[学习]概率论完整PPT课件第12讲
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14级--GZ《概率与统计》_第12讲_5.1大数定律_5.2中心极限定理
§2 中心极限定理
5.2 中心极限定理
简介
中心极限定理是研究在什么条件下，独立随机变 量序列部分和的极限分布为正态分布的一系列定理 的总称。 在自然界与生产中，一些现象受到许多相互独立 的随机因素的影响，如果每个因素所产生的影响都 很微小时，总的影响可以看作是服从正态分布的。 中心极限定理就是从数学上证明了这一现象 。 它是近两个世纪概率论研究的中心问题，因此这 些定理称为中心极限定理。
P(120000 aX 60000 ) 0.9，即 P( X
由棣莫弗 - 拉普拉斯定理知，
60000 ) 0.9. a
60000 X 60 60000 a 60 P( X ) P( ) 0 . 9. a 60 9.4% 60 9.4%
5.2 中心极限定理
定理1：独立同分布中心极限定理 （变形）
P( k 1
n
X
n
k
n
当n 时 x) ( x)
n
k
X
式中
k 1
n
n
X n n 1 X X
分子分母同时除以n n k 1
k
X 近似 ~ N (0,1) 故： n
或
X ~ N (,
为什么会有这种规律性？这是由于大量试验过程中，随
机因素相互抵消、相互补偿的结果。
用极限方法来研究大量独立（包括微弱相关）随机试验
的规律性的一系列定律称为大数定律。
5.1 大数定律
弱大数定理（辛钦大数定理）
设随机变量序列 X1, X2, … 独立同分布，具有有限的 数学期望 E(Xk)=μ, k=1, 2, …，则对任给 ε >0 ，有
棣莫弗 – 拉普拉斯定理 (针对二项分布)
精品课程《概率论》ppt课件(全)
第一章 概率论的基本概念
前言
1. 确定性现象和不确定性现象.
2. 随机现象: 在个别试验中其结果呈现出 不确定性,在大量重复试验中其结果又 具有统计规律性.
3. 概率与数理统计的广泛应用.
§1.随机试验
举例: E1: 抛一枚硬币，观察正(H)反(T)面的情况.
E2: 将一枚硬币抛两次,观察正反面出现的情况.
成 为 数学 分支
1713年<<猜 度术>> 2
棣莫佛(1667-1754): <<分析杂论>>
中心极限定理(CLT)(1901 年), 乘法原理，正态分布等。
蒲丰(1707-1788)：蒲丰问题
几何概率
拉普拉斯(1749-1827)：1812《概率分析理论》
概率的古典定义
泊松(1781-1840)：推广了大数定理，提出了Poisson分布等.
A的对立事件A记 ,A也 为称A 为不发.生
若A与B互为对立事件，A则 B记 ,或为
BA.
B
A
BA
S
(1)若A, B二事件互为对立事件, 则A,B必互不相容, 但反之不真.
(2)必然事件与不可能事件互为对立事件，
S或S.
(3)ABABAAB
7.事件的运算律:
交换律: A B B A ； A B B A
P(B| A
)nnA ABnnA AB nn
P(AB P(A)
)
1. 定义: 设A, B是两个事件, 且P(A)>0, 称
P(B| A) P(AB ) P(A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件,即
《概率论》课件
物理学
描述粒子在气体或液体中的运动状态。
金融学
用于股票价格和收益率的分析。
隐马尔科夫模型
定义
隐马尔科夫模型是一种特殊的马尔科夫模型 ，其中观测状态与隐藏状态有关，而隐藏状 态之间相互独立。
应用
语音识别、手写识别、生物信息学等领域。
05
大数定律与中心极限定理
大数定律及其应用
大数定律
在独立重复试验中，当试验次数趋于无穷时，事件发 生的频率趋于该事件发生的概率。
《概率论》ppt课 件
目录
• 概率论简介 • 概率的基本性质 • 随机变量及其分布 • 随机过程与马尔科夫链 • 大数定律与中心极限定理 • 贝叶斯统计推断
01
概率论简介
概率论的定义
概率论
研究随机现象的数学学科，通过数学模型和公式 来描述随机事件、随机变量和随机过程。
随机变量
表示随机现象的数值变量，其取值具有随机性。
THANKS
感谢观看
计算机科学
概率论在计算机科学中用于算法设计和数据 挖掘等领域。
02
概率的基本性质
概率的公理化定义
概率的公理化定义是概率论的基础，它规定了概率的几个基本性质，包括非负性 、规范性、可加性和有限可加性。
非负性指的是任何事件的概率都不小于0；规范性指的是必然事件的概率为1；可 加性指的是两个独立事件的概率等于它们各自概率的和；有限可加性指的是任意 有限个两两独立的事件的概率等于这些事件概率的和。
应用
在统计学中，大数定律用于估计样本的统计量和参数 ，如平均值、方差等。
中心极限定理及其应用
中心极限定理
无论随机变量的分布是什么，当样本量足够大时，样 本均值的分布近似正态分布。
高考数学一轮复习第十二章概率与统计12.1随机事件及其概率课件(共10张PPT)
第十二章 概率与统计
§12.1 随机事件及其概率
知识清单
考点 随机事件及其概率
一、随机事件及其概率 1.在一定的条件下必然要发生的事件,叫做必然事件.
