重庆市2014届一诊数学(理)试题含答案
(重庆市)2014年高考真题数学(理)试题
2014年重庆高考数学试题（理）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内表示复数(12)i i -的点位于（ ）.A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限2.对任意等比数列{}n a ,下列说法一定准确的是（ ） 139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列 248.,,C a a a 成等比数列 369.,,D a a a 成等比数列3.已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由观测的数据得线性回归方程可能为（ ）.0.4 2.3A y x =+ .2 2.4B y x =- .29.5C y x =-+ .0.3 4.4C y x =-+4.已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===，且(23)a b c -⊥，则实数k =（ ）9.2A - .0B .C 3 D.1525.执行如题（5）图所示的程序框图，学科 网若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是（ ） A.12s>B.35s >C.710s >D.45s >6.已知命题:p 对任意x R ∈，总有20x>；:"1"q x >是"2"x >的充分不必要条件则下列命题为真命题的是（ ）.A p q ∧ .B p q ⌝∧⌝ .C p q ⌝∧ .D p q ∧⌝7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A.54B.60C.66D.728.设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，双曲线上存有一点P 使得,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+则该双曲线的离心率为（ ） A.34 B.35 C.49D.3 9.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、学科 网2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）A.72B.120C.144D.310.已知ABC ∆的内角21)sin()sin(2sin ,+--=+-+B A C C B A A C B A 满足，，面积S 满足C B A c b a S ,,,,21分别为，记≤≤所对的边，则下列不等式成立的是（ ）A.8)(>+c b bcB.216b)+ab(a >C.126≤≤abcD.1224abc ≤≤ 二、填空题11.设全集=⋂==≤≤∈=B A C B A n N n U U )(},9,7,5,3,1{},8,5,3,2,1{},101|{则______. 12.函数)2(log log )(2x x x f ⋅=的最小值为_________.13. 已知直线02=-+y ax 与圆心为C 的圆()()4122=-+-a y x 相交于B A ，两点，且 ABC ∆为等边三角形，学 科网则实数=a _________.考生注意：14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分. 14. 过圆外一点P 作圆的切线PA （A 为切点），再作割线PB ，PC 分别交圆于B ，C ， 若6=PA ，AC =8，BC =9，则AB =________. 15. 已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=t y tx 32（t 为参数），以坐标原点为极点，x 正半轴为极轴线l 与曲线C 的公共点的极经=ρ________. 16. 若不等式2212122++≥++-a a x x 对任意实数x 恒成立，学 科网则实数a 的取值范围是 ____________.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程. 17. （本小题13分，（I ）小问5分，（II ）小问8分）已知函数()()⎪⎭⎫⎝⎛<≤->+=220sin 3πϕπωϕω，x x f 的图像关于直线3π=x 对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.（I ）求ω和ϕ的值； （II ）若⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=⎪⎭⎫⎝⎛326432παπαf ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+23cos πα的值.18.（本小题满分13分）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字 是2,2张卡片上的数字是3，学 科 网从盒中任取3张卡片. （1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;（2）X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列（注：若三个数c b a ,,满足 c b a ≤≤，则称b 为这三个数的中位数）.19.（本小题满分12分）如图（19），四棱锥ABCD P -，底面是以O 为中心的菱形，⊥PO 底面ABCD ， 3,2π=∠=BAD AB ，M 为BC 上一点，且AP MP BM ⊥=,21. （1）求PO 的长；（2）求二面角C PM A --的正弦值。
2014·重庆(理科数学)
2014·重庆卷(理科数学)1．[2014·重庆卷] 复平面内表示复数i(1－2i)的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限1．A [解析] i(1－2i)＝2＋i ，其在复平面内对应的点为(2，1)，位于第一象限． 2．[2014·重庆卷] 对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9，成等比数列2．D [解析] 因为在等比数列中a n ，a 2n ，a 3n ，…也成等比数列，所以a 3，a 6，a 9成等比数列．3．[2014·重庆卷] 已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x ＝3，y ＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )A ．y ^＝0.4x ＋2.3B ．y ^＝2x －2.4C ．y ^＝－2x ＋9.5D ．y ^＝－0.3x ＋4.43．A [解析] 因为变量x 与y 正相关，则在线性回归方程中，x 的系数应大于零，排除B ，D ；将x ＝3，y ＝3.5分别代入A ，B 中的方程只有A 满足，故选A.4．[2014·重庆卷] 已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( )A ．－92 B ．0C ．3 D.1524．C [解析] ∵2a －3b ＝2(k ，3)－3(1，4)＝(2k －3，－6)，又(2a －3b )⊥c ，∴(2k －3)×2＋(－6)＝0，解得k ＝3.5．[2014·重庆卷] 执行如图1-1所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是( )A ．s >12B ．s >35C ．s >710D ．s >455．C [解析] 第一次循环结束，得s ＝1×910＝910，k ＝8；第二次循环结束，得s ＝910×89＝45，k ＝7；第三次循环结束，得s ＝45×78＝710，k ＝6，此时退出循环，输出k ＝6.故判断框内可填s >710.6．[2014·重庆卷] 已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0，q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．綈p ∧綈qC ．綈p ∧qD ．p ∧綈q6．D [解析] 根据指数函数的图像可知p 为真命题．由于“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，所以q 为假命题，所以綈q 为真命题，所以p ∧綈q 为真命题．7．[2014·重庆卷] ( )A ．54B ．60C ．66D ．727．B [解析] 由三视图可知该几何体是由一个直三棱柱去掉一个三棱锥所得，三棱柱的底面是一个两直角边长分别为3和4的直角三角形，高为5，截去的锥体的底面是两直角边的边长分别为3和4的直角三角形，高为3，所以表面积为S ＝12×3×4＋3×52＋2＋52×4＋2＋52×5＋3×5＝60.8．[2014·重庆卷] 设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( )A.43B.53C.94D ．3 8．B [解析] 不妨设P 为双曲线右支上一点，根据双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝2a ，联立|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，平方相减得|PF 1|·|PF 2|＝9b 2－4a 24，则由题设条件，得9b 2－4a 24＝94ab ，整理得b a ＝43，∴e ＝c a ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫432＝53.9．[2014·重庆卷] 某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A ．72B ．120C ．144D ．1689．B [解析] 分两步进行：(1)先将3个歌舞进行全排，其排法有A 33种；(2)将小品与相声插入将歌舞分开，若两歌舞之间只有一个其他节目，其插法有2A 33种．若两歌舞之间有两个其他节目时插法有C 12A 22A 22种．所以由计数原理可得节目的排法共有A 33(2A 33＋C 12A 22A 22)＝120(种)．10．，[2014·重庆卷] 已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin 2A ＋sin(A －B ＋C )＝sin(C －A －B )＋12，面积S 满足1≤S ≤2，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是( )A ．bc (b ＋c )>8B ．ab (a ＋b )>16 2C ．6≤abc ≤12D ．12≤abc ≤2410．A [解析] 因为A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋C ＝π－B ，C ＝π－(A ＋B )，所以由已知等式可得sin 2A ＋sin(π－2B )＝sin[π－2(A ＋B )]＋12，即sin 2A ＋sin 2B ＝sin 2(A ＋B )＋12，所以sin[(A ＋B )＋(A －B )]＋sin[(A ＋B )－(A －B )]＝sin 2(A ＋B )＋12，所以2 sin(A ＋B )cos(A －B )＝2sin(A ＋B )cos(A ＋B )＋12，所以2sin(A ＋B )[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12，所以sin A sin B sin C ＝18.由1≤S ≤2，得1≤12bc sin A ≤2.由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，所以1≤2R 2·sin A sin B sin C ≤2，所以1≤R 24≤2，即2≤R ≤2 2，所以bc (b ＋c )>abc ＝8R 3sinA sinB sinC ＝R 3≥8.11．[2014·重庆卷] 设全集U ＝{n ∈N |1≤n ≤10}，A ＝{1，2，3，5，8}，B ＝{1，3，5，7，9}，则(∁U A )∩B ＝________．11．{7，9} [解析] 由题知∁U A ＝{4，6，7，9，10}， ∴(∁U A )∩B ＝{7，9}． 12．[2014·重庆卷] 函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________．12．－14 [解析] f (x )＝log 2 x ·log 2(2x )＝12log 2 x ·2log 2(2x )＝log 2x ·(1＋log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎫log 2x ＋122－14，所以当x ＝22时，函数f (x )取得最小值－14.13．[2014·重庆卷] 已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________．13．4±15 [解析] 由题意可知圆的圆心为C (1，a )，半径r ＝2，则圆心C 到直线ax＋y －2＝0的距离d ＝|a ＋a －2|a 2＋1＝|2a －2|a 2＋1.∵△ABC 为等边三角形，∴|AB |＝r ＝2.又|AB |＝2r 2－d 2，∴222－⎝ ⎛⎭⎪⎫|2a －2|a 2＋12＝2，即a 2－8a ＋1＝0，解得a ＝4±15. 14．[2014·重庆卷] 过圆外一点P 作圆的切线P A (A 为切点)，再作割线PBC 依次交圆于B ，C .若P A ＝6，AC ＝8，BC ＝9，则AB ＝________．14．4 [解析] 根据题意，作出图形如图所示，由切割线定理，得P A 2＝PB ·PC ＝PB ·(PB ＋BC )，即36＝PB ·(PB ＋9)∴PB ＝3，∴PC ＝12.由弦切角定理知∠P AB ＝∠PCA ，又∠APB＝∠CP A ，∴△P AB ∽△PCA ，∴AB CA ＝PB，即AB ＝PB ·CA ＝3×86＝4.15．[2014·重庆卷] 已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪y ＝3＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0(ρ≥0，0≤θ<2π)，则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ＝________．15. 5 [解析] 由题意，得直线l 的普通方程为x －y ＋1＝0，曲线C 的平面直角坐标方程为y 2＝4x ，联立直线l 与曲线C 的方程，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ＝（1－0）2＋（2－0）2＝ 5.16．[2014·重庆卷] 若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a的取值范围是________．16.⎣⎡⎦⎤－1，12 [解析] 令f (x )＝|2x －1|＋|x ＋2|，则①当x <－2时，f (x )＝－2x ＋1－x －2＝－3x －1>5；②当－2≤x ≤12时，f (x )＝－2x ＋1＋x ＋2＝－x ＋3，故52≤f (x )≤5；③当x >12时，f (x )＝2x －1＋x ＋2＝3x ＋1>52.综合①②③可知f (x )≥52，所以要使不等式恒成立，则需a 2＋12a＋2≤52，解得－1≤a ≤12.17．，，[2014·重庆卷] 已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图像关于直线x ＝π3对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α2＝34⎝⎛⎭⎫π6<α<2π3，求cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2的值．17．解：(1)因为f (x )的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以ƒ(x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又因为f (x )的图像关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，….