工程力学：弯曲内力
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工程力学 第8章弯曲内力
A
q
Me
B
纵
向
对称面
x
FAy
y
FBy
平面弯曲—荷载与反力均作用在梁 的纵向对称平面内，梁轴线也在该 平面内弯成一条曲线。
第一节
F
弯曲内力的概念
Me
B
纵 向 对称面
q
A
x
FAy FBy
y
二、单跨静定梁的基本形式：
第二节
剪力图与弯矩图
一、梁的内力——剪力和弯矩
图示简支梁在荷载及支座反力共同作用下处于平 衡状态。 求距离支座A为x的横截面m-m上的内力。
x 0, M 0
x l, M 0
1 1 x l , M ql 2 2 8
Qmax
ql 2
M max pl
四.内力图的一般规律
1. M、Q图规律：
外力情况 剪力图 上的特征 有荷载段 q<0 (向下) ↘(向下斜直线) 无荷载段 水平线 集中力F 作用处 有突变， 突变值为F 集中力偶M 作用处 不变
二．用方程法绘制梁的内力图 第二节 剪力图和弯矩图
例题2. 简支梁受集 中力作用如图 所示，求梁的 剪力方程和弯 矩方程，画出 Q、M图并确定 最大剪力和最 大弯矩。
例题分析2.简支梁受均布荷载作用如图所示，求梁的剪力方程和弯矩方程， 画Q、M图，确定最大剪力和最大弯矩。
解：（1）计算支座反力
R A RB 1 ql 2
剪力图和弯矩图
二.剪力图和弯矩图的作法： 取平行于梁轴的轴线表示截面位置 规定：正值的剪力画轴上侧， 正值的弯矩画轴下侧； 可先列内力方程再作其函数曲线图。 如悬臂梁： 当x=o, Q(x)=-P, x=l, Q(x)=-P-ql, M(x)=0 M(x)=-Pl-ql2/2
q
Me
B
纵
向
对称面
x
FAy
y
FBy
平面弯曲—荷载与反力均作用在梁 的纵向对称平面内，梁轴线也在该 平面内弯成一条曲线。
第一节
F
弯曲内力的概念
Me
B
纵 向 对称面
q
A
x
FAy FBy
y
二、单跨静定梁的基本形式：
第二节
剪力图与弯矩图
一、梁的内力——剪力和弯矩
图示简支梁在荷载及支座反力共同作用下处于平 衡状态。 求距离支座A为x的横截面m-m上的内力。
x 0, M 0
x l, M 0
1 1 x l , M ql 2 2 8
Qmax
ql 2
M max pl
四.内力图的一般规律
1. M、Q图规律：
外力情况 剪力图 上的特征 有荷载段 q<0 (向下) ↘(向下斜直线) 无荷载段 水平线 集中力F 作用处 有突变， 突变值为F 集中力偶M 作用处 不变
二．用方程法绘制梁的内力图 第二节 剪力图和弯矩图
例题2. 简支梁受集 中力作用如图 所示，求梁的 剪力方程和弯 矩方程，画出 Q、M图并确定 最大剪力和最 大弯矩。
例题分析2.简支梁受均布荷载作用如图所示，求梁的剪力方程和弯矩方程， 画Q、M图，确定最大剪力和最大弯矩。
解：（1）计算支座反力
R A RB 1 ql 2
剪力图和弯矩图
二.剪力图和弯矩图的作法： 取平行于梁轴的轴线表示截面位置 规定：正值的剪力画轴上侧， 正值的弯矩画轴下侧； 可先列内力方程再作其函数曲线图。 如悬臂梁： 当x=o, Q(x)=-P, x=l, Q(x)=-P-ql, M(x)=0 M(x)=-Pl-ql2/2
材料力学第四章 弯曲内力
§4-4 剪力、弯矩和荷载集度之间的关系 二、内力图特征
外力 情况
FQ
q(x)=0
q(x)=C＜0 C
FQ FQ
②
F
m C
FQ图
特征
① ②
x
①
③
x
F
③
⑤ ④ ① ② ③
FQ
x x x x x
C ①
③
②
x
水平直线
③1 ③3 ③2
向下斜直线
C 处有突变 与F 方向一致
①
C 处无变化
② ③ ①
M图
特征
M
x
x2
x 72 8 x 88
x 3.6m
x1
dM ( x) FQ ( x)dx
x1
M 2 M1 FQ ( x)dx
x1
M1 0 M 2 72 2 144kN m CB段 F 72kN Q3 FQ4 72 20 8 88kN M3 72 2 160 16kN m M 4 20 2 20 2 1 80kN m
第4章 弯曲内力
例题5
q0 A
1 2 q0l
试作图示悬臂梁的剪力图和弯矩图
q (x) 一次直线
x
解： 1、求x截面荷载集度
B
l
q0 q ( x ) (l x ) l
2、列内力方程
二次曲线
FQ
1 2 6 q0l
三次曲线
M
1 1 q0 FQ ( x) q ( x)(l x) (l x) 2 2 2 l 1 1 M ( x) q( x)(l x) (l x) 2 3 q0 (l x)3 6l
工程力学--弯曲变形与内力
以弯曲变形为主的杆件通常称为梁。
7
常见梁截面
8
平面弯曲 •具有纵向对称面 •外力都作用在此面内 •弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线
9
梁载荷的分类
分布载荷 均匀分布载荷 q
线性（非均匀） 分布载荷
q(x) T
集中力
P
T
载荷集度 q(N/m) 注意还有支座反力
10
集中力偶 T
支座种类
A XA
C
l = 3m
K
z y
C 截面惯性矩：
FBY
I Z 5.832 105 m4
M
ql 2 / 8 67.5kN m
x
