“否命题”与“命题的否定”辨析
命题的否定和否命题 举例
命题的否定和否命题举例命题的否定和否命题命题是指能够明确判断真假的陈述句，例如“今天是星期一”。
而命题的否定是指对原命题的反向陈述，例如“今天不是星期一”。
而否命题则是指对原命题的完全相反的陈述，例如“今天不是星期二”。
一、命题的否定1.1 否定的定义否定是指对原命题进行反向陈述，即将其真假性质颠倒。
如果原来的命题为真，那么它的否定就为假；如果原来的命题为假，那么它的否定就为真。
1.2 否定的表示方法在逻辑中，常用符号“¬”表示否定。
例如，“¬p”表示对p进行了否定。
1.3 否定与肯定之间的关系在逻辑中，肯定和否定之间存在着互补关系。
即一个命题与其否定只有一个为真，另一个必须为假。
二、否命题2.1 否命题的定义否命题是指对原来的命题进行完全相反的陈述。
如果原来的命题为真，则其否命题为假；如果原来的命题为假，则其否命题为真。
2.2 否命题与否定之间的区别否命题与否定之间的区别在于，否命题是对原来的命题进行了完全相反的陈述，而否定只是对原来的命题进行了反向陈述。
2.3 否命题的表示方法在逻辑中，常用符号“∼”或“~”表示否命题。
例如，“∼p”或“~p”表示对p进行了否命题。
三、举例说明3.1 命题的否定举例原命题：“今天是星期一。
”否定：“今天不是星期一。
”解释：如果原来的命题为真，则其否定为假，即如果今天是星期一，则今天不可能不是星期一。
3.2 否命题举例原命题：“今天是星期一。
”否命题：“今天不是星期二。
”解释：如果原来的命题为真，则其否命题为假，即如果今天是星期一，则今天肯定不可能不是星期二。
结语：通过以上内容可以得知，在逻辑学中，除了肯定和否定之外还有一个重要概念——否命题。
而这些概念在日常生活中也经常被运用到。
因此，掌握这些概念能够帮助我们更好地理解和分析各种事物。
否命题与命题的否定
否命题与命题的否定一、识别否命题与命题的否定1．命题的否命题：既否定命题的条件又否定命题的结论，命题“若p 则q ”，则其否命题是“若非p ，则非q ”。
2．“非m ”叫做命题m 的否定，对命题怎样否定呢？保留其条件，否定其结论，即命题是“若 p，则q ”，那么命题“非m ”是：若p ，则非q 。
由此可知命题的否定与原命题的条件相同，结论相反；命题的否定与原命题的的真假相反；。
二、区别否命题与命题的否定1．注意区分“命题的否定”与“否命题”这两个不同的概念。
命题的否定为“非”，记作，一般只是否定命题的结论，否命题是对原命题“若p 则q ”既否定它的条件，又否它的结论。
2．“非”是否定的意思，一个命题m经过使用逻辑联结词“非”，构成了一个复合命题“非m ”，从集合的角度可以看作是在全集中的补集。
“非”的含义有四条：①“非m ”只否定的结论；②m与“非m ”的真假必须相反；③“非m ”必须包含原结论的所有对立面；④“非m ”必须使用否定词语。
三、实例帮您理解否命题与命题的否定对于这两个问题，有些同学对命题的否定不知如何把握，很容易与否命题混淆，下面以具体实例作一比较。
若 m是一个命题，则非m 是m 的否定，它是对整个命题进行否定。
命题“若p 则q ”的否命题是“若非p 则非q ”，即对命题的题设与结论同时否定，例如：①命题：（所有）质数不都是奇数（真）；否定形式：（所有）质数都是奇数（假）；否命题：有些质数是奇数（真）。
②命题：面积相等的三角形一定是全等三角形（假）；否定形式：面积相等的三角形不一定是全等三角形（真）；否命题：面积不相等的三角形一定不是全等三角形（真）。
四、“或”、“且”连结的命题的否定形式“p 或q ”的否定是“非p且非 q”；“p且q”的否定形式是“非p 或非q ”。
它类似于集合中的“并、交”，如“实数a与b 均为零”的否定是“实数a 与 b中至少有一个不为零”，而不是“实数 a与b 都不为零”；“实数 a与 b中至少有一个为零”的否定是“实数a 与b 均为零”。
人教版数学-备课资料否命题与命题的否定之辨析
否命题与命题的否定之辨析一、否命题与命题的否定概念与形式的辨析如何正确地表达一个命题的否定形式及其否命题是简易逻辑知识的难点之一，因为命题的否定和否命题是两个根本不同的概念，而有些同学在写原命题的否命题时，仅写了对结论的否定；还有一些学生在反证法的第一步，却假设条件和结论都不成立，暴露了他们混淆了“否命题”与“命题的否定”这两个概念．事实上“否命题”与“命题的否定”是不同的，命题p的否定即¬p，只是否定结论，条件并不变．对于命题“若p则q”的否定就是“若p则非q”．“否命题”既否定条件又否定结论．对于命题“若p则q”的否命题为“若非p则非q”．例如命题P：对顶角相等．写出命题P的否命题．误解：命题P的否命题为：对顶角不相等辨析：命题的否定形式与否命题不一样．对命题“若P则Q”来说，其否命题应为：“若非P则非Q”，即否命题是对命题的条件和结论都加以否定．而命题“若P则Q”的否定形式应为“若P则非Q”，即命题的否定形式是仅对命题的结论加以否定．所以该命题的否命题应是“不是对顶角的两个角不相等”．二、词语的否定12．“都”与“不都”的辨析一般地，“都”表示全部，“不都”表示不是全部，即包含一部分或没有，而“都不”表示全不，即一个也没有．如命题“a、b都是零”的否定不是“a、b都不是零”，而是“a、b不都是零”，即“a b中至少有一个为零”．因“a、b都是零”是复合命题“p且q”的形式，其否定应该为“¬p或¬q”，即“a=0且b=0”的否定应为“a≠0或b≠0”，也就是“a,b中至少有一个不为零”.3．“一定”的否定对“全…”、“都…”的否定，只需在其前面加一个“不”即可，而对“一定…”的否定却不一样，因两者的词性不同，“全”、“都”是副词，是对某一个范围而言的；而“一定”是一个语气助词，带强调意味，这两者有一定的区别．因此，在对“一定…”、“一定都…”否定时，可分两步：①先将“一定”两字拿下；②否定后再放在“不”的前面．如命题“三角形两边之和一定大于第三边”的否定，先是“三角形两边之和不大于第三边”，后得“三角形两边之和一定不大于第三边”．