2019中考数学复习提分专练四二次函数小综合试题
2019九年级数学复习：二次函数综合复习训练题含答案
2019-2020 年九年级数学复习：二次函数综合复习训练题(含答案 )一、填空题（每空 2 分，共 32 分）1. 二次函数 y=2x 2 的极点坐标是，对称轴是 。
2. 函数 y=(x － 2) 2+1 张口，极点坐标为，当时， y 随 x 的增大而减小。
3. 若点（ 1，5），（ 3，5）是抛物线 y=ax 2+bx+c 上的两点，则这条抛物线的对称轴是 ________4.一个对于 x 的二次函数，当 x=－ 2 时，有最小值－ 5，则这个二次函数图象张口必定5. 二次函数 y=3x 2－ 4x+1 与 x 轴交点坐标，当时， y>0。
6. 已知二次函数 y=x 2 －mx+m － 1，当 m=时，图象经过原点；当 m=时，图象顶 点在 y 轴上。
7. 正方形边长是 2cm ，假如边长增添 xcm ，面积就增大 ycm 2 ，那么 y 与 x 的函数关系式是 __________________________. 8. 函数 y=2(x － 3) 2 的图象， 能够由抛物线y=2x 2 向平移 个单位获取。
9. 当 m= 时，二次函数 y=x 2－ 2x －m 有最小值 5。
10. 若抛物线 y=x 2－ mx+m － 2 与 x 轴的两个交点在原 点两则，则 m 的取值范围是。
11. 如 图 ， 抛 物 线 的 顶 点 为 P （ -2 ， 2） ， 与 y轴交于点 A （0，3）．若平移该抛物线使其顶 点 P 沿直线挪动到点 P ′（ 2，-2），点 A 的对应点为 A ′，则抛物线上 PA 段扫过的地区（暗影部分）的面积为______________ 二、选择题（每题 3 分，共 30 分）12. 二次函数 y=(x － 3)(x+2) 的图象的对称轴是（）A 、 x=3B 、 x=－3C 、 x=－ 1/2 D、x=1/213. 二次函数 y=ax 2+bx+c 中，若 a>0,b<0 ， c<0, 则这个二次函数的极点必在（）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限 D、第四象限14. 若抛物线 2+3x+m 与 x 轴没有交点，则 m 的取值范围是（ ）A 、m ≤B 、m ≥C 、D 、以上都不对 15. 二次函数 y=ax 2+bx+c 的图如下图，则以下结论不正确的选项是（ ）A 、 a<0,b>0B 、 b 2－ 4ac<0C 、a － b+c<0D 、 a － b+c>016. 函数是二次函数 y (m 2) x m 22m ，则它的图象（）A 、张口向上，对称轴为 y 轴B 、张口向下，极点 x 在轴上方C 、张口向上，与 x 轴无交点 D、张口向下，与 x 轴无交点17. 一学生推铅球，铅球前进高度y(m) 与 水 平 距 离 x(m) 之 间 的 关 系 是y1 x2 2 x 5 ，则铅球落地水平距离为（ ）123 3A 、 5mB、 3mC、 10mD、 12m318. 抛物线 y=ax 2+bx+c 与 y 轴交于 A 点，与 x 轴的正半轴交于 B 、 C 两点，且 BC=2， S ABC =3，则 b 的值（）A 、－5B 、4 或－4C 、4D、－ 419. 二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象如下图， 则此函数分析式为 （）A 、 y= －x 2+2x+3B 、 y=x 2－ 2x － 3C 、 y=－ x 2－ 2x+3D 、 y= － x 2－ 2x － 320. 函数 y=ax 2+bx+c 和 y=ax+b 在同一坐标系中大概图象是（）21. 若把抛物线 y=x2+bx+c 向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，获取抛物线 y=x2，则（）A、 b=－ 2,c=3B、b=2,c=－3C、b=－4,c=1D、b=4,c=722.已知二次函数 y＝ ax 2＋ bx＋c(a ≠ 0) 的图象如下图，有以下结论：① abc ＞0；② a＋ b＋ c＝2；③a 1；④ b＜ 1．其2中正确的结论是 ()A．①② B ．②③ C．②④D．③④23. 以下命题中，正确的选项是()①若 a＋ b＋ c＝ 0，则 b2－ 4ac＜ 0；②若 b＝ 2a＋ 3c，则一元二次方程ax2＋ bx＋ c＝0 有两个不相等的实数根；③若 b2－4ac ＞ 0，则二次函数 y＝ax2＋ bx＋c 的图象与坐标轴的公共点的个数是2或 3；④若 b＞ a＋ c，则一元二次方程ax2＋bx＋ c＝ 0，有两个不相等的实数根．A．②④B．①③C．②③D．③④24.给出以下命题及函数 y=x，y=x 2和y1x① 假如，那么0＜ a＜ 1；② 假如，那么 a＞ 1；③ 假如，那么﹣ 1＜ a＜ 0；④ 假如时，那么 a＜﹣ 1．则（）A．正确的命题是①④B．错误的命题是②③④C．正确的命题是①②D．错误的命题只有③25.方程 x2+3x﹣ 1=0 的根可视为函数 y=x+3 的图象与函数的图象交点的横坐标，则方程 x3 +2x﹣ 1=0 的实根 x0所在的范围是（）A．B．C．D．三、计算题（共38 分）26.求以下函数的图像的对称轴、极点坐标及与x 轴的交点坐标 .(1)=4 2+24x +35； (2)y=-32+6 +2； (3)=2-x+3；(4)=22+12+18.y x x x y x y x x27. 已知抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交点的横坐标分别为－1，2，且抛物线经过点（3，8），求这条抛物线的分析式。
2019年中考二次函数综合题专项训练 (附详细分析与解答)
2019年二次函数综合题专项训练一、面积类1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M 的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．备用图2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．二、平行四边形类3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，﹣3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B的两条性质．5．如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上．（1）求抛物线顶点A的坐标；（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．三、周长类6．如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），抛物线y=x2+bx+c经过点B，且顶点在直线x=上．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；（3）在（2）的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标；（4）在（2）、（3）的条件下，若点M是线段OB上的一个动点（点M与点O、B不重合），过点M作∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由．四、等腰三角形类7．如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．且点A（0，2），点C（﹣1，0），如图所示：抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．A（0，2），点C（1，0），如图所示，抛物线y=ax2﹣ax﹣2经过点B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．五、综合类10．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．11．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC．（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P 点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D．（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．（2）试判断△BCD的形状，并说明理由．（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．分析与解答1、分析：（1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长．（3）设MN交x轴于D，那么△BNC的面积可表示为：S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN•OB，MN的表达式在（2）中已求得，OB的长易知，由此列出关于S△BNC、m的函数关系式，根据函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值．解答：解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则：a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：，解得；故直线BC的解析式：y=﹣x+3．已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）；∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．（3）如图；∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN•OB，∴S△BNC=（﹣m2+3m）•3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）；∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为．2、分析：（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可．（2）首先根据抛物线的解析式确定A点坐标，然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置，由此确定圆心坐标．（3）△MBC的面积可由S△MBC=BC×h表示，若要它的面积最大，需要使h取最大值，即点M到直线BC的距离最大，若设一条平行于BC的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M．解答：解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：0=16a﹣×4﹣2，即：a=；∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；∴OA=1，OC=2，OB=4，即：OC2=OA•OB，又：OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为（32，0）．（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2；设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0；∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4；∴直线l：y=x﹣4．所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：，解得：即M（2，﹣3）．过M点作MN⊥x轴于N，S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．3、分析：（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A（3，0）B（0，﹣3）分别代入y=x2+mx+n 与y=kx+b，得到关于m、n的两个方程组，解方程组即可；（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM的长，即PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，然后根据二次函数的最值得到当t=﹣=时，PM最长为=，再利用三角形的面积公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM计算即可；（3）由PM∥OB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能；当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值．解答：解：（1）把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=x2+mx+n，得解得，所以抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3．设直线AB的解析式是y=kx+b，把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=kx+b，得，解得，所以直线AB的解析式是y=x﹣3；（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），因为p在第四象限，所以PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，当t=﹣=时，二次函数的最大值，即PM最长值为=，则S△ABM=S△BPM+S△APM==．（3）存在，理由如下：∵PM∥OB，∴当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，①当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能有PM=3．②当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3，解得t1=，t2=（舍去），所以P点的横坐标是；③当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，解得t1=（舍去），t2=，所以P点的横坐标是．所以P点的横坐标是或．4、分析：（1）利用旋转的性质得出A′（﹣1，0），B′（0，2），再利用待定系数法求二次函数解析式即可；（2）利用S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，再假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，得出一元二次方程，得出P点坐标即可；（3）利用P点坐标以及B点坐标即可得出四边形PB′A′B为等腰梯形，利用等腰梯形性质得出答案即可．解答：解：（1）△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90°得到的，又A（0，1），B（2，0），O（0，0），∴A′（﹣1，0），B′（0，2）．方法一：设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0），∵抛物线经过点A′、B′、B，∴，解得：，∴满足条件的抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2．方法二：∵A′（﹣1，0），B′（0，2），B（2，0），设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2）将B′（0，2）代入得出：2=a（0+1）（0﹣2），解得：a=﹣1，故满足条件的抛物线的解析式为y=﹣（x+1）（x﹣2）=﹣x2+x+2；（2）∵P为第一象限内抛物线上的一动点，设P（x，y），则x＞0，y＞0，P点坐标满足y=﹣x2+x+2．连接PB，PO，PB′，∴S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，=×1×2+×2×x+×2×y，=x+（﹣x2+x+2）+1，=﹣x2+2x+3．∵A′O=1，B′O=2，∴△A′B′O面积为：×1×2=1，假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，则4=﹣x2+2x+3，即x2﹣2x+1=0，解得：x1=x2=1，此时y=﹣12+1+2=2，即P（1，2）．∴存在点P（1，2），使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．（3）四边形PB′A′B为等腰梯形，答案不唯一，下面性质中的任意2个均可．①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形对角线相等；③等腰梯形上底与下底平行；④等腰梯形两腰相等．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）或用符号表示：①∠B′A′B=∠PBA′或∠A′B′P=∠BPB′；②P A′=B′B；③B′P∥A′B；④B′A′=PB．（10分）5、分析：（1）先根据抛物线的解析式得出其对称轴，由此得到顶点A的横坐标，然后代入直线l的解析式中即可求出点A的坐标．（2）由A点坐标可确定抛物线的解析式，进而可得到点B的坐标．则AB、AD、BD三边的长可得，然后根据边长确定三角形的形状．（3）若以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形，应分①AB为对角线、②AD为对角线两种情况讨论，即①AD PB、②AB PD，然后结合勾股定理以及边长的等量关系列方程求出P点的坐标．解答：解：（1）∵顶点A的横坐标为x=﹣=1，且顶点A在y=x﹣5上，∴当x=1时，y=1﹣5=﹣4，∴A（1，﹣4）．（2）△ABD是直角三角形．将A（1，﹣4）代入y=x2﹣2x+c，可得，1﹣2+c=﹣4，∴c=﹣3，∴y=x2﹣2x﹣3，∴B（0，﹣3）当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，x1=﹣1，x2=3∴C（﹣1，0），D（3，0），BD2=OB2+OD2=18，AB2=（4﹣3）2+12=2，AD2=（3﹣1）2+42=20，BD2+AB2=AD2，∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．（3）存在．由题意知：直线y=x﹣5交y轴于点E（0，﹣5），交x轴于点F（5，0）∴OE=OF=5，又∵OB=OD=3∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形∴BD∥l，即P A∥BD则构成平行四边形只能是P ADB或P ABD，如图，过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线交过P且平行于x轴的直线于点G．设P（x1，x1﹣5），则G（1，x1﹣5）则PG=|1﹣x1|，AG=|5﹣x1﹣4|=|1﹣x1|P A=BD=3由勾股定理得：（1﹣x1）2+（1﹣x1）2=18，x12﹣2x1﹣8=0，x1=﹣2或4∴P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1），存在点P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1）使以点A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形．6、分析：（1）根据抛物线y=经过点B（0，4），以及顶点在直线x=上，得出b，c即可；（2）根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），利用图象上点的性质得出x=5或2时，y的值即可．（3）首先设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，求出解析式，当x=时，求出y即可；（4）利用MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，进而得出，得到ON=，进而表示出△PMN的面积，利用二次函数最值求出即可．解答：解：（1）∵抛物线y=经过点B（0，4）∴c=4，∵顶点在直线x=上，∴﹣=﹣=，∴b=﹣；∴所求函数关系式为；（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，∴AB=，∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD=DA=AB=5，∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），当x=5时，y=，当x=2时，y=，∴点C和点D都在所求抛物线上；（3）设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，则，解得：，∴，当x=时，y=，∴P（），（4）∵MN∥BD，∴△OMN∽△OBD，∴即得ON=，设对称轴交x于点F，则（PF+OM）•OF=（+t）×，∵，S△PNF=×NF•PF=×（﹣t）×=，S=（﹣），=﹣（0＜t＜4），a=﹣＜0∴抛物线开口向下，S存在最大值．由S△PMN=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，S取最大值是，此时，点M的坐标为（0，）．7、分析：（1）首先根据OA的旋转条件确定B点位置，然后过B做x轴的垂线，通过构建直角三角形和OB的长（即OA长）确定B点的坐标．（2）已知O、A、B三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式．（3）根据（2）的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出P点的坐标，而O、B坐标已知，可先表示出△OPB三边的边长表达式，然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP 三种情况分类讨论，然后分辨是否存在符合条件的P点．解答：解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°，∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，又∵OA=OB=4，∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=4×=2，∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）；（2）∵抛物线过原点O和点A、B，∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A（4，0），B（﹣2．﹣2）代入，得，解得，∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x（3）存在，如图，抛物线的对称轴是直线x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y），①若OB=OP，则22+|y|2=42，解得y=±2，当y=2时，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD==，∴∠POD=60°，∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P、O、B三点在同一直线上，∴y=2不符合题意，舍去，∴点P的坐标为（2，﹣2）②若OB=PB，则42+|y+2|2=42，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2|2，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣2），8、分析：（1）根据题意，过点B作BD⊥x轴，垂足为D；根据角的互余的关系，易得B到x、y轴的距离，即B的坐标；（2）根据抛物线过B点的坐标，可得a的值，进而可得其解析式；（3）首先假设存在，分A、C是直角顶点两种情况讨论，根据全等三角形的性质，可得答案．解答：解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，∴∠BCD=∠CAO，（1分）又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，∴△BCD≌△CAO，（2分）∴BD=OC=1，CD=OA=2，（3分）∴点B的坐标为（﹣3，1）；（4分）（2）抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B（﹣3，1），则得到1=9a﹣3a﹣2，（5分）解得a=，所以抛物线的解析式为y=x2+x﹣2；（7分）（3）假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形：①若以点C为直角顶点；则延长BC至点P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1，（8分）过点P1作P1M⊥x轴，∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，∴△MP1C≌△DBC．（10分）∴CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得点P1（1，﹣1）；（11分）②若以点A为直角顶点；则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2，（12分）过点P2作P2N⊥y轴，同理可证△AP2N≌△CAO，（13分）∴NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得点P2（2，1），（14分）经检验，点P1（1，﹣1）与点P2（2，1）都在抛物线y=x2+x﹣2上．（16分）9、分析：（1）首先过点B作BD⊥x轴，垂足为D，易证得△BDC≌△COA，即可得BD=OC=1，CD=OA=2，则可求得点B的坐标；（2）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；（3）分别从①以AC为直角边，点C为直角顶点，则延长BC至点P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1M⊥x轴，②若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，③若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，过点P3作P3H⊥y轴，去分析则可求得答案．解答：解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，∵∠BCD+∠ACO=90°，∠AC0+∠OAC=90°，∴∠BCD=∠CAO，又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，∴△BDC≌△COA，∴BD=OC=1，CD=OA=2，∴点B的坐标为（3，1）；（2）∵抛物线y=ax2﹣ax﹣2过点B（3，1），∴1=9a﹣3a﹣2，解得：a=，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2；（3）假设存在点P，使得△ACP是等腰直角三角形，①若以AC为直角边，点C为直角顶点，则延长BC至点P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1M⊥x轴，如图（1），∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，∴△MP1C≌△DBC，∴CM=CD=2，P1M=BD=1，∴P1（﹣1，﹣1），经检验点P1在抛物线y=x2﹣x﹣2上；②若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，如图（2），同理可证△AP2N≌△CAO，∴NP2=OA=2，AN=OC=1，∴P2（﹣2，1），经检验P2（﹣2，1）也在抛物线y=x2﹣x﹣2上；③若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，过点P3作P3H⊥y轴，如图（3），同理可证△AP3H≌△CAO，∴HP3=OA=2，AH=OC=1，∴P3（2，3），经检验P3（2，3）不在抛物线y=x2﹣x﹣2上；故符合条件的点有P1（﹣1，﹣1），P2（﹣2，1）两点．10、分析：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线BC的解析式；同理，将B（5，0），C（0，5）两点∑的坐标代入y=x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）MN的长是直线BC的函数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个关于MN的长和M点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出MN的最大值；（3）先求出△ABN的面积S2=5，则S1=6S2=30．再设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，根据平行四边形的面积公式得出BD=3，过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，则四边形CBPQ为平行四边形．证明△EBD 为等腰直角三角形，则BE=BD=6，求出E的坐标为（﹣1，0），运用待定系数法求出直线PQ的解析式为y=﹣x﹣1，然后解方程组，即可求出点P的坐标．解答：解：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，得，解得，所以直线BC的解析式为y=﹣x+5；将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入y=x2+bx+c，得，解得，所以抛物线的解析式为y=x2﹣6x+5；（2）设M（x，x2﹣6x+5）（1＜x＜5），则N（x，﹣x+5），∵MN=（﹣x+5）﹣（x2﹣6x+5）=﹣x2+5x=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，MN有最大值；（3）∵MN取得最大值时，x=2.5，∴﹣x+5=﹣2.5+5=2.5，即N（2.5，2.5）．解方程x2﹣6x+5=0，得x=1或5，∴A（1，0），B（5，0），∴AB=5﹣1=4，∴△ABN的面积S2=×4×2.5=5，∴平行四边形CBPQ的面积S1=6S2=30．设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，则BC⊥BD．∵BC=5，∴BC•BD=30，∴BD=3．过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，则四边形CBPQ为平行四边形．∵BC⊥BD，∠OBC=45°，∴∠EBD=45°，∴△EBD为等腰直角三角形，BE=BD=6，∵B（5，0），∴E（﹣1，0），设直线PQ的解析式为y=﹣x+t，将E（﹣1，0）代入，得1+t=0，解得t=﹣1∴直线PQ的解析式为y=﹣x﹣1．解方程组，得，，∴点P的坐标为P1（2，﹣3）（与点D重合）或P2（3，﹣4）．11、分析：（1）利用待定系数法求出直线解析式；（2）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（3）关键是证明△CEQ与△CDO均为等腰直角三角形；（4）如答图②所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度．利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此时△PCF的周长最小．如答图③所示，利用勾股定理求出线段C′C″的长度，即△PCF周长的最小值．解答：解：（1）∵C（0，1），OD=OC，∴D点坐标为（1，0）．设直线CD的解析式为y=kx+b（k≠0），将C（0，1），D（1，0）代入得：，解得：b=1，k=﹣1，∴直线CD的解析式为：y=﹣x+1．（2）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+3，将C（0，1）代入得：1=a×（﹣2）2+3，解得a=．∴y=（x﹣2）2+3=x2+2x+1．（3）证明：由题意可知，∠ECD=45°，∵OC=OD，且OC⊥OD，∴△OCD为等腰直角三角形，∠ODC=45°，∴∠ECD=∠ODC，∴CE∥x轴，则点C、E关于对称轴（直线x=2）对称，∴点E的坐标为（4，1）．如答图①所示，设对称轴（直线x=2）与CE交于点M，则M（2，1），∴ME=CM=QM=2，∴△QME与△QMC均为等腰直角三角形，∴∠QEC=∠QCE=45°．又∵△OCD为等腰直角三角形，∴∠ODC=∠OCD=45°，∴∠QEC=∠QCE=∠ODC=∠OCD=45°，∴△CEQ∽△CDO．（4）存在．如答图②所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度．（证明如下：不妨在线段OD上取异于点F的任一点F′，在线段QE上取异于点P的任一点P′，连接F′C″，F′P′，P′C′．由轴对称的性质可知，△P′CF′的周长=F′C″+F′P′+P′C′；而F′C″+F′P′+P′C′是点C′，C″之间的折线段，由两点之间线段最短可知：F′C″+F′P′+P′C′＞C′C″，即△P′CF′的周长大于△PCE的周长．）如答图③所示，连接C′E，∵C，C′关于直线QE对称，△QCE为等腰直角三角形，∴△QC′E为等腰直角三角形，∴△CEC′为等腰直角三角形，∴点C′的坐标为（4，5）；∵C，C″关于x轴对称，∴点C″的坐标为（0，﹣1）．过点C′作C′N⊥y轴于点N，则NC′=4，NC″=4+1+1=6，在Rt△C′NC″中，由勾股定理得：C′C″===．综上所述，在P点和F点移动过程中，△PCF的周长存在最小值，最小值为．12、分析：（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）利用勾股定理求得△BCD的三边的长，然后根据勾股定理的逆定理即可作出判断；（3）分p在x轴和y轴两种情况讨论，舍出P的坐标，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c由抛物线与y轴交于点C（0，3），可知c=3．即抛物线的解析式为y=ax2+bx+3．把点A（1，0）、点B（﹣3，0）代入，得解得a=﹣1，b=﹣2∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3．∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4∴顶点D的坐标为（﹣1，4）；（2）△BCD是直角三角形．理由如下：解法一：过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F．∵在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，∴BC2=OB2+OC2=18在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1，∴CD2=DF2+CF2=2在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB﹣OE=3﹣1=2，∴BD2=DE2+BE2=20∴BC2+CD2=BD2∴△BCD为直角三角形．解法二：过点D作DF⊥y轴于点F．在Rt△BOC中，∵OB=3，OC=3∴OB=OC∴∠OCB=45°∵在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1∴DF=CF∴∠DCF=45°∴∠BCD=180°﹣∠DCF﹣∠OCB=90°∴△BCD为直角三角形．（3）①△BCD的三边，==，又=，故当P是原点O时，△ACP∽△DBC；②当AC是直角边时，若AC与CD是对应边，设P的坐标是（0，a），则PC=3﹣a，=，即=，解得：a=﹣9，则P的坐标是（0，﹣9），三角形ACP不是直角三角形，则△ACP∽△CBD不成立；③当AC是直角边，若AC与BC是对应边时，设P的坐标是（0，b），则PC=3﹣b，则=，即=，解得：b=﹣，故P是（0，﹣）时，则△ACP∽△CBD一定成立；④当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是（d，0）．则AP=1﹣d，当AC与CD是对应边时，=，即=，解得：d=1﹣3，此时，两个三角形不相似；⑤当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是（e，0）．则AP=1﹣e，当AC与DC是对应边时，=，即=，解得：e=﹣9，符合条件．总之，符合条件的点P的坐标为：．。
