初等行变换
几何解释初等行变换不改变方程的解
在数学中，初等行变换是指将矩阵的行进行一些列简单的操作，例如交换两行的位置、对某一行进行数乘或者将某一行的数乘以一个常数后加到另一行上。
在线性代数中，我们经常会用到这些初等行变换来解线性方程组或者求解矩阵的逆等问题。
而几何解释初等行变换不改变方程的解，是一个值得探讨的主题。
让我们来看一下初等行变换对方程组的影响。
考虑一个线性方程组Ax=b，其中A是一个m×n的矩阵，x是n×1的向量，b是m×1的向量。
当我们对A进行一系列的初等行变换后得到A'，相应地对b进行相同的变换得到b'，那么我们可以观察到这个变换对方程组的解产生了什么样的影响。
接下来，我们来从几何的角度来解释初等行变换不改变方程的解。
我们知道矩阵可以表示线性变换，而方程Ax=b可以看作是矩阵A对向量x进行线性变换后得到向量b。
而进行初等行变换实质上就是对矩阵A进行了一些列的线性变换，因此我们可以将初等行变换看作是对线性变换的一种改变。
从几何的角度来看，进行初等行变换后，矩阵的行空间和列空间可能发生了改变，但是这个改变并不会影响到方程Ax=b的解空间。
这是因为初等行变换不改变矩阵A的秩，而方程Ax=b的解空间与矩阵A 的秩有着密切的关系。
我们可以得出结论，初等行变换不改变方程Ax=b的解空间。
在数学应用中，初等行变换的不改变方程解的特性为我们解线性方程组和求解矩阵逆等问题提供了便利。
通过对初等行变换的深入理解，我们能够更好地掌握线性代数中的基本概念，并且能够更灵活地运用这些知识解决实际问题。
回顾本文的主题，初等行变换不改变方程的解，我们通过深入的探讨和几何解释，对这一概念有了更加全面和深刻的理解。
我们了解到初等行变换是对矩阵进行的一系列线性变换，虽然可能会改变矩阵的行空间和列空间，但不会改变方程的解空间。
我们在解释完这个主题的理论知识之后，通过实际应用的角度去解释这个理论知识。
在个人观点方面，我认为深入理解初等行变换不改变方程的解这一概念，对于提高数学建模和解决实际问题的能力非常重要。
矩阵的初等行变换课件
二、矩阵的初等行变换
三、行列式的计算
四、矩阵的初等列变换
*
一、矩阵
定义
由sn个数排成 s 行 n 列的表
称为一个 s×n 矩阵，
j为列指标.
简记为
数 称为矩阵A的 i 行 j 列的元素，其中i为行指标，
若矩阵
则说A为数域 P 上的矩阵．
当 s=n 时， 称为n级方阵．
二、矩阵的初等行变换
定义
数域P上的矩阵的初等行变换是指：
矩阵A经初等行变换变成矩阵B，一般地A≠B．
如果矩阵A的任一行从第一个元素起至该行的
阶梯形矩阵
第一个非零元素所在的下方全为零；若该行全
为0，则它的下面各行也全为0，则称矩阵A为
阶梯形矩阵．
任意一个矩阵总可以经过一系列初等行变换
化成阶梯形矩
三、行列式的计算
任一方阵 A 可经过一系列的初等变换化成
阶梯阵 J ，且
方法：
阶梯阵，从而算得行列式的值．
对行列式 中的A作初等行变换，把它化为
1) 以P中一个非零数k乘矩阵的一列；
2) 把矩阵的某一列的k倍加到另一列， ；
3) 互换矩阵中两列的位置．