M EI
1
EI Z 200 109 5.832 105 C 194.4m 3 MC 60 10
46
例题6-2
图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。已知：
推论：
1、纯弯曲时梁的变形本质上是拉伸或压缩变形，而非剪切变形，梁横截 面宽度的改变是纵向纤维的横向变形引起的；
2、横截面上只有正应力，而无剪应力；凹侧纤维缩短，凸侧纤维伸长。 因此凹侧受压缩，存在压缩应力；凸侧受拉伸，存在拉伸应力； 3、梁内既没有伸长也没有缩短的纤维层，叫做中性层，中性层与横截面 的交线叫中性轴，中性层将梁分成受压和受拉区，即中性层一侧作用拉 伸应力，另一侧作用压缩应力，中性层上正应力为零，梁横截面的偏转 就是绕其中性轴旋转的。
44
92.55 106 Pa 92.55MPa
3. 全梁最大正应力
q=60kN/m
180 120
最大弯矩：
30
A
FAY
B
1m
工程力学第10章弯曲内力
例2、一外伸梁受力如图所示。试求D、B截面上的内力。
M 0 8KN.m
P=2KN
q=2KN/m
A D B
FBy
1m 2m 1m 1m
C
FAy
解：
1m
1、根据平衡条件求支座反力
M M
A
0 0
FBy 7 KN
FAy 3KN
B
2、求B、D截面上的内力?
求D左、D右、B左、B右截面上的内力。
NB
对称弯曲
F1
q
F2
M
纵向对称面
受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都 在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴上且过弯曲中 心）。 变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条 平面曲线。
10.2
静定梁的分类（三种基本形式）
q(x) — 分布力
1、悬臂梁： L 2、简支梁： L 3、外伸梁： q — 均布力 F — 集中力 M — 集中力偶
P=2KN
A D
1m 1m 2m
B
C
1m 1m
FBy
FAy
D右截面： FQD右 Fy (右侧) FAy 3KN
M D右 M D (右侧) FAy 1 M o 3 8 5KN m
左
B左截面： FQB Fy (左侧) FAy q 3 3KN
M B右 M B左 FBy 0 M B左 5KN.m
亦可取梁的右侧的外力简化，但必须注意外力的符号变化。
0.8kN 1
A 1.5m 1.5m RA
2
1.2kN/m 例3、梁1-1、2-2截面处的内力。 解：（1）确定支座反力 B Fy 0, RA RB 0.8 1.2 3 0
第四章 弯曲内力(土建)
qdx dFS
dFS q dx
28
q
A
x dx
C
B M FS C dx M + dM FS + dFS
1 FSdx q(dx) 2 M [M dM ] 0 2 dM FS 略去高阶微量得： dx
dFS d 2 M q 2 dx dx
29
M
0,
(1) 当q = 0 ，FS =常数， FS 图为水平直线； M 为一次函数，M 图为斜直线；
即可画出剪力图和弯矩图。
30
不同载荷q作用下剪力图和弯矩图的特征
31
突 变 规 律(从左向右画)
1、集中力作用处，FS图突变，方
向、大小与力同；M图斜率突 变，突变成的尖角与集中力F的 箭头是同向。
2、集中力偶作用处，M图发生
突变，顺下逆上，大小与M 同，FS图不发生变化。
32
根据M、FS与q之间的关系画剪力图和弯矩图的步骤 1. 取整体，求支座反力（悬臂梁此步可省）； 2. 将梁分段：凡是集中力、集中力偶作用点 ，分布载荷 两端，支座处都应取作分段点； 3. 用截面法求出每段梁两端截面的剪力和弯矩 ，由FS = 0 确定弯矩抛物线顶点所对应的截面位置，并求出该截面的弯 矩值；
的弯矩为正，反之为负。
12
FS ⊕
FS FS
－ ○
FS M
⊕
MM
－ ○
M
剪力正负的规定 内力通过平衡方程计算。 x A D FSD MD C
弯矩正负的规定
F M
y
0; FAy FSD 0,
FSD FAy
FAy
C
0; M D FAy x 0,
工力041章弯曲内力
RA l 2 l 2 RB
AC 段
RA
M(x)
x Q(x)
CB
AC程
段 y 0, RA Q(x) 0,
RA Q(x) P 2 ,
x (0, l ) 2
M 0, RA x M 0,
M RA x Px 2,
x [0, l ] 2
段M(x)
CB
Q(x) l x RB
段Q(x) RB P 2,
M
o
Q lx
RB
例题：简支梁，求1-1，2-2截面上的内力
P 8kN q 2kN m （1）求支反力RA、RB
1
2
M A 0,
A
B RB 4 2 23 81 0
1m 1m
2m
RA 1.5m 1
3m
2
P 8kN
M1
RB 5kN
RB
∑Y=0,
RA–8–2 2 + RB =0
RA= 7kN
M 弯矩
o
(Bending moment)
x Q 剪力(shear
force)
•利用梁弯曲后的形状可以快速判断梁内弯矩的符号. 例如
梁弯曲后的形状
P A
D
B
C
P
a
2a
a
+M
-M
M
Pa 2
Pa 2
取左侧位研究对象：
IP