2019新疆中考数学考前专题训练--二次函数综合题(10道)
二次函数综合题1. 如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，点P为抛物线的顶点，连接PB、PC.(1)求抛物线的解析式；(2)在第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△BCD的面积最大？若存在，求出点D 的坐标及△BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由；(3)抛物线上是否存在点Q(不与P重合)，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.第1题图解：(1)抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3；(2)存在.设D(t，－t 2＋2t＋3)，如解图①，过点D作DH⊥x轴交BC于点H，连接CD，BD.第1题解图①∵B(3，0)，C(0，3)，∴直线BC的解析式为y＝－x＋3，∴H(t，－t＋3)，∴S △BCD ＝12DH ·x B ＝12(－t 2＋2t ＋3＋t －3)×3＝－32t 2＋92t ＝－32(t －32)2＋278， ∵－32<0，∴当t ＝32时，即点D 的坐标为(32，154)时，S △BCD 有最大值，最大值为278； (3)存在.由(1)得P (1，4)，过点P 且与BC 平行的直线与抛物线的交点，即为所求的点Q ，如解图②.第1题解图②∵直线BC 的解析式为y ＝－x ＋3，PM ＝2，∴过点P 且与BC 平行的直线l 1为y ＝－x ＋3＋2＝－x ＋5，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋5y ＝－x 2＋2x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2y 1＝3，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1y 2＝4(舍去)， ∴Q 1(2，3)， ∵M (1，2)，设PM 与x 轴交于点E ， ∴PM ＝EM ＝2，∴过点E 且与BC 平行的直线l 2为y ＝－x ＋3－2＝－x ＋1， 从而过点E 且与BC 平行的直线l 2与抛物线的交点也为所求的点Q ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋1y ＝－x 2＋2x ＋3， 解得⎩⎨⎧x 1＝3＋172y 1＝－1＋172，⎩⎨⎧x 2＝3－172y 2＝－1－172，∴Q 2(3＋172，－1＋172)，Q 3(3－172，－1－172)，综上所述，满足题意的点Q 的坐标为(2，3)或(3＋172，－1＋172)或(3－172，－1－172).2. 如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为(－1，0)，对称轴为直线x ＝1，点P 为线段BC 上(不含B 、C 两点)的一个动点，PF ∥y 轴交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m .(1)求抛物线的解析式；(2)用含m 的代数式表示线段PF 的长；(3)设△BCF 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并确定当m 为何值时△BCF 的面积最大．第2题图解：(1)∵点A 的坐标为(－1，0)，对称轴为直线x ＝1，∴⎩⎨⎧a －b ＋3＝0－b 2a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝－1b ＝2，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3； (2)∵当x ＝0时，y ＝3， ∴C (0，3)，当y ＝0时，－x 2＋2x ＋3＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝3， ∴B (3，0)，设直线BC 的解析式为：y ＝mx ＋n (m ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ＝33m ＋n ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1n ＝3， ∴直线BC 的解析式为：y ＝－x ＋3，∴PF ＝(－m 2＋2m ＋3)－(－m ＋3)＝－m 2＋3m ； （3）如解图，连接BF ，延长FP 交x 轴于点H ，第2题解图S △BCF ＝S △PCF ＋S △PBF＝12PF ·OH ＋12PF ·BH ＝12PF ·(OH ＋BH ) ＝12PF ·OB ＝32(－m 2＋3m ) ＝－32(m －32)2＋278，则当m ＝32时，△BCF 的面积最大.3. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝(x ＋1)2＋k 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C (0，－3). 点M 是抛物线上一动点，且在第三象限，点E 在抛物线的对称轴上.(1)求抛物线的解析式；(2)当M 点运动到何处时，四边形AMCB 的面积最大，最大值是多少？(3)点E 是抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点F ，使以A 、E 、F 、B 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由.第3题图解：(1)抛物线的对称轴为直线x ＝－1， 把C (0，－3)代入y ＝(x ＋1)2＋k 得－3＝1＋k ， ∴k ＝－4；∴抛物线的解析式为y ＝(x ＋1)2－4；(2)连接OM ，如解图①，设M 点坐标为(x ，(x ＋1)2－4)，第3题解图①S 四边形AMCB ＝S △AMO ＋S △CMO ＋S △CBO＝12AO ·|y m |＋12 CO ·|x m |＋12×OC ×BO ＝32[4－(x ＋1)2]＋12×3×(－x )＋12×3×1 ＝－32x 2－92x ＋6 ＝－32(x ＋32)2＋758，当x ＝－32时，S 最大，最大值为758； 此时M 点坐标为(－32，－154)；(3)存在. 点F 的坐标为(－1，－4)、(3，12)、(－5，12). 理由如下：当以AB 为对角线时，如解图②， ∵四边形AFBE 为平行四边形， 而EA ＝EB ，∴四边形AFBE 为菱形，∴点F 也在对称轴上，即F 点为抛物线的顶点， ∴F 点坐标为(－1，－4)；第3题解图② 第3题解图③当以AB 为边时，如解图③，∵以A、E、F、B为顶点的四边形为平行四边形，∴EF＝AB＝4，即F2E＝4，F1E＝4，∴F1的横坐标为3，F2的横坐标为－5，对于y＝(x＋1)2－4，当x＝3时，y＝16－4＝12；当x＝－5时，y＝16－4＝12，∴F点坐标为(－1，－4)，(3，12)或(－5，12).4. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C，顶点为D.(1)请直接写出点A，C，D的坐标；(2)如图①，在x轴上找一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标；(3)如图②，F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.第4题图解：(1)A(－3，0)，C(0，3)，D(－1，4)；(2)如解图①，作点C关于x轴的对称点M，则M(0，－3)，连接DM与x轴的交点即为点E，连接CE，此时△CDE的周长最小.设DM的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将点D(－1，4)，M(0，－3)代入得，⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝4b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－7b ＝－3， ∴直线DM 的解析式为y ＝－7x －3， 令y ＝0，则y ＝－7x －3＝0， 解得x ＝－37，∴点E 的坐标为(－37，0)；第4题解图①(3)存在. 由(1)知，OA ＝OC ＝3，∠AOC ＝90°， ∴∠CAB ＝45°，如解图②，第4题解图②(i)当∠AFP ＝90°，即∠AF 1P 1＝90°时，点P 1既在x 轴上，又在抛物线上，则点P 1与点B 重合，∴点P 1的坐标为(1，0)；(ii)当∠F AP ＝90°，即∠F 2AP 2＝90°时，∠P 2AO ＝45°，设AP 2与y 轴的交点为点N ，∴OA ＝ON ＝3，则N (0，－3)， 易求AP 2的解析式为y ＝－x －3，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －3y ＝－x 2－2x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－5， ∵A (－3，0)， ∴P 2(2，－5)；(iii)当∠APF ＝90°，即∠AP 3F 3＝90°时，点P 3既在x 轴上，又在抛物线上，则点P 3与点B 重合，点P 3的坐标为(1，0).综上所述，抛物线上存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形，点P 坐标为(1，0)或(2，－5).5. 如图，已知抛物线y ＝－14x 2－12x ＋2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C . (1)求点A 、B 、C 的坐标；(2)点E 是此抛物线上的点，点F 是其对称轴上的点，求以A 、B 、E 、F 为顶点的平行四边形的面积；(3)此抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得△ACM 是等腰三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.第5题图解：(1)令y ＝0，即0＝－14x 2－12x ＋2，解得x 1＝－4，x 2＝2， ∴A (2，0)，B (－4，0)，令x ＝0，得y ＝－14x 2－12x ＋2＝2， ∴C (0，2)；(2)①当AB 为平行四边形的对角线时，EF 和AB 互相平分， 又∵AB ⊥EF ，点E 在抛物线上，∴E 1点为抛物线的顶点， ∵y ＝－14x 2－12x ＋2 ＝－14(x ＋1)2＋94， ∴E 1点坐标为(－1，94)， ∵点F 1和点E 1关于x 轴对称， ∴F 1点的坐标为(－1，－94)， ∴E 1F 1＝2×94＝92，AB ＝6， ∵E 1F 1和AB 互相垂直平分， ∴四边形E 1AF 1B 是菱形， ∴S 四边形E 1AF 1B ＝12×92×6＝272；②当AB 为平行四边形的一边时，AB ∥EF ，且AB ＝EF ＝6. ∵F 点的横坐标为－1，∴E 点为F 2点向左或向右平移6个单位.∴E 2点的横坐标为5, E 3点的横坐标为－7，且两点的纵坐标相等.当x ＝5时，y ＝－14x 2－12x ＋2＝－14×25－12×5＋2＝－274； 当x ＝－7时， y ＝－274， ∴点F 2的坐标为(－1，－274)， ∴S 四边形ABF 2E 2＝274×6＝812.综上所述，以A 、B 、E 、F 为顶点的平行四边形的面积为272或812；第5题解图(3)存在.设M (－1，m )，则MC 2＝1＋(2－m )2，MA 2＝9＋m 2，AC 2＝22＋22＝8， ①当MC ＝MA 时， 1＋(2－m )2＝9＋m 2， 解得m ＝－1， ∴M (－1，－1)；②当MC ＝AC 时，1＋(2－m )2＝8， 整理得m 2－4m －3＝0， 解得m 1＝2＋7，m 2＝2－7， ∴M (－1，2＋7)或(－1，2－7)；③当MA ＝AC 时，9＋m 2＝8， 整理得m 2＝－1，此时方程无解.综上所述，存在点M ，使得△ACM 是等腰三角形，点M 的坐标为(－1，－1)或(－1，2＋7)或(－1，2－7).6. 如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx 经过A (4，0)，B (3，3)两点，连接AB ，过点B 作BC ∥x 轴交该抛物线于点C .动点P 、Q 分别从O 、A 同时出发，其中点P 沿着线段OA 向A 点运动，点Q 沿着线段AB 向B 点运动，两点均以每秒1个单位长度的速度向终点匀速运动．当点P 、Q 中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，设这两个动点运动的时间为t (秒)，△PQA 的面积记为S .(1)求该抛物线的表达式；(2)当t 为何值时，S 取最大值，最大值是多少？(3)是否存在这样的t 值，使得△PQA 是直角三角形？若存在，请求出此时P 、Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由.第6题图解：(1)抛物线y ＝ax 2＋bx 经过A (4，0)，B (3，3)两点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧16a ＋4b ＝09a ＋3b ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝－33b ＝433， ∴抛物线表达式为y ＝－33x 2＋433x ；(2)如解图，过点B 作BE ⊥x 轴交x 轴于点E ，则BE ＝3，AE ＝1，第6题解图∴AB ＝2，由tan ∠BAE ＝BEAE ＝3得∠BAE ＝60°， 由题意得QA ＝OP ＝t ，P A ＝4－t ， 过点Q 作QF ⊥x 轴交x 轴于点F ， 则sin ∠BAE ＝QFAQ ， ∴QF ＝3t2，则S ＝12P A ·QF ＝12(4－t )·3t 2＝－34t 2＋3t ＝－34(t －2)2＋3(0≤t ≤2)， ∵－34＜ 0，∴当t ＝2时，S 取最大值3； (3)存在，当点Q 在AB 上运动时， ∵AB ＜OE ，∴∠QP A 不可能为直角，∴要使得△PQA 是直角三角形，必须使∠PQA ＝90°. ∴P A ＝2QA ， ∴4－t ＝2t . ∴t ＝43，此时OP ＝t ＝43，QF ＝3t 2＝233， ∴在Rt △AFQ 中，AF ＝QF 3＝23，∴OF ＝OA －AF ＝103， ∴P (43，0)，Q (103，233).7. 如图，抛物线y ＝－14x 2＋12x ＋2与x 轴交于A ，B 两点(点B 在点A 的右侧)，与y 轴交于点C ，点P 为抛物线上的一个动点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，交直线BC 于点E .(1)求点A 和点B 的坐标；(2)若点P 在第四象限内，当OD ＝4PE 时，求点P 的坐标；(3)在(2)的条件下，若点M 为直线BC 上一点，点N 为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M 和点N ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．第7题图解：(1)∵抛物线y ＝－14x 2＋12x ＋2与x 轴交于A ，B 两点(点B 在点A 的右侧)，令y ＝0， ∴－14x 2＋12x ＋2＝0， 解得x ＝－2或x ＝4，∴A (－2，0)，B (4，0)； (2)由(1)知，B (4，0)， 令x ＝0时，y ＝2， ∴C (0，2)，∴直线BC 的解析式为y ＝－12x ＋2， 设点P (m ，－14m 2＋12m ＋2)(m ＞4)， ∴OD ＝m ，∵点E 在直线BC 上， ∴E (m ，－12m ＋2)，∴PE ＝－12m ＋2－(－14m 2＋12m ＋2)＝14m 2－m ， ∵OD ＝4PE ， ∴m ＝4(14m 2－m )， ∴m ＝0(舍)或m ＝5， ∴P (5，－74)；(3)存在. 点N 的坐标为(5＋255，－55)或(5－255，55)或(92，14)，【解法提示】由(2)知BD ＝1，直线BC 的解析式为y ＝－12x ＋2，设M (n ，－12n ＋2)， ∵B (4，0)，∴BM 2＝(4－n )2＋(12n －2)2，∵以B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是菱形， ①当BD 为边时，MN ∥BD ，MN ＝BM ＝BD ， ∴BM 2＝BD 2＝1，(4－n )2＋(12n －2)2＝1，∴n ＝4±255，∴M (4＋255，－55)或(4－255，55)， ∴N (5＋255，－55)或(5－255，55)； ②当BD 为对角线时，MN 垂直平分BD ， ∴点M 的横坐标为92，∴点M 的纵坐标为－12×92＋2＝－14， ∴M (92，－14)， ∴N (92，14)，综上所述，点N 的坐标为(5＋255，－55)或(5－255，55)或(92，14).8. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3与x 轴交于A (－1，0)、B (3，0)两点，与y 轴交于C 点， 抛物线的对称轴l 与x 轴交于点M .(1)求抛物线的解析式；(2)设点P 是直线l 上的一个动点，当△P AC 的周长最小时，求△P AC 的周长；(3)在直线l 上是否存在点Q ，使以M 、O 、Q 为顶点的三角形与△AOC 相似，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.第8题图解：(1)抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3；(2)如解图，连接BC，与对称轴l相交于点P，此时点P就是使△P AC的周长最小的点，且P A＝PB，由(1)可知点C的坐标为(0，3)，则OC＝3，∴AC＝OA2＋OC2＝12＋32＝10，PC＋P A＝PC＋PB＝BC＝OC2＋OB2＝32＋32＝32，∴△P AC的周长最小值为AC＋P A＋PC＝AC＋BC＝10＋32；第8题解图(3)由y＝－x2＋2x＋3得对称轴l为直线x＝1，假设在直线l上存在点Q，使以M、O、Q为顶点的三角形与△AOC相似.设Q点的坐标为(1，m)，则OM＝1，MQ＝|m|，OA＝1，OC＝3，∵∠AOC＝∠QMO＝90°，∴两个三角形相似有两种情况：①当MQ OA ＝MO OC 时，△MOQ ∽△OCA ，此时有|m |1＝13，解得m ＝±13， 则Q 点的坐标为(1，13)或(1，－13)；②当MQ OC ＝MO OA 时，△MOQ ∽△OAC ，此时有|m |3＝11，解得m ＝±3， 则Q 点的坐标为(1，3)或(1，－3).综上可知，在直线l 上存在点Q ，使以M 、O 、Q 为顶点的三角形与△AOC 相似，点Q 的坐标为(1，13)或(1，－13)或(1，3)或(1，－3).9. 如图，已知抛物线y ＝－23x 2＋43x ＋2的图象与x 轴交于A ，B 两点(A 在B 的左侧)，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴与x 轴交于点D .点M 从O 点出发，以每秒1个单位长度的速度向B 运动，过点M 作x 轴的垂线，交抛物线于点P ，交BC 于点Q .(1)求点B 和点C 的坐标；(2)设当点M 运动了x (秒)时，四边形OBPC 的面积为S ，求S 与x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围；(3)在线段BC 上是否存在点Q ，使得△DBQ 成为以BQ 为一腰的等腰三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．第9题图解：(1)把x ＝0代入y ＝－23x 2＋43x ＋2得y ＝2，∴点C 的坐标为(0，2)，把y ＝0代入y ＝－23x 2＋43x ＋2得x ＝－1或3， ∴点B 的坐标为(3，0)；(2)如解图，连接OP ，设点P 的坐标为P (x ，－23x 2＋43x ＋2)，第9题解图S 四边形OBPC ＝S △OPC ＋S △OPB ＝12×2x ＋12×3×(－23x 2＋43x ＋2)＝－(x －32)2＋214， ∵点M 运动到B 点时停止， ∴0≤x ≤3，∴S ＝－(x －32)2＋214(0≤x ≤3)；(3)存在．点Q 的坐标为(2，23)或(3－61313，41313).【解法提示】∵BC ＝OB 2＋OC 2＝13，①若BQ ＝DQ ，∵BQ ＝DQ ，BD ＝2，∴BM ＝DM ＝12BD ＝1，∴OM ＝3－1＝2，∴tan ∠OBC ＝QM BM ＝OC OB ＝23，∴QM ＝23，∴Q 的坐标为(2，23)；②若BQ ＝BD ＝2，∵△BQM ∽△BCO ，∴BQ BC ＝QM CO ＝BM BO ，∴213＝QM 2，∴QM ＝41313，∵BQ BC＝BM OB ，∴213＝BM 3，∴BM ＝61313，∴OM ＝3－61313，∴Q 的坐标为(3－61313，41313). 综上所述，Q 的坐标为(2，23)或(3－61313，41313).10. 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2与x 轴交于点A (－1，0)、B (4，0)，与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于x 轴对称，直线y ＝kx ＋t 过点B ，D ，点P 是线段OB 上一点(不与点O 、B 重合)，过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于M ，交直线BD 于N .(1)求抛物线的解析式；(2)设点P 的横坐标为m ，线段MN 的长为l ，求l 关于m 的函数关系式，并求出l 的最大值；(3)连接BM ，是否存在m ，使得△BPM 与△BOD 相似，若存在，直接写出m 的值，若不存在，请说明理由.第10题图解：(1)∵点A (－1，0), B (4, 0)在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋2＝016a ＋4b ＋2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12b ＝32，∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋32x ＋2； (2)∵点P 的横坐标为m,∴点M 的坐标为(m, －12m 2＋32m ＋2), ∵点C 是抛物线与y 轴的交点， ∴C (0，2),∵点D 与点C 关于x 轴对称，∴D (0，－2),将点B (4，0)，D (0，－2)分别代入y ＝kx ＋t,得⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋t ＝0t ＝－2， 解得⎩⎨⎧k ＝12t ＝－2， ∴直线BD 的解析式为y ＝12x －2,∴点N 的坐标为(m ，12m －2),∵点M 始终在点N 的上方，∴l ＝MN ＝(－12m 2＋32m ＋2)－(12m －2)＝－12m 2＋m ＋4＝－12(m －1)2＋92，∵0＜m ＜4，－12<0,∴当m ＝1时，l 取最大值，最大值为92；(3)存在， m ＝3.【解法提示】∵ 在△BPM 和△BOD 中， ∠BPM ＝∠BOD ＝90°， ∴ 若△BPM 与△BOD 相似， 则可分以下两种情况讨论；(i)当△MPB ∽△BOD 时， 则PM BP ＝BO OD ＝2,即－12m 2＋32m ＋24－m ＝2,解得m ＝3或m ＝4(舍去);(ii)当△BPM ∽△BOD 时， 则BP PM ＝BO OD ＝2,即4－m －12m 2＋32m ＋2＝2, 解得m ＝0(舍去)或m ＝4(舍去),综上可知， 当m ＝3时，△MPB 与△BOD 相似．。
2019年中考数学二次函数综合题专题训练
(1) 判断顶点 M是否在直线 y＝4x＋1 上，并说明理由； (2) 如图 1，若二次函数图象也经过点 A、B，且 mx＋5>－(x －b) 2＋4b＋1. 根据
图象，写出 x 的取值范围；
1
3
(3) 如图 2，点 A 坐标为 (5 ，0) ，点 M在△ AOB内，若点 C(4，y1) ，D(4，y2) 都在
1．在平面直角坐标系中，二次函数 y＝x2＋bx＋c(b ，c 都是常数 ) 的图象经过 点(1 ，0) 和(0 ，2) ． (1) 当－ 2≤x≤２时，求 y 的取值范围． (2) 已知点 P(m，n) 在该函数的图象上，且 m＋n＝1，求点 P 的坐标．
2．若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为 “同簇二次函数”． (1) 请写出两个为“同簇二次函数”的函数； (2) 已知关于 x 的二次函数 y1＝ 2x2－ 4mx＋ 2m2＋1 和 y2＝ax2＋ bx＋ 5，其中 y1 的 图象经过点 A(1，1) ，若 y1＋y2与 y1为“同簇二次函数”，求函数 y2 的表达式， 并求出当 0≤x≤３时， y2 的最大值．
4．( 20182 真题 ) 如图 1，抛物线的顶点 A 的坐标为 (1 ，4) ，抛物线与 x 轴相交 于 B、C两点，与 y 轴交于点 E(0，3) ． (1) 求抛物线的表达式；
(2) 已知点 F(0 ，－ 3) ，在抛物线的对称轴上是否存在一点 G，使得 EG＋FG 最 小，如果存在，求出点 G的坐标；如果不存在，请说明理由； (3) 如图 2，连接 AB，若点 P 是线段 OE上的一动点，过点 P作线段 AB的垂线， 分别与线段 AB、抛物线相交于点 M、N(点 M、N 都在抛物线对称轴的右侧 ) ，当 MN最大时，求△ PON的面积．
2019内蒙古中考数学考前专题训练二次函数综合题(10道)
二次函数综合题类型一 线段问题1.经过点A （3，3）的抛物线y=ax 2+bx 与x 轴交于点B （4，0）和原点O ，点P 为二次函数上一动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为D (a ，0)(a >0)，并与直线OA 交于点C .（1）求抛物线的表达式；（2）当点P 在线段OA 上方时，过点P 作x 轴的平行线与线段OA 相交于点E ，求△PCE 周长的最大值及此时P 点的坐标；（3）当PC ＝CO 时，求P 点坐标.解：（1）∵A （3，3），B （4，0）两点在抛物线bx ax y +=2上，∴,4160393⎩⎨⎧+=+=b a b a 解得,41⎩⎨⎧=-=b a ∴抛物线的表达式为x x y 42+-=；（2）如解图①，设点P 的坐标为(x ，－x 2＋4x )，第1题解图①∵点A 坐标为(3，3)；∴∠AOB ＝45°，∴OD＝CD＝x，∴PC＝PD－CD＝－x2＋4x－x＝－x2＋3x，∵PE∥x轴，∴△PCE是等腰直角三角形，∴当PC取最大值时，△PCE周长最大．∵PE与线段OA相交，∴0≤x≤1，由PC＝－x2＋3x＝－(x－32)2＋94可知，该函数的对称轴为直线x＝32，且在对称轴左侧PC随x的增大而增大，∴当x＝1时，PC最大，PC的最大值为－1＋3＝2，∴PE＝2，CE＝∴△PCE的周长为CP＋PE＋CE＝4＋∴△PCE周长的最大值为4＋，把x＝1代入y＝－x2＋4x，得y＝－1＋4＝3，∴点P的坐标为(1，3)；（3）设点P坐标为(x，－x2＋4x)，则点C坐标为(x，x)，如解图②，第1题解图②①当点P在点C上方时，P1C1＝－x2＋4x－x＝－x2＋3x，OC1x，∵P1C1＝OC1，∴－x2＋3x x，解得x1＝3，x2＝0(舍去)．把x＝3代入y＝－x2＋4x得，y＝－(3)2＋4(3＝1＋，∴P1(3，1＋)，②当点P在点C下方时，P2C2＝x－(－x2＋4x)＝x2－3x，OC2x，∵P2C2＝OC2，∴x2－3x x，解得x1＝3，x2＝0(舍去)，把x＝3代入y＝－x2＋4x，得y＝－(3)2＋4(3)＝1－，∴P2(3，1－)．综上所述，P点坐标为(31＋或(3，1－)．2.已知直线y=5x＋5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y=ax2＋4x＋c的图象交x轴于另一点B.(1)求二次函数的表达式;(2)连接BC，点N是线段BC上的动点，作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D，求线段ND长度的最大值;(3)若点H为二次函数y=ax2＋4x＋c图象的顶点，点M(4，m)是该二次函数图象上一点，在x轴，y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F、E的坐标.解:(1)∵直线y=5x＋5交x轴于点A，交y轴于点C，∴A(－1，0)，C(0，5)，∵二次函数y=ax2＋4x＋c的图象过A，C两点，∴405a cc-+=⎧⎨=⎩，解得15ac=-⎧⎨=⎩，∴二次函数的表达式为y=－x2＋4x＋5;第2题解图①(2)如解图①，∵点B是二次函数的图象与x轴的交点，∴由二次函数的表达式为y=－x2＋4x＋5得点B的坐标为B(5，0)，设直线BC解析式为y=kx＋b，∵直线BC过点B(5，0)，C(0，5)，∴505k bb+=⎧⎨=⎩，解得15kb=-⎧⎨=⎩，∴直线BC解析式为y=－x＋5，设ND的长为d，N点的横坐标为n，则N点的坐标为(n，－n＋5)，D点的坐标为(n，－n2＋4n＋5)，则d=|－n2＋4n＋5－(－n＋5)|，由题意可知:－n2＋4n＋5＞－n＋5，∴d=－n2＋4n＋5－(－n＋5)=－n2＋5n=－(n－52)2＋254，∴当n=52时，线段ND最大，最大值是254;第2题解图②(3)∵点M(4，m)在抛物线y=－x2＋4x＋5上，∴m=5，∴M(4，5).∵抛物线y=－x2＋4x＋5=－(x－2)2＋9，∴顶点坐标为H(2，9)，如解图②，作点H(2，9)关于y轴的对称点H1，则点H1的坐标为H1(－2，9);作点M(4，5)关于x轴的对称点M1，则点M1的坐标为M1(4，－5)，连接H1M1分别交x轴于点F，y轴于点E，∴H1M1＋HM的长度是四边形HEFM 的最小周长，则点F，E即为所求的点.设直线H1M1的函数表达式为y=mx＋n，∵直线H1M1过点H1(－2，9)，M1(4，－5)，∴9254m nm n=-+⎧⎨-=+⎩，解得73133mn⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴y=－73x＋133，∴当x=0时，y=133，即点E的坐标为(0，133)，当y=0时，x=137，即点F的坐标为(137，0)，故所求点F，E的坐标分别为(137，0)，(0，133).类型二面积问题3. 如图，已知抛物线与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线的解析式；(2)D是第一象限内抛物线上的一个动点(与点C、B不重合)过点D作DF⊥x 轴于点F，交直线BC于点E，连接BD、CD.设点D的横坐标为m，△BCD 的面积为S.①求S关于m的函数关系式及自变量m的取值范围；②当m为何值时，S有最大值，并求这个最大值；③直线BC能否把△BDF分成面积之比为2∶ 3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由．第3题图解：(1)设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x－3），∵C（0，3）在抛物线上，∴3=a（0+1）（0－3），解得a=－1，∴y=－（x+1）（x－3）=－x2＋2x＋3.(2)①设直线BC的函数关系式为y＝kx＋b，∵直线BC过点B(3，0)，C(0，3)．代入得⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝0b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b ＝3， ∴直线BC 的表达式为y ＝－x ＋3，设D (m ，－m 2＋2m ＋3)，E (m ，－m ＋3)，∴DE ＝(－m 2＋2m ＋3)－(－m ＋3)＝－m 2＋3m ，∴S ＝S △CDE ＋S △BDE ＝12OF ·DE ＋12BF ·DE ＝12OB ·DE ＝32(－m 2＋3m )＝－32m 2＋92m (0<m <3)；②由①得S ＝－32m 2＋92m ＝－32(m －32)2＋278，∵－32<0，∴当m ＝32时，S 有最大值，最大值S ＝278；③∵△BDE 和△BFE 是等高的，∴它们的面积比＝DE ∶ EF .(ⅰ)当DE ∶ EF ＝2∶3时，有32332=+-+-m m m ， 解得m 1＝23，m 2＝3(舍去)，此时，D (23，359)；(ⅱ)当DE ∶EF ＝3∶2时，有23332m m m -+=-+， 解得m 1＝32，m 2＝3(舍去)，此时，D (32，154)；∴直线BC 能把△BDF 分成面积之比为2∶ 3的两部分，此时，D 点的坐标为 (23，359)或(32，154)．4.在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数y ＝ax 2＋2ax ＋c 的图象与y 轴交于点C (0，3)，与x 轴交于A 、B 两点，点B 的坐标为(－3，0)．(1)求二次函数的解析式；(2)点M 是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM 把四边形ACDB 分成面积为1∶2的两部分，求出此时点M 的坐标；(3)点P 是第二象限内抛物线上的一动点当点P 在何处时△CPB 的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P 的坐标．解：(1)将点C (0，3)，B (－3，0)代入y ＝ax 2＋2ax ＋c ,得：⎩⎪⎨⎪⎧c ＝39a －6a ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1c ＝3， ∴二次函数的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3；(2)由y ＝－x 2－2x ＋3，令y ＝0，则－x 2－2x ＋3＝0，解得x 1＝1，x 2＝－3，∴点A (1，0)．如解图①，连接OD 、AD 、AC ，第4题解图①∵y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，∴顶点D 的坐标为(－1，4)；易求直线AD 的解析式为y ＝－2x ＋2，∴直线AD 与y 轴的交点为(0，2)，S △OBD ＝12×3×4＝6，S 四边形ACDB ＝S △ABD ＋S △ACD ＝12×4×4＋12×1×2＝9.∴直线OM 必与线段BD 相交，易得直线BD 的解析式为y ＝2x ＋6； 设直线OM 与直线BD 交于点E ，则△OBE 的面积可以为3或6.①当S △OBE ＝13×9＝3时，易得点E 的纵坐标为2，将y ＝2代入直线BD 解析式求得x ＝－2，∴E (－2，2)，则直线OE 的解析式为y ＝－x ，设M (x ，－x )，代入抛物线解析式得：－x ＝－x 2－2x ＋3，解得：x 1＝－1－132，x 2＝－1＋132(舍去)， ∴M (－1－132，1＋132)； ②当S △OBE ＝23×9＝6时，同理可得M 点坐标．