调研考试数学参考答案及评分标准
广东省惠州市第二次调研考试2025届高三数学答案
惠州市2025届高三第二次调研考试试题高三数学参考答案与评分细则一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．题号12345678答案BDCBAADC1.【解析】因为{}40<<=x x B ,所以{}42<≤=x x B A.故选：B.2.【解析】因为210z +=，即12-=z ，所以i z =±，所以11i z +=±==.故选：D.3.【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知得：1193627,98a d a d +=⎧⎨+=⎩解得111=-=d a ，，所以98991991100=+-=+=d a a ．故选：C．4.【解析】连接FB ，在正方体1111ABCD A B C D -中，⊥BC 平面11ABB A ，棱BC 的中点为E ，则BE ⊥平面11ABBA ，而BF ⊂平面11ABB A ，故BE BF ⊥，则EFB ∠即为直线EF 与平面11ABB A 所成角，设正方体棱长为2，则1BE ,BF ====，则EF ==，故sin 6BE EFB EF ∠=．故选：B.5．【解析】由b = 3)2(=⋅-b b a ，得22223a b b a b ⋅-=⋅-=，即52a b ⋅=,2=，所以向量b 在向量a )85835()13(4252，，==⋅=a b a a b a ．故选：A．6.【解析】若函数)(x f 在),1(+∞上单调递增，则⎩⎨⎧≥-≤0211a a ，解得21≤a ，所以“0≤a ”是“函数)(x f 在),1(+∞上单调递增”的充分不必要条件．故选：A．7.【解析】设优弧BC 所在圆的圆心为O ,半径为,连接OC OB OA ,,.易知“水滴”的“竖直高度”为R OA +,“水平宽度”为R 2,由题意知342=+R R OA ,解得R OA 35=.因为AB 与圆弧相切于点B ,所以AB OB ⊥.在ABO Rt ∆中,5335sin ===∠R R OA OB BAO ，又2,0(π∈∠BAO ,所以54sin 1cos 2=∠-=∠BAO BAO ，由对称性知,CAO BAO ∠=∠,则BAO BAC ∠=∠2,所以252454532cos sin 2sin =⨯⨯=∠∠=∠BAO BAO BAC .故选：D.8.【解析】根据已知条件设理科女生有1x 人，理科男生有2x 人；文科女生有1y 人，文科男生有2y 人；根据题意可知：1212x x y y +>+，2211y x y x +>+，根据同向不等式可加的性质有：22211121y x y y y x x x +++>+++，即12x y >，所以理科女生多于文科男生，C 正确.其他选项没有足够证据论证.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分。
河北省衡水市2025届高三上学期第二次调研考试数学试卷(含解析)
河北省衡水市2025届高三上学期第二次调研考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知数列满足,则( )2．已知是第四象限角且,则的值为( )A.1B.C.3．函数处的切线的倾斜角为( )4．如图,平行四边形ABCD中,,,若,,则( )C.5．已知等差数列的公差小于0,前n项和为,若,则的最大值为( )A.45B.52C.60D.906．设内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知,若的周长为1.则( )D.2{}na12na+=11=-4a=αsinα=cos0ββ-=tan()αβ-1--()f x=())0,0f2AE EB=DF FC=CB m=CE n=AF=32+12n-1322m-+32n-{}nanS2a=844=nS ABC△2sin sin sinABCS A B C=△ABCsin sin sinA B C++=7．设函数,若函数在区间上有且仅有1个零点,则的取值范围为( )A. B. C. D.8．已知,在R 上单调递增,则a 的取值范围是( )A. B. C. D.二、多项选择题9．以下正确的选项是( )A.若,,则 B.若,C.若,则D.若,10．设正项等比数列的公比为q ,前n 项和为,前n 项积为,则下列选项正确的是( )A.B.若,则C.若,则当取得最小值时,D.若,则11．以下不等式成立的是( )A.当时,B.当时,C.当时,D.当时,三、填空题()()3ππ40,0,3πππ4tan ,4k x f x k k x x ωωωω⎧+⎪=⎪⎪=>∈⎨⎪+⎛⎫⎪--≠ ⎪⎪⎝⎭⎩Z ()f x π3π,88⎛⎫- ⎪⎝⎭ω2,23⎛⎤ ⎥⎝⎦20,3⎛⎤⎥⎝⎦210,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦(]0,211e e ,12()1x xax x f x x --⎧--≤⎪⎪=>()a ∈R []2,1-[]2,1--(],1-∞[)2,-+∞a b >c d <a c b d ->-a b >c d <bd >22ac bc >33a b >a b >m >ba>{}n a n S n T 4945S S q S =+20252020T T =20231a =194a a =2246a a +1a =21()n n n a T +>11a <(0,1)x ∈1e ln 2x x x x+>-+(1,)x ∈+∞1e ln 2x x x x+>-+π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭e sin x x x >π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭e sin x x x >,,13．已知函数的最小正周期为,则在区间上所有零点之和为________.14．若定义在上的函数满足:对任意的x ,,都有:,当时,还满足:,则不等式的解集为________.四、解答题15．已知函数.（1）求函数的单调区间;（2）函数在上恒成立,求最小的整数a .16．已知数列的前n 项和为,,.（1）证明:数列为等比数列;（2）若,求n 的值.17．凸函数是数学中一个值得研究的分支,它包括数学中大多数重要的函数,如,等.记为的导数.现有如下定理:在区间I 上为凸函数的充要条件为.（1）证明:函数上的凸函数;（2）已知函数.①若为上的凸函数,求a 的最小值;②在①的条件下,当a 取最小值时,证明:,在上恒成立.18．如图,在平面直角坐标系中,质点A 与B 沿单位圆周运动,点A 与B 初始位置如图所示,A 点坐标为,的速度运动,点A 逆时针24a b ⋅=λ∈R +()()2sin πcos (0)f x x x x ωωωω=->π()f x []2024π,2024π-()(),00,-∞+∞ () f x ()(),00,y ∈-∞+∞ ()1x f f x f y y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,0x y >()110x y f f x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1f x x ≤-()()2e 1x f x x x =-+()f x ()f x a ≤[]2,1-{}n a n S 113a =18,3,nn na n a a n +-⎧=⎨⎩为奇数为偶数{}2112n a --21161469n S n +=+2x e x ()f x ''()y f x '=()f x ()()0f x x I ''≥∈()f x =)1,+∞()2()2ln ln g x ax x x x a =--∈R ()g x [)1,+∞()()31()223231x xxg x x -+≥+-+[)1,+∞()1,0AOB ∠=//s运动,点B 顺时针运动,问:（1）ls 后,扇形AOB 的面积及的值.（2）质点A 与质点B 的每一次相遇的位置记为点,连接一系列点,,构成一个封闭多边形,求该多边形的面积.19．已知函数,（1）讨论的单调性;（2）当时,恒成立,求m 的取值范围;（3）当时,若的最小值是0,求的最大值.sin AOB ∠n P 1P 2P 3P ⋅⋅⋅()e x f x mx =-()g x =()f x 0x ≥()()f x g x ≥0x ≥()()f x ng x -m +参考答案1．答案：C 解析：因为当,;当,,故选:C.2．答案：C解析：因为是第四象限角且因为,所以所以,故选:C.3．答案：D解析：因为时,即故选:D.4．答案：D解析：因为四边形ABCD 为平行四边形,且,,所以,即①,又,即②,由①②得到,又,,所以.故选:D.5．答案：A12n a +=1n =21123a a =-=2n =3212a a =-=3=4312a a =-=αsin α=α=α=2sin cos 0ββ-=tan β=tan tan tan()211tan tan 31421234αβαβαβ--===-+⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭---()f x =()15f x x ='0=()15f x x ='()f x =0x =2AE EB =DF FC =12AF AD DF AD DC =+=+ 22AF AD DC =+ 13CE CB BE CB BA =+=+ 33CE CB BA =+ +23AF CE CB += CB m = CE n =1322A m n F =-解析：设等差数列的首项为,公差为,由①,由,得到②,由①②得到,,又,,由,解得,,所以,,,又因为,所以当或时,的值最大,最大值为45,故选:A.6．答案：B（R 为的外接圆半径）,可得,,,且A ,B ,,则,,均为正数,因为,可得,又因为的周长为,所以故选:B.7．答案：A解析：因为,由正切型函数可知:的最小正周期且,显然在区间内至少有1个零点,在区间内至少有2个零点,若函数在区间上有且仅有1个零点,{}n a 1a (0)d d <2a =272713a a a ++=1888()442a a S +==1811a a +=2724a a =182711a a a a +=+=0d <27272411a a a a =⎧⎨+=⎩28a =73a =72381725a a d --===--19a =2(1)1199222n n n S n n n -=-=-+n *∈N 9n =10n =n S 2sin sin b cR B C===ABC △2sin a R A =2sin b R B =2sin c R C =()0,πC ∈sin A sin B sin C 11sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22ABC S ab C R A R B C A B C ==⨯⨯⨯=△1R =ABC △()2sin 2sin 2sin 2sin sin sin 1a b c R A R B R C A B C ++=++=++=sin sin sin A B C ++=0ω>()f x T =(f x ∈Z ()f x (),x x T +3,2x x T ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()f x π3π,88⎛⎫- ⎪⎝⎭,若,因为,则,且,即则,结合题意可知:,由题意可知:或,,所以的取值范围为.故选:A.8．答案：A解析：因为,当时,,所以时,,即上单调递增,当时,,所以,由题知在上恒成立,在上恒成立,3ππ88⎛⎫>--= ⎪⎝⎭πω=>3ω<<03ω<<π3π,88x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭πππ3ππ,48484x ωωω⎛⎫-∈--- ⎪⎝⎭5ππππ3ππ7π8844848ωω-<--<-<-<5ππππ3ππ884484x ωωω-<--<-<-<ππ5π7π,0,,2288⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭ππ3ππ,8484ωω⎫---⎪⎭π3ππ0284πππ842ωω⎧-<-≤⎪⎪⎨⎪--<-⎪⎩3πππ0842πππ0284ωω⎧<-≤⎪⎪⎨⎪-≤--<⎪⎩2ω<≤ω2,23⎛⎤ ⎥⎝⎦11e e ,12()1x xax x f x x --⎧--≤⎪⎪=⎨>1x >()f x =()f x '==1x >()0f x '>()f x =)+∞1x ≤11e e ()2x x f x ax ---=-11e e ()2x x f x a --+'=-11e e ()02x x f x a --+'=-≥(,1]-∞a ≥,当且仅当,即时取等号,所以,,得到,所以,故选:A.9．答案：AC解析：对于选项A,由,得到,又,所以,故选项A 正确,对于选项B,取,显然有,,不满足对于选项C,由,得到,又,所以,即,所以,故选项C 正确,对于选项D,取,,,显然有,,所以选项D 错误,故选:AC.10．