九年级数学下学期-切线的判定
人教版九下数学第二十四章 第2节 第2课时 切线的判定与性质
人教版九下数学第二十四章第2节第2课时切线的判定与性质课标要求：了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念、性质和判定，探索切线与过切点的半径的关系教材分析：切线的性质和判定它是学了直线和圆三种位置关系之后提出的，切线的性质和判定定理是研究三角形的内切圆，切线长定理的基础。
学好它今后数学和物理学科的学习会有很大的帮助。
学情分析：学生在七、八年级基础上有了一定的分析、归纳和简单的逻辑推理能力，以及通过添加辅助线解决几何问题的能力，本节课通过学生动脑动手进一步提升学生的识图能力和总结经验方法的能力。
学之难，教之困，思维误区与障碍：学生普遍的问题是看到题没思路，不会用已学知识，方法解决问题，没有捕捉典型图的能力，识图能力弱，分析能力弱，缺少给什么想什么，缺什么找什么的意识，导致没思路，而且思路不清，逻辑关系混乱，推理过程繁琐。
教学目标：1.通过练习回顾知识，形成相应的知识结构，从而整体复习圆的切线的判定定理与性质定理。
2.通过题组练习，让学生熟练运用圆的切线的判定定理和性质定理解决与圆有关的数学问题，并进一步培养学生运用已有知识解决数学问题的能力。
3.通过运用圆的切线的判定定理和性质定理解决数学问题的过程中，拓宽了解题思路，提高了解题技巧，从而使学生能够灵活应用所学知识解决问题。
教学重点：让学生熟练运用圆的切线的判定定理和性质定理解决与圆有关的数学问题，并归纳总结运用切线的性质和判定解决问题的方法。
教学难点：掌握切线性质和判定解决问题的方法，并能灵活运用。
教学环节一、知识回顾在上面三个图中，直线l和圆的三种位置关系分别是__相交__、__相切__、__相离__．设计意图通过具体图形形象直观的感受切线的特征。
通过几个图形的识别复习了切线的三种判定方法。
以及判定和性质的符号语言。
二、新课导入问题1：我们这一章主要研究了什么图形？请大家看图，你有什么样的方法判断直线与圆相切呢？生活动：教师引导，在图形中，直线l满足了什么条件？“，我们可以把直线与圆相切的定义，从图形的角度来理解.如何重新描述这个定义？引导学生得出：d=r板书：今天我们重点研究切线，如何判断一条直线是否是某个圆的切线呢？定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线.数量关系法（d=r）：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，∠BAC 的平分线交 BC 于 D，以 D为圆心，DB 长为半径作⊙D ．求证：AC 是⊙O 的切线．证明：如图，过 D 作 DE ⊥AC 于 E.∵∠ABC = 90°∴ DB ⊥AB.∵ AD 平分∠BAC ，DE ⊥AC ，∴ DE = DB = r实例引入法切线的性质与判定的内容看似与生活关系不大，实际上，生活中有不少的圆的切线的例子.本节课的教学中可以从生活中的实例引入，提出问题，激发学生的求知欲.如图所示，下雨天，快速转动雨伞时雨滴飞出的方向和用砂轮打磨工件火星飞出的方向都是沿圆的切线方向飞出的.那么，怎么判定是不是圆的切线呢？图1通过实例引出问题，让学生带着问题去听课，加强学习的针对性，增强学生的听课效果，并让学生明确本节课的知识目标.二：提出问题，问题1：我们这一章主要研究了什么图形？请大家看图1，你能过圆上的点A 画出⊙O 的什么线？ 师生活动：学生思考，并动手画一画，然后教师借助几何画板演示，过点A 的无数条直线中，有圆的割线、切线，割线可以画出无数条，而圆的切线只有一条. O A l设计意图：通过问题，引导学生回顾上节课学过的直线与圆的位置关系，为本节课学习切线的判定定理和性质定理作好铺垫.由旧知得出新知，探索切线的判定定理问题2：在生活中，有许多直线和圆相切的实例，你能举出几个吗？设计意图：通过展示实际生活中的图片，让学生感受切线与现实有着密切的联系. 问题3：在图1中，除了上面提到的当直线与圆有唯一公共点时，直线是圆的切线.我们还可以根据什么判断一条直线是圆的切线？你能过点A画出⊙O的切线吗？师生活动：让学生回顾上节课所学内容，什么是圆的切线？学生思考得出，要想准确画出圆的切线，就得出现d=r，因此得需要做出半径r和d.连接OA，过点A 作直线l⊥OA，则此时直线l是⊙O的切线（如图2）.问题4：你能从图形的角度概括上面得出的结论吗？师生活动：教师引导，在图形中，直线l满足了什么条件？“垂直于半径”、“经过半径的外端”.为了便于应用，我们可以把直线与圆相切的定义，从图形的角度来理解.如何重新描述这个定义？引导学生得出：经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线，同时引导学生得出切线判定定理的符号语言.设计意图：通过问题，引导学生借助旧知得到新知，也就是利用直线和圆相切的定义得出切线的判定定理；学生通过自己思考，动手画图可以更深刻的感受切线的判定定理.切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.∵OA⊥l于A∴ l 是⊙O 的切线.4.运用定理，解决问题.例2. 如图，△ABC 中，AB = AC ，以 AB 为直径的 ⊙O 交边 BC 于 P ，PE ⊥AC 于 E. 求证：PE 是 ⊙O 的切线.证明：连接 OP ，如图.∵ AB = AC ，∴∠B =∠C.∵ OB = OP ，∴∠B =∠OPB.∴∠OPB =∠C.∴ OP ∥AC.∵ PE ⊥AC ，∴ PE ⊥OP.∴ PE 为 ⊙O 的切线.三.探索切线的性质定理.问题1：把得到的切线的判定定理中题设结论反过来，结论还成立吗？如图3，l 为⊙O 的切线，切点为A ，那么半径OA 与直线l 是不是一定垂直？ 师生活动：学生通过观察思考，发现半径OA 垂直于直线l.师生讨论后发现直接证明垂直并不容易.此时引导学生可以考虑反证法：假设OA 与直线l 不垂直，过点O 作OM ⊥l ，根据垂线段最短的性质，有OM ＜OA ，这说明圆心O 到直线l 的距离小于半径OA ，于是直线l 就与圆相交，而这与直线l 是⊙O 的切线矛盾.因此OA 与直线l 垂直.从而得到切线的性质定理，同时引导学生得出切线性质定理的符号语言. 切线的性质 O A B E P O A 图3 l圆的切线垂直于经过切点的半径．∵直线 l 是⊙O 的切线，A 是切点，∴直线 l⊥OA例1：直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB,求证：直线AB是⊙O的切线师生活动：教师引导学生分析证明思路：1中由于直线AB经过⊙O上的点C,所以连接OC,只需证OC⊥AB即可。
(完整版)浙教版九年级数学下册第二章
2.1【知识梳理1：切线的判定】1. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线2. 切线判定的三种方法：（1）和圆只有一个公共点的直线（2）圆心到直线的距离等于圆的半径的直线（3）切线判定定理例题讲解例1 下列说法中，不正确的是（）A.与圆只有一个交点的直线是圆的切线B.经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线C.与圆心的距离等于这个圆的半径的直线是圆的切线D.垂直于半径的直线是圆的切线例2 如图，AB是⊙O的直径，下列条件中，不能判定直线AT是⊙O的切线的是（）A. AB＝4，AT＝3，BT＝5B. ∠B＝45°，AB＝ATC. ∠B＝55°，∠TAC＝55°D. ∠ATC＝∠B第2题 第3题例3 如图，已知AB是⊙O的弦，半径OC经过AB的中点D，CE∥AB，点F在⊙O上，eA. ∠F ＝∠AOCB. AB ⊥BFC. CE 是⊙O 的切线D. ＝12AC ︵ BC ︵例4如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB 与CD 交于点E ，CE ＝DE ，过点B 作BF ∥CD ，交AC 的延长线于点F ，求证：BF 是⊙O 的切线.【变式训练】1. 如图，在平面直角坐标系中，过格点A ，B ，C 作一圆弧，则点B 与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（）A.点(0，3)B.点(2，3)C.点(5，1)D.点(6，1)(第1题) (第2题)2. 如图，已知∠ABC ＝90°，O 为射线BC 上一点.以点O 为圆心，BO 长为半径作⊙O .当12射线BA 绕点B 按顺时针方向旋转______________(不超过360°)时与⊙O 相切.3. 如图，四边形ABCD 是平行四边形，以对角线BD 为直径作⊙O ，分别与BC ，AD 交于点E ，F .（1）求证：四边形BEDF 为矩形.（2）若BD 2＝BE ·BC ，试判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由.4. 如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，OD⊥AB于点D.以点O为圆心，OD长为半径的圆交OA于点E，在BA上截取BC＝OB，连结CE.求证：CE是⊙O的切线.5. 如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上(不与点A，B重合)，AD⊥C D.（1）若BC＝3，AB＝5，求AC的长.（2）若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线.【知识梳理2：切线的性质】1. 切线的性质：经过切点的半径垂直于切线2. 只要知道以下其中两个性质就可以推出第三个：①过圆心；②过切点；③垂直于切线例题讲解例1 如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上的一点，且BC=OB，CD切⊙O于点D.则∠A=（）Ath A. 15° B. 30° C. 60° D. 75°第1题第2题例2 如图，以点O 为圆心的两个圆中，大圆的弦AB 切小圆于点C ，OA 交小圆于点D.若OD ＝2，tan ∠OAB ＝，则AB 的长是（）12A. 4B. 2C. 8D. 433例3 如图，AB 为⊙O 的直径，PQ 切⊙O 于点T，连结AT ，AC ⊥PQ 于点C ，交⊙O 于点D.（1）求证：AT 平分∠BA C.（2）若AO ＝2，AT ＝2 ，求AC 的长.3例4如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＋BC ＝8，O 是斜边AB 上一点，以点O 为圆心的⊙O 分别与AC ，BC 相切于点D ，E .（1）当AC ＝2时，求⊙O 的半径.（2）设AC ＝x ，⊙O 的半径为y ，求y 关于x 的函数表达式.thd【变式训练】1. 如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连结A C.若∠A＝30°，PC＝3，则BP的长为_________.第1题第2题2. 如图，半圆O与等腰直角三角形ABC的两腰CA，CB分别切于D，E两点，直径FG 在AB上.若BG＝－1，则△ABC的周长为__________23. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（）A. B. C. D. 21339243135第3题 第4题4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4 .若动点D在线段AC上(不与3点A，C重合)运动，过点D作DE⊥AC交AB边于点E.（1）当点D运动到线段AC的中点时，DE＝___________.（2）若点A关于点D的对称点为点F，以FC为半径作⊙C，当DE＝__________时，⊙C与直线AB相切.5. 