第三章 迭代法s4 解线性方程组的迭代法
求解线性方程组的迭代解法
(4 - 1)
简记为：
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
n
aij x j bi
j 1
(i 1,2,, n)
其系数矩阵A非奇异，不妨设aii≠ 0 (1,2,…,n)可将上式 改写为等价方程组：
x1 (
a12 x2 a13x3 a1n xn b1) / a11
但在Jacobi迭代过程中, 对已经算出来的信息未 加充分利用,
即在计算x2(k 1)时, x1(k 1)已经算出, 计算xi(k 1)时, x1(k 1) , x2(k 1) ,, xi(k11) 已经算出,这些前面的最新分量未 被利用,从直观上看,在收敛的
情况下, 这些新值x1(k 1) , x2(k 1) ,, xi(k11)应比旧值x1(k) , x2(k) ,, xi(k1)更 好,更准确一些.因此,如果每计算出一个新的 分量便立即用它取代 对应的旧分量进行迭代 ,可能收敛更快并且只需 要存贮一个近 似解向量即可, 据此想法构造的迭代法 称为高斯 塞德尔 (Gauss Seidel)迭代法,其迭代格式为 :
(3 8)
M ( D L) U x(k1) n
1 ann
(an1x1(k 1)
an2 x2(k 1)
1
a x(k 1) nn1 n1
bn )
其分量形式为
x(k 1) i
1 aii
i 1
(
a x(k 1) ij j
j 1
n
n维点列收敛的一种等价描述是其对应坐标序列均
收敛，向量序列也有类似的结论。
定理1
Rn中的向量序列 x(k) 收敛于Rn中的
计算方法3_线性方程组迭代解法
计算方法3_线性方程组迭代解法线性方程组的迭代解法是解决线性方程组的一种常见方法，常用于大规模的线性方程组求解。
该方法通过不断迭代更新解的近似值，直到满足一定的收敛准则为止。
线性方程组的迭代解法有很多种，其中最经典的是雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和超松弛迭代法。
本文将分别介绍这三种迭代解法及其计算方法。
雅可比迭代法是一种比较简单的线性方程组迭代解法，它的基本思想是先将线性方程组转化为对角占优的形式，然后通过迭代求解逐渐接近精确解。
雅可比迭代法的迭代公式为：其中，x^(k+1)是第k+1次迭代的近似解，n是未知数的个数，a_ij 是系数矩阵A的元素，f_i是方程组的右端向量的元素。
雅可比迭代法的计算步骤如下：1.将线性方程组转化为对角占优的形式，即保证矩阵A的对角元素绝对值大于其它元素的绝对值。
2.初始化向量x^(0)，设定迭代终止准则。
3.根据雅可比迭代公式，计算x^(k+1)。
4.判断迭代终止准则是否满足，如果满足，则停止迭代，返回近似解x^(k+1)；否则，继续进行下一次迭代。
高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的改进方法，它的基本思想是在每次迭代计算x^(k+1)时，利用已经计算出的近似解作为x的一部分。
高斯-赛德尔迭代法的迭代公式为：其中，x^(k+1)_i是第k+1次迭代的近似解中第i个未知数的值，x^(k)_i是第k次迭代的近似解中第i个未知数的值。
高斯-赛德尔迭代法的计算步骤如下：1.将线性方程组转化为对角占优的形式。
2.初始化向量x^(0)，设定迭代终止准则。
3.根据高斯-赛德尔迭代公式，计算x^(k+1)。
4.判断迭代终止准则是否满足，如果满足，则停止迭代，返回近似解x^(k+1)；否则，继续进行下一次迭代。
超松弛迭代法是对高斯-赛德尔迭代法的一种改进方法，它引入了松弛因子ω，通过调整参数ω的值，可以加快迭代的收敛速度。
超松弛迭代法的迭代公式为：其中，0<ω<2，x^(k+1)_i是第k+1次迭代的近似解中第i个未知数的值，x^(k)_i是第k次迭代的近似解中第i个未知数的值。
数值分析第三章线性方程组迭代法
数值分析第三章线性方程组迭代法线性方程组是数值分析中的重要问题之一，涉及求解线性方程组的迭代法也是该领域的研究重点之一、本文将对线性方程组迭代法进行深入探讨。
线性方程组的一般形式为AX=b，其中A是一个n×n的系数矩阵，x和b是n维向量。
许多实际问题，如电路分析、结构力学、物理模拟等，都可以归结为求解线性方程组的问题。
然而，当n很大时，直接求解线性方程组的方法计算量很大，效率低下。
