定理与逆定理_直角三角形-优质公开课-鲁教7下精品
第十七章05节 勾股定理勾股定理的逆定理
s a m pl e e s s a ys , pl e a s e s t a y t une d!
目录
01
学习目标
LEARNING OBJECTIVES
1.理解勾股定理的逆定理及证明过程。
2.能简单的运用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
1、a=15 ，b=8 ，c=17
2、a=13 ，b=14 ，c=15
解：∵152+82=289，172=289，
∴152+82=172，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形。
∵132+142=365，152=225，
∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，
∴这个三角形不是直角三角形.
第十七章05节 勾股定理
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M o r e o v e r, o u r s t o r e p r o v i d e s v a r i o u s t y p e s o f c l a s s i c
3
2.5
1
BC
4
6
1
AC
5
6.25
2
45°
∠A
约36.5°
∠B
∠C
90°
约22.5°
90°
90°
约53.5°
约67.5°
45°
A
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,
直角三角形全等的判定 精品学案
1.2 直角三角形第2课时直角三角形全等的判定学习目标：1、了解直角三角形全等的判定定理（HL），发展演绎推理能力；2、采用动手动脑相结合的方式，进一步学习严密科学的证明方法；3、通过推理、论证的训练，养成严谨的科学态度，不懈的探究精神和良好的说理方法。
学习过程：一、前置准备1、直角三角形的勾股定理及勾股定理的逆定理；2、命题与逆命题，定理与逆定理的关系。
二、自主学习问题1：两边分别相等且其中一边的对角分别相等的两个三角形全等吗？如果其中一边所对的角是直角呢？请证明你认为正确的结论。
问题2：（做一做）已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形。
作直角三角形：写出已知、求作、作法。
与教材第19页小明作的直角三角形进行比较，你们俩个作直角三角形的是全等的吗？得出定理：证明这个定理。
已知：求证：证明：三、例题讲解例如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？四、归纳总结1、直角三角形全等的判定定理及运用。
2、如何作一个直角三角形？五、知识应用D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，且DE=DF，求证BF=CE.[解析]本题解决的关键是利用“HL”证明△BFD≌△CED当堂训练：1、下列各选项中的两个直角三角形不一定全等的是（）A.两条直角边对应相等的两个直角三角形。
B.两条锐角边对应相等的两个直角三角形。
C.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形。
D.有一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等。
2、下列长度的三条线段能构成直角三角形的是（）①8、15、17 ②4、5、6、③7.5、4、8.5 ④ 24、25、7 ⑤ 5、8、10A.①②④B.②④⑤C.①③⑤D.①③④3、下列命题中，假命题是（）A.三个角的度数之比为1：3：4的三角形是直角三角形。
B.三个角的度数之比为1：3：2的三角形是直角三角形。
勾股定理及其逆定理
勾股定理及其逆定理⑴勾股定理的内容：在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和.例如：①如图所示，在等腰△ABC中，若AB＝AC＝13，BC＝10，求底边上的高.②如图所示，在△ABC中，∠ACB＝，AC＝4，CB＝3，求斜边AB上的高.解：①作AH⊥BC∵AB＝AC＝13，AH⊥BC⑵勾股定理逆定理的内容：如果三角形一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形，这条边所对的角是直角.例如：①如图所示，在△ABC中，三条边之比为9：12：15，那么此三角形为何三角形？②如图所示，在△ABC中，若，，那么此三角形为何三角形？解：①∴设∴此三角形是Rt△.②证：∴此三角形是Rt△.注：勾股定理与勾股定理逆定理的联系与区别：区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是直角三角形的判定定理; 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关.2. 勾股定理的证明方法介绍勾股定理曾引起很多人的兴趣，几千年来，人们已经发现了400多种勾股定理的证明方法，其中包括大画家达·芬奇和美国总统詹姆士·阿·加菲尔德.以下我们撷取几个优美而巧妙的证法供同学们欣赏.（1）赵爽的拼图法我国古代著名数学家赵爽在《勾股圆方图》一书中运用四个相同的直角三角形组成一个正方形，从面积的角度证明了勾股定理，其方法简捷、优美.如图，在边长为的正方形中，有四个斜边为的全等的直角三角形，已知它们的直角边为、利用这个图，即可证明勾股定理.理由如下：因为正方形边长为，所以正方形的面积为.又因为正方形的面积＝，所以有.（2）旋转面积法如图，设矩形ABCD为火柴盒侧面，将这个火柴盒推倒至A＇B＇C＇D的位置，D点不动.若设AB＝，BC＝，DB＝，则梯形的面积＝，又因为其面积还等于三个三角形面积的和，即为：.所以有：＝.化简为：，即.（3）美国第20任总统的拼图面积法加菲尔德的证法的关键是用两个相同的直角三角形，组成直角梯形，使两斜边之间的夹角为90°.如图所示，将两个全等的直角三角形拼成如图所示的直角梯形，设AC＝BE＝，BC＝DE＝，AB＝DB＝.因为，.即＝即.3. 有关勾股定理题时常用的辅助线和数学思想方法⑴解有关勾股定理的题型时常作垂线构成直角三角形.⑵解有关勾股定理的题型时常用方程思想、分类讨论思想、转化思想和数形结合思想.4. 勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在实际生活中有着广泛的应用，我们要能善于从实际生活背景中抽象出直角三角形，再运用勾股定理及其逆定理解答相关的问题.【典型例题】例1. 若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积. 分析：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解.解：设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得：（3x）2＋（4x）2＝202化简得x2＝16；∴直角三角形的面积＝×3x×4x＝6x2＝96例2. 如图，在长方形ABCD中，DC＝5cm，在DC上存在一点E，沿直线AE 把ΔAED折叠，使点D恰好落在BC边上，设此点为F，若ΔABF的面积为30cm2，那么折叠的ΔAED的面积为______.分析：注意折叠后相等的角与相等的线段的转化，通过设未知数列方程求解. 解：由已知条件可得BF＝12，则在RtΔABF中，AB＝5，BF＝12根据勾股定理可知AF＝13，再由折叠的性质可知AD＝AF＝13，所以FC＝1，可设DE＝EF ＝x，则EC＝5－x，则在RtΔEFC中，可得方程：12＋(5－x)2＝x2.解这个方程，得x＝.所以SΔAED＝××13＝16.9(cm2).例3. 直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积.分析：两条直角边长不能直接求出，要求直角三角形的面积，只要求出两直角边长的积即可.解：设此直角三角形两直角边分别是x，y，根据题意得：由（1）得：x＋y＝7，（x＋y）2＝49，x2＋2xy＋y2＝49 (3)(3)－(2)，得：xy＝12∴直角三角形的面积是xy＝×12＝6（cm2）例4. 等边三角形的边长为2，求它的面积.分析：要求等边三角形的面积，已知边长，只需求出任意一边上的高.解：如图，等边△ABC，作AD⊥BC于D则：BD＝BC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）∵AB＝AC＝BC＝2（等边三角形各边都相等）∴BD＝1在直角三角形ABD中AB2＝AD2＋BD2，即：AD2＝AB2－BD2＝4－1＝3∴AD＝S△ABC＝BC·AD＝注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为a2.例5. 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小明头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离小明头顶5000米，问：飞机飞行了多少千米？分析：根据题意，可以先画出符合题意的图形，如图，图中△ABC•中的∠C＝90°，AC＝4000米，AB＝5000米，•要求出飞机这时飞行多少千米，•就要知道飞机在20秒时间里飞行的路程，也就是图中的BC长，在这个问题中，•斜边和一直角边是已知的，这样，我们可以根据勾股定理来计算出BC的长．解：根据题意可得示意图：(如图)在△ABC•中的∠C＝90°，AC＝4000米，AB＝5000米，根据勾股定理可得：BC＝＝＝3000(千米）所以：飞机飞行了3000千米.例6. 以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A、8，15，17B、4，5，6C、5，8，10D、8，39，40分析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，对数据较大的可以用c2＝a2＋b2的变形：b2＝c2－a2＝（c－a）（c＋a）来判断.