江苏省2020学年高二数学下学期期中试题理(含解析)
江苏省南京市六校联考2020-2021学年高二下学期期中考试数学Word版含解析
南京市2020—2021学年度高二第二学期期中六校联考数学试卷本卷：共150分 考试时间：120分钟一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．设z ＝3－2i ，则在复平面内z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同的选择的种数为（ ） A ．60B ．125C ．240D ．2433．已知递增等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝2，S 3＝7，则S 7＝( ) A ．64B ．63C ．127D ．484．3名大学生利用假期到2个山村参加扶贫工作，每名大学生只去1个村，每个村至少1人，则不同的分配方案共有（ ） A ．4种B ．5种C ．6种D ．8种5．已知函数f (x )＝13a 2x 3－32ax 2＋2x ＋1在x ＝1处取得极大值，则a 的值为( )A ．－1或－2B ．1或2C ．1D ．26．甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有( ) A ．12种B ．24种C ．48种D ．120种7．数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有( ) A ．60种B ．78种C ．84种D ．144种8．定义在R 上的函数f (x )的导函数为f′(x )，若对任意实数x ，有f (x )＞f′(x )，且f (x )＋2022为奇函数，则不等式f (x )＋2022e x ＜0的解集是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，2022)C ．(0，＋∞)D ．(2022，＋∞)二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2019-2020学年高二下学期期中考试数学(理)试题 Word版含解析
2019—2020学年第二学期南昌市八一中学高二理科数学期中考试试卷第Ⅰ卷（选择题：共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数z 满足1i 1i z +=-，则||z =（ ） A. 2iB. 2C. iD. 1 【★答案★】D【解析】【分析】 根据复数的运算法则，求得复数zi ，即可得到复数的模，得到★答案★． 【详解】由题意，复数11i i z +=-，解得()()()()111111i i i z i i i i +++===--+，所以1z =，故选D ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的模的求解，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2. 已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【★答案★】B【解析】【分析】根据面面垂直和线面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：由面面垂直的定义知，当“l ⊥β”时，“α⊥β”成立，当αβ⊥时，l β⊥不一定成立，即“l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件，故选：B ．【点睛】本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及线面垂直和面面垂直的判定，属基础题.3. 已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC的面积是( )A. 3B. 22C.32D.34【★答案★】A【解析】【分析】先根据已知求出原△ABC的高为AO＝3，再求原△ABC的面积. 【详解】由题图可知原△ABC的高为AO＝3，∴S△ABC＝12×BC×OA＝12×2×3＝3，故★答案★为A【点睛】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A. 4B. 6C. 8D. 12【★答案★】A【解析】由三视图复原几何体，是如图所示的四棱锥，它的底面是直角梯形，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，棱锥的一条侧棱垂直底面高为2，所以这个几何体的体积：12422432V+=⨯⨯⨯=，故选A．【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.5. 下列命题中，正确的是（）A. 经过不同的三点有且只有一个平面B. 分别在两个平面的两条直线一定是异面直线C. 垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D. 垂直于同一个平面的两个平面平行【★答案★】C【解析】【分析】根据不在一条直线上的三点确定一个平面，来判断A是否正确；根据分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定，来判断B是否正确；根据垂直于同一平面的两直线平行，来判断C是否正确；根据垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是平行、相交或异面，来判断D是否正确．【详解】解：对A，当三点在一条直线上时，平面不唯一，∴A错误；对B，分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定，∴B错误；对C，根据垂直于同一平面的两直线平行，∴C正确；对D，垂直于同一平面的两平面的位置关系是平行、相交，∴D错误．故选C．【点睛】本题考查了空间直线与直线的位置关系及线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象能力.6. 实数a 使得复数1a i i +-是纯虚数，10b xdx =⎰，1201c x dx =-⎰则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D. c b a <<【★答案★】C【解析】【分析】 利用复数的乘除运算求出a ，再利用微积分基本定理以及定积分的定义即可求出b ，c ，从而比较其大小关系. 【详解】()()()()11111122a i i a i a a i i i i +++-+==+--+， 1a i i +-是纯虚数， 102a -∴=，1a ， 121001122b xdx x ⎛⎫===⎪⎝⎭⎰， 1201c x dx =-⎰表示是以()0,0为圆心， 以1为半径的圆在第一象限的部分与坐标轴围成的14个圆的面积， 21144c ππ∴=⨯⨯=，所以b c a <<. 故选：C【点睛】本题考查了复数的乘除运算、微积分基本定理求定积分、定积分的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.7. 已知正四棱柱''''ABCD A B C D -的底面是边长为1的正方形，若平面ABCD 内有且仅有1个点到顶点A '的距离为1，则异面直线,AA BC '' 所成的角为 ( ) A. 6π B. 4π C. 3π D. 512π 【★答案★】B【解析】由题意可知，只有点A 到'A 距离为1，即高为1，所以该几何体是个正方体，异面直线11,AA BC 所成的角是4π，故选B.8. 函数3xeyx=的部分图象可能是（）A. B.C. D.【★答案★】C【解析】分析：根据函数的奇偶性，及x=1和x=2处的函数值进行排除即可得解.详解：易知函数3xeyx=为奇函数，图象关于原点对称，排除B，当x=1时，y=＜1，排除A，当x=4时，4112ey=>，排除D，故选C．点睛：已知函数的解析式判断函数的图象时，可从以下几个方面考虑：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．9. 如图所示，三棱锥P ABC -的底面在平面α内，且AC PC ⊥，平面PAC ⊥平面PBC ，点P A B ，，是定点，则动点C 的轨迹是（ ）A. 一条线段B. 一条直线C. 一个圆D. 一个圆，但要去掉两个点【★答案★】D【解析】 因为平面PAC⊥平面PBC ，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC=PC ，AC ⊂平面PAC ，所以AC⊥平面PBC.又因为BC ⊂平面PBC ，所以AC⊥BC.所以∠ACB=90°.所以动点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，除去A 和B 两点.选D.点睛：求轨迹实质是研究线面关系，本题根据面面垂直转化得到线线垂直，再根据圆的定义可得轨迹，注意轨迹纯粹性.10. 如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD ⊥AC ；②△BAC 等边三角形；③三棱锥D －ABC 是正三棱锥；④平面ADC ⊥平面AB C.其中正确的是（ ）A. ①②④B. ①②③C. ②③④D. ①③④【★答案★】B【解析】【分析】根据翻折后垂直关系得BD ⊥平面ADC ，即得BD ⊥AC ，再根据计算得△BAC 是等边三角形，最后可确定选项.【详解】由题意知，BD ⊥平面ADC ，故BD ⊥AC ，①正确；AD 为等腰直角三角形斜边BC 上的高，平面ABD ⊥平面ACD ，所以AB ＝AC ＝BC ，△BAC 是等边三角形，②正确；易知DA ＝DB ＝DC ，又由②知③正确；由①知④错．故选B .【点睛】本题考查线面垂直判定与性质，考查推理论证求解能力，属中档题.11. 如图所示，在正三棱锥S —ABC 中，M 、N 分别是SC ．