答案：AB解析：因为数列为正项等比数列,则,,,对于选项A:因为,所以,故A 正确;对于选项B:若,所以,故B 正确;对于选项C:因为,则,当且仅当时,等号成立,若取得最小值,则,即,解得,故C 错误;112≥⨯=11e e x x --=1x =1a ≤13211a +≤=+2a ≥-21a -≤≤c d <c d ->-ab >ac bd ->-3,2,3,2a b c d ===-=-a b >c d <1,1bd=-=-a c >22ac bc >2()0a b c ->20c >0a b ->a b >33a b >3a =-4b =-5m =a b >m >4514435233b a-+-==<==-+-{}n a 10a >0q >0n T >9123456789S a a a a a a a a a =++++++++()4441234545S q a a a a a S q S =+++++=+4945S S q S =+20252020T T =52021202220232024202520231a a a a a a =⋅⋅⋅⋅==20231a =19464a a a a ==22446628a a a a +≥=462a a ==2246a a +462a a ==34156122a a q a a q ⎧==⎨==⎩121a q =⎧⎨=⎩对于选项D:例如,,则,可得,,因为,则,可得,即,符合题意,但,故D 错误;故选:AB.11．答案：ABC解析：A 选项,令,,则恒成立,故在上单调递增,则,令,则,故在上单调递增,故,所以,A 正确;B 选项,由A 选项知,时,单调递增,单调递减,则,所以,B 正确;C 选项,令,,则,,,11a =2q =12n n a -=011121122222n n n n T a a a -++⋅⋅⋅+-=⋅⋅⋅=⨯⨯⋅⋅⋅⨯==()21()22nn n n n a +==()2212222n n n n n T --⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭*n ∈N 22n n n >-2222n n n ->21()n n n a T +>11a =()e 1x f x x =--(0,1)x ∈()e 10x f x ='->()f x (0,1)x ∈()()00f x f >=()1ln g x x =-(0,1)x ∈()221110xg x x x x='-=-+>()g x (0,1)x ∈()()10g x g <=e 11ln x x x -->-1ln 2x x x x+>-+(1,)x ∈+∞()f x ()g x ()()1e 2f x f >=-()()10g x g <=e 11ln x x x -->-1ln 2x x x x+>-+()e sin x w x x x =-π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()πe sin cos 1e sin 14x x w x x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭'π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ3π,444x ⎛+∈ ⎝(π4x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭又在上恒成立,故在恒成立,故在上单调递增,又,故,即当时,,C 正确;D 选项,令,则当时,,当时,,在上单调递增,在上单调递减,其中,在上单调递增,在上单调递减,且,,画出两函数图象如下:时,不满足存在,使得当时,,D 错误.故选:ABC 12．答案：4e 1x >π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()πe sin 104x w x x ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭'π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()e sin x w x x x =-π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00w =e sin 0x x x ->π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭e sin x x x >()t x =()0,π∈()t x ='()10e x x t x -'=>()1,πx ∈()10exxt x -'=<()ex xt x =()1,πx ∈π2ππ122et ⎛⎫=< ⎪⎝⎭()πt =()sin q x x =π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π12q ⎛⎫= ⎪⎝⎭()π0q =π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin x >1π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()1,πx x ∈sin x <sin x x x <,,,当且仅当时,等号成立,故答案为:4.13．答案：解析：因为且,则的最小正周期为,解得,所以令,解得,令,可得可知在,内有2个零点,且这2个零点关于直线对称,即这2个零点和为,所以所有零点之和为.故答案为:.14．答案：解析：因为对任意的x ,,都有:令,可知24a b ⋅=()2222224432164421616a a b b b λλλλλλ=+⋅+=++=+++≥ 2λ=-+ +10120π3-()21cos 2()sin πcos sin cos 2xf x x x x x x ωωωωωω-=-=1πsin 22sin 223x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭0ω>()f x 2ππ2T ω==1ω=()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π22π3x k +=+∈Z πx k =∈Z ()πsin 203f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭πsin 23x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()f x ()π,1πk k +⎡⎤⎣⎦k ∈Z πx k =∈Z 2πx k =∈Z ()()π101202202420232023π4048π63-+-+⋅⋅⋅++⨯=-⎡⎤⎣⎦10120π3-(][),11,-∞-+∞ ()(),00,y ∈-∞+∞ ()1x f f x f y y ⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1x y ==()()()12110f f f =⇒=令,可知令,得故函数为偶函数,令要使则显然函数为偶函数;因为当时,得所以当时函数单调递减,此时也单调递减因为需要故因为为偶函数所以当时,的解为故不等式的解集为故答案为:15．答案：（1）单调增区间为,,单调减区间为（2）3解析：（1）因为,则,因为恒成立,由,得到或,由,得到,所以函数的单调增区间为,,减区间为.（2）由（1）知在区间上单调递增,在区间上单调递1x y ==-()()()12110f f f =-⇒-=1y =-()()()()()1f x f x f f x f x -=+-⇒-=() f x ()()1g x f x x =-+()1f x x ≤-()0g x ≤()()1g x f x x =-+,0x y >()110x y f f x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-->⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11110f f x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭0x >()f x ()()1g x f x x =-+()()11110g f =-+=()0g x ≤1x ≥()()1g x f x x =-+0x <()0g x ≤1x ≤-()1f x x ≤-(][),11,-∞-+∞ (][),11,-∞-+∞ (),1-∞-()0,+∞(1,0)-()()2e 1x f x x x =-+()()2e (1)e x x f x x x x x '=+=+e 0x >()0f x '>1x <-0x >()0f x '<10x -<<()f x (),1-∞-()0,+∞(1,0)-()()2e 1x f x x x =-+[)2,1--(1,0)-减,在区间上单调递增,又,,显然有,所以在区间上最大值为,又函数在上恒成立,所以,得到最小的整数.16．答案：（1）证明见解析（2）6解析：（1）因为,所以当,时,,即,时,,又时,,所以数列为首项为1,公比为3的等比数列.（2）由（1）知,所以,又由,可得,,,所以,又,所以,整理得到,解得,所以n 的值为6.17．答案：（1）证明见解析解析：（1）因为因为,又,所以,(]0,1()31ef -=()1e f =(1)(1)f f -<()()2e 1x f x x x =-+[]2,1-e ()f x a ≤[]2,1-e a ≥3a =18,3,nn n a n a a n +-⎧=⎨⎩为奇数为偶数2n ≥n *∈N 212(1)122(23)1232312123123123(8)123(12)n n n n n n a a a a a a --+--+---=-=-=-=--=-2n ≥n *∈N 212(1)112336n n a a ----=-1n =11213121a -=-={}2112n a --121123n n a ---=121312n n a --=+18,3,nn n a n a a n +-⎧=⎨⎩为奇数为偶数22234n n a --=+2n ≥n *∈N 211232211321242()()n n n n n S a a a a a a a a a a a +++=+++++=+++++++ 1011313[33312(1)](3334)16122316111313n nnn n n n n n +---=++++++++++=+++=⨯++-- 21161469n S n +=+231611161469n n n ++⨯+=3729n =6n =()f x =()f x '=()f x ''=4222156316(048x x x -+=-+>()1,x ∈+∞63(1)0x x ->故在区间上恒成立,即函数上的凸函数.（2）①因为,所以由题知在区间上恒成立,即上恒成立,,则在区间上恒成立,令,对称轴为,所以当时,取到最大值,最大值为1,所以,得到.②由（1）知,令,则令在区间恒成立,当且仅当时取等号,所以上单调递增,得到,当且仅当时取等号,即在区间恒成立,当且仅当时取等号,即在区间上单调递增,所以令,令,得到,则在区间上恒成立,即在区间上单调递减,()42632(631)0(1)x x f x x x -+''=>-()1,+∞()f x =)1,+∞()2()2ln ln g x ax x x x a =--∈R ()22ln 2g x ax x '=---2()2g x a x ''=-221()20g x a x x ''=-+≥[)1,+∞22a x ≥-)1,+∞(]0,1t =∈222a t t ≥-(]0,122y t t =-1t =1t =22y t t =-21a ≥a ≥()21()2ln ln 2g x x x x x a =--∈R 21()()22ln ln 22H x g x x x x x x x =+=--+1()2ln 222ln H x x x x x x '=---+=-()2ln m x x x =--222222121(1)()10x x x x x x x x-+-'=-+==≥[)1,+∞1x =()2ln m x x x =--)1,+∞()(1)0m x m ≥=1x =1()2ln 0H x x x x'=--≥[)1,+∞1x =21()2ln ln 22H x x x x x x =--+[)1,+∞1()(1)22H x H ≥=+=()()31()23231x x xF x -=+-+312x t =-≥2(1)(2)t y t t =+-+22220(2)t y t t --'=<+-[2,)+∞2(1)(2)t y t t =+-+[2,)+∞所以即当,时取等号,所以,在上恒成立.