函数极限习题与解析
数学—极限练习题及详细答案
一、选择题1.若0()lim1sin x x xφ→=，则当x 0→时，函数(x)φ与（ ）是等价无穷小。
A.sin ||xB.ln(1)x -C.11.【答案】D 。
2.设f(x)在x=0处存在3阶导数，且0()lim 1tan sin x f x x x→=-则'''f (0)=（ ）A.5B.3C.1D.0 2.【答案】B.解析由洛必达法则可得30002()'()''()limlimlim1tan sin 2cos sin sin cos cos x x x f x f x f x x x x x xx x -→→→==-+-42200''()''()lim lim 16cos sin 2cos cos 21x x f x f x x x x x --→→===-++++可得'''f (0)3= 3.当x 0→时，与1x 133-+为同阶无穷小的是（ ） A.3xB.34x C.32xD.x3.【答案】A.解析.12233312332000311(1)1133lim lim (1)3313x x x x x x x ---→→→-+⋅==+=选A 。
4.函数2sin f ()lim 1(2)nn xx x π→∞=+的间断点有（ ）个A.4B.3C.2D.14.【答案】C.解析.当0.5x >时，分母→∞时()0f x =，故20.5sin 12lim1(2(0.5))2n x π→--=-+⨯-， 20.5sin12lim1(20.5)2n x π→=+⨯，故，有两个跳跃间断点，选C 。
5.已知()bx xf x a e=-在（-∞，+∞）内连续，且lim ()0x f x →∞=，则常数a ，b 应满足的充要条件是（ ）A.a>0，b>0B.a ≤0，b>0C.a ≤0，b<0D.a>0，b<05.【答案】B 。
第二章极限习题及答案：极限的四则运算
自变量趋向无穷时函数的极限例 求下列极限：（1）42242115lim x x x x x --+-∞→（2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--∞→1212lim 223x x x x x 分析：第（1）题中，当∞→x 时，分子、分母都趋于无穷大，属于“∞∞”型，变形的一般方法是分子、分母同除以x 的最高次幂，再应用极限的运算法则．第（2）题中，当∞→x 时，分式1223-x x 与122+x x 都趋向于∞，这种形式叫“∞－∞”型，变形的一般方法是先通分，变成“∞∞”型或“00”型，再求极限．解：（1）211151lim 2115lim 24424224--+-=--+-∞→∞→x x x x x x x x x x .212000012lim lim lim 1lim 5lim 1lim 2442-=--+-=--+-=∞→∞→∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x xx（2）)12)(12()12()12(lim 1212lim 2223223+---+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--∞→∞→x x x x x x x x x x x x )12)(12(11lim)12)(12(lim2223xx xx x xx x x +-+=+-+=∞→∞→ 41)02)(02(01)12(lim )12(lim )11(lim 2=+-+=+-+=∞→∞→∞→xx x x x x说明：“∞∞”型的式子求极限类似于数列极限的求法．无穷减无穷型极限求解例 求极限：（1）)11(lim 22x x x x x +--++-∞→（2）)11(lim 22x x x x x +--+++∞→分析：含根式的函数求极限，一般要先进行变形，进行分子、分母有理化，再求极限． 解：（1）原式22112limxx x x xx +-+++=-∞→222112limxx x x x x +-+++-=-∞→.11111112lim22-=+-+++-=-∞→xx xx x（2）原式22112limxx x x xx +-+++=+∞→.11111112lim22=+-+++=+∞→xx xx x说明：当<x 时，2x x ≠，因此211111121122222→+-+++≠+-+++xx xx xx x x x．利用运算法则求极限例 计算下列极限： （1）⎪⎭⎫⎝⎛+-+++++++∞→123171411lim 2222n n n n n n ； （2）()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++--∞→n n n 3112719131lim 1 . （1992年全国高考试题，文科难度0.63）解： （1）原式()11321lim 2+-=∞→n n n n()232213lim 123lim 222=+-=+-=∞→∞→nn n n n n n . （2）原式⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∞→31131131limnn[]41014131141lim =-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛--=∞→nn .说明：该题计算时，要先求和，再求所得代数式的极限，不能将只适用有限个数列的加、减、乘、除的数列极限的四则运算法则，照搬到无限个数列的加、减、乘、除，超出了法则的适用范围，下面的计算是错误的： （1）原式123lim 14lim 11lim 222+-+++++=∞→∞→∞→n n n n n n n（2）原式()4131131027********lim 271lim 91lim 31lim 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+++-=-+++-=-∞→∞→∞→∞→ n n n n n n 用二项式定理展开或逆用等比数列和公式化简求极限例 设*N p ∈，求nn p n 1111lim 1-⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→．分析：把111+⎪⎭⎫⎝⎛+p n 用二项式定理展开或逆用等比数列和公式即可求得．解：111221111)1()1(1111++++++++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+p p p p p p nC n C n C n pp p p p p p nC C n C n C nn )1()1(111111131221111++++++++++=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴11111lim 111+==-⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴++∞→p C nn p p n或：逆用等比数列求和公式：原式⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=∞→pn n n n 1111111lim 211111+=+++=+p p个说明：要注意p 是与n 无关的正整数，111+⎪⎭⎫⎝⎛+p n 不是无限项，对某些分式求极限应先对式子进行必要的变形，使之成为便于求极限的形式，以利问题的解决，经常用到的技巧是分母、分子有理化或按二项式定理展开等等．零乘无穷型转化为无穷除无穷型例 求.)1(lim n n n n -+∞→分析：当∞→n 时，所求极限相当于∞⋅0型，需要设法化为我们熟悉的∞∞型． 解： n n n n )1(lim -+∞→.211111lim 1lim)1()1)(1(lim =++=++=++++-+=∞→∞→∞→nnn n n n n n n n n n n n说明：对于这种含有根号的∞⋅0型的极限，可采取分子有理化或分母有理化来实现．如本题是通过分子有理化，从而化为nn n++1，即为∞∞型，也可以将分子、分母同除以n的最高次幂即n ，完成极限的计算．根据极限确定字母的范围例 已知161)2(44lim 2=+++∞→n n n n m ，求实数m 的取值范围． 分析：这是一个已知极限的值求参数的范围问题，我们仍然从求极限入手来解决．解：16142161lim )2(44lim 2=⎪⎭⎫⎝⎛++=++∞→+∞→nn n n n n m m 于是142<+m ，即26,424<<-<+<-m m ． 说明：在解题过程中，运用了逆向思维，由16142161lim =⎪⎭⎫⎝⎛++∞→n n m 可知，nm ⎪⎭⎫⎝⎛+42的极限必为0，而0→n q 的充要条件是1<q ，于是解不等式142<+m ． 零比零型的极限例 求xx x 11lim10-+→． 分析：这是一个00型的极限，显然当0→x 时，直接从函数xx 1110-+分子、分母中约去x 有困难，但是1110-+x 当0→x 时也趋近于0，此时x 化为1)1(1010-+x ，这就启发我们通过换元来解决这一难题，即设101x y +=，则110-=y x ．解：设101x y +=，则110-=y x ，于是，当0→x 时，1→y ． 原式10111lim 11lim891101=++++=--=→→y y y y y y y说明：本题采用的换元法是把0→x 化为01→-y ，这是一种变量代换．灵活地运用这种代换，可以解决一些型的极限问题． 例如对于11lim 21--→x x x ，我们一般采用因式分解，然后约去1-x ，得到2)1(lim 1=+→x x ．其实也可以采用这种代换，即设1-=x t ，则当1→x 时，0→t ，这样就有.2)2(lim 1)1(lim 11lim 02021=+=-+=--→→→t tt x x t t x 组合与极限的综合题例 ) (lim 1222=++∞→n n nn n C CA ．0B ．2C ．21 D ．41 分析：将组合项展开后化简再求极限．解： 1222lim ++∞→n n nn n C C.4126412lim )22)(12()1(lim )!22()!1()!1(!!)!2(lim 222=++++=+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⋅+⋅=∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n n n n n n 故应选D ．说明：本题考查组合的运算和数列极限的概念．高考填空题1．计算.________)2(lim =+∞→nn n n 2．若数列{}n a 的通项公式是)N ()1(1*∈+=n n n a n ，则.________)(lim 21=+∞→n n a n a3．计算：.________)13(lim =++∞→nn n n1．解析 22222221221lim 2lim -+--+-∞→∞→=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+e n n n n n n n nn n n说明：利用数列极限公式e n nn =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim ，把原题的代数式稍加变形即可获解．本题主要考查灵活运用数列极限公式的能力．2．解析 .21,)1(11=∴+=a n n a n.23121)11121(lim )1(121lim 2=+=++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅+∴∞→∞→nn n n n n说明：本题的思考障碍点是如何求1a ？——只要懂得在通项公式中令1=n ，可立得1a 的具体值，本题考查数列极限的基本知识．3．解析 nn n n )13(lim ++∞→ 21221)121(lim e n n n n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=++∞→说明：本题考查数列极限公式的应用．根据已知极限和四则运算求其它极限例 若12lim =∞→n n na ，且n n a ∞→lim 存在，则.________)1(lim =-∞→n n a nA ．0B ．21 C ．21- D ．不存在 分析：根据题设知n na 和n a 均存在极限，这是进行极限运算的前提，然后相减即可求得结论．