第三四讲 误差与数据处理8.
第3章误差和分析数据处理-PPT精选文档
kn
若k有限(k＜20)，则为平均值的样本标 准偏差，用 s x 表示，且： s s x = ——
n
x2
· · ·· · · k
x
显然，不管是σx 或 s x ，均小于σ、s， 即平均值的结果优于单次测量。
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2019/2/18
第三章 误差和分析数据的处理 将二者的关系(以样本标准偏差为例)变形：
1 Er = 100 % =50% 2
称200g物体为201g，Ea=201－200=1(g)
1 Er = 100 %=0.5% 200
故常用 Er 反映测定结果的准确度。
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第三章 误差和分析数据的处理
第二节 准确度和精密度
二、精密度
某测定值与测定平均值相互接近的程度。 通常用“偏差”来衡量 。
测定值与测定平均值之差异。其值越小，结果的精密度越高 （也可理解为偏差越小，测定数据越集中，反之则越分散）。
偏差的表示方法有多种。 1.绝对偏差：测定值与测定平均值之差，用 d 表示 。
如对某一样品进行了一组测定，次数为n，测定结果分别为：x1、x2 … xn, 则第 i 次测定： d i = x i－ x （i =1，2，…n) n x x x 1 其中 n x 1 2 x i n ni 1
第二节 准确度和精密度
一、准确度
测定值与真实值相互接近的程度。 通常用“绝对误差”或“相对误差”来反映 。
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第三章 误差和分析数据的处理
第二节 准确度和精密度
分析化学第三章 分析化学中的误差与数据处理_OK
分类
方法误差、仪器与试剂 环境的变化因素、主
误差、主观误差
观的变化因素等
性质
重现性、单向性（或周 服从概率统计规律、
期性）、可测性
不可测性
影响
准确度
精密度
消除或减 小的方法
校正
增加测定的次数 12
系统误差的校正
• 方法系统误差——方法校正 • 主观系统误差——对照实验校正（外检） • 仪器系统误差——对照实验校正 • 试剂系统误差——空白实验校正
误差
10
• 随机误差： • 由某些不固定偶然原因造成，使测定结果在一定范围内波动，大小、正负不定，难以
找到原因，无法测量。 • 特点：不确定性；不可避免性。 • 只能减小，不能消除。每次测定结果无规律性，多次测量符合统计规律。 • 过失、错误误差
11
系统误差与随机误差的比较
项目
系统误差
随机误差
产生原因 固定因素，有时不存在 不定因素，总是存在
相对误差: 绝对误差占真值的百分比,用Er表示
Er =E/xT = x - xT /xT×100％
2
相对误差反映误差在真值中所占的比例
误差以真值为标准
真值：某一物理量本身具有的客观存在的真实值。真值是
未知的、客观存在的量。在特定情况下认为 是已知的：
理论真值（如化合物的理论组成）(如，NaCl中Cl的 含量） 计量学约定真值（如国际计量大会确定的长度、质 量、物质的量单位等等） 相对真值（如高一级精度的测量值相对于低一级精 度的测量值）（例如，标准样品的标准值）
6 15.99 34 0.172
7 16.02 55 0.278
8 16.06 40 0.202
9 16.09 20 0.101
误差理论与数据处理答案完整版
误差理论与数据处理答案HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】《误差理论与数据处理》第一章 绪论1-1．研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。
答： 研究误差的意义为：(1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差；(2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据；(3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。
误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。
1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。
系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）；随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化；粗大误差的特点是可取性。
1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。
答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量；绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。
+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。
