宁波大学 高等数学(下)期末试题 答案 评分标准
11-12(下)高数B参考答案及评分标准
高数期末试题B 参考答案及评分标准一、判断题二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）（6） 2 （7）x z y 522=+（8） －1 （9）9122≤+<y x （10）2ln 162（11） 6 （12）yPx Q ∂∂=∂∂ （13） 右手 （14）⎰20)2sin(21πdt t （15） 偶（16）求曲面42222=++z y x 在点(1,1,1)处的切平面方程，并求过原点与该切平面垂直的直线方程。
()())2(112)3(042111)2()2,2,4(|),,(11142),,()1,1,1(222分直的直线方程为：通过原点与该切平面垂分点处的切平面方程为，，曲面在分点处的法向量，，则曲面在解：记 zy x z y x F F F z y x z y x F z y x ===-++∴==-++=（17）设函数),(y x z z =由方程23222320x z y z x y +-+=所确定，求全微分dz 。
)1(43344322)3(4334)3(43222),,(222222223222222223322232分分分则解：记 dy zy z x y yz dx z y z x x xz dz zy z x y yz F F y z zy z x xxz F F x z y x z y z x z y x F z y z x ++-+--=∴++-=-=∂∂+--=-=∂∂+-+=（18）计算Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由0,1z z ==和222x y x +=围成的区域。
)1(9163238cos 38cos 34)1(21)2(21)1(21)2()1)1(D (203223cos 202222221222212222分分分分分：其中解： =⋅=====+=+=≤+-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--Ωπππθππθθθθρρθθρρd d d d d d dxdy y x zdz dxdy y x y x dz y x z dxdy dv y x z DDDD（19）计算,)536()24(L⎰+++-+dy y x dx y x 其中L 为三角形(3,0)，(3,2),(0,0)的正向边界。
常微分方程
常微分方程一、填空题1．0),(),(=+dy y x N dx y x M 是恰当方程的定义是 。
如果N M ,在某个单连通区域G 内具有一阶连续偏导数，则它是恰当方程的充分必要条件是 ，此时其通解可用曲线积分表示为 .2．设有定义在矩形域66,111:≤≤-≤-≤-y x R 上的初值问题⎩⎨⎧=+=0)1(sin '2y y x y ，由存在唯一性定理，其解的存在区间是 .3．若)(,),(),(21x y x y x y n 为 n 阶线性微分方程0)()()1(1)(=+++-y x p y x p y n n n的解，其中)(,),(),(21x p x p x p n 在区间[]b a ,上连续，则)(,),(),(21x y x y x y n 在[]b a ,上线性无关的充分必要条件是4．若)(),(t t ψΦ是同一n 阶齐线性微分方程组x t A x )('=在区间[]b a ,上的两个基解矩阵，则它们之间有关系5．方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=521972y x dt dy y x dt dx的奇点是 ，其类型和稳定性为.6、方程),(y y x y '+'=φ)(可微φ 叫（ ）方程，其通解是（），其奇解是（ ）二、求下列微分方程的解（每题10分，共40分）1．)0(2<=+x y xy dx dy x .2．011cos 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+dy y x y dx y x .3．()0'3'33=-+xy y x (这里dx dy y ='). 4．.0)'("2=+y yy三、求下列方程（组）的通解（每题15分，共30分）1．)5(332233-=+++-t e x dt dx dt x d dt x d t2. ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=.2',2',3'z y x z z x y z y x x 3、 t t x x 2cos sin -=+四、 讨论方程组⎩⎨⎧-=-+=x y x y x x 3λλ零解的稳定性，其中常数0≠λ答案一、填空题1． 如果方程的左端恰好 是某个二元函数 u(x,y) 的全微分 。
宁波大学 高等数学 期末试卷B 答案
2004-2005年高等数学A2期末B 试卷参考答案一、选择题（每题3分，共15分）： 1、B 2、 A 3、C 4、C 5、D 二、填空题（每题3分，共15分） 1、042=-+y x 2、1556-3、⎰⎰211),(x xdy y x f dx 4、05、为任意常数c e c y x ,)2(tan 3-= 三、计算题（每题7分，共42分）222222)()()(01xy e e z y xy e y x z e yz x z xy e y xzx xy e yz x z x xyz e z z z z z zz --⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂-∂∂-=∂∂-=∂∂=-－＝求导得对上式再次对求导得两边对、解：对 ……… (3分)处取得极小值在唯一可能的极值点所以的是函数所以解以上方程得令则作拉格朗日函数，平面的距离为，到解：设交线上的点为分、)1235,53,54()1235,53,54(,1235,53,541154305102423)1()1543(),,(),,()8(22222z d z y x y x z y x L ky L kx L y x k zy x z z y x L z d xoy z y x z y x =====+=++=+==+==+=-++-+++==λλλλ4320)()()()(1101:1102:3232103112222222222122121πθσσσππ-=-+=+-+=+-=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤--⎩⎨⎧≤≤-≤≤-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--dr r d dx y x dy d y x d y x d y x D D D y x y D y x D D D D积分区域、解： (4分)6分…….2分………..4分……….2分…..4分2111213333)()1()2()32(42＝＝高斯公式得所围成的四面体，则由是由、解：⨯⨯⨯⨯===∂∂+∂∂+∂∂-+++++Ω⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩV dv dv zRy Q x P dzdx z dydz z y dxdy z y x S S(4分) x x dx xx s x x x x x x s x x n x x s x R n n a a xn nn n nn nn n arctan )111()(01)()(].1,1[,12)1()(]1,1[1,1113212lim lim50222121211+-=++-=+-=-='-∈+-=--===⎰∑∑∞=+∞=∞→∞→积分得：到从上式对求导得两边对设所以收敛区间为，收敛。
宁波大学03 04高等数学(下)期末试题
