1-4复合函数,反函数,初等函数

2 0 当ϕ( x ) ≥ 1时,
0 ≤ x < 2;
或 x < 0, ϕ( x ) = x + 2 ≥ 1,
或 x ≥ 0, ϕ( x ) = x 2 − 1 ≥ 1,
综上所述
− 1 ≤ x < 0;
x ≥ 2;
e x+2 , x < −1 x + 2, − 1 ≤ x < 0 f [ϕ ( x )] = 2 . x −1 e , 0≤ x < 2 x 2 − 1, x≥ 2
cosh 2 x = cosh 2 x + sinh 2 x .
数学分析电子教案
反双曲余弦 y = ar cosh x
y = arcosh x = ln( x + x 2 − 1).
f [ f ( x)] =
1 − [ f ( x)]2 , f ( x) < 1;
[ f ( x)] + 1,
2
f ( x) < 1 ⇔ 0 < x < 1 f ( x) ≥ 1 ⇔ x ≥ 1或x = 0
f ( x) ≥ 1.
当0 < x < 1时，
f ( x) = 1 − x 2 .
=
1 − [ 1 − x ] , 0 < x < 1;
证明 :
∵
ϕ ( x) ≤ f ( x) ≤ ψ ( x)
∴ϕ[ϕ ( x)] ≤ f [ϕ ( x)] ≤ ψ [ϕ ( x)]
∵ f (x)是单调递增函数且 f ( x) ≤ ψ ( x)
∴ϕ[ϕ ( x)] ≤ f [ϕ ( x)] ≤ f [ f ( x)] ≤ f [ψ ( x)] ≤ ψ [ψ ( x)]
y
它的反函数即为它自 己.
0 x
数学分析电子教案
实际求反函数问题可分为二步进行： 实际求反函数问题可分为二步进行： (1). 确定 f : X → Y 的定义域 X 和值域
y ∈Y
x= f
。
−1
Y ，考虑 1-1对应条件。固定 ，解方程 f ( x) = y 得出
( y)
(2). 按习惯，自变量 x 、因变量 y
D : ( −∞ ,+∞ )
奇函数, 奇函数 有界函数, 有界函数
数学分析电子教案
2.反双曲函数 反双曲函数
反双曲正弦 y = ar sinh x ;
y = arsinh x = ln( x + x + 1).
2
y = ar sinh x
D : ( −∞ ,+∞ )
奇函数, 奇函数
在 ( −∞ ,+∞ ) 内单调增加.
1
−2π
−
3π 2
−π
−
π
2
O
−1
π
2
π
3π 2
2π
x
y = sin x的性质：
•周期为2π的周期函数
•Taylor(Maclaurin)公式
π π •特殊值： 2kπ + = 1 sin ( kπ ) = 0 sin 2kπ − = −1k = 0,±1,±2,⋯. sin 2 2 1 3 1 5 1 7 (−1) n 2n −1
u = ωt + ϕ
1− x
2
设 y = u, u = 1 − x 2 ,
y=
数学分析电子教案 定义: 定义 设函数 y = f (u ) 的定义域 D f , 而函数
u = ϕ ( x ) 的值域为 Z ϕ , 若 D f ∩ Z ϕ ≠ ∅ , 则称
复合函数. 函数 y = f [ϕ ( x )]为 x 的复合函数
x
(a > 0, a ≠ 1)
y = ex
y = ax
(a > 1)
( 0 ,1)
数学分析电子教案 （3）.对数函数 ） 对数函数
y = log a x (a > 0, a ≠ 1) y = ln x
y = loga x
(1,0 )
(a > 1)
y = log 1 x
a
数学分析电子教案
y
y = sin x
π
2
数学分析电子教案
y = cot x的性质：
•周期为π的周期函数 •无界函数：
x → −0 2
y
y = cot x
lim cot x = +∞ π lim cot x = −∞ π
−π
−
π
2
O
π
2
π
3π 2
2π
x
x •渐进线：= 0, x = π
x →− + 0 2
π cot kπ + = 0 2 k = 0, ±1, ±2,⋯.
x, 2,
x 4＋2 x 2 + 2 ,
x = 0; x ≥ 1.
