3.8函数的单调性
高中数学中的函数单调性性质总结
高中数学中的函数单调性性质总结高中数学中，函数单调性是非常重要的概念之一。
在函数的研究中，单调性是指一种自变量变化时，函数值的增减性质。
在本文中，我们将对函数单调性的性质进行总结和探讨，希望能对同学们更好地掌握这一概念。
一、函数单调性及其分类函数单调性是指在定义域内，自变量变大时，函数值单调递增或者单调递减，称为函数的单调性。
具体来说，若对于定义域内的任意两个自变量，我们有f(x2) ≥ f(x1) ，则函数为单调递增函数；若对于定义域内的任意两个自变量，我们有f(x2) ≤ f(x1) ，则函数为单调递减函数。
二、单调性的判定方法首先，我们需要了解单调性的判定方法。
通常有两种方法：导数法和图像法。
导数法，顾名思义，通过计算函数的导数来判断函数的单调性。
具体来说，若f‘(x)>0，则函数单调递增；若f‘(x)<0，则函数单调递减。
图像法，我们可以画出函数的图像，并观察函数的走向和斜率。
若函数的图像在定义域内逐渐上升，则函数单调递增；若函数的图像在定义域内逐渐下降，则函数单调递减。
三、几类常见函数的单调性1. 常函数：常函数的导数为0，因此常函数的单调性为常数函数。
2. 一次函数：一次函数是一条直线，因此单调性的判定非常简单。
若a>0，则函数单调递增；若a<0，则函数单调递减。
3. 幂函数：幂函数分为2种情况：a>0和a<0。
当a>0时，若n为偶数，则函数在左半轴上单调递减，在右半轴上单调递增；若n为奇数，则函数在整个定义域内单调递增。
当a<0时，若n为偶数，则函数在左半轴上单调递增，在右半轴上单调递减；若n为奇数，则函数在整个定义域内单调递减。
4. 指数函数：指数函数y=a^x，a>0且a≠1。
当a>1时，函数单调递增；当0<a<1时，函数单调递减。
5. 对数函数：对数函数y=logax，a>0且a≠1。
当a>1时，函数单调递增；当0<a<1时，函数单调递减。
高中 函数的单调性
函数的单调性知识点一：函数单调性的定义、判定及证明1.单调性的定义：当x ∈ (－∞,0)，x逐渐增加时，函数值y逐渐减小；而当x ∈ (0，+∞)，x逐渐增加时，函数值y逐渐增加，函数的这两种性质都叫做函数的单调性【注意】函数的单调性是针对函数定义域的某个区间而言的.有些函数在它的整个定义域上不存在单调性，而在定义域的某个区间存在单调性. 如y=x2 ,定义域为R，在R上没有单调性.而在M={x|x>0}上，函数 y=x2递增。
2.增减函数的定义：对于给定区间上的函数f(x),如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1、x2,当x1< x2时都有f(x1)< f(x2) ( 或f(x1)>f(x2) ) ，那么称f(x)在这个区间上是增（减）函数.3.利用单调性定义证明函数在给定区间上的单调性的一般步骤第一步：取值.即设x1、 x2,是指定区间内的任意两个值，且x1< x2；第二步：作差变形.即作差f(x)-f(x)，并通过因式分解、配方、通分、分子有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形；第三步：定号.确定差的正负，当符号不确定时，要进行分区间讨论；第四步：判断.由定义得出结论.4.判断函数单调性的常见方法（1）定义法（2）直接法运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出.直接判断函数的单调性，可用到以下结论：①函数y=-f(x)与函数y=f(x)的单调性相反.②函数f(x)恒为正或恒为负时，函数y=1/f(x)与y=f(x)的单调性相反.③在公共区间内，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数等.(3)图像法根据函数图像的升、降情况进行判断.【思维拓展】1.一些重要函数的单调性（1）y=x+1/x的单调性：（-∞,-1﹜↗,( -1，0 )↘，（0，1）↘，﹛1，+∞﹚↗ .(2) y=ax+b/x (ab>0) 的单调性：（2.单调性与奇偶性若奇函数f(x)在区间{a,b}上单调递增（减），则f(x)在区间{-b,-a}上单调递增（减）；若偶函数f(x)在区间{a,b}上单调递增（减），则f(x)在区间{-b,-a}上单调递减（增）.知识点二函数单调区间及图像特点1.定义如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y=f(x) 的单调区间。
微积分基础练习参考答案
微积分基础练习参考答案一、 函数的概念和性质练习1.1 函数的定义域1、(2,3)(3,8]y D =2、 [5,1)(1,5]---3、 (1,0)(0,3]-4、(1,)+∞5、 (1,2]-6、 (1,2)练习1.2 函数的对应规则1、 A2、 D3、 34、 B 。
5、 D6、 D练习1.3 判断两函数的异同1、 C2、 B3、 A练习1.4 函数的奇偶性1、 A2、 A3、 A4、 D练习1.5 复合函数的定义和分解1、x x g f sin )]([=2、x x f g sin )]([=3、 ln ,sin 1y u u v x ==+。
4、函数由u y e =，cos u v =，1x v e =+复合而成的。
二、极限与连续练习2.1 根据基本初等函数图形求极限1、02、∞+3、∞+4、05、∞+6、∞-练习2.2 分式的极限1、∞2、13、04、-85、41练习2.3 两个重要极限1、1-e 2、 2e 3、2-e 4、e5、 16、3-e 7、e 8、 19、4110、1 11、3 12、1 练习2.4 无穷小量与无穷大量1、 A2、 B3、 D4、 A5、 D练习2.5 函数的连续性与间断点1、 (,2)(2,6)(6,)-∞--+∞2、 23、 C4、 D三、一元函数微分学练习3.1 导数的定义1、 A2、 B练习3.2 导数的几何意义1、 D2、 B3、13164y x =-+ 4、 33y x =-5、 2y x =+6、 12-，11(1)2y x -=--练习3.3 导数的四则运算法则1、12、 11+--='n n xn nx y 3、 1ln +='x y4、2ln 1x x y -=' 5、2sin cos cos sin xxx x x x x y -++=' 6、2121x xy -=' 7、()313+-='x y 8、B 练习3.4 复合函数求导法则1、22)1(6+='x x y2、xy 3123--=' 3、32)1(+-='x x y4、x y 4sin 2='5、11-='x y 6、x x2cos 2sin -7、 dy=sin cos x xe dx 8、 xxe 2sin 24sin 2 9、)cos(2cos 22sin 2sin x xe xey ='10、x e x ey x x3cos 33sin 222+=' 11、322cos 3cos sin 3x x x x y +='12、xy -='121练习3.5 隐函数求导法则1、 222sin x y y x y y -'∴=- 2、522322++---='y x y x y 3、(0)1y '∴=-练习3.6 对数求导法则1、(2)(ln 21)x y x x '∴=+2、)sin ln (cos sin xxx x xy x+=' 3、))12ln(sin 12cos 2()12(cos +-++='x x x x x y x4、222)65()12(6++--x x x x ＋练习3.7 高阶导数的计算1、 (0)4y ''=2、 xe x e x e y xx x +-=''2322练习3.8 求参数方程的导数1、t y tan -='2、2122-='t y四、导数的应用练习4.1 判别函数的单调性1、 C2、 (,0)-∞3、 ()+∞∞-,4、 (0,)+∞练习4.2 函数的极值和最值1、 2121=-=x x 2、 有极小值41121=⎪⎭⎫ ⎝⎛y3、 极大值8)1(=-y ，极小值25)3(-=y4、最大值0)3(=y ，最小值4)1(-=y5、最大值1)0(=y ，最小值4)2(-=e y练习4.3 用洛必达法则求不定型极限1、41 2、221－ 3、 322 4、315、06、0练习4.4 经济函数的最值问题1、 产量为200吨时可使平均成本达到最小，此时的总成本为1200万元。
《微积分》教材目录
《微积分》教材目录 第一章 函数、极限与连续1.1 函数1.2 数列的极限1.3 函数的极限1.4 极限的运算法则1.5 极限存在准则、两个重要极限1.6 无穷小、无穷大及无穷小的比较1.7 函数的连续性与间断点1.8 闭区间上连续函数的性质第二章 导数与微分2.1 导数概念2.2 函数的求导法则2.3 高阶导数2.4 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 2.5 函数的微分第三章 中值定理与导数的应用3.1 中值定理3.2 洛必达法则3.3 函数单调性的判别法3.4 函数的极值及其求法3.5 最大值、最小值问题3.6 曲线的凹凸性与拐点3.7 函数图形的描绘3.8 导数与微分在经济分析中的简单应用第四章 不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 换元积分法4.3 分部积分法4.4 有理函数的积分第五章 定积分及其应用5.1 定积分的概念与性质5.2 微积分基本公式5.3 定积分的换元积分法与分部积分法5.4 定积分在几何学及经济学上的应用5.5 反常积分第六章 多元函数微积分6.1 空间解析几何简介6.2 多元函数的基本概念6.3 偏导数6.4 全微分6.5多元复合函数的导数6.6 隐函数的求导公式6.7 多元函数的极值6.8 二重积分第七章 无穷级数7.1 常数项级数的概念和性质7.2 常数项级数的审敛法7.3 函数项级数的概念与幂级数7.4函数展开成幂级数第八章 微分方程与差分方程初步8.1 微分方程的基本概念8.2 一阶微分方程及解法8.3 一阶微分方程在经济学中的应用8.4 可降阶的高阶微分方程8.5 二阶常系数线性微分方程8.6差分方程的基本概念及常系数线性差分方程解的结构 8.7 一阶常系数线性差分方程及应用举例第九章 Matlab在微积分中的应用9.1 MATLAB的基本操作9.2 MATLAB在一元微积分中的应用9.3 MATLAB在二元微积分中的应用 9.4 MATLAB在级数中的应用附录参考答案参考文献。
高一函数的单调性练习题
高一函数的单调性练习题1.在区间(0.+∞)上不是增函数的函数是A。
y=2x+1.B。
y=3x^2+1.C。
y=√x。
D。
y=2x^2+x+1.2.函数f(x)=4x^2-mx+5在区间[-2.+∞]上是增函数，在区间(-∞，-2)上是减函数，则f(1)=17.3.函数f(x)在区间(-2.3)上是增函数，则y=f(x+5)的递增区间是(3.8)。
4.函数f(x)=(ax+1)/(x+2)在区间(-2.+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(0.+∞)。
5.已知函数f(x)在区间[a。
b]上单调，且f(a)f(b)<0，则方程f(x)=0在区间[a。
b]内至少有一实根。
6.已知函数f(x)=8+2x-x^2，如果g(x)=f(2-x^2)，那么函数g(x)在区间(0.2)上是增函数。
7.已知函数f(x)是R上的增函数，A(0.-1)、B(3.1)是其图象上的两点，那么不等式|f(x+1)|<1的解集的补集是(-∞。
-1)∪[4.+∞)。
8.已知定义域为R的函数f(x)在区间(-∞。
5)上单调递减，对任意实数t，都有f(5+t)=f(5-t)，那么下列式子一定成立的是f(13)<f(9)<f(-1)。
9.函数f(x)=|x|和g(x)=x(2-x)的递增区间依次是(负无穷，0]，[0.1]。
10.已知函数f(x)=x^2+2(a-1)x+2在区间(-∞。
4]上是减函数，则实数a的取值范围是a≤-1或a≥3.1.上面的文章中存在一些格式错误和明显有问题的段落，需要进行删除和修改。
2.改写后的文章如下：题目：1.如果函数f(x)是减函数，则实数a的取值范围是（）。
A。
a≤3B。
a≥－3C。
a≤5D。
a≥32.已知f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a、b∈R且a ＋b≤0，则下列不等式中正确的是（）。
A。
f(a)＋f(b)≤－f(a)＋f(b)B。
f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)C。
普通高中数学新旧教材对比
旧版教材：《全日制普通高级中学教科书（试验本修订）·数学》第一册(上)目录供一年级第一学期用第一章集合与简易逻辑1.1 集合1.2 子集、全集、补集1.3 交集、并集1.4 绝对值不等式的解法1.5 一元二次不等式的解法1.6 逻辑联结词1.7 四种命题1.8 充分条件与必要条件小结与复习第二章函数2.1 映射2.2 函数2.3 函数单调性与奇偶性2.4 反函数2.5 指数2.6 指数函数2.7 对数2.8 对数函数2.9 函数的应用举例2.10 实习作业小结与复习第三章数列3.1 数列3.2 等差数列3.3 等差数列前n项和3.4 等比数列3.5 等比数列前n项和3.6 研究性课题：分期付款中的有关计算小结与复习《全日制普通高级中学教科书（试验修订本）·数学》第一册(下)目录供一年级第二学期用第四章三角函数一、任意角的三角函数4.1 角的概念的推广4.2 弧度制4.3 任意角的三角函数阅读材料：弧度制的由来4.4 同角三角函数的基本关系式4.5 正弦、余弦的诱导公式二、两角和与差的三角函数4.6 两角和与差的正弦、余弦、正切4.7 二倍角的正弦、余弦、正切三、三角函数的图象和性质4.8 正弦函数、余弦函数的图象和性质的图象4.9 函数y = Asin(ωx + φ）4.10 正切函数的图象和性质4.11 已知三角函数值求角阅读材料：同频率正弦电流相加，频率不变小结与复习第五章平面向量一、向量及其运算5.1 向量5.2 向量的加法与减法5.3 实数与向量的积5.4 平面向量的坐标运算5.5 线段的定比分点5.6 平面向量的数量积及运算律5.7 平面向量数量积的坐标表示5.8 平移阅读材料：向量的三种类型二、解斜三角形5.9 正弦定理、余弦定理5.10 解斜三角形应用举例5.11 实习作业阅读材料：人们早期怎样测量地球的半径5.12研究性课题：向量在物理中的应用小结与复习《全日制普通高级中学教科书（试验本）·数学》第二册(上)目录供二年级第一学期用第六章不等式6.1 不等式的性质6.2 算术平均数与几何平均数6.3 不等式的证明6.4 不等式的解法举例6.5 含绝对值的不等式小结与复习第七章直线和圆的方程7.1 直线的倾斜角和斜率7.2 直线的方程7.3 两条直线的位置关系7.4 简单的线性规划7.5 研究性课题与实习作业：线性规划的实际应用7.6 曲线和方程7.7 圆的方程小结与复习第八章圆锥曲线方程8.1 椭圆及其标准方程8.1 椭圆及其标准方程8.1 椭圆及其标准方程8.3 双曲线及其标准方程8.4 双曲线的几何性质8.5 抛物线及其标准方程8.6 抛物线的几何性质小结与复习《全日制普通高级中学教科书（试验本）·数学》第二册(下A)目录供二年级第二学期用第九章直线、平面、简单几何一、空间直线和平面9.1平面9.2空间直线9.3直线与平面平行的判定和性质9.4直线与平面垂直的判定和性质9.5两个平面平行的判定和性质9.6两个平面垂直的判定和性质二、简单几何体9.7棱柱9.8棱锥阅读材料柱体和椎体的体积研究性学习课题：多面体欧拉定理的发现阅读材料欧拉公式和正多面体的种类9.9球小结与复习第十章排列、组合和二项式定理10.1分类计数原理与分步计数原理10.2排列10.3组合阅读材料从集合的角度看排列与组合10.4二项式定理小结与复习第十一章概率11.1随机事件的概率11.2互斥事件有一二发生的概率11.3相互独立事件同时发生的概率阅读材料抽签有先有后，对各人公平吗？小结与复习《全日制普通高级中学教科书（试验本）·数学》第三册(选修Ⅱ)目录供三年级全学年用第一章概率与统计一、随机变量1.1离散型随机变量的分布列1.2离散型随机变量的期望与方差二、统计1.3抽样方法1.4总体分布的估计阅读材料累积频率分布1.5正态分布1.6线性回归阅读材料回归直线方程的推导小结与复习第二章极限一、数学归纳法2.1 数学归纳法及其应用举例阅读材料不完全归纳法与完全归纳法2.2 研究性课题：杨辉三角二、极限2.3 数列的极限2.4 函数的极限2.5 极限的四则运算阅读材料无穷等比数列（|q|<1）的和2.6 函数的连续性小结与复习第三章导数与微分一、导数与微积分3.1 导数的概念3.2 几种常见函数的导数阅读材料变化例举例3.3 函数的和、差、积、商的导数3.4 复合函数的导数3.5 对数函数与指数函数的导数3.6 微分的概念与运算阅读材料近似计算二、导数的应用3.7 函数的单调性3.8 函数的极值3.9 函数的最大值与最小值小结与复习第四章积分4.1 不定积分4.2 不定积分的运算法则4.3 定积分的概念与计算4.4 定积分在几何上的应用阅读材料长度、面积与体积4.5 定积分在力学上的简单应用4.6 微积分建立的时代背景和历史意义4.7 研究性课题：定积分在经济生活中的应用小结与复习第五章复数一、复数及其四则运算5.1 复数的概念5.2 复数的向量表示5.3 复数的加法与减法5.4 复数的乘法与除法二、复数的三角形式5.5 复数的三角形式5.6 复数的三角形式的运算阅读材料复数系是怎样建立的小结与复习。
新高一数学笔记知识点总结
新高一数学笔记知识点总结一、函数1.1 函数的概念函数是一种特殊的关系，它将每个自变量（通常用x表示）映射到一个特定的因变量（通常用y表示）。
函数可以用数学表达式、图像或者表格形式来表示。
1.2 函数的性质（1）定义域和值域：函数的定义域是所有自变量的取值范围，值域是所有因变量的取值范围。
（2）奇函数与偶函数：奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。
（3）单调性：函数的单调性分为增函数和减函数，增函数指的是当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)；减函数指的是当x1<x2时，有f(x1)>f(x2)。
（4）周期函数：如果对于任意实数x，有f(x+T)=f(x)，则称函数f(x)为周期函数，其中T称为周期。
1.3 函数的图像通过绘制函数的图像可以直观地了解函数的性质，包括函数的单调性、奇偶性、周期性等。
1.4 函数的运算（1）基本运算：函数的加减乘除。
（2）复合函数：如果y=f(u)和u=g(x)，则y=f(g(x))称为f(x)和g(x)的复合函数。
（3）反函数：如果y=f(x)，则通过交换x和y的值得到的新函数称为f(x)的反函数，记作f^(-1)(x)。
1.5 一次函数一次函数的标准形式为y=kx+b，其中k称为斜率，b称为截距。
1.6 二次函数二次函数的标准形式为y=ax^2+bx+c。
二次函数的图像是抛物线，开口方向由a的正负决定。
1.7 指数函数指数函数的一般形式为y=a^x，其中a为底数，x为指数。
1.8 对数函数对数函数的一般形式为y=loga(x)，其中a为底数，x为真数。
