九年级数学上册第二十三章+旋转复习同步测试+新人教版
九年级数学上册第二十三章旋转23.1图形的旋转同步练习卷新版新人教版(含答案)
九年级数学上册第二十三章旋转：23.1 图形的旋转一、选择题（共5小题）1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，将△ABC绕点C顺时针方向旋转60°后得到△EDC，此时点D在斜边AB上，斜边DE交AC于点F．则图中阴影部分的面积为（）A．2 B． C．D．2．如图，在△ABC中，∠CAB=70°．在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′=（）A．30° B．35° C．40° D．50°3．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE．若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，∠BAC的度数为（）A．60° B．75° C．85° D．90°4．下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（）A．B．C．D．5．把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=6，DC=7，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长为（）A． B．5 C．4 D．二、填空题（共11小题）6．如图，△ABC和△A′B′C是两个完全重合的直角三角板，∠B=30°，斜边长为10cm．三角板A′B′C 绕直角顶点C顺时针旋转，当点A′落在AB边上时，CA′旋转所构成的扇形的弧长为______cm．7．如图，在直角△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB=______°．8．如图，Rt△ABC的斜边AB=16，Rt△ABC绕点O顺时针旋转后得到Rt△A′B′C′，则Rt△A′B′C′的斜边A′B′上的中线C′D的长度为______．9．如图，在方格纸中，每个小方格都是边长为1cm的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上，将△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到△A′B′C′（其中A、B、C的对应点分别为A′，B′，C′，则点B在旋转过程中所经过的路线的长是______cm．（结果保留π）10．如图，是两块完全一样的含30°角的三角板，分别记作△ABC与△A′B′C′，现将两块三角板重叠在一起，设较长直角边的中点为M，绕中点M转动上面的三角板ABC，使其直角顶点C恰好落在三角板A′B′C′的斜边A′B′上，当∠A=30°，AC=10时，则此时两直角顶点C、C′间的距离是______．11．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正三角形OEF绕点O旋转．在旋转过程中，当AE=BF 时，∠AOE的大小是______．12．如图所示，将△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，添加一个条件______，使四边形ABCD为矩形．13．如图，将△ABC绕其中一个顶点顺时针连续旋转n′1、n′2、n′3所得到的三角形和△ABC的对称关系是______．14．如图，在△ABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为______．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=α，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△EDC，此时点D在AB边上，则旋转角的大小为______．16．如图，△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=6，△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′处，此时线段A′B′与BO的交点E为BO的中点，则线段B′E的长度为______．三、解答题（共6小题）17．如图所示，正方形ABCD中，E是CD上一点，F在CB的延长线上，且DE=BF．（1）求证：△ADE≌△ABF；（2）问：将△ADE顺时针旋转多少度后与△ABF重合，旋转中心是什么？18．四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．（1）求证：△ADE≌△ABF；（2）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心______ 点，按顺时针方向旋转______ 度得到；（3）若BC=8，DE=6，求△AEF的面积．19．如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF．现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，旋转角为a．（1）当点D′恰好落在EF边上时，求旋转角a的值；（2）如图2，G为BC中点，且0°＜a＜90°，求证：GD′=E′D；（3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与△CBD′能否全等？若能，直接写出旋转角a的值；若不能说明理由．20．将△ABC绕点B逆时针旋转α得到△DBE，DE的延长线与AC相交于点F，连接DA、BF．（1）如图1，若∠ABC=α=60°，BF=AF．①求证：DA∥BC；②猜想线段DF、AF的数量关系，并证明你的猜想；（2）如图2，若∠ABC＜α，BF=mAF（m为常数），求的值（用含m、α的式子表示）．21．某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE 按如图（1）所示位置放置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图（2），AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．（1）求证：AM=AN；（2）当旋转角α=30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由．22．如图1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ABC的平分线BE交AC于E．（1）求证：AE=BC；（2）如图（2），过点E作EF∥BC交AB于F，将△AEF绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′，连结CE′，BF′，求证：CE′=BF′；（3）在（2）的旋转过程中是否存在CE′∥AB？若存在，求出相应的旋转角α；若不存在，请说明理由．23.1 图形的旋转参考答案一、选择题（共5小题）1．C；2．C；3．C；4．A；5．B；二、填空题（共11小题）6．；7．70；8．8；9．π；10．5；11．15°或165°；12．∠B=90°；13．关于旋转点成中心对称；14．1.6；15．2a；16．；三、解答题（共6小题）17．18．A；90；19．20．21．22．。
九年级数学上册《第二十三章 图形的旋转》同步训练题及答案(人教版)
九年级数学上册《第二十三章图形的旋转》同步训练题及答案(人教版)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1．下列图形绕某点旋转90°后，不能与原来图形重合的是（）A． B． C． D．2．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，AB//x轴，交y 轴于点P．将△OAP绕点O 顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为( )A．(√3，-1) B．(-1，−√3) C．(−√3，-1) D．(1，√3)3．如图，在方格纸中，将Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到Rt△A′O′B，则下列四个图形中正确的是（）A．B．C．D．4．如图所示，将一个含30∘角的直角三角板ABC绕点A逆时针旋转，点B的对应点是点B′，若点B′、A、C在同一条直线上，则三角板ABC旋转的度数是（）A．60∘B．90∘C．120∘D．150∘5．如图，在Rt△ABC中∠ACB=90∘，∠A=60∘，AC=2将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，此时点A′恰好在边AB上，则点B′与点B之间的距离为（）A．4 B．2√3C．3 D．√36．如图，将Rt△ABC绕直角顶点顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，∠1=26°则∠B的度数为（）A．19°B．26°C．64°D．71°7．如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若AB=2，∠B=60°则CD的长为（）A．1 B．√3C．2 D．2√28．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF位置．若四边形AECF的面积为36，DE=2则AE的长为（）A．4√2B．2√6C．6 D．2√10二、填空题9．如图，将右边的图案变成左边的图案，是通过变化得到的.10．如图，在△BDE中，∠BDE=90°， BD=4，点D的坐标是( 6，0) ，∠BDO=15°，将 BDE 旋转到△ABC的位置，点C 在 BD上，则旋转中心的坐标为．11．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝75°，将平行四边形ABCD绕顶点B顺时针旋转到平行四边形A1B1C1D1，当C1D1第一次经过顶点C时，旋转角∠ABA1＝．12．如图，在△ABC中∠C=90°，∠B=30°将△ABC绕点A逆时针方向旋转20°得到△ADE，DE 交AB于点F，则∠AFE=°．13．如图，在△ABC中AB=√2，AC=4以C为旋转中心，将线段CB顺时针旋转90°得线段CD，连接AD，则AD的最小值为．三、解答题14．如图，在6×6的方格中，有一格点△ABC（顶点都在小正方形的顶点上）及格点P，按下列要求画格点三角形．（1）在图1中，画出△ABC绕点P顺时针旋转90°后的三角形△A'B'C'．（2）在图2中，画出△ABC绕某一点顺时针旋转90°后的△DEF，且点P在△DEF内（不包括边界）．15．如图，在△ABC中AB=2，BC=3.6，∠B=60°将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，求CD的长.16．如图，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转得到矩形FECG，点B与点E对应，点E恰好落在AD边上，BH⊥CE交于点H，求证：BH=CD.17．如图，P是正方形ABCD内一点，△ABP绕着点B旋转后能到达△CBE的位置．（1）旋转的角度是多少度？（2）若BP=3cm，求线段PE的长．18．如图，在四边形ABCD中AC，BD是对角线，将点B绕点C逆时针旋转60°得到点E，连接AE，BE，CE．（1）求∠CBE的度数；（2）若△ACD是等边三角形，且∠ABC=30°，AB=3，BD=5求BE的长．参考答案1．D2．B3．B4．D5．B6．D7．C8．D9．旋转10．（6−√2，√6）11．30°12．5013．3√214．（1）解：如图1中，△A′B′C′即为所求.（2）解：如图2中，△DEF即为所求．15．解：由旋转的性质可得：AD ＝AB∵∠B ＝60°∴△ABD 是等边三角形∴BD ＝AB ＝2∵AB ＝2，BC ＝3.6∴CD ＝BC －BD ＝3.6－2＝1.6.16．证明：∵四边形ABCD 是矩形∴AD ∥BC ，AB =CD∴∠DEC =∠BCH∵∠D =90°，BH ⊥EC∴∠D =∠BHC由旋转得CE =CB在△EDC 和△CHB 中{∠DEC =∠HCB∠D =∠BHC CE =CB∴△EDC ≌△CHB （AAS ）∴BH =CD .17．（1）解：∵△ABP 绕着点B 旋转后能到达△CBE 的位置 ∴∠ABC 为旋转角．∵四边形ABCD 是正方形∴∠ABC=90°即旋转的角度是90度；（2）解：∵△ABP 绕着点B 旋转后能到达△CBE 的位置 ∴BP=BE=3cm ，∠PBE=∠ABC=90°∴PE =√BP 2+BE 2=√32+32=3√2cm ．18．（1）解：∵将点B 绕点C 逆时针旋转60°得到点E ∴CB =CE ∠BCE =60°∴△BCE 是等边三角形∴∠CBE =60°．（2）解：∵△ACD 是等边三角形∴AC=DC ∴∠ACE=∠DCB又∵CB=CE∴△ACE≅△DCB∴AE=BD ∵BD=5∴AE=5．∵∠CBE=60°∠ABC=30°∴∠ABE=90°∴在Rt△ABE中BE=√AE2−AB2．∵AB=3∴BE=4．。
人教版 九年级上册数学 第23章 旋转 综合复习(含答案)
人教版九年级数学第23章旋转综合复习一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，如果甲、乙两图关于点O对称，那么乙图中不符合题意的一块是()2. 如图所示的图案中，是中心对称图形的是()3. 把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为()A．30°B．90°C．120°D．180°4. 如图，在直角坐标系中，已知菱形OABC的顶点A(1，2)，B(3，3)．作菱形OABC关于y轴的对称图形菱形OA′B′C′，再作菱形OA′B′C′关于点O的中心对称图形菱形OA″B″C″，则点C的对应点C″的坐标是()图25－K－1A．(2，－1) B．(1，－2)C．(－2，1) D．(－2，－1)5. 2018·绵阳在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心，把点A(3，4)逆时针旋转90°，得到点B，则点B的坐标为()A．(4，－3) B．(－4，3)C．(－3，4) D．(－3，－4)6. 如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AO B＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B′的坐标是()A．(－1，2＋3) B．(－3，3)C．(－3，2＋3) D．(－3，3)7. 如图，将△ABC以点O为旋转中心旋转180°后得到△A′B′C′.ED是△ABC的中位线，经旋转后变为线段E′D′.已知BC＝4，则线段E′D′的长度为()A．2 B．3 C．4 D．1.58. 如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为()A．90°－αB．αC．180°－αD．2α9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C ，M 是BC 的中点，P 是A′B′的中点，连接PM.若BC ＝2，∠A ＝30°，则线段PM 的最大值是( )A ．4B ．3C ．2D ．110. 2020·河北模拟如图所示，A 1(1，3)，A 2(32，32)，A 3(2，3)，A 4(3，0)．作折线OA 1A 2A 3A 4关于点A 4中心对称的图形，得折线A 8A 7A 6A 5A 4，再作折线A 8A 7A 6A 5A 4关于点A 8中心对称的图形……以此类推，得到一个大的折线．现有一动点P 从原点O 出发，沿着折线以每秒1个单位长度的速度运动，设运动时间为t 秒．当t ＝2020时，点P 的坐标为( )A ．(1010，3)B ．(2020，32)C ．(2016，0)D ．(1010，32)二、填空题（本大题共7道小题）11. 在平面直角坐标系中，将点A (4，2)绕原点按逆时针方向旋转90°后，其对应点A ′的坐标为________．12. 如图，在正方形网格中，格点△ABC 绕某点顺时针旋转角α(0＜α＜180°)得到格点△A 1B 1C 1，点A 与点A 1，点B 与点B 1，点C 与点C 1是对应点，则α＝________°.13. 如图所示，△ABC的顶点都在网格线的交点(格点)上，如果将△ABC绕点C 逆时针旋转90°，那么点B的对应点B′的坐标是________．14. 如图，△ABC，△BDE都是等腰直角三角形，BA＝BC，BD＝BE，AC＝4，DE＝2 2.将△BDE绕点B逆时针旋转后得△BD′E′，当点E′恰好落在线段AD′上时，CE′＝________．15. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC.若AC＝6，则四边形ABCD的面积为________．16. 如图，将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<90°)得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转β(0°<β<90°)得到AF，连接EF，若AB＝3，AC＝2，且α＋β＝∠B，则EF＝________.17. 如图，在平面直角坐标系中，对点P(1，0)作如下变换：先向上平移(后一次平移比前一次多1个单位长度)，再作关于原点的对称点，即向上平移1个单位长度得到点P1，作点P1关于原点的对称点P2，向上平移2个单位长度得到点P3，作点P3关于原点的对称点P4……那么点P2020的坐标为____________．三、解答题（本大题共4道小题）18. 如图，△ABO与△CDO关于点O中心对称，点E，F在线段AC上，且AF ＝CE.求证：DF＝BE.19. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点(点D与点A，B不重合)，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE 交BC于点F，连接BE.(1)求证：△ACD≌△BCE；(2)当AD＝BF时，求∠BEF的度数．20. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E是BC边上的点，将△ABD 绕点A逆时针旋转得到△ACD′.(1)求∠DAD′的度数；(2)当∠DAE＝45°时，求证：DE＝D′E.21. 请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：(1)探究1：如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD.求证：△BCD的面积为1 2a 2.(提示：过点D作BC边上的高DE，可证△ABC≌△BDE)(2)探究2：如图②，在一般的Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB 绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，请用含a的式子表示△BCD的面积，并说明理由．(3)探究3：如图③，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝a，将边AB绕点B 顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，试探究用含a的式子表示△BCD的面积，要有探究过程．人教版九年级数学第23章旋转综合复习-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】C[解析]2. 【答案】D3. 【答案】C4. 【答案】A[解析] ∵点C的坐标为(2，1)，∴点C′的坐标为(－2，1)，∴点C″的坐标为(2，－1)．故选A.5. 【答案】B[解析] 如图所示，建立平面直角坐标系，点B的坐标为(－4，3)．6. 【答案】B7. 【答案】A[解析] ∵ED 是△ABC 的中位线，BC ＝4，∴ED ＝2.又∵△A ′B ′C ′和△ABC 关于点O 中心对称，∴E ′D ′＝ED ＝2.8. 【答案】C[解析] 由题意可得∠CBD ＝α，∠C ＝∠EDB.∵∠EDB ＋∠ADB ＝180°， ∴∠C ＋∠ADB ＝180°.由四边形的内角和定理，得∠CAD ＋∠CBD ＝180°. ∴∠CAD ＝180°－∠CBD ＝180°－α.故选 C.9. 【答案】B[解析] 连接PC.在Rt △ABC 中，∵∠A ＝30°，BC ＝2， ∴AB ＝4.根据旋转的性质可知，∠A′CB′＝90°，A′B′＝AB ＝4. ∵P 是A′B′的中点，∴PC ＝12A′B′＝2. ∵M 是BC 的中点，∴CM ＝12BC ＝1. 又∵PM≤PC ＋CM ， 即PM≤3，∴PM 的最大值为3(此时点P ，C ，M 共线)． 故选B.10. 【答案】A二、填空题（本大题共7道小题） 11. 【答案】(－2，4)12. 【答案】90 [解析] 连接AA 1，CC 1，分别作AA 1和CC 1的垂直平分线，两直线相交于点D ，则点D 即为旋转中心，连接AD ，A 1D ，则∠ADA 1＝α＝90°.13. 【答案】(1，0)14. 【答案】2＋6 [解析] 如图，连接CE′，∵△ABC ，△BDE 都是等腰直角三角形，BA ＝BC ，BD ＝BE ，AC ＝4，DE ＝2 2，∴AB ＝BC ＝2 2，BD ＝BE ＝2.∵将△BDE 绕点B 逆时针旋转后得△BD′E′， ∴D′B ＝BE′＝BD ＝2，∠D′BE′＝90°， ∠D′BD ＝∠ABE′， ∴∠ABD′＝∠CBE′， ∴△ABD′≌△CBE′(SAS)， ∴∠D′＝∠CE′B ＝45°. 过点B 作BH ⊥CE′于点H ，在Rt △BHE′中，BH ＝E′H ＝22BE′＝2， 在Rt △BCH 中，CH ＝BC 2－BH 2＝6， ∴CE′＝2＋ 6.故答案为2＋ 6.15. 【答案】18[解析] 如图．∵∠BAD ＝∠BCD ＝90°，∴∠B ＋∠ADC ＝180°.又∵AB ＝AD ，∴将△ABC 绕点A 逆时针旋转90°后点B 与点D 重合，点C 的对应点E 落在CD 的延长线上，∴AE ＝AC ＝6，∠CAE ＝90°，∴S 四边形ABCD ＝S △ACE ＝12AC·AE ＝12×6×6＝18.16. 