因为－π2≤φ＜π2，所以φ＝－π6.(2)由(1)得ƒ⎝⎛⎭⎫α2＝3sin(2×α2－π6)＝34， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝14.由π6＜α＜2π3得0＜α－π6＜π2， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154.因此cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤（α－π6）＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎫α－π6sin π6＝14×32＋154×12 ＝3＋158.18．，[2014·重庆卷] 一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列与数学期望． (注：若三个数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c ，则称b 为这三个数的中位数)18．解：(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为P ＝C 34＋C 33C 39＝584. (2)X 的所有可能值为1，2，3，且P (X ＝1)＝C 24C 15＋C 34C 39＝1742，P (X ＝2)＝C 13C 14C 12＋C 23C 16＋C 33C 39＝4384， P (X ＝3)＝C 22C 17C 39＝112，故X 的分布列为从而E (X )＝1×1742＋2×4384＋3×112＝4728.19．，[2014·重庆卷]如图1-3所示，四棱锥P ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，AB ＝2，∠BAD ＝π3，M 为BC 上一点，且BM ＝12，MP ⊥AP .(1)求PO 的长； (2)求二面角A -PM -C19．解：(1)如图所示，连接AC ，BD ，因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ∩ BD ＝O ，且AC ⊥BD .以O 为坐标原点，OA →，OB →，OP →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系O -xyz .因为∠BAD ＝π3，所以OA ＝AB ·cos π6＝3，OB ＝AB ·sin π6＝1，所以O (0，0，0)，A (3，0，0)，B (0，1，0)，C (－3，0，0)，OB →＝(0，1，0)，BC →＝(－3，－1，0)．由BM ＝12，BC ＝2知，BM →＝14BC →＝⎝⎛⎭⎫－34，－14，0，从而OM →＝OB →＋BM →＝⎝⎛⎭⎫－34，34，0，即M ⎝⎛⎭⎫－34，34，0.设P (0，0，a )，a ＞0，则AP →＝(－3，0，a )，MP →＝⎝⎛⎭⎫34，－34，a .因为MP ⊥AP ，所以MP →·AP →＝0，即－34＋a 2＝0，所以a ＝32或a ＝－32(舍去)，即PO ＝32.(2)由(1)知，AP →＝⎝⎛⎭⎫－3，0，32，MP →＝⎝⎛⎭⎫34，－34，32，CP →＝⎝⎛⎭⎫3，0，32.设平面APM 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面PMC 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．由n 1·AP →＝0, n 1·MP →＝0，得⎩⎨⎧－3x 1＋32z 1＝0，34x 1－34y 1＋32z 1＝0，故可取n 1＝⎝⎛⎭⎫1，533，2.由n 2·MP →＝0，n 2·CP →＝0，得⎩⎨⎧34x 2－34y 2＋32z 2＝0，3x 2＋32z 2＝0，故可取n 2＝(1，－3，－2)．从而法向量n 1，n 2的夹角的余弦值为cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－155，故所求二面角A -PM -C 的正弦值为105. 20．[2014·重庆卷] 已知函数f (x )＝a e 2x －b e －2x －cx (a ，b ，c ∈R )的导函数f ′(x )为偶函数，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率为4－c .(1)确定a ，b 的值；(2)若c ＝3，判断f (x )的单调性； (3)若f (x )有极值，求c 的取值范围．20．解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝2a e 2x ＋2b e －2x －c ，由f ′(x )为偶函数，知f ′(－x )＝f ′(x )，即2(a －b )(e 2x －e －2x )＝0.因为上式总成立，所以a ＝b .又f ′(0)＝2a ＋2b －c ＝4－c ，所以a ＝1，b ＝1.(2)当c ＝3时，f (x )＝e 2x －e －2x －3x ，那么f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x －3≥22e 2x ·2e －2x －3＝1>0， 故f (x )在R 上为增函数．(3)由(1)知f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x －c ，而2e 2x ＋2e －2x ≥22e 2x ·2e －2x ＝4，当且仅当x ＝0时等号成立．下面分三种情况进行讨论：当c <4时，对任意x ∈R ，f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x －c >0，此时f (x )无极值．当c ＝4时，对任意x ≠0，f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x －4>0，此时f (x )无极值．当c >4时，令e 2x ＝t ，注意到方程2t ＋2t －c ＝0有两根t 1，2＝c ±c 2－164>0，则f ′(x )＝0有两个根x 1＝12ln t 1，x 2＝12ln t 2.当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0；当x >x 2时，f ′(x )>0. 从而f (x )在x ＝x 2处取得极小值．综上，若f (x )有极值，则c 的取值范围为(4，＋∞)．21．，[2014·重庆卷] 如图1-4所示，设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为22.(1)求椭圆的标准方程；(2)设圆心在y 轴上的圆与椭圆在x 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．21．解：(1)设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c 2＝a 2－b 2. 由|F 1F 1||DF 1|＝22得|DF 1|＝|F 1F 2|22＝22c . 从而S △DF 1F 2＝12|DF 1||F 1F 2|＝22c 2＝22，故c ＝1.从而|DF 1|＝22，由DF 1⊥F 1F 2得|DF 2|2＝|DF 1|2＋|F 1F 2|2＝92，因此|DF 2|＝322，所以2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝22，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.因此，所求椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)如图所示，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆x 22＋y 2＝1相交，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是两个交点，y 1>0，y 2>0，F 1P 1，F 2P 2是圆C 的切线，且F 1P 1⊥F 2P 2.由圆和椭圆的对称性，易知，x 2＝－x 1，y 1＝y 2，|P 1P 2|＝2|x 1|.由(1)知F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1P 1＝(x 1＋1，y 1)，F 2P 2＝(－x 1－1，y 1)．再由F 1P 1⊥F 2P 2得－(x 1＋1)2＋y 21＝0.由椭圆方程得1－x 212＝(x 1＋1)2，即3x 21＋4x 1＝0，解得x 1＝－43或x 1＝0.当x 1＝0时，P 1，P 2重合，此时题设要求的圆不存在．当x 1＝－43时，过P 1，P 2分别与F 1P 1，F 2P 2垂直的直线的交点即为圆心C .由F 1P 1，F 2P 2是圆C 的切线，且F 1P 1⊥F 2P 2，知CP 1⊥CP 2.又|CP 1|＝|CP 2|，故圆C 的半径|CP 1|＝22|P 1P 2|＝2|x 1|＝423.22．，，[2014·重庆卷] 设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n＋2＋b (n ∈N *)． (1)若b ＝1，求a 2，a 3及数列{a n }的通项公式． (2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a 2n <c <a 2n ＋1对所有n ∈N *成立？证明你的结论． 22．解：(1)方法一：a 2＝2，a 3＝2＋1. 再由题设条件知(a n ＋1－1)2＝(a n －1)2＋1.从而{(a n －1)2}是首项为0，公差为1的等差数列， 故(a n －1)2＝n －1，即a n ＝n －1＋1(n ∈N *)． 方法二：a 2＝2，a 3＝2＋1.可写为a 1＝1－1＋1，a 2＝2－1＋1，a 3＝3－1＋1.因此猜想a n ＝n －1＋1. 下面用数学归纳法证明上式． 当n ＝1时，结论显然成立．假设n ＝k 时结论成立，即a k ＝k －1＋1，则a k ＋1＝（a k －1）2＋1＋1＝（k －1）＋1＋1＝（k ＋1）－1＋1， 这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立． 所以a n ＝n －1＋1(n ∈N *)．(2)方法一：设f (x )＝（x －1）2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )．令c ＝f (c )，即c ＝（c －1）2＋1－1，解得c ＝14.下面用数学归纳法证明命题 a 2n <c <a 2n ＋1<1.当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (0)＝2－1，所以a 2<14<a 3<1，结论成立．假设n ＝k 时结论成立，即a 2k <c <a 2k ＋1<1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而 c ＝f (c )>f (a 2k ＋1)>f (1)＝a 2，即 1>c >a 2k ＋2>a 2.再由f (x )在(－∞，1]上为减函数，得c ＝f (c )<f (a 2k ＋2)<f (a 2)＝a 3<1，故c <a 2k ＋3<1，因此a 2(k ＋1)<c <a 2(k ＋1)＋1<1，这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．综上，存在 c ＝14使a 2n <C <a 2a ＋1对所有n ∈N *成立．方法二：设f (x )＝（x －1）2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )． 先证：0≤a n ≤1(n ∈N *)． ① 当n ＝1时，结论明显成立．假设n ＝k 时结论成立，即0≤a k ≤1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而 0＝f (1)≤f (a k )≤f (0)＝2－1<1.即0≤a k ＋1≤1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．故①成立． 再证：a 2n <a 2n ＋1(n ∈N *)． ②当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (a 2)＝f (0)＝2－1，所以a 2<a 3，即n ＝1时②成立． 假设n ＝k 时，结论成立，即a 2k <a 2k ＋1. 由①及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得 a 2k ＋1＝f (a 2k )>f (a 2k ＋1)＝a 2k ＋2， a 2(k ＋1)＝f (a 2k ＋1)<f (a 2k ＋2)＝a 2(k ＋1)＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时②成立．所以②对一切n ∈N *成立． 由②得a 2n <a 22n －2a 2n ＋2－1，即(a 2n ＋1)2<a 22n －2a 2n ＋2， 因此a 2n <14. ③又由①②及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得f (a 2n )>f (a 2n ＋1)，即a 2n ＋1>a 2n ＋2.所以a 2n ＋1>a 22n ＋1－2a 2n ＋1＋2－1，解得a 2n ＋1>14. ④ 综上，由②③④知存在c ＝14使a 2n <c <a 2n ＋1对一切n ∈N *成立．。
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(重庆卷,解析版)
2014年重庆高考数学试题〔理〕一.选择题：本大题共10小题，每一小题5分，共50分.在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1.在复平面内表示复数(12)i i -的点位于〔〕.A 第一象限.B 第二象限 .C 第三象限.D 第四象限【答案】A 【解析】..∴2)2-1(A i i i 选对应第一象限+=2.对任意等比数列{}n a ,如下说法一定正确的答案是〔〕139.,,A a a a 成等比数列236.,,B a a a 成等比数列 248.,,C a a a 成等比数列239.,,D a a a 成等比数列【答案】D 【解析】.∴D 选要求角码成等差3.变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本的平均数 2.5x =， 3.5y =，如此由观测的数据得线性回归方程可能为〔〕.0.4 2.3A y x =+.2 2.4B y x =-.29.5C y x =-+.0.3 4.4C y x =-+【答案】A 【解析】.∴)5.33(),(.,,0,A y x D C b a bx y 选，过中心点排除正相关则=∴>+=4.向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===，且()23a b c -⊥，如此实数k=9.2A -.0B C.3 D.152【答案】C 【解析】.∴3),42(3)32(2,32,0)3-2(∴⊥)3-2(C k k bc ac c b a c b a 选解得即即=+=+==5.执行如题〔5〕图所示的程序框图，假设输出k 的值为6，如此判断框内可填入的条件是。