由 n 级方阵 定义的 n 级行列式
称为矩阵A的行列式，记作 或detA．
特别地，
矩阵的相等
则称矩阵A与B相等，记作 A=B．
设矩阵
如果
1) 以P中一个非零数k乘矩阵的一行；
2) 把矩阵的某一行的k倍加到另一行， ；
3) 互换矩阵中两行的位置．
注意：
四、矩阵的初等列变换
定义
数域P上的矩阵的初等列变换是指：
矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换．
7.2 矩阵的初等行变换
定理7.1
化为阶梯矩阵，并进一步可化为行简化阶梯矩阵。
例7.2.1
1 3 0 2
把矩阵 A 1 4 4 2 化为行简化阶梯矩阵。
2 5 4 4
解： ②-① 1 3 0 2
1 3 0 2
A ③-①2 0
1
4
0
③+②
0
1
4
0 B
0 1 4 0
0
0
2 3 6
3 6 12
1 4 7
0 1 0
0
0
1
1 2 3 1 0 0
③+②(2)
0
3
6
4
1
0
0 0 0 1 2 1
即矩阵 A 不可逆。
小结：
互换变换
（1）矩阵的初等变换 倍乘变换
倍加变换
（2）矩阵 A 的秩——阶梯形矩阵中非零行的行数；
（3）逆矩阵的判断及求法。
作业：
习题7 第6，7，13题
或非奇异矩阵。
定理7.2 任何一个满秩矩阵都能通过初等行变换化为单位矩阵。
7.2.3 逆矩阵
1.逆矩阵的概念 定义7.12 设 A是 n 阶方阵，如果存在 n 阶方阵 B ，使得 AB BA E ，
则称矩阵 A可逆，并称 B是 A 的逆矩阵。记为 A1，即B A1。
例如：矩阵 A 32
11
（3）倍加变换：将矩阵某一行（列）所有元素的 k 倍加到另一行（列）
的对应元素上。 矩阵的初等行变换与矩阵的初等列变换统称为矩阵的初等变换
定义7.8 如果矩阵 A 满足下列条件
（1）矩阵的零行（如果存在的话）在矩阵最下方； （2）非零行的首非零元素其列标随着行标递增而严格增大。
线性代数-初等变换
1）行阶梯形矩 阵2）各非零行的首非零元均为1.
3）首非零元所在列其它元素均为０.
如
0 1 2 0
0 0
0 0
0 0
1 0
1 0 0 0
0
1
0
0
0 0 1 0
0
0
0
1
0 0 0 0 1
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
行最简形矩阵一般形式
[ j1]
[ j2 ]
[ jr ]
0
01
0
0
1
若首非零列第1行元素为0，可调换行使其不为0 )
利用初等行变换将A化为A1，
a11
a12
A1
0
a22
0 am1
a1n
a2n
amn
a22
令B
am1
a2n
amn
按上述方法继续下去，可将A化为行阶梯形矩阵.
用类似方法可将A化为行最简形矩阵,得出
定理2 对于任何矩阵A,总可经过有限次初等行变换 将其化为行最简形矩阵.
0
1
0
0
* 1
*
2
*
r
0
0
3.标准形矩阵
称满足下列两个条件的矩阵为标准形矩阵：
1）若有非零元,则左上角为单位矩阵；
２）其它元素均为０.
