哈工大小波分析上机实验报告
小波实验报告一维Haar小波2次分解
一、题目：一维Haar 小波2次分解二、目的：编程实现信号的分解与重构三、算法及其实现：离散小波变换离散小波变换是对信号的时－频局部化分析，其定义为：/2200()(,)()(),()()j j Wf j k a f t a t k dt f t L R φ+∞---∞=-∈⎰ 本实验实现对信号的分解与重构：（１）信号分解：用小波工具箱中的dwt 函数来实现离散小波变换，函数dwt 将信号分解为两部分，分别称为逼近系数和细节系数（也称为低频系数和高频系数）,实验中分别记为cA1,cD1，它们的长度均为原始信号的一半，但dwt 只能实现原始信号的单级分解。
在本实验中使用小波函数db1来实现单尺度小波分解，即：[cA1,cD1]＝dwt(s,’db1’)，其中s 是原信号;再通过[cA2,cD2]＝dwt(cA1,’db1’)进行第二次分解，长度又为cA2的一半。
（２）信号重构：用小波工具箱中的upcoef 来实现，upcoef 是进行一维小波分解系数的直接重构,即：A1 = upcoef('a',cA1,'db1'); D1 = upcoef('a',cD1,'db1')。
四、实现工具：Matlab五、程序代码：%装载leleccum 信号load leleccum;s = leleccum(1:3920);%用小波函数db1对信号进行单尺度小波分解[cA1,cD1]=dwt(s,'db1');subplot(3,2,1);plot(s);title('leleccum 原始信号');%单尺度低频系数cA1向上一步的重构信号A1 = upcoef('a',cA1,'db1');%单尺度高频系数cD1向上一步的重构信号D1 = upcoef('a',cD1,'db1');subplot(3,2,3);plot(A1);title('单尺度低频系数cA1向上一步的重构信号');subplot(3,2,5);plot(D1);title('单尺度高频系数cD1向上一步的重构信号');[cA1,cD1]=dwt(cA1,’db1');subplot(3,2,2);plot(s);title('leleccum 第一次分解后的cA1信号');%第二次分解单尺度低频系数cA2向上一步的重构信号A2= upcoef('a',cA2,'db1',2);%第二次分解单尺度高频系数cD2向上一步的重构信号D2 = upcoef('a',cD2,'db1',2);subplot(3,2,4);plot(A2);title('第二次分解单尺度低频系数cA2向上一步的重构信号');subplot(3,2,6);plot(D2);title('的二次分解单尺度高频系数cD2向上一步的重构信号');六、运行结果：七、结果分析：。
小波分析实验报告
实验四一、实验目的理解小波阈值去噪法原理。
对所得的去噪效果进行分析。
二、实验要求在载入原始图片后，对图片进行含噪和消噪处理，再对所得的图片效果进行分析。
三、主要内容载入原始图片，对原始图片添加一个随机噪声，得出含噪图片。
用sym6小波对图像进行1层分解，设置一个全局阈值，对图像分解系数，将低频系数进行重构，得出消噪后的图像。
再与原图像，含噪图像一起进行分析比较。
运行代码如下clear all;load woman;subplot(2,2,1);image(X);colormap(map);xlabel('(a)原始图像');axis square;init=2055615866;randn('seed',init);x=X+48*randn(size(X));subplot(2,2,2);image(x);colormap(map);xlabel('(b)含噪图像');axis square;%用sym6小波对图像进行1层分解t1=wpdec2(x,1,'sym6');%设置一个全局阈值thr=10.358;%对图像分解系数t2=wpthcoef(t1,0,'s',thr);%对低频系数进行重构x1=wprcoef(t1,1);subplot(2,2,3);image(x1);运行结果四、思考体会小波去噪的根本任务是在小波域将信号的小波变换与噪声的小波变换有效的分离。
噪声的能量分布于整个小波域内，小波分解后，信号的小波系数幅值要大于噪声的系数幅值，也可以认为，幅值比较大的小波系数一般以信号为主，而比较小的系数在很大程度上是噪声。
于是，采用阈值的方法可把信号系数保留，而把大部分噪声系数减少至零。
将含噪信号在各尺度上进行小波分解，保留大尺度（低分辨率）下的全部系数，对于小尺度（高分辨率）下的小波系数，设定一个阈值，幅值不超过阈值的小波系数设置为零，幅值高于该阈值的小波系数或者完整保留，或者做相应的收缩处理，最后将处理后的小波系数利用逆小波变换进行重构，恢复出有效信号。
哈尔滨工业大学小波理论与应用上机报告
Harbin Institute of Technology上机报告课程名称：小波理论与应用院系：电信学院班级： 13硕小波1班学生：位飞13S105006 诚意21邹赛13S005016 诚意12高德奇13S005023诚意12姜希12S005106 诚意11 指导教师：李福利时间： 2014-06-09哈尔滨工业大学位 飞13S105006 电信学院 电子与通信工程 电子2班 小波1班 完成上机报告（一） 邹 赛13S005016电信学院 信息与通信工程 电子2班 小波1班 完成上机报告（二）（三） 高德奇13S005023电信学院 信息与通信工程 电子1班 小波1班 完成上机报告（四） 姜 希12S005106电信学院 信息与通信工程 电子2班 小波1班 整理上机报告（一）一．实验目的和任务已知Butterworth 滤波器，其冲击响应函数为,0()0,0t Ae t h t t α-⎧≥=⎨<⎩若若，求：1、 求()ˆhω 2、 判断是否因果；是低通、高通、带通还是带阻？3、 对于信号3()(sin 22sin 40.4sin 2sin 40),t f t e t t t t -=++0t π≤≤，画出()f t 图形4、 画出滤波后图形()f h t *，比较滤波前后图形，你会发现什么，这里取10A α==5、 取()(sin5sin3sin sin 40),t f t e t t t t -=+++采用不同的变量值A α=()10A α==初始设定，画出原信号图形与滤波后图形，比较滤波效果二．实验原理1、低通滤波器从0～f2 频率之间，幅频特性平直，它可以使信号中低于f2的频率成分几乎不受衰减地通过，而高于f2的频率成分受到极大地衰减。
2、高通滤波器与低通滤波相反，从频率f1～∞，其幅频特性平直。
它使信号中高于f1的频率成分几乎不受衰减地通过，而低于f1的频率成分将受到极大地衰减。
哈工大数值分析上机实验报告可编辑
1.消元过程
对k=1;2;…;n-1;进行如下步骤..