A ．12s >B.1224abc ≤≤35s >C.710s >D.45s >【答案】C 【解析】.∴10787981091C S 选=•••=6.命题:p 对任意x R ∈，总有20x >； :"1"q x >是"2"x >的充分不必要条件如此如下命题为真命题的是〔〕.A p q ∧.B p q ⌝∧⌝.C p q ⌝∧.D p q ∧⌝【答案】D 【解析】.∴,,D q p 选复合命题为真为假为真7.某几何体的三视图如下列图，如此该几何体的外表积为〔〕A.54B.60C.66D.72【答案】B 【解析】BS S S S S S 选，，，何体表的面积的上部棱锥后余下的几；截掉高为，高原三棱柱：底面三角形侧上下侧上下∴60s 2273392318152156344*3=++=+=•++===8.设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+如此该双曲线的离心率为〔〕A.34B.35C.49D.3【答案】B 【解析】.,35,5,4,3,34∴,2-,49,3,,,22221B a c c b a b a b a c a n m ab mn b n m n m PF n PF m 选令解得则且设====∴=+====+>==9.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，如此类节目不相邻的排法种数是〔〕A.72B.120C.144D.3 【答案】B【解析】解析完成时间2014-6-12 373780592..120)A A A A A (A ∴A A A 2(2).A A (1),A 222212122333222212122333B 选共有个：歌舞中间有法：歌舞中间有一个，插空再排其它：先排歌舞有=+10.ABC ∆的内角21)sin()sin(2sin ,+--=+-+B A C C B A A C B A 满足，，面积满足C B A c b a S ,,,,21分别为，记≤≤所对的边，如此如下不等式成立的是〔〕A.8)(>+c b bcB.)(c a ac +C.126≤≤abcD. 1224abc ≤≤【答案】A【解析】2014-6-12 373780592...8)(,82nC sinAsinBsi 8)(,]8,4[∈∴]2,1[∈4nC sinAsinBsi 2sin 21.1inC 8sinAsinBs ∴21inC 4sinAsinBs nA)sinBcosBsi cosAsinB 4sinAsinB(A in 4sinBcosBs B in 4sinAcosAs cos2A)-sin2B(1cos2B)-in2A(1cos2Asin2B -sin2Acos2B -sin2B in2A 2B)sin(2A -sin2B in2A sin2C sin2B in2A ∴21-sin2C 21B)-A -sin(C sin2B sin2A C)B -sin(A sin2A 333222Δ22A c b bc R R bca c b bc A R R R C ab S s s s s ABC 所以，选别的选项可以不考虑成立对>+∴=≥==>+======+=+=+=+=++=+++=+=+=++二、填空题 本大题共6小题，考生作答5小题，每一小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上。
重庆市2014届高三考前模拟数学理试卷Word版含解析
重庆市2014届高三考前模拟数学（理）试题满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0．5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并收回。
【试卷综析】本试卷是高三考前模拟理科数学试卷，命题模式与高考一致，紧扣考纲，考查了高考考纲上的诸多热点问题，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生基本数学素养的考查。
知识考查注重基础、注重常规，也有综合性较强的问题。
试题重点考查：函数、三角函数、数列、立体几何、统计与概率、解析几何、不等式、向量、极坐标与参数方程、推理与证明等，涉及到的基本数学思想有函数与方程、转化与化归、分类讨论等，试题题目新颖，导向性强，非常适合备战高考的高三学生使用。
一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）己知i 为虚数单位，复数的虚部是（A ） （B ）一（C ）一i（D ）i【知识点】复数的代数形式；复数的除法运算 【答案解析】A 解析：i i i i i i 212121)1)(1(111+=+=+-+=-，其虚部为21， 故选：A【思路点拨】根据复数的除法运算把复数化成一般形式，再根据虚部的定义即可得到答案。
（2）设集合A= {-1，0，2），集合，则B=（A ）{1} （B ）{一2} （C ）{-1，-2}（D ）{-1，0}【知识点】元素与集合的关系【答案解析】A 解析：当1-=x 时，A ∉=--3)1(2，所以1-=x 满足题意，此时{}{}1=-=x B ；当0=x 时，A ∈=-202，所以0=x 不满足题意；当2=x 时，A ∈=-022，所以2=x 不满足题意，所以={}1， 故选：A【思路点拨】根据已知知集合B 中的元素属于集合A ，因为集合A 中的元素不多，可以把各个元素分别代入检验，从中选出符合条件的元素即可。
重庆市重庆一中2014届高三上学期期中考试理科数学试卷(解析版)
重庆市重庆一中2014届高三上学期期中考试理科数学试卷（解析版）一、选择题1）【答案】C【解析】选C.考点：向量的坐标运算及垂直关系.2．已知全集U=R）AC【答案】D【解析】考点：集合的基本运算及解不等式.3）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】00一定成立.故不是充分条件..选B.考点：1、等比数列；2、充分条件与必要条件.4（）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】A 【解析】试题分析： 考点：1、函数的导数；2、二次方程根与系数的关系.的三条边及相对三个角，则ABC ∆的形状是（A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【解析】试题分析：在三角形中，o s均不为0，故由题意可得：由正弦定理得：，即考点：1、共线向量；2、正弦定理.7）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】B【解析】若，则61(a a+11.考点：12、等差数列的性质的应用.8tan-）【答案】C 【解析】 3cos 3==.考点：三角恒等变换.9．前n 项的积前n 项的和那么不确定 【答案】A 【解析】3121n x x x x x =⋅⋅⋅=. (x -1故选A.A..二、填空题10【答案】32 【解析】考点：等比数列.112,a b =37b =，则的夹角为 .【解析】 试题分析：由37b =得：考点：向量的模、夹角及数量积.12的解集为 .【解析】由题意得：所4不等考点：1、一元二次不等式、指数不等式及对数不等式的解法；2、韦达定理.13．若直线与函数的图象相切于点，则切点的坐标为 .【解析】试题分析：对函数求导得：.设切点，则点考点：导数的应用.14的最大值为 .【答案】16【解析】.取得最大值.所以考点：1、等差数列；2、最值问题.三、解答题15（1（2）上的对称中心.【答案】（1（2【解析】试题分析：（1）将降次化一，可化为.（2）在（1当时，可以得到.又，所以.这样试题解析：（1（2考点：不等式.16（1（220【答案】（1（2【解析】试题分析：(1)在本题中由由此便可得一个方程组，解这个方程组即可.(2)由（1试题解析：(1)(2)考点：1、等差数列与等比数列；2.17的图象.ABC 的三c o s C 的值【答案】（1（2【解析】试题分析：（1..（2）由（1①注意s 1,s i n co sC =，所以可令①②两式平方相加即可. 试题解析：（1)12ϕ+=πϕ=，f-∈（26………………………………①考点：1、三角函数的图象及其变换；2、正弦定理及三角恒等变换.18（1（2.【答案】【解析】试题分析：（1（2）联系（1试题解析：（1（2）由（1考点：1、利用导数求函数的最值；2、方程的解.19．已知数合（11的项，请写出所有这样数列的前三项；（2（3【答案】（1）9，3，1或2，3，1；（2）详见解析；（3）详见解析. 【解析】试题分析：（1.（2. （32、3时，可求出前三项，前三项就是1、2、3三个数，结论成立.时，数列中的项最终必将小于或等于 3.现在的问题是如何证明这一点.注意（2）小题的结，这样依次递减下去，数列中的项最终必将小于或等于3.一旦小于等于3，则必有1、2、3，从而问题得证.试题解析：（10.所以前三项分别为9，3，1或2，3，1..综上得，前三项分别为9，3，1或2，3，1.（2）①当被3除余1时，由已知可得3除余23的倍数，3的倍数，3除余033333（3.由（2.大于3由前面的计算知，只要数列中存在小于等于3的项，则必有1、2、3三个数，考点：1、递推数列；2、不等式的证明.20（1（2问：求出该切线方程；若不能，请说明理由.【答案】（1（2【解析】试题分析：（10.求导得：..（2）本题属探索性问题.对探索性问题，常用的方法是假设成立，然后利用题设试着去求相关的量.若能求出，则成立；若无解，则不成立.的极值点，故有.又函数存在两个零点4个方程（4个未知数).方程）.试题解析：（1（2……………………………………⑤.考点：1、函数的单调性；2、函数的零点；3、函数的导数及其应用.。
数学理卷·2014届重庆市重庆一中高三5月月考(2014.05)
2014年重庆一中高2014级高三下期第三次月考 数 学 试 题（理科）2014.5【试卷综析】本卷为高三月考试卷，本次高三数学模拟试题从整体看，既注重了对基础知识的重点考查，也注重了对能力的考查。
从考生的反映看，试题难度适中，最后两道大题考查深入，有较好的梯度和区分度；坚持重点内容重点考，考潜能，考数学应用，在“知识的交汇处命题”有新的突破，反映了新课程的理念，试卷注重对常规数学思想方法以及通性、通法的考查，注重认识能力的考查，注重创新意识，稳中求新，新中求活，活中凸显能力。
注重综合性、应用性、探索性、开放性等能力型题目的考查，充分体现了能力立意，在考查学生数学基础知识、数学思想和方法的基础上，以逻辑思维能力为核心，同时考查了学生的学习能力、运算能力、空间想像能力、应用能力、探究能力、分析和解决问题的能力和创新能力，同时加强对思维品质的考查。
试卷在考查基础知识的同时，注重对数学思想和方法的考查，注重对数学能力的考查。
数学试题共4页，共21个小题。
满分150分。
考试时间120分钟． 注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．一、选择题.(共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合2{1},{M x y x N y y ==+==，则M N =（ ）A. {(0,1)}B. {1}x x ≥-C. {0}x x ≥D. {1}x x ≥【知识点】集合的概念与运算.【答案解析】C 解析：解：M R,=N ={0}x x ≥∴ M N ={0}x x ≥【思路点拨】M 是函数21y x =+的定义域，N 是函数y =. 2.设复数z 满足()(1)1,(z i i i i ++=-是虚数单位），则z =（ ）A. 1B.2C.3D. 4【知识点】复数的运算；复数的模的计算. 【答案解析】B解析：解：设z a bi=+则()()()()21111a bi i i a b a i b i i+++=+++++=-∴()()111a b b a i i --+++=-可知11,11a b a b --=++=-0,2a b ∴==-2,2z i z ∴=-=正确选项为B.【思路点拨】可用待定系数法设出复数Z ，然后求出a 与b 的值，最后求出复数的模长.3.命题“若1,x >则22x >”的否定是（ ）A.21,2x x ∀>≤B.21,2x x ∃>>C.21,2x x ∃>≤D.21,2x x ∃≤>【知识点】命题的否定命题.【答案解析】C 解析：解：命题的否定指对命题结论的否定，故1x >时，22x >不一定成立即：212x x ∃>≤，，所以选C 【思路点拨】命题的否定命题只将原命题的结论否定，而否命题是将原命题的题设和结论都否定，此题求的是命题的否定命题.4.双曲线2213y x -=上一点P 到左焦点的距离为4，则点P 到右准线的距离为（ ）A. 1B.2C.3D. 1或3【知识点】双曲线的定义；双曲线的第二定义；双曲线的离心率；双曲线的性质.【答案解析】D 解析：解：设P 到右准线的距离为d,根据题意可知长轴a=1,c=2, 2e ∴=双曲线的性质可知双曲线上的点到两焦点的距离差的绝对值为2a,所以设左焦点为1F ，右焦点为2F ，则122PF PF -= 2226PF PF ==或 ，再根据第二定义2PF e d = 1d ∴=或d=3 .【思路点拨】设P 到右准线的距离为d,根据题意可知长轴a=1,c=2, 2e ∴=双曲线的性质可知双曲线上的点到两焦点的距离差的绝对值为2a,所以设左焦点为1F ，右焦点为2F ，则122PF PF -= 2226PF PF ==或 所以d 有两个值.5.一个圆锥被过其顶点的一个平面截去了较少的一部分几何体，余下的几何体的三视图如下图，则余下部分的几何体的体积为( )A. 169πB. 169π+C. 89πD. 163π+【知识点】三视图；勾股定理；锥体的体积公式.【答案解析】B 解析：解：根据题意可求圆锥的高为2，底面圆的半径为2，截面弦所对的（第5题图）0T =2I =while I <T T I =+2I I =+EndwhilePr int T（第6题图）圆心角为120o ，所以剩余几何的体积为23倍圆锥的体积1V +三棱锥的体积2V ，211833V r h ππ==，三棱锥的体积为21233V sh ===∴余下几何体的体积为1223V V +=169π. 【思路点拨】依据三视图，对各线段的长度正确求值，注意三视图中数据与原图的对应关系，代入体积公式可求.6.根据上面的程序框图，若输出的结果600=T ，则图中横线上应填（ ）A. 48B.50C. 52D.54 【知识点】程序框图；等差数列求和. 【答案解析】B 解析：解：根据程序框图可知T 为首项为2公差为2的等差数列的前n 项和，依据数值能计算出数列的最后一项为48，再根据题意可知应填50. 【思路点拨】依据程序框图可知此程序为等差数列的求和数列，所以根据等差数列的求和公式可求出数值.7.对于集合A ，若满足：,a A ∈且1,1a A a A -∉+∉，则称a 为集合A 的“孤立元素”，则集合}10,,3,2,1{ =M 的无“孤立元素”的含4个元素的子集个数共有（ ）A. 28B.36C.49D. 175 【知识点】元素与集合关系的判断【答案解析】A 解析：解：我们用列举法列出满足条件的所有集合，即可得到答案，符合条件的集合有{}{}{}{}{}{}{}1,2,3,41,2,4,5,1,2,5,61,2,6,71,2,7,81,2,8,91,2,9,107个{}{}{}{}{}{}2,3,4,52,3,5,62,3,672,3,7,82,3,8,92,3,9,106个{}{}3,4,5,63,4,6,75个{}7,8,9,101个，所以7+6+5+4+3+2+1=28【思路点拨】本题在新定义的基础上考查了集合的成立的条件，利用列举法可得到所有子集个数.8.已知圆O 的半径为1，四边形ABCD 为其内接正方形，EF 为圆O 的一条直径，M 为正方形ABCD 边界上一动点，则MF ME ⋅的最小值为（ ）A.34-B.12-C.14-D.0【知识点】【答案解析】B 解析：解：由已知可画出图形，如下图所示：设M(x,y),E(-1,0),F(1,0),所以⋅=（-1-x,-y ）(1-x,-y)= 221x y +-,即当22x y +最小时，也就是正方形边界上的点到原点的距离的最小值的算术平方根;2212x y +≥,即MF ME ⋅=221x y +-12≥-，故选B.【思路点拨】向量的数量积公式；函数的最小值.9.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2222014,a b c +=则tan tan tan tan C CA B +=（ ）A.22013B. 12013C.22014D.12014【知识点】三角形的正、余弦定理；内角和为π定理；；两角和的正弦定理；切弦互化. 【答案解析】A 解析：解：将已知2222014a b c +=变形为22222013a b c c +-=，由余弦定理又可变形为22cos 2013ab c c =，由正弦定理得22sin 2013sinAsinBcosC C=,等式右边2sin sin tan sinAsinBcosC sinAsinB C CC=,又()C A B π=-+，所以sin()sinA cos cos sinBtan tan sinAsinB sinAsinBA B B A CC++==11tan ()tan tan C A B+tan tan ()tan tan C C A B =+， ∴tan tan 2()tan tan 2013C C A B +=，故选A.【思路点拨】利用所学过的定理实现边向角的转化.10.设,,1,a b R a b +∈+=）．A. 2B. .C 3D. 