又如命题“若∠A是直角，则∠B, ∠C一定是锐角”的否定，这里的“一定是”含有“两个角一定都是”之意，因此可先否定“若∠A是直角，则∠B, ∠C不都是锐角”，再放上“一定”得“若∠A是直角，则∠B、∠C一定不都是锐角”.三、注意复合命题的否定例1．写出下列复合命题的“非p形式”(1)2是偶数且是质数；(2) ΔABC是等腰三角形或是直角三角形．解：（1）2不是偶数或不是质数．(2) ΔABC不是等腰三角形且不是直角三角形．评注：命题p或q”与p且q”形式命题的否定分别是“¬p且¬q”与“¬p或¬q”四、写出命题的否命题，关键要分清命题的条件与结论例2．写出下列命题的否命题．（1）若x=3，则x2-9x+18=0；（2）实数a，b，c，d中，若a=b，c=d，则a+c=b+d；（3）正数a的平方大于零．解：（l）若x≠3，则x2-9x+18≠0．（2）实数a，b，c，d中，若a≠b或c≠d，则a+c≠b+d．（3）若a不是正数，则a的平方不大于零．评注：要写一个命题的其他几种形式的命题，应首先将其写成“若p，则q”的形式，再根据其他命题的结构形式，写出其他形式的命题，这样才能有效地避免出错。
命题的否定与否命题的区别
命题的否定与否命题的区别命题的否定与否命题是完全不同的概念。
其理由一任何命题均有否定无论是真命题还是假命题而否命题仅针对命题“若P则q”提出来的。
二命题的否定是原命题的矛盾命题两者的真假性必然是一真一假一假一真而否命题与原命题可能是同真同假也可能是一真一假。
如下面真值表可知Pq┓p┓q”Pq┓p┓q”110011100101011010001111三原命题“若P则q”的形式它的否定命题在前面已讲过而它的否命题为“若非P则非q”记为“若┓p则┓q”即是说既否定条件又否定结论。
例6写出下列命题的否定命题与否命题。
并判断其真假性。
1若xy则5x5y。
2若x2x2则x2-x2。
3正方形的四条边相等。
4已知ab为实数若x2axb≤0有非空实解集则a2-4b≥0。
解1的否定xyxy且5x≤5y。
假命题否命题Vxyx≤y5x≤5y。
真命题原命题为Vxyxy5x5y。
真命题2的否定xx2x2且x2-x≥2。
真命题否命题Vxx2x≥2x2-x≥2。
假命题原命题为Vxx2x2x2-x2。
假命题3的否定存在一个四边形尽管它是正方形然而四条边中至少有两条边不相等。
假命题否命题若一个四边形不是正方形则它的四条边不相等。
假命题原命题是真命题。
看例554的否定存在两个实数ab虽然满足x2axb≤0有非空实解集但使a2-4b0。
假命题否命题已知ab为实数若x2axb≤0没有非空实解集则a2-4b0。
真命题原命题为对任意的实数ab若x2axb≤0有非空实解集则a2-4b≥0真命题在教学中务必理清各类型命题形式结构性质关系。
才能真正准确地完整地表达出命题的否定才能避犯逻辑性错误才能更好把逻辑知识负载于其它知识之上达到培养和发展学生的逻辑思维能力。
人教版数学-备课资料辩析命题的否定与否命题.
辩析命题的否定与否命题命题的否定与否命题是《常用逻辑用语》中的一个难点，它们是两个不同的概念，在学习时要弄清它们之间区别与联系．命题的否定一般是对命题的条件和结论的联结判定词进行否定，命题的否命题则是对条件和结论的同时否定，而条件和结论的联结词不变．所以在写“非P”与“否命题”时，应先搞清命题的条件和结论，条件和结论的联结词是什么，要正确运用一些常用词语和它的否定词语，并注意“命题P"与“非P”的真假性必须相反，这是检验写出的“非P”命题是否正确的一个标准．下面笔者就此问题加以阐释。
一.概念辨析命题的否定是对命题的结论加以否定，即命题的“非P”形式，而否命题是对一个命题的条件和结论分别加以否定。
能否正确写一个命题的否定或否命题的关键是能否正确地区分命题中的条件和结论,能否将命题中的关键词语写成它的否定词语。
注意:“命题p”与“非P”真假性相反; “命题p”与其否命题的真假性无关.二. 常用词语和它的否定词语下面写出一些常用词语和它的否定词语（前边为原词语，后面为否定词语）：等于，不等于；大于，不大于；小于，不小于；都是，不都是；至多有一个，至少有两个；至多有n个，至少有n＋1个；至少有一个，一个也没有；任意的，某一个；P或q，P 且q等等。
对于如此多的词语和它的否定词语，我们不需对其一记忆，如果对否定词语理解透彻，就不易把它们写错。
我们不妨将所有可能的情况作为全集，那么否定词语的情况的集合是原词语情况的集合的补集。
这样我们就容易验证我们所写的一对否定词语是否正确。
三.典例剖析1. 命题的否定例1.写出下列命题的否定(“非P”)形式．⑴p：对顶角相等；⑵p：平行四边形一定是菱形；⑶p：2123x x+-≥0．解析：⑴p：对顶角相等(真)，┐p：对顶角不相等(假)；⑵p：平行四边形一定是菱形(假)，这里“一定是”的否定是用“一定不是”还是“不一定是”呢?若为“平行四边形一定不是菱形”，仍为假命题，与真值表相违，故原命题的┐p：平行四边形不一定是菱形(真)．⑶若认为┐p：2123x x +-＜0，那就错了．┐p是对p的否定，包括2123x x+-＜0或2123x x+-＝0．或∵p：x＞1或x＜－3，∴┐p：－3≤x≤1．点评：写出命题p的“非p”形式，要注意对命题p进行整体考虑或考虑“p”与“┐p”的真假，不能与真值表相悖．2. 否命题例2 写出命题“若△ABC 是等腰三角形，则它有两个内角相等”的否命题和逆否命题，并判断其真假．解：否命题：若△ABC 不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等(真)；逆否命题：若△ABC 的任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形(真)．点评：逆否命题(若┐q 则┐p)是否命题(若┐p 和┐q)的逆命题．3.含有一个量词的命题的否定例3.写出下列命题的否定并判断真假．(1) p:每一个非负数的平方都是正数；(2) p:存在一个三角形，它的内角和大于1800;(3) p:有的四边形没有外接圆；(4) p ：某些梯形的对角线互相平分．