如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，F是DA延长线上的一点，AC平分∠FAB 交⊙O于点C，过点C作CE⊥DF，垂足为E.（1）求证：CE是⊙O的切线.（2）若AE＝1，CE＝2，求⊙O的半径.6. 如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，过点D，A分别作⊙O的切线交于点G，并与AB的延长线交于点E.（1）求证：∠1＝∠2.（2）若OF∶OB＝1∶3，⊙O的半径为3，求AG的长.【综合例题讲解】例1如图，公路MN 与公路PQ 在点P 处交会，且QPN ＝30°，在点A 处有一所中学，AP ＝160 m.假设拖拉机行驶时，周围100 m 以内会受噪音影响，那么拖拉机在公路交会处沿PN 方向行驶时，学校是否会受噪音影响？如果不受影响，请说明理由；如果受影响，且已知拖拉机的速度为18 km/h ，则学校受影响的时间为多少秒？例2如图，在平面直角坐标系中，原点为O ，点A 的坐标为(4，0)，点B 的坐标为(－1，0)，以AB 的中点P 为圆心，AB 长为直径作⊙P 交y 轴正半轴于点C.（1）求经过A ，B ，C 三点的抛物线所对应的函数表达式.（2）设M 为(1)中抛物线的顶点，求直线MC 对应的函数表达式.（3）试说明直线MC 与⊙P 的位置关系，并证明你的结论.【变式训练】1. 如图①，以△ABC 的边AB 为直径的⊙O 交边BC 于点E ，过点E 作⊙O 的切线交AC 于点D ，且ED ⊥AC.（1）试判断△ABC 的形状，并说明理由.（2）如图②，若线段AB ，DE 的延长线交于点F ，∠C ＝75°，CD ＝2－，求⊙O 的半径3和BF 的长.2.如图，射线QN 与等边三角形ABC 的两边AB ，BC 分别交于点M ，N ，且AC ∥QN ，AM ＝MB ＝2cm ，QM ＝4cm.动点P 从点Q 出发，沿射线QN 以每秒1cm 的速度向右移动，经过t (s)，以点P 为圆心，cm 为半径的圆与△ABC 的边相切(切点在边上)，3请求出t 可取的一切值2.2知识要点：切线长定理】1. 切线长定理：过圆外一点所作的圆的两条切线长相等2. 注意切线和切线长两个不同的概念【例题讲解】例1如图，从⊙O 外一点P 引⊙O 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B.如果∠APB ＝60°，PA ＝8，那么弦AB 的长是（）A. 4B. 8C. 4D. 833例1图 变式1图【变式训练】1. 如图，PA ，PB ，CD 分别与⊙O 相切于点A ，B ，E ，若PA ＝7，则△PCD 的周长为_________2. 如图，PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，CD 切⊙O 于点E ，分别交PA ，PB 于点C ，D.若⊙O 的半径为r ，△PCD 的周长为3r ，连结OA ，OP ，则的值是_________OAPA变式2图变式3图3.如图，⊙O 与△ABC 中AB ，AC 的延长线及BC 边相切，且∠ACB ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边长依次为3，4，5，则⊙O 的半径是___________.例2如图，PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，连结OP 与⊙O 交于点C ，连结AC ，B C.求证：AC ＝B C.【变式训练】1. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点E ，EF ⊥AB ，垂足为F .（1）求证：DE ＝B C.12（2）若AC ＝6，BC ＝8，求S △ACD ∶S △EDF 的值.2. 如图，O 是△ABC 内一点，⊙O 与BC 相交于F ，G 两点，且与AB ，AC 分别相切于点D ，E ，DE ∥BC ，连结DF ，EG .（1）求证：AB ＝A C.（2）若AB ＝10，BC ＝12，求当四边形DFGE 是矩形时⊙O 的半径.3. 如图，已知正方形ABCD 的边长为2，M 是BC 的中点，P 是线段MC 上的一个动点(不与点M ，C 重合)，以AB 为直径作⊙O ，过点P 作⊙O 的切线交AD 于点F ，切点为E .求四边形CDFP 的周长.【综合例题讲解】1. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 与⊙O 相切于点C ，BE ∥CO .（1）求证：BC 是∠ABE 的平分线；（2）若DC ＝8，⊙O 的半径OA ＝6，求CE 的长．2. 如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 切⊙O 于点D ，AM ⊥CD 于点M ，BN ⊥CD 于点N .（1）求证：∠ADC ＝∠ABD ；（2）求证：AD 2＝AM ·AB ；（3）若AM ＝，sin ∠ABD ＝，求线段BN 的长．185352.3【知识要点：三角形的内切圆】1. 三角形内、外心的区别名称确定方法图形性质外心三角形_____________的交点内心三角形_____________的交点2. 注意“接”与“切”，“内”与“外”的区别，任意一个三角形都有________的内切圆和外接圆，但圆有__________个外切三角形和内接三角形.解题小技巧：（1）已知△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，三边长为a ，b ，c ，则有： S=（a+b+c ）12r （2）已知Rt △ABC 两直角边为a ，b ，斜边为c ，则该直角三角形的内切圆半径：r=（a+b+c ）12例题讲解例1给出下列说法：①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形； ③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形． 其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式训练】1. 下列说法中，不正确的是( )A ．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点B ．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部C ．垂直于半径的直线是圆的切线D ．三角形的内心到三角形的三边的距离相等例2如图，△ABC 是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB ＝15，AC ＝9，BC ＝12，阴影部分是△ABC 的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（）A.B.C.D. 16π6π8π5例2图变式1图【变式训练】1. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，⊙O 为△ABC 的内切圆，D 是斜边AB 的中点，则tan ∠ODA ＝（）A.B.C. D. 233323例3如图，在平面直角坐标系中，有一正方形AOB C.反比例函数y ＝的图象经过正方形kx AOBC 对角线的交点，半径为4－2的圆内切于△ABC ，求k 的值.2【变式训练】1. 如图，⊙O 是以∠ACB 为直角的△ABC 的内切圆，切点分别是D ，E ，F .（1）填空：当_____________时，EF ∥AB （填上符合题目要求的一个条件即可）.（2）当EF ∥AB 时，设⊙O 的半径r ＝1，DE ，AC 的延长线交于点G ，求GF 的长.2. 如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，I 为△ABC 的内心，O 为BC 上一点，过B ，I 两点的⊙O 交BC 于点D ，tan ∠CBI ＝，AB ＝6.13（1）求线段BD 的长.（2）求线段BC 的长.【链接中考】1. △ABC 中，AB ＝AC ，∠A 为锐角，CD 为AB 边上的高，I 为△ACD 的内切圆圆心，则∠AIB 的度数是（）A ．120°B ．125°C ．135°D ．150°2. 一个钢管放在V 形架内， O 为钢管的圆心．如果钢管的半径为25 cm ，∠MPN = 60︒，则OP =________.3. 如图，在△ABC 中，5cm AB AC ==，cos B 35=．如果⊙Ocm ，且经过点B 、C ，那么线段AO = cm．4. . 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=16，点O 为△ABC 的内心，M 为斜边AB 的中点，求OM 的长【综合例题讲解】例1如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠CAB ＝α(定值)，⊙O 的圆心O 在AB 上，并分别与AC ，BC 相切于点P ，Q .（1）求∠POQ 的度数(用含α的代数式表示).（2）设D 是CA 延长线上的一个动点，DE 与⊙O 相切于点M ，点E 在CB 的延长线上，试判断∠DOE 的度数是否保持不变，并说明理由.（3）在（2）的条件下，如果AB ＝m(m 为已知数)，cos α＝，设AD ＝x ，DE ＝y ，求y35关于x 的函数表达式（并指出自变量x 的取值范围）.例2 在Rt △ABC ，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，CD ⊥AB 于点D ，以D 为坐标原点，CD 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系. （1）求A ，B ，C 三点的坐标；（2）若⊙O 1、⊙O 2分别为△ACD ，△BCD 的内切圆，求直线O 1O 2的函数表达式【课后作业】1. 如图，AB 是⊙O 的直径，CO ⊥AB ，CD 切⊙O 于D ，AD 交CO 于E.求证：CD ＝CE.2. 如图，⊙D 的半径为3，A 是⊙D 外一点，且AD ＝5，AB ，AC 分别与⊙D 相切于B ，C 两点，G 是上任意一点，过点G 作⊙D 的切线，交AB 于点E ，交AC 于点F .BC︵ （1）求△AEF 的周长.（2）当G 为线段AD 与⊙D 的交点时，连结CD ，求五边形DBEFC 的面积.3.如图，直线l 与⊙O 相交于A ，B 两点，且与半径OC 垂直，垂足为H ，已知AB ＝16cm ，cos ∠OBH ＝.45（1）求⊙O 的半径；（2）如果要将直线l 向下平移到与⊙O 相离的位置，平移的距离应满足什么条件？4. 如图①，在四边形ABCD 中，∠D ＝∠C ＝90°，AB ＝4，BC ＝6，AD ＝8.点P ，Q 同时从A 点出发，分别做匀速运动，其中点P 沿AB ，BC 向终点C 运动，速度为每秒2个单位，点Q 沿AD 向终点D 运动，速度为每秒1个单位．当这两点中有一点到达终点时，另一点也停止运动．设这两点运动了t 秒．（1）动点P 与Q 哪一点先到达终点？此时t 为何值？(直接写出结果)（2）当0＜t ＜2时，求证：以PQ 为直径的圆与AD 相切(如图②)．（3）以PQ 为直径的圆能否与CD 相切？若能，求出t 的值或取值范围；若不能，请说明理由．。
九年级数学下册《切切线的定义及判定定理线的定义及判定定理》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解切线的定义，掌握切线与圆相切的唯一性和切点的性质；
2.学会运用判定定理判断直线是否为圆的切线，包括：圆心到直线的距离等于半径、过圆上一点的直线垂直于半径等；