因此，我们需要寻找一种更高效的方法来求解线性方程组。
线性方程组迭代法是一种基于迭代思想的求解线性方程组的方法。
其基本思想是通过构造一个序列{xn}，使得序列中的每一项都逼近解向量x。
通过不断迭代，可以最终得到解向量x的一个近似解。
常用的线性方程组迭代法有雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和逐次超松弛迭代法等。
雅可比迭代法是其中的一种较为简单的迭代法。
其基本思想是通过分解系数矩阵A，将线性方程组AX=b转化为x=Tx+c的形式，其中T是一个与A有关的矩阵，c是一个常向量。
然后，通过不断迭代，生成序列xn，并使序列中的每一项都逼近解向量x。
高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的改进方法。
其核心思想是利用当前迭代步骤中已经求得的近似解向量的信息。
具体而言，每次迭代时，将前一次迭代得到的近似解向量中已经计算过的分量纳入计算，以加速收敛速度。
相比于雅可比迭代法，高斯-赛德尔迭代法的收敛速度更快。
逐次超松弛迭代法是高斯-赛德尔迭代法的改进方法。
其核心思想在于通过引入一个松弛因子ω，将高斯-赛德尔迭代法中的每次迭代变为x[k+1]=x[k]+ω(d[k+1]-x[k])的形式，其中d[k+1]是每次迭代计算得到的近似解向量的一个更新。
逐次超松弛迭代法可以根据问题的特点调整松弛因子的值，以获得更好的收敛性。
除了以上提到的三种迭代法，还有一些其他的线性方程组迭代法，如SOR迭代法、共轭梯度法等。
这些方法都具有不同的特点和适用范围，可以根据问题的具体情况选择合适的迭代法。
线性方程组的迭代式求解方法
线性方程组的迭代式求解方法迭代法解方程的基本原理1.概述把 Ax=b 改写成 x=Bx+f ，如果这一迭代格式收敛，对这个式子不断迭代计算就可以得到方程组的解。
道理很简单：对 x^{(k+1)}=bx^{(k)}+f 两边取极限，显然如果收敛，则最终得到的解满足 \lim_{k\rightarrow\infty } x^{(k)}=x^*=Bx^*+f ，从而必然满足原方程 Ax^*=b 。
迭代方法的本质在于这一次的输出可以当作下一次的输入，从而能够实现循环往复的求解，方法收敛时，计算次数越多越接近真实值。
2.收敛条件充要条件：迭代格式 x=Bx+f 收敛的充要条件是 \rho (B)<1充分条件： \Vert B\Vert <1即 \Vert B\Vert <1 \Rightarrow \rho(B)<1\Leftrightarrow 迭代收敛一、Jacobi迭代法怎样改写Ax=b ，从而进行迭代求解呢？一种最简单的迭代方法就是把第i行的 x_i 分离出来(假定 a_{ii} \ne 0 )：\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j=b_i\Rightarrow x_i=\frac{b_i-\sum_{j=1,j\ne i}^{n}a_{ij}x_j}{a_{ii}}\quad \\这就是Jacobi(雅可比)迭代法。
迭代格式给定x^{(0)}=\left[x_1^{(0)},x_2^{(0)},\cdots,x_n^{(0)}\rig ht]^T ，则Jacobi法的迭代格式（也称分量形式）为x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\left ( {b_i-\sum_{j=1,j\ne i}^{n}a_{ij}x_j^{(k)}}\right),\quadi=1,2,\cdots,n\\矩阵形式设 A=D-L-U。
Jacobi法的矩阵形式（也称向量形式）为x^{(k+1)}=B_Jx^{(k)}+D^{-1}b\\其中迭代矩阵 B_J=D^{-1}(L+U)收敛条件\begin{eqnarray} \left. \begin{array}{lll} \VertB_J\Vert <1 \\ A 严格对角占优\\ A, 2D-A对称正定\end{array} \right \} \end{eqnarray} \Rightarrow \rho (B_J)<1\Leftrightarrow 迭代收敛特别地，若 A 对称正定且为三对角，则 \rho^2(B_J)=\rho (B_G)<1 。
