高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系教案新人教A版必修

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高一数学必修二2.1.3 2.1.4 直线与平面 平面与平面之间的位置关系练习题(解析版)

高一数学必修二2.1.3  2.1.4 直线与平面 平面与平面之间的位置关系练习题(解析版)

2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4 空间中平面与平面之间的位置关系一、选择题1.若a ∥α,b ∥α,则直线b a ,的位置关系是 ( )A.平行B.相交C.异面D.A 、B 、C 、均有可能2.直线与平面平行式指 ( )A.直线与平面内的无数条直线都无公共点B.直线上的两点到直线的距离相等C.直线与平面无公共点D.直线不在平面内3.有下列命题:①若直线在平面外,则这条直线与平面没有公共点②若直线与一个平面平行,则这条直线与平面内的任何一条直线都平行③若直线a 与平面α的一条直线平行,则直线a 与平面α也平行④两个平面有无数个公共点,则这两个平面的位置关系为相交或重合则正确命题的个数为 ( )A.0B.1C.2D.34.若三个平面两两相交,则它们交线的条数 ( )A .1条 B.2条 C.3条 D.1条或3条5.过平面外一条直线作与平面的平行平面 ( )A.必定可以且只能作一个B.至少可以作一个C.至多可以作一个D.一定不能作6.给出下列命题:①垂直于同一条直线的两条直线互相平行②垂直于同一个平面的两个平面互相平行③若直线b a ,与同一个平面所成的角相等,则b a ,互相平行④若直线b a ,是异面直线,则与b a ,都相交的两条直线是异面直线其中假命题的个数是 ( )A.1B.2C.3D.4二、填空题7.面α∥面β,直线α⊂a ,则直线a 与平面β的位置关系是______8.两直线a ,b 相互平行,且a ∥α,则b 与α的位置关系是______9.若平面α和这个平面外的一条直线m 同时垂直于直线n ,则直线m 与面α的位置关系是 _______10.一个平面内有无数条直线平行于另外一个平面,那么两个平面的位置关系为_____三、解答题11.用符号语言表述语句:“直线l 经过平面α内一定点P,但l 在平面α外”,并画图12.a a ,α⊄已知∥a b b 求证:,,α⊂∥α13.平面α内有无数条直线与平面β平行,那么α∥β是否正确?说明理由.答案2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系1.D2.C3.A4.D5.C6.D7.β//a 8.αα⊂b b 或// 9.平行 10.平行或相交11.略 12.略 13.略 14.略2.2.1 直线与平面平行的判定2.2.2 平面与平面平行的判定1.C2.A3.A4.C5.D6.C7.相交与或ααb b ,// 8.平行或相交 9.无数 110.M D BM M A A ACE BD 111,,,//连接中点取平面证明:CE BM BMEC ME BC ////为平行四边形,故,则易证= ACE BM MD AE 平面即同理//,//1M MD BM ACE MD =11// ,又平面111,//BMD BD ACE BMD 平面又平面故平面⊂ACE BD 平面所以//111.证明:连接AC C A ,11,,,,11O BD AC Q P EF MN C A 于交于分别交设 OQ AP ACC A OQ AP //,,11中,易证在矩形连接 1111//,//,//D B EF D B MN EFDB AP 又平面从而 MN EF //所以EFDB MN 平面所以//EFDB AMN 平面所以平面//12.略13.证明:如图所示,作相交两平面分别与γβα,,相交 f b e a //,////∴γαd b c a f de c //,////,//∴同理ββ//,//b a ∴βα//∴14.略。

高中数学人教版必修二2.1.3,2.14空间中直线与平面,平面与平面之间的位置关系

高中数学人教版必修二2.1.3,2.14空间中直线与平面,平面与平面之间的位置关系

①若a∥b,b,则a∥ ②若a∥,b∥,则
a∥b ③若a∥b,b∥,则a∥ ④若a∥,
b,则a∥b 新疆 王新敞 奎屯
其中正确命题的个数是
( A)
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个
巩固练习:
3.已知m,n为异面直线,m∥平面,n∥ 平面,∩=l,则l ( C ) (A)与m,n都相交 (B)与m,n中至少一条相交 (C)与m,n都不相交 (D)与m,n中一条相交
a
/ /
a
/
/
面//面
线//面
④ 1、下列正确的有

①直线 l 平行于平面 α 内的无数条直线,则 l∥α;
②若直线 a 在平面 α 外,则 a∥α;
③若直线 a∥b,直线 b⊂α,则 a∥α;
④若直线 a∥b,b⊂α,那么直线 a 就平行于平面 α 内的无数条直线.
B 2、若直线 a 不平行于平面 α 且 a α 内,则下列结论成立的是( )
∨ 任意一条直线都没有公共点。( )
复习引入: 1、空间两直线的位置关系 (1)相交;(2)平行;(3)异面 2.公理4的内容是什么? 平行于同一条直线的两条直线互相平行. 3.等角定理的内容是什么? 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么 这两个角相等或互补。 新疆
王新敞 奎屯
4.等角定理的推论是什么? 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行, 那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.
X X X
例4、判断下列命题的正确
(1)若直线 l上有无数个点不在平面 内,
则 l// 。( )
(2)若直线l与平面 平行,则l与平面 内的任
意一条直线都平行。(

(3)如果两条平行直线中的一条与一个平面平行, 那么另一条也与这个平面平行。( )

2.1.3-2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

2.1.3-2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

探究( 探究(二):平面与平面之间的位置关系
思考1:拿出两本书,看作两个平面, 思考1:拿出两本书,看作两个平面,上 1:拿出两本书 左右移动和翻转, 下、左右移动和翻转,它们之间的位置 关系有几种变化? 关系有几种变化? 思考2:如图,围成长方体 思考2:如图, 2:如图 ABCD-A′B′C′D′的 ABCD-A′B′C′D′的 D′ 六个面, 六个面,两两之间 A′ 的位置关系有几种? 的位置关系有几种? D
课堂练习( ):过平面外一点可作多 课堂练习(一):过平面外一点可作多 少条直线与这个平面平行? 少条直线与这个平面平行?无数条 若直线l平行于平面α 则直线 与平面 若直线 平行于平面α,则直线l与平面 平行于平面 内的直线的位置关系如何? α内的直线的位置关系如何? 平行或异面
P
l
α
α
课堂练习( ):若两条平行直线中有 课堂练习(二):若两条平行直线中有 一条平行于一个平面, 一条平行于一个平面,那么另一条也平 行于这个平面吗? 行于这个平面吗?
课堂练习( ):已知平面α 课堂练习(三):已知平面α,β和直 已知平面 ,则直 线a,b,且α∥β,a ⊂ α , b ⊂ β,则直 与平面β的位置关系如何?直线a 线a与平面β的位置关系如何?直线a与 直线b的位置关系如何? 直线b的位置关系如何?
a α
b β
理论迁移
给出下列四个命题: 例1 给出下列四个命题: (1)若直线 上有无数个点不在平面α内,则 (1)若直线l上有无数个点不在平面α 若直线 上有无数个点不在平面 l∥α. (×) ∥α. (2)若直线 与平面α平行, 与平面 若直线l与平面 与平面α (2)若直线 与平面α平行,则l与平面α内的 任意一条直线都平行. 任意一条直线都平行. (×) (3)如果两条平行直线中的一条与一个平面平 (3)如果两条平行直线中的一条与一个平面平 那么另一条也与这个平面平行. 行,那么另一条也与这个平面平行. (×) (4)若直线 与平面α平行, 与平面 若直线l与平面 与平面α (4)若直线 与平面α平行,则l与平面α内的 任意一条直线都没有公共点. 任意一条直线都没有公共点. ( ) 其中正确命题的个数共有__ __个 其中正确命题的个数共有__个. 1

人教A版高中数学二同步学习讲义:第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.1.3~2.1.4 含答案

人教A版高中数学二同步学习讲义:第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.1.3~2.1.4 含答案

2。

1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系学习目标 1.掌握直线与平面的三种位置关系,会判断直线与平面的位置关系.2.学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系.3。

掌握空间中平面与平面的位置关系.知识点一直线和平面的位置关系思考如图所示,在长方体ABCD—A1B1C1D1中线段BC1所在的直线与长方体的六个面所在的平面有几种位置关系?答案三种位置关系:(1)直线在平面内;(2)直线与平面相交;(3)直线与平面平行.梳理直线l与平面α的位置关系(1)直线l在平面α内(l⊂α).(2)直线l在平面α外l⊄α错误!知识点二两个平面的位置关系思考观察前面问题中的长方体,平面A1C1与长方体的其余各个面,两两之间有几种位置关系?答案两种位置关系:两个平面相交或两个平面平行.梳理平面α与平面β的位置关系位置关系图示表示法公共点个数两平面平行α∥β0个两平面相交α∩β=l无数个点(共线)类型一直线与平面的位置关系例1下列四个命题中正确命题的个数是()①如果a,b是两条直线,a∥b,那么a平行于经过b的任何一个平面;②如果直线a和平面α满足a∥α,那么a与平面α内的任何一条直线平行;③如果直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,b⊄α,那么b∥α;④如果a与平面α上的无数条直线平行,那么直线a必平行于平面α.A.0 B.1 C.2 D.3答案B解析如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,AA′∥BB′,AA′在过BB′的平面ABB′A′内,故命题①不正确;AA′∥平面BCC′B′,BC⊂平面BCC′B′,但AA′不平行于BC,故命题②不正确;③中,假设b与α相交,因为a∥b,所以a与α相交,这与a∥α矛盾,故b∥α,即③正确;④显然不正确,故答案为B。