分析:首先弄清楚是全称命题还是特称命题，再针对不同形式加以否定．解: （1）⌝p:存在一个非负数的平方不是正数，真命题．(2) ⌝p:任何一个三角形，它的内角和不大于1800,真命题．(3) ⌝p:所有的四边形都有外接圆，假命题．(4) ⌝P:任一梯形的对角线都不互相平分，真命题．点评：全（特）称命题的否定与命题的否定有着一定的区别，全（特）称命题的否定是将其全称量词改为存在量词（或存在量词改为全称量词），并把结论否定．而命题的否定则直接否定结论即可．从命题形式上看，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．本题容易忽略全称量词（存在量词）的否定.例4.(07高考海南、宁夏理1)已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ）Ａ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x ≥Ｂ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥ Ｃ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x > Ｄ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x >答案选:Ｃ点评： 本题是全称命题的否定,只需将其全称量词改为存在量词，并把结论否定即可．全称命题的否定是特称命题.4.正确区分“否命题”和“命题的否定”例5.写出下面命题的否定及否命题并判断它们各自的真假：(1)可以被5整除的整数，末位是0；(2)若一条直线与一个圆相切，则圆心到这直线的距离等于半径；(3)四条边相等的四边形是正方形.(4)在△ABC 中，∠A=∠B = 450，则△ABC 是等腰直角三角形；(5)相似三角形是全等三角形.分析:分清命题的条件和结论是解题的关键，并注意命题的特征．解：（1) 命题的否定即命题的“非P”形式为：存在一个可以被5整除的整数，末位不是0，是真命题；否命题：如果一个整数不能被5整除，那么这个整数的末位数不是0，真命题.(2)命题的否定即命题的“非P”形式为：若一条直线与一个圆相切，则圆心到这直线的距离不等于半径，假命题；否命题：若一条直线与一个圆不相切，则圆心到这直线的距离不等于半径，真命题．(3)命题的否定即命题的“非P”形式为：四条边相等的四边形不都是正方形，真命题；否命题：四条边不相等的四边形不都是正方形，真命题．(4)命题的否定即命题的“非P”形式为：在△ABC中, ∠A=∠B = 450, △ABC 不是等腰三角形或不是直角三角形，假命题；否命题：在△ABC中，若∠A≠450或∠B≠450，则△ABC不是等腰三角形或不是直角三角形，假命题．(5)原命题：相似三角形是全等三角形,它是假命题．原命题的否定即命题的“非P”形式为：相似三角形不是全等三角形,它是真命题．原命题的否命题：不相似的三角形不是全等三角形,它是真命题．点评：(1)由此例可以得出原命题与否命题的真假之间的关系:①原命题为真，它的逆命题不一定为真；②原命题为真，它的否命题不一定为真;③原命题为真，逆否命题一定为真;④逆命题为真,否命题一定为真.(2) 否命题与命题的否定是完全不同的概念，应注意它们的区别.设p表示命题,“非P”就叫做命题的否定.如果原命题是“若p则q”,那么这个原命题的否定是“若p,则非q”,即只否定结论,而原命题的否命题是“非若p,则非q”,既否定条件又否定结论.原命题与原命题的否定形式的真假相反．。
高考数学复习点拨：命题的否定与否命题辨析 (1)
命题的否定与否命题辨析在学习“简易逻辑”时，有些同学对命题的否定不知如何把握且容易与一个命题的否命题混淆，本文想就此作一辩析．一、辨析1、定义区别定义原命题：若p，则q 命题的否定指对结论的否定若p，则非q 否命题指对命题的条件与结论同时否定若非p，则非q2、真假关系表命题的否定形式、否命题与原命题的真假关系表：原命题否定形式否命题真假与原命题的真假无关假真3、常用关键词的否定把握好命题的否定和正确地写出命题的否命题，必须掌握一些关键词语的否定，见下表：正面词语大(小)于是或有全都任何所有的否定词语不大(小)于不是且无不都某些有几个不全正面词语至少有一个任意两个至多有n个任意的都是否定词语一个都没有某两个至少有n+1个某个不都是二、例题讲解[例1]写出命题“相似三角形是全等三角形”的否定形式及否命题，并判断它们的真假．解：原命题：相似三角形是全等三角形(假)．原命题的否定形式：相似三角形不是全等三角形(真)．原命题的否命题：不相似的三角形不是全等三角形(真)．注：原命题与原命题的否定形式的真假相反．[例2]写出下列命题的否命题：⑴若m＞0，则关于x的方程x2＋x－m＝0有实数根；⑵若x，y都是奇数，则x＋y是奇数；⑶若abc＝0，则a，b，c中至少有一个为0；⑷当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc．解：原命题的否命题分别是：⑴若m≤0，则关于x的方程x2＋x－m＝0无实数根；⑵若x，y不都是奇数，则x＋y不是奇数；⑶若abc≠0，则a，b，c全不为0；⑷当c＞0时，若a≤b，则ac≤bc．评注：将以上命题的条件与结论中关键词加以否定即可，⑴“＞”、“有”；⑵“都是”、“是”；⑶“＝”、“至少有一个”，⑷“＜”，要注意“c＞0”是大前提，不要对其进行否定．[例3]写出命题“若△ABC是等腰三角形，则它有两个内角相等”的否命题和逆否命题，并判断其真假．解：否命题：若△ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等(真)；逆否命题：若△ABC的任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形(真)．评注：逆否命题(若┐q则┐p)是否命题(若┐p和┐q)的逆命题．