人教A版数学必修二教案：§4.2.1直线与圆的位置关系(2)

（三）应用示例 思路 1
例 1 过点 P(-2,0)向圆 x2+y2=1 引切线,求切线的方程.
图3 解:如图 3,方法一:设所求切线的斜率为 k,则切线方程为 y=k(x+2),因此由方程组
y x
k( 2y
x
2
2), 1,
得
x2+k2(x+2)2=1.
上述一元二次方程有一个实根,
3
Δ=16k4-4(k2+1)(4k2-1)=12k2-4=0,k=± ,
= 5 ,两边平
k2 1
1
方整理得 2k2-3k-2=0,解得 k= ,k=2.
2 1
所以所求的直线 l 的方程为 y+3= (x+3)或 y+3=2(x+3),即 x+2y+9=0 或 2x-y+3=0.
2
解法二：设直线 l 和已知圆 x2+y2+4y-21=0 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 l 的斜率为 k, 由于直线过点 M(-3,-3),所以可设直线 l 的方程为 y+3=k(x+3),即 y=kx+3k-3.代入圆的方程 x2+y2+4y-21=0,并整理得(1+k2)x2+2k(3k-1)x+(3k-1)2-25=0.结合一元二次方程根与系数的关系
|5b|
所以
≤
5 .所以 0≤b≤10,即 b 的最大值是 10.
5
解法二:(代数解法)：设 x-2y=b,代入方程 x2+y2-2x+4y=0,得(2y+b)2+y2-2(2y+b)+4y=0,即 5y2+4by+b2-2b=0.由于这个一元二次方程有解,所以其判别式 Δ=16b2-20(b2-2b)=40b-4b2≥0,即 b2-10b≤0,0≤b≤10.所以求出 b 的最大值是 10.
有
x1+x2=
2k(3k 1) 1 k2
,x1·x2=
(3k
1)2 1 k
2
25
.
①
|AB|=
(x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (x1 x2 )2 k 2 (x1 x2 )2 (1 k 2 )(x1 x2 )2
(1 k 2 )[(x1 x2 )2 4x1 x2 ]
第 2 课时
（一）导入新课 思路 1.一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船
正西 70 km 处,受影响的范围是半径长为 30 km 的圆形区域.已知港口位于台风中心正北 40 km 处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响？
图2 分析：如图 2,以台风中心为原点 O,以东西方向为 x 轴,建立直角坐标系,其中,取 10 km 为单位长度. 则台风影响的圆形区域所对应的圆心为 O 的圆的方程为 x2+y2=9； 轮船航线所在的直线 l 的方程为 4x+7y-28=0. 问题归结为圆心为 O 的圆与直线 l 有无公共点.因此我们继续研究直线与圆的位置关系.
1
然后利用点(-2,0)在切线上得到-2x0=1,从中解得 x0=- .
2
1
3
再由点(x0,y0)在圆上,所以满足 x02+y02=1,既 4 +y02=1,解出 y0=± 2 .
这样就可求得切线的方程为 y 0
3 0 2,
x2 12
2
3
整理得 y=± (x+2).
3
点评:过圆外一点向圆可作两条切线；可用三种方法求出切线方程,其中以几何法“d=r” 比较好(简便).
变式训练 已知直线 l 的斜率为 k,且与圆 x2+y2=r2 只有一个公共点,求直线 l 的方程. 活动：学生思考,观察题目的特点,见题想法,教师引导学生考虑问题的思路,必要时给予
提示,直线与圆只有一个公共点,说明直线与圆相切.可利用圆的几何性质求解.
图4 解:如图 4,方法一:设所求的直线方程为 y=kx+b,由圆心到直线的距离等于圆的半径,得
活动：学生审题,再思考讨论,教师提示学生欲求△ABO 的面积,应先求出直线被圆截得 的弦长|AB|,将|AB|表示成 k 的函数.
图5
解:①如图 5 所示,直线的方程为 kx-y+2 2 k=0(k≠0),
2 2|k|
点 O 到 l 之间的距离为|OC|=
,
k2 1
弦长|AB|=2 | OA |2 | OC |2 2 4 8k 2
(4)设
A(x1,y1),B(x2,y2),由
AP PB
=
1 2
,得
x2 2x1 1 2
=1.
① 又由直线方程和圆的方程联立消去 y,得(1+m2)x2-2m2x+m2-5=0,
(*)
2m 2 故 x1+x2= 1 m2 ,
②
3 m2 由①②,得 x1= 1 m2 ,代入(*),解得 m=±1.
内.