数值分析--第三章--迭代法
数值分析--第三章--迭代法迭代⼀般⽅程：本⽂实例⽅程组：⼀.jacobi迭代法从第i个⽅程组解出xi。
线性⽅程组Ax=b，先给定⼀组x的初始值，如[0,0,0]，第⼀次迭代，⽤x2=0，x3=0带⼊第⼀个式⼦得到x1的第⼀次迭代结果，⽤x1=0,x3=0,带⼊第⼆个式⼦得到x2的第⼀次迭代结果，⽤x1=0,x2=0带⼊第三个式⼦得到x3的第⼀次迭代结果。
得到第⼀次的x后，重复第⼀次的运算。
转化成⼀般的形式：（其中L是A的下三⾓部分，D是A的对⾓元素部分，U 是上三⾓部分）得到迭代公式：其中的矩阵B和向量f如何求得呢？其实，矩阵B的计算也很简单，就是每⾏的元素/该⾏上的对⾓元素⼆.Gauss-Seidel迭代法【收敛速度更快】这个可以和jacobi法对⽐进⾏理解，我们以第⼆次迭代为例（这⾥的第⼀次迭代结果都⽤⼀样的，懒得去换）从上表对⽐结果可以看出，Jacobi⽅法的第⼆次迭代的时候，都是从第⼀次迭代结果中，获取输⼊值。
上⼀次迭代结果[2.5,3.0,3.0]，将这个结果带⼊上⾯式⼦1，得到x1=2.88，；将[2.5,3.0,3.0]替换成[2.88,3.0,3.0]带⼊第⼆个式⼦的运算，这⾥得到x2=1.95，所以把[2.88,3.0,3.0]替换成[2.88,1.95,3.0]输⼊第三个式⼦计算X3=1.0.这就完成了这⼀次的迭代，得到迭代结果[2.88,1.95,1.0],基于这个结果，开始下⼀次迭代。
特点：jacobi迭代法，需要存储，上⼀次的迭代结果，也要存储这⼀次的迭代结果，所以需要两组存储单元。
⽽Gauss-Seidel迭代法，每⼀次迭代得到的每⼀个式⼦得到的值，替换上⼀次迭代结果中的值即可。
所以只需要⼀组存储单元。
转化成⼀般式：注意：第⼆个式⼦中的是k+1次迭代的第⼀个式⼦的值，不是第k次迭代得值。
计算过程同jacobi迭代法的类似三.逐次超松弛法SOR法上⾯仅仅通过实例说明，Jacobi和Seidel迭代的运算过程。
解线性方程组的迭代法
|| x || 0 (非负性) ； （1）|| x || 0 ，当且仅当 x 0 时，
（2） || x ||| | || x || (齐次性)； （3） || x y |||| x || || y || (三角不等式). 则称 || x || 为向量 x 的范数 (或模).
4.1.2 向量范数和向量序列的极限
常用的向量范数：设 x R n （1）向量的 - 范数 (最大范数)： || x || max | xi |
1 i n
|| x ||1 （2）向量的 1 - 范数 (绝对值范数)：
（3）向量的 2 - 范数：|| x ||2 ( x , x ) (
|| A ||2 3+2 2 , || A ||F 6
4.1.3 矩阵范数和矩阵序列的极限
(k ) ) R nn ，如果存 定义5 (矩阵序列的极限) 设有矩阵序列 Ak (aij
在 A (aij ) R nn，使
k (k ) lim aij aij ,
i, j 1, 2,
（4） || AB |||| A || || B || ； 则称 || A || 为矩阵 A 的范数.
4.1.3 矩阵范数和矩阵序列的极限
相容性： 设有矩阵范数 || ||s 和向量范数 || ||t ，如果对任何向量 x R n 及矩阵 A R nn ，有/2 || A ||F ( aij ) i , j 1 n
它是与向量 2-范数相容的矩阵范数，但不是从属范数.
4.1.3 矩阵范数和矩阵序列的极限
解线性方程组的迭代法
0.9906
0.0355
5 1.01159 0.9953
1.01159 0.01159
6 1.000251 1.005795 1.000251 0.005795
7 0.9982364 1.0001255 0.9982364 0.0017636
可见,迭代序列逐次收敛于方程组的解, 而且迭代7次得到精确到小数点后两位的近似解.
a11x1 a12x2 a13x3 b1 a21x1 a22x2 a23x3 b2 a31x1 a32x2 a33x3 b3
从而得迭代公式
x1
a12 a11
x2
a13 a11
x3
b1 a11
x2
a21 a22
x1
a23 a22
x3
b2 a22
x3
a31 a33
M 00.8 00..75
但(M)=0.8<1,所以迭代法 x(k+1)=Mx(k)+g 是收敛的.