BC 的中点，且MN AM ⊥，若侧棱23SA =，则正三棱锥S —ABC 外接球的表面积是（）A. 12πB. 32πC. 36πD. 48π【★答案★】C【解析】分析】 根据题目条件可得∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘，以SA ，SB ，SC 为棱构造正方体，即为球的内接正方体，正方体对角线即为球的直径，即可求出球的表面积.【详解】∵M ,N 分别为棱SC ,BC 的中点,∴MN ∥SB∵三棱锥S −ABC 为正棱锥，∴SB ⊥AC (对棱互相垂直)∴MN ⊥AC又∵MN ⊥AM ，而AM ∩AC =A ，∴MN ⊥平面SAC ，∴SB ⊥平面SAC∴∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘以SA ，SB ，SC 为从同一定点S 出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径. ∴236R SA ==，∴R =3，∴V =36π.故选：C【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力，由三棱锥构造正方体，它的对角线长就是外接球的直径,是解决本题的关键. 12. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率e 的取值范围为（ ） A. 2,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C. 23,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 36,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【★答案★】A【解析】【分析】 根据直角三角形性质得A 在圆上，解得A 点横坐标，再根据条件确定A 横坐标满足条件，解得离心率.【详解】由题意得OA OB OF c ===，所以A 在圆222=x y c +上，与22221x y a b +=联立解得22222()Aa cb xc -=， 因为ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以22sin 22sin ()2sin [,]A A a a c a c a c AF c e x c x c e e eααα---=∴-=∴=∈因此2222222()()()a c a c b a c e c e---≤≤， 解得22222222(2)()(2)2()a c c b a c a c c a a c -≤-≤--≤-≤-，，即222,20a c a c ac ≤--≥，即2212,120312e e e e ≤--≥∴≤≤-，选A. 【点睛】本题考查椭圆离心率，考查基本分析化简求解能力，属中档题.第Ⅱ卷（非选择题：共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将★答案★填在答题卡的相应位置.13. ()ππsin cos x x dx -+=⎰__________. 【★答案★】0【解析】【分析】求出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和积分下限作差得出★答案★.【详解】()()ππsin cos cos sin x x dx x x ππ--+=-+⎰()()()cos sin cos sin 110ππππ=-+---+-=-=⎡⎤⎣⎦.故★答案★为：0【点睛】本题主要考查了定积分的计算，解题的关键是确定原函数，属于基础题.14. 在三棱锥P ABC -中，6,3PB AC ==，G 为PAC ∆的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB 和AC ，则截面的周长为_________.【★答案★】8【解析】【分析】如图所示，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F ．过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ．可得四点EFMN 共面，进而得到23EF MN AC AC ==，根据比例可求出截面各边长度，进而得到周长． 【详解】解：如图所示，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N .由作图可知：EN ∥FM ，∴四点EFMN 共面可得MN ∥AC ∥EF ，EN ∥PB ∥FM . ∴23EF MN AC AC == 可得EF =MN =2.同理可得：EN =FM =2.∴截面的周长为8.故★答案★为：8.【点睛】本题考查了三角形重心的性质、线面平行的判定与性质定理、平行线分线段成比例定理，属于中档题．15. 已知一个正三棱柱，一个体积为4π3的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个正三棱柱的表面积是______. 【★答案★】183【解析】【分析】由球的体积可以求出半径，从而得到棱柱的高；由球体与棱柱的所有面均相切，得出球的半径和棱柱底面正三角形边长的关系，求出边长，即求出底面正三角形的面积，得出棱柱的表面积.【详解】由球的体积公式可得24433R ππ=，1R ∴=， ∴正三棱柱的高22h R ==，设正三棱柱的底面边长为a ， 则其内切圆的半径为：13132a ⋅=，23a ∴=，∴该正三棱柱的表面积为：21333226183222a R a a a a ⋅+⨯⨯=+=. 故★答案★为：183【点睛】本题考查了球的体积公式、多面体的表面积求法，属于基础题.16. 如图，在矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻转成1A DE ∆.若M 为线段1A C 的中点，则在ADE ∆翻转过程中，正确的命题是______.（填序号）①BM 是定值；②点M 在圆上运动；③一定存在某个位置，使1DE A C ⊥；④一定存在某个位置，使MB平面1A DE .【★答案★】①②④【解析】【分析】取DC 中点N 再根据直线与平面的平行垂直关系判断即可.【详解】对①, 取DC 中点N ,连接,MN BN ,则1//MN A D ,//NB DE .因为MN NB N ⋂=,1A D DE D ⋂=,故平面1//MNB A DE .易得1MNB A DE ∠=∠为定值,故在ADE ∆翻转过程中MNB ∆的形状不变.故BM 是定值.故①正确.对②,由①得, 在ADE ∆翻转过程中MNB ∆沿着NB 翻折,作MO NB ⊥交NB 于O ,则点M 在以O 为圆心,半径为MO 的圆上运动.故②正确.对③,在DE 上取一点P 使得AP DE ⊥,则1A P DE ⊥,若1DE A C ⊥则因为111A P A C A ⋂=,故DE ⊥面1A CP ,故DE PC ⊥,不一定成立.故③错误.对④,由①有1//MNB A DE ,故MB平面1A DE 成立.综上所述,①②④正确.故★答案★为：①②④ 【点睛】本题主要考查了翻折中线面垂直平行的判定,需要画出对应的辅助线分析平行垂直关系,属于中等题型.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是PA ，BD 上的点且PE ∶EA ＝BF ∶FD ，求证：EF ∥平面PBC .【★答案★】见解析【解析】试题分析：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM ，因为AD ∥BC ，∴BF MF FD FA =，又BF PE FD EA =，∴PE MF EA FA=， 所以EF ∥PM ，从而得证.试题解析：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM .因为AD ∥BC ，所以＝. 又由已知＝，所以＝. 由平面几何知识可得EF ∥PM ，又EF ⊄平面PBC ，PM ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC .18. 如图所示，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 是棱CC 1的中点．证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．【★答案★】证明见解析【解析】【分析】通过长方体的几何性质证得11BM A B ⊥，通过计算证明证得1BM B M ⊥，由此证得BM ⊥平面11A B M ，从而证得平面ABM ⊥平面11A B M .【详解】由长方体的性质可知A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，又BM ⊂平面BCC 1B 1，∴A 1B 1⊥BM ．又CC 1＝2，M 为CC 1的中点，∴C 1M ＝CM ＝1．在Rt△B 1C 1M 中，B 1M 2212C M CM =+=， 同理BM 222BC CM =+=，又B 1B ＝2， ∴B 1M 2+BM 2＝B 1B 2，从而BM ⊥B 1M ．又A 1B 1∩B 1M ＝B 1，∴BM ⊥平面A 1B 1M ，∵BM ⊂平面ABM ，∴平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19. 以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的直角坐标为()1,0，若直线l 的极坐标方程为2cos 104ρθπ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程是244x m y m ⎧=⎨=⎩，（m 为参数).（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11MA MB +. 【★答案★】（1）10x y --=，24y x =；（2）1【解析】【试题分析】(1) 2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭展开后利用公式直接转化为直角坐标方程.