解：,lim ,12lim 存在n n n n na na ∞→∞→=0lim 021lim2lim lim =∴==∴∞→∞→∞→∞→n n n nn nn a n na a又21lim ,12lim ==∞→∞→n n n n na na ∴21210lim lim )(lim )1(lim =-=-=-=-∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n na a na a a n 即.21)1(lim -=-∞→n n a n选C ．说明：n n a ∞→lim 是关键，不能错误地认为0lim =∞→n n a ，0)1(lim =-∞→n n a n ．两个数列{}n a 、{}n b 的极限存在是两个数列的和．差、积存在极限的充分条件．但⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 的极限不一定存在．化简表达式再求数列的极限例 求下列极限 （1）⎪⎭⎫⎝⎛+++++++++∞→112171513lim 2222n n n n n n （2）nnn 21412113191311lim ++++++++∞→ （3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→211511411311lim n n n 分析：先运用等差数列、等比数列的前n 项公式求和，或运用其他方式化简所给表达式，再进行极限的四则运算．解：（1）原式1)12(753lim2++++++=∞→n n n 11121lim 1)2(lim 22=++=++=∞→∞→nn n n n n n （2）原式n n n n nn ⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-=∞→∞→211311lim 34211231123lim 4301013421lim 1lim 31lim 1lim 34=--⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-=∞→∞→∞→∞→n n n nn n （3）原式.222lim21544332lim =+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⋅⋅=∞→∞→n n n n n n n 说明：先化简，再求极限是求极限经常用到的方法，不能认为0112lim ,,015lim ,013lim 222=++=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→∞→n n n n n n n 而得到（1）的结果是0．无穷比无穷和字母讨论的数列极限例 求下列极限：（1）n n n n n 3423352lim 11⋅+⋅⋅-++∞→ （2）)0(11lim>+-∞→a a a nnn 分析：第（1）题属“∞∞”型，一般方法是分子，分母同除以各式中幂的值最大的式子．第（2）题中当a 的值在不同范围内变化时，分子，分母的极限或变化趋势）不同，因此要分各种情形进行讨论．解：（1）原式432315322lim 342331522lim +⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⋅+⋅⋅-⋅=∞→∞→n nn n n nn n .41540315024lim 32lim 315lim 32lim 2-=+⨯-⨯=+⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛=∞→∞→∞→∞→n nn n nn （2）当10<<a 时，01111lim 11lim=+-=+-∞→∞→n n n n a a ， 当1>a 时，.110101lim 1lim 1lim 1lim 1111lim 11lim -=+-=+⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-∞→∞→∞→∞→∞→∞→n n n n nn n n n n n n a a a a a a说明：含参数的式子求极限，经常要进行讨论，容易出现的问题是错误地认为0lim =∞→n n a ．根据极限确定等比数列首项的取值范围例 已知等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，且有211lim 1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→n n q q a ，求1a 的取值范围．分析：由已知条件及所给式子的极限存在，可知nn q ∞→lim 存在，因此可得q 的取值范围，从而确定出1a 的取值范围．解：由211lim 1=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→n n q q a ，得nn q ∞→lim 存在． ∴1<q 且0≠q 或1=q ．． 当1<q 时，有2111=+q a ， ∴121-=a q ，∴112<-a 解得101<<a ， 又0≠q ，因此211≠a ． 当1=q 时，这时有2112lim 1=⎪⎭⎫⎝⎛-∞→a n ， ∴31=a ．综上可得：101<<a ，且211≠a 或31=a ． 说明：在解决与数列有关的问题时，应充分注意相关知识的性质，仅从极限的角度出发来考虑q 的特点，容易将0≠q 这一条件忽视，从而导致错误．求函数在某一点处的极限例 求下列极限：（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++→22423lim 3322x x x x x （2）401335172lim 225++++→x x x x x（3）xxx 320cos 1sin lim -→（4）⎪⎭⎫⎝⎛---→9631lim 23x x x分析：第（1）题中，2=x 在函数的定义域内，可直接用极限的四则运算法则求极限；（2）、（3）两个极限分子、分母都趋近于0，属“”型，必须先对函数变形，然后施行四则运算；（4）为“∞-∞”型，也应先对函数作适当的变形，再进行极限的运算．解：（1）22lim 423lim 22423lim 332223322++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++→→→x x x x x x x x x x x )2(lim 2lim )4(lim )23(lim 3232222++++=→→→→x x x x x x x x 2lim lim lim 24lim lim 2lim lim 32323223222→→→→→→→++++=x x x x x x x x x x x.513581222242223322=+=+⨯+++⨯= （2）.18)5(7)5(2872lim )8)(5()72)(5(lim 401335172lim 55225-=+-+-⨯=++=++++=++++→→→x x x x x x x x x x x x x （3）xx x x x x x x x x x 20220320cos cos 1cos 1lim )cos cos 1)(cos 1(cos 1lim cos 1sin lim +++=++--=-→→→ .3211111=+++= （4）.6133131lim 96)3(lim 9631lim 32323=+=+=--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛---→→→x x x x x x x x 说明：不能错误地认为，由于31lim3-→x x 不存在，96lim 23-→x x 也不存在，因此（4）式的极限不存在．（4）属于“∞-∞”型，一般要先对函数式进行变形，变为“00”型或“∞∞”型，再求极限．函数在某一点处零比零型的极限例 求下列极限：（1）3111lim x x x --→ （2）xx x x 32sin sin tan lim -→π 分析：第（1）题中，当1→x 时，分子、分母的极限都是0，不能用商的极限的运算法则，应该先对分式变形，约去一个极限为零的因式后再应用极限的运算法则求分式的极限，常用的变换方法有：①对多项式进行因式分解；②对无理式分子或分母有理化；③对三角函数式（如第（2）题，先进行三角恒等变换，再约分．解：（1）原式)1)(1)((1()1)(1)(1(lim 32333231x x x x x x x x x +++-+++-=→.23111111)1(lim )1)(1()1)(1(lim 32313231=+++=+++=+-++-=→→xx x x x x x x x x（2）原式xx x x x x x x x x cos sin cos sin sin lim sin sin cos sin lim 3232⋅-=-=→→ππ .211)11(1cos )cos 1(1lim cos sin cos 1lim222=⨯+=⋅+=⋅-=→→x x x x x ππ 说明：如果分子、分母同乘以31x +，对（1）式进行变形，思维就会受阻，正确的方法是分子、分母同乘以分子、分母的有理化因式，分母的有理化因式是)1(323x x ++．。
函数极限习题及解析
函数极限习题及解析1. 极限的定义函数极限是研究函数变化趋势的重要概念，通过求取函数在某一点附近的极限值，可以推断函数在该点的行为。
函数极限的定义如下：对于函数 f(x)，当 x 趋近于 a 时，如果存在一个常数 L，使得对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，满足当 0 < |x-a| < δ 时，有 |f(x)-L| < ε 成立，那么称函数 f(x) 在 x=a 处具有极限 L，记作lim(x→a) f(x) = L。
2. 基本极限公式在计算极限的过程中，常常会用到一些基本的极限公式，它们的证明可以依靠函数极限的定义以及一些基础的数学概念。
以下是一些常见的基本极限公式：公式1：lim(x→a) c = c，其中 c 为常数。
lim(x→a) c = c，其中 c 为常数。
公式2：lim(x→a) x = a。
lim(x→a) x = a。
公式3：lim(x→∞) kx = ∞，其中 k 为正常数。
lim(x→∞) kx = ∞，其中 k 为正常数。
公式4：lim(x→∞) x^n = ∞，其中 n 为正整数。
lim(x→∞) x^n = ∞，其中 n 为正整数。
公式5：lim(x→a) (f(x) ± g(x)) = lim(x→a) f(x) ± lim(x→a) g(x)，其中 f(x) 和 g(x) 在 x=a 处有极限。
lim(x→a) (f(x) ± g(x)) =lim(x→a) f(x) ± lim(x→a) g(x)，其中 f(x) 和 g(x) 在 x=a 处有极限。
3. 极限的题和解析题1：求函数 f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1) 在 x = 1 处的极限。
解析：直接代入 x = 1，得到 f(x) = 0/0，这种形式的函数是无法通过直接代入求得极限的。
我们可以对该函数进行化简，得到 f(x) = x + 1。
(完整版)函数极限习题与解析
同济大学第六版高等数学)、填空题设 f(x) 2 x lglg x ，其定义域为 。
设 f(x) ln(x 1) ，其定义域为 。
设 f(x) arcsin( x 3) ，其定义域为 。
设 f (x)的定义域是 [0 ， 1] ，则 f(sin x)的定义域为设 y f ( x)的定义域是 [0，2] ，则 y f (x 2 )的定义域为x 2x k lim 4 ，则 k= x 3x 3x函数 y 有间断点 ，其中 为其可去间断点。
sinxsin2x若当 x 0时 ， f(x) ，且 f (x)在x 0处连续 ，则 f (0) x、函数 f(x)在 x 0处连续是 f(x)在 x 0连续的条件。
(x 3 1)(x 2 3x 2)53 2x 5 5x 3lim (1 2)kn e3，则 k= nx 2 12的间断点是x 3x 2、当 x 时， 1 是比 x 3 x 1 的无穷小。
x1、 2、 3、 4、5、6、 7、8、 9、1011121314l n im(n 21nn22n 2n n) nn、函数 y15 、当 x 0时，无穷小 1 1 x 与 x 相比较是 无穷小。
116、函数 y e x 在 x=0 处是第 类间断点。
x0若 lim f (x) 存在 ，则 a=(1 ax) x x 0x sin x20、曲线 y2 2 水平渐近线方程是 x 21、 f (x)4 xx 1 22 1的连续区间为a=、计算题1、求下列函数定义域2 ) y sin x ；23) y e x ；2、函数 f (x) 和 g(x) 是否相同？为什么？17 、设 y3x 1 x1，则 x=1 为 y 的 间断点。