2.在一定的条件下不可能发生的事件,叫做不可能事件;在一定的条件下
可能发生也可能不发生的事件,叫做随机事件. 3.在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率 总是m 接近于某个常 数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件A的概率,记作n P(A).
概率等于每个事件发生的概率的积,即P(A1∩A2∩…∩An)=P(A1)·P(A2)·
( )· ( ) . 一生般(即地A②,1如、果A2事、P件…AA、1、AnPA中2、B恰…有、一A个n彼发此生互)的斥概,那率么,等事于件这An1个+A事2件+A分3+别…发+生An发
的概率的和,即P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
‘(事 第默3,件十3契)A二,配(3的先章合,4对)’,”概求立(所4率,事包3所)与件,含(4统通的有,4计常)基,(可记4本,5作事能), (件5,事.有4),:((件51,,51))的,,((51,,总62)),,((6数2,,51))→,,((62,,62再)),,共(2求,136),种满(3.,2足), 条件的基本事件数→由概率公式
4.一次试验连同其中可能出现的每一个事件称为一个基本事件.
5.如果一次试验中可能出现的结果有n个,即此试验由n个基本事件组成, 而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一个基本事件的概率都是
如果事件A1、A2、…、An中的任何两个都是互斥事件,那么就说事件
相 事一互件般独A地的立 ,1n如对事果立;件如事事及件果件其A通事1发、常生件A记的2A作、概包 …率.、含A的n相结互果独立有,那m么个这,n那个么事件事同件时A发的生的概率P(A)=①
§12.1 随机事件及其概率
知识清单
考点 随机事件及其概率
一、随机事件及其概率 1.在一定的条件下必然要发生的事件,叫做必然事件.
2.在一定的条件下不可能发生的事件,叫做不可能事件;在一定的条件下
可能发生也可能不发生的事件,叫做随机事件. 3.在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率 总是m 接近于某个常 数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件A的概率,记作n P(A).
概率等于每个事件发生的概率的积,即P(A1∩A2∩…∩An)=P(A1)·P(A2)·
( )· ( ) . 一生般(即地A②,1如、果A2事、P件…AA、1、AnPA中2、B恰…有、一A个n彼发此生互)的斥概,那率么,等事于件这An1个+A事2件+A分3+别…发+生An发
的概率的和,即P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
‘(事 第默3,件十3契)A二,配(3的先章合,4对)’,”概求立(所4率,事包3所)与件,含(4统通的有,4计常)基,(可记4本,5作事能), (件5,事.有4),:((件51,,51))的,,((51,,总62)),,((6数2,,51))→,,((62,,62再)),,共(2求,136),种满(3.,2足), 条件的基本事件数→由概率公式
4.一次试验连同其中可能出现的每一个事件称为一个基本事件.
5.如果一次试验中可能出现的结果有n个,即此试验由n个基本事件组成, 而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一个基本事件的概率都是
如果事件A1、A2、…、An中的任何两个都是互斥事件,那么就说事件
相 事一互件般独A地的立 ,1n如对事果立;件如事事及件果件其A通事1发、常生件A记的2A作、概包 …率.、含A的n相结互果独立有,那m么个这,n那个么事件事同件时A发的生的概率P(A)=①
概率论ppt课件
先验概率与后验概率
先验概率是指在事件产生前对某一事件产生的概率的估计， 后验概率是指在事件产生后，根据新的信息对某一事件产生 的概率的重新估计。
贝叶斯分析在实践中的应用
金融风险评估
贝叶斯分析可以用于金融风险评估，通过对历史数据的分析，猜测未来市场的 走势和风险。
医学诊断
在医学诊断中，贝叶斯分析可以用于根据患者的症状和体征，结合疾病的特点 ，对疾病进行诊断和猜测。
遍历性和安稳散布
遍历性的定义
01
如果一个马尔科夫链的任意状态在长期平均下占据相同的时间
比例，则称该马尔科夫链具有遍历性。
安稳散布的定义
02
如果一个马尔科夫链的状态概率散布不随时间变化，则称该散
布为安稳散布。
遍历性和安稳散布的关系
03
一个具有遍历性的马尔科夫链通常会有一个唯独的安稳散布，
该散布描写了马尔科夫链在长期运行下的状态概率散布。
伯努利实验
只有两种可能结果的实验 ，例如抛硬币。
二项散布
在n次伯努利实验中成功的 次数所服从的散布。
泊疏松布
在单位时间内（或单位面 积上）随机事件的次数所 服从的散布。
连续型随机变量
正态散布
一种常见的连续型随机变量，其 概率密度函数呈钟形。
指数散布
描写某随机事件的时间间隔所服从 的散布。
均匀散布
在一定区间内均匀散布的概率密度 函数。
的散布假设检验中。
强大数定律
强大数定律的定义
强大数定律是概率论中的一个强大工具，它表明在独立同散布随 机变量序列中，几乎必定有任意给定的收敛子序列。
强大数定律的证明
可以通过切比雪夫不等式和Borel-Cantelli引理等工具来证明。
先验概率是指在事件产生前对某一事件产生的概率的估计， 后验概率是指在事件产生后，根据新的信息对某一事件产生 的概率的重新估计。
