。
当一个点沿着一条直线运动时，它的轨迹就是一条直线。
比如我们在马路上看到的汽车行驶的轨迹，就是一条直线。
此外，我们还可以通过绘制两点之间的连线来模拟点的直线运动轨迹。
二、圆周运动圆周运动是另一种常见的运动轨迹。
当一个点围绕着一个固定的中心点做匀速圆周运动时，它的轨迹就是一个圆。
比如地球绕太阳运动的轨迹就是一个近似的圆。
此外，我们还可以通过绘制一系列等距离的点来模拟点的圆周运动轨迹。
三、抛物线运动抛物线运动是一种曲线运动，它的轨迹形状像一个抛物线。
当一个点在重力的作用下，以一个初始速度在水平方向上做抛体运动时，它的轨迹就是一个抛物线。
比如我们在体育课上投掷实验中看到的抛物线运动，就是一个典型的例子。
此外，我们还可以通过绘制一系列位置随时间变化的点来模拟点的抛物线运动轨迹。
四、椭圆运动椭圆运动是一种更加复杂的曲线运动，它的轨迹形状像一个椭圆。
当一个点围绕着两个焦点之间的直线做匀速运动时，它的轨迹就是一个椭圆。
比如地球绕太阳运动的轨迹就是一个近似的椭圆。
此外，我们还可以通过绘制一系列位置随时间变化的点来模拟点的椭圆运动轨迹。
五、螺旋运动螺旋运动是一种非常有趣的运动形式，它的轨迹形状像一个螺旋。
当一个点同时绕着一个中心点做圆周运动，并且沿着轴向移动时，它的轨迹就是一个螺旋。
比如我们在螺旋桨上看到的螺旋运动，就是一个典型的例子。
此外，我们还可以通过绘制一系列位置随时间变化的点来模拟点的螺旋运动轨迹。
六、随机运动除了以上几种规则的运动轨迹外，我们还可以遇到一些无规则的运动轨迹，这种运动被称为随机运动。
当一个点在空间中没有任何规律地运动时，它的轨迹就是一个随机的路径。
比如我们看到的飞蛾在夜晚灯光下的飞行轨迹，就是一个典型的随机运动。
初中常见的动点轨迹问题归纳与突破策略
运 动 ，如 图 3，劣 弧 AC 的 弧 长 即 为 动 点 P 运 动 的 路
寻找定角的度数是解决问题的突破口 .
是一个定角 . 因此 ，动点 P 在以 AC 为弦的圆的圆弧上
径长 .
通过例 1 的分析 ，我们初步了解解决动点轨迹为
圆弧型这一类的思路与方法——“定边对定角”，
为定边
∴ 点 P 在弧 EF 上运动
二、夹角定位法
如图 6，有一条定直线 l ，以及存在某个定点 A ，若
动点 B 与定点 A 的连线与该定直线 l 的夹角 α 是一个
定角 ，则动点 B 一定也在一条定直线上运动 . 对于这
一类型 ，只要能找到这个定点 A 与定直线 l ，再证明出
吕锦秀
（厦门国祺中学，
福建 厦门 361100）
摘
要
动点轨迹问题对于初中生来说既是重点也是难点 . 文章归纳出初中常见的两大类动点轨迹类型——圆弧型和直线型 . 列
举具体实例对学生比较困惑的两种动点轨迹问题（即“定边对定角”的动点轨迹和动点与定点的连线与定直线的夹角为定
角的动点轨迹）进行分析讲解：题目中如能找到定边对定角，则该动点的运动轨迹为在以定边为弦且经过定点的圆弧上，
动点与定点 A 连线与
定直线 l 的夹角是一
个定角 α ，就能断定动
点的运动轨迹是直线
型 ，可 形 象 地 称 之 为
图6
［1］
“夹角定位法”
.