18 、已知 f3， 则当 a 为3时，函数 f (x) asinxsin3x 在 x 33处连续。
sin x19、设 f (x) 2xxa,x22 、设 f (x)cosx , x00在 x 0连续 ，则常数11 x23) f (x) 1 g(x) sec2tan 2 x；3、判定函数的奇偶性221) y x2 (1 x2) ；2)2y 3x23x；3) y x(x 1)( x 1)4、求由所给函数构成的复合函数u2 sin v x2u,sin x 5、计算下列极限1)1l n im (1 12limn12 3 (n 1) ；2；n3) lim x2 5x2x4) l x im1x 2 2x 1x2 1；5) lim(1x 1)(2x12)x6) l x im2x32x 2；(x 2) 2 ；7) lim x 2x01sinx8)x21lxim1 3 x 1 x9) lim x( x2x1 x)6、计算下列极限sin wx 1) limx 0xsin 2 x lim ；x 0 sin 5 x3) lim xcot xx04) l x im(1x x)x；x 1 x 1(5) lim ( )x 1 ；xx 17、比较无穷小的阶1 6)lim (1 x)x；x0(1) x0时 ， 2x x 2与 x 2 x 3 4 ；12(2) x 1时 ， 1 x 与 (1 x 2) ；8、利用等价无穷小性质求极限2) lim sin(x m ) (n ,m 是正整数) ；x 0(sin x)m9、讨论函数的连续性 10、利用函数的连续性求极限B )1、设 f(x) 的定义域是 [0 ，1] ，求下列函数定义域4)lim (11)2xx1) lim ln(2cos2x)x62)lim ( x 2x xx 2x ) ；3)lim lnsin x； x 0x5)设f (x) lim(1nx n )nn,求 lim t1f(t1 11)6) lim xln( x 1) xx 1 11 、设函数 f(x) a x0 x0 应当怎样选择 a ，使得 f (x)成为在 ( ) 内的连续函数。
极限与配合练习题
极限与配合练习题极限是微积分中重要的概念之一，它描述了函数在某一点处的趋近行为。
在实际应用中，极限的概念经常需要与其他数学概念配合使用，以求解各种数学问题。
本文将介绍一些与极限配合的练习题，帮助读者加深对极限概念的理解。
练习1：计算极限求解极限是经常出现在数学分析和微积分课程中的问题。
下面我们通过一个具体的练习题来加深对极限概念的理解。
已知函数f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1)，计算lim(x->1)f(x)的值。
解析：要计算极限lim(x->1)f(x)，我们可以直接代入x=1得到f(1)=0，但这并不是一个标准的求解极限的方法。
为了使用极限的定义来求解，我们可以对函数进行化简。
将分子的(x-1)因式分解，得到f(x) = [(x-1)(x+1)] / (x-1) = x+1。
此时我们可以发现，在x趋近于1的过程中，f(x)趋近于2。
因此，lim(x->1)f(x) = 2。
练习2：利用极限计算函数的导数极限的概念在微积分中还经常被用于计算函数的导数。
下面我们通过一个练习题来探讨这个应用。
已知函数f(x) = e^x，计算f'(x)。
解析：要计算函数f(x) = e^x的导数，我们可以直接应用指数函数的求导规则得到f'(x) = e^x。
然而，我们也可以利用极限的概念来求解。
令h趋近于0，计算lim(h->0)[f(x+h) - f(x)] / h。
将f(x+h)代入并化简，得到lim(h->0)(e^(x+h) - e^x) / h。
根据指数函数的性质，我们知道e^(x+h) / e^x = e^h。
因此，lim(h->0)e^(x+h) / e^x = e^0 = 1。
所以，将1代入极限式，得到lim(h->0)(e^(x+h) - e^x) / h = lim(h->0)(1 - e^x) / h。
进一步化简可得lim(h->0)(1 - e^x) / h = -e^x。
(完整word版)数学分析—极限练习题及详细答案
一、选择题1.若0()lim1sin x x xφ→=，则当x 0→时，函数(x)φ与（ ）是等价无穷小。
A.sin ||xB.ln(1)x -C.11.【答案】D 。
2.设f(x)在x=0处存在3阶导数，且0()lim 1tan sin x f x x x→=-则'''f (0)=（ ）A.5B.3C.1D.0 2.【答案】B.解析由洛必达法则可得30002()'()''()limlimlim1tan sin 2cos sin sin cos cos x x x f x f x f x x x x x xx x -→→→==-+-42200''()''()lim lim 16cos sin 2cos cos 21x x f x f x x x x x --→→===-++++可得'''f (0)3= 3.当x 0→时，与1x 133-+为同阶无穷小的是（ ） A.3xB.34x C.32xD.x3.【答案】A.解析.12233312332000311(1)1133lim lim (1)3313x x x x x x x ---→→→-+⋅==+=选A 。
4.函数2sin f ()lim 1(2)nn xx x π→∞=+的间断点有（ ）个A.4B.3C.2D.14.【答案】C.解析.当0.5x >时，分母→∞时()0f x =，故20.5sin 12lim1(2(0.5))2n x π→--=-+⨯-， 20.5sin12lim1(20.5)2n x π→=+⨯，故，有两个跳跃间断点，选C 。
5.已知()bx xf x a e=-在（-∞，+∞）内连续，且lim ()0x f x →∞=，则常数a ，b 应满足的充要条件是（ ）A.a>0，b>0B.a ≤0，b>0C.a ≤0，b<0D.a>0，b<05.【答案】B 。
极限练习题及解析
极限练习题及解析一、概述极限是微积分的基本概念之一，用于描述数列、函数等在某一点或无穷趋近某一点时的表现。
极限练习题在数学学习中起到了重要的训练和应用作用。
本文将介绍几个经典的极限练习题，并提供详细的解析过程。
二、经典练习题1. 问题描述：求极限$\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}$。
解析：由于分子和分母的次数相同，我们可以利用最高次项的系数进行极限求解。
根据极限的性质，我们可以忽略分子和分母中低阶的项，只保留最高次项。
因此，$\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{n}} = \frac{1}{1+0} = 1$。
2. 问题描述：求极限$\lim_{x\to2}\frac{x^3-8}{x-2}$。
解析：这是一个分式极限问题，我们可以尝试进行因式分解。
由于$x^3-8 = (x-2)(x^2+2x+4)$，我们可以将分子进行因式分解。
然后可以约掉公因式$(x-2)$，即得到$\lim_{x\to2}\frac{x^3-8}{x-2} =\lim_{x\to2}(x^2+2x+4)$。
将$x$代入结果得到$2^2+2\times2+4 = 12$。
3. 问题描述：求极限$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}$。
解析：这是一个常见的三角函数极限问题，我们可以利用泰勒级数展开对$\sin x$进行拆解。
泰勒级数展开为$\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...$。
将展开式带入极限，得到$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x} = \lim_{x\to0}\frac{x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...}{x}$。
第01章 函数与极限习题详解
第一章 函数与极限习 题 1-11．求下列函数的自然定义域： （1）211y x=+-；解：依题意有21020x x ⎧-≠⎨+≥⎩，则函数定义域{}()|2x 1D x x x =≥-≠±且．（2）21arccosx y -=解：依题意有2211360x x x ⎧-≤⎪⎨⎪-->⎩，则函数定义域()D x =∅．（3）2ln(32)y x x =-+-；解：依题意有2320x x -+->，则函数定义域{}()|12D x x x =<<．（4）312x xy -=；解：依题意有30x x -≠，则函数定义域{}()|x 0,1D x x x =-∞<<+∞≠±且．（5）1sin1,121;x y x x ⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩, ， 解：依题意有定义域{}()|D x x x =-∞<<+∞． （6）1arctan y x =+解：依题意有030x x ≠⎧⎨-≥⎩，则函数定义域{}()|3x 0D x x x =≤≠且．2．已知()f x 定义域为[0,1]，求2(), (sin ), (), ()()f x f x f x a f x a f x a +++- (0a >)的定义域．解：因为()f x 定义域为[0,1]，所以当201x ≤≤时，得函数2()f x 的定义域为[1,1]-； 当0sin 1x ≤≤时，得函数(sin )f x 定义域为[2π,(21)π]k k +； 当01x a ≤+≤时，得函数()f x a +定义域为[,1]a a --+；当0101x a x a ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩时，得函数()()f x a f x a ++-定义域为：（1）若12a <，[],1x a a ∈-；（2）若12a =，12x =；（3）若12a >，x ∈∅．3．设21()1,f x x ⎛⎫=- ⎝其中0,a >求函数值(2),(1)f a f ．解：因为21()1f x x ⎛⎫=- ⎝，则 2211(2)142a f a a a a-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，20 ,>1,11(1)1 2 ,0<<111a a f a a ⎛⎫⎧-=-= ⎪⎨ ⎪-⎩⎝⎭．4．设1||1,()0||1,()21|| 1.xx f x x g x x <⎧⎪===⎨⎪->⎩，求(())f g x 与(())g f x ，并做出函数图形．解：121(())0211 21xx xf g x ⎧<⎪==⎨⎪->⎩，即10(())001 0x f g x x x <⎧⎪==⎨⎪->⎩，112||1(())2||12||1x g f x x x -⎧<⎪==⎨⎪>⎩，即2||1(())1||11||12x g f x x x ⎧⎪<⎪==⎨⎪⎪>⎩，函数图形略．5．设1,0,()1,0,x x f x x +<⎧=⎨≥⎩试证：2,1,[()]1,1.x x f f x x +<-⎧=⎨≥-⎩证明：1(),()0[()]1,()0f x f x f f x f x +<⎧=⎨≥⎩，即2,1,[()]1,1x x f f x x +<-⎧=⎨≥-⎩，得证．6．下列各组函数中，()f x 与()g x 是否是同一函数？为什么？ （1）))()ln,()ln3f x xg x ==- ；不是，因为定义域和对应法则都不相同． （2）()()f x g x == 是．（3）22()2,()sec tan f x g x x x ==-； 不是，因为对应法则不同． （4）2()2lg ,()lg f x x g x x ==； 不是，因为定义域不同．7．确定下列函数在给定区间内的单调性： （1）3ln y x x =+，(0,)x ∈+∞；解：当(0,)x ∈+∞时，函数13y x =单调递增，2ln y x =也是单调递增，则12y y y =+在(0,)+∞内也是递增的．（2）1xy x -=-，(,1)x ∈-∞． 解：(1)111111x x y x x x ---===+---，当(,1)x ∈-∞时，函数11y x =-单调递增，则21111y y x ==-是单调递减的，故原函数1x y x-=-是单调递减的．8. 判定下列函数的奇偶性． （1）lg(y x =+；解：因为1()lg(lg(lg(()f x x x x f x --=-+=+=-+=-，所以lg(y x =+是奇函数．