由(3.5)式可见,‖M‖越小收敛越快,且当‖x (k) -x(k-1) ‖很小时,‖x(k) –x*‖就很小,实际中用‖x (k) x(k-1) ‖<作为
迭代终止的条件。 例如，对例1中的Jacobi迭代计算结果
+‖x(k+1) –x*‖‖M‖‖x(k) –x(k-1)‖+‖M‖‖x(k) –x*‖ 从而得‖x(k) –x*‖‖M‖‖x (k) -x(k-1) ‖/（1- ‖M‖）
(3.5) (3.6)
估计式(3.5)得证。利用(3.5)式和
‖x(k+1) 得到
-x(k)
‖‖M‖‖x
(k)
-x(k-1)
‖
解线性方程组 的迭代法
线性方程组迭代法
线性方程组迭代法
线性方程组迭代法，又称坐标下降法，是一种用于解线性方程组的迭代求解方法，常用于线性规划以及单纯形法等技术。
早在上世纪50年代，此方法就在解决
线性规划问题中得到了广泛应用，到目前为止，这种技术仍然广泛使用。
线性方程组迭代法是一种基于不断迭代调整变量，使目标函数达到最优结果的
迭代求解法。
其基本步骤是：
(1) 初始化目标函数变量：首先，初始化线性方程组的目标函数的变量；
(2) 评估梯度：选择合适的算法计算目标函数的梯度；
(3) 根据该梯度更新变量：更新目标函数变量的值，使得在此次更新之后的值
更加有利于满足线性方程组的要求；
(4) 重复上述步骤，直到目标函数足够接近最优值为止；
线性方程组迭代法能够快速地求解出线性规划问题的最优解，因此，它在计算
机上经常被用来优化问题，进而提高系统运行效率。
随着网络技术的发展，线性方程组迭代法在互联网领域得到了广泛应用，这在大大缩短了计算机程序的运行时间，提高了互联网的效率。
同时，线性方程组迭代法也有助于提高系统的性能，改善用户的体验，提升企业的品牌形象。
线性代数方程组迭代法PPT课件
超松弛法
收敛速度快
总结词
总结词
计算量较大
ABCD
详细描述
超松弛法具有较快的收敛速度，尤其对于大型线 性方程组，能够显著减少迭代次数。
详细描述
由于超松弛法的计算量较大，因此在实际应用中 可能需要考虑计算效率的问题。
CHAPTER 04
迭代法的实现步骤
初始化
设置初值
为方程组的解向量设定一个初始值。
迭代法的应用场景
当方程组的系数矩阵难以直接求解时 ，迭代法可以作为一种有效的替代方 案。
在科学计算、工程技术和经济领域中 ，许多问题可以转化为线性代数方程 组求解，而迭代法在这些领域有广泛 的应用。
迭代法的优缺点
优点
迭代法通常比直接法更加灵活和通用，对于大规模和高维度的线性代数方程组， 迭代法更加高效。
缺点
迭代法需要选择合适的迭代公式和参数，并且需要满足收敛条件，否则可能无 法得到正确的解。此外，迭代法的计算过程比较复杂，需要较高的计算成本。
CHAPTER 02
迭代法的基本原理
迭代法的数学模型
迭代法是一种求解线性代数方程组的数值方法，通过不断迭代逼近方程的 解。
迭代法的数学模型通常表示为：$x_{n+1} = T(x_n)$，其中$x_n$表示第 $n$次迭代时的近似解，$T(x)$表示迭代函数。
03
非线性方程组的迭代法在求解优化问题、控制问题 等领域有广泛应用。
在优化问题中的应用
01
迭代法在优化问题中也有广泛应用，如求解无约束优化问题、 约束优化问题和多目标优化问题等。
02
常见的优化问题迭代法包括梯度下降法、牛顿法和共轭梯度法
等。
这些方法通过不断迭代来逼近最优解，广泛应用于机器学习、
解线性方程组的迭代法实际应用
解线性方程组的迭代法实际应用
现今，互联网行业的发展速度越来越快，数据和信息的传播变得越来越重要，因此，熟练掌握并利用数据和信息变得越来越必要。
迭代法是解决线性方程组最重要的算法之一，在互联网行业中也有广泛的应用。
迭代法能够有效的求出不同的近似解，而且计算速度较快，能够满足互联网行业的快速发展。
比如运行在分布式环境中的搜索引擎，其中有大量的系统参数，如摆放有系统服务器到网络以及运行配置等，这些参数有很多线性方程组，这些线性方程组很难使用传统的数学方法来求解，而使用迭代法可以快速得到这些方程组的答案，为搜索引擎提供良好的运行环境。
另外，现代的宽带技术和视频技术极大的提高了节目的传输效率。
它们的实现依赖于复杂的线性方程，迭代法可以有效的帮助实现技术的快速发展。
此外，依靠迭代法的快速求解，将抗性算法转换为原始算法，也可以有效改进网络的性能，比如入侵检测算法中，使用迭代引入抗性算法来更新原始算法，结合专业技术确定加密规则，从而更有效的防止非法攻击。
总之，迭代法在互联网行业中发挥着重要作用，在搜索引擎、宽带技术和入侵检测算法等方面，迭代法及其所需技术都可以极大地提升网络系统的效率，确保互联网系统的可靠性和安全性，完善互联网的运作环境。
线性方程组求解的迭代算法
线性方程组求解的迭代算法线性方程组是数学中常见的问题之一，求解线性方程组是很多科学和工程领域中必需的基本任务。
