2018年江苏省南京市联合体中考数学二模试卷(含答案解析)

2018年江苏省南京市联合体中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，共12.0分）()1.2的平方根是 ±2322‒2A. B. C. D.【答案】A±2【解析】解：2的平方根是：．故选：A．根据平方根的定义解答．本题考查了平方根的应用，注意：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．()2.下列计算正确的是 a3+a2=a5a3‒a2=a a3⋅a2=a6a3÷a2=aA. B. C. D.【答案】Da2a3【解析】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项错误；a3a2B、与不是同类项，不能合并，故本选项错误；a3⋅a2=a5C、应为，故本选项错误；a3÷a2=aD、，正确．故选：D．根据同类项定义；同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．本题主要考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键，不是同类项的一定不能合并．3.如图，将菱形ABCD沿BD方向平移得到菱形EFGH，若BF=1FD：：3，菱形ABCD与菱形EFGH的重叠部分面S1S2S1S2(积记为，菱形ABCD的面积记为，则：的值为 )A. 1：3B. 1：4C. 1：9D. 1：16【答案】D【解析】解：如图设AD 交EF 于M ，CD 交FG 于N ．由题意，重叠部分四边形MDNF 是菱形，菱形MFND ∽菱形ABCD ，，∴S 1S 2=(DFBD )2：：3，∵DF BF =1：：4，∴DF BD =1，∴S 1S 2=(DF BD )2=116故选：D ．利用相似多边形的性质即可解决问题；本题考查菱形的性质、相似多边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4.如图，已知BA 是的切线，切点为A ，连接OB 交于点⊙O ⊙O C ，若，AB 长为2，则BC 的长度为 ∠B =45∘()A. B. C. D. 22‒1222‒22‒2【答案】C【解析】解：连接OA ，是的切线，切点为A ，∵BA ⊙O ，∴∠OAB =90∘，∵∠B =45∘是等腰直角三角形，∴△OAB 长为2，∵AB，∴AO =2则，BO =22故BC ，=22‒2故选：C ．利用切线的性质结合等腰直角三角形的性质得出BO 的长，进而得出答案．此题主要考查了切线的性质以及勾股定理，正确得出是等腰直角三角形是解题关△OAB 键．5.已知反比例函数过点，，若，则a 的取值范围y =k 2x (k ≠0)A(a,y 1)B(a +1,y 2)y 2>y 1为 ()A. B. C. D.‒1<a‒1<a <0a <10<a <1【答案】B【解析】解：反比例函数中的，∵y =k 2x (k ≠0)k 2>0反比例函数的图象经过第一、三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减∴y =k 2(k ≠0)小．，，∵y 2>y 1a +1>a 点A 位于第三象限，点B 位于第一象限，∴，∴{a <0a +1>0解得．‒1<a <0故选：B ．根据反比例函数图象所经过的象限和函数的增减性解答．考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题时，需要熟悉反比例函数解析式中系数与图象的关系．6.在二次函数中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：y =‒x 2+bx +c x ‒3‒2‒1123456y‒14‒7‒22mn‒7‒14‒23则m 、n 的大小关系为 ()A. B. C. D. 无法m >nm <n m =n 比较【答案】A【解析】解：时，，时，，∵x =‒2y =‒7x =4y =‒7抛物线对称轴为直线，即为抛物线的顶点，∴x =‒2+42=1(1,2)为抛物线的最大值，即抛物线开口向下，∴2当时，抛物线为减函数，时，抛物线为增函数，∴x >1x <1与在抛物线对称轴右侧，且，∴(2,m)(3,n)2<3则．