例如：对于选择项D，∵82≠（40＋39）×（40－39），∴以8，39，40为边长不能组成直角三角形.解：因为172＝82＋152，所答案为：A.例7. 如图所示的一块地，AD＝12m，CD＝9m，∠ADC＝90°，AB＝39m，BC ＝36m，求这块地的面积．分析：在求面积时一般要把不规则图形分割为规则图形，若连接BD，则无法求出．由于题中含有直角∠ADC，故可考虑连结AC，应用勾股定理．解：连结AC，在Rt△ADC中，AC2＝CD2＋AD2＝92＋122＝225，所以AC＝15m．在Rt△ABC中，AB2＝1521，AC2＋BC2＝152＋362＝1521，所以AB2＝AC2＋BC2，所以∠ACB＝90°．所以S△ABC－S△ACD＝AC·BC－AD·CD＝×15×36－×12×9＝270－54＝216（m2）．答：这块地的面积是216m2．例8. 如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短路径长为( )A. 2B. 2C. 4D. 2分析：在运用勾股定理解决有关问题时，常常需要将一些线段通过平移、旋转、翻折等运动变化从而转化到一个直角三角形中.化归思想即转化思想，它是我们初中阶段数学解题方法的灵魂，是指当有些问题如果直接解决则难以入手，于是换一个角度来考虑，从而使问题清晰明朗.运用转化思想来解题常用的策略有：化复杂为简单;化陌生为熟悉;换一种方式来表达等等.解：求几何体的表面的最短距离，可联系我们学过的圆柱体的侧面展开图，化“曲面”为“平面”，再寻找解题的途径.如右图，可得展开图中的AB长为2π，BS为2，根据勾股定理，在RtΔABS中，得AS＝2所以，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短路径长为2.故选A.例9. 在锐角△ABC中，已知其两边a＝1，b＝3，求第三边的变化范围.分析：显然第三边b－a<c<b＋a，但这只是能保证三条边能组成一个三角形，却不能保证它一定是一个锐角三角形，为此，先求△ABC为直角三角形时第三边的值.解：设第三边为c，并设△ABC是直角三角形(1)当第三边是斜边时，c2＝b2＋a2，∴c＝(2)当第三边不是斜边时，则斜边一定是b，b2＝a2＋c2，∴c＝2（即）∵△ABC为锐角三角形所以点A应当绕着点B旋转，使∠ABC成为锐角（如图），但当移动到点A＇位置时∠ACB成为直角.故点A应当在A和A＇间移动，此时2<AC<注：此题易忽视①或②中一种情况，因为假设中并没有明确第三边是否直角边，所以有两种情况要考虑.例10. 四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积.分析：先根据勾股定理求出AC的长，再由勾股定理的逆定理得到ΔADC是直角三角形，将四边形ABCD分成两个直角三角形.本题是一个典型的勾股定理及其逆定理的应用题.解：连结AC∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4∴AC2＝AB2＋BC2＝25（勾股定理）∴AC＝5∵AC2＋CD2＝169，AD2＝169∴AC2＋CD2＝AD2∴∠ACD＝90°（勾股定理逆定理）∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝AB·BC＋AC·CD＝36例11. 若、为正实数，且，则的最小值是多少?试求之.解析：此题是竞赛题，不知从何下手，若仔细观察分析，从x2＋1和y2＋4入手，结合勾股定理的形式可为我们提供解题的思路.可以看出，、分别是以x、1，y、2为直角边的直角三角形的斜边长，这时，上述问题就变成了求两条线段之和的最值问题.构造如图所示的图形：线段AB＝4，P为AB上任意一点.设PA＝x，PB＝y.CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且CA＝1，BD＝2，则PC＋PD＝.要求的最小值就是求PC＋PD最小，很明显，当点P、C、D在同一直线上时，PC＋PD的最小值.再过C作CE⊥DB交DB的延长线于点E，构造RtΔDCE，在RtΔDCE中，CE＝AB＝4，ED＝1＋2＝3，所以PC＋PD＝DC＝＝5.所以的最小值是5.例12. (2006年山西中考题)如图，分别以直角ΔABC的三边AB，BC，CA为直径向外作半圆.设直线AB左边阴影部分的面积为S1，右边阴影部分的面积和为S2，则（）A. S1＝S2B. S1＜S2C. S1＞S2D. 无法确定分析：将阴影部分的面积表示出来，再观察所列代数式与直角三角形三边长的关系可得答案.解：直线AB左边阴影部分的面积为：＝，直线AB右边阴影部分的面积为：＝.∵ΔABC是直角三角形，根据勾股定理有：.故选A.【模拟试题】（答题时间：40分钟）一、填空题：1. 设直角三角形的三条边长为连续自然数，则这个直角三角形的面积是_____.2. 如图，•某人欲横渡一条河，•由于水流的影响，•实际上岸地点C•偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，则该河流的宽度为_____m.二、选择题：3. 直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其中斜边上的高为（）.A. 6cmB. 8.5cmC. cmD. cm4. 有四个三角形：⑴△ABC的三边之比为3：4：5；⑵△A′B′C′的三边之比为5：12：13；⑶△A′B′C′的三个内角之比为1：2：3；⑷△CDE的三个内角之比为1：1：2.其中是直角三角形的有（）.A. ⑴⑵B. ⑴⑵⑶C. ⑴⑵⑷D. ⑴⑵⑶⑷三、解答题：5. 在△ABC中，AC＝21cm，BC＝28cm，AB＝35cm，求△ABC的面积.6. 如图，△ABC的三边分别为AC＝5，BC＝12，AB＝13，将△ABC沿AD折叠，使AC•落在AB上，求DC的长.7. 如图，一只鸭子要从边长分别为16m和6m的长方形水池一角M•游到水池另一边中点N，那么这只鸭子游的最短路程应为多少米？8. 如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA•垂直AB于A，CB垂直AB于B，已知AD＝15km，BC＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站建在距A站多少千米处？【试题答案】一、填空题1. 62. 480二、选择题3. D4. D三、解答题5. 294cm26. 因为AC2＋BC2＝52＋122＝169＝132＝AB2，•∴∠C＝90°，将△ABC沿AD折叠，使AC落在AB上，C的对称点为E，则CD＝DE，AC＝AE，BE＝AB－AE＝8，设CD＝x，则x2＋82＝（12－x）2，x＝，∴CD＝.7. 10m8. 10km处。
直角三角形的判定(教学设计)
直角三角形的判定教学目标知识与技能：掌握直角三角形的判定条件，并能进行简单应用．过程与方法：经历探索直角三角形的判定条件的过程，理解勾股逆定理．情感态度与价值观：激发学生解决的愿望，体会勾股逆向思维所获得的结论．明确其应用范围和实际价值．重点、难点、关键重点：理解和应用直角三角形的判定．难点：运用直角三角形判定方法进行解决问题．关键：运用合情推理的方法，对勾股定理进行逆向思维，形成一种判别方法．教学准备教师准备：直尺、圆规、投影片．学生准备：复习勾股定理，预习本节课内容．教学过程一、创设情境神秘的数组（投影显示）．美国哥伦比亚大学图书馆收藏着一块编号为“普林顿322”（plim pton 322）的古巴比伦泥板．泥板上的一些神秘符号实际上是一些数组，这些神秘的数组揭示了什么奥秘呢？经专家的潜心研究，发现其中2列数字竟然是直角三角形的勾和弦，•只要添加一列数（如表所示）左边的一列，那么每列的3个数就是一个直角三角形的三边的长！120 119 1693456 3367 48254800 4601 664913500 12709 1854172 65 97360 319 4812700 2291 3541960 799 1249600 481 7696430 4961 816160 45 752400 1679 2929240 161 2892700 1771 322990 56 106例如：60、45、70是这张表中的一组数，而且602+452=752，小明画了以60mm•、•45mm、75mm为边长的△ABC．（如图所示）请你猜想，小明所画的△ABC是直角三角形吗？为什么？教师活动：操作投影仪，提出问题，引导学生思考．学生活动：观察问题，小组合作交流，思考上述问题的解答．思路点拨：思路一：用量角器量三角形的3个内角，看有无直角．思路二：动手画一个直角三角形，使它的2条直角边的长为60mm和45mm，•看能否与△ABC全等．媒体使用：投影显示“普林顿322”泥板的图片，以及数字．古埃及人实验（投影显示）古埃及人曾用下面的方法得到直角：如图所示，用13个等距离的结把一根绳子分成等长12段，一个工匠同时握住绳子的第一个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，•就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结论．请你思考：按这种做法真能得到一个直角三角形吗？教师活动：提出问题，引导思考．学生活动：继续探索，感悟其中的道理．形成共识：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．（勾股定理）思考：这个结论与勾股定理有什么关系呢？学生活动：通过小组讨论、分析，发现它与勾股定理恰好是条件与结论互相对换的一个语句．教师点拨：实际上它是勾股定理的逆定理，用它可以判定一个三角形是否是直角三角形．从神秘的数组中的数据可以发现它们都是勾股数，也就是满足a2+b2=c2的3个正整数a、b、c称为勾股数，古埃及实验也体现出这个特征．可见利用勾股数可以构造直角三角形．二、范例学习例3 设三角形三边长分别为下列各组数，试判断各三角形是否是直角三角形．（1）7，24，25；（2）12，35，37；（3）13，11，9思路点拨：判断的依据是勾股逆定理，但是应该是将两个较小数的平方和与较大数平方进行比较，若相等，则可构成直角三角形，最大边所对的角是直角，这一点应该明确．