(2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o 00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解：绝对误差等于： 相对误差等于：1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm ，已知其最大绝对误差为 1μm ，试问该被测件的真实长度为多少？解： 绝对误差＝测得值－真值，即： △L ＝L －L 0 已知：L ＝50，△L ＝1μm ＝，测件的真实长度Ｌ0＝L －△L ＝50－＝（mm ）1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 ，该压力用更准确的办法测得为，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。
误差理论与数据处理知识总结
1.1.1 研究误差的意义为：1)正确认识误差的性质，分析误差产生的愿意，以消除或者减小误差2)正确处理测量和试验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据3)正确组织实验过程，合理设计仪器或者选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。
1.2.1 误差的定义：误差是测得值与被测量的真值之间的差。
1.2.2 绝对误差：某量值的测得值之差。
1.2.3 相对误差：绝对误差与被测量的真值之比值。
1.2.4 引用误差：以仪器仪表某一刻度点的示值误差为份子，以测量范围上限值或者全量程为分母，所得比值为引用误差。
1.2.5 误差来源： 1)测量装置误差 2)环境误差 3)方法误差 4)人员误差1.2.6 误差分类：按照误差的特点，误差可分为系统误差、随机误差和粗大误差三类。
1.2.7 系统误差：在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，按一定规律变化的误差为系统误差。
1.2.8 随机误差：在同一测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差称为随机误差。
1.2.9 粗大误差：超出在规定条件下预期的误差称为粗大误差。
1.3.1 精度：反映测量结果与真值接近程度的量，成为精度。
1.3.2 精度可分为：1)准确度：反映测量结果中系统误差的影响程度2)精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度3) 精确度：反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度，其定量特征可用测量的不确定度来表示。
1.4.1 有效数字：含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位数的半个单位，那末从这个近似数左方起的第一个非零的数字，称为第一位有效数字。
从第一位有效数字起到最末一位数字止的所有数字，不管是零或者非零的数字，都叫有效数字。
1.4.2 测量结果应保留的位数原则是：其最末一位数字是不可靠的，而倒数第二位数字应是可靠的。
1.4.3 数字舍入规则：保留的有效数字最末一位数字应按下面的舍入规则进行凑整：1)若舍去部份的数值，大于保留部份的末位的半个单位，则末位加一2)若舍去部份的数值，小于保留部份的末位的半个单位，则末位不变3)若舍去部份的数值，等于保留部份的末位的半个单位，则末位凑成偶数。
第3章误差和分析数据处理
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第三章 误差和分析数据的处理
本章要求
1.掌握误差和偏差的意义及表示方法，了解 准确度和精密度的区别和联系。
2.掌握Q检验法和格鲁布斯法，了解显著性 检验的方法和应用。
3.掌握有效数字的意义、特点和计算规则。
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Байду номын сангаас
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R = xmax－ xmin
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误差和分析数据处理.
第二章 误差和分析数据处理第一节 概 述定量分析的任务是要准确地解决“量”的问题，但是定量分析中的误差是客观存在的，因此，必须寻找产生误差的原因并设法减免，从而提高分析结果的可靠程度，另外还要对实验数据进行科学的处理，写出合乎要求的分析报告。
第二节 测量误差一、绝对误差和相对误差1. 绝对误差测量值与真实值之差称为绝对误差。
δ = x - μ 2. 相对误差绝对误差与真值的比值称为相对误差。
%100%100⨯-=⨯μμμδxδ若真实值未知，但δ已知，也可表示为%⨯100x3. 真值与标准参考物质理论真值：如某化合物的理论组成等。
约定真值：如国际计量大会上确定的长度、质量、物质的量单位等。
相对真值：如标准参考物质的含量。