宁波大学03 04高等数学（下）期末试题宁波大学03-04高等数学（下）期末试题宁波大学2021/2021学年第二学期试卷解答课程名称：高等数学a（2）（6学分）考试性质：期末口试（a卷）一、单项选择题（每小题3分，共5?3=15分）1、函数f(x,y)在点(x0,y0)处两个略偏导数fx'(x0,y0)与；fy'(x0,y0)存有就是f(x,y)在点(x0,y0)已连续的（d）a.充分条件而非必要条件b.必要条件而非充分条件c.充分必要条件d.既非充分条件又非必要条件2、设d:1?x2?y2?9，则??f(x,y)dxdy?（c）；da.b.c.d.2?02?df(rcos?,rsin?)rdr19??0d??f(rcos?,rsin?)dr13192?02?d??f(rcos?,rsin?)rdrd??f(rcos?,rsin?)dr1?303、若级数?an(x?1)n在x??1处为发散，则此级数在x?2处为n?1（b）；a.条件收敛b.绝对发散c.收敛d.收敛性无法确认4、微分方程y\?3y'?2y?3xe?x的一个特解应具有的形式（b）；a.(ax?b)e?xb.x(ax?b)e?xc.axe?xd.ax2e?x第1页（共6页）5、设l就是抛物线y?x2上从点a(1,1)至点o(0,0)的一段弧，则；?xydx?（a）la.?1212b.c.?d.4545二．填空题（每小题3分后，共6?3=18分后）1、设u?yx，则uu（yxlny）?（xyx?1），；?x?y2、曲面ez?z?xy?3在点p(2,1,0)处的乌平面方程为（2x?y?4?0）；3、函数u?ln(x?y2?z2)在点m(1,2,?1)处的梯度gradu|m＝1?2?1?（i?j?k）；6334、设平面曲线l为上半圆周y?1?x2，则曲线积分22；(x?y)ds＝（?）?l5、设f(x)就是周期为2?的周期函数，它在区间(??,?]上的定义x,x0为f(x)??,则f(x)的傅立叶级数在x??处0,0?x发散于（??2）；6、微分方程y\?2y'?5y?0通解为（y?ex(c1cos2x?c2sin2x)）三、计算题（一）（每小题10分后，共2?10=20分后）1、设函数z?arctany1(xdy?ydx)），求dz。
【经典期末卷】大学高数(下)期末测试题及答案
第 1 页 （共 10 页）班级（学生填写）： 姓名： 学号： 命题： 审题： 审批： ----------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ------------------------------------------------------- （答题不能超出密封线）LQdx Pdy +⎰=( )dxdy )P dxdy x 二重积分的积分区域D 是221≤+x y π C ．2π+⎰L Pdx Qdy在A．∂∂-=∂∂P Qy x第 2 页（共10 页）第 3 页 （共 10 页）班级（学生填写）： 姓名： 学号： ----------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ------------------------------------------------------- （答题不能超出密封线）()Lx y ds +⎰＝ ()Lx y ds +⎰= Lydx xdy +⎰= 2sin y t =上对应22xy De dxdy --⎰⎰= 2.第 4 页 （共 10 页）三. 计算题（一）（每小题6分，共36分）1.计算：22xy De d σ+⎰⎰，其中D 是由圆周224x y +=所围成的闭区域。
2.计算三重积分xdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω为三个坐标面及平面21x y z ++=所围成的闭区域。
3.计算xyzdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面2221x y z ++=，0,0,0x y z ≥≥≥所围成.第 5 页 （共 10 页）班级（学生填写）： 姓名： 学号： ----------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ------------------------------------------------------- （答题不能超出密封线）4.求2d d Dxx y y⎰⎰，其中D 为1xy =，y x =及2x =所围成的区域。
高等数学下册期末考试试题及答案
高等数学A （下册）期末考试试题【A 卷】考试日期：2009年一、A 填空题：(本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =,2b =，则a b ⋅= —4．2、设ln()z x xy =，则32zx y ∂=∂∂ —1/（y ＊y ） ． 3、曲面229x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 2x+4y+z-14=0 ． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数,它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =,则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则()Lx y ds +=⎰ 1.414 ．※以下各题在答题纸上作答,答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题:（本题共5小题,每小题7分，满分35分）1、求曲线2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 解：两边同时对x 求导并移项。
2、求由曲面2222z x y =+及226z x y =--所围成的立体体积．3、判定级数11(1)lnn n n n∞=+-∑是否收敛?如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 条件收敛4、设(,)sin xz f xy y y=+,其中f 具有二阶连续偏导数,求2,z z x x y ∂∂∂∂∂． 5、计算曲面积分,dS z ∑⎰⎰其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部．三、（本题满分9分）抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆,求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．四、 (本题满分10分）计算曲线积分(sin )(cos )x x Le y m dx e y mx dy -+-⎰，其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周22(0)x y ax a +=>．五、（本题满分10分)求幂级数13nn n x n∞=⋅∑的收敛域及和函数．六、（本题满分10分）计算曲面积分332223(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++-⎰⎰， 其中∑为曲面221(0)z x y z =--≥的上侧．七、(本题满分6分）设()f x 为连续函数，(0)f a =,222()[()]tF t z f xy z dv Ω=+++⎰⎰⎰,其中t Ω是由曲面z=与z =,求 3()lim t F t t +→． ———--——-———-—-—-——————-—-————--——-—-—备注：①考试时间为2小时;②考试结束时,请每位考生按卷面→答题纸→草稿纸由表及里依序对折上交； 不得带走试卷。
大学高等数学下考试题库附答案.docx