特别注意的是这一类型的动点是定角（夹角）一
边上的点 ，定角的一边是定直线 . 下面笔者举两个例
子进行实例分析：
例 3 如 图 7，已 知 点 P 在 正 三 角 形 ABC 的 边 BC
点的轨迹为该线段的垂直平分线；
描述点的运动轨迹的三种方法
描述点的运动轨迹的三种方法描述点的运动轨迹是数学和物理中一个基本而又重要的概念。
以下是描述点的运动轨迹的三种主要方法：1. 参数方程法参数方程法是一种常见的方法，它通过选取合适的参数来描述点的运动轨迹。
这种方法特别适用于描述具有特定规律的点的运动，例如圆周运动或周期性运动。
参数方程的一般形式为：(x = f(t))(y = g(t))其中(x) 和(y) 是点的坐标，(t) 是参数（通常是时间）。
通过改变参数(t) 的值，我们可以得到一系列的点，这些点连在一起就形成了点的运动轨迹。
2. 直角坐标法直角坐标法是在二维平面上描述点的运动轨迹的一种直观方法。
我们可以在平面上选择一个固定点作为原点，然后建立两个互相垂直的坐标轴（通常是x轴和y轴），通过描述点在这两个坐标轴上的坐标值来描述其运动轨迹。
这种方法特别适用于描述直线运动或简单的曲线运动。
例如，如果一个点沿着直线做匀速直线运动，那么它的坐标(x) 和(y) 可以表示为：(x = x_0 + v_x t)(y = y_0 + v_y t)其中(x_0) 和(y_0) 是初始坐标，(v_x) 和(v_y) 是沿着x轴和y轴的速度，(t) 是时间。
3. 极坐标法极坐标法是在二维平面上描述点的运动轨迹的一种有效方法。
与直角坐标法不同，极坐标法使用距离原点的距离（径向坐标，通常表示为(r)）和点与x轴之间的夹角（角度，通常表示为(\theta) 或(\phi)\）作为描述点的运动的参数。
这种方法特别适用于描述曲线运动，尤其是旋转或螺旋式的运动。
对于做曲线运动的点，其极坐标可以表示为：(r = r(t))(\theta = \theta(t))通过改变时间(t)，我们可以得到一系列的点，这些点连在一起就形成了点的运动轨迹。
动点问题的规律
动点问题的规律总结动点问题在物理学和工程学中是非常常见的问题。
这类问题涉及到一个或多个点在运动中的变化，包括其位置、速度、加速度、运动轨迹等等。
以下是对动点问题的一些规律和总结：1. 运动轨迹运动轨迹是描述一个或多个点在空间中的移动路径。
在解决动点问题时，首先需要确定点的运动轨迹是什么。
通常，点的运动轨迹受到其初始条件、约束条件和其他力的影响。
2. 速度与时间速度是描述一个点在单位时间内移动的距离。
在动点问题中，通常会给出点的初始速度和加速度，或者通过已知的运动轨迹来计算速度。
速度与时间的关系通常是非线性的，因为加速度可能会随着时间而变化。
但是，在某些情况下，速度与时间的关系可以是线性的，例如当加速度恒定时。
3. 距离与时间距离是描述一个点移动的总长度。
在解决动点问题时，通常需要计算点在一段时间内移动的距离。
距离与时间的关系通常是非线性的，因为速度可能会随着时间的推移而变化。
但是，在某些情况下，距离与时间的关系可以是线性的，例如当速度恒定时。
4. 极值问题动点问题中经常会出现极值问题，例如要使一个物体移动最远或最快需要满足什么条件。
解决极值问题通常需要考虑约束条件、力和能量等因素，并使用数学工具来求解。
5. 周期性有些动点问题具有周期性，例如振荡或循环运动。
在这种情况下，点的运动轨迹会重复出现，并且速度和加速度也会呈现出周期性的变化。
解决这类问题通常需要找出周期的长度和每个周期内的变化规律。
6. 方向变化动点问题的另一个重要方面是方向的变化。
点的速度方向可能会随着时间的推移而变化，这会导致运动轨迹的弯曲或转向。
解决这类问题需要跟踪点的速度和加速度方向的变化，以便了解其运动轨迹的整体形态。
7. 特殊点在动点问题中，往往有一些特殊点或特殊状态需要特别注意。
例如，起点或终点、速度为零的点、加速度为零的点等。
这些特殊点或状态可能是解决问题的关键所在，需要特别关注和处理。
8. 能耗问题在动点问题中，能量的消耗是一个不可忽视的因素。
点的运动轨迹
点的运动轨迹符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹．“动点路径”是一个比较抽象的问题，但在高中解析几何中的学习是非常有用的，也是非常重要的。