（2）0y =；解：因为()0()f x f x -==，所以0y =是偶函数． （3）22cos sin 1y x x x =++-； 解：因为2()2c o s s i n 1f x x x x -=+--，()()()()f x f x f x f x -≠-≠-且，所以22c o s s i n 1y x x x =++-既非奇函数，又非偶函数．（4）2xxa ay -+=.解：因为()()2xxaaf x f x -+==，所以函数2x xa ay -+=是偶函数．9．设()f x 是定义在[,]l l -上的任意函数，证明：（1）()()f x f x +-是偶函数，()()f x f x --是奇函数； （2）()f x 可表示成偶函数与奇函数之和的形式. 证明：（1）令()()(),()()()g x f x f x h x f x f x =+-=--，则()()()(),()()()()g x f x f x g x h x f x f x h x -=-+=-=--=-，所以()()f x f x +-是偶函数，()()f x f x --是奇函数．（2）任意函数()()()()()22f x f x f x f x f x +---=+，由（1）可知()()2f x f x +-是偶函数，()()2f x f x --是奇函数，所以命题得证．10．证明：函数在区间I 上有界的充分与必要条件是：函数在I 上既有上界又有下界. 证明：（必要性）若函数()f x 在区间I 上有界，则存在正数M ，使得x I ∈，都有()f x M ≤成立，显然()M f x M -≤≤，即证得函数()f x 在区间I 上既有上界又有下界（充分性）设函数()f x 在区间I 上既有上界2M ，又有下界1M ，即有12()()f x M f x M ≥≤且，取12max{,}M M M =，则有()f x M≤，即函数()f x 在区间I 上有界．11．下列函数是否是周期函数？对于周期函数指出其周期： （1）|sin |y x =；周期函数，周期为π． （2）1sin πy x =+； 周期函数，周期为2． （3）tan y x x =； 不是周期函数． （4）2cos y x =.周期函数，周期为π．12．求下列函数的反函数： （1）331xx y =-；解：依题意，31x y y =-，则3log 1y x y =-，所以反函数为13()log ,(,0)(1,)1xfx x x -=∈-∞⋃+∞-．（2）()ax b y ad bc cx d+=≠+；解：依题意，b dy x cy a-=-，则反函数1()()b dx f x ad bc cx a--=≠-．（3）(lg y x =+；解：依题意，1(1010)2yyx -=+，所以反函数11()(1010),2x xf x x R--=+∈．（4）ππ3cos 2,44y x x ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭．解：依题意，arccos32y x =，所以反函数1arccos3(),[0,3]2xf x x -=∈．13．在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求这函数分别对应于给定自变量值1x 和2x 的函数值：（1）212e ,1,0,2u y u x x x ====＋；（2）2121,e 1,1,1,1v y u u v x x x =+=-=+==-． 解：（1）215()e ,(0),(2)xy f x f e f e+====（2）12()(e 1)1x y f x +==-+，42(0)22f e e =-+，(1)1f -=．14．在一圆柱形容器内倒进某种溶液，该容器的底半径为r ，高为H ．当倒进溶液后液面的高度为h 时，溶液的体积为V ．试把h 表示为V 的函数，并指出其定义区间．解：依题意有2πV r h =，则22,[0,π]πV h V r H r=∈．15．某城市的行政管理部门，在保证居民正常用水需要的前提下，为了节约用水，制定了如下收费方法：每户居民每月用水量不超过4.5吨时，水费按0.64元／吨计算．超过部分每吨以5倍价格收费．试建立每月用水费用与用水数量之间的函数关系．并计算用水量分别为3.5吨、4.5吨、5.5吨的用水费用．解：依题意有0.64,0 4.5() 4.50.64( 4.5) 3.2,4.5x x f x x x ≤≤⎧=⎨⨯+-⨯>⎩，所以(3.5) 2.24(4.5) 2.88(5.5) 6.08f f f ===元，元，元．习 题 1-21．设21(1,2,3,)31n n a n n +==+ ，（1） 求110100222||,||,||333a a a ---的值；（2） 求N ，使当n N >时，不等式42||103n a --<成立；（3） 求N ，使当n N >时，不等式2||3n a ε-<成立．解：(1) 12321||||,34312a -=-= 1022121||||,331393a -=-=100220121||||33013903a -=-=． （2） 要使 42||10,3n a --< 即 4113310<（n+1）， 则只要9997,9n >取N ＝99971110,9⎡⎤=⎢⎥⎣⎦故当n>1110时，不等式42||103n a --<成立．（3）要使2||3n a ε-<成立，13,9n εε->取139N εε-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，那么当n N >时， 2||3n a ε-< 成立.2．根据数列极限的定义证明：（1）1lim!n n →∞=； （2）lim1n n→∞=．解：（1）0ε∀>， 要使111|0|!!n n nε-<<＝， 只要取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 所以，对任意0ε>，存在1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n N >时，总有1|0|!n ε-<，则1lim 0!n n →∞=.(2) 0ε∀>,要使22|12)nn ε-=<<, 即n >,只要取N =,所以,对任意的ε>0,存在N =, 当n N >, 总有1|nε<, 则lim1n n→∞=.3．若lim n n x a →∞=，证明lim ||||n n x a →∞=．并举例说明：如果数列}{||n x 有极限，但数列}{n x 未必有极限．证明: 因为lim n n x a →∞=, 所以0ε∀>, 1N ∃, 当1n N >时, 有||n x a ε-<.不妨假设a>0,由收敛数列的保号性可知:2N ∃, 当2n N >时, 有0n x >, 取{}12max ,N N N =, 则对ε∀>, N ∃, 当n N >时, 有||||||||n n x a x a ε-=-<.故lim ||||n n x a →∞=. 同理可证0a <时, lim ||||n n x a →∞=成立.反之,如果数列{}||n x 有极限, 但数列{}||n x 未必有极限.如：数列()1nn x =-, ||1n x =， 显然lim ||1n n x →∞=, 但lim n n x →∞不存在．4．设数列{}n x 有界，又lim 0n n y →∞=．证明：lim 0n n n x y →∞=．证明: 依题意,存在M>0, 对一切n 都有||n x M ≤， 又lim 0n n y →∞=, 对0ε∀>, 存在N ,当n N >时, |0|n y ε-<, 因为对上述N , 当n N >时, |0|||||n n n n n x y x y M y M ε-=≤<,由ε的任意性, 则lim 0n n n x y →∞=．5．设数列{}n x 的一般项(3)π2n n x +=，求lim n n x →∞．解: 因为limx →∞=, (3)π|cos|12n +≤, 所以 (3)πlim2x n →∞+=.6．对于数列{}n x ，若21()k x A k -→→∞，2()k x A k →→∞，证明：()n x A n →→∞． 证明: 由于21lim k k x A -→∞=, 所以, 0ε∀>, 10N ∃>, 当1>k N 时，有21||k x A ε--<, 同理,0ε∀>,20N ∃>, 当2k N >时, 有2||k x A ε-<．取N =max {}12,N N , 0ε∀>, 当n N >时,||n x A ε-<成立, 故()n x A n →→∞．习 题 1-31．当1x →时，234y x =+→．问δ等于多少，使当|1|x δ-<时，|4|0.01y -<？ 解：令 1|1|2x -<，则35|1|22x <+<，要使225|4||34||1||1||1||1|0.012y x x x x x -=+-=-=-+<-<，只要|1|0.004x -<，所以取0.004δ=，使当 |1|x δ-< 时，|4|0.01y -<成立．2．当x →∞时，222123x y x +=→-．问X 等于多少，使当||x X >时，|2|0.001y -<？解：要使222217|2||2|3|3|x y x x +-=-=--<0.001, 只要2|3|7000x ->, 即237000x ->. 因此,只要||x >,所以取X ≥．3．根据函数极限的定义证明：（1）3lim (21)5x x →-=； （2）35lim31x x x →∞+=-；（3）224lim42x x x →--=-+； （4）limx →=.证明:(1) 由于|(21)5|2|x x --=-, 任给0ε>,要使|(21)5|x ε--<,只要|3|2x ε-<．因此取2εδ=,则当0|3|x δ<-<时, 总有|(21)5|x ε--<,故3lim (21)5x x →-=．(2) 由于358|3|1|1|x x x +-=--,任给0ε>, 要使35|3|1x x ε+-<-,只要8|1|x ε<-,即81x ε>+或81x ε<-, 因为0ε>,所以88|1||1|εε+>-, 取8|1|M ε=+，则当||x M >时, 对ε∀>,总有35|3|1x x ε+-<-,故有35lim31x x x →∞+=-．(3)由于24|(4)||2|2x x x ---=++,任给0ε>,,要使24|(4)|2x x ε---<+,只要|2|x ε+<,因此取δε=,则当0|(2)|x δ<--<时,总有24|(4)|2x x ε---<+,故224lim42x x x →--=-+. (4) 由于|0|=<,任给0ε>,要使|0|ε-<,ε<,即21x ε>,因此取21M ε=,则当x>M 时,总有|0|ε<,故limx →+∞=.4．用X ε-或εδ-语言，写出下列各函数极限的定义：（1）lim ()1x f x →-∞=； （2）lim ()x f x a →∞=；（3）lim ()x af x b +→=； （4）3lim ()8x f x -→=-．解: (1) 0,ε∀> 0M ∃>, 当x<-M 时, 总有|()1|f x ε-<;(2) 0,ε∀> 0M ∃>, 当||x M >, 总有|()|f x a ε-<;(3) 0,ε∀> 0δ∃>, 当a x a δ<<+时, 总有|()|f x b ε-<; (4) 0,ε∀> 0δ∃> 当33x δ-<<时, 总有|()8|f x ε+<． 5．证明:0lim ||0x x →=.证明: 由于0lim ||lim 0x x x x ++→→==, 0lim ||lim ()0x x x x --→→=-=,所以0lim ||0x x →=.6．证明：若x →+∞及x →-∞时，函数()f x 的极限都存在且都等于A ，则l i m()x f x A→∞=．证明: 由于l i m ()x f x A →+∞=,则对0ε∀>,10M ∃>,当1x M >时,有|()|f x A ε-<．又lim ()x f x A →-∞=,则20M ∃>,当2x M <-,有|()|f x A ε-<.取{}12max ,M M M =那么对0ε∀>,当||x M >时,总有|()|f x A ε-<,故有lim ()x f x A →∞=.习 题 1-41．根据定义证明：（1）211x y x -=+为当1x →时的无穷小；（2）1sin y x x=为当x →∞时的无穷小； （3）13x y x+=为当0x →时的无穷大．证明:(1) 0ε∀>,因为21|0||1|1x x x --=-+,取δε=,则当0|1|x δ<-<时, 总有0x ≠,故211lim01x x x →-=+．