《高等数学》试卷1（下）一 . 选择题（ 3 分10）1. 点M12,3,1到点M22,7,4的距离M1M2（）.A.3B.4C.5D.62.向量 a i 2 j k , b2i j ，则有（） .A. a∥bB. a ⊥bC.a,b3D.a, b43.函数 y2x2y 2x 21的定义域是（） . y21A.,1x 2y22B.x, y1x2y22x yC. x, y 1x2y22D x, y 1 x 2y224. 两个向量a与b垂直的充要条件是（）.A. a b0B. a b 0C. a b 0D. a b05. 函数z x3y33xy 的极小值是（）.A.2B.2C.1D.16. 设z x sin y ，则z＝（）. y1, 4A.2B.2C.2D.2227. 若p级数1p收敛，则（）. n 1 nA. p1B.p 1C.p 1D.p18. 幂级数x n的收敛域为（）.n 1nA.1,1B1,1 C.1,1 D.1,1x n9. 幂级数在收敛域内的和函数是（）.2n 0A.1B.2C.2D.12 x 1 x 2 x1x10. 微分方程xy y ln y 0 的通解为（）.A. y ce xB.y e xC.y cxe xD.y e cx二 . 填空题（ 4 分5）1.一平面过点 A 0,0,3 且垂直于直线AB，其中点 B 2, 1,1 ，则此平面方程为______________________.2. 函数z sin xy 的全微分是______________________________.3. 设z x3 y23xy3xy 1，则 2 z_____________________________.x y4.1的麦克劳林级数是 ___________________________.2 x5. 微分方程 y 4 y 4 y 0 的通解为 _________________________________.三 . 计算题（ 5 分 6）1. 设 z e usin v ，而 u xy, v x y ，求 z,z .xy2. 已知隐函数 zz x, y 由方程 x 22y 2z 24x 2z 5 0确定，求z , z .xy3. 计算sin x 2y 2 d ，其中 D :2x 2y 24 2 .D4. 如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径） .5. 求微分方程 y3ye 2 x 在 y x 0 0 条件下的特解 .四 . 应用题（ 10 分 2）1. 要用铁板做一个体积为 2 m 3 的有盖长方体水箱， 问长、宽、 高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？2.. 曲线 y f x 上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的 2 倍，且曲线过点 1, 1，求此曲线方程3.试卷 1 参考答案一. 选择题 CBCAD ACCBD二 . 填空题1. 2x y 2z 60 .2.cos xy ydx xdy .3. 6x2y9 y2 1 .4.1 nx n.2n 1n 05. y C1 C 2 x e 2x.三 . 计算题1.z e xy y sin x y cos x y ，ze xy xsin x y cos x y .x y2.z2x ,z2y .x z1y z 13.22d 6 2.d sin4.16R 3. 35.y e3x e2x.四 . 应用题1. 长、宽、高均为 3 2m时，用料最省.2. y1x 2 .3《高数》试卷2（下）一 . 选择题（ 3 分10）1. 点M14,3,1，M27,1,2的距离M1M2（）.A.12B.13C.14D.152. 设两平面方程分别为x 2y2z 10和 x y50 ，则两平面的夹角为（）.A.6B.4C.3D.23. 函数z arcsin x 2y 2的定义域为（） .A.,0x 2y21B.x, y 0 x2y21x yC.x, y 0 x 2y 22D.x, y 0 x2y 224. 点P1, 2,1 到平面 x 2 y 2 z 5 0 的距离为（）.A.3B.4C.5D.65. 函数z 2 xy 3x2 2 y 2的极大值为（）.A.0B.1C.1D.126. 设z x23xy y 2，则z1, 2（） . xA.6B.7C.8D.97. 若几何级数ar n是收敛的，则（）.n 0A. r 1B.r 1C.r 1D.r18. 幂级数n 1 x n的收敛域为（）.n 0A.1,1B.1,1C.1,1D.1,19. 级数sin na是（） .n 4n 1A. 条件收敛B.绝对收敛C.发散D.不能确定10. 微分方程xy y ln y 0 的通解为（）.A. y e cxB.y ce xC.y e xD.y cxe x二 . 填空题（ 4 分5）x3t1. 直线l过点 A 2,2, 1且与直线 y t平行，则直线 l 的方程为z12t__________________________.2. 函数z e xy的全微分为___________________________.3.曲面z 2x 24y 2在点2,1,4处的切平面方程为_____________________________________.14. 1x2的麦克劳林级数是______________________.5.微分方程xdy 3ydx 0在y x 11条件下的特解为______________________________.三 . 计算题（ 5 分6）1. 设a i 2 j k , b 2 j 3k ，求 a b.2. 设z u 2 v uv 2，而 u x cos y, v x sin y ，求z ,z . x y3. 已知隐函数z z x, y 由 x33xyz2确定，求z ,z .x y4. 如图，求球面x2y 2z24a 2与圆柱面 x2y 22ax （a0 ）所围的几何体的体积.5. 求微分方程y3y 2 y0 的通解.四 . 应用题（ 10 分2）1. 试用二重积分计算由y x, y 2 x 和x 4 所围图形的面积.2. 如图，以初速度v0将质点铅直上抛，不计阻力，求质点的运动规律x x t .（提示：d 2 x g .当t0 时，有x x0， dx v0）dt 2dt试卷 2 参考答案一 . 选择题 CBABA CCDBA.二 . 填空题1.x 2y 2z 1 .1122. e xy ydx xdy .3. 8x 8 y z 4 .4.1 n x2 n .n 05. yx 3 .三 . 计算题1. ij 2k.8 32.z 3x 2sin y cos y cos y sin y ,z2 x3 sin y cos y sin y cos yx 3 sin 3 y cos 3 yxy.3. zyz ,zxz .xxy z 2y xy z 24. 32 a 32 2 .3 35. yC 1e 2 x C 2 e x .四 . 应用题1.16. 32. x 1 gt2v0 t x0.2《高等数学》试卷3（下）一、选择题（本题共10 小题，每题 3 分，共 30 分）1、二阶行列式 2 -3的值为（）4 5A、10B、20C、24D2、设 a=i+2j-k,b=2j+3k，则aA、i-j+2kB、8i-j+2k C 、 22与 b 的向量积为（、 8i-3j+2k D）、8i-3i+k3、点 P（ -1 、 -2 、 1）到平面 x+2y-2z-5=0 的距离为（）A、2B、3C、4D、54、函数 z=xsiny 在点（ 1，）处的两个偏导数分别为（）4A、2, 2 , B 、2,2 C 、22 D 、2 2 , 222222225、设x2+y2+z2 =2Rx，则z ,x z 分别为（ y）A、x R,y B 、x R ,y C 、x R , y D 、x R,y z z z z zz z z6、设圆心在原点，半径为 R，面密度为x2y 2的薄板的质量为（（）面积 A= R2）A、R2AB、2R2AC、3R2AD、1R2A27、级数( 1)n x n的收敛半径为（）n 1nA、2B、1C、1D、3 28、cosx 的麦克劳林级数为（）A、( 1)n x2n B 、( 1) n x2 n C 、( 1) n x2 n D 、( 1) n x 2n 1n 0(2n)!n 1( 2n)!n 0(2n)!n 0(2n 1)!45的阶数是（）9、微分方程 (y``)+(y`) +y`+2=0A、一阶B、二阶C、三阶D、四阶10、微分方程 y``+3y`+2y=0的特征根为（）A、-2 ，-1B、2，1C、-2，1D、1，-2二、填空题（本题共 5 小题，每题 4 分，共 20 分）12：x 1y 3z的夹角为___________。
2020-2021宁波市高三数学下期末试卷(带答案)
B．162 D．324
8．在 ABC 中， A 为锐角， lg b lg(1) lg sin A lg 2 ，则 ABC 为（ ） c
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
9．已知 a, b 是非零向量且满足 (a 2b ) a ， (b 2a ) b ，则 a 与 b 的夹角是（ ）
(1)讨论 f x 的单调性；
(2)当 f x 有最大值，且最大值大于 2a 2 时，求 a 的取值范围.