在研究动点问题时，可以在运动中寻找不变的量，即不变的数量关系或位置关系．如果动点的轨迹是一条线段，那么其中不变的量便是该动点到某条直线的距离始终保持不变；如果动点的轨迹是一段圆弧，那么其中不变的量便是该动点到某个定点的距离始终保持不变．因此，解决此类动点轨迹问题便可转化为寻找变量与不变的关系。
常用的基本轨迹：1、如图，已知AB=10，P是线段AB上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB，连接CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，则点G移动路径的长是______．变式1、（2010桂林）如图：已知AB=10，点C、D在线段AB上且AC=DB=2；P是线段CD 上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是______．变式2、如图：已知AB=10，点C、D在线段AB上且AC=DB=2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形APEF和正方形PBGH，点O1和O2是这两个正方形的中心，连接O1O2，设O1O2的中点为Q；当点P从点C运动到点D时，则点Q移动路径的长是______．2、如图，已知线段AB=10，AC=BD=2，点P是CD上一动点，分别以AP、PB为边向上、向下作正方形APEF和PHKB，设正方形对角线的交点分别为O1、O2，当点P从点C运动到点D时，线段O1O2中点G的运动路径的长是_____．母题：若3x t +=，5y t -=，则y 与x 之间的关系是 _________ ．3、如图1，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P 从点A 开始沿边AC 向点C 以1个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以每秒2个单位长度的速度运动，过点P 作PD ∥BC ，交AB 于点D ，连接PQ 分别从点A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒（t ≥0）．（1）直接用含t 的代数式分别表示：QB= _________ ，PD= _________ ．（2）是否存在t 的值，使四边形PDBQ 为菱形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变Q 的速度（匀速运动），使四边形PDBQ 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度；（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ 中点M 所经过的路径长．变式1：如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA ＝4，OC ＝2．点P 从点O 出发，沿x 轴以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，当点P 到达点A 时停止运动，设点P 运动的时间是t 秒．将线段CP 的中点绕点P 按顺时针方向旋转90°得点D ，点D 随点P 的运动而运动，连接DP 、DA ．（1）请用含t 的代数式表示出点D 的坐标；（2）请直接写出随着点P 的运动，点D 运动路线的长.变式2：如图，边长为4的等边三角形AOB 的顶点O 在坐标原点，点A 在x 轴正半轴上，点B 在第一象限．一动点P 沿x 轴以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，当点P 到达点A 时停止运动，设点P 运动的时间是t 秒．将线段BP 的中点绕点P 按顺时针方向旋转60°得点C ，点C 随点P 的运动而运动，连接CP 、CA ，过点P 作PD ⊥OB 于点D ．（1）填空：PD 的长为 用含t 的代数式表示）；（2）求点C 的坐标（用含t 的代数式表示）；（3）在点P 从O 向A 运动的过程中，△PCA 能否成为直角三角形？求t 的值．若不能，说理由；（4）填空：在点P 从O 向A 运动的过程中，点C 运动路线的长为 .4、在矩形ABCD 中，点P 在AD 上，AB= ，AP=1。
初中数学专题-运动轨迹与图像练习