对C 消去m 后得到直角坐标方程.(2)求出直线l 的参数方程,代入抛物线,利用直线参数的几何意义求得11MA MB+的值. 【试题解析】（1）由2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，得cos sin 10ρθρθ--=， 令cos x ρθ=，sin y ρθ=，得10x y --=.因为244x m y m⎧=⎨=⎩，消去m 得24y x =， 所以直线l 的直角坐标方程为10x y --=，曲线C 的普通方程为24y x =.（2）点M 的直角坐标为()1,0，点M 在直线l 上. 设直线l 的参数方程为21222t x ty ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），代入24y x =，得24280t t --=.设点,A B 对应的参数分别为1t ，2t ，则1242t t +=，128t t =-，所以121211t t MA MB t t -+== ()21212224323218t t t t t t +-+==. 20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，090ADC ∠=，平面PAD ⊥底面ABCD ，为AD 中点，M 是棱PC 上的点，．（1）求证：平面POB ⊥平面PAD ；（2）若点M 是棱的中点，求证：//PA 平面．【★答案★】（1）见解析；（2）见解析【解析】【详解】（1）证明： ∵AD 中点，且，∴DO BC =又//AD BC ，090ADC ∠=，∴ 四边形BCDO 是矩形，∴BO OD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD OD =，BO ⊂平面ABCD ，∴BO ⊥平面PAD ，又BO ⊂平面POB ，∴ 平面POB ⊥平面PAD ．（2）如下图，连接AC 交BO 于点E ，连接EM ，由（1）知四边形BCDO 是矩形，∴//OB CD ，又为AD 中点，∴E 为AC 中点，又是棱AC 的中点，∴//EM PA ，又EM ⊂平面，平面， ∴//PA 平面21. 如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，223AB DC ==,AC BD F ⋂=.且PAD ∆与ABD ∆均为正三角形,E 为AD 的中点，G 为PAD ∆重心.(1)求证：//GF 平面PDC ；(2)求异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值.【★答案★】(1)证明见解析；（2）33952. 【解析】试题分析：（1）连接AG 交PD 于H ，连接GH ，由重心性质推导出GFHC ，根据线面平行的判定定理可得GF 平面PDC ；（2）取线段AB 上一点Q ，使得13BQ AB =，可证GFQ ∠ 即是异面直线GF 与BC 的夹角，由余弦定理可得结果.试题解析：（1）方法一：连AG 交PD 于H ,连接CH .由梯形ABCD ，//AB CD 且2AB DC =，知21AF FC = 又E 为AD 的中点，G 为PAD ∆的重心，∴21AG GH =，在AFC ∆中，21AG AF GH FC ==,故GF //HC . 又HC ⊆平面PCD ,GF ⊄ 平面PCD ,∴GF //平面PDC .方法二：过G 作//GN AD 交PD 于N ,过F 作//FM AD 交CD 于M ,连接MN ,G 为PAD ∆的重心，23GN PG ED PE ==,22333GN ED ∴==,又ABCD 为梯形，//AB CD ,12CD AB =,12CF AF ∴=13MF AD ∴=,233MF ∴= ∴GN FM = 又由所作，//FM AD 得GN //FM ，GNMF ∴为平行四边形.//GN AD //,GF MN GF PCD MN PCD ⊄⊆面，面,∴ //GF 面PDC(2) 取线段AB 上一点Q ，使得13BQ AB =，连FQ ,则223FQ BC ==, 1013,33EF GF ==,1316,33EQ GQ == ,在GFQ ∆中 222339cos 2?52GF FQ GQ GFQ GF FQ +-∠== ，则异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值为33952. 角函数和等差数列综合起来命题，也正体现了这种命题特点.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、异面直线所成的角、余弦定理，属于中挡题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.22. 已知函数()1ln (2)(1),f x a x a a R x=+-+∈.(Ⅰ)试求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若不等式()(ln )x f x a x e ≥-对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围. 【★答案★】(1) 见解析(2) 1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【解析】 【详解】（Ⅰ）因为()()1ln 21,(,0).f x a x a a R x x ⎛⎫=+-+∈> ⎪⎝⎭所以()()2211.ax a a a f x x x x'-++=-= ①若10a -≤≤，则()0f x '<，即()f x 在区间∞（0，+）上单调递减； ②若0a >，则当10a x a +<<时，()0f x '< ；当1a x a +>时，()0f x '>； 所以()f x 在区间10,a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； ③若1a <-，则当10a x a +<<时，()0f x '>；当1a x a+>时，()0f x '<； 所以函数在区间上单调递增，在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减． 综上所述，若10a -≤≤，函数在区间上单调递减；； 若，函数在区间上单调递减，在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； 若1a <-，函数在区间上单调递增，在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减． （Ⅱ）依题意得()()()1ln 210x x f x a x e ae a x ⎛⎫≥-⇔+-+≥ ⎪⎝⎭， 令()()121x h x ae a x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭.因为()10h ≥，则()11a e -≥，即101a e ≥>-． 于是，由()1210x ae a x ⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭，得1201x a e a x +-≥+， 即211x a x a xe-≥+对任意0x >恒成立. 设函数()21(0)x x F x x xe -=>，则()()()2211x x x F x x e +-='-. 当01x <<时，()0F x '>；当1x >时，()0F x '<；所以函数()F x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；所以()()max 11F x F e ⎡⎤==⎣⎦. 于，可知11a a e ≥+，解得11a e ≥-.故a 的取值范围是1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭感谢您的下载!快乐分享，知识无限！不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！。
江苏省南通市2023-2024学年高二下学期期中质量监测数学试题(含简单答案)
南通市2023-2024学年高二下学期期中质量监测数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效.3.本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知向量，，若，则（ ）A. B. C. 4D. 22. 记函数的导函数为.若，则（ ）A. B. 0C. 1D. 23. 某产品的广告费用（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下关系：2456830405060已知与的线性回归方程为，则等于（ ）A. 68B. 69C. 70D. 714. 已知函数，则的图象大致为（ ）A. B.(1,,2)a m = (2,4,)b n =- //a bm n +=4-6-()f x ()f x '()sin f x x x =+()0f '=1-x y x yay x 715y x =+a ()ln f x x x =-()f xC. D.5. 在的展开式中，含项的系数为（ ）A 16B. -16C. 8D. -86. 甲､乙两人投篮命中率分别为和，并且他们投篮互不影响.现每人分别投篮2次，则甲与乙进球数相同的概率为（ ）A.B.C. D.7. 今年春节，《热辣滚汤》､《飞驰人生2》､《熊出没之逆转时空》､《第二十条》引爆了电影市场，小帅和他的同学一行四人决定去看电影.若小帅要看《飞驰人生2》，其他同学任选一部，则恰有两人看同一部影片的概率为（ ）A.B.C.D.8. 已知函数，若对任意正数，，都有恒成立，则实数a 的取值范围（ ）A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 有3名学生和2名教师排成一排，则下列说法正确的是（ ）A. 共有120种不同的排法B. 当2名教师相邻时，共有24种不同的排法C. 