1)选主元;记
若 很小;这说明方程的系数矩阵严重病态;给出警告;提示结果可能不对..
2)交换增广阵A的r;k两行的元素..
j=k;…;n+1
3)计算消元
if strcmpss;'y'
x0=input'input initial value x0>>';
k=0;
else
break
end
end
end
k;%给出迭代次数
x=x0；%给出解
结果分析和讨论：
1.用二分法计算方程 在1;2内的根.. ;下同
计算结果为
x=；
fx=；
k=18；
由fx知结果满足要求;但迭代次数比较多;方法收敛速度比较慢..
程序设计：
本实验采用Matlab的M文件编写..其中待求解的方程写成function的方式;如下
function y=fx;
y=-x*x-sinx;
写成如上形式即可;下面给出主程序..
二分法源程序：
clear
%%%给定求解区间
b=1.5;
a=0;
%%%误差
R=1;
k=0;%迭代次数初值
while R>5e-6 ;
4.用改进的Newton法求解;有2重根;取
x0=0.55；并与3.中的c比较结果..
当x0=0.55时;程序死循环;无法计算;也就是说不收敛..改 时;结果收敛为
x=；
fx=；
k=16；
【优质】小波实验报告-推荐word版 (7页)
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1.2 实验内容主要利用MATLAB提供的小波工具箱Wavelet Toolbox实现小波分解与重构，具体包括：(1)小波基的选择(要求三种以上小波基)(2)延拓方式的选择(3)分解过程中的抽样与非抽样(4)重构结果的分析，要求分析不同小波基、不同延拓方式、抽样/非抽样对于小波重构的影响(5)分析小波对于图像信号表示的方向特性1.3 实验步骤1. 小波变换Matlab实现编程实现图片的分解与重构，程序如下：dwtmode('zpd');X=imread('BARB.BMP');X=im2double(X);nbcol = 255;[cA1,cH1,cV1,cD1] = dwt2(X,'haar');cod_X=wcodemat(X,nbcol);cod_cA1=wcodemat(cA1,nbcol);cod_cH1=wcodemat(cH1,nbcol);cod_cV1=wcodemat(cV1,nbcol);cod_cD1=wcodemat(cD1,nbcol);dec2d = [cod_cA1,cod_cH1;cod_cV1,cod_cD1];X1=idwt2(cA1,cH1,cV1,cD1,'haar');cod_X1=wcodemat(X1,nbcol);subplot(221);imshow(X,[],'InitialMagnification','fit');title('orig image');subplot(222);imshow(dec2d,[],'InitialMagnification','fit');title('dec image');subplot(223);imshow(cod_cA1,[],'InitialMagnification','fit');title('appro image');subplot(224);imshow(cod_X1,[],'InitialMagnification','fit');title('syn image');在Zero-padding延拓方式下，分别取Haar、db3、sym小波基得到的图像分解与重构的结果如下：1) Haar小波基orig imagedec imageappro imagesyn image2) Db3小波基orig imagedec imageappro imagesyn image3) Sym3小波基orig imagedec imageappro imagesyn image在采用db4小波实现图像的分析和重构，分别采用四种不同的延拓方式，得到的的结果如下：1) extension mode为Zero-padding模式，分解与重构的结果为orig imagedec imageappro imagesyn image。
小波分析的实验报告三
1
>> D1=upcoef('d',cD1,'sym2',1); >> subplot(4,1,1);plot(s);title('原始信号') >> subplot(4,1,2);plot(A1);title('低频') >> subplot(4,1,3);plot(D1);title('高频') >> s0=idwt(cA1,cD1,'sym2'); >> subplot(4,1,4);plot(s0);title('重构信号')
2) 多尺度小波分解重构程序： >> s0=idwt(cA1,cD1,'db3'); >> [C,L]=wavedec(s,3,'db3'); >> cA5=appcoef(C,L,'db3',3); >> A3=wrcoef('a',C,L,'db3',3);
4
Hale Waihona Puke >> D1=wrcoef('d',C,L,'db3',1); >> D2=wrcoef('d',C,L,'db3',2); >> D3=wrcoef('d',C,L,'db3',3); >> figure(2); >> subplot(4,1,1);plot(A3);title('第三层低频') >> subplot(4,1,2);plot(D3);title('第三层高频') >> subplot(4,1,3);plot(D2);title('第二层高频') >> subplot(4,1,4);plot(D1);title('第一层高频') >> figure(3); >> s1=waverec(C,L,'db3'); >> subplot(3,1,1);plot(s);title('原始信号') >> subplot(3,1,2);plot(s1);title('重构信号') >> subplot(3,1,3);plot(s-s1);title('误差信号') 运行结果如下：