1 0 0 0
如
0 0
1 0
0 0
0 0
1 0 0
0
1
0
0 0 1
0
0
0
1 0 0 0
0
1
0
0
0 0 1 0
0
0
0
初等矩阵及初等变换
初等矩阵及初等变换矩阵的初等变换⼜分为矩阵的初等⾏变换和矩阵的初等列变换。
1）初等⾏变换：所谓数域P上矩阵的初等⾏变换是指下列 3 种变换：a. 以P中⼀个⾮零的数k乘矩阵的第i⾏，即为E i(k)，那它的逆矩阵⾃然就是E i(1 k)。
b. 把矩阵第i⾏的k倍加到第j⾏，这⾥k是P中的任意⼀个数，记为E ij(k)，要想把第j⾏变回去，⾃然得减掉第i⾏的k倍，即E ij(−k)。
c. 互换矩阵中第i⾏和第j⾏，记为E ij，逆矩阵为E ij，这是很显然的，就是再交换⼀次就变回去了。
2）初等列变换：所谓数域P上矩阵的初等列变换是指下列 3 种变换：a. 以P中⼀个⾮零的数k乘矩阵的第i列，记为E i(k)。
b. 把矩阵的第i列的k倍加到第j列，这⾥k是P中的任意⼀个数，记为E ij(k)。
c. 互换矩阵中第i列和第j列，记为E ij。
初等矩阵：由单位矩阵E经过⼀次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。
矩阵经过初等变换后不会改变它原来的秩，因为初等矩阵是满秩的⽅阵，所以它是可逆的，如PA=B于是有r(B)≤r(A)因为P可逆，所以有A=P−1B于是r(A)≤r(B)所以r(A)=r(B)注：如果不了解这个过程，可以先去阅读。
左⾏右列定理：初等矩阵P左乘或(右乘) A得到PA(AP)，就是对A做了⼀次与P相同的初等⾏(列)变换。
即要使矩阵A做出和初等阵相同的列变换，则A右乘P。
要使矩阵A做出和初等阵相同的⾏变换，则A左乘P。
为什么是这样的呢？可以阅读。
其实就是从向量⾓度来理解矩阵乘法，对于矩阵相乘AB=C，我们可以这样理解：1）矩阵C的每⼀个⾏向量是矩阵B的⾏向量的线性组合，组合的系数是矩阵A的每⼀⾏。
2）矩阵C的每⼀个列向量是矩阵A的列向量的线性组合，组合的系数是矩阵B的每⼀列。
Processing math: 100%。
第十二讲 矩阵的初等行变换
1 0
1 1
1 0
1 4
1 2
1 3
r3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2)
1 0
1 1
1 0
1 4
1 2
1 3
0 0 2 18 8 12
0 0 1 9 4 6
r1 + r3 1 0 0 6 3 4
r1 r2
0 0
1 0
0 1
4 9
2 4
3 6
特别要注意将元素化为零 的先后顺序.
12
所以
6 3 4
A1
c
就称矩阵 A 与 B 列等价，记作 A～ B．
如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A ~ B．
7
等价关系的性质： (i) 反身性 A~A (ii) 对称性 若 A~B 则 B~A (iii)传递性 若 A~B B~C 则A~C
8
三、利用初等变换求矩阵的逆的方法
变换 ri rj 的逆变换为 ri rj ;
变换 ri k
的逆变换为
ri
(1 k
)
或
ri
k;
变换 ri + krj 的逆变换为 ri + (k)rj 或 ri krj .
5
a11 A a21
a31
a12 a22 a32
r1
r3
a 31 a21
a11
a
32
a22
r1
r3
10
例2.设
A
0 3
2 0
12，求 A1.
2 3 0
解:
0 2 1 1 0 0
( A, E) 3 0 2 0 1 0
线性代数：矩阵的初等变换和初等矩阵
a12 3a22
a13 3a23
a11 a21
a12 a22
a13 a23
2 0 0
0 1 0
0 0 1
2a11 2a12
a12 a22
a13 a23
10
a11 a21
a12 a22
a13 a23
c1 2
2a11 2a12
a13 a23
a12 a22
3、以数k 0乘某行(列)加到另一行(列)上去
矩阵的初等变换和 初等矩阵
1
一、矩阵的初等变换初等矩阵
定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调i, j两行,记作ri rj）； 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素;
（第 i 行乘 k,记作 ri k）
3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上
相当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换： 把 A 的第 i 列与第 j 列对调(ci c j ).
7
2、以数 k 0 乘某行或某列
以数k 0乘单位矩阵的第i行(ri k)，得初等 矩阵E (i (k )).