3.能够运用切线性质解决实际问题，如求切线长度、切线与圆相交弦长等；
（1）研究圆的切线与半径的关系，总结出切线长度的计算公式；
（2）探讨弦切角与圆心角的关系，并尝试证明。
4.小组作业：
（1）分组讨论，共同解决以下问题：已知圆的方程和一点，求过该点的切线方程；
（2）每组将讨论成果整理成书面报告，并在课堂上展示。
作业要求：
1.独立完成作业，认真思考，规范书写，确保作业质量；
（3）注重培养学生的空间想象力和抽象思维能力，提高学生的数学素养；
（4）结合生活实际，创设有趣、富有挑战性的教学情境，激发学生的学习兴趣和探究欲望。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动：教师展示自行车轮胎与地面接触点的图片，引导学生观察并思考：为什么轮胎与地面接触的点只有一个？这个点有什么特殊性质？
（1）求给定圆的切线方程；
（2）已知切线方程，求圆的方程；
（3）判断给定直线是否为圆的切线，若是，求切点坐标。
2.请同学们思考以下问题，并在课堂上进行分享：
（1）如何利用切线性质解决实际问题？
（2）在解决切线问题时，判定定理有哪些应用场景？
（3）结合生活实际，举例说明切线在现实中的胎与地面相切的点，相切的意思是两者在此处紧密接触，没有缝隙。
3.教师引导：很好，今天我们就来学习与这个相切点有关的知识——切线。首先，请同学们回忆一下我们已经学过的圆的性质和方程。
九年级数学-切线长定理—知识讲解-提高
切线长定理—知识讲解（提高）审稿：【学习目标】1.了解切线长定义；理解切线的判定和性质；理解三角形的内切圆及内心的定义；2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明.【要点梳理】要点一、切线的判定定理和性质定理1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定方法：（1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；（2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）.2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.要点诠释：切线的性质：（1）切线和圆只有一个公共点；（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于过切点的半径；（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.要点二、切线长定理1．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.3．圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等.要点三、三角形的内切圆1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).【典型例题】类型一、切线长定理1.如图，等腰三角形ABC中，6AC BC==，8AB=．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF AC⊥，垂足为F，交CB的延长线于点E．求证：直线EF是⊙O的切线.【答案与解析】如图，连结OD、CD，则90BDC∠=︒．∴CD AB⊥．∵ AC BC=，∴AD BD=．∴D是AB的中点．∵O是BC的中点，∴DO AC∥．∵EF AC⊥于F．∴EF DO⊥．∴EF是⊙O的切线．【总结升华】连半径，证垂直.举一反三：【变式】已知：如图，在梯形 ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=AB+DC，AD是⊙O的直径．求证：BC和⊙O相切．【答案】作OE⊥BC，垂足为E，∵ AB∥DC，∠B=90°，∴ OE∥AB∥DC，∵ OA=OD，∴ EB=EC，∴ BC是⊙O的切线．2.已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：DC是⊙O的切线．【答案与解析】连接OD．∵ OA=OD，∴∠1=∠2．∵ AD∥OC，∴∠1=∠3，∠2=∠4．因此∠3=∠4．又∵ OB=OD，OC=OC，∴△OBC≌△ODC．∴∠OBC=∠ODC．∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，∴ DC是⊙O的切线．【总结升华】因为AB是直径，BC切⊙O于B，所以BC⊥AB．要证明DC是⊙O的切线，而DC和⊙O有公共点D，所以可连接OD，只要证明DC⊥OD．也就是只要证明∠ODC=∠OBC.而这两个角分别是△ODC和△OBC的内角，所以只要证△ODC≌△OBC．这是不难证明的．举一反三：【高清ID号：356967 关联的位置名称（播放点名称）：练习题精讲】【变式】已知：∠MAN=30°，O为边AN上一点，以O为圆心、2为半径作⊙O，交AN于D、E两点，设AD=x，⑴如图⑴当x取何值时，⊙O与AM相切；⑵如图⑵当x为何值时，⊙O与AM相交于B、C两点，且∠BOC=90°．【答案】（1）设AM与⊙O相切于点B，并连接OB，则OB⊥AB；在△AOB中，∠A=30°，则AO=2OB=4，所以AD=AO-OD，即AD=2．x=AD=2.（2）过O点作OG⊥AM于G∵OB=OC=2，∠BOC=90°，∴BC=，，∵∠A=30°∴OA=图（2）∴x=AD= 2类型二、三角形的内切圆3.如图，点I 为△ABC 的内心，点O 为△ABC 的外心，∠O ＝140°，则∠I 为（ ） （A ）140° （B ）125° （C ）130° （D ）110°【答案】B ．【解析】因点O 为△ABC 的外心，则∠BOC 、∠A 分别是BC 所对的圆心角、圆周角，所以∠O ＝2∠A ，故∠A ＝21×140°＝70°．又因为I 为△ABC 的内心， 所以∠I ＝90°＋21∠A ＝90°＋21×70°＝125°．【总结升华】本题考查圆心角与圆周角的关系，内心、外心的概念．注意三角形的内心与两顶点组成的角与另一角的关系式．类型三、与相切有关的计算与证明【高清ID 号： 356967 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题4】4. 如图，已知直径与等边△ABC 的高相等的圆O 分别与边AB 、BC 相切于点D 、E ，边AC 过圆心O与圆O 相交于点F 、G. (1) 求证：DE ∥AC.(2) 若△ABC 的边长为a ，求△ECG 的面积.【答案与解析】（1）∵△ABC 是等边三角形,∴∠B=∠A=60°∵AB 、BC 是圆O 的切线，D 、E 是切点，∴BD=BE.∴∠BDE=60°=∠A, ∴DE//AC.（2）分别连接OD 、OE ，作EH ⊥AC 于点H ．∵AB 、BC 是圆O 的切线，D 、E 是切点，O 是圆心， ∴∠ADO=∠OEC=90°，OD=OE ，AD=EC.∴△ADO ≌△CEO,有AO=OC=12a . ∵圆O 直径等于△ABC 的高,∴半径 ,∴CG=OC+OG=2a ． ∵EH ⊥OC ，∠C ＝60°,可推知EH =8a . ∴【总结升华】本题是一道综合性很强的习题，考查到切线的性质，全等三角形的判断，等边三角形的性质等，是一道很不错的题．。
初中数学专题：切线的判定和性质【九大题型】(举一反三)(苏科版)
专题2.6 切线的判定和性质【九大题型】【苏科版】【题型1 有关切线的说法辨析】 (1)【题型2 判断或补全使直线为切线的条件】 (2)【题型3 证明某直线是圆的切线（连半径证垂直）】 (3)【题型4 证明某直线是圆的切线（作垂直证半径）】 (4)【题型5 利用切线的性质求线段长度】 (6)【题型6 利用切线的性质求角度大小】 (7)【题型7 利用切线的性质证明】 (8)【题型8 切线的判定与性质的综合运用】 (9)【题型9 过圆外一点作圆的切线】 (11)【知识点切线的判定】（1）切线判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线②和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）③如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线（2）切线判定常用的证明方法：②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．【题型1 有关切线的说法辨析】【例1】（2023春·山东日照·九年级统考期中）如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC 是⊙A切线的是（）A．∠A＝50°，∠C＝40°B．∠B﹣∠C＝∠AC．AB2+BC2＝AC2D．⊙A与AC的交点是AC中点【变式1-1】（2023春·九年级课时练习）下列直线中可以判定为圆的切线的是（）A．与圆有公共点的直线B．经过半径外端的直线C．垂直于圆的半径的直线D．与圆心的距离等于半径的直线【变式1-2】（2023春·西藏拉萨·九年级校考期末）下列四个选项中的表述，一定正确的是（）A．经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线B．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线C．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线D．经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线【变式1-3】（2011秋·湖北黄冈·九年级统考期末）如图，已知、分别为的直径和弦，为的中点，垂直于的延长线于，连接，若，，下列结论一定错误的是()A．DE是⊙O的切线B．直径AB长为20cmC．弦AC长为16cm D．C为的中点【题型2 判断或补全使直线为切线的条件】【例2】（2023春·北京·九年级统考期末）在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是．（写一个条件即可）【变式2-1】（2023春·山东德州·九年级统考期中）如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于度时，AC才能成为⊙O的切线．【变式2-2】（2023春·河南信阳·九年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB 于D 点，连接CD ．（1）求证：∠A=∠BCD ；（2）若M 为线段BC 上一点，试问当点M 在什么位置时，直线DM 与⊙O 相切？并说明理由．【题型3 证明某直线是圆的切线（连半径证垂直）】【例3】（2023春·江西宜春·九年级江西省丰城中学校考开学考试）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，O 为AB 上一点，经过点A ，D 的O 分别交AB ，AC 于点E ，F ．(1)求证：BC 是O 的切线；(2)若8AF =，=1CF ，求O 的半径．【变式3-1】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，Rt ABC △中，90A ∠=︒，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，点E 在O 上CE CA =，AB ，CE 的延长线交于点F ．(1)求证：CE 与O 相切；(2)若O 的半径为3，4EF =，求CE 的长．