小波分析实验报告
( x) e
x2 2
e i0 x
0 5
程序代码： >> syms x i w0; >> f=exp(-x^2/2)*exp(i*w0*x); >> F=fourier(f,x); F= (2^(1/2)*pi^(1/2))/exp((x + i*w0*sqrt(-1))^2/2) >> f=ifourier(F) f= exp((i^2*w0^2)/2 - (t - i*w0)^2/2) 2．Marr 小波
小波分析实验报告
姓名: 班级: 学号: 成绩: 教师签名:
实验一名称： 小波函数的 Fourier 变换和 Fourier 逆变换 实验目的
用 Matlab 实现函数的 Fourier 变换和 Fourier 逆变换
实验内容 一、用 Matlab 实现下列函数的 Fourier 变换和 Fourier 逆变换 1．Morlet 小波
1.4 g1 g2 g3
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0 -5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
5．定义信号 f (t ) sin(2t ) sin(4t ) sin(10t ) ，并画出图形
N=1024; >> t=1:N; >> s1=sin(2*pi*t); >> s2=sin(4*pi*t); >> s3=sin(10*pi*t); >> s=s1+s2+s3; >> plot(t,s); >> xlabel('时间 t/s'); >> ylabel('幅值 A');
小波实验报告
小波实验报告小波实验报告引言小波分析是一种数学工具，可以将信号分解成不同频率的成分。
它在信号处理、图像处理、数据分析等领域有着广泛的应用。
本实验旨在通过对小波变换的实际应用，探索其在信号处理中的效果和优势。
一、实验背景小波分析是一种基于频域的信号分析方法，与传统的傅里叶变换相比，小波分析可以更好地捕捉信号的瞬时特性和局部特征。
它通过将信号与一组基函数进行卷积运算，得到信号在不同尺度和位置上的频谱信息。
二、实验目的1. 了解小波变换的基本原理和概念；2. 掌握小波变换的实现方法和工具；3. 分析小波变换在不同信号处理任务中的应用效果。
三、实验步骤1. 选择适当的小波基函数和尺度参数；2. 将待处理信号进行小波变换；3. 分析小波变换后的频谱信息；4. 根据实际需求，选择合适的尺度和位置，重构信号。
四、实验结果与分析本实验选择了一段音频信号进行小波变换。
首先，选择了Daubechies小波作为基函数，并调整尺度参数。
经过小波变换后，得到了信号在不同频率上的能量分布图。
通过分析能量分布图，可以清晰地观察到信号的频率成分和时域特征。
进一步分析小波变换的结果，可以发现小波变换具有良好的局部化特性。
不同于傅里叶变换将整个信号分解成各个频率的正弦波，小波变换可以将信号分解成不同频率的局部波包。
这种局部化特性使得小波变换在信号分析和处理中更加灵活和精确。
五、实验应用1. 信号去噪小波变换可以将信号分解成不同频率的成分，通过滤除高频噪声成分，实现信号的去噪。
在音频处理和图像处理中，小波去噪已经成为一种常用的方法。
2. 图像压缩小波变换可以将图像分解成不同频率的局部波包，通过保留重要的低频成分，可以实现对图像的压缩。
小波压缩在数字图像处理和视频编码中有着重要的应用。
3. 时频分析小波变换可以提供信号在不同时间和频率上的分布信息，通过时频分析，可以更好地理解信号的时域和频域特性。
在语音识别、心电图分析等领域，时频分析是一种常用的方法。
小波实验报告
小波实验报告
《小波实验报告》
小波分析是一种用于信号处理和数据分析的强大工具。
在本次实验中，我们将探索小波分析的基本原理，并通过实验验证其在信号处理中的有效性。
首先，我们介绍了小波分析的基本概念和原理。
小波分析是一种基于窗口函数的信号分析方法，它可以将信号分解成不同频率和时间尺度的成分。
与傅里叶变换不同，小波分析可以同时提供频域和时域的信息，因此在处理非平稳信号和非线性系统时具有独特优势。
接下来，我们进行了一系列实验，验证了小波分析在信号处理中的应用。
我们首先使用小波分析对一段包含多个频率成分的信号进行了分解，并成功地提取出了各个频率成分的时域和频域信息。
接着，我们对一个非平稳信号进行了小波变换，并观察到了小波分析在处理非平稳信号时的优越性。
最后，我们还利用小波分析进行了信号去噪和压缩，结果表明小波分析在这些应用中具有良好的效果。
通过本次实验，我们深刻理解了小波分析的原理和应用，并验证了其在信号处理中的有效性。
小波分析不仅可以帮助我们更好地理解信号的时频特性，还可以在实际工程中发挥重要作用。
我们相信，在未来的研究和应用中，小波分析将会得到更广泛的应用和发展。
哈工大测试技术基础实验报告
实验一波形的合成与分解一、实验目的1、了解信号分析手段之一的傅里叶变换的基本思想和物理意义。
2、观察和分析由多个频率、幅值和相位成一定关系的正弦波叠加的合成波形。
3、观察和分析频率、幅值相同，相位角不同的正弦波叠加的合成波形。
4、通过本实验熟悉信号合成、分解的操作方法，了解信号频谱的含义。
二、实验结果图1.1方波图1.2锯齿波图1.3三角波图1.4正弦整流波实验二典型信号的频谱分析一、实验目的1、在理论学习的基础上，通过本实验熟悉典型信号的频谱特征，并能够从信号频谱中读取所需的信息。
2、了解信号频谱的基本原理和方法，掌握用频谱分析提取测量信号特征的方法。
二、实验原理信号频谱分析是采用傅里叶变换将时域信号x(t)变换为频域信号X(f)，从而帮助人们从另一个角度来了解信号的特征。