Y 0: Q RA 0
x Il
Q RA
RA
RB
剪力Q — 截面一侧所有竖向分力的代数和;
2
M x ql x qx x, x [0,l]
22
q
RA
RA x
Q ql / 2
弯曲内力的知识点总结
弯曲内力的知识点总结1. 弯曲内力的产生原因弯曲内力的产生原因主要是由于外力作用在梁上产生的弯矩。
当梁在弯曲作用下，上部会产生拉应力，下部产生压应力，由于这些应力的存在，会产生相应的应变。
这些内部的应力和应变就是弯曲内力。
2. 弯曲内力的计算弯曲内力可以通过弯曲方程进行计算。
弯曲方程描述了弯曲时材料内部应力的大小和分布。
在梁的不同截面上，受到的弯曲内力的大小和方向是不同的，需要通过弯曲方程计算得出。
3. 弯曲内力的影响因素弯曲内力的大小和分布受多种因素影响，包括弯矩的大小和方向、梁的截面形状和尺寸、材料的力学性质等。
在进行结构设计时，需要综合考虑这些因素，确保结构受力合理、安全可靠。
4. 弯曲内力的作用弯曲内力是结构中非常重要的一种内力，直接影响结构的稳定性和安全性。
对于梁、柱、桁架等结构，弯曲内力是决定其受力性能的关键因素之一。
合理地分析和设计弯曲内力，可以保证结构的稳定性和安全性。
5. 弯曲内力的分布规律弯曲内力的分布规律是指在杆件或梁上受弯矩作用时，内部产生的应力和应变的分布规律。
这些规律直接影响结构的受力性能和变形特性。
通过对弯曲内力的分布规律进行研究，可以更好地理解结构的受力行为并进行合理的设计与分析。
6. 弯曲内力的应力分析弯曲内力还涉及到应力分析的问题，因为在杆件或梁上不同位置受到的弯曲内力有所不同，从而产生的应力也不同。
合理地进行弯曲内力的应力分析可以帮助工程师更好地理解结构的受力性能，进行合理的设计和施工。
7. 弯曲内力的变形分析弯曲内力还会引起结构的变形，这种变形对于结构的使用性能和安全性都有很大的影响。
通过对弯曲内力的变形分析，可以帮助工程师更好地理解结构的变形特性，并进行合理的设计和施工。
总之，弯曲内力是结构工程中非常重要的一种内力，对结构的稳定性和安全性有着直接的影响。
对弯曲内力的认识和分析是结构工程设计的重要内容之一。
希望以上的知识点总结对您有所帮助。
《工程力学》教学课件第十一章弯曲内力
引发裂缝扩展
弯曲内力还可能导致结构中的裂缝扩展，进一步降低结构强度。
优化措施降低弯曲内力影响
合理布置荷载
通过合理布置荷载，降低结构 受到的弯曲内力，提高结构稳 定性。
采用预应力技术
对结构施加预应力，使结构在受到荷 载作用前产生一定的反弯曲内力，从 而抵消部分外荷载产生的弯曲内力。
加强结构刚度
增加结构刚度，提高结构抵抗 弯曲内力的能力，保证结构整 体性能。
机械工程
分析机械零件在受力时的弯曲变形和应力分布，提高零件的强度和刚 度，延长使用寿命。
案例分析中问题探讨
载荷与边界条件的确定
在实际工程中，如何准确确定结构所受的载荷和边界条件是进行 内力分析的关键问题。
内力与变形的计算精度
由于实际结构的复杂性和计算方法的局限性，如何保证内力和变形 计算的精度是另一个需要探讨的问题。
优化截面形状和尺寸
通过优化截面形状和尺寸，使 得截面在受力时能够更好地抵 抗弯曲内力，提高结构强度。
06 实验验证与工程应用案例
实验验证方法介绍
1 2
载荷实验
通过对实际结构或模型施加静态或动态载荷，观 察和分析结构的变形和内力分布情况。
应变测量
利用应变片、应变计等测量工具，定量测量结构 在载荷作用下的应变值，进而推算出内力大小。
性能。
弯曲内力与材料性质关系
弹性模量
材料的弹性模量越大，梁 的抗弯刚度越大，承受弯
曲内力的能力越强。
屈服强度
材料的屈服强度越高， 梁在承受弯曲内力时越 不容易发生塑性变形。
韧性
材料的韧性越好，梁在 承受弯曲内力时越不容
易发生脆性断裂。
疲劳强度
对于承受交变弯曲内力的 梁，材料的疲劳强度也是 一个重要的考虑因素。
弯曲内力还可能导致结构中的裂缝扩展，进一步降低结构强度。
优化措施降低弯曲内力影响
合理布置荷载
通过合理布置荷载，降低结构 受到的弯曲内力，提高结构稳 定性。
采用预应力技术
对结构施加预应力，使结构在受到荷 载作用前产生一定的反弯曲内力，从 而抵消部分外荷载产生的弯曲内力。
加强结构刚度
增加结构刚度，提高结构抵抗 弯曲内力的能力，保证结构整 体性能。
机械工程
分析机械零件在受力时的弯曲变形和应力分布，提高零件的强度和刚 度，延长使用寿命。
案例分析中问题探讨
载荷与边界条件的确定
在实际工程中，如何准确确定结构所受的载荷和边界条件是进行 内力分析的关键问题。
内力与变形的计算精度
由于实际结构的复杂性和计算方法的局限性，如何保证内力和变形 计算的精度是另一个需要探讨的问题。
优化截面形状和尺寸
通过优化截面形状和尺寸，使 得截面在受力时能够更好地抵 抗弯曲内力，提高结构强度。
06 实验验证与工程应用案例
实验验证方法介绍
1 2
载荷实验
通过对实际结构或模型施加静态或动态载荷，观 察和分析结构的变形和内力分布情况。
应变测量
利用应变片、应变计等测量工具，定量测量结构 在载荷作用下的应变值，进而推算出内力大小。
性能。
弯曲内力与材料性质关系
弹性模量
材料的弹性模量越大，梁 的抗弯刚度越大，承受弯
曲内力的能力越强。
屈服强度
材料的屈服强度越高， 梁在承受弯曲内力时越 不容易发生塑性变形。
韧性