【答案】13 [解析] ∵α＋β＝∠B ，∴∠EAF ＝∠BAC ＋∠B ＝90°，∴△AEF是直角三角形，且AE ＝AB ＝3，AF ＝AC ＝2，∴EF ＝AE 2＋AF 2＝13.17. 【答案】(1，－505)[解析] 根据题意可列出下面的表格：观察表格可知：这些点平均分布在四个象限中，序号除以4余1的点在第一象限，横坐标都是1，纵坐标为序号减1除以4的商加1；序号除以4余2的点是序号除以4余1的点关于原点的对称点；序号能被4整除的点在第四象限，横坐标为1，纵坐标为序号除以4的商的相反数；序号除以4余3的点在第二象限，是序号能被4整除的点关于原点的对称点．因为2020÷4＝505，所以点P 2020在第四象限，坐标为(1，－505)．三、解答题（本大题共4道小题）18. 【答案】证明：∵△ABO 与△CDO 关于点O 中心对称， ∴BO ＝DO ，AO ＝CO.∵AF ＝CE ，∴AO －AF ＝CO －CE ， 即FO ＝EO.在△FOD 和△EOB 中，⎩⎨⎧FO ＝EO ，∠FOD ＝∠EOB ，DO ＝BO ，∴△FOD ≌△EOB(SAS)，∴DF ＝BE.19. 【答案】解：(1)证明：由题意可知，CD ＝CE ，∠DCE ＝90°. ∵∠ACB ＝90°，∴∠ACB －∠DCB ＝∠DCE －∠DCB ， 即∠ACD ＝∠BCE.在△ACD 与△BCE 中，⎩⎨⎧AC ＝BC ，∠ACD ＝∠BCE ，CD ＝CE ，∴△ACD ≌△BCE(SAS)．(2)∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴∠A ＝45°. ∵△ACD ≌△BCE ，∴AD ＝BE ，∠CBE ＝∠A ＝45°. ∵AD ＝BF ，∴BE ＝BF ， ∴∠BEF ＝12×(180°－45°)＝67.5°.20. 【答案】解：(1)∵将△ABD 绕点A 逆时针旋转，得到△ACD′， ∴∠DAD′＝∠BAC.∵∠BAC ＝90°，∴∠DAD′＝90°.(2)证明：∵△ABD 绕点A 逆时针旋转得到△ACD′， ∴AD ＝AD′，∠DAD′＝∠BAC ＝90°. ∵∠DAE ＝45°，∴∠D′AE ＝∠DAD′－∠DAE ＝90°－45°＝45°， ∴∠D′AE ＝∠DAE.在△AED 与△AED′中，⎩⎨⎧AE ＝AE ，∠DAE ＝∠D′AE ，AD ＝AD′，∴△AED ≌△AED′(SAS)， ∴DE ＝D′E.21. 【答案】解：(1)证明：如图①，过点D 作DE ⊥CB 交CB 的延长线于点E ，∴∠BED ＝∠ACB ＝90°.由旋转知，AB ＝BD ，∠ABD ＝90°，∴∠ABC ＋∠DBE ＝90°.又∵∠A ＋∠ABC ＝90°，∴∠A ＝∠DBE .在△ABC 和△BDE 中，⎩⎨⎧∠ACB ＝∠BED ，∠A ＝∠DBE ，AB ＝BD ，∴△ABC ≌△BDE (AAS)，∴BC ＝DE ＝a .∵S △BCD ＝12BC ·DE ，∴S △BCD ＝12a 2.(2)△BCD 的面积为12a 2.理由：如图②，过点D 作CB 的垂线，与CB 的延长线交于点E ，∴∠BED ＝∠ACB ＝90°.∵线段AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BD ，∴AB ＝BD ，∠ABD ＝90°，∴∠ABC ＋∠DBE ＝90°.又∵∠A ＋∠ABC ＝90°.∴∠A ＝∠DBE .在△ABC 和△BDE 中，⎩⎨⎧∠ACB ＝∠BED ，∠A ＝∠DBE ，AB ＝BD ，∴△ABC ≌△BDE (AAS)，∴BC ＝DE ＝a .∵S △BCD ＝12BC ·DE ，∴S △BCD ＝12a 2.(3)如图③，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，过点D 作DE ⊥CB 交CB 的延长线于点E ，∴∠AFB ＝∠E ＝90°，BF ＝12BC ＝12a ，∴∠F AB ＋∠ABF ＝90°.∵线段AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BD ，∴∠ABD ＝90°，AB ＝BD ，∴∠ABF ＋∠DBE ＝90°，∴∠F AB ＝∠DBE .在△AFB 和△BED 中，⎩⎨⎧∠AFB ＝∠BED ＝90°，∠F AB ＝∠DBE ，AB ＝BD ，∴△AFB ≌△BED (AAS)，∴BF ＝DE ＝12a ，∴S △BCD ＝12BC ·DE ＝12·a ·12a ＝14a 2.。
九年级数学上册第二十三章旋转23.1图形的旋转同步测试含解析新版新人教版(含答案)
九年级数学上册第二十三章旋转：23.1 图形的旋转一、选择题（共18小题）1．如图，△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（）A．4，30°B．2，60°C．1，30°D．3，60°2．如图，四边形ABDC中，△EDC是由△ABC绕顶点C旋转40°所得，顶点A恰好转到AB上一点E 的位置，则∠1+∠2=（）A．90° B．100°C．110°D．120°3．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD的度数是（）A．15° B．60° C．45° D．75°4．如图，线段AB放在边长为1个单位的小正方形网格中，点A、B均落在格点上，先将线段AB绕点O逆时针旋转90°得到线段A1B1，再将线段AB向下平移3个单位得到线段A2B2，线段AB，A1B1，A2B2的中点构成三角形面积为（）A．B．15 C．3 D．5．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB=21°，则∠AOB′的度数是（）A．21° B．45° C．42° D．24°6．如图，四边形ABCD是正方形，点E在CB的延长线上，连结AE，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADF，点E落在DC上的点F处，AF的延长线交BC延长线于点G．若AB=3，AE=，则CG的长是（）A．1.5 B．1.6 C．1.8 D．27．如图，△ABC中，∠C=67°，将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，且C′在边BC上，则∠B′C′B的度数为（）A．56° B．50° C．46° D．40°8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°．如果将该三角形绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处．那么旋转的角度等于（）A．55° B．60° C．65° D．80°9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2．将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A′B′C，则点B转过的路径长为（）A．B．C． D．π10．如图，ABCD为正方形，O为对角线AC、BD的交点，则△COD绕点O经过下列哪种旋转可以得到△DOA（）A．顺时针旋转90°B．顺时针旋转45°C．逆时针旋转90°D．逆时针旋转45°11．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将△AOC绕点O顺时针旋转90°得到△BOD，则的长为（）A．πB．6πC．3πD．1.5π12．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=20°，则∠B的度数是（）A．70° B．65° C．60° D．55°13．在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4．则下列结论错误的是（）A．AE∥BC B．∠ADE=∠BDCC．△BDE是等边三角形D．△ADE的周长是914．如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．若AC=，∠B=60°，则CD的长为（）A．0.5 B．1.5 C．D．115．将两个斜边长相等的三角形纸片如图①放置，其中∠ACB=∠CED=90°，∠A=45°，∠D=30°．把△DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图②，连接D1B，则∠E1D1B的度数为（）A．10° B．20° C．7.5°D．15°16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为（）A．30° B．60° C．90° D．150°17．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴正半轴上的A′处，则图中阴影部分面积为（）A．π﹣2 B．π C．π D．π﹣218．如图，△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（）A．2﹣B． +1 C．D．﹣1二、填空题（共6小题）19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积是．20．如图，在△ABC中，∠B=50°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针方向旋转到△AB′C′的位置，使得AB′⊥BC，连接CC′，则∠AC′C=度．21．如图，在正方形ABCD中，AD=1，将△ABD绕点B顺时针旋转45°得到△A′BD′，此时A′D′与CD交于点E，则DE的长度为．22．如图，AB是⊙O的直径，分别以OA，OB为直径作半圆．若AB=4，则阴影部分的面积是．23．如图，在△ABC中，AB=2，AC=4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，使CB′∥AB，分别延长AB、CA′相交于点D，则线段BD的长为．24．如图，在△ABC中，AC=BC=8，∠C=90°，点D为BC中点，将△ABC绕点D逆时针旋转45°，得到△A′B′C′，B′C′与AB交于点E，则S四边形ACDE= ．三、解答题（共6小题）25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，点D刚好落在AB边上．（1）求n的值；（2）若F是DE的中点，判断四边形ACFD的形状，并说明理由．26．如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至△FEG，DE、FG相交于点H．（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；（2）连结CG，求证：四边形CBEG是正方形．27．将一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°；在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如图①摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C．（1）求∠ADE的度数；（2）如图②，将△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°），此时的等腰直角三角尺记为△DE′F′，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，试判断的值是否随着α的变化而变化？如果不变，请求出的值；反之，请说明理由．28．已知△ABC中，M为BC的中点，直线m绕点A旋转，过B、M、C分别作BD⊥m于D，ME⊥m于E，CF⊥m于F．（1）当直线m经过B点时，如图1，易证EM=CF．（不需证明）（2）当直线m不经过B点，旋转到如图2、图3的位置时，线段BD、ME、CF之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况加以证明．29．在同一平面内，△ABC和△ABD如图①放置，其中AB=BD．小明做了如下操作：将△ABC绕着边AC的中点旋转180°得到△CEA，将△ABD绕着边AD的中点旋转180°得到△DFA，如图②，请完成下列问题：（1）试猜想四边形ABDF是什么特殊四边形，并说明理由；（2）连接EF，CD，如图③，求证：四边形CDEF是平行四边形．30．两个长为2cm，宽为1cm的长方形，摆放在直线l上（如图①），CE=2cm，将长方形ABCD绕着点C顺时针旋转α角，将长方形EFGH绕着点E逆时针旋转相同的角度．（1）当旋转到顶点D、H重合时，连接AE、CG，求证：△AED≌△GCD（如图②）．（2）当α=45°时（如图③），求证：四边形MHND为正方形．2016年人教版九年级数学上册同步测试：23.1 图形的旋转参考答案与试题解析一、选择题（共18小题）1．如图，△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（）A．4，30°B．2，60°C．1，30°D．3，60°【考点】旋转的性质；平移的性质．【分析】利用旋转和平移的性质得出，∠A′B′C=60°，AB=A′B′=A′C=4，进而得出△A′B′C 是等边三角形，即可得出BB′以及∠B′A′C的度数．【解答】解：∵∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，∴∠A′B′C=60°，AB=A′B′=A′C=4，∴△A′B′C是等边三角形，∴B′C=4，∠B′A′C=60°，∴BB′=6﹣4=2，∴平移的距离和旋转角的度数分别为：2，60°．故选：B．【点评】此题主要考查了平移和旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，得出△A′B′C是等边三角形是解题关键．2．如图，四边形ABDC中，△EDC是由△ABC绕顶点C旋转40°所得，顶点A恰好转到AB上一点E 的位置，则∠1+∠2=（）A．90° B．100°C．110°D．120°【考点】旋转的性质．【分析】由旋转的性质可知AC=EC，BC=DC，∠BCD=∠ACE=40°，在△BCD中，由内角和定理求∠1，根据外角定理可求∠2．【解答】解：在△BCD中，∠BCD=∠ACE=40°，BC=CD，∴△BCD为等腰三角形，∴∠1=（180°﹣40°）=70°，∵∠BEC为△ACE的外角，∴∠2+∠DEC=∠ACE+∠A，而∠DEC与∠A为对应角，∴∠2=∠ACE=40°，∴∠1+∠2=70°+40°=110°，故选C．【点评】本题考查了旋转的性质的运用．旋转前后对应边相等，对应点与旋转中心的连线相等，且夹角为旋转角．3．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD的度数是（）A．15° B．60° C．45° D．75°【考点】旋转的性质．【分析】根据∠AOD=∠DOB﹣∠AOB求解．【解答】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△COD，∴∠BOD=60°，∵∠AOB=15°，∴∠AOD=∠DOB﹣∠AOB=60°﹣15°=45°．故选：C．【点评】本题考查了图形的旋转的性质，解题的关键是一个旋转图形的对应点的连线所夹的角相等，都等于旋转角．4．如图，线段AB放在边长为1个单位的小正方形网格中，点A、B均落在格点上，先将线段AB绕点O逆时针旋转90°得到线段A1B1，再将线段AB向下平移3个单位得到线段A2B2，线段AB，A1B1，A2B2的中点构成三角形面积为（）A．B．15 C．3 D．【考点】旋转的性质；平移的性质．【专题】网格型．【分析】首先作出线段A1B1和A2B2，确定线段AB，A1B1，A2B2的中点，作出三角形，利用三角形的面积公式求解．【解答】解：三角形的面积是：×3×5=．故选A．【点评】本题考查了图形的旋转以及平移作图，以及三角形的面积公式，正确作出线段AB，A1B1，A2B2的中点构成三角形是关键．5．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB=21°，则∠AOB′的度数是（）A．21° B．45° C．42° D．24°【考点】旋转的性质．【分析】如图，首先运用旋转变换的性质求出∠BOB′的度数，结合∠AOB=21°，即可解决问题．【解答】解：如图，由题意及旋转变换的性质得：∠BOB′=45°，∵∠AOB=21°，∴∠AOB′=45°﹣21°=24°，故选D．【点评】该题主要考查了旋转变换的性质及其应用问题；牢固掌握旋转变换的性质是灵活运用、解题的关键．6．如图，四边形ABCD是正方形，点E在CB的延长线上，连结AE，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADF，点E落在DC上的点F处，AF的延长线交BC延长线于点G．若AB=3，AE=，则CG的长是（）A．1.5 B．1.6 C．1.8 D．2【考点】旋转的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．【专题】计算题．【分析】先根据正方形的性质得AB=AD=CD=3，再根据旋转的性质得AF=AE=，则可根据勾股定理计算出DF=2，所以CF=CD﹣DF=1，然后证明△CGF∽△DAF，再利用相似比可计算出CG．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=CD=3，∵△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADF，∴AF=AE=，在Rt△ADF中，∵AD=3，AF=，∴DF==2，∴CF=CD﹣DF=3﹣2=1，∵AD∥CG，∴△CGF∽△DAF，∴=，即=，∴CGF=1.5．故选A．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了勾股定理和相似三角形的判定与性质．7．如图，△ABC中，∠C=67°，将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，且C′在边BC上，则∠B′C′B的度数为（）A．56° B．50° C．46° D．40°【考点】旋转的性质；等腰三角形的性质．【专题】几何图形问题．【分析】利用旋转的性质以及等腰三角形的性质得出∠AC′C=∠AC′B′=67°，进而得出∠B′C′B 的度数．【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，∴AC′=AC，∴∠C=∠AC′C=67°，∴∠AC′B=180°﹣67°=113°，∵∠AC′C=∠AC′B′=67°，∴∠B′C′B=∠AC′B﹣∠AC′B′=113°﹣67°=46°．故选：C．【点评】此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，得出∠AC′C=∠AC′B′=67°是解题关键．8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°．如果将该三角形绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处．那么旋转的角度等于（）A．55° B．60° C．65° D．80°【考点】旋转的性质．【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进而得出△ABB1是等边三角形，即可得出旋转角度．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将该三角形绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处，∴AB1=BC，BB1=B1C，AB=AB1，∴BB1=AB=AB1，∴△ABB1是等边三角形，∴∠BAB1=60°，∴旋转的角度等于60°．故选：B．【点评】此题主要考查了旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，得出△ABB1是等边三角形是解题关键．9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2．将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A′B′C，则点B转过的路径长为（）A．B．C． D．π【考点】旋转的性质；弧长的计算．【专题】几何图形问题．【分析】利用锐角三角函数关系得出BC的长，进而利用旋转的性质得出∠BCB′=60°，再利用弧长公式求出即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2，∴cos30°=，∴BC=ABcos30°=2×=，∵将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A′B′C，∴∠BCB′=60°，∴点B转过的路径长为： =π．故选：B．【点评】此题主要考查了旋转的性质以及弧长公式应用，得出点B转过的路径形状是解题关键．10．如图，ABCD为正方形，O为对角线AC、BD的交点，则△COD绕点O经过下列哪种旋转可以得到△DOA（）A．顺时针旋转90°B．顺时针旋转45°C．逆时针旋转90°D．逆时针旋转45°【考点】旋转的性质．【专题】几何图形问题．【分析】因为四边形ABCD为正方形，所以∠COD=∠DOA=90°，OC=OD=OA，则△COD绕点O逆时针旋转得到△DOA，旋转角为∠COD或∠DOA，据此可得答案．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠COD=∠DOA=90°，OC=OD=OA，∴△COD绕点O逆时针旋转得到△DOA，旋转角为∠COD或∠DOA，故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质，旋转要找出旋转中心、旋转方向、旋转角．11．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将△AOC绕点O顺时针旋转90°得到△BOD，则的长为（）A．πB．6πC．3πD．1.5π【考点】旋转的性质；弧长的计算．【专题】计算题．【分析】根据弧长公式列式计算即可得解．【解答】解：的长==1.5π．故选：D．【点评】本题考查了旋转的性质，弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．12．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=20°，则∠B的度数是（）A．