22．设椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的左焦点为 F
，右顶点为 A ，离心率为
1 2
.已知
A 是抛
物线 y2 2 px( p 0) 的焦点， F 到抛物线的准线 l 的距离为 1 . 2
2
2
6
3
4
2
6
3
6
162
.
故选 B.
.
【点睛】
本题首先根据三视图，还原得到几何体——棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体 积，常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.易错点有 二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心计算
2
2
3
________．
19．已知函数 f (x) x(ln x ax) 有两个极值点,则实数 a 的取值范围是__________．
20．能说明“若 f（x）>f（0）对任意的 x∈（0，2］都成立，则 f（x）在［0，2］上是增 函数”为假命题的一个函数是__________．
三、解答题
21．已知 f x ln x a 1 x .
大一下学期高等数学期末考试试题及答案
高等数学A (下册)期末考试试题【A 卷】院（系）别 班级学号 姓名成绩一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ⋅=．2、设ln()z x xy =，则32zx y∂=∂∂ ． 3、曲面229x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ．4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数在3x =处收敛于，在x π=处收敛于．5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则()Lx y ds +=⎰．※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级．二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）1、求曲线2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程．2、求由曲面2222z x y =+及226z x y =--所围成的立体体积．3、判定级数11(1)lnnn n n∞=+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z zx x y∂∂∂∂∂．5、计算曲面积分,dSz ∑⎰⎰其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 三、（本题满分9分）抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．四、 （本题满分10分）计算曲线积分(sin )(cos )x x Le y m dx e y mx dy -+-⎰，其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周22(0)x y ax a +=>．五、（本题满分10分）求幂级数13nn n x n∞=⋅∑的收敛域及和函数．六、（本题满分10分）计算曲面积分332223(1)Ix dydz y dzdx z dxdy ∑=++-⎰⎰，其中∑为曲面221(0)z x y z =--≥的上侧．七、（本题满分6分）设()f x 为连续函数，(0)f a =，222()[()]tF t z f x y z dv Ω=+++⎰⎰⎰，其中t Ω是由曲面z =与z =30()lim t F t t+→． -------------------------------------备注：①考试时间为2小时；②考试结束时，请每位考生按卷面→答题纸→草稿纸由表及里依序对折上交； 不得带走试卷。
2020-2021某大学《高等数学》(下)期末课程考试试卷合集1(含答案)
1
，……6 分
n=1
2n −1
n=1
1+ x2
S(x) = S(x) − S(0) = − arctan x, x [−1,1] ……10 分
五、利用高斯公式计算曲面积分 xdydz + ydzdx + zdxdy ，其中 S 为界于 z = 0 ， S
和 z = 3 之间的圆柱体 x2 + y2 9 的整个表面的外侧。
三、计算题：（共 5 小题，每小题 9 分，共 45 分）
1、已知： z = eu sin v, 其中 u = xy,v = x + y ，求 z , z 。 x y
解： z = eu sin v ， z = eu cos v ，……2 分
u
v
u = y ， u = x ， v = v = 1，……4 分
。
三、计算题：（共 5 小题，每小题 9 分，共 45 分）
1、已知： z = eu sin v, 其中 u = xy,v = x + y ，求 z , z 。 x y
2、求函数 z = x3 y3 的所有二阶偏导数。
专业班级： 装
院系：
4、球面 x2 + y2 + z2 = 14 在点 (1, 2, 3) 处的切平面方程为
2
dx
2
f (x, y)dy =
0
x2
.
4.函数 u=xyz 在点(1,1,1)处从点(1,1,1)到点(2,3,4)的方向导数
是.
5.
设以 2
为周期函数
f
(x)
傅里叶级数为
a0 2
+
[an
n=1
cos nx + bn
724-宁波大学考试参考答案与评分标准
宁波大学考试参考答案与评分标准学期： 031 命题教师：王让定、陈金儿试卷编号：（请不要填写）课程编号：102J02 课程名称：计算机组成原理试卷类型：A （A/B）第 1 页共6页第 2 页共6页考试科目：计算机组成原理试卷类型： A 考码：命题教师：王让定、陈金儿2、答：Cache存储器组织有直接映像、全相联映像和组相联映像(2分)组相联映像最好。
（1分）直接映像是一种最简单、最直接的方法。
主存中的一块只能映像到Cache的特定块中直接映像方法的优点是硬件实现很简单。
当主存中的两个或两个以上的块都映像到Cache的同一块中，而这些块又都是当前的常用块时，Cache的命中率会很低。
全相联映像方式是指主存中的任意一块可以映像到Cache中的任意一块上。
采用全相联映像和变换方式最突出的优点是块的冲突率最小，Cache的利用率也最高。
但是，需要一个相联访问速度很快、容量为Cb的相联存储器，其代价很高。
组相联映像是目前在Cache中用得比较多的一种地址映像和变换方式。
它是介于全相联和直接映像之间的一种折衷方案。
组相联映像方式与直接相映像方式相比，所以，组相联映像方式是现有技术条件下最好的组织方法。
（3分）3、一条指令由若干条微指令组成，成为微程序机器指令的执行也就是微程序的执行过程（1分）首先由取指微指令从内存里面取出一条机器指令，放到指令寄存器中，然后将程序计数器加1，接着对机器指令的操作码进行测试，进入相应指令的微程序执行过程。
（3分）当这些微指令执行完毕之后，微程序转向公操作。
表示一条机器指令执行完毕，如果没有中断等请求，则转向下一条机器执行的取指、执行。
（2分）五、 设计题（每小题2分，共20分）1、控制存储器128×30位，表明该微指令长度可以是30位因为微命令20个，采用水平直接控制微命令格式，故需要20位控制存储器128×30位，则需要7位表示地址而有可判定的外部条件4个，但是30－20－7＝3，则需要采用译码方式。
高等数学(A)下期末试卷及答案