（2）2解析：（1）由题意可知:,,且点,若,则所以扇形AOB 的面积且（2）若质点A 与质点B 的每一次相遇,,,解得,,的周期为4,即交点有4个,当时,;当时,;当时,;当时,;22(21)(22)y ≤+=-+[)1,x ∞∈+()()31()23231x xxF x -=+≤-+1x =()()31()223231x xxg x x -+≥+-+[)1,+∞AOB ∠=s t π12t -ππcos ,sin 44A t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭1t =πππ4412AOB ⎛⎫∠=+--=⎪⎝⎭217π1212S =⨯⨯=ππππππ1sin sin sin cos cos sin 4343432AOB ⎛⎫∠=+=+=+= ⎪⎝⎭ππ2π124t k ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭k ∈N 6t k =∈N 3π2k =∈N 3π2k =∈N 1k =13π2θ=-()111cos ,sin P θθ2k =23π3ππ16θ=-=()222cos ,sin θθ3k =39π3ππ2162θ=-=-()333cos ,sin θθ4k =43π6π16θ=-=()444cos ,sin P θθ可得即,O ,以及,O ,均三点共线,且,,.19．答案：（1）答案见解析（2）（3）解析：（1）由函数,可得,若时,可得,所以在R 上单调递增;若时,令,解得,当时,,函数在上单调递减;当时,,函数在上单调递增.综上可得:当时,在R 上单调递增;若时,在上单调递减,在上单调递增.（2）令函数因为当时,恒成立,所以在上恒成立,又因为,要使得在上恒成立,则恒成立,令可得,即在上为单调递增函数,所以,解得,即实数m 的取值范围为.（3）当时,若的最小值是0,即在上恒成立,34θθ-=23θ-=12θ-=1P 3P 2P 4P 1324PP P P ⊥13242PPP P ==132412222PP P P ⋅=⨯⨯=(,1]-∞177e()e x f x mx =-()e x f x m '=-0m ≤()0f x '>()fx 0m >()0f x '=ln x m =ln x m <()0f x '<()f x (,ln )m -∞ln x m >()0f x '>()f x (ln ,)m +∞0m ≤()f x 0m >()f x (,ln )m -∞(ln ,)m +∞()()()e x h x f x x g x m =-=-()e x x m '-=0x ≥()()f x g x ≥()0h x ≥[0,)+∞()00h =()0h x ≥[0,)+∞()0h x '≥()()e x x h x m ϕ-'==()e e e 0xx x x ϕ'==--=>()h x [0,)+∞()()min 010h x h m ''==-≥1m ≤(,1]-∞0x ≥()()f x ng x -()()()e 0x m x f x n mx g x ---=≥=[0,)+∞即在上恒成立,显然相切时取得等号,由函数,可得所以切线方程为即因为切线过原点,则解得,,所以,令,其中,可得,令,解得当时,,单调递增;当时,,单调递减,所以可得则,e x mx -≥[0,)+∞e x y -=00,e x x -e x y -'=00e |x x x y ='=00e ()x y x x ⎛=-- ⎝000e (1)e x x y x x ⎛=+-- ⎝00e 0(1)e x x m x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--+⎪⎩00(1e x n x =-0002000e (1)e (1)e x x x m x x x =--=-+02000(1(1e )x m x x x +=-++-02000(1(1e x x x x =-++-⋅()2(1(1e x F x x x x =-++-⋅0x >()(1)F x x x '=+-()0F x '=x =10,7x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0F x '>()F x 1,7x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0F x '<()F x ()177F x F ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭4349==()1743e e 49xm x x =-()1743e e 49xm x -'-=107⎛⎫'= ⎪⎝⎭只需证明:当时,,当时,,令因为和为增函数,所以,所以为增函数,因为,所以当时,,当时,,所以即的最大值为10,7x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0m x '<1,7x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0m x '>()()7143e e 49xn x m x '=--=()e x x =-'e xy =y =()x '()()010n x n ''>=>()m x 107m ⎛⎫'= ⎪⎝⎭10,7x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0m x '<1,7x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0m x '>7m +≤4349==m +7。
湖南省长沙市2024-2025学年高三上学期调研考试(一)数学试题(解析版)
2025届高三第一次调研考试数学（答案在最后）本试题卷共4页.时量120分钟，满分150分.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}320,20A x x xB x x x =-==--<∣∣，则A B = （）A.{}0,1 B.{}1,0- C.{}0,1,2 D.{}1,0,1-【答案】A 【解析】【分析】由因式分解分别求出高次方程和二次不等式的解集，再由集合的运算得出两个集合的交集。
【详解】∵()()3110x x x x x -=+-=∴{}1,0,1A =-∵()()22210x x x x --=-+<∴()1,2B =-∴{}0,1A B = 故选：A2.已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则m ∥α的一个充分条件是（）A.m ∥,n n ∥αB.m ∥,βα∥βC.,,m n n m αα⊥⊥⊄D.,m n A n ⋂=∥,m αα⊄【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由空间中线面关系以及线面平行的判定定理逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A ，由m ∥,n n ∥α可得m α⊂或m ∥α，故A 错误；对于B ，由m ∥,βα∥β可得m α⊂或m ∥α，故B 错误；对于C ，由,,m n n m αα⊥⊥⊄可得m ∥α，故C 正确；对于D ，由,m n A n ⋂=∥,m αα⊄可得,m α相交或m ∥α，故D 错误；故选：C3.20252x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项是（）A.第673项B.第674项C.第675项D.第676项【答案】D 【解析】【分析】根据题意，求得展开式的通项公式，结合通项公式，即可求解.【详解】由二项式20252x ⎫-⎪⎭的展开式为20253202521202520252C ()(2)C rrrr r rr T x x--+=-=-⋅，令202530r -=，解得675r =，此时()67567567620252C T =-⋅，所以二项式20252x ⎫⎪⎭的展开式的常数项为第676项.故选：D.4.铜鼓是流行于中国古代南方一些少数民族地区的礼乐器物，已有数千年历史，是作为祭祀器具和打击乐器使用的.如图，用青铜打造的实心铜鼓可看作由两个具有公共底面的相同圆台构成，上下底面的半径均为25cm ，公共底面的半径为15cm ，铜鼓总高度为30cm.已知青铜的密度约为38g /cm ，现有青铜材料1000kg ，则最多可以打造这样的实心铜鼓的个数为（）（注：π 3.14≈）A .1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】先根据圆台的体积公式计算求解铜鼓的体积，然后根据材料体积求解即可.【详解】依题意圆台的上底面半径为15cm ，下底面半径为25cm ，高为15cm ，所以铜鼓的体积()221215251525π153V =⨯⨯++⨯⨯≈38465()3cm，又10000003.25384658≈⨯，故可以打造这样的实心铜鼓的个数为3.故选：C5.已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()()1f x x f x <-'（()f x '为()f x 的导函数），且()10f =，则（）A.()22f <B.()22f >C.()33f <D.()33f >【答案】D 【解析】【分析】由已知可得()()21xf x f x x x ->'，令()()ln f x g x x x=-，可得()g x 在(0,)+∞上单调递增，进而可得()n 33l 3f >，()n 22l 2f >，可得结论.【详解】由题意可得()()xf x f x x '->，即()()21xf x f x x x->'，令()()ln f x g x x x=-，则()()()210xf x f x g x x x-'=->'，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，因为()10f =，所以()()11ln10g f =-=，所以()()310g g >=，所以()3ln 303f ->，所以()3ln 333f >>，所以()()210g g >=，所以()2ln 202f ->，所以()n 22l 2f >，又2ln 22<，故()2f 与2的大小关系不确定.故选：D.6.已知过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 且倾斜角为π4的直线交C 于,A B 两点，M 是AB 的中点，点P 是C 上一点，若点M 的纵坐标为1，直线:3230l x y ++=，则P 到C 的准线的距离与P 到l 的距离之和的最小值为（）A.26 B.26C.13D.26【答案】D 【解析】【分析】首先联立AB 与抛物线方程，结合已知、韦达定理求得p ，进一步通过抛物线定义、三角形三边关系即可求解，注意检验等号成立的条件.【详解】由题得C 的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设倾斜角为π4的直线AB 的方程为2p y x =-，与C 的方程22(y px =联立得2220y py p --=，设1,1,2,2，则1222,1y y p p +===，故C 的方程为212,,02y x F ⎛⎫=⎪⎝⎭.由抛物线定义可知点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，联立抛物线2:2C y x =与直线:3230l x y ++=，化简得291090x x ++=，由Δ1004992240=-⨯⨯=-<得C 与l 相离.,,Q S R 分别是过点P 向准线、直线:3230l x y ++=以及过点F 向直线:3230l x y ++=引垂线的垂足，连接,FP FS ，所以点P 到C 的准线的距离与点P 到直线l 的距离之和PQ PS PF PS FS FR +=+≥≥,等号成立当且仅当点P 为线段FR 与抛物线的交点，所以P 到C 的准线的距离与P 到l 的距离之和的最小值为点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭到直线:323l x y ++=0的距离，即26FR ==.故选：D.7.已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭，对于任意的x ∈R ，ππ1212f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()π02f x f x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭都恒成立，且函数()f x 在π,010⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的值为（）A.3B.9C.3或9D.【答案】A 【解析】【分析】根据正弦型函数的单调性先确定周期的取值范围，从而缩小ω的取值范围，结合正弦型三角函数的对称性可得符合的ω的取值为3ω=或9，分类讨论验证单调性即可得结论.【详解】设函数()f x 的最小正周期为T ，因为函数()f x 在π,010⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以π0102T⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，得2ππ5T ω=≥，因此010ω<≤．由ππ1212f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知()f x 的图象关于直线π12x =对称，则11πππ,122k k ωϕ⋅+=+∈Z ①．