工程上习惯将计算结果用图形方式表示，以频率f为横坐标，X(f)的实部a(f)和虚部b(f)为纵坐标画图，称为时频—虚频谱图；以频率f为横坐标，X(f)的幅值A(f)和相位φ(f)为纵坐标画图，则称为幅值—相位谱；以f为横坐标，A(f)2为纵坐标画图，则称为功率谱。
频谱是构成信号的各频率分量的集合，它完整地表示了信号的频率结构，即信号由哪些谐波组成，各谐波分量的幅值大小及初始相位，揭示了信号的频率信息。
三、实验结果实验结果如下图所示：图2.1 白噪声信号幅值频谱特性图2.2 正弦波信号幅值频谱特性图2.3 方波信号幅值频谱特性图2.4 三角波信号幅值频谱特性图2.5 正弦波信号+白噪声信号幅值频谱特性四、思考题1、与波形分析相比，频谱分析的主要优点是什么？答：信号频谱()X f代表了信号在不同频率分量成分的大小，能够提供比时域信号波形更直观，丰富的信息。
2、为何白噪声信号对信号的波形干扰很大，但对信号的频谱影响很小？答：白噪声是指在较宽的频率范围内，各等带宽的频带所含的噪声能量相等的噪声。
在时域上，白噪声是完全随机的信号，叠加到波形上会把信号的波形完全搅乱，所以对信号的波形干扰很大。
哈工大-数值分析上机实验报告
Emax= 0.70770085900503，0 此时由 Emax 可以看出，不选主元的结果应该可以说是不正确了，这是由机器误差引 起的。 当 10 20 时，不选主元和选主元的计算结果如下 NaN NaN NaN Emax=NaN, 0 不选主元时，程序报错： Warning: Divide by zero. 。这是因为机器计算的最小精度为 10-15，所以此时的 10 20 就认为是 0，故出现了错误现象。而选主元时则没有这种现象， 而且由 Emax 可以看出选主元时的结果应该是精确解。
x3 x 1 0
x0=1； x0=0.45, x0=0.65；
( x 1) 2 (2 x 1) 0
当 x0=0.45 时，计算结果为 x= 0.49999999999983； f(x)= -8.362754932994584e-014； k=4； 由 f(x)知结果满足要求，而且又迭代次数只有 4 次看出收敛速度很快，实际上该方程确实 有真解 x=0.5。 当 x0=0.65 时，计算结果为 x= 0.50000000000000； f(x)=0； k=9； 由 f(x)知结果满足要求，实际上该方程确实有真解 x=0.5，但迭代次数增多，实际上当取 x0〉0.68 时，x≈1，就变成了方程的另一个解，这说明 Newton 法收敛与初值很有关系， 有的时候甚至可能不收敛。
实验报告
结果分析和讨论： 例 用最小二乘法处理下面的实验数据 . xi fi 3 2.01 4 2.98 5 3.50 6 5.02 7 5.47 8 6.02 9 7.05
Hale Waihona Puke 并作出 f ( x) 的近似分布图。 分别采用一次，二次和五次多项式来拟合数据得到相应的拟合多项式为： y1=-0.38643+0.82750x ； y2=-1.03024+1.06893x-0.02012x2； y5=-50.75309+51.53527x-19.65947x2+3.66585x3-0.32886x4+0.01137x5； 分别作出它们的曲线图，图中点划线为 y1 曲线，实线为 y2 曲线，虚线为 y5 曲线。’x’为 给定的数据点。从图中可以看出并不是多项式次数越高越好，次数高了，曲线越能给定点 处和实际吻合，但别的地方就很差了。因此，本例选用一次和两次的多项式拟合应该就可 以了。
52-小波分析小实验报告
输入参数：
maxmap：极大点矩阵
输出参数：
skellist：模极大曲线列表，依次记录每条曲线，第一行记录尺度，第二行记录位置。
skelptr：模极大曲线起始点列表，依次记录每条曲线的起始点在skellist中的位置。
skellen：模极大曲线长度列表，依次记录每条曲线的长度。
图3是图2中第5、第6条曲线在log2s, log2|Wf(s,u)|平面上的曲线图，其中实线对应第5条曲线即奇异点163，虚线对应第6条曲线即奇异点305，两条曲线的斜率分别约为0.5和1.4，因此对应的奇异值为0和0.9，符合我们直观上的理解。所有曲线对应奇异点的奇异值 log2|Wf(s,u)|平面上的曲线图
图4 lenna图像第30行的信号及其小波变换
图5 邻域为1所得模极大曲线图
图6 邻域为5所得模极大曲线图
函数功能：引用wavelab中的数据,即A Wavelet Tour of Signal Processing(2nd
edition)中fig6.6的信号。
输出参数：
sig：所构造的信号
3）ImageWT.m：function ImageWT(wt,n,s_scale,l_scale)
输入参数：
wt：小波变换矩阵
windowSize：邻域大小
par：计算自适应阈值所用参数，小于最大值的1/par的极大点将被丢弃。
输出参数：
maxmap：极大点矩阵
5）SkelMap.m：function [skellist,skelptr,skellen] = SkelMap(maxmap)
3代码实现
我采用Matlab函数编程实现。具体程序见smallExp.m，GetSignal.m，
小波变换应用实验报告——去噪,融合,水印
一. 基础原理 1.小波简介小波一词由Morlet 和Grossman 在1980年代早期提出，其思想来源于伸缩平移方法。
小波分析(wavelet analysis), 或小波转换(wavelet transform)是指用有限长或快速衰减的、称为母小波(mother wavelet)的振荡波形来表示信号。
该波形被缩放和平移以匹配输入的信号。
小波变换是将时间信号展开为小波函数族的线性叠加，小波变换的核函数是小波函数，它在时间和频率域内都是局部化的。
所以，小波变化可对信号同时在时－频域内进行联合分析。
小波变换分成两个大类：离散小波变换 (DWT) 和连续小波转换 (CWT)。
两者的主要区别在于，连续变换在所有可能的缩放和平移上操作，而离散变换采用所有缩放和平移值的特定子集。