材料的韧性越好，梁在 承受弯曲内力时越不容
易发生脆性断裂。
疲劳强度
对于承受交变弯曲内力的 梁，材料的疲劳强度也是 一个重要的考虑因素。
工程力学-弯曲内力
如：桥梁下的辊轴支座等。
4. 三种形式的简单梁 ①简支梁
②悬臂梁
M — 集中力偶 q(x)— 分布力
③外伸梁
q — 均布力
P — 集中力
5. 静定梁与超静定梁
静定梁：由静力平衡方程可求出全部的支反力，如上述 三种形式的简单梁。
超静定梁：梁的支反力数目多于独立静力平衡方程数目， 仅由静力平衡方程不能求出全部支反力。
根据上述两点规律，便可直接由截面左侧或右侧梁段 上的外力计算该截面上的剪力、弯矩。
§4.4 剪力方程和弯矩方程 ·剪力图和弯矩图
1.剪力方程和弯矩方程： 若以坐标 x 表示横截面沿梁轴线的位置，则
Q Q(x) M M (x) 2. 剪力图和弯矩图：
剪力方程 弯矩方程
剪力图
Q Q(x) 的图线表示
通常取梁的轴线来代替梁。
2. 载荷简化 梁上的载荷为作用于梁纵向对称平面内的平面力系，有
三种类型：集中力、集中力偶和分布载荷。
3. 支座简化
①固定端 A
3个约束，0个自由度。
如：游泳池的跳水板支座， MA
木桩下端的支座等。
XA YA
②固定铰支座 2个约束，1个自由度。
如：桥梁下的固定支座等。
③可动铰支座 1个约束，2个自由度。
§4.1 弯曲的概念和实例
一、弯曲的概念 1. 弯曲:直杆在纵向平面内受外力偶或受垂直于杆轴线的横向 外力的作用时,杆轴线变成了曲线，同时任意两个横截面绕 垂直于杆纵向平面的轴作相对转动，这种变形称为弯曲。
2. 梁：以弯曲变形为主的 杆件称为梁。
3. 对称弯曲：梁的横截面具有对称轴，从而梁具有纵向对称 平面，且外力（合力）作用在纵向对称平面内，则杆轴线 变形后成为纵向对称平面内的平面曲线，这种弯曲称对称 弯曲。
4. 三种形式的简单梁 ①简支梁
②悬臂梁
M — 集中力偶 q(x)— 分布力
③外伸梁
q — 均布力
P — 集中力
5. 静定梁与超静定梁
静定梁：由静力平衡方程可求出全部的支反力，如上述 三种形式的简单梁。
超静定梁：梁的支反力数目多于独立静力平衡方程数目， 仅由静力平衡方程不能求出全部支反力。
根据上述两点规律，便可直接由截面左侧或右侧梁段 上的外力计算该截面上的剪力、弯矩。
§4.4 剪力方程和弯矩方程 ·剪力图和弯矩图
1.剪力方程和弯矩方程： 若以坐标 x 表示横截面沿梁轴线的位置，则
Q Q(x) M M (x) 2. 剪力图和弯矩图：
剪力方程 弯矩方程
剪力图
Q Q(x) 的图线表示
通常取梁的轴线来代替梁。
2. 载荷简化 梁上的载荷为作用于梁纵向对称平面内的平面力系，有
三种类型：集中力、集中力偶和分布载荷。
3. 支座简化
①固定端 A
3个约束，0个自由度。
如：游泳池的跳水板支座， MA
木桩下端的支座等。
XA YA
②固定铰支座 2个约束，1个自由度。
如：桥梁下的固定支座等。
③可动铰支座 1个约束，2个自由度。
§4.1 弯曲的概念和实例
一、弯曲的概念 1. 弯曲:直杆在纵向平面内受外力偶或受垂直于杆轴线的横向 外力的作用时,杆轴线变成了曲线，同时任意两个横截面绕 垂直于杆纵向平面的轴作相对转动，这种变形称为弯曲。
2. 梁：以弯曲变形为主的 杆件称为梁。
3. 对称弯曲：梁的横截面具有对称轴，从而梁具有纵向对称 平面，且外力（合力）作用在纵向对称平面内，则杆轴线 变形后成为纵向对称平面内的平面曲线，这种弯曲称对称 弯曲。
工程力学-弯曲内力)
横截面上的剪力和弯矩。
y
Me =3Fa
F
1A2 3 4
B
1 2 34
x
a
a
FA
2a
FB
解：支反力为
M A 0 FB 2a 3Fa F a 0
Fy 0
FB 2F () FB FA F FA 3F ()
y
F
1A2
12 a
FA
Me =3Fa
34 34
a 2a
B x
FB
截面1—1
F
例：试绘出图示有中间铰的静定梁的剪力弯矩图。
MA FAy F=50kN q=20kN/m
Me=5kN·m
FAx
AE
1m
CD
1m
3m
K
1m
B FBy
0.5m
已知： FAy 81kN
FBy 29kN() M A 96.5kN m (逆时针)
MA FAy F=50kN q=20kN/m
Me=5kN·m
称为弯矩
x
x
0 F
l
m
a l
x
FB B
剪力和弯矩的符号规则：
剪力：使微段有沿顺时 针方向转动趋势为正
弯矩：使微段弯曲呈 下凹形为正
截面法求剪力和弯矩的步骤: (1)所求内力处截开截面,取一部分来研究; (2)将该截面上内力设为正值; (3)由平衡方程求解内力;
例 求图示外伸梁在截面1—1、2—2、3—3和4—4
8a/3
qa/3 x
处无突变，故
FSC
FA
5 qa 3
FSB FSC q(2a)
1 3
q
MC
x-a
FSC
工程力学(材料力学)6 弯曲内力
重点
截面法求剪力和弯矩； 剪力方程和弯矩方程； 剪力图和弯矩图； 载荷集度、剪力和弯矩之间的关系。
难点
• 剪力和弯矩方向判定； • 剪力方程和弯矩方程的列法； • 三种作剪力图和弯矩图的方法； • 载荷集度、剪力和弯矩之间的关系。
第一节 平面弯曲的概念及梁的计算简图
一、平面弯曲的概念
工程实例
一致。 计算弯曲内力时，选用截面左侧还是右侧计算以计算简便为