∴M (－1，4)；综上所述，点M 的坐标为(－1－132，1＋132)，(－1，4)； (3)如解图②，连接OP ，设P 点的坐标为(m ，n )，第4题解图②∵点P 在抛物线上，∴n ＝－m 2－2m ＋3，∴S △CPB ＝S △CPO ＋S △OPB －S △COB ＝12OC ·(－m )＋12OB ·n －12OC ·OB ＝－32m ＋32n －92＝32(n －m －3)＝－32(m 2＋3m )＝－32(m ＋32)2＋278. ∵－3＜m ＜0，∴当m ＝－32时，n ＝154，△CPB 的面积有最大值278.∴当点P 的坐标为(－32，154)时，△CPB 的面积有最大值，且最大值为278.类型三 特殊三角形的存在性问题5.如图，抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (－1，0)、B 两点，与y 轴交于点C (0，2)，抛物线的对称轴交x 轴于点D .（1）求抛物线的解析式；（2）求sin ∠ABC 的值；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形，如果存在，直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．第5题图解：（1）将点A (－1，0)，C (0，2)代入抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 中，得⎩⎨⎧－12－b ＋c ＝0c ＝2，解得⎩⎨⎧b ＝32c ＝2，∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋32x ＋2；（2）令y ＝－12x 2＋32x ＋2＝0，解得x 1＝－1，x 2＝4，∴点B 的坐标为(4，0)，在Rt △BOC 中，BC ＝OC 2＋OB 2＝22＋42＝25，∴sin ∠ABC ＝OC BC ＝225＝55； （3）存在，点P 的坐标为(32，52)或(32，－52)或(32，4)．【解法提示】由抛物线y ＝－12x 2＋32x ＋2得对称轴为直线x ＝32，∴点D 的坐标为(32，0)．∴CD ＝OC 2＋OD 2＝22＋（32）2＝52. ∵点P 在对称轴x ＝32上，且△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形，∴当点D为顶点时，有DP ＝CD ＝52， 此时点P 的坐标为(32，52)或(32，－52)；当点C 为顶点时，如解图，连接CP ，则CP ＝CD ，过点C 作CG ⊥DP 于点G ，则DG ＝PG ，第5题解图∵DG ＝2，∴PG ＝2，PD ＝4，∴点P 的坐标为(32，4)．综上，存在点P 使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形，点P 的坐标为(32，52)或(32，－52)或(32，4)．6.如图，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于点A （-3，0），B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），顶点为D .（1）求抛物线的解析式及点D 的坐标；（2）如图①，在x 轴上找一点E ，使得△CDE 的周长最小，求点E 的坐标；（3）如图②，F 为直线AC 上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第6题图解：（1）∵A (－3，0)，B （1，0），C (0，3)在抛物线上，∴,32130390⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=c b a c c b a c b a 解得∴抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3，∵y ＝－x 2－2x ＋3=()412++-x ，∴点D 的坐标为（-1，4）；（2）如解图①，作点C 关于x 轴的对称点M ，则M (0，－3)，连接DM ，DM 与x 轴的交点为E ，连接CE ，此时△CDE 的周长最小，第6题解图①设直线DM 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将D (－1，4)，M (0，－3)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝4b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－7b ＝－3，∴直线DM 的解析式为y ＝－7x －3，令y ＝0，则y ＝－7x －3＝0，解得x ＝－37，∴点E 的坐标为(－37，0)．（3）存在．由(1)知，OA ＝OC ＝3，∠AOC ＝90°，∴∠CAB ＝45°，如解图②，第6题解图②①当∠AFP ＝90°时，即∠AF 1P 1＝90°，∴点P 1既在x 轴上，又在抛物线上，则点P 1与点B 重合，点P 1的坐标为(1，0)；②当∠F AP ＝90°时，即∠F 2AP 2＝90°，则∠P 2AO ＝45°，设AP 2与y 轴的交点为点N ，∴OA ＝ON ＝3，则N (0，－3)，∴直线AP 2的解析式为y ＝－x －3，联立抛物线与直线AP 2的解析式，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －3y ＝－x 2－2x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－5， ∵A (－3，0)，∴P 2(2，－5)；③当∠APF ＝90°时，即∠AP 3F 3＝90°，点P 3既在x 轴上，又在抛物线上，则点P 3与点B 重合，点P 3的坐标为(1，0)．综上所述，抛物线上存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形，其坐标为P (1，0)或(2，－5)．类型四 特殊四边形的存在性问题7. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与y 轴交于点C (0，4)，与x 轴交于点A 和点B ，其中点A 的坐标为(－2，0)，抛物线的对称轴x ＝1与抛物线交于点D ，与直线BC 交于点E .（1）求抛物线的解析式；（2）若点F 是直线BC 上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F ，使四边形ABFC 的面积为17？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）平行于DE 的一条直线l 与直线BC 相交于点P ，与抛物线相交于点Q ，若以D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标．第7题图解：（1）∵点A (－2，0)与点B 关于直线x ＝1对称，∴B (4，0)，将点A ，B ，C 的坐标代入函数解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋c ＝016a ＋4b ＋c ＝0c ＝4，解得⎩⎨⎧a ＝－12b ＝1c ＝4，∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋x ＋4；（2）不存在点F 使四边形ABFC 的面积为17，理由如下：∵B (4，0)，C (0，4)，∴BC 的解析式为y ＝－x ＋4，如解图，过点F 作x 轴垂线，交BC 于G ，设F 点的坐标为(m ，－12m 2＋m ＋4)，则G (m ，－m ＋4)，∴FG ＝(－12m 2＋m ＋4)－(－m ＋4)＝－12m 2＋2m ，∴S四边形ABFC＝S△ABC＋S△BCF＝12AB·y C＋12FG·(x B－x C)＝12×6×4＋12×4×(－12m2＋2m)＝17，整理得m2－4m＋5＝0，∵b2－4ac＝16－4×1×5＝－4<0.∴方程无解，∴F点不存在；第7题解图（3）当x＝1时，－12x 2＋x＋4＝92，即D(1，92)．当x＝1时，－x＋4＝3，即E(1，3)，∴DE＝92－3＝32.设Q点坐标为(m，－12m2＋m＋4)，则P(m，－m＋4)．∴|PQ |＝|(－12m 2＋m ＋4)－(－m ＋4)|＝|－12m 2＋2m |.由PQ ∥DE ，PQ ＝DE 得|－12m 2＋2m |＝32，∴－12m 2＋2m ＝32或－12m 2＋2m ＝－32，解得m 1＝1(PQ 与DE 重合，舍去)，m 2＝3，m 3＝2＋7，m 4＝2－7. ∴P 点坐标为(3，1)或(2＋7，2－7)或(2－7，2＋7)．类型五 相似三角形的存在性问题8.如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过A 、B 两点，A 、B 两点的坐分别为(－1，0)、(0，－3)．（1）求抛物线的解析式；（2）点E 为抛物线的顶点，点C 为抛物线与x 轴的另一个交点，点D 为y 轴上一点，且DC ＝DE ，求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，直线DE 上是否存在点P ，使得以C 、D 、P 为顶点的三角形与△DOC 相似？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，说明理由．第8题图解：（1）∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A (－1，0)、 B (0，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－b ＋c ＝0c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2c ＝－3， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3； （2）令y ＝0，则x 2－2x －3＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3，∴点C 的坐标为(3，0)，∵y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，∴点E 的坐标为(1，－4)， 设点D 的坐标为(0，m ),如解图①，过点E 作EF ⊥y 轴于点F ， ∵DC 2＝OD 2＋OC 2＝m 2＋32，DE 2＝DF 2＋EF 2＝(m ＋4)2＋12， DC ＝DE ，∴m 2＋9＝m 2＋8m ＋16＋1， 解得m ＝－1，∴点D 的坐标为(0，－1)；第8题解图①（3）存在点P 使得以C 、D 、P 为顶点的三角形与△DOC 相似， 其坐标为(－13，0)、(13，－2)、(－3，8)、(3，－10)． 【解法提示】∵点C (3，0)，D (0，－1)，E (1，－4)， ∴CO ＝DF ＝3，DO ＝EF ＝1，根据勾股定理得，CD ＝OC 2＋OD 2＝32＋12＝10， 在△COD 和△DFE 中，⎩⎪⎨⎪⎧CO ＝DF ∠COD ＝∠DFE ＝90°DO ＝EF ，∴△COD ≌△DFE (SAS)，∴∠EDF ＝∠DCO ， 又∵∠DCO ＋∠CDO ＝90°，∴∠CDE ＝180°－90°＝90°，∴CD ⊥DE ， ①OC 与CD 是对应边时， ∵△DOC ∽△PDC ， ∴OC DC ＝OD DP ，即310＝1DP ，解得DP ＝103，如解图②，过点P 作PG ⊥y 轴于点G ，第8题解图②∵EF ⊥y 轴，∴△DGP ∽△DFE ， ∴DG DF ＝GP FE ＝DP DE ，即DG 3＝PG1＝10310，解得DG ＝1，PG ＝13，当点P 在点D 的左边时，OG ＝DG －DO ＝1－1＝0， ∴点P 1(－13，0)，当点P 在点D 的右边时，OG ＝DO ＋DG ＝1＋1＝2， ∴点P 2( 13，－2)；②OC与DP 是对应边时，∵△DOC ∽△CDP ，∴OC DP ＝DO CD ，即3DP ＝110，解得DP ＝310，如解图③，过点P 作PG ⊥y 轴于点G ，第8题解图③∵EF ⊥y 轴，∴△DGP ∽△DFE ， ∴DG DF ＝PG EF ＝DP DE ，即DG 3＝PG 1＝31010，解得DG ＝9，PG ＝3，当点P 在点D 的左边时，OG ＝DG －OD ＝9－1＝8， ∴点P 3的坐标是(－3，8)，当点P 在点D 的右边时，OG ＝OD ＋DG ＝1＋9＝10， ∴点P 4的坐标是(3，－10)，综上所述，满足条件的点P 共有4个，其坐标分别为(－13，0)、( 13，－2)、(－3，8)、(3，－10)．9. 如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(4，0)两点，与y轴相交于点C，连接BC.点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交直线BC于点G，交x轴于点E.第9题图（1）求抛物线的表达式；（2）当P在y轴右边的抛物线上运动时，过点C作CF⊥直线l，垂足为F.当点P运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似？并求出此时点P的坐标；（3）如图②，当点P在直线BC上方的抛物线上运动时，连接PC，PB.请问△PBC的面积S能否取得最大值？若能，请求出最大面积S，并求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．解：（1）由于抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(－1，0)和B(4，0)，∴抛物线的表达式为y＝－(x＋1)(x－4)＝－x2＋3x＋4；（2）对于抛物线y＝－x2＋3x＋4，令x＝0，则y＝4，∴C(0，4)，∵B (4，0)，∴OC ＝OB ＝4， 设P 点的坐标为(t ，－t 2＋3t ＋4)，则CF ＝t ，PF ＝|－t 2＋3t ＋4－4|＝|－t 2＋3t |，如果以P ，C ，F 为顶点的三角形与△OBC 相似，则CF ＝PF ， 即t ＝|－t 2＋3t |，当t ＝－t 2＋3t 时，解得t 1＝0(舍去)，t 2＝2， 此时，－t 2＋3t ＋4＝－22＋3×2＋4＝6， ∴P 的坐标为(2，6)；当－t ＝－t 2＋3t 时，解得t 3＝0(舍去)，t 4＝4， 此时，－t 2＋3t ＋4＝－42＋3×4＋4＝0， ∴P 的坐标为(4，0)．∴P 点的坐标为(2，6)或(4，0)；（3）设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋m (k ≠0)，代入点B (4，0)和点C (0，4),得⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋m ＝0m ＝4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1m ＝4， ∴直线BC 的解析式为y ＝－x ＋4. 设P 点坐标为(n ，－n 2＋3n ＋4)， ∵点G 在直线BC 上，∴G (n ，－n ＋4)，∵点P在直线BC上方抛物线上运动，∴PG＝－n2＋3n＋4－(－n＋4)＝－n2＋4n，∵S△PBC＝S△PGC＋S△PGB＝12PG·OE＋12PG·BE＝12PG×OB＝12×(－n2＋4n)×4＝－2(n－2)2＋8，∵－2＜0，0＜n＜4，∴当n＝2时，S△PBC有最大值为8，此时P点的坐标为(2，6)．类型六与角度问题有关的问题10.在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（-6，0），点B（4，0），点C（0，-8），直线y=-34x-4与x、y轴交于点D、E．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P是直角三角形ODE的两个锐角平分线的交点，求证：∠PDO+∠PEO=45°；（3）若在x轴上有一点H，满足2∠HEB=∠DEO，求点H的坐标；（4）若M为x轴下方抛物线上一点，过M作y轴的平行线交直线DE于点N，点F是点N关于直线ME的对称点，是否存在点M，使得点F落在y 轴上？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：⑴把A(-6，0)，B(4，0)，C(0，-8)的坐标代入y=ax2+bx+c得到⎪⎩⎪⎨⎧=++=+--=041606368c b a c b a c ，解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-===83231c b a ，∴函数的解析式为y =31x 2+32x -8， ⑵∵∠DOE =90°， ∴∠ODE +∠OED =90°，∵∠PDO =21∠ODE ，∠PEO =21∠DEO ， ∴∠PDO +∠PEO =21（∠ODE +∠OED ）=45°.（3）如解图，作DP 的延长线交y 轴于N ，作NM ⊥DE 于M ．第10题解图①由题意得D （-3，0），E （0，-4）， ∵∠NDO =∠NDM ，NO ⊥DO ，NM ⊥DM ，∴ON =NM ，设ON =MN =x ，易知DO =DM =3，DE =5，∴EM =2 在Rt △NME 中，∵EN 2=NM 2+EM 2， ∴（4-x ）2=x 2+22，∴x =23，∴ON =23， ∵OE =OB =4，∴∠OEB =∠OBE =45°， ∵∠H 1EB +∠H 1EO =45°，21∠DEO +∠ODN =45°，2∠H 1EB =∠DEO ， ∴∠ODN =∠H 1EO ，∴tan ∠H 1EO =tan ∠ODN =OD ON =323=21=OEOH 1，∴OH 1=2，∴点H 1坐标为（2，0）．当∠H 2EB =21∠DEO 时，同理可证，∠EH 2O =∠ODN ， ∴tan ∠EH 2O =21=2OH OE， ∴OH 2=8，∴点H 2坐标为（8，0），综上所述，满足条件的点H 坐标为（2，0）或（8，0）． （4）存在．理由如下：如解图②中，设M （m ，31m 2+32m -8），则N （m ，-34m -4）．第10题解图②①当EM 1平分∠N 1EF 1时，点F 1落在y 轴上， ∵M 1N 1∥y 轴，∴∠N 1M 1E =∠M 1EF 1=∠M 1EN 1，∴M 1N 1=EN 1， ∴-34m -4-（31m 2+32m -8）=-35m ， 解得m =-4或3（舍去），∴M 1（-4，-316）. ②当EM 平分∠NEF 时，点F 落在y 轴上， 由MN =EN ，∴-34m -4-（31m 2+32m -8）=35m ， 解得m =1或-12（舍去），∴M （1，-7）． ③当EM 2平分∠N 2EF 2时，点F 2落在y 轴上， 由M 2N 2=EN 2，∴（31m 2+32m -8）-（-34m -4）=35m ， 解得m =3或-4（舍去），∴M 2（3，-3）． 综上所述，满足条件的点M 坐标为（-4，-316）或（1，-7）或（3，-3）．。
二次函数综合题经典40题(含知识点与答案解析)(可编辑修改word版)
2019年03月08日〃子初ぐ的初中数学组卷评卷人得分一．解答题（共40小题）1．已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为y轴，且过点（1，2），（2，5）．（1）求二次函数的解析式；（2）如图，过点E（0，2）的一次函数图象与二次函数的图象交于A，B两点（A点在B 点的左侧），过点A，B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D．①当CD＝3时，求该一次函数的解析式；②分别用S1，S2，S3表示△ACE，△ECD，△EDB的面积，问是否存在实数t，使得S22＝tS1S3都成立？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．2．如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣k（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C过点B的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）过D点向x轴作垂线，垂足为点M，连结AD，若∠MDA＝∠ABD，求点D的坐标；（3）若在第一象限的抛物线上有一点P，使得以点A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，请直接写出△ABC的面积．3．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，图象经过B（﹣3，0）、C（0，3）两点，且与x轴交于点A．（1）求二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的表达式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使△ACM周长最短，求出点M的坐标；（3）若点P为抛物线对称轴上的一个动点，直接写出使△BPC为直角三角形时点P的坐标．4．定义：在平面直角坐标系xOy中，直线y＝a（x﹣m）+k称为抛物线y＝a（x﹣m）2+k 的关联直线．（1）求抛物线y＝x2+6x﹣1的关联直线；（2）已知抛物线y＝ax2+bx+c与它的关联直线y＝2x+3都经过y轴上同一点，求这条抛物线的表达式；（3）如图，顶点在第一象限的抛物线y＝﹣a（x﹣1）2+4a与它的关联直线交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C，连结AC、BC．当△ABC为直角三角形时，求a的值．5．已知抛物线y＝﹣x2+mx+m+1与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．（1）当m＝2时，抛物线与y轴交于点C．①直接写出点A、B、C的坐标；②如图1，连接AC，在x轴上方的抛物线上有一点D，若∠ABD＝∠ACO，求点D的坐标；③如图2，点P为抛物线位于第一象限图象上一动点，过P作PQ⊥CB，求PQ的最大值；（2）如图3，若点M为抛物线位于x轴上方图象上一动点，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，直线MN上有一点H，满足∠HBA与∠MAB互余，试判断HN的长是否变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出HN长．6．如图，已知抛物线经过点A（3，0），B（0，3），C（﹣1，0）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线的顶点坐标；（3）如图1，点D是抛物线上一动点，过D作y轴的平行线DE交直线AB于点E，当线段DE＝1时，请直接写出D点的横坐标；（4）如图2，当D为直线AB上方抛物线上一动点时，DF⊥AB于F，设AC的中点为M，连接BD，BM，是否存在点D，使得△BDF中有一个角与∠BMO相等？若存在，请直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．7．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点分别为A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点D（0，3），过顶点C作CH⊥x轴于点H（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；（2）连结AD、CD，若点E为抛物线上一动点（点E与顶点C不重合），当△ADE与△ACD面积相等时，求点E的坐标；（3）若点P为抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），过点P向CD所在的直线作垂线，垂足为点Q，以P、C、Q为顶点的三角形与△ACH相似时，求点P的坐标．8．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，2），直线CD：y＝﹣x+2与x轴交于点D．动点M在抛物线上运动，过点M作MP⊥x轴，垂足为P，交直线CD于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在线段OD上时，△CDM的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；（3）点E是抛物线对称轴与x轴的交点，点F是x轴上一动点，点M在运动过程中，若以C、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标．9．如图，在直角坐标平面内，抛物线经过原点O、点B（1，3），又与x轴正半轴相交于点A，∠BAO＝45°，点P是线段AB上的一点，过点P作PM∥OB，与抛物线交于点M，且点M在第一象限内．（1）求抛物线的表达式；（2）若∠BMP＝∠AOB，求点P的坐标；（3）过点M作MC⊥x轴，分别交直线AB、x轴于点N、C，若△ANC的面积等于△PMN 的面积的2倍，求的值．10．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，且过点（2，﹣3a）．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在一点P，过点P作PM⊥BD，垂足为点M，PM＝2DM？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）在（2）的条件下，求△PMD的面积．11．如图，直线y＝x+c与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，C．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点P是抛物线上的一个动点，并且点P在第二象限内，过动点P作PE⊥x轴于点E，交线段AC于点D．①如图1，过D作DF⊥y轴于点F，交抛物线于M，N两点（点M位于点N的左侧），连接EF，当线段EF的长度最短时，求点P，M，N的坐标；②如图2，连接CD，若以C，P，D为顶点的三角形与△ADE相似，求△CPD的面积．12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x＝﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．①当PA⊥NA，且PA＝NA时，求此时点P的坐标；②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．13．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与直线y＝x﹣3交于点A（3，0）和点B（﹣2，n），与y轴交于点C．（1）求出抛物线的函数表达式；（2）在图1中，平移线段AC，点A、C的对应点分别为M、N，当N点落在线段AB上时，M点也恰好在抛物线上，求此时点M的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点P（不与点A重合），使△PMC 的面积与△AMC的面积相等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．14．已知抛物线l1与l2形状相同，开口方向不同，其中抛物线l1：y＝ax2﹣6ax﹣10交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），且AB＝4，抛物线l2与l1交于点A与C（4，m）．（1）求抛物线l1，l2的函数表达式；（2）当x的取值范围是 时，抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大；（3）直线PQ∥y轴，分别交x轴，l1，l2于点D（n，0），P，Q，当≤n≤5时，求线段PQ的最大值．15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），在y轴上有一点E（0，1），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）若点D为抛物线在x轴负半轴下方的一个动点，求△ADE面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．16．在平面直角坐标系xOy中抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BCD的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，N是线段EF上一动点，M（m，0）是x轴上一动点，若∠MNC＝90°，直接写出实数m的取值范围．17．已知直线y＝x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y＝x2+mx﹣4经过点A，和x轴的另一个交点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点D是抛物线上的动点，且在第三象限，求△ABD面积的最大值；（3）如图2，经过点M（﹣4，1）的直线交抛物线于点P、Q，连接CP、CQ分别交y轴于点E、F，求OE•OF的值．18．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝+2分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B．点P是x轴上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线分别交抛物线和直线AB于点E和点F．设点P的横坐标为m．（1）点A的坐标为 ．（2）求这条抛物线所对应的函数表达式．（3）点P在线段OA上时，若以B、E、F为顶点的三角形与△FPA相似，求m的值．（4）若E、F、P三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），称E、F、P三点为“共谐点”．直接写出E、F、P三点成为“共谐点”时m的值．19．如图1，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝OC．点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD＝4，直线1是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．（1）求b、c的值；（2）如图1，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上，求点F的坐标；（3）如图2，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．抛物线上有一点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，请求出点Q到直线PN的距离．20．如图抛物线y＝ax2+2交x轴于点A（﹣2，0）、B，交y轴于点C；（1）求抛物线的解析式；（2）点P从点A出发，以1个单位/秒的速度向终点B运动，同时点Q从点C出发，以相同的速度沿y轴正方向向上运动，运动的时间为t秒，当点P到达点B时，点Q也停止运动，设△PQC的面积为S，求S与t间的函数关系式并直接写出t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当点P在线段OB上时，设PQ交直线AC于点G，过P作PE⊥AC于点E，求EG的长．21．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为﹣1．动点P在抛物线上运动（不与点A、B重合），过点P作y轴的平行线，交直线AB于点Q，当PQ不与y轴重合时，以PQ为边作正方形PQMN，使MN与y轴在PQ的同侧，连结PM．设点P的横坐标为m．（1）求b、c的值．（2）当点N落在直线AB上时，直接写出m的取值范围．（3）当点P在A、B两点之间的抛物线上运动时，设正方形PQMN周长为c，求c与m之间的函数关系式，并写出c随m增大而增大时m的取值范围．（4）当△PQM与y轴只有1个公共点时，直接写出m的值．22．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y 轴交于点N，其顶点为D．（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．23．已知：如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（﹣1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D．（1）求这条抛物线的解析式；（2）若抛物线与x轴的另一个交点为E．求△ODE的面积；抛物线的对称轴上是否存在点P使得△PAB的周长最短．若存在请求出P点的坐标，若不存在说明理由．24．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求点A、B、C的坐标；（2）点M（m，0）为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q 作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM．如图，点P在点Q左边，试用含m的式子表示矩形PQNM的周长；（3）当矩形PQNM的周长最大时，m的值是多少？并求出此时的△AEM的面积；（4）在（3）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y 轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG＝2DQ，求点F的坐标．25．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴相交于A（﹣4，0）、C（2，0）两点．与y轴相交于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线与y轴的交点B的坐标和抛物线顶点坐标；（3）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．26．在平面直角坐标系xOy中抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a≠0）的顶点A在第一象限，它的对称轴与x轴交于点B，△AOB为等腰直角三角形（1）写出抛物线的对称轴为直线 ；（2）求出抛物线的解析式；（3）垂直于y轴的直线L与该抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2）其中x1＜x2，直线L与函数y＝（x＞0）的图象交于点R（x3，y3），若，求x1+x2+x3的取值范围．27．已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣3（m是常数）．（1）证明：无论m取什么实数，该抛物线与x轴都有两个交点；（2）设抛物线的顶点为A，与x轴两个交点分别为B，D，B在D的右侧，与y轴的交点为C．①求证：当m取不同值时，△ABD都是等边三角形；②当|m|≤，m≠0时，△ABC的面积是否有最大值，如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由．28．已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0），且与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是y轴正半轴上的一个动点，连结DP，将线段DP绕着点D顺时针旋转90°得到线段DE，点P的对应点E恰好落在抛物线上，求出此时点P的坐标；（3）点M（m，n）是抛物线上的一个动点，连接MD，把MD2表示成自变量n的函数，并求出MD2取得最小值时点M的坐标．29．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0）．（1）求该二次函数的表达式及点C的坐标；（2）点D的坐标为（0，1），点F为该二次函数在第二象限内图象上的动点，连接CD、CF，以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF，设平行四边形CDEF的面积为S．①求S的最大值；②在点F的运动过程中，当点E落在该二次函数图象上时，求此时S的值及点E的坐标．30．如图1，抛物线y＝mx2﹣4mx+3m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点B在点A右侧）．