(2) 0ε∀>,因为111|sin 0||sin |||||x x xx x -=≤,取1M ε=, 则当||x M >时, 总有1|sin |1|sin 0|||||x x xx x ε-=≤<, 故1limsin 0x x x→∞=.(3) 0M ∀>, 13M δ∃=+,当0||x δ<<时,总有1311|||3|3||x Mxxx +=+>->,所以13limx x x→+=∞.2．函数sin y x x =在(0,)+∞内是否有界？该函数是否为x →+∞时的无穷大？ 解答: 取2πn x n =,则0n y =,因此当2πn x n =()n →∞时, ()0n n y x →→+∞故函数 sin y x x = 当x →+∞时,不是无穷大量．下证该函数在()0,+∞内是无界的. 0M ∀>,π2π2n x n ∃=+且()n x n →+∞→∞,πππ2πsin 2π2π222n y n n n ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取[]01N M =+, 00π2π(0,)2x N ∃=+∈+∞,有0π2π2n y N M=+≥，所以sin y x x =是无界的.3．证明：函数11cosy xx=在区间(0,1]上无界，但这函数不是0x +→时的无穷大．证明: 令1tx =,类似第2题可得．习 题 1-51．求下列极限： （1）23231lim41n n n n n →∞+++-；（2）111lim 1223(1)n n n →∞⎡⎤+++⎢⎥⋅⋅+⎣⎦ ；（3）22212lim n n nn n →∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭ ；（4）1132lim 32nn n n n ++→∞+-； （5）2211lim54x x x x →--+；（6）3221lim53x x x x →+-+；（7）lim x →+∞；（8）2221lim53x x x x →∞+++； （9）33()limh x h xh→+-；（10）22131lim41x x x x →+-+；（11）3131lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭； （12）23lim 531x x x x x →∞+-+；（13）1limx →（14）3lim 21x xx →∞+；（15）3lim (236)x x x →∞-+；（16）323327lim3x x x x x →+++-．解:(1) 23231lim41n n n n n →∞+++- = 233311lim 0411n nn n nn→∞++=+-．(2) 111lim 1223(1)n n n →∞⎡⎤+++⎢⎥⋅⋅+⎣⎦ = 111111lim ()()()12231n n n →∞⎡⎤-+-++-⎢⎥+⎣⎦= 1lim(1)11n n →∞-=+．(3)22212lim n n nn n →∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭ =21(1)12lim 2n n n n→∞+=．(4) 1132lim32n n n n n ++→∞+-=21()13lim2332()3nn n →∞+=-⋅．(5) 2211lim54x x x x →--+=1(1)(1)lim (1)(4)x x x x x →-+--=112lim43x x x →+=--．(6) 3221lim 53x x x x →+-+=322132523+=--⨯+．(7) limx →+∞=limx→+=lim x→111lim 2x →+∞-=．(8) 2221lim53x x x x →∞+++=2212lim2531x x xx→∞+=++．(9) 33()lim h x h xh→+-=32233(33)limh x x h xh h xh→+++-=3220lim (33)3h x xh h x →++=．(10) 3131lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭=2313(1)lim 1x x x x →⎛⎫-++ ⎪-⎝⎭=21(1)(2)lim (1)(1)x x x x x x →-+-++ =212lim11x x x x→+=++．(11) 23lim531x x x x x →∞+-+=22311lim0315x x xxx→∞+=-+．(12) 1limx →=1limx →=1lim x →．(13) 3lim21x xx →∞+=2lim12x xx→∞=+∞+．(14) 3lim (236)x x x →∞-+=32336lim (2)x x xx→∞-+=∞．(15) 323327lim 3x x x x x →+++-=32331lim (327)lim3x x x x x x →→+++⨯=∞-．2．设,0,()2,0.x e x f x x a x ⎧<=⎨+≥⎩ 问当a 为何值时，极限0lim ()x f x →存在．解：因为0lim ()lim 1,lim ()lim (2)x x x x x f x e f x x a a --++→→→→===+=，所以，当0lim ()lim ()x x f x f x -+→→=，即1a =时，0lim ()x f x →存在．3．求当x 1→时，函数12111x x ex ---的极限．解：因为11211111limlim (1)0,1x x x x x e x ex ----→→-=+=-11211111lim lim (1),1x x x x x ex ex ++--→→-=+=+∞-所以12111lim 1x x x ex -→--不存在。
高二数学必修二：多元函数的极限习题解析
高二数学必修二：多元函数的极限习题解析多元函数的极限在高二数学必修二中是一个非常重要的概念。
它不仅被广泛运用在解析几何、微积分等数学领域，也有着深远的实际应用。
在本文中，我们将重点解析多元函数的极限的相关习题，帮助同学们更好地理解和掌握这个概念。
1. 习题一：求极限给定函数 f(x, y) = (x^2 + y^2) / (x + y)，求函数 f(x, y) 在点 (0, 0) 处的极限。
解析：为了求得函数 f(x, y) 在点 (0, 0) 处的极限，我们可以先尝试直接代入该点。
但由于分母中含有 (x + y)，而在点 (0, 0) 处，分母值为 0，因此无法直接代入。
为了解决这个问题，我们可以考虑用极坐标来表示点 (x, y)。
令 x = rcosθ，y = rsinθ，其中 r > 0，θ ∈ [0, 2π)。
代入函数 f(x, y) = (x^2 + y^2) / (x + y) 中，得到：f(rcosθ, rsinθ) = (r^2cos^2θ + r^2sin^2θ) / (rcosθ + rsinθ)= r^2 (cos^2θ + sin^2θ) / (r(cosθ + sinθ))= r (cos^2θ + sin^2θ) / (cosθ + sinθ)= r / (cosθ + sinθ)当r → 0 时，函数f(r, θ) 的极限为：lim (r→0) f(r, θ) = lim (r→0) (r / (cosθ + sinθ))= 0 / (cosθ + sinθ)= 0因此，函数 f(x, y) 在点 (0, 0) 处的极限为 0。
2. 习题二：求极限给定函数 f(x, y) = (xy) / (x^2 + y^2)，求函数 f(x, y) 在点 (0, 0) 处的极限。
解析：同样地，我们可以先尝试直接代入该点，但由于分母中含有 (x^2 + y^2)，在点 (0, 0) 处分母值为 0，因此无法直接代入。
函数极限定义证明习题解析
在。则所有这些极限都相等。 证：对{xn} (x0)，{yn} (x0)，xn x0，yn x0， 令 zn：x1, y1, x2, y2,…, xn, yn 则{zn} (x0)，zn x0, 由假设， lim f ( z n ) 存在，设为 A, 从而{ f(xn)}，{ f(yn)} 作
x1
n(n 1) 2 n 1 x 1 1 1 x lim (4). lim x 0 x 0 x n x (1 x) n 1 n (1 x) n 2 n (1 x) n 1 n [ x] (5). lim x x 1 [ x] 当 x >0，x-1< [ x] x, 从而 1 1 x x 0 x x x 1 [ x] 1 而 lim 1 1, lim 1 1, lim 1 x x x x [ x] x [ x] 1 x [ x] 1 当 x <0，x-1< [ x] x, 从而 1 1 x x 1 [ ] x 而 lim 1 1, lim 1 1, lim 1 x x x x x [ x] 综上， lim 1 x x 9．(1). 证明：若 lim f ( x 3 ) 存在，则 lim f ( y ) lim f ( x 3 ) 1 2 3 n
n
为{ f(zn)}的两个子列，必有 lim f ( x n ) lim f ( x n ) A ，由{yn}，{xn}的任意性，即见
n n
所有极限 lim f ( x n ) 都相等。
n
5．设 f 为(x0)上的递增函数，证明：f (x0-0)和 f (x0+0)都存在，且 f ( x0 0) sup f ( x), f ( x0 0) inf f ( x)
数学分析—极限练习题及详细答案教学文稿
数学分析—极限练习题及详细答案一、选择题1.若0()lim1sin x x xφ→=，则当x 0→时，函数(x)φ与（ ）是等价无穷小。
A.sin ||xB.ln(1)x -C.1 1.【答案】D 。
2.设f(x)在x=0处存在3阶导数，且0()lim 1tan sin x f x x x→=-则'''f (0)=（ ）A.5B.3C.1D.02.【答案】 B.解析由洛必达法则可得30002()'()''()limlimlim1tan sin 2cos sin sin cos cos x x x f x f x f x x x x x xx x -→→→==-+-42200''()''()lim lim 16cos sin 2cos cos 21x x f x f x x x x x --→→===-++++可得'''f (0)3= 3.当x 0→时，与1x 133-+为同阶无穷小的是（ ） A.3xB.34x C.32xD.x3.【答案】A.解析.1223331233200311(1)1133lim lim (1)3313x x x x x x x ---→→→-+⋅==+=选A 。
4.函数2sin f ()lim 1(2)nn xx x π→∞=+的间断点有（ ）个A.4B.3C.2D.14.【答案】C.解析.当0.5x >时，分母→∞时()0f x =，故20.5sin 12lim1(2(0.5))2n x π→--=-+⨯-， 20.5sin12lim 1(20.5)2n x π→=+⨯，故，有两个跳跃间断点，选C 。
5.已知()bx xf x a e=-在（-∞，+∞）内连续，且lim ()0x f x →∞=，则常数a ，b 应满足的充要条件是（ ）A.a>0，b>0B.a ≤0，b>0C.a ≤0，b<0D.a>0，b<05.【答案】B 。
关于函数极限存在性的练习题(老黄学高数第102讲)
；则 f(x)=0f(x)=0， f(x)=1，
f(x)≠ f(2)，∴ f(x)不存在.
3、试给出函数f的例子，使f(x)>0恒成立，而 在某一点x0处，有 f(x)=0， 这同极限的局部保号性有矛盾吗？
解：设f(x)=
；则f(x)>0，且 f(x)=0.
老黄学高数
第102讲 关于函数极限
存在性的练习
1、分别求出满足下述条件的常数a与b：
(1)
=0；
解：(1)原极限=
当1-a=0，a+b=0时，原式成立. 解得a=1,b= -1.
1、分别求出满足下述条件的常数a与b：
(2)
=0；
解：(2)原极限=
当1-a2=0，1+2ab=0，-1+a≠0时，原式成立. 解得或a= -1，b=1/2.
这与局部保号性不矛盾. 在局部保号性定理中要求 f(x)=A≠0. 而这里的A=0. 所以不矛盾. 函数值(或数列的项)恒不为0时，极限仍可能等于0.
1、分别求出满足下述条件的常数a与b：
(3)
=0.
解：(3)原极限=
当1-a2=0，1+2ab=0，1+a≠0时，原式成立. 解得或a= 1，b= -1/2.
2、试分别举出符合下列要求的函数f. (1) f(x)≠f(2)；(2) f(x)不存在.
解：(1)设f(x)= ∴ f(x)≠f(2).