[例4]写出下列命题的“非p形式”的复合命题．⑴p：对顶角相等；⑵p：平行四边形一定是菱形；⑶p：2123x x+-≥0．分析：⑴p：对顶角相等(真)，┐p：对顶角不相等(假)；⑵p：平行四边形一定是菱形(假)，这里“一定是”的否定是用“一定不是”还是“不一定是”呢?若为“平行四边形一定不是菱形”，仍为假命题，与真值表相违，故原命题的┐p：平行四边形不一定是菱形(真)．⑶若认为┐p：2123x x +-＜0，那就错了．┐p是对p的否定，包括2123x x+-＜0或2123x x+-＝0．或∵p：x＞1或x＜－3，∴┐p：－3≤x≤1．评注：写出命题p的“非p”形式，要注意对命题p进行整体考虑或考虑“p”与“┐p”的真假，不能与真值表相悖．[例5]写出下列命题的“非p”形式的复合命题：⑴x＝0或y＝0；⑵△ABC是等腰直角三角形．分析：命题“p或q”与“p且q”的“非p”形式如下命题p或q p且q非p形式(┐p)且(┐q) (┐p)或(┐q)⑵┐p：△ABC不是等腰三角形或不是直角三角形．[例6]用反证法证明：△ABC中，若∠C是直角，则∠B一定是锐角．分析：“∠B一定是锐角”的否定是“∠B一定不是锐角”(注意：不能否定为“∠B不一定是锐角”)，即∠B≥90°，则∠C＋∠B≥180°，矛盾．(证明略)评注：反证法与命题的否定形式关系密切，它是从假设“命题结论的否定成立”出发，经过推理得出矛盾从而肯定命题结论正确的一种证明方法．。
“命题的否定”与“否命题”辨析
命题的“否定”与“否命题”的辨析（邮编331800）江西省东乡县实验中学数学组黄树华数学是一门逻辑性很强的学科，学习数学时处处涉及命题之间的逻辑关系和推理论证，现行教材新课标高中数学(北师大版)选修1-1、2-1的第一章均新增“常用逻辑用语”内容，介绍一些简单而又实用的逻辑知识，本意是让学生弄清命题之间的逻辑关系，自觉地使用逻辑规则，避免一些易犯的错误，从而增强判断能力和推理能力，提高数学思维能力。
由于新增内容，对于高中新生来说是较为抽象，在理解上尚一定难度，加之资料书上对这方面谈得少，且我们有些一线教师知识上也存在一定缺陷。
鉴于此，本人根据自己已从事一轮新课标教学的实践，就此问题加以诠释，供同仁探讨。
一、命题的“否命题”关于“否命题”，教材中讲得很明确，仅针对命题“若P则q”提出来的。
写出一个命题的否命题，简单地说就是将原命题改写成否定条件并且否定结论的形式。
即“若p则q”的否命题为“若非p则非q”。
命题的否命题与原命题的真假可能相同也可能相反。
如“若两个三角形全等则面积相等”（真命题）的否命题为“若两个三角形不全等则面积不相等”（假命题）。
又如“若x≠2，则x2≠4”（假命题）的否命题为“若x=2，则x2=4”（真命题）。
写出一个命题的否命题，关键是弄清楚命题的条件和结论，如命题“正方形是菱形”的条件是“四边形是正方形”，结论是“这个四边形是菱形”，其否命题为“若四边形不是正方形则这个四边形不是菱形”。
二、命题的“否定”“非p”叫做命题p的非命题，即命题p的否定。
一个命题p经过使用逻辑联结词“非”，就构成一个复合命题“非p”（记作“┓p”）称为命题的否定。
“非p”形式的复合命题的真值与原命题p的真值正好相反，构成一对矛盾命题。
但值得注意的是“非p”绝不是“是”与“不是”的简单演译，而是要对判断对象做出正确的否定。
以下分别举例说明：（一）简单命题的否定。
简单命题是不含逻辑联结词的命题。
常见的有：1．形如“A是B”的命题，这类命题的否定为：“A不是B”。
命题中的两“否”形式的辩析——浅谈命题的否定与否命题
虑 或考 虑 Ｐ与一Ｐ的真假 ， 能与真值表 相悖． 不 例 ４ 写 出 下 列 命 题 的 “ ｐ形 式 ”的 复 合 非
命 题．
（ ） ０或 Ｙ＝ ； １ ＝ ０
・
７ｌ ・
《 数学之友＞
２１ ００年第 ２ 期 ０
评 注 ： （ ）中 ｃ 在 ４ ＞０是 大 前提 ， 不要 对 其 进 行
否定．
命 题混 淆 ， 文想就 此作 一辩析 ． 本 若 Ｐ是 一个 命题 ， 则 Ｐ是 命 题 Ｐ的否定 ． 如果
命题 Ｐ可 以改写 为 “ Ａ， Ｂ” 若 则 的形式 ， 则 Ｐ应 为
例２ 写 出命题 “ ＆Ａ 若 ＢＣ是 等腰三 角形 ， 它 则
口 ｂ 一ｎ 一 ） ）＋ ）＜ ）＋ ６．
为 “ 行 四边 形 一 定 不 是 菱 形 ” 仍 为假 命 题． 平 ， 与真 值表 相违 ， 原命 题 的 Ｐ平 行 四边 形 不一 定 是 菱 故
形（ ） 真 ．
『定 不（） 不 全 都 某 ， 个 也有 至有个 否 大 于 是元 不 ， 些 几 没 少两 小 不 有
（ ）： １Ｐ 对顶 角相 等 ；
（） ： ２ ｐ 平行 四边形一定是菱形 ；
１
原命题
真命 题
否定形 式
假命 题
否命题
与 原 命 题 的
（） ３ ｐ：
假命题
真命题
真假无关
把握 好 命 题 的否 定 和 正 确 地 写 出命 题 的 否命 题， 必须掌 握一些 关键 词语 的否定 ．
解 ： 命题 的否命题 分别 是 ： 原 （ ） ｍ≤Ｏ， 关 于 的 方程 ＋ —ｍ＝０无 １若 则
命题的否定和否命题的区别
命题的否定和否命题的区别
（1）从定义的角度：
<1>否命题：设原命题是“若p则q”形式，那么“若非p则非q”就叫做原命题的否命题；
<2>命题的否定：设“p”是一个命题，那么“非p”叫做命题p的否定。
（2）从真值的角度：
<1>否命题：
是对原命题的条件和结论都进行否定，“若p则qà若非p则非q”，对于不具有“若p则q”形式的命题，我们应该先改写成“若p则q”形式，再写否命题。
注意：否命题与原命题真值可同真同假。
举例：原命题是“若同位角相等，则两直线平行”。
<2>命题的否定：
如果考虑原命题的条件和结论，则只对命题的结论进行否定，即“若
非p则非q”；
如果不考虑原命题的条件和结论，则对整个命题作否定，也就是在原命题前面加上“并非”即可。
由此看出：命题的否定与原命题必然真值相反。
另外，如果原命题涉及一些关键词，在否定时也要相应地做出改变：