70° B．65° C．60° D．55°【考点】旋转的性质．【专题】几何图形问题．【分析】根据旋转的性质可得AC=A′C，然后判断出△ACA′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠CAA′=45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠A′B′C，然后根据旋转的性质可得∠B=∠A′B′C．【解答】解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，∴AC=A′C，∴△ACA′是等腰直角三角形，∴∠CAA′=45°，∴∠A′B′C=∠1+∠CAA′=20°+45°=65°，由旋转的性质得∠B=∠A′B′C=65°．故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．13．在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4．则下列结论错误的是（）A．AE∥BC B．∠ADE=∠BDCC．△BDE是等边三角形D．△ADE的周长是9【考点】旋转的性质；平行线的判定；等边三角形的性质．【专题】几何图形问题．【分析】首先由旋转的性质可知∠EBD=∠ABC=∠C=60°，所以看得AE∥BC，先由△ABC是等边三角形得出AC=AB=BC=5，根据图形旋转的性质得出AE=CD，BD=BE，故可得出AE+AD=AD+CD=AC=5，由∠EBD=60°，BE=BD即可判断出△BDE是等边三角形，故DE=BD=4，故△AED的周长=AE+AD+DE=AC+BD=9，问题得解．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠C=60°，∵将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，∴∠EAB=∠C=∠ABC=60°，∴AE∥BC，故选项A正确；∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB=BC=5，∵△BAE△BCD逆时针旋旋转60°得出，∴AE=CD，BD=BE，∠EBD=60°，∴AE+AD=AD+CD=AC=5，∵∠EBD=60°，BE=BD，∴△BDE是等边三角形，故选项C正确；∴DE=BD=4，∴△AED的周长=AE+AD+DE=AC+BD=9，故选项D正确；而选项B没有条件证明∠ADE=∠BDC，∴结论错误的是B，故选：B．【点评】本题考查的是图形旋转的性质及等边三角形的判定与性质，平行线的判定，熟知旋转前、后的图形全等是解答此题的关键．14．如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．若AC=，∠B=60°，则CD的长为（）A．0.5 B．1.5 C．D．1【考点】旋转的性质．【分析】解直角三角形求出AB，再求出CD，然后根据旋转的性质可得AB=AD，然后判断出△ABD是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BD=AB，然后根据CD=BC﹣BD计算即可得解．【解答】解：∵∠B=60°，∴∠C=90°﹣60°=30°，∵AC=，∴AB=AC•tan30°=×=1，∴BC=2AB=2，由旋转的性质得，AB=AD，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB=1，∴CD=BC﹣BD=2﹣1=1．故选：D．【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，熟记性质并判断出△ABD是等边三角形是解题的关键．15．将两个斜边长相等的三角形纸片如图①放置，其中∠ACB=∠CED=90°，∠A=45°，∠D=30°．把△DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图②，连接D1B，则∠E1D1B的度数为（）A．10° B．20° C．7.5°D．15°【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠DCE=60°，旋转的性质可得∠BCE1=15°，然后求出∠BCD1=45°，从而得到∠BCD1=∠A，利用“边角边”证明△ABC和△D1CB全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BD1C=∠ABC=45°，再根据∠E1D1B=∠BD1C﹣∠CD1E1计算即可得解．【解答】解：∵∠CED=90°，∠D=30°，∴∠DCE=60°，∵△DCE绕点C顺时针旋转15°，∴∠BCE1=15°，∴∠BCD1=60°﹣15°=45°，∴∠BCD1=∠A，在△ABC和△D1CB中，，∴△ABC≌△D1CB（SAS），∴∠BD1C=∠ABC=45°，∴∠E1D1B=∠BD1C﹣∠CD1E1=45°﹣30°=15°．故选：D．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并求出△ABC和△D1CB全等是解题的关键．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为（）A．30° B．60° C．90° D．150°【考点】旋转的性质．【专题】几何图形问题．【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠A=60°，根据旋转的性质可得AC=A′C，然后判断出△A′AC是等边三角形，根据等边三角形的性质求出∠ACA′=60°，然后根据旋转角的定义解答即可．【解答】解：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴∠A=90°﹣30°=60°，∵△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C时点A′恰好落在AB上，∴AC=A′C，∴△A′AC是等边三角形，∴∠ACA′=60°，∴旋转角为60°．故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形两锐角互余，等边三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．17．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴正半轴上的A′处，则图中阴影部分面积为（）A．π﹣2 B．π C．π D．π﹣2【考点】旋转的性质；扇形面积的计算．【分析】根据等腰直角三角形的性质求出AB，再根据旋转的性质可得A′B=AB，然后求出∠OA′B=30°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠A′BA=60°，即旋转角为60°，再根据S阴影=S扇+S△A′BC′﹣S△ABC﹣S扇形CBC′=S扇形ABA′﹣S扇形CBC′，然后利用扇形的面积公式列式计算即可得解．形ABA′【解答】解：∵∠ACB=90°，AC=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB=2OA=2OB=AC=2，∵△ABC绕点B顺时针旋转点A在A′处，∴BA′=AB，∴BA′=2OB，∴∠OA′B=30°，∴∠A′BA=60°，即旋转角为60°，S阴影=S扇形ABA′+S△A′BC′﹣S△ABC﹣S扇形CBC′，=S扇形ABA′﹣S扇形CBC′，=﹣，=π﹣π，=π．故选C．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，表示出阴影部分的面积等于两个扇形的面积的差是解题的关键，难点在于求出旋转角的度数．18．如图，△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（）A．2﹣B． +1 C．D．﹣1【考点】旋转的性质；四点共圆；线段的性质：两点之间线段最短；等边三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】取AC的中点O，连接AD、DG、BO、OM，如图，易证△DAG∽△DCF，则有∠DAG=∠DCF，从而可得A、D、C、M四点共圆，根据两点之间线段最短可得BO≤BM+OM，即BM≥BO﹣OM，当M在线段BO与该圆的交点处时，线段BM最小，只需求出BO、OM的值，就可解决问题．【解答】解：AC的中点O，连接AD、DG、BO、OM，如图．∵△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，∴AD⊥BC，GD⊥EF，DA=DG，DC=DF，∴∠ADG=90°﹣∠CDG=∠FDC， =，∴△DAG∽△DCF，∴∠DAG=∠DCF．∴A、D、C、M四点共圆．根据两点之间线段最短可得：BO≤BM+OM，即BM≥BO﹣OM，当M在线段BO与该圆的交点处时，线段BM最小，此时，BO===，OM=AC=1，则BM=BO﹣OM=﹣1．故选：D．【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、四点共圆的判定、勾股定理、两点之间线段最短等知识，求出动点M的运动轨迹是解决本题的关键．二、填空题（共6小题）19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积是．【考点】旋转的性质；扇形面积的计算．【专题】计算题．【分析】根据含30度的直角三角形三边的关系得到AB=2AC=2，BC=AC=，根据互余得到∠CAB=60°，再根据旋转的性质得到AC′=AC=1，AB′=AB=2，B′C′=BC=，∠B′AB=30°，∠C′AB′=∠CAB=60°，则∠C′AD=∠C′AB′∠BAB′=30°，接着在Rt△AC′D中，利用∠C′AD=30°可得C′D=AC′=，所以B′D=B′C′﹣C′D=，然后根据三角形面积公式、扇形面积公式和图中阴影部分的面积=S扇形BAB′﹣S△ADB′进行计算即可．【解答】解：∵∠C=90°，∠ABC=30°，∴∠CAB=60°，AB=2AC=2，BC=AC=，∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△AB′C′，∴AC′=AC=1，AB′=AB=2，B′C′=BC=，∠B′AB=30°，∠C′AB′=∠CAB=60°，∴∠C′AD=∠C′AB′∠BAB′=30°，在Rt△AC′D中，∵∠C′AD=30°，∴C′D=AC′=，∴B′D=B′C′﹣C′D=﹣=，∴图中阴影部分的面积=S扇形BAB′﹣S△ADB′=﹣××1=．故答案为：．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了扇形面积的计算和含30度的直角三角形三边的关系．20．如图，在△ABC中，∠B=50°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针方向旋转到△AB′C′的位置，使得AB′⊥BC，连接CC′，则∠AC′C=70 度．【考点】旋转的性质．【分析】首先证明∠CAC′=40°然后证明∠ACC′=∠AC′C；然后运用三角形的内角和定理求出∠AC′C=70°即可解决问题．【解答】解：∵∠B=50°，AB′⊥BC，∴∠B′AB=40°，∴旋转角为40°，∴∠CAC′=40°，由题意得：AC=AC′，∴∠ACC′=∠AC′C；∴∠AC′C=70°，故答案为70．【点评】本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．21．如图，在正方形ABCD中，AD=1，将△ABD绕点B顺时针旋转45°得到△A′BD′，此时A′D′与CD交于点E，则DE的长度为2﹣．【考点】旋转的性质．【专题】几何图形问题．【分析】利用正方形和旋转的性质得出A′D=A′E，进而利用勾股定理得出BD的长，进而利用锐角三角函数关系得出DE的长即可．【解答】解：由题意可得出：∠BDC=45°，∠DA′E=90°，∴∠DEA′=45°，∴A′D=A′E，∵在正方形ABCD中，AD=1，∴AB=A′B=1，∴BD=，∴A′D=﹣1，∴在Rt△DA′E中，DE==2﹣．故答案为：2﹣．【点评】此题主要考查了正方形和旋转的性质以及勾股定理、锐角三角函数关系等知识，得出A′D 的长是解题关键．22．如图，AB是⊙O的直径，分别以OA，OB为直径作半圆．若AB=4，则阴影部分的面积是2π．【考点】旋转的性质．【分析】首先计算出圆的面积，根据图示可得阴影部分面积为半圆的面积，进而可得答案．【解答】解：∵AB=4，∴BO=2，∴圆的面积为：π×22=4π，∴阴影部分的面积是：×4π=2π，故答案为：2π．【点评】此题主要考查了旋转的性质，关键是掌握圆的面积公式．23．如图，在△ABC中，AB=2，AC=4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，使CB′∥AB，分别延长AB、CA′相交于点D，则线段BD的长为 6 ．【考点】旋转的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】几何图形问题．【分析】利用平行线的性质以及旋转的性质得出△CAD∽△B′A′C，再利用相似三角形的性质得出AD的长，进而得出BD的长．【解答】解：∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，∴AC=CA′=4，AB=B′A′=2，∠A=∠CA′B′，∵CB′∥AB，∴∠B′CA′=∠D，∴△CAD∽△B′A′C，∴=，∴=，解得AD=8，∴BD=AD﹣AB=8﹣2=6．故答案为：6．【点评】此题主要考查了旋转的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出△CAD∽△B′A′C 是解题关键．24．如图，在△ABC中，AC=BC=8，∠C=90°，点D为BC中点，将△ABC绕点D逆时针旋转45°，得到△A′B′C′，B′C′与AB交于点E，则S四边形ACDE= 28 ．【考点】旋转的性质．【专题】几何图形问题．【分析】利用旋转的性质得出∠B=∠BDE=45°，BD=4，进而由S四边形ACDE=S△ACB﹣S△BDE求出即可．【解答】解：由题意可得：∠B=∠BDE=45°，BD=4，则∠DEB=90°，∴BE=DE=2，∴S△BDE=×2×2=4，∵S△ACB=×AC×BC=32，∴S四边形ACDE=S△ACB﹣S△BDE=28．故答案为：28．【点评】此题主要考查了旋转的性质以及三角形面积求法，得出S△BDE是解题关键．三、解答题（共6小题）25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，点D刚好落在AB边上．（1）求n的值；（2）若F是DE的中点，判断四边形ACFD的形状，并说明理由．【考点】旋转的性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线；菱形的判定．【专题】几何图形问题．【分析】（1）利用旋转的性质得出AC=CD，进而得出△ADC是等边三角形，即可得出∠ACD的度数；（2）利用直角三角形的性质得出FC=DF，进而得出AD=AC=FC=DF，即可得出答案．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n 度后，得到△DEC，∴AC=DC，∠A=60°，∴△ADC是等边三角形，∴∠ACD=60°，∴n的值是60；（2）四边形ACFD是菱形；理由：∵∠DCE=∠ACB=90°，F是DE的中点，∴FC=DF=FE，∵∠CDF=∠A=60°，∴△DFC是等边三角形，∴DF=DC=FC，∵△ADC是等边三角形，∴AD=AC=DC，∴AD=AC=FC=DF，∴四边形ACFD是菱形．【点评】此题主要考查了菱形的判定以及旋转的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，得出△DFC是等边三角形是解题关键．26．如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至△FEG，DE、FG相交于点H．（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；（2）连结CG，求证：四边形CBEG是正方形．【考点】旋转的性质；正方形的判定；平移的性质．【专题】几何图形问题．【分析】（1）根据旋转和平移可得∠DEB=∠ACB，∠GFE=∠A，再根据∠ABC=90°可得∠A+∠ACB=90°，进而得到∠DEB+∠GFE=90°，从而得到DE、FG的位置关系是垂直；（2）根据旋转和平移找出对应线段和角，然后再证明是矩形，后根据邻边相等可得四边形CBEG是正方形．【解答】（1）解：FG⊥ED．理由如下：∵△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，∴∠DEB=∠ACB，∵把△ABC沿射线平移至△FEG，∴∠GFE=∠A，∵∠ABC=90°，∴∠A+∠ACB=90°，∴∠DEB+∠GFE=90°，∴∠FHE=90°，∴FG⊥ED；（2）证明：根据旋转和平移可得∠GEF=90°，∠CBE=90°，CG∥EB，CB=BE，∵CG∥EB，∴∠BCG=∠CBE=90°，∴四边形BCGE是矩形，∵CB=BE，∴四边形CBEG是正方形．【点评】此题主要考查了图形的旋转和平移，关键是掌握新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．27．将一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°；在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如图①摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C．（1）求∠ADE的度数；（2）如图②，将△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°），此时的等腰直角三角尺记为△DE′F′，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，试判断的值是否随着α的变化而变化？如果不变，请求出的值；反之，请说明理由．【考点】旋转的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AD=BD=AB，根据等边对等角求出∠ACD=∠A，再求出∠ADC=120°，再根据∠ADE=∠ADC﹣∠EDF计算即可得解；（2）根据同角的余角相等求出∠PDM=∠CDN，再根据然后求出△BCD是等边三角形，根据等边三角形的性质求出∠BCD=60°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CPD=60°，从而得到∠CPD=∠BCD，再根据两组角对应相等，两三角形相似判断出△DPM和△DCN相似，再根据相似三角形对应边成比例可得=为定值．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，点D为AB的中点，∴CD=AD=BD=AB，∴∠ACD=∠A=30°，∴∠ADC=180°﹣30°×2=120°，∴∠ADE=∠ADC﹣∠EDF=120°﹣90°=30°；（2）∵∠EDF=90°，∴∠PDM+∠E′DF=∠CDN+∠E′DF=90°，∴∠PDM=∠CDN，∵∠B=60°，BD=CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠BCD=60°，∵∠CPD=∠A+∠ADE=30°+30°=60°，∴∠CPD=∠BCD，在△DPM和△DCN中，，∴△DPM∽△DCN，∴=，∵=tan∠ACD=tan30°=，∴的值不随着α的变化而变化，是定值．【点评】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记各性质并判断出相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．28．已知△ABC中，M为BC的中点，直线m绕点A旋转，过B、M、C分别作BD⊥m于D，ME⊥m于E，CF⊥m于F．（1）当直线m经过B点时，如图1，易证EM=CF．（不需证明）（2）当直线m不经过B点，旋转到如图2、图3的位置时，线段BD、ME、CF之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况加以证明．。
人教版九年级数学(上)第二十三章 旋转考试测试卷、答案
人教版九年级数学（上）第二十三章 旋转测试卷、答案一、选择题：（每小题3分共30分）1．如图，在等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，将△ABC 绕顶点 A 逆时针旋转 80°后得△AB′C′，则∠CAB′的度数为（ ）A ．45°B ．80°C ．125°D ．130°【答案】C 解：∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠CAB ＝45°，由旋转的性质可知，∠BAB′＝80°，∴∠CAB′＝∠CAB ＋∠BAB′＝125°，故选：C ．2．如图，把ABC ∆绕着点A 逆时针旋转20︒得到ADE ∆，30BAC ∠=︒，则BAE ∠的度数为（ ）A ．10︒B ．20︒C ．30°D ．50︒ 【答案】D 解 ABC ∆绕着点A 逆时针旋转20︒得到ADE ∆∴∠BAD=∠CAE=20°∴BAE ∠=+BAC CAE ∠∠=30°+20°=50°故选D3．图中，不能由一个基本图形通过旋转而得到的是( )A ．B ．C ．D ． 【答案】C解A 可以从基本图形转到整体图形；B 可以通过旋转将基本图形旋转成整体图形；C 不可以通过旋转得到整体图形；D 可以通过旋转将基本图形旋转成整体图形。
故选C.4．在以下几种生活现象中，不属于旋转的是( )A ．下雪时，雪花在天空中自由飘落B ．钟摆左右不停地摆动C ．时钟上秒针的转动D ．电风扇转动的扇叶【答案】A解A 是平移；B 是旋转；C 是旋转；D 是旋转。
故选A5．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A.B. C. D.【答案】D解A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意。
