大一高数期末考试试题

大一高数期末考试试题

一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分）

1． 2

1

lim()x

x x e x →-=

.2

．()()120051

1x x x x e e dx --+-=

⎰

.3．设函数()y y x =由方程2

1

x y t e dt x

+-=⎰

确定，则

x dy dx

==

.4. 设()x f 可导，

且1

()()

x

tf t dt f x =⎰

，1)0(=f ，则

()=x f .5．微分方程044=+'+''y y y 的通解

为 .

二．选择题（共4小题，每小题4分，

共计16分） 1．设常数0>k ，则函数k e

x

x x f +-

=ln )(在),0(∞+内零点的个数为（ ）.

(A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分方程43cos2y y x ''+=的特解形式为（ ）.

（A ）cos2y A x *

=; （B ）cos 2y Ax x *

=;

（C ）cos2sin 2y Ax x Bx x *

=+; （D ）x A y 2sin *

=.3．下列结论不一定成立的是（ ）.

（A ）若[][]b a d c ,,⊆,则必有()()⎰⎰≤b

a d c dx x f dx x f ;（B ）

若

)(≥x f 在[]b a ,上可积,则()0b

a f x dx ≥⎰;（C ）若()x f 是

周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有

()()⎰⎰

+=T

T a a

dx

x f dx x f 0

;（D ）若可积函数()x f 为奇函数,则

()0

x

t f t dt

⎰

也为奇函数.4. 设

()x

x e e

x f 11321++=

, 则0=x 是)(x f 的（ ）.

(A) 连续点;

(B) 可去间断点; (C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三．计算题（共5小题，每小题6分，共计30分） 1．计算定积分2

2

30

x x e dx

-

2．2．计算不定积分dx x

x

x ⎰5

cos sin .

求摆线

⎩⎨

⎧-=-=),

cos 1(),sin (t a y t t a x 在

2

π

=

t 处的切线

的方程.

设20()cos()x

F x x t dt

=-⎰，求)(x F '.

5．设

n

n n n n x n

n )

2()3)(2)(1( +++=

，求n

n x ∞

→lim .

本页满分 12分 本页得分

四．应用题（共3小题，每小题9分，共计27分）1．求由曲线2-=x y 与该曲线过坐标原点的切线及x 轴所围图形的面积.

2．设平面图形D 由2

2

2x y x +≤与y x ≥所确定，试求D 绕直线2=x 旋转一周所生成的旋转体的体积.

设1,a >at a t f t

-=)(在(,)-∞+∞内的驻点为 (). t a 问a 为何值时)(a t 最小? 并求最小值.

五．证明题（7分） 设函数

()

f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且

1

(0)=(1)0,()12f f f ==，

试证明至少存在一点(0,1)ξ∈, 使得

()=1.

f ξ' 一．填空题（每小题4分，5题共20分）：

1．

2

1

lim()

x

x x e x →-=

2

1

e

.2．()()120051

1x x x x e e dx --+-=

⎰

e

4.3．设函数()

y y x =由方程2

1

x y t e dt x

+-=⎰

确定，则

x dy dx

==

1

-e .4. 设()x f 可

导，且1

()()

x tf t dt f x =⎰，1)0(=f ，则()=x f 22

1x e .5．微分方

程

44=+'+''y y y 的通解为

x e x C C y 221)(-+=.二．选择题

（每小题4分，4题共16分）：1．设常数0>k ，则函数

k e x

x x f +-

=ln )(

在),0(∞+内零点的个数为

（ B ）.

(A) 3个; (B) 2个;

(C) 1个; (D) 0个. 2． 微分方程x y y 2cos 34=+''的特解形式为 （ C ）

（A ）cos2y A x *

=； （B ）cos 2y Ax x *

=； （C ）cos2sin 2y Ax x Bx x *=+； （D ）x A y 2sin *

=3．下列结论不一定成立的是 （ A ）

(A) (A)

若[][]b a d c ,,⊆,则必有

()()⎰⎰≤b

a

d c

dx x f dx x f ;

(B) (B)

若

)(≥x f 在[]b a ,上可积,则

()0b

a

f x dx ≥⎰;

(C) (C)

若()x f 是周期为T 的连续函数,

则对任意常数a 都有()()⎰⎰

+=T

T a a

dx

x f dx x f 0

;

(D) (D)

若可积函数()x f 为奇函数,则