都à不都（而不是都不）；
全是à不全是（而不是都不是）；
且à或，或à且；
任意à存在，存在à任意；
至少有一个à一个也没有；
至多有一个à至少有两个等等。
否命题与命题的否定
否命题与命题的否定嵩县一高王少敏学生们在学习四种命题（原命题、逆命题、否命题、逆否命题）时，对于否命题的认识不会有什么疑问，但在学习了或、且、非命题之后，常有学生这样问:“命题的否定”和“否命题”有什么区别？这说明很多同学混淆了这两个概念，其根本原因是对于“否命题”和“命题的否定”认识不够全面，理解不够深刻，没有准确理解这两个概念。
遗憾的是，很多学习参考资料上、部分教师轻率地告诉同学们说：“否命题”是既否定条件又否定结论，而“命题的否定”是只否定结论。
这是一种不严谨不负责的说法，误导了学生们。
本文希望就此问题做一些分析，帮同学们认清否命题与命题的否定。
一、否命题：一个命题是“如果p,那么q”的形式时，它的否命题是既否定条件又否定结论，即“如果⌝p,那么⌝q”。
原命题和其否命题的真假关系不确定，可能同真可能同假也可能一真一假。
1．要想写出否命题，需先把原命题改写成“如果（若）……那么（则）……”的形式。
例1：（1）原命题：若三角形中有两边相等，则其对角相等。
（真）否命题：若三角形中有两边不等，则其对角也不相等。
（真）（2）原命题：若两角为对顶角，则此二角相等。
（真）否命题：若两角不是对顶角，则此二角不相等。
（假）（3）原命题：若四边形的四边相等，则为正方形。
（假）否命题：若四边形四边不等，则不是正方形。
（真）（4）原命题：若|x+1|=2，则x=10。
（假）否命题：若|x+1|≠2，则x≠10。
（假）例2：（1）原命题：正方形的四条边相等。
改写为：如果一个四边形为正方形，那么这个四边形的四条边相等。
（真）否命题：如果一个四边形不是正方形，那么这个四边形的四条边不相等。
（假）（2）原命题：负数的绝对值等于它的相反数。
改写为：如果x<0，那么|x|=-x。
（真）否命题：如果x≥0，那么|x|≠-x。
（假）2．如果一个命题没有改写成“如果（若）……那么（则）……”的形式，我们就不能试图去写它的否命题。
高考数学复习点拨：命题的否定与否命题辨析
命题的否定与否命题辨析在学习“简易逻辑”时，有些同学对命题的否定不知如何把握且容易与一个命题的否命题混淆，本文想就此作一辩析．一、辨析1、定义区别2、真假关系表命题的否定形式、否命题与原命题的真假关系表：3、常用关键词的否定把握好命题的否定和正确地写出命题的否命题，必须掌握一些关键词语的否定，见下表：二、例题讲解[例1]写出命题“相似三角形是全等三角形”的否定形式及否命题，并判断它们的真假．解：原命题：相似三角形是全等三角形(假)．原命题的否定形式：相似三角形不是全等三角形(真)．原命题的否命题：不相似的三角形不是全等三角形(真)．注：原命题与原命题的否定形式的真假相反．[例2]写出下列命题的否命题：⑴若m＞0，则关于x的方程x2＋x－m＝0有实数根；⑵若x，y都是奇数，则x＋y是奇数；⑶若abc＝0，则a，b，c中至少有一个为0；⑷当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc．解：原命题的否命题分别是：⑴若m≤0，则关于x的方程x2＋x－m＝0无实数根；⑵若x，y不都是奇数，则x＋y不是奇数；⑶若abc≠0，则a，b，c全不为0；⑷当c＞0时，若a≤b，则ac≤bc．评注：将以上命题的条件与结论中关键词加以否定即可，⑴“＞”、“有”；⑵“都是”、“是”；⑶“＝”、“至少有一个”，⑷“＜”，要注意“c＞0”是大前提，不要对其进行否定．[例3]写出命题“若△ABC是等腰三角形，则它有两个内角相等”的否命题和逆否命题，并判断其真假．解：否命题：若△ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等(真)；逆否命题：若△ABC的任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形(真)．评注：逆否命题(若┐q则┐p)是否命题(若┐p和┐q)的逆命题．[例4]写出下列命题的“非p形式”的复合命题．⑴p：对顶角相等；⑵p：平行四边形一定是菱形；⑶p：2123x x+-≥0．分析：⑴p：对顶角相等(真)，┐p：对顶角不相等(假)；⑵p：平行四边形一定是菱形(假)，这里“一定是”的否定是用“一定不是”还是“不一定是”呢?若为“平行四边形一定不是菱形”，仍为假命题，与真值表相违，故原命题的┐p：平行四边形不一定是菱形(真)．⑶若认为┐p：2123x x +-＜0，那就错了．┐p是对p的否定，包括2123x x+-＜0或2123x x+-＝0．或∵p：x＞1或x＜－3，∴┐p：－3≤x≤1．评注：写出命题p的“非p”形式，要注意对命题p进行整体考虑或考虑“p”与“┐p”的真假，不能与真值表相悖．[例5]写出下列命题的“非p”形式的复合命题：⑴x＝0或y＝0；⑵△ABC是等腰直角三角形．分析：命题“p或q”与“p且q”的“非p”形式如下⑵┐p：△ABC不是等腰三角形或不是直角三角形．[例6]用反证法证明：△ABC中，若∠C是直角，则∠B一定是锐角．分析：“∠B一定是锐角”的否定是“∠B一定不是锐角”(注意：不能否定为“∠B不一定是锐角”)，即∠B≥90°，则∠C＋∠B≥180°，矛盾．(证明略)评注：反证法与命题的否定形式关系密切，它是从假设“命题结论的否定成立”出发，经过推理得出矛盾从而肯定命题结论正确的一种证明方法．友情提示：部分文档来自网络整理，供您参考！文档可复制、编辑，期待您的好评与关注！。
命题的否定和否命题的区别
命题的否定和否命题的区别
命题的否定，就是推翻整个命题，是对这个命题从根子上否定，推翻。
否命题，是一个命题的相反方向，相反结论。
下面我们举例子说明一下。
例一：
原命题——对顶角相等
否命题——不是对顶角就不相等。
原命题的否定——对顶角不相等。
如果我们证明了原命题“对顶角相等”是真命题，那么原命题的否
定“对顶角不相等”就一定是假命题；但是，原命题的否命题，可