由()π02f x f x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭知()f x 的图象关于点π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，则22ππ,4k k ωϕ⋅+=∈Z ②．②-①得()2112πππ,,62k k k k ω⋅=--∈Z ，令21k k k =-，则63,k k ω=-∈Z ，结合010ω<≤可得3ω=或9．当3ω=时，代入①得11ππ,4k k ϕ=+∈Z ，又π2ϕ<，所以π4ϕ=，此时()π2sin 34f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为πππ32044x -<+<，故()f x 在π,010⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，符合题意；当9ω=时，代入①得1ππ4k ϕ=-+，1k ∈Z ，又π2ϕ<，所以π4ϕ=-，此时()π2sin 94f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为23πππ92044x -<-<-，故()f x 在π,010⎛⎫-⎪⎝⎭上不是单调递增的，所以9ω=不符合题意，应舍去．综上，ω的值为3．故选：A .8.如图，已知长方体ABCD A B C D -''''中，2AB BC ==，AA '=，O 为正方形ABCD 的中心点，将长方体ABCD A B C D -''''绕直线OD '进行旋转．若平面α满足直线OD '与α所成的角为53︒，直线l α⊥，则旋转的过程中，直线AB 与l 夹角的正弦值的最小值为（）（参考数据：4sin535︒≈，3cos535︒≈）A.310B.410- C.310+ D.310+【答案】A 【解析】【分析】求出直线OD '与C D ''的夹角，可得C D ''绕直线OD '旋转的轨迹为圆锥，求直线OD '与l 的夹角，结合图形可知，当l 与直线D E '平行时，C D ''与l 的夹角最小，利用三角函数知识求解即可.【详解】在长方体ABCD A B C D -''''中，//AB C D ''，则直线AB 与l 的夹角等于直线C D ''与l 的夹角．长方体ABCD A B C D -''''中，2AB BC ==，AA '=，O 为正方形ABCD 的中心点，则2OD OC ==''，又2C D ''=，所以OC D '' 是等边三角形，故直线OD '与C D ''的夹角为60︒．则C D ''绕直线OD '旋转的轨迹为圆锥，如图所示，60C D O ∠=''︒．因为直线OD '与α所成的角为53︒，l α⊥，所以直线OD '与l 的夹角为37︒．在平面C D O ''中，作D E '，D F '，使得37OD E OD F '∠=∠='︒．结合图形可知，当l 与直线D E '平行时，C D ''与l 的夹角最小，为603723C D E ∠=︒-︒=''︒，易知603797C D F ∠=︒+︒=''︒．设直线C D ''与l 的夹角为ϕ，则2390ϕ︒≤≤︒，故当23ϕ=︒时sin ϕ最小，而()sin23sin 6037sin60cos37cos60sin37︒=︒-︒=︒︒-︒︒433sin60sin53cos60cos5310-=︒︒-︒︒≈，故直线AB 与l 的夹角的正弦值的最小值为43310-.故选：A【点睛】关键点点睛：解题中在平面C D O ''中，作D E '，D F '，使得37OD E OD F '∠=∠='︒，结合图形可知，当l 与直线D E '平行时，C D ''与l 的夹角最小，为603723C D E ∠=︒-︒=''︒是关键.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某机械制造装备设计研究所为推进对机床设备的优化，成立,A B 两个小组在原产品的基础上进行不同方向的研发，A 组偏向于智能自动化方向，B 组偏向于节能增效方向，一年后用简单随机抽样的方法各抽取6台进行性能指标测试（满分：100分），测得A 组性能得分为：91,81,82,96,89,73，B 组性能得分为：737096799488，，，，，，则（）A.A 组性能得分的平均数比B 组性能得分的平均数高B.A 组性能得分的中位数比B 组性能得分的中位数小C.A 组性能得分的极差比B 组性能得分的极差大D.B 组性能得分的第75百分位数比A 组性能得分的平均数大【答案】AD 【解析】【分析】根据计算公式分别计算,A B 两个小组的平均数、中位数、极差、第75百分位数，再对各选项逐一判断即可.【详解】由题意可得A 组性能得分的平均数为91818296897385.36+++++≈，B 组性能得分的平均数为73709679948883.36+++++≈，所以A 组性能得分的平均数比B 组性能得分的平均数高，A 说法正确；A 组性能得分738182899196，，，，，的中位数为828985.52+=，B 组性能得分707379889496，，，，，的中位数为798883.52+=，所以A 组性能得分的中位数比B 组性能得分的中位数大，B 说法错误；A 组性能得分的极差为967323-=，B 组性能得分的极差为967026-=，所以A 组性能得分的极差比B 组性能得分的极差小，C 说法错误；B 组性能得分707379889496，，，，，共6个数据，60.75 4.5⨯=，所以B 组性能得分的第75百分位数为94，比A 组性能得分的平均数大，D 说法正确；故选：AD10.嫁接，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽，嫁接到另一株植物的茎或根上，使接在一起的两个部分长成一个完整的植株.已知某段圆柱形的树枝通过利用刀具进行斜辟，形成两个椭圆形截面，如图所示，其中,AC BD 分别为两个截面椭圆的长轴，且,,,A C B D 都位于圆柱的同一个轴截面上，AD 是圆柱截面圆的一条直径，设上､下两个截面椭圆的离心率分别为12,e e ，则能够保证CD ≥的12,e e 的值可以是（）A.12,32e e == B.121,25e e == C.12340,27e e == D.1232,34e e ==【答案】AD 【解析】【分析】根据勾股定理，结合离心率公式可得22222212111,1r r e n e m -=-=，即可根据n ≥得222111211e e -≥-，逐一代入即可求解.【详解】设2,2,2,AD r AB m CD n ===且n ≥，故BD AC ===故12e e ==，故22222212111,1r r e n e m-=-=，由于n ≥，故222n m ≥，故222222222111211r e n m r m e n -==≥-，即222111211e e -≥-，对于A，12,32e e ==，满足2221112211e e -=≥-，故A 正确，对于B，121,25e e ==，22211142131e e -=<-，故B 错误，对于B，12,27e e ==，2221112721401e e -=<-，故C 错误，对于D，12,34e e ==，22211172121e e -=>-，故D 正确，故选：AD11.对于任意实数,x y ，定义运算“⊕”x y x y x y ⊕=-++，则满足条件a b b c ⊕=⊕的实数,,a b c 的值可能为（）A.0.5log 0.3a =-，0.30.4b =，0.5log 0.4c =B.0.30.4a =，0.5log 0.4b =，0.5log 0.3c =-C.0.09a =，0.10.1b =e ，10ln 9c =D.0.10.1e a =，10ln 9b =，0.09c =【答案】BD 【解析】【分析】由a b b c ⊕=⊕，可得a b a b b c b c -++=-++，可得,b a b c ≥≥，故只需判断四个选项中的b 是否为最大值即可，利用函数函数0.5log y x =为减函数，0.4x y =为减函数可判断AB ；构造函数()()[)1e ,0,1x f x x x =-∈，利用单调性可得0.10.10.09e <，进而再构造函数()()[)ln 1,0,1ex x h x x x =+-∈，求导可得()()()21e e 1x xx h x x --'=-，再构造函数()()21e xx x ω=--，利用单调性可判断CD ．【详解】由a b b c ⊕=⊕，可得a b a b b c b c -++=-++，即a b b c c a ---=-，若,a b c b ≤≤，可得a b b c c a ---=-，符合题意，若,a b c b ≤>，可得2a b b c b a c ---=--，不符合题意，若,a b c b >≤，可得a b b c a c ---=-，不符合题意，若a b c b >>,，可得2a b b c c a b ---=+-，不符合题意，综上所述0a b -≤，0b c -≥，可得,b a b c ≥≥，故只需判断四个选项中的b 是否为最大值即可．对于A ，B ，由题知0.50.50.510log 0.3log log 103-=<=，而0.3000.40.41<<=，0.50.5log 0.4log 0.51>=，所以0.30.50.5log 0.30.4log 0.4-<<．（点拨：函数0.5log y x =为减函数，0.4x y =为减函数），对于A ，a b c <<；对于B ，c a b <<，故A 错误，B 正确．对于C ，D ，()0.10.10.10.090.9e 10.1e 0.1e ==-，（将0.9转化为10.1-，方便构造函数）构造函数()()[)1e ,0,1x f x x x =-∈，则()e xf x x '=-，因为[)0,1x ∈，所以()()0,f x f x '≤单调递减，因为()01f =，所以()0.11f <，即0.10.9e 1<，所以0.10.10.09e <．（若找选项中的最大值，下面只需判断0.10.1e 与10ln 9的大小即可）()10.10.10.10.10.1100.190.190.1ln ln ln ln 10.1e 9e 10e 10e -⎛⎫-=-=+=+- ⎪⎝⎭，构造函数()()[)ln 1,0,1e x x h x x x =+-∈，则()()()21e 11e 1e 1x x xx x h x x x ---=--'=-，因为[)0,1x ∈，所以()e 10xx ->，令()()21e x x x ω=--，则()()21e xx x ω=---'，当[)0,1x ∈时，()()0,x x ωω'<单调递减，因为()00ω=，所以()0x ω≤，即()()0,h x h x '≤单调递减，又()00h =，所以()0.10h <，即()0.10.1ln 10.10e+-<，所以0.10.110ln e 9<．综上，0.10.1100.09ln e 9<<．对于C ，a b c <<；对于D ，c a b <<，故C 错误，D 正确．（提醒：本题要比较0.09与10ln 9的大小关系的话可以利用作差法判断，即()11090.09ln 0.10.9ln 10.90.9ln0.9910-⎛⎫-=⨯-=-⨯+ ⎪⎝⎭，构造函数()()(]1ln ,0,1g x x x x x =-+∈，则()()()221112112x x x x g x x x x x+-+-++='=-+=，因为(]0,1x ∈，所以()()0,g x g x '≥单调递增，因为()10g =，所以()0.90g <，即100.09ln 09-<，所以100.09ln 9<）故选：BD.【点睛】方法点睛：本题考查定义新运算类的题目，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，构造函数，利用函数的单调性与最值比较数的大小.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在复平面内，复数z 对应的点为()1,1，则21zz-=+______．【答案】13i 55-【解析】【分析】根据复数的几何意义可得1i z =+，即可由复数除法运算求解.【详解】由于复数z 对应的点为()1,1，所以1i z =+，故()()()()1i 2i 21i 13i 13i12i 2i 2i 555z z -----=+++-===-，故答案为：13i55-13.写出一个同时满足下列条件①②③的数列的通项公式n a =______.①m na a m n--是常数，*,m n ∈N 且m n ≠；②652a a =；③的前n 项和存在最小值.【答案】4n -（答案不唯一）【解析】【分析】根据等差数列的特征，不妨选择等差数列，然后根据题目条件利用等差基本量的运算求解通项公式，即得解.【详解】由题意，不妨取数列为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ，由②可知()61515224a a d a a d =+==+，则13a d =-，又m na a d m n-=-是常数，满足①，由③的前n 项和存在最小值，故等差数列单调递增，取1d =，则13a =-，故4n a n =-，此时当3n =或4n =时，的前n 项和取到最小值为6-，所以同时满足条件①②③的数列的一个通项公式4n a n =-.