南京邮电大学2010/2011学年第二学期《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分）1、交换二次积分⎰⎰x e dy y x f dx ln 01),(的积分次序为（c ）(A ) ⎰⎰x e dx y x f dy ln 01),( (B )⎰⎰1),(dx y x f dy e ey(C )⎰⎰e e ydx y x f dy ),(10(D )⎰⎰ex dx y x f dy 1ln 0),(2、锥面22y x z +=在柱面x y x 222≤+内的那部分面积为 （D ）(A )⎰⎰-θππρρθcos 2022d d (B )⎰⎰-θππρρθcos 20222d d(C )⎰⎰-θππρρθcos 202222d d (D )⎰⎰-θππρρθcos 20222d d3、若级数∑∞=-1)2(n nn x a 在2-=x 处收敛，则级数∑∞=--11)2(n n n x na 在5=x （B ） (A ) 条件收敛 (B ) 绝对收敛 (C ) 发散(D ) 收敛性不确定 4、下列级数中收敛的级数为 （A ）(A ) ∑∞=-1)13(n nn n (B )∑∞=+121n n n (C ) ∑∞=+111sin n n (D )∑∞=13!n n n 5、若函数)()2()(2222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析，则实常数a 的值 为 （c ）(A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2二、填空题（本大题分5小题，每题4分，共20分）1、曲面122-+=y x z 在点)4,1,2(处的切平面方程为624=-+z y x2、已知)0(:222>=+a a y x L ，则=-+⎰Lds xy y x )]sin([22 32 a π 3、Ω是由曲面22y x z +=及平面)0(>=R R z 所围成的闭区域，在柱面坐标下化三重积分⎰⎰⎰+Ωdxdydz y x f )(22为三次积分为⎰⎰⎰RR dz f d d ρπρρρθ)(20204、函数x x f =)()0(π≤≤x 展开成以2π为周期的正弦级数为nx nx n n sin )1(211+∞=-=∑，收敛区间为π<≤x 05、=+-)1(i Ln2,1,0),243(2ln ±±=++k k i ππ=-]0,[Re 2zz e s z1-三、(本题8分）设),()(22xy y xg y x f z ++=，其中函数)(t f 二阶可导，),(v u g 具有二阶连续偏导数，求y x z x z ∂∂∂∂∂2,解：2112yg g y f x x z ++'=∂∂ … 3分=∂∂∂yx z2f xy ''4113122221g y x g y xyg g --++ 5分四、(本题8分）在已知的椭球面134222=++z y x 内一切内接的长方体（各边分别平行坐标轴）中，求最大的内接长方体体积。
宁波大学 高等数学(下)期末试题
《高等数学A2》考试试卷A一 单项选择题 (每小题3分, 共15分)1. 非零向量b a ,互相垂直, 则有 ( )A.||||||b a b a +=+;B. ||||b a b a -≤+;C. ||||b a b a -≥+;D. ||||b a b a -=+2.下列级数中,收敛级数是 ( )A.2302100n n n ∞=+∑;B.; 05!n n n ∞=∑C.∑∞=14tan n n πD.1sin 6n n π∞=∑3.设(,)f x y 可微,如果线积分(,)()Lf x y ydx xdy +⎰与路径无关,则应满足条件 ( )A. (,)(,)y x yf x y xf x y =B. ////(,)(,)xx yy xf x y yf x y =C.(,)(,)y x f x y f x y =D. (,)(,)y x xf x y yf x y =4. 若⎰⎰⎰⎰-=D a rdr r r f d dxdy y x f 22cos0)sin ,cos (),(ππθθθθ,则区域D 是 () A. 222a y x ≤+; B. 0,222≥≤+x a y x ;C. 0,22>≤+a ax y xD. 0,22<≤+a ax y x5. 设),(y x f 为连续函数, 且(1,1)6f =, 则有22220(1)(1)1lim (,)x y f x y dxdy ρρπρ→-+-≤=⎰⎰( ).A.不存在;B. -6;C.6;D. 0二 填空题 (每小题3分, 共15分) 1.2(,)lim x y → ). 2. ),(y x f z =的偏导数x z ∂∂及y z ∂∂在点),(y x 存在且连续是),(y x f 在该点可微分的( )条件.3.第二类曲面积分⎰⎰∑++Rdxdy Qdzdx Pdydz 化为第一类曲面积分是( ),其中γβα,,为有向曲面∑在点),,(z y x 处的( )的方向角.4.若级数∑∞=1n n u 绝对收敛, 则级数∑∞=1n n u 必定( ); 若级数∑∞=1n n u 条件收敛,则级数∑∞=1||n n u 必定( );5.一阶微分方程22dy xy dx=的通解等于( )三 解答题 (每小题6分, 共30分)1.设 222(,,)x y z u f x y z e ++==, 而2sin z x y =.求u x ∂∂ 和 u y∂∂. 2求函数2y z xe =在点P(1,0)处沿从点P(1,0)到点Q(2,-1)的方向的方向导数.3. 计算曲面积分⎰⎰∑=zdS I , 其中∑是球面2222a z y x =++被平面h z = )0(a h <<截出的顶部.4. 计算⎰⎰=Dxyd I σ其中D 是由抛物线x y =2及直线2-=x y 所围成的闭区域.5. 将函数()1,(0)f x x x π=-≤≤展开成余弦级数.四(8分) 计算曲线积分⎰+-L y x xdy ydx )(222, 其中L 为一条不经过原点的简单光滑闭曲线, L 的方向为逆时针方向.五(8分) 计算三重积分⎰⎰⎰Ω=dxdydz e I y , 其中Ω是由曲面1222=+-z y x 及2,0==y y 所围成的闭区域.六(7分) 判别下列级数的绝对收敛性与条件收敛性(1) ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛--1cos 1)1(n nn a , (2)∑∞=-1)1(n n n n u , 其中∑∞=12n n u 收敛七(7分) 求幂级数∑∞=+1)12(n n x n 的收敛区间及和函数.八(10分) 求微分方程///2562x y y y x e -+=-⋅的通解。
宁波大学 高等数学(下)期末试题 答案 评分标准
《高等数学A2》试卷A 评分标准一.1. D;2. B;3.A;4.C5.C 二. 1. 4 ; 2. 充分 3. ()⎰⎰∑++dS R Q P γβαcos cos cos , 法向量;4. 收敛, 发散;5. 21y x C=-+, 其中C 是任意常数. 三 1.. 证 由复合函数求导法则,所以 u f f z x x z x ∂∂∂∂=+∂∂∂∂ ( 1分 ) =222222222sin x y z x y z xe ze x y +++++⋅ (2分)=224222sin 2(12sin )x y x yx x y e +++, (3分) u f f z y y z y∂∂∂∂=+∂∂∂∂ (4分) =222222222cos x y z x y z ye ze x y +++++⋅ (5分)=22424sin 2(sin cos )x y x yy x y y e +++ (6分) 2.解 这里方向l 即向量(1,1)PQ =- 的方向,与l 同向的单位向量为l e = (2分) 因为函数可微分,且2(1,0)(1,0)||1y z e x∂==∂ 2(1,0)(1,0)|2|2y z xe y∂==∂ (4分) 故所求方向导数为(1,0)|12(2z l ∂=+⋅=-∂ (6分) 3.