能是真命题，可能是假命题。
如“不是对顶角就不相等”，就是假
命题。
例二：
原命题——如果两个角的和等于90度，那么这两个角互为余角。
否命题——如果两个角的和不等于90度，那么这两个角不是互为
余角。
原命题的否定——如果两个角的和等于90度，那么这两个角不是
互为余角。
显然，原命题——“如果两个角的和等于90度，那么这两个角互
为余角。
”是真命题；否命题——“如果两个角的和不等于90度，那么这两个角不是互为余角。
”也是真命题；原命题的否定——
“如果两个角的和等于90度，那么这两个角不是互为余角。
”就是假命题。
2020.10.20。
浅析命题的否定及否命题
解法三是正确的，从而可得解法一的正确性，
故解法二是错误的．可是错误的原因在哪里呢，究
竟哪一步推理是错的呢？其实问题出在命题 q 的否
定上，
¬q
:
x2
1 −x
−
2
≤
0
⇔
−1
<
x
<
2
是个错误的否
定，原命题
q
：
x2
1 −x
−
2
>
0
的意义其实有两层：式
子有意义且式子大于零，因此
¬q
应为：
x2
1 −x
−
2
无
意义或
x2
1 −x
−
2
≤
0
，即
¬q
:
−1
≤
x
≤
2
，这样一来，
就同解法一、三结论相同了．
3．关于否命题
否命题这个概念是针对假言命题（亦即可改写
为“若 p 则 q ”这种形式的命题）提出的，所以要写出
一个命题的否命题，首先要能把原命题改为“若 p 则
q ”这种形式．全称命题是假言命题 [3，4，5] ，也应这
这是两个命题不能同用“不一定”或“一定不”否定的
原因．但是如果将他们都用全称命题的否定形式来
处理，就没有问题了：
例 5 命题 p ：所有矩形的对角线互相垂直．
非 p ：存在某个矩形，其对角线不会互相垂直．
例 6 命题 q ：所有末位是偶数的整数都是偶数．
非 q ：存在某个末位是偶数的整数不是偶数．
2．带隐含条件的命题之否定
么处理．[1]在小结与复习（23 页）中给了一个例子：
例 8 写出命题“ p ：每个有理数都是实数”的否
命题的否定和否命题的区别
命题的否定和否命题的区别原命题：等腰三角形的底角相等命题的否定：如果一个三角形是等腰三角形,那么它的底角不相等；否命题：如果一个三角形不是等腰三角形,那么它的底角不相等.结论：命题的否定是在原命题题设不变的情况下对结论进行否定.而否命题是既要否定原命题题设,又要否定原命题的结论命题的否定,主要针对简单命题（普通命题）、含有量词的命题,此时原命题的否定命题规则是：否定结论,并将量词“置换”,即将原命题中的全称量词（存在量词）换成存在量词（全称量词）.这种命题一般只有命题的否定,而没有否命题.原命题的否命题：此时的原命题特指形如“如果p,则（那么）q”的命题,它的否命题是“如果非p,则（那么）非q”.这样的原命题的否定,同样是只否定结论,即原命题的否定为：“如果p,则（那么）非q”.注意：命题的否定与命题的否命题,是针对不同类型的原命题而言的,它们是两个不同的概念.1、在高中阶段（国内），命题的否定只否定该命题的结论，而否命题则否定原命题的条件和结论。
比如:“若a>0.则a+b>0”这个命题的否定是“存在a>0, 使得a+b<=0”,否命题是“存在a<=0,使得a+b<=0”；在大学（尤其是国外的大学）阶段，“只否定命题结论”的说法不一定正确，根据真值表（True Table），在A为假命题的情况下，非(A => B) 与A => 非B 并不是逻辑相等的。
参考：滑铁卢大学数学教材对于“若A则B”式命题的否定为“A 且非B”。
2、一个命题与它的否定形式是完全对立的。
两者之间有且只有一个成立。
数学中常用到反证法，要证明一个命题，只需要证明它的否定形式不成立就可以了。
而对于否命题，它是否成立和原命题是否成立没有直接关系。
正确理解与区分命题的否定与否命题
正确理解与区分命题的否定与否命题命题的否定与否命题是逻辑学的难点之一，为了突破这一难点，本文试图全面而又详细地阐述之，以飨读者．一、命题的否定与否命题的相关概念１．定义：设“若p 则q ”为原命题，那么“若非p 则非q ”就叫做原命题的否命题．设“p ”是一个命题，那么“非p ”叫做命题p 的否定．“非p ”记作“p ⌝”２．区别：否命题是对原命题的条件与结论都作否定，否命题与原命题可同真同假，也可一真一假．而命题的否定是（1）在不考虑命题的条件与结论的情况下对整个命题作否定，此时只需在原命题前加“并非”即可．（2）如果考虑命题的条件与结论，则仅仅对命题的结论作否定．任何一个命题与该命题的否定必定是一真一假（常用这一点来验证写出来的命题的否定是否正确）．二、命题的否定中的关键词剖析１．一般命题中“都…”对应于“不都…”，而不是对应于“都不…”； “全…”对应于“不全…”，而不是对应于“全不…”．“…且…”对应于“…或…”；“…或…”对应于“…且…”，２．全称命题与存在性命题中“任意…” 对应于“有些…”等；“存在…” 对应于“所有…”等．“至少有一个” 对应于“一个都没有”等；“至多有一个” 对应于“至少有两个”等．三、否命题的改写说明：原命题如果是“若p 则q ”或“如果…，那么…”的形式，则按照否命题的定义改写即可，原命题如果不是上面的形式，则先改写成上面的形式后，再去写它的否命题．四、命题的否定与否命题的易错题举例．１．写出“若a ，b 都是正数，则ab b a 2≥+．”的否命题．解答：若a ，b 不都是正数，则ab b a 2<+．评注： “都是正数”的否定是“不都是正数”而不是“都不是正数”．如果把“a ，b 都是正数”理解成“a 是正数且b 是正数”，则其否定也可写成“a 不是正数或b 不是正数”．２．写出“两个奇数的和是偶数”的否命题与命题的否定．解答：否命题：若两个数不全是奇数，则它们的和不是偶数．命题的否定：两个奇数的和不是偶数评注：(1)“两个奇数的和是偶数”意思是“有两个数全是奇数，则它们的和是偶数”．(2) “是偶数”的否定是“不是偶数”，而不是 “是奇数”（为什么？）．３．写出下列命题的否定：(1)有些常数数列不是等比数列． (2)平行四边形是菱形．