【变式3-2】（2023春·江西九江·九年级校考期中）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，P 为BC 延长线上的一点，使得PAC B ∠=∠．(1)求证：AP 是O 的切线．(2)F 为O 上一点，且OC 经过AF 的中点E ．①求证：B CAE ∠=∠；②若2AE CE =，AC =O 的半径长．【变式3-3】（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）如图，已知半径为5的M 经过x 轴上一点C ，与y 轴交于A 、B 两点，连接AM 、AC ，AC 平分OAM ∠，6AO CO +=．(1)判断M 与x 轴的位置关系，并说明理由；(2)求AB 的长．【题型4 证明某直线是圆的切线（作垂直证半径）】【例4】（2023春·山东日照·九年级日照市新营中学校考期中）如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，CB ＝CD ，连接BD ，以点B 为圆心，BA 长为半径作⊙B ，交BD 于点E ．（1）试判断CD 与⊙B 的位置关系，并说明理由．（2）若AB ＝6，∠BDC ＝60°，求图中阴影部分的面积．【变式4-1】（2023·江西南昌·九年级期末）如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA长为半径的O与BC相切于点M.（1）求证：CD与O相切.（2）若正方形ABCD的边长为1，求半径OA的长.【变式4-2】（2023•武汉模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB 上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3．（1）求证：AC是⊙D的切线；（2）求线段AC的长．【变式4-3】（2023•椒江区一模）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．【知识点2 切线的性质】（1）切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径（2）切线性质的推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心【题型5 利用切线的性质求线段长度】【例5】（2023春·河南·九年级校联考期末）如图，为的直径，，是上不同于，的两点，过点的切线垂直于交的延长线于点，连接．(1)求证：；(2)若，，则的长为__________．【变式5-1】（2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考开学考试）如图，是的直径，点C在上，过点C作的切线l，过点B作于点D．(1)求证：平分；(2)连接，若，，求的长．【变式5-2】（2023春·广东韶关·九年级校考期末）如图，已知△内接于⊙O，是⊙O的直径，点F在⊙O上，且点C是弧的中点，过点C作⊙O的切线交的延长线于D点，交的延长线于E点．(1)求证：；(2)若，，求的长．【变式5-3】（2023春·广东汕头·九年级统考期末）如图，是的直径，点C是上一点，与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线与的延长线相交于点P，G是△的内心，连接并延长，交于E，交于点F，连接．(1)求证：平分；(2)连接，判断△的形状，并说明理由；(3)若，，求线段的长．【题型6 利用切线的性质求角度大小】【例6】（2023春·重庆南岸·九年级重庆市珊瑚初级中学校校考期中）如图，是的直径，，是的弦，是的切线，为切点，与交于点．若点为的中点，，则的度数为（）A．B．C．D．【变式6-1】（2023春·河南信阳·九年级校联考期末）如图，是的直径，点是外一点，交于点，连接，．若，且与相切，则此时等于（）A．B．C．D．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）如图：P是的直径的延长线上一点，是的切【变式6-2】线，A为切点，，则．【变式6-3】（2023春·江西宜春·九年级江西省丰城中学校考期末）如图，点A，B在圆O上，且＝，点P 是射线上一动点（不与点O重合），连接，将△沿折叠得到△，当△的边所在的直线与圆O相切时，的度数为．【题型7 利用切线的性质证明】【例7】（2023春·河北邢台·九年级校联考期末）如图，BD是的直径，是的弦，过点A的切线交的延长线于点C，．求证：△ △．【变式7-1】（2023春·河南驻马店·九年级统考期中）如图所示，是的直径，点为线段上一点（不与，重合），作，交于点，垂足为点，作直径，过点的切线交的延长线于点，于点，连接试证明：(1)是的角平分线；(2)．【变式7-2】（2023春·广东江门·九年级统考期末）如图，点A、B、C在O上，直线与O相切于点A．(1)试问：与有怎样的大小关系？证明你的结论；(2)如果我们把形如这样的角称为“弦切角”，请你用文字表述你在（1）中得出的结论．（2023·安徽·九年级统考期中）已知：如图，点是外一点，过点分别作的切线、，切点【变式7-3】为点、，连接，过点作交于点，过点作于.（1）求证：四边形是矩形；（2）若，的半径为，试证明四边形的周长等于.【题型8 切线的判定与性质的综合运用】【例8】（2023春·湖北·九年级期末）AB为⊙O的直径，P A为⊙O的切线，BC OP交⊙O于C，PO交⊙O 于D，（1）求证：PC为⊙O的切线；（2）过点D作DE⊥AB于E，交AC于F，PO交AC于H，BD交AC于G，DF＝FG，DF＝5，CG＝6，求⊙O的半径．【变式8-1】（2023春·湖北随州·九年级统考期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E是AB 上一点，以CE为直径的⊙O交BC于点F，连接DO，且∠DOC＝90°．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若DF＝2，DC＝6，求BE的长．【变式8-2】（2023春·河南周口·九年级淮阳第一高级中学校考期末）如图，，点是线段的一个三等分点，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点，连接(1)求证:是的切线；(2)点为上的一动点，连接.①当时，四边形是菱形;②当时，四边形是矩形.【变式8-3】（2023春·湖北·九年级期末）已知AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的角平分线交⊙O于点D，DE⊥AC于E．（1）如图（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如图（1）若AB＝10，AC＝6，求ED的长；（3）如图（2）过点B作⊙O的切线，交AD延长线于F，若ED＝DF，求的值．【题型9 过圆外一点作圆的切线】【例9】（2023·北京海淀·九年级期末）已知：点，，在上，且．求作：直线，使其过点，并与相切．作法：①连接；②分别以点，点为圆心，长为半径作弧，两弧交于外一点；③作直线．直线就是所求作直线．(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明．证明：连接，，∵，∴四边形是菱形，∵点，，在上，且，∴______°（_________________）（填推理的依据）．∴四边形是正方形，∴，即，∵为半径，∴直线为的切线（_________________）（填推理的依据）．【变式9-1】（2023·天津和平·统考三模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点在格点上，点在格点上，圆心在线段上，圆与网格线相交于点，过点作圆的切线与网格线交于点．（1）；（2）过点作圆的切线，切点为（点不与点重合）．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）．【变式9-2】（2023春·江苏宿迁·九年级统考期中）已知：和外一点．(1)如图甲，和是的两条切线，、分别为切点，求证：；(2)尺规作图：在图乙中，过点作的两条切线、、、为切点（要求：保留作图痕迹，不写作法）．【变式9-3】（2023·北京海淀·九年级期末）按要求作图：(1)如图1，在正方形网格中，有一圆经过了两个小正方形的顶点A，B，利用无刻度直尺画出这个圆的一条直径；(2)如图2，BA，BD是⊙O中的两条弦，C是BD上一点，∠BAC=50︒，利用无刻度直尺在图中画一个含有50︒角的直角三角形；(3)如图3，利用无刻度直尺和圆规，以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作⊙O（不写作法，保留作图痕迹）；(4)如图4，AB与圆相切，且切点为点B，利用无刻度直尺在网格中找出点B的位置．专题2.6 切线的判定和性质【九大题型】【苏科版】【题型1 有关切线的说法辨析】 (1)【题型2 判断或补全使直线为切线的条件】 (2)【题型3 证明某直线是圆的切线（连半径证垂直）】 (3)【题型4 证明某直线是圆的切线（作垂直证半径）】 (4)【题型5 利用切线的性质求线段长度】 (6)【题型6 利用切线的性质求角度大小】 (7)【题型7 利用切线的性质证明】 (8)【题型8 切线的判定与性质的综合运用】 (9)【题型9 过圆外一点作圆的切线】 (11)【知识点切线的判定】（1）切线判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线②和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）③如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线（2）切线判定常用的证明方法：②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．【题型1 有关切线的说法辨析】【例1】（2023春·山东日照·九年级统考期中）如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC 是⊙A切线的是（）A．∠A＝50°，∠C＝40°B．∠B﹣∠C＝∠AC．AB2+BC2＝AC2D．⊙A与AC的交点是AC中点【答案】D【分析】根据切线的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论．【详解】解：A、∵∠A＝50°，∠C＝40°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，∴BC⊥AB，∵点B在⊙A上，∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；B、∵∠B﹣∠C＝∠A，∴∠B＝∠A+∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵点B在⊙A上，∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；C、∵AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵点B在⊙A上，∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；D、∵⊙A与AC的交点是AC中点，∴AB＝AC，但不能证出∠B＝90°，∴不能判定BC是⊙A切线；故选：D．【点睛】本题考查了切线的判定、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理等知识；熟练掌握切线的判定是解题的关键．