标准参考物质：经权威机构鉴定并给予证书的，又称标准试样。
实际工作中，常把最有经验的人用最可靠的方法对标准试样进行多次测定所得结果的平均值作为真值的替代值。
二、系统误差和偶然误差1. 系统误差（可定误差）由某种确定的原因引起，一般有固定的方向，大小在试样间是恒定的，重复测定时重复出现。
按系统误差的来源分类：方法误差、仪器或试剂误差、操作误差。
方法误差：滴定分析反应进行不完全、干扰离子的影响、滴定终点与化学计量点不符、副反应的发生、沉淀的溶解、共沉淀现象、灼烧时沉淀的分解或挥发。
仪器或试剂误差：砝码、容量器皿刻度不准、试剂中含有被测物质或干扰物质。
操作误差：称样时未注意防止吸湿、洗涤沉淀过分或不充分、辨别颜色偏深（浅）、读数偏高（低）。
按系统误差的数值变化规律分类：恒定误差、比例误差。
系统误差可用加校正值的方法予以消除。
2. 偶然误差（随机误差、不可定误差）由于偶然的原因如温度、湿度波动、仪器的微小变化、对各份试样处理时的微小差别等引起，其大小和正负都不固定。
偶然误差服从统计规律，可用增加平行测定次数加以减免。
三、准确度和精密度1. 准确度与误差准确度表示分析结果与真实值接近的程度。
准确度的大小用绝对误差或相对误差表示。
误差分析与数据处理PPT课件
n
(xi x)2
i1
n 1
（6—10）
式中： n 为有限次， x 为算式平均值，代替真值 T ，
x
n
xi n
i 1
2021
( sj )
T
100%
( bc )
x
100%
（6—3） （6—4）
之所以要采用相对误差来评价被测值的精度，是因为对不同的被测 值，绝对误差难以评定测量精度的高低。
2021
13
例如，采用两种方法来测量h1 100mm的尺寸，分别获得测量误
差为 L1 10m和 L2 8m，很明显后一种方法测量结果的
冲击或振动）等所造成的误差。
2021
9
过失误差的数值远远大于系统误差，已经不属于误差范围，必须 剔除掉。过失误差无规律可循，只要多加警惕，细心操作，一般都可 以避免。应当指出，上述误差可以在一定条件下相互转化。对于某一 具体误差，在一条件下是系统误差，在另一条件下可能是随机误差， 反之亦然。例如：按一定公称尺寸制造的量块，存在着制造误差，其 中就某一块量块制造的误差的数值来说，若用以进行标定或测量，所 造成的误差是系统误差；但是，就此量块整批而言，则该量块的制造
x T 测量某一参数所得的测量值 与该参数的真值 之差 为绝对误
差。即：
xT
它与被测参数有相同的单位。
测量的真值是一个理想的概念，一般是不知道的。然而在某些特定
的情况下，其真值是可知的。例如：三角形的内角和为 1 8 0 ，一个整 的圆周角为 3 6 0 。为了使用上的方便和要求，在有些情况下，可以采用
四、随机误差的评定指标
任何测试与观察总是不可避免的存在误差，这种误差具有随机性。
第03章误差与数据处理
28.62, 28.59, 28.51, 28.48, 28.52, 28.63 解： x 28.62 28.59 28..51 28.48 28.52 28.63 28.56
6
s (0.06)2 (0.03)2 (0.05)2 (0.08)2 (0.04)2 (0.07)2 0.06 6 1
精密度是保证准确度的先决条件； 精密度高不一定准确度高； 两者的差别主要是由于系统误差的存在。
2019/8/17
例2：
分析铁矿中铁含ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，得如下数据：
37.45% , 37.20% , 37.50% , 37.30% , 37.25% 计算此结果的平均值、平均偏差、标准偏差、变异系数。 计算：
x 37.45% 37.20% 37.50% 37.30% 37.25% 37.34% 5
对试剂或实验用水是否带入被测成份，或所含杂质是否有 干扰可通过空白试验扣除空白值加以修正。
是否存在系统误差，常常通过回收试验加以检查。
2019/8/17
回收试验：
在测定试样某组分含量的基础上，加入已知量的该 组分，再次测定其组分含量。由回收试验所得数据计 算出回收率。
回收率 x3 x1 100% x2
误差分布曲线对称;
(2) 单峰性: 小误差出现的概率大，大误差的概率小。
误差分布曲线只有一个峰值。误差有明显集中趋势；
(3) 有界性：由偶然误差造成的误差不可能很大，即大
误差出现的概率很小；
(4) 抵偿性；误差的算术平均值的极限为零。
2019/8/17
lim n d i 0
n n i1
2019/8/17
2. 标准偏差（Standard Deviation）
《误差以及数据处理》课件
通过假设检验来判断样本数据与总体数据之 间是否存在显著差异。
五、案例分析
实际应用案例分析数据Fra bibliotek理实践演练通过实际案例对误差的处理方法进行应用和演练， 深入理解数据处理的过程。
学习如何利用数据处理技巧来解决实际问题，培 养数据处理的实践能力。
六、总结与展望
1 误差的影响及其处
理方法
了解误差对数据分析和 决策的影响，并掌握相 应的处理方法，提高数 据处理的准确性和精确 度。
3
数据汇总
将数据按照不同的维度进行汇总和归纳，以获取更多洞察和分析。
4
数据分析
使用统计方法和数据挖掘技术来探索数据之间的关系和规律。
四、误差处理方法