初中数学专题-运动轨迹与图像练习题型一：找特殊位置运动关系例1：如图所示是张老师晚上出门散步时离家的距离y 与时间x 之间的函数关系的图象，若用黑点表示张老师家的位置，则张老师散步行走的路线可能是A ．B ．C ．D ． 例2;某仓储系统有3条输入传送带，3条输出传送带．某日，控制室的电脑显示，每条输入传送带每小时进库的货物流量如图(1)，每条输出传送带每小时出库的货物流量如图(2)．若该日，仓库在0时至5时货物存量变化情况如图(3)所示， 则下列正确说法共有（ ） ①该日0时仓库中有货物2吨； ②该日5时仓库中有货物5吨；③在0时至2时有2条输入传送带和1条输出传送带在工作； ④在2时至4时有2条输入传送带和2条输出传送带在工作；⑤在4时至5时有2条输入传送带和3条输出传送带在工作；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例3：如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ,∠ABC =60°，AB = DC =2, AD =1，R 、P 分别是BC 、CD 边上的动点（点R 、B 不重合, 点P 、C 不重合），E 、F 分别是AP 、RP 的中点，设BR=x ，EF=y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是A B C Dy xOOxy 1231 Oxy123 112 3 11 321 y xOFE R P BCDA题型二：函数表达式例1： 如图,点E 、F 是以线段BC 为公共弦的两条圆弧的中点，6BC =. 点A 、D 分别为线段EF 、BC 上的动点. 连接AB 、AD ，设BD x =，22AB AD y -=，下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象是( )例2：平面直角坐标系中，在边长为1的菱形ABCD 的边上有一动点P 从点A 出发沿A B C D A →→→→匀速运动一周，则点P 的纵坐标y 与点P 走过的路程S 之间的函数关系用图象表示大致是例3：矩形ABCD 中，8cm 6cm AD AB ==，．动点E 从点C 开始沿边CB 向点B 以2cm/s 的速度运动至点B 停止，动点F 从点C 同时出发沿边CD 向点D 以1cm/s 的速度运动至点D 停止．如图可得到矩形CFHE ，设运动时间为x （单位：s ），此时矩形ABCD 去掉矩形CFHE 后剩余部分的面积为y (单位：2cm )，则y 与x 之间的函数关系用图象表示大致是下图中的例4;用{}min ,,a b c 表示a 、b 、c 三个数中的最小值，{}2min ,2,10(0)y x x x x =+-≥，则y 的最大值为A ．4B ．5C ．6D ．7FE BCDA例5：如图，在矩形ABCD 中，AB =5，BC =4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点.动点R 从点B 出发，沿B →C →D →F 方向运动至点F 处停止．设点R 运动的路程为x ，EFR △的面积为y ，当y 取到最大值时，点R应运动到A ．BC 的中点处B ．C 点处 C ．CD 的中点处 D ．D 点处例6：一电工沿着如图所示的梯子NL 往上爬，当他爬到中点M 处时，由于地面太滑，梯子沿墙面与地面滑下，设点M 的坐标为（x ，y ）（x>0）,则y 与x 之间的函数关系用图象表示大致是例7：如图，在Rt ABC △中，∠C =90°，AB =5cm ，BC =3cm ，动点P 从点A 出发，以每秒1cm 的速度，沿A →B →C 的方向运动，到达点C 时停止.设2y PC =,运动时间为t 秒，则能反映y 与t 之间函数关系的大致图象是例9：用min{a ，b }表示a ，b 两数中的最小数，若函数}1,1min{22x x y --=，则y 的图 象为y O 5t C 8916y O 5t A 8916y O 5t B 8916yO5tD8916PxyA 1-1-1-1-11111111xy0BxyC x yD例10：如图(甲)，扇形OAB的半径OA=6，圆心角∠AOB=90°，C是»AB上不同于A、B 的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连结DE，点H在线段DE上，且EH=32DE．设EC的长为x，△CEH的面积为y，图(乙)中表示y与x的函数关系式的图象可能是A．