1.9 三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们是周期函数，周期为π或2π。
1.10 数学建模函数在数学建模中有广泛的应用，通过建立适当的函数模型，可以分析和解决实际问题。
1.11 函数的极限函数的极限是指当自变量趋近于某一值时，函数的取值趋近于某一值。
人教版高中数学教材目录(全册)(完美版)
人教版高中数学教材目录（全）第一册上第一章集合与简易逻辑一集合1．1集合1．2 子集、全集、补集1．3交集、并集1．4含绝对值的不等式解法1．5一元一次不等式解法阅读材料集合中元素的个数二简易逻辑1．6逻辑联结词1．7四种命题1．8充分条件与必要条件小结与复习复习参考题一第二章函数一函数2．1函数2．2函数的表示法2．3函数的单调性2．4反函数二指数与指数函数2．5指数2．6指数函数三对数与对数函数2．7对数阅读材料对数的发明2．8对数函数2．9函数的应用举例阅读材料自由落体运动的数学模型实习作业建立实际问题的函数模型小结与复习复习参考题二第三章数列3．1数列3．2等差数列3．3等差数列的前n项和阅读材料有关储蓄的计算3．4等比数列3．5等比数列的前n项和研究性学习课题：数列在分期付款中的应用小结与复习复习参考题三第一册下第四章三角函数一任意角的三角函数4．1角的概念的推广4．2弧度制4．3任意角的三角函数阅读材料三角函数与欧拉4．4同角三角函数的基本关系式4．5正弦、余弦的诱导公式二两角和与差的三角函数4．6两角和与差的正弦、余弦、正切4．7二倍角的正弦、余弦、正切三三角函数的图象和性质4．8正弦函数、余弦函数的图象和性质4．9函数y=Asin（ωx+φ）的图象4．10正切函数的图象和性质4．11已知三角函数值求角阅读材料潮汐与港口水深小结与复习复习参考题四第五章平面向量一向量及其运算5．1向量5．2向量的加法与减法5．3实数与向量的积5．4平面向量的坐标运算5．5线段的定比分点5．6平面向量的数量积及运算律5．7平面向量数量积的坐标表示5．8平移阅读材料向量的三种类型二解斜三角形5．9正弦定理、余弦定理5．10解斜三角形应用举例实习作业解三角形在测量中的应用阅读材料人们早期怎样测量地球的半径？研究性学习课题：向量在物理中的应用小结与复习复习参考题五第二册上第六章不等式6．1不等式的性质6．2算术平均数与几何平均数6．3不等式的证明6．4不等式的解法举例6．5含有绝对值的不等式阅读材料n个正数的算术平均数与几何平均数小结与复习复习参考题六第七章直线和圆的方程7．1直线的倾斜角和斜率7．2直线的方程7．3两条直线的位置关系阅读材料向量与直线7．4简单的线性规划研究性学习课题与实习作业：线性规划的实际应用7．5曲线和方程阅读材料笛卡儿和费马7．6圆的方程小结与复习复习参考题七第八章圆锥曲线方程8．1椭圆及其标准方程8．2椭圆的简单几何性质8．3双曲线及其标准方程8．4双曲线的简单几何性质8．5抛物线及其标准方程8．6抛物线的简单几何性质阅读材料圆锥曲线的光学性质及其应用小结与复习复习参考题八第二册下A第九章直线、平面、简单几何体9．1平面9．2空间直线9．3直线与平面平行的判定和性质9．4直线与平面垂直的判定和性质9．5两个平面平行的判定和性质9．6两个平面垂直的判定和性质9．7棱柱9．8棱锥阅读材料柱体和锥体的体积研究性学习课题：多面体欧拉定理的发现阅读材料欧拉公式和正多面体的种类9．9球小结与复习复习参考题九第十章排列、组合和二项式定理10．1分类计数原理与分步计数原理10．2排列10．3组合阅读材料从集合的角度看排列与组合10．4二项式定理小结与复习复习参考题十第十一章概率11．1随机事件的概率11．2互斥事件有一个发生的概率11．3相互独立事件同时发生的概率阅读材料抽签有先有后，对个人公平吗？小结与复习复习参考题十一第二册下B第九章直线、平面、简单几何体9．1平面的基本性质9．2空间的平行直线与异面直线9．3直线和平面平行与平面和平面平行9．4直线和平面垂直9．5空间向量及其运算9．6空间向量的坐标运算9．7直线和平面所成的角与二面角9．8距离阅读材料向量概念的推广与应用9．9棱柱与棱锥研究性学习课题：多面体欧拉定理的发现阅读材料欧拉公式和正多面体的种类9．10球小结与复习复习参考题九第十章排列、组合和二项式定理10．1分类计数原理与分布计数原理10．2排列10．3组合阅读材料从集合的角度看排列与组合10．4二项式定理小结与复习复习参考题十第十一章概率11．1随机事件的概率11．2互斥事件有一个发生的概率11．3相互独立事件同时发生的概率阅读材料抽签有先有后，对各人公平吗？小结与复习复习参考题十一第三册（理科）第一章概率与统计1．1离散型随机变量的分布列1．2离散型随机变量的期望与方差1．3抽样方法1．4总体分布的估计阅读材料累积频率分布1．5正态分布1．6线性回归阅读材料回归直线方程的推导实习作业通过抽样调查，研究实际问题小结与复习复习参考题一第二章极限2．1数学归纳法及其应用举例阅读材料不完全归纳法与完全归纳法研究性学习课题：杨辉三角2．2数列的极限2．3函数的极限2．4极限的四则运算阅读材料无穷等比数列的和2．5函数的连续性小结与复习复习参考题二第三章导数3．1导数的概念3．2几中常见函数的导数阅读材料变化率举例3．3函数的和、差、积、商的导数3．4复合函数的导数3．5对数函数与指数函数的导数阅读材料近似计算3．6函数的单调性3．7函数的极值3．8函数的最大值与最小值3．9微积分建立的时代背景和历史意义小结与复习复习参考题三第四章数系的扩充──复数4．1复数的概念4．2复数的运算4．3数系的扩充研究性学习课题：复数与平面向量、三角函数的联系小结与复习复习参考题四附录一部分中英文词汇对照表附录二导数公式表第三册（文科）第一章统计1．1抽样方法1．2总体分布的估计1．3总体期望值和方差的估计实习作业通过抽样调查研究实际问题小结与复习复习参考题一附录随机数表第二章导数2．1导数的背景2．2导数的概念2．3多项式函数的导数2．4函数的单调性与极值2．5函数的最大值与最小值2．6微积分建立的时代背景和历史意义研究性学习课题：杨辉三角小结与复习复习参考题二附录部分中英文词汇对照表附送教师精彩课堂用语（不需要可自行删除）（听说读问写）☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆听☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆1、谢谢大家听得这么专心。
单调性与最大值最小值
单调性与最大值最小值(一)【教学目标】1理解增函数、减函数的概念2掌握判断某些函数增减性的方法3渗透数形结合的数学方法教学重点：函数单调性概念的理解及应用教学难点：函数单调性的判定及证明【探求新知】1.观察下列函数图像从左到右升降如何变化的?_ 2.在上面的四幅函数图象中，有的图象由左至右是上升的；有的图象是下降的；还有的图象有的部分是下降的，有的部分是上升的.函数图象的“上升” “下降”反映了函数的一个基本性质---单调性.如何描述函数图象的“上升”“下降”呢？以二次函数f(X)=x为例, 列出x，的对应值表：--------------------------------------------------------x ・・・-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ・・・f(x)=x2・・・16 9 4 1 0 1 4 9 16 ・・・思考：对比上图和上表，可以发现 在y 轴左侧，当X 增大时f(x) 在y 轴右侧，当X增大时f(x)探究1 :有同学这样认为“在(0,畑)上，当X i C X 2时，f(X i ) < f(X 2)则说明随着X 的增大，相应的f(x)增大”你认为对吗?探究2:根据以上探究，如何利用数学语言描述f(X)= X 2 “随着X 的增大,相应的 f(x)随着增大”试一试你能仿照这样的描述说明函数f(x)=x 2在区间(-=0,0］上是减函数吗??【概念生成】1. 增函数的概念：一般地，设函数f(x)的定义域为I :如果对于定义域I 内某个区间 D 上的2. 总结归纳请同学们自己归纳一下减函数的定义。
3探索判断题：(1定义在［-2,2］上的函数f (X)若f (0) <f (1),则函数 ()(2定义在［-2,2］上的函数f (X)满足f (0) >f (1),则函数 增函数()4.单调区间如果函数y=f(x)在区间D 上是 _______________ ,那么就说函数y=f(x)在这一区间 具有(严格的)单调性,区间D 叫做函数y=f(x)的单调区间.①函数的单调区间只能是其定义域的子集 ②在单调区间上，增函数的图象自左向右看是上升的，减函数的图象自左向右看是 下降的.都有那么就说函数f(x)在区间D 上是___函数.两个自变量的值Xp%当 f(X)在［-2,2］上是增函数f(X)在［-2,2］上一定不是【典例分析】例1.如图是定义在闭区间［-5,5］上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单 调区间，以及在每一个单调区间上,y=f(x)是增函数还是减函数.I-j ri 严 A ■兰丄“ Is — ■ _______ ■―i a 3 4 夢例2物理学中的波意耳定律 定量的气体，当其体积V 减小时,压强P 将增大.试用函数的单调性 证明之.思路探究：(1 )证明依据(2 )当v ^v 2则需要判定P(vj, p(v 2)的 (3)如何比较p(v i ), p(V 2)的大小变式练习:1证明函数f(x) =1 在区间(0,+ =0)上是单调增函数变式练习:求y 二丄的单调区间p=k/V(k 为正常数)告述我们，对于 -■.存 115 ■3 ■■■x试一试：总结一下根据定义证明单调函数的步骤第一步:第二步: 第三步: 第四步:【达标检测】1.y=kx+b是增函数，贝U k的取值范围 _____2.函数y=f(x)在定义域R上增函数，且满足f(X i)>f(X2),则x iX2 3.证明f(x)=-2x+1 在R上是减函数。
高三函数单调性知识点
高三函数单调性知识点函数的单调性是数学中一个重要的概念，它用来描述函数在某个区间上的增减情况。
在高三数学中，函数的单调性是一个重要的知识点，掌握了函数的单调性，可以帮助我们更好地理解函数的性质和特点。
下面将介绍高三函数单调性的相关知识点。
一、函数的单调性的定义对于定义在区间[a, b]上的函数f(x)，如果对于任意的x1,x2 ∈[a, b]，当 x1 < x2 时，有f(x1) < f(x2)，则称函数f(x)在区间[a, b]上是递增的；如果对于任意的x1,x2 ∈ [a, b]，当 x1 < x2 时，有f(x1) > f(x2)，则称函数f(x)在区间[a, b]上是递减的。
二、函数单调性的判定方法1. 导数法对于可导的函数，可以通过导数的正负来判定函数的单调性。
若在区间[a, b]上f'(x) > 0，则函数f(x)在该区间上是递增的；若在区间[a, b]上f'(x) < 0，则函数f(x)在该区间上是递减的。
2. 一阶差分法对于离散的函数，可以通过一阶差分来判定函数的单调性。
若对于离散函数f(x)，当x1 < x2时，有f(x2) - f(x1) > 0，则函数f(x)在该区间上是递增的；若对于离散函数f(x)，当x1 < x2时，有f(x2) - f(x1) < 0，则函数f(x)在该区间上是递减的。
三、函数单调性的性质1. 递增函数与递减函数的区别递增函数是指在定义域的任意区间上，函数值随着自变量的增加而增加；递减函数是指在定义域的任意区间上，函数值随着自变量的增加而减小。
递增函数和递减函数统称为单调函数。
2. 单调性与极值点的关系对于定义在区间[a, b]上的函数f(x)，如果函数在(a, b)内具有极值点，那么函数在该点附近不具有单调性。
3. 单调递增与严格单调递增函数在某个区间上是递增的，并不一定是严格递增的。
图形函数知识点总结大全
图形函数知识点总结大全一、基本概念1.1 图形函数图形函数是指通过平面上的点的坐标来表示函数的变化规律，通常用数学表达式来描述图形函数的特性。
1.2 坐标系坐标系是一个用来表示平面上点位置的数学工具，通常以数学坐标形式表示，常见的有直角坐标系、极坐标系等。
1.3 图形的绘制和分析通过函数表达式绘制出的图形可以用来分析函数的性质，比如单调性、极值点、拐点等。
1.4 基本图形函数常见的基本图形函数包括直线函数、二次函数、三次函数、绝对值函数等，它们的图形特征和性质有所不同。
二、基本图形函数的特性和图形2.1 直线函数直线函数的一般形式为y=ax+b，图形为一条直线，其斜率a决定了直线的倾斜程度，截距b决定了直线与y轴的交点。
2.2 二次函数二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，图形为抛物线，其开口方向和开口程度由a的正负和绝对值大小来决定。
2.3 三次函数三次函数的一般形式为y=ax^3+bx^2+cx+d，图形一般为两个曲线，其特点是具有两个极值点。
2.4 绝对值函数绝对值函数的一般形式为y=|x|，其图形为V字形，具有对称性质。
2.5 正弦函数和余弦函数正弦函数和余弦函数的图形为波浪形，具有周期性和对称性。
2.6 指数函数和对数函数指数函数和对数函数的图形特点分别为指数增长和对数增长。
三、图形函数的性质和变换3.1 单调性函数的单调性是指函数的增减性质，通过图形可以观察函数的单调递增或者单调递减。
3.2 极值点函数的极值点是指函数的最大值和最小值，通常出现在函数图形的高峰和低谷处。
3.3 零点和交点函数的零点是指函数取零值的点，函数的交点是指在坐标系中与其他函数相交的点。
3.4 对称性部分函数具有对称性，比如偶函数关于y轴对称，奇函数关于原点对称。
3.5 平移和伸缩函数图形可以通过平移和伸缩来变换位置和形状，这是函数图形的基本变换操作。
3.6 反比例函数反比例函数的图形特点是一条经过原点的双曲线，其变化规律与x和y的乘积成反比。
高中数学函数的单调性(解析版)
1．增函数、减函数的定高中数学函数的单调性(解析版)义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2．单调性、单调区间的定义若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．单调区间是定义域的子集，故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“，”或“和”隔开．2．常用结论结论1：增函数与减函数形式的等价变形y＝f(x)在区间D上是增函数⇔对∀x1<x2，都有f(x1)<f(x2)⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔f(x1)－f(x2)x1－x2>0；y＝f(x)在区间D上是减函数⇔对∀x1<x2，都有f(x1)>f(x2)⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔f(x1)－f(x2)x1－x2<0．结论2：单调性的运算性质(1)函数y＝f(x)与函数y＝f(x)＋C(C为常数)具有相同的单调性．(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反．(3)在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)＞0)与()ny f x=和y(4)在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)≠0)与y＝1f(x)单调性相反．(5)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数．(6)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，且f(x)＞0，g(x)＞0，则f(x)•g(x)也是区间A上的增(减)函数．结论3：复合函数的单调性复合函数y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．简记：“同增异减”．结论4：奇函数与偶函数的单调性奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反．结论5：对勾函数与飘带函数的单调性对勾函数：f(x)＝ax＋bx(ab＞0)(1)当a ＞0，b ＞0时，f (x )在(－∞，－b a ]，b a ，＋∞)上是增函数，在[－b a ，0)，(0b a ]上是减函数；(2)当a ＜0，b ＜0时，f (x )在(－∞，－b a ]，b a ，＋∞)上是减函数，在[－b a ，0)，(0b a]上是增函数；飘带函数：f (x )＝ax ＋bx(ab ＜0)(1)当a ＞0，b ＜0时，f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数；(2)当a ＜0，b ＞0时，f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是减函数；考点一确定函数的单调性或单调区间【方法总结】确定函数的单调性或单调区间的常用方法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数确定函数的单调性或单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性的定义确定函数的单调性或单调区间．(3)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，可由图象的直观性确定函数的单调性或单调区间．【例题选讲】[例1](1)下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是()A ．y ＝1x －xB ．y ＝x 2－xC ．y ＝ln x －xD ．y ＝e x －x答案A解析对于选项A ，y 1＝1x 在(0，＋∞)内是减函数，y 2＝x 在(0，＋∞)内是增函数，则y ＝1x－x 在(0，＋∞)内是减函数，故选A ．(2)下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是()A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝|x －1|C ．f (x )＝1x－xD ．f (x )＝ln(x ＋1)答案C解析由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A 、D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调；对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x 与y ＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．(3)函数f (x )＝|x 2－3x ＋2|的单调递增区间是()A ．32，＋B ．1，32和[2，＋∞)C ．(－∞，1]和32，2D ∞，32和[2，＋∞)答案B解析y ＝|x 2－3x ＋2|2－3x ＋2，x ≤1或x ≥2，x 2－3x ＋2），1<x <2.