线性回归
通过建立线性模型来描述变量之间的关系， 用于预测和估计。
置信区间
通过计算统计量的置信区间来评估参数估计 的精度和可靠性。
最小二乘法
通过最小化误差的平方和来求解参数，用于 拟合数据和求解优化问题。
3 准确度
4 精确度
准确度是指测量结果与真实值之间的接近 程度，可以通过准确度指标来衡量。
精确度是指重复测量的结果之间的一致性 和稳定性，可以通过精确度指标来衡量。
三、数据处理
1
数据收集
收集准确、全面的数据对于后续的数据处理至关重要。
2
数据整理
整理数据包括数据清洗、缺失值处理和异常值处理等步骤，以提高数据的质量。
《误差以及数据处理》PPT课 件
一、引言
数据处理在科学研究和实际应用中的重要性不言而喻。了解误差的定义和分 类是为了更好地处理数据。
二、测量误差
1 绝对误差
2 相对误差
绝对误差是实际测量值与理论预测值之间 的差异，用于评估测量的准确性。
第3章误差与数据处理
五位 五位 五位 五位 五位 五位 五位 五位
四位 三位 二位 一位 四位 三位 二位 一位 四位 三位 二位 一位 四位 三位 二位 一位 四位 三位 二位 一位 四位 三位 二位 一位 四位 三位 二位 一位 四位 三位 二位 一位
2020/7/15
Analytical Chemistry
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x
1 n
x
d xx n
S (x x)2 n 1
无限多次测定（总体）
=
lim n
1 n
x
= x n
=
(x )2
n
lim
n
(x x n 1
)2
(x
n
)2
S→
2020/7/15
Analytical Chemistry
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材料科学与化学工程学院
❖ 极差 (全距或范围误差)
R=Xmax-Xmin C—随n而变的常数 可查有关统计书
（概率）
2020/7/15
Analytical Chemistry
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材料科学与化学工程学院
2020/7/15
Analytical Chemistry
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有效数字及其运算规则 一、有效数字概念
有效数字(significant figure)： 分析工作中实际上能测量到的数字
材料科学与化学工程学院
4.105 → 4.10 4.125 → 4.12 4.1251 → 4.13
2020/7/15
Analytical Chemistry
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材料科学与化学工程学院
2.一次修约 只允许对原测量值一次修约至所需位数，不能分次修约。 如: 4.1349修约为三位数。不能先修约成4.135，再修约为 4.14，只能修约成4.13。
第三四讲误差与数据处理演示文稿
第1页，共69页。
（优选）第三四讲误差与数据 处理
第2页，共69页。
真值：客观存在，但绝对真值不可测
理论真值 约定真值 相对真值
分析过程中的误差是客观存在的。 误差可控制得越来越小，但不能使误差降低为零。
第3页，共69页。
滴定剂体积20～30 mL为宜
例: 滴定的体积误差
校正
增加测定的次数
第18页，共69页。
四、 误差的传递
系统误差
a. 加减法
R=mA+nB-pC
b. 乘除法
R=mA×nB/pC
c. 指数运算
R=mAn
d. 对数运算
R=mlgA
ER=mEA+nEB-pEC ER/R=EA/A+EB/B-EC/C ER/R=nEA/A ER=0.434mEA/A
1
u2
e 2
2
这种正态分布叫做标准正态分布。
第28页，共69页。
标准正态分布曲线
f(x)
No 68.3% Image 95.5%
P x2 f (x)dx x1
99.7%
-3 -2 -1 0 +1 +2 +3
z
正态分布曲线的形状和位置受到总体标准偏差和
总体平均值的影响。其中值大小代表测量数据的分散程 度，而代表测量数据的集中趋势，其大小反映了数据集 中于何处。
准确度高，精密度高
准确度低，精密度高
准确度低，精密度低
表观准确度高，精密度低
(不可靠)
结论：1.精密度好是准确度好的前提; 2.精密度好不一定准确度高(系统误差)。
14
第14页，共69页。
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③、绝对误差和相对误差都有正和负之分。
正误差：x > xT
负误差： x < xT
精密度: 平行测定结果相互靠近的程度，用偏差衡量。
精密度的高低可用偏差表示
偏差: 测量值与平均值的差值，用 d表示
相对极差 = R x
多次 测定
二、 准确度与精密度的关系
x1 x2
x3
x4
准确度高，精密度高
准确度低，精密度高
准确度低，精密度低
表观准确度高，精密度低 (不可靠)
结论：1.精密度好是准确度好的前提; 2.精密度好不一定准确度高(系统误差)。
14
分析结果允许的相对误差
w/% ~100 ~10 ~1 ~0.1 <0.1