【知识点】数形结合思想；对称问题；几何法求最值. 【答案解析】D 解析：解: 可将1b a=-代入2a +可转化为数轴上的点A （a,0）到B(0,1)与C(1，2)的距离之和和最小的问题，由下图所示：最小值为(0,-1)到(1,2)【思路点拨】与求最值有关的问题一般转化成几何问题或三角问题，利用几何性质可顺利求解，也有利用三角的有界性求解，不同问题不同的应用是关键.二．填空题.(本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分)11.某商场销售甲、乙、丙三种不同类型的商品，它们的数量之比分别为2:3:4，现采用分层抽样的方法抽出一个容量为n 的样本，其中甲种商品有12件，则此样本容量n = ； 【知识点】分层抽样的概念【答案解析】54解析：解：由分层抽样的概念可知所抽样本中甲、乙、丙三种商品的数量之比也为2:3:4,故可设乙、丙两商品分别有3k 、4k 件，由题意得12：3k ：4k=2:3:4，所以k=6，故乙、丙两商品分别有18、24件，故n=12+18+24=54【思路点拨】分层抽样中样本中不同类别个体数量之比与总体中它们的比例相同.12.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，对R x ∈∀恒有)2()1()1(f x f x f --=+，且当)2,1(∈x 时，2()31,f x x x =-+则1()2f =；【知识点】奇函数的定义；函数的周期性；求函数的解析式.【答案解析】54解析：解：因为()f x 是奇函数，所以()00f =，令x=1有()()()()()111122200f f f f f +=--⇒==()20f ∴=()()11f x f x ∴+=-令12x =，3122f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=54-又11152224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【思路点拨】本题先根据特殊值求出()20f =，然后再利用奇函数的性质求出12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.13.等差数列{}n a 的前n 项和为n S，若123,3S S 成公比为q 的等比数列，则q = ；【知识点】等差数列前n 和的概念，等比中项公式.【答案解析】2123,3S S 成公比为q 的等比数列即112123)a )a +a +a 、3(a +a 成公比为q 的等比数列，又1322+=a a a即1122)a a +a 、9a 成公比为q 的等比数列，所以120a ≠a ，2121229a =（a +a ）a，且211q )==+aa ，整理2121229a =（a +a ）a 得：221212225a a a +=a 即1221225+=a a a a ，设21a a =x,则22x 520x -+=，解得122x =或所以q 2=【思路点拨】先利用等比中项公式得到2121229a =（a +a ）a ，再利用1322+=a a a ；两式联立解出21a a，最后得到q 2=特别提醒：14~16题，考生只能从中选做两题；若三道题都做的，则只计前两题的得分．14.已知A B C ∆的中线,A D B E 交于,K AB =且,,,K D C E 四点共圆，则CK=；【知识点】三角形的中位线；勾股定理；射影定理；特殊值法；弦长公式.【答案解析】1解析：解：可用特殊值法设BCAC2DF∴=，EC＝2，DC＝，设KC与DE交于M点，由弦心距可求CM=34，MK=14，1CK∴=.【思路点拨】适合用特殊值的问题，在选择、填空题中要用特殊值法，是一种省时省力的数学方法.15.在直角坐标系yOx--中，极点与直角坐标系原点重合，极轴与x轴非负半轴重合建立极坐标系，若曲线2sin,(sin,xyθθθ=⎧⎨=⎩为参数）与曲线sin aρθ=有两个公共点，则实数a的取值范围是；【知识点】【答案解析】(0,1]解析：解：曲线2sin,(sin,xyθθθ=⎧⎨=⎩为参数）转化为普通方程为：2(11)y x x=-≤≤；曲线sin aρθ=转化为普通方程为：y a=,有两个公共点,画图形如上图可得：a∈(0,1].【思路点拨】数形结合的思想方法；16.若关于x的不等式232|2|4x x x ax+-≥-在[]10,1∈x内恒成立,则实数a的取值范围是．【知识点】不等式；函数的图像；组合函数的性质. 【答案解析】(],4-∞解析：解：2124,2y x y x x x =+=-⇒23224x x x ax +-+≥[]1,10x ∈为正数，所以不等式转化为242x x x x ++-，设2124,2y x y x xx =+=-，两个函数在[]1,2上都为减函数，在[]2,10上都为增函数，依据组合函数的性质可得24242905x x x x ≤++-≤+242x x x x ∴++-的最小值为4，224x x x ax ∴+-≥-在[]1,10x ∈上恒成立，a 应该小于等于最小值4.【思路点拨】本题首先根据取值范围分离出常数a,然后依据组合函数的性质求出242x x x x ++-的取值范围，最后依据恒成立问题最到a 的范围.三．解答题.(共6小题，共75分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．) 17.（13分） 已知()2s i n c o s(f x x x ωωϕωπϕπ=+>-<<的单増区间为5[,],()1212k k k Z ππππ-+∈．（1）求,ωϕ的值；（2）在ABC ∆中，若()f A <求角A 的取值范围．【知识点】两角和的余弦公式；降次公式；三角函数的最值、周期；三角不等式.【答案解析】（1）1,.3πωϕ==-（2）0,,32A πππ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解析：解：（1）()2sin (cos cos sin sin )sin 2cos (1cos 2)sin f x x x x x x ωωϕωϕωϕωϕ=-=-- =sin(2)sin x ωϕϕ+-，由已知可得，, 1.T πω=∴=即()sin(2)sin .f x x ϕϕ=+-又当512x k ππ=+时，()f x 取最大值，即52()2,(,)122k m k m Z πππϕπ++=+∈解得2,()3n n Z πϕπ=-+∈，由于,.3ππϕπϕ-<<∴=-故1,.3πωϕ==-（2）()sin(2)32f x x π=-+由()f A <得sin(2)32A π-< 而52,333A πππ-<-<由正弦函数图象得，252(,)(,),(0,)(,).3333332A A ππππππππ-∈-∴∈【思路点拨】（1）先利用两角和的余弦公式、降次公式把函数化简，然后求出T 、ω的值，再利用最值的情况解得φ；（2）由()f A <得sin(2),32A π-<得到52,333A πππ-<-<再解出A 即可.18.（13分）如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为1234,,,T T T T ，已知每个元件正常工作的概率均为32，且各元件相互独立．（1）求电流能在M 与N 之间通过的概率； （2）记随机变量ξ表示1234,,,T T T T 这四个元件中正常工作的元件个数，求ξ的分布列及数学期望．【知识点】互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率；分布列；数学期望.【答案解析】(1) 7081（2）38)(=ξE .解析：解：(1) 记事件i A 为“元件i T 正常工作”，4,3,2,1=i ，事件B 表示“电流能在M 与MBSN 之间通过”，则32)(=i A P ， 由于4321,,,A A A A 相互独立，所以32142144A A A A A A A A B ++=，法一：)()()()()(3214214432142144A A A A P A A A P A P A A A A A A A A P B P ++=++=81703232313132323132=⋅⋅⋅+⋅⋅+=；法二：从反面考虑：[]))(1()(1)(1)(2134A A P A P A P B P -⋅-⋅-=817081111))31(1(3213112=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅-⋅-=；(2)由题ξ～)32,4(B ，4,0,)31()32()(44===-k C k P kk k ξ，易得ξ的分布列如右，期望38)(=ξE .【思路点拨】记事件i A 为“元件i T 正常工作，相互独立每一个事件的概率等于它所有基本事件概率的和，根据二项分布先求随机变量相应结果的概率，再利用数学期望公式求期望.19.（13分）如图，多面体ABCDS 中，四边形ABCD 为矩形，,SD AD ⊥22,,AB AD M N ==分别为,AB CD 中点．（1）求异面直线,SM AN 所成的角；（2）若二面角A SC D --大小为60，求SD 的长．【知识点】法一（几何法）:线面垂直的性质定理；三垂线定理；二的作法.法二: （向量法）: 向量语言表述线线的垂直、平行关系;用空间向量求平面间的夹角.【答案解析】（1）090.(2) SD =y解析：解：法一（几何法）:（1）,,.SD AD SD AB SD ABCD ⊥⊥∴⊥面连MN ,则由已知,AMND 为正方形,连,DM 则,DM AN ⊥又DM 是SM 在面ABCD 上的射影,由三垂线定理得,SM AN ⊥.所以直线SM 与AN 所成的角为090.(2),,AD CD AD SD AD ⊥⊥∴⊥面SCD ,过D 作DE SC ⊥于E ,连AE ,则AED ∠为所求二面角A SC D --的平面角060.则在ADE Rt ∆中易得3DE =设SD a =，在SDC Rt ∆中，311DE SD a ==∴==法二: （向量法）(1) 以D 为原点，分别以,,DS DA DC 为,,x y z 轴建系，则(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1),(0,0,2)A N M C ，设)0,0,(a S ，则(0,1,1),(,1,1),AN SM a =-=-0=⋅，故SM 与AN 成 90角；(2) 设平面ASC 的一个法向量为1(,,),(,1,0),(0,1,2)n x y z AS a AC ==-=-,由),2,2(00111a a n n AS n =⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,又显然平面SDC的一个法向量为2(0,1,0)n =, 由题有：012cos60cos ,11n n SD a ====【思路点拨】法一（几何法）: （1）先利用线面垂直的性质定理得到,DM AN ⊥；再利用三垂线定理得SM AN ⊥；然后得出结论. （2）作出二面角，然后在SDC Rt ∆中得出结论. 法二: （向量法）（1）建立空间直角坐标系，分别求出SM ，AN 的方向向量，进而根据向量垂直的充要条件，得到结论；（2）分别求出平面ASC 的法向量和平面SDC 的一个法向量，代入向量夹角公式可和答案． 20.（12分）在数列{}n a 中，n n S a ,0>为其前n 项和，向量2(,),(1,1)n n AB S p a CD p =-=-，且,//其中0>p 且1≠p ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12p =，数列{}n b 满足对任意n N *∈，都有12111...212nn n n b a b a b a n -+++=--，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【知识点】共线向量；前n 项和与通项公式的关系；特殊数列的求和方法.【答案解析】（1）21(),().n n a n N p -*=∈（2）2)1(+=n n T n 解析：解：（1）2//(1).n n AB CD p S p a ⇒-=-由21111,(1),n p a p a a p =-=-∴=又由2211(1)(1)n n n n p S p a p S p a ++⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩，两式相减得：1111(1),.n n n n n p a a a a a p +++-=-∴= 所以数列{}n a 是以首项为p ，公比为1p 的等比数列，21(),().n n a n N p -*=∈（2）法一：当21=p 时，*2,2N n a n n ∈=-，在12111 (21)2n n n n b a b a b a n -+++=--中，令1,n =则111111121,, 1.222b a a b =--==∴=因为1211211 (21)2n n n n n b a b a b a b a n --++++=--， ()a 所以11122221111...2,(2)22n n n n n b a b a b a b a n n -----++++=--≥，将上式两边同乘公比12p =得，12112...21,(2)nn n n b a b a b a n n --+++=--≥， ()b ()a 减去()b 得，1,.(2)2n n nb a b n n =∴=≥，又11,b =所以)(,*N n n b n ∈= 所以{}n b 的前n 项和2)1(+=n n T n 。
2014年高考数学重庆卷(理科)答案word版
2014年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）理科数学试题答案与解析1. 解析 ()2i 12i i 2i 2i -=-=+，对应复平面上的点为()2,1，在第一象限.选A.2. 解析 不妨设公比为q ，则22431a a q =，28191a a a q ⋅=，26261a a a q ⋅=⋅，当1q ≠±时，知A ，B 均不正确；又22641a a q =，28281a a a q ⋅=，同理，C 不正确；由221061a a q =，210391a a a q ⋅=⋅，知D 正确.3. 解析 由变量x 与y 正相关知C ，D 均错，又回归直线经过样本中心()3,3.5，代入验证得A 正确，B 错误.故选A.4. 解析 ()2323,6k -=--a b ，由()23-⊥a b c ，得4660k --=，解得3k =.选C.5. 解析 程序框图的执行过程如下：1s =，9k =；910s =，8k =；98810910s =⨯=，7k =；87710810s =⨯=，6k =，循环结束.故可填入的条件为710s >.故选C.6. 解析 p 为真命题，q 为假命题，故p ⌝为假命题，q ⌝为真命题.从而p q ∧为假，p q ⌝∧⌝为假，p q ⌝∧为假，p q ∧⌝为真.故选D.7. 解析 该几何体的直观图如图所示，易知该几何体的表面是由两个直角三角形，两个直角梯形和一个矩形组成的，则其表面积11252534355435602222S ++=⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯=.选B.8. 解析 设1PF m =，2PF n =，依题意不妨设0m n >>，于是329.4m n b m n a m n ab ⎧⎪+=⎪-=⎨⎪⎪⋅=⎩所以93432m n m n m n m n +-⋅=⋅⋅⇒=（13m n =-舍去）. 4325所以a n =，4533b n c n =⇒=，所以53e =，选B. 评注 本题考查双曲线的定义及性质，依据条件列出关系式后，若直线求ca，则运算量很大，改为利用1PF 与2PF 的关系求解，巧妙转化，降低运算难度.9. 解析 先不考虑小品类节目是否相邻，保证歌舞类节目不相邻的排法共有3334A A 144⋅=种，再剔除小品内节目的相邻的情况，共有322322A A A 24⋅⋅=种，于是符合题意得排法共有14424120-=种.10. 解析 设ABC △的外接圆半径为R ，由三角形内角和定理知πA C B +=-，πA B C +=-，于是()()1sin 2sin sin 2A ABC C A B +-+=--+⇒11sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 222A B C A B+C =+=-+⇒+⇒()()()()112sin cos 2sin cos 2sin cos cos 22A B A B C C C A B A B +-+=⇒--+=⇒⎡⎤⎣⎦ 114sin sin sin sin sin sin 28A B C A B C =⇒=.