而迭代算法是一种常见的求解线性方程组的方法之一，通过不断逼近线性方程组的解来达到求解的目的。
本文将介绍一些常见的线性方程组迭代算法及其原理。
一、雅可比迭代法雅可比迭代法是最早被提出的线性方程组迭代算法之一。
其思想是通过不断迭代，在每一步都利用先前求得的近似解来逼近方程组的解。
具体算法如下：假设给定的线性方程组为Ax=b，其中A为系数矩阵，b为常数向量，x为未知向量。
1. 首先，将方程组转化为x=D^-1(b-Rx)，其中D为一个对角矩阵，R为矩阵A的剩余部分。
2. 设定一个初始解向量x0。
3. 迭代计算：重复执行以下步骤，直到满足终止条件。
a. 计算下一次迭代的解向量：x_k+1 = D^-1(b-Rx_k)，其中k为当前迭代的次数。
b. 检查终止条件是否被满足，如果是，则停止迭代；否则，返回步骤a。
雅可比迭代法的收敛性与系数矩阵A的特征值有关。
当A是严格对角占优矩阵时，迭代法收敛。
二、高斯-赛德尔迭代法高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的一种改进方法。
在每一次迭代中，新的解向量x_k+1的计算会利用到之前已经计算得到的近似解向量的信息，从而加快迭代的速度。
具体算法如下：1. 设定一个初始解向量x0。
2. 迭代计算：重复执行以下步骤，直到满足终止条件。
a. 对于每个方程i，计算下一次迭代的解向量的每个分量：x_k+1[i] = (1/A[i][i]) * (b[i]-Σ(A[i][j]*x_k[j]，其中j为1到i-1之间的所有整数。
b. 检查终止条件是否被满足，如果是，则停止迭代；否则，返回步骤a。
高斯-赛德尔迭代法相比于雅可比迭代法，在每一次迭代中都会利用到之前计算得到的近似解向量的信息，因此收敛速度更快。
三、超松弛迭代法超松弛迭代法是对雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法的进一步改进。
通过引入松弛因子ω，可以加速迭代的收敛速度。
第四章 解线性方程组的迭代法
第四章解线性方程组的迭代法4.1 迭代法及其收敛性4.1.1 向量序列及矩阵序列的极限定义1.1设中的向量序列，如果存在，使则称向量序列收敛于x,记作同样，矩阵序列，，若有，i,j=1,2,…，n,则称矩阵序列收敛于，记作.概据定义，显然有定理1.1的充分必要条件是(4.1.1)其中两个极限的右端分别指零矩阵与零向量.证明对任一种矩阵从属范数有由,故式(4.1.1)对成立.反之，若取x为第j个坐标向量，则表示第j列元素极限均为零；当j=1,2,…,n时则证明了.证毕.定理1.2的充分必要条件是，其中为谱半径.证明由于，而，当，故有，即，故.反之，当时，由上章定理4.6可知，对任给ε＞0，存在，使，于是从而.证毕.定理1.3设为任一种范数，则(4.1.2) 讲解：及矩阵序列的极限是通过向量分量与矩阵元素极限定义的。
共收敛充要条件是迭代法收敛性要使用的。
为加深理解请看下例：例设，证明，但则不收敛。
解根据定理1.2要证明只要证明，先求的特征值，由，可知，故，故对有得，故，由定理1.2知不收敛。
4.1.2 迭代法的构造设非奇异，用迭代法解方程组(4.1.3)首先要构造迭代序列，通常可将方程改写为(4.1.4)并由此构造迭代法(4.1.5)其中称为迭代矩阵.对任意给定的初始向量，由(4.1.5)可求得向量序列.若，则就是方程(4.1.4)(或(4.1.3))的解.定义1.2若迭代法(4.1.5)生成的序列满足则称迭代法(4.1.5)是收敛的.构造的迭代法(4.1.5)是否收敛，取决于迭代矩阵的性质，先看例题.例4.1给定方程组它的精确解,可构造如下迭代法(4.1.6)若写成式(4.1.5)的形式，则迭代矩阵B及f可表示为：若取,按式(4.1.6)迭代10次可得，误差.它表明迭代序列(4.1.6)收敛.对于方程组(4.1.3)，构造迭代法的一般原则是将A分解为A=M-N (4.1.7) 其中M非奇异且容易求,则由(4.1.3)可得(4.1.8)其中(4.1.9)这样就得到与(4.1.3)等价的(4.1.8)，从而可构造(4.1.5)的迭代法，将A按不同方式分解为(4.1.7)，就可得到不同的迭代矩阵B，从而得到不同的迭代法.通常为使容易计算，可取M为对角矩阵，三角矩阵或三对角矩阵等.在例4.1中，,.式(4.1.6)就是下节将要讨论的Jacobi迭代法.4.1.3迭代法的收敛性与收敛速度下面讨论迭代法(4.1.5)的收敛性.若则即,故即为方程(4.1.3)的解.令,由(4.1.5)减去等式,则得由此递推得(4.1.10) 其中与k无关，所以等价于即.由定理1.2可知，于是有如下定理.定理1.4迭代法(4.1.5)对收敛的充分必要条件是(4.1.11)其中为矩阵B的谱半径.例4.2考察例4.1中迭代法(4.1.6)的收敛性.解由可得.用方程求根方法可解得，故迭代法(4.1.6)收敛.