与y轴交点C，与直线l：y＝x+1交于D、E两点，（1）当m＝1时，连接BC，求∠OBC的度数；（2）在（1）的条件下，连接DB、EB，是否存在抛物线在第四象限上一点P，使得S△DBE＝S△DPE？若存在，求出此时P点坐标及PB的长度；若不存在，请说明理由；（3）若以DE为直径的圆恰好与x轴相切，求此时m的值．31．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线l：y＝kx+m（k＜0）交于A（﹣1，﹣1）、B两点，与y轴交于C（0，2）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若y轴平分∠ACB，求k的值；（3）若在x轴上有且只有一点P，使∠APB＝90°，求k的值．32．如图，已知点E在x轴上，⊙E交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，OB＝3OA＝3，抛物线y＝ax2+bx+c的图象过A、B、C三点，顶点为M．（1）写出A、B两点的坐标A ，B ；（2）求二次函数的关系式；（3）点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ垂足为Q，若OQ＝m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数关系式，和四边形ACPQ的面积的最大值．33．如图，点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B．已知抛物线y＝x2+bx+c过点A和B，与y轴交于点C．（1）求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象（要求过点A、B、C，开口方向、顶点和对称轴相对准确）（2）点Q（8，m）在抛物线y＝x2+bx+c上，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ+PB的最小值；（3）CE是过点C的⊙M的切线，点E是切点，求OE所在直线的解析式．34．如图，抛物线y＝ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD．OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF＝3：2时，求点D的坐标．（3）如图2，点E的坐标为（0，），点P是抛物线上第一象限上的点，连接EB，PB，PE形成的△PBE中，是否存在点P，使∠PBE或∠PEB等于2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．35．如图，顶点为D的抛物线y＝﹣x2+x+4与y轴交于点A，与x轴交于两点B、C（点B在点C的左边），点A与点E关于抛物线的对称轴对称，点B、E在直线y＝kx+b（k，b为常数）上．（1）求k，b的值；（2）点P为直线AE上方抛物线上的任意一点，过点P作AE的垂线交AE于点F，点G为y轴上任意一点，当△PBE的面积最大时，求PF+FG+OG的最小值；（3）在（2）中，当PF+FG+OG取得最小值时，将△AFG绕点A按顺时方向旋转30°后得到△AF1G1，过点G1作AE的垂线与AE交于点M．点D向上平移个单位长度后能与点N重合，点Q为直线DN上任意一点，在平面直角坐标系中是否存在一点S，使以S、Q、M、N为顶点且MN为边的四边形为菱形？若存在，直接写出点S的坐标；若不存在，请说明理由．36．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线y＝﹣x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是直线CD上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E，设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）求PE的长最大时m的值．（3）Q是平面直角坐标系内一点，在（2）的情况下，以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形是否存在？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．37．已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点的坐标分别为A （0，2），B（﹣1，0），点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按逆时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）、经过点D．（1）如图1，若该抛物线经过原点O，且a＝﹣1．①求点D的坐标及该抛物线的解析式；②连结CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．（2）如图2，若该抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点E（﹣1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余，若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围 ．38．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（3，0），与y轴交于C（0，3），抛物线顶点为D点．（1）求此抛物线解析式；（2）如图1，点P为抛物线上的一个动点，且在对称轴右侧，若△ADP面积为3，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，PA交对称轴于点E，如图2，过E点的任一条直线与抛物线交于M，N两点，直线MD交直线y＝﹣3于点F，连结NF，求证：NF∥y轴．39．如图1，正方形ABCD的一边AB在x轴的正半轴上，⊙M是正方形ABCD的外接圆，连接OD，与⊙M相交于E点，连接BE与AD交于点F，已知AB＝4，（1）求证：△ODA≌△FBA；（2）如图2，当E是OD中点时，点G是过E、A、B的抛物线的顶点，连接AG，①求点E的坐标；②求证：AG是⊙M的切线．（3）如图3，连接CE，若ED+EA＝3，直接写出EC+EB的值．40．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线顶点为C（1，2），且与直线y＝x交于点B（，）；点P为抛物线上O，B两点之间一个动点（不与O，B两点重合），过P 作PQ∥y轴交线段OB于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）当PQ的长度为最大值时，求点Q的坐标；（3）点M为抛物线上O，B两点之间一个动点（不与O，B两点重合），点N为线段OB 上一个动点；当四边形PQNM为平行四边形，且PN⊥OB时，请直接写出Q点坐标．2019年03月08日〃子初ぐ的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共40小题）1．已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为y轴，且过点（1，2），（2，5）．（1）求二次函数的解析式；（2）如图，过点E（0，2）的一次函数图象与二次函数的图象交于A，B两点（A点在B 点的左侧），过点A，B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D．①当CD＝3时，求该一次函数的解析式；②分别用S1，S2，S3表示△ACE，△ECD，△EDB的面积，问是否存在实数t，使得S22＝tS1S3都成立？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）把点（1，2），（2，5）坐标和对称轴为y轴三个条件，代入二次函数的表达式即可求解；（2）①将一次函数表达式与二次函数表达式联立并整理得：x2﹣kx﹣1＝0，利用x2﹣x1＝＝＝3，即可求解；②分别求出S1、S2、S3，用韦达定理化简，即可求解．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，故：二次函数的表达式为：y＝x2+1；（2）①设过点E的一次函数表达式为：y＝kx+2，将一次函数表达式与二次函数表达式联立并整理得：x2﹣kx﹣1＝0，设点A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）（x1＜x2），则：x1+x2＝k，x1x2＝﹣1，x2﹣x1＝＝＝3，解得：k＝，∴该一次函数表达式为：y＝x+2或y＝﹣x+2；②S1＝AC•OC＝﹣x1y1，S2＝CD•OE＝（x2﹣x1）＝k2+4，S3＝BD•OD＝x2y2，x1+x2＝k，x1x2＝﹣1，则：S1•S2＝﹣x1x2[k2x1x2+2k（x1+x2）+4]＝（k2+4）＝4S2，∴t＝4．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，主要考查利用韦达定理处理复杂的数据，难度不大．2．如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣k（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C过点B的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）过D点向x轴作垂线，垂足为点M，连结AD，若∠MDA＝∠ABD，求点D的坐标；（3）若在第一象限的抛物线上有一点P，使得以点A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，请直接写出△ABC的面积．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）求出A、B的坐标，把点B坐标代入直线表达式即可求解；（2）利用△AMD∽△DMB，＝，即可求解；（3）分△ABC∽△APB、△ABC∽△PAB两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）抛物线y＝x2﹣x﹣k＝（x+2）（x﹣4），令y＝0，则x＝﹣2或4，即点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（4，0），把点B坐标代入直线y＝﹣x+b得：﹣×4+b＝0，解得：b＝，∴直线BD的表达式为：y＝﹣x+，当x＝﹣5时，y＝3，∴D（﹣5，3），把点D的坐标代入抛物线表达式得：（﹣5+2）（﹣5﹣4）＝3，k＝，∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣；（2）设点D的坐标为（x，﹣x+），则：DM＝﹣x+，BM＝4﹣x，AM＝﹣2﹣x，∵∠MDA＝∠ABD，∠AMD＝∠DMB，∴△AMD∽△DMB，∴＝，即：（﹣x+）2＝（4﹣x）（﹣2﹣x），解得：x＝﹣5或4（舍去x＝4），∴点D的坐标为（﹣5，3）；（3）由抛物线的表达式，令x＝0，则y＝﹣k，∴点C的坐标为（0，﹣k），OC＝k，①当△ABC∽△APB时，则∠BAC＝∠PAB，设点P的坐标为（x，y），过点P作PN⊥x轴交于点N，则ON＝x，PN＝y，tan∠BAC＝tan∠PAB，即：，∴y＝kx+k，把点P（x，）代入抛物线表达式并解得：x＝8或﹣2（舍去﹣2），故点P的坐标为（8，5k），∵△ABC∽△APB，∴AB2＝AC•AP，即：62＝，解得：k＝，S△ABC＝AB•OC＝＝；②△ABC∽△PAB时，同理可得：k＝，S△ABC＝AB•OC＝＝3，故：△ABC的面积为＝或3．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形相似、解直角三角形等，（2）（3）的关键是通过相似确定线段间的比例关系．3．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，图象经过B（﹣3，0）、C（0，3）两点，且与x轴交于点A．（1）求二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的表达式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使△ACM周长最短，求出点M的坐标；（3）若点P为抛物线对称轴上的一个动点，直接写出使△BPC为直角三角形时点P的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）由抛物线的对称轴及点B的坐标可求出点A的坐标，由点A，B，C的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式；（2）连接BC，交直线x＝﹣1于点M，此时△ACM周长最短，由点B，C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的函数表达式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点M的坐标；（3）设点P的坐标为（﹣1，m），结合点B，C的坐标可得出PB2，PC2，BC2的值，分∠BCP＝90°，∠CBP＝90°，∠BPC＝90°三种情况考虑，①当∠BCP＝90°时，利用勾股定理可得出关于m的一元一次方程，解之可得出m的值，进而可得出点P的坐标；②当∠CBP＝90°时，利用勾股定理可得出关于m的一元一次方程，解之可得出m的值，进而可得出点P的坐标；③当∠BPC＝90°时，利用勾股定理可得出关于m 的一元二次方程，解之可得出m的值，进而可得出点P的坐标．综上，此题得解．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，点B的坐标为（﹣3，0），∴点A的坐标为（1，0）．将A（1，0），B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，得：，解得：，∴二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3．（2）连接BC，交直线x＝﹣1于点M，如图1所示．∵点A，B关于直线x＝﹣1对称，∴AM＝BM．∵点B，C，M三点共线，∴此时AM+CM取最小值，最小值为BC．设直线BC的函数表达式为y＝kx+d（k≠0），将B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝kx+d，得：，解得：，∴直线BC的函数表达式为y＝x+3．当x＝﹣1时，y＝x+3＝2，∴当点M的坐标为（﹣1，2）时，△ACM周长最短．（3）设点P的坐标为（﹣1，m），∵点B的坐标为（﹣3，0），点C的坐标为（0，3），∴PB2＝[﹣3﹣（﹣1）]2+（0﹣m）2＝m2+4，PC2＝[0﹣（﹣1）]2+（3﹣m）2＝m2﹣6m+10，BC2＝[0﹣（﹣3）]2+（3﹣0）2＝18．分三种情况考虑（如图2）：①当∠BCP＝90°时，BC2+PC2＝PB2，∴18+m2﹣6m+10＝m2+4，解得：m＝4，∴点P的坐标为（﹣1，4）；②当∠CBP＝90°时，BC2+PB2＝PC2，∴18+m2+4＝m2﹣6m+10，解得：m＝﹣2，∴点P的坐标为（﹣1，﹣2）；③当∠BPC＝90°时，PB2+PC2＝BC2，∴m2+4+m2﹣6m+10＝18，整理得：m2﹣3m﹣2＝0，解得：m1＝，m2＝，∴点P的坐标为（﹣1，）或（﹣1，）．综上所述：使△BPC为直角三角形时点P的坐标为（﹣1，﹣2），（﹣1，），（﹣1，）或（﹣1，4）．【点评】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式、三角形的三边关系、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、两点间的距离公式、勾股定理以及解一元一次（二次）方程，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用二次函数的对称性及三角形的三边关系，找出点M所在的位置；（3）分∠BCP＝90°，∠CBP＝90°，∠BPC＝90°三种情况，找出关于m的方程．4．定义：在平面直角坐标系xOy中，直线y＝a（x﹣m）+k称为抛物线y＝a（x﹣m）2+k 的关联直线．（1）求抛物线y＝x2+6x﹣1的关联直线；（2）已知抛物线y＝ax2+bx+c与它的关联直线y＝2x+3都经过y轴上同一点，求这条抛物线的表达式；（3）如图，顶点在第一象限的抛物线y＝﹣a（x﹣1）2+4a与它的关联直线交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C，连结AC、BC．当△ABC为直角三角形时，求a的值．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）根据关联直线的定义可求；（2）由题意可得a＝2，c＝3，设抛物线的顶点式为y＝2（x﹣m）2+k，可得，可求m和k的值，即可求这条抛物线的表达式；（3）由题意可得A（1，4a）B（2，3a）C（﹣1，0），可求AB2＝1+a2，BC2＝9+9a2，AC2＝4+16a2，分BC，AC为斜边两种情况讨论，根据勾股定理可求a的值．【解答】解：（1）∵y＝x2+6x﹣1＝（x+3）2﹣10∴关联直线为y＝x+3﹣10＝x﹣7（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c与它的关联直线y＝2x+3都经过y轴上同一点，∴a＝2，c＝3，可设抛物线的顶点式为y＝2（x﹣m）2+k，则其关联直线为y＝2（x﹣m）+k＝2x﹣2m+k，∴解得∴抛物线y＝2x2+3或y＝2（x+1）2+1，（3）由题意：A（1，4a）B（2，3a）C（﹣1，0），∴AB2＝1+a2，BC2＝9+9a2，AC2＝4+16a2，显然AB2＜BC2且AB2＜AC2，故AB不能成为△ABC的斜边，当AB2+BC2＝AC2时：1+a2+9+9a2＝4+16a2解得a＝±1，当AB2+AC2＝BC2时：1+a2+4+16a2＝9+9a2解得，∵抛物线的顶点在第一象限∴a＞0，即【点评】本题是二次函数综合题，直角三角形的性质，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；理解坐标与图象性质，记住两点间的距离公式，注意分情况讨论思想的应用．5．已知抛物线y＝﹣x2+mx+m+1与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．（1）当m＝2时，抛物线与y轴交于点C．①直接写出点A、B、C的坐标；②如图1，连接AC，在x轴上方的抛物线上有一点D，若∠ABD＝∠ACO，求点D的坐标；③如图2，点P为抛物线位于第一象限图象上一动点，过P作PQ⊥CB，求PQ的最大值；（2）如图3，若点M为抛物线位于x轴上方图象上一动点，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，直线MN上有一点H，满足∠HBA与∠MAB互余，试判断HN的长是否变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出HN长．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）①先解方程﹣x2+2x+3＝0得A点和B点坐标；然后计算自变量为0时的函数值得到C点坐标；②OD交y轴于E，如图2，通过证明Rt△OBE∽Rt△OCA，利用相似比得到OE＝OA＝1，则E（0，1），再利用待定系数法求出直线BE的解析式为y＝﹣x+1，然后解方程得D点坐标；③作PK⊥x轴于K，交BC于F，如图2，易得直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设P（x，﹣x2+2x+3）（0＜x＜3），则F（x，﹣x+3），所以PF＝﹣x2+3x，再证明∠BFK＝∠PFQ＝45°，所以PQ＝PF＝﹣x2+x，然后根据二次函数的性质解决问题；（2）先解方程﹣x2+mt+m+1＝0得A（﹣1，0），B（m+1，0），延长BH交AM于G，如图3，证明Rt△BNH∽△MNA，则＝，设M（t，﹣t2+mt+m+1），则N（t，0），所以＝，然后根据分式的运算可得到HN＝1．【解答】解：（1）①当m＝2时，抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），当y＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，则C（0，3）；②OD交y轴于E，如图2，∵∠OBE＝∠ACO，∴Rt△OBE∽Rt△OCA，∴＝＝，∴OE＝OA＝1，∴E（0，1），设直线BE的解析式为y＝kx+b，把B（3，0），E（0，1）代入得，解得，∴直线BE的解析式为y＝﹣x+1，解方程组得或﹣，∴D点坐标为（﹣，）；③作PK⊥x轴于K，交BC于F，如图2，易得直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设P（x，﹣x2+2x+3）（0＜x＜3），则F（x，﹣x+3），∴PF＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x，∵OB＝OC＝3，∴△OCB为等腰直角三角形，∴∠KBF＝45°，∴∠BFK＝∠PFQ＝45°，∴PQ＝PF＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，当x＝时，PQ有最大值，最大值为；（2）HN的长度不变，它的长度为1．。
2019年中考数学复习《二次函数》专项精练卷及解析
2019年中考数学复习《二次函数》专项精练卷1.计算（﹣2a2b）3的结果是（）A．﹣6a6b3B．﹣8a6b3C．8a6b3D．﹣8a5b32.列式子的计算结果为26的是（）A．23+23B．23•23C．（23）3D．212÷223.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC，则下列结论：①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c（a≠0）有一个根为﹣其中正确的结论个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4.设边长为3的正方形的对角线长为a．下列关于a的四种说法：①a是无理数；②a可以用数轴上的一个点来表示；③3＜a＜4；④a是18的算术平方根．其中，所有正确说法的序号是（）A．①④B．②③C．①②④D．①③④②a可以用数轴上的一个点来表示，说法正确；③∵16＜18＜25，4＜＜5，即4＜a＜5，说法错误；④a是18的算术平方根，说法正确．5.已知抛物线y=ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y轴左侧；②关于x的方程ax2+bx+c+2=0无实数根；③a﹣b+c≥0；④的最小值为3．其中，正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个6.如图，坐标平面上，二次函数y=﹣x2+4x﹣k的图形与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，且k＞0．若△ABC与△ABD的面积比为1：4，则k值为何？（）A．1B．C．D．7.计算（2a3）2的结果是（）A．4a6B．4a5C．2a6D．2a58.下列计算中，正确的是（）A．a+a11=a12B．5a﹣4a=a C．a6÷a5=1D．（a2）3=a59.已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A．1或﹣5B．﹣1或5C．1或﹣3D．1或310.点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y=﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＞y2＞y1B．y3＞y1=y2C．y1＞y2＞y3D．y1=y2＞y311.计算（x3）2的结果等于．12.已知a+b=3，a﹣b=﹣1，则a2﹣b2的值为．【真题演练】1.（2018•淮安）将二次函数y=x2﹣1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是．2.（2018•滨州）如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．43.（2018•上海）下列对二次函数y=x2﹣x的图象的描述，正确的是（）A．开口向下B．对称轴是y轴C．经过原点D．在对称轴右侧部分是下降的4.（2018•青岛）已知一次函数y=x+c的图象如图，则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．5.2018•临安区）抛物线y=3（x﹣1）2+1的顶点坐标是（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）6.（2018•泸州）已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（）A．1或﹣2B．或C．D．17.（2018•绍兴）若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（）A．（﹣3，﹣6）B．（﹣3，0）C．（﹣3，﹣5）D．（﹣3，﹣1）8.（2018•达州）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2．下列结论：①abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点M（，y1），点N（，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；④﹣＜a＜﹣．其中正确结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解析2019年中考数学复习《二次函数》专项精练卷1.计算（﹣2a2b）3的结果是（）A．﹣6a6b3B．﹣8a6b3C．8a6b3D．﹣8a5b3【解析】解：（﹣2a2b）3=﹣8a6b3．故选B．2.列式子的计算结果为26的是（）A．23+23B．23•23C．（23）3D．212÷22【解析】解：A、原式=23•（1+1）=24，不合题意；B、原式=23+3=26，符合题意；C、原式=29，不合题意；D、原式=212﹣2=210，不合题意．故选B．3.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC，则下列结论：①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c（a≠0）有一个根为﹣其中正确的结论个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由二次函数图象的开口方向、对称轴及与y轴的交点可分别判断出a、b、c的符号，从而可判断①；由图象可知当x=3时，y＜0，可判断②；由OA=OC，且OA＜1，可判断③；把﹣代入方程整理可得ac2﹣bc+c=0，结合③可判断④；从而可得出答案．4.设边长为3的正方形的对角线长为a．下列关于a的四种说法：①a是无理数；②a可以用数轴上的一个点来表示；③3＜a＜4；④a是18的算术平方根．其中，所有正确说法的序号是（）A．①④B．②③C．①②④D．①③④【解析】解：∵边长为3的正方形的对角线长为a，∴a===3．①a=3是无理数，说法正确；②a可以用数轴上的一个点来表示，说法正确；③∵16＜18＜25，4＜＜5，即4＜a＜5，说法错误；④a是18的算术平方根，说法正确．所以说法正确的有①②④．故选C．5.已知抛物线y=ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y轴左侧；②关于x的方程ax2+bx+c+2=0无实数根；③a﹣b+c≥0；④的最小值为3．其中，正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】解：∵b＞a＞0∴﹣＜0，所以①正确；∵抛物线与x轴最多有一个交点，∴b2﹣4ac≤0，∴关于x的方程ax2+bx+c+2=0中，△=b2﹣4a（c+2）=b2﹣4ac﹣8a＜0，所以②正确；∵a＞0及抛物线与x轴最多有一个交点，∴x取任何值时，y≥0∴当x=﹣1时，a﹣b+c≥0；所以③正确；当x=﹣2时，4a﹣2b+c≥0a+b+c≥3b﹣3aa+b+c≥3（b﹣a）≥3所以④正确．故选：D．6.如图，坐标平面上，二次函数y=﹣x2+4x﹣k的图形与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，且k＞0．若△ABC与△ABD的面积比为1：4，则k值为何？（）A．1B．C．D．【解析】解：∵y=﹣x2+4x﹣k=﹣（x﹣2）2+4﹣k，∴顶点D（2，4﹣k），C（0，﹣k），∴OC=k，∵△ABC的面积=AB•OC=AB•k，△ABD的面积=AB（4﹣k），△ABC与△ABD 的面积比为1：4，∴k=（4﹣k），解得：k=．故选：D．7.计算（2a3）2的结果是（）A．4a6B．4a5C．2a6D．2a5【解析】解：（2a3）2=4a6．故选A．8.下列计算中，正确的是（）A．a+a11=a12B．5a﹣4a=a C．a6÷a5=1D．（a2）3=a5【解析】解：A、a与a11是相加，不是相乘，所以不能利用同底数幂相乘的性质计算，故A 错误；B、5a﹣4a=a，故B正确；C、应为a6÷a5=a，故C错误；D、应为（a2）3=a6，故D错误．故选：B．9.已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A．1或﹣5B．﹣1或5C．1或﹣3D．1或3【解析】解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小，∴①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5，可得：（1﹣h）2+1=5，解得：h=﹣1或h=3（舍）；②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5，可得：（3﹣h）2+1=5，解得：h=5或h=1（舍）．综上，h的值为﹣1或5，故选：B．10.点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y=﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＞y2＞y1B．y3＞y1=y2C．y1＞y2＞y3D．y1=y2＞y3【解析】解：∵y=﹣x2+2x+c，∴对称轴为x=1，P2（3，y2），P3（5，y3）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，∵3＜5，∴y2＞y3，根据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，故y1=y2＞y3，故选D．11.计算（x3）2的结果等于x6．【解析】解：（x3）2=x6，故答案为：x6．12.已知a+b=3，a﹣b=﹣1，则a2﹣b2的值为﹣3．【解析】解：∵a+b=3，a﹣b=﹣1，∴原式=（a+b）（a﹣b）=﹣3，故答案为：﹣3．【真题演练】1.（2018•淮安）将二次函数y=x2﹣1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是y=x2+2．【解析】解：二次函数y=x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），把点（0，﹣1）向上平移3个单位长度所得对应点的坐标为（0，2），所以平移后的抛物线解析式为y=x2+2．故答案为：y=x2+2．2.（2018•滨州）如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解析】解：①∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，且开口向下，∴x=1时，y=a+b+c，即二次函数的最大值为a+b+c，故①正确；②当x=﹣1时，a﹣b+c=0，故②错误；③图象与x轴有2个交点，故b2﹣4ac＞0，故③错误；④∵图象的对称轴为x=1，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），∴A（3，0），故当y＞0时，﹣1＜x＜3，故④正确．故选：B．3.（2018•上海）下列对二次函数y=x2﹣x的图象的描述，正确的是（）A．开口向下B．对称轴是y轴C．经过原点D．在对称轴右侧部分是下降的【解析】解：A、∵a=1＞0，∴抛物线开口向上，选项A不正确；B、∵﹣=，∴抛物线的对称轴为直线x=，选项B不正确；C、当x=0时，y=x2﹣x=0，∴抛物线经过原点，选项C正确；D、∵a＞0，抛物线的对称轴为直线x=，∴当x＞时，y随x值的增大而减小，选的D不正确．故选：C．4.（2018•青岛）已知一次函数y=x+c的图象如图，则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【解析】解：观察函数图象可知：＜0、c＞0，∴二次函数y=ax2+bx+c的图象对称轴x=﹣＞0，与y轴的交点在y轴负正半轴．故选：A．5.2018•临安区）抛物线y=3（x﹣1）2+1的顶点坐标是（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）【分析】已知抛物线顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）．【解析】解：∵抛物线y=3（x﹣1）2+1是顶点式，∴顶点坐标是（1，1）．故选A．6.（2018•泸州）已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（）A．1或﹣2B．或C．D．1【解析】解：∵二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），∴对称轴是直线x=﹣=﹣1，∵当x≥2时，y随x的增大而增大，∴a＞0，∵﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，∴x=1时，y=a+2a+3a2+3=9，∴3a2+3a﹣6=0，∴a=1，或a=﹣2（不合题意舍去）．故选：D．7.（2018•绍兴）若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（）A．（﹣3，﹣6）B．（﹣3，0）C．（﹣3，﹣5）D．（﹣3，﹣1）【解析】解：∵某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，∴该定弦抛物线过点（0，0）、（2，0），∴该抛物线解析式为y=x（x﹣2）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1．将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新抛物线的解析式为y=（x﹣1+2）2﹣1﹣3=（x+1）2﹣4．当x=﹣3时，y=（x+1）2﹣4=0，∴得到的新抛物线过点（﹣3，0）．故选：B．8.（2018•达州）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2．下列结论：①abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点M（，y1），点N（，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；④﹣＜a＜﹣．其中正确结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】解：①由开口可知：a＜0，∴对称轴x=＞0，∴b＞0，由抛物线与y轴的交点可知：c＞0，∴abc＜0，故①正确；②∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为x=2，∴抛物线与x轴的另外一个交点为（5，0），∴x=3时，y＞0，∴9a+3b+c＞0，故②正确；③由于＜2，且（，y2）关于直线x=2的对称点的坐标为（，y2），∵，∴y1＜y2，故③正确，④∵=2，∴b=﹣4a，∵x=﹣1，y=0，∴a﹣b+c=0，∴c=﹣5a，∵2＜c＜3，∴2＜﹣5a＜3，∴﹣＜a＜﹣，故④正确故选：D．。