教师活动：引导学生完成例3，然后提问学生，强调方法．学生活动：动手计算，对照勾股定理进行判断．三、随堂练习1．课本P54页第1，2题．2．探研时空:（1）如图所示，在△ABC中，已知AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，你能求出DC•的长吗？思路点拨：本题首先要将△ABC分割成Rt△ABD和Rt△ADC，然后具体的分析，将题设条件进行对照，确定运算．在△ABD中，∵AB=10，BD=6，AD=8，62+82=102，∴AD2+BD2=AB2于是∠ADB=90°（2）一个零件的形状如图（a）所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图（b），这个零件符合要求吗？思路点拨：这是利用勾股定理的逆定理解决实际问题的例子，只要能运用自己的语言表达清楚解决问题的过程即可，这个问题，首先应在△ABD中计算出AB2+AD2=9+6=25=BD2，得到△ABD是直角三角形，∠A=90°，再在△BCD中，计算BD2+BC2=25+144=169=CD2，得到△BCD是直角三角形，∠DBC是直角，由此，可以推断出这个零件符合要求．教师活动：操作投影仪，提出问题，巡视、启发，关注“学困生”，•可以请部分学生上台演示． 学生活动：小组合作交流．媒体使用：投影显示“探研时空”．教学方法：讲练结合，互动交流．四、问题求索如图所示，在正方形ABCD 中，F 为DC 中点，E 为BC 上一点，且EC=14BC ． 请你猜想AF 与EF 的位置关系，说说你的理由． 思路点拨：要弄清两条线段在同一平面内位置关系，就有方向了．可以猜想，AF 与EF 互相垂直，从理由上讲就是要得到∠AFE=90°，那么必定要构建与AF 、EF 有关的三角形去证明它是Rt △，因此可连接AE ，利用勾股定理，求得AF 2、EF 2、AE 2，然后再判定是否存在AF 2+EF 2=AE 2．连接AE ，设正方形边长为a ，则DF=FC=2a ，EC=4a ， 在Rt ∠ADF 中，有AF 2=AD 2+DF 2=a 2+（2a ）2=54a 2， 同理，在Rt △ECF 中，有EF 2=（2a ）2+（4a ）2=516a 2， 在Rt △ABE 中，有BE=a-14a=34a ∵AE 2=a 2+（34a ）2=2516a 2 ∴AF 2+EF 2=AE 2根据勾股定理逆定理得∠AEF=90°．因此，AF ⊥EF ．教师活动：操作投影仪，启发、引导学生运用勾股定理以及它的逆定理来解决猜想，然后归纳出方法． 学生活动：小组合作讨论，共同思考、并猜想，而后去证明自己的猜想．媒体使用：投影显示．教学形式：分四人小组合作交流．五、课堂总结1．勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a 、b 、c 有下列关系：a 2+b 2=c 2．•那么这个三角形是直角三角形．2．该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法．3．•利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．六、布置作业1．课本P54习题14．1第6题．2．选用课时作业设计．七、课后反思（略）作业设计一、填空题1．请完成以下未完成的勾股数：（1）8，15，______； （2）15，12，______；（3）10，26，_______； （4）7，24，______．2．△ABC中，b=17，c=8，a=15，则∠ABC=_________．3．△ABC中，若a2+b2=25，a2-b2=7，又c=5，则最大边上的高是_______．4．已知三角形的三边长分别为5cm，12cm，13cm，则这个三角形是_____．5．△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=1，以BC为边的正方形面积为_______．6．三条线段m，n，p满足m2-n2=p2，以这三条线段为边组成的三角形为______．二、判断题7．由于0.3，0.4，0.5不是勾股数，所以以0.3，0.4，0.5•为边的三角形不是直角三角形．（）8．由于以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3.是勾股数。
2 第1课时 直角三角形的性质与判定
2 直角三角形第1课时勾股定理及其逆定理课题第1课时勾股定理及其逆定理授课人教学目标知识技能1.掌握直角三角形的性质定理(勾股定理)和判定定理.2.了解逆命题、互逆命题及逆定理、互逆定理的含义.数学思考进一步掌握推理证明的方法,发展演绎推理能力.问题解决1.能应用定理解决与直角三角形有关的问题.2.能结合自己的生活体验举出逆命题、互逆命题及逆定理、互逆定理的例子情感态度进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程,建立初步的符号感,发展抽象思维能力.教学重点1.勾股定理逆定理的证明方法.2.了解逆命题、互逆命题的概念,知道原命题成立其逆命题不一定成立.教学难点勾股定理及其逆定理的证明.授课类型新授课课时教具课件、三角尺、等腰三角形纸片教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾活动内容:问题1:我们曾经探索过直角三角形的哪些性质和判定方法?问题2:勾股定理的内容是什么?复习回顾直角三角形的性质和判定,以及勾股定理内容,为本课直角三角形的性质和判定定理的证明做准备.活动一: 创设情境导入新课【课堂引入】1.什么是勾股定理?定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.2.在△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c.(1)若a=8,c=17,则b= 15.(2)若a=8,∠A=30°,则b= 8√3.(3)若a=8,∠A=45°,则c= 8√2.3.如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.通过与本课时相关的问题导入,为新知的学习做好铺垫.活动二: 实践探究交流新知【探究1】直角三角形的两个锐角关系定理及逆定理问题1:直角三角形的两个锐角有怎样的关系?为什么?问题2:如果一个三角形有两个角互余,那么这个三角形是直角三角形吗?为什么?定理:直角三角形的两个锐角互余.已知:如图1-2-6,在Rt△ABC中,∠C=90°.求证:∠A+∠B=90°.图1-2-6证明:在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°,∵∠C=90°,∴∠A+∠B=180°-∠C=180°-90°=90°.定理:有两个角互余的三角形是直角三角形.已知:如图1-2-7,在△ABC中,∠A+∠B=90°.求证:△ABC是直角三角形.图1-2-7证明:在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°,学生分小组讨论,各抒己见.教师及时引导并展示.活动二: 实践探究交流新知∵∠A+∠B=90°,∴∠C=180°-(∠A+∠B)=180°-90°=90°,∴△ABC是直角三角形.【探究2】勾股定理及其逆定理问题1:直角三角形的三条边有什么样的数量关系?你能证明吗?问题2:在一个三角形中,当两边的平方和等于第三边的平方时,它是直角三角形吗?勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.已知:如图1-2-8,在△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c.求证:a2+b2=c2.图1-2-8证明:延长CB至点D,使BD=b,作∠EBD=∠A,并取BE=c,连接ED,AE(如图1-2-9),则△ABC≌△BED.图1-2-9∴∠BDE=90°,ED=a(全等三角形的对应角相等,对应边相等).从而四边形ACDE是直角梯形.∴S梯形ACDE=12(a+b)(a+b)=12(a+b)2.由全等可得∠ABE=180°-(∠ABC+∠EBD)=180°-90°=90°,且AB=BE,∴S△ABE=12c2.让学生通过分析归纳总结出直角三角形的两锐角定理和其逆定理内容,并能够对定理和逆定理进行证明.活动二: 实践探究交流新知∵S梯形ACDE=S△ABE+S△ABC+S△BED,∴12(a+b)2=12c2+12ab+12ab,即12a2+ab+12b2=12c2+ab,∴a2+b2=c2.勾股定理逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.已知:如图1-2-10:在△ABC中,AB2+AC2=BC2.求证:△ABC是直角三角形.图1-2-10分析:要从边的关系推出∠A=90°是不容易的,如果能借助于△ABC与一个直角三角形全等,而得到∠A与对应角(构造的三角形的直角)相等,可证.图1-2-11证明:作Rt△A'B'C'(如图1-2-11),使∠A'=90°,A'B'=AB,A'C'=AC,则A'B'2+A'C'2=B'C'2(勾股定理).∵AB2+AC2=BC2,A'B'=AB,A'C'=AC,∴BC2=B'C'2,∴BC=B'C',∴△ABC≌△A'B'C'(SSS),∴∠A=∠A'=90°(全等三角形的对应角相等).因此,△ABC是直角三角形.【探究3】互逆命题和互逆定理问题1:观察上面我们得到的两组定理,它们的条件和结论之间有怎样的关系?问题2:观察下面三组命题:让学生根据以前所学的勾股定理和逆定理的知识直接回答出定理的内容,对于证明学生有一定的难度,尤其是逆定理的证明,在证明时教师加以指导.在证明时只要求学生能够接受证明的方法和过程即可,不宜对学生提出更高的要求.活动二: 实践探究交流新知 (1){如果两个角是对顶角,那么它们相等.如果两个角相等,那么它们是对顶角.(2){如果小明患了肺炎,那么他一定发烧.如果小明发烧,那么他一定患了肺炎.(3){三角形中相等的边所对的角相等.三角形中相等的角所对的边相等.上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗?与同伴交流.问题3:如果原命题是真命题,那么逆命题一定是真命题吗?并通过具体的实例说明.互逆命题:在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题.相对于逆命题来说,另一个就为原命题.互逆定理:如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理.通过师生的共同探究,使学生掌握互逆命题和互逆定理的定义,既培养学生独立思考与小组合作讨论的能力,又感受到数学逻辑关系存在的必然性.活动三: 开放训练体现应用【应用举例】例1若a,b,c能构成直角三角形,则它们的比可能为()A.2∶3∶4B.3∶4∶6C.5∶12∶13D.4∶6∶7例2在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,则a∶b∶c= .例3若△ABC中,a=b=5,c=5√2,则△ABC的面积为.例4对角线长为m的正方形的边长为.通过举例使学生区分勾股定理描述的是直角三角形的性质,而其逆定理则展示的是直角三角形的判定方法.【拓展提升】例5直角三角形两直角边长分别为6和8,则斜边上的高为.例6高为h的等边三角形的边长为.活动三: 开放训练体现应用例7小亮手里拿着长分别为30 cm,40 cm的两根木棒,请帮他找第三根木棒,使三根木棒构成一个直角三角形,则第三根木棒的长应为cm.例8一块钢板的形状如图1-2-12所示,已知AB=12cm,BC=13 cm,CD=4 cm,AD=3 cm,∠ADC=90°,则这块钢板的面积是cm2.图1-2-12例9如图1-2-13,已知在Rt△ABC中,∠BAC=90°,BC=4,分别以AB,AC,BC为边向外作等边三角形,面积分别记为S1,S2,S3,则S1+S2+S3的值等于.图1-2-13例10如图1-2-14,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6cm,AC=8 cm,按图中所示方法将△BCD沿BD折叠,使点C落在AB边上的点C'处,那么△ADC'的面积是.图1-2-14跨章节知识的综合可进一步培养学生综合运用所学知识解决具体问题的能力.活动四: 课堂总结反思【当堂训练】1.下列命题中,其逆命题成立的是.(只填写序号)①同旁内角互补,两直线平行;②如果两个角是直角,那么它们相等;活动四: 课堂总结反思③如果两个实数相等,那么它们的平方相等;④如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.2.“直角三角形两锐角互余”的逆命题是.3.在Rt△ABC中,∠C=90°,若a∶b=1∶2,且c=5,则ab= .图1-2-154.在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB,垂足为D,若∠A=60°,AB=4 cm,则CD= .5.如图1-2-15,在△ABC中,已知AB=13 cm,BC=10 cm,BC边上的中线AD=12 cm.求证:AB=AC.练习可使学生进一步加强对本课所学新知的理解,同时亦可检验本课教学的成果,为日后的复习总结提供依据.【板书设计】第1课时勾股定理及其逆定理直角三角形勾股定理勾股定理的逆定理互逆命题、互逆定理简洁明了,层次清晰.【教学反思】①[授课流程反思]本课时设计让学生从原有知识出发,通过引导学生观察、思考、计算,直观展示勾股定理的产生及其证明.为激发学生参与,以“问题串”的形式引发学生思考.②[讲授效果反思]在实际教学中,由于学生积极参与,勤于思考,使得本节课的重、难点得以顺利突破,培养了学生探究意识的同时,将数形结合思想较好地融入课堂教学的各个环节.③[师生互动反思]反思,更进一步提升.活动四: 课堂总结反思教学中,加强学生间的互动学习,培养学生的自学能力,注重培养学生的合作探究意识,有利于完成教学任务,提升教学效果.④[习题反思]好题题号错题题号详见电子资源详见电子资源温馨提示:为满足广大一线教师的不同教学需求,特新增“典案三学案设计”案例,word排版,可编辑加工,方便使用.内容详见电子资源.。
《勾股定理的逆定理》优质公开课1
第十七章
17.2.1 勾股定理的逆定理
学习目标
1.能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是 否为直角三角形.
2.灵活运用勾股定理及其逆定理解决问题. 3.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关 系．
导入新知
同学们，古埃及人曾经用下面的 方法画直角：将一根长绳打上等距离 的13个结，然后用桩钉成一个三角形 (如图)，他们认为其中一个角便是直 角．你知道这是什么道理吗？
新知小结
用数学几何知识解决生活实际问题的关键是：建模 思想，即将实际问题转化为数学问题；这里要特别注意 弄清实际语言与数学语言间的关系；如本例中：“点与 点之间的最短路线”就是“连接这两点的线段”，“点 与直线的最短距离”就是“点到直线的垂线段的长”．
巩固新知
1 如果三条线段长a，b，c满足a2=c2–b2，这三 条线段组成的三角形是不是直角三角形？为 什么？
导引：根据题目要求，先判断原命题的真假，再将原命题 的题设和结论互换，写出原命题的逆命题，最后判 断逆命题的真假．
解：(1)原命题是真命题．逆命题为：如果两条直线只有 一个交点，那么它们相交．逆命题是真命题．
(2)原命题是假命题．逆命题为：如果a2＞b2，那么a ＞b.逆命题是假命题．
(3)原命题是真命题．逆命题为：如果两个数的和为 零，那么它们互为相反数．逆命题是真命题．
A．1个 便是直角．你知道这是什么道理吗？
B．2个
C．3个 D．4个
合作探究
知识点 3 勾 股 数
1. 勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个 正整数． 常见的勾股数有：3，4，5；5，12，13； 8，15，17；7，24，25；9，40，41；….
2．判断勾股数的方法： (1)确定是否是三个正整数； (2)确定最大数； (3)计算：看较小两数的平方和是否等于最大数的
直角三角形的性质和判定(Ⅱ)优质课教案
直角三角形的性质和判定（Ⅱ）【课时安排】2课时【第一课时】【教学目标】一、知识与技能使学生掌握勾股定理，培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
二、过程与方法了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
三、情感、态度与价值观介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。
【教学重难点】1．重点：勾股定理的内容及证明。
2．难点：勾股定理的证明。
【教学过程】一、新课引入已知树高6米，在树梢上有一猫头鹰，猫头鹰从树梢斜飞落地抓老鼠，落点与树根相距8米，那么猫头鹰至少飞过多少米？二、探究定理（一）画一画：让学生动手画一个直角边长为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。
以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。
”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5．（二）做一做1．如图，以这个直角三角形的三边为边作三个正方形，探究这三个正方形的面积之间有什么关系。
正方形P Q R面积91625思考：（1）这三个正方形的面积分别为多少？你是怎么求的？（2）这三个正方形的面积之间满足一个什么等式？（3）正方形的面积等于边长的平方，那么它们的面积用边长代入得到一个什么等式？（4）我们前面说过：在直角三角形中，我们把较短的直角边叫勾，较长的直角边叫股，斜边叫弦，那么勾股弦之间满足一个什么等式？2．再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。
这个三角形的三边也满足勾2+股2=弦2吗？（三）议一议对于任意的直角三角形也有这个性质吗？（四）猜一猜直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
即在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c，有a2＋b2=c2过渡语：猜想的结论是否正确须经过严格论证。
七年级(下)数学培优班--第10讲 直角三角形(二) 教师版
⑵ 若 3 为直角边长， 4 为斜边长，则另一条直角边长为： 42 32 7 ；
若 3 和 4 为两条直角边长，则斜边长为： 32 42 5 ； ⑶ 在 RtABC 中，∵ A 90 ，∴ b2 c2 a2 ，即 c2 a2 b2 .故 c 152 122 9 ．
SABCD
S△ABC
S△ACD
1 2
AB
BC
1 2
AC
C★★☆☆☆ ⑴ 如图1 ，已知 △ABC 中， ACB 90 ， A 30 ， CD 4 ， D 为 AB 的中点， 则 AC 的长是____________． ⑵ 如图 2 ，已知 Rt△ABC 中， ACB 90 ， CD 是高， A 30 ， BD 2 ， 则 CD ____________， AB ____________． ⑶ 如图 3 ，在矩形 ABCD 中， AB 2BC ，在 CD 上取一点 E ，使 AE AB ， 则 EBC 的度数为____________．
C
A
D
B
【分析】 设 AD x ，则 BD 8x ，列方程得 25 x2 49 8 x2 ，解得 x 5 ，故 BAC 60 ．
2
【例题5】 ★★★☆☆ 如图，一游人由山脚 A 沿坡角为 30 的山坡 AB 行走 600m ，到达一个景点 B ，再由 B 沿 山坡 BC 行走 200m 到达山顶 C ，若在山顶 C 处观测到景点 B 的俯角为 45 ，则山高 CD 等 于____________．（结果用根号表示）
⑶ 如图 3 ，四边形 ABCD 中， B 90 ， AB 3 ， BC 4 ， CD 12 ， AD 13， 则四边形 ABCD 的面积为____________.