当2名教师不相邻时，共有72种不同的排法D. 当2名教师不排在两端时，共有48种不同的排法.4(1)(2)x x -+3x 121373611361336173696491619324564()21ln 2f x a x x =+1x ()212x x x ≠()()12121f x f x x x ->-10,4⎛⎤ ⎝⎦10,4⎛⎫⎪⎝⎭1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭10. 已知，则（ ）A. 展开式各项的二项式系数的和为B. 展开式各项的系数的和为C.D. 11. 如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱组合而成，，，是上的动点．则（ ）A. 平面平面B. 为的中点时，C. 存在点，使得直线与的距离为D. 存在点，使得直线与平面所成的角为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知随机变量，且，则__________.13. 已知事件相互独立.若，则__________.14. 若函数有绝对值不大于1的零点，则实数的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知函数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）求在上的最值.1002100012100(12)x a a x a x a x -=++++ 10021-024********a a a a a a a a ++++>++++ 123100231000a a a a ++++< ABF DCE -AB AF ⊥4AB AD AF ===G »CDADG ⊥BCGG »CD//BF DG G EFAG G CF BCG 60()22,X N σ:(1)0.7P X >=(23)P X <<=,A B ()()0.6,0.3P A P B A ==()P AB =()334f x x x a =-+a ()()1e xf x x =-()y f x =()()1,1f ()f x []1,2-16. 如图，在直四棱柱中，底面是梯形，，且是的中点.（1）求点到平面的距离；（2）求二面角正弦值.17. “五一”假期期间是旅游的旺季，某旅游景区为了解不同年龄游客对景区的总体满意度，随机抽取了“五一”当天进入景区的青､老年游客各120名进行调查，得到下表：满意不满意青年8040老年10020（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为“是否满意”与“游客年龄”有关联；（2）若用频率估计概率，从“五一”当天进入景区的所有游客中任取3人，记其中对景区不满意的人数为，求的分布列与数学期望.附：，其中.0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82818.已知函数.（1）讨论单调性；的的1111ABCD A B C D -ABCD //AB ,DC DA DC ⊥111,2AD DD CD AB E ====AB C 1BC D 1B C D E --0.005α=X X ()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++()20P x χ≥0x 21()(1)ln ,R 2f x ax a x x a =+--∈()f x（2）当时，证明：；（3）若函数有两个极值点，求的取值范围.19. 现有外表相同，编号依次为的袋子，里面均装有个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球.随机选择其中一个袋子，并从中依次不放回取出三个球.（1）当时，①假设已知选中恰为2号袋子，求第三次取出的是白球的概率；②求在第三次取出的是白球的条件下，恰好选的是3号袋子的概率；（2）记第三次取到白球的概率为，证明：.的0a >3()22f x a≥-2()()F x ax x f x =--11222,()3x x x x <<12()()F x F x -()1,2,3,,3n n ≥ n ()1,2,3,,k k n = k n k -4n =p 2p 1<南通市2023-2024学年高二下学期期中质量监测数学简要答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】C二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】AC【10题答案】【答案】AC【11题答案】【答案】AB三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】##【13题答案】【答案】##【14题答案】【答案】四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）；（2），.【16题答案】【答案】（1（2）.【17题答案】【答案】（1）能认有关 （2）分布列略，【18题答案】【答案】（1）答案略； （2）证明略； （3）.【19题答案】【答案】（1）①；② （2）证明略为0.2150.1232511,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦e e 0x y --=2max ()(2)e f x f ==min ()(0)1f x f ==-13()34E X =3(0,ln 2)4-1216。
江苏省宿迁市2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题(解析版)
高二年级调研测试数学本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案．不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 计算012456C C C ++=（ ）A. 20B. 21C. 35D. 36【答案】B 【解析】【分析】利用组合数计算公式计算可得结果.【详解】由组合数计算公式可得01245665C C C 152112×++=++=×. 故选：B2. 已知样本数据121x +，221x +，…，21n x +的平均数为5，则131x +，231x +，…，31n x +的平均数为（ ） A. 6 B. 7C. 15D. 16【答案】B 【解析】【分析】根据平均数的性质即可得12,,,n x x x …的平均数为2，则可得到新的一组数据的平均数. 【详解】由题意，样本数据121x +，221x +，…，21n x +的平均数为5，设12,,,n x x x …的平均数为x ， 即215+=x ，解得2x =，根据平均数性质知131x +，231x +，…，31n x +的平均数为317x +=. 故选：B3. 下表是大合唱比赛24个班级的得分情况，则80百分位数是（ ） 得分 7 8 9 10 11 13 14 频数 4246242A. 13.5B. 10.5C. 12D. 13【答案】D 【解析】【分析】根据百分位数的定义求解即可.【详解】因为00248019.2×=，24个班级的得分按照从小到大排序， 可得80百分位数是第20个数为13. 故选：D4. 已知a ，b 为两条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若a b ∥，b α⊂，则//a α B. 若//a α，b α⊂，则//a b C. //αγ，//βγ，则//αβ D. 若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ【答案】C 【解析】【分析】由线线、线面、面面的位置关系即可求得本题. 【详解】若//a b ，b α⊂，则//a α或a α⊂，则A 错； 若//a α，b α⊂，则//a b 或a 与b 异面，则B 错；//αγ，//βγ，由平行的传递性可知，//αβ，则C 对；若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ或相交.，D 错， 故选：C.5. 已知,,A B C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，下列条件中能确定,,,M A B C 四点共面的是（ ）的.A. OM OA OB OC =++B. 3OM OA OB BC =−−C. 1123OM OA OB OC =++D. 32OM OA OB BC =−−【答案】D 【解析】【分析】根据空间向量基本定理对选项逐个进行验证即可得出结论.【详解】由空间向量基本定理可知，若,,,M A B C 四点共面，则需满足存在实数,,x y z 使得OM xOA yOB zOC =++，且1x y z ++=， 显然选项A ，C 不成立；对于选项B ，由3OM OA OB BC =−−可得()33OM OA OB OC OB OA OC =−−−=− ，不合题意，即B 错误；对于D ，化简32OM OA OB BC =−−可得()323OM OA OB OC OB OA OB OC =−−−=−− ，满足()()3111+−+−=，可得D 正确； 故选：D6. 已知随机事件A ，B ，3()10P A =，1()2P B =，1(|)3P B A =，则(|)P A B =（ ） A.15B.16 C.320D.110【答案】A 【解析】【分析】根据题意，由乘法公式代入计算可得()P AB ，再由条件概率公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为3()10P A =，1()2P B =，1(|)3P B A =， 则()()131(|)31010P B A P A P AB ×=×==， 则()()1110(|)152P AB P A BP B ===. 故选：A7. 