故答案为：4n -（答案不唯一）14.清代数学家明安图所著《割圆密率捷法》中比西方更早提到了“卡特兰数”（以比利时数学家欧仁･查理･卡特兰的名字命名）.有如下问题：在n n ⨯的格子中，从左下角出发走到右上角，每一步只能往上或往右走一格，且走的过程中只能在左下角与右上角的连线的右下方（不能穿过，但可以到达该连线），则共有多少种不同的走法？此问题的结果即卡特兰数122C C nn n n --.如图，现有34⨯的格子，每一步只能往上或往右走一格，则从左下角A 走到右上角B 共有__________种不同的走法；若要求从左下角A 走到右上角B 的过程中只能在直线AC 的右下方，但可以到达直线AC ，则有__________种不同的走法.【答案】①.35②.14【解析】【分析】根据题意，由组合数的意义即可得到结果，结合卡特兰数的定义，即可得到结果.【详解】从左下角A 走到右上角B 共需要7步，其中3步向上，4步向右，故只需确定哪3步向上走即可，共有37C 35=种不同的走法；若要求从左下角A 走到右上角B 的过程中只能在直线AC 的右下方（不能穿过，但可以到达该连线），则由卡特兰数可知共有4388C C 14-=种不同的走法，又到达右上角D 必须最后经过B ，所以满足题目条件的走法种数也是14.故答案为：35；14四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知M 为圆229x y +=上一个动点，MN 垂直x 轴，垂足为N ，O 为坐标原点，OMN 的重心为G .（1）求点G 的轨迹方程；（2）记（1）中的轨迹为曲线C ，直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，点(0,1)Q ，若点)3,0H 恰好是ABQ的垂心，求直线l 的方程.【答案】（1）()22104x y xy +=≠（2）1635y x =-【解析】【分析】（1）设()()00,,,G x y M x y ，根据G 为OMN 的重心，得00233x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入22009x y +=，化简即可求解.（2）根据垂心的概念求得l k =l 方程，与椭圆联立韦达定理，利用AH BQ ⊥得2211y x -=-，将韦达定理代入化简即可求解.【小问1详解】设()()00,,,G x y M x y ，则()0,0N x ，因G 为OMN 的重心，故有：00233x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得003,32x x y y ==，代入22009x y +=，化简得2214x y +=，又000x y ≠，故0xy ≠，所以G 的轨迹方程为()22104x y xy +=≠.【小问2详解】因H 为ABQ 的垂心，故有,AB HQ AH BQ ⊥⊥，又33HQ k ==-，所以l k =，故设直线l的方程为()1y m m =+≠，与2214x y +=联立消去y得：2213440++-=x m ，由2Δ208160m =->得213m <，设()()1122,,,A x y B x y，则2121244,1313m x x x x --+==，由AH BQ ⊥2211y x -=-，所以()211210x x mm -+++-=，所以)()21212410x x m x x m m +-++-=，所以()()()22444241130m m m m m ---+-=，化简得2511160m m +-=，解得1m =（舍去）或165m =-（满足Δ0>），故直线l 的方程为165y =-.16.如图，四边形ABDC 为圆台12O O 的轴截面，2AC BD =，圆台的母线与底面所成的角为45°，母线长，E 是 BD的中点．（1）已知圆2O 内存在点G ，使得DE ⊥平面BEG ，作出点G 的轨迹（写出解题过程）；（2）点K 是圆2O 上的一点（不同于A ，C ），2CK AC =，求平面ABK 与平面CDK 所成角的正弦值．【答案】（1）答案见解析（2）47035【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，过B 作下底面的垂线交下底面于点G ，过G 作BE 的平行线，交圆2O 于1G ，2G ，即可求出结果；（2）建立空间直角坐标系，根据条件，求出平面ABK 和平面CDK ，利用面面角的向量法，即可求出结果.【小问1详解】E 是 BD的中点，DE BE ∴⊥．要满足DE ⊥平面BEG ，需满足DE BG ⊥，又DE ⊂ 平面BDE ，∴平面BEG ⊥平面BDE 如图，过B 作下底面的垂线交下底面于点G ，过G 作BE 的平行线，交圆2O 于1G ，2G ，则线段12G G 即点G 的轨迹．【小问2详解】易知可以2O 为坐标原点，2O C ，21O O 所在直线分别为y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系2O xyz -，，母线与底面所成角为45°，2AC BD =，22O A ∴=，11O B =，121O O =，取K 的位置如图所示，连接2O K，2CK AC = ，260CO K ∴∠=︒，即230xO K ∠=︒，则)K，()0,2,0A -，()0,1,1B -，()0,2,0C ，()0,1,1D ，则)AK =，)2,1BK =-，)1,0CK =-，)1DK =-．设平面ABK 的法向量为()111,,n x y z =，则00n AK n BK ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111113020y y z +=+-=，令1x =11z =，11y =-，)1,1n ∴=-．设平面CDK 的法向量为()222,,m x y z =，则00m CK m DK ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222200y z -=-=，令2x =，则23z =，23y =，)m ∴=．设平面ABK 与平面CDK 所成的角为θ，则cos 35n mn mθ⋅===⋅ ，470sin 35θ∴==．17.素质教育是当今教育改革的主旋律，音乐教育是素质教育的重要组成部分，对于陶冶学生的情操、增强学生的表现力和自信心、提高学生的综合素质等有重要意义．为推进音乐素养教育，培养学生的综合能力，某校开设了一年的音乐素养选修课，包括一个声乐班和一个器乐班，已知声乐班的学生有24名，器乐班的学生有28名，课程结束后两个班分别举行音乐素养过关测试，且每人是否通过测试是相互独立的．（1）声乐班的学生全部进行测试．若声乐班每名学生通过测试的概率都为p （01p <<），设声乐班的学生中恰有3名通过测试的概率为()fp ，求()f p 的极大值点0p ．（2）器乐班采用分层随机抽样的方法进行测试．若器乐班的学生中有4人学习钢琴，有8人学习小提琴，有16人学习电子琴，按学习的乐器利用分层随机抽样的方法从器乐班的学生中抽取7人，再从抽取的7人中随机抽取3人进行测试，设抽到学习电子琴的学生人数为ζ，求ζ的分布列及数学期望．【答案】（1）18（2）分布列见解析，()127E ζ=【解析】【分析】（1）根据独立重复试验求出概率，再利用导数求极值；（2）先借助分层抽样确定随机变量ζ的所有可能取值，求出其分布列，最后求期望.【小问1详解】24名学生中恰有3名通过测试的概率()()213324C 1f p p p =⋅-，则()()()()()212020323322424C 31211C 3118f p p p p p p pp '⎡⎤=---=⋅--⎣⋅⎦，01p <<，令()0f p '=，得18p =，所以当108p <<时，()0f p '>，()f p 单调递增；当118p <<时，()0f p '<，()f p 单调递减，故()f p 的极大值点018p =．【小问2详解】利用分层随机抽样的方法从28名学生中抽取7名，则7名学生中学习钢琴的有1名，学习小提琴的有2名，学习电子琴的有4名，所以ζ的所有可能取值为0，1，2，3，()3337C 10C 35P ζ===，()213437C C 121C 35P ζ===，()123437C C 182C 35P ζ===，()3437C 43C 35P ζ===，则随机变量ζ的分布列为ζ0123P13512351835435()112184120123353535357E ζ=⨯+⨯+⨯+⨯=．18.已知数列为等比数列，为等差数列，且112a b ==，858a a =，48a b =.（1）求，的通项公式；（2）数列()1122241n n b ππ⎤⎛⎫-+ ⎪⎥⎝⎭⎦⎧⎫-⋅⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，集合*422N n n n S b A nt n n a ++⎧⎫⋅⎪⎪=≥∈⎨⎬⋅⎪⎪⎩⎭，共有5个元素，求实数t 的取值范围；（3）若数列{}n c 中，11c =，()22log 2114nn n a c n b =≥-，求证：1121231232n c c c c c c c c c c +⋅+⋅⋅++⋅⋅< .【答案】（1）2n n a =，2n b n =（2）147(25,]4.（3）证明见解析【解析】【分析】（1）设数列的公比为q ，数列的公差为d ，由已知易得38q =，82716b d =+=，可求n a ，n b ；（2）设数列()1122241n nn d b ππ⎤⎛⎫-+ ⎪⎥⎝⎭⎦=-⋅，可求得441424312848n n n n d d d d n ---+++=-，4nS =(6416)n n +，进而可得422(328)(2)2n n nn S b n n na ++++= ，可得(1)(2)(3)(4)()f f f f f n <>>>> ，可求t 的取值范围为147(25,]4.（3）123n c c c c ⋅⋅ 112[]!(1)!n n =-+，进而计算可得不等式成立.【小问1详解】设数列的公比为q ，数列的公差为d ，则由858a a =，38q =，所以2q =，所以112n nn a a q -==，416a =，即82716b d =+=，所以2=d ，所以1(1)2(1)22n b b n d n n =+-=+-⨯=；【小问2详解】设数列()1122241n nn d b ππ⎤⎛⎫-+ ⎪⎥⎝⎭⎦=-⋅，则22224414243441424312848n n n n n n n n d d d d b b b b n ------+++=+--=-，所以412344342314(1284880)()()2n n n n n n n S d d d d d d d d ----+=++++++++=(6416)n n =+，4222(6416)2(2)(328)(2)22n n n nn S b n n n n na +++++++== ，令(328)(2)()2n n n f n ++=，1(3240)(3)(328)(2)(1)()22n nn n n n f n f n ++++++-=-()22144113288822n nn n n n +--+---==，可得(1)(2)(3)(4)()f f f f f n <>>>> ，故当2n =时，()f n 最大，且147(1)60(5)(6)254f f f ===，，所以147254t <≤，即t 的取值范围为147(25,4.【小问3详解】由11,c =222log (2)11(1)(1)14n n n a n nc n n n n b ===≥-+--，则当2n ≥时，()()()1232311324113451n n n c c c c n n n n ⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯⨯+ 211112[]2[](1)!(1)!!(1)!n n n n n n +-===-+++，当1n =时，11c =也满足上式，所以12*3112[](N )!(1)!n n n c n c c c =-⋅⋅∈+ ，1121231231111112[1]222!2!3!!(1)!(1)!n c c c c c c c c c c n n n =-+-++-=-⋅<++⋅+⋅⋅+⋅++ ，所以原不等式成立.19.设有n 维向量12n a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭ ，12n b b b b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭ ，称1122,n n a b a b a b a b ⎡⎤=++⋅⋅⋅+⎣⎦ 为向量a 和b 的内积，当,0a b ⎡⎤=⎣⎦ ，称向量a 和b 正交．设n S 为全体由1-和1构成的n 元数组对应的向量的集合．（1）若1234a ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，写出一个向量b ，使得,0a b ⎡⎤=⎣⎦．（2）令[]{},,n B x y x y S =∈．