新人教版《勾股定理的逆定理》优质课件3
八年级 数学
第十七章 勾股定理
Байду номын сангаас
5 3
4 请同学们观察,这个三角形的三条边有什么关系吗?
32 + 42 = 52
八年级 数学
第十七章 勾股定理
动手画一画
下面的两组数分别是一个三 角形的三边长a，b，c： ，6cm，。
4cm，，。 （1）这两组数都满足a2b2c2吗？
∴ A’B’ 2=c2 ∵ 边长取正值
则 △ ABC是直角三角形 （直角三角形的定义）
∴ A’B’ =c
勾股定理的逆逆命定理题
如果三角形的三边长a、b、c满足
a2 + b2 = c2
那么这个三角形是直角三角形。(且边 C所对的角为直角。)
勾股定理
互逆命定题理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，
斜边为c，那么 a2 + b2 = c2
172＝289
∴ 152＋82＝172
∴这个三角形是直角三角形
练下一面练以a,b,c为边长的三角形是不是直
(角1)三a=角5形b？=如4 果c=是3 ，那么_是哪__一_个∠角_A是__=直_9_0角;0 ？
(2) a=13 b=14 知识点四 列一元一次不等式解应用题 c=15 _不__是_ _____ ;
N 22 AB＝202 n mile，∴渔船航行202 n mile距离小岛B最近
解：(1)设每个足球为x元，每个篮球为y元，根据题意得7x＝5y，40x＋20y＝3400， 解得x＝50，y＝70. 答：每个足球为50元，每个
篮球为70元 2.运用方差解决实际问题的一般步骤是怎样的？
海天
Q 远航
中考数学点对点-解直角三角形问题(解析版)
∴AD＝AB×sin30°＝20 10（海里），
BD＝AB×cos30°＝20 10 10×1.73＝17.3，
∵BD⊥AC，BF⊥CE，CE⊥AC，
∴∠BDC＝∠DCF＝∠BFC＝90°，
∴四边形BDCF为矩形，
∴DC＝BF﹣9.7，FC＝BD＝17.3，
如图，连接BC．
∵∠ADC和∠ABC所对的弧长都是 ，
∴根据圆周角定理知，∠ADC＝∠ABC．
在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义知，
sin∠ABC ，
∵AC＝2，BC＝3，
∴AB ，
∴sin∠ABC ，
∴sin∠ADC ．
【例题3】（2020•荆门）如图，海岛B在海岛A的北偏东30方向，且与海岛A相距20海里，一艘渔船从海岛B出发，以5海里/时的速度沿北偏东75°方向航行，同时一艘快艇从海岛A出发，向正东方向航行．2小时后，快艇到达C处，此时渔船恰好到达快艇正北方向的E处．
（2）在Rt△BEF中，解直角三角形求出EF，BF，在Rt△ABD中，解直角三角形求出AD，BD，证明四边形BDCF为矩形，得出DC，FC，求出CE的长，则可得出答案．
【解析】（1）过点B作BD⊥AC于点D，作BF⊥CE于点E，
由题意得，∠NAB＝30°，∠GBE＝75°，
∵AN∥BD，
∴∠ABD＝∠NAB＝30°，
∠B=90°-∠A，a=c·sinA， b=c·cosA
五、特殊值的三角函数
三角函数
0°
30°
45°
60°
90°
sinα
0
1
cosα
1
0
tanα
0
1
《勾股定理——勾股定理的逆定理》数学教学PPT课件(5篇)
有一个角是直角的三角形是直角三角形.
角：
边：
如果三角形的三边长a，b，c满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形
再 见
1.直角三角形有哪些性质?
2.如何判断三角形是直角三角形?
古埃及人曾用下面的方法得到直角
按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？
∴ ∠C= 900
已知:在△ABC中，AB=c BC=a CA=b 且a2+b2=c2
求证:△ ABC是直角三角形
证明:画一个△A’B’C’,使∠ C’=900,B’C’=a, C’A’=b
在△ ABC和△ A’B’C’中
∴ △ ABC是直角三角形（直角三角形的定义）
勾股定理的逆命题证明
例1 判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：(1) a＝15 , b ＝8 , c＝17
是
是
不是
是
∠ A=900
∠ B=900
∠ C=900
像25,20,15,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
例1： “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里。它们离开港口一个半小时后相距30海里。如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
例题3：
如图，是一块四边形绿地示意图，其中AB长24米，BC长20米，CD长15米，DA长7米，∠ C=90度求：绿地ABCD的面积。
C
B
A
D
24
20
15
7
25
例2：如图，有一块地，已知，AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，BC=12m。求这块地的面积。
直角三角形的边长关系
直角三角形的边长关系不论是生活中和数学中，同学们都能接触到不同的三角形，那么直角三角形的边长关系有哪些呢，如何区分它们呢。
以下是由编辑为大家整理的“直角三角形的边长关系”，仅供参考，欢迎大家阅读。
直角三角形的边长关系1、三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
(三角形两边之和大于第三边中的两边是指两条较小的边，两边之差小于第三边的两边是指两条较大的边。
)2、在一个直角三角形中，若一个角等于30度，则30度角所对的直角边是斜边的一半。
直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方(勾股定理)。
勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。
3、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
4、三角形的三条角平分线交于一点，三条高线的所在直线交于一点，三条中线交于一点。
5、三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度平方和的3/4。
6、等底同高的三角形面积相等。
7、底相等的三角形的面积之比等于其高之比，高相等的三角形的面积之比等于其底之比。
8、三角形的任意一条中线将这个三角形分为两个面积相等的三角形。
9、等腰三角形顶角的角平分线和底边上的高、底边上的中线在一条直线上(三线合一)。
拓展阅读：初中几何共识定理总结初中几何公式：线1 同角或等角的余角相等。
2 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直。
3 过两点有且只有一条直线。
4 两点之间线段最短。
5 同角或等角的补角相等。
6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行。
初中几何公式：角9 同位角相等，两直线平行。
10 内错角相等，两直线平行。
11 同旁内角互补，两直线平行。
12两直线平行，同位角相等。
13 两直线平行，内错角相等。
14 两直线平行，同旁内角互补。
逆命题和逆定理
逆命题和逆定理一、本节学习指导这一节重在理解命题的概念，命题是能判断一件事情的正确与错误的句子，不能是问句，也不能是省略句，这个句子必须是完整的，并且能判断正确与否才叫做命题。
2、数学命题通常由题设、结论两部分组成。
题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。
因此命题可以写成“如果222222，那么222222”的形式。
3、人们从长期实践中总结出来的真命题叫做公理，它们可以作为判断其他命题真假的原始数据。
4、有些命题是从公理或其他真命题出发，用推理的方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。
Array二、知识要点1、命题、定理、证明⑴理解：命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。
⑵命题的分类（按正确、错误与否分）真命题（正确的命题）命题假命题（错误的命题）⑶公理：的真命题叫公理。
⑷定理：的依据，这样的命题叫定理。
⑸⑹证明的一般步骤①根据题意，画出图形。
②③2、常用数学口诀.平方差公式: 22()()-=+-a b a b a b口诀：平方差公式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公式相混淆。
完全平方差公式: 222a b a ab b-=-+()2完全平方和公式：222+=++()2a b a ab b口诀：完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中央；首±尾括号带平方，尾项符号随中央。
证明知识点一证明的含义从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，从而判定该命题为真，这个过程叫做证明。
注意：（1）证明一个命题时，首先要分清命题条件和结论，其次要从已知条件出发，运用定义、公理、定理进行推理，得出结论。
（2）证明的过程必须做到步步有据。
知识点二命题的证明证明几何命题的表述格式：（1）按题意画出图形；（2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写条件，在“求证”中写出结论；（3）在“证明”中写出推理过程。
直角三角形----知识讲解(基础