则[]2211sin 2sin sin sin 1,224S ab C R A B C R ==⋅=∈，所以R ⎡∈⎣，所以338sin sin sin abc R A B C R ⎡=⋅=∈⎣，知C ，D 均不正确，()38bc b c bc a R +>⋅=…，所以A 正确.事实上，注意到a ，b ，c 的无序性，并且8>，若B 成立，A 必然成立，排除B.故选A. 11. 解析 因为{}110U n n=∈N 剟，{}1,2,3,5,8A =，所以{}4,6,7,9,10U A =ð， 又因为{}1,3,5,7,9B =，所以(){}7,9U AB =ð.12. 解析 显然0x >，所以()()()22221log 2log log 42f x x x x ==⋅= ()()222222221111log log 42log log log log 2244x x x x x ⎛⎫⋅+=+=+-- ⎪⎝⎭….当且仅当2x =时，有()min 14f x =-.13. 解析 易知ABC △是边长为2的等边三角形，故圆心()1,C a 到直线AB=，解得4a =经检验均符合题意，则4a =评注 本题考查过定点的直线与圆相交的弦长问题，以及数形结合的思想方法，对综合能力要求较高.14. 解析 设PB x =，由切割线定理得()296x x +=，解得3x =或12x =-（舍去）.又易知PBC PCA △∽△，于是31462AB PB AB AC PA ===⇒=. 15. 解析 直线l 的普通方程为1y x =+.曲线C 的直角坐标方程为24y x =，故直线l 与曲线C 的交点坐标为()1,2.故改点的极径ρ==16. 解析 令()212f x x x =-++，易求得()min 52f x =， 依题意得215121222a a a ++⇔-剟. 17. 解析 （I ）因为()f x 的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以()f x 的最小正周期πT =，从而2π2T ω==.又因为()f x 的图像关于直线π3x =对称， 所以ππ2π32k ϕ⋅+=+，0,1,2,k =±±.由ππ22ϕ-<…得0k =，所以π2ππ236ϕ=-=-. （II ）由（I ）得πn 2226f αα⎛⎫⎛⎫=⋅-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π1sin 64α⎛⎫-= ⎪⎝⎭.由π2π63α<<得ππ062α<-<，所以πcos 6α⎛⎫-=== ⎪⎝⎭.因此3πππππππcos sin sin sin cos cos sin 2666666ααααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==-+=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1142=18. 解析 （I ）由古典概型中的概率计算公式知所求概率为334339C C 5C 84P +==. （II ）X 的所有可能值为1，2，3，且()21345439C C C 171C 42P X +===，()11121334236339C C C C C C 432C 84P X ++===，()212739C C 13C 12P X ===，故X 的分布列为从而()12342841228E X =⨯+⨯+⨯=. 评注 本题考查概率的计算，随机变量的分布列及数学期望，其中概率的计算要求较高，不过整体难度不大，属中等偏易题.19. 解析（I ）如图，连接AC ，BD ，因为ABCD 为菱形，则ACBD O =，且AC BD ⊥，以O 为坐标原点，OA ，OB ，OP 的方向分别为x轴，y 轴，z 轴的正方形，建立空间直角坐标系O xyz -.因为π3BAD ∠=，故πcos 6OA AB =⋅=πsin 16OB AB =⋅=， 所以()0,0,0O，)A，()0,1,0B ，()C ，()0,1,0OB =，()1,0BC =-.由12BM =，2BC =知，11,044BM BC ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭，从而3,04OM OB BM ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，即3,04M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.设()0,0,P a ，0a >，则()AP a =，33,4MP a ⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭， 因为MP AP ⊥，故0MP AP ⋅=，即234a -+=，所以2a =或2a =-（舍去），即PO =.（II ）由（I）知，AP ⎛= ⎝⎭，334MP ⎛=-⎝⎭，3,0,CP ⎛= ⎭. 设平面APM 的法向量为()1111,,x y z =n ，平面PMC 的法向量为()2222,,x y z =n ，由10AP ⋅=n，10MP ⋅=n，得111110304z x yz ⎧=⎪⎪-+=.故可取11,23⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭n ，由20MP ⋅=n ，20CP ⋅=n，得222223040x y zz -+=⎨=.故可取()21,2=-n ，从而法向量1n ，2n 的夹角的余弦值为121212cos ,⋅==⋅nn n n n n 故所求二面角A PM C --20. 解析 （I ）对()f x 求导得()222e 2e x x f x a b c -'=+-，由()f x '为偶函数，知()()f x f x ''-=，即()()222e e0x xa b --+=，因为22e e 0x x -+>，所以a b =. 又()0224f a b c c '=+-=-，故1a =，1b =. （II ）当3c =时，()22ee 3x xf x x -=--，那么()222e 2e 3310x x f x -'=+-=>…，故()f x 在R 上为增函数.（III ）由（I ）知()222e 2e x x f x c -'=+-，而222e 2e4xx-+=…，当0x =时等号成立.下面分三种情况进行讨论.当4c <时，对任意x ∈R ，()222e 2e 0x x f x c -'=+->，此时()f x 无极值； 当4c =时，对任意0x ≠，()222e 2e 40x x f x -'=+->，此时()f x 无极值；当4c >时，令2e xt =，注意到方程220t c t +-=有两根1,20t =>， 即()0f x '=有两个根111ln 2x t =，221ln 2x t =.当12x x x <<时，()0f x '<；又当2x x >时，()0f x '>，从而()f x 在2x x =处取得极小值.综上，若()f x 有极值，则c 的取值范围为()4,+∞.评注 本题考查函数导数的求法，利用导数处理单调性、极值等常规问题，以及基本不等式等.对运算能力要求较高，此外对分类讨论思想也有一定的要求. 21. 解析 （I ）设()1,0F c -，()2,0F c ，其中222c a b =-.由121F F DF =1DF ==.从而12211212DF F S DF F F ===△，故1c =.从而1DF =，由112DF F F ⊥得222211292DF DF F F =+=，因此22DF =.所以122a DF DF =+=，故a =2221b a c =-=.因此，所求椭圆的标准方程为2212x y +=. （II ）如图，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆2212x y +=相交，()111,,P x y =，()222,,P x y =是两个交点，10y >，20y >，11F P ，22F P 是圆C 的切线，且1122F P F P ⊥. 由圆和椭圆的对称性，易知21x x =-，12y y =，1212PP x =. 由（I ）知()11,0F -，()21,0F ，所以()11111,F P x y =+，()22111,F P x y =--. 再由1122F P F P ⊥得()221110x y -++=. 由椭圆方程得()2211112x x -=+，即211340x x +=，解得143x =-或10x =. 当10x =时，1P ，2P 重合，此时题设要求的圆不存在. 当143x =-时，过1P ，2P 分别与11F P ，22F P 垂直的直线的交点即为圆心C .由11F P ，22F P 是圆C 的切线，且1122F P F P ⊥，知12CP CP ⊥. 又12CP CP =，故圆C的半径11213CP ===.22. 解析 （I ）解法一：22a =，31a .再由题设条件知()()221111n n a a +-=-+. 从而(){}21n a -是首项为0，公差为1的等差数列，故()211n a n -=-，即()*1n a n =∈N .解法二：22a =，31a =，可写为11a，21a，31a .因此猜想1n a =.下用数学归纳法证明上式：当1n =时结论显然成立. 假设n k =时结论成立，即1k a =， 则1111k a +===.这就是说，当1n k =+时结论成立.所以()*1n a n =∈N .（II ）解法一：设()1f x =，则()1n n a f a +=.令()c f c =，即1c =，解得14c =. 下用数学归纳法证明加强命题2211n n a c a +<<<.当1n =时，()210a f ==，()301a f ==，所以23114a a <<<，结论成立. 假设n k =时结论成立，即2211k k a c a +<<<.易知()f x 在(],1-∞上为减函数，从而()()()2121k c f c f a f a +=>>=，即2221k c a a +>>>.再由()f x 在(],1-∞上为减函数得()()()22231k c f c f a f a a +=<<=<. 故231k c a +<<，因此()()212111k k a c a +++<<<. 这就是说，当1n k =+时结论成立. 综上，符合条件的c 存在，其中一个值为14c =.解法二：设()1f x =，则()1n n a f a +=.先证：()*01na n ∈N 剟.①当1n =时，结论明显成立. 假设n k =时结论成立，即01ka 剟.易知()f x 在(],1-∞上为减函数，从而()()()01011k f f a f ==<剟.即101k a +剟.这就是说，当1n k =+时结论成立.故①成立. 再证：()*21n n a a n +<∈N .②当1n =时，()210a f ==，()()3201a f a f ===，有23a a <，即1n =时②成立. 假设n k =时，结论成立，即221k k a a +<.由①及()f x 在(],1-∞上为减函数， 得，()()2122122k k k k a f a f a a +++=>=，()()()()212221211k k k k a f a f a a +++++=<=. 这就是说，当1n k =+时②成立.所以②对一切*n ∈N 成立.由②得21n a <，即()22222122nn n a a a +<-+，因此214n a <.③ 又由①、②及()f x 在(],1-∞上为减函数得()()221n n f a f a +>，即2122n n a a ++>，所以21n a >，解得2114n a +>.④ 综上，由②、③、④知存在14c =使221n n a c a +<<对一切*n ∈N 成立. 评注 本题考查由递推公式求解数列通项公式，数学归纳法，等差数列等内容.用函数的观点解决数列问题是处理本题的关键.。
重庆一中2014届高三下期第一次月考数学(理)试卷
2014年重庆一中高2014级高三下期第一次月考数 学 试 题 卷（理科）2014.3特别提醒：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分。
一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只 有 一项是符合题目要求的）（1）已知复数21iz i =-（i 是虚数单位），则复数z 的虚部为（ ）（A ）i （B ）1 （C ）i - （D ）1-（2）已知条件p ：α是两条直线的夹角，条件q ：α是第一象限的角。
则“条件p ”是“条件q ”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （3）（原创）以下茎叶图记录了甲、乙两组各6名学生在一次数学测试中的成绩（单位：分）。
已知甲组数据的众数为124，乙组数据的平均数即为甲组数据的中位数，则x 、y 的值分别为（ ） （A ）4、5 （B ）5、4 （C ）4、4 （D ）5、5（4）（原创）已知实数,x y 满足41x y +=，则xy 的值域为（ ）（A ）10,16⎛⎤ ⎥⎝⎦ （B ）11,1616⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C ）1,16⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ （D ）1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（5）某几何体的三视图如右图所示，则它的表面积为（ ） （A ）45π （B ）54π （C ）63π （D ）69π（6）已知一个四面体的一条棱长为6，其余棱长均为2，则这个四面体的体积为（ ）甲组乙组 29 11 6 6x 4 12 5y 8 7 4 13 4（A ）1 （B ）43 （C ）22 （D ）3（7）已知函数()33f x x x c=-+的图像与x 轴恰好有三个不同的公共点，则实数c 的取值范围是（ ） （A ）()1,1- （B ）[]1,1- （C ）()2,2- （D ）[]2,2-（8）执行如右图所示的程序框图，则输出的s 的值等于（ ） （A ）13 （B ）15 （C ）36 （D ）49（9）()0203sin 70tan 804cos102cos 10--⋅=-（ ）（A ）3 （B ）2 （C ）23 （D ）4（10）（原创）已知,,D E F 分别是ABC ∆的三边,,BC CA AB 上的点，且满足23AF AB = ，34AE AC=，()||cos ||cos AB ACAD R AB B AC C λλ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，DE DA DE DC ⋅=⋅ ，()sin cos ||||BD B AD B DF R BD AD μμ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭。
2014年高考理科数学重庆卷-答案
【提示】程序运行的 ，根据输出k的值，确定S的值，从而可得判断框的条件.
【考点】程序框图，判断语句，循环语句
6.【答案】D
【解析】根据指数函数的图像可知p为真命题.由于“ ”是“ ”的必要不充分条件，所以q为假命题，所以 为真命题，所以 为真命题.故选：D.
【提示】判定命题p，q的真假，利用复合命题的真假关系即可得到结论.
【解析】分两步进行：（1）先将3个歌舞进行全排，其排法有 种；（2）将小品与相声插入将歌舞分开，若两歌舞之间只有一个其他节目，其插法有 种.若两歌舞之间有两个其他节目时插法有 种.所以由计数原理可得节目的排法共有 （种）.故选：B.
【提示】根据题意，分两步进行分析：（1）先将三个歌舞类节目全排列，（2）因为三个歌舞类节目不能相邻，则分2种情况讨论中间2个空位安排情况，由分步计数原理计算每一步的情况数目，进而由分类计数原理计算可得答案.
【提示】把直线l的参数方程化为普通方程 ，曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程 ，联立求出公共点的坐标，即可求出极径.
【考点】直线的参数方程
16.【答案】
【解析】令 ，则①当 时， ；
②当 时， ，故 ；
③当 时， .
综合①②③可知 ，要使不等式恒成立，则需 ，解得 .故答案为： .
【提示】利用绝对值的几何意义，确定 的最小值，然后让 小于等于它的最小值即可求得答案.
（Ⅱ）先根据题意求出随机变量X的所有可能取值，按卡片上的数字相同与否进行分类分析，然后计算出每个随机变量所对应事件的概率，最后将分布列以表格形式呈现.