贝叶斯分析在实践中的应用
金融风险评估
贝叶斯分析可以用于金融风险评估，通过对历史数据的分析，猜测未来市场的 走势和风险。
医学诊断
在医学诊断中，贝叶斯分析可以用于根据患者的症状和体征，结合疾病的特点 ，对疾病进行诊断和猜测。
遍历性和安稳散布
遍历性的定义
01
如果一个马尔科夫链的任意状态在长期平均下占据相同的时间
比例，则称该马尔科夫链具有遍历性。
安稳散布的定义
02
如果一个马尔科夫链的状态概率散布不随时间变化，则称该散
布为安稳散布。
遍历性和安稳散布的关系
03
一个具有遍历性的马尔科夫链通常会有一个唯独的安稳散布，
该散布描写了马尔科夫链在长期运行下的状态概率散布。
伯努利实验
只有两种可能结果的实验 ，例如抛硬币。
二项散布
在n次伯努利实验中成功的 次数所服从的散布。
泊疏松布
在单位时间内（或单位面 积上）随机事件的次数所 服从的散布。
连续型随机变量
正态散布
一种常见的连续型随机变量，其 概率密度函数呈钟形。
指数散布
描写某随机事件的时间间隔所服从 的散布。
均匀散布
在一定区间内均匀散布的概率密度 函数。
的散布假设检验中。
强大数定律
强大数定律的定义
强大数定律是概率论中的一个强大工具，它表明在独立同散布随 机变量序列中，几乎必定有任意给定的收敛子序列。
强大数定律的证明
可以通过切比雪夫不等式和Borel-Cantelli引理等工具来证明。
高等数学概率论与数理统计课件PPT大全
(AB)C＝A(BC) 3、分配律：(AB)C＝(AC)(BC)，
(AB)C＝(AC)(BC) 4、对偶(De Morgan)律：
A B A B, AB A B
可推广 Ak Ak , Ak Ak .
k
k
k
k
例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、 B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C
定义:(p8) 事件A在n次重复试验中出现nA次，则 比值nA/n称为事件A在n次重复试验中 出现的频率，记为fn(A). 即 fn(A)＝ nA/n.
历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时 ，出现正反面的机会均等。
实验者
De Morgan Buffon
K. Pearson K. Pearson
随机事件
二、样本空间(p2)
1、样本空间：试验的所有可能结果所
组成的集合称为样本空间，记为={e}；
2、样本点: 试验的单个结果或样本空间 的单元素称为样本点,记为e. 3.由样本点组成的单点集 称为基本事件, 也记为e.
幻灯片 6
随机事件
1.定义 样本空间的任意一个子集称为随机事件, 简称“ 事件”.记作A、B、C等
P( AB) P( AC) P(BC) P( ABC )
30% 3 10% 0 0 0 80%
例1.3.2.在110这10个自然数中任取一数，求
（1）取到的数能被2或3整除的概率，
（2）取到的数即不能被2也不能被3整除的概率，
（3）取到的数能被2整除而不能被3整除的概率。
解:设A—取到的数能被2整除; P(A) 1 P(B) 3
的概率有多大？
3.分组问题
例3：30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均 分成3组，求： （1）每组有一名运动员的概率； （2）3名运动员集中在一个组的概率。 解:设A:每组有一名运动员;B: 3名运动员集中在一组
(AB)C＝(AC)(BC) 4、对偶(De Morgan)律：
A B A B, AB A B
可推广 Ak Ak , Ak Ak .
k
k
k
k
例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、 B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C
定义:(p8) 事件A在n次重复试验中出现nA次，则 比值nA/n称为事件A在n次重复试验中 出现的频率，记为fn(A). 即 fn(A)＝ nA/n.
历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时 ，出现正反面的机会均等。
实验者
De Morgan Buffon
K. Pearson K. Pearson
随机事件
二、样本空间(p2)
1、样本空间：试验的所有可能结果所
组成的集合称为样本空间，记为={e}；
2、样本点: 试验的单个结果或样本空间 的单元素称为样本点,记为e. 3.由样本点组成的单点集 称为基本事件, 也记为e.
幻灯片 6
随机事件
1.定义 样本空间的任意一个子集称为随机事件, 简称“ 事件”.记作A、B、C等
P( AB) P( AC) P(BC) P( ABC )
30% 3 10% 0 0 0 80%
例1.3.2.在110这10个自然数中任取一数，求
（1）取到的数能被2或3整除的概率，
（2）取到的数即不能被2也不能被3整除的概率，
（3）取到的数能被2整除而不能被3整除的概率。
解:设A—取到的数能被2整除; P(A) 1 P(B) 3
的概率有多大？
3.分组问题
例3：30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均 分成3组，求： （1）每组有一名运动员的概率； （2）3名运动员集中在一个组的概率。 解:设A:每组有一名运动员;B: 3名运动员集中在一组
概率论与数理统计(最新完整版)ppt课件
(1) 试验可以在相同的条件下重复地进行;
.