反思与感悟空间中直线与平面只有三种位置关系:直线在平面内,直线与平面相交,直线与平面平行.本题借助几何模型判断,通过特例排除错误命题.对于正确命题,根据线、面位置关系的定义或反证法进行判断,要注意多种可能情形.跟踪训练1下列命题(其中a,b表示直线,α表示平面):①若a∥b,b⊂α,则a∥α;②若a∥α,b∥α,则a∥b;③若a∥b,b∥α,则a∥α;④若a∥α,b⊂α,则a∥b.其中正确命题的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3答案A解析如图所示,在长方体ABCD—A′B′C′D′中,AB∥CD,AB⊂平面ABCD,但CD⊂平面ABCD,故①错误;A′B′∥平面ABCD,B′C′∥平面ABCD,但A′B′与B′C′相交,故②错误;AB∥A′B′,A′B′∥平面ABCD,但AB⊂平面ABCD,故③错误;A′B′∥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,但A′B′与BC异面,故④错误.类型二平面与平面之间的位置关系错误!例2α、β是两个不重合的平面,下面说法中,正确的是() A.平面α内有两条直线a、b都与平面β平行,那么α∥βB.平面α内有无数条直线平行于平面β,那么α∥βC.若直线a与平面α和平面β都平行,那么α∥βD.平面α内所有的直线都与平面β平行,那么α∥β答案D解析A、B都不能保证α、β无公共点,如图1所示;C中当a∥α,a∥β时,α与β可能相交,如图2所示;只有D说明α、β一定无公共点.反思与感悟判断线线、线面、面面的位置关系,要牢牢地抓住其特征与定义、要有画图的意识,结合空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题,作出判断.跟踪训练2已知两平面α、β平行,且a⊂α,下列四个命题:①a与β内的所有直线平行;②a与β内无数条直线平行;③直线a与β内任何一条直线都不垂直;④a与β无公共点.其中正确命题的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4答案B解析①中a不能与β内的所有直线平行而是与无数条直线平行,有一些是异面;②正确;③中直线a与β内的无数条直线垂直;④根据定义a与β无公共点,正确.命题角度2两平面位置关系的作图例3(1)画出两平行平面;(2)画出两相交平面.解两个平行平面的画法:画两个平行平面时,要注意把表示平面的平行四边形画成对应边平行,如图a所示.两个相交平面的画法:第一步,先画表示平面的平行四边形的相交两边,如图b所示;第二步,再画出表示两个平面交线的线段,如图c所示;第三步,过b中线段的端点分别引线段,使它们平行且等于图c中表示交线的线段,如图d所示;第四步,画出表示平面的平行四边形的第四边(被遮住部分线段可画成虚线,也可不画),如图e 所示.引申探究在图中画出一个平面与两个平行平面相交.解跟踪训练3试画出相交于一点的三个平面.解如图所示(不唯一).1.下列图形所表示的直线与平面的位置关系,分别用符号表示正确的一组是()A.a⊄α,a∩α=A,a∥αB.a∉α,a∩α=A,a∥αC.a⊂α,a∩α=A,a∥αD.a∈α,a∩α=A,a∥α答案C解析直线在平面内用“⊂”,故选C.2.如图所示,用符号语言可表示为()A.α∩β=l B.α∥β,l∈αC.l∥β,l⊄αD.α∥β,l⊂α答案D3.若直线l不平行于平面α,且l⊄α,则()A.α内的所有直线与l异面B.α内不存在与l平行的直线C.α内存在唯一的直线与l平行D.α内的直线与l都相交答案B解析由题意知,直线l与平面α相交,则直线l与平面α内的直线只有相交和异面两种位置关系,因而只有选项B是正确的.4.经过平面外两点可作该平面的平行平面的个数是________.答案0或1解析若平面外两点所在直线与平面相交时,经过这两点与已知平面平行的平面不存在.若平面外两点所在直线与已知平面平行时,此时,经过这两点有且只有一个平面与已知平面平行.5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,分别指出直线B1C,D1B 与正方体六个面所在平面的关系.解根据图形,直线B1C⊂平面B1C,直线B1C∥平面A1D,与其余四个面相交,直线D1B与正方体六个面均相交.1.弄清直线与平面各种位置关系的特征,利用其定义作出判断,要有画图意识,并借助于空间想象能力进行细致的分析.2.长方体是一个特殊的图形,当点、线、面关系比较复杂时,可以寻找长方体作为载体,将它们置于其中,立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映.因而人们给它以“百宝箱"之称.课时作业一、选择题1.已知直线a在平面α外,则()A.a∥αB.直线a与平面α至少有一个公共点C.a∩α=AD.直线a与平面α至多有一个公共点答案D解析因已知直线a在平面α外,所以a与平面α的位置关系为平行或相交,因此断定a∥α或断定a与α相交都是错误的,但无论是平行还是相交,直线a与平面α至多有一个公共点是正确的,故选D。

人教版数学必修二2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系 教案

人教版数学必修二2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系 教案

2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系教案教学目标:1.掌握直线与平面的三种位置关系,会判断直线与平面的位置关系。

2. 学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系.教学重点:直线与平面的三种位置关系及其作用.教学难点:直线与平面的三种位置关系及其作用问题提出1. 空间点与直线,点与平面分别有哪几种位置关系?2. 空间两直线有哪几种位置关系?探究:直线与平面之间的位置关系思考1:一支笔所在的直线与一个作业本所在的平面,可能有哪几种位置关系?思考2:如图,线段A ′B 所在直线与长方体ABCD-A ′B ′C ′D ′的六个面所在的平面各是什么位置关系?思考3:通过上面的观察和分析,直线与平面有三种位置关系有哪些?靠什么来划分呢?思考4:用图如何表示直线与平面的三种位置?如何用符号语言描述这三种位置关系?思考5:过平面外一点可作多少条直线与这个平面平行?若直线l 平行于平面α,则直线l 与平面α内的直线的位置关系如何?B A DCA' B'D' C'理论迁移例1 给出下列四个命题:(1)若直线l 上有无数个点不在平面α内,则l ∥α.(2)若直线l 与平面α平行,则l 与平面α内的任意一条直线都平行.(3)若直线l 与平面α平行,则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点.(4)若直线l 在平面α内,且l 与平面β平行,则平面α与平面β平行.其中正确命题的个数共有 __个.随堂练习:判断正误1、若直线l 上有无数个点不在平面α内,则l ∥α( )2、若直线l 与平面α平行,则l 与平面α内的任意一条直线都平行( )3、如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行( )4、如果平面外的两条平行直线中的一条直线与平面平行,那么另一条直线也与这个平面平行( )5、若直线l 与平面α平行,则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点( )巩固练习1.选择题(1)以下命题(其中a ,b 表示直线,α表示平面)①若a ∥b ,b ⊂α,则a ∥α ②若a ∥α,b ∥α,则a ∥b③若a ∥b ,b ∥α,则a ∥α ④若a ∥α,b ⊂α,则a ∥b其中正确命题的个数是 ( )(A )0个 (B )1个 (C )2个 (D )3个(2)已知a ∥α,b ∥α,则直线a ,b 的位置关系①平行;②垂直不相交;③垂直相交;④相交;⑤不垂直且不相交.其中可能成立的有 ( )(A )2个 (B )3个 (C )4个 (D )5个(3)如果平面α外有两点A 、B ,它们到平面α的距离都是a ,则直线AB 和平面α的位置关系一定是( )(A )平行 (B )相交 (C )平行或相交 (D )AB ⊂α(4)已知m ,n 为异面直线,m ∥平面α,n ∥平面β,α∩β=l ,则l ( )(A )与m ,n 都相交 (B )与m ,n 中至少一条相交(C )与m ,n 都不相交 (D )与m ,n 中一条相交(5)已知直线a 在平面α外,则 ( )(A )a ∥α (B )直线a 与平面α至少有一个公共点(C )a A α⋂= (D )直线a 与平面α至多有一个公共点课本49页练习课堂小结课外作业一、选择题: 1.下列命题中正确的是( )A .平行于同一个平面的两条直线平行B.垂直于同一条直线的两条直线平行C.若直线a与平面α内的无数条直线平行,则a∥αD.若一条直线平行于两个平面的交线,则这条直线至少平行于两个平面中的一个2.下列四个命题(1)存在与两条异面直线都平行的平面;(2)过空间一点,一定能作一个平面与两条异面直线都平行;(3)过平面外一点可作无数条直线与该平面平行;(4)过直线外一点可作无数个平面与该直线平行.其中正确的命题是()A.(1),(3)B.(2),(4)C.(1),(3),(4)D.(2),(3),(4)3.已知平面α∥平面β,直线a∥α,直线b∥β那么,a与b的关系必定是()A.平行或相交B.相交或异面C.平行或异面D.平行、相交或异面二、填空题:4.已知直线a∥b,a、b 平面α,直线c与a异面,且b与c不相交,则c与α的位置关系是_______.5.给你四个命题:①过直线外一点,有且只有一条直线与该直线平行②过直线外一点,有且只有一个平面与该直线平行③过平面外一点,有且只有一条直线与该平面平行④过平面外一点,有无数多条直线与该平面平行其中真命题为_____________(写出序号即可)6.三个平面两两相交,有三条交线,则这三条交线的位置关系为_____________.自我评价:_______________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________。

人教A版高中数学必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系课件

人教A版高中数学必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系课件

C D
B A
C1 D1
B1 A1
知识小结
实例引 入平面
平面的画 法和表示
点和平面的 位置关系
平面三 个公理
空间图形
文字叙述
符号表示
2.1.2空间中两直线的位置 关系
平面有知识(复习 )
判断下列命题对错: 1、如果一条直线上有一个点在一个平面上,则这条直线上
的所有点都在这个平面内。( )
2、将书的一角接触课桌面,这时书所在平面和课桌所在平
直线。(既不相交也不平行的两条直线) 判断:
(1)
m
β
m
l
α
l
直线m和l是异面直线吗?
(2)
,则 与 是异面直线
(3)a,b不同在平面 内,则a与b异面
异面直线的画法:
通常用一个或两个平面来衬托,异面直线
不同在任何一个平面的特点
a
b
b
a
b
a
2、空间中两直线的三种位置关系
1、相交
m P
l
2、平行
m l
b′

a′ θ O

若两条异面直线所成角为90°,则称它们互相垂直。 异面直线a与b垂直也记作a⊥b 异面直线所成角θ的取值范围:
例 3 在正方体ABCD—A1B1C1D1中指出下列各对线段所
成的角:
D1
C1
1)AB与CC1; 2)A1 B1与AC; A1
B1
3)A1B与D1B1。
1)AB与CC1所成的角 = 9 0°
4、平面的基本性质
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点,
那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
符号表示为:
P l, Pl.

空间点直线平面之间的位置关系(详细)

空间点直线平面之间的位置关系(详细)
两个平面的位置关系有且只有两种 ①两个平面平行——没有公共点 ②两个平面相交——有一条公共直线.
两个平面平行或相交的画法及表示
m
//
=m
探究1
,直线a、b,且//,a,b, 已知平面 、 则直线a与直线b具有怎样的位置关系?
a b

答:平行或异面
探究2 如果三个平面两两相交,那么它们的交线 有多少条?画出图形表示你的结论.
推论1 一条直线和直线外一点唯一确定一 个平面. l A C B 推论2 两条相交直线唯一确定一个平面. 推论3 两条平行直线唯一确定一个平面.
平面的基本性质
思考3:如果两个平面有一个公共点, 那么还会有其它公共点吗?如果有这些 公共点有什么特征?
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
2.1.2
空间中直线与直线 之间的位置关系
两条直线的位置关系
定义 不同在任何一个平面内的两条直线 叫做异面直线.
a
b
a
b
异面直线的图示
两条直线的位置关系
问题 关于异面直线的定义,你认为下列哪个说法 最合适? A. 空间中既不平行又不相交的两条直线;
B. 平面内的一条直线和这平面外的一条直线;
C. 分别在不同平面内的两条直线;
a

A
记为:a=A
直线与平面
(3)直线与平面平行
a
没有公共点

记为:a//
直线与平面
直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外 记为:a a//
a a
a=A 或
A

主要内容
直线与平面的位置关系
直线在平面内

2021_2022年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系1

2021_2022年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系1
• 因为b∥c,所以由公理2可知直线b与c确定一个平面β,同理 可知l⊂β.
• 因为平面α和平面β都包含着直线b与l,且l∩b=B,而由公
理2的推理2知:经过两条相交直线,有且只有一个平面,所
以平面α与平面β重合,所以直线a,b,c和l共面.
• 规律总结:(1)证明点线共面的主要依据:公理1、公理2及其 推论.
• [证明] 如右图所示,
• ∵PA∩PB=P, • ∴过PA,PB确定一个平面α. • ∴A∈α,B∈α. • ∵A∈l,B∈l, • ∴l⊂α. • ∴PA,PB,l共面.
3. 证明多点共线问题
• 例题3 已知△ABC在平面α外,AB∩α=P,AC∩α=R,
BC∩α=Q,如图.求证:P、Q、R三点共线.
自主预习
1.平面
描述
几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体抽象出 来的,是无限___延__展_____的
通常把水平的平面画成一个__平__行__四__边__形__,并且其锐 角画成45°,且横边长等于其邻边长的___2__倍,如图 1所示;如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强 立体感,被遮挡部分用__虚__线___画出来,如图2所示
练习1
(1)若点 M 在直线 a 上,a 在平面 α 内, 则 M,a,α 间的关系可记为________.
(2) 根 据 右 图 , 填 入 相 应 的 符 号 : A________平面 ABC,A________平面 BCD, BD________平面 ABC,平面 ABC∩平面 ACD =________.
• (2)公理2中“有且只有一个”的含义要准确理解,这里的“有 ”是说图形存在,“只有一个”是说图形唯一,强调的是存在 和唯一两个方面,因此“有且只有一个”必须完整地使用,不 能仅用“只有一个”来代替,否则就没有表达出存在性.确定 一个平面中的“确定”是“有且只有”的同义词,也是指存在 性和唯一性这两个方面,这个术语今后也会常常出现.