【考点】古典概型，排列组合和分布列
19.【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）如图，连结 ，因 为菱形，则 ，且 ，以 为坐标原点， 的方向分别为 轴， 轴， 轴的正方向，建立空间直角坐标系 ，因 ，故 ， ，所以 ， ， ， ， ， .由 知， ，
2014年高考理科数学重庆卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共26页） 数学试卷 第2页（共26页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷(理工农医类)数学试题卷（理工农医类）共4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号.3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.5.考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回. 特别提醒：14、15、16三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分. 一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.复平面内表示复数i(12i)-的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限2.对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是( )A .1a ,3a ,9a 成等比数列B .2a ,3a ,6a 成等比数列C .2a ,4a ,8a 成等比数列D .3a ,6a ,9a 成等比数列3.已知变量x 与y 正相关,且由观测数据算得样本平均数3x =, 3.5y =,则由该观测数 据算得的线性回归方程可能是( )A .0.4 2.3y x =+B .2 2.4y x =-C .29.5y x =-+D .0.3 4.4y x =-+4.已知向量(,3)k =a ,(1,4)=b ,(2,1)=c ,且(23)-⊥a b c ,则实数k =( )A .92-B .0C .3D .1525.执行如图所示的程序框图,若输出k 的值为6,则判断框 内可填入的条件是( )A .12s ＞B .35s ＞C .710s ＞D .45s ＞6.已知命题p ：对任意x ∈R ,总有20x＞；q ：“1x ＞”是“x ＞2”的充分不必要条件,则下列命题 为真命题的是( ) A .p q ∧ B .p q ⌝∧⌝ C .p q ⌝∧D .p q ∧⌝7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A .54B .60C .66D .728.设1F ,2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点,双曲线上存在一点P 使得12||+||3PF PF b =,129||||4PF PF ab =,则该双曲线的离心率为 ( )A .43B .53C .94D .3 9.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是( ) A .72B .120C .144D .16810.已知ABC △的内角A ,B ,C 满足1sin2sin()sin()2A ABC C A B +-+=--+,面积S 满足12S ≤≤,记a ,b ,c 分别为A ,B ,C 所对的边,则下列不等式一定成立的是 ( )A .()8bcb c +＞B.()ab a b +＞姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共26页） 数学试卷 第4页（共26页）C .612abc ≤≤D .1224abc ≤≤二、填空题：本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.11.设全集={|110}U n n ∈N ≤≤,{1,2,3,5,8}A =,{1,3,5,7,9}B =,则)U A B =(ð.12.函数22()log log (2)f x x x =的最小值为 .13.已知直线20ax y +-=与圆心为C 的圆22(1)()4x y a -+-=相交于A ,B 两点,且ABC △为等边三角形,则实数a = .考生注意：14、15、16三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分. 14.过圆外一点P 作圆的切线PA (A 为切点),再作割线PBC 依次交圆于B ,C .若6PA =,8AC =,9BC =,则AB = .15.已知直线l 的参数方程为2,()3,x t t y t =+⎧⎨=+⎩为参数,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0(0,02π)ρθθρθ-=≥≤≤,则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ= .16.若不等式21|21||2|22x x a a -++++≥对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分13分,（Ⅰ）小问5分,（Ⅱ）小问8分）已知函数ππ())(0,)22f x x ωϕωϕ+＞-≤＜的图象关于直线π3x =对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π. （Ⅰ）求ω和ϕ的值；（Ⅱ）若π2π()()263a f α=＜＜,求3πcos(+)2α的值.18.（本小题满分13分,（Ⅰ）小问5分,（Ⅱ）小问8分）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片,其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片. （Ⅰ）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；（Ⅱ）X 表示所取3张卡片上的数字的中位数,求X 的分布列与数学期望. （注：若三个数a ,b ,c 满足a b c ≤≤,则称b 为这三个数的中位数）19.（本小题满分13分,（Ⅰ）小问6分,（Ⅱ）小问7分）如图,四棱锥P ABCD -中,底面是以O 为中心的菱形,PO ⊥底面ABCD ,2AB =,π3BAD ∠=,M 为BC 上一点,且12BM =,MP AP ⊥.（Ⅰ）求PO 的长；（Ⅱ）求二面角A PM C --的正弦值.20.（本小题满分12分,（Ⅰ）小问4分,（Ⅱ）小问3分,（Ⅲ）小问5分）已知函数22()e e (,,)x x f x a b cx a b c -=--∈R 的导函数()f x '为偶函数,且曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的斜率为4c -.（Ⅰ）确定a ,b 的值；（Ⅱ）若3c =,判断()f x 的单调性； （Ⅲ）若()f x 有极值,求c 的取值范围.21.（本小题满分12分,（Ⅰ）小问5分,（Ⅱ）小问7分）如图,设椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,点D 在椭圆上,112DF F F ⊥,121||||F F DF =,12DF F △ （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设圆心在y 轴上的圆与椭圆在x 轴的上方有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径.22.（本小题满分12分,（Ⅰ）小问4分,（Ⅱ）小问8分）设11a =,*1)n a +N .（Ⅰ）若1b =,（Ⅱ）若1b =-,问：是否存在实数c 使得221n n a c a +＜＜对所有*n ∈N 成立？证明你的结论.3 / 13，也成等比数列，所以【提示】运用等比数列的等比中项性质即可达到答案C 【解析】232(,3)a b k -=-(23)a b c -⊥，(2k ∴-故选：C.1kk ⨯⨯-，输出的1kk ⨯⨯-，根据输出【考点】程序框图，判断语句，循环语句数学试卷 第7页（共26页）数学试卷 第8页（共26页）2129b PF =21⎫⎛=+⎪5 / 13){7,9}B =，再根据两个集合的交集的定义求得)B .2221log (2)log 2log (2)2x x x x =22log (1log )x x =+()f x 取得最小值14-.故答案为：14-.数学试卷 第11页（共26页）数学试卷 第12页（共26页）.ABC △为等边三角形，，即28a -()PB PC PB PB BC =+，(9)PB PB +∴PCA ，又APB CPA ∠=∠PCA ∽△，CA PA 386PB CA PA ⨯=AB PB7 / 13π223k ϕ+=2,.因π2-≤π226α⎫-=⎪⎭11⎛⎫=-数学试卷 第15页（共26页）数学试卷 第16页（共26页）ACBD O =，,,OA OB OP 的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系故πcos 36OA AB ==πsin 16AB =，所以)0,0,0，(A (0,1,0)OB =，(3,BC =-由12BM =，知，1BM BC ⎛==- 而3OM OB BM ⎛=+=- (A P =-33MP ⎛⎫= ，故0MP AP =即39 / 13（Ⅱ）由（Ⅰ）知，33333,0,,,,,3,0,AP MP CP ⎛⎫⎛⎫⎛=-=-= ⎪ ⎪ 的法向量为(),,n x y z =，平面PMC 的法向量为(,n x =由0n AP =，0n MP =得3⎧⎪⎪-故可取531,n ⎛= 由20n MP =，20n CP =得，故可取(1,n =-从而法向量,n n 的夹角的余弦值为12215,5||||n n n n n n <>==-故所求二面角A PM -105.方向为，，轴正方向建立空间坐标系分别求出向量AP ，MP 的坐标，进而根据，得到0MP AP =，进而求出的法向量，代入向量夹角公式，求出二面角的余弦值，进而根据平方关系可得二面角A PM C --数学试卷 第19页（共26页）数学试卷 第20页（共26页）231x x e --=24x x e -=，当0x =时等号成立无极值； 11222F F =22DF DF =所以(F P x=+，(F P x=-，即134x x+，解得1x=-2311 / 13数学试卷第23页（共26页）数学试卷第24页（共26页）13 / 13。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)(理科数学)【全word,精心排版】
2014年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．在复平面内表示复数()i 12i -的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是（ ）A ．139,,a a a 成等比数列B ．236,,a a a 成等比数列C ．248,,a a a 成等比数列D ．369,,a a a 成等比数列 3．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数 2.5x =， 3.5y =，则由观测的数据得线性回归方程 可能为（ ）A ．0.4 2.3y x =+B ．2 2.4y x =-C ．29.5y x =-+D ．0.3 4.4y x =-+ 4．已知向量()()(),3,1,4,2,1k ===a b c ，且()23-⊥a b c ，则实数k =（ ）A ．92-B ．0C ．3D ．1525．执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是（ ）A ．12s >B ．35s >C ．710s >D ．45s >6．已知命题:p x ∀∈R ，20x >；:q “1x >”是“2x >”的充分不必要条件． 则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ∧⌝ 7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A ．54 B ．60 C ．66 D ．728．设12,F F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得 121293,4PF PF b PF PF ab +=⋅=，则该双曲线的离心率为（ ） A ．43 B ．53 C ．94D ．39．某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）A ．72B ．120C ．144D ．16810．已知ABC △的内角,,A B C 满足()()1sin 2sin sin 2A ABC C A B +-+=--+，面积S 满足12S 剟， 记,,a b c 分别为,,A B C 所对的边，则下列不等式成立的是（ ） A ．()8bc b c +> B ．()ab a b +> C ．612abc 剟D ．1224abc 剟 二、填空题 本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上。
2014年高考重庆卷数学(理)试题解析(精编版)(解析版)
一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复平面内表示复数(12)i i -的点位于( ).A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限2. 对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是( )139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列 248.,,C a a a 成等比数列 369.,,D a a a 成等比数列3. 已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( )$.0.4 2.3A y x =+ $.2 2.4B y x =- $.29.5C y x =-+ $.0.3 4.4C y x =-+4. 已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===r r r，且(23)a b c -⊥r r r ，则实数k =（ ）9.2A - .0B .C 3 D.1525.执行如题（5）图所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是（ ）A.12s >B.35s >C.710s >D.45s >6. 已知命题:p 对任意x R ∈，总有20x >；:"1"q x >是"2"x >的充分不必要条件则下列命题为真命题的是（ ）.A p q ∧ .B p q ⌝∧⌝ .C p q ⌝∧ .D p q ∧⌝【答案】D 【解析】试题分析：由题设可知：p 是真命题，q 是假命题；所以，p ⌝是假命题，q ⌝是真命题； 所以，p q ∧是假命题，p q ⌝∧⌝是假命题，p q ⌝∧是假命题，p q ∧⌝是真命题；故选D. 考点：1、指数函数的性质；2、充要条件；3、判断复合命题的真假.学科7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A.54B.60C.66D.72 【答案】B【解析】试题分析：8.设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+则该双曲线的离心率为（ ） A.34 B.35 C.49D.39.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A.72B.120C.144D.16810.已知ABC ∆的内角21)sin()sin(2sin ,+--=+-+B A C C B A A C B A 满足，，面积S 满足 C B A c b a S ,,,,21分别为，记≤≤所对的边，则下列不等式一定成立的是( ) A.8)(>+c b bc B.()162ac a b +> C.126≤≤abc D.1224abc ≤≤【答案】A二、填空题.11. 设全集{|110},{1,2,3,5,8},{1,3,5,7,9},()U U n N n A B A B =∈≤≤===I 则ð______.所以答案应填：14-. 考点：1、对数的运算；2、二次函数的最值.13. 已知直线02=-+y ax 与圆心为C 的圆()()4122=-+-a y x 相交于B A ，两点，且ABC ∆为等边三角形，则实数=a _________.考生注意：14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分. 14. 过圆外一点P 作圆的切线PA （A 为切点），再作割线PBC 分别交圆于B 、C ， 若6=PA ， AC =8，BC =9，则AB =________. 【答案】4 【解析】 试题分析：由切割线定理得：2PA PB PC =⋅,设PB x =，则||9PC x =+所以，()369,x x =+即29360x x +-=，解得：12x =-（舍去），或3x =又由是圆的切线，所以ACP BAP ∠=∠,所以ACP BAP ∆∆:、||||||PA AB AC PC ∴=,所以86412AB ⨯==所以答案应填：4.