(2) 试验的所有可能结果:
正面，反面; (3) 进行一次试验之前不能
确定哪一个结果会出现.
故为随机试验.
同理可知下列试验都为随机试验
1.“抛掷一枚骰子,观察出现的点数”.
2.“从一批产品中,依次任选三件, 记 录出现正品与次品的件数”.
.
3. 记录某公共汽车站 某日上午某时刻的等 车人 数.
(3)分 配 律
A(BC)(A B)(AC)AB AC ,
A (BC)AB AC
( A B ) C ( A C ) ( B C ) ( A C ) B C ( )
(对 4律 ):偶 A B A B ,A B A B .
n
n
Ai Ai,
i1
i1
.
n
n
Ai Ai
i1
i1
三 完备事件组
4. 考察某地区 10 月 份的平均气温.
5. 从一批灯泡中任取 一只,测试其寿命.
.
四、概率的统计定义
１、随机事件：在试验的结果中，可能发生、也可能不发 生的事件。比如，抛硬币试验中，”徽花向上”是随机事 件；掷一枚骰子中，”出现奇数点”是一个随机事件等。
２、频率：设A为实验E中的一个随机事件，将E重复n次， A发生m次，称f(A)=m/n为事件A的频率． 随着实验次数n的增加，频率将处于稳定状态．比如投 硬币实验，频率将稳定在1/2附近．
B A
.
6. 事件的互逆（对立）
若事件 A 、B 满足 A B 且 A B .
则称 A 与B 为互逆(或对立)事件. A 的逆记作 A .
实例 “骰子出现1点”对立 “骰子不出现1点”
.
(2) 试验的所有可能结果:
正面，反面; (3) 进行一次试验之前不能
确定哪一个结果会出现.
故为随机试验.
同理可知下列试验都为随机试验
1.“抛掷一枚骰子,观察出现的点数”.
2.“从一批产品中,依次任选三件, 记 录出现正品与次品的件数”.
.
3. 记录某公共汽车站 某日上午某时刻的等 车人 数.
(3)分 配 律
A(BC)(A B)(AC)AB AC ,
A (BC)AB AC
( A B ) C ( A C ) ( B C ) ( A C ) B C ( )
(对 4律 ):偶 A B A B ,A B A B .
n
n
Ai Ai,
i1
i1
.
n
n
Ai Ai
i1
i1
三 完备事件组
4. 考察某地区 10 月 份的平均气温.
5. 从一批灯泡中任取 一只,测试其寿命.
.
四、概率的统计定义
１、随机事件：在试验的结果中，可能发生、也可能不发 生的事件。比如，抛硬币试验中，”徽花向上”是随机事 件；掷一枚骰子中，”出现奇数点”是一个随机事件等。
２、频率：设A为实验E中的一个随机事件，将E重复n次， A发生m次，称f(A)=m/n为事件A的频率． 随着实验次数n的增加，频率将处于稳定状态．比如投 硬币实验，频率将稳定在1/2附近．
B A
.
6. 事件的互逆（对立）
若事件 A 、B 满足 A B 且 A B .
则称 A 与B 为互逆(或对立)事件. A 的逆记作 A .