1
1
E(i(k))
k
第
i
行
1
1
8
以 Em (i(k)) 左乘矩阵A，
25
三、初等变换法求逆矩阵
当A可逆时，由推论4，A P1P2 Pl，有 Pl1Pl11P11 A E, 及 Pl1Pl11P11E A1,
Pl1Pl11P11 A E
Pl1Pl11P11 A Pl1Pl11P11E E A1
即对 n 2n 矩阵 ( A E) 施行初等行变换， 当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A1.
矩阵初等变换三个公式
矩阵初等变换三个公式矩阵初等变换是线性代数中的一项重要操作，它可以通过一系列简单的操作来改变矩阵的形态和性质。
在矩阵初等变换中，常用的有三种基本变换，它们分别是行交换、行倍乘和行加减。
下面将分别介绍这三个公式。
一、行交换行交换是矩阵初等变换的一种形式，它可以通过交换矩阵中的两行来改变矩阵的排列顺序。
假设我们有一个m 行n 列的矩阵A，要交换其中的第 i 行和第 j 行，那么可以使用下面的公式来表示：A(i,:) ↔ A(j,:)其中，A(i,:) 表示矩阵 A 的第 i 行，A(j,:) 表示矩阵 A 的第 j 行，↔表示交换操作。
通过这个公式，我们可以很方便地进行行交换操作，从而改变矩阵的排列顺序。
二、行倍乘行倍乘是矩阵初等变换的另一种形式，它可以通过将矩阵中的某一行乘以一个非零常数来改变矩阵的行向量。
假设我们有一个 m 行 n 列的矩阵A，要将其中的第i 行乘以一个非零常数k，那么可以使用下面的公式来表示：A(i,:) = k * A(i,:)其中，A(i,:) 表示矩阵 A 的第 i 行，k 表示一个非零常数。
通过这个公式，我们可以很方便地对矩阵的某一行进行倍乘操作，从而改变矩阵的行向量。
三、行加减行加减是矩阵初等变换的第三种形式，它可以通过将矩阵中的某一行加上另一行的倍数来改变矩阵的行向量。
假设我们有一个 m 行 n 列的矩阵A，要将其中的第i 行加上第j 行的k 倍，那么可以使用下面的公式来表示：A(i,:) = A(i,:) + k * A(j,:)其中，A(i,:) 表示矩阵 A 的第 i 行，A(j,:) 表示矩阵 A 的第 j 行，k 表示一个常数。
通过这个公式，我们可以很方便地对矩阵的某一行进行加减操作，从而改变矩阵的行向量。
通过上述三个公式，我们可以进行矩阵初等变换，从而改变矩阵的形态和性质。
这些变换在解线性方程组、求逆矩阵和计算矩阵的秩等问题中都起着重要的作用。
在实际应用中，我们可以通过使用这些公式来简化计算过程，提高计算效率。
矩阵初等行变换矩阵秩
矩阵的初等行变换与矩阵的秩一、矩阵的初等行变换矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换：1.互换矩阵两行的位置（对换变换）；2.用非0常数遍乘矩阵的某一行（倍乘变换）；3.将矩阵的某一行遍乘一个常数k加到另一行（倍加变换）上。
二、阶梯形矩阵满足下列条件的矩阵称为阶梯形矩阵1.各个非0行（元素不全为0的元素）的第一个非0元素的列标随着行标的递增而严格增大；2.如果矩阵有0行，0行在矩阵的最下方。
例如重要定理一任意一个矩阵经过若干次初等行变换可以化成阶梯形矩阵。
例题注意：一个矩阵的阶梯形矩阵不唯一例如：三、矩阵的秩矩阵A的阶梯形矩阵非0行的行数称为矩阵A的秩，记作秩（A）或r(A) 例如下列矩阵的秩分别为2、3、4⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000049201321、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100980201、⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---50000301000783013002例题 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=35222232111201107033A 秩及秩(TA ) 