高等数学习题集[附答案及解析]
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第一章 函数与极限§1 函数必作习题P16－18 4 (5) (6) (8)，6，8，9，11，16，17必交习题一、一列火车以初速度0v ，等加速度a 出站，当速度达到1v 后，火车按等速运动前进；从出站经过T 时间后，又以等减速度a 2进站，直至停止。
(1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式；(2) 作出函数)(t v v =的图形。
二、 证明函数12+=x x y 在),(+∞-∞内是有界的。
三、判断下列函数的奇偶性： (1)x x x f 1sin)(2= ；(2)1212)(+-=x x x f ；(3))1ln()(2++=x x x f 。
四、 证明：若)(x f 为奇函数，且在0=x 有定义，则0)0(=f 。
§2 初等函数必作习题P31－33 1，8，9，10，16，17必交习题一、 设)(x f 的定义域是]1,0[，求下列函数的定义域：(1))(x e f ；(2))(ln x f ；(3))(arcsin x f ；(4))(cos x f 。
二、(1)设)1ln()(2x x x f +=，求)(x ef -；(2)设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f ；(3)设xx f -=11)(，求)]([x f f ，})(1{x f f 。
)1,0(≠≠x x三、设)(x f 是x 的二次函数，且1)0(=f ，x x f x f 2)()1(=-+，求)(x f 。
四、设⎩⎨⎧>+≤-=0,20,2)(x x x x x f ，⎩⎨⎧>-≤=0,0,)(2x x x x x g ，求)]([x g f 。
P42 3 (3) (4)，4，5，6必交习题一、 写出下列数列的前五项 (1)3sin 31n n x n =；(2)n n n n x n ++++++=22212111Λ；(3)nx n x n n n)1(1211122-=+++=-，Λ。
高等数学(函数与极限)习题及解答
练习1-1(2)∕(∕n5S)W)∙4.设映射f ιX→Y y若存在一个映射g.Y→X.使S-f=I x 5 f-g=ιγ,其中《、“分别是x、y上的恒等映射，即对于每一个xwX,有ZYXnc;对于每一个ywlζ有b>⅛=y.证明:/是双射, 且g是/的逆映射:g=f~x.5.设映射f .X→Y,A^X.证明: (Ir I m)=>4；(2)当/是单射时，有Γ1(∕(^)M・6.求下列函数的自然定义域: (l)y=V3x+2 ;⑶丿=丄-JI-X2 ；X(5) j∕=sin √x;(7)戶arcsing - 3);(8)>,=√3-x+arctan—;⑼TI如);解±x+l>O得函数的定义域P=（-19+∞X1(IO)尸尹.解±x≠0得函数的定义域6（-00, 0）u（0,+00）.7.下列各题中，函数、冷）和蛉）是否相同？为什么? (l)∕(x)≡lgx2,4g(x)≡21gx;解不同.因为定义域不同.⑵/（兀）=七g（x）=V?；解不同.因为对应法则不同,无<0时,g（x）=-兀.⑶f(x)=l∕^(X)=X^[x^i ;解和同.因为定义域、对应法则均相相同.(4MX)=I, g(x)=sec2x-tai^x .解不同.因为定义域不同.&设卩（兀）=<兀一3疗一求久石），仅牙）5 0（-牙｝9吠-2）9并作出函数片於）的图形.9・试证下列函数在指定区间内的单调性:⑴p=⅛gi);(2)y=x+lnx, (0, +□o).io.设yu)为定义在(-M内的奇函数，若沧)在(0』内单调埠加，证明金)在(-/,0)内也单调增加・11.设下面所考虑的函数都是定义在对称区间上的，证I(1)两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明设F(x)=f(xyg(x∖如果Λr)和能)都是偶函数，则F(-x M-兀)∙g(-x )∕X)∙g(x)=F(Q 所以Fa)为偶函数，即两个偶函数的积是偶函数.如果压)和ME都是奇函数7则F(→)=∕(-x) g(-Λ)=[√{x)] [-g(x)]√(x)∙g(x)=F(x)9 所以Fa)为偶函数，即两个奇函数的积是偶函数・如果用)是偶函数，而g(x)是奇函数，则F(-x>√(-兀)g(-xM>)[-曲)]=√(H)於)=-F(Q 所以F(Q为奇函数，即偶函数与奇函数的积是奇函数.12.下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非奇目数又菲偶函数？{l)y=x2(l-x2);解因为Λ→X→)2[l-(→)2]^x2( 1 →2M X),所以√(x)是偶函I-X2.l+x2 9解因为/(一X)=走⅛g,所畑)是偶函{2)y=3x2-x3;⑶尸(4]yw(x-I)(X+1);(5)y=sinx-cos x+1;解由∕{-x)=SirI(-工)-cos(-x)+1 =-sinx-cos x+1 可见√(v)既? 数又非偶函数，(6)尸¥13.下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期：(l)y=cos(x-2);(2)y=cos 4x;(3)y=l+sinπv;(4]y=xcosx;(5)y-siι∕x.14.求下列函数的反函数: (l)y=Vjc+l ；解由尸炖得⑵尸l—x. 1+x ,解由y=2sin Sx 得1 - yX=—arcsm⅛-.3 2所以y=2sinlr 的反函数为解由尸昙得一 1一丿X ~u7,所以v=⅛的反函数为(^y=^±^(ad-bc≠O); cx+a解由P=空毘得CX+d所以空卑的反函数为V =Ir一 dx+b(5)尸 l+ln*+2); 解 由*l+ln*+2)得所以y=l 十ln&十2）的反函数为 y=e x ^l -2.解由少=莞?得 X=Iog2 F L , ι-y所以尸丄的反函数为 2x +lP=Iog215. 设函数金）在数集X 上有定义 试证：函数庄）在X 上有 界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界・⑹尸 2x 27+l证明先证必要性.设函数TIH)在X 上有界，则存在正数M 使 ∖f(x)∖≤M 9 即-Mg)≤M这就证明了心)在X 上有下界-M 和上界M. 再证充分性设函数刃>)在X 上有下界Kl 和上界心，即 KIg)≤ K 2. 取M=UmX{Kι∣,KT},则-M<K A ^∖X )<K 1<M,即Iz(X)KM. 这就证明了 Λχy^x±有界. 16. 在下列各题中，求由所给函数复合而成的函数，并求这 函数分别对应于给定自变量值Xi 和Xi 的函数值：解 y=sin2v, I =Sin(2∙-^)=Sm^=^(3) y=y∕^i 9 U ==I+x 9 Xl=IS 兀2= 2; 解 y=y∕l+x 2 9 jμ1=71+l 2 =V2 , y 2 =∖∕l + 22 =√5 a_兀71 ，X l=P,j 2=siπ(2∙^)=sι∩y=L(I)^=W 29 M=Sinx 5 x 16(4)Jfee M9u=x29 Xi =0, x2=l;解y = eχ25y↑ =e°2 =15j∕2=^I2 =e-n II(5)y=u , , xι=l9 %2=-l.解2j5yι=e2,1=e2, j2=^2^"1^=e^2β17.设沧)的定义域D=G U求下列各函数的定义域: (Iw)；解由O≤r2≤l得IXld⑵.AsiiK);解由OSSinXSl得2nπ≤x<(2n+1 )π(∕ι=0, ±1, ±2・・・), 所以函数爪血)的定义域为⑵忆(2H+1)∕Γ](H=O? +1, 土2…)・⑶Λ*)(QO);所以函数/(/)的定义域为解由O≤τ+QSl得-a≤x< 1 -Zi, 所以函数βx+a)的定义域为[-a, ∖-a∖.⑷刃χ+d)t∕H)(U〉o)・解由O≤τ+6r≤ l 且O≤x-α≤l 得: '"ι0<π<y 时，a≤x<∖-a∖ 当α>*时，无解.因此当0<a≤^时函数的定义域为阪1-H当时函数无意义f 1 ∣χ∣<l1& 设f(x)=∖ 0 ∖x∖=l9g(x)=e s9求√[g(x)]^tl g[∕(x)]5并作[-1 ∖x∖>∖出这两个函数的图形.1 解/WA O-1■I 护∣<1 f 1I5即/Ig(χ)]T OW(x)]=RE={ e0x∣<l e心，即M∕Cv)]=j1 x∣>l0 IL IL < => I-IiiIIH^ XXXx>0x=Q.19.已知水渠的横断面为等腰梯形，斜 角歼40。
高数函数的极限连续习题精选及答案
1、函数()12++=x x x f 与函数()113--=x x x g 相同．错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。
∴()12++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与()x g 是不同的函数。
2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。
3、如果数列有界，则极限存在．错误 如：数列()nn x 1-=是有界数列，但极限不存在4、a a nn =∞→lim ，a a n n =∞→lim ．错误 如：数列()nn a 1-=，1)1(lim =-∞→nn ，但n n )1(lim -∞→不存在。
5、如果()A x f x =∞→lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。
6、如果α～β，则()α=β-αo ．正确 ∵1lim=αβ，是 ∴01lim lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。
7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小．正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2022020=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅==-→→→x x x x x x x x x8、 01sin lim lim 1sinlim 000=⋅=→→→xx x x x x x ．错误 ∵xx 1sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。
9、 e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+→11lim 0．错误 ∵e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim10、点0=x 是函数xxy =的无穷间断点．错误 =-→x x x 00l i m 1l i m00-=--→x x x ，=+→xx x 00lim 1lim 00=+→x xx ∴点0=x 是函数xxy =的第一类间断点．11、函数()x f x1=必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质，()x f x1=在0=x 处不连续∴函数()x f x1=在闭区间[]b a ,内不一定取得最大值、最小值 二、填空题：1、设()x f y =的定义域是()1,0，则（１）()x e f 的定义域是（ (,0)-∞ ）；（２）()x f 2sin 1-的定义域是（,()2x x k x k k Z πππ⎧⎫≠≠+∈⎨⎬⎩⎭ ）； （３）()x f lg 的定义域是（ (1,10) ）． 答案：（1）∵10<<xe （2）∵1sin 102<-<x（3）∵1lg 0<<x2、函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=<<-+=403000222x x x x x x f 的定义域是（ (]4,2- ）．3、设()2sin x x f =，()12+=ϕx x ，则()[]=ϕx f （ ()221sin +x ）．4、nxn n sinlim ∞→＝（ x ）．∵x x n n x n n x n x n n n n =⋅==∞→∞→∞→sinlim sin limsin lim 5、设()11cos 11211xx x f x x x x π-<-⎧⎪⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎩，则()10lim x f x →--=（ 2 ），()=+→x f x 01lim （ 0 ）． ∵()1010lim lim (1)2x x f x x →--→--=-=，()()01lim lim 0101=-=+→+→x x f x x6、设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=00cos 12x ax x x x f ，如果()x f 在0=x 处连续，则=a （ 21 ）．∵21cos 1lim 20=-→x x x ，如果()x f 在0=x 处连续，则()a f xx x ===-→021cos 1lim 20 7、设0x 是初等函数()x f 定义区间内的点，则()=→x f x x 0lim （ ()0x f ）．