任意角的三角函数教学设计案例白涛)

1.不同引入方式的比较与思考
应当说，三位教师的引入各有特色。

教师甲在直线与平面位置关系的系统中，以“在这些相交关系中，你认为哪种相交最特殊？”引出课题，并伴以学生的动手操作、举例、想象和语言叙述。

这一设计的特点是：注意知识的系统与联系；强调学生生活经验的作用。

这样容易唤起在“直线与平面平行”的学习中形成的经验，从而明确“研究什么”和“怎样研究”，使学习的自觉性得到提高。

教师乙利用一张生活图片提出“是否想到在立体几何中的什么与什么的关系”，由于“诱导”过分明显，学生就不假思索地齐声回答“线面垂直”。

虽然有后面的师生分别举例，但课题引入任务由这一句话已经完成。

虽然这一引入有单刀直入、开门见山的特点，但学生对看图片的意图、当前学习内容与已有知识与方法的联系与借鉴等很难觉察到。

另外，“线面垂直”的说法不好，至少出得太早。

另外，甲、乙两位老师用的“大漠孤烟直”的情景不能很好地反映当前学习内容的本质，不是一个好情景。

教师丙的引导语：“前面我们研究了直线与平面平行的判定与性质，今天我们要研究直线与平面的其他位置关系”以及图片，目的都是直指“要研究直线与平面垂直”。

这样引入也稍嫌太快，学生对于“要学什么”“为什么要学”和“如何学”等的感知都不充分，要学的内容与已有经验的衔接不够自然。

良好的开端是成功的一半，课题引入是课堂教学的重要一环。

教学设计中，应当重点考虑：如何利用新旧知识的联系与发展，以及学生相关的生活经验，创设问题情境，以自然、亲切地引出学习内容；如何在课题引入中融入“学什么、为什么、怎么学”的成分。

2.不同教学过程的比较与思考
本环节涉及如下几个问题：定义的教学时间、典型实例的使用特别是提出什么问题、概括定义的过程中师生活动的安排、数学思想方法的渗透、定义辨析活动的内容和过程等。

（1）关于定义的得出过程
教师甲注意利用学生已有的知识基础、生活经验，并注意研究方法的引导。

把“异面直线垂直”转化为“相交直线垂直”是可以借鉴的经验，教师通过提示，不仅引导了思考方向，而且也渗透了类比、化归、降维等数学思想方法。

怎样的
“线线垂直”可以导致“线面垂直”？教师构建了“旗杆与变动的影子的关系”的情景，在学生得出“旗杆与变动的影子都垂直”之后，提问“地面上不是影子的直线是否与旗杆也垂直”？学生由“异面直线垂直”转化为“相交直线垂直”的经验，采用平移的方法（空间问题化归为平面问题的最常用方法），得出“也垂直”的结论。

在充分认知“旗杆和地面上任意一条直线都垂直”之后，再给直线与平面垂直下定义就比较自然了。

这一过程既是学生对定义的充分感知过程，也是体会定义合理性的过程。

在教师甲的教学中，一开始让学生回忆直线与直线垂直的定义是一个不恰当的环节，因为它容易把学生的思路引到“当直线与平面成90°时，直线与平面垂直”。

虽然可以再追问“如何刻画直线与平面成90°”，但这是一个学生“够不着”的问题。

所以，直接让学生回忆直线与直线垂直的研究方法更好，因为它是与本节内容直接相关的知识“生长点”。

教师丙也注意到思想方法的引导。

回顾“线面平行”位置关系研究中曾将“线面平行”关系转化为“线线平行”，体现了“平面化”和“降维”的思想，并指出“要研究直线与平面垂直，也可以转化为直线与平面内的直线垂直的问题。

”然后也利用了“旗杆与影子的关系”这一情景，引导学生感知直线与平面垂直的特征，并让学生自己下定义。

教师乙的过程比较简单。

由教师自己举出直线与平面垂直的实际事例（“门轴问题”与“旗杆问题”），由教师自己指明可以将其他直线平移到过旗杆底部的位置。

因为采用了“告诉”的方法进行定义教学，因此很快（约3分钟）完成直线与平面垂直的定义。

显然，这样的教学大大压缩了定义的形成过程，定义过程中体现的数学思想方法没有得到挖掘，学生的生活经验、已有知识的作用都没有得到充分发挥，概念的概括过程不充分，知识之间的联系性也建立的不牢固。