人教版九年级数学上册第二十三章旋转同步训练(解析版)
人教版九年级数学上册第二十三章旋转同步训练一、选择题（共 12 小题 ，每小题 3 分 ，共 36 分 ）1. 国旗上的四个小五角星，通过怎样的移动可以相互得到（ ）A. 轴对称B. 平移C. 旋转D. 平移和旋转【答案】D【解析】本题考查旋转与平移的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变；关键是要找到对称中心．根据旋转与平移的性质作答．解：四个小五角星通过旋转可以得到．故选D ．2. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）A. 菱形B. 矩形C. 五角星D. 线段 【答案】C【解析】【分析】依据中心对称图形定义（把一个图形绕一点旋转180度，能够与原来的图形重合，则这个点就叫做对称点，这个图形就是中心对称图）对各选项进行判断．【详解】解：根据中心对称图形的概念：把一个图形绕一点旋转180度，能够与原来的图形重合，则这个点就叫做对称点，这个图形就是中心对称图，可知：A 、B 、D 都是中心对称图形，而C 不是中心对称图形．故选C ．【点睛】考查了中心对称图形的概念．判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．3. 如图，将线段OA 绕点O 顺时针方向旋转90，则点()A 4,3-对应的坐标为（ ）A. (-3, -4)B. (3, 4)C. (4, 3)D. (-4, -3)【答案】B【解析】【分析】首先根据题意作出图形，然后过点A作AB⊥x轴于点B,过点A'作A'C⊥y轴于点C，易证得△AOB≌△A'OC,然后由全等三角形的性质,求得答案.【详解】如图，线段OA'是线段OA绕点O顺时针方向旋转90°得到的，过点A作AB⊥x轴于点B，过点A'作A'C⊥y轴于点C,∵∠AOB＋∠AOC＝∠AOC＋∠A'OC＝90°,∴∠AOB＝∠A'OC,在△AOB和△A'OC中,'?90''ABO A COAOB A OCOA OA∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOB≌△A'OC(AAS)，∴AB＝A'C＝3,OB＝OC＝4,∴点A(－4, 3)对应的坐标为(3, 4)，故答案选B.【点睛】此题考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，此题难度适中，注意掌握旋转前后图形的对应关系和数形结合思想的应用是解题的关键.4. 下列对下图的形成过程叙述正确的是（）A. 它可以看作是一只小狗绕图案的中心位置旋转90，180，270形成的B. 它可以看作是相邻两只小狗绕图案的中心位置旋转180形成的C. 它可以看作是相邻两只小狗绕图案的某条对称轴翻折而成的D. 它可以看作是左侧和上方的小狗分别向右侧和下方平移得到的【答案】D【解析】【分析】根据图形结合选项,采用排除法判定正确答案.【详解】观察图形可知:从小狗的头部方向看,上边的小狗与下方的方向相等，左边的与右边的方向相同，只有D符合，所以答案选D.【点睛】本题考查了平移的性质，平移后的图形能够重合，注意结合图形解题的思想是解题的关键.5. 如图，△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（）A. 2-3B. 3+1C. 2D. 3-1【答案】D【解析】试题解析：AC的中点O，连接AD、DG、BO、OM，如图．∵△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，∴AD⊥BC，GD⊥EF，DA=DG，DC=DF，∴∠ADG=90°-∠CDG=∠FDC，DA DG，DC DF∴△DAG∽△DCF，∴∠DAG=∠DCF．∴A、D、C、M四点共圆．根据两点之间线段最短可得：BO≤BM+OM，即BM≥BO-OM，当M在线段BO与该圆的交点处时，线段BM最小，此时，BO=2222213BC OC-=-=，OM=12AC=1，则BM=BO-OM=3-1．故选D．考点：1.等边三角形的性质、2.等腰三角形的性质、3.相似三角形的判定与性质.6. 如图,在4×4的正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形(简称格点正方形).若再作一个格点正方形,并涂上阴影,使这两个格点正方形无重叠,且组成的图形既是轴对称图形,又是中心对称图形,则这个格点正方形的作法共有( )A. 2种B. 3种C. 4种D. 5种【答案】C【解析】试题分析：利用轴对称图形的性质以及中心对称图形的性质分析得出符合题意的图形即可．解：如图所示：组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有4种．故选C．点评：此题主要考查了利用轴对称以及旋转设计图案，正确把握相关定义是解题关键．7. 如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD 、AD 上的点，CE DF =，AE 、BF 相交于点O ．下列结论：()1AE BF =；()2AE BF ⊥；()3ABF 与DAE 成中心对称．其中，正确的结论有（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】【分析】 只要证明△BAF ≌△ADE ，推出BF ＝AE ,∠ABF ＝∠DAE ,由∠DAE ＋∠BAO ＝90°，推出∠BAO ＋∠ABO ＝90°，推出AE ⊥BF ,推出①②正确,因为△ABF 绕对角线的交点顺时针旋转90°可得△ADE ，所以△ABF 与△DAE 不成中心对称，由此即可判断.【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ＝CD ，∠BAD ＝∠D ＝90°，∵CE ＝DF ，∴AF ＝DE ，在△BAF和△ADE 中，AB AD BAD D AF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAF ≌△ADE ，∴BF ＝AE ，∠ABF ＝∠DAE ，∵∠DAE ＋∠BAO ＝90°，∴∠BAO ＋∠ABO ＝90°，∴AE ⊥BF ，∴①②正确，∵△ABF 绕对角线的交点顺时针旋转90°可得△ADE ，∴△ABF 与△DAE 不成中心对称，故③错误，故答案选C.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质，解本题的要点在于证明△BAF ≌△ADE ，从而判断，得出答案.8. 如图，在ABC 中，ACB 90∠=，AC BC =，P 是ABC 内一点，且PA 1=，PB 3=，PC 2=，则APC ∠等于（ ）A. 105°B. 120°C. 135°D. 150°【答案】C【解析】【分析】把△APC 绕点C 逆时针旋转90°得到△BDC ，根据旋转的性质可得△PCD 是等腰直角三角形，BD ＝AP ，∠APC ＝∠BDC ，根据等腰直角三角形的性质求出PD ，∠PDC ＝45°，然后利用勾股定理逆定理判断出△PBD 是直角三角形，∠PDB ＝90°,再求出∠BDC 即可得解. 【详解】如图，把△APC 绕点C 逆时针旋转90°得到△BDC ，由旋转的性质得，△PCD 是等腰直角三角形，BD ＝AP ＝1，∠APC ＝∠BDC ，所以PD ＝2PC ＝22，∠PDC ＝45°，∵PD 2＋BD 2＝（22）2＋12＝9，PB 2＝32＝9，∴PD 2＋BD 2＝PB 2，∴△PBD 是直角三角形，∠PDB ＝90°，∴∠BDC ＝90°＋45°＝135°，∴∠APC ＝135°，故答案选C.【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出等腰直角三角形和直角三角形是解题的关键.9. 如图，在Rt ABC 中，ABC 90∠=，BAC 30∠=，AB 3=，将ABC 绕顶点C 顺时针旋转至A'B'C'的位置，且A 、C 、B'三点在同一条直线上，则点A 经过的路线的长度是（ ）A. 43 C. 32π 3 D. 4π 3【答案】D【解析】【分析】 点A 经过的路线即以C 为圆心,以AC 的长为半径的弧，利用解直角三角形的知识求得AC 的长和∠ACB 的度数,从而求得∠ACA '的度数，再根据弧长公式进行计算.【详解】在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，AB 3ACB ＝60°，AC ＝cos AB A ＝2，∴∠AC A '＝120°，∴点A 经过的路线的长度是1202180π⨯＝43π，故答案选D. 【点睛】此题综合运用了解直角三角形的知识、旋转的性质以及弧长公式，解本题的要点在于求出∠ACA '的度数，再算出答案.10. 如图，在新型俄罗斯方块游戏中（出现的图案可进行顺时针、逆时针旋转；向左、向右平移），已拼好的图案如图所示，现又出现一个形如的方块正向下运动，你必须进行以下哪项操作，才能拼成一个完整的图形（ ）A. 顺时针旋转90，向右平移B. 逆时针旋转90，向右平移C. 顺时针旋转90，向左平移D. 逆时针旋转90，向左平移【答案】A【解析】【分析】 在俄罗斯方块游戏中，要使其自动消失，要把三行排满,需要旋转和平移，通过观察即可得到.【详解】由图可知，把出现的方块顺时针旋转90°然后向右平移即可落入已经拼好的图案的空格处.所以答案选A.【点睛】本题考查了生活中的旋转现象与平移现象,准确观察又出现的方块与已经拼好的空格的形状是解题的关键，要注意看清是顺时针还是逆时针旋转旋转多少度,难度不大.11. 将两个斜边长相等的三角形纸片如图①放置，其中ACB CED 90∠∠==，A 45∠=，D 30∠=．把DCE 绕点C 顺时针旋转15得到11D CE ，如图②，连接1D B ，则11E D B ∠的度数为（ ）A. 10°B. 20°C. 7.5°D. 15°【答案】D【解析】【分析】根据题意证明△ACB ≌△CBD 1，求出∠CD 1B ＝45°，即可解决问题．【详解】由题意得：∠CD 1E 1＝∠D ＝30°，∠D 1CE 1＝∠DCE ＝90°－30°＝60°，∵把△DCE 绕点C 顺时针旋转15°得到△D 1CE 1，∴∠BCE 1＝15°，∴∠D 1CB ＝60°－15°＝45°，在△ACB 和△CBD 1中，11==AB CD ABC D CB CB BC ⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩，∴△ACB ≌△CBD 1，∴∠CD 1B ＝∠A ＝45°，∴∠E 1D 1B ＝∠CD 1B －∠CD 1E 1＝45°－30°＝15°，故答案选D.【点睛】该题主要考查了旋转变换的性质、直角三角形的性质等几何知识点及其应用问题；试题难度中等；解题的关键是灵活运用旋转变换的性质、直角三角形的性质等几何知识点来分析、判断、解答．12. 如图，ABC 与DCE 都是正三角形，且B ，C ，E 在同一直线上，AB DE =，则下列说法中正确的是（ ）A. CDE 可由ABC 旋转得到B. CDE 可由ABC 平移得到C. CDE 可由ABC 翻折得到D. 以上都有可能【答案】D【解析】【分析】观察图形然后根据旋转、平移和翻折解答. 【详解】A 、△CDE 可由△ABC 顺时针旋转120°得到；B 、△CDE 可由△ABC 沿BC 方向平移BC 长度得到；C 、△CDE 可由△ABC 沿过点C 与BE 垂直的直线翻折得到；所以，A 、B 、C 三选项都有可能，所以答案选D.【点睛】本题考查了几何变换的类型，等边三角形的性质，熟练掌握旋转、平移和翻折的性质并准确识图是解题的关键.二、填空题（共 4 小题 ，每小题 3 分 ，共 12 分 ）13. 已知点P 的坐标为()3,4，O 为坐标原点，连接OP ，将线段OP 绕O 点旋转90得1OP ，则点1P 的坐标为________．【答案】()4,3-或()4,3-【解析】【分析】作出图形分顺时针旋转90°和逆时针旋转90°两种情况讨论求解. 【详解】如图，若顺时针旋转,则点P 1的坐标为(4,－3)，若逆时针旋转，则点P 1的坐标为(－4, 3),所以点P 1的坐标为(4,－3)或(－4,3)，故答案为:(4,－3)或(－4,3).【点睛】本题考查了坐标与图形变化－旋转，熟练掌握旋转的性质,作出图形利用数形结合是解题的关键. 14. 正十边形至少要绕它的中心旋转________度，才能和原来的图形重合．【答案】36【解析】【分析】正十边形被平分成10部分，因而每部分被分成的圆心角是36°，因而旋转36°的整数倍，就可以与自身重合．【详解】正十边形至少要绕它的中心旋转36度，才能和原来的图形重合.故答案36.【点睛】本题考查了旋转对称图形，解题的关键是熟练的掌握旋转对称图形的定义.15. 如图，已知EAD 32∠=，ADE 绕着点A 旋转50后能与ABC 重合，则BAE ∠=________度．【答案】18【解析】【分析】根据旋转对称图形的定义解答．【详解】解：∵△ADE 绕着点A 旋转50°后能与△ABC 重合，∴∠BAD=50°，又∵∠EAD=32°， ∴∠BAE=∠BAD−∠EAD=50°−32°=18°.故答案18.【点睛】本题考查了旋转的性质，解题的关键是根据旋转对称图形的定义解答.16. 在AOB 中，AOB 90∠=，OA 3=，OB 4=，将AOB 沿x 轴依次以点A 、B 、O 为旋转中心顺时针旋转，分别得到图?、图②、…，则旋转得到的图2018的直角顶点的坐标为________．【答案】(8072,0)【解析】【分析】利用勾股定理得到AB 的长度，结合图形可求出图③的直角顶点的坐标；根据图形不难发现，每3个图形为一个循环组依次循环，且下一组的第一个图形与上一组的最后一个图形的直角顶点重合．【详解】∵∠AOB=90°，OA=3，OB=4， ∴22OA OB +2234+，∴旋转得到图③的直角顶点的坐标为(12,0)；根据图形，每3个图形为一个循环组，3+5+4=12，因为2018÷3=672 (2)所以图2018的直角顶点在x 轴上，横坐标为672×12+3+5=8072， 所以图2018的顶点坐标为(8072,0)，故答案是：(8072,0).【点睛】本题考查了旋转的性质与规律的知识点，解题的关键是根据点的坐标找出规律.三、解答题（共 5 小题 ，共 52 分 ）17. 已知点()A m n,2m --与点()B 3n,2n m --，如果点A 、B 关于原点对称，求m 、n 的值．【答案】m 的值为2、n 的值为-1．【解析】【分析】平面直角坐标系中任意一点P （x ，y ），关于原点的对称点是（-x ，-y ），可据此求出m 、n 的值．【详解】∵点()A m n,2m --与点()B 3n,2n m --关于坐标系原点对称，∴m n 3n -=-，()2m 2n m -=---解得：m 2=，n 1=-．故m 的值为2、n 的值为1-．【点睛】本题考查了关于原点对称的点得到坐标，解题的关键是熟练的掌握关于原点对称点的坐标的性质. 18. 已知点()P x,x y +与点()Q 2y,6关于原点对称，求点P 关于x 轴对称的点M 的坐标及点Q 关于y 轴对称的点N 的坐标．【答案】点P 关于x 轴对称的点M 的坐标是(-12, 6)；点Q 关手y 轴对称的点N 的坐标是(-12, 6)．【解析】【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数可求x ，y 的值；根据关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数解答可求点M 的坐标；根据关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数可求点N 的坐标．【详解】∵点()P x,x y +与点()Q 2y,6关于原点对称，∴26x y x y =-⎧⎨+=-⎩， 解得126x y =-⎧⎨=⎩， ∴点()P 12,6--，点()Q 12,6；∴点P 关于x 轴对称的点M 的坐标是()12,6-；点Q 关手y 轴对称的点N 的坐标是()12,6-．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标与关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，解题的关键是熟练的掌握关于原点对称的点的坐标与关于x 轴、y 轴对称的点的坐标的性质.19. 如图，在平面直角坐标系中，有一Rt ABC ，且()A 1,3-，()B 3,1--，()C 3,3-，已知11A AC 是由ABC 旋转得到的．()1请写出旋转中心的坐标是________，旋转角是________度；()2设线段AB 所在直线AB 表达式为y kx b =+，试求出当x 满足什么要求时，y 2>；()3点Q 在x 轴上，点P 在直线AB 上，要使以Q 、P 、1A 、1C 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件点P 的坐标．【答案】（1）（0，0），90；（2）当x ＞﹣1.5时，y ＞2； （3）（-1.5，2），（-3.5，2），（-0.5，4）.【解析】【分析】（1）根据网格结构，找出对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，一对对应点与旋转中心连线的夹角即为旋转角；（2）先根据A 、B 两点在坐标系内的坐标，利用待定系数法求出线段AB 所在直线的解析式，再根据y>2求出x 的取值范围即可；（3）要使以Q 、P 、A 1、C 1为顶点的四边形是平行四边形，则PQ=A 1 C 1=2，在直线AB 上到x 轴的距离等于2 的点，就是P 点，因此令y=2或-2求得x 的值即可．【详解】(1)旋转中心的坐标是(0,0)，旋转角是90度；(2)∵由图可知A(−1,3),B(−3,−1)，∴设直线AB 的解析式为y=kx+b(k≠0)，则331k b k b -+=⎧⎨-+=-⎩， 解得25k b =⎧⎨=⎩， ∴直线AB 的解析式为：y=2x+5；∵y>2，∴2x+5>2，解得：x>−1.5，∴当x>−1.5时，y>2.(3)∵点Q 在x 轴上,点P 在直线AB 上,以Q 、P 、A 1、C 1为顶点的四边形是平行四边形，当A 1C 1为平行四边形的边时，∴PQ=A 1C 1=2，∵P 点在直线y=2x+5上，∴令y=2时,2x+5=2,解得x=−1.5，令y=−2时,2x+5=−2,解得x=−3.5，当A 1C 1为平行四边形的对角线时，∵A 1C 1的中点坐标为(3,2)，∴P 的纵坐标为4，代入y=2x+5得，4=2x+5，解得x=−0.5，∴P(−0.5,4)，故P 为(−1.5,2)或(−3.5,−2)或(−0.5,4).【点睛】本题考查了一次函数与旋转的知识点，解题的关键是熟练的掌握一次函数与旋转的相关知识点.20. 如图，点E 是正方形ABCD 内一点，将ABE 绕点B 顺时针旋转90到CBF 的位置，点A ，E ，F 恰好在同一直线上．求证：AF CF ⊥．【答案】证明见解析.【解析】【分析】根据旋转的性质可得△ABE ≌△CBF ，然后根据全等三角形的对应边相等以及正方形的性质证明△BEF 是等腰直角三角形，然后证明∠CFE=90°，据此即可证得．【详解】∵由旋转性质可得ABE CBF ≅．∴BE BF =，ABE CBF ∠∠=，又∵正方形ABCD 中，ABC 90∠=，即ABE EBC 90∠∠+=，∴EBC CBF 90∠∠+=，即EBF 90∠=，∴BEF 等腰直角三角形，∴BEF BFE 45∠∠==．∴AEB CFB 18045135∠∠==-=．∴CFE CFB EFB 1354590∠∠∠=-=-=．∴AF CF ⊥．【点睛】本题考查了正方形与旋转的性质，解题的关键是熟练的掌握正方形与旋转的性质.21. 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：()1如图1，在ABC 中，若AB 5=，AC 3=，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到E ，使得DE AD =，再连接BE （或将ACD 绕点D 逆时针旋转180得到EBD ），把AB 、AC 、2AD 集中在ABE 中，利用三角形的三边关系可得2AE 8<<，则1AD 4<<．[感悟]解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．()2解决问题：受到()1的启发，请你证明下列命题：如图2，在ABC 中，D 是BC 边上的中点，DE DF ⊥，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ．求证：BE CF EF +>，若A 90∠=，探索线段BE 、CF 、EF 之间的等量关系，并加以证明．【答案】（1）见解析；（2）222BE CF EF +=，理由见解析.【解析】【分析】（1）可按阅读理解中的方法构造全等，把CF 和BE 转移到一个三角形中求解．（2）由（1）中的全等得到∠C=∠CBG ．∵∠ABC+∠C=90°，∴∠EBG=90°，可得三边之间存在勾股定理关系；【详解】()1延长FD 到G ，使得DG DF =，连接BG 、EG ．（或把CFD 绕点D 逆时针旋转180得到BGD ），∴CF BG =，DF DG =，∵DE DF ⊥，∴EF EG =．在BEG 中，BE BG EG +>，即BE CF EF +>．()2若A 90∠=，则EBC FCB 90∠∠+=，由()1知FCD DBG ∠∠=，EF EG =，∴EBC DBG 90∠∠+=，即EBG 90∠=，∴在Rt EBG 中，222BE BG EG +=，∴222BE CF EF +=．【点睛】本题考查了旋转的性质与全等三角形的判定与性质以及三角形三边关系，解题的关键是熟练的掌握旋转的性质与全等三角形的判定与性质以及三角形三边关系.。
人教版数学九年级上册-第二十三章-旋转-同步练习(含解析)
九年级上册-第二十三章-旋转-同步练习一、单选题1.如图，Rt△ABC中，△BAC＝90°，△B＝60°，△AB′C′可以由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点），连结CC′，则△CC′B′的度数是（）A.45°B.30°C.25°D.15°2.已知点M（2m+1，m-1）与点N关于原点对称，若点N在第二象限，则m的取值（）A.m>1B.m<-C. -<m<1D.m<-或m>13.下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是().A.等边三角形B.直角三角形C.平行四边形D.正方形4.下列图形中，中心对称图形有（）A.1个B.2个C.3个D.4个5.如图，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB'C'，点C恰好落在斜边AB上，连接BB’，则△BB’C’=（）度。