∵初等函数()x f 在定义区间内连续，∴()=→x f x x 0lim ()0x f8、函数()211-=x y 当x →（ 1 ）时为无穷大，当x →（ ∞ ）时为无穷小．∵()∞=-→2111limx x ，()011lim2=-∞→x x9、若()01lim2=--+-+∞→b ax x xx ，则=a （ 1 ），=b （ 21-）． ∵()b ax x x x --+-+∞→1lim2()()()bax x x b ax x x b ax x x x +++-+++---+-=+∞→111lim222()()b ax x x b ax x x x +++-+-+-=+∞→11lim 222()()()b ax x x b x ab x a x +++--++--=+∞→11211lim 2222欲使上式成立，令012=-a ，∴1a =±，上式化简为()()2211212112lim lim lim 1x x x b ab ab x b ab a →+∞--++-++--+==+∴1a =，021=+ab ，12b =-10、函数()x x f 111+=的间断点是（ 1,0-==x x ）．11、()34222+--+=x x x x x f 的连续区间是（ ()()()+∞∞-,3,3,1,1, ）．12、若2sin 2lim =+∞→x xax x ，则=a （ 2 ）．()200lim sin 2lim sin 2lim =+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→∞→∞→a a x x a x x ax x x x ∴2=a13、=∞→xxx sin lim（ 0 ），=∞→xx x 1s i nlim （ 1 ）， ()=-→xx x 11lim （ 1-e ），=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→kxx x 11lim （ ke ）． ∵0sin 1lim sin lim =⋅=∞→∞→x x x x x x 111sin lim1sin lim ==∞→∞→xx x x x x ()[]1)1(11)(1lim 1lim --⋅-→→=-+=-e x x xx x x kkx x kx x e x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→)11(lim 11lim14、lim sin(arctan )x x →∞=（ 不存在 ），l i ms i n (a r c c o t )x x →+∞=（ 0 ）三、选择填空：1、如果a x n n =∞→lim ，则数列n x 是（ b ）a.单调递增数列 b ．有界数列 c ．发散数列 2、函数()()1log 2++=x x x f a 是（ a ）a ．奇函数b ．偶函数c ．非奇非偶函数 ∵()()11log 1)(log 22++=+-+-=-x x x x x f aa ()()x f x x a -=++-=1log 23、当0→x 时，1-xe 是x 的（ c ）a ．高阶无穷小b ．低阶无穷小c ．等价无穷小4、如果函数()x f 在0x 点的某个邻域内恒有()M x f ≤（M 是正数），则函数()x f 在该邻域内（ c ）a ．极限存在b ．连续c ．有界 5、函数()x f x-=11在（ c ）条件下趋于∞+.a ．1→xb ．01+→xc ．01-→x 6、设函数()x f xx sin =，则()=→x f x 0lim （ c ）a ．１b ．－１c ．不存在 ∵1sin lim sin limsin lim000000-=-=-=-→-→-→xxx x x xx x x1sin lim sin lim 0000==-→+→xx x x x x 根据极限存在定理知：()x f x 0lim →不存在。
数学分析上册练习题及答案第三章函数极限
第三章函数极限1． 函数极限概念1． 按定义证明下列极限：（1）65lim 6x x x→+∞+=；（2）22lim(610)2x x x →-+=；（3）225lim 11x x x →∞-=-;（4）2lim 0x -→=； （5）00lim cos cos x x x x →=.证明（1）任意给定0ε>，取5M ε=，则当x M >时有65556x x x Mε+-=<=.按函数极限定义有65lim6x x x→+∞+=.（2）当2x ≠时有，2(610)2(2)(4)24x x x x x x -+-=--=--.若限制021x <-<，则43x -<.于是，对任给的0ε>，只要取min{1,}3εδ=，则当02x δ<-<时，有2(610)2x x ε-+-<.故有定义得22lim(610)2x x x →-+=.(3)由于22254111x x x --=--.若限制1x >，则2211x x -=-，对任给的0ε>，取max M ⎧⎪=⎨⎪⎩，则当x M >时有22225441111x x M x ε--=<=---，所以225lim 11x x x →∞-=-.(4)0==若此时限制021x <-<，==<=0ε>，取2min{1,}4εδ=，当02x δ<-<022εε<≤⋅=，故由定义得2lim 0x -→=.（5）因为sin ,x x x R ≤∈，则0000000cos cos 2sinsin 2sin sin 222222x x x x x x x x x x x x x x -+-+--=-=≤⋅=-.对任给的0ε>，只要取δε=，当00x x δ<-<时，就有00cos cos x x x x δε-≤-<=，所以按定义有00lim cos cos x x x x →=.2． 叙述0lim ()x x f x A →≠。
第二章极限习题及答案：函数极限
求第一类函数的极限例 讨论下列函数当∞→-∞→+∞→x x x ,,时的极限：（1）121)(-⎪⎭⎫⎝⎛=xx f（2）11)(-=x x f（3）⎪⎩⎪⎨⎧≥++<=）（）（0 120 2)(x x x x x h分析：先作出函数的图像，根据函数极限的定义，观察、分析函数值的变化趋势来讨论所给函数的极限．解：作出所给各函数的图像由图像可知：（1）)(lim x f x -∞→不存在，)(lim ,1)(lim x f x f x x ∞→+∞→-=不存在（2）0)(lim ,0)(lim ,0)(lim ===∞→-∞→+∞→x g x g x g x x x（3）)(lim ,2)(lim ,1)(lim x g x h x h x x x ∞→-∞→+∞→==不存在．说明：函数)(x f 当∞→x 时的极限与数列{}n a 当∞→n 时的极限不同，前者包括当+∞→x 时的极限，当-∞→x 时的极限，只有)(lim)(limx f x f x x -∞→+∞→=时，)(lim x f x ∞→的极限才存在．由于1121l i m -=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→n n ，容易错误地认为1121lim -=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→x x ．事实上，1121lim -=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→x x ，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→121lim x x 不存在，所以⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→121lim x x 的极不存在．求函数的左右极限例 讨论下列函数在点1=x 处的左极限、右极限以及函数在1=x 处的极限： （1）⎩⎨⎧≥<-=)1(log)1(1)(4x x x x x f（2）⎩⎨⎧≥<-=)1()1(1)(2x x x x x g（3）⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-=)1()1()1(11)(2x x x x x h（4）2)23)(1()(2-+--=x x x x x ϕ分析：先作出各个函数的图像，通过观察、分析函数的图像，函数的变化趋势，根据函数的极限的定义，求出函数在点1=x 处的左、右极限以及在1=x 处的极限．解：作出所给各函数的图像．由图像可知：（1）0)(lim ,0)(lim 11==+-→→x f x f x x ，因此0)(lim 1=→x f x ．（2）1)(lim ,0)(lim 11==+-→→x g x g x x ，因此)(lim 1x g x →不存在．（3）)(lim 1x h x -→不存在，0)(lim 1=+→x h x ，因此)(lim 1x h x →不存在．（4）)2()1(2)23)(1()(22≠-=-+--=x x x x xx x ϕ．由函数极限的定义有：0)(lim )(lim )(lim 111===→→→+-x h x x x x x ϕϕ．说明：利用定义求函数在一点处的左、右极限是最常用的方法，分段函数在分点处的左、右极限与分点附近两侧的解析式有关，不能代错，如（1）中x x f x x 411loglim )(lim -→→≠．判断函数的极限是否存在例 判断函数11)(2--=x xx f 在x =1处的极限是否存在．分析：函数表达式中含有绝对值符号，因此要分类讨论，即分别求点1=x 处的左极限和右极限．解：2)1(lim 11lim11lim12121-=--=--=---→-→-→x xx x x x x x ；.2)1(lim 11lim 11lim 12121=+=--=--+++→→→x x x x x x x x因为11lim 11lim2121--≠--+-→→x x x x x x ，所以函数11)(2--=x xx f 在x =1处的极限不存在．说明：本题表明了函数在一点处的极限与函数在这点的左极限、右极限的关系，即.)(lim )(lim )(lim 0a x f x f a x f x x x x x x ==⇔=+-→→→。
第一章函数与极限习题参考解答
习题1-1 映射与函数 1、求下列函数的自然定义域： （1）211x x y --=（2）)3arcsin(-=x y （3）xx y 1arctan 3+-= 解（1）由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1]. （2）由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4].(3) 由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3).2、在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求这函数分别对应于给定自变量值1x 和2x 的函数值：（1）3,6,sin ,212ππ====x x x u u y解y =sin 2x , 41)21(6sin 221===πy ,43)23(3sin 222===πy . （2）2,1,1,212==+==x x x u u y解 21x y +=, 21121=+=y , 52122=+=y （3）1,1,,212-====x x e u u y x解 y =e 2x , y 1=e 2⋅1=e 2, y 2=e 2⋅(-1)=e -2.习题1-2 数列极限 函数极限1、下列各题中，哪些数列收敛？哪些数列发散？对收敛数列，通过观察{}n x 的变化趋势， 写出它们的极限：（1）n n x 21=（2）212n x n +=（3）11+-=n n x n （4）n n x nn1]1)1[(++-= 解（1） 当n →∞时, n n x 21=→0, 021lim =∞→n n .（2） 当n →∞时, 212n x n +=→2, 2)12(lim 2=+∞→nn .（3）当n →∞时, 12111+-=+-=n n n x n →0, 111lim =+-∞→n n n .（4）发散，因为当n 为偶数时,数列趋于2，而当n 为奇数时,数列趋于0。
2、求()()xx x x xx f ==ϕ, 当0→x 时的左、右极限，并说明它们在0→x 时的极限是否存在证明 （1）因为 11lim lim )(lim 00===---→→→x x x x x x f , 11lim lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x f ,)(lim )(lim 0x f x f x x +→→=-, 所以极限)(lim 0x f x →存在.（2）因为1lim ||lim )(lim 00-=-==---→→→xx x x x x x x ϕ, 1lim ||lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x x x ϕ,)(l i m )(l i m 0x x x x ϕϕ+→→≠-, 所以极限)(lim 0x x ϕ→不存在 3、用定义证明： 0sin lim=+∞→xx x分析 因为x x x x x 1|sin |0sin ≤=-. 所以要使ε<-0sin x x , 只须ε<x1, 即21ε>x .证明 因为∀ε >0, ∃21X ε=>, 当x > X 时, 有ε<-0sin x x , 所以0sin lim =+∞→xx x 。
(完整版)函数极限习题与解析