特别是，学生的思维停留在模仿、机械记忆的层次上，自主性得不到发挥。

实际上，教师在提出“到底怎样才算直线与平面垂直呢？”以后，应该让学生谈谈自己对“直线与平面垂直”的直观感受，通过例子说明直线与平面垂直的内涵，让他们参与到概念的概括过程中来。

与其它两位老师比较，教师乙在引导学生感知直线与平面垂直关系特征时所用的时间较少。

这一现象有代表性，即当前的数学课堂中，教师不舍得在概念、定义的发生发展过程上花时间，认为这样“太虚”，不如让学生多做几个题目实在。

因而概念教学常常用“一个定义三项注意”的方式，告诉学生定义的内容，强调几个注意事项（例如，这里强调“要注意，必须是‘任意’的”），然后就讲例题、做练习。

实践表明，这样的教学是得不偿失的，对学生把握和应用概念都产生了不利影响，因为在学生没有基本把握概念内涵的时候就要求学生用概念解决问题，结果只能是机械模仿，不可能有理想的解题质量和效率。

（2）关于定义的辨析过程
在讨论定义的过程中，教科书安排了一个“思考：一条直线与一个平面垂直的意义是什么？”并在“边空”提出“如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否垂直于这个平面？”其目的是用以辨析直线与平面垂直的内涵，使学生形成正确的直线与平面垂直的概念。

几位教师对这一问题的处理不尽相同。

定义形成后，教师甲提问：定义中的“任意一条”能否用“无数条”替换？这个问题接连几个学生都不能回答。

教师提示可以举反例，学生也未能举出。

这说明学生对定义的内涵仍没有完全把握，定义形成的过程并不够完善。

教师乙在直线与平面垂直的判定定理出现之后作为练习提出：我们知道，一条直线与平面垂直，则这条直线与平面的任意一条直线都垂直。

那么，如果一条直线与平面不垂直，是不是这条直线与平面内的直线都不垂直？
教师丙放在定义形成之后，辨析“任意一条”与“无数条”问题，从而引入一条直线与平面垂直需要怎样的两条，为判定定理的引出服务。

虽然定义的理解需要一个过程，在后续学习中应当安排回顾、辨析的机会，但是定义的教学必须安排辨析过程。

所以，教师乙的定义教学过程是不全面的。

另外，几位教师安排的辨析过程都不充分。

（3）总体分析
从上述教学过程可以看到，利用典型事例引导学生直观感知直线与平面垂直的特征，然后概括得出定义，再对定义进行辨析，是教学的基本环节。

其中，教师的教学行为对学生把握概念的内涵有关键性影响。

这里具体表现在两方面：
第一，例子由谁来举。

我们看到，三位教师都自己先举例。

实际上，如果先让学生举例，并说说自己理解的“直线与平面垂直的含义”，然后教师查漏补缺，引导学生概括出概念，这样做的话，学生不仅有充分的直观感知活动，而且还有合情推理、逻辑思维的机会，学生对概念本质的把握自然就更深刻了。

我们常常听到教师抱怨“直观感知、操作确认”的几何课不好上，学生的活动难安排，削弱了逻辑思维，但从上面的讨论可以看到，关键还是教师的教学行为是否恰当。

第二，定义的辨析如何安排。

中学数学中的定义一般都是“充分必要条件”，对定义的辨析，一方面是对“关键词”的辨析，也就是对内涵的理解，例如能否把“任意”换成“无数”；另一方面就是从“充分必要条件”进行辨析，这里要设法让学生关注“如果一条直线与一个平面垂直，那么它与平面内的所有（或任意一条）直线是否都垂直？”和“如果直线l与平面α内的所有（任意一条）直线垂直，能断定这条直线与平面垂直吗？”显然，三位老师在教学设计中，只关注了前一方面，因此对定义的辨析不全面。