实例 “骰子出现1点”对立 “骰子不出现1点”
第12讲 事件的独立性 (II) 例子
概率论与数理统计主讲：四川大学四川大学第12讲事件的独立性(II)1§1.6 独立性四川大学第12讲事件的独立性(II)3第12讲事件的独立性(II)四川大学四川大学第12讲事件的独立性(II)4上一讲我们讲了事件的独立性的概念及其性质四川大学第12讲事件的独立性(II)5（二）独立性的例子四川大学第12讲事件的独立性(II)6两事件的独立性一般可由实际情况去分析。
当两个事件之间没有关联(如两个人独立完成某项工作)或关联很弱时，即可认为它们是相互独立的。
四川大学四川大学第12讲事件的独立性(II)7例2 甲、乙、丙三部机床独立工作，由一个工人照管。
已知某时间段内它们无人照管的概率分别是0.9，0.8，0.7。
求(1) 在这段时间内至少有一台机床有人照管的概率；(2) 至少有二台机床需要同时照管的概率。
解设事件A, B, C 分别表示在这段时间内甲、乙、丙机床无工人照管。
四川大学四川大学第12讲事件的独立性(II)10(II)14四川大学第12讲事件的独立性(II)15设事件A , B , C , D 分别表示开关a , b , c , d关闭E 表示灯亮A , B , C , D 是相互独立的是否关闭相互独立。
(1)求灯亮的概率;(2)若已知灯亮时，求开关a 与b 同时概率闭的概率。
P (A )=P (B )=P (C )=P (D )=0.5由电路图知，只要a 和b 同时关闭，或者c 关闭，或者d 关闭，灯就会亮。
故E=AB+C+D四川大学四川大学第12讲事件的独立性(II)16是否合闭相互独立。
(1)求灯亮的概率;(2)若已知灯亮时，开关a 与b 同时关闭的概率。
P (A )=P (B )=P (C )=P (D )=0.5E=AB+C+D (1) 灯亮的概率()P E ()P D AB C =++()()()P P C A D B P =++()()()AB A P C P D D B P C ---()P AB CD +()()()()P A P B P C P D =++()()()()()()()()P A P B P C P A P B P D P C P D ---()()()()P A P B P C P D +四川大学P(A)=P(B)=P(C)=P(D)=0.5E=AB+C+D(1) 灯亮的概率P P CA D=++=++()()()B PAB C()P E()P DP AB CD+---() AB A()()()P C P D DB P C=++()()()()P A P B P C P D---P A P B P C P A P B P D P C P D()()()()()()()() +P A P B P C P D()()()()20.5---4+0.50.50.50.50.50.5=++332=0.8125四川大学第12讲事件的独立性(II)17四川大学第12讲事件的独立性(II)2421(32)p p p =-21p p -3p =33(1)p p +-326(1)p p +-2(32)p p --三局二胜制，甲最终获胜的概率五局三胜制，甲最终获胜的概率33p =33(1)p p +-326(1)p p +-23p-23(1)p p =-33(1)p p +-326(1)p p +-23(1)[12(1)]p p p p p =--+-223(1)(21)p p p =--2p 3p =33(1)p p +-326(1)p p +-比较大小四川大学考研题评讲四川大学第12讲事件的独立性(II)29四川大学第12讲事件的独立性(II)302000年数学四第二(4)题设A , B , C 三个事件两两独立，则A , B , C 相互独立的充分必要条件是(A)A BC 与独立(B)AB A C 与独立(C)AB AC 与独立(D)A B A C 与独立解若A , B , C 相互独立，则A , BC 相互独立(命题1)或者[()]P A B C ()P A BC =()()()P A B P P C =()()P A P B C =反之，若A , BC 相互独立，则()P ABC [()]P A BC =()()P A P B C =()()()P A B P P C =则A , B , C 相互独立选(A)第一章的内容全部讲完请继续看下一章第二章随机变量及其分布四川大学第12讲事件的独立性(II)31。
概率论与数理统计课件 第12讲
§4.3 协方差与相关系数
对于二维随机向量(X,Y)， 除了其分量X 和Y 的期望与方差之外, 还有一些数字特征, 用以刻画X与Y之间的相关程度，其中最主要 的就是下面要讨论的协方差和相关系数。
4.3.1 协方差 定义1：若 E{[ X-E(X)][Y-E(Y)]} 存在，
则称其为X 与Y 的协方差，记为Cov(X,Y), 即 Cov(X, Y) = E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}. (1)
“=”成立当且仅当X与Y之间有线性 关系，即存在常数a和b，使Y=aX+b.
协方差的大小在一定程度上反映了X 和Y 相互间的关系，但它还受X 和Y 本身度量单位 的影响。
为了克服这一缺点，我们对协方差进行 标准化，这产生了相关系数 。
4.3.2 相关系数
定义2: 设Var(X) > 0, Var(Y) > 0, 则称
当Cov(X, Y) >0时，表明两个随机变量有相同 方向变化的趋势； 当Cov(X, Y) <0时，表明两个随机变量有相反 方向变化的趋势。
协方差性质
(1) Cov(X, Y) =E(XY)-[E(X)][E(Y)] ， 当 X 和 Y 相互独立时，Cov(X, Y)=0；
(2) Cov(X, Y) = Cov(Y, X)；
(3) 若ρ=0，则称X 与Y 互不相关（不线性相
关）。 若| ρ |=1，则表明X与Y 完全线性相关；
| ρ |越接近1，表明X 与Y的线性关系越强 ； | ρ |越接近0，表明X 与Y的线性关系越弱。
特别注意： 当ρ=0时，X与Y 互不相关只是
表明X 与Y不线性相关，但X 与Y之间可能有 某种的函数关系，因此不能保证X与Y相互独 立。
对于二维随机向量(X,Y)， 除了其分量X 和Y 的期望与方差之外, 还有一些数字特征, 用以刻画X与Y之间的相关程度，其中最主要 的就是下面要讨论的协方差和相关系数。
4.3.1 协方差 定义1：若 E{[ X-E(X)][Y-E(Y)]} 存在，
则称其为X 与Y 的协方差，记为Cov(X,Y), 即 Cov(X, Y) = E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}. (1)
“=”成立当且仅当X与Y之间有线性 关系，即存在常数a和b，使Y=aX+b.