解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=35222232111201107033A ()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−−→−35222232110703312011,②① ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−−−→−-+-+-+11200112003100012011)2()1()3(①④①③①② ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−−→−-+00000112003100012011)1(③④()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−→−00000310001120012011,③② 所以，秩(A)=3⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32105327220021132113A T⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−−→−-⨯++32101101220000002113)2(①④①②⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−→−00002113220032101101,,⑤②④①⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−−−→−-⨯+00001210220032101101)3(①④⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−−−→−-⨯+00004400220032101101)1(②④⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−−→−⨯+000000002200321011012③④所以，()3AT=秩可以证明：对于任意矩阵A ，()()TA A 秩秩=；矩阵的秩是唯一的。
初等行变换
初等行变换
初等行变换（elementarytransformation）是高等代数中的名词，也是一种运算的名称。
初等变换包括：线性方程组的初等变换、行列式的初等变换和矩阵的初等变换。
三个方面的初等变换大同小异。
我们称对行列式的换法变换、倍法变换、消法变换为行列式的初等变换。
行列式的初等变换：
我们称对行列式的换法变换、倍法变换、消法变换为行列式的初等变换。
换法变换：交换两行（列）。
倍法变换：将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以数k。
消法变换：把行列式的某一行（列）的所有元素乘以一个数k并加到另一行（列）的对应元素上。
换法变换的行列式要变号；倍法变换的行列式要变k倍；消法变换的行列式不变。
求解行列式的值时可以初等行变换和初等列变换同时使用。
定义 1.13 矩阵的初等 (行、列)变换.
定理1.6 (1) 对A作一次初等行变换，相当于用一个同种的初 等矩阵左乘A;
(2) 对A作一次列初等变换，相当于用一个同种的初
等矩阵右乘A.
即
A ri rj P(i, j) A
A rik P(i(k)) A
A ci cj AP(i, j)
A cik AP(i(k ))
ห้องสมุดไป่ตู้
A rikrj P(i(k ), j) A
1 1
2 1
10 的标准形.
2 0 1 1
推论2 矩阵Amn , m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使
P
A
Q
Er O
O O
.
推论3 n阶方阵A可逆 A的标准形为 En.
推论4 n阶方阵A 可逆 A可表为有限个初等矩阵之积.
推论5 只需利用初等行变换即可将可逆矩阵化为单位 矩阵.
初等行变换法求逆矩阵：
0 1 0
0 0 0
000 ， 10
0 1
00
注：矩阵的标准形未必须为方阵.
推论1 任意矩阵都可经过有限次初等变换化为