若m B ∈，证明：m n +为偶数．（3）若4n =，()4f 是从4S 中选出向量的个数的最大值，且选出的向量均满足,0a b ⎡⎤=⎣⎦ ，猜测()4f 的值，并给出一个实例．【答案】（1）1110b ⎛⎫⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭（答案不唯一）（2）证明见解析（3）()44f =，答案见解析.【解析】【分析】（1）根据定义写出满足条件的即可；（2）根据,n x y S ∈，结合定义，求出[],x y ，即可得证；（3）利用反证法求证.【小问1详解】由定义，只需满足13420234b b b b +++=，不妨取1110b ⎛⎫⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭（答案不唯一）．【小问2详解】对于m B ∈，1i =，2，⋅⋅⋅，n ，存在12n x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭ ，{}1,1i x ∈-，12n y y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，{}1,1i y ∈-，使得[],x y m = ．当=i i x y 时，1i i x y =；当≠i i x y 时，1=-i i x y ．令1,0,i i i ii x y x y λ=⎧=⎨≠⎩，1λ==∑n i i k ．所以[]()1,2n i i i x y x y k n k k n ===--=-∑ ．所以22+=-+=m n k n n k 为偶数．【小问3详解】当4n =时，可猜测互相正交的4维向量最多有4个，即()44f =．不妨取11111a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，21111a -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭ ，31111a -⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，41111a ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，则有[]12,0a a = ，[]13,0a a = ，[]14,0a a = ，[]23,0a a = ，[]24,0a a = ，[]34,0a a = ．若存在5a ，使[]15,0a a = ，则51111a -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ 或1111⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭或1111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭．当51111a -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭时，[]45,4a a =- ；当51111a ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭时，[]25,4a a =- ；当51111a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭时，[]35,4a a =- ，故找不到第5个向量与已知的4个向量互相正交．。
调研测试题高三数学参考答案及评分标准
调研测试题高三数学参考答案及评分标准说明：1．本解答指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一．选择题：CACB(理)D (文)C BDCC (理)C(文)B BC二．填空题：13．(理)－1 (文)27 14．960x 3 15．3± 16．(理)①③④ (文)③ 三．解答题 17．解：sin A2cos 1C+＋sin C 2cos 1A +＝23sin B 2分 sin A ＋sin A cos C ＋sin C ＋sin C cos A ＝3 sin Bsin A ＋sin C ＋sin (A ＋C )＝3 sin B ，∴sin A ＋sin C ＝2sin B ，即2b ＝a ＋c 6分由余弦定理，得2182682)(3 2)2(2c o s 22222222=-≥-+=+-+=-+=ac ac ac ac ac c a ac c a c a ac b c a B10分∵ 0＜B ＜π 且函数y ＝cos x 在[0，π]上是减函数 ∴0＜B ≤3π，即B 的范围是(0，3π]． 12分 18．(1)解：由题知f / (x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝0的两根为32-和12分∴由韦达定理有⎪⎩⎪⎨⎧-=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯-=+-=-221132313232b a b a4分(2)解：由(1)知)1)(23(23)(2/-+=--=x x x x x f当x ∈[－1，－32)时，f / (x )＞0；x ∈(－32，1)时，f / (x )＜0；x ∈(1，2]时，f / (x )＞0 ∴当x ＝－32时，f (x )有极大值c +27228分 又f (2)＝2＋c ＞c +2722，f (－1)＝21＋c ＜c +2722∴x ∈[－1，2]时，f (x )的最大值为f (2)＝2＋c10分∵对x ∈[－1，2]，f (x )＜c 2恒成立∴c 2＞2＋c ，解得c ＜－1或c ＞2．12分19．(1)证：以A 为原点，分别以1AD AB 、、为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设BE ＝x ，则有B 1(a ，0，a )，D 1(0，a ，a )，E (a ，x ，0)，F (a －x ，a ，0) 2分 ∴),,(),,(11a a x a D a a x B --=--=， ∴0))(()(11=--+-+-=⋅a a a x a ax E D F B因此，B 1F ⊥D 1E ． 4分(2)解：]4)2([6221a a x a V CEFC +--=- 6分当2ax =时，三棱锥C 1－CEF 的体积最大，这时E 、F 分别为BC 、CD 的中点 8分 连结AC 交EF 于G 点，连结C 1G ，则AC ⊥EF由三垂线定理知C 1G ⊥EF ，∴∠C 1GC 是二面角C 1－EF －C 的平面角 10分∵a CC a AC GC ===1,4241，∴22tan 11==∠GCCC GC C 即二面角C 1－EF －C 的大小为22arctan ． 12分20．(理科)解：设保险公司要求顾客交x 元保险金，若以ξ 表示公司每年的收益额，则ξ6分 因此，公司每年收益的期望值为E ξ ＝x (1－p )＋(x －a )·p ＝x －ap ． 8分 为使公司收益的期望值等于a 的百分之十，只需E ξ ＝0.1a ，即x －ap ＝0.1a ， 故可得x ＝(0.1＋p )a ． 10分 即顾客交的保险金为 (0.1＋p )a 时，可使公司期望获益10%a ．12分(文科)(1)解：这批食品不能出厂的概率是：P ＝1－0.85－15C ×0.84×0.2≈0.263． 4分(2)解：五项指标全部检验完毕，这批食品可以出厂的概率是： P 1＝14C ×0.2×0.83×0.88分五项指标全部检验完毕，这批食品不能出厂的概率是：P 2＝14C ×0.2×0.83×0.2 10分 由互斥事件有一个发生的概率加法可知，五项指标全部检验完毕，才能确定这批产品是否出厂的概率是：P ＝P 1＋P 2＝14C ×0.2×0.83＝0.4096．12分 21．(理科) (1) 解：∵f 1(0)=2 ∴ 4122121=+-=a1分∵)0(12))]0(([)0(11n n n f f f f +==+，∴n n n n n n n n n n a f f f f f f f f a 212)0(1)0(21)0(24)0(12)0(121)0(122)0(1)0(111-=+-⋅-=+-=++-+=+-=+++3分 ∴数列{a n }是首项为41，公比为21-的等比数列，1)21(41--=n n a4分(2)证：n n n na a n a a a T 21232122)12(32+-++++=- nn nn n n a a n a a n a a n a a T 2232212212)12(22)21()12)(21(2)21()21(21--+++=-+--++-+-=-- n n n na a a a a T 22321223+++++= 6分1221222)21(4)21(6161)21(41211])21(1[4123---+--=-⨯++--=n n n n n n n T n n n n n n n T n n T 222122221319)2131(91)21(6)21(9191+-=⇒+-=-+--=-8分222)12(1311444++-=+++=n n n n n n Q n 当n ＝1时，22n ＝4，(2n ＋1)2＝9，∴9T 2n ＜Q n 当n ＝2时，22n ＝16，(2n ＋1)2＝25，∴9T 2n ＜Q n当n ≥3时，2221022)12()(])11[(2+>+++=+=n C C C C n n n n n n n ，∴9T 2n ＞Q n12分 (文科)(1)解：a 1＝f (d －1)＝(d －2)2，a 3＝f (d ＋1)＝d 2 ∴d 2＝(d －2)2＋2d ，解得d ＝2，故a n ＝2n －2 3分 b 1＝f (q ＋1)＝q 2，b 3＝f (q －1)＝(q －2) 2∴(q －2) 2＝q 2×q 2，解得q ＝－2，故b n ＝(－2)n ＋16分 (2)解：n n n n nn b c a a b c221=⇒=-=+8分∴])2(1[38)2(1])2(1[42)(221n n n n b b b S --=----⨯=+++=10分∴212221lim )2(1)2(1lim lim 12212-=-+=----=∞→+∞→+∞→n n n n n n S S ． 12分22．(理)(1)证：∵f (x )的图象与x 轴有两个不同的公共点 ∴方程f (x ) ＝0有两个不同的实根∵f (c )＝0，∴c 是方程f (x )＝0的一个根设方程的另一根为x 0，则ax a c x c 1,00==⨯ 2分 若c a <1，由0＜x ＜c 时，f (x )＞0 得：0)1(>a f ，与0)1(=af 矛盾4分 又方程f (x )＝0有两个不同的实根，∴a 1≠c ，因此c a>16分(2)证： f (c )＝0 ⇔ ac ＋b ＋1＝0，∴b ＝－1－ac ＜－1 ∵c a >1，∴212->⇒<-<b aa b c ，∴－2＜b ＜－1 ． 10分 (3)证：∵0＜1＜c ，∴f (1)＞0，即a ＋b ＋c ＞0 ⇒ b ＞－a －c12分分12)1()1()1()1()1)(2(11212+-=+++->++++-=++-+-+>++++t t a c t t c t t a t t ct t a t c t c t a t a t c t b t a又∵c a>1，c ＞1 ∴11<<c a ⇒ a ＜c∴0)1(>+-t t a c ，故012>++++tct b t a(文)(1)证明：任取x 1，x 2(－∞，0)，且x 1＜x 2，则－x 1，－x 2∈(0，＋∞)，且－x 1＞－x 2 ∵f (x )在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是奇函数 ∴f (－x 1)＝－f (x 1)， f (－x 2)＝－f (x 2) ① 2分 ∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数 ∴f (－x 1)＞f (－x 2) ②由①②得 －f (x 1)＞－f (x 2)，即f (x 1)＜f (x 2) ∴f (x )在(－∞，0)上是增函数． 4分(2)解：奇函数f (x )满足f (1)＝0且在(0，＋∞)上是增函数 ∴当x ＞0时，由f (x )＜0得 f (x )＜f (1)，因而0＜x ＜1 6分 当x ＜0时，由f (x )＜0得 f (x )＜f (1)＝f (－1)，因而x ＜－1 ∴使f (x )＜0的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)． 8分 (3)由(2)知f [g (x )]＜0即g (x )＜－1或0＜g (x )＜1由题得1)(0)]([0)(-<⇒⎩⎨⎧<<x g x g f x g 10分由g (x ) ＜－1得：－x 2＋mx ＋1－2m ＜－1即4]22)2[(22)2(222+-+--=--+=-->xx x x x x m 12分 ∵2222)2(≥-+-x x ，∴2244]22)2[(-≤+-+--xx当且仅当xx -=-222，即22-=x 时，等号成立从而224->m 14分。