m >n 故选：A ．由表格中与时，对应的函数y 都为，确定出为二次函数的顶点坐标，x =‒2x =4‒7(1,2)即为抛物线的对称轴，且抛物线开口向下，进而由抛物线的增减性，即可判断出m x =1与n 的大小．此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的图象与性质，其中根据表格的抛物线的对称轴及开口方向是解本题的关键．二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）7.计算______，______．(2)0=2‒1=【答案】1；12【解析】解：原式，原式，=1=12故答案为：1；12原式利用零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8.计算的结果是______．2x ⋅8xy(x ≥0,y ≥0)【答案】4x y【解析】解：2x ⋅8xy(x ≥0,y ≥0)．=16x 2y=4x y 故答案为：．4x y直接利用二次根式的性质化简得出答案．此题主要考查了二次根式的性质，正确化简二次根式是解题关键．9.分解因式的结果是______．a 3‒a 【答案】a(a +1)(a ‒1)【解析】解：．a 3‒a =a(a 2‒1)=a(a +1)(a ‒1)故答案为：．a(a +1)(a ‒1)先提取公因式a ，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．10.甲、乙、丙三名射击运动员在某场测试中各射击10次，三人的测试成绩如下：甲 7 7 8 8 8 9 9 9 10 10乙 7 7 7 8 8 9 9 10 10 10丙 7 8 8 8 8 9 9 9 9 10这三人10次射击命中的环数的平均数，则测试成绩比较稳定的是x 甲=x 乙=x 丙=8.5______，填“甲”或“乙”或“丙”()【答案】丙【解析】解：，∵x 甲=x 乙=x 丙=8.5，∴S 2甲=110×[2×(7‒8.5)2+3×(8‒8.5)2+3×(9‒8.5)2+2×(10‒8.5)2]=1.05，S 2乙=110×[3×(7‒8.5)2+2×(8‒8.5)2+2×(9‒8.5)2+3×(10‒8.5)2]=1.45，S 2丙=110×[(7‒8.5)2+4×(8‒8.5)2+4×(9‒8.5)2+(10‒8.5)2]=0.65，∵S 2丙<S 2甲<S 2乙测试成绩比较稳定的是丙，∴故答案为：丙．根据方差就是各变量值与其均值离差平方的平均数，根据方差公式计算即可，再利用方差的意义解答即可得出答案．此题主要考查了方差公式的应用，方差是各变量值与其均值离差平方的平均数，它是测算数值型数据离散程度的最重要的方法．11.如图，已知直线，，，则a//b ∠1=72∘∠2=38∘______∠3= ∘.【答案】70【解析】解：，∵a//b ，∴∠2=∠4=38∘又，∵∠1=72∘，∴∠3=180∘‒38∘‒72∘=70∘故答案为：70．依据，即可得到，再根据，即可得到的度数．a//b ∠2=∠4=38∘∠1=72∘∠3本题考查了平行线的性质和平角的定义，熟练掌握性质定理是解题的关键．12.如图，正方形ABCD 的顶点B 、C 都在直角坐标系的x 轴上，AC 与BD 交于点E ，若点D 的坐标是，则点E 的坐标是(3,4)______．【答案】(1,2)【解析】解：过点E 作轴于点F ，EF ⊥x 的坐标是，B 、C 在x 轴上，∵D (3,4)，，∴DC =4OC =3四边形ABCD 是正方形，∵，∴BC =CD =4，∴OB =4‒3=1在x 轴的负半轴上，∵B ，∴B(‒1,0)为BD 中点，，∵E EF ⊥BC ，∴BF =FC =2，，∴FO =1EF =12DC =2．∴E(1,2)故答案为：．(1,2)根据D的坐标和C的位置求出，，根据正方形性质求出OB，即可求出答DC=4OC=3案．本题考查了正方形的性质和坐标与图形性质，解此题的关键是求出DC、OC、OB的长度，题目比较好，难度不大．13.已知关于x的一元二次方程的两个根是1和，则mn的值是x2+mx+n=0‒2______．【答案】‒2【解析】解：由根与系数的关系可知：，，1+(‒2)=‒m1×(‒2)=n，∴m=1n=‒2故答案为：∴mn=‒2‒2根据根与系数的关系即可求出答案．