解答：(1) 任意一个常数数列都是等比数列．(2) 平行四边形不都是菱形．评注：一般地说，存在性命题的否定可以是全称命题，全称命题的否定可以是存在性命题．所以(1)题的否定是一个全称命题．“平行四边形是菱形”根据意思其实也是一个全称命题，故也可以用“有些平行四边形不是菱形”作为答案，而解答中仅是对结论作否定的，比较简洁，当然也行的．４．已知“p ：不等式022>--x x 的解集是{}12|-<>x x x 或”，那么“非p ”为 ． 解答：不等式022>--x x 的解集不是{}12|-<>x x x 或． 评注：命题p 是一个简单命题，而不是复合命题，故不能认为“非p ”为“不等式022>--x x 的解集是{}21|≤≤-x x ”．类似地：命题“方程012=-x 的解是1±=x ”也是一个（没有使用逻辑联结词的）简单命题．５．已知p ：0212>--x x ，则“非p ”对应的x 值的集合是 ． 解答：由于0212>--x x ⇔022>--x x ⇔21>-<x x 或，即p ：21>-<x x 或；所以“非p ”对应的x 值的集合是{}21|≤≤-x x ．评注：不能错误认为“非p ”为0212<--x x 而解得为{}21|<<-x x ． ６．设p ：062≥-+x x ，q ：02||12<-+x x ，则p 是q ⌝的 条件． 解答：由02||12<-+x x ⇔22<<-x 知q ⌝：22≥-≤x x 或． 062≥-+x x ⇔23≥-≤x x 或知p ：23≥-≤x x 或而23≥-≤x x 或⇒22≥-≤x x 或且反之不成立，所以p 是q ⌝的充分不必要条件．评注：出错之处是：认为q ⌝为02||12≥-+x x ，进而得到q ⌝：22>-<x x 或，从而导致错误答案为p 是q ⌝的既不充分也不必要条件．命题的否定形式与否命题的区别是什么?命题的否定就是将原来的命题的结论否定比如，原命题是：三角形有三个角，否定就是三角形没有三个角；而否命题是将假设和结论都否定，比如上例的否命题就是：不是三角形的没有三个角。
命题的否定和否命题的区别
命题的否定和否命题的区别【否命题和命题的否定的含义】1.什么是命题的否定命题的否定就是对这个命题的真值进行取反。
命题的否定与原命题真假性相反。
设“p”是一个命题，那么“非p”叫做命题p的否定．“非p”记作“-p”。
2.否命题的概念否命题是数学中的一个概念。
一般的，在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。
对于两个命题，若其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题互为否命题。
命题是否成立，与它的否命题是否成立没有关系。
得到一个问题的否命题很容易，把条件，结论全部否定就可以了。
如果把其中一个称为原命题，那么另一个就叫做它的否命题。
设“若p则q”为原命题，那么“若非p则非q”就叫做原命题的否命题。
【命题的否定和否命题的区别】1.命题的否定只否定该命题的结论，而否命题则否定原命题的条件和结论。
比如:“若a>0.则a+b>0”这个命题的否定是“存在a>0,使得a+b<=0”,否命题是“存在a<=0,使得a+b<=0”；在大学（尤其是国外的大学）阶段，“只否定命题结论”的说法不一定正确，根据真值表（True Table），在A为假命题的情况下，非(A=>B)与A=>非B并不是逻辑相等的。
参考：滑铁卢大学数学教材对于“若A则B”式命题的否定为“A 且非B”。
2.一个命题与它的否定形式是完全对立的。
两者之间有且只有一个成立。
数学中常用到反证法，要证明一个命题，只需要证明它的否定形式不成立就可以了。
而对于否命题，它是否成立和原命题是否成立没有直接关系。
否命题是对原命题的条件与结论都作否定，否命题与原命题可同真同假，也可一真一假。
而命题的否定是：a.在不考虑命题的条件与结论的情况下对整个命题作否定，此时只需在原命题前加“并非”即可;b.如果考虑命题的条件与结论，则仅仅对命题的结论作否定。
任何一个命题与该命题的否定必定是一真一假（常用这一点来验证写出来的命题的否定是否正确）。
否命题与命题的否定
否命题与命题的否定卢敏摘 要：否命题与命题的否定是两个比较容易混淆的概念，也是高中逻辑学的重要部分，本文将对否命题与命题的否定进行一下辨析。
关键词：否命题 命题的否定 辨析如何正确地表达一个“命题的否定”及“否命题”是“简易逻辑”中的难点之一。
有些同学在写原命题的否命题时，仅写了对结论的否定；还有一些同学用反证法证明问题时，却假设条件和结论都不成立。
说明他们混淆了“否命题”与“命题的否定”这两个概念。
事实上“否命题”与“命题的否定”是两个根本不同的概念，如果原命题是“”q p 则若那么这个命题的否命题是“”,而这个命题的否定是“”。
可见，q p 则非若非q p 则非若否命题既否定条件又否定结论，而命题的否定只否定结论。
本文将通过以下几个方面对命题的否定与否命题进行分析。
一、识别否命题与命题的否定1．命题的否命题：既否定命题的条件又否定命题的结论，即若表示命题p p p p “若则”，则其否命题是“若非，则非”。
A B A B 2．“非”叫做命题的否定，对命题怎样否定呢？保留其条件，否定其结论，p p p 即如果命题是“若，则”，那么命题“非”是：若，则非。
由此可知命题p A B p A B 与的条件相同，结论相反；命题与的真假相反；。
p ⌝p p ⌝p ()p p ⌝⌝=定义原命题：若，则p q 命题的否定指对结论的否定若则，非p q 否命题指对命题的条件结论同时否定若非，则非p q二、区别否命题与命题的否定1．注意区分“命题的否定”与“否命题”这两个不同的概念。
命题的否定为“非p ”，记作，一般只是否定命题的结论，否命题是对原命题“若则”既否定它p p ⌝p p q 的条件，又否它的结论。
2．“非”是否定的意思，一个命题经过使用逻辑联结词“非”，构成了一个复合命p 题“非”，从集合的角度可以看作是在全集中的补集。