举例：重量法测定样品中BaCl2·2H2O纯度 w(BaCl2·2H2O): 173个有效数据, 含量：98.9-100.2%, 0.1%组距, 分14组。
分组
绝对偏差：单次测量值 xi 与平均值之差
di xi x
相对偏差：绝对偏差占平均值的百分比
dr di xi x
x
x
❖di不能反映一组平行测定结果的精密度！
平均偏差：各测量值偏差的绝对值的平均值。
d 1 d 2 dn
d n
n
di
n
xi x
i 1 n
i 1 n
n
di 0
周期性）、可测性
不可测性
影响
消除或减 小的方法
准确度 校正
精密度 增加测定的次数
四、 误差的传递
系统误差
a. 加减法
R=mA+nB-pC ER=mEA+nEB-pEC b. 乘除法
R=mA×nB/pC ER/R=EA/A+EB/B-EC/C c. 指数运算
R=mAn d. 对数运算
ER/R=nEA/A
i 1
相对平均偏差：平均偏差占平均值的百分比。
n
dr d
xi x
i 1
x
n x
例: 测w(Fe)/%, 50.04 50.10 50.07
绝对偏差 相对偏差
x 50.07
－ 0.03
0.03
－0.06% 0.06 %
0.00 0.00
平均偏差： d | 0.03 | | 0.03 | 0.00 0.02 3
极值误差
最大可能误差
R=A+B-C R＝AB/C
ER=|EA|+|EB|+|EC| ER/R=|EA/A|+|EB/B|+|EC/C|
2.2 随机误差的分布规律和有限数据 的统计处理
一、 随机误差的分布规律
1. 频数分布 频数（ni）：每组内数据出现的个数 频率：频数ni除以总数n 频率密度：频率除以组距
不存在系统误差的情况下，测定次数越多其 平均值越接近真值。一般平行测定4-6次
过失 由粗心大意引起，可以避免的
系统误差与随机误差的比较
项目
系统误差
随机误差
产生原因
固定因素，有时不存 在
不定因素，总是存 在
分类
方法误差、仪器与试 环境的变化因素、
剂误差
主观的变化因素等
性质
重现性、单向性（或 服从概率统计规律、
R=mlgA
ER=0.434mEA/A
随机误差
a. 加减法
R=mA+nB-pC b. 乘除法
R=mA×nB/pC c. 指数运算
R=mAn d. 对数运算
R=mlgA
sR2=m2sA2+n2sB2+p2sC2 sR2/R2=sA2/A2+sB2/B2+sC2/C2 sR/R=nsA/A sR=0.434msA/A
E = x T = 0.06%
B. Li2CO3试样中, T = 0.042%, x = 0.044%
E = x T = 0.002% A. RE= E/T =－0.06/62.38 = －0.1% B. RE = E/T = 0.002/0.042 = 5%
从上例看出： ①、被测物质越重（或被测物质含量越大），
误差
E = x - xT
相对误差: 绝对误差占真值的百分比,用Er表示
Er =E/xT = x - xT /xT×100％
真值：客观存在，但绝对真值不可测
理论真值 约定真值 相对真值
分析过程中的误差是客观存在的。 误差可控制得越来越小，但不能使误差降低为零。
例: 滴定的体积误差
滴定剂体积20～30 mL 为宜
第二章 分析化学中的误差与数据处理
• 2.1 分析化学中的误差 • 2.2 随机误差的分布规律和有限数据的
统计处理 • 2.3 提高测定的准确度的措施 • 2.4 有效数字及运算规则
2.1 分析化学中的误差
一、 准确度和精密度
准确度: 测定结果与真值接近的程度，用误差衡量。
绝对误差: 测量值与真值间的差值, 用 E表示
V 20.00 mL
2.00 mL
E 0.02 mL 0.02 mL
RE 0.1% 1%
分析天平称量误差 称样质量应大于0.2 g
m 0.2000 g 0.0200 g
E 0.0002 g 0.0002 g
RE 0.1% 1%
例：测定含铁样品中w(Fe),
比较结果的准确度。 A.铁矿中, T = 62.38%, x = 62.32%
➢标准偏差(均方根偏差)：
无限次测定
n
( xi )2
i 1
n
μ ——总体
平均值
n
有限次测定 ( xi x)2 自由度f n 1
s i1
n1
➢相对标准偏差： （变异系数）RSD
CV = s x
相差= |x1 － x2 ︳
相对相差= x1 -x2 | x
两次 测定
极差（Range)：R = xmax－ xmin
相对平均偏差：dr d 0.02 0.04%9， 3.0， 3.1， • 乙: 2.8， 3.0， 3.0， 3.0，
3.1； 3.2；
• 甲乙两人测定结果的平均偏差相同： • d = 0.08 , • 平均偏差对极值反映不灵敏
• s(甲)=0.1 ; s(乙)=0.14
RE/% 0.1~0.3 ~1 1~2 5
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15
三、系统误差与随机误差
系统误差:又称可测误差 具单向性、重现性、可校正特点
方法误差: 溶解损失、终点误差－用其他方法校正 仪器误差: 刻度不准、砝码磨损－校准(绝对、相对) 操作误差: 颜色观察 试剂误差: 不纯－空白实验 主观误差: 个人误差
随机误差: 又称偶然误差 不可校正，无法避免，服从统计规律