直角三角形----知识讲解（基础）责编：杜少波【学习目标】1. 掌握勾股定理的内容及证明方法、勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．2. 能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题；能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.3. 能够熟练地掌握直角三角形的全等判定方法（HL ）及其应用.【要点梳理】要点一、勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=.要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目中的已知线段的长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：222a c b =-，222b c a =-， ()222c a b ab =+-.（4）勾股数：满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助： ①3、4、5； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25； 9、40、41……②如果a b c 、、是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.③22121n n n -+，，（1,n n >是自然数）是直角三角形的三条边长；④2222,21,221n n n n n ++++（n 是自然数）是直角三角形的三条边长；⑤2222,,2m n m n mn -+ （,m n m n >、是自然数）是直角三角形的三条边长.要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以. 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. ，所以.要点三、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长a b c ，，，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点四、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如c ）.（2）验证2c 与22a b +是否具有相等关系.若222c a b =+，则△ABC 是∠C＝90°的直角三角形；若222c a b ≠+，则△ABC 不是直角三角形.要点诠释：当222a b c +<时，此三角形为钝角三角形；当222a b c +>时，此三角形为锐角三角形，其中c 为三角形的最大边.要点五、互逆命题与互逆定理如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.要点诠释：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.一个定理是真命题，每一个定理不一定有逆定理，如果这个定理存在着逆定理，则一定是真命题.要点六、直角三角形全等的判定（HL ）在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简称“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS 、ASA 、AAS 、SSS 、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.【典型例题】类型一、勾股定理1、在△ABC 中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）若a ＝5，b ＝12，求c ；（2）若c ＝26，b ＝24，求a ．【思路点拨】利用勾股定理222a b c +=来求未知边长．【答案与解析】解：（1）因为△ABC 中，∠C＝90°，222a b c +=，a ＝5，b ＝12，所以2222251225144169c a b =+=+=+=．所以c ＝13．（2）因为△ABC 中，∠C＝90°，222a b c +=，c ＝26，b ＝24，所以222222624676576100a c b =-=-=-=．所以a ＝10．【总结升华】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股定理的原式还是变式．举一反三：【变式】在△ABC 中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）已知b ＝2，c ＝3，求a ；（2）已知:3:5a c =，b ＝32，求a 、c ．【答案】解：（1）∵∠C＝90°，b ＝2，c ＝3，∴a ===；（2）设3a k =，5c k =．∵∠C＝90°，b ＝32，∴222a b c +=．即222(3)32(5)k k +=．解得k ＝8．∴ 33824a k ==⨯=，55840c k ==⨯=．2、一圆形饭盒，底面半径为8cm ，高为12cm ，若往里面放双筷子（粗细不计），那么筷子最长不超过多少，可正好盖上盒盖？【答案与解析】解：如图所示，因为饭盒底面半径为8cm ，所以底面直径DC 长为16cm ．则在Rt△BCD 中，222BD DC BC =+，所以20BD ===(cm )．答：筷子最长不超过20cm ，可正好盖上盒盖．【总结升华】本题实质是求饭盒中任意两点间的最大距离，其最大距离是以饭盒两底面的一对平行直径和相应的两条高组成的长方形的对角线长．举一反三：【变式】如图所示，一旗杆在离地面5m 处断裂，旗杆顶部落在离底部12m 处，则旗杆折断前有多高？【答案】解：因为旗杆是垂直于地面的，所以∠C＝90°，BC ＝5m ，AC ＝12m ，∴ 22222512169AB BC AC =+=+=．∴ 13AB ==(m )．∴ BC ＋AB ＝5＋13＝18(m )．∴ 旗杆折断前的高度为18m ．【高清课堂 勾股定理 例3】类型二、勾股定理的逆定理3、判断由线段a b c ，，组成的三角形是不是直角三角形．（1）a ＝7，b ＝24，c ＝25；（2）a ＝43，b ＝1，c ＝34；（3）22a m n =-，22b m n =+，2c mn =(0m n >>)；【思路点拨】判断三条线段能否组成直角三角形，关键是运用勾股定理的逆定理：看较短的两条线段的平方和是否等于最长线段的平方．若是，则为直角三角形，反之，则不是直角三角形．【答案与解析】解：（1）∵ 2222724625a b +=+=，2225625c ==，∴ 222a b c +=．∴ 由线段a b c ，，组成的三角形是直角三角形． （2）∵ a b c >>，222239251141616b c ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭，2241639a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴ 222b c a +≠．∴ 由线段a b c ，，组成的三角形不是直角三角形．（3）∵ 0m n >>，∴ 222m n mn +>，2222m n m n +>-．∵2222224224224224()(2)242a c m n mn m m n n m n m m n n +=-+=-++=++，22224224()2b m n m m n n =+=++，∴ 222a c b +=．∴ 由线段a b c ，，组成的三角形是直角三角形．【总结升华】解此类题的关键是准确地判断哪一条边最大，然后再利用勾股定理的逆定理进行判断，即首先确定最大边，然后验证2c 与22a b +是否具有相等关系，再根据结果判断是否为直角三角形，第3小题，m,n 可以取特殊值，代入到三边中，也可以判断其三边的大小．举一反三：【变式1】判断以线段a b c ，，为边的△ABC 是不是直角三角形，其中a =，b =2c =．【答案】解：由于a c b >>，因此a 为最大边，只需看2a 是否等于22b c +即可．∵227a ==，223b ==，2224c ==，∴222a b c =+，∴以线段a b c ，，为边能构成以a 为斜边的直角三角形．【高清课堂 勾股定理逆定理 例3】【变式2】一个三角形的三边之比是3:4:5 则这个三角形三边上的高之比是（ ）A ．20:15:12B ．3:4:5C ．5:4:3D ．10:8:2【答案】A.提示：这个三角形是直角三角形，三边上的高之比为4:3：125，即20:15:12.4、如图所示，在四边形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝12，AD ＝13，∠B＝∠90°，求四边形ABCD 的面积．【答案与解析】解：连接AC ，在△ABC 中，因为∠B＝90°，AB ＝3，BC ＝4，所以222223491625AC AB BC =+=+=+=，所以AC ＝5，在△ACD 中，AD ＝13，DC ＝12，AC ＝5，所以2222225122514416913DC AC AD +=+=+===，即222DC AC AD +=．所以△ACD 是直角三角形，且∠ACD＝90°．所以11S 22ABC ACD ABCD S S AB BC AC DC ∆∆=+=⨯+⨯四边形113451222=⨯⨯+⨯⨯63036=+=．【总结升华】有关四边形的问题通常转化为三角形的问题来解．由AB ＝3，BC ＝4，∠B＝90°，应想到连接AC ，则在Rt△ABC 中即可求出△ABC 的面积，也可求出线段AC 的长．所以在△ACD 中，已知AC ，AD ，CD 三边长，判断这个三角形的形状，进而求得这个三角形的面积．而判断△ACD 的形状，常考虑能否用勾股定理的逆定理来判断是否是直角三角形．类型三、勾股定理、逆定理的实际应用5、（2015春•遵义期末）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s=3.6km/h）【思路点拨】本题求小汽车是否超速，其实就是求BC的距离，直角三角形ABC中，有斜边AB的长，有直角边AC的长，那么BC的长就很容易求得，根据小汽车用2s行驶的路程为BC，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了．【答案与解析】解：在Rt△ABC中，AC=30m，AB=50m；据勾股定理可得：（m）∴小汽车的速度为v==20（m/s）=20×3.6（km/h）=72（km/h）；∵72（km/h）＞70（km/h）；∴这辆小汽车超速行驶．答：这辆小汽车超速了．【总结升华】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．要注意题目中单位的统一．类型四、原命题与逆命题6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确 1．原命题：猫有四只脚．2．原命题：对顶角相等.3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端点的距离相等．4．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．【答案与解析】1. 