考点：1、切割线定理；2、三角形相似.15. 已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ty tx 32（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2sin4cos 00,02ρθθρθπ-=≥≤<，则直线l 与曲线C 的公共点的极径=ρ________.16.若不等式2212122++≥++-a a x x 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是____________.由图可知：()min 1522f x f ⎛⎫==⎪⎝⎭,由题意得：215222a a ++≤，解这得:11,2a -≤≤所以答案应填：11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.考点：1、分段函数；2、等价转换的思想；3、数形结合的思想.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题13分，（I ）小问5分，（II ）小问8分）已知函数()()⎪⎭⎫⎝⎛<≤->+=220sin 3πϕπωϕω，x x f 的图像关于直线3π=x 对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π. （I ）求ω和ϕ的值； （II ）若⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=⎪⎭⎫⎝⎛326432παπαf ，求⎪⎭⎫⎝⎛+23cos πα的值. 【答案】（I ）2,6πωϕ==-；（II 315+ 【解析】试题分析：（I ）由函数图像上相邻两个最高点的距离为π求出周期，再利用公式2T πω=求出ω的值；考点：1、诱导公式；2、同角三角函数的基本关系；3、两角和与差的三角函数公式；4、三角函数的图象和性质.18. （本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片.（Ⅰ）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;（Ⅱ）X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列与数学期望.（注：若三个数c b a ,,满足 c b a ≤≤，则称b 为这三个数的中位数）.故X 的分布列为 X1 2 3 P 1742 4384 112从而()174314712342841228E X =⨯+⨯+⨯= 考点：1、组合；2、古典概型；3、离散型随机变量的分布列与数学期望.19. （本小题满分13分,(Ⅰ)小问6分，(Ⅱ)小问7分）如题（19）图，四棱锥ABCD P -中，底面是以O 为中心的菱形，⊥PO 底面ABCD ，3,2π=∠=BAD AB ，M 为BC 上一点，且AP MP BM ⊥=,21. （Ⅰ）求PO 的长；（Ⅱ）求二面角C PM A --的正弦值.由0,0,n AP n MP ⋅=⋅=r u u u r r u u u r 得111113-3023330442x z x y z ⎧+=⎪⎪-+=⎩故可取131,2,3n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u r20.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问3分，（Ⅲ）小问5分）已知函数22()(,,)x x f x ae be cx a b c R -=--∈的导函数'()f x 为偶函数，且曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的斜率为4c -.（Ⅰ）确定,a b 的值；（Ⅱ）若3c =，判断()f x 的单调性； （Ⅲ）若()f x 有极值，求c 的取值范围.21. （本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）如题（21）图，设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点D 在椭圆上，112DF F F ⊥，121||22||F F DF =12DF F ∆的面积为22. （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）设圆心在y 轴上的圆与椭圆在x 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径..从而122DF =，由112DF F F ⊥得222211292DF DF F F =+=，因此2322DF =.所以12222a DF DF =+=，故2222,1a b a c ==-=因此，所求椭圆的标准方程为：2212x y +=1121242223CP PP x === 考点：1、圆的标准方程；2、椭圆的标准方程；3、直线与圆的位置关系；4、平面向量的数量积的应用.22.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）设2111,22(*)n n n a a a a b n N +==-++∈（Ⅰ）若1b =，求23,a a 及数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若1b =-，问：是否存在实数c 使得221n n a c a +<<对所有*n N ∈成立？证明你的结论.当1n =时结论显然成立.即101k a +≤≤这就是说，当1n k =+时结论成立，故①成立.中小学教育() 教案学案课件试题全册打包。
14年高考真题理科数学重庆卷
2014年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给也的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）在复平面内表示复数的点位于（ ）()12i i - （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限（2）对任意等比数列，下列说法一定正确的是（ ）{}n a （A ）成等比数列 （B ）成等比数列 139,,a a a 236,,a a a （C ）成等比数列 （D ）成等比数列248,,a a a 239,,a a a （3）已知变量与正相关，且由观测数据算得样本的平均数，，则x y 2.5x = 3.5y =由观测的数据得线性回归方程可能为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 0.4 2.3y x =+ 2 2.4y x =- 29.5y x =-+ 0.3 4.4y x =-+ （4）已知向量，，，且，则实数（ (),3a k = ()1,4b = ()2,1c = ()23a b c -⊥ k =）（A ） （B ）0 （C ）3 （D ）92-152（5）执行如题（5）图所示的程序框图，若输出的值为k 6，则判断框内可填入的条件是（ ）（A ） （B ） 12s >35s >（C ） （D ）710s >45s >（6）已知命题：对任意，总有；：“p x R ∈20x >q ”是“”的充分不必要条件。
则下列命题为真命题的1x >2x >是（ ） （A ） （B ）p q ∧p q ⌝∧⌝（C ） （D ）p q ⌝∧p q ∧⌝（7）某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为（ ） （A ）54 （B ）60 （C ）66 （D ）72（8）设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一12,F F ()222210,0x y a b a b-=>>点P 使得，。
2014年重庆市五区高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2014年重庆市五区高考数学一模试卷（理科）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案的代号填涂在答题卡上. 1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＞1}，则A∩∁U B＝（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|x≤0}C．{x|1≤x＜2}D．{x|x≤1} 2．（5分）条件甲：“a＞1”是条件乙：“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）函数f（x）＝2x+x﹣2的零点所在区间是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2）D．（2，3）4．（5分）二项式展开式中的常数项为（）A．﹣60B．60C．240D．﹣2405．（5分）某小卖部销售一品牌饮料的零售价x（元/瓶）与销量y（瓶）的关系统计如下：已知x，y的关系符合线性回归方程，其中，．当单价为4.2元时，估计该小卖部销售这种品牌饮料的销量为（）A．20B．22C．24D．266．（5分）过双曲线的左焦点F作圆x2+y2＝a2的两条切线，切点分别为A、B，双曲线左顶点为M，若∠AMB＝120°，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．3D．27．（5分）设点（a，b）是区域内的随机点，函数f（x）＝ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）设F为抛物线y2＝16x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若，则的值为（）A．36B．24C．16D．129．（5分）在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于P 点，一分钟后，其位置在Q点，且∠POQ＝90°，再过两分钟后，该物体位于R点，且∠QOR＝30°，则tan∠OPQ的值为（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）＝x+sin x（x∈R），且f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，则当y≥1时，的取值范围是（）A．B．C．D．二．填空题：本大题6个小题，考生作答5个小题，每小题4分，共24分，考生注意：14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分.把答案填写在答题卡相应的位置上．11．（4分）设向量，，则向量在向量上的投影为．12．（4分）已知函数f（x）＝，则f[f（﹣2）]＝．13．（4分）任取集合{1，2，3，4，5，6，7，8}中的三个不同数a1，a2，a3，且满足a2﹣a1≥2，a3﹣a2≥3，则选取这样三个数的方法共有种．（用数字作答）14．（4分）如图，BD是半圆O的直径，A在BD的延长线上，AC与半圆相切于点E，AC⊥BC，若，AE＝6，则EC＝．15．（4分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若点P为直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣4＝0上一点，点Q为曲线为参数）上一点，则|PQ|的最小值为．16．（5分）若函数f（x）＝的定义域为R，则实数m的取值范围为．三．解答题：本大题6个小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上．17．（13分）已知函数f（x）＝x2﹣3x+alnx（a＞0）．（Ⅰ）若a＝1，求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）设函数f（x）图象上任意一点的切线l的斜率为k，当k的最小值为1时，求此时切线l的方程．18．（13分）为了参加2013年市级高中篮球比赛，该市的某区决定从四所高中学校选出12人组成男子篮球队代表所在区参赛，队员来源人数如下表：该区篮球队经过奋力拼搏获得冠军，现要从中选出两名队员代表冠军队发言．（Ⅰ）求这两名队员来自同一学校的概率；（Ⅱ）设选出的两名队员中来自学校甲的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．19．（13分）设a∈R，函数f（x）＝cos x（a sin x﹣cos x）+cos2（﹣x）满足f （﹣）＝f（0）．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）设锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝，求f（A）的取值范围．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且3S n＝4a n﹣4．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设c n＝log2a1+log2a2+…+log2a n，，求使恒成立的实数k的取值范围．21．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣，0）、F2（，0），椭圆上的点P满足∠PF1F2＝90°，且△PF1F2的面积为＝．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左、右顶点分别为A、B，过点Q（1，0）的动直线l与椭圆C 相交于M、N两点，直线AN与直线x＝4的交点为R，证明：点R总在直线BM上．22．（12分）已知函数f（x）＝tx﹣t﹣lnx（t＞0）．（Ⅰ）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求实数t的取值范围；（Ⅱ）当n≥2且n∈N*时，证明：．2014年重庆市五区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案的代号填涂在答题卡上. 1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＞1}，则A∩∁U B＝（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|x≤0}C．{x|1≤x＜2}D．{x|x≤1}【解答】解：∁U B＝{x|x≤1}，∴A∩（∁U B）＝{x|x≤1}，故选：D．2．（5分）条件甲：“a＞1”是条件乙：“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵条件乙：“”∴可得a2﹣a＞0，解得a＞1或a＜0，∵“”，根号有意义，可得a＞0，∴a＞1，∴甲：“a＞1”⇔条件乙：“”，∴条件甲：“a＞1”是条件乙：“”的充要条件，故选：C．3．（5分）函数f（x）＝2x+x﹣2的零点所在区间是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2）D．（2，3）【解答】解：∵函数f（x）＝2x+x﹣2，f（）＝﹣＜0，f（1）＝1＞0，根据函数零点的判定定理可得函数零点所在的区间为（，1），故选：B．4．（5分）二项式展开式中的常数项为（）A．﹣60B．60C．240D．﹣240【解答】解：二项式展开式的通项公式为T r+1＝••（﹣2）r•x﹣r＝•，令＝0，可得r＝2，故展开式中的常数项为4＝60，故选：B．5．（5分）某小卖部销售一品牌饮料的零售价x（元/瓶）与销量y（瓶）的关系统计如下：已知x，y的关系符合线性回归方程，其中，．当单价为4.2元时，估计该小卖部销售这种品牌饮料的销量为（）A．20B．22C．24D．26【解答】解：＝＝＝3.5；＝＝40，∴a＝40﹣（﹣20）×3.5＝110，∴回归直线方程为：＝b+a＝﹣20+110，当＝4.2时，＝﹣20×4.2+110＝26，故选：D．6．（5分）过双曲线的左焦点F作圆x2+y2＝a2的两条切线，切点分别为A、B，双曲线左顶点为M，若∠AMB＝120°，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．3D．2【解答】解：依题意，作图如下：∵OA⊥F A，∠AMO＝60°，OM＝OA，∴△AMO为等边三角形，∴OA＝OM＝a，在直角三角形OAF中，OF＝c，∴该双曲线的离心率e＝＝＝＝2，故选：D．7．（5分）设点（a，b）是区域内的随机点，函数f（x）＝ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：对应的图形为△OAB，其中对应面积为S＝，若f（x）＝ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数，则满足a＞0且对称轴x＝，即，对应的平面区域为△OBC，由，解得，∴对应的面积为S，∴根据几何概型的概率公式可知所求的概率为，故选：C．8．（5分）设F为抛物线y2＝16x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若，则的值为（）A．36B．24C．16D．12【解答】解：由题意可得F（4，0），是抛物线的焦点，也是三角形ABC的重心，故故＝4，∴x A+x B+x C＝12．再由抛物线的定义可得：＝x A+4+x B+4+x C+4＝12+12＝24，故选：B．9．