协方差的大小在一定程度上反映了X 和Y 相互间的关系，但它还受X 和Y 本身度量单位 的影响。
为了克服这一缺点，我们对协方差进行 标准化，这产生了相关系数 。
4.3.2 相关系数
定义2: 设Var(X) > 0, Var(Y) > 0, 则称
当Cov(X, Y) >0时，表明两个随机变量有相同 方向变化的趋势； 当Cov(X, Y) <0时，表明两个随机变量有相反 方向变化的趋势。
协方差性质
(1) Cov(X, Y) =E(XY)-[E(X)][E(Y)] ， 当 X 和 Y 相互独立时，Cov(X, Y)=0；
(2) Cov(X, Y) = Cov(Y, X)；
(3) 若ρ=0，则称X 与Y 互不相关（不线性相
关）。 若| ρ |=1，则表明X与Y 完全线性相关；
| ρ |越接近1，表明X 与Y的线性关系越强 ； | ρ |越接近0，表明X 与Y的线性关系越弱。
特别注意： 当ρ=0时，X与Y 互不相关只是
表明X 与Y不线性相关，但X 与Y之间可能有 某种的函数关系，因此不能保证X与Y相互独 立。
概率论与数理统计第12讲
概率论与数理统计在金融领域的应用
金融领域一直是概率论与数理统计应用的重要领域之一。例如，风险评估、投资组合优化、信用评分等方面都需 要用到概率论与数理统计中的知识。未来，随着金融市场的不断变化和发展，概率论与数理统计在该领域的应用 将更加深入和广泛。
THANKS
感谢观看
学习如何利用贝叶斯方法进行 参数估计和假设检验，了解贝 叶斯方法在实际问题中的应用
。
了解贝叶斯推断中的常见问题 和挑战，掌握解决这些问题的
方法和技巧。
通过实际案例的分析，提高运 用贝叶斯方法解决实际问题的
能力。
02
概率论与数理统计概述
概率论的基本概念
01
02
03
04
随机试验
随机试验是在一定条件下进行 的试验，其结果具有不确定性
假设检验
科学研究中的假设检验是数理统计的重要应用之一，通过检验假设 是否成立，判断研究结果是否具有科学意义。
数理统计在企业决策中的应用
1 2 3
市场调查
企业通过市场调查收集数据，运用数理统计方法 分析市场趋势和消费者需求，为产品开发和营销 策略提供依据。
质量控制
数理统计在质量控制中用于监控生产过程，发现 异常波动，及时调整生产参数，确保产品质量稳 定。
预测分析
概率论在日常生活中用于 预测分析，通过建立数学 模型和预测算法，预测未 来事件发生的可能性。
04
数理统计的应用
数理统计在数据分析中的应用
描述性统计
数理统计在数据分析中常用于描 述数据的分布、集中趋势和离散 程度，如计算均值、中位数、方
差等。
推断性统计
通过样本数据推断总体特征，如 参数估计、假设检验等，帮助我
。
金融领域一直是概率论与数理统计应用的重要领域之一。例如，风险评估、投资组合优化、信用评分等方面都需 要用到概率论与数理统计中的知识。未来，随着金融市场的不断变化和发展，概率论与数理统计在该领域的应用 将更加深入和广泛。
THANKS
感谢观看
学习如何利用贝叶斯方法进行 参数估计和假设检验，了解贝 叶斯方法在实际问题中的应用
。
了解贝叶斯推断中的常见问题 和挑战，掌握解决这些问题的
方法和技巧。
通过实际案例的分析，提高运 用贝叶斯方法解决实际问题的
能力。
02
概率论与数理统计概述
概率论的基本概念
01
02
03
04
随机试验
随机试验是在一定条件下进行 的试验，其结果具有不确定性
假设检验
科学研究中的假设检验是数理统计的重要应用之一，通过检验假设 是否成立，判断研究结果是否具有科学意义。
数理统计在企业决策中的应用
1 2 3
市场调查
企业通过市场调查收集数据，运用数理统计方法 分析市场趋势和消费者需求，为产品开发和营销 策略提供依据。
质量控制
数理统计在质量控制中用于监控生产过程，发现 异常波动，及时调整生产参数，确保产品质量稳 定。
预测分析
概率论在日常生活中用于 预测分析，通过建立数学 模型和预测算法，预测未 来事件发生的可能性。
04
数理统计的应用
数理统计在数据分析中的应用
描述性统计
数理统计在数据分析中常用于描 述数据的分布、集中趋势和离散 程度，如计算均值、中位数、方
差等。
推断性统计
通过样本数据推断总体特征，如 参数估计、假设检验等，帮助我
。
2018版高中数学第二章概率第12课时事件的独立性课件新人教B版选修2_3
释疑点 相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件 互斥事件 如果事件 A(或 B)是否发生对 事件 B(或 A)发生的概率没有 不可能同时发生的两个事件 概念 影响，这样的两个事件叫做相 叫做互斥事件 互独立事件 相互独立事件 A， B 同时发生， 互斥事件 A，B 中有一个发 符号 记作：AB 生，记作：A∪B(或 A＋B) 计算 P(AB)＝P(A)P(B) P(A∪B)＝P(A)＋P(B) 公式
类型二 相互独立事件发生的概率 【例 2】 面对 H7N9 流感病毒，各国医疗科研机构都在研究 疫苗，现有 A、B、C 三个独立的研究机构在一定的时期内能研制 1 1 1 出疫苗的概率分别是5、4、3. 求：(1)他们都研制出疫苗的概率； (2)他们都失败的概率； (3)他们能够研制出疫苗的概率．
变式训练 1 一个袋子中有 4 个小球，其中 2 个白球，2 个红 球，讨论下列 A，B 事件的相互独立性与互斥性． (1)A：取一个球为红球，B：取出的红球放回后，再从中取一 球为白球； (2)从袋中取 2 个球，A：取出的两球为一白球一红球；B：取 出的两球中至少一个白球．
解析：(1)由于取出的红球放回，故事件 A 与 B 的发生互不影 响，∴A 与 B 相互独立，A，B 能同时发生，不是互斥事件． (2)设 2 个白球为 a，b，两个红球为 1,2，则从袋中取 2 个球的 所有取法为{a，b}，{a,1}，{a,2}，{b,1}，{b,2}，{1,2}， 4 2 5 2 则 P(A)＝6＝3，P(B)＝6，P(AB)＝3， ∴P(AB)≠P(A)· P(B)． ∴事件 A，B 不是相互独立事件，事件 A，B 能同时发生． ∴A，B 不是互斥事件.