B．C． D.例11：如图，在正方形ABCD中，AB=3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度向B点运动，同时动点N自A点出发沿折线AD—DC—CB以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动同时停止.设△AMN的面积为y（cm2），运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是例12：如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点点P不与点B、C重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点C’处；作∠BPC’的角平分线交AB于点E．设BP=x，BE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是A．B．C． D图(乙)图(甲)EPC’A DB CO5yxO5yxO xy5O5yx例13：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =3，BC =4，点P 以每秒一个单位的速度沿着B —C —A 运动，⊙P 始终与AB 相切，设点P 运动的时间为t ，⊙P 的面积为y ，则y 与t 之间的函数关系图像大致是例14：如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2．E 、F 分别是射线AC 、CB 上的动点，且AE ＝BF ，EF 与AB 交于点G ，EH ⊥AB 于点H ，设AE ＝x ，GH ＝y ，下面能够反映y 与x 之间函数关系的图象是( )例15：如右图，正方形ABCD 的顶点2(0,)2A ，2(,0)2B ，顶点CD 、位于第一象限，直线:(02)l x t t =≤≤将正方形ABCD 分成两部分，记位于直线l 左侧阴影部分的面积为S ，则S 关于t 的函数图象大致是题型三：路径与图形关系例1：右图是画有一条对角线的平行四边形纸片ABCD ，用此纸片可以围成一个无上下底面的三棱柱纸筒，则所围成的三棱柱纸筒可能是( )BxyO AP 例2：如图，正方形ABCD 的边长为2, 将长为2的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按ADCBA→→→→滑动到点A为止，同时点F从点B出发，沿图中所示方向按BADCB→→→→滑动到点B为止，那么在这个过程中，线段QF的中点M所经过的路线围成的图形的面积为A. 2B. 4－πC.πD.1π-例3：在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12，BD=16，E为AD的中点，点P在BD上移动，若△POE为等腰三角形，则所有符合条件的点P共有______个．例4：在平面直角坐标系xOy中，点P在由直线3+-=xy，直线4y=和直线1x=所围成的区域内或其边界上，点Q在x轴上，若点R的坐标为(2,2)R，则QP QR+的最小值为A．17B．25+C．35D．4例5：已知：如图，直线4+-=xy分别与x轴，y轴交于BA、两点，从点()0,2P射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（）A.102 B. 6C．33 D. 224+例6：如图，在平面直角坐标系xOy中，P是反比例函数xy1=（x > 0）图象上的一个动点，点A在x轴上，且PO=PA，AB是PAO△中OP边上的高．设mOA=，nAB=，则下列图象中，能表示n与m的函数关系的图象大致是A B C DDAB C第8题图QFM图mnO。
求动点轨迹的几种方法
求动点轨迹的几种方法求动点轨迹的几种方法求动点轨迹是一种常见的计算问题，它可以用来描述物体在空间中的运动轨迹。
求动点轨迹的方法有很多，本文将介绍几种常用的求动点轨迹的方法。
一、求动点轨迹的数学方法数学方法是求动点轨迹的最常用方法，它可以用来求解物体在空间中的运动轨迹。
数学方法的基本思想是，通过分析物体的运动规律，求出物体在某一时刻的位置，从而求出物体在空间中的运动轨迹。