本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．14.已知圆锥的高是3cm，母线长5cm，则圆锥的侧面积是______结果保留．cm2.(π)【答案】20π【解析】解：圆锥的高是3cm，母线长5cm，∵勾股定理得圆锥的底面半径为4cm，∴圆锥的侧面积．∴=π×4×5=20πcm2故答案为：．20π首先利用勾股定理求得圆锥的底面半径，然后利用圆锥的侧面积底面半径母线长，=π××把相应数值代入即可求解．本题考查圆锥侧面积公式的运用，掌握公式是关键．15.已知过原点，，三点，则圆心M坐标为______．⊙M A(1,2)B(3,1)【答案】(3 2 ,12)【解析】解：过A作轴于E，过B作于EF⊥y BF⊥EF F，，∴∠AEO=∠BFA=90∘，∴∠EAO+∠AOE=90∘，，∵A(1,2)B(3,1)，，∴OE =AF =2AE =BF =1≌，∴△AEO △BFA(SAS)，∴∠AOE =∠BAF ，∴∠EAO +∠BAF =90∘，∴∠OAB =90∘是直角三角形，∴△OAB 是外接圆的直径，∴OB △OAB 是OB 的中点，∴M ，，∵O(0,0)B(3,1)；∴M(32,12)故答案为：(32,12).先根据三角形全等证明是直角三角形，根据圆周角定理得OB 为△OAB ∠AOB =90∘的直径，则可得到线段OB 的中点即点M 的坐标．⊙M 本题考查了圆周角定理及其推论、全等三角形的判定和性质，熟练掌握的圆周角所对90∘的弦是直径是关键．16.如图，在直角坐标系中，为直角三角形，，△AOB ∠AOB =90∘，点A 坐标为，AB 与x 轴交于点C ，则∠OAB =30∘(3,1)AC ：BC 的值为______．【答案】3【解析】解：如图所示：作轴，垂足为D ，作轴，垂足为E ．AD ⊥x BE ⊥y，∵A(3,1)．∴OA =32+12=10，，∵∠OAB =30∘∠AOB =90∘．∴OAOB =3，，∵∠AOB =90∘∠EOC =90∘，∴∠EOB =∠AOD 又，∵∠BEO =∠ADO ∽，∴△OEB △ODA ，即，解得：．∴OEOD =OBAO =33OE3=33OE=3：：：：．∵AC BC =S △AOC S △OBC =AD OE =13=33故答案为：33作轴，垂足为D ，作轴，垂足为E ，先求得OA 的长，然后证明∽AD ⊥x BE ⊥y △OEB ，依据相似三角形的性质可得到，最后依据AC ：：△ODA OEOD=OB AO =33BC =S △AOC ：OE 求解即可．S △OBC =AD 本题主要考查的是一次函数图象上点的坐标特点，证得∽是解答本题的关△OEB △ODA 键．三、计算题（本大题共2小题，共15.0分）17.计算a 2‒b 2ab÷(1a ‒1b ).【答案】解：原式=(a +b)(a ‒b)ab÷b ‒aab．=(a +b)(a ‒b)ab ⋅ab ‒(a ‒b)=‒(a +b)=‒a ‒b【解析】先计算括号内分式的减法，再将除法转化为乘法，约分即可得．本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．18.甲、乙两地相距480km ，一辆货车从甲地匀速驶往乙地，货车出发一段时间后，一辆汽车从乙地匀速驶往甲地，设货车行驶的时间为线段OA xℎ.表示货车离甲地的距离与xh 的函数图象；y 1km 折线BCDE 表示汽车距离甲地的距离与y 2km 的函数图象．x(ℎ)求线段OA 与线段CD 所表示的函数表达式；(1)若OA 与CD 相交于点F ，求点F 的坐标，并解释点F 的实际意义；(2)当x 为何值时，两车相距100千米？(3)【答案】解：设线段OA 对应的函数关系式为，(1)y 1=kx ，得，6k =480k =80即线段OA 对应的函数关系式为，y 1=80x(0≤x ≤6)设线段CD 对应的函数关系式为，y 2=ax +b ，得，{1.2a +b =4805.2a +b =0{a =‒120b =624即线段CD 对应的函数关系式为；y 2=‒120x +624(1.2≤x ≤5.2)，(2){y =80xy =‒120x +624解得，，{x =3.12y =249.6点F 的坐标为，点F 的实际意义是：在货车出发小时时，距离甲地∴(3.12,249.6) 3.21千米，此时与汽车相遇；249.6由题意可得，(3)，|80x ‒(‒120x +624)|=100解得，，，x 1=2.62x 2=3.62答：x 为或时，两车相距100千．