由于计算较困难，通常可利用判断迭代法的收敛性.在本例中由于，故迭代法(4.1.6)收敛.于是，迭代法(4.1.5)收敛的充分条件如下.定理1.5对迭代法(4.1.5)，如果迭代矩阵B的某种范数，则对及，迭代序列均收敛于，且有误差估计(4.1.12)证明由于，故由定理1.4得收敛于.又由(4.1.5)知于是即为(4.1.12)，证毕.注意，定理只给出迭代序列(4.1.5)收敛的充分条件，即使条件‖B‖＜1对任何范数都不成立，迭代序列仍可能收敛.例4.3 设，其中，讨论迭代序列的收敛性.解显然表明B的范数均大于1，但由于，故由定理1.4知此迭代序列是收敛的.下面考察迭代法(4.1.5)的收敛速度.由(4.1.10)得于是(4.1.13)根据算子范数定义可知所以是迭代k次后误差向量的范数与初始误差向量的范数之比的最大值.若要求迭代k次后这里是一个小数，通常ε<< 1，所以，由，两边取对数可得(4.1.14)它表明迭代步数k与成反比，即(4.1.15)愈大，迭代次数k愈少.于是可定义(4.1.15)式中的量为迭代法的平均收敛速度.它依赖于所取的范数，若利用定理1.3的(4.1.2)式则有定义1.3 称为迭代法(4.1.5)的渐近收敛速度.显然，它与B取何种范数无关.由于迭代法(4.1.5)收敛，故，越小，越大，迭代法收敛越快，且当迭代次数k满足时，有.例4.4 对例4.1中的迭代序列(4.1.6)要使相对误差，至少要迭代几次?解因(4.1.6)中迭代矩阵B的谱半径，因此取k=12,即为所求.，，讲解：求解可改为，从而有，为迭代收敛得充分必要条件。
数值计算方法第三章 线性方程组迭代法
0,1,2,
取x1(0) 0, x2(0) 0,计算结果如下：
k0
x (k) 1
0
x (k) 2
0
1
2
3
4
0.66667 0.50000 0.61111 0.58333
0.50000 0.16667 0.25000 0.19445
5
6
7
8
9
0.60185 0.59722 0.60031 0.59954 0.6005
从而得迭代式 x(k1) (D L)1Ux (k) (D L)1 b, (k 0,1,2, )
上式中矩阵 M (D L)1U 为Gauss-Seidel迭代矩阵。
输入：A,b, n,
置初值： k 0; xi 0(i 1,L , n)
k k 1;e 0
3xx1 12xx22
2 1
精确到3位有效数字。
解 Gauss Siedel迭代格式为
x (k 1) 1
x (k 1) 2
(2 x2(k) ) / 3 (1 x1(k1) ) / 2
,
k
0,1,
2,L
取x1(0)
0,
x (0) 2
0, 计算结果如下：
0
101
0
1
10
2
1 0 0 101 1 1 5
0 0.1 0.2 0.1 0 0.2
0.2 0.2 0
取初值x (0) (0,0,0)T 代入迭代式
x(1) Bx (0) g (7.2,8.3,8.4)T x(2) Bx(1) g (9.17,10.70,11.50)T ，如此下去， x(9) Bx (1) g (10.9994 ,11.9994 ,12.9992 )T
数值分析第三章线性方程组的迭代法课件
§ 3.3.2 Gauss—Seidel 迭代法的矩阵表示
将A分裂成A =D+L+U，则Ax b 等价于
(D+L+U )x = b
于是,则高斯—塞德尔迭代过程
Dx(k1) Lx(k1) Ux(k) b
因为 D 0 ,所以 D L D 0
故
(D L)x(k1) Ux(k) b
x(k1) (D L)1Ux(k) (D L)1b
e(k) x(k) x* Gx(k1) d (Gx* d) G(x(k1) x* ) Ge(k1)
于是 e(k) Ge(k1) G 2e(k2) Gk e(0)
由于 e (0)可以是任意向量,故 e(k) 收敛于0当且仅
故 (D L)x(k1) (1)D U x(k) b
显然对任何一个ω值,(D+ωL)非奇异, (因为假设 aii 0,i 1,2,, n )于是超松弛迭代公式为
x(k1) (D L)1 (1)D U x(k) (D L)1b
令 L (D L)1 (1)D U
f (D L)1b
则超松弛迭代 公式可写成
称为雅可比迭代公式, B称为雅可比迭代矩阵
雅可比迭代矩阵表示法，主要是用来讨论其收敛 性，实际计算中，要用雅可比迭代法公式的分量 形式。即
x1(k 1)
1 a11
(a12 x2(k )
a13 x3(k )
a1n xn(k )
b1 )
x2(k 1)
1 a 22
(a21 x1(k )
a23 x3(k )
§ 3.4.2超松弛迭代法的矩阵表示 设线性方程组 Ax=b 的系数矩阵A非奇异,且主对角
元素 aii 0(i 1,2,, n) , 则将A分裂成
数值计算_第4章 解线性方程组的迭代法