解: ∑的方程为.222y x a z --=∑ 在xOy 面上的投影区域xy D 为圆形闭区域(){}.|,2222h a y x y x -≤+ 又.122222y x a az z y x --=++ (2分)由计算公式得⎰⎰⎰⎰--==∑xy D yx a adxdy z dS I .222 (3分) 利用极坐标,得⎰⎰⎰⎰-=--=xy xyD D a d d a y x a adxdy I 22222ρθρρ (4分) =⎰⎰--2202220h a a d d a ρρρθπ =()ha a a a h a ln 2ln 21222022πρπ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---. (6分) 4.解 利用二重积分中Y-型区域计算公式有⎰⎰⎰⎰-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡==2122dy xydx xyd I y y D σ=⎰-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡212222dy y x y y (3分) ()[]⎰--+=2152221dy y y y =2162346234421-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++y y y y =855 (6分) 5.解 对)(x f 进行偶延拓, 并由公式有()021cos n a x nxdx ππ=-⎰ =202(1)sin cos x nx nx n n ππ-⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ =)1(cos 22-ππn n =⎪⎩⎪⎨⎧=-=.,5,3,1,4,,6,4,2,02 n n n π (3分) 002(1)2a x dx πππ=-=-⎰将求得n a 的代入余弦级数,得2241111cos cos3cos5235x x x x ππ⎛⎫-=--+++ ⎪⎝⎭(π≤≤x 0) (6分)四 解 令)(222y x y P += , )(222y x x Q +-=. 则当022≠+y x 时,有()222222y x y x x Q +-=∂∂=yP ∂∂. (2分) 记L 所围成的闭区域为D , 当D ∉)0,0(时,由格林公式便得 ()0222=+-⎰L y x x d y y d x ; (3分) 当D ∈)0,0(时,选取适当小的0>r ,作位于D 内的圆周222:r y x l =+. 记L 和l 所围成的闭区域为1D . 对复连通区域1D 应用格林公式,得 ()()0222222=+--+-⎰⎰L l y x x d y y d x y x x d y y d x , (6分) 其中l 的方向取逆时针方向.于是()⎰=+-L y x xdy ydx 222()⎰+-l y x xdy ydx 222=θθθπd r r r ⎰--20222222cos sin =π-. (8分)五 解: Ω在-xy 面上的投影区域D 为=D }11,20|),{(22y x y y y x +≤≤+-≤≤ (2分) 从而有I=⎰⎰⎰⎰⎰-+=-+-+-Dy D x y x y y dxdy x y e dz e dxdy 2211122222 (5分) =⎰⎰++--+2011222212y y y dx x y dy e (6分)=()()⎰-=+2022131e dy e y y ππ (8分) 六 解: (1) 因为22222s i n 2|c o s 1)1(|n a n a n a n≤=⎪⎭⎫ ⎝⎛--. (2分) 又级数∑∞=1222n n a 收敛, 故原级数绝对收敛. . (4分) (2)因为 )1(21||22n u n u n n +≤, (5分) 而级数∑∞=12n n u 和级数∑∞=121n n 均收敛再由收敛级数的性质知, 级数∑∞=-1)1(n n nnu 绝对收敛. (7分) 七 解: 由 ||1uu n +=|||1232|x x n n →++ (∞→n ), 知级数在11<<-x 时收敛,显然当1±=x 时,1(21)(1)n n n ∞=+±∑发散, 故收敛区间为)1,1(-. 设其和函数为)(x S ,则 (2分) ()∑∑∞=+∞==+=1/12122)12()(n n n n x x n x S (3分) =2242/23/112)1(31x x x x x x n n --=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∞=+ (6分) 从而有 22)1(3)(x x x x S --=, )1,1(-∈x (7分) 八 解 与所给方程对应的齐次方程为065///=+-y y y , 它的特征方程 0652=+-r r 有两个实根3,221==r r .于是与所给方程对应的齐次方程的通解为 x x e C e C Y 3221+= (3分) 由于2=λ是特征方程的单根, 所以应设*y 为 .)(210x e b x b x y +=* 把它代入所给方程, 得 001222b x b b x -+-=- 比较等式两端同次幂的系数,得00122,20.b b b -=-⎧⎨-=⎩ 解得011, 2.b b ==.因此求得一个特解为2(2)x y x x e*=+ (8分) 从而所求的通解为232212(2)x x x y C e C e x x e =+++ (10分)。
高等数学期末考试试题及解答
高等数学（下）期末试题（2）二、填空题（每题３分，总计１５分）。
1、函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在点(1,1)-处取得极值，则常数a ＝______。
2、若曲面2222321x y z ++=的切平面平行于平面46250x y z -++=，则切点坐标为______________________。
3、二重积分3110x ydyye dx -蝌的值为______________。
5、微分方程2yy x y ¢=+的通解为_____________________。
三、计算题（每题７分，总计３５分）。
2、设(,)z f x y xy =-具有连续的二阶偏导数，求2z x y¶抖。
3、将函数23()2f x x x=--展开成x 的幂级数，并指出收敛域。
4、设)(x y y 满足方程322x y y y e ⅱ?-+=，且其图形在点)1,0(与曲线21y x x =-+相切，求函数)(x y 。
5、计算222Ldsx y z++ò，其中L 是螺旋线8cos ,8sin ,x t y t z t ===对应02t p＃的弧段。
四、计算题（每题７分，总计３５分）。
1、设0a >，计算极限23123lim ()n n na a a a??++++的值。
2、计算z dv W蝌?，其中W 由不等式z ?22214x y z ?+?所确定。
4、将函数()(11)f x x x =-＃展开成以2为周期的傅立叶级数。
5、设函数)(x f 具有连续导数并且满足(1)3f =，计算曲线积分22(())(())Ly f x x dx x f x y dy +++ò的值，假定此积分在右半平面内与路径无关，曲线L 是由)2,1(到)1,2(的任一条逐段光滑曲线。
五、本题５分。
对0p >，讨论级数11(1)nn n n p¥+=-å的敛散性。
高数下期末考试试卷及答案（精选.）