如图所示，函数的单调递增区间是1，32和[2，＋∞)．(4)函数y ＝x 2＋x －6的单调递增区间为__________，单调递减区间为____________．答案[2，＋∞)(－∞，－3]解析令u ＝x 2＋x －6，则y ＝x 2＋x －6可以看作是由y ＝u 与u ＝x 2＋x －6复合而成的函数．令u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2．易知u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y ＝u 在[0，＋∞)上是增函数，∴y ＝x 2＋x －6的单调递减区间为(－∞，－3]，单调递增区间为[2，＋∞)．(5)函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的单调递增区间为__________，单调递减区间为____________．答案(－∞，1)(2，＋∞)解析令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数是y ＝log 12u 与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数．令u ＝x 2－3x ＋2>0，则x <1或x >2．所以函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．又u ＝x 2－3x ＋2的对称轴为x ＝32，且开口向上，所以u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数，而y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是单调减函数，所以y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．【对点训练】1．给定函数①y ＝x 12，②y ＝log 12(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1．其中在区间(0，1)上单调递减的函数序号是()A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④1．答案B解析①y ＝x 12在(0，1)上递增；②∵t ＝x ＋1在(0，1)上递增，且0<12<1，故y ＝log 12(x ＋1)在(0，1)上递减；③结合图象可知y ＝|x －1|在(0，1)上递减；④∵u ＝x ＋1在(0，1)上递增，且2>1，故y ＝2x ＋1在(0，1)上递增．故在区间(0，1)上单调递减的函数序号是②③．2．下列四个函数中，在x ∈(0，＋∞)上为增函数的是()A ．f (x )＝3－xB ．f (x )＝x 2－3xC ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |2．答案C解析当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当xf (x )＝x 2－3x 为减函数，当x时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．3．若函数f (x )满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”，则f (x )的解析式可以是()A ．f (x )＝(x －1)2B ．f (x )＝e xC ．f (x )＝1xD ．f (x )＝ln(x ＋1)3．答案C解析根据条件知，f (x )在(0，＋∞)上单调递减．对于A ，f (x )＝(x －1)2在(1，＋∞)上单调递增，排除A ；对于B ，f (x )＝e x 在(0，＋∞)上单调递增，排除B ；对于C ，f (x )＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，C 正确；对于D ，f (x )＝ln(x ＋1)在(0，＋∞)上单调递增，排除D ．4．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是()A ．[1，2]B ．[－1，0]C ．[0，2]D ．[2，＋∞)4．答案A解析由于f (x )＝|x －2|x2－2x ，x ≥2，x 2＋2x ，x <2，结合图象可知函数的单调减区间是[1，2]．5．设函数f (x )，x >0，，x ＝0，1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的单调递减区间是()A ．(－∞，0]B ．[0，1)C ．[1，＋∞)D ．[－1，0]5．答案B解析由题知，g (x )2，x >1，，x ＝1，x 2，x <1，可得函数g (x )的单调递减区间为[0，1)．故选B ．6．函数y ＝22311(3x x -+的单调递增区间为()A ．(1，＋∞)B ∞，34CD ．34，＋6．答案B 解析令u ＝2x 2－3x＋1＝－18．因为u ＝－18在∞，34上单调递减，函数y在R 上单调递减．所以yx 2－3x ＋1∞，34上单调递增，即该函数的单调递增区间为∞，34．7．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为()A ．(－∞，1]B ．[3，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)7．答案B 解析设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3．所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．8．函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是()A ．(－∞，－2)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)8．答案D解析由x 2－2x －8>0，得x >4或x <－2．因此，函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．又函数y ＝x 2－2x －8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是(4，＋∞)．考点二比较函数值或自变量的大小【方法总结】比较函数值大小的思路：比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．【例题选讲】[例2](1)设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是()A ．f (π)>f (－3)>f (－2)B ．f (π)>f (－2)>f (－3)C ．f (π)<f (－3)<f (－2)D ．f (π)<f (－2)<f (－3)答案A 解析因为f (x )是偶函数，所以f (－3)＝f (3)，f (－2)＝f (2)．又因为函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数．所以f (π)>f (3)>f (2)，即f (π)>f (－3)>f (－2)．(2)已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f b ＝f (log 24.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <b <aD ．c <a <b答案C解析由f (x )是奇函数可得a ＝－f f (log 25)．因为log 25>log 24.1>log 24＝2>20.8，且函数f (x )是增函数，所以c <b <a ．(3)已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x ，若x 1∈(1，2)，x 2∈(2，＋∞)，则()A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0答案B解析因为函数f (x )＝log 2x ＋11－x在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，所以当x 1∈(1，2)时，f (x 1)<f (2)＝0，当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0，即f (x 1)<0，f (x 2)>0．故选B ．(4)已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，当x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1≠x 2时，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0．设a ＝ln 1π，b ＝(ln π)2，c ＝ln π，则()A ．f (a )>f (b )>f (c )B ．f (b )>f (a )>f (c )C ．f (c )>f (a )>f (b )D ．f (c )>f (b )>f (a )答案C解析由题意可知f (x )在(0，＋∞)上是减函数，且f (a )＝f (|a |)，f (b )＝f (|b |)，f (c )＝f (|c |)，又|a |＝ln π>1，|b |＝(ln π)2>|a |，|c |＝12ln π，且0<12ln π<|a |，故|b |>|a |>|c |>0，∴f (|c |)>f (|a |)>f (|b |)，即f (c )>f (a )>f (b )．(5)若2x ＋5y ≤2－y ＋5－x ，则有()A ．x ＋y ≥0B ．x ＋y ≤0C ．x －y ≤0D ．x －y ≥0答案B解析设函数f (x )＝2x －5－x ，易知f (x )为增函数，又f (－y )＝2－y －5y ，由已知得f (x )≤f (－y )，∴x ≤－y ，∴x ＋y ≤0．【对点训练】9．已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c9．答案D解析由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，等价于函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以b >a >c ．10．已知函数f (x )在R 上单调递减，且a ＝33.1，b ，c ＝ln 13，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为()A ．f (a )＞f (b )＞f (c )B ．f (b )＞f (c )＞f (a )C ．f (c )＞f (a )＞f (b )D ．f (c )＞f (b )＞f (a )10．答案D解析因为a ＝33.1＞30＝1，0＜b ＝1，c ＝ln 13＜ln 1＝0，所以c ＜b ＜a ，又因为函数f (x )在R 上单调递减，所以f (c )＞f (b )＞f (a )，故选D ．考点三解函数不等式【方法总结】含“f ”不等式的解法：首先根据函数的性质把不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g (x )与h (x )的取值应在外层函数的定义域内．【例题选讲】[例3](1)已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)＜f x 的取值范围是()A B ．13，C D ．12，答案D解析因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)＜0≤2x －1＜13，解得12≤x ＜23．(2)已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3，1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(全集为R )()A ．(－1，2)B ．(1，4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)答案D解析由函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3，1)是其图象上的两点，知不等式－3＜f (x ＋1)＜1即为f (0)＜f (x ＋1)＜f (3)，所以0＜x ＋1＜3，所以－1＜x ＜2，故不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．(3)定义在[－2，2]上的函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，x 1≠x 2，且f (a 2－a )>f (2a －2)，则实数a 的取值范围为________．答案[0，1)解析因为函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，x 1≠x 2，所以函数在[－2，2]上单调递增，所以－2≤2a －2<a 2－a ≤2，解得0≤a <1．(4)f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是()A．(8，＋∞)B．(8，9]C．[8，9]D．(0，8)答案B解析2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f[x(x－8)]≤f(9)，因为f(x)是定义在(0，＋∞)>0，－8>0，(x－8)≤9，解得8<x≤9．(5)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－11＋x2，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是()AB∞(1，＋∞)C－13，D∞答案A解析∵f(－x)＝ln(1＋|－x|)－11＋(－x)2＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数．∵当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－11＋x2，在(0，＋∞)上y＝ln(1＋x)递增，y＝－11＋x2也递增，根据单调性的性质知，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．综上可知：f(x)>f(2x－1)⇔f(|x|)>f(|2x－1|)⇔|x|>|2x－1|⇔x2>(2x－1)2⇔3x2－4x＋1<0⇔13<x<1．故选A．【对点训练】11．定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且0，则满足f log19x>0的x的集合为________．11．答案(1，3)解析由题意，y＝f(x)为奇函数且0，所以0，又y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则y＝f(x)在(－∞，0)上单调递增，于是x>0，x>或x<0，x>x>0，x>12x<0，x>－12，解得0<x<13或1<x<3．12．已知函数f(x)＝ln x＋x，若f(a2－a)>f(a＋3)，则正数a的取值范围是________．12．答案(3，＋∞)解析因为f(x)＝ln x＋x在(0，＋∞)上是增函数，2－a>a＋3，2－a>0，＋3>0，解得－3<a<－1或a>3．又a>0，所以a>3．13．设函数f(x)x，x<2，2，x≥2.若f(a＋1)≥f(2a－1)，则实数a的取值范围是(B)A．(－∞，1]B．(－∞，2]C．[2，6]D．[2，＋∞)13．答案B解析易知函数f(x)在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，∵f(a＋1)≥f(2a－1)，∴a＋1≥2a－1，解得a≤2．故实数a的取值范围是(－∞，2]．14．设函数f(x)－x，x≤0，，x＞0，则满足f(x＋1)＜f(2x)的x的取值范围是()A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1，0)D ．(－∞，0)14．答案D解析因为f (x )－x ，x ≤0，，x ＞0，所以函数f (x )的图象如图所示．由图可知，当x ＋1≤0且2x ≤0时，函数f (x )为减函数，故f (x ＋1)＜f (2x )转化为x ＋1＞2x ，此时x ≤－1；当2x ＜0且x ＋1＞0时，f (2x )＞1，f (x ＋1)＝1，满足f (x ＋1)＜f (2x )，此时－1＜x ＜0．综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，－1]∪(－1，0)＝(－∞，0)．故选D ．15．已知f (x )2－4x ＋3，x ≤0，x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．15．答案(－∞，－2)解析作出函数f (x )的图象的草图如图所示，易知函数f (x )在R 上为单调递减函数，所以不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立等价于x ＋a <2a －x ，即x <a2在[a ，a ＋1]上恒成立，所以只需a ＋1<a2，即a <－2．考点四求参数的取值范围【方法总结】求参数的值或取值范围的思路：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．求参数时需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的．【例题选讲】[例4](1)如果二次函数f (x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1)上是减函数，那么a 的取值范围是________．答案(－∞，－2]解析二次函数的对称轴方程为x ＝－a －13，由题意知－a －13≥1，即a ≤－2．(2)已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．答案[－1，＋∞)解析设1<x 1<x 2，∴x 1x 2>1．∵函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数，∴f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a 2－2－a x 2＋(x 1－x 2．∵x 1－x 2<0，∴1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2．