原则。 集中力作用处，左、右两侧剪力不同，弯矩相同。 集中力偶作用处，左、右两侧剪力相同，弯矩不同。
剪力图和弯矩图
1.剪力方程和弯矩方程 内力与横截面位置坐标x间的函数关系式为
Q Q(x) M M(x)
剪力方程； 弯矩方程。
2. 剪力图和弯矩图
Байду номын сангаас
qx2
x2
(
a 2
,
3a ) 2
（3）绘制Q图和M图 。 （4）最大剪力和最大弯矩值。
Qmax
5qa 8
M max
9qa2 128
绘制剪力与弯矩方程时应注意：
截面上的剪力和弯矩始终假定为正向。由平衡方程所得结果的正 负号就与正负号规定相一致。
截面位置参数可以从坐标原点算起，也可以从另外的点算起，需 写清方程的适用范围即可。
方程的适用范围，在集中力（包括支座反力）作用处，剪力方程 应为开区间，在此处剪力图有突变；在集中力偶作用处，弯矩方程 应为开区间，在此处弯矩方程有突变。
若所得方程为x的二次或二次以上方程，则在作图时除计算该段的 端值外，应注意曲线的凸、凹向极值。
第三节 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
一、载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系
X 0 , FX A 0
工程力学 第10章.弯曲内力
M (x)
FS (x)
FS ( x) dFS
M ( x) dM
M
C
0
dx M ( x) FS ( x)dx q( x)dx [ M ( x) dM ( x)] 0 2
dM ( x ) dx2 Fs ( x ) 略去二阶微量 q ( x) ，得： dx 2
弯矩图曲线上一点的斜率等于梁上相应截面处的剪力 FS。 弯矩图上某点切线斜率等于该点的剪力值。
面上但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。
§10-2 梁的计算简图
研究对象：等截面的直梁，且外力作用在梁对称面内的平面力系
梁的计算简图：梁轴线代替梁，将荷载和支座加到轴线上。
1.梁的支座简化(平面力系)：
a)滑动铰支座
b)固定铰支座
c)固定端
FRx
MR
FR
FRx
FRy
FRy
2.作用在梁上的荷载可分为: (a)集中荷载
E 3
x=3.1m
3.8
3.8
1.41
M
(kN· m) 3 2.2
[例6] 已知F图，求外载及M图（梁上无集中力偶）。 F(kN) 2 1
+
1m 3 – 2m
+
1m
x
5kN
1kN
q=2kN/m
M(kN· m) 1 + 1.25 x
–
1
练习
P211:10-5
作业
P211:10-5 (b),(d),(f)
例题10 梁AB的C点处作用一集中力F，作该梁的剪力图和弯矩图。
x
A a C l
F B b
解： 1、求支反力
FA Fb Fa , FB l l
工程力学 第五章 弯曲内力(FS)
楼房的横梁：
阳台的挑梁：
(Internal Forces in Beams) 二、弯曲的概念：
受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。 变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
P M
q
主要产生弯曲变形的杆--- 梁。 RA 三、平面弯曲的概念：
NB
(Internal Forces in Beams) F1 q
A
a m l m x
F
B
F
x
0,
XA 0
Fa M A 0 , RB l F (l a ) Fy 0 , YA l
XA A
YA
F
B
RB
(Internal Forces in Beams) 求内力——截面法 F (l a ) Fy 0 , FS YA l m XA=0A F (l a ) M C 0 , M YA x l x m YA 1、 剪力(Shear force) FS x 构件受弯时，横截面上其作用线平行 于截面的内力. FS 2、弯矩(Bending moment )M M C 构件受弯时，横截面上其作用面垂直 YA 于截面的内力偶矩. M 剪力 C 弯曲构件内力 Fs 弯矩
m （受拉）
m
按变形：当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下 半部受压）时，横截面m-m 上的弯矩为负 注：横截面上的弯矩：
-
m
“左顺右逆”为正；反之为负 按受力：“上压下拉”为正，反之为负
（受压）
(Internal Forces in Beams) 例题2 图示梁的计算简图。已知 F1、F2，且 F2 > F1 ， 尺寸a、b、c和 l 亦均为已知.试求梁在 E 、 F 点处横截面处 的剪力和弯矩. RA F2 RB F1 a 解: (1)求支反力 R 和 R
工程力学4第四章弯曲内力
M=±ΣM(Fi)左或右
例1： 已知 q=2 kN / m，求 1-1，2-2，3-3
截面上的内力。
y MA FA
1 1 2m 2 2
q
3
1m 31m
x
1-1 截面：FS = 2×2 = 4 kN，M = -2 ×2 ×3 = - 12 kN.m