高中数学必修2第二章点、线、面的位置关系知识点+习题+答案

高中数学必修2第二章点、线、面的位置关系知识点+习题+答案

D B A α 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; ] ]; a 来表 a a 线线平行 A ·α C ·B · A · α P· αLβ 共面直线p线面平行 面面平行 作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行叫做垂足。

叫做垂足。

的垂线,则这两个ba第 3 页 共 3 页aa b a b //,a a a ÞþýüË^^1、性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。

符号表示:符号表示:b a b a //,Þ^^a a 2、性质定理:一条直线与一个平行垂直,那么过这条直线的平面也与此平面垂直 符号表示:b a b a ^ÞÌ^a a ,2.3.4平面与平面垂直的性质1、性质定理:、性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

符号表示:b b a a b a ^Þïþïýü=^Ì^a l l a a ,2、性质定理:垂直于同一平面的直线和平面平行。

符号表示:符号表示:符号表示:一、异面直线所成的角一、异面直线所成的角1.已知两条异面直线,a b ,经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ¢¢, 我们把a ¢与b ¢所成的锐角(或直角)叫异面直线,a b 所成的角。

所成的角。

2.角的取值范围:090q <£°;垂直时,异面直线当b a ,900=q二、直线与平面所成的角二、直线与平面所成的角1. 定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫这条斜线和这个平面所成的角2.角的取值范围:°°££900q 。

三、两个半平面所成的角即二面角:三、两个半平面所成的角即二面角: 1、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

人教A高二数学必修二第二章点直线平面之间的位置关系212空间中直线与直线之间的位置关系课件共36

人教A高二数学必修二第二章点直线平面之间的位置关系212空间中直线与直线之间的位置关系课件共36
H E 2
2 3 D 2 3
G F C B
在Rt△EFG中,求得∠EGF = 45°,
所以 BC与EG所成的角为45°. (2)因为BF∥AE,
A
所以∠FBG(或其补角)为所求.
在Rt△BFG中,求得∠FBG = 60°,
相交直线 空间两直线的位置关系
平行直线
异面直线
异面直线的定义
异面直线
异面直线的画法 两异面直线所成的角 一作(找)二证三求
边形叫做空间四边形ABCD.
A
相对顶点A与C,B与D的连线AC, BD叫做这个空间四边形的对角线.
B
C
D
【即时训练】
如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,判断下列直线的位置关系:
平行 ; (1)直线 A1B 与直线 D1C 的位置关系是________ 异面 ; (2)直线 A1B 与直线 B1C 的位置关系是________ 相交 ; (3)直线 D1D 与直线 D1C 的位置关系是________ 异面 . (4)直线 AB 与直线 B1C 的位置关系是________
b a′ ? O a b′ a′
θ
O
平 移
若两条异面直线所成的角为90°,则称它们互相垂直. 异面直线a与b垂直也记作a⊥b. 异面直线所成的角θ 的取值范围: 0 o < 90 o
例2
如图,已知正方体ABCD-A′B′C′D′.
(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线?
(2)直线BA′和CC′的夹角是多少? ( 3 )哪些棱所在的直线与直线AA′垂直? 解 : (1)由异面直线的定义可知, 与直线BA′成异面直线的有直线 B′C′,AD,CC′,DD′,DC,D′C′.

必修二2.1.空间点、直线、平面之间的位置关系(教案)

必修二2.1.空间点、直线、平面之间的位置关系(教案)