函数与极限习题与解析（同济大学第六版高等数学）一、填空题1、设x x x f lg lg 2)(+-= ，其定义域为 。
2、设)1ln()(+=x x f ，其定义域为 。
3、设)3arcsin()(-=x x f ，其定义域为 。
4、设)(x f 的定义域是[0，1]，则)(sin x f 的定义域为 。
5、设)(x f y =的定义域是[0，2] ，则)(2x f y =的定义域为 。
6、432lim 23=-+-→x k x x x ，则k= 。
7、函数xx y sin =有间断点 ，其中 为其可去间断点。
8、若当0≠x 时 ，x x x f 2sin )(=，且0)(=x x f 在处连续 ，则=)0(f 。
9、=++++++∞→)21(lim 222nn n n n n n n 。
10、函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 连续的 条件。
11、=++++∞→352352)23)(1(lim x x x x x x 。
12、3)21(lim -∞→=+e n kn n ，则k= 。
13、函数23122+--=x x x y 的间断点是 。
14、当+∞→x 时，x1是比3-+x15、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是 无穷小。
16、函数x e y 1=在x=0处是第 类间断点。
17、设113--=x x y ，则x=1为y 的 间断点。
18、已知33=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf ，则当a 为 时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。
19、设⎪⎩⎪⎨⎧>+<=0)1(02sin )(1x ax x x xx f x 若)(lim 0x f x →存在 ，则a=。
20、曲线2sin 2-+=x xx y 水平渐近线方程是 。
21、114)(22-+-=x x x f 的连续区间为 。
22、设⎩⎨⎧>≤+=0,cos 0,)(x x x a x x f 在0=x 连续 ，则常数a= 。
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函数与极限习题与解析 （同济大学第六版高等数学）一、填空题 1、设x x x f lg lg 2)(+-=，其定义域为 。
2、设)1ln()(+=x x f ，其定义域为 。
3、设)3arcsin()(-=x x f ，其定义域为 。
4、设)(x f 的定义域是[0，1]，则)(sin x f 的定义域为 。
5、设)(x f y =的定义域是[0，2] ，则)(2x f y =的定义域为 。
6、432lim23=-+-→x kx x x ，则k= 。
7、函数xxy sin =有间断点 ，其中 为其可去间断点。
8、若当0≠x 时 ，xxx f 2sin )(=，且0)(=x x f 在处连续 ，则=)0(f 。
9、=++++++∞→)21(lim 222nn nn n n n n Λ 。
10、函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 连续的 条件。
11、=++++∞→352352)23)(1(lim xx x x x x 。
12、3)21(lim -∞→=+e nknn ，则k= 。
13、函数23122+--=x x x y 的间断点是 。
14、当+∞→x 时，x1是比3-+x 15、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是 无穷小。
16、函数xe y 1=在x=0处是第 类间断点。
17、设113--=x x y ，则x=1为y 的 间断点。
18、已知33=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，则当a 为 时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。
19、设⎪⎩⎪⎨⎧>+<=0)1(02sin )(1x ax x xxx f x 若)(lim 0x f x →存在 ，则a= 。
20、曲线2sin 2-+=x xx y 水平渐近线方程是 。
21、114)(22-+-=x x x f 的连续区间为 。
22、设⎩⎨⎧>≤+=0,cos 0,)(x x x a x x f 在0=x 连续 ，则常数a= 。
二、计算题1、求下列函数定义域 （1）211xy -= ； （2）x y sin = ；（3）xe y 1= ；2、函数)(x f 和)(x g 是否相同？为什么？（1）x x g x x f ln 2)(,ln )(2== ；（2）2)(,)(x x g x x f == ；（3）x x x g x f 22tan sec )(,1)(-== ；3、判定函数的奇偶性（1）)1(22x x y -= ； （2）323x x y -= ；（3）)1)(1(+-=x x x y ；4、求由所给函数构成的复合函数 （1）22,sin ,x v v u u y === ；（2）21,x u uy +== ；（3）x v e u u y vsin ,,2=== ；5、计算下列极限 （1）)2141211(lim n n ++++∞→Λ ； （2）2)1(321limn n n -++++∞→Λ ；（3）35lim 22-+→x x x ； （4）112lim 221-+-→x x x x ；（5）)12)(11(lim 2xx x -+∞→ ； （6）2232)2(2lim -+→x x x x ；（7）x x x 1sin lim 20→ ； （8）xx x x +---→131lim 21 ；（9）)1(lim 2x x x x -++∞→ ；6、计算下列极限 （1）xwx x sin lim0→ ； （2）x xx 5sin 2sin lim 0→ ；（3）x x x cot lim 0→ ； （4）xx xx )1(lim +∞→ ；（5）1)11(lim -∞→-+x x x x ； （6）x x x 10)1(lim -→ ；7、比较无穷小的阶（1）32220x x x x x --→与，时 ；（2）)1(21112x x x --→与，时 ；8、利用等价无穷小性质求极限（1）30sin sin tan lim x x x x -→ ； （2）),()(sin )sin(lim0是正整数m n x x m n x → ；9、讨论函数的连续性。
在⎩⎨⎧=>-≤-=11,31,1)(x x x x x x f10、利用函数的连续性求极限（1）)2cos 2ln(lim 6x x π→； （2）)(lim 22x x x x x --++∞→ ；（3）x x x sin lnlim 0→ ； （4）xx x2)11(lim +∞→ ；（5）)11(lim ,)1(lim )(1--=+→∞→t f nxx f t nn 求设 ；（6）)11ln(lim +-∞→x x x x ；11、设函数⎩⎨⎧≥+<=0,0,)(x x a x e x f x应当怎样选择a ，使得)()(∞+-∞，成为在x f 内的连续函数。
12、证明方程135=-x x 至少有一个根介于1和2之间。
（B ）1、设)(x f 的定义域是[0 ，1] ，求下列函数定义域（1）)(xe f y = （2）)(ln x f y =2、设⎩⎨⎧>-≤=⎩⎨⎧>≤=0,0,0)(0,,0)(2x x x x g x x ox x f 求)]([,)]([,)]([,)]([x f g x g f x g g x f f3、利用极限准则证明：（1）111lim =+∞→n n （2）1]1[lim 0=+→xx x ；（3）数列Λ,222,22,2+++的极限存在 ；4、试比较当0→x 时 ，无穷小232-+xx 与x 的阶。
5、求极限（1）)1(lim 2x x x x -++∞→ ； （2）1)1232(lim +∞→++x x x x ； （3）30sin tan limxxx x -→ ；（4）)0,0,0()3(lim 10>>>++→c b a c b a x xx x x ；6、设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=0,0,1sin )(2x x a x x x x f 要使),()(∞+-∞在x f 内连续， 应当怎样选择数a ？7、设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-01,)1ln(0,)(11x x x ex f x 求)(x f 的间断点，并说明间断点类型。
（C ）1、已知x x f e x f x-==1)]([,)(2ϕ ，且0)(≥x ϕ ，求)(x ϕ并写出它的定义域。
2、求下列极限：（1）、]ln cos )1ln([cos lim x x x -++∞→ ；（2）、xx x x x cos sin 1lim0-+→ ； （3）、求xx x x 2sin 3553lim 2⋅++∞→ ；（4）、已知9)(lim =-+∞→x x a x a x ，求常数a 。
（5）、设)(x f 在闭区间],[b a 上连续 ，且b b f a a f <>)(,)( ，证明：在开区间),(b a 内至少存在一点ξ ，使ξξ=)(f 。
第一章 函数与极限习 题 解 析（A ）一、填空题（1）]2,1( （2）),1(∞+- （3）[2 ，4]（4）{}z k k x k x ∈+≤≤,)12(2ππ （5）]2,2[- （6）-3 （7）0;,=∈=x zk k x π （8）2 （9）1 （10）充分 （11）21 （12）23- （13）x=1 , x=2 （14）高阶 （15）同阶 （16）二 （17）可去 （18）2 （19）-ln2（20）y=-2 （21）]2,1(]1,2[Y - （22）1二、计算题1、（1） ),1()1,1()1,(∞+---∞Y Y（2） ),0[∞+ （3）),0()0,(∞+-∞Y2、（1）不同，定义域不同 （2）不同，定义域、函数关系不同（3）不同，定义域、函数关系不同3、（1）偶函数 （2）非奇非偶函数 （3）奇函数4、（1）[]22)(sin x y = （2）]1[2x y += （3）][sin 2x e y = 5、（1）[ 2 ] （2）]21[ （3）-9 （4）0 （5）2 （6）∞ （7）0 （8）22- （9）21 6、（1）w （2）52 （3）1 （4）1-e （5）2e （6）1-e 7、（1）的低阶无穷小是3222x x x x -- （2）是同阶无穷小 8、（1）21 （2）⎪⎩⎪⎨⎧>∞=<n m n m n m ,,1,0 9、不连续10、（1）0 （2）1 （3）0 （4）2e （5）0 （6）-211、a=1 （B ）1、（1）提示：由10≤≤xe 解得：]0,(∞-∈x （2）提示：由1ln 0≤≤x 解得：],1[e x ∈2、提示：分成o x ≤和0>x 两段求。
)()]([x f x f f = ，0)]([=x g g ，0)]([=x g f , )()]([x g x f g =4、（1）提示：n n 11111+<+< （2）提示：xx x x x x 1]1[)11(⋅<<- （3）提示：用数学归纳法证明：222=+<n a5、提示：xx x x x x x 1312232-+-=-+ 令t x =-12（同阶） 6、（1）提示：乘以x x ++12 ；21 （2）提示：除以x2 ；e （3）提示：用等阶无穷小代换 ；21 （4）提示： x xx x c b a 1)3(++ x c b a c b a x x x x x x x x x c b a 3111111313111-+-+--+-+-⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+-=（3abc ）7、提示：)0()(lim )(lim 00f x f x f x x ==+-→→ （0=a ）8、1=x 是第二类间断点 ，0=x 是第一类间断点（C ）1、解：因为()[]x e x f x -==1)(2ϕϕ ，故)1ln()(x x -=ϕ ，再由0)1ln(≥-x ，得：11≥-x ，即0≤x 。
所以：)1ln()(x x -=ϕ，0≤x 。
2、解：原式=)cos sin 1(cos sin 1lim 20x x x x x x x x ++-+→=xx x x x 20sin sin 21lim +⋅→ =)sin (sin lim 210x x xx x +⋅→=0 3、解：因为当∞→x 时 ，x x 2~2sin， 则x x x x 2sin 3553lim 2⋅++∞→=x x x x 23553lim 2⋅++∞→=x x x x 35106lim 22++∞→=564、解：因为：9=x x a x a x )(lim -+∞→=x x x a x a ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→11lim =a a e e -=a e 2 所以92=a e ，3ln =a5、证明：令x x f x F -=)()( ，)(x F 在[]b a ,上连续 ，且 0)()(>-=a a f a F ，0)()(<-=b b f b F 。