【变式1-1】（2023春·九年级课时练习）下列直线中可以判定为圆的切线的是（）A．与圆有公共点的直线B．经过半径外端的直线C．垂直于圆的半径的直线D．与圆心的距离等于半径的直线【答案】D【分析】根据切线的判定方法逐项分析即可．【详解】解：A．与圆有且仅有一个公共点的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意；B．经过半径外端的直线且垂直于半径的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意；C．经过半径外端的直线且与半径垂直的直线是圆的切线，故不正确；D．与圆心的距离等于半径的直线，故该选项正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了切线的判定方法，如果直线与圆只有一个公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点；经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【变式1-2】（2023春·西藏拉萨·九年级校考期末）下列四个选项中的表述，一定正确的是（）A．经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线B．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线C．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线D．经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线【答案】C【分析】根据切线的判定对各个选项进行分析，从而得到答案．【详解】由切线的判定定理可知：经过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线，故A，B，D选项不正确，C故选：C．【点睛】此题主要考查了圆中切线的判定，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．【变式1-3】（2011秋·湖北黄冈·九年级统考期末）如图，已知、分别为的直径和弦，为的中点，垂直于的延长线于，连接，若，，下列结论一定错误的是()A．DE是⊙O的切线B．直径AB长为20cmC．弦AC长为16cm D．C为的中点【答案】D【分析】AB是圆的直径，则∠ACB=90°，根据DE垂直于AC的延长线于E，可以证得ED∥BC，则DE⊥OD，即可证得DE是圆的切线，根据切割线定理即可求得AC的长，连接OD，交BC与点F，则四边形DECF 是矩形，根据垂径定理即可求得半径．【详解】解：连接OD，OC．∵D是弧BC的中点，则OD⊥BC，∴DE是圆的切线．故A正确；∴DE2=CE?AE即：36=2AE∴AE=18，则AC=AE-CE=18-2=16cm．故C正确；∵AB是圆的直径．∴∠ACB=90°，∵DE垂直于AC的延长线于E．D是弧BC的中点，则OD⊥BC，∴四边形CFDE是矩形．∴CF=DE=6cm．BC=2CF=12cm．在直角△ABC中，根据勾股定理可得：AB=．故B正确；在直角△ABC中，AC=16，AB=20，则∠ABC≠30°，而D是弧BC的中点．∴弧AC≠弧CD．故D错误．故选D．【题型2 判断或补全使直线为切线的条件】【例2】（2023春·北京·九年级统考期末）在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是．（写一个条件即可）【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）【分析】根据切线的判定条件，只需要得到∠BAT=90°即可求解，因此只需要添加条件：∠ABT=∠ATB=45°即可．【详解】解：添加条件：∠ABT=∠ATB=45°，∵∠ABT=∠ATB=45°，∴∠BAT=90°，又∵AB是圆O的直径，∴AT是圆O的切线，故答案为：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，三角形内角和定理，熟知圆切线的判定条件是解题的关键．【变式2-1】（2023春·山东德州·九年级统考期中）如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于度时，AC才能成为⊙O的切线．【答案】60【分析】由已知可求得∠OAB的度数，因为OA⊥AC，AC才能成为⊙O的切线，从而可求得∠CAB的度数．【详解】解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°，∴，∵当OA⊥AC即∠OAC=90°时，AC才能成为⊙O的切线，∴当∠CAB的度数等于60°，即OA⊥AC时，AC才能成为⊙O的切线．故答案为：60．【点睛】本题考查了切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握切线的判定定理是解答此题的关键．【变式2-2】（2023春·河南信阳·九年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O 交AB于D点，连接CD．（1）求证：∠A=∠BCD；（2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．【答案】（1M为BC的中点．【详解】试题分析：（1）根据圆周角定理可得∠ADC=90°，再根据直角三角形的性质可得∠A+∠DCA=90°，再由∠DCB+∠ACD=90°，可得∠DCB=∠A；（2）当MC=MD时，直线DM与⊙O相切，连接DO，根据等等边对等角可得∠1=∠2，∠4=∠3，再根据∠ACB=90°可得∠1+∠3=90°，进而证得直线DM与⊙O相切．试题解析：（1）证明：∵AC为直径，∴∠ADC=90°，∴∠A+∠DCA=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DCB+∠ACD=90°，∴∠DCB=∠A；（2）当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切；解：连接DO，∵DO=CO，∴∠1=∠2，∵DM=CM，∴∠4=∠3，∵∠2+∠4=90°，∴∠1+∠3=90°，∴直线DM与⊙O相切，故当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切．考点：切线的判定．【变式2-3】（2023春·江西上饶·九年级统考期末）已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．（1）如图甲，AB为直径，要使EF为⊙O的切线，还需添加的条件是（写出两种情况，不需要证明）：①或②；（2）如图乙，AB是非直径的弦，若∠CAF=∠B，求证：EF是⊙O的切线．（3）如图乙，若EF是⊙O的切线，CA平分∠BAF，求证：OC⊥AB．【答案】（1）①OA⊥EF；②∠FAC=∠B；（2）见解析；（3）见解析．【分析】(1) 添加条件是:①OA⊥EF或∠FAC=∠B根据切线的判定和圆周角定理推出即可．(2) 作直径AM,连接CM，推出∠M=∠B=∠EAC，求出∠FAC+∠CAM=90°，根据切线的判定推出即可．(3)由同圆的半径相等得到OA=OB，所以点O在AB的垂直平分线上，根据∠FAC=∠B，∠BAC=∠FAC，等量代换得到∠BAC=∠B，所以点C在AB的垂直平分线上，得到OC垂直平分AB．【详解】（1）①OA⊥EF②∠FAC=∠B，理由是：①∵OA⊥EF，OA是半径，∴EF是⊙O切线，②∵AB是⊙0直径，∴∠C=90°，∴∠B+∠BAC=90°，∵∠FAC=∠B，∴∠BAC+∠FAC=90°，∴OA⊥EF，∵OA是半径，∴EF是⊙O切线，故答案为：OA⊥EF或∠FAC=∠B，（2）作直径AM，连接CM，即∠B=∠M（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），∵∠FAC=∠B，∴∠FAC=∠M，∵AM是⊙O的直径，∴∠ACM=90°，∴∠CAM+∠M=90°，∴∠FAC+∠CAM=90°，∴EF⊥AM，∵OA 是半径，∴EF 是⊙O 的切线．（3）∵OA=OB ，∴点O 在AB 的垂直平分线上，∵∠FAC=∠B ，∠BAC=∠FAC ，∴∠BAC=∠B ，∴点C 在AB 的垂直平分线上，∴OC 垂直平分AB ，∴OC ⊥AB ．【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形的内角和定理等知识点，注意:经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，直径所对的圆周角是直角．【题型3 证明某直线是圆的切线（连半径证垂直）】【例3】（2023春·江西宜春·九年级江西省丰城中学校考开学考试）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，O 为AB 上一点，经过点A ，D 的O 分别交AB ，AC 于点E ，F ．(1)求证：BC 是O 的切线；(2)若8AF =，=1CF ，求O 的半径．【答案】(1)见解析(2)O 的半径为5．【分析】（1）连接OD ，可得OA OD =，根据等边对等角，以及角平分线的定义，可得ODA CAD ∠=∠，根据“内错角相等，两直线平行”可得OD AC ∥，根据平行线的性质，可得90ODB C ∠=∠=︒，再根据切线的判定方法，即可判定；（2）过点O 作OG AF ⊥，交AF 于点G ，根据垂径定理可得118422AG FG AF ===⨯=，故5CG =，根据矩形的判定和性质，即可求解．【详解】（1）证明：如图，连接OD ，则OA OD =，ODA OAD ∴∠=∠， AD 是BAC ∠的平分线，OAD CAD ∴∠=∠，ODA CAD ∴∠=∠，OD AC ∴∥，90ODB C ∴∠=∠=︒， OD 为O 的半径，点D 在O 上，∴BC 是O 的切线；（2）解：过点O 作OG AF ⊥，交AF 于点G ，如图，OG AF ⊥，118422AG FG AF ∴===⨯=， 1CF =，145CG CF FG ∴=+=+=，OG AF ⊥，90OGC ∴∠=︒，90ODB C ∠=∠=︒，∴四边形ODCG 是矩形，5DO CG ∴==，O ∴的半径为5．【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆的垂径定理，矩形的判定和性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义、平行线的判定和性质，解题的关键是准确作出辅助线．【变式3-1】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，Rt ABC △中，90A ∠=︒，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，点E 在O 上CE CA =，AB ，CE 的延长线交于点F ．(1)求证：CE 与O 相切；(2)若O 的半径为3，4EF =，求CE 的长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】（1）连接OE 、AE ，则OE OA =，所以OEA OAE ∠=∠，由CE CA =，得CEA CAE ∠=∠，所以90CEO CEA OEA CAE OAE ∠=∠+∠=∠+∠=︒，即可证明CE 与O 相切；（2）由切线的性质得90FEO ∠=︒，3OE OA ==，4EF =，得5OF ，则8AF OF OA =+=，即可根据勾股定理列方程2228(4)CE CE +=+，求解即可．