人教版新课标普通高中◎数学 2 必修(A 版)第二章点、直线、平面之间的位置关系2. 1空间点、直线、平面之间的位置关系教案 A第 1 课时教学内容: 2. 1. 1平面教学目标一、知识与技能1.利用生活中的实物对平面进行描述,掌握平面的表示法及水平放置的直观图;2.掌握平面的基本性质及作用,提高学生的空间想象能力.二、过程与方法在师生的共同讨论中,形成对平面的感性认识.三、情感、态度与价值观通过实例认识到我们所处的世界是一个三维空间,进而增强了学习的兴趣.教学重点、难点教学重点:1.平面的概念及表示;2.平面的基本性质,注意它们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言.教学难点:平面基本性质的掌握与运用.教学关键:让学生理解平面的概念,熟记平面的性质及性质的应用,使学生对平面的概念及其性质由感性认识上升到理性认识.教学突破方法:对三个公理要结合图形进行理解,清楚其用途.教法与学法导航教学方法:探究讨论,讲练结合法.学习方法:学生通过阅读教材,联系身边的实物思考、交流,师生共同讨论等,从而较好地完成本节课的教学目标.教学准备教师准备:投影仪、投影片、正(长)方形模型、三角板.学生准备:直尺、三角板.教学过程教学教学内容师生互动设计过程意图创设什么是平面?师:生活中常见的如黑板、情境一些能看得见的平面实桌面等,给我们以平面的印象,形成平导入例 .你们能举出更多例子吗?那么面的概新课平面的含义是什么呢?这就是念我们这节课所要学习的内容 .1教师备课系统──多媒体教案续上表1.平面含义随堂练习判定下列命题是否正确:主题① 书桌面是平面;探究② 8 个平面重叠起来要比合作 6 个平面重叠起来厚;交流③ 有一个平面的长是50m,宽是 20m;④平面是绝对的平,无厚度,可以无限延展的抽象的数学概念 .师:以上实物都给我们以平面的印象,几何里所说加强对知的平面,就是从这样的一些识的理解物体中抽象出来的,但是,培养,自几何里的平面是无限延展觉钻研的的 .学习习惯 . 数形结合,加深理解 .2.平面的画法及表示师:在平面几何中,怎(1)平面的画法:水平放样画直线?(一学生上黑板置的平面通常画成一个平行四画)边形,锐角画成 45°,且横边之后教师加以肯定,解说、画成邻边的 2 倍长(如图).类比,将知识迁移,得出平面的画法:D CαA B如果几个平面画在一起,主题当一个平面的一部分被另一个探究平面遮住时,应画成虚线或不合作画(打出投影片).交流(2)平面通常用希腊字母α、β、γ等表示,如平面α、平面β等,也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面 AC 、平面 ABCD等.(3)平面内有无数个点,平面可以看成点的集合 .点 A 在平面α内,记作:A ∈ α ; 点B 在平面α外,记作: Bα.β通过类比α探索,培养学生知识迁移能β力,加强知识的系统性 .α·B·Aα2续上表人教版新课标普通高中◎数学 2 必修(A 版)3.平面的基本性质公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.A Bα· C··教师引导学生思考教材P41 的思考题,让学生充分发表自己的见解 .师:把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边,可以看到,直尺的整个边缘就落在了桌面上,用事实引导学生归纳出公理主题探究合作交流符号表示为A ∈ LB∈ L? L ? α.A ∈ αB∈ α公理 1:判断直线是否在平面内.公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面 .A· Bα·L符号表示为: A 、B、C 三点不共线 ? 有且只有一个平面α,使A ∈ α、 B∈ α、 C∈ α.公理 2 作用:确定一个平面的依据 .公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 .βPα·L符号表示为: P∈ α∩β? α∩β =L,且P∈ L .公理 3 作用:判定两个平面是否相交的依据 .1.教师引导学生阅读教材P42 前几行相关内容,并加以解析.师:生活中,我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等.通过类比引导学生归纳出公理探索,培2.养学生知教师用正(长)方形识迁移能模型,让学生理解两个平力,加强面的交线的含义.知识的系注意:( 1)公理中“有统性 .且只有一个”的含义是:“有”,是说图形存在,“只有一个”,是说图形唯一,“有且只有一个平面”的意思是说“经过不在同一直线上的三个点的平面是有的,而且只有一个”,也即不共线的三点确定一个平面.“ 有且只有一个平面”也可以说成“确定一个平面 . ”引导学生阅读P42 的思考题,从而归纳出公理3.3教师备课系统──多媒体教案续上表拓展 4. 教材 P43 例 1教师及时评价和纠正同创新通过例子,让学生掌握图形学的表达方法,规范画图和巩固应用中点、线、面的位置关系及符号符号表示 .提高.提高的正确使用 .1.平面的概念,画法及表示方法 .培养学2.平面的性质及其作用.生归纳3.符号表示.整合知4.注意事项.学生归纳总结、教师给识能小结力,以予点拨、完善并板书 .及思维的灵活性与严谨性 .课堂作业1.下列说法中,(1)铺得很平的一张白纸是一个平面;( 2)一个平面的面积可以等于 6cm 2;( 3)平面是矩形或平行四边形的形状. 其中说法正确的个数为().A . 0 B . 1 C. 2 D . 32.若点 A 在直线 b 上,在平面内,则 A, b,之间的关系可以记作().A . A b B. A b C. A b D . A b3.图中表示两个相交平面,其中画法正确的是().A B C D4.空间中两个不重合的平面可以把空间分成()部分.答案: 1. A 2. B 3. D 4. 3 或 4第 2 课时教学内容2.1. 2 空间中直线与直线之间的位置关系教学目标一、知识与技能1.了解空间中两条直线的位置关系;4人教版新课标普通高中◎数学 2 必修(A 版)2.理解异面直线的概念、画法,提高空间想象能力;3.理解并掌握公理 4 和等角定理;4.理解异面直线所成角的定义、范围及应用.二、过程与方法1.经历两条直线位置关系的讨论过程,掌握异面直线所成角的基本求法.2.体会平移不改变两条直线所成角的基本思想和方法.三、情感、态度与价值观感受到掌握空间两直线关系的必要性,提高学习兴趣.教学重点、难点教学重点1.异面直线的概念 .2.公理 4 及等角定理 .教学难点异面直线所成角的计算.教学关键提高学生空间想象能力,结合图形来判断空间直线的位置关系,使学生掌握两异面直线所成角的步骤及求法 .教学突破方法结合图形,利用不同的分类标准给出空间直线的位置关系,由两异面直线所成角的定义求其大小,注意两异面直线所成角的范围.教法与学法导航教学方法探究讨论法.学习方法学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括,从而较好地完成教学目标.教学准备教师准备投影仪、投影片、长方体模型、三角板.学生准备三角板 .教学过程详见下表 .教学教学内容师生互动设计环节意图创设通过身边实物,相互设疑激情境异面直线的概念:不同在任何一个交流异面直线的概念.趣点出导入平面内的两条直线叫做异面直线.师:空间两条直线有主题.新课多少种位置关系?1. 空间的两条直线的位置关系教师给出长方体模多媒体5教师备课系统──多媒体教案相交直线:同一平面内,有且只有型,引导学生得出空间的演示提一个公共点;两条直线有如下三种关高上课平行直线:同一平面内,没有公共系.效率 .探索点;异面直线:不同在任何一个平面内,教师再次强调异面直新知没有公共点 .线不共面的特点.师生互异面直线作图时通常用一个或两个动,突平面衬托,如下图:破重点 .2. 平行公理师:在同一平面内,例 2 的思考:长方体ABCD-A'B'C'D' 中,如果两条直线都与第三条讲解让BB' ∥AA', DD' ∥AA',那么 BB' 与直线平行,那么这两条直学生掌DD' 平行吗?线互相平行 . 在空间中,是握了公否有类似的规律?理 4 的运用.生:是.强调:公理 4 实质上探索是说平行具有传递性,在新知公理 4:平行于同一条直线的两条平面、空间这个性质都适直线互相平行 .用.符号表示为:设a、b、c 是三条直线如果 a//b, b//c,那么 a//c.例 2 空间四边形ABCD 中, E、 F、G、 H 分别是AB 、BC 、 CD 、 DA 的中点.求证:四边形 EFGH 是平行四边形 .续上表3. 思考:在平面上,我们容易证明让学生观察、思考:等角定“如果一个角的两边与另一个角的两边理为异探索分别平行,那么这两个角相等或互补”.面直线新知空间中,结论是否仍然成立呢?所成的等角定理:空间中如果两个角的两角的概边分别对应平行,那么这两个角相等或念作准6人教版新课标普通高中◎数学 2 必修(A 版)互补 .∠ ADC与A'D'C' 、备.∠ ADC与∠ A'B'C'的两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何?生:∠ ADC = A'D'C' ,∠ ADC +∠ A'B'C' = 180°4.异面直线所成的角如图,已知异面直线 a、b,经过空探索间中任一点 O 作直线 a'∥ a、b'∥ b,我新知们把 a'与 b'所成的锐角(或直角)叫异面直线 a 与 b 所成的角(夹角).教师画出更具一般性的图形,师生共同归纳出如下等角定理.师:① a'与 b'所成的角的以教师大小只由 a、b 的相互位置讲授为来确定,与 O 的选择无关,主,师为了简便,点 O 一般取在生共同两直线中的一条上;交流,② 两条异面直线所成的导出异角θ∈( 0,π);面直线2所成的③ 当两条异面直线所成角的概探索的角是直角时,我们就说念 .新知这两条异面直线互相垂例 3 让直,记作 a⊥ b;学生掌④ 两条直线互相垂直,有握了如共面垂直与异面垂直两种何求异情形;面直线⑤ 计算中,通常把两条异所成的例 3(投影)面直线所成的角转化为两角,从条相交直线所成的角 .而巩固了所学知识 .续上表充分调动学拓展生动手创新教材 P49 练习 1、 2.生完成练习,教师当的积极应用堂评价 .性,教提高师适时7教师备课系统──多媒体教案给予肯定 .本节课学习了哪些知识内容?小结知2.计算异面直线所成的角应注意什学生归纳,然后老师补识,形小结么?充、完善.成整体思维.课堂作业1. 异面直线是指().A.空间中两条不相交的直线B.分别位于两不同平面内的两条直线C.平面内的一条直线与平面外的一条直线D.不同在任何一个平面内的两条直线2.如右图所示,在三棱锥 P-ABC 的六条棱所在的直线中,异面直线共有().A. 2 对 B . 3 对 C. 4 对 D. 6 对3.正方体 ABCD-A 1B1C1D1中与棱AA1平行的棱共有().A. 1 条 B . 2 条 C. 3 条 D. 4 条4.空间两个角、,且与的两边对应平行,若=60 °,则的大小为()..答案: 1. D 2.B 3. C 4. 60 °或 120°第 3 课时教学内容8人教版新课标普通高中◎数学 2 必修(A 版)2. 1. 3 空间中直线与平面之间的位置关系 2. 1. 4 平面与平面之间的位置关系教学目标一、知识与技能1.了解空间中直线与平面的位置关系,了解空间中平面与平面的位置关系;2.提高空间想象能力 .二、过程与方法1.通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握;2.利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识.三、情感、态度与价值观感受空间中图形的基本位置关系,形成严谨的思维品质.教学重点、难点教学重点空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系.教学难点用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系.教学关键借助图形,使学生清楚直线与平面,平面与平面的分类标准,并能依据这些标准对直线与平面、平面与平面的位置关系进行分类及判定.教学突破方法恰当地利用图形,用符号语言表述直线与平面、平面与平面的位置关系.教法与学法导航教学方法借助实物,让学生观察事物、思考关系,讲练结合,较好地完成本节课的教学目标.学习方法探究讨论,自主学习法.教学准备教师准备多媒体课件,投影仪,三角板,直尺.学生准备三角板,直尺.教学过程详见下表 .教学教学内容师生互动设计过程意图创设问题1:空间中直线和直线有几生 1:平行、相交、异复习9教师备课系统──多媒体教案情境种位置关系?面;回顾,导入问题 2:一支笔所在的直线和一生 2:有三种位置关系:激发新课个作业本所在平面有几种位置关(1)直线在平面内;学习系?(2)直线与平面相交;兴趣 .(3)直线与平面平行.师肯定并板书,点出主题 .1.直线与平面的位置关系 .师:有谁能讲出这三种( 1)直线在平面内——有无数位置有什么特点吗?个公共点 .生:直线在平面内时二( 2)直线与平面相交——有且者有无数个公共点 .仅有一个公共点 .直线与平面相交时,二( 3)直线在平面平行——没有者有且仅有一个公共点 .公共点 .直线与平面平行时,三其中直线与平面相交或平行的者没有公共点(师板书).情况,统称为直线在平面外,记作师:我们把直线与平面加强a.相交或直线与平面平行的对知直线 a 在面内的符号语言是情况统称为直线在平面外 .识的a. 图形语言是:师:直线与平面的三种理解位置关系的图形语言、符号培养,主题语言各是怎样的?谁来画自觉探究图表示一个和书写一下 .钻研合作学生上台画图表示 .的学交流直线 a 与面相交的 a∩ = A.师;好 . 应该注意:画习习图形语言是符号语言是:直线在平面内时,要把直线惯,数画在表示平面的平行四边形结形内;画直线在平面外时,合,加应把直线或它的一部分画深理在表示平面的平行四边形解 .外 .直线 a 与面平行的符号语言是a∥. 图形语言是:10人教版新课标普通高中◎数学 2 必修(A 版)续上表2.平面与平面的位置关系师:下面请同学们思考以( 1)问题 1:拿出两本书,看下两个问题(投影).作两个平面,上下、左右移动和翻生:平行、相交 .转,它们之间的位置关系有几种?师:它们有什么特点?( 2)问题 2:如图所示,围成生:两个平面平行时二者长方体 ABCD –没有公共点,两个平面相交A′B′C′D′的六个时,二者有且仅有一条公共直通过面,两两之间的线(师板书).类比位置关系有几师:下面请同学们用图形探索,种?和符号把平面和平面的位置培养主题关系表示出来⋯⋯学生( 3)平面与平面的位置关系探究——没有公师:下面我们来看几个例知识平面与平面平行合作子(投影例 1).迁移共点 .交流能力 .平面与平面相交——有且只有一条公共直线 .加强平面与平面平行的符号语言知识是∥ . 图形语言是:的系统性 .11教师备课系统──多媒体教案续上表拓展创新应用提高例 1 下列命题中正确的个数是( B ).①若直线 l 上有无数个点不在平面内,则 l∥ .②若直线l 与平面平行,则l与平面内的任意一条直线都平行 .③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行 .④若直线 l 与平面平行,则 l 与平面内的任意一条直线没有公共点 .A . 0B . 1 C. 2 D. 3例 2 已知平面∥,直线a,求证 a∥ .证明:假设 a 不平行,则 a在内或 a 与相交 .∴ a 与有公共点 .又 a.∴ a与有公共点,与面∥面矛盾 .∴∥ .学生先独立完成,然后讨例 1 通论、共同研究,得出答案. 教师过示范利用投影仪给出示范 .传授学师:如图,我们借助长方体生一个模型,棱 AA 1所在直线有无数点通过模在平型来研面究问题ABCD的方外,但法,加棱 AA 1深对概所在直线与平面ABCD 相交,所念的理以命题①不正确; A1B1所在直线解. 例 2平行于平面 ABCD ,A1B1显然不目标训平行于 BD,所以命题②不正确;练学生A1 B1∥AB,A1B1所在直线平行于思维的平面 ABCD ,但直线 AB平灵活,面 ABCD ,所以命题③不正确;并加深l 与平面平行,则 l 与无公对面面共点, l与平面内所有直线都平行、没有公共点,所以命题④正确,线面平应选 B .行的理师:投影例2,并读题,先解.让学生尝试证明,发现正面证明并不容易,然后教师给予引导,共同完成,并归纳反证法步骤和线面平行、面面平行的理解 .1.直线与平面、平面与平培养学面的位置关系 .生整合2.“正难到反”数学思想知识能与反证法解题步骤 .学生归纳总结、教师给予点力,以小结拨、完善并板书 .及思维3. “分类讨论”数学思想.的灵活性与严谨性 . 12人教版新课标普通高中◎数学 2 必修(A 版)课堂作业1.直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的().A .一条直线不相交B.两条直线不相交C.任意一条直线都不相交 D .无数条直线都不相交【解析】直线与平面平行,则直线与平面内的任意直线都不相交,反之亦然;故应选C.2. “平面内有无穷条直线都和直线l 平行”是“l //”的().A.充分而不必要条件 B .必要而不充分条件C.充分必要条件 D .即不充分也不必要条件【解析】如果直线在平面内,直线可能与平面内的无穷条直线都平行,但直线不与平面平行,应选 B.3.如图,试根据下列要求,把被遮挡的部分改为虚线:( 1)AB 没有被平面遮挡;( 2)AB 被平面遮挡.答案:略4.已知,,直线a,b,且∥,a,b,则直线 a 与直线 b 具有怎样的位置关系?【解析】平行或异面.5.如果三个平面两两相交,那么它们的交线有多少条?画出图形表示你的结论.【解析】三个平面两两相交,它们的交线有一条或三条.6.求证:如果过一个平面内一点的直线平行于与该平面平行的一条直线,则这条直线在这个平面内 .已知: l ∥,点P∈,P∈ m,m∥ l,求证: m.证明:设 l 与 P 确定的平面为,且= m′,则 l ∥ m′.又知 l ∥ m, m m P ,由平行公理可知,m 与 m′重合 .所以 m.13教师备课系统──多媒体教案教案 B第 1 课时教学内容: 2. 1. 1 平面教学目标1.了解平面的概念,掌握平面的画法、表示法及两个平面相交的画法;2.理解公理一、二、三,并能运用它们解决一些简单的问题;3.通过实践活动,感知数学图形及符号的作用,从而由感性认识提升为理性认识,注意区别空间几何与平面几何的不同,多方面培养学生的空间想象力.教学重点:公理一、二、三,实践活动感知空间图形.教学难点:公理三,由抽象图形认识空间模型.学法指导:动手实践操作,由模型到图形,由图形到模型不断感知.教学过程一、引入在平面几何中,我们已经了解了平面图形都是由点和线构成的,我们所做的一切都是在一个无形的平面中进行,请同学谈谈到底平面是什么样子的?可以举实例说明.在平面几何中,我们也知道直线是无限延伸的,我们是怎样表示这种无限延伸的?那么你认为平面是否有边界?你又认为如何去表示平面呢?二、新课以上问题经过学生分小组充分讨论,由各小组代表陈述你这样表示的理由?教师暂不作评判,继续往下进行 .实践活动:1.仔细观察教室,举出空间的点、线、面的实例.2.只准切三刀,请你把一块长方体形状的豆腐切成形状、大小都相同的八块.3.请你准备六根游戏棒,以每根游戏棒为一边,设法搭出四个正三角形.以上这些问题已经走出了平面的限制,是空间问题. 今后我们将研究空间中的点、线、面之间的关系.图 1问题:指出上述活动中几何体的面,并想想如何在一张纸上画出这个几何体?至此我们应感受到画几何体与我们的视角有一定的关系.练习一:试画出下列各种位置的平面.1.水平放置的平面2.竖直放置的平面14人教版新课标普通高中◎数学 2 必修(A 版)图 2( 1)图2(2)3.倾斜放置的平面图 34.请将以下四图中,看得见的部分用实线描出.图 4(1)图4(2)图4(3)图4(4)小结:平面的画法和表示法.我们常常把水平的平面画成一个平行四边形,用平行四边形表示一个平面,如图 5.平行四边形的锐角通常画成45o,且横边长等于其邻边长的 2 倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,我们常把被遮挡部分用虚线画出来,如图 6.βFA DA DααB E CB C图 5图 6图 7平面常用希腊字母, ,等表示(写在代表平面的平行四边形的一个角上),如平面、平面;也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点,或相对的两个顶点的大写英文字母作为平面的名称,图 5 的平面,也可表示为平面ABCD ,平面 AC 或平面BD .前面我们感受了空间中面与面的关系及画法,现在让我们研究一下点、线与一个平面会有怎样的关系?15教师备课系统──多媒体教案显然,一个点与一个平面有两种位置关系:点在平面内和点在平面外.我们知道平面内有无数个点,可以认为平面是由它内部的所有的点组成的点集,因此点和平面的位置关系可以引用集合与元素之间关系.从集合的角度,点 A 在平面内,记为A;点B在平面外,记为B (如图 7).再来研究一下直线与平面的位置关系.将学生分成小组,并动手实践操作后讨论:把一把直尺边缘上的任意两点放在桌面上,直尺的整个边缘就落在桌面上吗?请同学们再试着想一下,如何用图形表示直线与平面的这些空间关系?由“两点确定一条直线”这一公理,我们不难理解如下结论:公理 1如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内 .A l ,B l , 且 A, B,l.A l Bα图8例1 分别用符号语言、文字语言描述下列图形.AA aa图 9( 1)图 9( 2)图 9( 3)例 2 识图填空(在空格内分别填上, , ,).A____ a;A____ α,B____ a; B____ α,Aa____ α;a____ α = B,B bb____ α;B____ b.a图 10图 11问题情景:制作一张桌子,至少需要多少条腿?为什么?公理 2 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平A面 .CB实践活动:取出两张纸演示两个平面会有怎样的位置关α图 12系,并试着用图画出来 .图 12试问:如图13 是两个平面的另一种关系吗?(相对于同学们得出的关系)由平面的无限延展性,不难理解如下结论:公理 3如果两个不重合平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过这个公共点16人教版新课标普通高中◎数学 2 必修(A 版)的直线 .βP l 且P l.αP l图 13例 3如图14用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.l【分析】根据图形,先判断点、直线、平面之间的位置关系,然后用符号表示出来.【解析】在(1)中,l , a A , a B .l , a, b, a l P , B l P .在( 2)中,三、巩固练习教材 P43 练习 1— 4.四、课堂小结(1)本节课我们学习了哪些知识内容?(2)三个公理的内容及作用是什么?(3)判断共面的方法 .五、布置作业P51 习题 A 组 1, 2.第 2 课时教学内容: 2. 1. 2 空间中直线与直线之间的位置关系教学目标:一、知识目标1.了解空间中两条直线的位置关系;2.理解异面直线的概念、画法,培养学生的空间想象能力;3.理解并掌握公理 4.二、能力目标1.让学生在观察中培养自主思考的能力;17教师备课系统──多媒体教案2.通过师生的共同讨论培养合作学习的能力.三、情感、态度与价值观让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性,提高学生的学习兴趣.教学重点、难点教学重点: 1.异面直线的概念; 2.公理 4.教学难点:异面直线的概念.学法与教学用具1.学法:学生通过观察、思考与教师交流、概括,从而较好地完成本节课的教学目标;2.教学用具:多媒体、长方体模型、三角板.教学过程一、复习引入1.平面内两条直线的位置关系有(相交直线、平行直线).相交直线(有一个公共点);平行直线(无公共点).2.实例 . 十字路口——立交桥.立交桥中,两条路线 AB , CD 既不平行,又不相交(非平面问题).六角螺母DCA B二、新课讲解1.异面直线的定义不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.练习:在教室里找出几对异面直线的例子.注1:两直线异面的判别一 : 两条直线既不相交、又不平行.两直线异面的判别二 : 两条直线不同在任何一个平面内.合作探究一:分别在两个平面内的两条直线是否一定异面?答:不一定,它们可能异面,可能相交,也可能平行.空间两直线的位置关系:按平面基本性质分(1)同在一个平面内:相交直线、平行直线;( 2)不同在任何一个平面内:异面直线.按公共点个数分( 1)有一个公共点 : 相交直线;( 2)无公共点:平行直线、异面直线.2.异面直线的画法说明:画异面直线时,为了体现它们不共面的特点,常借助一个或两个平面来衬托. 18。