已知9290129(21)x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，则682424682222a a a a +++的值为（ ）A. 255B. 256C. 511D. 512【答案】A 【解析】【分析】利用二项式定理写出展开式的通项，令0x =求出0=1a ，分别令12x =、12x =−，再两式相加可得8202825622a a a +++=，再减去0a 即可. 【详解】令0x =，得0=1a ， 令12x =，得93891202389251222222a a a a a a ++++++== ， 令12x =−，得38912023********a a a a a a −+−++−= ， 两式相加得82028251222a a a+++=， 得8202825622a a a +++= ， 则682424682552222a a a a +++=. 故选：A.8. 某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，其中甲车间的产量占总产量的20%，乙车间占35%，丙车间占45%．已知这3个车间的次品率依次为5%，4%，2%，若从该厂生产的这种产品中取出1件为次 ） A.331000B.1033C.1433D.311【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由全概率公式可得抽取到次品的概率，再由条件概率公式代入计算，即可求解. 【详解】记事件A 表示甲车间生产的产品， 记事件B 表示乙车间生产的产品， 记事件C 表示丙车间生产的产品， 记事件D 表示抽取到次品，则()()()0.2,0.35,0.45P A P B P C ===, ()()()0.05,0.04,0.02P D A P D B P D C ===，取到次品的概率为()()()()()()()P D P A P D A P B P D B P C P D C =++0.20.050.350.040.450.020.033=×+×+×=，若取到的是次品，此次品由乙车间生产的概率为：()()()()()()0.350.040.014140.0330.03333P B P D B P BD P B D P D P D ×=====.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 下列选项中叙述正确有（ ）A. 在施肥量不过量的情况下，施肥量与粮食产量之间具有正相关关系B. 在公式1xy=中，变量y 与x 之间不具有相关关系C. 相关系数10.6r =时变量间的相关程度弱于20.8r =−时变量间的相关程度D. 某小区所有家庭年收入x （万元）与年支出y （万元）具有相关关系，其线性回归方程为ˆˆ0.8ybx =+．若20x =，16y =，则ˆ0.76b =． 【答案】ACD 【解析】【分析】AB 的正误，根据相关系数的性质可判断C 的正误，根据回归方程的性质可判断D 的正误.【详解】对于A ，在施肥量不过量的情况下，施肥量越大，粮食产量越高， 故两者之间具有正相关关系，故A 正确.对于B ，变量y 与x 之间函数关系，不是相关关系，故B 错误. 对于C ，因为210.80.6r r =>=，故相关系数10.6r =时变量间的相关程度弱于20.8r =−时变量间的相关程度，故C 正确.对于D ，因为回归直线过(),x y ，故ˆ16200.8b=×+，故ˆ0.76b =，故D 正确. 故选：ACD.10. 已知点(2,3,3)A −−，(2,5,1)B ，(1,4,0)C ，平面α经过线段AB 的中点D ，且与直线AB 垂直，下列选项中叙述正确的有（ ） A. 线段AB 的长为36的是B. 点(1,2,1)P −在平面α内C. 线段AB 的中点D 的坐标为(0,4,1)−D. 直线CD 与平面α【答案】BCD 【解析】【分析】由空间两点间的距离公式即可得到线段AB 的长，判断A ；由AB ⊥平面α，垂足为点D ，PD AB ⊥，即可判断B ；由中点坐标公式可得点D 的坐标，判断C ；设直线CD 与平面α所成的角为β，sin cos ,AB CD AB CD AB CDβ⋅==，通过坐标运算可得，判断D.【详解】因为点(2,3,3)A −−，(2,5,1)B ， 所以6AB =,故A 错误；设D 点的坐标为(),,x y z ，因为D 为线段AB 的中点，所以2235310,4,1222x y z −++−+======−， 则D 的坐标为(0,4,1)−，故C 正确；因为点(1,2,1)P −，则()1,2,0PD =− ，又()4,2,4AB =，则()()1,2,04,2,40PD AB ⋅=−⋅=，所以PD AB ⊥，即PD AB ⊥， 又AB ⊥平面α，垂足为点D ，即D ∈平面α，所以PD ⊂平面α，故B 正确；由(1,4,0)C ，(0,4,1)D −，得()1,0,1CD =−−，设直线CD 与平面α所成的角为β，则sin cos ,ABβ= ，故D 正确.故选：BCD.11. 甲袋中有2个红球、3个黄球，乙袋中有3个红球、2个黄球，同时从甲、乙两袋中取出2个球交换，分别记交换后甲、乙两个袋子中红球个数的数学期望为()E X 、()E Y ，方差为()D X 、()D Y ，则下列结论正确的是（ ）A. ()()5E X E Y +=B. ()()E X E Y <C. ()()D X D Y <D. ()()D X D Y =【答案】ABD 【解析】【分析】依题意可知不管如何交换红球个数始终只有5个，易知5X Y +=，利用期望值和方差性质可得A ，D 正确，C 错误；易知随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，写出对应的概率并得出分布列，可得() 2.4E X =，()()5 2.6E Y E X =−=，可得B 正确.【详解】根据题意，记甲、乙两个袋子中红球个数分别为,X Y ， 不管如何交换红球个数始终只有5个，易知5X Y +=，对于A ，由期望值性质可得()()()55E X E Y E Y =−=−，即()()5E X E Y +=，所以A 正确； 对于B ，易知随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3,4； 当从甲袋中取出2个红球，乙袋中取出2个黄球后交换，可得()()22222255C C 105C C 100P X P Y ====×=， 当从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出2个黄球后交换，或者从甲袋中2个红球，乙袋中取出1个红球，1个黄球后交换，可得()()1111223232222555C C C C C 12314C C C 10025P X P Y ====+×==；当从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出1个红球，1个黄球；或者从甲袋中取出2个红球，乙袋中取出取出2个红球；或者从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出取出2个黄球后交换，可得()()1111222223233322222222555555C C C C C C C C 422123C C C C C C 10050P X P Y ====×+×+×==； 当从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出1个红球，1个黄球；或者从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出取出2个红球后交换，可得()()21111232323322225555C C C C C C 36932C C C C 10025P X P Y ====×+×==；当从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出2个红球后交换，可得()()22332255C C 941C C 100P X P Y ====×=，随机变量X 的分布列为所以期望值()132******** 2.4100255025100E X =×+×+×+×+×=， 可得()()5 2.6E Y E X =−=，即()()E X E Y <，可得B 正确； 对于C ，D ，由方差性质可得()()()()()251D Y D X D X D X =−=−=，即可得()()D X D Y =，所以C 错误，D 正确. 故选：ABD【点睛】关键点点睛：根据题意可得随机变量满足5X Y +=，利用期望值和方差性质可判断出AD 选项，再求出随机变量X 的分布列可得结论.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知随机变量X 服从正态分布()295,N σ，若(80)0.3P X <=，则(95110)P X ≤<=______． 【答案】0.2##15【解析】【分析】根据正态分布的对称性结合已知条件求解即可. 【详解】因为随机变量X 服从正态分布()295,N σ，(80)0.3P X <=， 所以(95110)(8095)0.5(80)0.2P X P X P X ≤<=<<=−<=, 故答案为：0.213. 如图，用四种不同颜色给图中的,,,,A B C D E 五个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法共有______种．【答案】72 【解析】【分析】由图形可知点E 比较特殊，所以按照分类分步计数原理从点E 开始涂色计算可得结果.【详解】根据题意按照,,,,A B C D E 的顺序分5步进行涂色，第一步，点E 的涂色有14C 种，第二步，点A 的颜色与E 不同，其涂色有13C 种， 第三步，点B 的颜色与,A E 都不同，其涂色有12C 种，第四步，对点C 涂色，当,A C 同色时，点C 有1种选择；当,A C 不同色时，点C 有1种选择； 第五步，对点D 涂色，当,A C 同色时，点D 有2种选择；当,A C 不同色时，点D 有1种选择；根据分类分步计数原理可得，不同的涂色方法共有()111432C C C 121172×+×=种. 故答案为：7214. 