数学方法的具体步骤如下：1、首先，根据物体的运动规律，求出物体在某一时刻的位置；2、然后，根据物体在某一时刻的位置，求出物体在下一时刻的位置；3、重复上述步骤，直到求出物体在空间中的运动轨迹。
二、求动点轨迹的视觉方法视觉方法是求动点轨迹的另一种常用方法，它可以用来求解物体在空间中的运动轨迹。
视觉方法的基本思想是，通过观察物体的运动，求出物体在空间中的运动轨迹。
视觉方法的具体步骤如下：1、首先，观察物体的运动，求出物体在某一时刻的位置；2、然后，根据物体在某一时刻的位置，求出物体在下一时刻的位置；3、重复上述步骤，直到求出物体在空间中的运动轨迹。
三、求动点轨迹的计算机方法计算机方法是求动点轨迹的另一种常用方法，它可以用来求解物体在空间中的运动轨迹。
计算机方法的基本思想是，通过计算机程序，求出物体在空间中的运动轨迹。
计算机方法的具体步骤如下：1、首先，根据物体的运动规律，编写计算机程序；2、然后，根据计算机程序，求出物体在某一时刻的位置；3、重复上述步骤，直到求出物体在空间中的运动轨迹。
四、求动点轨迹的物理方法物理方法是求动点轨迹的另一种常用方法，它可以用来求解物体在空间中的运动轨迹。
物理方法的基本思想是，通过物理实验，求出物体在空间中的运动轨迹。
物理方法的具体步骤如下：1、首先，根据物体的运动规律，设计物理实验；2、然后，根据物理实验，求出物体在某一时刻的位置；3、重复上述步骤，直到求出物体在空间中的运动轨迹。
以上就是求动点轨迹的几种方法，它们各有优劣，可以根据实际情况选择合适的方法来求解物体在空间中的运动轨迹。
初中数学动点问题解题技巧,动点题解题三步骤,初三数学动点解题思路
双动点问题动点问题是初中数学中的热门问题，也是让人欢喜让人忧的一类问题．其中的数学模型隐藏在变化的运动背后，很多同学容易被这类问题的已知条件迷惑，虽练习很多仍然“闻动色变”，实在爱不起来．但如果会透过现象看本质，找到运动过程中不变的规律，这一类问题又会让人感觉精彩绝伦，回味无穷。
本文就动点问题中如何找到双动点类型中的运动轨迹与大家分享．动点题有时不止一个点在动，如果有两个动点，其中一个随着另一个的运动而运动，题目往往研究第二个动点的一些规律，比如最大最小值，经过的路径长等．解决问题的关键是找到第二个动点的运动轨迹．一、直线型运动1．如图，等边△ABC的边长为4cm，动点D从点B出发，沿射线BC方向移动，以AD为边作等边△ADE。
如图①，在点D从点B开始移动至点C的过程中，求点E移动的路径长．分析：要求点E移动的路径长，首先要确定点E的运动轨迹。
连结CE，如图②,易证△ABD≌△ACE，得∠B=∠ACE=60°，因为∠ACB=60°，所以∠ECF=60°=∠B，所以EC∥AB，故在点D从点B开始移动至点C的过程中,点E的运动轨迹是过点C且平行于AB的一条线段，确定了轨迹，再确定起始与终止位置就可求出路径长．答案：42．已知AB=10，P是线段AB上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB，连接CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，点G移动的路径长是_____．分析：延长AC、BD相交于点E，因为∠A=∠DPB=60°，所以PD∥EA，同理PC∥EB，所以四边形CPDE是平行四边形，连结EP，所以EP、CD互相平分，因为点G为CD的中点，所以EG=PG，所以点G是EP的中点，当点P从点A运动到点B时，点G的运动轨迹是△EAB的中位线MN．答案：5双动点的运动问题中，第二动点的运动轨迹如果是直线型，通常可以找到第二动点所在直线与已知直线的位置关系如平行、垂直等，或者是某一条特殊的直线（或直线上的一部分）如中位线、角平分线等．试一试：1.如图，正方形ABCD的边长为2，动点E从点A出发，沿边AB－BC向终点C 运动，以DE为边作正方形DEFG（点D、E、F、G按顺时针方向排列）．设点E 运动的速度为每秒1个单位，运动的时间为x秒．（1）如图，当点E在AB上时，求证：点G在直线BC上；（2）直接写出整个运动过程中，点F经过的路径长．答案：C在数学中，静中找动，实现从特殊到一般的转化。
初中数学中关于动点问题的试题探究
初中数学中关于动点问题的试题探究数学是一门抽象而又具体的科学，它贯穿了我们生活的方方面面，而初中数学作为数学学科的一个重要环节，其内容丰富而又实用。
在初中数学中，动点问题是一个重要的知识点，它不仅在数学课堂上有着广泛的应用，而且在日常生活中也经常出现。