逆命题：有四只脚的是猫（不正确）2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确）3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． （正确）4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．（正确）【总结升华】掌握原命题与逆命题的关系. 原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误.举一反三：【变式1】下列命题中，其逆命题成立的是______________．（只填写序号）①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a b c ，，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形．【答案】①④提示：①的逆命题“两直线平行，同旁内角互补”显然正确；②的逆命题“如果两个角相等，那么它们是直角”很明显是错误的；③的逆命题“如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等”，两个实数可以互为相反数，所以该命题不正确；④的逆命题“如果三角形是直角三角形，那么三角形的三边长a b c ，，满足222a b c +=”也是正确的.【变式2】（2014秋•永州校级期中）根据命题“两直线平行，内错角相等．”解决下列问题：（1）写出逆命题；（2）判断逆命题是真命题还是假命题；（3）根据逆命题画出图形，写出已知，求证．【答案】解：（1）逆命题：内错角相等，两直线平行；（2）是真命题；（3）已知：如图，∠AMN=∠DNM，求证：AB∥CD．类型五、直角三角形全等的判定——“HL”7、 已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD ＝BC ．求证：（1）AB ＝CD ：（2）AD∥BC．【思路点拨】先由“HL”证Rt△ABD≌Rt△CDB，再由内错角相等证两直线平行.【答案与解析】证明：（1）∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD＝∠CDB＝90°在Rt△ABD 和Rt△CDB 中，AD BCBD DB⎧⎨=⎩＝∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL ）∴AB＝CD （全等三角形对应边相等）（2）由∠ADB＝∠CBD∴AD∥BC .【总结升华】证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.举一反三：【高清课堂：379111 直角三角形全等的判定，例3】【变式】已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE ＝AB ，ED ＝AC ．求证：ED⊥AC．【答案】证明：∵AE⊥AB，BC⊥AB，∴∠DAE＝∠CBA＝90°在Rt△DAE 与Rt△CBA 中，ED ACAE AB ⎧⎨⎩＝＝，∴Rt△DAE≌Rt△CBA （HL ）∴∠E＝∠CAB∵∠CAB＋∠EAF＝90°，∴∠E＋∠EAF＝90°，即∠AFE＝90°即ED⊥AC．8、（2014春•东营区校级期末）如图，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于E ，DF⊥AC 于F ，且DB=DC ，求证：EB=FC．【答案与解析】证明：∵AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于E ，DF⊥AC 于F ，∴DE=DF；∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．∴在Rt△DBE和Rt△DCF中∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL）；∴EB=FC．【总结升华】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL（在直角三角形中）．。
数学勾股定理及逆定理
一、一周知识概述勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边为c，那么a2＋b2=c2．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．勾股定理只适用于直角三角形，对于一般非直角三角形就不存在这种关系．勾股定理的作用是：①已知直角三角形的两边求第三边；②在直角三角形中，已知其中的一边，求另两边的关系；③用于证明平方关系；④利用勾股定理，作出长为的线段．二、重点、难点、疑点突破1、勾股定理:勾股定理反映了直角三角形（三边分别为a，b，c，其中c为斜边）的三边关系，即c2=a2＋b2．它的变形为c2－a2=b2或c2－b2=a2．运用它可以由直角三角形中的两条边长求第三边．例如：已知一个直角三角形两边长分别为3cm，4cm，求第三边长．因为该题设没有说明哪条边是直角三角形的斜边，所以要进行分类讨论．当两直角边分别为3cm，4cm时;当斜边为4cm，一直角边为3cm时2、直角三角形的几个性质（1）两锐角互余；（2）三边长满足勾股定理；（3）如果有一个锐角等于30°，那么所对的直角边（设此边长为a）等于斜边的一半，三边长的关系为a，，2a；（4）等腰直角三角形（直角边边长为a）三边长的关系为a，a，；（5）面积等于两直角边乘积的一半．3、用尺规画长为的线段教材中介绍了用尺规画长为的线段的作法，对画长为（k为自然数）的线段，我们通常可将k写成两个自然数的平方和或平方差来解决．例如用尺规画长为的线段．因为21=25－4=52－22，所以画Rt△ABC，使一条直角边AC=2，斜边AB=5，则另一条直角边BC=；同理，因为37=36＋1=62＋12，所以画Rt△ABC，使两直角边AC=1，BC=6，则斜边AB=．4、数形结合思想三、典型例题剖析1、运用勾股定理求值例1、如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，若AB=5，CD=，∠BCD=30°，求AC的长．解：∵CD⊥AB于D，∠BCD=30°，∴BD=BC．设BD=x，则BC=2x．在Rt△BCD中，由勾股定理有BD2＋CD2=BC2，即点拨：这里分别在两个直角三角形中运用了勾股定理，但含30°角的直角三角形的性质也给解题带来了很大的方便．例2、如图，在△ABC中，∠A=90°，P是AC的中点，PD⊥BC于D，BC=9，DC=3，求AB的长．解：连结PB，BD=BC－DC=6．在Rt△BDP和Rt△PDC中，PD2=BP2－BD2，PD2=PC2－DC2，∴BP2－BD2=PC2－DC2．∴BP2－PC2=36－9=27．∵AP=PC，∴BP2－AP2=AB2=27，∴AB=．点拨：连结BP，在PD为公共边的两个直角三角形中运用勾股定理，得到BP2－PC2=BD2－DC2=27，是解答本题的关键所在．例3、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD、BE是中线，BE=，AD=5，求AB的长．解：设CE=x，CD=y，则AC=2x，BC=2y．在Rt△ACD和Rt△BCE中，由勾股定理得在Rt△ABC中，．点拨：运用勾股定理计算时，常设未知数，列方程或方程组来求解．2、构造直角三角形解题例4、如图，已知，∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1．求BC和AD的长．解：如图，延长BC，AD交于E．∵∠B=90°，∠A=60°，∴∠E=30°，∴AE=2AB=4．同理CE=2CD=2．在Rt△ABE中，BE2=AE2－AB2=16－4=12，∴BE=．在Rt△CDE中，DE2=CE2－CD2=4－1=3，∴DE=．∴BC=BE－CE=－2，AD=AE－DE=4－．点拨：灵活根据图形及条件，构造直角三角形（其实也就是补图），创造条件去利用勾股定理解题．例5、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E在BC上，且∠DAE=45°，求证：CD2＋BE2=DE2．解：如图，将△ABE绕点A逆时针旋转90°得△ACF，则∠ACF=∠B=45°，BE=CF，∠BAE=∠CAF．又∵∠ACB=45°，∴∠DCF=90°．∵∠EAD=45°，∴∠BAE＋∠DAC=45°．∴∠DAF=∠CAF＋∠DAC=45°．在△AED和△AFD中，∴△AED≌△AFD，∴ED=FD．又在Rt△CDF中，CD2＋CF2=FD2，∴CD2＋BE2=DE2.点拨：此题从待论证的结论可以联想到勾股定理，而三条线段不在同一个直角三角形中，故可运用旋转法将分散的线段集中在同一个三角形中．3、运用面积法解题例6、如图，△ABC中，∠B=90°，两直角边AB=7，BC=24．在三角形内有一点P到各边的距离相等，则这个距离是（）A．1B．3C．6D．无法求出解：依勾股定理知AC=．设点P到各边的距离为r，连结PA、PB、PC．依三角形的面积关系，有S△ABP＋S△BCP＋S△ACP=S△ABC，即AB·r＋BC·r＋AC·r=AB·BC．得（7＋24＋25）r=7×24，解得r=3．故选B．点拨：涉及到垂线段的问题，常可联系到某一三角形的高，从而可应用面积法来解题．因为它是一种代数方法，因此显得十分直观、简捷．例7、如图，Rt△ABC的两直角边AB=4，AC=3，△ABC内有一点P，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，且．求PD、PE、PF的长．解：在Rt△ABC中，∵AB=4，AC=3，∴BC==5．设PF=x，PE=y，PD=z，则．①连结PA、PB、PC．∵S△PAB＋S△PBC＋S△PAC=S△ABC，∴AB·x＋BC·z＋AC·y=AB·AC，即4x＋3y＋5z=12．②①＋②，得4x＋3y＋5z＋=24，配方，得∴PD=PE=PF=1．点拨：本题显然不能直接运用勾股定理来计算PD、PE、PF的长，只能在连结PA、PB、PC后，将原三角形分成三个分别以AB、BC、CA为底，PF、PD、PE为高的三角形，由面积法列出关系式，再利用题设条件，即可求解．4、构造几何图形解答代数问题例8、设a、b、c、d都是正数，求证：．分析：题中出现线段的平方和，考虑构造直角三角形，利用勾股定理证明．证明：构造一个边长分别为(a＋b)、(c＋d)的矩形ABCD（如图）．在Rt△ABE中，．在Rt△BCF中，．在Rt△DEF中，．在△BEF中，BE＋EF>BF，即点拨：勾股定理将直角三角形的位置关系（两边垂直）转化为数量关系，这为我们运用代数方法研究几何问题提供了工具，反过来，对有些代数问题，特别是含有平方和或平方差的代数式，我们也可以通过构造直角三角形用勾股定理来解决，即用几何方法解决代数问题．