厦门市2011～2012学年(上)高一质量检测数学试卷及参考答案

厦门市2011～2012学年（上）高一质量检测
数学参考答案 A 卷（共100分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.
1. C
2. B
3. A
4. C
5.D
6. B
7.Ｄ
8. C
9. C 10. B 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
11. 785，567，199 12. 4 13. 1 14.ln 1y x =+ 三、解答题：本大题共3小题，共34分. 15.（本题满分10分）
解：(Ⅰ)函数()f x 是偶函数. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2分
函数()f x 的定义域为R ，且()()()2
222f x x x x x f x -=---=-=， 所以函数()f x 是偶函数. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分 (Ⅱ)当()∞+∈，1x 时，()2
2f x x x
=
-，
所以函数()f x 在()1,+∞上是增函数. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
3||12
a +
>，(2)0f =，由3(||)(2)2
f a f +
>┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7
分
且函数()f x 在()1,+∞上是增函数，知3||2
2a +
>， ┄┄┄┄┄┄8分
1||2
a >
，所以12
a >
或12
a <-
. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分
即不等式3
(||)02
f a +>的解集是1{|2
a a >
或1
}2
a <-.
16.（本题满分12分）
解：(Ⅰ)设事件A =““中”三等奖“，
从抽奖箱中任取两个小球的基本事件共有15个：
()()()()()()()()()0,1,0,2,0,3,0,4,0,5,1,2,1,3,1,4,1,5,
()()()()()2,3,2,4,2,5,3,4,3,5,()4,5，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分
而事件A 包含7个基本事件: ()()()()()()()0,4,0,5,1,3,1,4,1,5,2,3,2,4 ┄┄5分
所以()7
15
P A =
. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7分
(Ⅱ)设事件B =不“中”奖,
则()7314115
15
15
15
P B =-
-
-
=
. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分
17.（本题满分12分）
解：(Ⅰ)若2a =，2()2422x x f x =-⨯+，[1,)x ∈-+∞
令2x t =，2()42y g t t t ==-+，1
[,)2t ∈+∞， ┄┄┄┄┄┄┄┄2分
易得[2,)y ∈-+∞，所以()y f x =的最小值是2-. ┄┄┄┄┄┄┄┄4分 (Ⅱ) 当01a <<时，令0
0x t a =，0[2,1]x ∈--得120[,]t a a --∈，
至少存在120[,]t a a --∈使得2000()223h t t at =-+≤成立，即00
12a t t ≥-成立，┄6分
即0m in
12()a t t ≥-
┄┄┄┄┄┄┄┄8分
在120[,]t a a --∈，函数00
1t t -单调递增，m in 11()t a
t a
-=
-， ┄┄┄10分
所以12a a
a ≥
-，即13a a
≥
，所以3
a ≥所以a
的取值范围是3
. ┄┄┄┄┄┄┄┄12分
B 卷（共50分）
四、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
18. 1,2+∞⎡⎫⎪⎢⎣⎭
19. 3 20. 3
5 21. 1
04k -<<
五、解答题：本大题共3小题，共34分.
22.（本题满分10分）
解：(Ⅰ)设第二组有x 人，则第三组有(18)x +人.
由题意可知，18(0.0040.040.0080.004)105050x x ++++++⨯⨯=，
解得2x
=.
所以第二组的频率为20.04
50
=，
第三组的频率为
2180.4
50
+=.
补全频率分布直方图如右图所示.┄┄┄┄┄4分 (Ⅱ)成绩不低于70的频率为 (0.040.0080.004)100.52++⨯=，
估计该社区可成为义务宣传员的人数为
(Ⅲ)设成绩在[)80,90的4人为A 、B 、C 、D ，成绩在[)90,100的2人为a 、b . 设“所抽取的两人在不同分数段”的事件为M ，所有的基本事件为：
AB AC AD Aa Ab BC BD Ba Bb C D C a C b D a D b ab
、、、、、、、、、、、、、、
其中事件M 所包含的基本事件有8个，分别为Aa Ab Ba Bb C a C b D a D b 、、、、、、、， 所以8()15
P M =
. ┄┄┄┄┄┄┄┄10分
23.（本题满分12分）
解：(Ⅰ)依题意得，每件销售价格x 元（90x >）时，每件利润为(90)x -元，
当90100x <≤时，
2
(90)[50
4(100)]4810
y x x x x =-+-=-
+-；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分
当100x >时，日销售量为502(100)(2502)x x --=-件， 显然25020x ->，即125x <.
故当100125x <<时，2(90)(2502)243022500y x x x x =--=-+-. ∴2
2
481040500,
90100,243022500,
100125,x x x x Z y x x x x Z
-+-<≤∈=-+-<<∈⎧⎨
⎩，┄┄┄┄┄6分
(Ⅱ)若90100x <≤，2481040500y x x =-+-，对称轴为8101101
2(4)
4
x =-
=⨯-，
2
481040500y x x =-+-在(]90,100上递增，故当100x =时，m a x 500y =；
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9分
若100125x <<，2
243022500y x x =-+-，
对称轴为4301107
(100,125)2(2)
2
x =-
=∈⨯-，
当107108x =或时，m ax 612500y =>. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄11分 因此，当107108x =或时，m ax 612y =.
答：当每件销售价格为107或108元时，该商店日利润最大为612元.┄┄12分
24.（本小题满分12分）
解：(Ⅰ)由(1)(4)f f =得16414
a b
a b ++++=
，解得4b =. ┄┄┄┄2分
由2
()(0)x ax b
f x x x
++=
≠为奇函数，得()()0f x f x +-=对0x ≠恒成立，
即
2
2
20x ax b
x ax b
a x
x
++-++
==-，所以0a =. ┄┄┄┄┄┄┄4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知，4()f x x x
=+.
任取12,[2,)x x ∈+∞，且12x x <，
121212121
2
12
444()()()()()
x x f x f x x x x x x x x x --=+-+=-，┄┄┄┄┄6分
∵122x x ≤<，∴120x x -<，120x x >，1240x x ->， ∴1212()()0,()()f x f x f x f x ->>， 所以，函数()f x 在区间[2,)+∞单调递增.
所以在区间[2,)+∞任取12x x ≠则必有12y y ≠故函数()f x 的图象在区间[2,)+∞不存在不同的两点使过两点的直线平行于x 轴. ┄┄┄┄┄┄┄┄8分 (Ⅲ)对于条件①：由(Ⅱ)可知函数()f x 在(0,)x ∈+∞上有最小值(2)4f =. 故若()02
k f x +
>对(0,)x ∈+∞恒成立，则需m in ()2
k f x >-
，则42
k >-
，
8k ∴>-. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9分
对于条件②：由(Ⅱ)可知函数()f x 在(,2)-∞-单调递增，在[2,0)-单调递减， ∴函数()f x 在[]8,2--单调递增，在[]2,1--单调递减，又()1782
f -=-
，
()24f
-=-，()15f
-=-，所以函数()f x 在[]81,--上的值域为1742,-
-⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
， 若方程()f x k =在[]81,--有解，则需1742
k -
≤≤-.┄┄┄┄┄┄11分
若同时满足条件①②，则需81742
k
k -<-≤≤-⎧⎪
⎨⎪⎩，所以84k -<≤-.
答：当84k -<≤-时，条件①②同时满足. ┄┄┄┄┄┄┄┄12分。