2019年中考数学专题《二次函数》复习试卷含答案解析
2019年中考数学专题复习卷: 二次函数一、选择题1.若二次函数y＝(a－1)x2＋3x＋a2－1的图象经过原点，则a的值必为（）A. 1或－1 B. 1C. －1 D. 02.对于抛物线y＝ax2＋(2a－1)x＋a－3，当x＝1时，y＞0，则这条抛物线的顶点一定在（）A. 第一象限B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3.把抛物线y＝- 向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A. y＝-(x-1)2-3B. y＝-(x＋1)2-3 C. y＝-(x-1)2＋3 D. y＝-(x＋1)2＋34.已知抛物线（，，为常数，）经过点. ，，其对称轴在轴右侧，有下列结论：①抛物线经过点；②方程有两个不相等的实数根；③.，正确结论的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 35.当a≤x≤a+1时，函数y=x2-2x+1的最小值为1，则a的值为（）A. -1B. 2C. 0或2 D. -1或26.二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系内的大致图象是（）A. B. C. D.7.已知二次函数( 为常数),当自变量的值满足时,与其对应的函数值的最大值为-1,则的值为( )A. 3或6B. 1或6 C. 1或3 D. 4或68.已知抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）经过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段BC有交点，其中点B（1，0），点C（3，0），则c的值不可能是（）A．4 B．6 C．8 D．109.有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（）A. 2.76米B. 6.76米C. 6米 D. 7米10.已知抛物线y=-x2+mx的对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0（t为实数）在1<x<5的范围内有解，则t的取值范围是（）A. t＞-5B. -5＜t＜3 C. 3＜t≤4 D. -5＜t≤411.如图，已知二次函数图象与x轴交于A，B两点，对称轴为直线x=2，下列结论：①abc>0；②4a+b=0；③若点A坐标为(−1，0)，则线段AB=5；④若点M(x1， y1)、N(x2， y2)在该函数图象上，且满足0<x1<1，2<x2<3，则y1<y2其中正确结论的序号为（）A. ①，②B. ②，③ C. ③，④ D. ②，④12.如图，在中，，，，动点从点开始沿向点以以的速度移动，动点从点开始沿向点以的速度移动.若，两点分别从，两点同时出发，点到达点运动停止，则的面积随出发时间的函数关系图象大致是（）A. B. C.D.二、填空题13.抛物线y=2(x+2) +4的顶点坐标为________.14.将二次函数的图像向上平移3个单位长度，得到的图像所对应的函数表达式是________．15.已知二次函数，当时，函数值的最小值为，则的值是________．16.“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解,解决下面问题:若p、q(P是关于x的方程2-(x-a)(x-b)=0的两根且a则请用“<”来表示a、b、P、q的大小是________17.如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则方程的解是________．18.已知抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移m（m＞0）个单位，平移后的抛物线于x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段AD的三等分点，则m的值为________．19.小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至出水管BD的距离为12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E，则点E 到洗手盆内侧的距离EH为________cm．20.如图，在中，，，，点是边上的动点（不与点重合），过作，垂足为，点是的中点，连接，设，的面积为，则与之间的函数关系式为________．三、解答题21.已知：二次函数y=ax 2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．请你根据图象提供的信息，求出这条抛物线的表达式．22.某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于50%．经试销发现，销售量P（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系，当销售单价为65元时销售量为55件，当销售单价为75元时销售量为45件．（Ⅰ）求P与x的函数关系式；（Ⅱ）若该商场获得利润为y元，试写出利润y与销售单价x之间的关系式；（Ⅲ）销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？23.如图，平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a（x+1）（x-9）经过A，B两点，四边形OABC矩形，已知点A坐标为（0，6）。
2019年中考数学专题汇编 二次函数-综合题(一) (word版有答案解析)
九上数学-二次函数-综合题（一）一．解答题（共40小题）1．（2019•赤峰）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB＝∠OCB？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．2．（2019•通辽）已知，如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为M（1，9），经过抛物线上的两点A（﹣3，﹣7）和B（3，m）的直线交抛物线的对称轴于点C．（1）求抛物线的解析式和直线AB的解析式．（2）在抛物线上A、M两点之间的部分（不包含A、M两点），是否存在点D，使得S△DAC＝2S△DCM若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P的坐标．3．（2019•吉林）如图，抛物线y＝（x﹣1）2+k与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）．P为抛物线上一点，横坐标为m，且m＞0．（1）求此抛物线的解析式；（2）当点P位于x轴下方时，求△ABP面积的最大值；（3）设此抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）最高点与最低点的纵坐标之差为h．①求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；②当h＝9时，直接写出△BCP的面积．4．（2019•绥化）已知抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴为直线x＝，交x轴于点A、B，交y 轴于点C，且点A坐标为A（﹣2，0）．直线y＝﹣mx﹣m（m＞0）与抛物线交于点P、Q（点P在点Q的右边），交y轴于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）若n＝﹣5，且△CPQ的面积为3，求m的值；（3）当m≠1时，若n＝﹣3m，直线AQ交y轴于点K．设△PQK的面积为S，求S与m 之间的函数解析式．5．（2019•齐齐哈尔）综合与探究如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，点D的坐标为．（3）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；（4）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2019•襄阳）如图，在直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴，y轴分别交于点B，点C，对称轴为x＝1的抛物线过B，C两点，且交x轴于另一点A，连接AC．（1）直接写出点A，点B，点C的坐标和抛物线的解析式；（2）已知点P为第一象限内抛物线上一点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；（3）抛物线上是否存在一点Q（点C除外），使以点Q，A，B为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2019•随州）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c与y 轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（﹣2，0），C（6，0）．（1）直接写出抛物线的解析式及其对称轴；（2）如图2，连接AB，AC，设点P（m，n）是抛物线上位于第一象限内的一动点，且在对称轴右侧，过点P作PD⊥AC于点E，交x轴于点D，过点P作PG∥AB交AC于点F，交x轴于点G．设线段DG的长为d，求d与m的函数关系式，并注明m的取值范围；（3）在（2）的条件下，若△PDG的面积为，①求点P的坐标；②设M为直线AP上一动点，连接OM交直线AC于点S，则点M在运动过程中，在抛物线上是否存在点R，使得△ARS为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M及其对应的点R的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2019•梧州）如图，已知⊙A的圆心为点（3，0），抛物线y＝ax2﹣x+c过点A，与⊙A 交于B、C两点，连接AB、AC，且AB⊥AC，B、C两点的纵坐标分别是2、1．（1）请直接写出点B的坐标，并求a、c的值；（2）直线y＝kx+1经过点B，与x轴交于点D．点E（与点D不重合）在该直线上，且AD＝AE，请判断点E是否在此抛物线上，并说明理由；（3）如果直线y＝k1x﹣1与⊙A相切，请直接写出满足此条件的直线解析式．9．（2019•柳州）如图，直线y＝x﹣3交x轴于点A，交y轴于点C，点B的坐标为（1，0），抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A，B，C三点，抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴的交点为点E，点E关于原点的对称点为F，连接CE，以点F为圆心，CE的长为半径作圆，点P为直线y＝x﹣3上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△BDP周长的最小值；（3）若动点P与点C不重合，点Q为⊙F上的任意一点，当PQ的最大值等于CE时，过P，Q两点的直线与抛物线交于M，N两点（点M在点N的左侧），求四边形ABMN 的面积．10．（2019•张家界）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，OC＝3．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）过点A作AM⊥BC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；（3）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；（4）若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+QC是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．11．（2019•贵阳）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC，若点P在y轴上时，BP和BC的夹角为15°，求线段CP的长度；（3）当a≤x≤a+1时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为2a，求a的值．12．（2019•包头）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；（2）点D为抛物线对称轴上一点，连接CD、BD，若∠DCB＝∠CBD，求点D的坐标；（3）已知F（1，1），若E（x，y）是抛物线上一个动点（其中1＜x＜2），连接CE、CF、EF，求△CEF面积的最大值及此时点E的坐标．（4）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．13．（2019•烟台）如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x轴，垂足为点E，双曲线y＝（x＞0）经过点D，连接MD，BD．（1）求抛物线的表达式；（2）点N，F分别是x轴，y轴上的两点，当以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，求出点N，F的坐标；（3）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何值时，∠BPD的度数最大？（请直接写出结果）14．（2019•玉林）已知二次函数：y＝ax2+（2a+1）x+2（a＜0）．（1）求证：二次函数的图象与x轴有两个交点；（2）当二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且a为负整数时，求a的值及二次函数的解析式并画出二次函数的图象（不用列表，只要求用其与x轴的两个交点A，B（A在B的左侧），与y轴的交点C及其顶点D这四点画出二次函数的大致图象，同时标出A，B，C，D的位置）；（3）在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在一点P使∠PCA＝75°？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．15．（2019•桂林）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）和B（l，0），与y 轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）作射线AC，将射线AC绕点A顺时针旋转90°交抛物线于另一点D，在射线AD 上是否存在一点H，使△CHB的周长最小．若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，点Q为抛物线的顶点，点P为射线AD上的一个动点，且点P 的横坐标为t，过点P作x轴的垂线l，垂足为E，点P从点A出发沿AD方向运动，直线l随之运动，当﹣2＜t＜1时，直线l将四边形ABCQ分割成左右两部分，设在直线l 左侧部分的面积为S，求S关于t的函数表达式．16．（2019•河北）如图，若b是正数，直线l：y＝b与y轴交于点A；直线a：y＝x﹣b与y 轴交于点B；抛物线L：y＝﹣x2+bx的顶点为C，且L与x轴右交点为D．（1）若AB＝8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；（2）当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；（3）设x0≠0，点（x0，y1），（x0，y2），（x0，y3）分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点（x0，0）与点D间的距离；（4）在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b＝2019和b＝2019.5时“美点”的个数．17．（2019•常州）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点D为OC的中点，点P在抛物线上．（1）b＝；（2）若点P在第一象限，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH与BC、BD分别交于点M、N．是否存在这样的点P，使得PM＝MN＝NH？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P的横坐标小于3，过点P作PQ⊥BD，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点R，且S△PQB＝2S△QRB，求点P的坐标．18．（2019•荆州）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A，C的坐标分别为（6，0），（4，3），经过B，C两点的抛物线与x轴的一个交点D的坐标为（1，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若∠AOC的平分线交BC于点E，交抛物线的对称轴于点F，点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，过点A作OE的垂线交BC于点H，点M，N分别为抛物线及其对称轴上的动点，是否存在这样的点M，N，使得以点M，N，H，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．19．（2019•河南）如图，抛物线y＝ax2+x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y ＝﹣x﹣2经过点A，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点M，设点P的横坐标为m．①当△PCM是直角三角形时，求点P的坐标；②作点B关于点C的对称点B'，则平面内存在直线l，使点M，B，B′到该直线的距离都相等．当点P在y轴右侧的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出直线l：y＝kx+b 的解析式．（k，b可用含m的式子表示）20．（2019•镇江）如图，二次函数y＝﹣x2+4x+5图象的顶点为D，对称轴是直线1，一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点A，且与直线DA关于l的对称直线交于点B．（1）点D的坐标是；（2）直线l与直线AB交于点C，N是线段DC上一点（不与点D、C重合），点N的纵坐标为n．过点N作直线与线段DA、DB分别交于点P、Q，使得△DPQ与△DAB相似．①当n＝时，求DP的长；②若对于每一个确定的n的值，有且只有一个△DPQ与△DAB相似，请直接写出n的取值范围．21．（2019•湘西州）如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）过点E（8，0），矩形ABCD的边AB 在线段OE上（点A在点B的左侧），点C、D在抛物线上，∠BAD的平分线AM交BC 于点M，点N是CD的中点，已知OA＝2，且OA：AD＝1：3．（1）求抛物线的解析式；（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接M、N、G、F构成四边形MNGF，求四边形MNGF周长的最小值；（3）在x轴下方且在抛物线上是否存在点P，使△ODP中OD边上的高为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）矩形ABCD不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、L，且直线KL平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．22．（2019•邵阳）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过原点，与x轴的另一个交点为（8，0）（1）求该二次函数的解析式；（2）在x轴上方作x轴的平行线y1＝m，交二次函数图象于A、B两点，过A、B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点D、点C．当矩形ABCD为正方形时，求m的值；（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．过点P 向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线AC于点F，问：以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．23．（2019•广西）如果抛物线C1的顶点在拋物线C2上，抛物线C2的顶点也在拋物线C1上时，那么我们称抛物线C1与C2“互为关联”的抛物线．如图1，已知抛物线C1：y1＝x2+x与C2：y2＝ax2+x+c是“互为关联”的拋物线，点A，B分别是抛物线C1，C2的顶点，抛物线C2经过点D（6，﹣1）．（1）直接写出A，B的坐标和抛物线C2的解析式；（2）抛物线C2上是否存在点E，使得△ABE是直角三角形？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）如图2，点F（﹣6，3）在抛物线C1上，点M，N分别是抛物线C1，C2上的动点，且点M，N的横坐标相同，记△AFM面积为S1（当点M与点A，F重合时S1＝0），△ABN 的面积为S2（当点N与点A，B重合时，S2＝0），令S＝S1+S2，观察图象，当y1≤y2时，写出x的取值范围，并求出在此范围内S的最大值．24．（2019•贺州）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（﹣1，0），且OA＝OC ＝4OB，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点．（1）求A，C两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值．25．（2019•黄冈）如图①，在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣2，2），B（﹣2，0），C （0，2），D（2，0）四点，动点M以每秒个单位长度的速度沿B→C→D运动（M不与点B、点D重合），设运动时间为t（秒）．（1）求经过A、C、D三点的抛物线的解析式；（2）点P在（1）中的抛物线上，当M为BC的中点时，若△P AM≌△PBM，求点P的坐标；（3）当M在CD上运动时，如图②．过点M作MF⊥x轴，垂足为F，ME⊥AB，垂足为E．设矩形MEBF与△BCD重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S 的最大值；（4）点Q为x轴上一点，直线AQ与直线BC交于点H，与y轴交于点K．是否存在点Q，使得△HOK为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的所有Q点的坐标；若不存在，请说明理由．26．（2019•毕节市）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．（1）抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为；（2）如图1，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标；（3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标；（4）如图3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．27．（2019•贵港）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A（4，3），与y轴相交于点B （0，﹣5），对称轴为直线l，点M是线段AB的中点．（1）求抛物线的表达式；（2）写出点M的坐标并求直线AB的表达式；（3）设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求P，Q两点的坐标．28．（2019•福建）已知抛物y＝ax2+bx+c（b＜0）与x轴只有一个公共点．（1）若抛物线与x轴的公共点坐标为（2，0），求a、c满足的关系式；（2）设A为抛物线上的一定点，直线l：y＝kx+1﹣k与抛物线交于点B、C，直线BD垂直于直线y＝﹣1，垂足为点D．当k＝0时，直线l与抛物线的一个交点在y轴上，且△ABC为等腰直角三角形．①求点A的坐标和抛物线的解析式；②证明：对于每个给定的实数k，都有A、D、C三点共线．29．（2019•淮安）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B 的坐标为（5，0），点D的坐标为（1，3）．（1）求该二次函数的表达式；（2）点E是线段BD上的一点，过点E作x轴的垂线，垂足为F，且ED＝EF，求点E 的坐标．（3）试问在该二次函数图象上是否存在点G，使得△ADG的面积是△BDG的面积的？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．30．（2019•黄石）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（5，0）．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点M的坐标；（2）若点C在抛物线上，且点C的横坐标为8，求四边形AMBC的面积；（3）定点D（0，m）在y轴上，若将抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，点P在新的抛物线上运动，求定点D与动点P之间距离的最小值d（用含m的代数式表示）31．（2019•广东）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+x﹣与x轴交于点A、B（点A在点B右侧），点D为抛物线的顶点，点C在y轴的正半轴上，CD交x轴于点F，△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，点A恰好旋转到点F，连接BE．（1）求点A、B、D的坐标；（2）求证：四边形BFCE是平行四边形；（3）如图2，过顶点D作DD1⊥x轴于点D1，点P是抛物线上一动点，过点P作PM⊥x轴，点M为垂足，使得△P AM与△DD1A相似（不含全等）．①求出一个满足以上条件的点P的横坐标；②直接回答这样的点P共有几个？32．（2019•海南）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD．（1）求该抛物线的表达式；（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t．①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值；②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．33．（2019•十堰）已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c经过点A（﹣2，0）和C（0，），与x轴交于另一点B，顶点为D．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（E点不与A，B重合），且∠DEF＝∠A，则△DEF能否为等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；（3）若点P在抛物线上，且＝m，试确定满足条件的点P的个数．34．（2019•山西）综合与探究如图，抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D 是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4）．连接AC，BC，DB，DC．（1）求抛物线的函数表达式；（2）△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求m的值；（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．35．（2019•眉山）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣5，0）和点B（1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点P是抛物线上A、D之间的一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PG⊥y轴，交抛物线于点G，过点G作GF⊥x轴于点F，当矩形PEFG的周长最大时，求点P的横坐标；（3）如图2，连接AD、BD，点M在线段AB上（不与A、B重合），作∠DMN＝∠DBA，MN交线段AD于点N，是否存在这样点M，使得△DMN为等腰三角形？若存在，求出AN的长；若不存在，请说明理由．36．（2019•新疆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）三点．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）将（1）中的抛物线向下平移个单位长度，再向左平移h（h＞0）个单位长度，得到新抛物线．若新抛物线的顶点D′在△ABC内，求h的取值范围；（3）点P为线段BC上一动点（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线交（1）中的抛物线于点Q，当△PQC与△ABC相似时，求△PQC的面积．37．（2019•呼和浩特）已知二次函数y＝ax2﹣bx+c且a＝b，若一次函数y＝kx+4与二次函数的图象交于点A（2，0）．（1）写出一次函数的解析式，并求出二次函数与x轴交点坐标；（2）当a＞c时，求证：直线y＝kx+4与抛物线y＝ax2﹣bx+c一定还有另一个异于点A 的交点；（3）当c＜a≤c+3时，求出直线y＝kx+4与抛物线y＝ax2﹣bx+c的另一个交点B的坐标；记抛物线顶点为M，抛物线对称轴与直线y＝kx+4的交点为N，设S＝S△AMN﹣S△BMN，写出S关于a的函数，并判断S是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由．38．（2019•益阳）在平面直角坐标系xOy中，顶点为A的抛物线与x轴交于B、C两点，与y轴交于点D，已知A（1，4），B（3，0）．（1）求抛物线对应的二次函数表达式；（2）探究：如图1，连接OA，作DE∥OA交BA的延长线于点E，连接OE交AD于点F，M是BE的中点，则OM是否将四边形OBAD分成面积相等的两部分？请说明理由；（3）应用：如图2，P（m，n）是抛物线在第四象限的图象上的点，且m+n＝﹣1，连接P A、PC，在线段PC上确定一点M，使AN平分四边形ADCP的面积，求点N的坐标．提示：若点A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则线段AB的中点坐标为（，）．39．（2019•孝感）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8a与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣4）．（1）点A的坐标为，点B的坐标为，线段AC的长为，抛物线的解析式为．（2）点P是线段BC下方抛物线上的一个动点．①如果在x轴上存在点Q，使得以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形．求点Q的坐标．②如图2，过点P作PE∥CA交线段BC于点E，过点P作直线x＝t交BC于点F，交x轴于点G，记PE＝f，求f关于t的函数解析式；当t取m和4﹣m（0＜m＜2）时，试比较f的对应函数值f1和f2的大小．40．（2019•咸宁）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD＝2∠BAC时，求点D的坐标；（3）已知E，F分别是直线AB和抛物线上的动点，当B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标．九上数学-二次函数-综合题（一）参考答案与试题解析一．解答题（共40小题）1．（2019•赤峰）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB＝∠OCB？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，3），将点B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，则x＝﹣1或3，故点A（﹣1，0）；（2）如图1，作点C关于x轴的对称点C′，连接CD′交x轴于点E，则此时EC+ED 为最小，函数顶点坐标为（1，4），点C′（0，﹣3），将CD的坐标代入一次函数表达式并解得：直线CD的表达式为：y＝7x﹣3，当y＝0时，x＝，故点E（，x）；（3）①当点P在x轴上方时，如下图2，∵OB＝OC＝3，则∠OCB＝45°＝∠APB，过点B作BH⊥AP于点H，设PH＝BH＝m，则PB＝P A＝m，由勾股定理得：AB2＝AH2+BH2，16＝m2+（m﹣m）2，解得：m2＝8+4，则PB2＝2m2＝16+8则y P＝＝2+2；②当点P在x轴下方时，则y P＝﹣（2）；故点P的坐标为（1，2）或（1，﹣2﹣2）．2．（2019•通辽）已知，如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为M（1，9），经过抛物线上的两点A（﹣3，﹣7）和B（3，m）的直线交抛物线的对称轴于点C．（1）求抛物线的解析式和直线AB的解析式．（2）在抛物线上A、M两点之间的部分（不包含A、M两点），是否存在点D，使得S△DAC＝2S△DCM若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P的坐标．【解答】解：（1）二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+9，将点A的坐标代入上式并解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+8…①，则点B（3，5），将点A、B的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AB的表达式为：y＝2x﹣1；（2）存在，理由：二次函数对称轴为：x＝1，则点C（1，1），过点D作y轴的平行线交AB于点H，设点D（x，﹣x2+2x+8），点H（x，2x﹣1），∵S△DAC＝2S△DCM，则S△DAC＝DH（x C﹣x A）＝（﹣x2+2x+8﹣2x+1）（1+3）＝（9﹣1）（1﹣x）×2，解得：x＝﹣1或5（舍去5），故点D（﹣1，5）；（3）设点Q（m，0）、点P（s，t），t＝﹣s2+2s+8，①当AM是平行四边形的一条边时，点M向左平移4个单位向下平移16个单位得到A，同理，点Q（m，0）向左平移4个单位向下平移16个单位为（m﹣4，﹣16），即为点P，即：m﹣4＝s，﹣6＝t，而t＝﹣s2+2s+8，解得：s＝6或﹣4，故点P（6，﹣16）或（﹣4，﹣16）；②当AM是平行四边形的对角线时，由中点公式得：m+s＝﹣2，t＝2，而t＝﹣s2+2s+8，解得：s＝1，故点P（1，2）或（1﹣，2）；综上，点P（6，﹣16）或（﹣4，﹣16）或（1，2）或（1﹣，2）．3．（2019•吉林）如图，抛物线y＝（x﹣1）2+k与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）．P为抛物线上一点，横坐标为m，且m＞0．