如果用高斯-赛德尔迭代法 迭代72次得：
用SOR迭代法 ，只须迭代25次即得：
逐次超松弛迭代算法
下列算法假定迭代矩阵收敛，否则要在WHILE循环中增加判断条件。
1．定义和输入系数矩阵 与常数项向量 的元素，输入松弛因子 的值。
2．FOR i:=1,2,…,n
//假定 ，形成常数项向量
FOR
当方程组的系数矩阵 具有某些性质时，可直接判定由它生成的雅可比迭代矩阵是收敛的。
定理4.3若方程组 的系数矩阵 ，满足下列条件之一，则其雅可比迭代法是收敛的。
（1） 为行对角占优阵，即
（2） 为列对角占优阵，即
证明：（1）雅可比迭代矩阵 其中
（2） 为列对角优阵，故 为行对角占优阵，由系数矩阵 构造的迭代矩阵 为行对角占优阵，则有
通常，把 的迭代称为亚松弛迭代，把 的迭代称为高斯-塞德尔迭代，而把 的迭代称为松弛迭代。
4.4
在线性代数中逆矩阵是按其伴随矩阵定义的，若 则方阵 可逆，且 ，其中 为 的伴随矩阵。要计算 个 阶的列式才能得到一个伴随矩阵，在数值计算中因其计算工作量大而不被采用。通常对 做行的初等的效换，在将 化成 的过程中得到 。在数值计算中，这仍然是一种行之有效的方法。
事实上，在计算 前，已经得到 的值，不妨将已算出的分量直接代入迭代式中，及时使用最新计算出的分量值。因此 的计算公式可改为：
即用向量 计算出 的值，用向量 计算出 的值 ，用向量 计算出 的值，这种迭代格式称为高斯—塞德尔迭代。
对于方程组AX=y，如果由它构造高斯-塞德尔迭代和雅可比迭代都收敛，那么，多数情况下高斯—塞德尔迭代比雅可比迭代的收敛效果要好，但是情况并非总是如此。
又
得到
而 ，
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x ( k 1) D L
1
(1 ) D U x ( k ) D L b
1
D L, N
1
D U
解：Jacobi 迭代格式
令 x ( x1, x2 , x3 ) 则迭代得：
T
x(1) = ( 0.5000, 2.6667, -2.5000 )T
x(21) = ( 2.0000, 3.0000, -1.0000 )T
举例（续）
GS 迭代格式
( x1( k 1) 1 x2k ) 2 ( k 1) ( k 1) (k) x2 8 x1 x3 3 ( k 1) ( x3 5 x2k 1) 2
充要条件, 最宽
例3.8 判断Gauss-Seidel迭代求解 Ai x=b 的收敛性。
3 1 1 1 3 5 6 3 2 (1) A1 1 4 2 ,(2) A2 1 4 2 ,( 3) A3 3 2 1 1 3 5 3 1 1 2 1 3
( ( bn an1 x1( k 1) an2 x2k 1) an,n1 xnk 11) ann
Gauss-Seidel 迭代
写成矩阵形式: 解得
x ( k 1) D 1 b Lx ( k 1) Ux ( k )
( k 1)
aii
n
aij
证明思想：用定理3.4. A严格对角占优， 则无穷大 范数 ||G||1<1 Jacobi迭代(直接证||G||1<1) -1 Gauss-Seidel迭代, 令y=Gx，则y= -D (Ly+Ux) 先证对任意||x||1 =1, ||y||1 <1 再证存在某||x||1 =1, 使||G||1 =||y||1
迭代解法是目前求解大规模线性方程组的主要方法。
研究 内容： (1) 迭代格式的建立; (2) 收敛性判断; (3) 误差估计和收敛速度.
解线性方程组迭代法的基本思想
迭代格式的建立
Ax = b
A= M - N
Mx = Nx + b
x M 1Nx M 1b
给定一个初始向量 x(0)，可得迭代格式：
k = 0, 1, 2, …
G D1 ( L U ) I D1 A 称为雅可比 (Jacobi) 迭代矩阵
Jacobi 迭代的分量形式： Jacobi迭代 x ( k ) a x ( k ) a x ( k ) a x1( k 1) b1 a12 2 13 3 1n n 11 ( ( ( x2k 1) b2 a21 x1( k ) a23 x3k ) a2 n xnk ) a22 ( k 1) ( ( ) xn bn an1 x1( k ) an2 x2k ) an,n1 xnk1 ann
( k ( k 在计算 xi( k 1) 时，如果用 x1 k1) ,, xi(11) 代替 x1 k ) ,, xi(1) ，则 可能会得到更好的收敛效果。此时的迭代公式为
x1( k 1) ( x2k 1) ( k 1) xn
( ( ( b1 a12 x2k ) a13 x3k ) a1n xnk ) a11 ( ( b2 a21 x1( k 1) a23 x3k ) a2 n xnk ) a22
充分必要条件
谱半径(G)：G的特征值的模的最大值 引理３.２设Ｇ是方阵，则Gk → O (G)<1.