A.25B.20C.30D.156.在图示的四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是（）A. B. C. D.7.如图，Rt△ABC中，△ACB=90°，AC=4，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB′．连接B'C，则△AB'C的面积为()A.4B.6C.8D.108.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.9.下面的图案是由一个图形经过多次轴对称变换得到的，在这些对称轴中，共有平行线（）A.1组B.2组C.3组D.4组10.如图，图形旋转一定角度后能与自身重合,则旋转的角度可能是( )A.30°B.60°C.90°D.120°二、填空题11.如图，在△ABC中，△C＝90°，BC＝3，AC＝5，点D为线段AC上一动点，将线段BD绕点D逆时针旋转90°，点B的对应点为E，连接AE，则AE长的最小值为________.12.将一副三角板按如图1位置摆放，使得两块三角板的直角边AC和MD重合．已知AB＝AC＝8cm，将△MED绕点A（M）逆时针旋转60°后（图2），两个三角形重叠（阴影）部分的面积是________cm2．13.如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，△B=60°，BC=2，△A'B'C可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A'与点A是对应点，点B与点B是对应点，连接AB'，且A、B’、A'在同一条直线上，则AA’的长为________.14.在△ABC中，△C=90°，AC=3，BC=4，若将△ABC绕点B逆时针旋转90°后，点A的对应点为D，则AD的长为________．15.如图所示，由小正方形组成的“7”字形图中，请你用三种方法分别在图中添画一个小正方形使它成为轴对称图形．________16.给出以下命题：①平分弦的直径垂直于这条弦；②已知点、、均在反比例函数的图象上，则；③若关于x的不等式组无解，则；④将点向左平移3个单位到点，再将绕原点逆时针旋转90°到点，则的坐标为．其中所有真命题的序号是________．17.△ABC是等边三角形，点O是三条中线的交点，△ABC以点O为旋转中心，则至少旋转________度后能与原来图形重合．18.如图，大圆的面积为4π，大圆的两条直径互相垂直，则图中阴影部分的面积的和为________．19.“梅花朵朵迎春来”，下面四个图形是由小梅花摆成的一组有规律的图案，按图中规律，第n个图形中小梅花的个数是________.20.在平面直角坐标系中，点P（3，﹣2）关于y轴的对称点是________，关于原点的对称点是________．三、解答题21.如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，△OAB是边长为2的等边三角形．（1）写出△OAB各顶点的坐标；（2）以点O为旋转中心，将△OAB按顺时针方向旋转60°，得到△OA′B′，写出A′，B′的坐标．22.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，4），C（﹣2，6）．①画出△ABC，并将它绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标．②以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2，并计算△A2B2C2的面积．23.当m为何值时（1）点A（2，3m）关于原点的对称点在第三象限；（2）点B（3m﹣1，0.5m+2）到x轴的距离等于它到y轴距离的一半？24.请在下列三个2×2的方格中，各画出一个三角形，要求所画三角形是图中三角形经过轴对称变换后得到的图形，且所画的三角形顶点与方格中的小正方形顶点重合，并将所画三角形涂上阴影．（注：所画的三个图形不能重复）答案一、单选题1.【答案】D【解答】由旋转的性质可知，AC=AC′，又△CAC′=90°，可知△CAC′为等腰直角三角形，所以，△CC′A=45°．△△CC′B′+△ACC′=△AB′C′=△B=60°，△△CC′B′=15°．故选D．【分析】旋转中心为点A，C、C′为对应点，可知AC=AC′，又△CAC′=90°，根据△CAC′的特性解题．本题考查了旋转的性质，旋转的性质：对应点与旋转中心的连线相等，夹角是旋转角．2.【答案】C【分析】易得点M（2m+1，m-1)关于原点的对称点N点坐标，根据象限内点的符号特点可得m的取值范围．【解答】△点M（2m+1，m-1)与点N关于原点对称，点N在第二象限，△N点坐标为：（-2m-1，-m+1)，且−2m−1＜0，−m+1＞0 ，解得：-＜m＜1．故选：C．【点评】本题主要考查了两点关于原点对称的性质以及不等式的解法，熟练记忆各象限内点的坐标符号是解题关键3.【答案】D【解答】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、直角三角形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．故答案为：D．【分析】根据轴对称图形以及中心对称的含义，进行判断即可。
九年级数学上册第二十三章《旋转》同步练习(共5套新人教版)
九年级数学上册第二十三章《旋转》同步练习（共5套新人教版）第二十三章旋转 23.1 图形的旋转第1课时图形的旋转及性质知识要点基础练知识点1 旋转的相关概念1.下列现象属于旋转的是(C) A.摩托车在急刹车时向前滑动 B.飞机起飞后冲向空中的过程 C.幸运大转盘转动的过程 D.笔直的铁轨上飞驰而过的火车2.在下面四幅图案中,可通过左边图案逆时针旋转90°得到的是(D)3.如图,△ABC是等腰直角三角形,D是AB上一点,△CBD经旋转后到达△CAE的位置,则旋转中心是点C ;旋转角度是90°;点B的对应点是点A ;点D的对应点是点E ;线段CB的对应线段是CA ;∠B的对应角是∠CAE. 知识点2 旋转的性质4.下列说法正确的是(B) A.平移不改变图形的形状和大小,而旋转则改变图形的形状和大小 B.平移和旋转的共同点是改变图形的位置,不改变图形的形状和大小 C.图形可以向某方向平移一定距离,也可以向某方向旋转一定距离 D.由平移得到的图形也一定可由旋转得到5.如图,在△ABC中,∠A=75°,∠B=50°,将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C,点A的对应点A'落在AB边上,则∠BCA'的度数为(B) A.20° B.25° C.30° D.35°6.如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,且DE=,△ABF是△ADE的旋转图形. (1)旋转中心是哪一点? (2)旋转了多少度? (3)AF的长度是多少? (4)如果连接EF,那么△AEF是怎样的三角形? 解:(1)旋转中心是A点. (2)∵△ABF是由△ADE旋转而成的,∴B是D的对应点,∴∠DAB=90°就是旋转角. (3)∵AD=1,DE=,∴AE=. ∵对应点到旋转中心的距离相等且F是E的对应点, ∴AF=. (4)∵∠EAF=90°(与旋转角相等)且AF=AE, ∴△EAF是等腰直角三角形. 综合能力提升练7.如图,将△ABC绕点C顺时针方向旋转30°,得△A'B'C,若AC⊥A'B',则∠A等于(C) A.30° B.40° C.60° D.50° 8.如图,将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB'C'D'的位置,此时AC'的中点恰好与D点重合,AB'交CD 于点E.若AB=6,则△AE C的面积为(D) A.2 B.1.5 C.3 D.4 9.如图,△ABC是边长为10的等边三角形,D是BC的中点,E是直线AD上的一个动点,连接EC,将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC,连接DF.则在点E的运动过程中,DF的最小值是 2.5 . 10.如图,已知A,B是线段MN上的两点,MN=4,MA=1,NB>1.以A为中心顺时针旋转点M,以B为中心逆时针旋转点N,使M,N两点重合成一点C,构成△ABC,若△ABC为直角三角形,则AB= . 11.(毕节中考)如图,已知在△ABC 中,AB=AC,把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE,连接BD,CE 交于点F. (1)求证:△AEC≌△ADB; (2)若AB=2,∠BAC=45°,当四边形ADFC是菱形时,求BF的长. 解:(1)由旋转的性质得AB=AD,AE=AC,∠BAC=∠DAE, ∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE,即∠CAE=∠BAD, 又∵AB=AC,AD=AE,∴△AEC≌△ADB(SAS).(2)BF=BD-DF=2-2. 12.在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E. (1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:①△ADC≌△CEB;②DE=AD+BE. (2)当直线MN绕点C 旋转到图2的位置时,求证:DE=AD-BE. (3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,试问DE,AD,BE具有怎样的等量关系?请写出这个等量关系,并加以证明. 解:(1)∵∠ACB=90°,∴∠ACD+∠BCE=90°, 又AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E,∴∠ADC=∠CEB=90°,∠BCE+∠CBE=90°,∴∠ACD=∠CBE. 在△ADC和△CEB中, ∴△ADC≌△CEB,∴AD=CE,DC=BE,∴DE=DC+CE=BE+AD. (2)在△ADC和△CEB中, ∴△ADC≌△CEB,∴AD=CE,DC=EB,∴DE=CE-CD=AD-BE. (3)DE=BE-AD.易证得△ADC≌△CEB,∴AD=CE,DC=EB, ∴DE=CD-CE=BE-AD. 拓展探究突破练 13.如图,在正方形ABCD和正方形DEFG中,点G在CD上,DE=2,将正方形DEFG绕点D顺时针转60°,得到正方形DE'F'G',此时点G'在AC上,连接CE',则CE'+CG'=(A) A. B.+1 C. D. 14.【探索新知】如图1,射线OC在∠AOB的内部,图中共有3个角:∠AOB,∠AOC和∠BOC,若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍,则称射线OC是∠AOB 的“巧分线”. (1)一个角的平分线这个角的“巧分线”;(填“是”或“不是”) (2)如图2,若∠MPN=α,且射线PQ是∠MPN的“巧分线”,则∠MPQ=;(用含α的代数式表示出所有可能的结果) 【深入研究】如图2,若∠MPN=60°,且射线PQ绕点P从PN位置开始,以每秒10°的速度逆时针旋转,当PQ与PN成180°时停止旋转,旋转的时间为t秒. (3)当t为何值时,射线PM是∠QPN的“巧分线”; (4)若射线PM同时绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转,并与PQ同时停止,请直接写出当射线PQ是∠MPN的“巧分线”时t的值. 解:(1)是. (2)α或α或α. (3)依题意有①10t=60+×60,解得t=9;②10t=2×60,解得t=12;③10t=60+2×60,解得t=18.故当t 为9或12或18时,射线PM是∠QPN的“巧分线”. (4)依题意有①10t=(5t+60),解得t=2.4;②10t=(5t+60),解得t=4;③10t=(5t+60),解得t=6.故当t为2.4或4或6时,射线PQ是∠MPN的“巧分线”.。
人教版九年级数学上册第二十三章旋转复习同步测试【2020新品】
九年级数学上册 本章复习同步测试4类型之一 中心对称图形与轴对称图形1．在下列图中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( B )2．下列图形：①平行四边形；②菱形；③圆；④梯形；⑤等腰三角形；⑥直角三角形；⑦国旗上的五角星．这些图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的有( B )A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种类型之二 图形平移、旋转或轴对称的计算问题3．如图23－1，直角三角板ABC 的斜边AB ＝12 cm ，∠A ＝30°，将三角板ABC 绕点C 顺时针旋转90°至三角板A ′B ′C ′的位置后，再沿CB 方向向左平移，使点B ′落在原三角板ABC 的斜边AB 上，则三角板A ′B ′C ′平移的距离为( C )图23－1A ．6 cmB ．4 cmC ．(6－23)cmD ．(43－6)cm【解析】 过B ′作B ′D ⊥AC ，交AB 于D ，则三角板A ′B ′C ′平移的距离为B ′D ，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，所以BC ＝12AB ＝12×12＝6，AC ＝AB 2－BC 2＝63， 由旋转性质知B ′C ＝BC ＝6，所以AB ′＝63－6，所以B ′D ＝33AB ′＝33(63－6)＝6－2 3.图23－24．如图23－2，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝α，将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转后得到△EDC ，此时点D 在AB 边上，则旋转角的大小为__2α__．类型之三 坐标系中的图形变换5．△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图23－3所示．(1)将△ABC 向右平移6个单位得到△A 1B 1C 1，请画出△A 1B 1C 1，并写出点C 1的坐标；(2)将△ABC 绕原点O 旋转180°得到△A 2B 2C 2，请画出△A 2B 2C 2.图23－3第5题答图【解析】 (1)将△ABC 向右平移6个单位即是将三点的横坐标加6；(2)将△ABC 绕原点O 旋转180°即是所画图形和原图形关于原点对称．解：(1)如图所示，点C 1的坐标为(1，1)；(2)如图所示．6．△ABC 在平面直角坐标系xOy 中的位置如图23－4所示．(1)作△ABC 关于点C 成中心对称的△A 1B 1C 1.(2)将△A 1B 1C 1向右平移4个单位，作出平移后的△A 2B 2C 2.(3)在x 轴上求作一点P ，使P A 1＋PC 2的值最小，并写出点P 的坐标(不写解答过程，直接写出结果)图23－4解：(1)如图所示：(2)如图所示： (3)如图所示：作出A 1的对称点A ′，连接A ′C 2，交x 轴于点P ，可得P 点坐标为(83，0)． 类型之四 旋转证明7．如图23－5所示，P 为等边三角形ABC 内一点，∠APB ，∠BPC ，∠CP A 的大小之比是5∶6∶7，则以P A ，PB ，PC 的长为三边的三角形三个内角的大小之比为( A )A ．2∶3∶4B ．3∶4∶5C ．4∶5∶6D ．5∶6∶7图23－5第7题答图【解析】 如图，把△APB 绕顶点A 顺时针旋转60°到△AQC 的位置，连接PQ ，则P A ＝QA ＝PQ ，QC ＝PB ，以P A ，PB ，PC 为边长的三角形是△PQC .由题意，知∠APB ＝100°，∠BPC ＝120°，∠CP A ＝140°，所以∠QPC ＝140°－60°＝80°.而∠AQC ＝∠APB ＝100°，所以∠PQC ＝100°－60°＝40°，从而∠QCP ＝60°.故所求三角形的三个内角的大小之比为2∶3∶4，选A.8．如图23－6，P 是等腰直角△ABC 外一点，把BP 绕点B 顺时针旋转90°到BP ′，已知∠AP ′B ＝135°，P ′A ∶P ′C ＝1∶3，则P ′A ∶PB ＝( B )A ．1∶ 2B ．1∶2 C.3∶2 D ．1∶ 3【解析】 连接AP ，∵BP 绕点B 顺时针旋转90°到BP ′，∴BP ＝BP ′，∠ABP ＋∠ABP ′＝90°， 又∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AB ＝BC ，∠CBP ′＋∠ABP ′＝90°，∴∠ABP ＝∠CBP ′.在△ABP 和△CBP ′中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BP ＝BP ′，∠ABP ＝∠CBP ′AB ＝BC ，∴△ABP ≌△CBP ′(SAS)，∴AP ＝P ′C .∵P ′A ∶P ′C ＝1∶3，∴AP ＝3P ′A .连接PP ′，则△PBP ′是等腰直角三角形，∴∠BP ′P ＝45°，PP ′＝2PB .∵∠AP ′B ＝135°，∴∠AP ′P ＝135°－45°＝90°，∴△APP ′是直角三角形，设P ′A ＝x ，则AP ＝3x ，根据勾股定理，PP ′＝AP 2－P ′A 2＝（3x ）2－x 2＝22x ，∴PP ′＝2PB ＝22x ，解得PB ＝2x ， ∴P ′A ∶PB ＝x ∶2x ＝1∶2.故选B.9．如图23－7，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，AC ＝1，将△ABC 绕点C 逆时针旋转至△A ′B ′C ，使得点A ′恰好落在AB 上，连接BB ′，则BB ′的长度为__3__．10．某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含ABC 与AFE 按如图(1)所示位置放置，现将Rt △AEF 绕A 点按逆时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)，如图(2)，AE 与BC 交于点M ，AC 与EF 交于点N ，BC 与EF 交于点P .图23－8(1)求证：AM＝AN；(2)当旋转角α＝30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由．解：(1)证明：∵用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图(1)所示位置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)，∴AB＝AF，∠BAM＝∠F AN，∠B＝∠F.△ABM≌△AFN(ASA)，∴AM＝AN；(2)当旋转角α＝30°时，四边形ABPF是菱形．理由：连接AP，∵∠α＝30°，∴∠F AN＝30°，∴∠F AB＝120°，∵∠B＝60°，∴AF∥BP，∴∠F＝∠FPC＝60°，∴∠FPC＝∠B＝60°，∴AB∥FP，∴四边形ABPF是平行四边形，∵AB＝AF，∴平行四边形ABPF是菱形．。
新人教版初三九年级上册数学第二十三章《旋转》整章测试题(含答案)试卷