（1）求此抛物线的解析式；（2）当点P位于x轴下方时，求△ABP面积的最大值；（3）设此抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）最高点与最低点的纵坐标之差为h．①求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；②当h＝9时，直接写出△BCP的面积．【解答】解：（1）将点C（0，﹣3）代入y＝（x﹣1）2+k，得k＝﹣4，∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；（2）令y＝0，x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4；抛物线顶点为（1，﹣4），当P位于抛物线顶点时，△ABP的面积有最大值，S＝＝8；（3）①当0＜m≤1时，h＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m；当1＜m≤2时，h＝﹣1﹣（﹣4）＝1；当m＞2时，h＝m2﹣2m﹣3﹣（﹣4）＝m2﹣2m+1；②当h＝9时若﹣m2+2m＝9，此时△＜0，m无解；若m2﹣2m+1＝9，则m＝4，∴P（4，5），∵B（3，0），C（0，﹣3），∴△BCP的面积＝8×4﹣5×1﹣（4+1）×3＝6；4．（2019•绥化）已知抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴为直线x＝，交x轴于点A、B，交y轴于点C，且点A坐标为A（﹣2，0）．直线y＝﹣mx﹣m（m＞0）与抛物线交于点P、Q（点P在点Q的右边），交y轴于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）若n＝﹣5，且△CPQ的面积为3，求m的值；（3）当m≠1时，若n＝﹣3m，直线AQ交y轴于点K．设△PQK的面积为S，求S与m 之间的函数解析式．【解答】解：（1）将点A（﹣2，0）代入解析式，得4a﹣2b+3＝0，∵x＝﹣＝，∴a＝﹣，b＝；∴y＝﹣x2+x+3；（2）设点Q横坐标x1，点P的横坐标x2，则有x1＜x2，把n＝﹣5代入y＝﹣mx﹣n，∴y＝﹣mx+5，联立y＝﹣mx+5，y＝﹣x2+x+3得：﹣mx+5＝﹣x2+x+3，∴x2﹣（2m+1）x+4＝0，∴x1+x2＝2m+1，x1x2＝4，∵△CPQ的面积为3；∴S△CPQ＝S△CHP﹣S△CHQ，即HC（x2﹣x1）＝3，∴x2﹣x1＝3，∴﹣4x1x2＝9，∴（2m+1）2＝25，∴m＝2或m＝﹣3，∵m＞0，∴m＝2；（3）当n＝﹣3m时，PQ解析式为y＝﹣mx+3m，∴H（0，3m），∵y＝﹣mx+3m与y＝﹣x2+x+3相交于点P与Q，∴﹣mx+3m＝﹣x2+x+3，∴x＝3或x＝2m﹣2，当2m﹣2＜3时，有0＜m＜，∵点P在点Q的右边，∴P（3，0），Q（2m﹣2，﹣2m2+5m），∴AQ的直线解析式为y＝x+5﹣2m，∴K（0，5﹣2m），∴HK＝|5m﹣5|＝5|m﹣1|，①当0＜m＜1时，如图①，HK＝5﹣5m，∴S△PQK＝S△PHK+S△QHK＝HK（x P﹣x Q）＝（5﹣5m）（5﹣2m）＝5m2﹣m+，②当1＜m＜时，如图②，HK＝5m﹣5，∴S△PQK＝﹣5m2+m﹣，③当2m﹣2＞3时，如图③，有m＞，∴P（2m﹣2，﹣2m2+5m），Q（3，0），K（0，0），∴S△PQK＝×KQ|y P|＝（2m2﹣5m）＝3m2﹣m，综上所述，S＝；5．（2019•齐齐哈尔）综合与探究如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，点D的坐标为（，﹣5）．（3）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；（4）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵OA＝2，OC＝6∴A（﹣2，0），C（0，﹣6）∵抛物线y＝x2+bx+c过点A、C∴解得：∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣6（2）∵当y＝0时，x2﹣x﹣6＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝3∴B（3，0），抛物线对称轴为直线x＝∵点D在直线x＝上，点A、B关于直线x＝对称∴x D＝，AD＝BD∴当点B、D、C在同一直线上时，C△ACD＝AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC最小设直线BC解析式为y＝kx﹣6∴3k﹣6＝0，解得：k＝2∴直线BC：y＝2x﹣6∴y D＝2×﹣6＝﹣5∴D（，﹣5）故答案为：（，﹣5）（3）过点E作EG⊥x轴于点G，交直线BC与点F设E（t，t2﹣t﹣6）（0＜t＜3），则F（t，2t﹣6）∴EF＝2t﹣6﹣（t2﹣t﹣6）＝﹣t2+3t∴S△BCE＝S△BEF+S△CEF＝EF•BG+EF•OG＝EF（BG+OG）＝EF•OB＝×3（﹣t2+3t）＝﹣（t﹣）2+∴当t＝时，△BCE面积最大∴y E＝（）2﹣﹣6＝﹣∴点E坐标为（，﹣）时，△BCE面积最大，最大值为．（4）存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形．∵A（﹣2，0），C（0，﹣6）∴AC＝①若AC为菱形的边长，如图3，则MN∥AC且，MN＝AC＝2∴N1（﹣2，2），N2（﹣2，﹣2），N3（2，0）②若AC为菱形的对角线，如图4，则AN4∥CM4，AN4＝CN4设N4（﹣2，n）∴﹣n＝解得：n＝﹣∴N4（﹣2，﹣）综上所述，点N坐标为（﹣2，2），（﹣2，﹣2），（2，0），（﹣2，﹣）．6．（2019•襄阳）如图，在直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴，y轴分别交于点B，点C，对称轴为x＝1的抛物线过B，C两点，且交x轴于另一点A，连接AC．（1）直接写出点A，点B，点C的坐标和抛物线的解析式；（2）已知点P为第一象限内抛物线上一点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；（3）抛物线上是否存在一点Q（点C除外），使以点Q，A，B为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）y＝﹣x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝6，故点B、C的坐标分别为（6，0）、（0，3），抛物线的对称轴为x＝1，则点A（﹣4，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣6）（x+4）＝a（x2﹣2x﹣24），即﹣24a＝3，解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+3…①；（2）过点P作y轴的平行线交BC于点G，作PH⊥BC于点H，将点B、C坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，则∠HPG＝∠CBA＝α，tan∠CAB＝＝＝tanα，则cosα＝，设点P（x，﹣x2+x+3），则点G（x，﹣x+3），则PH＝PG cosα＝（﹣x2+x+3+x﹣3）＝﹣x2+x，∵＜0，故PH有最小值，此时x＝3，则点P（3，）；（3）①当点Q在x轴上方时，。
2019年中考数学专题《二次函数》复习试卷含答案解析.doc
2019年中考数学专题复习卷: 二次函数一、选择题1.若二次函数y＝(a－1)x2＋3x＋a2－1的图象经过原点，则a的值必为（）A. 1或－1 B. 1C. －1 D. 02.对于抛物线y＝ax2＋(2a－1)x＋a－3，当x＝1时，y＞0，则这条抛物线的顶点一定在（）A. 第一象限B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3.把抛物线y＝- 向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A. y＝-(x-1)2-3B. y＝-(x＋1)2-3 C. y＝-(x-1)2＋3 D. y＝-(x＋1)2＋34.已知抛物线（，，为常数，）经过点. ，，其对称轴在轴右侧，有下列结论：①抛物线经过点；②方程有两个不相等的实数根；③.，正确结论的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 35.当a≤x≤a+1时，函数y=x2-2x+1的最小值为1，则a的值为（）A. -1B. 2C. 0或2 D. -1或26.二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系内的大致图象是（）A. B. C. D.7.已知二次函数( 为常数),当自变量的值满足时,与其对应的函数值的最大值为-1,则的值为( )A. 3或6B. 1或6 C. 1或3 D. 4或68.已知抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）经过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段BC有交点，其中点B（1，0），点C（3，0），则c的值不可能是（）A．4 B．6 C．8 D．109.有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（）A. 2.76米B. 6.76米C. 6米 D. 7米10.已知抛物线y=-x2+mx的对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0（t为实数）在1<x<5的范围内有解，则t的取值范围是（）A. t＞-5B. -5＜t＜3 C. 3＜t≤4 D. -5＜t≤411.如图，已知二次函数图象与x轴交于A，B两点，对称轴为直线x=2，下列结论：①abc>0；②4a+b=0；③若点A坐标为(−1，0)，则线段AB=5；④若点M(x1， y1)、N(x2， y2)在该函数图象上，且满足0<x1<1，2<x2<3，则y1<y2其中正确结论的序号为（）A. ①，②B. ②，③ C. ③，④ D. ②，④12.如图，在中，，，，动点从点开始沿向点以以的速度移动，动点从点开始沿向点以的速度移动.若，两点分别从，两点同时出发，点到达点运动停止，则的面积随出发时间的函数关系图象大致是（）A. B. C.D.二、填空题13.抛物线y=2(x+2) +4的顶点坐标为________.14.将二次函数的图像向上平移3个单位长度，得到的图像所对应的函数表达式是________．15.已知二次函数，当时，函数值的最小值为，则的值是________．16.“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解,解决下面问题:若p、q(P是关于x的方程2-(x-a)(x-b)=0的两根且a则请用“<”来表示a、b、P、q的大小是________17.如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则方程的解是________．18.已知抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移m（m＞0）个单位，平移后的抛物线于x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段AD的三等分点，则m的值为________．19.小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至出水管BD的距离为12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E，则点E 到洗手盆内侧的距离EH为________cm．20.如图，在中，，，，点是边上的动点（不与点重合），过作，垂足为，点是的中点，连接，设，的面积为，则与之间的函数关系式为________．三、解答题21.已知：二次函数y=ax 2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．请你根据图象提供的信息，求出这条抛物线的表达式．22.某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于50%．经试销发现，销售量P（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系，当销售单价为65元时销售量为55件，当销售单价为75元时销售量为45件．（Ⅰ）求P与x的函数关系式；（Ⅱ）若该商场获得利润为y元，试写出利润y与销售单价x之间的关系式；（Ⅲ）销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？23.如图，平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a（x+1）（x-9）经过A，B两点，四边形OABC矩形，已知点A坐标为（0，6）。
北京市西城区2019届中考数学《二次函数》专项复习训练含答案
北京市西城区普通中学2019届初三数学中考复习 二次函数 专项复习训练一、选择题(每小题4分，共32分)1．下列函数中一定是二次函数的是( )A ．y ＝ax 2＋bx ＋cB ．y ＝x 2＋3x 3C ．y ＝1x 2＋2x ＋3D ．y ＝2－3x 22．已知抛物线y ＝(m －1)x 2－mx －m 2＋1的图象过原点，则m 的值为( ) A ．±1 B ．0 C ．1 D ．－13．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝ax ＋b 与y ＝ax 2－bx 的图象可能是( )A B C D4．将抛物线y ＝x 2－2平移到抛物线y ＝x 2＋2x －2的位置，以下描述正确的是( ) A ．向左平移1个单位长度，向上平移1个单位长度 B ．向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度 C ．向左平移1个单位长度，向下平移1个单位长度 D ．向右平移1个单位长度，向下平移1个单位长度5．若函数y ＝mx 2＋(m ＋2)x ＋12m ＋1的图象与坐标轴只有2个公共点，那么m 的值为( )A ．0B ．0或2C ．2或－2D ．0，2或－26．抛物线y ＝x 2＋bx ＋c(其中b ，c 是常数)过点A(2，6)，且抛物线的对称轴与线段y ＝0(1≤x ≤3)有交点，则c 的值不可能是( )A ．4B ．6C ．8D ．107．在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y ＝－14x 2＋34x ＋1的一部分(如图所示，单位：m)，则下列说法不正确的是( )A ．出球点A 离地面点O 的距离是1 mB ．该羽毛球横向飞出的最远距离是3 mC ．此次羽毛球最高达到2516mD ．当羽毛球横向飞出32m 时，可达到最高点8．如图是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x 轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．则下列结论：①a －b ＋c ＞0；②3a ＋b ＝0；③b 2＝4a(c －n)；④一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝n －1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题(每小题4分，共24分)9．二次函数y＝2x2＋3x－9的图象与x轴交点的坐标是____________________．10．如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象，则由图象可知，不等式ax2＋bx＋c<0的解集是________．11．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的对称轴是过点(1，0)且平行于y轴的直线，若点P(4，0)在该抛物线上，则4a－2b＋c的值为______．12. 科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定科学家经过猜想，推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为________℃.13．已知函数y＝x2－2mx＋2 017(m为常数)的图象上有三点：A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，其中x1＝m－2，x2＝m＋3，x3＝m－1，则y1，y2，y3的大小关系是____________．14．某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为________元时，该服装店平均每天的销售利润最大．三、解答题(共44分)15．(10分)如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)，B(3，2)．(1)求m 的值和抛物线的表达式；(2)求不等式x 2＋bx ＋c ＞x ＋m 的解集．(直接写出答案)16．(10分)杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体(看成一个点)的路线是抛物线y ＝－35x 2＋3x ＋1的一部分，如图所示．(1)求演员弹跳离地面的最大高度；(2)已知人梯高BC ＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A 的水平距离是4米，问这次表演是否成功？说明理由．17．(12分)如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB 为x 米，面积为S 平方米．(1)求S 与x 的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当x 取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ (3)若墙的最大可用长度为8米，求围成的最大面积．18．(12分)某景点试开放期间，团队收费方案如下：不超过30人时，人均收费120元；超过30人且不超过m(30＜m ≤100)人时，每增加1人，人均收费降低1元；超过m 人时，人均收费都按照m 人时的标准．设景点接待有x 名游客的某团队，收取总费用为y 元． (1)求y 关于x 的函数表达式；(2)景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象．为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，求m 的取值范围．答案： 一、1---8 DDCCD ABC 二、9. (32，0)和(－3，0)10. －2<x<3 11. 0 12. －113. y 3＜y 1＜y 2 14. 22 三、15. (1)∵直线y ＝x ＋m 经过点A(1，0)，∴0＝1＋m.∴m＝－1.∴y＝x －1.∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A(1，0)，B(3，2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝1＋b ＋c ，2＝9＋3b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3，c ＝2.∴抛物线的表达式为y ＝x 2－3x ＋2 (2)x<1或x>316. (1)y ＝－35x 2＋3x ＋1＝－35(x －52)2＋194.故函数的最大值是194，∴演员弹跳离地面的最大高度是194米(2)当x ＝4时，y ＝－35×42＋3×4＋1＝3.4＝BC.∴这次表演成功17. (1)∵AB＝x ，∴BC ＝24－4x ，∴S ＝AB·BC＝x(24－4x)＝－4x 2＋24x(0＜x ＜6)(2)S ＝－4x 2＋24x ＝－4(x －3)2＋36，∵0＜x ＜6，∴当x ＝3时，花圃的面积最大，最大为36平方米(3)∵⎩⎪⎨⎪⎧24－4x≤8，24－4x ＞0，∴4≤x ＜6，∴当x ＝4时，花圃的面积最大，最大为32平方米18. (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧120x （0<x≤30），[120－（x －30）]x （30<x≤m），[120－（m －30）]x （x ＞m ）.(2)由(1)可知当0＜x≤30或x ＞m 时，函数值y 都是随着x 的增大而增大的，当30＜x≤m 时，y ＝－x 2＋150x ＝－(x －75)2＋5 625，∵a ＝－1＜0，∴当x≤75时，y 随着x 的增大而增大，∴为了让收取的总费用随着团队中人数的增大而增大，m 的取值范围为30＜m≤752019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．某公司2018年获利润1000万元，计划到2020年年利润达到1210万元设该公司的年利润平均增长率为x，下列方程正确的是（）A．1000（1+x）2＝1210B．1210（1+x）2＝1000C．1000（1+2x）＝1210D．1000+10001+x）+1000（1+x）2＝12102．某超市设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”、“30元”的字样.规定：顾客在本超市一次性消费满200元，就可以在箱子里先后摸出两个小球（每一次摸出后不放回）.某顾客刚好消费200元，则该顾客所获得购物券的金额超过30元的概率为（）A.12B.13C.23D.143．一个塑料袋丢弃在地上的面积约占0.023m2，如果100万个旅客每人丢一个塑料袋，那么会污染的最大面积用科学记数法表示是（）A．2.3×104m2B．2.3×106m2C．2.3×103m2D．2.3×10﹣2m24．要使有意义，则x应该满足（）A.0≤x≤3B.0＜x≤3且x≠1C.1＜x≤3D.0≤x≤3且x≠15．如图，在平面直角坐标系中直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，C是OB的中点，D是线段AB上一点，若CD＝OC，则点D的坐标为（）A.（3，9）B.（3，）C.（4，8）D..（4，7）6．反比例函数myx=的图像在第二、四象限内，则点(,1)m-在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上任意一点，点D是AC中点，OD交AC于点E，BD交AC于点F，若BF＝1.25DF，则tan∠ABD的值为（）A ．23B C ．35D ．8．下列运算正确的是（ ） A ．ab•ab＝2abB ．（3a ）3＝9a 3C ．3（a≥0）D =9．如图，△ABC 中，AB=AC=15，AD 平分∠BAC ，点E 为AC 的中点，连接DE ，若△CDE 的周长为21，则BC 的长为（ ）A.16B.14C.12D.610．若二元一次方程组3,354x y x y +=⎧⎨-=⎩的解为,,x a y b =⎧⎨=⎩则-a b 的值为（ ）A.1B.3C.14-D.7411．数学课上，老师提出问题：“一次函数的图象经过点A （3，2)，B （-1，-6)，由此可求得哪些结论？”小明思考后求得下列4个结论：①该函数表达式为y=2x-4；②该一次函数的函数值随自变量的增大而增大；③点P （2a ，4a-4)在该函数图象上；④直线AB 与坐标轴围成的三角形的面积为8．其中错误的结论是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．④12．如图，已知AB=8，P 为线段AB 上的一个动点，分别以AP ，PB 为边在AB 的同侧作菱形APCD 和菱形PBFE ，点P ，C ，E 在一条直线上，∠DAP=60°．M ，N 分别是对角线AC ，BE 的中点．当点P 在线段AB 上移动时，点M ，N 之间的距离最短为（ ）．A ．B ．C ．2D ．3二、填空题13．定义：若抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线被称为：“直角抛物线”．如图，直线l ：y ＝15x+b 经过点M(0，14)，一组抛物线的顶点B 1(1，y 1)，B 2(2，y 2)，B 3(3，y 3)，…B n (n ，y n ) (n 为正整数)，依次是直线l 上的点，第一个抛物线与x 轴正半轴的交点A 1(x 1，0)和A 2(x 2，0)，第二个抛物线与x 轴交点A 2(x 2，0)和A 3(x 3，0)，以此类推，若x 1＝d(0＜d ＜1)，当d 为_____时，这组抛物线中存在直角抛物线．14．如图，已知△ABO 顶点A （－3，6），以原点O 为位似中心，把△ABO 缩小到原来的13，则与点A 对应的点A'的坐标是________．15．已知二元一次方程组5351x y x y -=⎧⎨+=⎩的解是方程kx -8y -2k +4=0的解,则k 的值为____.16．因式分解：32a a +=______． 17．关于x 的方程＝3的解为_____．18．如图，矩形ABCD 周长为30，经过矩形对称中心O 的直线分别交AD ，BC 于点E ，F ．将矩形沿直线EF 翻折，A′B′分别交AD ，CD 于点M ，N ，B'F 交CD 于点G ．若MN ：EM ＝1：2，则△DMN 的周长为_____．三、解答题 19．先化简分式（311x x x x --+）÷21xx -，再从不等式组3(2)24251x x x x --≥⎧⎨-<+⎩的解集中取一个非负整数值代入，求原分式的值．20．阅读下列材料，解决问题：12345678987654321这个数有这样一个特点：各数位上的数字从左到右逐渐增大（由1到9，是连续的自然数），到数9时，达到顶峰，以后又逐渐减小（由9到1），它活像一只橄榄，我们不妨称它为橄榄数．记第一个橄榄数为a 1＝1，第二个橄榄数为a 2＝121，第三个橄榄数为a 3＝12321……有趣的是橄榄数还是一个平方数，如1＝12，121＝112，12321＝1112，1234321＝11112……而且，橄榄数可以变形成如下对称式：1111⨯=2222121121⨯=++3333331232112321⨯=++++……根据以上材料，回答下列问题（1）11111112＝ ；将123454321变形为对称式：123454321＝ ．（2）一个两位数（十位大于个位），交换其十位与个位上的数字，得到一个新的两位数，将原数和新数相加，就能得到橄榄数121，求这个两位数．（3）证明任意两个橄榄数a m ，a n 的各数位之和的差能被m ﹣n 整除（m ＝1，2…9，n ＝1，2…9，m ＞n ） 21．某校八年级甲、乙两班各有学生50人，为了了解这两个班学生身体素质情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．（1）收集数据:从甲、乙两个班各随机抽取10名学生进行身体素质测试，测试成绩（百分制）如下： 甲班65 75 75 80 60 50 75 90 85 65 乙班90 55 80 70 55 70 95 80 65 70（2）整理描述数据:按如下分数段整理、描述这两组样本数据：在表中：m=______，n=______． （3）分析数据:①两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示： 在表中：x=______，y=______．②若规定测试成绩在80分（含80分）以上的学生身体素质为优秀，请估计乙班50名学生中身体素质为优秀的学生有______人．③现从甲班指定的2名学生（1男1女），乙班指定的3名学生（2男1女）中分别抽取1名学生去参加上级部门组织的身体素质测试，用树状图和列表法求抽到的2名同学是1男1女的概率．22．如图,在平面直角坐标系中,直线y=34x+6与x、y轴分别交于点A,点B,双曲线的解析式为kyx=(1)求出线段AB的长(2)在双曲线第四象限的分支上存在一点C,使得CB⊥AB,且CB=AB,求k的值;(3)在(1)(2)的条件下,连接AC,点D为BC的中点,过D作AC的垂线BF,交AC于B,交直线AB于F,连AD,若点P为射线AD上的一动点,连接PC、PF,当点P在射线AD上运动时,PF2-PC2的值是否发生改变?若改变,请求出其范围;若不变,请证明并求出定值。
广东省2019中考数学小测试题第三章 函数 第四节 二次函数 含答案
第三章函数第四讲二次函数玩转广东省卷6年中考真题（2011~2016）命题点1 二次函数的图象及性质(省卷6年5考)2acyaxbx≠0)的大致图象如图所示，关于该二次函数，下列说法＝＋＋(二次函数1. (2014省卷10，3分)) 错误的是( ．．函数有最小值A.1x对称轴是直线＝B. 21xyx当随＜时，的增大而减小C. 2yx0＞＜时，＜2D. 当－1第1题图2axxy) ( ＋【拓展猜押】已知二次函数＝4－，下列说法错误的是xxy时，的增大而减小A. 当随＜1ax轴有交点，则≤4B. 若图象与2xxaxa3＜＞0C. 当的解集是＝3时，不等式－41＋＜，个单位，再向左平移3个单位后过点(11D. 若将图象向上平移a32)，则＝－－)省卷仅2011年考查二次函数与方程、不等式的关系命题点3 (12xcyxx已知抛物线，156分)与＝＋轴没有交点．＋省卷2. (20112c的取值范围；(1)求cxy经过的象限，并说明理由．1(2)试确定直线＝＋命题点4 二次函数综合题(省卷6年3考)22mmxyx1.＋分)已知二次函数－＝－23. (2013省卷23，9O时，求二次函数的解析式；(0，(1)当二次函数的图象经过坐标原点0)DCyCDm轴交于点、，顶点为两点的坐标；如图，当(2)，求＝2时，该抛物线与PPDPPxPPC点不最短？若点的坐标；若(3)在(2)的条件下，＋轴上是否存在一点点存在，求出，使得存在，请说明理由．第3题图132yxxAByCBC、、＝轴交于点－－9与两点，与轴交于分4. (2012省卷22，9)如图，抛物线，连接22AC.ABOC的长；和(1)求EAxBEABElBCACD.，交不重合(2)点)从点，过点出发，沿轴向点于点运动(点作直线与点、平行AEmADESSmm的取值范围；的面积为，求设的函数关系式，并写出自变量的长为关于，△CECDEEBC 相切的圆的面积(，求△面积的最大值；此时，求出以点结(3)在(2)的条件下，连接为圆心，与果保留π)．第4题图5172yxxyAA的直线与抛物线交于另轴交于)分如图，抛物线点，过点＝－＋1＋与9225. (2011省卷，44BBBCxC．0)，(3轴，垂足为点⊥作，过点一点．AB求直线的函数关系式；(1)ABPNxOCPOCP于⊥出发以每秒一个单位的速度向点作移动，过点(2)动点在线段轴，交直线上从原点tssMNPtMN的函数关系式，并写出个单位，求移动的时间为的长度为点，交抛物线于点秒，，设点与t的取值范围；BCMNtPOCCMBN为，连接)(3)设在(2)的条件下(不考虑点，当与点、、点为何值时，四边形重合的情况BCMNt值，平行四边形是否为菱形？请说明理由．平行四边形？问对于所求的第5题图【答案】a由图＞0A.由抛物线的开口向上，可知，函数有最小值，正确，故本选项不符合题意；B.1．D 【解析】11xxaxy的增大而减＞象可知，对称轴为0，所以，当时，随＝，正确，故本选项不符合题意；C.因为＜22xy＜0时，＜，错误，故本选项符合题意．＜2小，正确，故本选项不符合题意；D.由图象可知，当－12yxaxyxx时，＜2＝，画二次函数的草图如解图，－4A.＋当，∴对称轴1【拓展猜押】 C 【解析】∵＝2xaacxba轴有交点，所≤4－4≥0，即＝16－4随时，二次函数和的增大而减小，所以A选项正确；B.∵22xxxaxxaxy4D.－＋＝＞0的解集是＜1或C＞3，所以选项正确；以BC.当＝3时，不等式－4选项错误；22xxayay1)，向上平移1＝(＋个单位，再向左平移3＋个单位后，函数解析式是配方后是＝(－2)＋－4aa C.选项正确，故选3＝－，所以2)＋3－，把(1，－代入函数解析式，易求D拓展猜押题解图12yxxcx轴没有交点，＋2．解：(1)∵抛物线＝＋与212xxc＝0无解，…………………………………∴方程＋＋(2分)2．12baccc＞；…………………………(3分2)＜即0－4，解得＝1－2ycx＋1＝经过一、二、三象限，理由如下：(2)直线1cycxcb＝1＞0＞0＞0，则一次函数，＝，＋1中∵＞2ycx＋1经过一、二、三象限．……………………∴直线(6＝分)22mxmxOy1＋(0，0)代入解析式，＝－－3．解：(1) 把点22mm－1，解得得0＝＝±1，22xyxyxx)＝(3－或∴二次函数解析式为2＝分＋2；……………22xmyxx 1，(2)当－＝2时，2)＝－－43＋＝(D 1)，的坐标为(2，－∴点yx 3时，，当＝＝0C) 分3)；………………………………………(6∴点，的坐标为(0) 分(3)存在．………………………………………………………(7PPCDx如解图，连接，则点，交为所求．轴于点DbkCCDykx((2≠0)，将点(0＋，3)设直线、的解析式为＝， 1)代入，得－b?3k??2??，解得，??2k?b??1b?3??CDyx＋2的解析式为3.＝－∴直线3yxx＝，0， 0时，－2＋3当＝＝23P点的坐标为(，0)．………………………………………∴(9分)2第3题解图132yxx－9＝0，．解：(1)令0＝，则有－422xx＝6，解得＝－3，21AB的坐标为(6，0)，0)∴点(的坐标为－3，，点AB＝9，………………………………………………………∴(1分)y，9)，－(0轴的交点坐标是∵抛物线与OC) ；……………………………………………………(2∴分＝9hADEAE (2)设△上的高为的边，BCl，∵直线∥ACBADE∴△，∽△mh AEh＝，＝，即∴ABOC99mh) ∴(4＝分，………………………………………………………12mSm)(5＜分＜∴9)＝；…………………………………………(02192SSS mm－＝－(3)∵＝22ACECDE△△ADE△81912mm(0＜，＜＝－(9)－)＋822819CDEm)分的面积最大，最大面积是，………∴当(7＝时，△829AEABBE－，∴＝＝28119S×9＝∴，＝×422BCE△22OB?OC22BC 313，∵9＝＝＋6＝138127BCE的距离为2×÷3∴点13到＝， 42627137292EBC相切的圆的面积为π×(∴以点)为圆心，与＝π. 2652…………………………………………………………………(9分)AByaxba≠0)，＋的函数关系式为＝(5．解：(1)设直线5172yxx＋1对于抛物线，＝－＋44xyA(0，1)，＝1令，即有＝0，得AABb＝1的坐标代入直线，的函数关系式，得将点55xyB(3，)，即有令，＝3，得＝221BABa＝，的函数关系式，得将点的坐标代入直线21AByx＋1；………………………的函数关系式为(3＝分)∴直线2OPtPt，0)，即，((2)显然＝5172xtytt＋1＝＋代入抛物线解析式可得，＝－将445172Nttt＋1)＋，即( ，－441xAByt＋1代入直线将＝t的函数关系式可得＝，2．1tMt即＋(1)，，215172tttMNs 1)＋1－∴(＝＝－，＋＋2441552ttts)＋(6(0≤∴分＝－≤3)；……………………………………44BCNM∥(3)显然，BCMNBCMN ＝为平行四边形，只要，∴要使得四边形51552tts＋＝即，＝－244tt2. ＝1解得或＝3Mt，①当)＝1时，，(123OPMPCPOC2.＝＝＝，－∴2522CPMP?BCMPCCM，＝＝＝在Rt△中，2BCMN为菱形；∴四边形Mt，(2，②当2)＝2时，CPMP1.，＝∴＝222CP?MP BCRtMPCCM. 中，5＝≠在△＝BCMN不是菱形．∴四边形ttBCMNt＝时，四边形1 为平行四边形；当21综上，当＝或＝BCMN)分(9为菱形．……………………………时，平行四边形．。
2019中考数学二次函数综合专题试卷精选汇编(有解析答案)