⾼数下期末考试试卷及答案（精选.）2017学年春季学期《⾼等数学Ⅰ（⼆）》期末考试试卷（A ）注意：1、本试卷共 3 页；2、考试时间110分钟；3、姓名、学号必须写在指定地⽅⼀、单项选择题（8个⼩题，每⼩题2分，共16分）将每题的正确答案的代号A 、B 、C 或D 填⼊下表中．1．已知a 与b都是⾮零向量，且满⾜-=+a b a b ，则必有（）. (A)-=0a b (B)+=0a b (C)0?=a b (D)?=0a b 2.极限2222001lim()sinx y x y x y →→+=+( ).(A) 0(B) 1 (C) 2 (D)不存在 3．下列函数中，df f =?的是( ).（A ）(,)f x y xy = （B ）00(,),f x y x y c c =++为实数（C ）(,)f x y =（D ）(,)e x y f x y +=4．函数(,)(3)f x y xy x y =--，原点(0,0)是(,)f x y 的( ).（A ）驻点与极值点（B ）驻点，⾮极值点（C ）极值点，⾮驻点（D ）⾮驻点，⾮极值点 5．设平⾯区域2 2:(1)(1)2D x y -+-≤，若1d 4D x y I σ+=，2DI σ=，则有（）. （A ）123I I I << （B ）123I I I >> （C ）213I I I << （D ）312I I I <<6．设椭圆L ：13422=+y x 的周长为l ，则22(34)d L x y s +=??（）. (A) l (B) l 3 (C) l 4 (D) l 127．设级数∑∞=1n na为交错级数，0()n a n →→+∞，则（）.(A)该级数收敛 (B)该级数发散(C)该级数可能收敛也可能发散 (D)该级数绝对收敛 8.下列四个命题中，正确的命题是（）. （A ）若级数1 nn a∞=∑发散，则级数21nn a∞=∑也发散（B ）若级数21nn a∞=∑发散，则级数1nn a∞=∑也发散（C ）若级数21nn a∞=∑收敛，则级数1nn a∞=∑也收敛1||nn a∞=∑收敛，则级数21n n a ∞=∑也收敛⼆、填空题(7个⼩题，每⼩题2分，共14分)．1.直线3426030x y z x y z a -+-=??+-+=?与z 轴相交，则常数a 为 .2．设(,)ln(),y f x y x x=+则(1,0)y f '=______ _____.3．函数(,)f x y x y =+在(3,4)处沿增加最快的⽅向的⽅向导数为 .4．设22:2D x y x +≤，⼆重积分()d Dx y σ-??= .5．设()f x 是连续函数，22{(,,)|09}x y z z x y Ω=≤≤--，22()d f x y v Ω+在柱⾯坐标系下的三次积分为 .6.幂级数11(1)!nn n x n ∞-=-∑的收敛域是 . 7.将函数21,0()1,0x f x x x ππ--<≤??=?+<≤??以2π为周期延拓后，其傅⾥叶级数在点x π=处收敛于 .三峡⼤学试卷纸教学班号序号学号姓名……………………．……答题不要超过密封线…………．………………………………三、综合解答题⼀（5个⼩题，每⼩题7分，共35分，解答题应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤） 1．设(,)x u xf x y =，其，u y ??．解： 2．求曲⾯e 3z z xy ++=在点(2,1,0)处的切平⾯⽅程及法线⽅程．解：3.交换积分次序，并计算⼆次积分0sin d d xyx y yππ．解：4．设Ω是由曲⾯1,,===x x y xy z 及0=z 所围成的空间闭区域，求23d d d I xy z x y z Ω=.解：5．求幂级数11n n nx∞-=∑的和函数()S x ，并求级数12nn n ∞=∑的和．解：三峡⼤学试卷纸教学班号序号学号姓名……………………．……答题不要超过密封线…………．………………………………四、综合解答题⼆（5个⼩题，每⼩题7分，共35分，解答题应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤）1.从斜边长为1的⼀切直⾓三⾓形中，求有最⼤周长的直⾓三⾓形．解2．计算积分22()d Lx y s +?，其中L 为圆周22x y ax += (0a >)．解：3．利⽤格林公式，计算曲线积分2I xy x x xy y =+++??，其中L 是由抛物线2y x =和2x y =所围成的区域D 的正向边界曲线．4．计算d x S ∑，∑为平⾯1=++z y x 在第⼀卦限部分.解：5．利⽤⾼斯公式计算对坐标的曲⾯积分d d d d d d x y y z z x S++蝌，其中∑为圆锥⾯222z x y =+介于平⾯0z =及1z =之间的部分的下侧. 解：三峡⼤学试卷纸教学班号序号学号姓名……………………．……答题不要超过密封线…………．………………………………xO 2y x =2x y =y D2017学年春季学期《⾼等数学Ⅰ（⼆）》期末考试试卷(A)答案及评分标准⼀、单项选择题（8个⼩题，每⼩题2分，共16分）1．已知a 与b 都是⾮零向量，且满⾜-=+a b a b ，则必有（D ） (A)-=0a b ； (B)+=0a b ； (C)0?=a b ； (D)?=0a b ．2.极限2222001lim()sin x y x y x y →→+=+ ( A ) (A) 0； (B) 1； (C) 2； (D)不存在. 3．下列函数中，d f f =?的是( B )；（A ） (,)f x y xy =；（B ）00(,),f x y x y c c =++为实数；(,)f x y =（D ）(,)e x yf x y +=.4．函数(,)(3)f x y xy x y =--，原点(0,0)是(,)f x y 的( B ).（A ）驻点与极值点；（B ）驻点，⾮极值点；（C ）极值点，⾮驻点；（D ）⾮驻点，⾮极值点. 5．设平⾯区域D ：2 2(1)(1)2x y -+-≤，若1d 4D x y I σ+=，2DI σ=，3DI σ=，则有（ A ）（A ）123I I I <<；（B ）123I I I >>；（C ）213I I I <<；（D ）312I I I <<．6．设椭圆L ：13422=+y x 的周长为l ，则22(34)d L x y s +=??（D ） (A) l ； (B) l 3； (C) l 4； (D) l 12．7．设级数∑∞=1n na为交错级数，0()n a n →→+∞，则（ C ）(A)该级数收敛； (B)该级数发散；(C)该级数可能收敛也可能发散； (D) 该级数绝对收敛． 8.下列四个命题中，正确的命题是（ D ）（A ）若级数1nn a∞=∑发散，则级数21n∞=∑也发散；（B ）若级数21nn a∞=∑发散，则级数1nn a∞=∑也发散；（C ）若级数21nn a∞=∑收敛，则级数1nn a∞=∑也收敛；（D ）若级数1||nn a∞=∑收敛，则级数21n n a ∞=∑也收敛．⼆、填空题(7个⼩题，每⼩题2分，共14分)．1.直线3426030x y z x y z a -+-=??+-+=?与z 轴相交，则常数a 为 3 。
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(1分 )
= 2xex2 y2 z2 2zex2 y2 z2 2x sin y
(2 分)
= 2x(1 2x2 sin 2 y)e x2 y2 x4 sin2 y ,
(3 分)
u f f z y y z y
(4 分)
= 2 yex2 y2 z2 2zex2 y2 z2 x 2 cos y
y2
1 2 yy 22 y5 dy 2 1
=
1 2
y4 4
4 3
y3
2y2
y6 6
2 1
=
5
5 8
5.解 对 f (x) 进行偶延拓, 并由公式有
an
2
x 1 cos nxdx
0
=
2
(x
1) sin n
2b0 x 2b0 b1 2x
比较等式两端同次幂的系数,得
2b0 2, 2b0 b1 0.