如图，已知三棱锥−P ABC 的底面是边长为2的等边三角形，60APB ∠=°，D 为AB 中点，PA CD ⊥，则三棱锥−P ABC 的外接球表面积为______．【答案】20π3##20π3【解析】【分析】设PAB 外接圆的圆心为E ，三棱锥−P ABC 的外接球的球心为O ，连接OE ， ABC 的外接圆的圆心为G ，连接OG ，OB ，可证四边形OGDE 为矩形，利用解直角三角形可求外接球半径，故可求其表面积.【详解】因为ABC 为等边三角形，D 为AB 中点，故CD AB ⊥， 而PA CD ⊥，PA AB A = ，,PA AB ⊂平面PAB ，所以CD ⊥平面PAB . 设PAB 外接圆的圆心为E ，三棱锥−P ABC 的外接球的球心为O ，连接,OE BE ， 设ABC 的外接圆的圆心为G ，连接OG ，OB ， 则OE ⊥平面PAB ，OG CD ⊥故//OE CD ，故,,,O G D E 共面，而DE ⊂平面PAB ， 故CD DE ⊥，故四边形OGDE 为矩形.又12sinABBEAPB=×∠13OE DG CD===，故外接球半径为OB=，故外接球的表面积为1520π4π93×=，故答案为：20π3四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚．15.在()*23,Nnx n n≥∈的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．（1）证明展开式中不存在常数项；（2）求展开式中所有的有理项．【答案】（1）证明见解析；（2）7128x，4672x，280x，214x.【解析】【分析】（1）根据题意可求得7n=，利用二项展开式的通项可得展开式中不存在常数项；（2）由二项展开式的通项令x的指数为整数即可解得合适的k值，求出所有的有理项.【小问1详解】易知第2，3，4项的二项式系数依次为123C,C,Cn n n，可得132C+C2Cn n n=，即()()()121262n n n n nn−−−+=×，整理得()()270n n−−=，解得7n=或2n=（舍）；所以二项式为72x，假设第1k+项为常数项，其中Nk∈，即可得()1777277C 22C kk k kkk k x x −−−−=为常数项，所以1702k k −−=， 解得14N 3k =∉，不合题意； 即假设不成立，所以展开式中不存在常数项； 【小问2详解】由（1）可知，二项展开式的通项()1777277C22C kk k kk k k x x−−−−=可得， 其中的有理项需满足17Z 2k k −−∈，即37Z 2k −∈，且7k ≤；当30,77Z 2k k =−=∈，此时有理项为707772C 128x x =； 当32,74Z 2k k =−=∈，此时有理项为524472C 672x x =； 当34,71Z 2k k =−=∈，此时有理项为3472C 280x x =； 当36,72Z 2k k =−=−∈，此时有理项为16272142C x x−=； 综上可知，展开式中所有的有理项为7128x ，4672x ，280x ，214x . 16. 某校天文社团将2名男生和4名女生分成两组，每组3人，分配到A ，B 两个班级招募新社员． （1）求到A 班招募新社员的3名学生中有2名女生的概率；（2）设到A ，B 两班招募新社员的男生人数分别为a ，b ，记X a b =−，求X 的分布列和方差． 【答案】（1）35（2）85【解析】【分析】（1）由古典概型的概率求解122436C C 3C 5P ==； （2）由题意，X 的可能取值为2,0,2−，算出对应概率()2P X =−，()0P X =，()2P X =，即可列出X 的分布列，再求出()E X ，进而由公式求出方差．【小问1详解】到A 班招募新社员的3名学生中有2名女生的概率为122436C C 3C 5P ==. 【小问2详解】由题意，X 的可能取值为2,0,2−，则()032436C C 12C 5P X =−==，()122436C C 30C 5P X ===，()212436C C 12C 5P X ===， 所以X 的分布列为则()1312020555E X =−×+×+×=， 所以()()()()22213182000205555D X =−−×+−×+−×=. 17. 如图，正三棱柱111ABC A B C 中，D 为AB 的中点．（1）求证：1BC ∥平面1ACD ； （2）当1AA AB的值为多少时，1AB ⊥平面1ACD ?请给出证明． 【答案】（1）证明见答案. （2 【解析】【分析】（1）连接1AC ,交1AC 于点O ，连接DO ，能证出1//BC DO ，则能证出1BC ∥平面1ACD.（2）先把1AB ⊥平面1ACD 当做条件，得出11AB A D ⊥，得出1AA AB的值，过程要正面分析. 【小问1详解】连接1AC ,交1AC 于点O ，连接DO ， 因为O 是1AC 的中点，D 为AB 的中点， 所以DO 是1ABC 的中位线，即1//BC DO ,1BC ⊄平面1ACD ，DO ⊂平面1ACD ， 所以1BC ∥平面1ACD . 【小问2详解】1AA AB =时，1AB ⊥平面1ACD ，证明如下：因为1AA AB =，11tan A AB ∴∠，111tan AA DA B AD ∠= 1111A AB DA B ∴∠=∠，1112DA B AA D π∠+∠= ，1112A AB AA D π∴∠+∠=，即11AB A D ⊥.因为三棱柱111ABC A B C 为正三棱柱，ABC ∴ 为正三角形，且1AA ⊥平面ABC ，1,CD AB CD AA ∴⊥⊥，1AB AA A ∩=，AB ⊂平面11ABB A ，1AA ⊂平面11ABB A ，CD 平面11ABB A ，因为1AB ⊂平面11ABB A ，所以1AB CD ⊥，1A D CD D = ，1,A D CD ⊂平面1ACD ， 1AB ∴⊥平面1ACD .1AA AB∴18. 会员足够多的某知名户外健身俱乐部，为研究不高于40岁和高于40岁两类会员对服务质量的满意度．现随机抽取100名会员进行服务满意度调查，结果如下：年龄段满意度合计满意不满意 不高于40岁 50 20 70 高于40岁 25 5 30 合计7525100（1）问：能否认为，会员不高于40岁和高于40岁年龄结构对服务满意度有关；（2）用随机抽取的100名会员中的满意度频率代表俱乐部所有会员的满意度概率．从所有会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务满意的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．参考公式：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ−=++++（其中n a b c d =+++）．参考数据：()20P x χ≥ 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010x2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828【答案】（1）不能认为会员不高于40岁和高于40岁年龄结构对服务满意度有关. （2）分布列见解析；94. 【解析】【分析】（1）首先根据列联表中的数据结合公式计算2χ值，然后对照表格得到结论；（2）由表格可知，对服务满意的人的概率为34，且33,4X B∼，根据二项分布公式即可求解． 【小问1详解】 由列联表可知：2217100(5052520)100.587255 2.072730630χ××−×<××==≈， 所以不能认为会员不高于40岁和高于40岁年龄结构对服务满意度有关. 【小问2详解】由表格可知，对服务满意人的概率为34，且33,4X B∼， 则0,1,2,3X =，可得：()303110C 464P X ===，()2133191C 4464P X === ， ()22331272C 4464P X ===，()3333273C 464P X === ， 故X 的分布列如图：可得()39344EX =×=. 19. 如图，在三棱台ABC DEF −中，2AB BC AC ===，1AD DF FC ===，N 为DF 的中点，二面角D AC B −−的大小为θ．（1）求证：AC BN ⊥； （2）若π2θ=，求三棱台ABC DEF −的体积； （3）若A 到平面BCFE cos θ的值． 【答案】（1）证明见解析； （2）78（3）3cos 5θ=−的【解析】【分析】（1）利用三棱柱性质，根据线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面BMN ，可证明结论； （2）由二面角定义并利用棱台的体积公式代入计算可得结果；（3）建立空间坐标系，求出平面BCFE 的法向量，利用点到平面距离的向量求法即可得出cos θ的值. 【小问1详解】取AC 的中点为M ，连接,NM BM ；如下图所示：易知平面//ABC 平面DEF ，且平面ABC ∩平面DACF AC =，平面DEF ∩平面DACF DF =； 所以//AC DF ，又因为1AD FC ==， 可得四边形DACF 为等腰梯形，且,M N 分别为,AC DF 的中点，所以MN AC ⊥， 因为2AB BC AC ===，所以BM AC ⊥， 易知BM MN M = ，且,BM MN ⊂平面BMN ， 所以AC ⊥平面BMN ，又BN ⊂平面BMN ，所以AC BN ⊥； 【小问2详解】由二面角定义可得，二面角D AC B −−的平面角即为BMN ∠， 当π2θ=时，即π2BMN ∠=，因此可得MN ⊥平面ABC ，可知MN 即为三棱台的高，由1,2ADDF FC AC ====可得MN =；易知三棱台的上、下底面面积分别为DEFABC S S =因此三棱台ABC DEF −的体积为1738V =【小问3详解】由（1）知，BM AC ⊥，MN AC ⊥，二面角D AC B −−的平面角即为()0,πBMN θ∠=∈； 以M 为坐标原点，分别以,MA MB 所在直线为,x y 轴，过点M 作垂直于平面ABC 的垂线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：可得()()()()1,0,0,1,0,0,,,0,0,0A C B N M θθ −，易知11,0,022NF MC==−，可得12F θθ − ；则()1,cos 2CBCF θθ =设平面BCFE 的一个法向量为(),,n x y z =，所以01cos sin 02n CB x n CF x y z θθ ⋅==⋅=++=， 令1y =，则1cos sin x z θθ−=，可得1cos sin n θθ−=； 显然()2,0,0AC =− ，由A 到平面BCFE，可得AC n n ⋅==，可得21cos 4sin θθ− =；整理得25cos 2cos 30θθ−−=，解得3cos 5θ=−或cos 1θ=； 又()0,πθ∈，可得3cos 5θ=−.【点睛】方法点睛：求解点到平面距离常用方法：（1）等体积法：通过转换顶点，利用体积相等可得点到面的距离；（2）向量法：求出平面的法向量，并利用点到平面距离的向量求法公式计算可得结果；。