2-2 截面：FS = 2×2 = 4 kN， M = -2 ×2 ×1 = - 4 kN.m 3-3 截面：FS = 2×1 = 2 kN， M = -2 ×1 ×0.5 = - 1 kN.m
第四章 弯曲内力
主讲:符春生
§4-1 概述
一、平面弯曲
外力特点:外力是垂直于杆轴线的 力,或作用在包含轴线在 内的平面内力偶。
变形特点:轴线弯成曲线。横截面 轴线
绕垂直于轴线的轴作相 对转动。
轴线
以弯曲为主要变形的杆——梁。
若外力或外力偶作用在纵向对称
面内，杆的轴线在此平面内弯成一平
面曲线——平面弯曲（对称弯曲）。
MA
q0
A
q(x)
B
( 2)
画剪力图和弯矩图
FA
x
l
q0 1 FS ( x) q( x)(l x) (l x)2 2 2l
q0l/2 Fs q0l2/6 +
1 1 q0 M ( x) q( x)(l x) (l x) (l x)3 2 3 6l
M
§4－4剪力、弯矩与荷载集度之间的关系
FS=－FB+F2 ＝ΣFi右
B
M
m
C
F2 FB
FS m
M=FB(l-x)－F2(l-x-b)
＝ΣM(Fi)右
9 工程力学材料力学第五章弯曲内力
1 1 1
1
Ｏ A１ Ｏ１ Ｂ１ x
y ) d d
d
y
x
y
...... (1)
y
几何方程表明：纯弯时梁横截面上各点的纵向 正应变沿截面高度线性分布；中性轴处正应变 为零；中性轴两侧分别为拉应变和压应变；距 中性轴最远处，正应变的绝对值最大。
35
二、物理关系： 假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一
弯矩等于梁保留一侧所 有外 力对截面形心取矩的代 数和。 力矩左顺，右逆为正。
图（c）
17
§5-4 剪力方程和弯矩方程 · 剪力图和弯矩图
1. 内力方程：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。
Q Q ( x)
M M ( x)
剪力方程 弯矩方程
2. 剪力图和弯矩图：
剪力图
弯矩图
Q Q( x) 的图线表示 M M (x) 的图线表示
构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截面的内力偶矩。
3.内力的正负规定: ①剪力Q: 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。 Q(+) Q(–) Q(–) Q(+)
②弯矩M：使梁变成上凹形的为正弯矩；使梁变成上凸形 的为负弯矩。即使梁下侧受拉的弯矩为正弯矩；使梁上侧 受拉的弯矩为负弯矩。 M(+) M(+) M(–) M(–)
梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于
分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。 一. 构件本身的简化 通常取梁的轴线来代替梁。
7
二、 载荷简化 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简
化为三种类型： 集中力、集中力偶和分布载荷。 集中力：力作用于某一微小的梁段上。（N,KN). 集中力偶：往往是力系简化的结果 分布载荷：分为线分布和面分布 q — 线分布 M — 集中力偶 P — 集中力
1
Ｏ A１ Ｏ１ Ｂ１ x
y ) d d
d
y
x
y
...... (1)
y
几何方程表明：纯弯时梁横截面上各点的纵向 正应变沿截面高度线性分布；中性轴处正应变 为零；中性轴两侧分别为拉应变和压应变；距 中性轴最远处，正应变的绝对值最大。
35
二、物理关系： 假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一
弯矩等于梁保留一侧所 有外 力对截面形心取矩的代 数和。 力矩左顺，右逆为正。
图（c）
17
§5-4 剪力方程和弯矩方程 · 剪力图和弯矩图
1. 内力方程：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。
Q Q ( x)
M M ( x)
剪力方程 弯矩方程
2. 剪力图和弯矩图：
剪力图
弯矩图
Q Q( x) 的图线表示 M M (x) 的图线表示
构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截面的内力偶矩。
3.内力的正负规定: ①剪力Q: 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。 Q(+) Q(–) Q(–) Q(+)
②弯矩M：使梁变成上凹形的为正弯矩；使梁变成上凸形 的为负弯矩。即使梁下侧受拉的弯矩为正弯矩；使梁上侧 受拉的弯矩为负弯矩。 M(+) M(+) M(–) M(–)
梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于
分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。 一. 构件本身的简化 通常取梁的轴线来代替梁。
7
二、 载荷简化 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简