湖北省武汉市2024届高中毕业生四月调研考试数学答案
武汉市2024届高中毕业生四月调研考试数学试卷参考答案及评分标准填空题：12. 1213.14.解答题：15.（13分）解： （1）由题意，cos cos sin 3sin sin C A C B A=−，得：3sin cos sin cos cos sin B C A C A C −=.所以3sin cos sin cos cos sin sin()B C A C A C A C =+=+.又sin()sin()sin A C B B π+=−=，且sin 0B ≠，所以1cos 3C =.由sin 0C >，故sin C ==. …………6分（2）1sin 2S ab C ==15ab =.由余弦定理，222222cos 10c a b ab C a b =+−=+−. 又22226()6()180c a b a b =−=+−.联立得：2234a b +=，c =8a b +==.所以ABC ∆的周长为8a b c ++=+.…………13分16.（15分）解：（1）1a =−时，2()ln f x x x x =++，1'()12f x x x=++.'(1)4f =，(1)2f =.所求切线方程为4(1)2y x =−+，整理得：42y x =−.…………5分（2）2121'()2x ax f x a x x x−+=−+=. 因为0x >，故0a ≤时，'()0f x >，()f x 在(0,)+∞上递增.当0a >时，对于221y x ax =−+，28a ∆=−.若0a <≤0∆≤，此时'()0f x ≥，()f x 在(0,)+∞上递增.若a >2210x ax −+=，得0x =>.0x <<时，'()0f x >，()f x 递增；x >'()0f x >，()f x 递增；x <<'()0f x <，()f x 递减；综上所述：a ≤()f x 在(0,)+∞上递增；a >()f x 在上递增，在上递减，在)+∞上递增， …………15分17.（15分）解：（1）连接,DA EA ，11DA =，12AA =，160DA A ∠=︒，2212212cos 603DE =+−⋅⋅⋅︒=.满足22211DA DA AA +=，所以1DA DA ⊥，即DA AB ⊥.平面11ABB A ⊥平面ABC ，且交线为AB ，由DA AB ⊥，得DA ⊥平面ABC . 由BC ⊂平面ABC ，得DA BC ⊥，又DE BC ⊥，且DA DE D =，所以BC ⊥平面DAE .由AE ⊂平面DAE ，得BC AE ⊥.设,3BE t CE t ==，有2222(3)BA t AC t −=−，解得：1t =.所以4BC =，满足222BA AC BC +=，即AC AB ⊥，所以AC ⊥平面11ABB A . 由1BB ⊂平面11ABB A ，得1AC BB ⊥.…………8分（2）以A 为坐标原点，,,AB AC AD 为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系. (0,0,3)D ，33(,,0)22E ，1(1,0,3)A −，1(1,0,0)DA =−，135(,,3)22EA =−−.设平面1DEA 的法向量(,,)n x y z =，由1100n DA n EA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0353022x x y z −=⎧⎪⎨−−+=⎪⎩，取1z =，得到平面PBD 的一个法向量(0,2,1)n =.又11(1,0,3)BB AA ==−，设直线1与平面1所成角的大小为， 则11||315sin |cos ,|||||54n BB n BB n BB θ⋅=<>===⋅⋅所以直线1BB 与平面1DEA 所成角的正弦值为1510.…………15分18.（17分）解：（1）设1122(,),(,),(,)P P A x y B x y P x y . 由2y x =，得'2y x =，所以1l 方程为：1112()y x x x y =−+，整理得：2112y x x x =−. 同理，2l 方程为：2222y x x x =−.联立得：122P x x x +=，12P y x x =. 设直线AB 的方程为(1)2y k x =−+，与抛物线方程联立得：220x kx k −+−=故12x x k +=，122x x k =−，所以2P k x =，2P y k =−，有22P P y x =−.所以点P 在定直线22y x =−上. …………6分（2）在12,l l 的方程中，令0y =，得12(,0),(,0)22x xM N ， 所以PMN ∆面积121211|||||()|24P S MN y x x x x =⋅=−= 故221212()()32x x x x −=，带入可得：22(48)(44)32k k k k −+−+=.22[(2)8][(2)4]0k k −+−−=，解得：0k =或4k =.所以点P 的坐标为(0,2)−或(2,2).…………11分（3）抛物线焦点1(0,)4F ，由1(,0)2xM 得直线MF 斜率1112MF MPk x k =−=−，所以MF MP ⊥，同理NF NP ⊥，所以PF 是PMN ∆外接圆的直径. 若点T 也在该圆上，则TF TP ⊥. 由74TF k =，得直线TP 的方程为：4(1)27y x =−−+.又点P 在定直线22y x =−上，联立两直线方程，解得点P 的坐标为1614(,)99.…………17分19.（17分）解：（1）1()(1)k P X k p p −==−， 1211(1)[12(1)3(1)...(1)]nk n k k p p p p p n p −−=−=+−+−++−∑，记2112(1)3(1) (1)n n S p p n p −=+−+−++−，则21(1)(1)2(1)...(1)(1)(1)n n n p S p p n p n p −−=−+−++−−+−，相减得：211(1)(1)...(1)(1)n n n pS p p p n p −=+−+−++−−−1(1)1(1)(1)(1)1(1)n n n n p p n p n p p p−−−−=−−=−−−−由题意：1(1)1()lim()lim[(1)]nn n n n p E X pS n p p p→∞→∞−−==−−=.…………5分（2）（i ）2222(1)(1)2(1)(2)E p E p p p E =−⋅++⋅+−⋅+.解得：221pE p+=. …………8分 （ii ）期待在1n E −次试验后，首次出现连续(1)n −次成功，若下一次试验成功，则试验停止，此时试验次数为1(1)n E −+；若下一次试验失败，相当于重新试验，后续期望仍是n E ，此时总的试验次数为1(1)n n E E −++.即11(1)(1)(1)n n n n E p E p E E −−=⋅++−⋅++.整理得：11(1)n n E E p−=+，即1111()11n n E E p p p −+=+−−.所以11111()11n n E E p pp −+=+−−. 由（1）知11E p=，代入得：1(1)nn np E p p−=−.…………17分。
2025届广东省普通高中毕业班调研考试(一)数学试题+答案
试卷类型： A2025届广东省普通高中毕业班调研考试（一）数 学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A x Z x x =∈−+≤2{|8150}，B x x =<{|5}，则⋂A B =A. {3}B.{3,4}C.{4,5}D.{3,4,5} 2.已知z 1，z 2是两个虚数，则“z 1，z 2均为纯虚数”是“z z 21为实数”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知a 和b 的夹角为150°，且2a，3b ，则2()a b bA.9 B.3 C.3 D.94.已知+−=ααπ33sin()sin 2，则+απ3cos(2)=A.59 B.19C.91D.955．已知等比数列a n }{为递增数列，=a b nnn .记S n ，T n 分别为数列a n }{，b n }{的前n 项和，若=a a a 213，+=S T 1233，则=S nA. −−n 411B.−−n 44111)( C. −n12411)( D. −n 426．已知体积为的球O 与正四棱锥的底面和4个侧面均相切，已知正四棱锥的底面边长为则该正四棱锥体积值是A.B. C. D. 7．斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”.这一数列如下定义：设a n {}为斐波那契数列，a =11，a =21，−−=+≥∈n n n a a a n n N 12*(3,)，其通项公式为=+−−a n n n15[(152)(152)].设n 是x x x +−−<+2log [(15)(15)]4的正整数解，则n 的最大值为A.5B.6C.7D.88．函数=f x x ()ln 与函数21g x mx ()有两个不同的交点，则m 的取值范围是A. 21(,)e B.212(,)e C.e (,)012 D. e (,)2012二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分。
2025届安徽宿州五校高三下学期第五次调研考试数学试题含解析
2025届安徽宿州五校高三下学期第五次调研考试数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列函数中既关于直线1x =对称，又在区间[1,0]-上为增函数的是( )A ．sin y x =π.B ．|1|y x =-C ．cos y x π=D ．e e x x y -=+2．在等差数列{}n a 中，若n S 为前n 项和，911212a a =+，则13S 的值是（ ）A ．156B ．124C ．136D ．1803．运行如图所示的程序框图，若输出的i 的值为99，则判断框中可以填（ ）A ．1S ≥B ．2S >C ．lg99S >D ．lg98S ≥ 4．设a=log 73，13b log 7=，c=30.7，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．b c a << D ．b a c <<5．已知函数()222ln 02x x e f x e x x e⎧<≤=⎨+->⎩，，，存在实数123x x x <<，使得()()()123f x f x f x ==，则()12f x x 的最大值为（ ）A ．1eB eC 2eD ．21e6．若圆锥轴截面面积为60°，则体积为( )A B C D 7．若直线240x y m ++=经过抛物线22y x =的焦点，则m =（ ）A ．12B ．12-C ．2D ．2-8．设函数()2ln x e f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，则实数t 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．1,,23e ⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭ 9．定义在R 上的偶函数()f x ，对1x ∀，()2,0x ∈-∞，且12x x ≠，有()()21210f x f x x x ->-成立，已知()ln a f π=，12b f e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 6c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b a c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．c a b >>10．已知点(A 在双曲线()2221010x y b b -=>上，则该双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．2CD ．11．已知下列命题：①“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”；②已知,p q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题；③“2019a >”是“2020a >”的充分不必要条件；④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题.其中真命题的序号为（ ）A ．③④B ．①②C ．①③D ．②④12．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分； ②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步．其中正确的个数为（ ）A ．B ．C ．D ． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
贵州省铜仁市伟才学校2025届高三下学期第五次调研考试数学试题含解析