1 1 变式训练 2 甲、乙两人独立地破译密码的概率分别为3，4. 求：(1)两个人都译出密码的概率． (2)两个人都译不出密码的概率． (3)恰有一人译出密码的概率． (4)至多一人译出密码的概率． (5)至少一人译出密码的概率．
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•上海年降雨量的分布 •上海99年年降雨量的数据已知
•根据这些数据作频率直方图
•对频率直方图进行考察
•请看演示: •怎样画直方图
•直方图与密度
•2. 连续型r.v及其密度函数的定义
• 对于随机变量 X ,如果存在非负可积函数
f(x) , x
•,使得对任意
,有
•则称 X为连续型r.v,称 f(x)为 X 的概率密度函 •数，简称为概率密度或密度.
•3. 概率密度函数的性质
•1 o
•这两条性质是判定一个 •函数 f(x)是否为某r.vX的
•2 o
•概率密度函数的充要条件.
Hale Waihona Puke • f (x)•面积为1
•o
•x
•4. 对 f(x)的进一步理解: • 若x是 f(x)的连续点，则：
•=f(x)
• 故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好
是
•X落在区间
•依题意， X ～ U ( 0, 30 )
•从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00 ，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，
• 为使候车时间X少于 5 分钟，乘客必须 在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间 到达车站.
•所求概率为：
•即乘客候车时间少于5 分钟的概率是1/3.
•均匀分布常见于下列情形：
• 如在数值计算中，由于四舍五 入，小 数点后某一位小数引入的误差；
• 公交线路上两辆公共汽车前后通过某 汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等.
• 例1 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟 来一班车，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等时刻 •有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间 X 是7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量, 试求他候 车 ••解时：间•以少7于:050为分起钟点的0概，率以.分为单位
[学习]概率论完整PPT课件 第12讲
• 连续型随机变量X所有可能取值充 满一个区间, 对这种类型的随机变量, 不 能象离散型随机变量那样, 以指定它取每 个值概率的方式, 去给出其概率分布, 而 是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.
• 下面我们就来介绍对连续型随机变量 的描述方法.
•1. 实例:(见教材例1) •由实例启发我们如何描述连续型随机变量.
• 区间( 0, 1)上的均匀分布U(0,1)在计 算机模拟中起着重要的作用.
• 实用中，用计算机程序可以在短时 间内产生大量服从 ( 0, 1)上均匀分布的随 机数. 它是由一种迭代过程产生的.
• 严格地说，计算机中产生的U (0,1) 随 机数并非完全随机，但很接近随机，故常 称为伪随机数.
• 如取n足够大，独立产生n个U(0,1) 随机数，则从用这 n 个数字画出的频率 直方图就可看出，它很接近于( 0, 1)上的 均匀分布U(0,1).
•若不计高阶无穷小，有：
• 它表示随机变量 X 取值于
的
概率近似等于
.
•在连续型r.v理论中所起的作用与 •在离散型r.v理论中所起的
•作用相类似.
•需要指出的是:
•连续型r.v取任一指定值的概率为0.
•即：
•a为任一指定值
•这是因为
•由此得， •1) 对连续型 r.v X,有
•2) 由P(X=a)=0 可推知
•而 {X=a} 并非不可能事件 •并非必然事件
•可见，•由P(A)=0, 不能推出 •由P(B)=1, 不能推出 B=S
•称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件.
• 由于连续型 r.v唯一被它的密度函数所确 •定. 所以，若已知密度函数，该连续型 r.v •的概率规律就得到了全面描述.
• f (x)
•o
•x
•下面给出几个r.v的例子.