高一数学人教A版必修2课件2.1.3《空间中直线平面与与平面之间的位置关系》

高一数学人教A版必修2课件2.1.3《空间中直线平面与与平面之间的位置关系》

2
时的一般情况,而忽略了特殊情况.当 0或 时, 这样的
直线只有一条.
2
正解:(1)
当 (0, )时,这样的直线l有两条;
2
(2)当 0或 时,这样的直线l只有1条.
2
答案:C
基础强化
1.a∥b,且a与平面α相交,那么直线b与平面α的位置关系是( )
A.必相交
B.有可能平行
10.求证:过平面内一点,作平面内一直线的平行线必在此平面 内.
证明:设点A∈平面α,a 平面α,
∵A a,∴过点A存在直线b∥a.
设a,b确定的平面为β,则A∈β,且a∈β.∴平面α、β都是由点A和 直线a确定的平面.
∴α与β重合,∴b
α,故结论成立.
11.(湖北高考)已知a,b,c是直线,α、β是平面,给出下列命题: ①若a⊥b,b⊥c,则a∥c; ②若a∥b,b⊥c,则a⊥c; ③a∥α,b α,则a∥b; ④若a、b异面,且a∥β,则b与β相交; ⑤若a、b异面,则至多有一条直线与a、b都垂直.
3.特别提醒 (1)在解答直线与平面的有关问题时,要想像所有可能情况,思
考要全面.
(2)平行平面具有传递性,即α∥β,β∥γ α∥γ.
(3)本节内容可以以长方体为模型,抽象出直线与平面,平面与 平面的位置关系.
题型一 空间图形的画法
例1:分别按下列条件画出直观图. (1)a∩b=P,a∥平面α,b∩平面α=A; (2)平面α∩平面β=l,a∩平面β=A,a∥平面α. 解:根据题设及平面图形直观图的画法,得直观图如下图所示.
1.空间中直线与平面位置关系的分类
直线与平面的位置关系有且只有三种:
按公共点个数分类
直线和平面平行,

人教A版 必修二 第2章 2.1 2.1.3 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

人教A版 必修二 第2章 2.1 2.1.3 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

判断直线与平面的位置关系
例 1:两条相交直线 a、b 都在平面α内且都不在平面β内, ) 且平面α与β相交,则 a 和 b( A.一定与平面β都相交 B.至少一条与平面β相交 C.至多一条与平面β相交 D.可能与平面β都不相交 思维突破:设α∩β=c,∵若 a、b 都不与β相交,则 a∥c, b∥c,∴a∥b,这与 a、b 相交矛盾,故 a、b 中至少一条与β相 交. 答案:B
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解:(1)(2)是真命题,(3)(4)是假命题.
(3)会出现三点在这个平面的两侧且符合条件的情况,所以
这两个平面还可能相交. (4)会出现两个相交平面同时与另外一个平面垂直的情况, 如正方体中共顶点的三个面. 要判断一个命题是假命题,只需举出一个 反例;而要想说明一个命题是真命题,则需理论上的证明.
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1-1.下列命题:①若直线 l 平行于平面α内的无数条直线, 则 l∥α;②若直线 a 在平面α外,则 a∥α;③若直线 a∥b,直 线 b⊂α,则 a∥α;④若直线 a∥b,b⊂α,那么直线 a 就平行 于平面α内的无数条直线.其中真命题的个数为( A.1 个 B.2 个 A )
作AB⊥平面α于点B,BC⊥a1 于点C,BD⊥b1 于点D,记∠AOB
=θ1,∠BOC=θ2,(θ2=25°或65°), 则有cosθ=cosθ1· cosθ2, 因为0°≤θ≤90°,所以0≤cosθ≤cosθ2.
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当θ2=25°时,由θ≤cosθ≤cos25°,得 25°≤θ≤90°. 当θ2=65°时,由θ≤cosθ≤cos65°,得 65°≤θ≤90°. 故当θ<25°时,直线 l 不存在;
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人教版高中数学必修2(A版) 2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系 PPT课件