二次函数综合专题东城区26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()02342≠-+-=a a ax ax y 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧）． （1）当抛物线过原点时，求实数a 的值； （2）①求抛物线的对称轴；②求抛物线的顶点的纵坐标（用含a 的代数式表示）； （3）当AB ≤4时，求实数a 的取值范围．26.解：(1) ∵点()0,0O 在抛物线上，∴320a -=，23a =.--------------------2分 (2)①对称轴为直线2x =；②顶点的纵坐标为 2a --.--------------------4分 (3) （i ）当0a ＞时，依题意，-20320.a a -⎧⎨-⎩＜，≥解得2.3a ≥（ii ）当0a ＜时， 依题意，-20320.a a -⎧⎨-⎩＞，≤解得a ＜-2.综上，2a -＜，或23a ≥. --------------------7分西城区26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线G ：221(0)y mx mx m m =++-≠与y 轴交于点C ，抛物线G 的顶点为D ，直线：1(0)y mx m m =+-≠．（1）当1m =时，画出直线和抛物线G ，并直接写出直线被抛物线G 截得的线段长． （2）随着m 取值的变化，判断点C ，D 是否都在直线上并说明理由．（3）若直线被抛物线G 截得的线段长不小于2，结合函数的图象，直接写出m 的取值范围．x【解析】（1）当1m =时，抛物线G 的函数表达式为22y x x =+，直线的函数表达式为y x =，直线被抛物线Gx（2）∵抛物线G ：221(0)y mx mx m m =++-≠与y 轴交于点C ， ∴点C 的坐标为(0,1)C m -，∵2221(1)1y mx mx m m x =++-=+-， ∴抛物线G 的顶点D 的坐标为(1,1)--， 对于直线：1(0)y mx m m =+-≠， 当0x =时，1y m =-，当1x =-时，(1)11y m m =⨯-+-=-， ∴无论m 取何值，点C ，D 都在直线上． （3）m的取值范围是m ≤m 海淀区26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22y x ax b =-+的顶点在 x 轴上，1(,)P x m ，2(,)Q x m （12x x <）是此抛物线上的两点．（1）若1a =，①当m b =时，求1x ，2x 的值；②将抛物线沿y 轴平移，使得它与x 轴的两个交点间的距离为4，试描述出这一变化过程； （2）若存在实数c ，使得11x c ≤-，且27x c ≥+成立，则m 的取值范围是 ．26．解：抛物线22y x ax b =-+的顶点在x 轴上，24(2)04b a --∴=.2b a ∴=. ………………1分（1）1a =，1b ∴=.∴抛物线的解析式为221y x x =-+.①1m b ==，2211x x ∴-+=，解得10x =，22x =. ………………2分②依题意，设平移后的抛物线为2(1)y x k =-+.抛物线的对称轴是1x =，平移后与x 轴的两个交点之间的距离是4，∴(3,0)是平移后的抛物线与x 轴的一个交点.2(31)0k ∴-+=，即4k =-.∴变化过程是：将原抛物线向下平移4个单位. ………………4分（2）16m ≥. ………………6分 丰台区26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线243y ax ax a =-+的最高点的纵坐标是2．（1）求抛物线的对称轴及抛物线的表达式；（2）将抛物线在1≤x ≤4之间的部分记为图象G 1，将图象G 1沿直线x = 1翻折，翻折后的图象记为G 2，图象G 1和G 2组成图象G ．过(0，b )作与y 轴垂直的直线l ，当直线l 和图象G 只有两个公共点时，将这两个公共点分别记为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，求b 的取值范围和x 1 + x 2的值．26．解：（1）∵抛物线24y ax ax =-∴对称轴为x = 2．………………………………………1分 ∵抛物线最高点的纵坐标是2，∴a = -2． ………………………………………2分∴抛物线的表达式为2286y x x =-+-. ……………3分（2）由图象可知，2b =或-6≤b <0. ………………6分由图象的对称性可得：x 1+x 2=2． ………………7分石景山区26．在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线21G ymx =+：（0m ≠到抛物线2G ，点A 是抛物线2G 的顶点． （1）直接写出点A 的坐标；（2）过点0（且平行于x 轴的直线l 与抛物线2G 交于B ，C 两点．①当=90BAC ∠°时，求抛物线2G 的表达式； ②若60120BAC <∠<°°，直接写出m 的取值范围．xy26．解（1）A. ………………………………… 2分（2）①设抛物线2G的表达式为2(y m x =+如图所示，由题意可得AD ==∵=90BAC ∠°，AB AC =， ∴=45ABD ∠︒.∴BD AD ==∴点B的坐标为. ∵点B 在抛物线2G 上，可得3m =-.∴抛物线2G的表达式为2(3y x =--+，即223y x x =-+………………… 5分②m <<-. ………………… 7分 朝阳区26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2440y ax ax a =--≠与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B .（1）求点A ，B 的坐标；（2）若方程()244=00ax ax a --≠有两个不相等的实数根，且两根都在1，3之间（包括1，3），结合函数的图象，求a 的取值范围.26.解：（1）44)2(4422---=--=a x a ax ax y ．∴A （0，－4），B （2，0）．……………………………………2分 （2）当抛物线经过点（1，0）时，34-=a ．…………………… 4分 当抛物线经过点（2，0）时，1-=a ． …………………………6分结合函数图象可知，a 的取值范围为134<≤-a ．……………… 7分 燕山区24．如图，在平面直角坐标系中，直线l y=kx+k (k ≠0)与x 轴,y 轴分别交于A,B 两点，且点B(0,2)，点P 在y 轴正半轴上运动，过点P 作平行于x 轴的直线y=t ． （1）求 k 的值和点A 的坐标；（2）当t=4时，直线y=t 与直线l 交于点M ，反比例函数xny =（n ≠0）的图象经过点M ，求反比例函数的解析式； (3)当t<4时，若直线y=t 与直线l 和（2）反比例函数的图象分别交于点C ，D ，当CD 间距离大于等于2时，求t 的取值范围.24.解：（1）∵直线l y=kx+k 经过点B(0,2)，∴k=2∴ y=2x+2∴A(-1,0) ……………………….2′（2）当t=4时，将y=4代入y=2x+2得，x=1∴M(1,4)代入xny =得，n=4 ∴xy 4=……………………….2′ （3）当t=2时，B(0,2) 即C(0,2)，而D(2,2)如图，CD=2，当y=t 向下运动但是不超过x 轴时，符合要求∴ t 的取值范围是 0 <t ≤2 ……………………….5′ 门头沟区26.有一个二次函数满足以下条件：①函数图象与x 轴的交点坐标分别为(1,0)A ，22(,)B x y (点B 在点A 的右侧)； ②对称轴是3x =； ③该函数有最小值是-2.（1）请根据以上信息求出二次函数表达式；（2）将该函数图象2x x ＞的部分图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G ”，平行于x 轴的直线与图象“G ”相交于点33(,)C x y 、44(,)D x y 、55(,)E x y （345x x x <<），结合画出的函数图象求345x x x ++的取值范围.26. （本小题满分7分）（1）解：有上述信息可知该函数图象的顶点坐标为 (3,2)-设二次函数表达式为：2(3)2y a x =-- ……………1分 ∵该图象过(1,0)A∴20(13)2a =--，解得12a = ……………2分 ∴表达式为21(3)22y x =-- （2）图象正确………………………………………………………3分 由已知条件可知直线与图形“G ”要有三个交点① 当直线与x 轴重合时，有2个交点,由二次函数的轴对称性可求 346x x += ……………………………………4分 ∴34511x x x ++＞ ……………………………………5分 ②当直线过21(3)22y x =--的图象顶点时，有2个交点， 由翻折可以得到翻折后的函数图象为21(3)22y x =--+ ∴令21(3)222x --+=-时，解得3x =±3x =-6分∴3459x x x +++＜综上所述345x x x ++11＜＜…………7分 大兴区26. 在平面直角坐标系xOy 中,抛物线22(31)2(0)y x m x m m m =-+++>，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 1(,0)x ,B 2(,0)x ，且12x x <. （1）求1223-+x x 的值；（2）当m=1223-+x x 时，将此抛物线沿对称轴向上平移n 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△ABC 的内部（不包括△ABC 的边），求n 的取值范围（直接写出答案即可）． 26.（1） 解关于x 的一元二次方程，()223120x m x m m -+++=得x =2m +1, x =m ………………………………………………………2分 ∵m ＞0, x 1＜x 2∴x 1=m , x 2=2m+1. …………………………………………………… 3分 2x 1-x 2+3=2m -2m -1+3=2 …………………………………………… 4分（2）符合题意的n 的取值范围是. …………………………………7分平谷区26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223y x bx =-+-的对称轴为直线x =2． （1）求b 的值；（2）在y 轴上有一动点P （0，m ），过点P 作垂直y 轴的直线交抛物线于点A （x 1，y 1），B （x 2 ，y 2），其中 12x x <．①当213x x -=时，结合函数图象，求出m 的值；②把直线PB 下方的函数图象，沿直线PB 向上翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象W ，新图象W 在0≤x ≤5 时，44y -≤≤，求m 的取值范围．26．解：（1）∵抛物线223y x bx =-+-的对称轴为直线x =2，∴b =2． ················ 1 （2）①∴抛物线的表达式为243y x x =-+-． ∵A （x 1，y ），B （x 2 ，y ）， ∴直线AB 平行x 轴．∵213x x -=， ∴AB =3．∵对称轴为x =2， ∴AC =12． ··············· 2 ∴当12x =时，54y m ==-． (3)②当y =m =-4时，0≤x ≤5时，41y -≤≤； · 4当y =m =-2时，0≤x ≤5 时，24y -≤≤； 5 ∴m 的取值范围为42m -≤≤-． (6)怀柔区26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=nx 2-4nx+4n-1(n ≠0)，与x 轴交于点C ，D(点C 在点D 的左侧)，与y 轴交于点A ．(1)求抛物线顶点M 的坐标；(2)若点A 的坐标为（0，3），AB∥x 轴，交抛物线于点B ，求点B 的坐标；(3)在(2)的条件下，将抛物线在B ，C 两点之间的部分沿y 轴翻折，翻折后的图象记为G ，若直线m x y +=21与图象G 有一个交点，结合函数的图象，求m 的取值范围． y x–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–512345O26.(1)M(2，-1)； ………………………………………………………………………………2分 (2)B(4，3)； …………………………………………………………………………………3分 (3)∵抛物线y=mx 2-4mx+4m-1(m ≠0)与y 轴交于点A （0,3）, ∴4n -1=3.∴n=1. ……………………………………………………………………………………4分 ∴抛物线的表达式为342+-=x x y .11由34212++=+x x m x . 由△=0，得 161-=m ……………………………………………………………………5分 ∵抛物线342+-=x x y 与x 轴的交点C 的坐标为（1,0）， ∴点C 关于y 轴的对称点C 1的坐标为（-1,0）. 把（-1,0）代入m x y +=21，得：21=m .……………………………………………6分 把（-4,3）代入m x y +=21，得：5=m . ∴所求m 的取值范围是161-=m 或21＜m ≤ 5. …………………………………………7分 延庆区26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2-4ax +3a (a ＞0)与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧）． （1）求抛物线的对称轴及点A ，B 的坐标；（2）点C （t ，3）是抛物线243(0)y ax ax a a =-+>上一点，（点C 在对称轴的右侧），过点C 作x 轴的垂线，垂足为点D ．①当CD AD =时，求此时抛物线的表达式； ②当CD AD >时，求t 的取值范围．26．（1）对称轴：x =2 ……1分 A （1，0）或B （3，0） ……1分12（2）①如图1，∵AD =CD ∴AD =3∴C 点坐标为（4，3） ……3分 将C （4，3）代入243y ax ax a =-+∴316163a a a =-+∴a =1∴抛物线的表达式为：243y x x =-+ ……4分 ②34t << ……6分 过程略 顺义区26．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线2y x bx c =++顶点A 的横坐标是-1，且与y 轴交于点B （0，-1），点P 为抛物线上一点． （1）求抛物线的表达式；（2）若将抛物线2y x bx c =++向下平移4个单位，点P 平移后的对应点为Q ．如果OP =OQ ，求点Q 的坐标．26．解：（1）依题意12-=-b，b =2, 由B （0，-1），得c=-1,∴抛物线的表达式是221=+-y x x ．…………………… 2分4（2）向下平移4个单位得到225=+-y x x ，……………………… 3分 ∵OP =OQ ，13∴P 、Q 两点横坐标相同，纵坐标互为相反数．∴2221250+-++-=x x x x ．∴13=-x ，21=x ．………………………………………………… 5分 把13=-x ，21=x 分别代入225=+-y x x ．得出Q 1（-3，-2），Q 2（1，-2）．………………………………… 7分。
云南省2019年中考数学总复习提分专练四二次函数小综合练
提分专练(四)二次函数小综合|类型1|二次函数与方程(不等式)的综合1.已知二次函数y=x2-2mx+m2+3(m是常数).(1)求证:不论m为何值,该函数的图象与x轴没有公共点;(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点?|类型2|二次函数与直线的综合2.[2018·北京]在平面直角坐标系xOy中,直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,将点B向右平移5个单位长度,得到点C.(1)求点C的坐标;(2)求抛物线的对称轴;(3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.|类型3|二次函数与三角形的综合3.[2018·黄冈]已知直线l:y=kx+1与抛物线y=x2-4x.(1)求证:直线l与该抛物线总有两个交点;(2)设直线l与该抛物线的两交点为A,B,O为原点,当k=-2时,求△OAB的面积.4.[2017·齐齐哈尔]如图T4-1,已知抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴交于点A (-1,0)和点B (3,0),与y 轴交于点C ,连接BC 交抛物线的对称轴于点E ,D 是抛物线的顶点.(1)求此抛物线的解析式;(2)直接写出点C 和点D 的坐标;(3)若点P 在第一象限内的抛物线上,且S △ABP =4S △COE ,求P 点坐标.注:二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象的顶点坐标为-,.图T4-1|类型4|二次函数与平行四边形的综合5.如图T4-2,已知点A 的坐标为(-2,0),直线y=-x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 和点C ,连接AC ,顶点为D 的抛物线y=ax2+bx+c过A,B,C三点.(1)请直接写出B,C两点的坐标,抛物线的解析式及顶点D的坐标;(2)设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E,P为第一象限内抛物线上一点,过点P作x轴的垂线,交线段BC于点F,若四边形DEFP为平行四边形,求点P的坐标.图T4-2|类型5|二次函数与相似三角形的综合6.在直角坐标系xOy中,A(0,2),B(-1,0),将△ABO经过旋转、平移等变化后得到如图T4-3所示的△BCD.(1)求经过A,B,C三点的抛物线的解析式;(2)连接AC,点P是位于线段BC上方的抛物线上一动点,若直线PC将△ABC的面积分成1∶3两部分,求此时点P的坐标.图T4-3参考答案1.解:(1)证明:证法一:∵(-2m)2-4(m2+3)=-12<0,∴方程x2-2mx+m2+3=0没有实数根.∴不论m为何值,函数y=x2-2mx+m2+3的图象与x轴没有公共点.证法二:∵a=1>0,∴该函数的图象开口向上.又∵y=x2-2mx+m2+3=(x-m)2+3≥3,∴该函数的图象在x轴的上方.∴不论m为何值,该函数的图象与x轴没有公共点.(2)y=x2-2mx+m2+3=(x-m)2+3,把函数y=(x-m)2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后,得到函数y=(x-m)2的图象,它的顶点坐标是(m,0),因此这个函数的图象与x轴只有一个公共点.∴把该函数的图象沿y轴向下平移3个单位长度后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点.2.解:(1)∵直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,∴A(-1,0),B(0,4).∵将点B向右平移5个单位长度,得到点C,∴C(0+5,4),即C(5,4).(2)∵抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,∴a-b-3a=0.∴b=-2a.∴抛物线的对称轴为直线x=-=-=1,即对称轴为直线x=1.(3)易知抛物线过点(-1,0),(3,0).①若a>0,如图所示,易知抛物线过点(5,12a ),若抛物线与线段BC 恰有一个公共点,满足12a ≥4即可,可知a 的取值范围是a ≥.②若a<0,如图所示,易知抛物线与y 轴交于(0,-3a ),要使该抛物线与线段BC 只有一个公共点,就必须-3a>4,此时a<-.③若抛物线的顶点在线段BC 上,此时顶点坐标为(1,4),从而解析式为y=a (x-1)2+4,将A (-1,0)代入,解得a=-1,如图所示:综上,a 的取值范围是a ≥或a<-或a=-1.3.解:(1)证明:联立两个函数,得x 2-4x=kx+1,即x 2-(4+k )x-1=0,其中Δ=(4+k )2+4>0,所以该一元二次方程有两个不相等的实数根,即直线l 与抛物线总有两个交点.(2)如图,连接AO ,BO ,联立两个函数,得x 2-4x=-2x+1,解得x 1=1-,x 2=1+.设直线l 与y 轴交于点C ,在一次函数y=-2x+1中,令x=0,得y=1,所以C (0,1),OC=1.所以S △ABO =S △AOC +S △BOC =·OC ·|x A |+·OC ·|x B |=·OC ·|x A -x B |=×1×2=.4.解:(1)∵抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴交于点A (-1,0)和点B (3,0),∴解得∴抛物线的解析式为y=-x 2+2x+3.(2)∵x=0时,y=3,∴点C 的坐标为(0,3).∵y=-x 2+2x+3=-(x 2-2x+1)+4=-(x-1)2+4,∴点D 的坐标为(1,4).(3)设点P (x ,y ),其中x>0,y>0,∵S △COE =×3×1=,S △ABP =×4y=2y ,S △ABP =4S △COE ,∴2y=4×,∴y=3.∴-x 2+2x+3=3,解得x=2(x=0舍去).∴点P 的坐标为(2,3).5.解:(1)B (4,0),C (0,3).抛物线的解析式为y=-x 2+x+3.顶点D 的坐标为1,.(2)把x=1代入y=-x+3,得y=,∴DE=-=.∵点P 为第一象限内抛物线上一点,∴可设点P 的坐标为m ,-m 2+m+3,则点F 的坐标为m ,-m+3.若四边形DEFP 为平行四边形,则PF=DE ,∴-m 2+m+3--m+3=,解得m 1=3,m 2=1(不合题意,舍去).∴当点P 的坐标为3,时,四边形DEFP 为平行四边形.6.解:(1)∵A (0,2),B (-1,0),将△ABO 经过旋转、平移等变化得到△BCD ,∴BD=OA=2,CD=OB=1,∠BDC=∠AOB=90°.∴C (1,1).设经过A ,B ,C 三点的抛物线解析式为y=ax 2+bx+c ,则有解得:a=-,b=,c=2.∴抛物线解析式为y=-x2+x+2.(2)如图所示,设直线PC与AB交于点E.∵直线PC将△ABC的面积分成1∶3两部分,∴=或=3,过E作EF⊥OB于点F,则EF∥OA.∴△BEF∽△BAO,∴==.∴当=时,==,∴EF=,BF=,∴E-,.设直线PC的解析式为y=mx+n,则可求得其解析式为y=-x+,∴-x2+x+2=-x+,∴x 1=-,x 2=1(舍去),∴P 1-,.当=3时,同理可得P 2-,.。
2019中考数学(湘教版)总复习提分专练04二次函数小综合
提分专练(四)二次函数小综合|类型1|二次函数与其他函数的综合1.如图T4-1,在平面直角坐标系内,二次函数y=ax2+bx(a≠0),一次函数y=ax+b(a≠0)以及反比例函数y=(k≠0)的图象都经过点A,其中一次函数的图象与反比例函数的图象还交于另一点B,且一次函数的图象与x轴,y轴分别交于点C,D.若点A 的横坐标为1,该二次函数图象的对称轴是直线x=2,有下列结论:①b=-4a;②a+b>k;③8a+4b>k;④a+2b>4k.其中正确结论的个数是()图T4-1A.1B.2C.3D.42.如图T4-2,曲线BC是反比例函数y=(4≤x≤6)图象的一部分,其中B(4,1-m),C(6,-m),抛物线y=-x2+2bx的顶点记作A.(1)求k的值.(2)判断点A是否可与点B重合.(3)若抛物线与曲线BC有交点,求b的取值范围.图T4-2|类型2|二次函数与几何图形综合3.[2018·岳阳]已知抛物线F:y=x2+bx+c经过坐标原点O,且与x轴另一交点为-,0.(1)求抛物线F的表达式.(2)如图T4-3①,直线l:y=x+m(m>0)与抛物线F相交于点A(x1,y1)和点B(x2,y2)(点A在第二象限),求y2-y1的值(用含m的式子表示).(3)在(2)中,若m=,设点A'是点A关于原点O的对称点,如图T4-3②.①判断△AA'B的形状,并说明理由.②平面内是否存在点P,使得以点A,B,A',P为顶点的四边形是菱形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.图T4-34.[2018·益阳]如图T4-4,已知抛物线y=x2-x-n(n>0)与x轴交于A,B两点(A点在B点的左边),与y轴交于点C.(1)如图①,若△ABC为直角三角形,求n的值;(2)如图①,在(1)的条件下,点P在抛物线上,点Q在抛物线的对称轴上,若以BC为边,以点B,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的坐标;(3)如图②,过点A作直线BC的平行线交抛物线于另一点D,交y轴于点E,若AE∶ED=1∶4,求n的值.图T4-45.[2018·张家界]如图T4-5,已知二次函数y=ax2+1(a≠0,a为实数)的图象过点A(-2,2),一次函数y=kx+b(k≠0,k,b为实数)的图象l经过点B(0,2).(1)求a的值并写出二次函数的表达式;(2)求b的值;(3)设直线l与二次函数的图象交于M,N两点,过点M作MC垂直x轴于点C,试证明:MB=MC;(4)在(3)的条件下,请判断以线段MN为直径的圆与x轴的位置关系,并说明理由.图T4-5参考答案1.B[解析] 对称轴为直线x=-=2,∴b=-4a,故结论①正确;∵一次函数与反比例函数的图象都经过点A,∴x=1时,a+b=k,故结论②错误;由图象可知,4a+2b>,∴8a+4b>k,故结论③正确;a+2b=-+2b=b,4k=4(a+b)=4-+b=3b,∵二次函数图象开口向下,∴a<0,∴b=-4a>0,∴b<3b,∴a+2b<4k,故结论④错误.2.解:(1)∵B(4,1-m),C(6,-m)在反比例函数y=的图象上,∴k=4(1-m)=6×(-m),∴解得m=-2,∴k=4×[1-(-2)]=12.(2)∵m=-2,∴B(4,3),∵抛物线y=-x2+2bx=-(x-b)2+b2,∴A(b,b2).若点A与点B重合,则有b=4,且b2=3,显然不成立,∴点A不与点B重合.(3)当抛物线经过点B(4,3)时,有3=-42+2b×4,解得b=,显然抛物线右半支经过点B;当抛物线经过点C(6,2)时,有2=-62+2b×6,解得b=,这时仍然是抛物线右半支经过点C.故b的取值范围为≤b≤.3.[解析] (1)将(0,0)和-,0代入y=x2+bx+c,解出b和c即可.(2)首先联立y=x+m 与y=x 2+x ,解出x 1和x 2,然后将x 1和x 2分别代入y=x+m ,解出y 1和y 2,进而得出结果.(3)①首先根据题意得出A'的坐标,进而得出A'B 的长度,根据点A 的坐标得出OA 的长度,进而得出AA',然后根据三角函数的定义得出sin A',进而得出∠A'的度数,进而得出△AA'B 的形状;②分别以AA',A'B 和AB 为菱形的对角线,根据菱形的性质得出点P 的坐标即可. 解:(1)根据题意,得 ,-,解得, , ∴抛物线F 的表达式为y=x 2+x.(2)联立y=x+m 与y=x 2+x , 解得x 1=- ,x 2= , ∴y 1=x 1+m=- +m ,y 2= x 2+m=+m , ∴y 2-y 1=+m--+m =. (3)①△AA'B 是等边三角形.理由:当m=时,x 1=- ,x 2=, ∴y 1=,y 2=2,∴A -,,B,2.∵点A 与点A'关于原点对称,∴A' ,-,∴A'B=2--=.∵OA= -=,∴OA'=,∴AA'=,∴A'B=AA'.∵点A到BA'的距离d=+=,∴sin A'===,∴∠A'=60°,∴△AA'B是等边三角形.②存在.若以AA'为菱形的对角线,则点P与点B关于原点对称,此时点P的坐标为-,-2;若以A'B为菱形的对角线,则点P为将点A向右移动2d个单位长度得到的点,此时点P的坐标为2,;若以AB为菱形的对角线,则点P为将点A向上移动A'B个单位长度得到的点,此时点P的坐标为-,.综上,点P的坐标为-,-2或2,或-,.4.[解析] (1)利用一元二次方程根与系数的关系结合相似三角形的性质即可求出n的值;(2)因为以BC为边,所以PQ∥BC,PQ∥BC可分为点P在点Q左侧和点P在点Q右侧两种情况;(3)过点D作DF⊥x轴,垂足为F,构造△ADF∽△BCO,利用三角形相似,结合点A和点D在抛物线上列方程组求解.解:(1)若△ABC为直角三角形,则OC2=OA·OB.由抛物线y=x2-x-n(n>0),可得OC=n,OA·OB=2n,∴n2=2n,解得n1=2,n2=0(舍去),∴n=2.(2)由(1)可知抛物线的表达式为y=x2-x-2,抛物线的对称轴为直线x=.令y=0,得x1=-1,x2=4,∴A(-1,0),B(4,0).设点P m,m2-m-2,当直线PQ∥BC,点P在点Q的左侧(如图所示),△BOC平移到△QNP的位置时,四边形PQBC为平行四边形,此时NQ=OB,即-m=4,则m=-,则m2-m-2=,此时点P的坐标为-,;当点P在点Q的右侧时(如图所示),同理可得m-=4,即m=,则m2-m-2=,此时点P的坐标为,.综上所述,满足条件的点P的坐标为-,,,.(3)过点D作DF⊥x轴,垂足为F.如图,则AO∶OF=AE∶ED=1∶4.设A(a,0),B(b,0),则AO=-a,OF=-4a.∵AD∥BC,∴∠OBC=∠DAO.∵∠BOC=∠AFD=90°,∴△BOC∽△AFD,∴=,即=--,∴=-.由题意得ab=-2n,∴=-, ∴DF=-5a·=-5a·-=a2.∵点A,D在抛物线上,∴--,-(-)-,解得-, ,∴n的值为.5.[解析] (1)将点A的坐标代入二次函数的表达式,即可求出a的值,进而得到二次函数的表达式.(2)将点B的坐标代入一次函数的表达式,即可求出b的值.(3)过点M作ME⊥y轴于点E,设M x,x2+1,进而用含x的式子分别表示MB和MC.(4)过点N作ND⊥x轴于点D,取MN的中点为P,过点P作PF⊥x轴于点F,过点N作NH⊥MC于点H,交PF于点G.根据(3)知NB=ND,通过等量代换,得出PF=MN.解:(1)根据题意,得2=a×(-2)2+1,解得a=,∴y=x2+1.(2)根据题意,得2=k×0+b,解得b=2.(3)证明:如图,过点M作ME⊥y轴于点E.设M x,x2+1,则MC=x2+1,∴ME=|x|,EB=-=-.∵MB==-=-==x2+1,∴MB=MC.(4)相切.理由如下:如图,过点N作ND⊥x轴于D,取MN的中点为P,过点P作PF⊥x轴于点F,过点N作NH⊥MC于点H,交PF于点G.由(3)知NB=ND,∴MN=NB+MB=ND+MC.∵PG=MH,ND=GF=HC,PF=PG+GF,∴2PF=2PG+2GF=MH+ND+HC=ND+MC,∴PF=MN,∴以线段MN为直径的圆与x轴相切.。
云南省2019年中考数学总复习 提分专练(四)二次函数小综合练习
提分专练(四) 二次函数小综合|类型1| 二次函数与方程(不等式)的综合1.已知二次函数y=x2-2mx+m2+3(m是常数).(1)求证:不论m为何值,该函数的图象与x轴没有公共点;(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点? |类型2| 二次函数与直线的综合2.[xx·北京]在平面直角坐标系xOy中,直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,将点B向右平移5个单位长度,得到点C.(1)求点C的坐标;(2)求抛物线的对称轴;(3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.|类型3| 二次函数与三角形的综合3.[xx·黄冈]已知直线l:y=kx+1与抛物线y=x2-4x.(1)求证:直线l与该抛物线总有两个交点;(2)设直线l与该抛物线的两交点为A,B,O为原点,当k=-2时,求△OAB的面积.4.[xx·齐齐哈尔]如图T4-1,已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)和点B(3,0),与y轴交于点C,连接BC交抛物线的对称轴于点E,D是抛物线的顶点.(1)求此抛物线的解析式;(2)直接写出点C和点D的坐标;(3)若点P在第一象限内的抛物线上,且S△ABP=4S△COE,求P点坐标.注:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点坐标为-,.图T4-1|类型4| 二次函数与平行四边形的综合5.如图T4-2,已知点A的坐标为(-2,0),直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B和点C,连接AC,顶点为D的抛物线y=ax2+bx+c过A,B,C三点.(1)请直接写出B,C两点的坐标,抛物线的解析式及顶点D的坐标;(2)设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E,P为第一象限内抛物线上一点,过点P作x轴的垂线,交线段BC于点F,若四边形DEFP为平行四边形,求点P的坐标.图T4-2|类型5| 二次函数与相似三角形的综合6.在直角坐标系xOy中,A(0,2),B(-1,0),将△ABO经过旋转、平移等变化后得到如图T4-3所示的△BCD.(1)求经过A,B,C三点的抛物线的解析式;(2)连接AC,点P是位于线段BC上方的抛物线上一动点,若直线PC将△ABC的面积分成1∶3两部分,求此时点P的坐标.图T4-3参考答案1.解:(1)证明:证法一:∵(-2m)2-4(m2+3)=-12<0,∴方程x2-2mx+m2+3=0没有实数根.∴不论m为何值,函数y=x2-2mx+m2+3的图象与x轴没有公共点.证法二:∵a=1>0,∴该函数的图象开口向上.又∵y=x2-2mx+m2+3=(x-m)2+3≥3,∴该函数的图象在x轴的上方.∴不论m为何值,该函数的图象与x轴没有公共点.(2)y=x2-2mx+m2+3=(x-m)2+3,把函数y=(x-m)2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后,得到函数y=(x-m)2的图象,它的顶点坐标是(m,0),因此这个函数的图象与x轴只有一个公共点.∴把该函数的图象沿y轴向下平移3个单位长度后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点.2.解:(1)∵直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,∴A(-1,0),B(0,4).∵将点B向右平移5个单位长度,得到点C,∴C(0+5,4),即C(5,4).(2)∵抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,∴a-b-3a=0.∴b=-2a.∴抛物线的对称轴为直线x=-=-=1,即对称轴为直线x=1.(3)易知抛物线过点(-1,0),(3,0).①若a>0,如图所示,易知抛物线过点(5,12a),若抛物线与线段BC恰有一个公共点,满足12a≥4即可,可知a的取值范围是a≥.②若a<0,如图所示,易知抛物线与y轴交于(0,-3a),要使该抛物线与线段BC只有一个公共点,就必须-3a>4,此时a<-.③若抛物线的顶点在线段BC上,此时顶点坐标为(1,4),从而解析式为y=a(x-1)2+4,将A(-1,0)代入,解得a=-1,如图所示:综上,a的取值范围是a≥或a<-或a=-1.3.解:(1)证明:联立两个函数,得x2-4x=kx+1,即x2-(4+k)x-1=0,其中Δ=(4+k)2+4>0,所以该一元二次方程有两个不相等的实数根,即直线l与抛物线总有两个交点.(2)如图,连接AO,BO,联立两个函数,得x2-4x=-2x+1,解得x1=1-,x2=1+.设直线l与y轴交于点C,在一次函数y=-2x+1中,令x=0,得y=1,所以C(0,1),OC=1.所以S△ABO=S△AOC+S△BOC=·OC·|x A|+·OC·|x B|=·OC·|x A-x B|=×1×2=.4.解:(1)∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)和点B(3,0),∴解得∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.(2)∵x=0时,y=3,∴点C的坐标为(0,3).∵y=-x2+2x+3=-(x2-2x+1)+4=-(x-1)2+4,∴点D的坐标为(1,4).(3)设点P(x,y),其中x>0,y>0,∵S△COE=×3×1=,S△ABP=×4y=2y,S△ABP=4S△COE,∴2y=4×,∴y=3.∴-x2+2x+3=3,解得x=2(x=0舍去).∴点P的坐标为(2,3).5.解:(1)B(4,0),C(0,3).抛物线的解析式为y=-x2+x+3.顶点D的坐标为1,.(2)把x=1代入y=-x+3,得y=,∴DE=-=.∵点P为第一象限内抛物线上一点,∴可设点P的坐标为m,-m2+m+3, 则点F的坐标为m,-m+3.若四边形DEFP为平行四边形,则PF=DE,∴-m2+m+3--m+3=,解得m1=3,m2=1(不合题意,舍去).∴当点P的坐标为3,时,四边形DEFP为平行四边形.6.解:(1)∵A(0,2),B(-1,0),将△ABO经过旋转、平移等变化得到△BCD,∴BD=OA=2,CD=OB=1,∠BDC=∠AOB=90°.∴C(1,1).设经过A,B,C三点的抛物线解析式为y=ax2+bx+c,则有解得:a=-,b=,c=2.∴抛物线解析式为y=-x2+x+2.(2)如图所示,设直线PC与AB交于点E.∵直线PC将△ABC的面积分成1∶3两部分,∴=或=3,过E作EF⊥OB于点F,则EF∥OA.∴△BEF∽△BAO,∴==.∴当=时,==,∴EF=,BF=,∴E-,.设直线PC的解析式为y=mx+n,则可求得其解析式为y=-x+, ∴-x2+x+2=-x+,∴x1=-,x2=1(舍去),∴P1-,.当=3时,同理可得P2-,.。