•（1）若 r.vX的概率密度为：
•则称X服从区间( a, b)上的均匀分布，记作： •X ～ U(a, b)
• 它的实际背景是： r.v X 取值在区间 •(a, b) 上，并且取值在(a, b)中任意小区间 •内的概率与这个小区间的长度成正比. •则 X 具有(a,b)上的均匀分布.
•（2）若 r.v X具有概率密度
•则称 X 服从参数为 的指数分布. •常简记为 X~E( ) .
• 指数分布常用于可靠性统计研究 中，如元件的寿命.
上的概率与区间长度
•之比的极限. 这里，如果把概率理解为质量
， f (x)相当于线密度.
• f (x)
•o
•x
• 要注意的是，密度函数 f (x)在某点处 a的高度，并不反映X取值的概率. 但是， 这个高度越大，则X取a附近的值的概率就 越大. 也可以说，在某点密度曲线的高度 反映了概率集中在该点附近的程度.
•根据这些数据作频率直方图
•对频率直方图进行考察
•请看演示: •怎样画直方图
•直方图与密度
•2. 连续型r.v及其密度函数的定义
• 对于随机变量 X ,如果存在非负可积函数
f(x) , x
•,使得对任意
,有
•则称 X为连续型r.v,称 f(x)为 X 的概率密度函 •数，简称为概率密度或密度.
•3. 概率密度函数的性质
•1 o
•这两条性质是判定一个 •函数 f(x)是否为某r.vX的
•2 o
•概率密度函数的充要条件.
Hale Waihona Puke • f (x)•面积为1
•o
•x
•4. 对 f(x)的进一步理解: • 若x是 f(x)的连续点，则：
•=f(x)
• 故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好
是
•X落在区间
•依题意， X ～ U ( 0, 30 )
•从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00 ，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，
• 为使候车时间X少于 5 分钟，乘客必须 在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间 到达车站.
•所求概率为：
•即乘客候车时间少于5 分钟的概率是1/3.
•均匀分布常见于下列情形：
• 如在数值计算中，由于四舍五 入，小 数点后某一位小数引入的误差；
• 公交线路上两辆公共汽车前后通过某 汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等.
• 例1 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟 来一班车，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等时刻 •有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间 X 是7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量, 试求他候 车 ••解时：间•以少7于:050为分起钟点的0概，率以.分为单位
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• 连续型随机变量X所有可能取值充 满一个区间, 对这种类型的随机变量, 不 能象离散型随机变量那样, 以指定它取每 个值概率的方式, 去给出其概率分布, 而 是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.
• 下面我们就来介绍对连续型随机变量 的描述方法.
•1. 实例:(见教材例1) •由实例启发我们如何描述连续型随机变量.
• 区间( 0, 1)上的均匀分布U(0,1)在计 算机模拟中起着重要的作用.
• 实用中，用计算机程序可以在短时 间内产生大量服从 ( 0, 1)上均匀分布的随 机数. 它是由一种迭代过程产生的.
• 严格地说，计算机中产生的U (0,1) 随 机数并非完全随机，但很接近随机，故常 称为伪随机数.
• 如取n足够大，独立产生n个U(0,1) 随机数，则从用这 n 个数字画出的频率 直方图就可看出，它很接近于( 0, 1)上的 均匀分布U(0,1).
•若不计高阶无穷小，有：
• 它表示随机变量 X 取值于
的
概率近似等于
.
•在连续型r.v理论中所起的作用与 •在离散型r.v理论中所起的
•作用相类似.
•需要指出的是:
•连续型r.v取任一指定值的概率为0.
•即：
•a为任一指定值
•这是因为
•由此得， •1) 对连续型 r.v X,有
•2) 由P(X=a)=0 可推知
•而 {X=a} 并非不可能事件 •并非必然事件
•可见，•由P(A)=0, 不能推出 •由P(B)=1, 不能推出 B=S
•称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件.
• 由于连续型 r.v唯一被它的密度函数所确 •定. 所以，若已知密度函数，该连续型 r.v •的概率规律就得到了全面描述.
• f (x)
•o
•x
•下面给出几个r.v的例子.
•（1）若 r.vX的概率密度为：
•则称X服从区间( a, b)上的均匀分布，记作： •X ～ U(a, b)
• 它的实际背景是： r.v X 取值在区间 •(a, b) 上，并且取值在(a, b)中任意小区间 •内的概率与这个小区间的长度成正比. •则 X 具有(a,b)上的均匀分布.
•（2）若 r.v X具有概率密度
•则称 X 服从参数为 的指数分布. •常简记为 X~E( ) .
• 指数分布常用于可靠性统计研究 中，如元件的寿命.
上的概率与区间长度
•之比的极限. 这里，如果把概率理解为质量
， f (x)相当于线密度.
• f (x)
•o
•x
• 要注意的是，密度函数 f (x)在某点处 a的高度，并不反映X取值的概率. 但是， 这个高度越大，则X取a附近的值的概率就 越大. 也可以说，在某点密度曲线的高度 反映了概率集中在该点附近的程度.