本文将围绕初中数学中的动点问题展开探究，分析其在数学学科中的重要性和实用性，并给出相关的试题探究，以期引起广大学生对动点问题的兴趣，并加深对该知识点的理解和掌握。
一、动点问题在初中数学中的重要性在初中数学中，动点问题是一个重要的知识点，它涉及到直线、曲线、平面和空间中的点的运动和轨迹等内容，具有一定的抽象性和复杂性。
通过对动点问题的学习，学生可以培养自己的逻辑思维能力，提高解决实际问题的能力，培养对数学的兴趣和热爱，为将来的学习和工作打下良好的数学基础。
动点问题在几何学中也有着重要的应用。
学生通过对动点问题的学习，可以更好地理解和掌握几何学中的直线、曲线和平面等基本概念，加深对几何学知识的理解和掌握，为今后的学习和工作打下坚实的几何学基础。
动点问题在初中数学中具有重要的地位和作用，它对学生的数学素养和数学能力有着重要的促进作用，对学生的综合素质和能力的培养有着积极的意义。
二、动点问题的试题探究1.已知点A在直线l上运动，其运动规律表示为x=2t+1，y=t-3，试求点A的轨迹方程。
解：点A在直线l上运动，其坐标表示为(x，y)，由题意可知x=2t+1，y=t-3，其中t 为参数。
代入点A的坐标到直线l的方程中，可得轨迹方程为x-1=y+3。
2.试分析一架飞机在空中飞行的轨迹和速度变化问题。
解：飞机在空中飞行，整个过程可以看做一个动点问题。
飞机在空中的轨迹是一条曲线，其速度会随着时间的推移而发生变化。
通过对飞机速度变化的分析，可以得出飞机的加速度和速度变化规律，进而求解出飞机在空中的轨迹方程。
通过以上试题探究可以看出，动点问题是一个涉及到时间、空间和速度等多个因素的复杂问题，通过对动点问题的探究，可以更好地理解和掌握动点问题的解题方法和技巧，提高解决实际问题的能力，为将来的学习和工作打下坚实的数学基础。
轨迹方程问题
轨迹方程问题轨迹方程问题是一种比较复杂的数学问题，它涉及到对实体运动轨迹的计算和描述。
它是数学中的一种重要问题，也是物理、航空、机械等领域的研究基础。
本文将从轨迹方程问题的定义、特点以及应用等方面全面介绍，以期为读者提供帮助。
一、轨迹方程问题的定义轨迹方程问题是指求解实体运动轨迹的问题，即对实体运动轨迹描述的数学形式问题。
它是指根据实体运动轨迹的定义，给出实体的运动轨迹的数学形式，从而求解实体的运动轨迹的问题。
二、轨迹方程问题的特点1、数学特点轨迹方程问题是一个典型的微分方程问题，其定义是由实体运动轨迹的定义所推导，其解也是由运动轨迹的定义所推导出来的。
因此，轨迹方程问题具有很强的数学特点。
2、实际特点轨迹方程问题是一种比较复杂的数学问题，它具有实际特点，可以描述实体的运动轨迹，从而更深入地研究实体的运动规律。
三、轨迹方程问题的应用1、物理领域轨迹方程问题可以用于物理领域，比如可以用来求解抛体运动的轨迹，从而研究物体运动的规律，从而更好地掌握物理知识。
2、航空领域轨迹方程问题也可以用于航空领域，比如可以用来求解飞行器的轨迹，从而了解飞行器的运动规律，从而更好地掌握飞行技术。
3、机械领域轨迹方程问题也可以用于机械领域，比如可以用来求解机械设备的运动轨迹，从而了解机械设备的运动规律，从而更好地掌握机械设备的技术。
四、总结轨迹方程问题是一种比较复杂的数学问题，它涉及到对实体运动轨迹的计算和描述。
它是一个典型的微分方程问题，具有很强的数学特点，也具有实际特点，可以描述实体的运动轨迹，并且可以用于物理、航空、机械等领域的研究基础。
因此，轨迹方程问题是一个重要而又有趣的问题，我们有必要更深入地研究它，以期取得更多的科学成果。
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运动轨迹问题
如图，如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AC相交于点E。
（1）求证：BC是⊙D的切线；（2）若AB＝5，BC＝13，求CE的长。
【例题精讲】
AE 。
将正方形AEFG绕例1.1、如图（1）正方形ABCD和正方形AEFG，边AE在边AB上，AB＝12，62
点a逆时针旋转α［（0°≤α≤45°）。
（1）如图（2）正方形AEFG旋转到此位置，求证：BE＝DG；
（2）在旋转的过程中，当∠BEA＝120°时，直接写出BE的长________；
（3）BE的延长线交直线DG于点Q，当正方形AEFG由图（1）绕点A逆时针旋转45°，请直接写出旋转过程中点Q运动的路线长；