标准形.即
矩阵Amn , m阶初等矩阵P1, P2 ,, Ps和n阶初等矩阵
Q1, Q2 ,, Qt , 使得P1P2 Ps AQ1Q2 Qt
Er O
O O
.
例2求矩阵A
1 1
例5
求解矩阵方程AX
A
2X ,其中A
1
1 0
1 2 3
解：X
3 2
8 6 9 6
2 12 9
1-6 over
(Ann, En ) 初等行变换(E, A1)
原理： 由推论4知，A1 G1G2 Gk
初等行变换技巧
初等行变换技巧初等行变换是矩阵论中的一个基本概念，也是线性代数中的重要内容。
初等行变换可以通过对矩阵的行进行一系列的操作来改变矩阵的形式，使得矩阵更易于计算和分析。
本文将介绍初等行变换的基本技巧和应用。
一、初等行变换的定义和分类初等行变换是指对矩阵的行进行以下三种操作之一：1. 交换任意两行；2. 用一个非零常数乘以一行；3. 把一行加上另一行的若干倍。
这三种操作称为初等行变换。
初等行变换可以改变矩阵的行向量组，但不改变矩阵的列向量组。
初等行变换可以用矩阵的乘法来描述，每一种变换对应一个矩阵。
对于一个n阶方阵A，可以通过一系列的初等行变换把它变成一个特殊的矩阵，称为阶梯形矩阵。
阶梯形矩阵的定义如下：1. 矩阵的第一行非零元素所在的列（称为主元所在列）在矩阵的第一列；2. 第二行非零元素所在的列在第一行主元所在列的右边；3. 第三行非零元素所在的列在第二行主元所在列的右边；4. 以此类推，每一行非零元素所在的列都在前一行主元所在列的右边。
阶梯形矩阵的最后一行可能全是零，也可能存在非零元素。
如果最后一行全是零，则称该矩阵为零矩阵；否则，称该矩阵为行最简矩阵。
二、初等行变换的基本技巧1. 交换任意两行交换任意两行可以通过交换这两行对应的行向量，从而改变矩阵的行向量组。
交换行向量不会改变列向量组，因此矩阵的秩不变。
交换行向量还可以改变矩阵的行列式的符号，因为每交换一次行向量，行列式的符号就要取相反数。
2. 用一个非零常数乘以一行用一个非零常数乘以一行可以通过对这一行对应的行向量进行伸缩变换，从而改变矩阵的行向量组。
用一个非零常数乘以一行不会改变列向量组，因此矩阵的秩不变。
用一个非零常数乘以一行还可以改变矩阵的行列式的值，因为每乘以一个非零常数，行列式的值就要乘以这个常数。
3. 把一行加上另一行的若干倍把一行加上另一行的若干倍可以通过对这两行对应的行向量进行加法运算，从而改变矩阵的行向量组。
把一行加上另一行的若干倍不会改变列向量组，因此矩阵的秩不变。
初等行列变换求逆矩阵
1111
初等行列变换是一种用于求解逆矩阵的方法，其基本思想是通过对原始矩阵进行初等行变换，将其转换为单位矩阵，从而得到逆矩阵。
具体来说，对于$m\times n$矩阵$A$，施行一次初等行变换相当于在$A$的左边乘以相应$m$阶初等矩阵；对$A$施行一次初等列变换相当于在$A$的右边乘以相应的$n$阶初等矩阵。
由于初等矩阵都是可逆的，并且它们的逆矩阵也是初等矩阵。
因此，如果原始矩阵$A$可逆，那么可以通过对其进行初等行变换将其转换为单位矩阵。
在实际应用中，这种方法可以有效地求解逆矩阵，并且可以应用于其他矩阵运算，如判断矩阵是否可逆、解矩阵方程等。
需要注意的是，初等行列变换求逆矩阵的方法需要谨慎使用，因为在某些情况下可能会导致误差或错误。
在计算过程中，建议仔细检查每一步的计算结果，以确保结果的准确性。
初等行变换的逆变换
初等行变换的逆变换一、简介初等行变换是线性代数中的重要概念，在解线性方程组、求矩阵的秩等问题中发挥着重要作用。
而初等行变换的逆变换则是指根据变换后的矩阵，逆推回原始矩阵的操作。
在本文中，将详细探讨初等行变换的逆变换的概念、方法和应用。
二、初等行变换的逆变换初等行变换的逆变换是指使用逆向的操作将变换后的矩阵回推至原始矩阵的过程。
初等行变换主要有三种形式：交换两行、某一行乘以一个非零数、某一行乘以一个非零数加到另一行上。
因此，初等行变换的逆变换分别为：再次交换两行、某一行乘以一个非零数的倒数、某一行乘以一个非零数的倒数加到另一行上。
具体来说，设经过初等行变换得到的矩阵为A，经过逆变换得到的矩阵为A’，则：1.若将矩阵的第i行与第j行调换：A’的第i行与A的第j行调换，A’的第j行与A的第i行调换。