解得 b0 1, b1 2. .因此求得一个特解为
y x(x 2)e2x 从而所求的通解为 y C1e2x C2e3x (x2 2x)e2x
(8 分) (10 分)
(5 分)
= 2( y x4 sin y cos y)e x2 y2 x4sin 2 y
2.解 这里方向 l 即向量 PQ (1, 1) 的方向,与 l 同向的
(6 分)
单位向量为
el (
1 , 2
1) 2
因为函数可微分,且
z x
|(1,0)
e2 y
|(1,0)
1
4
cos
x
1 32
cos 3x
1 52
cos
5x
(0 x )
(6 分)
四解
令
P
2(x 2
y
y2)
,
Q
2(
x
x 2
y
2
)
.
则当 x 2
y2
0 时,有
Q
x
2
x2 x2
y2 y2
2
= P y
.
(2 分)
记 L 所围成的闭区域为 D , 当 (0,0) D 时,由格林公式便得
n1
a2 2n 2
收敛,
故原级数绝对收敛.
.
(2)因为
|
un n
|
1 2
(u
2 n
1 n2
)
,
而级数
u
2 n
n1
和级数
n1
1 n2
均收敛
(2 分) (5 分) (6 分) (8 分)
(2 分) (4 分) (5 分)
再由收敛级数的性质知, 级数 (1)n un 绝对收敛. (7 分)
1
z
2 x
z
2 y
a
.
a2 x2 y2
(2 分)
由计算公式得
I
dS z
a2
Dxy
adxdy x2
y
2
.
利用极坐标,得
I
a2
Dxy
adxdy x2
y2
add Dxy a 2 2
(3 分) (4 分)
= a
2 d
D
D
六 解: (1) 因为
= 2 2 e y dy 1 y2 1 y 2 x 2 dx
0
1 y 2
= 2 1 y 2 e y dy 3 e2 1 0
|
(1)n 1
cosa n来自|2sin 2
a 2n
a2 2n 2
.
又级数
0
a2 h2 0
d a2 2
=
2a
1 2
ln
a2
2
a2 h2 0
2a ln a . h
4.解 利用二重积分中 Y-型区域计算公式有
I
xyd
D
2 1
y y2
2
xydx
dy
=
2 x2
1
2
y2 y dy
n1
n
七 解: 由 | un1 | = | 2n 3 x || x | ( n ),
u
2n 1
知级数在 1 x 1 时收敛,显然当 x 1时, (2n 1)(1)n 发散, n1
故收敛区间为 (1,1) . 设其和函数为 S(x) ,则
(2 分)
五 解: 在 xy 面上的投影区域 D 为
D {(x, y) | 0 y 2, 1 y 2 x 1 y 2 }
从而有
I= dxdy 1 y2 x2 e y dz 2 e y 1 y 2 x 2 dxdy 1 y 2 x2
1
z y
|(1,0)
2 xe2 y
|(1,0)
2
故所求方向导数为
(2 分) (4 分)
z l
|(1,0)
1
1 2( 2
1 ) 2
2. 2
3.解: 的方程为
(6 分)
z a2 x2 y2.
在 xOy 面上的投影区域 Dxy 为圆形闭区域 x, y | x 2 y 2 a 2 h2 . 又
(3 分) (6 分) (7 分) r 2 5r 6 0
有两个实根 r1 2, r2 3 .于是与所给方程对应的齐次方程的通解为
Y C1e 2x C2e3x
(3 分)
由于 2 是特征方程的单根, 所以应设 y 为
y x(b0 x b1 )e2x .
把它代入所给方程, 得
nx
cos nx n2
0
=
2 n 2
(cos n
1)
0, n 2,4,6,,
=
4 n 2
,n
1,3,5,.
a0
2
(x 1)dx 2
0
将求得 a n 的代入余弦级数,得
(6 分) (3 分)
(6 分)
(3 分)
x
1
2
S (x 2 ) (2n 1)x 2n
x 2n1 /
n1
n1
= x 2n1 /
n1
1
x
3
x
2
/
3x2 x4 (1 x 2 )2
从而有
S(x)
3x x2 (1 x)2
,
x (1,1)
八解
与所给方程对应的齐次方程为 y // 5 y / 6 y 0 , 它的特征方程
《高等数学 A2》试卷 A 评分标准
一. 1. D;
2. B;
3.A;
4.C
5.C
二.
1. 4 ;
2. 充分
3. P cos Q cos R cos dS , 法向量;
4. 收敛, 发散;
5.
y
x2
1
C
,
其中 C 是任意常数.
三 1.. 证 由复合函数求导法则,
所以 u f f z x x z x
L 2 x2 y2
l
ydx xdy 2 x2 y2
0,
(6 分)
其中 l 的方向取逆时针方向.于是
L
ydx xdy 2 x2 y2
l
ydx xdy 2 x2 y2
=
2 0
r
2
sin
2
2r 2
r
2
cos
2
d
= .
(8 分)
ydx xdy
L 2 x2 y2
0;
(3 分)
当 (0,0) D 时,选取适当小的 r 0 ,作位于 D 内的圆周 l : x 2 y 2 r 2 .
记 L 和 l 所围成的闭区域为 D1 . 对复连通区域 D1 应用格林公式,得
ydx xdy