【详解】（1）证明：如图，连接OE 、AE ，则OE OA =，OEA OAE ∴∠=∠，CEA CAE ∴∠=∠，90CEO CEA OEA CAE OAE CAO ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒， CE 经过O 的半径OE 的外端，且CE OE ⊥，CE ∴与O 相切．（2）解：由（1）知CE 与O 相切，∴90FEO ∠=︒∵3OE OA ==，4EF =，5OF ∴，8AF OF OA ∴=+=，∵90CAF =︒∠∴222CA AF CF +=，∵CA CE =，4CF CE =+，2228(4)CE CE ∴+=+，6CE ∴=，CE ∴的长为6．【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、圆的切线的判定、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．【变式3-2】（2023春·江西九江·九年级校考期中）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，P 为BC 延长线上的一点，使得PAC B ∠=∠．(1)求证：AP 是O 的切线．(2)F 为O 上一点，且OC 经过AF 的中点E ．①求证：B CAE ∠=∠；②若2AE CE =，AC =O 的半径长．【答案】(1)见解析；(2)①见解析；②O 的半径为5．【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得出90ACB ∠=︒，进而得出90CAB PAC ∠+∠=︒，即90PAB ∠=︒，即可得出结论；（2）①先根据直径所对的圆周角是直角得出90ACB BCO ACE ∠=∠+∠=︒，进而得出90B ACE ∠+∠=︒，根据题意可得出AE OC ⊥，推出90CAE ACE ∠+∠=︒，即可得出结论；②设CE x =,则2AE x =，由①知AE OC ⊥，得出ACE △和AOE △都是直角三角形，在Rt ACE 中，根据勾股定理得出()(2222x x +=，求出2CE =，4AE =，在Rt AOE △中，根据勾股定理得出()22242OA OA +-=，即可得出答案 【详解】（1）证明：∵AB 为O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∴90CAB B ∠+∠=︒，∵PAC B ∠=∠，∴90CAB PAC ∠+∠=︒，即90PAB ∠=︒，∴AP AB ⊥，∴AP 是O 的切线；（2）①证明：∵AB 为O 的直径，∴90ACB BCO ACE ∠=∠+∠=︒，∵OC OB =，∴B BCO ∠=∠，∴90B ACE ∠+∠=︒，∵OC 经过AF 的中点E ，∴AE OC ⊥，∴90CAE ACE ∠+∠=︒，∴B CAE ∠=∠；②解：设CE x =,则2AE x =，由①知AE OC ⊥，∴ACE △和AOE △都是直角三角形，在Rt ACE 中，222AE CE AC +=，∴()(2222x x +=，解得：2x =（负值舍去），即2CE =，4AE =，在Rt AOE △中，222AE OE AO +=，∴()22242OA OA +-=，解得：5OA =，即O 的半径为5．【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，勾股定理，掌握切线的判定定理是解题的关键．【变式3-3】（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）如图，已知半径为5的M 经过x 轴上一点C ，与y 轴交于A 、B 两点，连接AM 、AC ，AC 平分OAM ∠，6AO CO +=．(1)判断M 与x(2)求AB 的长．【答案】(1)相切，理由见解析(2)6【分析】（1）连接OM ，由AC 平分OAM ∠可得OAC CAM ∠=∠，又MC AM =，所以CAM ACM ∠=∠，进而可得OAC ACM ∠=∠，所以OA ∥MC ，可得MC x ⊥轴，进而可得结论；（2）过点M 作MN y ⊥轴于点N ，则A N B N =，且四边形MNOC 是矩形，设,AO m =可分别表达MN 和ON ，进而根据勾股定理可建立等式，得出结论；【详解】（1）解：M 与x 轴相切，理由如下：如图，连接OM ， AC 平分OAM ∠，OAC CAM ∴∠=∠，又MC AM =，CAM ACM ∴∠=∠，OAC ACM ∴∠=∠，OA ∴∥MC ，OA x ⊥轴，MC x ∴⊥轴， CM 是半径，M ∴与x 轴相切（2）如图，过点M 作MN y ⊥轴于点N ，AN BN ∴==12AB ，90MCO AOC MNA ∠=∠=∠=︒，∴四边形MNOC 是矩形，NM OC ∴=，5MC ON ==，设,AO m =则6OC m =-，5AN m ∴=-，在Rt ANM 中，222AM AN MN =+，∴()()222556m m =-+-，解得2m =或9(m =舍去)，3AN ∴=，6AB ∴=． 【点睛】本题主要考查切线的定义，勾股定理，矩形的性质与判定，垂径定理，待定系数法求函数表达式，题目比较简单，关键是掌握相关定理．【题型4 证明某直线是圆的切线（作垂直证半径）】（2023春·山东日照·九年级日照市新营中学校考期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，【例4】CB＝CD，连接BD，以点B为圆心，BA长为半径作⊙B，交BD于点E．（1）试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由．（2）若AB＝6，∠BDC＝60°，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）相切，理由见解析；（2）3π【分析】(1)过点B作BF⊥CD，证明△ABD≌△FBD，得到BF= BA，即可证明CD与圆B相切；(2)先证明△BCD是等边三角形，根据三线合得到∠ABD= 30°，求出AD，再利用阴影部分的面积= S△ABD－S扇形ABE求出阴影部分面积．【详解】解：(1) 过点B作BF⊥CD，垂足为F，∴∠BFD=90°，∵AD∥BC，∠ABC＝90°，∴∠ABC＝90°，∴∠BAD=90°，∴∠BAD=∠BFD，∵AD∥BC，∴∠ADB= ∠CBD，∴CB= CD，∴∠CBD= ∠CDB，∴∠ADB = ∠CDB ，在△ABD 和△FBD 中 ，ADB CDB BAD BFD BD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△FBD (AAS)，∴BF = BA ，则点F 在圆B 上，∴CD 与⊙B 相切；(2) ∵∠BCD = 60°，CB = CD ，∴△BCD 是等边三角形，∴∠CBD = 60°，∵ BF ⊥CD ，∴∠ABD = ∠DBF = ∠CBF = 30 °，∴∠ABF = 60 °，∵ AB = BF = 6，∴AD = DF °∴阴影部分的面积= S △ABD －S 扇形ABE= 2130662360π⨯⨯⨯-=3π ．【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，三角函数的定义，题目的综合性较强，解题的关键是正确作出辅助线．【变式4-1】（2023·江西南昌·九年级期末）如图，O 为正方形ABCD 对角线上一点，以O 为圆心，OA 长为半径的O 与BC 相切于点M .（1）求证：CD 与O 相切.（2）若正方形ABCD 的边长为1，求半径OA 的长.【答案】（1）见解析；（2）2OA =【分析】（1）根据正方形的性质可知，AC 是角平分线，再根据角平分线的性质进行证明即可；（2）根据正方形的边长求出AC 的长，再根据等腰直角三角形的性质得出即可求出.【详解】解：（1）如图，连接OM ，过点O 作ON CD ⊥于点N ，∵O 与BC 相切，∴OM BC ⊥∵四边形ABCD 是正方形，∴AC 平分BCD ∠，∴OM ON =，∴CD 与O 相切.（2）∵四边形ABCD 为正方形，∴1,90,45AB B ACD ︒︒=∠=∠=，∴45AC MOC MCO ︒∠=∠=，∴MC OM OA ==，∴OC .又AC OA OC =+，∴OA 2OA =【点睛】本题主要考查了正方形的性质和圆的切线的性质和判定，还运用了数量关系来证明圆的切线的方法.【变式4-2】（2023•武汉模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 为AB上的一点，DE ＝DC ，以D 为圆心，DB 长为半径作⊙D ，AB ＝5，EB ＝3．（1）求证：AC 是⊙D 的切线；（2）求线段AC 的长．【分析】（1）过点D作DF⊥AC于F，求出BD＝DF等于半径，得出AC是⊙D的切线．（2）先证明△BDE≌△DCF（HL），根据全等三角形对应边相等及切线的性质的AB＝AF，得出AB+EB＝AC．【解答】证明：（1）过点D作DF⊥AC于F；∵AB为⊙D的切线，∴∠B＝90°∴AB⊥BC∵AD平分∠BAC，DF⊥AC∴BD＝DF∴AC与⊙D相切；（2）在△BDE和△DCF中；∵BD＝DF，DE＝DC，∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），∴EB＝FC．∵AB＝AF，∴AB+EB＝AF+FC，即AB+EB＝AC，∴AC＝5+3＝8．【变式4-3】（2023•椒江区一模）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．【分析】过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，根据切线的性质得出AB⊥OD，根据等腰三角形三线合一的性质得出AO是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质得出OE＝OD，从而证得结论．【解答】证明：过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，∵AB与⊙O相切于点D，∴AB⊥OD，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO是∠BAC的平分线，∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径，∵圆心到直线的距离等于半径，∴AC是⊙O的切线．【知识点2 切线的性质】（1）切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径（2）切线性质的推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心【题型5 利用切线的性质求线段长度】【例5】（2023春·河南·九年级校联考期末）如图，为的直径，，是上不同于，的两点，过点的切线垂直于交的延长线于点，连接．(1)求证：；(2)若，，则的长为__________．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，可证，从而可证，即可求证．（2）过作交于，可求，，，接可求解．【详解】（1）证明：如图，连接，为的切线，，，，，，，，．。
冀教版九年级下册数学《切线的性质和判定》PPT(第2课时)
知2－讲
导引：(1)已知BC是⊙O的直径，可连接CD，构造直径 所对的圆周角，结合AD＝DB，可得AC＝BC；
(2)要证DE是⊙O的切线，而点D在圆上，可联想 到连接OD，设法证DE⊥OD即可．
解：(1) 连接CD，如图. ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB， ∵AD＝DB， ∴AC＝BC＝2OC＝10.