第二十三章《旋转》整章测试题附答案一、填空题：（每题3分）1.（2009年新疆）下列各组图中，图形甲变成图形乙，既能用平移，又能用旋转的是（ ）2.（2008江苏省盐城市）已知如图1所示的四张牌，若将其中一张牌旋转180°后得到图2．则旋转的牌是（ ）3.（2008湖北省宜昌市）如图，将三角尺ABC （其中∠ABC＝60°，∠C ＝90°）绕B 点按顺 时针方向转动一个角度到A 1BC 1的位置，使得点A ，B ，C 1在同一条直线上，那么这个角度等于（ ）．A ．120°B ．90°C ．60°D ．30°4．（2009年崇左）已知点A 的坐标为()a b ，，O 为坐标原点，连结OA ，将线段OA 绕点O 按逆时针方向旋转90°得1OA ，则点1A 的坐标为（ ）．A ()a b -，B ．()a b -，C ．()b a -，D ．()b a -， 5.（2009年山东省日照市）在下图4×4的正方形网格中，△MNP 绕某点旋转一定的角度，得到△M 1N 1P 1，则其旋转中心可能是A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D6.（2009年牡丹江市）ABC △在如图所示的平面直角坐标系中，将ABC △向右平移3个单位长度后得111A B C △，再将111A B C △绕点甲乙甲乙A ．B ．C ．D ．甲乙甲乙11图1图2A B CD(第9题）1A 1AA BCEFO 旋转180°后得到222A B C △，则下列说法正确的是（ ）A ．1A 的坐标为()31， B ．113ABB A S =四边形C．2B C = D ．245AC O ∠=°7.（2008内蒙古自治区包头市）如图，已知两个全等直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，将ACB △绕点C 按顺时针方向旋转到A CB ''△的位置，其中A C '交直线AD 于点E ，A B ''分别交直线AD AC ，于点F G ，，则旋转后的图中，全等三角形共有（ ） A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对8. （2008河北省）有一个四等分转盘，在它的上、右、下、左的位置分别挂着“众”、“志”、“成”、“城”四个字牌，如图-1．若将位于上下位置的两个字牌对调，同时将位于左右位置的两个字牌对调，再将转盘顺时针旋转90，则完成一次变换．图-2，图-3分别表示第1次变换和第2次变换．按上述规则完成第9次变换后，“众”字位于转盘的位置是（ ）A ．上B ．下C ．左D ．右二、填空题：（每题3分）9. （2008甘肃省白银九市）已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为 .10（2008吉林省长春市）如图，在平面内将Rt ABC △绕着直角顶点C 逆时针旋转90得到Rt EFC △．若AB =1BC =，则线段BE 的长为 ．图-1图-2图-3…'BA PCBP 'P′P CBAB '11. （2008辽宁省大连市，3分）如图，P 是正△ABC 内的一点，若将△P AC 绕点A 逆时针旋转到△P′AB ，则∠P AP′的度数为 ．（第11题） （第12题） （第13题）12.（2008江苏省扬州市）如图△ABC 是等腰直角三角形，BC 是斜边，P 为△ABC 内一点，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后与△ACP ´重合，如果AP =3，那么线段PP '的长等于____． 13.（2008四川省宜宾市）将直角边长为5cm 的等腰直角ABC △绕点A 逆时针旋转15后得到AB C ''△，则图中阴影部分的面积是 2cm ． 14.. （2008福建省厦门市）如图，点G 是ABC △的重心，CG 的延长线交AB 于D ，5cm GA =，4cm GC =，3cm GB =，将ADG △绕点D 旋转180得到BDE △，则DE = cm ，ABC △的面积= cm 2．15.（2007的正方形ABCD 绕点A逆时针方向旋转30o 后得到正方形AB C D '''，则图中阴影部分的面积为 ____________平方单位．16. （2007江苏泰州课改）如图，直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB BC ⊥，2AD =，3BC =，45BCD ∠=，将腰CD 以点D 为中心逆时针旋转90至ED ，连结AE CE ，，则ADE △的面积是 ．答案： 三、解答题：（共52分）17.（6分）（2008云南省双柏市）如图是某设计师在方格纸中 设计图案的一部分，请你帮他完成余下的工作： （1）作出关于直线AB 的轴对称图形；（2）将你画出的部分连同原图形绕点O 逆时针旋转90°； （3）发挥你的想象，给得到的图案适当涂上阴影，让它变得更加美丽．A BG CDA BCDEAOB18. （9分）（2008山西省）如图，在4× 3的网格上，由个数相同的白色方块与黑色方块组成一幅图案，请仿照此图案，在下列网格中分别设计出符合要求的图案（注：①不得与原图案相同；②黑、白方块的个数要相同）．（1） （2） （3）19.（12分）（2008江苏省徐州市）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC 的顶点均在格点上，点B 的坐标为(1,0)． （1）画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1；（2）画出将△ABC 绕原点O 按逆时针方向旋转90所得的△A 2B 2C 2； （3）△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2成轴对称吗？若成轴对称，画出所有的对称轴； （4）△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2成中心对称吗？若成中心对称，写出对称中心的坐标． 解：20.（12分）（2008山东省枣庄市）把一副三角板如图甲放置，其中90ACB DEC ==∠∠，45A =∠，30D =∠，斜边6cm AB =，7cm DC =．把三角板DCE 绕点C 顺时针旋转15°得到△D 1CE 1（如图乙）．这时AB 与CD 1相交于点O ，与D 1E 1相交于点F ． （1）求1OFE ∠的度数； （2）求线段AD 1的长；（3）若把三角形D 1CE 1绕着点C 顺时针再旋转30°得△D 2CE 2，这时点B 在△D 2CE 2的内部、外部、还是边上？说明理由．（甲）ACE DB（乙）AE 1CD 1OF21.（13分）（2009年牡丹江）已知Rt ABC △中，90AC BC C D ==︒，∠，为AB 边的中点，90EDF ∠=°，EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图1），易证12DEF CEF ABC S S S +=△△△．当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC 和不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，DEF S △、CEF S △、ABC S △又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．AE CF BD图1图3ADFECBADBCE 图2F参考答案一、选择题：1. C2. A3. A4. C5. B6. D7. C8. C二、填空题：9.9010. 3 11. 6012.13.614. 2，1815. 316. 1三、解答题：17. 答案：如图．三步各计2分，共6分．18.解：（1）（2）（3）19解：（1）如图；（2）如图；（3）成轴对称，对称轴如图；（4）成中心对称，对称中心坐标11()22，．AOB20．解：（1）如图所示，315∠=，190E ∠=，∴1275∠=∠=．又45B ∠=，∴114575120OFE B ∠=∠+∠=+=． （2）1120OFE ∠=，∴∠D 1FO =60°．1130CD E ∠=，∴490∠=．又AC BC =，6AB =，∴3OA OB ==．90ACB ∠=，∴116322CO AB ==⨯=．又17CD =，∴11734OD CD OC =-=-=．在1Rt AD O △中，15AD ===． （3）点B 在22D CE △内部．理由如下：设BC （或延长线）交22D E 于点P ，则2153045PCE ∠=+=． 在2Rt PCE △中，2CP ==32CB =<，即CB CP <，∴点B 在22D CE △内部． 21.解：图2成立；图3不成立． 证明图2：过点D 作DM AC DN BC ⊥⊥， 则90DME DNF MDN ∠=∠=∠=°再证MDE NDF DM DN ∠=∠=， 有DME DNF △≌△ D M E D NF S S ∴=△△1EC 1D E FC EF D M C N D E C F S S SS∴==+△△四边形四边形由信息可知12ABC DMCN S S =△四边形 12D E F C E F AB C S S S ∴+=△△△ 图3不成立，DEF CEF ABC S S S △△△、、的关系是：12DEF CEF ABC S S S -=△△△。
人教版 九年级数学上册 第23章 旋转 同步训练(含答案)
人教版九年级数学第23章旋转同步训练一、选择题1. 如图，△A′B′C′是由△ABC经过平移得到的，△A′B′C′还可以看作是△ABC经过怎样的图形变换得到？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称．其中所有正确结论的序号是()A．①④B．②③C．②④D．③④2. 在平面直角坐标系中，点P(－4，2)向右平移7个单位长度得到点P1，点P1绕原点逆时针旋转90°得到点P2，则点P2的坐标是()A．(－2，3) B．(－3，2)C．(2，－3) D．(3，－2)3. 如图，将△OAB绕点O逆时针旋转得到△OA′B′，使点B恰好落在边A′B′上．已知AB＝4 cm，OB＝1 cm，∠B′＝60°，那么A′B的长是()A．4 cm B．3 cmC．2 3 cm D．(4－3)cm4. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB 边的中点是坐标原点O，将正方形绕点C按逆时针方向旋转90°后，点B的对应点B′的坐标是()A．(－1，2) B．(1，4)C．(3，2) D．(－1，0)5. 在线段、平行四边形、矩形、等腰三角形、圆这几个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是()A．2 B．3 C．4 D．56. 若点P(－a，a－3)关于原点对称的点是第二象限内的点，则a满足() A．a＞3 B．0＜a≤3C．a＜0 D．a＜0或a＞37. 如图示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.P是半圆AC的中点，连接BP交AC于点D.若半圆所在圆的圆心为O，点D，E关于圆心O对称，则图两个阴影部分的面积S1，S2之间的关系是()A．S1＜S2B．S1＞S2C．S1＝S2D．不确定二、填空题8. 如图，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点．这个五角星可以由一个基本图形(图中的阴影部分)绕中心点O至少经过______次旋转而得到，每一次旋转______度．9. 王老师、杨老师两家所在的位置关于学校对称．如果王老师家距学校2千米，那么他们两家相距________千米．10. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB可以看作是由△OCD经过若干次图形的变化(平移、轴对称、旋转)得到的，写出一种由△OCD得到△AOB的过程：_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ ______.11. 开放题翔宇教育集团的标志图案(图①)由“翔宇”拼音首写字母“X，Y”构成．“X”的造型是4只伸向四方的箭头，体现“培育走向世界的现代中国人”的办学宗旨，象征集团培养的学子鸾翔宇内，志在四方；“教”字中红色的“人”字突出集团全力育“人”，增加了图案的美感．(1)图②“中国印·舞动的北京”是北京奥运会会徽，以中国印为主体表现形式，借中国书法之灵感，一个向前奔跑、舞动着迎接胜利的运动人的造型形似现代“________”字的神韵，在挥毫间体现“新奥运”的理念．(2)图③是北京奥运会志愿者标志，仔细观察，请你简要说出其中的一个含义：_____________________________________________________________________ ___.(3)请你在图④中以圆为背景，为母校设计一个校徽，并简述其中所蕴含的两个含义：①______________________________；②______________________________．12. 一副三角尺如图放置，将三角尺ADE绕点A逆时针旋转α(0°＜α＜90°)，使得三角尺ADE的一边所在的直线与BC垂直，则α的度数为________．13. 如图，将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<90°)得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转β(0°<β<90°)得到AF，连接EF，若AB＝3，AC＝2，且α＋β＝∠B，则EF＝________.14. 分类讨论如图，点A的坐标为(－1，5)，点B的坐标为(3，3)，点C的坐标为(5，3)，点D的坐标为(3，－1)．小明发现线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是_________．教师详解详析三、解答题15. 如图，△ABO与△CDO关于点O中心对称，点E，F在线段AC上，且AF ＝CE.求证：DF＝BE.16. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点(点D与点A，B不重合)，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE 交BC于点F，连接BE.(1)求证：△ACD≌△BCE；(2)当AD＝BF时，求∠BEF的度数．17. 如图①是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC 的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD ＝30，DM＝10.(1)在旋转过程中，①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长；②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长．(2)若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外部的点D1处转到其内部的点D2处，连接D1D2，如图②，此时∠AD2C＝135°，CD2＝60，求BD2的长．人教版九年级数学第23章旋转同步训练-答案一、选择题1. 【答案】D[解析] 先将△ABC绕着B′C的中点旋转180°，再将所得的三角形绕着B′C′的中点旋转180°，即可得到△A′B′C′；先将△ABC沿着B′C的垂直平分线翻折，再将所得的三角形沿着B′C′的垂直平分线翻折，即可得到△A′B′C′.故选D.2. 【答案】A[解析] 点P(－4，2)向右平移7个单位长度得到点P1(3，2)，点P1绕原点逆时针旋转90°得到点P2(－2，3)．故选A.3. 【答案】B[解析] ∵旋转前、后的两个图形是全等图形，AB＝4 cm，OB＝1 cm，∴A′B′＝AB＝4 cm，OB′＝OB＝1 cm.在△OB′B中，∵∠B′＝60°，OB′＝OB，∴△OB′B是等边三角形，∴BB′＝OB＝1 cm，∴A′B＝A′B′－BB′＝4－1＝3(cm)．4. 【答案】C5. 【答案】B[解析] 线段、矩形、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．故选B.6. 【答案】C[解析] 点P(－a，a－3)关于原点对称的点的坐标为(a，3－a)．∵点(a ，3－a )在第二象限内，∴⎩⎨⎧a <0，3－a >0，解得a ＜0.7. 【答案】C[解析] ∵P 是半圆AC 的中点，∴半圆关于直线OP 对称，且点D ，E 关于圆心O 对称，因而S 1，S 2在直径AC 上面的部分面积相等．∵OD ＝OE ，∴CD ＝AE .∵△CDB 的底边CD 与△AEB 的底边AE 相等，高相同，∴它们的面积相等，∴S 1＝S 2.二、填空题8. 【答案】4 729. 【答案】4[解析] ∵王老师、杨老师两家所在的位置关于学校对称，∴王老师、杨老师两家到学校的距离相等． ∵王老师家距学校2千米， ∴他们两家相距4千米． 故答案为4.10. 【答案】将△OCD 绕点C 顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度即可得到△AOB(答案不唯一)[解析] 观察图形可知，将△OCD 绕点C 顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度可得到△AOB(答案不唯一)，注意是顺时针旋转还是逆时针旋转．11. 【答案】(1)京(2)心心相扣的心形，象征志愿者与运动员及奥林匹克大家庭和所有宾客心连着心，用心服务、奉献爱心，为奥林匹克运动增添光彩(答案不唯一，合理即可) (3)略12. 【答案】15°或60° [解析] 分情况讨论：①若DE ⊥BC ，设此时直线AD 与BC 交于点F ，则∠BFA ＝90°－45°＝45°， ∴∠BAD ＝180°－60°－45°＝75°，∴α＝90°－∠BAD ＝15°； ②若AD ⊥BC ，则∠BAD ＝30°，∴α＝90°－∠BAD ＝60°. 故答案为15°或60°.13. 【答案】13 [解析] ∵α＋β＝∠B ，∴∠EAF ＝∠BAC ＋∠B ＝90°，∴△AEF是直角三角形，且AE ＝AB ＝3，AF ＝AC ＝2，∴EF ＝AE 2＋AF 2＝13.14. 【答案】(4，4)或(1，1)[解析] (1)若点A 和点D 、点B 和点C 分别为对应点，如图①，分别作线段AD ，BC 的垂直平分线，两条垂直平分线的交点P 1(4，4)即为旋转中心；(2)若点A 和点C 、点B 和点D 分别为对应点，如图②，分别作线段AC ，BD 的垂直平分线，两条垂直平分线的交点P 2(1，1)即为旋转中心．综上所述，旋转中心的坐标是(4，4)或(1，1)．三、解答题15. 【答案】证明：∵△ABO 与△CDO 关于点O 中心对称， ∴BO ＝DO ，AO ＝CO.∵AF ＝CE ，∴AO －AF ＝CO －CE ， 即FO ＝EO.在△FOD 和△EOB 中，⎩⎨⎧FO ＝EO ，∠FOD ＝∠EOB ，DO ＝BO ，∴△FOD ≌△EOB(SAS)， ∴DF ＝BE.16. 【答案】解：(1)证明：由题意可知，CD ＝CE ，∠DCE ＝90°. ∵∠ACB ＝90°，∴∠ACB －∠DCB ＝∠DCE －∠DCB ， 即∠ACD ＝∠BCE.在△ACD 与△BCE 中，⎩⎨⎧AC ＝BC ，∠ACD ＝∠BCE ，CD ＝CE ，∴△ACD ≌△BCE(SAS)．(2)∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴∠A ＝45°. ∵△ACD ≌△BCE ，∴AD ＝BE ，∠CBE ＝∠A ＝45°. ∵AD ＝BF ，∴BE ＝BF ， ∴∠BEF ＝12×(180°－45°)＝67.5°.17. 【答案】解：(1)①当A ，D ，M 三点在同一直线上时，AM ＝AD ＋DM ＝40或AM ＝AD －DM ＝20.②当A ，D ，M 三点为同一直角三角形的顶点时，显然∠MAD 不能为直角． 当∠AMD 为直角时，AM 2＝AD 2－DM 2＝302－102＝800，∵AM>0， ∴AM ＝20 2.当∠ADM ＝90°时，AM 2＝AD 2＋DM 2＝302＋102＝1000，∵AM>0， ∴AM ＝10 10.综上所述，满足条件的AM 的长为20 2或10 10. (2)如图，连接CD 1，由题意得，∠D 1AD 2＝90°，AD 1＝AD 2＝30， ∴∠AD 2D 1＝45°，D 1D 2＝30 2. ∵∠AD 2C ＝135°，∴∠CD 2D 1＝∠AD 2C －∠AD 2D 1＝90°， ∴CD 1＝（30 2）2＋602＝30 6. ∵∠BAC ＝∠D 1AD 2＝90°，∴∠BAC －∠CAD 2＝∠D 1AD 2－∠CAD 2， ∴∠BAD 2＝∠CAD 1.又∵AB＝AC，AD2＝AD1，∴△BAD2≌△CAD1(SAS)，∴BD2＝CD1＝30 6.。
人教版 九年级数学 第23章 旋转 复习题(含答案)
人教版九年级数学第23章旋转复习题一、选择题（本大题共10道小题）1. 在下列某品牌T恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有运用旋转或轴对称知识的是()2. 若点A(－3，2)关于原点的对称点是点B，点B关于x轴的对称点是点C，则点C的坐标是()A．(3，2) B．(－3，2)C．(3，－2) D．(－2，3)3. 如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点中心对称，则这个点是()A．O1B．O2C．O3D．O44. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B，D两点间的距离为()A.10 B．2 2C．3 D．2 55. 如图，两个半圆分别以P，O为圆心，它们成中心对称，点A1，P，B1，B2，O，A2在同一条直线上，则对称中心为()A．A2P的中点B．A1B2的中点C．A1O的中点D．PO的中点6. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，3)，以原点为中心，将点A顺时针旋转30°得到点A′，则点A′的坐标为()A．(3，1) B．(3，－1) C．(2，1) D．(0，2)7. 如图，已知菱形ABCD与菱形EFGH关于直线BD上的某个点中心对称，则点B的对称点是()A．点E B．点FC．点G D．点H8. 在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2对称……如此作下去，则△B2n A2n＋1B2n＋1(n是正整数)的顶点A2n＋1的坐标是()A．(4n－1，3) B．(2n－1，3)C．(4n＋1，3) D．(2n＋1，3)9. 如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为()A．90°－αB．αC．180°－αD．2α10. 2018·桂林如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点M在边CD上，且DM＝1，△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，将△ADM绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为()A．3 B．2 3 C.13 D.15二、填空题（本大题共8道小题）11. 若将等腰直角三角形AOB按图所示的方式放置，OB＝2，则点A关于原点对称的点的坐标为________．12. 如图，在正方形网格中，格点△ABC绕某点顺时针旋转角α(0＜α＜180°)得到格点△A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点，则α＝________°.13. 如图，点A，B，C的坐标分别为(2，4)，(5，2)，(3，－1)．若以点A，B，C，D为顶点的四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，则点D的坐标为________．14. 已知▱ABCD的顶点A在第三象限，对角线AC的中点在坐标原点，一边AB 与x轴平行且AB＝2.若点A的坐标为(a，b)，则点D的坐标为________________．15. 把二次函数y＝(x－1)2＋2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为_______．16. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC.若AC＝6，则四边形ABCD的面积为________．17. 如图，等边三角形ABC内有一点P，分别连接AP，BP，CP，若AP＝6，B P＝8，CP＝10，则S△ABP＋S△BPC＝________．18. 如图，在平面直角坐标系中，对点P(1，0)作如下变换：先向上平移(后一次平移比前一次多1个单位长度)，再作关于原点的对称点，即向上平移1个单位长度得到点P1，作点P1关于原点的对称点P2，向上平移2个单位长度得到点P3，作点P3关于原点的对称点P4……那么点P2020的坐标为____________．三、解答题（本大题共4道小题）19. 如图，等腰直角三角形OEF的直角顶点O为正方形ABCD的中心，点C，D 分别在OE和OF上，现将△OEF绕点O逆时针旋转角α(0°＜α＜90°)，连接AF，DE(如图②)．(1)在图②中，∠AOF＝________；(用含α的式子表示)(2)猜想图②中AF与DE的数量关系，并证明你的结论．20. 如图①是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC 的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD ＝30，DM＝10.