（4）在旋转的过程中，是否存在某时刻BF＝BC？若存在，试求出DQ的长；若不存在，请说明理由。
（点Q即（3）中的点）
2、已知正方形ABCD和正方形CGEF，且D点在CF边上，M为AE中点，连接MD、MF。
(1) 如图1，线段MD、MF的关系为_____________；
(2) 如图2，把正方形CGEF绕点C顺时针旋转，则(1)中的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3) 如图3，若BC＝2，2
CF，连接AE、BF交于点I，将正方形CGEF绕点C从图1所示位置开始顺时针旋=
2+
2
转90°．在旋转过程中，点I所运动的路径长为___________（直接写出结果）。
3、边长为22的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点，连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连接QP，QP与BC交于点E， QP延长线与AD（或AD延长线）交于点F。
（1）（3分）连接CQ，证明：CQ=AP；
（2）（4分）猜想PF与EQ的数量关系，并证明你的结论；
(3)（3分）点P由点A运动到点C的过程中，点E运动的路径长是。
【课堂练习】
1、已知△ABC 中，90CAB ∠=︒，3AC AB ==，△CDE 中，90CDE ∠=︒，CD =DE=5,连接接BE ，取BE 中点F ,连接AF 、DF 。
（1）如图1，若C B E 、、三点共线，H 为BC 中点。
①直接指出AF 与DF 的关系______________； ②直接指出FH 的长度______________；
（2）将图（1）中的△CDE 绕C 点逆时针旋转α（如图2，0180α︒<<︒），试确定AF 与DF 的关系，并说明理由；
（3）在（2）中，若7
22
AF =
，请直接指出点F 所经历的路径长。
2、如图1，已知等腰RT△ABC中，E为边AC上一点，过E点作EF⊥AB于F点，以EF为边作正方形EFAG，且
，。
==
AC EF
32
(1) 如图1，连接CF,求线段CF的长；
（2）将等腰RT△ABC绕A点旋转至如图2的位置，连接BE, M点为BE的中点，连接MC、MF，求MC与MF关系；
（3）将等腰RT△ABC绕A点旋转一周，请直接写出点M在这个过程中的运动路径长为_____
3、如图所示，在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正向无滑动的在x轴上滚动，当点A离开原点后第一次落在x轴上时，点A运动的路径与x轴围成的面积为。
4、如图，正方形的边长为2，P为CD边的动点，AB=BE，BQ平分∠CBE，当P从C点运动到D点时，Q的运动轨迹的长度是。
1、在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，线段BC上一动点P从C点开始运动，到B点停止，以AP为边在AC的右侧作等边△APQ，则点Q的运动的路径为（）
A、42
B、22
C、2+22
D、3+22
2、如图，在平面直角坐标系中，点A(5，0)、P(2，0)，点B是平面内一点，PB＝2．若PB绕点P逆时针旋转90°，连接AB，以AB为边作正方形ABCD，在旋转的过程中，点C运动的路径长为___________。
3、如图1，一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF叠合在一起，边BC与EF重合，BC＝EF＝12，点G为边EF
的中点，边FD与边AB相交于点H，如图2，将三角板DEF绕点G按顺时针方向旋转60°的过程中，BH的最大值是，点H运动的路径长是．
4、在平面直角坐标系中，直线
3
1
3
y x
=-+分别与x轴、y轴交于B、C点，点A沿着某条路径运动，以点A为
旋转中心，将点C逆时针方向旋转90°后，刚好落在线段OB上，则点A的运动路径长为（）
A．
6
2
B．6 C．
2
π
2
D．22
5、如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是(0，3)、(1
3+，1)、(1，0)，将△ABC绕点A顺时针旋转一定角度，点C恰好落在x轴的负半轴上，得到△AB′C′。
(1) 直接写出点B′的坐标，C′的坐标，点B到点B经过的路径长；
(2) 求△ABC扫过的面积。