0 < x < 1; x = 0; x ≥ 1.
=
=
−1 < x < 0; x = 0; 0 < x < 1; x 4＋2 x 2 + 2 , x ≥ 1.
−x, 2, x,
数学分析电子教案
. 例2设ϕ ( x), f ( x),ψ ( x)都是单调递增函数, 证明 若ϕ ( x) ≤ f ( x) ≤ ψ ( x)， ϕ[ϕ ( x)] ≤ f [ f ( x)] ≤ ψ [ψ ( x)]. 则
2 •Taylor(Maclaurin)公式
•有界函数 |cos x|≤1
cos(2kπ ) = 1 cos((2k + 1)π ) = −1 k = 0,±1,±2,⋯.
1 2 1 4 1 6 (−1) n 2 n x +⋯ cos x = 1 − x + x − x + ⋯ + 2! 4! 6! ( 2n)!
解
e ϕ ( x ) , ϕ( x ) < 1 f [ϕ( x )] = ϕ( x ), ϕ( x ) ≥ 1
x < −1;
10 当ϕ( x ) < 1时,
或 x < 0, ϕ( x ) = x + 2 < 1,
数学分析电子教案 ϕ( x ) = x 2 − 1 < 1, 或 x ≥ 0,
•特殊值：
数学分析电子教案 正割函数 y = sec x
y = sec x
余割函数
y = csc x
y = csc x
数学分析电子教案 (5)反三角函数的图象
数学分析电子教案
幂函数,指数函数 对数函数 幂函数 指数函数,对数函数 三角函数和反 指数函数 对数函数,三角函数和反 三角函数统称为基本初等函数 基本初等函数. 三角函数统称为基本初等函数
数学分析电子教案
y = tan x的性质：
•周期为π的周期函数 •无界函数：
lim tan x = +∞
x → −0 2
y
y = tan x
y = tan x
π
lim
x →− + 0 2
π
tan x = −∞
−π − π
2
O
π
2
π
x
•渐进线：x = ± •特殊值：
tan(kπ ) = 0 k = 0,±1,±2,⋯.
2
2
)
数学分析电子教案 复合函数的定义域
D = {x | x ∈ Dϕ ∧ ∃u ∈ D f 使u = ϕ ( x )} ⊆ Dϕ
复合条件在实际应用时常取形式
Zϕ ⊆ D f
内层函数的值域落在外层函数的定义域之内 2.复合函数可以由两个以上的函数经过复 2.复合函数可以由两个以上的函数经过复 合构成. 合构成
sin x = x − 3! x + 5! x − 7! x +⋯+ (2n − 1)! x +⋯
•有界函数 |sin x|≤1
数学分析电子教案
y
y = cos x
1
−2π
−
3π 2
−π
−
π
2
O
−1
π
2
π
3π 2
2π
x
y = cos x的性质：
•周期为2π的周期函数 •特殊值： kπ + π = 0 cos
。
数学分析电子教案
y
反函数 y = f −1 ( x )
Q ( b, a )
o
直接函数 y = f ( x ) P (a , b)
x
从方程角度看，函数和反函数没什么区别，作 为函数，习惯上我们还是把反函数记 y = f − 1 ( x ) y = f −1 ( x ) . 为
x 这样直接函数与反函数的图形关于直线 对称. 这样直接函数与反函数的图形关于直线 y = 对称
2 2
2,
( x 2＋1) 2 + 1,
x = 0; x ≥ 1.
当 x ≥ 1时， f ( x) = x 2 + 1. 当x = 0时，f (0) = 1,
f [ f (0)] = f 2 (0) + 1 = 2.
数学分析电子教案
=
1 − [ 1 − x ] , 0 < x < 1;
2 2
2, ( x 2＋1) 2 + 1,
数学分析电子教案 2.初等函数 初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算 和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子 和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子 表示的函数 称为初等函数 的函数,称为初等函数. 表示的函数 称为初等函数
e x , x < 1 x + 2, x < 0 例3 设 f ( x) = , , ϕ( x) = 2 x − 1, x ≥ 0 x, x ≥ 1 求 f [ϕ( x)].