[小初高学习]云南省2019年中考数学总复习 提分专练(四)二次函数小综合练习
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提分专练(四)二次函数小综合|类型1| 二次函数与方程(不等式)的综合1.已知二次函数y=x2-2mx+m2+3(m是常数).(1)求证:不论m为何值,该函数的图象与x轴没有公共点;(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点?|类型2| 二次函数与直线的综合2.[2018·北京]在平面直角坐标系xOy中,直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,将点B向右平移5个单位长度,得到点C.(1)求点C的坐标;(2)求抛物线的对称轴;(3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.|类型3| 二次函数与三角形的综合3.[2018·黄冈]已知直线l:y=kx+1与抛物线y=x2-4x.(1)求证:直线l与该抛物线总有两个交点;(2)设直线l与该抛物线的两交点为A,B,O为原点,当k=-2时,求△OAB的面积.4.[2017·齐齐哈尔]如图T4-1,已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)和点B(3,0),与y轴交于点C,连接BC 交抛物线的对称轴于点E,D是抛物线的顶点.(1)求此抛物线的解析式;(2)直接写出点C和点D的坐标;(3)若点P在第一象限内的抛物线上,且S△ABP=4S△COE,求P点坐标.注:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点坐标为-,.图T4-1|类型4| 二次函数与平行四边形的综合5.如图T4-2,已知点A的坐标为(-2,0),直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B和点C,连接AC,顶点为D的抛物线y=ax2+bx+c过A,B,C三点.(1)请直接写出B,C两点的坐标,抛物线的解析式及顶点D的坐标;(2)设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E,P为第一象限内抛物线上一点,过点P作x轴的垂线,交线段BC于点F,若四边形DEFP为平行四边形,求点P的坐标.图T4-2|类型5| 二次函数与相似三角形的综合6.在直角坐标系xOy中,A(0,2),B(-1,0),将△ABO经过旋转、平移等变化后得到如图T4-3所示的△BCD.(1)求经过A,B,C三点的抛物线的解析式;(2)连接AC,点P是位于线段BC上方的抛物线上一动点,若直线PC将△ABC的面积分成1∶3两部分,求此时点P的坐标.图T4-3参考答案1.解:(1)证明:证法一:∵(-2m)2-4(m2+3)=-12<0,∴方程x2-2mx+m2+3=0没有实数根.∴不论m为何值,函数y=x2-2mx+m2+3的图象与x轴没有公共点.证法二:∵a=1>0,∴该函数的图象开口向上.又∵y=x2-2mx+m2+3=(x-m)2+3≥3,∴该函数的图象在x轴的上方.∴不论m为何值,该函数的图象与x轴没有公共点.(2)y=x2-2mx+m2+3=(x-m)2+3,把函数y=(x-m)2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后,得到函数y=(x-m)2的图象,它的顶点坐标是(m,0),因此这个函数的图象与x轴只有一个公共点.∴把该函数的图象沿y轴向下平移3个单位长度后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点.2.解:(1)∵直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,∴A(-1,0),B(0,4).∵将点B向右平移5个单位长度,得到点C,∴C(0+5,4),即C(5,4).(2)∵抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,∴a-b-3a=0.∴b=-2a.∴抛物线的对称轴为直线x=-=-=1,即对称轴为直线x=1.(3)易知抛物线过点(-1,0),(3,0).①若a>0,如图所示,易知抛物线过点(5,12a),若抛物线与线段BC恰有一个公共点,满足12a≥4即可,可知a的取值范围是a≥.②若a<0,如图所示,易知抛物线与y轴交于(0,-3a),要使该抛物线与线段BC只有一个公共点,就必须-3a>4,此时a<-.③若抛物线的顶点在线段BC上,此时顶点坐标为(1,4),从而解析式为y=a(x-1)2+4,将A(-1,0)代入,解得a=-1,如图所示:综上,a的取值范围是a≥或a<-或a=-1.3.解:(1)证明:联立两个函数,得x2-4x=kx+1,即x2-(4+k)x-1=0,其中Δ=(4+k)2+4>0,所以该一元二次方程有两个不相等的实数根,即直线l与抛物线总有两个交点.(2)如图,连接AO,BO,联立两个函数,得x2-4x=-2x+1,解得x1=1-,x2=1+.设直线l与y轴交于点C,在一次函数y=-2x+1中,令x=0,得y=1,所以C(0,1),OC=1.所以S△ABO=S△AOC+S△BOC=·OC·|x A|+·OC·|x B|=·OC·|x A-x B|=×1×2=.4.解:(1)∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)和点B(3,0),∴解得∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.(2)∵x=0时,y=3,∴点C的坐标为(0,3).∵y=-x2+2x+3=-(x2-2x+1)+4=-(x-1)2+4,∴点D的坐标为(1,4).(3)设点P(x,y),其中x>0,y>0,∵S△COE=×3×1=,S△ABP=×4y=2y,S△ABP=4S△COE,∴2y=4×,∴y=3.∴-x2+2x+3=3,解得x=2(x=0舍去).∴点P的坐标为(2,3).5.解:(1)B(4,0),C(0,3).抛物线的解析式为y=-x2+x+3.顶点D的坐标为1,.(2)把x=1代入y=-x+3,得y=,∴DE=-=.∵点P为第一象限内抛物线上一点,∴可设点P的坐标为m,-m2+m+3, 则点F的坐标为m,-m+3.若四边形DEFP为平行四边形,则PF=DE,∴-m2+m+3--m+3=,解得m1=3,m2=1(不合题意,舍去).∴当点P的坐标为3,时,四边形DEFP为平行四边形.6.解:(1)∵A(0,2),B(-1,0),将△ABO经过旋转、平移等变化得到△BCD,∴BD=OA=2,CD=OB=1,∠BDC=∠AOB=90°.∴C(1,1).设经过A,B,C三点的抛物线解析式为y=ax2+bx+c,则有解得:a=-,b=,c=2.∴抛物线解析式为y=-x2+x+2.(2)如图所示,设直线PC与AB交于点E.小初高试卷教案习题集小初高试卷教案习题集∵直线PC将△ABC的面积分成1∶3两部分,∴=或=3,过E作EF⊥OB于点F,则EF∥OA.∴△BEF∽△BAO,∴==.∴当=时,==,∴EF=,BF=,∴E -,.设直线PC的解析式为y=mx+n,则可求得其解析式为y=-x+,∴-x2+x+2=-x+,∴x1=-,x2=1(舍去),∴P 1-,.当=3时,同理可得P 2-,.。
2019年中考数学综合题型专题复习卷：二次函数
二次函数一、单选题1．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）．下列结论：①2a﹣b=0；②（a+c）2＜b2；③当﹣1＜x＜3时，y＜0；④当a=1时，将抛物线先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线y=（x﹣2）2﹣2．其中正确的是（）A．①③B．②③C．②④D．③④【答案】D2．已知一次函数y=x+c的图象如图，则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（）【答案】A3．已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h＝－t2＋24t＋1.则下列说法中正确的是( )A．点火后9 s和点火后13 s的升空高度相同B．点火后24 s火箭落于地面C．点火后10 s的升空高度为139 mD．火箭升空的最大高度为145 m【答案】D4．如图，一段抛物线y=﹣x2+4（﹣2≤x≤2）为C1，与x轴交于A0，A1两点，顶点为D1；将C1绕点A1旋转180°得到C2，顶点为D2；C1与C2组成一个新的图象，垂直于y轴的直线l与新图象交于点P1（x1，y1），P2（x2，y2），与线段D1D2交于点P3（x3，y3），设x1，x2，x3均为正数，t=x1+x2+x3，则t的取值范围是（）A．6＜t≤8B．6≤t≤8C．10＜t≤12D．10≤t≤12【答案】D5．已知二次函数y=﹣x2+x+6及一次函数y=﹣x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），请你在图中画出这个新图象，当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是（）A．﹣＜m＜3 B．﹣＜m＜2 C．﹣2＜m＜3 D．﹣6＜m＜﹣2【答案】D6．将抛物线y=x2+2x+3向下平移3个单位长度后，所得到的抛物线与直线y=3的交点坐标是（）A．（0，3）或（﹣2，3）B．（﹣3，0）或（1，0）C．（3，3）或（﹣1，3）D．（﹣3，3）或（1，3）【答案】D7．如图，抛物线与轴交于点A（-1,0），顶点坐标（1，n）与轴的交点在（0,2），（0,3）之间（包含端点），则下列结论：①；②；③对于任意实数m，总成立；④关于的方程有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【答案】D8．已知二次函数y=x2﹣x+m﹣1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（）A．m≤5B．m≥2C．m＜5 D．m＞2【答案】A9．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系（）．下图记录了某运动员起跳后的与的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为A．B．C．D．【答案】B10．如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=10，AB⊥AC，点P从点B出发沿着B→A→C的路径运动，同时点Q从点A 出发沿着A→C→D的路径以相同的速度运动，当点P到达点C时，点Q随之停止运动，设点P运动的路程为x，y=PQ2，下列图象中大致反映y与x之间的函数关系的是（）【答案】B11．如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C对称轴为直线x=1．直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①2a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③x（ax+b）≤a+b；④a＜﹣1．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】A12．抛物线的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是下列结论中：；；方程有两个不相等的实数根；抛物线与x轴的另一个交点坐标为；若点在该抛物线上，则．其中正确的有A．5个B．4个C．3个D．2个【答案】B13．如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与x轴交于点B、D，若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是A．B．C．D．【答案】C14．如图，抛物线y=（x+2）（x﹣8）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为M，以AB为直径作⊙D．下列结论：①抛物线的对称轴是直线x=3；②⊙D的面积为16π；③抛物线上存在点E，使四边形ACED为平行四边形；④直线CM与⊙D相切．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B二、填空题15．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴交于A，B两点，顶点P（m，n）．给出下列结论：①2a+c＜0；②若（﹣，y1），（﹣，y2），（，y3）在抛物线上，则y1＞y2＞y3；③关于x的方程ax2+bx+k=0有实数解，则k＞c﹣n；④当n=﹣时，△AB P为等腰直角三角形．其中正确结论是______（填写序号）．【答案】②④16．如图，抛物线y=x2+bx+与y轴相交于点A，与过点A平行于x轴的直线相交于点B（点B在第一象限）．抛物线的顶点C在直线OB上，对称轴与x轴相交于点D．平移抛物线，使其经过点A、D，则平移后的抛物线的解析式为_________．【答案】17．如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m（篱笆的厚度忽略不计），当AB=_____m时，矩形土地ABCD的面积最大．【答案】15018．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx（a＞0）的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y=ax2（a＞0）交于点B．若四边形ABOC是正方形，则b的值是_____．【答案】﹣219．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2 m时，水面宽度为4 m；那么当水位下降1m后，水面的宽度为_________m.【答案】220．已知二次函数yax2+bx-3自变量x的部分取值和对应函数值y如下表：则在实数范围内能使得y-5>0成立的x 取值范围是______．【答案】x＞4或x＜-221．若二次函数y＝2x2－4x－1的图象与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则的值为________．【答案】-422．已知当x1＝a，x2＝b，x3＝c时，二次函数y＝12x2＋mx对应的函数值分别为y1，y2，y3，若正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且当a＜b＜c时，都有y1＜y2＜y3，则实数m的取值范围是________．【答案】52 m>-.23．如图抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，连接DE，DF，则DE+DF的最小值为_____．【答案】24．已知函数使成立的的值恰好只有个时，的值为_____.【答案】225．如图，已知抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x．我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为y1和y2，若y1≠y2，取y1和y2中较小值为M；若y1=y2，记M=y1=y2．①当x＞2时，M=y2；②当x＜0时，M随x的增大而增大；③使得M大于4的x的值不存在；④若M=2，则x=1．上述结论正确的是_____（填写所有正确结论的序号）．【答案】②③26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx交x轴的负半轴于点A．点B是y轴正半轴上一点，点A关于点B的对称点A′恰好落在抛物线上．过点A′作x轴的平行线交抛物线于另一点C．若点A′的横坐标为1，则A′C 的长为_____．【答案】3三、解答题27．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线(k为常数）．（1）若抛物线经过点(1,k2)，求k的值；（2）若抛物线经过点(2k,y1)和点(2,y2)，且y1>y2，求k的取值范围；（3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值，求k的值．【答案】(1);(2)k>1；（3）1或3.28．某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．（1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？（2）该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同；该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值．【答案】(1) 50千克(2) 12.529．随着人们生活水平的提高，短途旅行日趋火爆.我市某旅行社推出“辽阳—葫芦岛海滨观光一日游”项目，团队人均报名费用y（元）与团队报名人数x（人）之间的函数关系如图所示，旅行社规定团队人均报名费用不能低于88元.旅行社收到的团队总报名费用为w（元）.（1）直接写出当x≥20时，y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）儿童节当天旅行社收到某个团队的总报名费为3000元，报名旅游的人数是多少？（3）当一个团队有多少人报名时，旅行社收到的总报名费最多？最多总报名费是多少元？【答案】（1）；（2）30；（3）36人，3168元.30．一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量（件与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）（2），，144元31．综合与探究如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A(-4,0)，与y轴交于点C，抛物线y=-x2+bx+c经过点A，C．(1)求抛物线的解析式(2)点E在抛物线的对称轴上，求CE+OE的最小值；(3)如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N．①若以C，P，N为顶点的三角形与△APM相似，则△CPN的面积为；②若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．注：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为()【答案】(1)y=-x2-3x+4；(2)5；(3)①或4；②存在，D点坐标为(，)或(-1+，)或(-1-，-)或(-4，3).32．如图，抛物线与轴交于，，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，的平分线交轴于点，过点且垂直于的直线交轴于点，点是轴下方抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为，交直线于点．（1）求抛物线的解析式；（2）设点的横坐标为，当时，求的值；（3）当直线为抛物线的对称轴时，以点为圆心，为半径作，点为上的一个动点，求的最小值．【答案】（1）y x2x﹣3；（2）；（3）．33．知识背景当a＞0且x＞0时，因为（﹣）2≥0，所以x﹣2+≥0，从而x+（当x=时取等号）．设函数y=x+（a＞0，x＞0），由上述结论可知：当x=时，该函数有最小值为2．应用举例已知函数为y1=x（x＞0）与函数y2=（x＞0），则当x==2时，y1+y2=x+有最小值为2=4．解决问题（1）已知函数为y1=x+3（x＞﹣3）与函数y2=（x+3）2+9（x＞﹣3），当x取何值时，有最小值？最小值是多少？（2）已知某设备租赁使用成本包含以下三部分：一是设备的安装调试费用，共490元；二是设备的租赁使用费用，每天200元；三是设备的折旧费用，它与使用天数的平方成正比，比例系数为0.001．若设该设备的租赁使用天数为x天，则当x取何值时，该设备平均每天的租货使用成本最低？最低是多少元？【答案】（1）6；（2）w有最小值，最小值=201.4元．34．如图，已知二次函数的图象经过点A(4,0)，与y轴交于点B．在x轴上有一动点C(m,0)(0<m<4)，过点C作x轴的垂线交直线AB于点E，交该二次函数图象于点D．（1）求a的值和直线AB的解析式；（2）过点D作DF⊥AB于点F，设△ACE，△DEF的面积分别为S1，S2，若S1=4S2，求m的值；（3）点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G是线段AB上的动点，当四边形DEGH是平行四边形，且▱周长取最大值时，求点G的坐标．【答案】（1），；（2）；（3）或.35．如图，已知二次函数y=ax2+bx+3 的图象与x轴分别交于A(1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C（1）求此二次函数解析式；（2）点D为抛物线的顶点，试判断△BCD的形状，并说明理由；（3）将直线BC向上平移t(t>0)个单位，平移后的直线与抛物线交于M，N两点（点M在y轴的右侧），当△AMN为直角三角形时，求t的值．【答案】（1）；（2）△BCD为直角三角形，理由见解析；（3）当△AMN为直角三角形时，t的值为1或4．36．如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）①Q（2，3）；②Q2（，），Q3（，）；（3）存在37．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2ax﹣3a（a＜0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线DC与x轴相交于点E．（1）当a=﹣1时，求抛物线顶点D的坐标，OE等于多少；（2）OE的长是否与a值有关，说明你的理由；（3）设∠DEO=β，45°≤β≤60°，求a的取值范围；（4）以DE为斜边，在直线DE的左下方作等腰直角三角形PDE．设P（m，n），直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围．【答案】（1）（﹣1，4），3；（2）结论：OE的长与a值无关．理由见解析；（3）﹣≤a≤﹣1；（4）n=﹣m﹣1（m ＜1）．38．如图1，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0）．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）如图2，该抛物线与y轴交于点C，顶点为F，点D（2，3）在该抛物线上．①求四边形ACFD的面积；②点P是线段AB上的动点（点P不与点A、B重合），过点P作PQ⊥x轴交该抛物线于点Q，连接AQ、DQ，当△AQD 是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q的坐标．【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）①S四边形ACFD= 4；②Q点坐标为（1，4）或（，）或（，）．39．已知抛物线F：y＝x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（，0）．（1）求抛物线F的解析式；（2）如图1，直线l：y x+m（m＞0）与抛物线F相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2）（点A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）；（3）在（2）中，若m，设点A′是点A关于原点O的对称点，如图2．①判断△AA′B的形状，并说明理由；②平面内是否存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝x2x；（2）y2﹣y1＝（m＞0）；（3）①等边三角形；②点P的坐标为（2）、（）和（，﹣2）．40．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣2）．点E是直线y=﹣x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．【答案】（1）E（3，1）；（2）S最大=，M坐标为（，3）；（3）F坐标为（0，﹣）．41．如图，已知抛物线过点A(,-3) 和B(3,0)，过点A作直线AC//x轴，交y轴与点C. （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D，连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标；（3）抛物线上是否存在点Q，使得?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）P点坐标为（4,6）或（,- ）；（3）Q点坐标（3，0）或（-2，15）42．已知抛物线的图象如图所示：（1）将该抛物线向上平移2个单位，分别交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则平移后的解析式为．（2）判断△ABC的形状，并说明理由．（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）△ABC是直角三角形；（3）存在，、、．43．空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长为100米．（1）已知a=20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，且围成的矩形菜园面积为450平方米．如图1，求所利用旧墙AD的长；（2）已知0＜α＜50，且空地足够大，如图2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成的矩形菜园A BCD的面积最大，并求面积的最大值．【答案】（1）利用旧墙AD的长为10米．（2）见解析.44．如图，已知顶点为的抛物线与轴交于，两点，直线过顶点和点．（1）求的值；（2）求函数的解析式；（3）抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）﹣3；（2）y x2﹣3；（3）M的坐标为（3，6）或（，﹣2）．45．如图，已知抛物线的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A，B两点（B点在A点右侧）与y 轴交于C点．（1）求抛物线的解析式和A、B两点的坐标；（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；（3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN=3时，求M点的坐标．【答案】（1），点A的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(8，0)；（2）存在点P，使△PBC的面积最大，最大面积是16，理由见解析；（3）点M的坐标为(4-2，)、(2，6)、(6，4)或(4+2，-)．。
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提分专练(四)二次函数小综合
|类型1| 二次函数与方程(不等式)的综合
1.[2018·南京]已知二次函数y=2(x-1)(x-m-3)(m为常数).
(1)求证:不论m为何值,该函数的图象与x轴总有公共点;
(2)当m取什么值时,该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方?
|类型2| 二次函数与直线的综合
2.[2018·苏州]如图T4-1,已知抛物线y=x2-4与x轴交于点A,B(点A位于点B的左侧),C为顶点.直线y=x+m经过点A,与y轴交于点D.
(1)求线段AD的长;
(2)平移该抛物线得到一条新抛物线,设新抛物线的顶点为C'.若新抛物线经过点D,并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC'平行于直线AD,求新抛物线对应的函数表达式.
图T4-1
|类型3| 二次函数与三角形的综合
x+c(a≠0)的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B,C,点C坐3.[2018·枣庄]如图T4-2①,已知二次函数y=ax2+
2
标为(8,0),连接AB,AC.
x+c的表达式;
(1)请直接写出二次函数y=ax2+
2
(2)判断△ABC的形状,并说明理由;
(3)若点N在x轴上运动,当以点A,N,C为顶点的三角形是等腰三角形时,请写出此时点N的坐标;
(4)如图②,若点N在线段BC上运动(不与点B,C重合),过点N作NM∥AC,交AB于点M,当△AMN面积最大时,求点N的坐标.
图T4-2
|类型4| 二次函数与平行四边形的综合
4.[2018·恩施]如图T4-3,已知抛物线交x轴于A,B两点,交y轴于C点,A点坐标为(-1,0),OC=2,OB=3,点D为抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)P为坐标平面内一点,以B,C,D,P为顶点的四边形是平行四边形,求P点坐标.
图T4-3
|类型5| 二次函数与相似三角形的综合
5.[2018·青海]如图T4-4,抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴交点分别为A(-1,0),B(3,0),C(0,2),作直线BC.
图T4-4
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P为抛物线上第一象限内一动点,过点P作PD⊥x轴于点D,设点P的横坐标为t(0<t<3),求△ABP的面积S与t 的函数关系式;
(3)条件同(2),若△ODP与△COB相似,求点P的坐标.
参考答案
1.解:(1)证明:当y=0时,2(x-1)(x-m-3)=0,解得x1=1,x2=m+3.
当m+3=1,即m=-2时,方程有两个相等的实数根;当m+ ≠1,即m≠-2时,方程有两个不相等的实数根.所以,不论m为何值,该函数的图象与x轴总有公共点.
(2)当x=0时,y=2m+6,即该函数的图象与y轴交点的纵坐标是2m+6.
当2m+6>0,即m>-3时,该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方.
2.解:(1)由x2-4=0解得x1=2,x2=-2.
∵点A位于点B的左侧,
∴A(-2,0).
∵直线y=x+m经过点A,
∴-2+m=0,
∴m=2,∴D(0,2).
∴AD=22=22.
(2)∵新抛物线经过点D(0,2),
∴设新抛物线对应的函数表达式为y=x2+bx+2,
2+2-2.
∴y=x2+bx+2=x+
2
∵直线CC'平行于直线AD,并且经过点C(0,-4),
∴直线CC'的函数表达式为y=x-4.
-4,整理得b2-2b-24=0,
∴2-2=-
2
解得b1=-4,b2=6.
∴新抛物线对应的函数表达式为y=x2-4x+2或y=x2+6x+2.
3.[解析] (1)根据待定系数法即可求得;
(2)根据抛物线的表达式求得B的坐标,然后根据勾股定理分别求得AB2=20,AC2=80,BC=10,然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC是直角三角形;
(3)分别以A,C两点为圆心,AC长为半径画弧,与x轴交于三个点,由AC的垂直平分线与x轴交于一个点,即可求得点N 的坐标;
(4)设点N的坐标为(n,0),则BN=n+2,过M点作MD⊥x轴于点D,根据三角形相似对应边成比例求得MD=2(n+2),然后根据S△AMN=S△ABN-S△BMN得出关于n的二次函数,根据函数表达式求解即可.
x+c的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B,C,点C坐标为(8,0),
解:(1)∵二次函数y=ax2+
2
∴ ,
120,
解得-
1,
∴抛物线表达式为y=-1x2+
2
x+4.
(2)△ABC是直角三角形.理由:
令y=0,则-1x2+
2
x+4=0,
解得x1=8,x2=-2,
∴点B的坐标为(-2,0).
由已知可得,
在Rt△ABO中,AB2=BO2+AO2=22+42=20,
在Rt△AOC中,AC2=AO2+CO2=42+82=80,
又∵BC=OB+OC=2+8=10,
∴在△ABC中,AB2+AC2=20+80=102=BC2,
∴△ABC是直角三角形.
(3)∵A(0,4),C(8,0),
∴AC=282=4.
①以A为圆心,以AC长为半径作圆,交x轴于N,此时N的坐标为(-8,0);
②以C为圆心,以AC长为半径作圆,交x轴于N,此时N的坐标为(8-4,0)或(8+4,0);
③作AC的垂直平分线,交x轴于N,此时N的坐标为(3,0).
综上,若点N在x轴上运动,当以点A,N,C为顶点的三角形是等腰三角形时,点N的坐标分别为(-8,0),(8-4,0),(3,0),(8+4,0).
(4)设点N的坐标为(n,0),则BN=n+2,过M点作MD⊥x轴于点D,
∴MD∥OA,
∴△BMD∽△BAO,
∴=.
∵MN∥AC,
∴=,
∴ =
. ∵OA=4,BC=10,BN=n+2, ∴MD=2
(n+2). ∵S △AMN =S △ABN -S △BMN
=12BN ·OA-1
2BN ·MD =1
2(n+2)×4-1
2×2
(n+2)2
=-1 (n-3)2+5,
∴当△AMN 面积最大时,N 点坐标为(3,0).
4.解:(1)∵OC=2,OB=3,
∴C (0,2),B (3,0).
设抛物线的解析式为y=ax 2
+bx+2, 将A (-1,0),B (3,0)代入得
2 0, 2 0,
解得
-2
,
,
∴抛物线的解析式为y=-2
x 2+
x+2.
(2)∵D 为抛物线y=-2
x 2
+
x+2的顶点,
∴D 1,8
. ∵C (0,2),B (3,0),
∴①当四边形DCBP 1为平行四边形时,BP 1可由CD 平移得到,由点C 到点D 横坐标加1个单位,纵坐标加2
个单位,得P 14,2
;
②当四边形DP 2CB 为平行四边形时,CP 2可由BD 平移得到,由点B 到点D 横坐标减2个单位,纵坐标加8 个单位,得P 2-2,1
; ③当四边形CP 3BD 为平行四边形时,BP 3可由DC 平移得到,由点D 到点C 横坐标减1个单位,纵坐标减2 个单位,得P 3 2,-2
.
综上所述,当P 的坐标为 -2,1 或 2,-2 或 ,2
时,以B ,C ,D ,P 为顶点的四边形是平行四边形. 5.解:(1)将A (-1,0),B (3,0),C (0,2)代入解析式y=ax 2
+bx+c 得,
- 0,
0, 2,
解得 -2
,
, 2,
∴抛物线的解析式为y=-2
x 2+
x+2.
(2)连接AP ,BP ,
∵P t ,-2 t 2+
t+2, ∴PD=-2
t 2+
t+2,又AB=4, ∴S △ABP =1
2×4×-2
t 2+
t+2 =-
t 2+8 t+4(0<t<3).
(3)①当△BOC ∽△PDO 时,
=
, ∴2 =
-2 2
2,
3t=2-2
t 2
+
t+2, 4t 2
+t-12=0.
∴t 1=-1- 1
8
(舍去),t 2=-1 1
8
.
∴P
-1 1 8
,
1 -
1
.
②当△BOC ∽△ODP 时,
=
, ∴
2
-2 2
2=
,
2t=3-2 t 2
+
t+2,
t 2-t-3=0. ∴t 1=1- 1 2
(舍去),
t 2=
1 1 2
, ∴P
1 1 2
,
1 1
.
综上所述,点P 的坐标为-1 1 8
, 1 -
1 或
1 1 2
,
1 1
.。