贵州省铜仁市伟才学校2025届高三下学期第五次调研考试数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．2．点O 在ABC ∆所在的平面内，OA OB OC ==，2AB =，1AC =，AO AB ACλμ=+(),R λμ∈，且()420λμμ-=≠，则BC =（ ）A ．73B ．72C ．7D ．73．若函数32()3f x ax x b =++在1x =处取得极值2，则a b -=（ ） A ．-3B ．3C ．-2D ．24．如图，ABC 中260A B ∠=∠=︒，点D 在BC 上，30BAD ∠=︒，将ABD △沿AD 旋转得到三棱锥B ADC '-，分别记B A '，BD'与平面ADC 所成角为α，β，则α，β的大小关系是（ ）A ．2αβα<≤B ．23αβα≤≤C ．2βα≤，23αβα<≤两种情况都存在D ．存在某一位置使得3a β> 5．把函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一个对称中心为（ ） A ．(,0)3πB ．(,0)4πC ．(,0)12πD ．(0,0)6．复数()(1)2z i i =++的共轭复数为（ ） A ．33i -B ．33i +C ．13i +D ．13i -7．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：(2)()f x e f x +=-（其中 2.71828e =），且在区间[,2]e e 上是减函数，令ln 22a =，ln33b =，ln 55c =，则()f a ，()f b ，()f c 的大小关系（用不等号连接）为（ ） A ．()()()f b f a f c >> B ．()()()f b f c f a >> C ．()()()f a f b f c >>D ．()()()f a f c f b >>8．函数()y f x =()x R ∈在(]1∞-，上单调递减，且(1)f x +是偶函数，若(22)(2)f x f -> ，则x 的取值范围是（ ） A ．（2，+∞） B ．（﹣∞，1）∪（2，+∞） C ．（1，2）D ．（﹣∞，1）9．已知复数z 满足：34zi i =+（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．43i +B ．43i -C ．43i -+D ．43i --10．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知23C π=，1c =．当,a b 变化时，若z b a λ=+存在最大值，则正数λ的取值范围为 A ．(0,1)B ．(0,2)C ．1(,2)2D ．(1,3)11．已知双曲线2222:1x y a bΓ-=(0,0)a b >>的一条渐近线为l ，圆22:()4C x c y -+=与l 相切于点A ，若12AF F ∆的面积为23，则双曲线Γ的离心率为（ ） A ．2B ．233C ．73D ．21312．如图，2AB =是圆O 的一条直径，,C D 为半圆弧的两个三等分点，则()AB AC AD ⋅+=（ ）A ．52B ．4C ．2D ．13二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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2007级调研考试数学参考答案及评分标准说明：1、 本解答仅给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容对照评分标准制定相应的评分细则。
2、 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后续部分的解答有较严重的错误，就不给分。
3、 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4、 给分或扣分以1分为单位，选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。
每小题5分，满分50分。
1．A 2．D 3．C 4．A 5．D 6．D 7．B 8．B 9．C 10．C 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。
每小题5分，满分30分。
11．- 12．1200； 13．5π3； 14．2； 15．12-； 16．(1,1)-三、解答题17．（Ⅰ）记“甲两次罚球恰好命中一球”为事件A ，“乙两次罚球恰好命中一球”为事件B ，则P (A ) =12C 0.5(10.5)0.50⨯⨯-=, …………………………………… 2分12()C 0.6(10.6)0.48P B =⨯⨯-=, …………………………………… 4分由题意知，事件A 、B 相互独立，故()()()0.500.480.24P AB P A P B ==⨯=．答：甲、乙都恰好命中一球的概率为0.24． …………………………………… 6分 （Ⅱ）记“甲获胜”为事件C ，“甲得2分且乙得1分”为事件D ，“甲得2分且乙得0分”为事件E ，“甲得1分且乙得0分”为事件F ， ……………………………… 7分则P (D ) =22122(C 0.5)(C 0.60.4)0.12⨯⨯⨯=，P (E ) =220222(C 0.5)(C 0.4)0.04⨯⨯=，P (F ) =10222(C 0.50.5)(C 0.4)0.08⨯⨯⨯=． ………………………………… 10分由于事件D 、E 、F 是互斥事件，故P (C )=()()()0.120.040.08P D P E P F ++=++=0.24．答：甲获胜的概率为0.24． …………………………………… 12分 18． (Ⅰ) 设点P (x,y ),则(1,)PA x y =---，(1,)PB x y =--， 由22PA PB m(|OP OA |OB )⋅=⋅-得，x 2+y 2-1=m (x 2-1)，即(1-m )x 2+y 2=1-m ……………………4分 (1)若1-m =0，即m =1，则方程可化为y =0，P 的轨迹是直线y =0；……………………5分 (2)若1-m =1，即m =0，则方程可化为x 2+y 2=1，P 的轨迹是单位圆；…………………6分 (3)若1-m >0且1-m ≠1，即m <1且m ≠0，方程可化为2211y x m+=- ，P 的轨迹是椭圆； ………………………7分(4)若1-m <0，即m >1, 方程可化为2211y x m -=-，P 的轨迹是双曲线． ………………………8分(Ⅱ) 当动点P 的轨迹表示椭圆时，则1-m >0且1-m ≠1，即m <1且m ≠0，由22(1)1,2m x y m y x ⎧-+=-⎨=+⎩得，(2-m )x 2+4x +m +3=0． ………………………10分 ∵该椭圆与直线l ：y =x +2交于不同两点， ∴∆>0，即m 2+m -2>0， ∴m >1或m <-2． ∵m <1且m ≠0， ∴m <-2． ………………………12分∵该椭圆方程为2211y x m+=-，∴e 2=111211113m m m m m --==+>---，1e <<． ………………………14分19．(Ⅰ)连结BD , AC ，设他们交于点O ，连结EO ，FO ，∵ABCD 是正方形，∴OD ⊥AC ．又∵ED ⊥平面ABCD ，且OD 为ED 在平面ABCD内的射影 ∴EO ⊥AC ． 同理FO ⊥AC ，∴∠EO F 就是二面角E —AC —F 的平面角………2分 设DE =a , ∵AB =BF =2DE 2a =， ∴OE ，OF ,EF =3a . ∴EO 2+FO 2=EF 2，即90EOF ∠=︒，∴平面AEC ⊥平面AFC ． …………………4分(Ⅱ) 过点C 作CP ⊥平面AC ，且使CP =DE ，连结EP ，则四边形CDEP 是矩形，且CP 在平面FBC 内，∵DC ⊥平面FBC ，EP ∥DC ，∴EP ⊥平面FBC ，（第19题答案图）ABCDEFON M P∴∠ECP 就是EC 与平面FBC 所成的角， …………………6分 在Rt △ECP 中，EP =2a ，CP =a ， ∴tan ∠ECP =2，∴EC 与平面FBC 所成的角为arctan2． …………………8分 (Ⅲ)在EF 上存在满足FM =2ME 一点M ，使三棱锥M-ACF 是正三棱锥．………10分 作法：由题意知△ACF 是等边三角形，顶点M 在底面ACF 上的射影是△ACF 的中心，记作点N ，则点N 一定在OF 上，且FN =2ON ，在平面EOF 中过N 作NM ∥OE 交EF 于点M ，则该点就是所求的点M . …………………12分 证明：∵平面AEC ⊥平面AFC ,EO ⊥AC , 且EO ⊂平面AEC ∴EO ⊥平面AFC , ∵EO ∥MN ， ∴MN ⊥平面AFC ,∵点N 是等边三角形△ACF 的中心，∴三棱锥M-ACF 是正三棱锥． ……………………14分 20． (Ⅰ) 由()G x a <得221x a a x -<+，即222xa x >+． ∵222xa x >+在x ∈[-1，1]时恒成立， ………………………………………2分 由于当x = 0时，222x x +=0；当[1,0)x ∈-时，222x x +<0；当(0,1]x ∈时，222xx +>0．故求函数y =222xx +在x ∈[-1，1]上的最大值，只需求y =222xx +在(0,1]x ∈上的最大值． ………………………………………4分∵22222x y x x x==++,令2()M x x x=+, 设1201x x <<≤ 则12121212()(2)()()0x x x x M x M x x x ---=>，∴()M x 在(0,1]上是减函数． ………………………………………6分 ∴当x =1时，y =222x x +的最大值为23． ∴所求a 的取值范围是23a >． ………………………………………8分(Ⅱ) 232()(2)(1)22H x x a x x ax x a =-+=-+-，22()6222(31)H x x ax x ax '=-+=-+，由,αβ是方程2310x ax -+=的两根，可知,αβ是方程()0H x '=的两根． 故当(,)x αβ∈时，有()0H x '<，从而()H x 在[,]αβ上是减函数． 所以max [()]()H x H α=，min [()]()H x H β=，由题意，可得()()8H H αβ-=． …………………………………… 11分∵3a αβ+=，13αβ=，3βα-==，∴3232()()(22)(22)H H a a a a αβαααβββ-=-+---+-33222()()2()a αβαβαβ=---+-2()[2()2()2]a αβαβαβαβ=-+--++222[2()2]333a a =--+=3．∴3=8，解得所求a 的值为± …………………………… 14分 21．（Ⅰ）由210n n a b n++=（n =1,2,3, …），可得2n n a nb n =--（n =1,2,3, …） ① ∴112(1)(1)n n a n b n ++=-+-+ ②①-②，可得112()(1)1n n n n a a n b nb ++-=+-+，又1n n n a a b +-=，∴12(1)1n n n b n b nb +=+-+， ……………………………………4分 即1(1)(2)10n n n b n b ++-++=（n =1,2,3, …） ③ ∴21(2)(3)10n n n b n b +++-++= ④④-③，可得21(2)(24)(2)0n n n n b n b n b +++-+++=，即2120n n n b b b ++-+=， ∴211n n n n b b b b +++-=-（n =1,2,3, …），∴数列{}n b 是等差数列． ……………………………………8分 （Ⅱ）由（1）可知数列{}n b 是等差数列，设其公差为d ，则212d b b =-=-， ∴11(1)2(1)n b b n d n b =+-=--+， ∴1(1)(23)22n n nna b n b =-+=--， 又13b ≤-，∴21(23)(233)22n n na nb n n =--≥-+=（n =1,2,3, …），∴1211a a ++…＋1n a ≤222111123+++…＋21n ， ……………………………………12分 记n T =222111123+++…＋21n ，当1n =时，215113n T ==<；当2n =时，2211551243n T =+=<； 当3n ≥时，∵22111111()1(1)(1)211n n n n n n <==---+-+，∴22221111(1234n T =++++ (21))n +511111[()()422435<+-+-+…1111()()]211n n n n +-+---+ 511111()42231n n <++--+ 51115()42233<++=． 故对一切n *∈N ，都有53n T <．所以对一切n *∈N ，都有123111a a a +++…＋1n a <53． ……………………………16分 （本题方法较多，其它方法从略）。