2.62x =3.62【解析】根据函数图象中的数据可以求得相应的函数解析式；(1)根据中的函数解析式可以求得点F 的坐标，并写出点F 表示的实际意义；(2)(1)根据题意可以得到相应的方程，从而可以解答本题．(3)本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用一次函数的性质解答．四、解答题（本大题共9小题，共73.0分）19.求不等式组的整数解．{1‒x ≤0x +12<3【答案】解：{1‒x ≤0①x +12<3②解不等式得：，∵①x ≥1解不等式得：，②x <5不等式组的解集为，∴1≤x <5不等式组的整数解是1，2，3，4．∴【解析】先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可求出答案．本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能求出不等式组的解集是解此题的关键．20.根据一家文具店的账目记录，某天卖出15个笔袋和5支钢笔，收入240元，另一天，笔袋加价1元和钢笔打8折，卖出同样的12个笔袋和8支钢笔，收入276元，求笔袋和钢笔的单价．【答案】解：设每个笔袋的价格为x 元，每支钢笔的价格为y 元．根据题意，得，{15x +5y =24012(x +1)+8y ×0.8=276解得．{x =6y =30答：每个笔袋的价格为6元，每支钢笔的价格为30元．【解析】等量关系为：15个笔袋总价支钢笔总价元；12个笔袋总价支钢笔+5=240+8总价元，把相关数值代入后看求得的单价是否符合实际情况即可．=276考查二元一次方程组在实际中的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．21.光明中学全体学生900人参加社会实践活动，从中随机抽取50人的社会实践活动成绩制成如图所示的条形统计图，结合图中所给信息解答下列问题：填写下表：(1)中位数众数随机抽取的50人的社会实践活动成绩单位：分()估计光明中学全体学生社会实践活动成绩的总分．(2)【答案】解：(1) 中位数众数随机抽取的50人的社会实践活动成绩单位：分()4 4随机抽取的50人的社会实践活动成绩的平均数是：(2)分．x =1×2+2×9+3×13+4×14+5×1250=3.5()估计光明中学全体学生社会实践活动成绩的总分是：分3.5×900=3150()【解析】根据抽取的人数可以确定中位数的位置，从而确定中位数，小长方形最高的小(1)组的分数为该组数据的众数；算出抽取的50名学生的平均分乘以全校的总人数即可得到光明中学全体学生社会实践(2)活动成绩的总分．本题考查了条形统计图的知识，题目相对比较简单，解题的关键是正确的识图，并从图形中整理出有关的解题的信息．22.小明的书包里只放了A 4大小的试卷共4张，其中语文1张、数学2张、英语1张若随机地从书包中抽出2张，求抽出的试卷中有英语试卷的概率．(1)若随机地从书包中抽出3张，抽出的试卷中有英语试卷的概率为______(2)【答案】34【解析】解：画树状图为：(1)共有12种等可能的结果数，其中抽出的试卷中有英语试卷的结果数为6，所以抽出的试卷中有英语试卷的概率为；612=12从4张试卷中抽出3张有如下4种情况：(2)∵数、数、英、语、数、英、语、数、英、语、数、数，()()()()其中抽出的试卷中有英语试卷的有3种结果，所以抽出的试卷中有英语试卷的概率为．34故答案为：．34先画出树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽出的试卷中有英语试卷的结果(1)数，然后根据概率公式求解．列举出抽出3张试卷的结果数，再从中找到抽出的试卷中有英语试卷的结果数，根据概(2)率公式即可得．本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式求出事件A 或B 的概率．23.