2.若将矩阵的第i行乘以一个非零数k：A’的第i行乘以1/k，A’的其他行与A的对应行不变。
3.若将矩阵的第i行乘以一个非零数k加到第j行上：A’的第j行减去A’的第i行乘以k，A’的其他行与A的对应行不变。
逆变换的操作是初等行变换的逆操作，通过逆变换可以将变换后的矩阵还原为原始矩阵。
三、初等行变换的逆变换的应用初等行变换的逆变换在解线性方程组、求矩阵的秩、求矩阵的逆等问题中起到关键作用。
1. 解线性方程组线性方程组可以通过矩阵的形式进行表示。
在求解线性方程组时，可以通过初等行变换将线性方程组转化为简化的阶梯形矩阵，从而简化计算过程。
而逆变换则是通过逆向的初等行变换将简化的阶梯形矩阵转化回原始的线性方程组，得到线性方程组的解。
这个过程可以极大地简化求解线性方程组的过程。
2. 求矩阵的秩矩阵的秩是矩阵在高等代数中的重要概念，它代表着矩阵中线性无关的行或列的最大个数。
通过初等行变换，可以将矩阵转化为简化的行阶梯形矩阵，进而求出矩阵的秩。
而初等行变换的逆变换则是通过逆向的操作将简化的行阶梯形矩阵还原为原始矩阵，从而得到矩阵的秩。
初等行变换简便记法
初等行变换简便记法
我们要想办法把第一列除第一列，其他的都用数乘的办法化作零，这是最重要的，也是最基本的方法。
我们应该一般是从左到右，一列一列的处理。
不要弄反了，小伙伴们要看清是从左到右。
还有就是尽量避免分数的运算，看这列中不是零行列的首非零元，如果有数是其余数的公因子，那就要用这个数把本列其他的数消成零。
一般相办法搞出个整数，最好要把这个数所在的行提到前面去。
剩下的依次往后，方法基本相同，不要影响前面的就可以了。
1、把第一列除第一列，其他的都用数乘的办法化作零。
2、从左到右，一列一列的处理。
3、避免分数的运算。
初等行变换的逆变换
初等行变换的逆变换初等行变换是线性代数中的重要概念，它可以用来简化和解决方程组、矩阵和向量的相关问题。
初等行变换包括三种操作：交换两行的位置、用非零常数乘以某一行、将某一行的倍数加到另一行上。
而初等行变换的逆变换则是将经过初等行变换后的矩阵或方程组重新还原回原始的状态。
在本文中，我们将探讨初等行变换的逆变换，并以此为标题展开讨论。
第一种初等行变换是交换两行的位置。
假设我们有一个矩阵A，通过交换第i行和第j行，我们得到了新的矩阵B。
那么，初等行变换的逆变换就是再次交换第i行和第j行，将矩阵B还原回矩阵A的状态。
第二种初等行变换是用非零常数乘以某一行。
假设我们有一个矩阵A，通过将第i行的所有元素乘以非零常数k，我们得到了新的矩阵B。
那么，初等行变换的逆变换就是将矩阵B的第i行除以常数k，将矩阵B还原回矩阵A的状态。
第三种初等行变换是将某一行的倍数加到另一行上。
假设我们有一个矩阵A，通过将第i行的k倍加到第j行上，我们得到了新的矩阵B。
那么，初等行变换的逆变换就是将矩阵B的第j行减去第i行的k倍，将矩阵B还原回矩阵A的状态。
初等行变换的逆变换可以帮助我们解决方程组、矩阵和向量的问题。
例如，当我们用初等行变换将一个方程组转化为行简化阶梯形时，我们可以通过初等行变换的逆变换将行简化阶梯形还原为方程组的标准形式，从而求解方程组的解。
初等行变换的逆变换还可以用于求解矩阵的逆。
当我们用初等行变换将一个矩阵转化为单位矩阵时，我们可以通过初等行变换的逆变换将单位矩阵还原为原始矩阵的逆。
初等行变换的逆变换在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在线性回归分析中，我们可以通过初等行变换的逆变换将方程组转化为最简形式，从而得到最小二乘估计的闭式解。
在图像处理中，我们可以通过初等行变换的逆变换将图像的压缩表示还原为原始图像的像素表示。
初等行变换的逆变换是线性代数中的重要概念，它可以用来还原经过初等行变换后的矩阵或方程组的状态。
初等行变换的逆变换在解决方程组、矩阵和向量的问题中起着重要的作用，具有广泛的应用价值。
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初等行变换
一、基本理论
设A 为m n ⨯矩阵, 可对A 实施以下三类初等行变换，将A 化为行阶梯矩阵和最简行阶梯矩阵.