∵1<x 1<x 2，x 1x 2>1，∴－x 1x 2<－1，∴a ≥－1．∴a 的取值范围是[－1，＋∞)．(3)若函数f (x )＝a |b －x |＋2的单调递增区间是[0，＋∞)，则实数a ，b 的取值范围分别为__________．答案(0，＋∞)，0解析因为|b －x |＝|x －b |，y ＝|x －b |的图象如下：因为f (x )的单调递增区间为[0，＋∞)，所以b ＝0，a >0．(4)已知函数f (x )ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x >1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是()A ．14，12B ．14，12C ．0，12D ．12，1答案B解析由对数函数的定义可得a >0，且a ≠1．又函数f (x )在R 上单调，而二次函数y ＝ax 2－x －14的图象开口向上，所以函数f (x )在R 0<<1，12a ≥1，a ×12－1－14≥log a 1－1，即0<a <1，0<a ≤12，a ≥14.所以a ∈14，12．(5)已知函数f (x )＝log 12(x 2－ax ＋3a )在[1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．答案－12，2解析令t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a ，易知f (t )＝log 12t 在其定义域上单调递减，要使f (x )＝log 12(x 2－ax ＋3a )在[1，＋∞)上单调递减，则t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a 在[1，＋∞)上单调递增，且t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a >0，－－a 2≤1，g 1>0，a ≤2，a >－12，即－12<a ≤2．【对点训练】16．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是()A －14，＋∞B ．－14，＋∞C ．－14，0D ．－14，016．答案D解析当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，得－14≤a <0．综上所述，得－14≤a ≤0．故选D ．17．若f (x )＝x ＋a －1x ＋2(－2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．17．答案(－∞，3)解析f (x )＝x ＋a －1x ＋2＝x ＋2＋a －3x ＋2＝1＋a －3x ＋2，要使函数在区间(－2，＋∞)上是增函数，需使a －3<0，解得a <3．18．若f (x )＝－x 2＋4mx 与g (x )＝2mx ＋1在区间[2，4]上都是减函数，则m 的取值范围是(D)A ．(－∞，0)∪(0，1]B ．(－1，0)∪(0，1]C ．(0，＋∞)D ．(0，1]18．答案D解析函数f (x )＝－x 2＋4mx 的图象开口向下，且以直线x ＝2m 为对称轴，若在区间[2，4]上是减函数，则2m ≤2，解得m ≤1；g (x )＝2m x ＋1的图象由y ＝2mx 的图象向左平移一个单位长度得到，若在区间[2，4]上是减函数，则2m >0，解得m >0．综上可得，m 的取值范围是(0，1]．19．已知f (x )－a )x ＋1，x <1，x ，x ≥1，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________．19．答案32，解析由已知条件得f (x )为增函数，－a >0，>1，2－a×1＋1≤a ，解得32≤a ＜2，∴a 的取值范围是32，20．已知函数f (x )x 2－ax －5，x ≤1，x >1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是()A ．[－3，0)B ．(－∞，－2]C ．[－3，－2]D ．(－∞，0)20．答案C解析若f (x )是R －a2≥1，<0，12－a ×1－5≤a1，解得－3≤a ≤－2．21．设函数f (x )x 2＋4x ，x ≤4，2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，1]B ．[1，4]C ．[4，＋∞)D ．(－∞，1]∪[4，＋∞)21．答案D解析作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4，故选D ．22．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．22．解析(1)证明：当a ＝－2时，f (x )＝xx ＋2．任取x 1，x 2∈(－∞，－2)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2)．因为(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在(－∞，－2)内单调递增．(2)任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1－a－x2x2－a＝a(x2－x1)(x1－a)(x2－a)．因为a＞0，x2－x1＞0，又由题意知f(x1)－f(x2)＞0，所以(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，所以a≤1．所以0＜a≤1．所以a的取值范围为(0，1]．23．已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，②当x>0时，f(x)>－1．(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数．(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4．23．解析(1)令x＝y＝0，得f(0)＝－1．在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f(x1－x2)>－1．又f(x1)＝f[(x1－x2)＋x2]＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1>f(x2)，所以函数f(x)在R上是单调增函数．(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5．由f(x2＋2x)＋f(1－x)>4得f(x2＋x＋1)>f(3)，又函数f(x)在R上是增函数，故x2＋x＋1>3，解得x<－2或x>1，故原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．。
人教版高中数学教材目录(全册)Word版
人教版高中数学教材目录（全）第一册上第一章集合与简易逻辑一集合1．1 集合1．2 子集、全集、补集1．3 交集、并集1．4 含绝对值的不等式解法1．5 一元一次不等式解法阅读材料集合中元素的个数二简易逻辑1．6 逻辑联结词1．7 四种命题1．8 充分条件与必要条件小结与复习复习参考题一第二章函数一函数2．1 函数2．2 函数的表示法2．3 函数的单调性2．4 反函数二指数与指数函数2．5 指数2．6 指数函数三对数与对数函数2．7 对数阅读材料对数的发明2．8 对数函数2．9 函数的应用举例阅读材料自由落体运动的数学模型实习作业建立实际问题的函数模型小结与复习复习参考题二第三章数列3．1 数列3．2 等差数列3．3 等差数列的前n项和阅读材料有关储蓄的计算3．4 等比数列3．5 等比数列的前n项和研究性学习课题：数列在分期付款中的应用小结与复习复习参考题三第一册下第四章三角函数一任意角的三角函数4．1角的概念的推广4．2弧度制4．3任意角的三角函数阅读材料三角函数与欧拉4．4同角三角函数的基本关系式4．5正弦、余弦的诱导公式二两角和与差的三角函数4．6两角和与差的正弦、余弦、正切4．7二倍角的正弦、余弦、正切三三角函数的图象和性质4．8正弦函数、余弦函数的图象和性质4．9函数y=Asin（ωx+φ）的图象4．10正切函数的图象和性质4．11已知三角函数值求角阅读材料潮汐与港口水深小结与复习复习参考题四第五章平面向量一向量及其运算5．1向量5．2向量的加法与减法5．3实数与向量的积5．4平面向量的坐标运算5．5线段的定比分点5．6平面向量的数量积及运算律5．7平面向量数量积的坐标表示5．8平移阅读材料向量的三种类型二解斜三角形5．9正弦定理、余弦定理5．10解斜三角形应用举例实习作业解三角形在测量中的应用阅读材料人们早期怎样测量地球的半径？研究性学习课题：向量在物理中的应用小结与复习复习参考题五第二册上第六章不等式6．1不等式的性质6．2算术平均数与几何平均数6．3不等式的证明6．4不等式的解法举例6．5含有绝对值的不等式阅读材料n个正数的算术平均数与几何平均数小结与复习复习参考题六第七章直线和圆的方程7．1直线的倾斜角和斜率7．2直线的方程7．3两条直线的位置关系阅读材料向量与直线7．4简单的线性规划研究性学习课题与实习作业：线性规划的实际应用7．5曲线和方程阅读材料笛卡儿和费马7．6圆的方程小结与复习复习参考题七第八章圆锥曲线方程8．1椭圆及其标准方程8．2椭圆的简单几何性质8．3双曲线及其标准方程8．4双曲线的简单几何性质8．5抛物线及其标准方程8．6抛物线的简单几何性质阅读材料圆锥曲线的光学性质及其应用小结与复习复习参考题八第二册下A第九章直线、平面、简单几何体9．1平面9．2空间直线9．3直线与平面平行的判定和性质9．4直线与平面垂直的判定和性质9．5两个平面平行的判定和性质9．6两个平面垂直的判定和性质9．7棱柱9．8棱锥阅读材料柱体和锥体的体积研究性学习课题：多面体欧拉定理的发现阅读材料欧拉公式和正多面体的种类9．9球小结与复习复习参考题九第十章排列、组合和二项式定理10．1分类计数原理与分步计数原理10．2排列10．3组合阅读材料从集合的角度看排列与组合10．4二项式定理小结与复习复习参考题十第十一章概率11．1随机事件的概率11．2互斥事件有一个发生的概率11．3相互独立事件同时发生的概率阅读材料抽签有先有后，对个人公平吗？小结与复习复习参考题十一第二册下B第九章直线、平面、简单几何体9．1平面的基本性质9．2空间的平行直线与异面直线9．3直线和平面平行与平面和平面平行9．4直线和平面垂直9．5空间向量及其运算9．6空间向量的坐标运算9．7直线和平面所成的角与二面角9．8距离阅读材料向量概念的推广与应用9．9棱柱与棱锥研究性学习课题：多面体欧拉定理的发现阅读材料欧拉公式和正多面体的种类9．10球小结与复习复习参考题九第十章排列、组合和二项式定理10．1分类计数原理与分布计数原理10．2排列10．3组合阅读材料从集合的角度看排列与组合10．4二项式定理小结与复习复习参考题十第十一章概率11．1随机事件的概率11．2互斥事件有一个发生的概率11．3相互独立事件同时发生的概率阅读材料抽签有先有后，对各人公平吗？小结与复习复习参考题十一第三册（理科）第一章概率与统计1．1离散型随机变量的分布列1．2离散型随机变量的期望与方差1．3抽样方法1．4总体分布的估计阅读材料累积频率分布1．5正态分布1．6线性回归阅读材料回归直线方程的推导实习作业通过抽样调查，研究实际问题小结与复习复习参考题一第二章极限2．1数学归纳法及其应用举例阅读材料不完全归纳法与完全归纳法研究性学习课题：杨辉三角2．2数列的极限2．3函数的极限2．4极限的四则运算阅读材料无穷等比数列的和2．5函数的连续性小结与复习复习参考题二第三章导数3．1导数的概念3．2几中常见函数的导数阅读材料变化率举例3．3函数的和、差、积、商的导数3．4复合函数的导数3．5对数函数与指数函数的导数阅读材料近似计算3．6函数的单调性3．7函数的极值3．8函数的最大值与最小值3．9微积分建立的时代背景和历史意义小结与复习复习参考题三第四章数系的扩充──复数4．1复数的概念4．2复数的运算4．3数系的扩充研究性学习课题：复数与平面向量、三角函数的联系小结与复习复习参考题四附录一部分中英文词汇对照表附录二导数公式表第三册（文科）第一章统计1．1抽样方法1．2总体分布的估计1．3总体期望值和方差的估计实习作业通过抽样调查研究实际问题小结与复习复习参考题一附录随机数表第二章导数2．1导数的背景2．2导数的概念2．3多项式函数的导数2．4函数的单调性与极值2．5函数的最大值与最小值2．6微积分建立的时代背景和历史意义研究性学习课题：杨辉三角小结与复习复习参考题二附录部分中英文词汇对照表（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
新课标高中数学教材目录大全
新课标高中数学教材目录大全新课标人教 A 版2．3 变量间的相关关系本章小结与复习必修一第三章概率第一章集合与函数的概念3．1 随机事件的概率1.1集合3．2 古典概型1.2函数及其表示3．3 几何概型1.3函数的基本性质本章小结与复习本章小结与复习必修四第二章基本初等函数(I)第一章三角函数2.1指数函数1．1 任意角和弧度制2.2对数函数1．2 任意角的三角函数2.3幂函数1．3 三角函数的诱导公式本章小结与复习1．4 三角函数的图象与性质第三章函数的应用3．1 函数与方程1．5 函数y=Asin( x+ )的图象3．2 函数模型及其应用1．6 三角函数模型的简单应用本章小结与复习本章小结与复习必修二第二章平面向量第一章空间几何体2．1 平面向量的实际背景及基本概.1．1 空间几何体的结构2．2 平面向量的线性运算1．2 空间几何体的三视图和直观图2．3 平面向量的基本定理及坐标表.1．3 空间几何体的表面积与体积2．4 平面向量的数量积本章小结与复习2．5 平面向量应用举例第二章点、直线、平面之间的位置关.本章小结与复习2．1 空间点、直线、平面之间的位.第三章三角恒等变换2．2 直线、平面平行的判定及其性. 3．1 两角和与差的正弦、余弦和正.2．3 直线、平面垂直的判定及其性. 3．2 简单的三角恒等变换本章小结与复习本章小结与复习必修五第三章直线与方程3．1 直线的倾斜角与斜率第一章解三角形3．2 直线的方程1．1 正弦定理和余弦定理3．3 直线的交点坐标与距离公式1．2 应用举例本章小结与复习1．3 实习作业第四章圆与方程本章小结与复习4．1 圆的方程第二章数列4．2 直线、圆的位置关系2．1 数列的概念与简单表示法4．3 空间直角坐标系2．2 等差数列本章小结与复习2．3 等差数列的前n 项和必修三2．4 等比数列第一章算法初步2．5 等比数列前n 项和1．1 算法与程序框图本章小结与复习1．2 基本算法语句第三章不等式1．3 算法案例3．1 不等关系与不等式本章小结与复习3．2 一元二次不等式及其解法第二章统计3．3 二元一次不等式(组)与简单的.2．1 随机抽样2．2 用样本估计总体3．4 基本不等式ab≤a b2( a ≥ 0， b ≥0)WORD格式本章小结与复习1.2导数的计算选修 1——1 1.3 导数在研究函数中的应用第一章常用逻辑用语2.4生活中的优化问题举例1．1 命题及其关系 1.5 定积分的概念1．2 充分条件与必要条件 1.6 微积分基本定理1．3 简单的逻辑联结词 1.7 定积分的简单应用1．4 全称量词与存在量词本章小结与复习本章小结与复习第二章推理与证明第二章圆锥曲线与方程2.1合情推理与演绎推理2．1 椭圆 2.2 直接证明与间接证明2．2 双曲线 2.3 数学归纳法2．3 抛物线本章小结与复习本章小结与复习第三章数系的扩充与复数的引入第三章导数及其应用3.1数系的扩充和复数的概念3．1 变化率与导数 3.2 复数代数形式的四则运算3．2 导数的计算本章小结与复习3．3 导数在研究函数中的应用选修 2——33．4 生活中的优化问题举例第一章计数原理本章小结与复习1.1分类加法计数原理与分步乘法计.选修 1——21.2排列与组合第一章统计案例1.3二项式定理1．1 回归分析的基本思想及其初步.本章小结与复习1．2 独立性检验的基本思想及其初.第二章随机变量及其分布本章小结与复习2.1离散型随机变量及其分布列第二章推理与证明2.2二项分布及其应用2．1 合情推理与演绎证明 2.3 离散型随机变量的均值与方差2．2 直接证明与间接证明 2.4 正态分布本章小结与复习本章小结与复习第三章数系的扩充与复数的引入第三章统计案例3．1 数系的扩充和复数的概念 3.1 回归分析的基本思想及其初步应.3．2 复数代数形式的四则运算 3.2 独立性检验的基本思想及其初步.本章小结与复习本章小结与复习第四章框图新课标人教 B 版4．1 流程图4．2 结构图必修一第一章集合本章小结与复习综合复习与测试1.1集合与集合的表示方法选修 2——11.2集合之间的关系与运算本章小结与复习第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系第二章函数1.2充分条件与必要条件2.1 函数WORD格式1.3简单的逻辑联结词2.2 一次函数和二次函数1.4全称量词与存在量词2.3 函数的应用(I)本章小结与复习2.4函数与方程第二章圆锥曲线与方程本章小结与复习2.1曲线与方程第三章基本初等函数(I)2.2椭圆3.1 指数与指数函数2.3双曲线3.2 对数与对数函数2.4抛物线3.3 幂函数本章小结与复习3.4函数的应用(II)第三章空间向量与立体几何本章小结与复习3.1空间向量及其运算必修二3.2立体几何中的向量方法第一章立体几何初步本章小结与复习1．1 空间几何体选修 2——2 1．2 点、线、面之间的位置关系第一章导数及其应用本章小结与复习1.1变化率与导数第二章平面解析几何初步WORD格式2．1 平面直角坐标系中的基本公式第一章常用逻辑用语2．2 直线方程1．1 命题与量词2．3 圆的方程1．2 基本逻辑联结词2．4 空间直角坐标系1．3 充分条件、必要条件与命题的.本章小结与复习本章小结与复习必修三第二章圆锥曲线与方程第一章算法初步2．1 椭圆1．1 算法与程序框图2．2 双曲线1．2 基本算法语句2．3 抛物线1．3 中国古代数学中的算法案例本章小结与复习本章小结与复习第三章导数及其应用第二章统计3．1 导数2．1 随机抽样3．2 导数的运算2．2 用样本估计总体3．3 导数的应用2．3 变量的相关性本章小结与复习选修 1——2 本章小结与复习第一章统计案例 , 第三章概率3．1 随机现象 1.1 独立性检验3．2 古典概型 1.2 回归分析3．3 随机数的含义与应用本章小结与复习3．4 概率的应用第二章推理与证明 ,本章小结与复习2.1合情推理与演绎推理必修四 2.2 直接证明与间接证明第一章基本初等函数（Ⅱ）本章小结与复习1．1 任意角的概念与弧度制第三章数系的扩充与复数的引入, 1．2 任意角的三角函数 3.1 数系的扩充与复数的引入1．3 三角函数的图象与性质 3.2 复数的运算本章小结与复习第四章框图,第二章平面向量2.5流程图2．1 向量的线性运算 4.2 结构图2．2 向量的分解与向量的坐标运算本章小结与复习选修 2——1 2．3 平面向量的数量积2．4 向量的应用第一章常用逻辑用语本章小结与复习2.2命题与量词第三章三角恒等变换2.3基本逻辑联结词3．1 和角公式 1.3 充分条件、必要条件与命题的.3．2 倍角公式和半角公式本章小结与复习3．3 三角函数的积化和差与和差化.第二章圆锥曲线与方程本章小结与复习3.2曲线与方程必修五 2.2 椭圆第一章解斜角三角形1.4双曲线WORD格式1．1 正弦定理和余弦定理 2.4 抛物线1．2 应用举例 2.5 直线与圆锥曲线本章小结与复习本章小结与复习第二章数列第三章空间向量与立体几何2．1 数列 3.1 空间向量及其运算2．2 等差数列 3.2 空间向量在立体几何中的应用2．3 等比数列本章小结与复习选修 2——2 本章小结与复习第三章不等式第一章导数及其应用3．1 不等关系与不等式 1.1 导数3．2 均值不等式 1.2 导数的运算3．3 一元二次不等式及其解法 1.3 导数的应用3．4 不等式的实际应用 1.4 定积分与微积分基本定理3．5 二元一次不等式(组)与简单线 .本章小结与复习本章小结与复习第二章推理与证明选修 1——1 2.1 合情推理与演绎推理WORD格式1.4直接证明与间接证明 1.6 垂直关系1.5数学归纳法 1.7 简单几何体的面积和体积1.6本章小结与复习2.6面积公式和体积公式的简单应用本章小结与复习第三章数系的扩充与复数2.4数系的扩充与复数的概念第二章解析几何初步2.5复数的运算 2.1 直线与直线的方程本章小结与复习3.3圆的圆的方程选修 2——33.4空间直角坐标系第一章计数原理本章小结与复习1.5基本计数原理必修三1.6排列与组合第一章统计1.7二项式定理 1.1 统计活动：随机选取数字本章小结与复习2.3从普查到抽样第二章概率2.4抽样方法1.3离散型随机变量及其分布列 1.4 统计图表1.4条件概率与事件的独立性 1.5 数据的数字特征1.5随机变量的数学特征 1.6 用样本估计总体1.6正态分布 1.7 统计活动：结婚年龄的变化本章小结与复习1.5相关性第三章统计案例1.6最小二乘估计2.5独立性检验本章小结与复习2.6回归分析第二章算法初步本章小结与复习2.5算法的基本思想北师大版2.6算法的基本结构及设计2.7排序问题必修一 2.4 几种基本语句第一章集合本章小结与复习3.5集合的含义与表示第三章概率3.6集合的基本关系 3.1 随机事件的概率3.7集合的基本运算 3.2 古典概型本章小结与复习2.7模拟方法 --概率的应用第二章函数本章小结与复习3.3生活中的变量关系必修四3.4对函数的进一步认识第一章三角函数3.5函数的单调性 1.1 周期现象与周期函数3.6二次函数性质的再研究 1.2 角的概念的推广3.7简单的幂函数 1.3 弦度制本章小结与复习3.8正弦函数第三章指数函数和对数函数3.9余弦函数1.2正整数指数函数 1.6 正切函数1.3指数概念的扩充 1.7 函数的图像1.4指数函数 1.8 同角三角函数的基本关系1.5对数本章小结与复习1.6对数函数第二章平面向量1.7指数函数、幂函数、对数函数.2.1 从位移、速度、力到向量本章小结与复习2.2从位移的合成到向量的加法第四章函数应用2.3从速度的倍数到数乘向量4.1函数与方程 2.4 平面向量的坐标4.2实际问题的函数建模 2.5 从力做的功到向量的数量积本章小结与复习2.6平面向量数量积的坐标表示必修二 2.7 向量应用举例第一章立体几何初步本章小结与复习1.1简单几何体第三章三角恒等变形1.2三视图 3.1 两角和与差的三角函数1.3直观图 3.2 二倍角的正弦、余弦和正切1.4空间图形的基本关系与公理 3.3 半角的三角函数1.5平行关系 3.4 三角函数的和差化积与积化和.1.7三角函数的简单应用第四章数系的扩充与复数的引入本章小结与复习2.7数系的扩充与复数的引入必修五 4.2 复数的四则运算第一章数列本章小结与复习选修 2——12.6数列2.7等差数列第一章常用逻辑用语2.8等比数列 1.1 命题2.9数列在日常经济生活中的应用 1.2 充分条件必要条件2.10本章小结与复习3.5全称量词与存在量词第二章解三角形3.6逻辑联结词“且”或“非”.1.8正弦定理与余弦定理本章小结与复习1.9三角形中的几何计算第二章空间向量与立体几何1.10解三角形的实际应用举例2.1 从平面向量到到空间向量本章小结与复习2.5空间向量的运算第三章不等式2.6向量的坐标表表示和空间向量.1.7不等关系2.4 用向量讨论垂直与平行1.8一元二次不等式2.5 夹角的计算1.9基本不等式2.6 距离的计算1.10简单线性规划本章小结与复习本章小结与复习第三章圆锥曲线与方程选修 1——13.1 椭圆第一章常用逻辑用语1.7抛物线2.8命题3.3 双曲线2.9充分条件必要条件3.4 曲线与方程2.10全称量词与存在量词本章小结与复习选修 2——2 1.4 逻辑联结词“且”或“非”本章小结与复习第一章推理与证明第二章圆柱曲线与方程2.8归纳与类比3.10椭圆 1.2 综合法与分析法3.11抛物线 1.3 反证法3.12双曲线 1.4 数学归纳法本章小结与复习本章小结与复习第三章变化率与导数第二章变化率与导数3.8变化的快慢与变化率 2.1 变换的快慢与变化率3.9导数的概念及其几何意义 2.2 导数的概念及其几何意义3.10计数导数 2.3 计数导数3.11导数的四则运算法则 2.4 导数的四则运算法则本章小结与复习1.8简单复合函数的求导法则第四章导数应用本章小结与复习2.4函数的单调性与极值第三章导数应用2.5导数在实际问题中的应用3.1 函数的单调性与极值本章小结与复习WORD格式4.3导数在实际问题中的应用选修 1——2本章小结与复习第一章统计案例第四章定积分2.7回归分析 4.1 定积分的概念2.8独立性检验 4.2 微积分基本定理本章小结与复习2.6定积分的简单应用第二章框图本章小结与复习1.6流程图第五章数系的扩充与复数的引入1.7结构图 5.1 数系的扩充与复数的引入本章小结与复习5.2复数的四则运算法则第三章推理与证明本章小结与复习3.1归纳与类比苏教版3.2数学证明3.3综合法与分析法必修一3.4反证法第一章集合本章小结与复习1.1集合的含义及其表示WORD格式1.8子集、全集、补集2.3 等比数列1.9交集、并集第三章不等式第二章函数概念与基本初等函数I 3.1 不等关系2.8函数的概念和图像3.2 一元二次不等式2.9指数函数3.3 二元一次不等式组与简单线性.2.10对数函数2.11幂函数2.12函数与方程2.11基本不等式ab≤a b2( a ≥ 0， b ≥0)选修1—— 1 2.6 函数模型及其应用必修二第 1 章常用逻辑用语第一章立体几何初步1．1 命题及其关系1.1 空间几何体1．2 简单的逻辑联结词1.2 点、线、面之间的位置关系1．3 全称量词与存在量词1.3 空间几何体的表面积和体积本章小结与复习第二章平面解析几何初步第 2 章圆锥曲线与方程2.1 直线与方程2．1 圆锥曲线2.2 圆与方程2．2椭圆2.3 空间直角坐标系2．3 双曲线必修三2．4 抛物线第一章算法初步2．5 圆锥曲线与方程1.1 算法的含义本章小结与复习1.2 流程图第 3 章导数及其应用1.3 基本算法语句3．1 导数的概念1.4 算法案例3．2 导数的运算第二章统计3．3 导数在研究函数中的应用2.1 抽样方法3．4 导数在实际生活中的应用2.2 总体分布的估计本章小结与复习选修1—— 2 2.3 总体特征数的估计2.4 线性回归方程第 1 章统计案例第三章概率1．1 假设检验3.1 随机事件及其概率1．2 独立性检验3.2 古典概型1．3 线性回归分析3.3 几何概型1．4 聚类分析3.4 互斥事件本章小结与复习必修四第 2 章推理与证明第一章三角函数2．1 合情推理与演绎推理1.1 任意角、弧度2．2 直接证明与间接证明1.2 任意角的三角函数2．3 公理化思想1.3 三角函数的图象与性质本章小结与复习第二章平面向量第 3 章数系的扩充与复数的引入2.1 向量的概念与表示3．1 数系的扩充2.2 向量的线性运算3．2 复数的四则运算2.3 向量的坐标表示3．3 复数的几何意义2.4 向量的数量积本章小结与复习2.5 向量的应用第 4 章框图第三章三角恒等变换4．1 流程图WORD格式图3.1 两角和与差的三角函数4．2 结构3.2 二倍角的三角函数本章小结与复习选修2—— 1 3.3 几个三角恒等式用语必修五第 1 章常用逻辑第一章解三角形1．1 命题及其关系1.1 正弦定理1．2 简单的逻辑连接词1.2 余弦定理1．3 全称量词与存在量词1.3 正弦定理、余弦定理的应用本章小结与复习第 2 章圆锥曲线与方程第二章数列3.7数列2．1 圆锥曲线3.8等差数列2．2椭圆WORD 格式2．3 双曲线 2.3 幂函数2．4 抛物线本章小结与复习2．5 圆锥曲线的统一定义必修二2．6 曲线与方程第三章三角函数本章小结与复习3.1弧度制与任意角第 3 章空间向量与立体几何 3.2 任意角的三角函数3．1 空间向量及其运算 3.3 三角函数的图象与性质3．2 空间向量的应用本章小结与复习2.13函数 y=Asin( x+ )的图象与性质选修 2——2本章小结与复习第一章导数及其应用第四章向量1．1 导数的概念 4.1 什么是向量1．2 导数的运算 4.2 向量的加法1．3 导数在研究函数中的应用 4.3 向量与实数相乘1．4 导数在实际生活中的应用 4.4 向量的分解与坐标表示1．5 定积分 4.5 向量的数量积本章小结与复习2.12向量的应用第二章推理与证明本章小结与复习2．1 合情推理与演绎推理第五章三角恒等变换2．2 直接证明与间接证明 5.1 两角和与差的三角函数2．3 数学归纳法 5.2 二倍角的三角函数本章小结与复习3.9简单的三角恒等变换第三章数系的扩充与复数的引入本章小结与复习3．1 数系的扩充必修三3．2 复数的四则运算第六章立体几何初步3．3 复数的几何意义 6.1 空间的几何体本章小结与复习1.11空间的直线与平面选修 2——3本章小结与复习第一章计数原理第七章解析几何初步1．1 两个基本原理7.1 解析几何初步1．2 排列7.2 直线的方程1．3 组合7.3 圆与方程1．4 计数应用题7.4 几何问题的代数解法1．5 二项式定理7.5 空间直角坐标系本章小结与复习本章小结与复习第二章概率必修四2．1 随机变量及其概率分布第八章解三角形2．2 超几何分布8.1 正弦定理2．3 独立性8.2 余弦定理2．4 二项分布8.3 解三角形的应用举例2．5 离散型随机变量的均值与方差本章小结与复习2．6 正态分布第九章数列本章小结与复习2.7数列的概念WORD格式第三章统计案例9.2 等差数列3．1 独立性检验9.3 等比数列3．2 回归分析9.4 分期付款问题中的有关计算本章小结与复习本章小结与复习湘教版第十章不等式1.11不等式的基本性质必修一10.2 一元二次不等式第一章集合与函数10.3 基本不等式及其应用1.8集合10.4 简单线性规划1.9函数的概念和性质本章小结与复习必修五本章小结与复习第二章指数函数、对数函数和幂函数第十一章算法初步2.11指数函数11.1 算法概念和例子2.12对数函数11.2 程序框图的结构WORD格式1.10基本的算法语句本章小结与复习本章小结与复习第二章圆锥曲线与方程第十二章统计初步2.14椭圆12.1 随机抽样 2.2 双曲线12.2 数据表示和特征提取 2.3 抛物线12.3 用样本估计总体 2.4 圆锥曲线的应用12.4 变量的相关性 2.5 曲线与方程本章小结与复习本章小结与复习第十三章概率第三章空间向量与立体几何13.1 概率的意义 3.1 尝试用向量处理空间图形13.2 互斥事件的概率加法公式 3.2 空间中向量的概念和运算13.3 古典概型 3.3 空间向量的坐标13.4 随机数与几何概型 3.4 直线的方向向量本章小结与复习2.13直线与平面的垂直关系选修 1——12.14平面的法向量第一章常用逻辑用语2.15直线与平面、平面与平面所成.3.10命题的概念和例子 3.8 点到平面的距离3.11简单的逻辑联结词 3.9 共面与平行3.12本章小结与复习本章小结与复习选修 2——2 第二章圆锥曲线与方程1.12椭圆第四章导数及其应用1.13双曲线 4.1 导数概念1.14抛物线 4.2 导数的运算1.15圆锥曲线的应用 4.3 导数在研究函数中的应用本章小结与复习2.8生活中的优化问题举例第三章导数及其应用2.9定积分与微积分基本定理1.12导数概念本章小结与复习1.13导数的运算第五章数系的扩充与复数1.14导数在研究函数的应用 5.1 解方程与数系的扩充1.15生活中的优化问题举例 5.2 复数的概念1.16本章小结与复习1.10复数的四则运算选修 1——21.11复数的几何表示第四章点数统计案例本章小结与复习2.13随机对照实验案例第六章推理与证明2.14事件的独立性 6.1 合情推理和演绎推理2.15列联表独立性分析案例 6.2 直接证明与间接证明2.16一员线性回归案例 6.3 数系归纳法2.17本章小结与复习本章小结与复习选修 2——3 第五章推理与证明2.9合情推理和演绎推理第七章计数原理2.10直接证明与间接证明7.1 两个计数原理本章小结与复习3.13排列第六章框图3.14组合WORD格式3.12知识结构图7.4 二项式定理3.13工序流程图本章小结与复习3.14程序框图第八章统计与概率本章小结与复习1.9随机对照试验第七章数系的扩充与复数1.10概率2.7解方程与数系的扩充8.3 正态分布曲线2.8复数的概念8.4 列联表独立性分析案例2.9复数的四则运算8.5 一元线性回归案例2.10副数的几何表示本章小结与复习本章小结与复习高中沪教版选修 2——1高一上册第一章常用逻辑用语4.4命题及其关系第一章集合和命题4.5简单逻辑联结词 1.1 集合WORD格式1.11四种命题的形式第十一章坐标平面上的直线1.12充分条件和必要条件11.1 直线的方程本章小结与复习2.15直线的倾斜角和斜率第二章不等式2.16两条直线的位置关系2.16不等式的基本性质11.4 点到直线的距离2.17一元二次不等式的解法本章小结与复习2.18其他不等式的解法第十二章圆锥曲线2.19基本不等式及其运用12.1 曲线和方程2.20不等式的证明12.2 圆的方程本章小结与复习3.13椭圆的标准方程第三章函数的基本性质3.14椭圆的性质1.16函数的概念12.5 双曲线的标准方程1.17函数关系的建立12.6 双曲线的性质1.18函数的运算12.7 抛物线的标准方程1.19函数的基本性质12.8 抛物线的方程本章小结与复习本章小结与复习第四章幂函数、指函数和对数函数第十三章复数2.10幂函数的性质和对数函数13.1 复数的概念2.11指数函数的图像与性质13.2 复数的坐标表示本章小结与复习1.17复数的加法与减法高一下册13.4 复数的乘法与除法第四章幂函数、指函数和对数函数13.5 复数的平方根与立方根1.12对数13.6 实系数一元二次方程1.13反函数本章小结与复习1.14对数函数高三上册1.15指数函数和对数函数第十四章空间直线与平面本章小结与复习2.18平面及其基本性质第五章三角比2.19空间直线与直线的位置关系2.11任意角的三角比14.3 空间直线与平面的位置关系2.12三角恒等式14.4 空间平面与平面的位置关系2.13解斜三角形本章小结与复习本章小结与复习第十五章简单几何体第六章三角函数3.15多面体的概念3.15三角函数的图像与性质15.2 多面体的直观图1.11反三角函数与最简三角方程15.3 旋转体的概念本章小结与复习2.11几何体的表面积高二上册15.5 几何体的体积第七章数列与数学归纳法15.6 球面距离4.6数列本章小结与复习4.7数学归纳法第十六章排列组合和二项式定理4.8数列的极限16.1 技术原理Ⅰ—乘法原理WORD格式本章小结与复习2.9排列第八章平面向量的坐标表示2.10技术原理Ⅱ—加法原理1.8向量的坐标表示及其运算16.4 组合1.9向量的数量积16.5 二项式定理1.10平面向量的分解定理本章小结与复习1.11向量的应用高三下册本章小结与复习第十七章概率论初步第九章矩阵和行列式初步5.3古典概念3.5矩阵17.2 频率与概念3.6行列式本章小结与复习本章小结与复习第十八章基本统计方法第十章算法初步1.2总体和样本10.1算法的概念18.2 抽样技术10.2程序框图18.3 统计估计本章小结与复习18.4实例分析高二下册本章小结与复习。
高中数学函数的单调性知识点总结
高中数学函数的单调性知识点总结
一、函数的单调性
1、什么是单调性
用单调性来描述一个函数的变化，就是说函数沿着正方向或者反方向
的变化是有规律的，而不是曲折转变，也就是说，函数的变化都是连续的，这就是单调性。
2、单调性的三种情况
(1)上升函数：如果在区间[a,b]内使得f(x)单调递增，就可以说f(x)为上升函数，可以简写为f(x)为单调增函数。
(2)下降函数：如果在区间[a,b]内使得f(x)单调递减，就可以说f(x)为下降函数，可以简写为f(x)为单调减函数。
(3)常函数：函数f(x)在区间[a,b]上恒等于常数c，则称函数为常函数，常函数是不存在单调性的。
3、判断函数的单调性
依照函数的单调性情况，可以通过图形方法和导数法来判断函数的单
调性：
(1)图形判断法，即根据函数图像大致的凸凹情况来判断函数的单调性。
(2)导数法，即当函数在其中一区间内正、负、零导数情况来判断函
数的单调性。
二、函数的可导性
1、什么是可导性
可导性是指在其中一区间上，函数的导数存在且唯一，可以说是函数的一种性质，在数学教学中也常常称为连续性或者连续性。
可导代数函数的定义：在其中一区间上，若存在一个函数f(x)的导数f’(x)，并且所有的在该区间上的导数经过等价的变换得到f’(x)，就称f(x)在该区间上为可导函数。
函数的单调性
定理3.8 设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导.则有
(1) 如果在(a,b)内 f (x) 0 ，那么，函数f(x)在[a,b] 上严格单调增加.
(2) 如果在(a,b)内 f (x) 0 ，那么，函数f(x)在[a,b] 上严格单调减少.
证 在[a,b]上任取两点 x1, x2 ，不妨设 x1 x2 . 由定理的条件可知，f(x)在 [x1, x2 ]上连续，在 (x1, x2 )内可导. 由拉格朗日中值定理可知，至少存在一点
(x1, x2) ， 使得
f (x2 ) f (x1) f ( )(x2 x1).
由于在(a,b)内有x2 x1,因此(x2 x1) 0. 如果在(a, b)内f (x) 0，则必定有f (x2 ) f (x1) 0, 即f (x1) f (x2 ) 0. 由于x1,x2为[a,b]上任意两点,因而表明f (x)在[a,b] 上严格单调增加. 同理，在(a,b)内f (x) 0,可推出f (x)在[a,b]上严
为(,1), (1,0), (0,1), (1,) 四个子区间.
为了研究函数的单调性，我们只关心 y在上
述四个子区间内的符号，
表中第一栏由小至大标出函数的定义域被三个特 殊点划分的四个区间.
第二栏标出 y在各子区间内的符号.第三栏为函 数的增减性.如本例可列表：
x (,1) －１ (1,0) 0 (0,1)
且F (1) 1. F(x) ex e
当x 1时，F(x) ex e 0,可知F (x)为(,1]上的 严格单调减少函数，即F (x) F (1) 0. 当x 1时，F(x) ex e 0,可知F (x)为[1,)上 的严格单调增加函数.即F (x) F (1) 0. 故对任意x 1，都有F(x) 0，即 ex ex.
导数利器——导数比大小十三种题型(精简版)
1导数技巧：比大小对数函数基础构造1：x ln x 型【典例分析】1(2022·全国·高三专题练习)已知a ,b ,c ∈1e ,+∞ ，且ln5a =-5ln a ，ln3b=-3ln b ，ln2c =-2ln c ，则()A.b <c <aB.c <b <aC.a <c <bD.a <b <c答案A解析【分析】构造函数f (x )=x ln x ，根据单调性即可确定a ,b ,c 的大小.【详解】设函数f (x )=x ln x ，f (x )=1+ln x ，当x ∈1e ,+∞ ,f (x )>0，此时f (x )单调递增，当x ∈0,1e,f (x )<0，此时f (x )单调递减，由题ln5a =-5ln a ，ln3b=-3ln b ，ln2c =-2ln c ，得a ln a =15ln 15,b ln b =13ln 13,c ln c =12ln 12=14ln 14，因为15<14<13<1e ，所以15ln 15>14ln 14>13ln 13，则a ln a >c ln c >b ln b ，且a ,b ,c ∈1e ,+∞ ，所以a >c >b .故选：A .【变式演练】1.(2022·全国·高三专题练习)已知a =810，b =99，c =108，则a ，b ，c 的大小关系为()A.b >c >aB.b >a >cC.a >c >bD.a >b >c答案D解析【分析】构造函数f x =18-x ln x ，x ≥8，求其单调性，从而判断a ，b ，c 的大小关系.【详解】构造f x =18-x ln x ，x ≥8，f x =-ln x +18x -1，f x =-ln x +18x -1在8,+∞ 时为减函数，且f 8 =-ln8+94-1=54-ln8<54-ln e 2=54-2<0，所以f x =-ln x +18x-1<0在8,+∞ 恒成立，故f x =18-x ln x 在8,+∞ 上单调递减，所以f 8 >f 9 >f 10 ，即10ln8>9ln9>8ln10，所以810>99>108，即a >b >c .故选：D2.(2022·四川宜宾·二模(文))已知a =1010，b =911，c =119，则a ,b ,c 的大小关系为()A.c <a <bB.b <a <cC.a <b <cD.c <b <a答案A解析【分析】先构造函数f (x )=20-x ln x x ≥9 ，求导确定函数单调性，即可判断a ,b ,c 的大小.【详解】令f (x )=20-x ln x x ≥9 ，则f (x )=-ln x +20-x ⋅1x =-ln x +20x-1，显然当x ≥9时，f (x )是减函数且f (9)=-ln9+209-1<0，故f (x )是减函数，f (9)>f (10)>f (11)，即11ln9>10ln10>9ln11,ln911>ln1010>ln119，可得911>1010>119，即c <a <b .故选：A .3.(2022·安徽·淮南第一中学一模(理))设a =15ln13，b =14ln14，c =13ln15，则()A.a >c >bB.c >b >aC.b >a >cD.a >b >c答案D2解析【分析】构造函数f x =14+x ln 14-x ，利用函数f x 的导数讨论函数f x 的单调性.【详解】令f x =14+x ln 14-x ，x ∈-1，1 ，则f x =ln 14-x -14+x 14-x <ln15-1315<0，所以f x =14+x ln 14-x 在-1，1 上单调递增，所以f -1 <f 0 <f 1 ，即13ln15<14ln14<15ln13，所以，a >b >c 故选：D【题型二】对数函数基础构造2：x ln x型【典例分析】2(2022·全国·模拟预测)已知1<a <b <e ，有以下结论：①a b <b a ；②b a >e abe ；③a a <e abe ；④a b <e abe ，则其中正确的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个答案C解析【分析】构造f x =ln xx，x ∈1,e ，利用导函数得到其单调性，从而比较出①，②，在①的基础上得到④的正误，根据g x =a x 的单调性及④得到③的正误..【详解】设f x =ln x x ，x ∈1,e ，则f x =1-ln x x 2>0在x ∈1,e 上恒成立，所以f x =ln xx 在x ∈1,e 上单调递增，因为1<a <b <e ，所以ln a a <ln bb，即b ln a <a ln b ，因为y =ln x 单调递增，所以a b <b a ，①正确；ln b b <ln e e =1e ，即a ln b <abe ，因为y =ln x 单调递增，所以b a <e ab e ，②错误；因为a b <b a ，所以a b <e abe ，④正确；因为g x =a x 单调递增，1<a <b <e 所以a a <a b ，所以a a <e ab e ，③正确.故选：C【变式演练】1.(2022·全国·高三专题练习)a =3(2-ln3)e2,b =1e ,c =ln33，则a ，b ，c 的大小顺序为()A.a <c <bB.c <a <bC.a <b <cD.b <a <c答案A解析【分析】构造函数f (x )=ln x x ，应用导数研究其单调性，进而比较a =f e 23 ，b =f (e )，c =f (3)的大小，若t =ln xx有两个解x 1,x 2，则1<x 1<e <x 2，t ∈0,1e ，构造g (x )=ln x -2(x -1)x +1(x >1)，利用导数确定g (x )>0，进而得到ln x 2-ln x 1x 2-x 1>2x 2+x 1，即可判断a 、c 的大小，即可知正确选项.【详解】令f (x )=ln x x ，则a =f e 23 =lne 23e23，b =f (e )=ln e e ，c =f (3)=ln33，而f(x )=1-ln x x 2且x >0，即0<x <e 时f (x )单调增，x >e 时f (x )单调减，又1<e 23<e <3，∴b >c ，b >a .若t =ln x x 有两个解x 1,x 2，则1<x 1<e <x 2，t ∈0,1e ，即t =ln x 2-ln x 1x 2-x 1，x 1+x 2=ln x 1x 2t，令g (x )=ln x -2(x -1)x +1(x >1)，则g(x )=(x -1)2x (x +1)2>0，即g (x )在(1,+∞)上递增，∴g (x )>g (1)=0，即在(1,+∞)上，ln x >2(x -1)x +1，若x =x 2x 1即ln x 2-ln x 1x 2-x 1>2x 2+x 1，故t >2tln x 1x 2，有x 1x 2>e 23∴当x 2=3时，e >x 1>e 23，故f e 23<f (x 1)=f (3)，综上：b >c >a .故选：A 2.(2022·湖北·宜都二中高三开学考试)已知a =4ln5π,b =5ln4π,c =5lnπ4，则a ,b ,c 的大小关系是()A.c <a <bB.a <b <cC.a <c <bD.c <b <a答案B解析【分析】令f x =ln xxx ≥e ，利用导数判断f x 在e ,+∞ 上的单调性，即可得a ,b ,c 的大小关系.【详解】令f x =ln x x x ≥e ，可得f x =1x ⋅x -ln xx =1-ln xx，当x ≥e 时，f x ≤0恒成立，所以f x =ln xx在e ,+∞ 上单调递减，所以f π >f 4 >f 5 ，即lnππ>ln44>ln55，可得4lnπ>πln4，5ln4>4ln5，所以lnπ4>ln4π，5πln4>4πln5，所以5lnπ4>5ln4π，5ln4π>4ln5π，即c >b ，b >a .所以a <b <c .故选：B .3.(2022·全国·高三专题练习(理))设a =20202022，b =20212021，c =20222020，则()A.a >b >cB.b >a >cC.c >a >bD.c >b >a答案A解析【分析】由于ln a ln b=ln20202021ln20212022，所以构造函数f x =ln x x +1x ≥e 2，利用导数判断其为减函数，从而可比较出f 2020 >f 2021 >0，进而可比较出a ,b 的大小，同理可比较出b ,c 的大小，即可得答案【详解】∵ln a ln b =2022ln20202021ln2021=ln20202021ln20212022，构造函数f x =ln x x +1x ≥e 2，f x =x +1-x ln x x x +1 2，令g x =x +1-x ln x ，则gx =-ln x <0，∴g x 在e 2,+∞ 上单减，∴g x ≤g e 2 =1-e 2<0，故f x <0，∴f x 在e 2,+∞ 上单减，∴f 2020 >f 2021 >0，∴ln aln b =f 2020 f 2021>1∴ln a >ln b .∴a >b ，同理可得ln b >ln c ，b >c ，故a >b >c ，故选：A【题型三】指数函数基础构造【典例分析】3设正实数a ，b ，c ，满足e 2a =b ln b =ce c =2，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a <b <cB.a <c <bC.c <a <bD.b <a <c答案B 解析【分析】通过构造函数f (x )=xe x (x >0)，利用导数判断函数的单调性，并判断c 的范围，通过变形得b =e c ，得b ,c 的大小关系，再直接解方程求a 的范围，最后三个数比较大小.【详解】设f (x )=xe x (x >0)，x >0时，f x =x +1 e x >0恒成立，f (x )在(0,+∞)单调递增，x ∈12,1时，f (x )∈e2,e，而e 2<2，所以c ∈12,1 ，b ln b =ln b ⋅e ln b =ce c ，故ln b =c ，即b =e c ∈(e ,e )，而a =ln22<12，所以a <c <b ．故选：B 【变式演练】1.已知a,b,c∈R.满足3b ln b=2a ln a=-2c ln c<0.则a，b，c的大小关系为().A.c>a>bB.a>c>bC.c>b>aD.b>a>c答案A解析【分析】根据指数函数值域可确定c>1，a,b∈0,1；构造函数f x =2xln x0<x<1，利用导数可知f x 在0,1上单调递减，利用2aln a=3bln b<2bln b可知b<a，由此可得结果.【详解】∵3b>0，2a>0，2c>0，∴ln b<0，ln a<0，ln c>0，∴0<b<1，0<a<1，c>1；∵3b>2b>0，ln b<0，∴2a ln a=3b ln b<2b ln b，令f x =2xln x0<x<1，则f x =2x ln2⋅ln x-2x xln x2=2x ln2⋅ln x-1xln x2，当0<x<1时，ln x<0，-1x<0，∴f x <0，∴f x 在0,1上单调递减，∵2a ln a<2b ln b，即f a <f b ，∴b<a，∴c>a>b.故选：A.2.已知a+2a=2,b+3b=2，则b lg a与a lg b的大小关系是()A.b lg a<a lg bB.b lg a=a lg bC.b lg a>a lg bD.不确定答案C解析【分析】令f x =x+2x,g x =x+3x，结合题意可知0<b<a<1，进而有a b>b b>b a，再利用对数函数的单调性和运算性质即可求解【详解】令f x =x+2x,g x =x+3x，则当x>0时，g x >f x ，当x<0时，g x <f x ；由a+2a=2,b+3b=2，得f a =2,g b =2考虑到f a =g b =2得0<b<a<1，∴a b>b b>b a由a b>b a，得lg a b >lg b a ，即b lg a>a lg b故选：C3.已知实数a=32e12，b=43e23，c=87e67，(e为自然对数的底数)则a，b，c的大小关系为()A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.b<a<c答案A解析【分析】由已知实数的形式构造函数f(x)=x+1x ex-1x，即有a=f(2),b=f(3),c=f(7)，利用导数研究f(x)的单调性，再比较对应函数值的大小即可.【详解】由题意，令f(x)=x+1x ex-1x，则a=f(2),b=f(3),c=f(7)，而f (x)=e x-1xx3，所以x>0时f(x)>0，即f(x)在(0,+∞)上单调递增，∴f(2)<f(3)<f(7)，即a<b<c，故选：A【题型四】“取对数”法45【典例分析】4(2023·全国·高三专题练习）已知a =2ln7，b =3ln6，c =4ln5，则()A.b <c <aB.a <b <cC.b <a <cD.a <c <b答案B解析【分析】对a ，b ，c 取对数，探求它们的结构特征，构造函数f x =ln x ⋅ln 9-x (2≤x ≤4)，借助导数判断单调性即可作答.【详解】对a ，b ，c 取对数得：ln a =ln2⋅ln7，ln b =ln3⋅ln6，ln c =ln4⋅ln5，令f x =ln x ⋅ln 9-x (2≤x ≤4)，f x =ln 9-x x -ln x9-x =9-x ln 9-x -x ln x x 9-x ，令g (x )=x ln x ,x >1，g (x )=ln x +1>0，即g (x )=x ln x 在(1,+∞)上单调递增，由2≤x ≤4得，9-x ≥5>x >1，于是得9-x ln 9-x >x ln x ，又x 9-x >0，因此，f x >0，即f x 在2,4 上单调递增，从而得f 2 <f 3 <f 4 ，即ln2ln7<ln3ln6<ln4ln5，ln a <ln b <ln c ，所以a <b <c .故选：B【变式演练】1.(2021·全国·高三专题练习)已知实数a ,b ,c ∈0,e ，且3a =a 3，4b =b 4，5c =c 5，则()A.c <b <aB.b <c <aC.a <c <bD.a <b <c答案A解析【分析】将已知的等式两边取对数可得ln33=ln a a ，ln44=ln b b，ln55=ln c c .设函数f x =ln x x ，求导，分析导函数的正负，得出所令函数的单调性，由此可得选项．【详解】由3a =a 3，4b =b 4，5c =c 5得a ln3=3ln a ，b ln4=4ln b ，c ln5=5ln c ，因此ln33=ln a a ，ln44=ln b b，ln55=ln cc .设函数f x =ln xx，则f 3 =f a ，f 4 =f b ，f 5 =f c ，f x =1-ln xx2，令f x =0，得x =e ，所以f x 在0,e 上单调递增，在e ,+∞ 上单调递减，所以f 3 >f 4 >f 5 ，即f a >f b >f c ，又a ,b ,c ∈0,e ，所以a >b >c ，故选：A .2.(2022·全国·高三专题练习)已知a =3.93.9,b =3.93.8,c =3.83.9,d =3.83.8，则a ,b ,c ,d 的大小关系为()A.d <c <b <aB.d <b <c <aC.b <d <c <aD.b <c <d <a答案B解析【分析】构造函数f x =ln xx，利用导数判断函数的单调性，可得f 3.9 <f (3.8)，从而可得3.93.8<3.83.9，再由y =x 3.8在0,+∞ 上单调递增，即可得出选项.【详解】构造函数f x =ln x x ，则f x =1-ln xx 2，当x ∈e ,+∞ 时，f x <0，故f x=ln xx在x ∈e ,+∞ 上单调递减，所以f 3.9 <f (3.8)，所以ln3.93.9<ln3.83.8，3.8ln3.9<3.9ln3.8所以ln3.93.8<ln3.83.9，3.93.8<3.83.9，因为y =x 3.8在0,+∞ 上单调递增，所以3.83.8<3.93.8，同理3.83.9<3.93.9，所以3.83.8<3.93.8<3.83.9<3.93.9，故选：B3.已知55<84，134<85，设a =log 53，b =log 85，c =log 138，找出这三个数大小关系答案a <b <c 解析【分析】把a ,b ,c 用换底公式变形，已知不等关系及53>34，83<54也取对数后，可把a ,b ,c 与中间值比较大小，从而得出结论．【详解】6由已知a =lg3lg5，b =lg5lg8，c =lg8lg13，又55<84，则5lg5<4lg8，∴b =lg5lg8<45，134<85，则4lg13<5lg8，c =lg8lg13>45，又53=125>81=34，∴3lg5>4lg3，a =lg3lg5<34，而83=512<625=54，∴3lg8<4lg5，b =lg5lg8>34，综上有a <b <c ．故答案为：a <b <c ．【题型五】指数切线构造：e x -x +1【典例分析】5(2022·江西·南昌市八一中学三模(理))设a =1101，b =ln1.01，c =e 0.01-1，则()A.a <b <cB.b <c <aC.b <a <cD.c <a <b答案A解析【分析】观察式子的结构，进而设x =1.01，然后构造函数，随即通过求解函数的单调性得到答案.【详解】设x =1.01，所以a =1-1x,b =ln x ,c =e x -1-1，设f x =e x -x +1 x >1 ，则f x =e x -1>0，所以f x 在(1，+∞)单调递增，所以f x >f 1 =e 2-2>0⇒e x -x +1 >0⇒e x >x +1⋯①，所以e x -1>x ⋯②，由①，x >ln x +1 ⇒x -1>ln x ⇒1x -1>ln x -1⇒1x -1>-ln x ⇒ln x >1-1x⋯③，由②，x -1>ln x ⋯④，由②④，e x -1-1>x -1>ln x ，则c >b ，由③，b >a ，所以c >b >a .故选：A .【提分秘籍】基本规律指数和对数切线放缩法基础图【变式演练】71.(2022·河南·模拟预测(理))已知a =1.2,b =119,c =e 0.2，则()A.a <b <cB.c <a <bC.a <c <bD.c <b <a答案C解析【分析】构造函数f (x )=e x -x -1x >0 ，g (x )=(x +1)e -x -(1-x )e x (0<x <1)，利用导数研究函数的单调性，得出f x ，g x 的单调性，得出e x >x +1(x >0)，令x =0.2，可得出a <c ，再由得出的e 2x <1+x1-x(0<x <1)，令x =0.1，得出c <b ，从而得出结果．【详解】解：先证e x >x +1(x >0)，令f (x )=e x -x -1x >0 ，则f (x )=e x -1>0，可知f x 在0,+∞ 上单调递增，所以f x >f 0 =0，即e x >x +1(x >0)，令x =0.2，则e 0.2>1.2，所以a <c ；再证e 2x <1+x1-x(0<x <1)即证(x +1)e -x >(1-x )e x ，令g (x )=(x +1)e -x -(1-x )e x (0<x <1)，则g x =x e x -e -x >0，所以g x 在0,1 上单调递增，所以g x >g 0 =0，即e 2x <1+x1-x(0<x <1)，令x =0.1，则e 0.2<119，所以c <b ，从而a <c <b ．故选：C . 2.(2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习)已知a =e 0.05，b =ln1.12+1，c = 1.1，则()A.a >b >cB.c >b >aC.b >a >cD.a >c >b答案D解析【分析】利用导数可求得e x >x +1，ln x ≤x -1；分别代入x =0.1和x =1.1，整理可得a ,b ,c 的大小关系.【详解】令f x =e x -x -1x >0 ，则f x =e x -1>0，∴f x 在0,+∞ 上单调递增，∴f x >f 0 =0，即e x >x +1，∴e 0.1>1.1，∴e 0.05> 1.1，即a >c ；令g x =ln x -x +1，则g x =1x -1=1-xx，∴当x ∈0,1 时，g x >0；当x ∈1,+∞ 时，g x <0；∴g x 在0,1 上单调递增，在1,+∞ 上单调递减，∴g x ≤g 1 =0，∴ln x ≤x -1(当且仅当x =1时取等号)，∴ln x ≤x -1，即ln x 2+1≤x (当且仅当x =1时取等号)，∴ln1.12+1< 1.1，即b <c ；综上所述：a >c >b .故选：D .3.(2022·全国·高三专题练习)已知a =1101,b =e -99100,c =ln 101100，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a <b <cB.a <c <bC.c <a <bD.b <a <c答案B解析【解析】首先设f x =e x-x -1，利用导数得到e x>x +1x ≠0 ，从而得到b =e-99100>-99100+1=1100>1101=a ，设g x =ln x -x +1，利用导数得到ln x <x -1x ≠1 ，从而得到b >c 和c >a ，即可得到答案.【详解】设f x =e x -x -1，f x =e x -1，令f x =0，解得x =0.x ∈-∞,0 ，f x <0，f x 为减函数，x ∈0,+∞ ，f x >0，f x 为增函数.所以f x ≥f 0 =0，即e x -x -1≥0，当且仅当x =0时取等号.所以e x >x +1x ≠0 .故b =e -99100>-99100+1=1100>1101=a ，即b >a .设g x =ln x -x +1，g x =1x -1=1-xx，令g x =0，解得x =1.x ∈0,1 ，g x >0，g x 为增函数，x ∈1,+∞ ，g x <0，g x 为减函数.所以g x ≤g 1 =0，即ln x -x +1≤0，当且仅当x =1时取等号.所以ln x <x -1x ≠1 .所以c =ln 101100<101100-1=1100，又因为b >1100，所以b >c .8又因为-ln x >-x +1x ≠1 ，所以c =ln 101100=-ln 100101>-100101+1=1101=a ，即c >a ，综上b >c >a .故选：B【题型六】对数切线构造【典例分析】6(2022·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测)已知a >12且2a =e a -12，b >13且3b =e b -13，c >14且4c =e c -14，则()A.ln a bc <ln b ac <ln cabB.ln a bc <ln c ab<ln bac C.ln c ab <ln b ac <ln a bc D.ln b ac <ln a bc <ln c ab答案A解析【分析】对已知的等式进行变形，转化成结构一致，从而构造函数，确定构造的函数的性质，得到a 、b 、c 的大小，再根据选项构造函数，借助函数的单调性比较大小即可.【详解】由已知条件，对于2a =e a -12，两边同取对数，则有ln2+ln a =a -12，即a -ln a =12+ln2=12-ln 12，同理：b -ln b =13-ln 13；c -ln c =14-ln 14构造函数f x =x -ln x ，则f a =f 12 ，f b =f 13 ，f c =f 14 .对其求导得：f x =x -1xx >0∴当0<x <1时，f x <0，f x 单调递减；当x >1时，f x >0，f x 单调递增；又∵a >12，b >13，c >14∴1<a <b <c 再构造函数g x =x ln x ，对其求导得：g x =ln x +1x >0∴当0<x <1e 时，g x <0，g x 单调递减；当x >1e时，g x >0，g x 单调递增；∴g a <g b <g c 即：a ln a <b ln b <c ln c 又∵abc >0∴ln a bc <ln b ac <ln cab .故选：A .【提分秘籍】基本规律指数和对数放缩法基础图【变式演练】1.(2022·山西运城·高三期末(理))已知a ,b ,c ∈0,+∞ ，且e a -e -12=a +12，e b -e -13=b +13，e c -e -15=c +15，则()A.a <b <cB.a <c <bC.c <b <aD.b <c <a答案C解析【分析】构造函数f x =e x -x ，利用导函数可得函数的单调性，又f a =f -12 ，f b =f -13，f c =9f -15，a ,b ,c >0，即得.【详解】由题可得e a -a =e-12+12，e b -b =e -13+13，e c -c =e -15+15.令f x =e x -x ，则f x =e x -1，令fx =0，得x =0，∴x ∈0,+∞ 时，f x >0，f x 在0,+∞ 上单调递增，x ∈-∞,0 时，f x <0，f x 在-∞,0 上单调递减，又f a =f -12，f b =f -13 ，f c =f -15 ，a ,b ,c >0，由-12<-13<-15，可知f -12 >f -13 >f -15 即f a >f b >f c ，∴c <b <a .故选：C .2.(2021·四川·双流中学高三阶段练习(理))已知a -4=ln a 4≠0,b -5=ln b 5≠0,c -6=ln c6≠0，则()A.c <b <aB.b <c <aC.a <b <cD.a <c <b答案A解析【分析】根据给定条件构造函数f (x )=x -ln x (x >0)，探讨函数的单调性，借助单调性进行推理即可得解.【详解】令函数f (x )=x -ln x (x >0)，则f (x )=1-1x =x -1x，则有f (x )在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，且x 趋近于0和趋近于正无穷大时，f (x )值都趋近于正无穷大，由a -4=ln a4≠0得，a -ln a =4-ln4，即f (a )=f (4)，且a ≠4，显然0<a <1，若a ≥1，而f (x )在(1,+∞)上单调递增，由f (a )=f (4)必有a =4与a ≠4矛盾，因此得0<a <1，同理，由b -5=ln b5≠0得f (b )=f (5)，且b ≠5，并且有0<b <1，由c -6=ln c6≠0得f (c )=f (6)，且c ≠6，并且有0<c <1，显然有f (4)<f (5)<f (6)，于是得f (a )<f (b )<f (c )，又f (x )在(0,1)上单调递减，所以c <b <a .故选：A3.(2022·全国·高三专题练习)已知e ≈ 2.71828是自然对数的底数，设a =3-3e ,b =2-2e,c =e 2-1-ln2，则()A.a <b <cB.b <a <cC.b <c <aD.c <a <b答案A解析【分析】首先设f x =x -xe ，利用导数判断函数的单调性，比较a ,b 的大小，设利用导数判断e x ≥x +1，放缩c >2-ln2，再设函数g x =xe -ln x ，利用导数判断单调性，得g 2 >0，再比较b ,c 的大小，即可得到结果.【详解】设f x =x -x e ，f x =12x-1e ，10当0≤x <e 24时，f x >0，函数单调递增，当x >e 24时，f x <0，函数单调递减，a =f 3 ,b =f 2 ，e 24<2<3时，f 3 <f 2 ，即a <b ，设y =e x -x -1，y =e x -1，-∞,0 时，y <0，函数单调递减，0,+∞ 时，y >0，函数单调递增，所以当x =0时，函数取得最小值，f 0 =0，即e x ≥x +1恒成立，即e2-1>2，令g x =x e -ln x ，g x =1e -1x，x ∈0,e 时，g x <0，g x 单调递减，x ∈e ,+∞ 时，g x >0，g x 单调递增，x =e 时，函数取得最小值g e =0，即g 2 >0，得：2e >ln2，那么2-2e<2-ln2，即e 2-1-ln2>2-ln2>2-2e，即b <c ，综上可知a <b <c 故选：A 【题型七】反比例构造:ln x <2(x -1)x +1型【典例分析】7(2022·江苏·金陵中学二模)设a =e 1.1-27，b = 1.4-1，c =2ln1.1，则()A.a <b <cB.a <c <bC.b <a <cD.c <a <b答案A解析【分析】利用幂函数和指数函数的性质判断的范围，a 利用基本不等式判断b 的范围，构造新函数并利用导数讨论函数的单调性求出c 的范围，进而得出结果.【详解】由e 3<28，得e 3<28，即e 32<27，所以e 1.1<e 1.5=e 32，所以e 1.1<27，则e 1.1-27<0，即a <0；由 1.4-1= 1.41.2×1.2-1<1.41.2+1.22-1<0.184，即b <0.184；设f (x )=ln x -2(x -1)x +1(x >0)，则f(x )=1x -4(x +1)2=(x -1)2x (x +1)2≥0，所以f (x )在(0,+∞)上单调递增，且f (1)=0，所以当x ∈(1,+∞)时f (x )>0，即ln x >2(x -1)x +1，当x ∈(0,1)时f (x )<0，即ln x <2(x -1)x +1，又1.1>1，则ln1.1>21.1-11.1+1≈0.095，所以c =2ln1.1>0.19，即c >0.19，综上，a <b <c .故选：A【变式演练】1.(2022·全国·高三专题练习)若a =e 0.2，b = 1.2，c =ln3.2，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a >b >cB.a >c >bC.b >a >cD.c >b >a答案B解析【分析】构造函数f x =e x -x -1x >0 ，利用导数可得a =e 0.2>1.2>b ，进而可得e 1.2>3.2，可得a >c ，再利用函数g x =ln x -2x -1x +1，可得ln3.2>1.1，即得.【详解】令f x =e x -x -1x >0 ，则f x =e x -1>0，∴f x 在0,+∞ 上单调递增，∴a =e 0.2>0.2+1=1.2> 1.2=b ，a =e 0.2>1.2=ln e 1.2，c =ln3.2，∵e 1.2 5=e 6> 2.7 6≈387.4,3.2 5≈335.5，∴e 1.2>3.2，故a >c ，设g x =ln x-2x-1x+1，则g x =1x-2x+1-2xx+12=x-12x x+12≥0，所以函数在0,+∞上单调递增，由g1 =0，所以x>1时，g x >0，即ln x>2x-1x+1，∴ln3.2=ln2+ln1.6>22-12+1+21.6-11.6+1=1539>1550=1.1，又1<1.2<1.21,1<b= 1.2<1.1，∴c>1.1>b，故a>c>b.故选：B.2.(2022·江西·模拟预测(理))设a=4(2-ln4)e2，b=1e，c=ln44，则a，b，c的大小顺序为()A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c 答案A解析【分析】根据a、b、c的结构，构造函数f x =ln xx，利用导数判断单调性，即可比较出a、b、c的大小，得到正确答案.【详解】因为a=4(2-ln4)e2=ln e24e24，b=1e=ln ee，c=ln44构造函数f x =ln xx，则f x =1-ln xx2，a=fe24，b=f(e)，c=f4 ，f(x)在(0,e)上递增，在(e,+∞)上递减.则有b=f(e)最大，即a<b，c<b.若t=ln x x有两个解，则1<x1<e<x2,t∈0,1e，所以ln x1=tx1,ln x2=tx2,所以ln x1-ln x2=tx1-tx2,ln x1+ln x2=tx1+tx2,即t=ln x2-ln x1x2-x1,ln x1x2=t x1+x2,令g x =ln x-2x-1x+1x>1，则g x =x-12x x+1>0，故g x 在1,+∞上单增,所以g x >g1 =0，即在1,+∞上，ln x>2x-1x+1.若x=x2x1，则有lnx2x1>2x2x1-1x2x1+1，即ln x2-ln x1x2-x1>2x2+x1.故t>2tln x1x2，所以x1x2>e2.当x2=4时，有e24<x1<e，故fe24<f x1 =f4所以a<c.综上所述：a<c<b.故选：A【题型八】“零点”构造法【典例分析】8(2022·广东广州·高三开学考试)设a=ln1.1，b=e0.1-1，c=tan0.1，d=0.4π，则()A.a<b<c<dB.a<c<b<dC.a<b<d<cD.a<c<d<b 答案B解析【分析】观察4个数易得均与0.1有关，故考虑a x =ln x+1，b x =e x-1，c x =tan x，d x =4πx在x=0.1时的大小关系，故利用作差法，分别构造相减的函数判断单调性以及与0的大小关系即可.【详解】设a x =ln x+1，b x =e x-1，c x =tan x，d x =4πx，易得a0 =b0 =c0 =d0 .设y=d x -b x =4πx-e x+1，则令y =4π-e x=0有x=ln4π，故y=d x -b x 在-∞,ln4π上单调递增.①因为4π10>43.210=54 10=2516 5>2416 5=32 5>e，即4π 10>e，故10ln4π>1，即ln4π>0.1，故d0.1-1112b 0.1 >d 0 -b 0 =0，即d >b .②设y =b x -c x =e x-1-tan x ，则y=e x-1cos 2x =e x cos 2x -1cos 2x，设f x =e x cos 2x -1，则f x =e x cos 2x -2sin x =e x -sin 2x -2sin x +1 .设g x =x -sin x ，则g x =1-cos x ≥0，故g x =x -sin x 为增函数，故g x ≥g 0 =0，即x ≥sin x .故f x ≥e x -x 2-2x +1 =e x -x +1 2+2 ，当x ∈0,0.1 时f x >0，f x =e x cos 2x -1为增函数，故f x ≥e 0cos 20-1=0，故当x ∈0,0.1 时y =b x -c x 为增函数，故b 0.1 -c 0.1 >b 0 -c 0 =0，故b >c .③设y =c x -a x =tan x -ln x +1 ，y =1cos 2x -1x +1=x +sin 2xx +1cos 2x ，易得当x ∈0,0.1 时y >0，故c 0.1 -a 0.1 >c 0 -a 0 =0，即c >a .综上d >b >c >a 故选：B【变式演练】1.(2020·北海市北海中学高三)已知x 1=ln 12，x 2=e -12，x 3满足e -x 3=ln x 3，则下列各选项正确的是A.x 1<x 3<x 2B.x 1<x 2<x 3C.x 2<x 1<x 3D.x 3<x 1<x 2答案B解析【详解】因为函数y =ln x 在0,+∞ 上单调递增，所以x 1=ln 12<ln1=0；0<x 2=e -12=1e12=1e=e e <1；因为x 3满足e -x3=ln x 3，即x 3是方程1ex-ln x =0的实数根，所以x 3是函数f x=1ex -ln x 的零点，函数f (x )在定义域内是减函数，因为f 1 =1e ，f e =1ee-1<0，所以函数有唯一零点，即x 3∈1,e .所以x 1<x 2<x 3.“跨界”构造：切、弦、指、对构造【典例分析】9(2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试)已知a =e 0.2-1,b =ln1.2,c =tan0.2，其中e =2.71828⋯为自然对数的底数，则()A.c >a >bB.a >c >bC.b >a >cD.a >b >c答案B解析【分析】观察a =e 0.2-1,b =ln1.2,c =tan0.2，发现都含有0.2，把0.2换成x ，自变量在(0,1)或其子集范围内构造函数，利用导数证明其单调性，比较a ,b ,c 的大小.【详解】令f (x )=e x-1-tan x =cos x e x -cos x -sin x cos x ，0<x <π4，令g (x )=cos x e x -cos x -sin x ，g (x )=(-sin x +cos x )e x +sin x -cos x =(e x -1)⋅(cos x -sin x )，当0<x <π4时，g (x )>0，g (x )单调递增，又g (0)=1-1=0，所以g (x )>0，又cos x >0，所以f (x )>0，在0,π4成立，所以f (0.2)>0即a >c ，令h (x )=ln (x +1)-x ，h (x )=1x +1-1=-x x +1，h (x )在x ∈0,π2为减函数，所以h (x )<h (0)=0，即ln (x +1)<x ，令m (x )=x -tan x ，m (x )=1-1cos 2x，m (x )在x ∈0,π2 为减函数，所以m (x )<m (0)=0，即x <tan x ，所以ln (x +1)<x <tan x ，x ∈0,π2成立，令x =0.2，则上式变为ln (0.2+1)<0.2<tan0.2，所以b <0.2<c 所以b <c ，所以b <c <a .13故答案为：B .【提分秘籍】基本规律比较难，需要结合数据寻找合适的构造函数。
函数单调性总结
不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数的单调性。
3.增函数的概念一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。
注意：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) ．二、函数的单调性如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。
【判断函数单调性的常用方法】1、根据函数图象说明函数的单调性．2．利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：①任取x1，x2∈D，且x1<x2；②作差f(x1)－f(x2)；③变形（通常是因式分解和配方）；④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．【归纳小结】函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值→作差→变形→定号→下结论☆☆☆复合函数的单调性☆☆☆1、定义：设y=f(u),u=g(x),当x 在u=g(x)的定义域中变化时，u=g(x)的值在y=f(u)的定义域内变化，因此变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，记为y=f(u)=f[g(x)]称为复合函数，其中x 称为自变量，u 为中间变量，y 为因变量(即函数)2、复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：函数 单调性()u g x = 增 增 减 减()y f u = 增 减 增 减[]()y f g x = 增 减 减 增三、函数的最大（小）值1．函数最大（小）值定义1）最大值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =． 那么，称M 是函数()y f x =的最大值．2）最小值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≥； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =． 那么，称M 是函数()y f x =的最小值．注意：①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在0x I ∈，使得0()f x M =； ②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x I ∈，都有()(())f x M f x m ≤≥．2．利用函数单调性来判断函数最大（小）值的方法．①配方法 ②换元法 ③数形结合法。