专题04 恒成立问题(文理通用)(含详细答案)
专题04 恒成立问题一、单选题1．若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x -=+，且当1x <时，()x xf x e=，则满足()()35f f -的值 A ．恒小于0 B ．恒等于0 C ．恒大于0D ．无法判断2．()()(),f x R f x f x x R '∀∈设函数是定义在上的函数，其中的导函数为，满足对于()()f x f x '<恒成立，则下列各式恒成立的是A ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f <<B ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f >>C ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f ><D ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f ef3．已知0a >，0b >，下列说法错误的是 A ．若1b a a b ⋅=，则2a b +≥ B ．若23a b e a e b +=+，则a b > C ．()ln ln a a b a b -≥-恒成立D ．ln 0b ba a e+≥恒成立 4．若1x =是函数()4312*()1n n n f x a x a x a x n N ++=--+∈的极值点，数列{}n a 满足11a =，23a =，设31log n n b a +=，记[]x 表示不超过x 的最大整数．设12231202*********n n n S b b b b b b +⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦，若不等式n S t 对n +∀∈N 恒成立，则实数t 的最大值为 A ．2020 B ．2019 C ．2018D ．1010二、多选题1．若满足()()'0f x f x +>，对任意正实数a ，下面不等式恒成立的是 A ．()()2f a f a < B ．()()2af a ef a >-C ．()()0>f a fD ．()()0a f f a e>2．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()()f x xf x xf x '+<对x ∈R 恒成立，则下列选项不正确的是 A ．2(2)(1)f f e> B ．2(2)(1)f f e< C ．()10f >D ．()10f ->3．已知函数()cos sin f x x x x =-，下列结论中正确的是 A ．函数()f x 在2x π=时，取得极小值1-B ．对于[]0,x π∀∈，()0≤f x 恒成立C ．若120x x π<<<，则1122sin sin x x x x < D ．若sin x a b x <<，对于0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为14．已知函数()2f x x x=-，()()πcos 5202xg x a a a =+->，．给出下列四个命题，其中是真命题的为A ．若[]1,2x ∃∈，使得()f x a <成立，则1a >-B ．若R x ∀∈，使得()0g x >恒成立，则05a <<C ．若[]11,2x ∀∈，2x ∀∈R ，使得()()12f x g x >恒成立，则6a >D ．若[]11,2x ∀∈，[]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，则34a ≤≤ 5．当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立，则整数k 的取值可以是 A ．2- B ．1- C ．0D ．16．下列不等式中恒成立的有 A ．()ln 11xx x +≥+，1x >- B ．11ln 2x x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，0x > C ．1x e x ≥+ D ．21cos 12x x ≥-1．函数3()2,()ln 1f x x x c g x x =-+=+，若()()f x g x ≥恒成立，则实数c 的取值范围是___________． 2．若[,)x e ∀∈+∞，满足32ln 0mxx x me -≥恒成立，则实数m 的取值范围为___________．3．已知函数()()21ax x xf x x ++=≥，若()0f x '≥恒成立，则a 的取值范围为___________．4．已知函数()ln f x x x =-，若()10f x m -+≤恒成立，则m 的取值范围为___________． 5．若函数()0x f x e ax =->恒成立，则实数a 的取值范围是___________．6．当[1,2]x ∈-时，32122x x x m --<恒成立，则实数m 的取值范围是___________． 7．若()()220xxx me exeex e ++-≤在()0,x ∈+∞上恒成立，则实数m 的取值范围为___________．8．已知函数()()(ln )xf x e ax x ax =--，若()0f x <恒成立，则a 的取值范围是___________．9．已知函数()1x f x e ax =+-，若0,()0x f x 恒成立，则a 的取值范围是___________．10．不等式()221n n n N *>-∈不是恒成立的，请你只对该不等式中的数字作适当调整，使得不等式恒成立，请写出其中一个恒成立的不等式：___________．11．已知()ln f x x x m x =--，若()0f x >恒成立，则实数m 的取值范围是___________．12．已知函数21,0()2,0x e x f x ax x x ⎧-≥=⎨+<⎩，若()1f x ax ≥-恒成立，则a 的取值范围是___________．13．函数()2cos sin f x x x x x =+-，当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x ax ≤恒成立，则实数a 的取值范围是___________． 14．已知0a <，且()221ln 0ax ax x ax -+≥+恒成立，则a 的值是___________．15．若对任意实数(],1x ∈-∞，2211xx ax e-+≥恒成立，则a =___________．1．已知函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，则a 的取值范围___________；且不等式()()1212f x f x x x t +<++恒成立，则实数t 的取值范围___________．2．对任意正整数n ，函数32()27cos 1f n n n n n πλ=---，若(2)0f ≥，则λ的取值范围是___________；若不等式()0f n ≥恒成立，则λ的最大值为___________．3．已知函数1()ln (0)f x ax x a x=+>．（1）当1a =时，()f x 的极小值为___________；（2）若()f x ax ≥在(0,)+∞上恒成立，则实数a 的取值范围为___________． 4．已知函数()()221xf exx x =-+，则()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为___________，若()f x ax ≥在()0,∞+上恒成立，则实数a 的取值范围为___________．5．设函数()32f x ax bx cx =++（a ，b ，R c ∈，0a ≠）若不等式()()2xf x af x '-≤对一切R x ∈恒成立，则a =___________，b ca+的取值范围为___________． 6．已知函数()()x x f x x ae e -=-为偶函数，函数()()xg x f x xe -=+，则a =___________；若()g x mx e >-对()0,x ∈+∞恒成立，则m 的取值范围为___________． 五、解答题1．已知函数()sin f x x ax =-，()=ln 1xg x x x e -+，2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数． （1）当()0,x π∈，()0f x <恒成立，求a 的取值范围；（2）当0a =时，记()()()h x f x g x =+，求证：对任意()1,x ∈+∞，()0h x <恒成立． 2．已知函数()1x f x ae x =--（1）若()0f x ≥对于任意的x 恒成立，求a 的取值范围 （2）证明：1111ln(1)23n n++++≥+对任意的n N +∈恒成立 3．若对任意的实数k 、b ，函数()y f x kx b =++与直线y kx b =+总相切，则称函数()f x 为“恒切函数”．