(1)将A 的第i 行与第j 行交换位置;
(2)将A 的第i 行乘以非零常数λ;
(3)将A 的第i 行的λ倍加到第j 行.
行阶梯矩阵: 若A 的每个非零行上方没有非零行, 且每个非零行从左到右第一个非零元,j i i a 所在列号满足1
2r i i i <<< .
最简行阶梯矩阵: 若行阶梯矩阵
A 的每个阶梯元为1，且阶梯元所在列的其余元素都为零，则称A 为最简行阶梯矩阵.
二、Matlab 实现
由于需要反复使用三种初等行变换，所以将它们写成函数文件，方便以后调用.
1. 将第i 行和第j 行交换位置
2. 将第i 行乘以常数c
3. 将第i 行的c 倍加到第j 行
将以上三个函数文件保存到某个目录下, 例如 D:\myfunc 下，然后在Matlab 的File 菜单, Set Path, Add Folder ，将D:\myfunc 添加到 Matlab 的搜索路径, Save, Close. 即可在Matlab 中调用这三个函数.
三、例子
例. 将111421931A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
用初等行变换化为行阶梯矩阵和最简行阶梯矩阵. 解. 生成矩阵A
A=sym('[1 1 1; 4 2 1; 9 3 1]')
A =
[ 1, 1, 1]
[ 4, 2, 1]
[ 9, 3, 1]
将A 的第1行的(-4)倍加到第2行，结果保存到矩阵B :
B=rowcomb(A, 1, 2, -4)
B =
[ 1, 1, 1]
[ 0, -2, -3]
[ 9, 3, 1]
将B 的第1行的(-9)倍加到第3行，结果仍保存到矩阵B
B=rowcomb(B, 1, 3, -9)
B =
[ 1, 1, 1]
[ 0, -2, -3]
[ 0, -6, -8]
将B 的第2行的(-3)倍加到第3行
B=rowcomb(B, 2, 3, -3)
B =
[ 1, 1, 1]
[ 0, -2, -3]
[ 0, 0, 1]
B 已经为行阶梯矩阵. 即A 可通过初等行变换化成行阶梯矩阵
111023001⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭
继续将B 化成最简行阶梯矩阵.
将第3行的3倍加到第2行
B=rowcomb(B,3,2,3)
B =
[ 1, 1, 1]
[ 0, -2, 0]
[ 0, 0, 1]
将第3行的(-1)倍加到第1行
B=rowcomb(B,3,1,-1)
B =
[ 1, 1, 0]
[ 0, -2, 0]
[ 0, 0, 1]
将第2行乘以(-1/2)倍
B=rowscale(B,2,-1/2)
B =
[ 1, 1, 0]
[ 0, 1, 0]
[ 0, 0, 1]
将第2行的(-1)倍加到第1行
B=rowcomb(B,2,1,-1)
B =
[ 1, 0, 0]
[ 0, 1, 0]
[ 0, 0, 1]
B 已经为最简行阶梯矩阵. 即A 可通过初等行变换化成如下最简行阶梯矩阵 100010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
注：也可直接调用Matlab 函数 rref(A), 直接将A 化成最简行阶梯矩阵 R=rref(A)
R =
[ 1, 0, 0]
[ 0, 1, 0]
[ 0, 0, 1]
四、练习
（1）通过初等行变换将下面的矩阵A 化为行阶梯矩阵及最简行阶梯矩阵.
2341253615A --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
（2）通过初等行变换将下面的矩阵A 化为行阶梯矩阵及最简行阶梯矩阵.
21112112144622436979A --⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭。