人教版九年级数学下册中考知识点梳理-第1讲 实数
九年级数学知识点归纳总结实数
九年级数学知识点归纳总结实数在九年级数学学习中，实数是一个非常重要的知识点。
实数是数学中的基本概念，对于理解和应用其他数学知识都起到了至关重要的作用。
本文将对九年级数学中与实数相关的知识进行归纳总结，帮助同学们更好地理解和掌握实数的性质和运算规则。
一、实数的基本性质实数是包含有理数和无理数的数集。
有理数是可以表示为两个整数的比值的数，可以是整数、分数或有限小数，而无理数则是不能表示为有理数的数。
实数具有以下几个基本性质：1. 实数可以按照大小进行比较。
对于任意两个实数a和b，有且只有以下三种情况之一：a>b，a=b或者a<b。
2. 实数具有传递性，即如果a>b，b>c，那么a>c。
3. 实数满足加法和乘法的封闭性，即两个实数的和或积仍然是一个实数。
二、实数的运算规则实数的运算规则包括加法、减法、乘法和除法。
以下是实数运算的几个重要规则：1. 加法和乘法满足交换律和结合律。
即对于任意实数a、b和c，有a+b=b+a，a*b=b*a，(a+b)+c=a+(b+c)和(a*b)*c=a*(b*c)。
2. 加法和乘法满足分配律。
即对于任意实数a、b和c，有a*(b+c)=a*b+a*c。
3. 减法可以视为加法的逆运算。
即a-b=a+(-b)，其中- b表示b的相反数。
4. 除法可以视为乘法的逆运算。
即a÷b=a*(1/b)，其中1/b表示b的倒数，即 b的倒数是 1/b。
三、实数的分类实数可以进一步分类为有理数和无理数。
有理数包含整数、分数和有限小数，可以写成一个分数的形式。
而无理数则包含所有不能写成分数形式的实数，它们的小数部分是无限不循环的。
四、实数的近似表示由于无理数的小数部分是无限不循环的，无法精确表示出来，因此我们通常使用近似值来表示无理数。
对于根号2这样的无理数，我们可以使用2的近似值1.414来表示。
五、实数的应用实数在数学以及其他学科中有着广泛的应用。
人教版2019年春九年级数学下册全册中考知识点梳理(共27讲)
第一部分教材知识梳理·系统复习第一单元数与式第1讲实数第3讲分式第4讲二次根式第二单元方程(组)与不等式(组)第5讲一次方程(组)第6讲一元二次方程第7讲分式方程第8讲 一元一次不等式(组)知识点一：不等式及其基本性质关键点拨及对应举例 1.不等式的相关概念（1）不等式：用不等号(＞，≥，＜，≤或≠)表示不等关系的式子. （2）不等式的解：使不等式成立的未知数的值.（3）不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围.例：“a 与b 的差不大于1”用不等式表示为a －b≤1. 2.不等式的基本性质 性质1：若a ＞b,则 a ±c >b ±c ；性质2：若a ＞b,c >0，则ac >bc ，a c >b c ；性质3：若a ＞b,c <0，则ac <bc ，a c <b c. 牢记不等式性质3，注意变号. 如：在不等式－2x ＞4中，若将不等式两边同时除以－2，可得x ＜2.知识点二 ：一元一次不等式3.定义用不等号连接，含有一个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式. 例：若230m mx ++>是关于x 的一元一次不等式，则m 的值为-1. 4.解法（1）步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1.失分点警示系数化为1时，注意系数的正负性，若系数是负数，则不等式改变方向.（2）解集在数轴上表示:x ≥a x ＞a x ≤a x ＜a知识点三 ：一元一次不等式组的定义及其解法5.定义 由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．（1）在表示解集时“≥”，“≤”表示含有，要用实心圆点表示；“＜”，“＞”表示不包含要用空心圆点表示． （2）已知不等式（组）的解集情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式（组）解集的定义，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.如：已知不等式（a-1）x ＜1-a的解集是x ＞-1，则a 的取值范围是a ＜1.6.解法先分别求出各个不等式的解集，再求出各个解集的公共部分7.不等式组解集的类型假设a ＜b 解集 数轴表示 口诀x a x b ≥⎧⎨≥⎩ x ≥b 大大取大 x a x b≤⎧⎨≤⎩ x ≤a 小小取小 x a x b≥⎧⎨≤⎩ a ≤x ≤b 大小，小大中间找 x a x b≤⎧⎨≥⎩ 无解 大大，小小取不了 知识点四 ：列不等式解决简单的实际问题8.列不等式解应用题（1）一般步骤：审题；设未知数；找出不等式关系；列不等式；解不等式；验检是否有意义.（2）应用不等式解决问题的情况：a.关键词：含有“至少（≥）”、“最多（≤）”、“不低于（≥）”、“不高于（≤）”、“不大（小）于”、“超过（＞）”、“不足（＜）”等； b.隐含不等关系：如“更省钱”、“更划算”等方案决策问题，一般还需根据整数解，得出最佳方案注意：列不等式解决实际问题中，设未知数时，不应带“至少”、“最多”等字眼，与方程中设未知数一致.第9讲 平面直角坐标系与函数知识点一：平面直角坐标系关键点拨及对应举例1.相关概念（1）定义：在平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系． （2）几何意义：坐标平面内任意一点M 与有序实数对(x ，y )的关系是一一对应． 点的坐标先读横坐标(x 轴)，再读纵坐标(y 轴).2.点的坐标特征( 1 )各象限内点的坐标的符号特征（如图所示）： 点P (x,y)在第一象限⇔x ＞0，y ＞0； 点P (x,y)在第二象限⇔x ＜0，y ＞0； 点P （x,y ）在第三象限⇔x ＜0，y ＜0； 点P （x,y ）在第四象限⇔x ＞0，y ＜0.（2）坐标轴上点的坐标特征： ①在横轴上⇔y ＝0；②在纵轴上⇔x ＝0；③原点⇔x＝0，y ＝0.（3）各象限角平分线上点的坐标①第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；②第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数（4）点P （a ,b ）的对称点的坐标特征：①关于x 轴对称的点P 1的坐标为(a ，－b )；②关于y 轴对称的点P 2的坐标为(－a ，b )； ③关于原点对称的点P 3的坐标为(－a ，－b )．（5）点M （x,y ）平移的坐标特征：M （x,y ） M 1(x+a ,y ) M 2(x+a ,y+b )（1）坐标轴上的点不属于任何象限. （2）平面直角坐标系中图形的平移，图形上所有点的坐标变化情况相同. （3）平面直角坐标系中求图形面积时，先观察所求图形是否为规则图形，若是，再进一步寻找求这个图形面积的因素，若找不到，就要借助割补法，割补法的主要秘诀是过点向x 轴、y 轴作垂线，从而将其割补成可以直接计算面积的图形来解决. 3.坐标点的距离问题（1）点M(a,b)到x 轴，y 轴的距离：到x 轴的距离为|b |；)到y 轴的距离为|a |．（2）平行于x 轴，y 轴直线上的两点间的距离：点M 1(x 1,0)，M 2(x 2,0)之间的距离为|x 1－x 2|，点M 1(x 1，y )，M 2(x 2，y )间的距离为|x 1－x 2|；点M 1(0，y 1)，M 2(0，y 2)间的距离为|y 1－y 2|，点M 1(x ，y 1)，M 2(x ，y 2)间的距离为|y 1－y 2|．平行于x 轴的直线上的点纵坐标相等；平行于y 轴的直线上的点的横坐标相等.知识点二：函 数4.函数的相关概念（1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做变量．（2）函数：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么就称x 是自变量，y 是x 的函数．函数的表示方法有：列表法、图像法、解析法.（3）函数自变量的取值范围：一般原则为：整式为全体实数；分式的分母不为零；二次根式的被开方数为非负数；使实际问题有意义．失分点警示函数解析式，同时有几个代数式，函数自变量的取值范围应是各个代数式中自变量的公共部分. 例：函数y=35x x +-中自变量的取值范围是x ≥-3且x ≠5. 5.函数的图象 （1）分析实际问题判断函数图象的方法：①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点； ②找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；③判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向.（2）以几何图形（动点）为背景判断函数图象的方法： ①设时间为t （或线段长为x ），找因变量与t(或x)之间存在的函数关系，用含t(或x)的式子表示， 再找相应的函数图象.要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围.读取函数图象增减性的技巧：①当函数图象从左到右呈“上升”（“下降”）状态时，函数y 随x 的增大而增大（减小）；②函数值变化越大，图象越陡峭；③当函数y 值始终是同一个常数，那么在这个区间上的函数图象是一条平行于x 轴的线段.第10讲 一次函数知识点一 ：一次函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.一次函数的相关概念 （1）概念：一般来说，形如y ＝kx ＋b (k ≠0)的函数叫做一次函数．特别地，当b ＝0时，称为正比例函数．（2）图象形状：一次函数y ＝kx ＋b 是一条经过点（0,b ）和（-b/k ,0）的直线.特别地，正比例函数y ＝kx 的图象是一条恒经过点（0,0）的直线.例：当k ＝1时，函数y ＝kx ＋k －1是正比例函数,2.一次函数k ，b K ＞0， K ＞0， K ＞0，b=0 k <0， k <0， k <0，（1）一次函数y=kx+b 中，k 确定xy第四象限(＋，－)第三象限 (－，－)第二象限 (－，＋)第一象限 (＋，＋)–1–2–3123–1–2–3123O的性质 符号 b ＞0 b ＜0b >0b <0 b ＝0了倾斜方向和倾斜程度，b 确定了与y 轴交点的位置.（2）比较两个一次函数函数值的大小：性质法，借助函数的图象，也可以运用数值代入法. 例：已知函数y =－2x ＋b ，函数值y 随x 的增大而减小(填“增大”或“减小”)．大致 图象经过象限 一、二、三 一、三、四 一、三 一、二、四 二、三、四 二、四 图象性质y 随x 的增大而增大 y 随x 的增大而减小 3.一次函数与坐标轴交点坐标(1)交点坐标：求一次函数与x 轴的交点，只需令y=0,解出x 即可；求与y 轴的交点，只需令x=0,求出y 即可.故一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象与x 轴的交点是⎝⎛⎭⎫－b k ，0，与y 轴的交点是(0，b )；(2)正比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象恒过点(0，0)．例：一次函数y ＝x ＋2与x 轴交点的坐标是（-2,0），与y 轴交点的坐标是（0,2）. 知识点二 ：确定一次函数的表达式4.确定一次函数表达式的条件（1）常用方法：待定系数法，其一般步骤为： ①设：设函数表达式为y ＝kx ＋b (k ≠0)； ②代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组； ③解：求出k 与b 的值，得到函数表达式． （2）常见类型：①已知两点确定表达式；②已知两对函数对应值确定表达式； ③平移转化型：如已知函数是由y=2x 平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可.(1)确定一次函数的表达式需要两组条件，而确定正比例函数的表达式，只需一组条件即可. (2)只要给出一次函数与y 轴交点坐标即可得出b 的值,b 值为其纵坐标，可快速解题. 如:已知一次函数经过点（0,2），则可知b=2. 5.一次函数图象的平移 规律：①一次函数图象平移前后k 不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k 值相同.②若向上平移h 单位，则b 值增大h ；若向下平移h 单位，则b 值减小h. 例：将一次函数y=-2x+4的图象向下平移2个单位长度，所得图象的函数关系式为y=-2x+2．知识点三 ：一次函数与方程（组）、不等式的关系6.一次函数与方程一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b （k 、b 是常数，k ≠0）的图象与x 轴交点的横坐标.例：（1）已知关于x 的方程ax+b=0的解为x=1,则函数y=ax+b 与x 轴的交点坐标为（1,0）. （2）一次函数y=-3x+12中，当x＞4时，y 的值为负数．7.一次函数与方程组二元一次方程组 的解⇔两个一次函数y=k 1x+b 和y=k 2x+b 图象的交点坐标. 8.一次函数与不等式 （1）函数y=kx+b 的函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围就是不等式kx+b ＞0的解集（2）函数y=kx+b 的函数值y ＜0时，自变量x 的取值范围就是不等式kx+b ＜0的解集知识点四 ：一次函数的实际应用9.一般步骤 （1）设出实际问题中的变量；（2）建立一次函数关系式； （3）利用待定系数法求出一次函数关系式； （4）确定自变量的取值范围； （5）利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实际意义； （6）做答.一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值.10.常见题型（1）求一次函数的解析式.（2）利用一次函数的性质解决方案问题.第11讲 反比例函数的图象和性质知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例y=k 2x+by=k 1x+b1.反比例函数的概念（1）定义：形如y＝kx(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：①y＝kx；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)例：函数y=3x m+1，当m=－2时，则该函数是反比例函数．2.反比例函数的图象和性质k的符号图象经过象限y随x变化的情况（1）判断点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式；②把点的横、纵坐标相乘，判断其乘积是否等于k.失分点警示（2）反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断.k>0 图象经过第一、三象限（x、y同号）每个象限内，函数y的值随x的增大而减小.k<0 图象经过第二、四象限（x、y异号）每个象限内，函数y的值随x的增大而增大.3.反比例函数的图象特征（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．例：若(a，b)在反比例函数kyx=的图象上，则(－a，－b)在该函数图象上.(填“在"、"不在")4.待定系数法只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数k即可.例：已知反比例函数图象过点（－3，－1），则它的解析式是y=3/x.知识点二：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合5.系数k的几何意义（1）意义：从反比例函数y＝kx(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.（2）常见的面积类型：失分点警示已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k＜0.例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该反比例函数解析式为：3yx=或3yx=-.6.与一次函数的综合（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.涉及与面积有关的问题时，①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；②也要注意系数k的几何意义.例：如图所示，三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为：S△AOC=S△OPE＞S△BOD.知识点三：反比例函数的实际应用7.一般步骤（1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；（2设出函数表达式；（3）依题意求解函数表达式；（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.第12讲二次函数的图象与性质知识点一：二次函数的概念及解析式关键点拨与对应举例13讲二次函数的应用第第四单元图形的初步认识与三角形第14讲平面图形与相交线、平行线第15讲一般三角形及其性质5.三角形中内、外角与角平分线的规律总结如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α=12∠BAC-∠CAE=12(180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=12(∠C-∠B）；如图②，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则有∠O=12∠A+90°；如图③，BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线，则∠O=12∠A，∠O’=12∠O；如图④，BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线，则∠O=90°-12∠A.对于解答选择、填空题，可以直接通过结论解题，会起到事半功倍的效果.知识点二：三角形全等的性质与判定6.全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边、对应角相等．(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等．(3)全等三角形的周长等、面积等．失分点警示：运用全等三角形的性质时，要注意找准对应边与对应角.7.三角形全等的判定一般三角形全等SSS（三边对应相等）SAS（两边和它们的夹角对应相等）ASA（两角和它们的夹角对应相等）AAS（两角和其中一个角的对边对应相等）失分点警示如图，SSA和AAA不能判定两个三角形全等.直角三角形全等(1)斜边和一条直角边对应相等（HL）(2)证明两个直角三角形全等同样可以用SAS,ASA和AAS.8.全等三角形的运用（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等银行条件.（2）全等三角形中的辅助线的作法：①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等.②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS可得△ACD≌△EBD，则AC=BE.在△ABE中，AB+BE＞AE，即AB+AC＞2AD.③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④.例：如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE=3.第16讲等腰、等边及直角三角形知识点一：等腰和等边三角形关键点拨与对应举例1.等腰三角形（1）性质①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB ＝AC ∠B ＝∠C ； ②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合;③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD 是对称轴. （2）判定①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；②等角对等边：即若∠B ＝∠C ，则△ABC 是等腰三角形.（1）三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立. 如：如左图，已知AD ⊥BC,D 为BC 的中点，则三角形的形状是等腰三角形.失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论. 如若等腰三角形ABC 的一个内角为30°，则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°.2.等边三角形 （1）性质①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°. 即AB ＝BC ＝AC ，∠BAC ＝∠B ＝∠C ＝60°； ②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴. （2）判定①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB ＝AC ，且∠B ＝60°，则△ABC 是等边三角形. （1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.（2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=1/2AB.例：△ABC 中，∠B=60°，AB=AC ，BC=3，则△ABC 的周长为9.知识点二 ：角平分线和垂直平分线3.角平分线 （1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若∠1 ＝∠2，PA ⊥OA ，PB ⊥OB ，则PA ＝PB. （2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上．例：如图，△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB 的垂直平分线交AC 于D ，交AB 于E ，CD=2，则AC=6.4.垂直平分线图形 （1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP 垂直且平分AB ，则PA ＝PB.（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 知识点三：直角三角形的判定与性质5.直角三角形的性质(1)两锐角互余.即∠A ＋∠B ＝90°； (2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B ＝30°则AC ＝12AB ；(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD 是中线，则CD ＝12AB. (4)勾股定理：两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方．即 a 2＋b 2＝c 2 .（1）直角三角形的面积S=1/2ch=1/2ab(其中a,b 为直角边，c 为斜边，h 是斜边上的高)，可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题.（2）已知两边，利用勾股定理求长度，若斜边不明确，应分类讨论.（3）在折叠问题中，求长度，往往需要结合勾股定理来列方程解决.6.直角三角形的判定 (1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C ＝90°，则△ABC 是Rt △； (2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．即若AD ＝BD ＝CD ，则△ABC 是Rt △(3) 勾股定理的逆定理：若a 2＋b 2＝c 2，则△ABC 是Rt △.第17讲 相似三角形十六、 知识清单梳理知识点一：比例线段关键点拨与对应举例21P COBAPC OBAD ABCa bc DABCa bc1. 比例线段 在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a cb d=，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．列比例等式时，注意四条线段的大小顺序，防止出现比例混乱.2.比例的基本性质(1)基本性质：a cb d=⇔ ad ＝bc ；（b 、d ≠0）(2)合比性质：a c b d =⇔a b b ±＝c dd ±；（b 、d ≠0） (3)等比性质：a cb d =＝…＝mn＝k (b ＋d ＋…＋n ≠0)⇔ ......a c mb d n++++++＝k .（b 、d 、···、n ≠0）已知比例式的值，求相关字母代数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中 的一个表示出其他的字母，再代入求解.如下题可设a=3k,b=5k ,再代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b 代入求解. 例：若35a b =，则a b b+=85.3.平行线分线段成比例定理（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l 3∥l 4∥l 5，则AB DEBC EF=. 利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时，注意根据图形列出比例等式，灵活运用比例基本性质求解. 例：如图，已知D ，E 分别是△ABC 的边BC 和AC 上的点，AE=2，CE=3，要使DE ∥AB ，那么BC ：CD 应等于53.（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB ∥CD ，则OA OBOD OC =. （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．如图所示，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC.4.黄金分割点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果ACAB＝=5－12≈0.618，那么线段AB 被点C 黄金分割．其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．例：把长为10cm 的线段进行黄金分割，那么较长线段长为5(5－1)cm ．知识点二 ：相似三角形的性质与判定5.相似三角形的判定(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA).如图，若∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，则△ABC ∽△DEF.判定三角形相似的思路：①条件中若有平行 线，可用平行线找出相等的角而判定；②条 件中若有一对等角，可再找一对等角或再找 夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中 若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件 中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证 明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有 等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等 或找底、腰对应成比例.(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A ＝∠D ，AC ABDF DE=，则△ABC ∽△DEF.(3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若AB AC BCDE DF EF==，则△ABC ∽△DEF. 6.相似三角形的性质(1)对应角相等，对应边成比例．(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． (3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．例：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC 的周长为3，△DEF 的周长为2，则△ABC 与△DEF 的面积之比为9：4.(2) 如图，DE ∥BC ， AF ⊥BC,已知S △ADE:S △ABC=1:4，则AF:AG =1：2.F E D CBA l 5l 4l 3l 2l 1ODCBAED CBAFE DC BAFE DC B AFE DC B A7.相似三角形的基本模型（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，可以迅速找到解题思路，事半功倍.（2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果.第18讲解直角三角形知识点一：锐角三角函数的定义关键点拨与对应举例1.锐角三角函数正弦: sin A＝∠A的对边斜边＝ac余弦: cos A＝∠A的邻边斜边＝bc正切: tan A＝∠A的对边∠A的邻边＝ab.根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.2.特殊角的三角函数值度数三角函数30°45°60°sinA122232 cosA322212 tanA331 3知识点二：解直角三角形3.解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.例：在Rt△ABC中，已知a=5,sinA=30°，则c=10,b=5.4.解直角三角形的常用关系(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；(3)边角之间的关系：sin A＝=cosB=ac，cos A＝sinB=bc，tan A＝ab.知识点三：解直角三角形的应用5.仰角、俯角、坡度、坡角和方向(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα. （如图②）解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：（1）叠合式（2）背靠式角(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O 出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.6.解直角三角形实际应用的一般步骤 (1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； (2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．第五单元 四边形第19讲 多边形与平行四边形知识点一：多边形关键点拨与对应举例 1.多边形的相关概念 （1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．（2）对角线：从n 边形的一个顶点可以引(n －3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n －2)个三角形；n 边形对角线条数为()32n n -． 多边形中求度数时，灵活选择公式求度数，解决多边形内角和问题时，多数列方程求解. 例：(1)若一个多边形的内角和为1440°，则这个多边形的边数为10．(2)从多边形的一个顶点出发引对角线，可以把这个多边形分割成7个三角形，则该多边形为九边形．2.多边形的内角和、外角和 ( 1 ) 内角和：n 边形内角和公式为(n －2)·180°（2）外角和：任意多边形的外角和为360°.3.正多边形（1）定义：各边相等，各角也相等的多边形.（2）正n 边形的每个内角为()2180n n -⋅，每一个外角为360°/n.( 3 ) 正n 边形有n 条对称轴.（4）对于正n 边形，当n 为奇数时，是轴对称图形；当n 为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形.知识点二 ：平行四边形的性质4.平行四边形的定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“□”表示.利用平行四边形的性质解题时的一些常用到的结论和方法： （1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半. （2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题. （3）过平行四边形对5.平行四边形的性质（1） 边：两组对边分别平行且相等.即AB ∥CD 且AB ＝CD ，BC ∥AD 且AD ＝BC.（2）角：对角相等，邻角互补.即∠BAD ＝∠BCD ，∠ABC ＝∠ADC ， ∠ABC ＋∠BCD ＝180°，∠BAD ＋∠ADC ＝180°.（3）对角线：互相平分.即OA ＝OC ，OB ＝OD（4）对称性：中心对称但不是轴对称.ODCBA。
中考数学第1讲 实数(含答案)
第1讲 实数【回顾与思考】（1）实数的有关概念{}⎧⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎭⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数有尽小数或无尽循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无尽不循环小数 负无理数①实数： 和 统称实数， 和数轴上的点是一一对应．．．．的。
（即：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。
） ②有理数: 和 的统称.任何一个有绿树都可以写成分数pq的形式，其中p 和q 是整数且最大公约数是1。
③无理数：无限 叫无理数，常见的有三类：① ；② ；③ ；④对实数进行分类，应先 ，后 。
(2)数轴：规定了 、 和 的直线叫做数轴(画数轴时，要注童上述规定的三要素缺一个不可)。
和数轴上的点是一一对应．．．．的。
（即：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。
）(3)相反数： 实数的相反数是一对数(只有 的两个数，叫做互为相反数，零的相反数是 )． 从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于 对称．(4)绝对值①从数轴上看，一个数的绝对值就是 的距离。
⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(||a a a a a a②一个正数的绝对值是 ，一个负数的绝对值是 ，零的绝对值是 。
(5)倒数： 实数a(a ≠0)的倒数是 (乘积为1的两个数，叫做互为倒数)；零 倒数．（6）平方根：如果 ,即 ，那么这个数x 叫做做a 的平方根（也叫二次方根）。
一个正数有 平方根，且互为相反数；0的平方根是 ；负数 平方根。
（7）算术平方根：如果 ，即 ，那么这个正数x 叫做a 的算．术．平方根，即x a =；特别规定0的算术平方根是 。
即00=。
（8）立方根：如果一个数x 的立方等于a ，即x 3=a ，那么这个数x 叫做a 的立方根（也叫三次方根），一个正数的立方根是 ；0的立方根是 ；负数的立方根是 。
九年级数学知识点归纳总结实数
九年级数学知识点归纳总结实数实数是数学中一个重要的概念，它包含了有理数和无理数。
在九年级数学中，我们学习了很多与实数相关的知识点。
本文将对这些知识点进行归纳总结，以帮助同学们更好地理解和掌握实数概念。
一、实数的分类实数可以分为有理数和无理数两大类。
有理数是可以用两个整数的比表示的数，包括正整数、负整数、零以及正、负分数等。
无理数是不能表示成两个整数的比的数，如π、√2等。
二、实数的表示实数可以用小数、分数和百分数表示。
小数是将数用十进制形式表示，可以是有限位数的小数，也可以是无限循环小数。
分数是用分子和分母表示的数，分子分母都是整数且分母不为零。
百分数是百分数与百分号（%）组成的数，表示百分之几。
三、实数的运算1. 实数的加法和减法：实数的加法是满足交换律、结合律和对加法逆元素的封闭性。
减法可以看作加法的逆运算。
2. 实数的乘法和除法：实数的乘法是满足交换律、结合律和对乘法逆元素的封闭性。
除法可以看作乘法的逆运算。
3. 实数的乘方和开方：实数的乘方是将实数连乘若干次的运算，记作an。
实数的开方是指找到一个数的平方等于该数的运算。
四、实数的性质1. 实数大小比较：实数可以通过大小比较运算符进行大小比较，如大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）和小于等于（≤）。
2. 实数的相反数和绝对值：实数a的相反数是-b，满足a + (-b) = 0。
实数的绝对值表示数与0之间的距离，用|a|表示，如果a≥0，则|a|=a；如果a<0，则|a|=-a。
3. 实数的数轴表示：实数可以用数轴上的点来表示，其中0代表原点，正数向右延伸，负数向左延伸。
4. 实数的有序性：实数在数轴上是有序排列的，即可以通过大小比较来确定其顺序关系。
五、实数的应用实数在日常生活和实际问题中有广泛的应用：1. 金融领域：利率、股票价格、汇率等都是实数，它们的增长和变动可以通过实数的运算和比较来计算和预测。
2. 科学研究：物理学中的物理量、化学中的化学反应速率、生物学中的物种丰富度等都与实数密切相关。
中考数学复习数与式知识点总结
中考数学复习数与式知识点总结第一部分：教材知识梳理-系统复第一单元：数与式第1讲：实数知识点一：实数的概念及分类1.实数是按照定义和正负性来分类的。
其中，既不属于正数也不属于负数的数是零。
无理数有几种常见形式：含π的式子是正有理数；无限不循环小数是无理数；开方开不尽的数是无理数；三角函数型的数是实数。
有理数包括正有理数、负有理数和零。
负无理数和正无理数的定义很明确。
2.在判断一个数是否为无理数时，需要注意开得尽方的含根号的数属于无理数，而开得尽的数属于有理数。
3.数轴有三个要素：原点、正方向和单位长度。
实数与数轴上的点一一对应，数轴右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。
4.相反数是具有相反符号的两个数，它们的和为0.数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等。
5.绝对值是一个数到原点的距离。
它有非负性，即绝对值大于等于0.若|a|+b2=0，则a=b=0.绝对值等于该数本身的数是非负数。
知识点二：实数的相关概念2.数轴是一个直线，用来表示实数。
数轴上的每个点都对应着一个实数，反之亦然。
3.相反数是具有相反符号的两个数，它们的和为0.4.绝对值是一个数到原点的距离。
它有非负性，即绝对值大于等于0.5.倒数是乘积为1的两个数互为倒数。
a的倒数是1/a(a≠0)。
6.科学记数法是一种表示实数的方法，其中1≤|a|＜10，n为整数。
确定n的方法是：对于数位较多的大数，n等于原数的整数位减去1；对于小数，写成a×10n，1≤|a|＜10，n等于原数中左起至第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前面的一个）。
7.近似数是一个与实际数值很接近的数。
它的精确度由四舍五入到哪一位来决定。
例：用科学记数法表示为2.1×104.19万用科学记数法表示为1.9×10^5，0.0007用科学记数法表示为7×10^-4.知识点三：科学记数法、近似数科学记数法是一种表示极大或极小数的方法，它的基本形式是a×10^n，其中1≤a<10，n为整数。
初三数学复习实数知识点梳理
初三数学复习实数知识点梳理实数是数系中的一种数，包括整数、有理数和无理数。
在初三数学中，实数是一个重要的考点。
为了帮助同学们复习实数知识点，下面对实数相关的概念、性质和运算进行了梳理和总结。
一、实数的分类实数可以分为有理数和无理数两类。
有理数指的是可以表示为两个整数的比值（分数）的数，而无理数指的是无法表示为两个整数的比值的数。
二、实数的表示方法1. 小数表示法有限小数：有限位数的小数，例如0.5、0.25等。
无限循环小数：有一段数字循环出现的小数，例如0.3333...、0.6666...等。
无限不循环小数：没有一段数字循环出现的小数，例如π、√2等。
2. 分数表示法分数表示法是将一个数表示为两个整数的比值。
例如，3/4表示三除以四的结果。
3. 开方表示法开方表示法是用根号√来表示一个数的平方根。
例如，√9表示9的平方根，结果为3。
三、实数的性质1. 有理数的性质：（1）有理数可以进行四则运算，包括加法、减法、乘法和除法。
（2）有理数的乘积仍然是有理数。
（3）有理数的和、差、积和商都是有理数，除非被除数为零。
2. 无理数的性质：（1）无理数与有理数相加、相减、相乘、相除的结果通常是无理数。
（2）无理数与无理数相加、相减、相乘、相除的结果通常是无理数。
3. 实数的比较：实数之间可以进行大小的比较，可以使用大小符号来表示。
例如，对于任意的两个实数a和b，如果a大于b，则记作a > b；如果a小于b，则记作a < b；如果a等于b，则记作a = b。
四、实数的运算1. 实数的加法：实数的加法满足交换律和结合律，即对于任意的实数a、b、c，有：（1）交换律：a + b = b + a（2）结合律：(a + b) + c = a + (b + c)2. 实数的减法：实数的减法可以看作是加法的逆运算，即a - b = a + (-b)，其中- b表示b的相反数。
3. 实数的乘法：实数的乘法满足交换律和结合律，即对于任意的实数a、b、c，有：（1）交换律：a × b = b × a（2）结合律：(a × b) × c = a × (b × c)4. 实数的除法：实数的除法可以看作是乘法的逆运算，即a ÷ b = a × (1/b)，其中1/b 表示b的倒数。
最新人教版初中九年级下册数学【总复习第一讲 实数】教学课件
7、(2019河南）成人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克.
数据“0.0000046”用科学记数法表示为( C )
（A）46×10-7
（B）4.6×10-7
（C）4.6×10-6
（D）0.46×10-5
知识点4：平方根、算术平方根、立方根
即时演练
8、16的平方根是±4 ，算术平方根是 4 ，－27的立方根是 －3 ；
)
（C）
1
6
（D）1 6
4、(2019玉林) 9的倒数是 ( A )
1
（A）
9
（B） 1 9
（C）9
（D）－9
5、(2017广州)如图，数轴上两点A，B表示的数互为相反数，则点）6
（C）0
（D）无法确定
知识点3：科学记数法与近似数
1. 科学记数法 把一个数记成 a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，且
n为整数．
2. 近似数 一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数
精确到哪一位．
即时演练
6、(2019广东)某网店2019年“母亲节”这天的营业额为 221 000元，将数221 000用科学记数法表示为( B )
（A）2.21×106
（B）2.21×105
（C）221×103
（D）0.221×106
本节课复习的主要内容
1、实数的相关概念; 2、实数的大小比较; 3、实数的运算。
知识点1：实数的分类
正整数
整数零
有理数 负整数
实数
分数负正分分数数
无理数负正无无理理数数
即时演练
1、（2019桂林）若海平面以上1045米，记作＋1045米，则海 平面以下155米，记作（ B ）
初三年级的下册数学知识要点：实数
初三年级的下册数学知识重点：实数查字典数学网小编为大家整理了初三年级的下册数学知识重点：实数。
希望大家可以认真阅读。
实数★ 重点★ 实数的有关看法及性质，实数的运算☆ 内容纲要☆一、重要看法1.数的分类及看法数系表：说明：分类的原则：1)相当 (不重、不漏 )2)有标准2.非负数：正实数与零的统称。
(表为： x0)常有的非负数有：性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。
3.倒数：①定义及表示法②性质： A.a1/a(a1);B.1/a 中， aC.04.相反数：①定义及表示法②性质：A.a0 时，aB.a 与-a 在数轴上的地址;C.和为 0,商为 -1。
5.数轴：①定义 (三要素 )②作用：A.直观地比较实数的大小;B. 明确表现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。
6.奇数、偶数、质数、合数(正整数自然数)定义及表示：奇数： 2n-1偶数： 2n(n 为自然数 )7.绝对值：①定义(两种 )：代数定义：几何定义：数 a 的绝对值顶的几何意义是实数 a 在数轴上所对应的点到原点的距离。
② │a│0,符号││是非负数的标志;③数 a 的绝对值只有一个;④办理任何种类的题目，只要其中有││出现，其重点一步是去掉││符号。
二、实数的运算1.运算法规 (加、减、乘、除、乘方、开方 )2.运算定律 (五个加法 [ 乘法 ] 交换律、结合律 ;[乘法对加法的 ]分配律 )3.运算序次： A. 高级运算到初级运算 ;B.(同级运算 )从左到右 (如 5 C.(有括号时 )由小到中到大。
三、应用举例 (略)附：典型例题1.已知：a、b、x 在数轴上的地址以以下图，求证：│x-a│ +│x-b│=b-a.家庭是少儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好少儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好少儿阅读的要求。
我把少儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传达给家长，要求孩子回家向家长朗诵儿歌，表演故事。
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人教版初三数学实数知识点讲解为了丰富同学们的学习生活，查字典数学网初中频道搜集整理了人教版初三数学实数知识点讲解，供大家参考，希望对大家有所帮助!人教版初三数学实数知识点讲解第一章实数★重点★ 实数的有关概念及性质，实数的运算☆内容提要☆一、重要概念1.数的分类及概念数系表：说明：分类的原则：1)相称(不重、不漏)2)有标准2.非负数：正实数与零的统称。
(表为：x0)常见的非负数有：性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。
3.倒数：①定义及表示法②性质：A.a1/a(a1);B.1/a中，aa1时，1/aD.积为1。
4.相反数：①定义及表示法②性质：A.a0时，aB.a与-a在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。
5.数轴：①定义(三要素)②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。
6.奇数、偶数、质数、合数(正整数自然数)定义及表示：奇数：2n-1偶数：2n(n为自然数)7.绝对值：①定义(两种)：代数定义：几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。
②│a│0,符号││是非负数的标志;③数a的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，只要其中有││出现，其关键一步是去掉││符号。
二、实数的运算1. 运算法则(加、减、乘、除、乘方、开方)2. 运算定律(五个加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的]分配律)3. 运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.(同级运算)从左到右(如5 C.(有括号时)由小到中到大。
三、应用举例(略)附：典型例题1. 已知：a、b、x在数轴上的位置如下图，求证：│x-a│+│x-b│=b-a.2.已知：a-b=-2且ab0，(a0，b0)，判断a、b的符号。
第1讲 实 数
8 ．光年是天文学中的距离单位， 1 光年大约是 9 500 000 000 000 km，这个数据用科学记数法表示是 ( B ) A．0.95×1013 km C．95×10 km
11
B．9.5×1012 km D．9.5×10 km
13
解析：9 500 000 000 000 是 13 位整数，故用科学 记数法表示时，a＝9.5，n＝12， 即 9 500 000 000 000＝9.5×10 .故选 B.
20．(2014· 鄂州) 4的算术平方根为
2
.
解析： 4＝2，故 4的算术平方根为 2.
355 3 π 21．实数 ， 7，－8， 8， 36， 中的无理数 113 3 是 .
355 解析： 是分数，它是有理数； 7是开方开不尽 113 的数，它是无理数；－8 是负整数，它是有理数； 8＝ π 2，它是有理数； 36＝6，它是整数，不是无理数； 是 3 圆周率的三分之一，仍然是无限不循环小数，它是无 π 理数．所以无理数有 7， . 3 答案： π 7， 3
4．绝对值 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做 数a的绝对值，记作|a|. 一个正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负
数的绝对值是它的相反数，即|a|＝0 a＝0， －a a＜0.
a
a＞0，
温馨提示： 1.绝对值是a a＞0的数有两个，它们互为相反 数，即± a. 2.绝对值相等的两个数相等或互为相反数，即若 |a|＝|b|，则a＝b或a＋b＝0. 3.任意实数的绝对值都是非负数，即|a|≥0.
3
3
温馨提示： 1.在应用 x2＝a 时，一定不要忘记 a≥0. 2.平方根包含算术平方根， 算术平方根是平方根中 的一个，只有非负数才有平方根和算术平方根. 3.正数的立方根是正数，负数的立方根是负数， 0 的立方根是 0. 4.平方根等于它本身的数是 0，算术平方根等于它 本身的数是 0 和 1，立方根等于它本身的数是 0 和± 1.
初三年级的下册数学知识要点：实数
初三年级的下册数学知识要点：实数查字典数学网小编为大家整理了初三年级的下册数学知识要点：实数。
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实数★重点★ 实数的有关概念及性质，实数的运算☆内容提要☆一、重要概念1.数的分类及概念数系表：说明：分类的原那么：1)相称(不重、不漏)2)有规范2.非正数：正实数与零的统称。
(表为：x0)罕见的非正数有：性质：假定干个非正数的和为0，那么每个非担负数均为0。
3.倒数：①定义及表示法②性质：A.a1/a(a1);B.1/a中，aC.04.相反数：①定义及表示法②性质：A.a0时，aB.a与-a在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。
5.数轴：①定义(三要素)②作用：A.直观地比拟实数的大小;B.明白表达相对值意义;C.树立点与实数的逐一对应关系。
6.奇数、偶数、质数、合数(正整数自然数)定义及表示：奇数：2n-1偶数：2n(n为自然数)7.相对值：①定义(两种)：代数定义：几何定义：数a的相对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。
②│a│0,符号││是非正数的标志;③数a的相对值只要一个;④处置任何类型的标题，只需其中有││出现，其关键一步是去掉││符号。
二、实数的运算1. 运算法那么(加、减、乘、除、乘方、开方)2. 运算定律(五个加法[乘法]交流律、结合律;[乘法对加法的]分配律)3. 运算顺序：A.初级运算到低级运算;B.(同级运算)从左到右(如5 C.(有括号时)由小到中到大。
三、运用举例(略)附：典型例题1. ：a、b、x在数轴上的位置如以下图，求证：│x-a│+│x-b│=b-a.2.：a-b=-2且ab0，(a0，b0)，判别a、b的符号。
以上是由查字典数学网为大家整理的初三年级的下册数学知识要点：实数，假设您觉得有用，请继续关注查字典数学网。
初三数学知识点归纳之第一章实数
初三数学知识点归纳之第一章实数除了课堂上的学习外,数学知识点也是学生提高数学成绩的重要途径，本文为大家提供了初三数学知识点归纳之第一章实数，希望对大家的学习有一定帮助。
★重点★ 实数的有关概念及性质，实数的运算☆内容提要☆【一】重要概念1.数的分类及概念数系表：说明：分类的原那么：1)相称(不重、不漏)2)有标准2.非负数：正实数与零的统称。
(表为：x0)常见的非负数有：性质：假设干个非负数的和为0，那么每个非负担数均为0。
3.倒数：①定义及表示法②性质：A.a1/a(a1);B.1/a中，aa1时，1/aD.积为1。
4.相反数：①定义及表示法②性质：A.a0时，aB.a与-a在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。
5.数轴：①定义(三要素)②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确表达绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。
6.奇数、偶数、质数、合数(正整数自然数)定义及表示：奇数：2n-1偶数：2n(n为自然数)7.绝对值：①定义(两种)：代数定义：几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。
②│a│0,符号││是非负数的标志;③数a的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，只要其中有││出现，其关键一步是去掉││符号。
【二】实数的运算1. 运算法那么(加、减、乘、除、乘方、开方)2. 运算定律(五个加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的] 分配律)3. 运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.(同级运算)从左到右(如5 C.(有括号时)由小到中到大。
【三】应用举例(略)附：典型例题1. ：a、b、x在数轴上的位置如以下图，求证：│x-a│+│x-b│=b-a.2.：a-b=-2且ab0，(a0，b0)，判断a、b的符号。
小编为大家整理的初三数学知识点归纳之第一章实数相关内容大家一定要牢记，以便不断提高自己的数学成绩，祝大家学习愉快!。
新人教版初中数学九年级下册第1讲 实数
（3）非负性：|a|≥0，若|a|+b2=0则a=b=0
（1）若||=a（a≥0），则=±a
（2）对绝对值等于它本身的数是非负数
例：5的绝对值是5；|-2|=2；绝对值等于3的是±3;|1-|=-1
5倒数
（1）概念：乘积为1的两个数互为倒数a的倒数为1/a(a≠0)
（2）代数意义：ab=1ab互为倒数
8实数的大小比较
（1）数轴比较法：数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大
（2）性质比较法：正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小
（3）作差比较法：a-b＞0a＞b；a-b=0a=b；a-b＜0a＜b
（4）平方法：a＞b≥0a2＞b2
例：
把1，-20，-23按从大到小的顺序排列结果为___1＞0＞-2＞-23_
第一部分教材知识梳理·系统复习
第一单元数与式
第1讲实数
知识点一：实数的概念及分类
关键点拨及对应举例
1实数
（1）按定义分（2）按正、负性分
正有理数
有理数0有限小数或正实数
负有理数无限循环小数实数0
实数
正无理数负实数
无理数无限不循环小数
负无理数
（1）0既不属于正数，也不属于负数
（2）无理数的几种常见形式判断：①含π的式子；②构造型：如3010010001…（每两个1之间多个0）就是一个无限不循环小数；③开方开不尽的数：如，；④三角函数型：如sin60°，tan25°
零次幂
a0=_1_(a≠0)
负指数幂
a-p=1/ap（a≠0，p为整数）
平方根、
算术平方根
若2=a（a≥0）则= 其中 是算术平方根
立方根
【人教版】九年级数学下册中考知识点梳理：第1讲 实数
知识点二：实数的相关概念
2.数轴
（1）三要素：原点、正方向、单位长度
（2）特征：实数与数轴上的点一一对应；数轴右边的点表示的数总比左边的点表示的数大
例：
数轴上-2.5表示的点到原点的距离是2.5.
3.相反数
（1）概念：只有符号不同的两个数
例：
21000用科学记数法表示为2.1×104；
19万用科学记数法表示为1.9×105；0.0007用科学记数法表示为7×10-4.
7.近似数
（1）定义：一个与实际数值很接近的数.
（2）精确度：由四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.
例：
3.14159精确到百分位是3.14；精确到0.001是3.142.
零次幂
a0=_1_(a≠0)
负指数幂
a-p=1/ap（a≠0，p为整数）
平方根、
算术平方根
若x2=a（a≥0）,则x= .其中 是算术平方根.
立方根
若x3=a,则x= .
10.混合运算
先乘方、开方，再乘除，最后加减；同级运算，从左
向右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、
中括号、大括号一次进行.计算时，可以结合运算律，
知识点四：实数的大小比较
8.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数的大小比较
（1）数轴比较法：数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大.
（2）性质比较法：正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小.
（3）作差比较法：a-b＞0a＞b；a-b=0a=b；a-b＜0a＜b.
（4）平方法：a＞b≥0a2＞b2.
例：
把1，-2,0，-2.3按从大到小的顺序排列结果为___1＞0＞-2＞-2.3_.
2019【人教版】九年级数学下册：全册中考知识点梳理(共27讲)-优选.doc
第一部分教材知识梳理·系统复习第一单元数与式第1讲实数第2讲整式与因式分解一、知识清单梳理第3讲分式二、知识清单梳理第4讲二次根式三、知识清单梳理第二单元方程(组)与不等式(组)第5讲一次方程(组) 四、知识清单梳理第6讲一元二次方程五、知识清单梳理第7讲分式方程六、知识清单梳理第8讲一元一次不等式(组)七、知识清单梳理知识点一：不等式及其基本性质关键点拨及对应举例1.不等式的相关概念（1）不等式：用不等号(＞，≥，＜，≤或≠)表示不等关系的式子.（2）不等式的解：使不等式成立的未知数的值.（3）不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围.例：“a与b的差不大于1”用不等式表示为a－b≤1.2.不等式的基本性质性质1：若a＞b,则 a±c>b±c；性质2：若a＞b,c>0，则ac>bc，ac>bc；性质3：若a＞b,c<0，则ac<bc，ac<bc.牢记不等式性质3，注意变号.如：在不等式－2x＞4中，若将不等式两边同时除以－2，可得x＜2.知识点二：一元一次不等式3.定义用不等号连接，含有一个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式. 例：若230mmx++>是关于x的一元一次不等式，则m的值为-1.4.解法（1）步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1.失分点警示系数化为1时，注意系数的正负性，若系数是负数，则不等式改变方向.（2）解集在数轴上表示:x≥a x＞a x≤a x＜a知识点三：一元一次不等式组的定义及其解法5.定义由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．（1）在表示解集时“≥”，“≤”表示含有，要用实心圆点表示；“＜”，“＞”表示不包含要用空心圆点表示．（2）已知不等式（组）的解集情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式（组）解集的定义，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.如：已知不等式（a-1）x＜1-a 的解集是x＞-1，则a的取值范围是a＜1.6.解法先分别求出各个不等式的解集，再求出各个解集的公共部分7.不等式组解集的类型假设a＜b解集数轴表示口诀x ax b≥⎧⎨≥⎩x≥b大大取大x ax b≤⎧⎨≤⎩x≤a小小取小x ax b≥⎧⎨≤⎩a≤x≤b大小，小大中间找x ax b≤⎧⎨≥⎩无解大大，小小取不了知识点四：列不等式解决简单的实际问题8.列不等式解应用题（1）一般步骤：审题；设未知数；找出不等式关系；列不等式；解不等式；验检是否有意义.（2）应用不等式解决问题的情况：a.关键词：含有“至少（≥）”、“最多（≤）”、“不低于（≥）”、“不高于（≤）”、“不大（小）于”、“超过（＞）”、“不足（＜）”等；b.隐含不等关系：如“更省钱”、“更划算”等方案决策问题，一般还需根据整数解，得出最佳方案注意：列不等式解决实际问题中，设未知数时，不应带“至少”、“最多”等字眼，与方程中设未知数一致.第9讲平面直角坐标系与函数八、知识清单梳理知识点一：平面直角坐标系关键点拨及对应举例1.相关概念（1）定义：在平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系．（2）几何意义：坐标平面内任意一点M与有序实数对(x，y)的关系是一一对应．点的坐标先读横坐标(x 轴)，再读纵坐标(y轴).2.点的坐标特征( 1 )各象限内点的坐标的符号特征（如图所示）：点P(x,y)在第一象限⇔x＞0，y＞0；点P(x,y)在第二象限⇔x＜0，y＞0；点P（x,y）在第三象限⇔x＜0，y＜0；点P（x,y）在第四象限⇔x＞0，y＜0.（2）坐标轴上点的坐标特征：①在横轴上⇔y＝0；②在纵轴上⇔x＝0；③原点⇔x＝0，y＝0.（3）各象限角平分线上点的坐标①第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；②第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数（4）点P（a,b）的对称点的坐标特征：①关于x轴对称的点P1的坐标为(a，－b)；②关于y轴对称的点P2的坐标为(－a，b)；③关于原点对称的点P3的坐标为(－a，－b)．（5）点M（x,y）平移的坐标特征：M（x,y）M1(x+a,y)M2(x+a,y+b)（1）坐标轴上的点不属于任何象限.（2）平面直角坐标系中图形的平移，图形上所有点的坐标变化情况相同.（3）平面直角坐标系中求图形面积时，先观察所求图形是否为规则图形，若是，再进一步寻找求这个图形面积的因素，若找不到，就要借助割补法，割补法的主要秘诀是过点向x轴、y轴作垂线，从而将其割补成可以直接计算面积的图形来解决.3.坐标点的距离问题（1）点M(a,b)到x轴，y轴的距离：到x轴的距离为|b|；)到y轴的距离为|a|．（2）平行于x轴，y轴直线上的两点间的距离：点M1(x1,0)，M2(x2,0)之间的距离为|x1－x2|，点M1(x1，y)，M2(x2，y)间的距离为|x1－x2|；点M1(0，y1)，M2(0，y2)间的距离为|y1－y2|，点M1(x，y1)，M2(x，y2)间的距离为|y1－y2|．平行于x轴的直线上的点纵坐标相等；平行于y轴的直线上的点的横坐标相等.知识点二：函数4.函数的相关概念（1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做变量．（2）函数：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称x是自变量，y是x的函数．函数的表示方法有：列表法、图像法、解析法.（3）函数自变量的取值范围：一般原则为：整式为全体实数；分式的分母不为零；二次根式的被开方数为非负数；使实际问题有意义．失分点警示函数解析式，同时有几个代数式，函数自变量的取值范围应是各个代数式中自变量的公共部分. 例：函数y=35xx+-中自变量的取值范围是x≥-3且x≠5.5.函数的图象（1）分析实际问题判断函数图象的方法：①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点；②找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；③判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向.（2）以几何图形（动点）为背景判断函数图象的方法：①设时间为t（或线段长为x），找因变量与t(或x)之间存在的函数关系，用含t(或x)的式子表示，再找相应的函数图象.要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围.读取函数图象增减性的技巧：①当函数图象从左到右呈“上升”（“下降”）状态时，函数y随x的增大而增大（减小）；②函数值变化越大，图象越陡峭；③当函数y值始终是同一个常数，那么在这个区间上的函数图象是一条平行于x轴的线段.第10讲一次函数xy第四象限(＋，－)第三象限(－，－)第二象限(－，＋)第一象限(＋，＋)–1–2–3123–1–2–3123O九、知识清单梳理知识点一：一次函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.一次函数的相关概念（1）概念：一般来说，形如y＝kx＋b(k≠0)的函数叫做一次函数．特别地，当b ＝0时，称为正比例函数．（2）图象形状：一次函数y＝kx＋b是一条经过点（0,b）和（-b/k,0）的直线.特别地，正比例函数y＝kx的图象是一条恒经过点（0,0）的直线.例：当k＝1时，函数y＝kx＋k－1是正比例函数,2.一次函数的性质k，b符号K＞0，b＞0K＞0，b＜0K＞0，b=0 k<0，b>0k<0，b<0k<0，b＝0 （1）一次函数y=kx+b中，k确定了倾斜方向和倾斜程度，b确定了与y轴交点的位置.（2）比较两个一次函数函数值的大小：性质法，借助函数的图象，也可以运用数值代入法.例：已知函数y=－2x＋b，函数值y随x的增大而减小(填“增大”或“减小”)．大致图象经过象限一、二、三一、三、四一、三一、二、四二、三、四二、四图象性质y随x的增大而增大y随x的增大而减小3.一次函数与坐标轴交点坐标(1)交点坐标：求一次函数与x轴的交点，只需令y=0,解出x即可；求与y轴的交点，只需令x=0,求出y即可.故一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴的交点是⎝⎛⎭⎫－bk，0，与y轴的交点是(0，b)；(2)正比例函数y＝kx(k≠0)的图象恒过点(0，0)．例：一次函数y＝x＋2与x轴交点的坐标是（-2,0），与y轴交点的坐标是（0,2）.知识点二：确定一次函数的表达式4.确定一次函数表达式的条件（1）常用方法：待定系数法，其一般步骤为：①设：设函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)；②代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组；③解：求出k与b的值，得到函数表达式．（2）常见类型：①已知两点确定表达式；②已知两对函数对应值确定表达式；③平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可.(1)确定一次函数的表达式需要两组条件，而确定正比例函数的表达式，只需一组条件即可.(2)只要给出一次函数与y轴交点坐标即可得出b的值,b值为其纵坐标，可快速解题. 如:已知一次函数经过点（0,2），则可知b=2.5.一次函数图象的平移规律：①一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同.②若向上平移h单位，则b值增大h；若向下平移h单位，则b值减小h.例：将一次函数y=-2x+4的图象向下平移2个单位长度，所得图象的函数关系式为y=-2x+2．知识点三：一次函数与方程（组）、不等式的关系6.一次函数与方程一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象与x轴交点的横坐标.例：（1）已知关于x的方程ax+b=0的解为x=1,则函数y=ax+b与x轴的交点坐标为（1,0）.（2）一次函数y=-3x+12中，当x ＞4时，y的值为负数．7.一次函数与方程组二元一次方程组的解⇔两个一次函数y=k1x+b 和y=k2x+b图象的交点坐标.8.一次函数与不等式（1）函数y=kx+b的函数值y＞0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＞0的解集（2）函数y=kx+b的函数值y＜0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＜0的解集知识点四：一次函数的实际应用9.一般步骤（1）设出实际问题中的变量；（2）建立一次函数关系式；一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值y=k2x+b y=k1x+b（3）利用待定系数法求出一次函数关系式；（4）确定自变量的取值范围；（5）利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实际意义；（6）做答. 往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值.10.常见题型（1）求一次函数的解析式.（2）利用一次函数的性质解决方案问题.第11讲反比例函数的图象和性质十、知识清单梳理知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.反比例函数的概念（1）定义：形如y＝kx(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：①y＝kx；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)例：函数y=3x m+1，当m=－2时，则该函数是反比例函数．2.反比例函数的图象和性质k的符号图象经过象限y随x变化的情况（1）判断点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式；②把点的横、纵坐标相乘，判断其乘积是否等于k.失分点警示（2）反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断.k>0 图象经过第一、三象限（x、y同号）每个象限内，函数y的值随x的增大而减小.k<0 图象经过第二、四象限（x、y异号）每个象限内，函数y的值随x的增大而增大.3.反比例函数的图象特征（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．例：若(a，b)在反比例函数kyx=的图象上，则(－a，－b)在该函数图象上.(填“在"、"不在")4.待定系数法只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数k即可.例：已知反比例函数图象过点（－3，－1），则它的解析式是y=3/x.知识点二：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合5.系数k的几何意义（1）意义：从反比例函数y＝kx(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.（2）常见的面积类型：失分点警示已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k＜0.例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该反比例函数解析式为：3yx=或3yx=-.6.与一次函数的综合（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解涉及与面积有关的问题时，①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；②也要注意系数k的几何意义.（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围. 例：如图所示，三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为：S△AOC=S△OPE ＞S△BOD.知识点三：反比例函数的实际应用7.一般步骤（1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；（2设出函数表达式；（3）依题意求解函数表达式；（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.第12讲二次函数的图象与性质十一、知识清单梳理知识点一：二次函数的概念及解析式关键点拨与对应举例1.一次函数的定义形如y＝ax2＋bx＋c (a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.例：如果函数y=(a－1)x2是二次函数，那么a的取值范围是a≠0.2.解析式（1）三种解析式：①一般式：y=ax2+bx+c;②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是（h,k）; ③交点式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.（2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）；解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式.若已知条件是图象上的三个点或三对对应函数值，可设一般式；若已知顶点坐标或对称轴方程与最值，可设顶点式；若已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可设交点式.知识点二：二次函数的图象与性质3.二次函数的图象和性质图象xyy=ax2+bx+c(a＞0)Oxyy=ax2+bx+c(a＜0)O（1）比较二次函数函数值大小的方法：①直接代入求值法；②性质法：当自变量在对称轴同侧时，根据函数的性质判断；当自变量在对称轴异侧时，可先利用函数的对称性转化到同侧，再利用性质比较；④图象法：画出草图，描点后比较函数值大小.失分点警示（2）在自变量限定范围求二次函数的最值时，首先考虑对称轴是否在取值范围内，而不能盲目根据公式求解.例：当0≤x≤5时，抛物线y=x2+2x+7的最小值为7 .开口向上向下对称轴x＝2ba-顶点坐标24,24b ac ba a⎛⎫--⎪⎝⎭增减性当x>2ba-时，y随x的增大而增大；当x＜2ba-时，y随x的增大而减小.当x>2ba-时，y随x的增大而减小；当x＜2ba-时，y随x的增大而增大.最值x=2ba-，y最小＝244ac ba-. x=2ba-，y最大＝244ac ba-.3.系数a、a决定抛物线的开口方当a＞0时，抛物线开口向上；某些特殊形式代数式的符号：第13讲二次函数的应用十二、知识清单梳理第四单元图形的初步认识与三角形第14讲平面图形与相交线、平行线十三、知识清单梳理第15讲一般三角形及其性质十四、知识清单梳理知识点二 ：三角形全等的性质与判定6.全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边、对应角相等．(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等． (3)全等三角形的周长等、面积等． 失分点警示：运用全等三角形的性质时，要注意找准对应边与对应角. 7.三角形全等的判定一般三角形全等SSS （三边对应相等）SAS （两边和它们的夹角对应相等）ASA （两角和它们的夹角对应相等）AAS （两角和其中一个角的对边对应相等）失分点警示 如图，SSA 和AAA 不能判定两个三角形全等.直角三角形全等(1)斜边和一条直角边对应相等（HL ）(2)证明两个直角三角形全等同样可以用 SAS,ASA 和AAS.8.全等三角形的运用（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等银行条件. （2）全等三角形中的辅助线的作法：①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等.②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS 可得△ACD ≌△EBD ，则AC=BE.在△ABE 中，AB+BE ＞AE ，即AB+AC ＞2AD. ③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④.例：如图，在△ABC 中，已知∠1=∠2，BE=CD ，AB=5，AE=2，则CE=3.第16讲 等腰、等边及直角三角形十五、 知识清单梳理知识点一：等腰和等边三角形关键点拨与对应举例1.等腰三角形（1）性质①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC ∠B＝∠C；②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合;③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是对称轴.（2）判定①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形.（1）三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立.如：如左图，已知AD⊥BC,D为BC的中点，则三角形的形状是等腰三角形.失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论.如若等腰三角形ABC的一个内角为30°，则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°.2.等边三角形（1）性质①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.（2）判定①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形.（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.（2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=1/2AB.例：△ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，则△ABC的周长为9.知识点二：角平分线和垂直平分线3.角平分线（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上．例：如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC=6.4.垂直平分线图形（1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB.（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．知识点三：直角三角形的判定与性质5.直角三角形的性质(1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°；(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则AC＝12AB；(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则CD＝12AB.(4)勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即a2＋b2＝c2 .（1）直角三角形的面积S=1/2ch=1/2ab(其中a,b为直角边，c为斜边，h是斜边上的高)，可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题.（2）已知两边，利用勾股定理求长度，若斜边不明确，应分类讨论.（3）在折叠问题中，求长度，往往需要结合勾股定理来列方程解决.6.直角三角形的判定(1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，则△ABC是Rt△；(2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD，则△ABC是Rt△(3) 勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是Rt△.21P COBAPCO BADABC abcDABC abc第17讲 相似三角形十六、 知识清单梳理知识点一：比例线段关键点拨与对应举例1. 比例 线段在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a cb d =，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．列比例等式时，注意四条线段的大小顺序，防止出现比例混乱.2.比例的基本性质(1)基本性质：a cb d=⇔ ad ＝bc ；（b 、d ≠0）(2)合比性质：a cb d =⇔a b b ±＝c dd ±；（b 、d ≠0） (3)等比性质：a cb d =＝…＝mn＝k (b ＋d ＋…＋n ≠0)⇔ ......a c mb d n++++++＝k .（b 、d 、···、n ≠0）已知比例式的值，求相关字母代数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中 的一个表示出其他的字母，再代入求解.如下题可设a=3k,b=5k ,再代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b 代入求解. 例：若35a b =，则a b b +=85. 3.平行线分线段成比例定理 （1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l 3∥l 4∥l 5，则AB DEBC EF=. 利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时，注意根据图形列出比例等式，灵活运用比例基本性质求解. 例：如图，已知D ，E 分别是△ABC 的边BC 和AC 上的点，AE=2，CE=3，要使DE ∥AB ，那么BC ：CD 应等于53.（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB ∥CD ，则OA OB OD OC=.（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．如图所示，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC.4.黄金分割点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB ＝=5－12≈0.618，那么线段AB 被点C 黄金分割．其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．例：把长为10cm 的线段进行黄金分割，那么较长线段长为5(5－1)cm ．知识点二 ：相似三角形的性质与判定5.相似三角形的判定(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA).如图，若∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，则△ABC ∽△DEF.判定三角形相似的思路：①条件中若有平行 线，可用平行线找出相等的角而判定；②条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找 夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中 若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证 明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有 等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等 或找底、腰对应成比例.(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A ＝∠D ，AC ABDF DE=，则△ABC ∽△DEF. (3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若AB AC BCDE DF EF==，则△ABC ∽△DEF. F E D CB A l 5l 4l 3l 2l 1ODCBAEDCBAFEDC BAFE DC B AFE DC B A6.相似三角形的性质(1)对应角相等，对应边成比例．(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．例：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF的面积之比为9：4.(2) 如图，DE∥BC， AF⊥BC,已知S△ADE:S△ABC=1:4，则AF:AG=1：2.7.相似三角形的基本模型（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，可以迅速找到解题思路，事半功倍.（2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果.第18讲解直角三角形十七、知识清单梳理知识点一：锐角三角函数的定义关键点拨与对应举例1.锐角三角函数正弦: sin A＝∠A的对边斜边＝ac余弦: cos A＝∠A的邻边斜边＝bc正切: tan A＝∠A的对边∠A的邻边＝ab.根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.2.特殊角的三角函数值度数三角函数30°45°60°sinA122232 cosA322212 tanA331 3知识点二：解直角三角形3.解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；。
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第一部分教材知识梳理·系统复习第一单元数与式第1讲实数一、知识清单梳理第3讲分式第4讲二次根式三、知识清单梳理第二单元方程(组)与不等式(组)第5讲一次方程(组)第6讲一元二次方程第7讲分式方程第8讲一元一次不等式(组) x≥a x＞a x≤a x＜a第9讲平面直角坐标系与函数)M(a,b)到x轴，y轴的距离：到轴的距离为|b|；)到y第10讲一次函数第11讲反比例函数的图象和性质（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解..三个阴影部分的面积按从小到大的顺=S△OPE＞S△BOD.第12讲二次函数的图象与性质第13讲二次函数的应用第四单元图形的初步认识与三角形第14讲平面图形与相交线、平行线第15讲一般三角形及其性质第16讲等腰、等边及直角三角形°）的三角形是等边三角形；第17讲相似三角形D cD c的比叫做黄金比．10cm的线段进行黄金分割，那么较长线段长为5(5－2.EC第18讲解直角三角形这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；或通过公共边相等，列方程求解.第五单元四边形第19讲多边形与平行四边形，每一个外角为例：如图四边形第20讲特殊的平行四边形如图，四边形（变式：如图④，四边形ABCD第六单元圆第21讲圆的基本性质垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.图a 图b 图c第22讲与圆有关的位置关系内切圆半径与三角形边的关系：）任意三角形的内切圆（如图a），设例：已知△ABC的三边长则它的外切圆半径是2.5.第23讲与圆有关的计算二十一、知识清单梳理（2）特殊正多边形中各中心角、长度比：中心角=120°中心角=90°中心角=60°，△BOC为等边△a:r:R=2:1:2 a:r:R=2::2 a:r:R=2:2知识点二：与圆有关的计算公式n第七单元图形与变换第24讲平移、对称、旋转与位似第25讲视图与投影第八单元统计与概率第26讲统计第27讲概率。
2019【人教版】九年级数学下册：全册中考知识点梳理(共27讲)-最新汇编
第一部分教材知识梳理·系统复习第一单元数与式第1讲实数第2讲整式与因式分解一、知识清单梳理第3讲分式二、知识清单梳理第4讲二次根式三、知识清单梳理第二单元方程(组)与不等式(组)第5讲一次方程(组) 四、知识清单梳理第6讲一元二次方程五、知识清单梳理第7讲分式方程六、知识清单梳理第8讲一元一次不等式(组)七、知识清单梳理知识点一：不等式及其基本性质关键点拨及对应举例1.不等式的相关概念（1）不等式：用不等号(＞，≥，＜，≤或≠)表示不等关系的式子.（2）不等式的解：使不等式成立的未知数的值.（3）不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围.例：“a与b的差不大于1”用不等式表示为a－b≤1.2.不等式的基本性质性质1：若a＞b,则 a±c>b±c；性质2：若a＞b,c>0，则ac>bc，ac>bc；性质3：若a＞b,c<0，则ac<bc，ac<bc.牢记不等式性质3，注意变号.如：在不等式－2x＞4中，若将不等式两边同时除以－2，可得x＜2.知识点二：一元一次不等式3.定义用不等号连接，含有一个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式. 例：若230mmx++>是关于x的一元一次不等式，则m的值为-1.4.解法（1）步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1.失分点警示系数化为1时，注意系数的正负性，若系数是负数，则不等式改变方向.（2）解集在数轴上表示:x≥a x＞a x≤a x＜a知识点三：一元一次不等式组的定义及其解法5.定义由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．（1）在表示解集时“≥”，“≤”表示含有，要用实心圆点表示；“＜”，“＞”表示不包含要用空心圆点表示．（2）已知不等式（组）的解集情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式（组）解集的定义，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.如：已知不等式（a-1）x＜1-a 的解集是x＞-1，则a的取值范围是a＜1.6.解法先分别求出各个不等式的解集，再求出各个解集的公共部分7.不等式组解集的类型假设a＜b解集数轴表示口诀x ax b≥⎧⎨≥⎩x≥b大大取大x ax b≤⎧⎨≤⎩x≤a小小取小x ax b≥⎧⎨≤⎩a≤x≤b大小，小大中间找x ax b≤⎧⎨≥⎩无解大大，小小取不了知识点四：列不等式解决简单的实际问题8.列不等式解应用题（1）一般步骤：审题；设未知数；找出不等式关系；列不等式；解不等式；验检是否有意义.（2）应用不等式解决问题的情况：a.关键词：含有“至少（≥）”、“最多（≤）”、“不低于（≥）”、“不高于（≤）”、“不大（小）于”、“超过（＞）”、“不足（＜）”等；b.隐含不等关系：如“更省钱”、“更划算”等方案决策问题，一般还需根据整数解，得出最佳方案注意：列不等式解决实际问题中，设未知数时，不应带“至少”、“最多”等字眼，与方程中设未知数一致.第9讲平面直角坐标系与函数八、知识清单梳理知识点一：平面直角坐标系关键点拨及对应举例1.相关概念（1）定义：在平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系．（2）几何意义：坐标平面内任意一点M与有序实数对(x，y)的关系是一一对应．点的坐标先读横坐标(x 轴)，再读纵坐标(y轴).2.点的坐标特征( 1 )各象限内点的坐标的符号特征（如图所示）：点P(x,y)在第一象限⇔x＞0，y＞0；点P(x,y)在第二象限⇔x＜0，y＞0；点P（x,y）在第三象限⇔x＜0，y＜0；点P（x,y）在第四象限⇔x＞0，y＜0.（2）坐标轴上点的坐标特征：①在横轴上⇔y＝0；②在纵轴上⇔x＝0；③原点⇔x＝0，y＝0.（3）各象限角平分线上点的坐标①第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；②第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数（4）点P（a,b）的对称点的坐标特征：①关于x轴对称的点P1的坐标为(a，－b)；②关于y轴对称的点P2的坐标为(－a，b)；③关于原点对称的点P3的坐标为(－a，－b)．（5）点M（x,y）平移的坐标特征：M（x,y）M1(x+a,y)M2(x+a,y+b)（1）坐标轴上的点不属于任何象限.（2）平面直角坐标系中图形的平移，图形上所有点的坐标变化情况相同.（3）平面直角坐标系中求图形面积时，先观察所求图形是否为规则图形，若是，再进一步寻找求这个图形面积的因素，若找不到，就要借助割补法，割补法的主要秘诀是过点向x轴、y轴作垂线，从而将其割补成可以直接计算面积的图形来解决.3.坐标点的距离问题（1）点M(a,b)到x轴，y轴的距离：到x轴的距离为|b|；)到y轴的距离为|a|．（2）平行于x轴，y轴直线上的两点间的距离：点M1(x1,0)，M2(x2,0)之间的距离为|x1－x2|，点M1(x1，y)，M2(x2，y)间的距离为|x1－x2|；点M1(0，y1)，M2(0，y2)间的距离为|y1－y2|，点M1(x，y1)，M2(x，y2)间的距离为|y1－y2|．平行于x轴的直线上的点纵坐标相等；平行于y轴的直线上的点的横坐标相等.知识点二：函数4.函数的相关概念（1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做变量．（2）函数：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称x是自变量，y是x的函数．函数的表示方法有：列表法、图像法、解析法.（3）函数自变量的取值范围：一般原则为：整式为全体实数；分式的分母不为零；二次根式的被开方数为非负数；使实际问题有意义．失分点警示函数解析式，同时有几个代数式，函数自变量的取值范围应是各个代数式中自变量的公共部分. 例：函数y=35xx+-中自变量的取值范围是x≥-3且x≠5.5.函数的图象（1）分析实际问题判断函数图象的方法：①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点；②找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；③判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向.（2）以几何图形（动点）为背景判断函数图象的方法：①设时间为t（或线段长为x），找因变量与t(或x)之间存在的函数关系，用含t(或x)的式子表示，再找相应的函数图象.要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围.读取函数图象增减性的技巧：①当函数图象从左到右呈“上升”（“下降”）状态时，函数y随x的增大而增大（减小）；②函数值变化越大，图象越陡峭；③当函数y值始终是同一个常数，那么在这个区间上的函数图象是一条平行于x轴的线段.第10讲一次函数xy第四象限(＋，－)第三象限(－，－)第二象限(－，＋)第一象限(＋，＋)–1–2–3123–1–2–3123O九、知识清单梳理知识点一：一次函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.一次函数的相关概念（1）概念：一般来说，形如y＝kx＋b(k≠0)的函数叫做一次函数．特别地，当b ＝0时，称为正比例函数．（2）图象形状：一次函数y＝kx＋b是一条经过点（0,b）和（-b/k,0）的直线.特别地，正比例函数y＝kx的图象是一条恒经过点（0,0）的直线.例：当k＝1时，函数y＝kx＋k－1是正比例函数,2.一次函数的性质k，b符号K＞0，b＞0K＞0，b＜0K＞0，b=0 k<0，b>0k<0，b<0k<0，b＝0 （1）一次函数y=kx+b中，k确定了倾斜方向和倾斜程度，b确定了与y轴交点的位置.（2）比较两个一次函数函数值的大小：性质法，借助函数的图象，也可以运用数值代入法.例：已知函数y=－2x＋b，函数值y随x的增大而减小(填“增大”或“减小”)．大致图象经过象限一、二、三一、三、四一、三一、二、四二、三、四二、四图象性质y随x的增大而增大y随x的增大而减小3.一次函数与坐标轴交点坐标(1)交点坐标：求一次函数与x轴的交点，只需令y=0,解出x即可；求与y轴的交点，只需令x=0,求出y即可.故一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴的交点是⎝⎛⎭⎫－bk，0，与y轴的交点是(0，b)；(2)正比例函数y＝kx(k≠0)的图象恒过点(0，0)．例：一次函数y＝x＋2与x轴交点的坐标是（-2,0），与y轴交点的坐标是（0,2）.知识点二：确定一次函数的表达式4.确定一次函数表达式的条件（1）常用方法：待定系数法，其一般步骤为：①设：设函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)；②代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组；③解：求出k与b的值，得到函数表达式．（2）常见类型：①已知两点确定表达式；②已知两对函数对应值确定表达式；③平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可.(1)确定一次函数的表达式需要两组条件，而确定正比例函数的表达式，只需一组条件即可.(2)只要给出一次函数与y轴交点坐标即可得出b的值,b值为其纵坐标，可快速解题. 如:已知一次函数经过点（0,2），则可知b=2.5.一次函数图象的平移规律：①一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同.②若向上平移h单位，则b值增大h；若向下平移h单位，则b值减小h.例：将一次函数y=-2x+4的图象向下平移2个单位长度，所得图象的函数关系式为y=-2x+2．知识点三：一次函数与方程（组）、不等式的关系6.一次函数与方程一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象与x轴交点的横坐标.例：（1）已知关于x的方程ax+b=0的解为x=1,则函数y=ax+b与x轴的交点坐标为（1,0）.（2）一次函数y=-3x+12中，当x ＞4时，y的值为负数．7.一次函数与方程组二元一次方程组的解⇔两个一次函数y=k1x+b 和y=k2x+b图象的交点坐标.8.一次函数与不等式（1）函数y=kx+b的函数值y＞0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＞0的解集（2）函数y=kx+b的函数值y＜0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＜0的解集知识点四：一次函数的实际应用9.一般步骤（1）设出实际问题中的变量；（2）建立一次函数关系式；一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值y=k2x+b y=k1x+b（3）利用待定系数法求出一次函数关系式；（4）确定自变量的取值范围；（5）利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实际意义；（6）做答. 往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值.10.常见题型（1）求一次函数的解析式.（2）利用一次函数的性质解决方案问题.第11讲反比例函数的图象和性质十、知识清单梳理知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.反比例函数的概念（1）定义：形如y＝kx(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：①y＝kx；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)例：函数y=3x m+1，当m=－2时，则该函数是反比例函数．2.反比例函数的图象和性质k的符号图象经过象限y随x变化的情况（1）判断点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式；②把点的横、纵坐标相乘，判断其乘积是否等于k.失分点警示（2）反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断.k>0 图象经过第一、三象限（x、y同号）每个象限内，函数y的值随x的增大而减小.k<0 图象经过第二、四象限（x、y异号）每个象限内，函数y的值随x的增大而增大.3.反比例函数的图象特征（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．例：若(a，b)在反比例函数kyx=的图象上，则(－a，－b)在该函数图象上.(填“在"、"不在")4.待定系数法只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数k即可.例：已知反比例函数图象过点（－3，－1），则它的解析式是y=3/x.知识点二：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合5.系数k的几何意义（1）意义：从反比例函数y＝kx(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.（2）常见的面积类型：失分点警示已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k＜0.例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该反比例函数解析式为：3yx=或3yx=-.6.与一次函数的综合（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解涉及与面积有关的问题时，①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；②也要注意系数k的几何意义.（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围. 例：如图所示，三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为：S△AOC=S△OPE ＞S△BOD.知识点三：反比例函数的实际应用7.一般步骤（1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；（2设出函数表达式；（3）依题意求解函数表达式；（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.第12讲二次函数的图象与性质十一、知识清单梳理知识点一：二次函数的概念及解析式关键点拨与对应举例1.一次函数的定义形如y＝ax2＋bx＋c (a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.例：如果函数y=(a－1)x2是二次函数，那么a的取值范围是a≠0.2.解析式（1）三种解析式：①一般式：y=ax2+bx+c;②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是（h,k）; ③交点式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.（2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）；解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式.若已知条件是图象上的三个点或三对对应函数值，可设一般式；若已知顶点坐标或对称轴方程与最值，可设顶点式；若已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可设交点式.知识点二：二次函数的图象与性质3.二次函数的图象和性质图象xyy=ax2+bx+c(a＞0)Oxyy=ax2+bx+c(a＜0)O（1）比较二次函数函数值大小的方法：①直接代入求值法；②性质法：当自变量在对称轴同侧时，根据函数的性质判断；当自变量在对称轴异侧时，可先利用函数的对称性转化到同侧，再利用性质比较；④图象法：画出草图，描点后比较函数值大小.失分点警示（2）在自变量限定范围求二次函数的最值时，首先考虑对称轴是否在取值范围内，而不能盲目根据公式求解.例：当0≤x≤5时，抛物线y=x2+2x+7的最小值为7 .开口向上向下对称轴x＝2ba-顶点坐标24,24b ac ba a⎛⎫--⎪⎝⎭增减性当x>2ba-时，y随x的增大而增大；当x＜2ba-时，y随x的增大而减小.当x>2ba-时，y随x的增大而减小；当x＜2ba-时，y随x的增大而增大.最值x=2ba-，y最小＝244ac ba-. x=2ba-，y最大＝244ac ba-.3.系数a、a决定抛物线的开口方当a＞0时，抛物线开口向上；某些特殊形式代数式的符号：第13讲二次函数的应用十二、知识清单梳理第四单元图形的初步认识与三角形第14讲平面图形与相交线、平行线十三、知识清单梳理第15讲一般三角形及其性质十四、知识清单梳理知识点二 ：三角形全等的性质与判定6.全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边、对应角相等．(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等． (3)全等三角形的周长等、面积等． 失分点警示：运用全等三角形的性质时，要注意找准对应边与对应角. 7.三角形全等的判定一般三角形全等SSS （三边对应相等）SAS （两边和它们的夹角对应相等）ASA （两角和它们的夹角对应相等）AAS （两角和其中一个角的对边对应相等）失分点警示 如图，SSA 和AAA 不能判定两个三角形全等.直角三角形全等(1)斜边和一条直角边对应相等（HL ）(2)证明两个直角三角形全等同样可以用 SAS,ASA 和AAS.8.全等三角形的运用（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等银行条件. （2）全等三角形中的辅助线的作法：①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等.②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS 可得△ACD ≌△EBD ，则AC=BE.在△ABE 中，AB+BE ＞AE ，即AB+AC ＞2AD. ③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④.例：如图，在△ABC 中，已知∠1=∠2，BE=CD ，AB=5，AE=2，则CE=3.第16讲 等腰、等边及直角三角形十五、 知识清单梳理知识点一：等腰和等边三角形关键点拨与对应举例1.等腰三角形（1）性质①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC ∠B＝∠C；②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合;③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是对称轴.（2）判定①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形.（1）三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立.如：如左图，已知AD⊥BC,D为BC的中点，则三角形的形状是等腰三角形.失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论.如若等腰三角形ABC的一个内角为30°，则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°.2.等边三角形（1）性质①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.（2）判定①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形.