(1)在旋转过程中，①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长；②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长．(2)若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外部的点D1处转到其内部的点D2处，连接D1D2，如图②，此时∠AD2C＝135°，CD2＝60，求BD2的长．21. 已知：如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝60°，∠ABC＝30°，AD＝CD. 求证：BD2＝AB2＋BC2.22. 2019·福建如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A，B的对应点分别是D，E.(1)当点E恰好在AC上时，如图①，求∠ADE的度数；(2)若α＝60°，F是边AC的中点，如图②，求证：四边形BEDF是平行四边形．人教版九年级数学第23章旋转复习题-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】C2. 【答案】A3. 【答案】A[解析] 如图，连接HC和DE交于点O1.4. 【答案】A[解析] ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5. ∵将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，∴AE＝4，DE＝3，∴BE＝1.在Rt△BED中，BD＝BE2＋DE2＝10.故选A.5. 【答案】D[解析] 因为P，O是对称点，所以PO的中点是对称中心．6. 【答案】A[解析] 如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过点A′作A′F⊥x轴于点F，∴∠AEO ＝∠A′FO ＝90°.∵点A 的坐标为(1，3)，∴AE ＝1，OE ＝3，∴OA ＝2，∠AOE ＝30°，由旋转可知∠AOA′＝30°，OA′＝OA ＝2，∴∠A′OF ＝90°－30°－30°＝30°，∴A′F ＝12OA′＝1，OF ＝3，∴A′(3，1)． 故选A.7. 【答案】D[解析] 由于点B ，D ，F ，H 在同一条直线上，根据中心对称的定义可知，只能是点B 和点H 是对称点，点F 和点D 是对称点．故选D.8. 【答案】C[解析] A 1(1，3)，A 2(3，－3)，A 3(5，3)，A 4(7，－3)，…，∴点A n 的坐标为⎩⎨⎧（2n －1，3）（n 为奇数），（2n －1，－3）（n 为偶数）.∵2n ＋1是奇数，∴点A 2n ＋1的坐标是(4n ＋1，3)．故选C.9. 【答案】C[解析] 由题意可得∠CBD ＝α，∠C ＝∠EDB.∵∠EDB ＋∠ADB ＝180°， ∴∠C ＋∠ADB ＝180°.由四边形的内角和定理，得∠CAD ＋∠CBD ＝180°. ∴∠CAD ＝180°－∠CBD ＝180°－α.故选C.10. 【答案】C[解析] 如图，连接BM .∵△AEM 与△ADM 关于AM 所在的直线对称， ∴AE ＝AD ，∠MAD ＝∠MAE .∵△ADM绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ABF，∴AF＝AM，∠F AB＝∠MAD，∴∠F AB＝∠MAE，∴∠F AB＋∠BAE＝∠BAE＋∠MAE，即∠F AE＝∠MAB，∴△F AE≌△MAB(SAS)，∴EF＝BM.∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝AB＝3.∵DM＝1，∴CM＝2.∵在Rt△BCM中，BM＝22＋32＝13，∴EF＝13.二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】(－1，－1)[解析] 如图，过点A作AD⊥OB于点D.∵△AOB是等腰直角三角形，OB＝2，∴OD＝AD＝1，∴A(1，1)，∴点A关于原点对称的点的坐标为(－1，－1)．12. 【答案】90[解析] 连接AA1，CC1，分别作AA1和CC1的垂直平分线，两直线相交于点D，则点D即为旋转中心，连接AD，A1D，则∠ADA1＝α＝90°.13. 【答案】(0，1)14. 【答案】(－2－a，－b)或(2－a，－b)[解析] 如图①，∵点A的坐标为(a，b)，AB与x轴平行，∴B(2＋a，b)．∵点D与点B关于原点对称，∴D(－2－a，－b)．如图②，∵B(a－2，b)，且点D与点B关于原点对称，∴D(2－a，－b)．15. 【答案】y ＝－x 2－2x －3[解析] 旋转前二次项的系数a ＝1，抛物线的顶点坐标是(1，2)，旋转后二次项的系数a ＝－1，抛物线的顶点坐标是(－1，－2)，∴新抛物线的解析式为y ＝－(x ＋1)2－2，即y ＝－x 2－2x －3.16. 【答案】18[解析] 如图．∵∠BAD ＝∠BCD ＝90°，∴∠B ＋∠ADC ＝180°.又∵AB ＝AD ，∴将△ABC 绕点A 逆时针旋转90°后点B 与点D 重合，点C 的对应点E 落在CD 的延长线上，∴AE ＝AC ＝6，∠CAE ＝90°，∴S 四边形ABCD ＝S △ACE ＝12AC·AE ＝12×6×6＝18.17. 【答案】24＋163 [解析] 如图，将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°后得到△BP ′A ，连接PP ′.根据旋转的性质可知，旋转角∠PBP ′＝∠CBA ＝60°，BP ＝BP ′， ∴△BPP ′为等边三角形， ∴BP ′＝BP ＝8＝PP ′.由旋转的性质可知，AP ′＝PC ＝10， 在△APP ′中，PP ′＝8，AP ＝6，AP ′＝10， 由勾股定理的逆定理，得△APP ′是直角三角形，∴S△ABP＋S△BPC＝S四边形AP′BP＝S△BPP′＋S△AP′P＝34BP2＋12PP′·AP＝24＋16 3.故答案为24＋16 3.18. 【答案】(1，－505)[解析] 根据题意可列出下面的表格：观察表格可知：这些点平均分布在四个象限中，序号除以4余1的点在第一象限，横坐标都是1，纵坐标为序号减1除以4的商加1；序号除以4余2的点是序号除以4余1的点关于原点的对称点；序号能被4整除的点在第四象限，横坐标为1，纵坐标为序号除以4的商的相反数；序号除以4余3的点在第二象限，是序号能被4整除的点关于原点的对称点．因为2020÷4＝505，所以点P2020在第四象限，坐标为(1，－505)．三、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】解：(1)∵△OEF绕点O逆时针旋转角α，∴∠DOF＝∠COE＝α.∵四边形ABCD为正方形，∴∠AOD＝90°，∴∠AOF＝90°－α.故答案为90°－α.(2)猜想：AF＝DE.证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠AOD＝∠COD＝90°，OA＝OD.∵∠DOF＝∠COE＝α，∴∠AOF＝∠DOE.∵△OEF 为等腰直角三角形，∴OF ＝OE.在△AOF 和△DOE 中，⎩⎨⎧OA ＝OD ，∠AOF ＝∠DOE ，OF ＝OE ，∴△AOF ≌△DOE(SAS)，∴AF ＝DE.20. 【答案】解：(1)①当A ，D ，M 三点在同一直线上时，AM ＝AD ＋DM ＝40或AM ＝AD －DM ＝20.②当A ，D ，M 三点为同一直角三角形的顶点时，显然∠MAD 不能为直角． 当∠AMD 为直角时，AM 2＝AD 2－DM 2＝302－102＝800，∵AM>0， ∴AM ＝20 2.当∠ADM ＝90°时，AM 2＝AD 2＋DM 2＝302＋102＝1000，∵AM>0， ∴AM ＝10 10.综上所述，满足条件的AM 的长为20 2或10 10.(2)如图，连接CD 1，由题意得，∠D 1AD 2＝90°，AD 1＝AD 2＝30，∴∠AD 2D 1＝45°，D 1D 2＝30 2.∵∠AD 2C ＝135°，∴∠CD 2D 1＝∠AD 2C －∠AD 2D 1＝90°，∴CD 1＝（30 2）2＋602＝30 6.∵∠BAC ＝∠D 1AD 2＝90°，∴∠BAC －∠CAD 2＝∠D 1AD 2－∠CAD 2，∴∠BAD 2＝∠CAD 1.又∵AB ＝AC ，AD 2＝AD 1，∴△BAD2≌△CAD1(SAS)，∴BD2＝CD1＝30 6.21. 【答案】证明：如图，将△ADB绕点D顺时针旋转60°，得到△CDE，连接BE，则∠ADB＝∠CDE，∠A＝∠DCE，AB＝CE，BD＝DE.又∵∠ADC＝60°，∴∠BDE＝60°，∴△DBE是等边三角形，∴BD＝BE.又∵∠ECB＝360°－∠BCD－∠DCE＝360°－∠BCD－∠A＝360°－(360°－∠ADC－∠ABC)＝90°，∴△ECB是直角三角形，∴BE2＝CE2＋BC2，即BD2＝AB2＋BC2.22. 【答案】解：(1)∵△ABC绕点C顺时针旋转角α得到△DEC，点E恰好在AC上，∴CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°.∵CA＝CD，∴∠CAD＝∠CDA＝12(180°－30°)＝75°，∴∠ADE＝90°－75°＝15°.(2)证明：连接AD.∵F是边AC的中点，∠ABC＝90°，∴BF＝12AC.∵∠ACB＝30°，∴AB＝12AC，∴BF＝AB.∵△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，∴∠BCE＝∠ACD＝60°，BC＝CE，CD＝CA，DE＝AB，∴DE＝BF，△ACD和△BCE均为等边三角形，∴BE＝CB.∵F为△ACD的边AC的中点，∴DF⊥AC，易证得△CFD≌△ABC，∴DF＝BC，∴DF＝BE.又∵BF＝DE，∴四边形BEDF是平行四边形．。
九年级数学上册 第二十三章 旋转 单元测试卷及答案(2023年人教版)
九年级数学上册第二十三章旋转单元测试卷及答案（人教版）一、选择题(每题3分，共30分)1．【教材P69习题T2拓展】垃圾混置是垃圾，垃圾分类是资源．下列可回收物、有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾四种垃圾回收标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()2．【教材P60例题变式】如图，将方格纸中的图形绕点O逆时针旋转90°后得到的图形是()3．【教材P69练习T2改编】点(－1，2)关于原点的对称点坐标是() A．(－1，－2) B．(1，－2) C．(1，2) D．(2，－1) 4．如图，四边形ABCD为正方形，O为对角线AC，BD的交点，则△COD绕点O经过下列哪种旋转可以得到△DOA？()A．顺时针旋转90°B．顺时针旋转45°C．逆时针旋转90°D．逆时针旋转45°(第4题)(第5题)(第6题)(第7题)5．【教材P77复习题T7变式】如图，点O是▱ABCD的对称中心，EF是过点O 的任意一条直线，它将平行四边形分成两部分，四边形ABOE和四边形CDOF 的面积分别记为S1，S2，那么S1，S2之间的关系为()A. S1>S2B. S1<S2C．S1＝S2 D. 无法确定6．如图，将Rt△ABC(∠B＝25°)绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C ，A ，B 1在同一条直线上，那么旋转角等于( )A ．65°B ．80°C ．105°D ．115°7．如图，四边形ABCD 是边长为5的正方形，E 是DC 上一点，DE ＝1，将△ADE绕点A 顺时针旋转到与△ABF 重合，则EF ＝( ) A.41 B.42 C ．5 2 D ．2138．如图，在平面直角坐标系中，将点P (2，3)绕原点O 顺时针旋转90°得到点P ′，则点P ′的坐标为( )A ．(3，2)B ．(3，－1)C ．(2，－3)D ．(3，－2)(第8题) (第9题) (第10题)9．如图，点P 是等腰直角三角形ABC 外一点，把BP 绕点B 顺时针旋转90°到BP ′，已知∠AP′B ＝135°，P ′A ∶P ′C ＝1∶3，则P ′A ∶PB 等于( )A ．1∶ 2B ．1∶2 C.3∶2 D ．1∶ 310．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC 绕点O 顺时针旋转45°后得到正方形OA 1B 1C 1；依此方式，绕点O 连续旋转2 022次得到正方形OA 2 022B 2 022C 2 022，那么点A 2 022的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22 B ．(－1，0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22 D ．(0，－1) 二、填空题(每题3分，共24分)11．【教材P 63习题T 5变式】如图，风车图案围绕着旋转中心至少旋转________度，会和原图案重合．(第11题) (第12题) (第13题)12．如图，大圆的面积为4π，大圆的两条直径互相垂直，则图中阴影部分的面积的和为________．13．如图所示，图形①经过________变换得到图形②；图形①经过________变换得到图形③；图形①经过________变换得到图形④.(填“平移”“旋转”或“轴对称”)14．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE＝90°，AB＝1，则BD＝________.(第14题)(第15题)(第16题)(第17题) 15．如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于坐标原点O成中心对称的图形，若点A的坐标是(1，3)，则点M的坐标是__________，点N的坐标是__________．16．如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，O A＝AB＝6，将△O AB绕点O按逆时针方向旋转90°得到△OA1B1.连接AA1，则四边形OAA1B1的面积为________．17．如图，将△ABC在平面内绕点A逆时针旋转40°到△AB′C′的位置，若CC′∥AB，则∠CAB′的度数为________．18．如图，将一个45°角的顶点与正方形ABCD的顶点A重合，在正方形的内部绕着点A旋转，角的两边分别与CD，CB边相交于F，E两点，与对角线BD交于N，M两点，连接EF，则下列结论：①AE＝AF；②EF＝BE＋DF；③△CEF的周长等于正方形ABCD周长的一半；④S△AEF ＝S△ABE＋S△ADF.其中正确的结论有____________(填序号)．三、解答题(19～22题每题8分，23题10分，其余每题12分，共66分) 19．如图，在△ABC中，∠B＝10°，∠ACB＝20°，AB＝4，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD的中点．(1)指出旋转中心，并求出旋转角的度数；(2)求∠BAE的度数和AE的长．20．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形)．(1)将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位长度，画出平移后得到的△A1B1C1；(2)将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2，并直接写出点B2，C2的坐标．21．【教材P70习题T4拓展】平面直角坐标系第二象限内的点P(x2＋2x，3)与另一点Q(x＋2，y)关于原点对称，试求x＋2y的值．22．如图，在6×6的网格中已经涂黑了三个小正方形，请按下列要求画图．(1)在图①中涂黑一个小正方形，使涂黑的四个小正方形组成一个轴对称图形．(2)在图②中涂黑一个小正方形，使涂黑的四个小正方形组成一个中心对称图形．23．如图，△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°得到的，且AB⊥BC，BE ＝CE，连接DE.(1)求证：△BDE≌△BCE；(2)试判断四边形ABED的形状，并说明理由．24．已知△ABC与△DEC是两个大小不同的等腰直角三角形．(1)如图①，连接AE，DB，试判断线段AE和DB的数量和位置关系，并说明理由；(2)如图②，连接DB，将线段DB绕D点顺时针旋转90°到DF，连接AF，试判断线段DE和AF的数量和位置关系，并说明理由．25．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α(0°＜α＜60°)，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.(1)如图①，直接写出∠ABD的大小(用含α的式子表示)；(2)如图②，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，试判断△ABE的形状并加以证明；(3)在(2)的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，求α.答案一、1.B 2.C 3.B 4.C 5.C 6.D7．D8.D9.B10.B点规律：2022＝252×8＋6，则点A2022在点A6的位置，点A6与点C重合．二、11.6012.π13.轴对称；旋转；平移14.215.(－1，－3)；(1，－3)16.3617.30°18.②③④点思路：将△ADF绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，利用全等的知识判断．三、19.解：(1)旋转中心是点A.∵∠CAB＝180°－∠B－∠ACB＝150°，∴旋转角是150°.(2)∠BAE＝360°－150°×2＝60°.由旋转的性质得△ABC≌△ADE，∴AB＝AD，AC＝AE.又∵点C是AD的中点，∴AC＝12AD＝12AB＝12×4＝2.∴AE＝2.20．解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．(2)如图，△AB2C2即为所求．点B2的坐标为(4，－2)，点C2的坐标为(1，－3)．21．解：根据题意，得(x2＋2x)＋(x＋2)＝0，y＝－3.解得x1＝－1，x2＝－2.∵点P在第二象限，∴x2＋2x＜0.∴x＝－1.∴x＋2y＝－7.22．解：(1)如图①所示：①、②、③、④处涂黑都可以使涂黑的四个小正方形组成一个轴对称图形；(2)如图②所示：①、②处涂黑都可以使涂黑的四个小正方形组成一个中心对称图形．23．(1)证明：∵△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°得到的，∴DB＝CB，∠ABE＝∠DBC＝60°.∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°.∴∠CBE＝30°.∴∠DBE＝30°.∴∠DBE＝∠CBE.在△BDE和△BCE中，DB＝CB，∠DBE＝∠CBE，BE＝BE，∴△BDE≌△BCE(SAS)．(2)解：四边形ABED为菱形．理由：由(1)得△BDE≌△BCE，∴EC＝ED.∵△BAD是由△BEC旋转得到的，∴△BAD≌△BEC.∴BA＝BE，AD＝EC.又∵BE＝CE，EC＝ED，∴BA＝BE＝AD＝ED.∴四边形ABED为菱形．24.点方法：(1)可以用观察法初步判断AE和DB的数量、位置关系，通过边长DB交AE于点M，利用全等的知识进行验证.解：(1)AE＝DB，AE⊥DB.理由：如图①，延长DB交AE于点M.由题意可知，CA＝CB，CE＝CD，∠ACE＝∠BCD＝90°，∴△ACE≌△BCD(SAS)．∴AE＝DB，∠AEC＝∠BDC.∵∠ACE＝90°，∴∠AEC＋∠EAC＝90°，∴∠BDC＋∠EAC＝90°.∴在△AMD 中，∠AMD ＝180°－90°＝90°.∴AE ⊥DB .(2)DE ＝AF ，DE ⊥AF .理由：如图②，设ED 与AF 相交于点N ，由题意易知BE ＝AD .∵∠EBD ＝∠C ＋∠BDC ＝90°＋∠BDC ，∠ADF ＝∠BDF ＋∠BDC ＝90°＋∠BDC ，∴∠EBD ＝∠ADF .又∵DB ＝DF ，∴△EBD ≌△ADF (SAS)．∴∠E ＝∠FAD ，DE ＝AF .∵∠E ＝45°，∴∠FAD ＝45°.又∵∠EDC ＝45°，∴∠AND ＝90°.∴DE ⊥AF .25．解：(1)∠ABD ＝30°－12α.(2)△ABE 为等边三角形．证明如下：连接AD ，CD .∵线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD ，∴BC ＝BD ，∠DBC ＝60°.∴△BCD 是等边三角形．∴BD ＝CD .∵∠ABE ＝60°，∴∠ABD ＝60°－∠DBE ＝∠EBC ＝30°－12α.在△ABD 和△ACD 中，AB ＝AC ，AD ＝AD ，BD ＝CD ，∴△ABD ≌△ACD (SSS)．∴∠BAD ＝∠CAD ＝12∠BAC ＝12α.∵∠BCE ＝150°，∴∠BEC ＝180°－12α150°＝12α.∴∠BAD ＝∠BEC .在△ABD 和△EBC 中，∠BAD ＝∠BEC ，∠ABD ＝∠EBC ，BD ＝BC ，∴△ABD ≌△EBC (AAS)．∴AB ＝BE .又∵∠ABE ＝60°，∴△ABE 为等边三角形．(3)由(2)可知△BCD 为等边三角形，∴∠BCD ＝60°.∵∠BCE ＝150°，∴∠DCE ＝150°－60°＝90°.∵∠DEC ＝45°，∴△DCE 为等腰直角三角形，∴DC ＝CE ＝BC .∴∠CBE ＝∠BEC .∵∠BCE ＝150°，∴∠EBC ＝180°－150°2＝15°.而由(2)知∠EBC ＝30°－12α，∴30°－12α＝15°.∴α＝30°.。
新人教版九年级数学上《第二十三章旋转》测试题(含答案)