如图，一单摆在重力作用下处于OA 处与水平垂直，()若单摆摆动到OB 处，单摆的长度不变，旋转角为，θ此时点B 相对于点A 高度上升了m 厘米，求单摆的长度用含与m 的代数式表示.(θ)【答案】解：作，设单摆长度是x 厘米，BH ⊥OA 在中，，Rt △OBH cosθ=OH OB ，∴OH =OB ⋅cosθ=xcosθ，∴x ‒xcosθ=m 解得：，x =m 1‒cosθ答：单摆长度为．m 1‒cosθcmBH⊥OA【解析】作，根据直角三角形的解法解答即可．此题主要考查了解直角三角形中俯角问题的应用，根据锐角三角函数的关系得出OH的长是解题关键．24.已知，如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，连接CE井延长交DA的延长线于点F．(1)△AEF△BEC求证：≌；(2)∠ADC DC=DF若DE平分，求证：．(1)∵【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∴∠F=∠BCE，∵E是AB中点，∴AE=EB，∵∠AEF=∠BEC，∴△AEF△BEC≌．(2)∵DE∠ADC证明：平分，∴∠EDA=∠EDC，∵AE//CD，∴∠CDE=∠AED，∴∠EDA=∠AED，∴AD=AE，∵△AEF△BEC≌，∴AF=BC=AB，∴DF=2AD DC=AB=2AE，，∴DC=DF．(1)△AEF△BEC【解析】根据AAS即可证明：≌；(2)AE=AE DF=2AD CD=2AE首先证明，再证明，即可解决问题；本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．25.已知的半径为5，弦AB 的长度为m ，点C 是弦AB 所对优弧上的一动点．⊙O 如图，若，则的度数为______；(1)①m =5∠C ∘如图，若．(2)②m =6求的正切值；①∠C 若为等腰三角形，求面积．②△ABC △ABC【答案】30【解析】解如图1，连接OB ，OA ，(1)，∴OB =OC =5，∵AB =m =5，∴OB =OC =AB 是等边三角形，∴△AOB ，∴∠AOB =60∘，∴∠ACB =12∠AOB =30∘故答案为30；如图2，连接AO 并延长交于D ，连接BD ，(2)①⊙O 为的直径，∵AD ⊙O ，，∴AD =10∠ABD =90∘在中，，根据勾股定理得，，Rt △ABD AB =m =6BD =8，∴tan∠ADB =AB BD =34，∵∠C =∠ADB 的正切值为；∴∠C 34Ⅰ、当时，如图3，连接CO 并延长交AB 于E ，②AC =BC ，，∵AC =BC AO =BO为AB 的垂直平分线，∴CE ，∴AE =BE =3在中，，根据勾股定理得，，Rt △AEO OA =5OE =4，∴CE =OE +OC =9；∴S △ABC =12AB ×CE =12×6×9=27Ⅱ、当时，如图4，AC =AB =6连接OA 交BC 于F ，，，∵AC =AB OC =OB 是BC 的垂直平分线，∴AO 过点O 作于G ，OG ⊥AB ，，∴∠AOG =12∠AOB AG =12AB =3，∵∠AOB =2∠ACB ，∴∠ACF =∠AOG在中，，Rt △AOG sin∠AOG =AG AC =35，∴sin∠ACF =35在中，，Rt △ACF sin∠ACF =35，∴AF =35AC =185，∴CF =245；∴S △ABC =12AF ×BC =12×185×245=43225Ⅲ、当时，如图5，由对称性知，．BA =BC =6S △ABC=432连接OA ，OB ，判断出是等边三角形，即可得出结论；(1)△AOB 先求出，再用勾股定理求出，进而求出，即可得出结论；(2)①AD =10BD =8tan∠ADB 分三种情况，利用等腰三角形的性质和垂径定理以及勾股定理即可得出结论．②此题是圆的综合题，主要圆的性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．26.