（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.（2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=1/2AB.例：△ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，则△ABC的周长为9.知识点二：角平分线和垂直平分线3.角平分线（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上．例：如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC=6.4.垂直平分线图形（1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB.（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．知识点三：直角三角形的判定与性质5.直角三角形的性质(1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°；(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则AC＝12AB；(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则CD＝12AB.(4)勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即a2＋b2＝c2 .（1）直角三角形的面积S=1/2ch=1/2ab(其中a,b为直角边，c为斜边，h是斜边上的高)，可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题.（2）已知两边，利用勾股定理求长度，若斜边不明确，应分类讨论.（3）在折叠问题中，求长度，往往需要结合勾股定理来列方程解决.6.直角三角形的判定(1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，则△ABC是Rt△；(2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD，则△ABC是Rt△(3) 勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是Rt△.21P COBAPCO BADABC abcDABC abc第17讲 相似三角形十六、 知识清单梳理知识点一：比例线段关键点拨与对应举例1. 比例 线段在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a cb d =，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．列比例等式时，注意四条线段的大小顺序，防止出现比例混乱.2.比例的基本性质(1)基本性质：a cb d=⇔ ad ＝bc ；（b 、d ≠0）(2)合比性质：a cb d =⇔a b b ±＝c dd ±；（b 、d ≠0） (3)等比性质：a cb d =＝…＝mn＝k (b ＋d ＋…＋n ≠0)⇔ ......a c mb d n++++++＝k .（b 、d 、···、n ≠0）已知比例式的值，求相关字母代数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中 的一个表示出其他的字母，再代入求解.如下题可设a=3k,b=5k ,再代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b 代入求解. 例：若35a b =，则a b b +=85. 3.平行线分线段成比例定理 （1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l 3∥l 4∥l 5，则AB DEBC EF=. 利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时，注意根据图形列出比例等式，灵活运用比例基本性质求解. 例：如图，已知D ，E 分别是△ABC 的边BC 和AC 上的点，AE=2，CE=3，要使DE ∥AB ，那么BC ：CD 应等于53.（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB ∥CD ，则OA OB OD OC=.（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．如图所示，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC.4.黄金分割点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB ＝=5－12≈0.618，那么线段AB 被点C 黄金分割．其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．例：把长为10cm 的线段进行黄金分割，那么较长线段长为5(5－1)cm ．知识点二 ：相似三角形的性质与判定5.相似三角形的判定(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA).如图，若∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，则△ABC ∽△DEF.判定三角形相似的思路：①条件中若有平行 线，可用平行线找出相等的角而判定；②条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找 夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中 若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证 明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有 等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等 或找底、腰对应成比例.(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A ＝∠D ，AC ABDF DE=，则△ABC ∽△DEF. (3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若AB AC BCDE DF EF==，则△ABC ∽△DEF. F E D CB A l 5l 4l 3l 2l 1ODCBAEDCBAFEDC BAFE DC B AFE DC B A6.相似三角形的性质(1)对应角相等，对应边成比例．(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．例：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF的面积之比为9：4.(2) 如图，DE∥BC， AF⊥BC,已知S△ADE:S△ABC=1:4，则AF:AG=1：2.7.相似三角形的基本模型（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，可以迅速找到解题思路，事半功倍.（2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果.第18讲解直角三角形十七、知识清单梳理知识点一：锐角三角函数的定义关键点拨与对应举例1.锐角三角函数正弦: sin A＝∠A的对边斜边＝ac余弦: cos A＝∠A的邻边斜边＝bc正切: tan A＝∠A的对边∠A的邻边＝ab.根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.2.特殊角的三角函数值度数三角函数30°45°60°sinA122232 cosA322212 tanA331 3知识点二：解直角三角形3.解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；。
【精品】【人教版】2019年春九年级数学下册：全册中考知识点梳理(共27讲)
第一部分教材知识梳理·系统复习第一单元数与式第1讲实数1一、知识清单梳理2第3讲分式3第4讲二次根式第二单元方程(组)与不等式(组)第5讲一次方程(组)4第6讲一元二次方程5第7讲分式方程6第8讲一元一次不等式(组) x≥a x＞a x≤a x＜a第9讲平面直角坐标系与函数7)M(a,b)到x轴，y轴的距离：到轴的距离为|b|；)到y第10讲一次函数89第11讲反比例函数的图象和性质（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解..三个阴影部分的面积按从小到大的顺=S△OPE＞S△BOD.10第12讲二次函数的图象与性质第13讲二次函数的应用第四单元图形的初步认识与三角形第14讲平面图形与相交线、平行线第15讲一般三角形及其性质第16讲等腰、等边及直角三角形°）的三角形是等边三角形；第17讲相似三角形十六、知识清单梳理D cD c的比叫做黄金比．10cm的线段进行黄金分割，那么较长线段长为5(5－2.EC第18讲解直角三角形这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；第五单元四边形第19讲多边形与平行四边形，每一个外角为例：如图四边形第20讲特殊的平行四边形如图，四边形（变式：如图④，四边形ABCD第六单元圆第21讲圆的基本性质垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.图a 图b 图c第22讲与圆有关的位置关系21内切圆半径与三角形边的关系：）任意三角形的内切圆（如图a），设例：已知△ABC的三边长则它的外切圆半径是2.5.第23讲与圆有关的计算二十一、知识清单梳理（2）特殊正多边形中各中心角、长度比：中心角=120°中心角=90°中心角=60°，△BOC为等边△a:r:R=2:1:2 a:r:R=2::2 a:r:R=2:2知识点二：与圆有关的计算公式n22第七单元图形与变换第24讲平移、对称、旋转与位似23第25讲视图与投影第八单元统计与概率第26讲统计24第27讲概率2526。
人教版初三数学实数知识点讲解
人教版初三数学实数知识点讲解为了丰富同学们的学习生活，查字典数学网初中频道搜集整理了人教版初三数学实数知识点讲解，供大家参考，希望对大家有所帮助!人教版初三数学实数知识点讲解第一章实数★重点★实数的有关概念及性质，实数的运算☆内容提要☆一、重要概念1.数的分类及概念数系表：说明：分类的原则：1)相称(不重、不漏)2)有标准2.非负数：正实数与零的统称。
(表为：x0)常见的非负数有：性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。
3.倒数：①定义及表示法②性质：A.a1/a(a1);B.1/a中，aa1时，1/aD.积为1。
4.相反数：①定义及表示法②性质：A.a0时，aB.a与-a在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。
5.数轴：①定义(三要素)②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。
6.奇数、偶数、质数、合数(正整数自然数)定义及表示：奇数：2n-1偶数：2n(n为自然数)7.绝对值：①定义(两种)：代数定义：几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。
②│a│0,符号││是非负数的标志;③数a的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，只要其中有││出现，其关键一步是去掉││符号。
二、实数的运算1. 运算法则(加、减、乘、除、乘方、开方)2. 运算定律(五个加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的] 分配律)3. 运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.(同级运算)从左到右(如5 C.(有括号时)由小到中到大。
三、应用举例(略)附：典型例题单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。
让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。
这样,即巩固了所学的材料,又锻炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的效果。
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第一单元数与式
第1讲实数
知识点一：实数的概念及分类
关键点拨及对应举例
1.实数
（1）按定义分（2）按正、负性分
正有理数
有理数0有限小数或正实数
负有理数无限循环小数实数0
实数
正无理数负实数
无理数无限不循环小数
负无理数
（1）0既不属于正数，也不属于负数.
（2）无理数的几种常见形式判断：①含π的式子；②构造型：如3.010010001…（每两个1之间多个0）就是一个无限不循环小数；③开方开不尽的数：如，；④三角函数型：如sin60°，tan25°.
（3）失分点警示：开得尽方的含根号的数属于有理数，如=2，=-3，它们都属于有理数.
知识点二：实数的相关概念
2.数轴
（1）三要素：原点、正方向、单位长度
（2）特征：实数与数轴上的点一一对应；数轴右边的点表示的数总比左边的点表示的数大
例：
数轴上-2.5表示的点到原点的距离是2.5.
3.相反数
（1）概念：只有符号不同的两个数
（2）代数意义：a、b互为相反数a+b=0
（3）几何意义：数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等
a的相反数为-a，特别的0的绝对值是0.
例：3的相反数是-3，-1的相反数是1.
4.绝对值
（1）几何意义：数轴上表示的点到原点的距离
（2）运算性质：|a|= a (a≥0)；|a-b|= a-b(a≥b)
使问题简单化
知识点五：实数的运算
9.
常见运算
乘 方
几个相同因数的积; 负数的偶（奇）次方为正（负）
例：
（1）计算：1-2-6=_-7__;(-2)2=___4__;
3-1=_1/3_;π0=__1__;
(2)64的平方根是_±8__,算术平方根是__8_,立方根是__4__.
失分点警示：类似“的算术平方根”计算错误.例：相互对比填一填：16的算术平方根是4___,的算术平方根是___2__.
例：
21000用科学记数法表示为2.1×104；
19万用科学记数法表示为1.9×105；0.0007用科学记数法表示为7×10-4.
7.近似数
（1）定义：一个与实际数值很接近的数.
（2）精确度：由四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.
例：
3.14159精确到百分位是3.14；精确到0.001是3.142.
（2）代数意义：ab=1a,b互为倒数
例：
-2的倒数是-1/2；倒数等于它本身的数有±1.
知识点三：科学记数法、近似数
6.科学记数法
（1）形式：a×10n,其中1≤|a|＜10，n为整数
（2）确定n的方法：对于数位较多的大数，n等于原数的整数为减去1；对于小数，写成a×10-n，1≤|a|＜10，n等于原数中左起至第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前面的一个）
-a(a＜0).b-a(a＜b)
（3）非负性：|a|≥0，若|a|+b2=0,则a=b=0.
（1）若|x|=a（a≥0），则x=±a.
（2）对绝对值等于它本身的数是非负数.
例：5的绝对值是5；|-2|=2；绝对值等于3的是±3;|1-|=-1.
5.倒数
（1）概念：乘积为1的两个数互为数.a的倒数为1/a(a≠0)
零次幂
a0=_1_(a≠0)
负指数幂
a-p=1/ap（a≠0，p为整数）
平方根、
算术平方根
若x2=a（a≥0）,则x= .其中 是算术平方根.
立方根
若x3=a,则x= .
10.混合运算
先乘方、开方，再乘除，最后加减；同级运算，从左
向右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、
中括号、大括号一次进行.计算时，可以结合运算律，
知识点四：实数的大小比较
8.实数的大小比较
（1）数轴比较法：数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大.
（2）性质比较法：正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小.
（3）作差比较法：a-b＞0a＞b；a-b=0a=b；a-b＜0a＜b.
（4）平方法：a＞b≥0a2＞b2.
例：
把1，-2,0，-2.3按从大到小的顺序排列结果为___1＞0＞-2＞-2.3_.