人教版高中数学必修2(A版) 2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系 PPT课件

变式训练: a∩b=A,P∈b,PQ∥a, 已知a α,b α, 求证:PQ α.
证明:∵PQ∥a,∴PQ、a确定一个平面, 设为β. ∴P∈β,a β,P a .又P∈α,a α, P a, 由推论1:过P、a有且只有一个平面, ∴α、β重合.∴PQ α.
小结:
空间中直线与平面之间的位置关系有几种?
A′ D′ D A B′
C′
C
B
讨论:若直线l上有两个点到平面α的距离相等, 讨论直线l与平面α的位置关系. 直线l与平面α的位置关系有两种情况(如图 3),直线与平面平行或直线与平面相交.
例2 已知直线a∥b∥c,直线l∩a=A,l∩b=B, l∩c=C. 求证:l与a、b、c共面.
• 证明:如图,∵a∥b, ∴a、b确定一个平面,设为α. ∵l∩a=A,l∩b=B,∴A∈α,B∈α. 又∵A∈l,B∈l,∴ABα,即l α. 同理b、c确定一个平面β,l β, ∴平面α与β都过两相交直线b与l. ∵两条相交直线确定一个平面, ∴α与β重合.故l与a、b、c共面.
直线与平面的位置关系有且只有三种:
(1)直线在平面内-----有无数个公共点
a
如图:
a

a
(2)直线在平面外:
a

①直线a和面α 相交 :
.
A
a A 如图:
②直线a和面α 平行 :
a //
a
如图:


则 l//



例1、判断下列命题的正确
(1)若直线 l 上有无数个点不在平面 内, (2)若直线l与平面 平行,则l与平面 内的任 意一条直线都平行。( ) (3)如果两条平行直线中的一条与一个平面平 行,那么另一条也与这个平面平行。( ) (4)若直线l与平面 平行,则l与平面 内的 任意一条直线都没有公共点。( )

高中人教版必修2数学课件第二章2.1.2精选ppt课件

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() A.2 对
B.3 对
C.6 对
D.12 对
解析:选 C.如图所示,在长方体 AC1 中,与对角线 AC1 成异面 直线位置关系的是:A1D1、BC、BB1、DD1、A1B1、DC,所以 组成 6 对异面直线.
3.如图,点 G、H、M、N 分别是三棱柱的顶点或所在棱的中 点,则表示直线 GH,MN 是异面直线的图形是________.
(1)判断两直线平行仍是立体几何中的一个重要组成部分,除了 平面几何中常用的判断方法以外,公理 4 也是判断两直线平行的 重要依据. (2)证明角相等,利用空间等角定理是常用的思考方法;另外也 可以通过证明两个三角形全等或相似来证明两角相等.在应用等 角定理时,应注意说明这两个角同为锐角、直角或钝角.
(2)异面直线所成的角 两条异面直线所成的角是由两条相交直线所成的角扩充而成的, 由平移原理可知,当两条异面直线在空间的位置确定后,它们所 成的角的大小也就随之确定了.
1.分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是( )
A.异面
B.平行
C.相交
D.以上均有可能
答案:D
2.长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有
章 点、直线、面之间的位置关系
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
1.会判断空间两直线的位置关系. 2.理解两异面直线的 定义,会求两异面直线所成的角. 3.能用公理 4 解决一些简单的相关问题.
1.空间直线的位置关系 (1)异面直线 ①定义:把不同在_任__何__一__个__平面内的两条直线叫做异面直线. ②画法:(通常用平面衬托)
A.6 C.5 答案:B
B.4 D.8
3.若正方体 ABCD-A1B1C1D1 中∠BAE=25°.

2.1.3空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系

2.1.3空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系

§2.1.3空间直线与平面之间的位置关系§2.1.4平面与平面之间的位置关系一、课前准备复习1:空间任意两条直线的位置关系有_______、_______、_______三种.复习2:异面直线是指________________________的两条直线,它们的夹角可以通过________ 的方式作出,其范围是___________.二、新课导学※探索新知探究一:空间直线与平面的位置关系问题:用铅笔表示一条直线,作业本表示一个平面,你试着比画,它们之间有几种位置关系? 观察:如图,直线A B 与长方体的六个面有几种位置关系?新知1:直线与平面位置关系只有三种:⑴直线在平面内——⑵直线与平面相交——⑶直线与平面平行——其中,⑵、⑶两种情况统称为直线在平面外.反思:⑴从交点个数方面来分析,上述三种关系对应的交点有多少个?请把结果写在新知1的“——”符号后面⑵请你试着把上述三种关系用图形表示出来,并想想用符号语言该怎么描述.探究二:平面与平面的位置关系问题:平面与平面的位置关系有几种?你试着拿两个作业本比画比画.观察:还是在长方体中,如图,你看看它的六个面两两之间的位置关系有几种?新知2:两个平面的位置关系只有两种:⑴两个平面平行——没有公共点⑵两个平面相交——有一条公共直线试试:请你试着把平面的两种关系用图形以及符号语言表示出来.※ 典型例题例1 下列命题中正确的个数是( )①若直线l 上有无数个点不在平面α内,则l ∥α.②若直线l 与平面α平行,则l 与平面α内的任意一条直线都平行.③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行.④若直线l 与平面α平行,则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点.A.0B.1C.2D.3例2 已知平面,αβ,直线,a b ,且α∥β,a α⊂,b β⊂,则直线a 与直线b 具有怎样的位置关系?练习1. 若直线a 不平行于平面α,且a α⊄,则下列结论成立的是( )A.α内的所有直线与a 异面B.α内不存在与a 平行的直线C.α内存在唯一的直线与a 平行D.α内的直线与a 都相交.2. 已知,,a b c 为三条不重合的直线,,,αβγ为三个不重合的平面:①a ∥c ,b ∥c ⇒a ∥b ;②a ∥γ,b ∥γ⇒a ∥b ;③a ∥c ,c ∥α⇒a ∥α;④a ∥γ,a ∥αα⇒∥γ;⑤a α⊄,b α⊂,a ∥b ⇒a ∥α.其中正确的命题是( )A.①⑤B.①②C.②④D.③⑤3. 已知a ∥α,b α⊂,则( ).A.a ∥bB.a 和b 相交C.a 和b 异面D.a 与b 平行或异面4. 四棱柱的的六个面中,平行平面有( ).A.1对B.1对或2对C.1对或2对或3对D.0对或1对或2对或3对5. 过直线外一点与这条直线平行的直线有___条;过直线外一点与这条直线平行的平面有____个.6. 若在两个平面内各有一条直线,且这两条直线互相平行,那么这两个平面的位置关系一定是______.7. 如果三个平面两两相交,那么它们的交线有多少条?画出图形表示你的结论。

高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1.1平面aa高一数学

高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1.1平面aa高一数学

2.点、直线、平面之间的位置(wèi zhi)关系及语言表达
文字语言表达
图形语言表达
点A在直线l上
点A在直线l外
点A在平面α内
2021/12/12
第十一页,共四十二页。
符号语言表达
A∈l .
A∉l
.
A∈α .
点 A 在平面α外 直线 l 在平面α内
直线 l 在平面α外
平面α,β相交于 l
2021/12/12
解:(1)点A在平面α内,点B不在平面α内. (2)直线(zhíxiàn)l在平面α内,直线m与平面α相交于点A,且点A不在直线l上. (3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q. 图形分别如图(1),(2),(3)所示.
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第二十四页,共四十二页。
题型二 点线共面
【思考】 过直线与直线外一点能否唯一确定一平面?两条相交直线能否唯一确定一平面?两条平 行直线呢? 提示(tíshì):由公理2,易证明上述三个问题中,均能唯一确定一平面.
2021/12/12
第三页,共四十二页。
②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,通过直观感知、操作确认、思辨论证,认识和理
解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定. 通过直观感知、操作确认,归纳(guīnà)出以下判定定理.
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行. 一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,则该直线与此平面垂直.