2 (2)利用弦心距、半径、弦构成的直角三角形求弦长,得 m=± 3 ,所以 α= 或 .
33
(3)设 M 的坐标为(x,y),连结 CM、CP,因为 C(0,1),P(1,1),|CM|2+|PM|2=|CP|2, 所以 x2+(y-1)2+(x-1)2+(y-1)2=1,整理得轨迹方程为 x2+y2-x-2y+1=0(x≠1).
2
∴当∠AOB=90°时,Smax=2,
此时|OC|=
2 ,|OA|=2,即 2
2|k|
=
2,
k2 1
3
∴k=± .
3
点评：在涉及到直线被圆截得的弦长时,要巧妙利用圆的有关几何性质,如本题中的 Rt△ BOC,其中|OB|为圆半径,|BC|为弦长的一半.
变式训练 已知 x,y 满足 x2+y2-2x+4y=0,求 x-2y 的最大值. 活动:学生审题,再思考讨论,从表面上看,此问题是一个代数,可用代数方法来解决.但细 想后会发现比较复杂,它需把二次降为一次.教师提示学生利用数形结合或判别式法. 解法一:(几何解法)：设 x-2y=b,则点(x,y)既在直线 x-2y=b 上,又在圆 x2+y2-2x+4y=0 上, 即直线 x-2y=b 和圆 x2+y2-2x+4y=0 有交点,故圆心(1,-2)到直线的距离小于或等于半径,
③过圆内一点不能作圆的切线. ④求圆切线方程,一般有三种方法,一是设切点,利用①②中的切线公式法;二是设切线 的斜率,用判别式法;三是设切线的斜率,用图形的几何性质来解,即圆心到切线的距离等于圆 的半径(d=r),求出 k 的值. ⑤把直线与圆的方程联立得方程组,方程组的解即是交点的坐标. ⑥把直线与圆的方程联立得交点的坐标,结合两点的距离公式来求;再就是利用弦心距、 弦长、半径之间的关系来求.
l 被圆 x2+y2+4y-21=0 所截得的弦长为 4 5 ,所以弦心距为 52 (2 5)2 = 5 ,圆心到直线
的距离为 5 ,由于直线过点 M(-3,-3),所以可设直线 l 的方程为 y+3=k(x+3),即 kx-y+3k-3=0.
| 2 3k 3 |
根据点到直线的距离公式,圆心到直线的距离为 5 ,因此 d=
x0x+y0y=r2； 过圆(x-a)2+(y-b)2=r2 上一点(x0,y0)的切线方程是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. ②过圆外一点可作两条切线,求出切线方程有代数法和几何法.代数法的关键是把直线
与圆相切这个几何问题转化为联立它们的方程组只有一个解的代数问题.可通过一元二次方 程有一个实根的充要条件——Δ=0 去求出 k 的值,从而求出切线的方程.用几何方法去求解, 要充分利用直线与圆相切的几何性质,圆心到切线的距离等于圆的半径(d=r),求出 k 的值.
23
23
解得－ ＜a＜ ,a∈R.
3
3
23
23
所以－ ＜a＜ .
3
3
2323
故 a 的取值范围是(－ , ).
33
点评:过圆外一点可作圆的两条切线,反之经过一点可作圆的两条切线,则该点在圆外.同 时注意圆的一般方程的条件.
思路 2 例 1 已知过点 M(-3,-3)的直线 l 被圆 x2+y2+4y-21=0 所截得的弦长为 45,求直线 l 的方程.
d= | b | =r,∴b=±r 1 k 2 ,求得切线方程是 y=kx±r 1 k 2 . 1 k2
方法二:设所求的直线方程为 y=kx+b,直线 l 与圆 x2+y2=r2 只有一个公共点,所以它们组
y kx b, 成的方程组只有一组实数解,由 x 2 y 2 r 2 ,得 x2+k2(x+b)2=1,即 x2(k2+1)
因为|AB|=45,所以有(1+k2)［(x1+x2)2-4x1·x2］=80. ②
把①式代入②式,得(1+k2){［
2k(3k 1) 1 k2
］2-4
(3k
1)2 1 k2
25
}=80.经过整理,得
2k2-
1
1
3k-2=0,解得 k= ,k=2.所以所求的直线 l 的方程为 y+3= (x+3)或 y+3=2(x+3),即 x+2y+9=0
所以直线 l 的方程为 x-y=0 或 x+y-2=0.
例 2 已知直线 l:y=k(x+2 2 )与圆 O:x2+y2=4 相交于 A、B 两点,O 为坐标原点,△ABO 的面