小波分析的一个重要领域就是是图像处理。
小波分解可以把小波分层次按照小波基展开，并可以根据图像的性质及给定的图像处理标准确定具体要展开到哪一级，还可以把细节分量和近似分量展开，所以小波分析常用于信号的压缩、去噪等方面，是图像处理的一个极其重要的工具。
本报告中将具体实例说明小波分解在图像中的应用。
2. 小波变换应用包括去噪，图像的压缩，图像的融合以及水印技术。
2.1去噪原理：在实际工程应用中，通常所分析的信号具有非线性，非平稳,并且奇异点较多的特点。
含噪的一维信号模型可表示为：式1其中，f(t)为真实信号，s(t)为含噪信号，e(t)为噪声， σ为噪声标准偏差。
有用信号通常表现为低频信号或是相对比较平稳。
而噪声信号通常表现为高频信号。
利用小波对含噪的原始信号分解后，含噪部分主要集中在高频小波系数中，并且，包含有用信号的小波系数幅值较大，但数目少；而噪声对应的小波系数幅值小，数目较多。
基于上述特点，可以应用门限阈值法对小波系数进行处理。
（即对较小的小波系数置为０，较大的保留或削弱），然后对信号重构即可达到消噪的目的。
在去噪方面，小波分析由于能同时在时－频域中对信号进行分析，具有多分辨分析的功能，所以在不同的分解层上有效的区分信号的突变部分和噪声，从而实现信号的消噪。
(整理)小波分析报告
小波方法年级：研一专业：高压姓名：吕树明学号：0920300072第1章绪论小波分析(Wavelet Analysis)即小波变换是80年代中期发展起来的一门新兴的数学理论和方法，它被认为是傅立叶分析方法的突破性进展，它具有许多优良的特性。
小波变换的基本思想类似于Fourier变换，就是用信号在一族基函数张成的空间上的投影表征该信号。
经典的Fourier变换把信号按三角正、余弦基展开，将任意函数表示为具有不同频率的谐波函数的线性迭加，能较好地刻划信号的频率特性，但它在时空域上无任何分辨，不能作局部分析，这在理论和应用上都带来了许多不便。
小波分析优于傅立叶之处在于，小波分析在时域和频域同时具有良好的局部化性质，因为小波函数是紧支集，而三角正、余弦的区间是无穷区间，所以小波变换可以对高频成分采用逐渐精细的时域或空间域取代步长，从而可以聚焦到对象的任意细节。
因此，小波变换被誉为分析信号的显微镜，傅立叶分析发展史上的一个新的里程碑。
小波分析是一个新的数学分支，它是泛函分析、傅立叶分析、数值分析的最完美结晶;在应用领域，特别是在信号处理、图象处理、语音分析、模式识别、量子物理、生物医学工程、计算机视觉、故障诊断及众多非线性科学领域都有广泛的应用。
AbstractWavelet Analysis (order Wavelet), Wavelet transform is mid 80's developed a new mathematical theory and method, it is believed to be the Fourier Analysis method, it is the breakthrough of many excellent properties. The basic thought of wavelet transform is similar with Fourier signal in gens function of space projection lodged open like the signal representation. The Fourier transform of the classical signal by triangle is, the yankees will be arbitrarily, cosines with different frequency function for the linear superposition of harmonic function, can characterize the signal frequency characteristics, but when it without any resolution airspace, cannot make local analysis, it in theory and application are brought much inconvenience. Wavelet analysis is superior to Fourier, wavelet analysis in time domain and frequency domain, also have good properties, because the localization of wavelet function is tight, and triangle is a collection of interval is infinite, cosine interval, so the wavelet transformation of high frequency components can be refined by gradually replacing time or space domain, which can step length on any object to details. Therefore, the wavelet transform is regarded as the microscope, the analysis of signal in the history of the Fourier analysis, a new milestone. Wavelet analysis is a new branch of mathematics, it is the functional analysis, Fourier analysis, numerical analysis