化为三种类型： 集中力、集中力偶和分布载荷。 集中力：力作用于某一微小的梁段上。（N,KN). 集中力偶：往往是力系简化的结果 分布载荷：分为线分布和面分布 q — 线分布 M — 集中力偶 P — 集中力
工程力学3-9弯曲内力
15
为使无论取横截面左边或右边为分离体，求得同一横 截面上的剪力和弯矩其正负号相同，剪力和弯矩的正负号 要以其所在横截面处梁的微段的变形情况确定，如图。
16
综上所述可知： (1) 横截面上的剪力在数值上等于截面左侧或右侧梁段 上外力的代数和。左侧梁段上向上的外力或右侧梁段上向 下的外力将引起正值的剪力；反之，则引起负值的剪力。 (2) 横截面上的弯矩在数值上等于截面左侧或右侧梁 段上外力对该截面形心的力矩之代数和。
Me FS x FA l
0 x l
25
至于两段梁的弯矩方程则不同：
AC段梁：
FS(x) x
M x
Me M x FA x x l
0 x a
CB段梁：
FS(x) x
M x
Me M x FA x M e x Me l M e l x a x l l
9. 2 梁的内力及其求法
RC
解：求内力的方法——截面法。 建立x坐标如图。
(1) 求支座反力 取整体，受力如图。
X 0
RAx 0
10
RAx
x (1) 求支座反力
RA
取整体，受力如图。
RC
X 0 M (F ) 0 Y 0
C
RAx 0
RA 80 kN
RC 40 kN
Pb RA , l
Pa RB l
(2) 求剪力方程和弯矩方程 需分段求解。分为两段：AC和CB段。 AC段 取x截面，左段受力如图。
18
(2) 求剪力方程和弯矩方程 需分段求解。 分为两段：AC和CB段。 AC段 取x截面，左段受力如图。 由平衡方程，可得:
工程力学-9(1)弯曲内力
0 x l
FQ
O
M x Fx
0 x l
x -F
M
O
x
Fl
18
§9(1). 弯曲内力
内力与内力图
例2：悬臂梁长度为l，受均布载荷集度为q。 求：梁的内力及内力图。 y
工 程 力 学
l
解：取x截面左段梁为研究对象。
Fy 0 : FQ x qx 0
30
x
工 程 力 学
1 FQ x1 F 3
0 x1 l
x3
2 FQ x2 F 3
l x1 3l
FQ
F/3
§9(1). 弯曲内力
内力与内力图 A
l
F
x1 x2
l
l
M0 B FB
在集中力偶作用面： FQ（x）图连续。 M（x）图线发生突变；突变 值等于该力偶矩值。
取x1截面左段梁为研究对象。
Fy 0 :
FA FQ x1 0
1 FQ x1 F 3
0 x1 l
A FA
C1 FQ（x1） M（x1）
M C1 F 0 :
M x1
M x1 FA x1 0
F x1 3
0 x1 l
F 2
l ( x2 l ) 2
l M x FA x2 F ( x2 ) FA 2 Fl F l x2 ( x2 l ) 2 2 2
FB
FQ（x） M（x）
FA
22
§9(1). 弯曲内力
内力与内力图
x2 F
x1
3、画出剪力图和弯矩图
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Fs+dFs
Fs
c
ΣFy=0: Fs+q dx- (Fs +dFs)=0
ΣMc=0: -Mz+(Mz+dMz)- Fsdxq dx .dx /2=0
略去高阶项，得到
dFs
dx
=q
Fs+dFs Fs
dM dx = Fs d2 M dx2 = q
dFs dM d2 M q; Fs ; q dx dx dx2
第十章
弯曲内力
弯曲内力
1、引言 2、梁的计算简图
3、剪力与弯矩
4、剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
5、剪力。弯矩与载荷集度间的微分关系
§10-1
1）弯曲变形
引言
F1
F2
1）弯曲变形
外力 杆轴线 轴线由直线 曲线 此变形——弯曲变形 承弯构件—梁
直杆
F1
此即适用于所有平面载荷作用情形 的平衡微分方程。 根据上述微分方程，由载荷变化规 律，即可推知内力Fs、M 的变化规律。
各种荷载下剪力图与弯矩图的形态：
外力情况 q<0(向下) 无荷载段
剪力图上 的特征 弯矩图上 的特征
↘(向下斜 水平线 直线) (下凸抛物 斜直线 线)
集中力F 集中力偶 作用处： M作用处： 突变，突 不变 变值为F 有尖点 有突变， 突变值为
2m
A
3m
C
3m
FB 5kN
FA 13kN
10－4 剪力、弯矩方程与剪力图和弯矩图
q
A FA=ql/2
x
l
FB=ql/2
ql F qx(称为剪力方程 B S 2
ql 2
ql qx 2 M x (称为弯矩方程） 2 2
ql 2
ql 2 8
最基本的作法：用写方程的方法画出剪力图和弯
FAx
FAy
二、梁的类型
主要研究 等直梁
通常用直杆或轴线表示梁 常见的三种静定梁
（1）简支梁
固定铰支座
活动铰 支 座
常见的三种静定梁
（2）悬臂梁
P
固定端
（3）外伸梁
§10－3 剪力和弯矩
剪力和弯矩
x
任截面D处有何内力？
该内力正负如何规定？
1）梁的内力的求法
FS x F
X
0xL 0 xL
A
l
B
kN
M x Fx
F
FL
kNm
例题 5.12
20kN
X1
图示外伸梁,,试作剪力图和弯矩图.