已知二次函数为常数y =x 2‒2mx +m 2‒m(m )若，求证该函数图象与x 轴必有交点(1)m ≥0求证：不论m 为何值，该函数图象的顶点都在函数的图象上(2)y =‒x 当时，y 的最小值为，求m 的值(3)‒2≤x ≤3‒1【答案】证明：令，则，(1)y =0x 2‒2mx +m 2‒m =0，∵m ≥0，∴△=4m 2‒4(m 2‒m)=4m >0二次函数的图象与x 轴必有交点；∴y =x 2‒2mx +m 2‒m 证明：二次函数，(2)∵y =x 2‒2mx +m 2‒m =(x ‒m )2‒m 顶点坐标为，∴(m,‒m)令，，x =m y =‒m ，∴y =‒x 不论m 为何值，该函数图象的顶点都在函数的图象上；∴y =‒x 解：由知，抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，(3)(2)x =m 当时，由题意得：当时，y 最小值为，m >3x =3‒1代入抛物线解析式中得：，即舍或，9‒6m +m 2‒m =‒1m =2()m =5当时，由题意得：当时，y 最小值为，‒2≤m ≤3x =m ‒1代入抛物线解析式中得：，即；m 2‒2m 2+m 2‒m =‒1m =1当时，由题意得：当时，y 最小值为，m <‒2x =‒2‒1代入抛物线解析式中得：，即，此方程无解；4+4m +m 2‒m =‒1m 2+3m +5=0综上，m 的值是1或5．【解析】利用一元二次方程根的情况判断抛物线与x 轴的交点情况；(1)先确定出抛物线的顶点坐标，即可得出结论；(2)利用抛物线的增减性，分三种情况讨论即可得出结论．(3)此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线的顶点坐标的确定，抛物线与x 轴交点个数的判定，极值的确定，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．27.如图，在▱ABCD 中，，，，点E 为CD 上一动点，经过AB =32BC =5∠B =45∘A 、C 、E 三点的交BC 于点F ．⊙O 【操作与发现】当E 运动到处，利用直尺与规作出点E 与点F ；保留作图痕迹(1)AE ⊥CD ()在的条件下，证明：．(2)(1)AF AE =AB AD 【探索与证明】点E 运动到任何一个位置时，求证：；(3)AFAE =AB AD 【延伸与应用】点E 在运动的过程中求EF 的最小值．(4)【答案】解：如图1所示，(1)如图，易知AC 为直径，则，(2)AF ⊥BC 则，S 四边形ABCD =BC ⋅AF =CD ⋅AE 如图，作，，若E∴AF AE =CD BC =AB AD (3)AM ⊥BC AN ⊥CD 在DN 之间由可知，(2)AM AN =AB AD、F 、C 、E 四点共圆，∵A ，∴∠AFC +∠AEC =180∘，∵∠AFC +∠AFM =180∘，∴∠AEN =∠AFM ∽∵∠AMF =∠ANE ∴△AMF △ANE若E 在CN 之间时，同理可证∴AM AN =AF AE =AB AD 、F 、C 、E 四点共圆，(4)∵A，∴∠FAE +∠BCD =180∘四边形ABCD 为平行四边形，，∵∠B =45∘，∴∠BCD =135∘，∴∠FAE =45∘，∴∠FOE =90∘为等腰直角三角形，∴△FOE ，∴FE =2R ∵AN ≤AC ≤2R 与N 重合时，FE 最小，∴E 此时，FE =22AC 在中，，则△ABC AM =BM =3CM =2由勾股定理可知：∴AC =13此时EF 最小值为262【解析】当，此时AC 是的直径，作出AC 的中点O 后，以OA 为半径作(1)AE ⊥CD ⊙O 出即可作出点E 、F ；⊙O 易知AC 为直径，则，，从而得证；(2)AF ⊥BC S 四边形ABCD =BC ⋅AF =CD ⋅AE 如图，作，，若E 在DN之间，由可知，，然后再证明(3)AM ⊥BC AN ⊥CD (2)AM AN =AB AD ∽，从而可知，若E 在CN 之间时，同理可证；△AMF △ANE AM AN =AF AE =AB AD 由于A 、F 、C 、E 四点共圆，所以，由于四边形ABCD 为平行四(4)∠FAE +∠BCD =180∘边形，，从而可证为等腰直角三角形，所以，由于∠B =45∘△FOE FE =2R ，所以E 与N 重合时，FE 最小．AN ≤AC ≤2R 本题考查圆的综合问题，涉及相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质，尺规作图等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．。