21-22版：培优课 幂函数单调性的三个常见应用（创新设计）
培优课 幂函数单调性的三个常见应用利用幂函数单调性可以比较幂值大小、求参数、解不等式，下面就这三个常见应用通过例题加以剖析.1.利用幂函数单调性比较大小的三种基本方法2.利用幂函数的单调性解不等式的步骤利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性等综合命题，求解步骤如下：(1)确定可以利用的幂函数；(2)借助相应幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量的大小关系；(3)解不等式(组)求参数的取值范围，注意分类讨论思想的应用.类型一 比较幂值的大小【例1】 比较下列各组数的大小：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫230.2，⎝ ⎛⎭⎪⎫350.2； (2)3－52，3.1－52；(3)4.125，3.8－23，(－1.9)35.解 (1)∵幂函数y ＝x 0.2在[0，＋∞)上是增函数，且23>35，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫230.2>⎝ ⎛⎭⎪⎫350.2. (2)∵函数y ＝x －52在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.1，∴3－52>3.1－52.(3)∵函数y ＝x 25在(0，＋∞)上为增函数，y ＝x －23在(0，＋∞)上为减函数，∴4.125>125＝1，0<3.8－23<1－23＝1.又(－1.9)35<0，∴(－1.9)－25<3.8－23<4.125.类型二 已知单调性求参数【例2】 若幂函数y ＝(m 2－4m ＋4)xm 2－6m ＋8在(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值为( )A.1或3B.3C.2D.1 答案 D解析 ∵y ＝(m 2－4m ＋4)xm 2－6m ＋8为幂函数，∴m 2－4m ＋4＝1，即(m －1)(m －3)＝0，∴m ＝1或m ＝3.当m ＝1时，m 2－6m ＋8＝3，则y ＝x 3在(0，＋∞)上为增函数，满足题意；当m ＝3时，m 2－6m ＋8＝－1，则y ＝x －1在(0，＋∞)上为减函数，不满足题意，∴m ＝3应舍去.综上可知，m ＝1.类型三 利用幂函数的单调性解不等式【例3】 已知幂函数f (x )＝x －12，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是( )A.(3，5)B.(－1，＋∞)C.(－∞，5)D.(－1，5) 答案 A解析 ∵幂函数f (x )＝x －12＝1x的定义域为{x |x >0}，在(0，＋∞)上单调递减， ∴若f (a ＋1)<f (10－2a )， 则⎩⎨⎧a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a ，解得⎩⎨⎧a >－1，a <5，a >3，即3<a <5，∴a 的取值范围是(3，5).尝试训练1.下列选项正确的是( )A.0.20.2>0.30.2B.2－13<3－13C.0.8－0.1>1.250.2D.1.70.3>0.93.1 答案 D解析 对于A ，由于y ＝x 0.2在第一象限为增函数， 故0.20.2<0.30.2，故A 错误.对于B ，由于y ＝x －13在第一象限为减函数， 故2－13>3－13，故B 错误.对于C ，由于y ＝1.25x 是增函数，故0.8－0.1＝1.250.1<1.250.2，故C 错误.对于D ，由于1.70.3>1.70＝1＝0.90>0.93.1，故D 正确.2.已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N ＋)的图像关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上为减函数，则满足不等式(a ＋1)－m 3<(3－2a )－m 3的实数a 的取值范围为________. 答案 (－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32 解析 由幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N ＋)的图像关于y 轴对称，得该函数为偶函数，即m为奇数.又幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N ＋)在(0，＋∞)上为减函数，所以3m －9<0，即m <3，又m ∈N ＋，所以m ＝1.则(a ＋1)－m 3<(3－2a )－m 3可转化为(a ＋1)－13<(3－2a )－13. 函数y ＝x －13的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 且在(－∞，0)和(0，＋∞)上均为减函数， 所以原不等式可转化为⎩⎨⎧a ＋1>0，3－2a >0，a ＋1>3－2a或⎩⎨⎧a ＋1<0，3－2a <0，a ＋1>3－2a 或⎩⎨⎧3－2a >0，a ＋1<0，解得23<a <32或a <－1.∴实数a 的取值范围为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32.。
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课题：函数的单调性 课时：1课时 教学目标：1．理解增函数、减函数的概念2．掌握判断和证明某些函数的单调性的方法3．养成细心观察、归纳、严谨论证的良好思维习惯教学重点：1．函数单调性的判定 2．函数单调性的应用教学难点：利用函数单调性的概念证明或判断函数的单调性教学过程：一．引入新课复习函数的有关知识；让学生分析研究函数的方法，即研究函数的性质，这节就研究函数的其中一个显著特性。
引入新课 二．函数的单调性(1)增函数：如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)>f(x 2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数。
如下图(1).(2)减函数：如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数。
如下图(2).(3)单调性和单调区间：如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间。
三．证明函数单调性的方法①定义法：a)取值；b)作差；c)定正负；d)结论。
②直接法：运用已知的结论，直接得到函数的单调性。
函数y=f(x)与函数y=-f(x)的单调性相反。
③图象法：根据函数的图象进行判断 四．函数单调性的应用①比较大小；②确定函数的定义域或值域例1如图是定义在单调区间[-5，5]上的 函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x) 的单调区间，以及在每一单调区间上 是增函数还是减函数。
解 如图函数的单调区间有[-5,-2],[-2,1], [1,3],[3,5],其中在区间[-5,-2], [1,3]上 是减函数，在区间[-2,1], [3,5]上是增函数。
例2证明函数f(x)=3x+2在R 上是增函数。
证明 设x 1，x 2是R 上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f(x 1)-f(x 2)=(3x 1+2)- (3x 2+2)=3(x 1-x 2)由于x 1<x 2，那么x 1-x 2<0,因此f(x 1)-f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2) 所以 f(x)=3x+2在R 上是增函数。
课堂练习：1． 下列函数中，在(0,2)上是增函数的是( B )A ．y=-x+1B ．x y =C ．y=x 2-4x+5D ．xy 2=2． 已知奇函数f(x)在区间(0,＋∞)上是增函数，则f(x)在区间(－∞，0)上是 ( B )A.减函数B.增函数C.减函数或增函数D.不存在单调性 3．课本82页，练习的第3题课题：函数的奇偶性 课时：1课时 教学目标：1．了解并区分奇函数,偶函数这两个概念. 2．能从数和形两个角度认识函数的奇偶性.3．能用定义判断某些函数的奇偶性,并能利用奇偶性简化一些函数图象的绘制过程. 4．通过对函数的奇偶性的理论研究,增学生对数学美的体验,培养乐于求索的精神,形成科学，严谨的研究态度.教学重点：函数奇偶性的有关概念教学难点：证明、判断简单函数的奇偶性教学过程：一．奇函数、偶函数的定义奇函数：如果对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。
偶函数：如果对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。
函数具有奇偶性的前提条件是其定义域关于原点对称。
二．奇函数、偶函数的性质奇函数图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；偶函数图象关于y 轴对称，反过来，如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数偶函数 奇函数三．判断奇偶性的方法①定义法，a)考察定义域是否关于原点对称；b)判断f(-x)=±f(x)是否成立②图象法，利用性质进行判断 例1 判断下列函数是否具有奇偶性：(1) f(x)=x 3+2x ；(2)f(x)=2x 4+3x 2.解 因为（1）、（2）这两个函数的定义域都是R ，是一个对称的区域(1)f(-x)=(-x)3+2(-x)=-x 3-2x=-(x 3+2x)=-f(x)所以函数f(x)=x 3+2x 是奇函数(2)f(-x)= 2(-x)4+3(-x)2=2x 4+3x 2=f(x)所以函数f(x)=2x 4+3x 2是偶函数例4 已知函数y=f(x)在R 上是奇函数，而且在(0,＋∞)上是增函数，证明y=f(x)在(－∞，0)上也是增函数。
证明 设x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1<x 2.∵f(x)是奇函数 ∴f(-x 1)=-f(x 1)，f(-x 2)=-f(x 2)由假设可知-x 1>0,-x 2>0，即-x 1，-x 2∈(0,＋∞)，且-x 1>-x 2 又f(x)在(0,＋∞)上是增函数，有f(-x 1)>f(-x 2) 所以 -f(x 1)>-f(x 2)，即f(x 1)<f(x 2),所以函数y=f(x)在(－∞，0)上也是增函数 课堂练习：1．函数(1)y=2(x-1)2-3；(2)y=x 2-3|x|+4；(3)x y =；(4)xx y ||=中既非奇函数也非偶函数的是 ( C )A.(1)(2)(3)B.(1)(3)(4)C.(1)(3)D.(1) 2．判断函数的奇偶性(根据定义)(1) f(x)=|x+1|-|x-1| (2)f(x)=xxx -+-11)1( [答：(1)奇函数；（2）其定义域，由xx-+11≥0,得-1≤x<1,不对称于原点，即为非奇非偶。
]3． 函数f(x)对于x∈R,恒有f(x)< f(x+1),则 （ B ）A. f(x)在R 上是增函数B. f(x)可能不存在单调区间 C ．f(x)不可能有单调区间 D ．f(x)一定有单调增区间 作业：课本85页练习的第1题，86页习题二的第4题课题：函数的应用 课时：2课时 教学目标：1．理解待定系数法的含义，及如何运用待定系数法，包括：用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式2．运用函数解决一些实际应用中的问题教学重点：待定系数法的运用以及函数的应用教学难点：函数的应用教学过程：一．问题引入例 已知一个正比例函数的图像通过点（3，4），求这个函数 解 设所求的正比例函数为 y=kx （k ≠0），其中k 待定，再根据条件把x ＝3，y ＝4代入式子求出k=34，得到所求正比例函数为 y=34x 例 一个一次函数的图像通过（2，4），（－4，－5）两点，求这个函数解 我们可设所求的一次函数为 y=kx+b (k ≠0)，其中k ，b 待定，再根据题设条件列方程组求出k ，b ，即可求出这个一次函数y=23x+1 二．待定系数法的概念一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数地一般形式（如一次函数为y=kx+b ，二次函数为y=ax 2＋bx+c ），可先把所求的函数写成一般形式，再根据已知条件列方程（组），求出它的系数，这种通过求待定系数来确定变量之间关系的方法叫做待定系数法例1 已知一次函数f (x)的函数值f (1)=3，f (-2)=-3，求这个一次函数的解析式 解 设所求一次函数为f (x)＝kx+b (k ≠0)根据已知条件，得⎩⎨⎧-=+-=+323b k b k ，解方程组，得⎩⎨⎧==12b k∴所求的一次函数为f (x)＝2x+1例2 已知一个二次函数图像的对称轴为x=2，且与x 轴的一个交点为（3，0），与y 轴的交点为（0，2），求这个二次函数的解析式解 设所求二次函数为y=a (x-2)2+h (a ≠0)根据已知条件，得⎩⎨⎧=+=+240h a h a ，解方程组，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==3232h a∴所求的二次函数为2383232)2(3222+-=--=x x x y 例3 已知f (x)是二次函数，且f (0)＝－3，f (1)＝0，f (－1)＝－4，求这个二次函数的解析式 解 设这个二次函数为f (x)＝ax 2+bx+c (a ≠0)根据已知条件，得⎪⎩⎪⎨⎧-=+-∙+-∙=+∙+∙-=+∙+∙4)1()1(011300222c b a c b a c b a解这个方程组，得⎪⎩⎪⎨⎧-===321c b a∴所求二次函数为f (x )=322-+x x例4 已知))(1(322f qx x p x x ++=+-，求p ，q ，f 的值分析 两个二次函数f (x)＝ax 2+bx+c 与y=``2`c x b x a ++为相同函数的充要条件是 a ＝a ′,b=b ′,c=c ′，根据这个结论列方程组求出上式中的p 、q 、f 的值解 已知等式可化为f x f q qx p x x +++=+-)(3222比较对应项的系数，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=f p f q q 32，解方程组，得q=2,p=-5,f=-5课堂练习 课本91页，练一练；练习的第1题，第2题 作业 课本91页，练习的第3题，第4题课题：函数的应用（二） 课时：1课时 教学目标：通过对一些具体例子的讲解，使学生掌握列出函数解决一些实际问题的方法教学重点：列出函数式解应用题教学难点：如何分析实际问题中的数量关系，列出函数关系式教学过程：师：同学们，这节课我们来学习如何列函数关系式解决一些实际问题，因为在实际生活以及生产和科学研究中，经常会遇到一些一次函数和二次函数的实例。
如果我们观察实例中的一些量之间的关系，找出它们之间的函数表达式，便可进一步深入研究这些函数的性质，解决一些实际问题；那么现在我们就来举一些实际的例子例1 某商品的价格为40元时，月销售量为10000件，价格每提高2元，月销售量就会减少400件，在不考虑其他因素时，（1）试求这种商品的月销售量与价格之间的函数关系； （2）当价格提高到多少元时，这种商品就会卖不出去？解 (1) 设商品价格提高n 个2元时，则商品价格x=40+2n ，销售量y=10000－400n∴y=10000－400×240x ＝10000-200x+8000=18000-200x （2）商品卖不出去时，销售量y=0 ∴18000－200x=0,x=90 ∴x ∈[40,90] 答：（1）这种商品销售量与价格函数表达式为y=18000-200x ，x ∈[40,90] （2）当价格提高到90元时，这种商品就会卖不出去 例2 某工厂生产一批产品，固定成本为20000元，每生产一个产品，可变成本为60元，出厂价为每件100元（1）试写出总成本与产量之间的函数关系式； （2）试写出销售收入与产量之间的函数关系式；（3）试写出利润与产量之间的函数关系式，至少要生产多少产品才不会亏本？（4）若当产品出厂价为100元时，销售量为10000件，而价格每提高2元，销售量会减少100件，价格为多少时利润最高？（注：固定成本是指与产量无关的成本，如厂房、设备费用，机器折旧率等，可变成本是指与产品产量有关的成本，如原材料费用、加工费等）解 （1）设总成本为C ，产量为Q ，则 C=20000+60Q （2）设销售收入为S ，则 S=100Q （3）设利润收入为y根据利润＝产品销售收入－总成本，则 y=100Q －(20000+60Q)=40Q-20000当不亏本时，y ≥0，∴40Q －20000≥0，∴Q ≥500 答：当工厂至少要生产500件产品时才不会亏本（4）设价格提高n 个2元，则销售价为 x=100+2n ，销售量为 Q ＝10000－100n 因此，利润收入为 y=x ·Q-(20000+60Q)=(x-60)Q-20000 =(100+2n-60)(10000-100n)-20000 =(2n+40)(10000-100n)-20000即y=-200(n+20)(n-100)-20000=-200[n 2-80n-2000]-20000 =-200[(n-40)2-3600]-20000= -200(n-40)2+720000-20000 =-200(n-40)2+700000∴当n=40时，x=180（元），Q=10000－4000＝6000（件） 答：当价格为180元时，利润最多为700000元例3 某农民想利用一面旧墙（设长度足够）围一个矩形鸡场，已知现有篱笆材料可围80米长，当矩形的长、宽各为多少时，所围的鸡场面积最大？ 解 如图所示，设与旧墙垂直一边长为x 米，则另一边 为（80－2x ）米∴矩形面积为y =x (80－2x )＝－2（x 2－40x ）＝－2（x 2－40x ＋202－202）＝－2（x －20）2＋800答 当所围鸡场与旧墙垂直的一边长为20米，另一边长为40米时，鸡场面积最大，最大面积为800米2例4 某工厂利用一批下脚料铁片（如图），边长为40厘米的 正方形缺一个角成五边形ABCDE ，其中AF=10厘米，在AB 上 求一点P ，使截得的矩形PNDM 的面积最大 解 边长MP 交CF 于Q ，则BFBQAF PQ =，设DN=x ，QC=y=PN ∴10)40(102040y x --=-，即30240-=-y x∴ x+2y=100，y ∈[30,40]；因此，矩形面积 S=x ·y=(100-2y)·y=-2(y-50)·y=-2(y 2-50y)=-2(y-25)2+1250，25∉[30,40]∴当y=30时，S 最大值＝1200厘米2答 当P 点与B 重合时，矩形PNDM 的面积最大，最大值为1200厘米2课堂练习 （1）某商品的价格为80元时，月销售量为10000件，若价格每降低2元，需要量就会增加1000件，如果不考虑其他因素：①试求这种商品的月销售量与价格之间的函数关系式； ②若这种商品的进货价是每件40元，销售价为多少元时，销售收入最多？ （2）用一条长20厘米的铁丝围成一个小矩形，当矩形的长和宽为多少时，围成矩形的面积最大？xE AF MQD N C。