“非”的含义有四条：p p U U C P ①“非”只否定的结论；p p ②与“非”的真假必须相反；p p ③“非”必须包含的所有对立面；p p ④“非”必须使用否定词语。
辨析命题的否定与否命题
关键词 ：原命 题；否命题 ；命题的否定
在学习逻辑 知识时 ， 命题 的否定和否命 题是 两个根本不 同的概念．但学生们在写原 命 题 的否命题 时 ，常 常仅 写了对 结论 的否
明他们混淆 了 “ 否命题”和 “ 命 题的否定 ” 这 两个概念． 事实上 ， “ 否命题”和 “ 命题 的 否定 ”是两个根本不同的概 念．如果原命题
否定．
（２ ）存 在 一 个 实 数
Ｘ 一Ｘ＋ｌ ≤Ｏ．
， 使 得
解： （ １ ） 原命题的否定是 ： 存在实数 ｍ ， 使方程 ２ ｘ ２ 一ｘ —ｍ＝０ 没有实根．
（ ２）原命题 的否定是 ：对任意实数
， 一
解： （ １ ） 原 命题 的否定 ：若一个三角 形是锐角 三角形 ， 则 它的三个 内角不都是锐
理论广角
２ ０ １ ３年 ３期 【 上）
岳 凯 赵 瑞 （ 平顶山市理 工学校 河南 平顶山 ４ ６ ７ ０ ０ ０ ）
摘要 ：命题的否 定和 否命题是逻辑上 两个 完全不同的概 念．很 多初学者对这两个概念极 易混淆 ，本文通过表格对 比分析辨析 以及典型例题分析等详 细阐述 了两
则的不同．
否命题 与原命题 的真假无关
或 且
有 无
全 不全 至多有 个
都 不都
任何 某些 任意 的
所有的 有几个 都是
任意两个
反面词语
一个都没有
某两个
偶数．
至少有 （ 一 ＋ １ ） 个
（ １ ） 若 不都是偶数 ，则 ｘ ＋ｙ 不是
某个
２ ｘ 一 — ＝０ 必有实根．
一
原命题 的否命题 ： 不是菱形的对 角线不
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“否命题”与“命题的否定”辨析
李亚丽
如何正确地表达一个“命题的否定”及“否命题”是“简易逻辑”中的难点之一。
有些同学在写原命题的否命题时，仅写了对结论的否定；还有一些同学用反证法证明问题时，却假设条件和结论都不成立。
说明他们混淆了“否命题”与“命题的否定”这两个概念。
事实上“否命题”与“命题的否定”是两个根本不同的概念，如果原命题是“若p 则q ”，那么这个命题的否命题是“若非p ，则非q ”，而这个命题的否定是“若p 则非q ”。
可见，否命题既否定条件又否定结论，而命题的否定只否定结论。
一般地，“都”表示全部，“不都”表示不是全部，它包含一部分或没有，而“都不”表示全不，即一个也没有。
“不都是”包含“都不是”。
如命题“a 、b 都是零”的否定不是“a 、b 都不是零”，而是“a 、b 不都是零”，即“a 、b 中至少有一个不为零”。
因为“a 、b 都是零”是复合命题“p 且q ”的形式，其否定应该为“非p 或非q ”，也就是“a=0且b=0”的否定应为“a b ≠≠00或”，即“a 、b 中至少有一个不为零”。
对“全”、“都”的否定，只需在其前面加一个“不”即可，而对“一定”的否定却不一样。
因两者的词性不同，“全”、“都”是副词，是对某一个范围而言的；而“一定”是一个语气助词，带强调意味，这两者有一定区别。
因此，在对“一定”、“一定都”的否定时，可分两步，先将“一定”两字拿下，否定后放在“不”的前面。
如对命题“三角形两边之和一定大于第三边”的否定，先是“三角形两边之和不大于第三边”，后得“三角形两边之和一定不大于第三边”。
又如对命题“在△ABC 中，若∠A 是直角，则∠B 、∠C 一定是锐角”的否定，这里的“一定是”含有“两个角一定都是”之意，因此可先否定“在△ABC 中，若∠A 是直角，则∠B 、∠C 不都是锐角”，再放上“一定”得：“在△ABC 中，若∠A 是直角，则∠B 、∠C 一定不都是锐角”。
例1. 原命题：
（1）若一个三角形为锐角三角形，则它的三个内角都为锐角；
（2）菱形的对角线互相垂直；
（3）面积相等的三角形是全等三角形。
写出原命题的否定和否命题。
解：（1）原命题的否定：若一个三角形为锐角三角形，则它的三个内角不都为锐角。
原命题的否命题为：若一个三角形不为锐角三角形，则它的三个内角不都为锐角。
（2）原命题的否定：菱形的对角线不互相垂直。
原命题的否命题：非菱形的四边形的对角线不互相垂直。
（3）原命题的否定：面积相等的三角形不是全等三角形。
原命题的否命题：面积不相等的三角形不是全等三角形。
评析：“都是”的否定是“不都是”，“不都是”包含“都不是”，“至少有一个”的否定是“一个都没有”，“所有的”的否定是“某些”，“任意的”的否定是“某个”，“至多有一个”的否定是“至少有两个”，“至多有n 个”的否定是“至少有n+1个”，“任意两个”的否定是“某两个”。
像这类否定同学们不妨探究一下。
例2. 已知p x q x x ：，：||3421
2
02->-->。
试判断⌝⌝p q 是的什么条件。
错解：⌝-≤⌝≤≤⌝--≤p x p x q x x ：，即：，：||3422
321202
即：⌝-<<q x 12
所以⌝p ⌝q ，⌝q ⌝p ，也就是⌝⌝p q 是的既不充分也不必要条件。
解：上述解法的错误在于由q x x q x x ：
得：1
2012022-->⌝--≤时，简单地认为“>”的否定是“≤”。
事实上，
1202022x x x x -->-->等价于，因此，⌝--≤q x x ：220，即⌝-≤≤q x ：12。
∴，而⌝⇒⌝⌝p q q ⌝p 。
故⌝⌝p q 是的充分而不必要条件。
评析：在处理含有不等式的逻辑问题时，注意符号“≥”的真正含义。
符号“≥”是由“>”与“=”复合而成，因此，解题时可以将“≥”分解成“>”与“=”，所以解不等式f x ()≥0可以转化为求不等式f x ()>0和方程f x ()=0的解集的并集，也可以转化为求f x ()<0的解集的补集。
对于“非p ”形式的命题，不能机械地进行否定，要注意对命题进行整体考虑或考虑“p ”与“⌝p ”的真假，不能与真值表相悖。