of the most perfect, In the fields of application, especially in the image processing and signal processing, analysis and pattern recognition, quantum physics, biomedical engineering, computer vision, fault diagnosis and nonlinear science is widely used in the field.Key words: wavelet Analysis, harmonic function, diagnosis第2章 傅立叶变换2.1周期信号的傅里叶级数任一满足狄利克雷条件的周期信号()f t （1T 为其周期）可展开为傅里叶级数。
小波实验1
哈尔滨工业大学小波理论及应用上机报告院（系）电气工程及自动化学院学科仪器仪表工程姓名陈鹏宇学号15S101121上机实验内容Butterworth滤波器实验一：滤波器一、实验内容Butterworth 滤波器冲击响应函数为：,0()0,0t Ae t h t t α-⎧≥=⎨<⎩若若 ⑴ 求()ˆhω； ⑵ 判断是否因果；是低通、高通、带通还是带阻？⑶ 对于信号3()(sin 22sin 40.4sin 2sin 40)t f t e t t t t -=++，0t π≤≤，画出()f t 图形；⑷ 画出滤波后图形()f h t *，比较滤波前后图形，你会发现什么，这里取10A α==⑸ 取()(sin5sin3sin sin 40),t f t e t t t t -=+++采用不同的变量值A α=()10A α==初始设定，画出原信号图形与滤波后图形，比较滤波效果 二、实验过程（1） 由连续傅里叶变换公式可求得()ˆhω： ()()0ˆi t t i t A h h t e dt Ae e dt i ωαωωαω+∞+∞----∞===+⎰⎰ (1) （2） 由冲击响应函数 h(t)可知，t<0时h(t)=0;可以得出滤波器为因果滤波器；由()ˆhω可知该信号的幅频特性为： ()H ω= (2) 当α1A ==时，其幅频特性曲线如图1所示，因此为低通滤波器。
图1 滤波器幅频特性（3）()f t，(b)为幅频特性f t的图形如图二所示，(a)为()图2 时域和频域图形（4）画出*()f h t的结果如图2所示，A= α = 10：图3 f*h(t)卷积结果其中图3（a）、（b）分别为原始信号f(t)的时域和频域，（c）、（d）为h t(A =α = 10)卷积后的信号的时域和频域图。
可以看出信号中高频分量被抑制，信号的信噪比明显改善了。
（5）实验中A和的取值，通过实验得到的结果分别如下：1)A= α = 102)A= α = 20，滤波时域和频域图形3)A= α= 100，滤波时域和频域图形4)A= α= 5，滤波时域和频域图形5)A= α= 1，滤波时域和频域图形图8 A= α= 1，滤波时域和频域图形通过对比各种参数滤波器的滤波效果，可以发现A值的大小会影响信号的幅值，A值越大滤波器对信号的放大作用越大，但噪声也被放大，而则影响滤波器的截止频率，越小h(t)的截止频率越小，对高频信号的滤除效果越好。
哈工大小波分析上机实验报告
小波分析上机实验报告院系：电气工程及自动化学院学科：仪器科学与技术实验一小波分析在信号压缩中的应用一、试验目的（1）进一步加深对小波分析进行信号压缩的理解；（2）学习Matlab中有关信号压缩的相关函数的用法。
二、相关知识复习用一个给定的小波基对信号进行压缩后它意味着信号在小波阈的表示相对缺少了一些信息。
之所以能对信号进行压缩是因为对于规则的信号可以用很少的低频系数在一个合适的小波层上和一部分高频系数来近似表示。
利用小波变换对信号进行压缩分为以下几个步骤来完成：（1）进行信号的小波分解；（2）将高频系数进行阈值量化处理。
对从1 到N 的每一层高频系数都可以选择不同的阈值并且用硬阈值进行系数的量化；（3）对量化后的系数进行小波重构。
三、实验要求（1）对于某一给定的信号（信号的文件名为leleccum.mat），利用小波分析对信号进行压缩处理。
（2）给出一个图像，即一个二维信号（文件名为wbarb.mat），利用二维小波分析对图像进行压缩。
四、实验结果及程序（1）load leleccum%将信号装入Matlab工作环境%设置变量名s和ls，在原始信号中，只取2600-3100个点s = leleccum(2600:3100); ls = length(s);%用db3对信号进行3级小波分解[c,l] = wavedec(s, 3, 'db3');%选用全局阈值进行信号压缩thr = 35;[xd,cxd,lxd,perf0,perfl2] = wdencmp('gbl',c,l,'db3',3,thr,'h',1);subplot(2,1,1);plot(s);title('原是信号s');subplot(2,1,2);plot(xd);title('压缩后的信号xd');图1 实验1压缩结果图2 不同阈值下实验1压缩结果（2）clear %清除Matlab工作环境中现有的变量load wbarb;%显示图像subplot(221); image(X); colormap(map);title('原始图像');axis square;disp('压缩前图像X的大小')whos('X')%==================================================== %对图像用bior3.7小波进行2层小波分解[c,s] = wavedec2(X,2,'bior3.7');%提取小波分解结构中第1层的低频系数和高频系数ca1 = appcoef2(c,s,'bior3.7',1);ch1 = detcoef2('h',c,s,1); %小波分解结构中第1层的水平方向高频系数cv1 = detcoef2('v',c,s,1); %小波分解结构中第1层的垂直方向高频系数cd1 = detcoef2('d',c,s,1); %小波分解结构中第1层的斜线方向高频系数%分别对小波分解结构中第1层的各频率成份进行重构a1 = wrcoef2('a',c,s,'bior3.7',1);h1 = wrcoef2('h',c,s,'bior3.7',1);v1 = wrcoef2('v',c,s,'bior3.7',1);d1 = wrcoef2('d',c,s,'bior3.7',1);c1 = [a1,h1;v1,d1];%显示分解后各频率成分的信息subplot(222);image(c1);axis squaretitle('分解后低频和高频信息');%==================================================== %下面进行图像的压缩处理%保留小波分解结构中第1层的低频信息，进行图像压缩%第1层的低频信息为ca1，显示第1层的低频信息%首先对第1层信息进行量化编码ca1 = wcodemat(ca1,440,'mat',0);%改变图像的亮度ca1 = 0.5*ca1;subplot(223);image(ca1);colormap(map);axis square;title('第一次压缩图像');disp('第一次压缩图像的大小为:')whos('ca1')%==================================================== %保留小波分解第二层低频信息，进行图像的压缩，此时压缩比更大%第2层的低频信息即为ca2，显示第2层的低频信息ca2 = appcoef2(c,s,'bior3.7',2);%首先对第2层低频信息进行量化编码ca2 = wcodemat(ca2,440,'mat',0);%改变图像的亮度ca2 = 0.25*ca2;subplot(224);image(ca2);colormap(map);axis square;title('第2次压缩图像');disp('第2次压缩图像的大小为');whos('ca2')图3 实验2压缩结果五、实验分析及结论（1）根据实验1压缩结果分析得到，压缩后的信号保持了原有信号的轮廓信息，即低频信息，而大部分细节信息（高频信息）得到了消除。
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小波分析上机实验报告院系：电气工程及自动化学院学科：仪器科学与技术实验一小波分析在信号压缩中的应用一、试验目的（1）进一步加深对小波分析进行信号压缩的理解；（2）学习Matlab中有关信号压缩的相关函数的用法。
二、相关知识复习用一个给定的小波基对信号进行压缩后它意味着信号在小波阈的表示相对缺少了一些信息。
之所以能对信号进行压缩是因为对于规则的信号可以用很少的低频系数在一个合适的小波层上和一部分高频系数来近似表示。
利用小波变换对信号进行压缩分为以下几个步骤来完成：（1）进行信号的小波分解；（2）将高频系数进行阈值量化处理。
对从1 到N 的每一层高频系数都可以选择不同的阈值并且用硬阈值进行系数的量化；（3）对量化后的系数进行小波重构。
三、实验要求（1）对于某一给定的信号（信号的文件名为leleccum.mat），利用小波分析对信号进行压缩处理。
（2）给出一个图像，即一个二维信号（文件名为wbarb.mat），利用二维小波分析对图像进行压缩。
四、实验结果及程序（1）load leleccum%将信号装入Matlab工作环境%设置变量名s和ls，在原始信号中，只取2600-3100个点s = leleccum(2600:3100); ls = length(s);%用db3对信号进行3级小波分解[c,l] = wavedec(s, 3, 'db3');%选用全局阈值进行信号压缩thr = 35;[xd,cxd,lxd,perf0,perfl2] = wdencmp('gbl',c,l,'db3',3,thr,'h',1);subplot(2,1,1);plot(s);title('原是信号s');subplot(2,1,2);plot(xd);title('压缩后的信号xd');图1 实验1压缩结果图2 不同阈值下实验1压缩结果（2）clear %清除Matlab工作环境中现有的变量load wbarb;%显示图像subplot(221); image(X); colormap(map);title('原始图像');axis square;disp('压缩前图像X的大小')whos('X')%==================================================== %对图像用bior3.7小波进行2层小波分解[c,s] = wavedec2(X,2,'bior3.7');%提取小波分解结构中第1层的低频系数和高频系数ca1 = appcoef2(c,s,'bior3.7',1);ch1 = detcoef2('h',c,s,1); %小波分解结构中第1层的水平方向高频系数cv1 = detcoef2('v',c,s,1); %小波分解结构中第1层的垂直方向高频系数cd1 = detcoef2('d',c,s,1); %小波分解结构中第1层的斜线方向高频系数%分别对小波分解结构中第1层的各频率成份进行重构a1 = wrcoef2('a',c,s,'bior3.7',1);h1 = wrcoef2('h',c,s,'bior3.7',1);v1 = wrcoef2('v',c,s,'bior3.7',1);d1 = wrcoef2('d',c,s,'bior3.7',1);c1 = [a1,h1;v1,d1];%显示分解后各频率成分的信息subplot(222);image(c1);axis