10kN m
X2
40kN m
FS x1 20kN
B
25kN
A
35kN
1m
4m
2.5
M x1 20x1
0 x1 1 0 x1 1
15
kN
FS x2 25 10 x2
25
2 x2 M x2 25 x2 10 2
20
20
0 x2 4
0 x2 4
20
31.25
kNm
注意：在剪力等于零的地方，弯矩 有极值。
§10－5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
考察 dx 微段的受力与平衡
Fs +dFs Fs
FA 7.2kN FB 3.8kN
外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁的内力图。
3kN
A C D
2kN/m
6kN m
B
2、判断各段FS、M图形状：
1m
FA
4m
1m
FB CA和DB段：q=0，FS图为水平线，
4.2 (kN)
3 3 (kN· m)
E
x=3.1m
M图为斜直线。
3.8 2.2 AD段：q<0， FS 图为向下斜直线，
1.41 3.8
M图为下凸抛物线。
绘制Fs、M图的方法
（1）建立Fs-x、M-x 坐标系； （2）确定控制面及其上之Fs 、M 值 ， 并标在 Fs -x、M-x 坐标中； （3）应用微分方程，确定控制面之间 的Fs、M 图形。
例题 10.9 10.10
F
Fa
2kN m
a
Fபைடு நூலகம்
a
5
4m
3kN
kN
kN
剪力方程
规律： Fs=截面一侧所有横向外力代数和
MC=0 MD -RAx-20x(0.5x)=0
M(x) = MD=80x-10x2 弯矩方程
M=截面一侧所有外力对截面形心力偶距代数和
x
M
Fs
RA =80KN
M
Fs
若取右侧为对象 可得同样数值 但方向相反
Fs(x) = FS
=80-20x
M(x) = MD=80x-10x2 梁的内力剪力和弯距的正负号规则如何？
梁的计算简图
一、支座形式与支反力
1、作用在梁上的载荷形式
（一）分布荷载 1、均匀分布荷载
（二）集中力
2、非均布荷载
Me
（三）集中力偶
均匀分布荷载
集中力偶
1、固 定 铰 支 座
约束反力
A
FAx
FAy
2、活动铰 支 座
约束反力（1个）
FR
3、固定端(插入端)约束
约束反力（3个）
固定端约束的约束反力
MB
q
MA B
A
l
B
2、区段叠加法作弯矩图：
+
MB
M x M x M x
0
MA
+
注意：这里所说的弯矩叠加，
是纵坐标的叠加而不是指图形的拚 合。
MB
M0
+
M0
MA
谢 谢 大 家 ！
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3kN
C
求图示外伸梁中的A、B、C、D、E、 F、G各截面上的内力。
2kN m
1kN m
A D
FA
6kN m
E
F
B
FB
G
1m
1m
1m
1m
1m
1m
1m
1m
10.4
例 题
求图示外伸梁中的1－1、2－2、3 －3、4－4和5－5各截面上的内力
6kN m
6kN
1
2
q 2kN m
3
4
5
B
1 2 3 4 5
F2
对称弯曲的概念
力学模型
F1
F2
y
杆轴 FA 纵向对称面 FB X z 形心
构件几何特征
构件为具有纵对称面的等截面直杆
受力特征
变形特征
横向外力（或外力合力）或外力偶均作用在杆的纵向对称面内
杆件轴线变形后为外力作用面内的平面曲线，或任意两横截面 间绕垂直于外力作用面的某一横向轴作相对转动
§10－2
矩图。
先列出剪力、弯矩随截面位置而变化的函数式，
再由函数式画成函数图形。
剪力图：正值画在基线的上面，负值画下面。
弯矩图：无论正值还是负值，均画在受拉的一侧。
（书中是标明正负，且正值画在上侧，负值画在 下侧）
例10.6
例10.7
例 10.8
例题
5.11
F
图示悬臂梁AB,自由端受力F的作用,试作剪力 图和弯矩图.
MA FA F
A
M C 2Fl Fl 0
MA 0
l
FCs
C
MC
2Fl
MC
C D
FDs F
F
B
MD 0
FDs
l
F
D
MD
B
10.2
求下图所示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。
F=8kN A 1
例 题
q=12kN/m
2 2 3m 1.5m
B FB
2m FA
1.5m
1 1.5m
M
最大弯矩 剪力为零 可 能的 的截面 截面位置 剪力突变 弯矩突变 的截面 的某一侧
根据微分关系画剪力图和弯矩图
根据平衡，可以确定控制面上 Fs、M数值,确定函数变化区间； 根据平衡微分方程可以确定Fs、 M的变化图形。
控制面-载荷变化之处、极值点或零点之处
例题 10.8
解： 1、求支反力
解： 1、求支反力
M B 0 FA 6 F 4.5 q 3 F
y
0
3 0 FA 15 kN 2 FA FB F q 3 0 FB 29 kN
2、计算1-1
F=8kN
截面的内力 F A
3、计算2-2
FS1
q=12kN/m
2）剪力和弯距的正负号规则
剪力
顺时针 为正
Fs
Fs
弯距
上凹 为正
归纳--内力的正负号规则
FF QN
FN
FQ
注
求梁的指定截面内力
方法易 意义大 要求
熟
准
快
10.1
例 题
FA
A
试确定截面C及截面D上的剪力和弯矩
2Fl
C D
F
B
FCs F FCs F
M C Fl M C Fl
l
l
FCs
kNm
例题
10.13
80kN m
A
130kN
130
160kN
D E
40kN m
40kN
B