新人教版第二十三章旋转（答案）学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 16 小题 ，每小题 3 分 ，共 48 分 ）1.下列几个图形是国际通用的交通标志，其中不是中心对称图形的是（ ）A.B.C.D.2.如图，已知点A(2, 3)，将点A 绕原点O 顺时针旋转90∘到A′，则点A′的坐标为（ ）A.(−2, 3)B.(−3, 2)C.(2, −3)D.(3, −2)3.下列四组图形中，左边的图形与右边的图形成中心对称的有（ ）A.1组B.2组C.3组D.4组4.下面A 、B 、C 、D 四个图形中的哪个图案可以通过旋转图案①得到（ ）A. B.C. D.5.如图是用围棋棋子在6×6的正方形网格中摆出的图案，棋子的位置用有序数对表示，如A 点为(5, 1)，若再摆一黑一白两枚棋子，使这9枚棋子组成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，则下列摆放正确的是（ ）A.黑(1, 5)，白(5, 5)B.黑(3, 2)，白(3, 3)C.黑(3, 3)，白(3, 1)D.黑(3, 1)，白(3, 3)6.如图，在△ABC 中，∠B =30∘，∠C =45∘，将△ABC 绕点A 顺时针旋转后得到△ADE （点B 的对应点是点D ，点C 的对应点是点E ），当点E 在BC 边上时，连接BD ，则∠BDE 的大小为（ ）A.15∘B.20∘C.25∘D.30∘7.成中心对称的两个图形，下列说法正确的是（）①一定形状相同；②大小可能不等；③对称中心必在图形上；④对称中心可能只在一个图形上；⑤对称中心必在对应点的连线上．A.①③B.③④C.④⑤D.①⑤8.如图，在三角形ABC中，∠C=90∘，∠B=35∘，将三角形ABC绕点A按顺时针方向旋转到三角形AB1C1的位置，使得点C、A、B1在一条直线上，那么旋转角等于（）A.145∘B.125∘C.70∘D.55∘9.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=6，BC=4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90∘得到△DEC，若点F是DE的中点，连接AF，则AF=( )A.√13B.5C.√13+2D.3√210.要使正八边形旋转后与自身重合，至少应将它绕中心顺时针旋转（）A.30∘B.60∘C.45∘D.135∘11.如图，正方形OABC的边长为2，则该正方形绕点O逆时针旋转45∘后，将点B转至B′，则点B′的坐标为（）A.(2, 2)B.(2√2, 0)C.(0, 2√2)D.(0, 2)12.如图，在平面直角坐标系中，将△ABC绕A点逆时针旋转90∘后，B点对应点的坐标为（）A.(1, 3)B.(0, 3)C.(1, 2)D.(0, 2)13.如图，点B在x轴上，∠ABO=90∘，∠A=30∘，OA=4，将△OAB饶点O按顺时针方向旋转120∘得到△OA′B′，则点A′的坐标是（）A.(2, −2√2)B.(2, −2√3)C.(2√2, −2)D.(2√3, −2)14.点P关于x轴对称点P1的坐标是(4, −8)，则P点关于原点的对称点P2的坐标是（）A.(−4, −8)B.(4, 8)C.(−4, 8)D.(4, −8)15.如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小正方格有（）A.1个B.2个C.3个D.4个16.关于成中心对称的两个图形的性质，下列说法正确的是（）A.连接对应点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分B.成中心对称的两个图形的对应线段不一定相等C.对应点的连线不一定都经过对称中心D.以上说法都不对二、填空题（共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）17.在直角坐标系中，点A(1, −2)关于原点对称的点的坐标是________．18.钟表的分针匀速旋转一周需要60分，经过35分，分针旋转了________度．19.利用所学知识观察如下图所示，在标有字母的六个形状中，其中有五个分别与右侧标有数字的形状相同，它们是________．20.在如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：(1)作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A1B1C1，画出△A1B1C1，写出C1坐标________；(2)作出△ABC绕点O逆时针旋转90∘的△A2B2C2，写出C2的坐标________．21.在△ABC中，∠CAB=75∘，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AED的位置，使得CE // AB，则∠DAB等于________．三、解答题（共 6 小题，共 57 分）22.（8分）如图是类似于日本“三菱”汽车的标志的图案，它可以看作是由什么“基本图案”通过怎样旋转得到的？每次旋转了多少度？23.（9分）如图，矩形ABCD与矩形AB′C′D′关于点A成中心对称，试判定四边形BDB′D′的形状，并说明你的理由．24.（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是(0, 3)，点B在第一象限，∠OAB的平分线交x轴于点P，把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD，连接DP．求：DP的长及点D的坐标．25.（10分）在Rt△ABC中，∠CAB=90∘，点P是△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后能与△ABP′重合，如果AP=6，求PP′的长．26.(10分) 如图，已知点A(2, 3)和直线y=x，(1)点A关于直线y=x的对称点为点B，点A关于原点(0, 0)的对称点为点C；写出点B、C的坐标；(2)若点D是点B关于原点(0, 0)的对称点，判断四形ABCD的形状，并说明理由．27.(10分) 我们知道，在平面内，如果一个图形绕着一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转的这个角称为这个图形的一个旋转角．例如，正方形绕着它的对角线的交点旋转90∘后能与自身重合所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为90∘．(1)判断下列说法是否正确（在相应横线里填上“对”或“错”）①正五边形是旋转对称图形，它有一个旋转角为144∘．________②长方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180∘．________(2)填空：下列图形中时旋转对称图形，且有一个旋转角为120∘的是________．（写出所有正确结论的序号）①正三角形②正方形③正六边形④正八边形(3)写出两个多边形，它们都是旋转对称图形，都有一个旋转角为72∘，其中一个是轴对称图形，但不是中心对称图形；另一个既是轴对称图形，又是中心对称图形．答案1.D2.D3.C4.B5.D6.A7.D8.B9.B10.C11.C12.D13.B14.A15.D16.A17.(−1, 2)18.21019.a，b，c，d，e20.(4, 1)；(2)如图所示，由图可知C2(1, −4)．故答案为：(1, −4)．21.30∘22.解：可以看作是由一个四边形OABC（或四边形ODEF、四边形OGHI）通过两次旋转得到的，每次旋转角度分别是120∘、240∘．23.解：∵矩形ABCD与矩形AB′C′D′关于点A成中心对称，∴∠BAD=90∘，AB=AB′，AD=AD′，∴四边形BDB′D′是平行四边形，DD′⊥BB′，∴四边形BDB′D′是菱形．24.解：∵△AOB是等边三角形，∴∠OAB=60∘，∵△AOP绕着点A按逆时针方向旋转边AO与AB重合，∴旋转角=∠OAB=∠PAD=60∘，AD=AP，∴△APD是等边三角形，∴DP=AP，∠PAD=60∘，∵A的坐标是(0, 3)，∠OAB的平分线交x轴于点P，∴∠OAP=30∘，AP=√(√3)2+32=2√3，∴DP=AP=2√3，∵∠OAP=30∘，∠PAD=60∘，∴∠OAD=30∘+60∘=90∘，∴点D的坐标为(2√3, 3)．25.解：∵将△ABP绕点A逆时针旋转后能与△ACP′重合，∴△ABP≅△ACP′，∴AP=AP′=5，∠BAP=∠CAP′．∵∠BAC=90∘，∴∠BAP+∠CAP=90∘．∴∠CAP′+∠CAP=90∘，即∠PAP′=90∘，∴△PAP′是等腰直角三角形．由勾股定理得：PP′=√AP2+AP′2=√62+62=6√2．∴PP′的长为6√2．26.解：(1)∵A(2, 3)，∴点A关于直线y=x的对称点B(3, 2)，点A关于原点(0, 0)的对称点C(−2, −3)；(2)∵B(3, 2)，∴点B关于原点(0, 0)的对称点D(−3, −2)，∵点B与点D关于O对称，∴BO=DO，∵点A与点C关于O对称，∴AO=CO，∴四边形ABCD是平行四边形，∵点A关于直线y=x的对称点为点B，点A关于原点(0, 0)的对称点为点C，∴AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形．27.对对①③（3）360∘=72∘，5则正五边形是满足有一个旋转角为72∘，是轴对称图形，但不是中心对称图形；正十边形有一个旋转角为72∘，既是轴对称图形，又是中心对称图形．。
新人教版数学九年级上人教新课标第二十三章旋转复习测试
小结一、填空题1．图形的平移、旋转、轴对称中，其相同的性质是_________．2．经过旋转，对应点到旋转中心的距离___________．3．等边三角形绕着它的三边中线的交点旋转至少______度，能够与本身重合．4. 下列大写字母A，B，C，D，E，F，C，H，I，J，K，L，M，N，O，P，Q，R，S，T，U，V，W，X，Y，Z旋转90°和原来形状一样的有，旋转180°和原来形状一样的有．5．边长为4cm的正方形ABCD绕它的顶点A旋转180°，顶点B所经过的路线长为______cm．6．关于中心对称的两个图形，对称点的连线7．如图所示，△ABO与△CDO关于点O成中心对称，则在一直线上的三点有，并且AO＝，BO＝ .8．如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，并且被平分，则这两个图形一定关于这一点成对称．二、选择题9.如图所示，下列图形中即是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )10.下列图案中，可以由一个”基本图案”连续旋转45得到的是( ).oA B C D11.对图案的形成过程叙述正确的是( ).A.它可以看作是一只小狗绕图案的中心位置旋转90°、180°、270°形成的B.它可以看作是相邻两只小狗绕图案的中心位置旋转180°形成的C.它可以看作是相邻两只小狗绕图案的恰当的对称轴翻折而成的D.它可以看作是左侧、上面的小狗分别向右侧、下方平移得到的12.同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的.如图是看到的万花筒的一个图案，图中所有小三角形均是全等的等边三角形，其中的菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为中心( ).A.顺时针旋转60°得到B.顺时针旋转120°得到C.逆时针旋转60°得到D.逆时针旋转120°得到13. 已知下列命题，其中正确的个数是( )(1)关于中心对称的两个图形一定不全等．(2)关于中心对称的两个图形是全等形．(3)两个全等的图形一定关于中心对称．第12题A．0个B．l个C．2个D．3个三、解答题14.在下面的正方形中，以右上角顶点为旋转中心，按逆时针旋转一定角度后使之与原图形成轴对称．15.已知四边形ABCD和点O，画四边形A′B′C′D′使四边形A′B′C′D′和四边形ABCD关于点O成中心对称．16.如图所示:O为正三角形ABC的中心．你能用旋转的方法将△ABC分成面积相等的三部分吗？如果能，设计出分割方案，并画出示意图．17.如图所示:AB是长为4cm的线段，且CD⊥AB于O，你能借助旋转的方法求出图中阴影部分的面积吗？说说你的做法．18.已知如图所示:四边形AECF中AE＝AF，∠EAF＝9O°，∠C＝90°，AB⊥FC于B，且AB＝BC，若FC＝10，EC＝6，求四边形AECF的面积．19.如图所示:两个五角星关于某一点成中心对称，指出哪一点是对称中心？,的对称点．并指出图中A，B，C D20.有一块长4m，宽3m的园地．现要在园地上开辟一个花坛，使花坛面积是原园地面积的一半，且使设计图案是轴对称图形，又是中心对称图形，问如何设计．。
人教版初中数学九年级上册同步测试第23章旋转(共14页)
人教版初中数学九年级上册同步测试第23章旋转（共14页）精品第二十三章旋转测试1图形的旋转学习要求1．通过实例认识图形的旋转变换，理解旋转的含义；通过探索它的基本特征，理解旋转变换的基本性质．2．能按要求作出简单平面图形旋转后的图形．课堂学习检测一、填空题1．在平面内，把一个图形绕着某______沿着某个方向转动______的图形变换叫做旋转．这个点O叫做______，转动的角叫做______．因此，图形的旋转是由______和______决定的．2．如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两点叫做这个旋转的______．3．如图，△AOB旋转到△A′OB′的位置．若∠AOA′=90°，则旋转中心是点______．旋转角是______．点A的对应点是______．线段AB的对应线段是______．∠B的对应角是______．∠BOB′=______．3题图4．如图，△ABC绕着点O旋转到△DEF的位置，则旋转中心是______．旋转角是______．AO=______，AB=______，∠ACB=∠______．4题图5．如图，正三角形ABC绕其中心O至少旋转______度，可与其自身重合．5题图6．一个平行四边形ABCD，如果绕其对角线的交点O旋转，至少要旋转______度，才可与其自身重合．7．钟表的运动可以看作是一种旋转现象，那么分针匀速旋转时，它的旋转中心是钟表的旋转轴的轴心，经过45分钟旋转了______度．8．旋转的性质是对应点到旋转中心的______相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于______；旋转前、后的图形之间的关系是______．精品二、选择题9．下图中，不是旋转对称图形的是()．10．有下列四个说法，其中正确说法的个数是()．①图形旋转时，位置保持不变的点只有旋转中心；②图形旋转时，图形上的每一个点都绕着旋转中心旋转了相同的角度；③图形旋转时，对应点与旋转中心的距离相等；④图形旋转时，对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小都没有发生变化A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，把菱形ABOC绕点O顺时针旋转得到菱形DFOE，则下列角中不是旋转角的为()．A．∠BOFB．∠AODC．∠COED．∠COF12．如图，若正方形DCEF旋转后能与正方形ABCD重合，则图形所在平面内可作为旋转中心的点共有()个．A．1B．2C．3D．413．下面各图中，哪些绕一点旋转180°后能与原来的图形重合()．A．①、④、⑤C．②、③、⑤B．①、③、⑤D．②、④、⑤综合、运用、诊断14．如图，六角星可看作是由什么“基本图形”通过怎样的旋转而得到的。
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中学九年级数学上册 本章复习同步测试4
类型之一 中心对称图形与轴对称图形
1．在下列图中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( B )
2．下列图形：①平行四边形；②菱形；
③圆；④梯形；⑤等腰三角形；⑥直角三角形；⑦国旗上的五角星．这些图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的有( B )
A ．1种
B ．2种
C ．3种
D ．4种
类型之二 图形平移、旋转或轴对称的计算问题
3．如图23－1，直角三角板ABC 的斜边AB ＝12 cm ，∠A ＝30°，将三角板ABC 绕点C 顺时针旋转90°至三角板A ′B ′C ′的位置后，再沿CB 方向向左平移，使点B ′落在原三角板ABC 的斜边AB 上，则三角板A ′B ′C ′平移的距离为( C )
图23－1
A ．6 cm
B ．4 cm
C ．(6－23)cm
D ．(43－6)cm
【解析】 过B ′作B ′D ⊥AC ，交AB 于D ，
则三角板A ′B ′C ′平移的距离为B ′D ，
在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，
所以BC ＝12AB ＝12
×12＝6，AC ＝AB 2－BC 2＝63， 由旋转性质知B ′C ＝BC ＝6，所以AB ′＝63－6，
所以B ′D ＝33AB ′＝33
(63－6)＝6－2 3.
图23－2
4．如图23－2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝α，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△EDC，此时点D在AB边上，则旋转角的大小为__2α__．
类型之三坐标系中的图形变换
5．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图23－3所示．
(1)将△ABC向右平移6个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
(2)将△ABC绕原点O旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2.
图23－3
第5题答图
【解析】(1)将△ABC向右平移6个单位即是将三点的横坐标加6；
(2)将△ABC绕原点O旋转180°即是所画图形和原图形关于原点对称．
解：(1)如图所示，点C1的坐标为(1，1)；
(2)如图所示．
6．△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图23－4所示．
(1)作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1.
(2)将△A1B1C1向右平移4个单位，作出平移后的△A2B2C2.
(3)在x轴上求作一点P，使P A1＋PC2的值最小，并写出点P的坐标(不写解答过程，直接写
出结果)
图23－4
解：(1)如图所示：
(2)如图所示：
(3)如图所示：作出A 1的对称点A ′，连接A ′C 2，交x 轴于点P ，可得P 点坐标为(83
，0)． 类型之四 旋转证明
7．如图23－5所示，P 为等边三角形ABC 内一点，∠APB ，∠BPC ，∠CP A 的大小之比是5∶6∶7，则以P A ，PB ，PC 的长为三边的三角形三个内角的大小之比为( A )
A ．2∶3∶4
B ．3∶4∶5
C ．4∶5∶6
D ．5∶6∶7
图23－5
第7题答图
【解析】 如图，把△APB 绕顶点A 顺时针旋转60°到△AQC 的位置，连接PQ ，则P A ＝QA ＝PQ ，QC ＝PB ，以P A ，PB ，PC 为边长的三角形是△PQC .
由题意，知∠APB ＝100°，∠BPC ＝120°，∠CP A ＝140°，所以∠QPC ＝140°－60°＝80°.而∠AQC ＝∠APB ＝100°，所以∠PQC ＝100°－60°＝40°，从而∠QCP ＝60°. 故所求三角形的三个内角的大小之比为2∶3∶4，选A.
8．如图23－6，P 是等腰直角△ABC 外一点，把BP 绕点B 顺时针旋转90°到BP ′，已知∠AP ′B ＝135°，P ′A ∶P ′C ＝1∶3，则P ′A ∶PB ＝( B )
A ．1∶ 2
B ．1∶2 C.3∶2 D ．1∶ 3
【解析】 连接AP ，∵BP 绕点B 顺时针旋转90°到BP ′，∴BP ＝BP ′，∠ABP ＋∠ABP ′＝90°，
又∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AB ＝BC ，∠CBP ′＋∠ABP ′＝90°，∴∠ABP ＝∠CBP ′.
在△ABP 和△CBP ′中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BP ＝BP ′，∠ABP ＝∠CBP ′AB ＝BC ，
∴△ABP ≌△CBP ′(SAS)，∴AP ＝P ′C .
∵P ′A ∶P ′C ＝1∶3，∴AP ＝3P ′A .
连接PP ′，则△PBP ′是等腰直角三角形，
∴∠BP ′P ＝45°，PP ′＝2PB .∵∠AP ′B ＝135°，
∴∠AP ′P ＝135°－45°＝90°，∴△APP ′是直角三角形，
设P ′A ＝x ，则AP ＝3x ，
根据勾股定理，PP ′＝AP 2－P ′A 2＝（3x ）2－x 2＝22x ，∴PP ′＝2PB ＝22x ，解得PB ＝2x ，
∴P ′A ∶PB ＝x ∶2x ＝1∶2.故选B.
图23－6
图23－7
9．如图23－7，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，将△ABC绕点C逆
时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，连接BB′，则BB′的长度为．10．某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图(1)所示位置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)，如图(2)，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P.
图23－8
(1)求证：AM＝AN；
(2)当旋转角α＝30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由．
解：(1)证明：∵用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图(1)所示位置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)，
∴AB＝AF，∠BAM＝∠F AN，∠B＝∠F.
△ABM≌△AFN(ASA)，
∴AM＝AN；
(2)当旋转角α＝30°时，四边形ABPF是菱形．
理由：连接AP，∵∠α＝30°，
∴∠F AN＝30°，∴∠F AB＝120°，
∵∠B＝60°，∴AF∥BP，∴∠F＝∠FPC＝60°，
∴∠FPC＝∠B＝60°，∴AB∥FP，
∴四边形ABPF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴平行四边形ABPF是菱形．。