squaretitle('分解后低频和高频信息');%==================================================== %下面进行图像的压缩处理%保留小波分解结构中第1层的低频信息，进行图像压缩%第1层的低频信息为ca1，显示第1层的低频信息%首先对第1层信息进行量化编码ca1 = wcodemat(ca1,440,'mat',0);%改变图像的亮度ca1 = 0.5*ca1;subplot(223);image(ca1);colormap(map);axis square;title('第一次压缩图像');disp('第一次压缩图像的大小为:')whos('ca1')%==================================================== %保留小波分解第二层低频信息，进行图像的压缩，此时压缩比更大%第2层的低频信息即为ca2，显示第2层的低频信息ca2 = appcoef2(c,s,'bior3.7',2);%首先对第2层低频信息进行量化编码ca2 = wcodemat(ca2,440,'mat',0);%改变图像的亮度ca2 = 0.25*ca2;subplot(224);image(ca2);colormap(map);axis square;title('第2次压缩图像');disp('第2次压缩图像的大小为');whos('ca2')图3 实验2压缩结果五、实验分析及结论（1）根据实验1压缩结果分析得到，压缩后的信号保持了原有信号的轮廓信息，即低频信息，而大部分细节信息（高频信息）得到了消除。
原有信号中的高频信息可能是噪声，也可能是信号本身，所以通过合理的选择阈值，可以得到不同的滤波效果或者是压缩效果。
（2）实验2是进行2维图像的压缩，根据压缩结果，原始图像大小为256*256，第一次压缩大小为135*135，第二次压缩大小为75*75。
显然，经过小波分解后得到了一系列的不同分辨率的图像，分解层数越多，低频区间越小，所提取的图像的信息越少，即图像压缩比也大。
但是，带来的结果是随着分解层数的增加，图像的质量越来越差。
因而，在对压缩比和图像质量都有较高要求时，只保留原始图像的低频信息是不够的，必须采用其他的编码方法。
实验二小波分析在信号奇异性检测中的应用一、试验目的（1）通过例子学习小波分析在一维信号奇异性检测中的应用；（2）学习Matlab中小波分解、重构相关函数的用法。
二、奇异性检测原理利用小波分析检测信号突变点的一般方法是：对信号进行多尺度分析，在信号出现突变时，其小波变换后的系数具有模极大值，因而可以通过对模极大值点的检测来确定故障发生的时间点。
通常情况下，信号的奇异性分两种情况，一种是信号在某一个时刻内其幅值发生突变，引起信号的非连续，幅值的突变处是第一种类型的间断点。
另一种是信号外观上很光滑，幅值没有突变，但是，信号的一阶微分有突变发生，且一阶微分是不连续的，成为第二种类型的间断点。
三、实验要求（1）对一个给定的含有突变点的信号（信号的文件名为freqbrk.mat，这个信号的不连续是由于低频的正弦信号在后半部分中）突然加入了高频特征的正弦信号，利用小波分析对信号突变点的时机进行检测。
（2）对某一给定的信号（它是由两个独立的满足指数方程的信号连接起来的），利用小波分析来检测出第二类间断点的准确位置。
四、实验结果及程序（1）load freqbrk;s = freqbrk;ls = length(s);[c,l] = wavedec(s,6,'db5');subplot(8,1,1);plot(s);title('用db5小波分解六层：s=a6+d6+d5+d4+d3+d2+d1');ylabel('s');%对分解结构[c,l]中的第六层低频部分进行重构a6 = wrcoef('a',c,l,'db5',6);subplot(8,1,2);plot(a6);ylabel('a6');%对分解结构[c,l]中的各层高频部分进行重构for i = 1 : 6decmp = wrcoef('d',c,l,'db5',7-i);subplot(8,1,i+2);plot(decmp);ylabel(['d',num2str(7-i)]);end图1 实验1奇异点检测结果（2）t=0:pi/200:2*pi;s1 = exp(t);s2 = exp(4*t);s = [s1,s2]; %整个信号subplot(5,1,1);plot(s);title('原始信号');ylabel('s');%计算信号的一阶微分ds = diff(s);%显示信号的一阶微分结果subplot(5,1,2); plot(ds);ylabel('s微分');[c,l] = wavedec(s,2,'db1');%对分解结构[c,l]中的第2层低频部分进行重构a2 = wrcoef('a',c,l,'db1',2);%显示重构结果subplot(5,1,3);plot(a2);ylabel('a2');for i=1:2decmp = wrcoef('d',c,l,'db1',3-i);subplot(5,1,i+3);plot(decmp);ylabel(['d', num2str(3-i)]);end图2实验2奇异点检测结果五、实验分析及结论（1）根据实验1的奇异点检测结果：第一层（d1）和第二层（d2）的高频部分将信号的不连续点显示的相当明显，即信号的断裂部分包含的是高频部分。
由图1知，大致第500个采样点为信号的奇异点，即重构信号中具有模极大值。
如果只需识别出信号的间断点，那么用db1小波比用db5小波的效果要好。
（2）根据第二种类型间断点的性质，信号很光滑，幅值没有突变，但是信号的一阶微分有突变发生，即一阶微分是不连续的。
实验2的奇异点检测结果：原始信号在时间轴上是连续的，对其进行多分辨分析，其细节信号明显地将该信号的第二类型间断点显现出来，即重构信号中具有模极大值。
根据小波分析结果知原始信号的间断点在第750个采样点以后，这与其一阶微分不连续的结论结果一致。