知1－练
6 如图，AB是⊙O的直径，线段BC与⊙O的交点D 是BC的中点，DE⊥AC于点E，连接AD，则下列 结论中正确的个数是(D )
①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；
③OA＝ 1 AC；④DE是⊙O的切线．
2
A．1
B．2
C．3
D．4
知识点 2 切线的性质和判定的应用
知2－导
例2 [中考·湖州]如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O 于点C，AB交⊙O于点D，E为AC的中点，连接DE. (1)若AD＝DB，OC＝5， 求切线AC的长； (2)求证：DE是⊙O的切线．
B．3个
C．2个
D．1个
1 知识小结
切
线
↗的
判
圆
定
的
切
线
↘切 线 的
性
质
↗ → ↘ ↗ → ↘
定义法 数量法d=r 判定定理
切线和圆只有一个公共点 圆心到切线的距离等于半径 圆的切线垂直于过切点的半径
2 易错小结
如图，点O为∠MPN的平分线上一点，以点O为圆心 的⊙O与PN相切于点A. 求证：PM为⊙O的切线．
（来自《典中点》）
知识点 2 切线长定理的应用
知2－讲
例2 如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B， BC为⊙O的直径，连接AB，AC，OP. 求证：(1)∠APB＝2∠ABC； (2)AC∥OP.
九年级数学下圆综合复习计算
切线的判定与性质【知识要点】1．直线与圆的三种位置关系在图中，图(1)、图(2)、图(3)中的直线l和⊙O是什么关系?2.切线的判定定理：切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．对定理的理解：①经过半径外端；②垂直于这条半径．注意：定理中的两个条件缺少一个行不行?定理中的两个条件缺一不可．（如图）3.切线的判定方法判定一条直线是圆的切线的三种方法：(1)定义：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。
(2)数量关系：即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线．(3)图形位置关系（判定定理）：．经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．其中(2)和(3)本质相同，只是表达形式不同．解题时，灵活选用其中之一。
4.切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径.推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
注意：对于切线性质定理的两个推论：①垂直于切线；②经过切点；③经过圆心，知道任意二个就可以推出第三个【典型例题】例1．下列说法正确的是（）（1）与直径垂直的直线是圆的切线；（2）到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；（3）经过半径外端点的直线是圆的切线； （4）与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；（5）经过半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线．A 、（1）（2）（3）B 、（2）（3）（5）C 、（2）（4）（5）D 、（3）（4）（5）例2．如图所示，PBC 是⊙O 的割线，A 点是⊙O 上一点，且PC PB PA ⋅=2． 求证：PA 是⊙O 的切线．例3．如图所示，已知：梯形ABCD 中AB ∥CD ，∠A=︒90，腰BC 是⊙O 的直径，且BC=CD+AB ．求证：AD 和⊙O 相切．例4．如图所示，已知：两个同心圆O 中，大圆的弦AB 、CD 相等，且AB 与小圆相切于点E ．求证：CD 是小圆O 的切线．·OPABC·ACBDO ABD C例5．如图所示，AB 是⊙O 的直径，BC 为弦，C 为弧AD 的中点，过C 作BD 的垂线交BD 的延长线于E 点．求证：CE 与⊙O 相切．例6． 如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，AB=8，BC=5，若以AB 为直径为⊙O 与DC 相切于点E ，则DC= 。
九年级数学下册《切线的性质和判定》教案、教学设计
4.设计不同难度的例题和练习题，由浅入深，让学生逐步掌握切线相关知识，培养逻辑推理能力和数学运算能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对几何图形的审美情趣，激发他们对数学学科的兴趣和热爱。
2.培养学生勇于探索、严谨治学的学习态度，让他们在解决问题的过程中体验成功的喜悦。
九年级数学下册《切线的性质和判定》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解并掌握切线的定义，能够准确判断一个直线是否为给定圆的切线。
2.掌握切线的性质，如切线与半径垂直、切线段为半径的外切三角形的一条边等。
3.学会使用判定定理判断一个直线是否为圆的切线，如通过圆心到直线的距离等于圆的半径来判断。
4.能够运用切线相关知识解决实际问题，如求圆的切线长度、切线与弦的交点等。
（二）过程与方法
在本章节的教学过程中，学生将通过以下方法培养数学思维与解题能力：
1.通过实际操作和观察，引导学生发现切线的性质，培养观察能力和动手能力。
2.引导学生运用几何画板等教学软件，进行动态演示，激发学生的学习兴趣，提高直观想象能力。
6.开展课堂小结活动，鼓励学生分享自己在学习过程中的收获和困惑，及时反馈教学效果，为后续教学提供参考。
7.教学评价方面，注重过程性评价与终结性评价相结合，关注学生在课堂上的表现、作业完成情况以及解决问题的能力。
8.加强课后辅导，针对学生在学习过程中遇到的问题，提供个性化指导，帮助他们克服难点，提高学习效果。
（2）在平面直角坐标系中，已知圆心为(3,4)，半径为5，求过点A(1,1)的切线方程。
3.拓展练习题：
初中数学九年级《切线的判定》
(1)
(2)
(3) 地平线
做一做，画一个⊙O及半径OA，过⊙O的 半径OA的外端点A画一条直线L，且垂直 于这条半径OA，如图(1)所示，这条直线L 是⊙O的切线吗？
o
L
A
切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条 半径的直线是圆的切线.
）。
4、逻辑排除法 例5、顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形一定是（ ） A、正方形 B、矩形 C、菱形 D、平行四边形
三、数形结合法
由已知条件作出相应的图形，再由图形的直观性得出正确 的结论。
例6.直线y=-x-2 和y=x+3 的交点在第（ ）象限。
O
E （2）试问CD与⊙O有什么位置关系，并说 明理由。
（1）解：过点O作OE⊥CD，E为垂足
B
C
∵∠C=∠D=90,OE⊥CD
（2）CD与⊙O相切
∴AD//OE//BC 又∵OA=OB
理由：∵AB=6cm，OE=3cm ∴OE=1/2AB
∴DE=CE
又 ∵ AB 为 ⊙ O 的 直 径 ， OE⊥CD
二、排除法：
排除法根据题设和有关知识，排除明显不正确选项，那么剩下
惟一的选项，自然就是正确的选项，如果不能立即得到正确的选 项，至少可以缩小选择范围，提高解题的准确率。排除法是解选 择题的间接方法，也是选择题的常用方法。
已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c，它们在同 一坐标系内的大致图象是（ ）
下面举例再回顾一下解数学选择题的几种常用方 法，供大家复习时参考，希望对同学们有所启发和帮 助。
一、直接法：
直接根据选择题的题设，通过计算、推理、判断得出正确选项
专题08 切线的判定与性质(解析版) -2021-2022学年九年级数学之专攻圆各种类型题
专题08 切线的判定与性质概念规律重在理解1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.OA为⊙O的半径，BC ⊥OA于A。
则BC为⊙O的切线。
注意：在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线。
2.判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：（1）定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;（2）数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；（3）判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.3.证切线时辅助线的添加方法(1) 有交点，连半径,证垂直;(2) 无交点，作垂直,证半径.4.有切线时常用辅助线添加方法见切点，连半径，得垂直.5.切线的其他重要结论(1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;(2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.6.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．直线l是⊙O 的切线，A是切点，直线l ⊥OA.说明：利用切线的性质解题时，常需连接辅助线，一般连接圆心与切点，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质解题.典例解析掌握方法【例题1】（2021吉林长春）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，若∠BAC＝35°，则∠ACB的大小为（）A．35°B．45°C．55°D．65°【答案】C【解析】先根据切线的性质得到∠ABC＝90°，然后利用互余计算出∠ACB的度数．∵BC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣35°＝55°．【例题2】（2021广西玉林）如图，⊙O与等边△ABC的边AC，AB分别交于点D，E，AE是直径，过点D作DF⊥BC于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）连接EF，当EF是⊙O的切线时，求⊙O的半径r与等边△ABC的边长a之间的数量关系．【答案】见解析。
27.2.3 第1课时 切线的判定与性质定理课件2023-2024学年华东师大版九年级数学下册
预习导学
(1)用一根细线系一个小球，当你快速转动细线时，小球运
动形成一个圆，突然这个小球脱落，沿着圆的边缘飞出去，你
知道小球顺着什么方向飞出去吗？(2)下雨天，快速转动雨伞，
雨伞上的水珠是顺着什么方向飞出去的？
预习导学
切线的判定定理
阅读课本本课时前5段的内容，完成下面问题.
如图，OA是☉O的半径，记为r，过点A作直线l⊥OA.
共点，应该“作垂线”.
合作探究
变式演练 在上题中，如果已知OA、OB是☉D的切线，切
点分别是E，F，试说明OD是∠AOB的平分线.
证明:连接DE，DF，图略.
∵OA，OB是☉D的切线，
∴DE⊥OA，DF⊥OB.