（5分）在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于P 点，一分钟后，其位置在Q点，且∠POQ＝90°，再过两分钟后，该物体位于R点，且∠QOR＝30°，则tan∠OPQ的值为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，设PQ＝x，则QR＝2x，∵∠POQ＝90°，∠QOR＝30°，∴∠OPQ+∠R＝60°，即∠R＝60°﹣∠OPQ 在△ORQ中，由正弦定理得∴OQ＝＝2x sin（60°﹣∠OPQ）在△OPQ中，由正弦定理得OQ＝×sin∠OPQ＝x sin∠OPQ∴2x sin（60°﹣∠OPQ）＝x sin∠OPQ∴2sin（60°﹣∠OPQ）＝sin∠OPQ∴＝sin∠OPQ整理得cos∠OPQ＝2sin∠OPQ，所以tan∠OPQ＝＝．故选：B．10．（5分）已知函数f（x）＝x+sin x（x∈R），且f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，则当y≥1时，的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）＝x+sin x（x∈R），∴f（﹣x）＝﹣x﹣sin x＝﹣（x+sin x）＝﹣f（x），即f（x）＝x+sin x（x∈R）是奇函数，∵f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，∴f（y2﹣2y+3）≤﹣f（x2﹣4x+1）＝f[﹣（x2﹣4x+1）]，由f'（x）＝1﹣cos x≥0，∴函数单调递增．∴（y2﹣2y+3）≤﹣（x2﹣4x+1），即（y2﹣2y+3）+（x2﹣4x+1）≤0，∴（y﹣1）2+（x﹣2）2≤1，∵y≥1，∴不等式对应的平面区域为圆心为（2，1），半径为1的圆的上半部分．的几何意义为动点P（x，y）到定点A（﹣1，0）的斜率的取值范围．设k＝，（k＞0）则y＝kx+k，即kx﹣y+k＝0．当直线和圆相切时，圆心到直线的距离d＝，即8k2﹣6k＝0，解得k＝．此时直线斜率最大．当直线kx﹣y+k＝0．经过点B（3，1）时，直线斜率最小，此时3k﹣1+k＝0，即4k＝1，解得k＝，∴，故选：A．二．填空题：本大题6个小题，考生作答5个小题，每小题4分，共24分，考生注意：14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分.把答案填写在答题卡相应的位置上．11．（4分）设向量，，则向量在向量上的投影为．【解答】解：∵向量，，∴||＝＝，设、的夹角是θ，则cosθ＝＝＝，∴向量在向量上的投影为：||cosθ＝×＝；故答案为：．12．（4分）已知函数f（x）＝，则f[f（﹣2）]＝﹣4．【解答】解：∵函数，∴f（﹣2）＝9﹣2＝3﹣4，∴f[f（﹣2）]＝f（3﹣4）＝．故答案为：﹣4．13．（4分）任取集合{1，2，3，4，5，6，7，8}中的三个不同数a1，a2，a3，且满足a2﹣a1≥2，a3﹣a2≥3，则选取这样三个数的方法共有10种．（用数字作答）【解答】解：∵a2﹣a1≥2，a3﹣a2≥3，∴7≥a3﹣a1≥5，第一类，a3﹣a1＝5，a1，a3的值有3种情况，则a2只有1种情况，共有3×1＝3种情况，第二类，a3﹣a1＝6，a1，a3的值有2种情况，则a2有2种情况，共有2×2＝4种情况，第三类，a3﹣a1＝7，a1，a3的值有1种情况，则a2有3种情况，共有1×3＝3种情况，则选取这样的三个数方法种数共有3+4+3＝10，故答案为：10．14．（4分）如图，BD是半圆O的直径，A在BD的延长线上，AC与半圆相切于点E，AC⊥BC，若，AE＝6，则EC＝3．【解答】解：连结OE，∵AC与半圆相切于点E，∴OE⊥AC，又∵AC⊥BC，∴OE∥BC．由切割线定理，得AE2＝AD•AB，即36＝，解得AB＝，因此，半圆的直径BD＝，AO＝BD＝．可得，所以AC＝＝9，EC＝AC﹣AE＝3．故答案为：315．（4分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若点P为直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣4＝0上一点，点Q为曲线为参数）上一点，则|PQ|的最小值为．【解答】解：由直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣4＝0化为x﹣y﹣4＝0．由点到直线的距离公式可得：|PQ|＝＝＝≥＝．当且仅当t＝2时取等号．∴|PQ|的最小值为．故答案为：．16．（5分）若函数f（x）＝的定义域为R，则实数m的取值范围为（﹣∞，﹣6]∪[2，+∞）．【解答】解：由于|x+2|+|x﹣m|≥|（x+2）﹣（x﹣m）|＝|m+2|，故由函数的定义域为R，可得|m+2|≥4，解得m≥2，或m≤﹣6，故m的范围是（﹣∞，﹣6]∪[2，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣6]∪[2，+∞）．三．解答题：本大题6个小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上．17．（13分）已知函数f（x）＝x2﹣3x+alnx（a＞0）．（Ⅰ）若a＝1，求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）设函数f（x）图象上任意一点的切线l的斜率为k，当k的最小值为1时，求此时切线l的方程．【解答】解：（I）f（x）的定义域为（0，+∞），当a＝1时，f（x）＝x2﹣3x+lnx，．由2x2﹣3x+1＝0，得，由2x2﹣3x+1＞0，得，或x＞1，∴f（x）的单调递增区间为，（1，+∞）．由2x2﹣3x+1＜0，得，∴f（x）的单调递减区间为．∴f（x）极大值为；极小值为f（1）＝﹣2；（II）由题意知，∴a＝2．此时，即，∴x＝1，∴切点为（1，﹣2），∴此时的切线l方程为：x﹣y﹣3＝0．18．（13分）为了参加2013年市级高中篮球比赛，该市的某区决定从四所高中学校选出12人组成男子篮球队代表所在区参赛，队员来源人数如下表：该区篮球队经过奋力拼搏获得冠军，现要从中选出两名队员代表冠军队发言．（Ⅰ）求这两名队员来自同一学校的概率；（Ⅱ）设选出的两名队员中来自学校甲的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．【解答】解：（I）“从这12名队员中随机选出两名，两人来自于同一学校”记作事件A，则．…（6分）（II）ξ的所有可能取值为0，1，2…（7分）则，，∴ξ的分布列为：…（10分）∴…（13分）19．（13分）设a∈R，函数f（x）＝cos x（a sin x﹣cos x）+cos2（﹣x）满足f （﹣）＝f（0）．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）设锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝，求f（A）的取值范围．【解答】解：（I），由得：，∴．∴，由得：，k∈Z∴f（x）的单调递减区间为：．（II）∵，由余弦定理得：，即2a cos B﹣c cos B＝b cos C，由正弦定理得：2sin A cos B﹣sin C cos B＝sin B cos C，2sin A cos B＝sin（B+C）＝sin A，即，∴∵△ABC锐角三角形，∴，，∴的取值范围为（1，2]．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且3S n＝4a n﹣4．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设c n＝log2a1+log2a2+…+log2a n，，求使恒成立的实数k的取值范围．【解答】解：（I）令n＝1，由S1＝a1，3S1＝4a1﹣4可得a1＝4，∵3S n＝4a n﹣4，∴当n＞1时，3S n﹣3S n﹣1＝（4a n﹣4）﹣（4a n﹣1﹣4），∴3a n＝4a n﹣4a n﹣1，即，∴数列{a n}是以a1＝4为首项，公比为4的等比数列，∴；（Ⅱ）c n＝log2a1+log2a2+…+log2a n＝2+4+…+2（n﹣1）+2n＝n（n+1），∴，＝＝，由对任意n∈N*恒成立，即实数恒成立；设，，∴当n≥6时，数列{d n}单调递减，1≤n≤5时，数列{d n}单调递增，又，∴数列{d n}最大项的值为，∴．21．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣，0）、F2（，0），椭圆上的点P满足∠PF1F2＝90°，且△PF1F2的面积为＝．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左、右顶点分别为A、B，过点Q（1，0）的动直线l与椭圆C 相交于M、N两点，直线AN与直线x＝4的交点为R，证明：点R总在直线BM上．【解答】解：（Ⅰ）由题意知：，…（1分）∵椭圆上的点P满足∠PF1F2＝90°，且，∴．∴，．∴2a＝|PF1|+|PF2|＝4，a＝2…（2分）又∵，∴…（3分）∴椭圆C的方程为．…（4分）（Ⅱ）由题意知A（﹣2，0）、B（2，0），（1）当直线l与x轴垂直时，、，则AN的方程是：，BM的方程是：，直线AN与直线x＝4的交点为，∴点R在直线BM上．…（6分）（2）当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y＝k（x﹣1），M（x1，y1）、N（x2，y2），R（4，y0）由得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4＝0∴，…（7分），，A，N，R共线，∴…（8分）又，，需证明B，M，R共线，需证明2y1﹣y0（x1﹣2）＝0，只需证明若k＝0，显然成立，若k≠0，即证明（x1﹣1）（x2+2）﹣3（x2﹣1）（x1﹣2）＝0∵（x1﹣1）（x2+2）﹣3（x2﹣1）（x1﹣2）＝﹣2x1x2+5（x1+x2）﹣8＝成立，…（11分）∴B，M，R共线，即点R总在直线BM上．…（12分）22．（12分）已知函数f（x）＝tx﹣t﹣lnx（t＞0）．（Ⅰ）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求实数t的取值范围；（Ⅱ）当n≥2且n∈N*时，证明：．【解答】解：（I）函数f（x）＝tx﹣t﹣lnx的定义域为（0，+∞）．∵f（x）在[1，+∞）上为增函数，∴在x∈[1，+∞）上恒成立，即在x∈[1，+∞）上恒成立，∵，∴t≥1，∴t的取值范围为[1，+∞）．（Ⅱ）由（I）当t＝1，x≥1时，f（x）≥f（1），又f（1）＝0，∴x﹣1﹣lnx≥0（当x＝1时，等号成立），即x﹣1≥lnx．又当x∈（0，1]时，设g（x）＝x﹣1﹣lnx，则，∴g（x）在（0，1]上递减，∴g（x）≥g（1）＝0，即x﹣1≥lnx在（0，1]恒成立，∴x∈（0，+∞）时，x﹣1≥lnx…①恒成立，（当且仅当x＝1时，等号成立），用x代替x﹣1，则x≥ln（x+1）…②恒成立（当且仅当x＝0时，等号成立），∴当k≥2时，k∈N*，由①得k﹣1＞lnk，即，当k≥2时，k∈N*，，由②得．∴当k≥2，k∈N*时，，即．∴，，，…．∴．。
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2013年秋高三(上)期末测试卷 数学（理工农医类）参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 1～5 CABAD
6～10 CADAB
（10）提示：如图所示，因为圆2O 内含于圆1O ，所以2O 在以1O 为圆心半径为
2的圆内运动，又点N 在两条垂直的直径上运动，即2O 在到两条直径的
距离为1的带状区域内运动，综上，2O 的运动区域为图中所示的多边形
区域，其中每个小弓形的面积为33
2234214321-=⋅⋅-⋅⋅π
π，所以此
多边形区域的面积为4343
822322)332(
42-+=-⋅⋅+-ππ． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. （11）i 63- （12）2 （13）400
（14）22 （15）2 （16）m ≤3
4
-
（13）提示：先安排航模与棋艺，有2
5A 种方法，再安排另外两门课程，有2
5A 种方法，所以，安排四门课
程的方法为4002
52
5=⋅A A 种． 三、解答题：本大题共6小题，共75分. （17）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）816324=+⇒=a a S ，即822=+d a )3)((222
2512
2d a d a a a a a +-=⇒=即d a 322=
2,32==∴d a 12-=∴n a n ；………………7分
（Ⅱ）)121
121(21)12)(12(1+--=+-=
n n n n b n 1
2)1211(21+=
+-=∴n n n T n ．…………13分 （18）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）6
161312133=⨯⨯⨯=
A P ；………………6分 （Ⅱ）ξ的取值为3,2,1,0，分布列如下：
2
3321=⨯=ξE ．………………13分 （19）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）1cos 31cos 21)cos(32cos 2
+-=-⇒++=A A C B A 即02cos 3cos 22
=-+A A
)(221cos 舍或-=∴A 3
π
=∴A ；………………6分
（Ⅱ）21)cos(-
=+C B 21sin sin 81-=--∴C B 83
sin sin =∴C B ………………9分 又A bc S sin 2
1
=即432321=⇒=⋅bc bc ………………11分
由正弦定理知C
B bc A a sin sin sin 22=即8
34
432=a 22=∴a ．………………13分
（20）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）ax x x f 21ln )(++=' a f 21)1(+=' a f =)1( ∴切线方程为)1)(21(-+=-x a a y
由题知，)1()21(-⋅+=-a a 1-=∴a ；………………5分
（Ⅱ）ax x x f 21ln )(++=' 要使函数()f x 在区间)1,0(内不单调，则只需)(x f '的函数值在)1,0(内
有正有负，令12ln )(++=ax x x g ，则a x x g 21)(+='，而11
)1,0(>⇒∈x
x ……………8分 当a 2≥1-即a ≥2
1
-
时，0)(>'x g ， )(x g ∴在)1,0(内单增，又0→x 时-∞→)(x g ∴只需012)1(>+=a g ， 即21->a ，21
->∴a ；………………10分
当12-<a 即21
-<a 时，)(x g 在)21,0(a -上单增，在)1,21(a -上单减
∴只需0)21(>-a g 即0)21ln(>-a 21->∴a ，矛盾，舍；综上，2
1
->a ．…………12分
（21）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题知1,22==a b b a 4,2==∴a b 所以椭圆1C 的方程为14
162
2=+y x ；…………4分 （Ⅱ）由题意知，两条切线的斜率均存在，可设点),(00y x M 、切线的斜率为k ，则切线方程为
)(00x x k y y -=-即000=-+-kx y y kx
11
||200=+-+∴k kx y k 即01)1(2)2(20002020=-+-+-y k y x k x x ，记其两根分别为21,k k
在)(00x x k y y -=-中，令0=x ，得00kx y y -=，∴|)(|||021x k k PQ -= ∴]4)[(||212
212
02
k k k k x PQ -+=
2002
020202
020*********)2(24)
2()1)(2(4)1(4--+⋅=⋅-----=x x x y x x x y x x y x ……………8分 又14
162020=+y x ∴200202
)2(1683||-+-=x x x PQ 20020002
0)2()1(43)2(44)44(3-++=-+++-=x x x x x x ，
令t x =+10，则]5,1()1,3[ -∈t ，694
)3(4)2()1(42
200-+=-=-+t
t t t x x 当3-=t 时，
694
-+t
t 取得最小值3
1
-
|
|4
||||21PQ PQ CD S S ==∴的最大值为
63
134=-．………………12分
（22）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）记第k 行中的最大者为k a ，第m 列中的最小者为m b ，其中i k ,2,1=，j m ,,2,1 =
则},,,min{21i a a a a =，},,,max {21j b b b b =，
显然对任意的m k ,有，k a ≥km a ≥m b ，a ∴≥b ；………………5分
（Ⅱ）要||b a -最大，则让a 尽量大，b 尽量小，当将n ,,2,1 排成i 行j 列的方阵时，要使a 尽量
大，b 尽量小，则只需让n ,,2,1 中最大的i 个数分布于不同的行，最小的j 个数分布于不同的列，此时1+-=i n a ，j b =，)(20151||j i j i n b a +-=+--=-∴，
又531922014⨯⨯==⨯j i ，∴当53,38==j i 或38,53==j i 时，j i +取最小值91， 所以||b a -的最大值为1924．………………12分。