知识(zhī shi)探

1.平面
(1)平面的概念
几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的

高中数学必修2《第2章:点线面的位置关系(2.1空间点、直线、平面之间的位置关系)》学生版

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个性化辅导教案学员姓名科目年级高一授课时间课时 3 授课老师教学目标重点难点第二章:点线面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1平面平面[导入新知]1.平面的概念几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是无限延展的.2.平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形,它的锐角通常画成45°,且横边长等于其邻边长的2倍.如图①.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,把被遮挡部分用虚线画出来.如图②.3.平面的表示法图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.[化解疑难]几何里的平面有以下几个特点(1)平面是平的;(2)平面是没有厚度的;(3)平面是无限延展而没有边界的;平面的基本性质[导入新知]平面的基本性质公理内容图形符号公理1如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α⇒l⊂α公理2过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面A,B,C三点不共线⇒存在唯一的α使A,B,C∈α公理3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α,P∈β⇒α∩β=l,且P∈l[化解疑难]从集合角度理解点、线、面之间的关系(1)直线可以看成无数个点组成的集合,故点与直线的关系是元素与集合的关系,用“∈”或“∉”表示;(2)平面也可以看成点集,故点与平面的关系也是元素与集合的关系,用“∈”或“∉”表示;(3)直线和平面都是点集,它们之间的关系可看成集合与集合的关系,故用“⊂”或“⊄”表示.文字语言、图形语言、符号语言的相互转化[例1]根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系.(1)点P与直线AB;(2)点C与直线AB;(3)点M与平面AC;(4)点A1与平面AC;(5)直线AB与直线BC;(6)直线AB与平面AC;(7)平面A1B与平面AC.[解](1)点P∈直线AB;(2)点C∉直线AB;(3)点M∈平面AC;(4)点A1∉平面AC;(5)直线AB∩直线BC=点B;(6)直线AB⊂平面AC;(7)平面A1B∩平面AC=直线AB.[类题通法]三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的区别.[活学活用]1.根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关系,并画出相应的图形:(1)A∈α,B∉α;(2)l ⊂α,m∩α=A,A∉l;(3)P∈l,P∉α,Q∈l,Q∈α.点、线共面问题[例2]证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内.[解]已知:如图所示,l 1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C.求证:直线l1、l2、l3在同一平面内.证法1:(纳入平面法)∵l1∩l2=A,∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3=B,∴B∈l2.又∵l2⊂α,∴B∈α.同理可证C∈α.又∵B∈l3,C∈l3,∴l3⊂α.∴直线l1、l2、l3在同一平面内.证法2:(辅助平面法)∵l1∩l2=A,∴l1、l2确定一个平面α.∵l2∩l3=B,∴l2、l3确定一个平面β.∵A∈l2,l2⊂α,∴A∈α.∵A∈l2,l2⊂β,∴A∈β.同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内,又在平面β内.∴平面α和β重合,即直线l1、l2、l3在同一平面内.证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2,常用方法有(1)先由部分点、线确定一个面,再证其余的点、线都在这个平面内,即用“纳入法”;(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α,其余点、线确定另一个平面β,再证平面α与β重合,即用“同一法”;(3)假设不共面,结合题设推出矛盾,用“反证法”.[活学活用]2.下列说法正确的是()①任意三点确定一个平面②圆上的三点确定一个平面③任意四点确定一个平面④两条平行线确定一个平面A.①②B.②③C.②④D.③④共线问题[例3]已知△ABC在平面α外,其三边所在的直线满足AB∩α=P,BC∩α=Q,AC∩α=R,如图所示.求证:P,Q,R三点共线.[证明]法一:∵AB∩α=P,∴P∈AB,P∈平面α.又AB⊂平面ABC,∴P∈平面ABC.∴由公理3可知:点P在平面ABC与平面α的交线上,同理可证Q,R也在平面ABC与平面α的交线上.∴P,Q,R三点共线.法二:∵AP∩AR=A,∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α=P,AC∩α=R,∴平面APR∩平面α=PR.∵B∈平面APR,C∈平面APR,∴BC⊂平面APR.∵Q∈BC,∴Q∈平面APR,又Q∈α,∴Q∈PR,∴P,Q,R三点共线.[类题通法]点共线:证明多点共线通常利用公理3,即两相交平面交线的唯一性,通过证明点分别在两个平面内,证明点在相交平面的交线上,也可选择其中两点确定一条直线,然后证明其他点也在其上.3.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q,求证:B,Q,D1三点共线.2.证明三线共点问题[典例]如图,在四面体ABCD中,E,G分别为BC,AB的中点,F在CD上,H在AD上,且有DF∶FC=DH∶HA=2∶3.求证:EF,GH,BD交于一点.[解题流程]欲证EF、GH、BD交于一点,可先证两条线交于一点,再证此点在第三条直线上.由DF∶FC=DH∶HA=2∶3可得GE∥FH且GE≠FH,即EFHG是梯形,由此得到GH与EF交于一点.证明E 、F 、H 、G 四点共面―→EFHG 为梯形―→GH 和EF 交于一点O ―→证O ∈平面ABD ―→O ∈平面BCD ―→平面ABD ∩平面BCD =BD ―→O ∈BD ―→得出结论.[规范解答]因为E ,G 分别为BC ,AB 的中点,所以GE ∥AC .又因为DF ∶FC =DH ∶HA =2∶3,所以FH ∥AC ,从而FH ∥GE .∴GE ≠FH .(4分)故E ,F ,H ,G 四点共面.又因为GE =12AC ,FH =25AC ,所以四边形EFHG 是一个梯形,设GH 和EF交于一点O .(6分)因为O 在平面ABD 内,又在平面BCD 内,所以O 在这两平面的交线上,而这两个平面的交线是BD ,(9分)且交线只有这一条,所以点O 在直线BD 上.(10分)这就证明了GH 和EF 的交点也在BD 上,所以EF ,GH ,BD 交于一点.(12分)[名师批注]如何证明四点共面?,根据公理2的推论可知,本题可利用HF ∥GE 即可确定E ,F ,H ,G 四点共面.为什么GH 和EF 交于一点?,因为E ,F ,H ,G 四点共面,且GE 綊12AC ,HF 綊25AC ,所以GE ∥HF 且GE ≠HF ,即EFHG 为梯形,梯形两腰延长线必相交于一点.怎样确定第三条直线也过交点?只要证明交点在第三条直线上,这条直线恰好是分别过GH 和EF 的两个平面的交线.[活学活用]如图所示,在空间四边形各边AD ,AB ,BC ,CD 上分别取E ,F ,G ,H 四点,如果EF ,GH 交于一点P ,求证:点P 在直线BD 上.[随堂即时演练]1.若点Q在直线b上,b在平面β内,则Q,b,β之间的关系可记作()A.Q∈b∈βB.Q∈b⊂βC.Q⊂b⊂βD.Q⊂b∈β2.两个平面若有三个公共点,则这两个平面()A.相交B.重合C.相交或重合D.以上都不对3.下列对平面的描述语句:①平静的太平洋面就是一个平面;②8个平面重叠起来比6个平面重叠起来厚;③四边形确定一个平面;④平面可以看成空间中点的集合,它当然是一个无限集.其中正确的是________.4.设平面α与平面β交于直线l,A∈α,B∈α,且直线AB∩l=C,则直线AB∩β=________. 5.将下列符号语言转化为图形语言.(1)a⊂α,b∩α=A,A∉a.(2)α∩β=c,a⊂α,b⊂β,a∥c,b∩c=P.2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系空间两直线的位置关系[导入新知]1.异面直线(1)定义:不同在任何一个平面内的两条直线.(2)异面直线的画法2.空间两条直线的位置关系位置关系 特 点相交 同一平面内,有且只有一个公共点平行 同一平面内,没有公共点 异面直线不同在任何一个平面内,没有公共点[化解疑难]1.对于异面直线的定义的理解异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线.注意异面直线定义中“任何”两字,它指空间中的所有平面,因此异面直线也可以理解为:在空间中找不到一个平面,使其同时经过a 、b 两条直线.例如,如图所示的长方体中,棱AB 和B 1C 1所在的直线既不平行又不相交,找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线,故AB 与B 1C 1是异面直线.2.空间两条直线的位置关系①若从有无公共点的角度来看,可分为两类:直线⎩⎨⎧有且仅有一个公共点——相交直线,无公共点——⎩⎪⎨⎪⎧平行直线,异面直线.②若从是否共面的角度看,也可分两类:直线⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧相交直线,平行直线,不共面直线:异面直线.平行公理及等角定理[导入新知]1.平行公理(公理4)(1)文字表述:平行于同一条直线的两条直线互相平行.这一性质叫做空间平行线的传递性. (2)符号表述:⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c . 2.等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.3.异面直线所成的角(1)定义:已知两条异面直线a ,b ,经过空间任一点O 作直线a ′∥a ,b ′∥b ,我们把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角).(2)异面直线所成的角θ的取值范围:0°<θ≤90°. (3)当θ=π2时,a 与b 互相垂直,记作a ⊥b .[化解疑难]对平行公理与等角定理的理解公理4表明了平行的传递性,它可以作为判断两直线平行的依据,同时也给出了空间两直线平行的一种证明方法.等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的,它是公理4的直接应用,并且当这两个角的两边方向分别相同时,它们相等,否则它们互补.两直线位置关系的判定[例1]如图,正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,判断下列直线的位置关系: ①直线A 1B 与直线D 1C 的位置关系是________; ②直线A 1B 与直线B 1C 的位置关系是________; ③直线D 1D 与直线D 1C 的位置关系是________; ④直线AB 与直线B 1C 的位置关系是________.[解析] 直线D 1D 与直线D 1C 相交于D 1点,所以③应该填“相交”;直线A 1B 与直线D 1C 在平面A 1BCD 1中,且没有交点,则两直线平行,所以①应该填“平行”;点A 1、B 、B 1在平面A 1BB 1内,而C 不在平面A 1BB 1内,则直线A 1B 与直线B 1C 异面.同理,直线AB 与直线B 1C 异面.所以②④应该填“异面”.[答案] ①平行 ②异面 ③相交 ④异面 [类题通法]1.判定两条直线平行或相交的方法判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断,而两条直线平行也可以用公理4判断. 2.判定两条直线是异面直线的方法(1)定义法:由定义判断两直线不可能在同一平面内.(2)重要结论:连接平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言可表示为A∉α,B∈α,l⊂α,B∉l⇒AB与l是异面直线(如图).[活学活用]1.(2012·台州高一检测)如图,AA1是长方体的一条棱,这个长方体中与AA1异面的棱的条数是()A.6B.4C.5 D.82.若a,b,c是空间三条直线,a∥b,a与c相交,则b与c的位置关系是________.平行公理及等角定理的应用[例2]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分别是棱AD和A1D1的中点.(1)求证:四边形BB1M1M为平行四边形;(2)求证:∠BMC=∠B1M1C1.[证明](1)在正方形ADD1A1中,M、M1分别为AD、A1D1的中点,∴MM1綊AA1.又∵AA1綊BB1,∴MM1∥BB1,且MM1=BB1,∴四边形BB1M1M为平行四边形.(2)法一:由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,∴C1M1∥CM.由平面几何知识可知,∠BMC和∠B1M1C1都是锐角.∴∠BMC=∠B1M1C1.法二:由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,∴B1M1=BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,∴C1M1=CM.又∵B1C1=BC,∴△BCM≌△B1C1M1.∴∠BMC=∠B1M1C1.[类题通法]1.证明两条直线平行的方法:(1)平行线定义(2)三角形中位线、平行四边形性质等(3)公理42.空间中,如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补,当两个角的两边方向都相同时或都相反时,两个角相等,否则两个角互补,因此,在证明两个角相等时,只说明两个角的两边分别对应平行是不够的.[活学活用]3.如图,已知E ,F ,G ,H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ,BC ,CD ,DA 的中点.(1)求证:E ,F ,G ,H 四点共面;(2)若四边形EFGH 是矩形,求证:AC ⊥BD .两异面直线所成的角[例3] 如图,已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,A 1A =AB ,E 、F 分别是BD 1和AD 中点,求异面直线CD 1,EF 所成的角的大小.[解] 取CD 1的中点G ,连接EG ,DG ,∵E 是BD 1的中点,∴EG ∥BC ,EG =12BC .∵F 是AD 的中点,且AD ∥BC ,AD =BC ,∴DF ∥BC ,DF=12BC ,∴EG ∥DF ,EG =DF ,∴四边形EFDG 是平行四边形, ∴EF ∥DG ,∴∠DGD 1(或其补角)是异面直线CD 1与EF 所成的角.又∵A 1A =AB ,∴四边形ABB 1A 1,四边形CDD 1C 1都是正方形,且G 为CD 1的中点,∴DG ⊥CD 1,∴∠D 1GD =90°,∴异面直线CD 1,EF 所成的角为90°. [类题通法]求两异面直线所成的角的三个步骤(1)作:根据所成角的定义,用平移法作出异面直线所成的角; (2)证:证明作出的角就是要求的角; (3)计算:求角的值,常利用解三角形得出.可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角范围是(0°,90°]. [活学活用]4.已知ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体,求异面直线A 1C 1与B 1C 所成角的大小.2.探究空间中四边形的形状问题[典例] 如图,空间四边形ABCD 中,E ,F ,G ,H 分别是AB ,BC ,CD ,DA 的中点. 求证:四边形EFGH 是平行四边形. [证明] 连接BD .因为EH 是△ABD 的中位线, 所以EH ∥BD ,且EH =12BD .同理,FG ∥BD ,且FG =12BD .因此EH ∥FG . 又EH =FG ,所以四边形EFGH 为平行四边形. [多维探究] 1.矩形的判断本例中若加上条件“AC ⊥BD ”,则四边形EFGH 是什么形状?证明:由例题可知EH ∥BD ,同理EF ∥AC , 又BD ⊥AC , 因此EH ⊥EF ,所以四边形EFGH 为矩形. 2.菱形的判断本例中,若加上条件“AC =BD ”,则四边形EFGH 是什么形状? 证明:由例题知EH ∥BD ,且EH =12BD ,同理EF ∥AC ,且EF =12AC .又AC =BD , 所以EH =EF .又EFGH 为平行四边形, 所以EFGH 为菱形. 3.正方形的判断本例中,若加上条件“AC ⊥BD ,且AC =BD ”,则四边形EFGH 是什么形状? 证明:由探究1与2可知, EFGH 为正方形. 4.梯形的判断若本例中,E 、H 分别是AB 、AD 中点,F 、G 分别是BC ,CD 上的点,且CF ∶FB =CG ∶GD =1∶2,那么四边形EFGH 是什么形状?证明:由题意可知EH 是△ABD 的中位线,则EH ∥BD 且EH =12BD .又CF FB =CG GD =12, ∴FG ∥BD , FG BD =FC BC =13, ∴FG =13BD ,∴FG ∥EH 且FG ≠EH , ∴四边形EFGH 是梯形. [方法感悟]根据三角形的中位线、公理4证明两条直线平行是常用的方法.公理4表明了平行线的传递性,它可以作为判断两条直线平行的依据,同时也给出空间两直线平行的一种证明方法.[随堂即时演练]1.不平行的两条直线的位置关系是()A.相交B.异面C.平行D.相交或异面2.已知AB∥PQ,BC∥QR,∠ABC=30°,则∠PQR等于()A.30°B.30°或150°C.150°D.以上结论都不对3.已知正方体ABCD-EFGH,则AH与FG所成的角是________.4.正方体AC1中,E,F分别是线段C1D,BC的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是________.5.如图所示,空间四边形ABCD中,AB=CD,AB⊥CD,E、F分别为BC、AD的中点,求EF和AB所成的角.2.1.3 & 2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系空间中直线与平面的位置关系[导入新知]直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点无数个公共点一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α=A a∥α图形表示[化解疑难]1.利用公共点的个数也可以理解直线与平面的位置关系.(1)当直线与平面无公共点时,直线与平面平行.(2)当直线与平面有一个公共点时,直线与平面相交.(3)当直线与平面有两个公共点时,它们就有无数个公共点,这时直线在平面内.2.直线在平面外包括两种情形:a∥α与a∩α=A.空间中平面与平面的位置关系[导入新知]两个平面的位置关系位置关系图示表示法公共点个数两平面平行α∥β没有公共点两平面相交α∩β=l有无数个公共点(在一条直线上)[化解疑难]1.判断面面位置关系时,要利用好长方体(或正方体)这一模型.2.画两个互相平行的平面时,要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行.直线与平面的位置关系[例1]下列说法:①若直线a在平面α外,则a∥α;②若直线a∥b,直线b⊂α,则a∥α;③若直线a∥b,b⊂α,那么直线a就平行于平面α内的无数条直线.其中说法正确的个数为()A.0个B.1个C.2个D.3个[解析]对于①,直线a在平面α外包括两种情况:a∥α或a与α相交,∴a和α不一定平行,∴①说法错误.对于②,∵直线a∥b,b⊂α,则只能说明a和b无公共点,但a可能在平面α内,∴a不一定平行于α.∴②说法错误.对于③,∵a∥b,b⊂α,∴a⊂α或a∥α,∴a与平面α内的无数条直线平行.∴③说法正确.[答案] B[类题通法]空间中直线与平面只有三种位置关系:直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行.在判断直线与平面的位置关系时,这三种情形都要考虑到,避免疏忽或遗漏.另外,我们可以借助空间几何图形,把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中,以便于正确作出判断,避免凭空臆断.[活学活用]1.下列说法中,正确的个数是()①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交,那么另一条直线也和这个平面相交;②一条直线和另一条直线平行,它就和经过另一条直线的任何平面都平行;③经过两条异面直线中的一条直线,有一个平面与另一条直线平行;④两条相交直线,其中一条与一个平面平行,则另一条一定与这个平面平行.A.0 B.1C.2 D.3平面与平面的位置关系[例2](1)平面α内有无数条直线与平面β平行,问α∥β是否正确,为什么?(2)平面α内的所有直线与平面β都平行,问α∥β是否正确,为什么?[解](1)不正确.如图所示,设α∩β=l,则在平面α内与l平行的直线可以有无数条:a1,a2,…,a n,…,它们是一组平行线,这时a1,a2,…,a n,…与平面β都平行(因为a1,a2,…,a n,…与平面β无交点),但此时α与β不平行,α∩β=l.(2)正确.平面α内所有直线与平面β平行,则平面α与平面β无交点,符合平面与平面平行的定义.[类题通法]两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系类似,可以从有无公共点区分:如果两个平面有一个公共点,那么由公理3可知,这两个平面相交于过这个点的一条直线;如果两个平面没有公共点,那么就说这两个平面互相平行.这样我们可以得出两个平面的位置关系:①平行——没有公共点;②相交——有且只有一条公共直线.若平面α与β平行,记作α∥β;若平面α与β相交,且交线为l,记作α∩β=l.[活学活用]2.在底面为正六边形的六棱柱中,互相平行的面视为一组,则共有________组互相平行的面.与其中一个侧面相交的面共有________个.3.如图所示,平面ABC 与三棱柱ABC -A 1B 1C 1的其他面之间有什么位置关系?3.有关截面图形的形状问题[典例] 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点Q 是棱DD 1上的动点,判断过A ,Q ,B 1三点的截面图形的形状.[解题流程]欲判断过A ,Q ,B 1三点的截面图形的形状,需分析Q 点的位置.点Q 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱DD 1上的动点,首先讨论Q 位置.⎭⎪⎬⎪⎫点Q 与D 1重合点Q 与D 重合点Q 不与D ,D 1重合―→分别判断―→得出结论.[规范解答]由点Q 在线段DD 1上移动,当点Q 与点D 1重合时,截面图形为等边三角形AB 1D 1,如图甲.(4分)甲 [名师批注]因为Q是棱DD1上的动点,所以当Q与D1重合时,D1B1,AB1,AD1均为正方形的对角线,即D1B1=AB1=AD1,所以,△AB1D1为正三角形.当点Q与点D重合时,截面图形为矩形AB1C1D,如图乙.(8分)乙[名师批注]点Q在DD1上,两个端点是特殊位置,所以Q与D重合时,由DC1∥AB1知,截面是矩形AB1C1D.当点Q不与点D,D1重合时,截面图形为等腰梯形AQRB1,如图丙.(12分)丙[名师批注]当Q在DD1两点之间时,延长AQ交A1D1延长线于O点,连接B1O交C1D1于R点,则AB1RQ为截面图形.[活学活用]如图所示,G是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1延长线上的一点,E,F是棱AB,BC的中点.试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线.(1)过点G及AC;(2)过三点E,F,D1.[随堂即时演练]1.M∈l,N∈l,N∉α,M∈α,则有()A.l∥αB.l⊂αC.l与α相交D.以上都有可能2.如图所示,用符号语言可表示为()A.α∩β=lB.α∥β,l∈αC.l∥β,l⊄αD.α∥β,l⊂α3.平面α∥平面β,直线a⊂α,则a与β的位置关系是________.4.(2012·临沂高一检测)经过平面外两点可作该平面的平行平面的个数是________.5.三个平面α、β、γ,如果α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b,且直线c⊂β,c∥b.(1)判断c与α的位置关系,并说明理由;(2)判断c与a的位置关系,并说明理由.。