定理3. 5 迭代x(k)= Gx(k-1) + f 对任意初值收敛 (G)<1.
三种方法比较
方法一(推论): 从系数矩阵A判断, A严格对角占优，则 Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代收敛, 充分条件, 最方便 方法二(定理3.4): 从迭代矩阵G判断, 有一种范数 ||G||<1, 充分条件 方法三(定理3.5): 从迭代矩阵G判断,谱半径(G) <1,
得 x(1) = ( 0.5000, 2.8333, -1.0833 )T
x(9) = ( 2.0000, 3.0000, -1.0000 )T
举例（续）
SOR 迭代格式
( x1( k 1) (1 ) x1( k ) 1 x2k ) 2 ( k 1) (k ) ( k 1) (k ) x2 (1 ) x2 8 x1 x3 3 ( k 1) ( ( x3 (1 ) x3k ) 5 x2k 1) 2
取 = 1.1，得
x(1) = ( 0.5500, 3.1350, -1.0257 )T
x(7) = ( 2.0000, 3.0000, -1.0000 )T 如何确定SOR迭代中的最优松弛因子是一件很困难的事。
矩阵分裂法
A= M - N
x ( k 1) M 1Nx ( k ) M 1b
解得
x
x ( k 1) (1 ) x ( k ) D 1 b Lx ( k 1) Ux ( k )
( k 1)
D L
1
1
(1 ) D U x
(k )
D L b
1
GS D L
第三章 迭 代 法
第四节 解线性方程组的迭代法
求解线性方程组的迭代法
直接法的缺点：无法保持系数矩阵的稀疏性. 迭代法：从一个初始向量出发，按照一定的迭代格式，
构造出一个趋向于真解的无穷序列。 只需存储系数矩阵中的非零元素; 运算量不超过 O(kn2)，其中 k 为迭代步数.
x ( k 1) Gx ( k ) f
其中 G 称为迭代矩阵。
k = 0, 1, 2, …
若产生的迭代序列 {x(k)} 收敛到一个确定的向量 x*，则
x* 就是原方程组的解。
Jacobi 迭代
令 A = D + L+ U， 其中 D diag(a11, a22 ,, ann ),
SOR 迭代
在 GS 迭代中 k k ( xi( k 1) bi ai1 x1( k 1) ai ,i 1 xi(11) ai ,i 1 xi(1) ai ,n xnk ) aii
i 1 n ( k 1) (k ) bi aij x j aij x j aii j 1 j i +1 为了得到更好的收敛效果，可选参数作右边与xi(k)的加权平均， 于是就得到逐次超松弛迭代法，简称 SOR迭代，其中 称为松弛因子。收敛的必要条件0<<2。 此时
Jacobi 迭代 x( k 1) D1 ( L U ) x( k ) D1b
M = D, N = M – A = -(L + U)
GS 迭代
x
( k 1)
L D Ux
1
(k )
L D b
1
M = L+D, N =- U
SOR 迭代
x
L D Ux
1
(k )
L D b k = 0, 1, 2, …
1
此迭代格式称为高斯-塞德尔 (Gauss-Seidel) 迭代
G L D U 称为 G-S 迭代矩阵
1
迭代的收敛性
定理3.4 设G的某种范数||G||<1，则x=Gx+f 存 在唯一解，且对任意初值，迭代序列 x(k)= Gx(k-1) + f 收敛于x*，进一步有误差估计式
G G (k ) ( k 1) x x x x x (1) x (0) 1 G 1 G
(k )
k
后验估计
先验估计
证明思路：(1)解的存在唯一性; (2)解的收敛性; (3)误差估 计式。
直接从Ax=b判断
推论3.1 若A按行严格对角占优( ), 则 j 1, j i 解Ax=b的Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代均收敛。
(1 ) D U 称为 SOR 迭代矩阵
低松弛法 0<<1 ； =1 Gauss-Seidel迭代；超松弛法 1<<2
举例
例：解线性方程组 2
1 0 x1 1 1 3 1 x2 8 0 1 2 x 5 3
( x1( k 1) 1 x2k ) 2 ( k 1) ( x2 8 x1( k ) x3k ) 3 ( k 1) (k) x3 5 x2 2
2 x* 3 1
取初始向量 x(0) = ( 0, 0, 0 )，迭代过程中小数点后保留4位。
0 a 21 L an1 0 an,n1 , 0
0 a12 a1n 0 U an1,n 0
则可得雅可比 (Jacobi) 迭代格式:
x( k 1) D1 ( L U ) x( k ) D1b