在Rt△EOD与Rt△FOD中，
∵DE＝DF，OD＝OD，
∴Rt△EOD≌Rt△FOD，
第27章 圆
27.2 与圆有关的位置关系
27.2.3 切线
第1课时 切线的判定与性质定理
素养目标
1.通过探究，得出切线的判定定理，能够运用切线的判定定
理解决问题.
2.知道切线的性质定理，并能运用切线的性质定理解决问题.
◎重点:运用圆的切线的判定定理和性质定理进行证明与计
算.
◎难点:灵活运用所学知识解决有关切线问题.
∴∠EOD＝∠FOD，
∴OD是∠AOB的平分线.
合作探究
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分
线AD交BC边交于点D.以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作
☉O(不写作法，保留作图痕迹)，再判断直线BC与☉O的位置关
系，并说明理由.
合作探究
解:如图，BC是☉O的切线.
理由如下:连接OD，
北师大版九年级数学下册切线长定理课件
∠ACB= 65 °或115 °.
P
O
B
五、当堂达标检测
6.△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且
AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF，BD，CE的长.
解：设AF=x,则AE=x
∴CD=CE=AC-AE=13-x，
A
D
P
O
C
E
B
二、自主合作，探究新知
又∵DC、DA是☉O的两条切线，点C、A是切点，
∴DC=DA.同理可得CE=EB.
l△PDE=PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=PA+PB=14.
∵OA=OC，OD=OD，
∴△AOD≌△COD，
∴∠DOC=∠DOA= ∠AOC.
P
同理可得∠COE= ∠COB.
7.如图，在△ABC 中，∠ABC=50º，∠ACB=75º,点O是△ ABC的内心，
求∠BOC的度数.
解：∵点O是△ABC 的内心,
∴∠OBC
∠OCB
= ∠ABC
= ∠ACB
= ×50º=
25º,
= ×75º=37.5º.
在△OBC 中，∠BOC =180º- ∠OBC - ∠OCB
=180º- 25º- 37.5º= 117.5º.
四、课堂小结
切线长
切线长定理
切线长定理
经过圆外一点作圆的切线，这点和切
点之间的线段的长叫作切线长．
过圆外一点画圆的两条切线，它们的
湘教版九年级下册数学精品教学课件 第2章 圆 第1课时 切线的判定
∵BO ＝ OC，∴∠OCB ＝ ∠OBC. ∵∠ACO＋∠OCB ＝ 90°，∠OCB ＝ ∠OBC，
作一条直线 l ⊥OA，圆心O 到直线 l 的距离是多少？
直线 l 和⊙O 有怎样的位置关系？
l
l
由圆的切线定义可知直线 l 与圆 O 相切.
圆心 O 到直线l的
距离等于半径 OA.
ll
要点归纳 切线的判定定理
过半径外端且垂直于半径的直线 是圆的切线.
应用格式
B A O
OA 为 ⊙O 的半径 BC ⊥ OA 于 A
=∠CAD.求证：直线 BC 是圆 O 的切线.
证明：因为 AB = AC，∠BAD = ∠CAD， 所以 AD ⊥ BC. 又因为 OD 是圆 O 的半径，且BC 经过点 D， D
所以直线 BC 是圆 O 的切线.
例1变式 已知：直线 AB 经过 ⊙O 上的点 C ，并且
OA = OB，CA = CB. 求证：直线 AB 是 ⊙O 的切线. 证分明析：：连由接于OACB.过⊙O上的点C，所以连接OC，
BC 为 ⊙O 的切线
C
判一判 下列各直线是不是圆的切线？如果不是， 请说明为什么？
O. A
O.
A
l
(1)
l
B
(2)
(1) 不是，因为没有垂直.
O Al
(3) (2)，(3) 不是，因为没 有经过半径的外端点A.
注意 在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这
人教版数学第二十四章 第2节 切线的判定与性质
人教版数学第二十四章第2节切线的判定与性质一、内容和内容解析本节课的内容是人教版九年级数学下册《圆》这一章的第二节直线和圆的位置关系。
圆是几何学习中的重点难点，尤其是切线的相关知识是中考中的热点与难点。
切线的判定的教学在平面几何乃至整个中学数学教学中都占有重要地位和作用。
除了在证明和计算中有着广泛的应用外，它也是研究三角形内切圆的作法，切线长定理以及后面研究两圆的位置关系和正多边形与圆的关系的基础，所以它是《圆》这一章的重要内容，也可以说是本章的核心。
本节课的教学内容如下：一、切线的判定方法1.定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线，但是不常用。
2.数量法（距离法）：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线。
3.判定定理（最常用的方法）：经过半径的外端，并且垂直半径的直线是圆的切线，这是从位置关系进行判定。
其中使用判定定理时，两个条件缺一不可。
经过半径的外端垂直于这条半径的直线是圆的切线。
二、证明切线作辅助线的两种方法1.如果已知直线经过圆上一点，则连接这点和圆心得到辅助半径，再证所作半径与这条直线垂直。
简记：有公共点、连半径、证垂直。
2.如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点，则过圆心作直线的垂线段为辅助线。
再证垂线段的长等于半径的长，即为有公共点、作垂直、证半径。
让学生在经历数学知识的探索和发现过程中，体验几何学习中推理的无穷乐趣，感受数学思维的严谨性和数学结论的确定性。
二、目标和目标解析按照课标要求，学生经历探索切线判定定理的过程，要能够灵活运用会运用切线的判定定理解决问题。
鉴于本节课是新授课，根据《数学课程标准》,数学教学必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上，所以我确定了如下目标：1.知识与技能：①理解切线的判定定理，并能初步运用它解决简单的问题。
②知道判定切线的常用的三种方法，初步掌握方法的选择。
③掌握在解决切线的问题中常用的辅助线的作法。
2.过程与方法：①通过判定一条直线是否为圆的切线，训练学生的推理判断能力。
沪科版数学九年级下册《切切线的定义及判定定理线的定义及判定定理》教学设计
沪科版数学九年级下册《切切线的定义及判定定理线的定义及判定定理》教学设计一. 教材分析《切线的定义及判定定理》是沪科版数学九年级下册中的一章，本章主要介绍切线的定义、性质及判定定理。
教材通过丰富的例题和练习，使学生掌握切线的基本概念，能够运用判定定理判断一条直线是否为切线。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数、方程等基础知识，具备一定的逻辑思维和分析问题的能力。
但对于切线的定义和判定定理，学生可能初次接触，需要通过实例和练习来理解和掌握。
三. 教学目标1.了解切线的定义，掌握切线的性质。
2.学习切线的判定定理，能够判断一条直线是否为切线。
3.培养学生运用切线知识解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.切线的定义及其性质。
2.切线判定定理的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究切线的定义和性质。
2.利用几何画板软件，动态展示切线的过程，增强直观感受。
3.运用实例和练习，巩固切线判定定理的应用。
4.小组讨论，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的多媒体教学课件。
2.准备几何画板软件，用于动态展示切线。
3.准备相关的练习题，巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如滑梯、曲线运动等，引导学生思考切线的概念。
提问：什么是切线？切线有哪些性质？2.呈现（15分钟）介绍切线的定义和性质。
通过几何画板软件，动态展示曲线与切线的关系，使学生直观地理解切线的性质。
3.操练（15分钟）根据切线的定义和性质，判断一些图形的切线。
学生独立完成，教师巡回指导。
4.巩固（10分钟）讲解切线判定定理，并运用判定定理判断一些直线是否为切线。
通过实例和练习，使学生掌握判定定理的应用。
5.拓展（10分钟）讨论切线在实际问题中的应用。
如：在物理学中，如何利用切线研究物体的运动状态？在工程图中，如何利用切线表示曲线？6.小结（5分钟）总结本节课所学内容，强调切线的定义、性质和判定定理。
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切线的判定
一、学习目标
1.理解切线的判定定理和性质定理。
2.熟练掌握以上内容解决一些实际问题。
3.提升数学学习能力。
二、自主探究
请你先阅读课本，然后解决下面的问题：
（一）引入新知
1 、【画一画】
请你自己动手画一个圆的切线，你怎么知道它是圆的切线？
作法：（1）
（2）
（3）
2、【想一想】
为什么：圆的切线垂直于经过切点的半径？下面的证法对吗？
已知：直线a 切⊙O 于点A.
求证：OA ⊥直线a
证明：假设不垂直,
作OM ⊥a
因“垂线段最短”,
故OA>OM,
即圆心到直线距离小于半径.
这与线圆相切矛盾.
故：圆的切线垂直于经过切点的半径.
3、【说一说】
通过以上两个问题的交流，在阅读课本P 95的基础上，你能用一句话描述什
么是圆的切线吗？
（1）
· · M A O a
（2）
（3）
4、【议一议】
（1）.如图，点D 是∠AOB 的平分线OC 上任意一点，过D 作DE ⊥OB 于E ，以
DE 为半径作⊙D ，判断⊙D 与OA 的位置关系， 并证明你的结论。
（2）如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA=OB,CA=CB,求证直线AB 是⊙O 的切线。
（二）尝试运用
1、【动动笔】请你阅读课本，将上面两题中任选一题证出来。
2、【动动手】在理解概念的基础上，请你自己动手来画图，说明圆的切线与判定，再用数学语言描述出来，然后跟你的同学进行交流。
3、【动动脑】已知:如图,A 是⊙O 外一点,AO 的延长线交⊙O 于点C,点B 在圆上,且AB=BC, ∠A=30.
求证:直线AB 是⊙O 的切线.
A
B E O （1） （2） · O A
C B。