高中数学:空间点、直线、平面之间的位置关系 (17)

高中数学:空间点、直线、平面之间的位置关系 (17)
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③a.若直线 a⊂平面 α,a,b 异面,则 b 与 α 的关系为________. b.若直线 a⊂平面 α,a,b 相交,则 b 与 α 的关系为________. 【答案】 a.平行或相交 b.相交或 b⊂α
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题型二 平面与平面之间的位置关系 例 2 (1)已知平面 α,β ,且 α∥β ,直线 a⊂α,直线 b ⊂β,则直线 a 与直线 b 具有怎样的位置关系?画出图形. (2)已知平面 α,β,直线 a,b,且 a⊂α,b⊂β,α∩β= l,则直线 a 与直线 b 具有怎样的位置关系?画出图形.
B.m∥α D.m 在平面 α 外
【答案】 A
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②若直线 l∩平面 α=A,直线 b⊂α,则 l 与 b 的位置关系 为________.
【答案】 相交或异面
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③若直线 l∩平面 α=A,l 与直线 b 相交或异面,则 b 与 α 的位置关系为________.
【答案】 相交、平行或 b⊂α
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(3)若三个平面两两相交,则它们将空间分六、七或八个部分, 如图③,④,⑤.
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探究 3 本题考查了空间想象能力,分类讨论思想,相交平 面的画法.
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解立体几何题时,比如直线与几个平面之间的位置关系,你 可以把手中的笔当成直线,把课桌或者课本当作平面,把教室当 作长方体,这样就将抽象的东西变得具体了.平时,动手做一些 立体模型,如长方体、立方体、圆柱、圆锥、正四面体等几何体 模型,这些都是建立空间想象力的途径.
例 1 下列说法:
①若直线 l 平行于平面 α 内的无数条直线,则 l∥α;
②若直线 a 在平面 α 外,则 a∥α;
③若直线 a∥b,直线 b⊂α,则 a∥α;
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2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系
图1
图2
我们借助长方体模型,棱AA1所在直线有无数点在平面
图3
α的位置关系有两种情况(如图3
图4
确定一个平面,设为α.
精美句子
1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠,读出了它坦荡豪放的胸怀;读太阳,读出了它普照万物的无私;读春雨,读出了它润物无声的柔情。

读大海,读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰,读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝,意恐迟迟归”的牵挂;幸福是“春种一粒粟,秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下,悠然见南山”的闲适;幸福是“奇闻共欣赏,疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜,润物细无声”的奉献;幸福是“夜来风雨声,花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘,只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉,笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧,后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死,留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩:从秋叶的飘零中,我们读出了季节的变换;从归雁的行列中,我读出了集体的力量;从冰雪的消融中,我们读出了春天的脚步;从穿石的滴水中,我们读出了坚持的可贵;从蜂蜜的浓香中,我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子,如果害怕埋没,那它永远不能发芽。

鲜花,如果害怕凋谢,那它永远不能开放。

矿石,如果害怕焚烧(熔炉),那它永远不能成钢(炼成金子)。

蜡烛,如果害怕熄灭(燃烧),那它永远不能发光。

航船,如果害怕风浪,那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花,当你孤芳自赏时,天地便小了。

井底的蛙,当你自我欢唱时,视野便窄了。

笼中的鸟,当你安于供养时,自由便没了。

山中的石!当你背靠群峰时,意志就坚了。

水中的萍!当你随波逐流后,根基就没了。

空中的鸟!当你展翅蓝天中,宇宙就大了。

空中的雁!当你离开队伍时,危险就大了。

地下的煤!你燃烧自己后,贡献就大了
6、朋友是什么?
朋友是快乐日子里的一把吉它,尽情地为你弹奏生活的愉悦;朋友是忧伤日子里的一股春风,轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师,热情的将你引向阳光的地带;朋友是失败苦闷中的一盏明灯,默默地为你驱赶心灵的阴霾。

7、一粒种子,可以无声无息地在泥土里腐烂掉,也可以长成参天的大树。

一块铀块,可以平庸无奇地在石头里沉睡下去,也可以产生惊天动地的力量。

一个人,可以碌碌无为地在世上厮混日子,也可以让生命发出耀眼的光芒。

8、青春是一首歌,她拨动着我们年轻的心弦;青春是一团火,她点燃了我们沸腾的热血;青春是一面旗帜,她召唤着我们勇敢前行;青春是一本教科书,她启迪着我们的智慧和心灵。

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