勾股定理的逆定理一、一周知识概述1、勾股定理的逆定理是直角三角形判定的重要方法如果三角形的三边长为a，b，c，且满足a2＋b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．这就是勾股定理的逆定理．在叙述定理时，不能简单地将原命题(勾股定理)的条件和结论颠倒过来，写成“如果一个三角形的两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2＋b2=c2，那么这个三角形是直角三角形”．要是这样叙述，则条件中所说“直角边，斜边”等名词已承认三角形是直角三角形，而结论又为直角三角形，这样条件与结论就会混乱．勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法．这种方法与前面学过的一些判定方法不同，它是通过代数运算“算”出来的．实际上利用计算证明几何问题在几何里也是很重要的．这里体现了数学中的重要思想——数形结合思想，打破了利用角与角之间的转化计算直角的方法，建立了通过求边与边关系判定直角的新方法．它将数形之间的联系体现得淋漓尽致，因此也有人称勾股定理的逆定理为“数形结合的第一定理”！2、逆命题和逆定理的概念把一个命题的题设和结论互换，就得到它的逆命题．一个真命题的逆命题不一定也是真命题．例如“全等三角形的对应角相等”是一个真命题，它的逆命题是“对应角相等的两个三角形是全等三角形”，显然这个命题不是真命题，即为假命题．一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题就是这个定理的逆定理．例如：勾股定理和勾股定理的逆定理，就是互逆定理．前一个是直角三角形的性质定理，后一个是直角三角形的判定定理，我们要善于比较这两个定理间的联系和区别．我们前面学习的角平分线的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定等都是像这样的互逆定理，大家可以对照复习一下．对于那些不是以“如果……，那么……”形式给出的命题，在叙述它们的逆命题时，可以把这些命题变为“如果……，那么……”的形式．例如“等边对等角”可以改写为“如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个底角相等”．3、勾股数组能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数组．不难验证(3,4,5)，(5,12,13)，(7,24,25)，(9,40,41)，(11,60,61)，…均为基本勾股数组．显然，若(a,b,c)为基本勾股数组，则(ka,kb,kc)也为勾股数组，其中k为正整数．例如(6,8,10)，(9,12,15)，(10,24,26)，…为勾股数组．若能掌握前几个基本勾股数组，会给解题带来方便和快捷．二、重难点知识归纳1、勾股定理的逆定理的应用．2、逆命题和逆定理的概念．3、勾股数组．三、典型例题剖析1、利用勾股定理的逆定理证直角例1、如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB=10，BD=6，AD=8，AC=17．求△ABC 的面积．解：∵BD2＋AD2=36＋64=100=102=AB2，∴△ABD是直角三角形，∠ADB=90°．在△ADC中，∴BC=BD＋DC=6＋15=21．点拨：已知三角形的三边长，常验证其中是否有两个数的平方和等于第三个数的平方，以便判断该三角形是否为直角三角形．例2、如图，四边形ABCD为正方形(四角为直角、四边相等的四边形)，点E为AB中点，点F在AD边上，且求证：EF⊥CE．点拨：这里先运用勾股定理计算出△CEF各边的边长，然后运用勾股定理的逆定理来判断其为直角三角形，这是证明两条直线垂直的又一种方法．例3、如图，P为正三角形内一点，且PC=3，PB=4，PA=5．求∠BPC．解：将图中的△ACP绕顶点C按逆时针旋转60°，得△BP′C的位置．∵PC=P′C，∠PCP′=60°，∴△PP′C为正三角形．在△BP′P中，BP=4，PP′=PC=3，BP′=AP=5，∴△BP′P为Rt△．∴∠BPP′=90°，∠BPC=∠BPP′＋∠P′PC=90°＋60°=150°．点拨：由PC=3，PB=4，PA=5想到常见的勾股数组，但这三条线段不在同一个三角形中，但可以借助旋转将三条线段集中起来，由勾股定理的逆定理得到一个直角三角形．2、勾股数组例4、试判断：三边长分别为2n2＋2n，2n＋1，2n2＋2n＋1(n为正整数)的三角形是否是直角三角形？解：∵(2n2＋2n＋1)－(2n2＋2n)=1＞0，(2n2＋2n＋1)－(2n＋1)=2n2＞0，∴2n2＋2n＋1为三角形中最大边．又∵(2n2＋2n＋1)2=4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，(2n2＋2n)2＋(2n＋1)2=4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，∴(2n2＋2n＋1)2=(2n2＋2n)2＋(2n＋1)2．由勾股定理的逆定理可知，此三角形为直角三角形．点拨：这里先作差比较确定最大边，其依据是：a－b＞0，则a＞b；a－b=0，则a=b；a－b＜0，则a＜b．实际上有时用这种方法还会有困难，对于不考虑过程仅需要答案的题，还可利用特殊值迅速解决．例5、(1)请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n(n＞1)的代数式表示：a=______，b=______，c=______；(2)猜想：以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想．解：(1)n2－1；2n；n2＋1．(2)以a，b，c为边的三角形是直角三角形．证明如下：∵a2＋b2=(n2－1)2＋4n2=n4－2n2＋1＋4n2=n4＋2n2＋1=(n2＋1)2=c2，∴以a，b，c为边长的三角形是直角三角形．点拨：解决此类问题的思路一般是观察→猜想→证明．例6、(2002，湖北省)如图，在△ABC中，AB=5，AC=13，边BC上的中线AD=6，求BC的长．解：如图，延长AD至E，使DE=AD=6，连结CE．∵CD=BD，且∠ADB=∠EDC，∴△ABD≌△ECD．∴AB=CE=5．点评：根据题设的条件，由中线联想到中线倍长，将分散的条件集中起来，由数据关系可判定△ACE是直角三角形，再在Rt△CDE中求CD的长就不难了．例7、写出下列命题的逆命题，并判断真假．(1)如果a=0，那么ab=0；(2)如果x=4，那么x2=16；(3)面积相等的三角形是全等三角形；(4)如果三角形有一个内角是钝角，则其余两个角是锐角；(5)在一个三角形中，等角对等边．分析：先分清原命题的题设和结论，再把题设和结论互换位置，就得到原命题的逆命题．解答：(1)的逆命题是：如果ab=0，那么a=0．它是一个假命题．(2)的逆命题是：如果x2=16，那么x=4．它是一个假命题．(3)的逆命题是：全等三角形的面积相等．它是一个真命题．(4)的逆命题是：如果三角形有两个内角是锐角，那么另一个内角是钝角．它是一个假命题．(5)的逆命题是：在一个三角形中，等边对等角．它是一个真命题．方法总结：写一个命题的逆命题的关键是分清题设和结论，再交换题设与结论的位置，必要时要加一些适当的语句，切忌不能生搬硬套．例8、下列定理是否都有逆定理？若有，请写出来．(1)如果两个角都是直角，那么这两个角相等；(2)内错角相等，两直线平行；(3)等边三角形的三个角都等于60°．分析：先写出每个定理的逆命题，再判断其真假．方法总结：先写出逆命题，再判断真假，一般判断一个命题是真命题要经过证明，判断一个命题是假命题只需举一个反例即可。
第十九讲直角三角形
①判断△PQR与△PEF面积之间的关系,并说明理由.
②若PQ= 10,PR= 13,QR=3,则六边形AQRDEF的面积为 32 ___.
【思路点拨】(1)利用勾股定理借助网格求解即可. (2)六边形AQRDEF的面积=边长为 10 的正方形面积+边 长为 13 的正方形面积+△PEF的面积+△PQR的面积.
【例】阅读下列材料: 王明磊同学遇到一个问题:在△ABC中,AB,BC,AC三边的
长分别为 5，10，13，求△ABC的面积.该同学是这样解
决问题的:如图1所示,先画一个正方形网格(每个小正
方形的边长为1),再在网格中画出格点△ABC(即△ABC
三个顶点都在小正方形的顶点处),从而借助网格就能
计算出△ABC的面积.他把这种解决问题的方法称为构 图法.
第十九讲
直角三角形
一、直角三角形的性质与判定
互余 (1)直角三角形的两个锐角_____ (2)在直角三角形中,30°角所对的直角边等 一半 性质 于斜边的_____ (3)在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边 一半 的_____ 直角 的三角形 (1)定义法:有一个角是_____ 判定 互余 的三角形 (2)两个内角_____
参考王明磊解决问题的方法,完成下列问题:
(1)图2是一个6×6的正方形网格(每个小正方形的边
长为1). ①利用构图法在图2中画出三边长分别为 13， 20， 29 的格点△DEF; ②计算①中△DEF的面积.
(2)如图3,已知△PQR,以PQ,PR为边向外作正方形PQAF,
正方形PRDE,连接EF.
长方形与直角三角形的面积的差求出该三角形的面积.
9 9 + +( 10 )2 2 2
每个定理都有逆定理吗
每个定理都有逆定理吗
不一定。
定理，必须是真命题。
而定理的逆命题不一定是真命题，那么这种情况下，这个定理的逆命题就不能成为定理，那么就没有逆定理了。
例如：对顶角相等，逆命题：相等的角是对顶角。
定理是正确的，而这条逆命题却是错误的，不可以成为逆定理。
逆定理
逆定理是将某一定理的条件和结论互换所得命题也是一个定理，那互换之后的定理就是原来定理的逆定理。
(即如果一个定理的逆命题能被证明为真命题，那么它叫做原定理的逆定理)。
此时，这两个定理叫互逆定理。
直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
（勾股定理）其逆定理：如果一个三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
这就是一对典型的互逆定理。
定理
在数学里，定理是指在既有命题的基础上证明出来的命题，这些既有命题可以是别的定理，或者广为接受的陈述，比如公理。
数学定理的证明即是在形式系统下就该定理命题而作的一个推论过程。
定理的证明通常被诠释为对其真实性的验证。
由此可见，定理的概念基本上是演绎的，有别于其他需要用实验证据来支持的科学理论。