（1）判断函数()2f x x =是否为“恒切函数”；（2）若函数()()ln 0f x m x nx m =+≠是“恒切函数”，求实数m 、n 满足的关系式；（3）若函数()()1x xf x e x e m =--+是“恒切函数”，求证：104m -<≤． 4．已知函数()(ln )sin x f x e x a x =+-．（1）若()ln sin f x x x ≥⋅恒成立，求实数a 的最大值； （2）若()0f x ≥恒成立，求正整数a 的最大值．专题04 恒成立问题一、单选题1．若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x -=+，且当1x <时，()x xf x e=，则满足()()35f f -的值 A ．恒小于0 B ．恒等于0 C ．恒大于0D ．无法判断【试题来源】安徽省皖江名校联盟2021届高三第二次联考（理） 【答案】C【分析】当1x <时，求导，得出导函数恒小于零，得出()f x 在(),1-∞内是增函数．再由()()2f x f x -=+得()f x 的图象关于直线1x =对称，从而得()f x 在()1,+∞内是减函数，由此可得选项．【解析】当1x <时，'1()0xx f x e -=->，则()f x 在(),1-∞内是增函数． 由()()2f x f x -=+得()f x 的图象关于直线1x =对称，所以()f x 在()1,+∞内是减函数， 所以()()350f f ->．故选C ．2．()()(),f x R f x f x x R '∀∈设函数是定义在上的函数，其中的导函数为，满足对于()()f x f x '<恒成立，则下列各式恒成立的是A ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f <<B ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f >>C ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f ><D ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f ef【试题来源】2020届福建省仙游县枫亭中学高三上学期期中考试（理） 【答案】B【分析】构造函数()()xf x F x e =，求出'()0F x >，得到该函数为R 上的增函数，故得(0)(1)F F <，(0)(2018)F F <，从而可得到结论．【解析】设()()x f x F x e =，x R ∈（），所以'()()[]xf x F x e '==()()xf x f x e '-， 因为对于()(),x R f x f x ∀∈<'，所以'()0F x >，所以()F x 是R 上的增函数，所以(0)(1)F F <，(0)(2018)F F <，即(1)(0)f f e <，2018(2018)(0)f f e <， 整理得()()10f ef >和()20182018(0f ef >）．故故选B ．3．已知0a >，0b >，下列说法错误的是 A ．若1b a a b ⋅=，则2a b +≥ B ．若23a b e a e b +=+，则a b > C ．()ln ln a a b a b -≥-恒成立D ．ln 0b ba a e+≥恒成立 【试题来源】浙江省杭州市萧山中学2019-2020学年高三下学期返校考试 【答案】D【解析】对于A ，不妨令01a <≤，1b ≥，则1aab bb a aa a ab a b a b ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1baa b ⋅=即11b aaab-=，由10b a -≥可知101b aa -<≤，则101ab <≤，所以1≥ab ，2a b +≥，故A 正确； 对于B ，若a b ≤，则0a b e e -≤，320b a ->，故32ab e e b a -≠-即23a b e a e b +≠+，与已知矛盾，故B 正确；对于C ，()ln ln ln 1b b a a b a b a a-≥-⇔-≥-， 令0b x a =>，()()ln 10f x x x x =-->，则()1x f x x-'=， 则()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 所以()()10f x f ≥=，所以ln 10b b a a --≥即ln 1b ba a-≥-，故C 正确； 对于D ，设()()ln 0h x x x x =>，()()0x xg x x e=>， 则()ln 1h x x '=+，()1xxg x e -'=， 所以()h x 在()10,e -上单调递减，在()1,e -+∞上单调递增，则()()11h x h e e --≥=-，()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，则()()11g x g e -≤=，所以()()110h e g e --+<，即当1a b e -==时ln 0bba a e +<，故D 错误．故选D ． 4．若1x =是函数()4312*()1n n n f x a x a x a x n N ++=--+∈的极值点，数列{}n a 满足11a =，23a =，设31log n n b a +=，记[]x 表示不超过x 的最大整数．设12231202*********n n n S b b b b b b +⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦，若不等式n S t 对n +∀∈N 恒成立，则实数t 的最大值为 A ．2020 B ．2019 C ．2018D ．1010【试题来源】新疆维吾尔自治区2021届高三第二次联考数学（理）能力测试试题 【答案】D【分析】由极值点得数列的递推关系，由递推关系变形得数列1{}n n a a +-是等比数列，求得1n n a a +-，由累加法求得n a ，计算出n b ，然后求和122311202020202020n n b b b b b b ++++，利用增函数定义得此式的最小值，从而得出n S 的最小值，再由不等式恒成立可得t 的最大值． 【解析】3212()43n n n f x a x a x a '++=--，所以12(1)430n n n f a a a '++=--=， 即有()2113n n n n a a a a +++-=-，所以{}1n n a a +-是以2为首项3为公比的等比数列， 所以1123n n n a a -+-=⋅，1201111221123232313n n nn n n n n n n a a a a a a a a a a --++---=-+-+-++-+=⋅+⋅++⋅+=所以31log n n b a n +==，所以12231120202020202011120201223(1)n n b b b b b b n n +⎛⎫+++=+++⎪⨯⨯+⎝⎭1111120202020122311n n n n ⎛⎫=-+-++-=⎪++⎝⎭， 又20201ny n =+为增函数，当1n =时，1010n S =，10102020n S ≤<， 若n S t ≥恒成立，则t 的最大值为1010．故选D ．【名师点睛】本题考查函数的极值，等比数列的判断与通项公式，累加法求通项公式，裂项相消法求和，函数新定义，不等式恒成立问题的综合应用．涉及知识点较多，属于中档题．解题方法是按部就班，按照题目提供的知识点顺序求解．由函数极值点得数列的递推公式，由递推公式引入新数列是等比数列，求得通项公式后用累加法求得n a ，由对数的概念求得n b ，用裂项相消法求和新数列的前n 项和，并利用函数单调性得出最小值，然后由新定义得n S 的最小值，从而根据不等式恒成立得结论． 二、多选题1．若满足()()'0f x f x +>，对任意正实数a ，下面不等式恒成立的是 A ．()()2f a f a < B ．()()2af a ef a >-C ．()()0>f a fD ．()()0af f a e>【试题来源】江苏省扬州中学2019-2020学年高二下学期6月月考 【答案】BD【分析】根据()()'0f x f x +>，设()()xh x e f x =，()()()()xh x ef x f x ''=+，得到()h x 在R 上是增函数，再根据a 是正实数，利用单调性逐项判断．【解析】设()()xh x e f x =，()()()()xh x ef x f x ''=+，因为()()'0f x f x +>，所以()0h x '>，()h x 在R 上是增函数， 因为a 是正实数，所以2a a <，所以()()22aae f a e f a <，因为21a a e e >>， ()(),2f a f a 大小不确定，故A 错误， 因为a a -<，所以()()aa ef a e f a --<，即()()2a f a e f a >-，故B 正确．因为0a >，所以()()()000a e f a e f f >=， 因为1a e >，()(),0f a f 大小不确定．故C 错误．()()()000a e f a e f f >=，因为1a e >，所以()()0af f a e>，故D 正确．故选BD. 【名师点睛】本题主要考查导数与函数单调性比较大小，还考查了运算求解的能力，属于中档题．2．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()()f x xf x xf x '+<对x ∈R 恒成立，则下列选项不正确的是 A ．2(2)(1)f f e> B ．2(2)(1)f f e< C ．()10f >D ．()10f ->【试题来源】江苏省盐城市伍佑中学2019-2020学年高二下学期期中 【答案】BCD【分析】构造出函数()()xxf x F x e =，再运用求导法则求出其导数，借助导数与函数单调性之间的关系及题设中()()()f x xf x xf x '+<，从而确定函数()()xxf x F x e =是单调递减函数，然后可判断出每个答案的正误． 【解析】构造函数()()xxf x F x e =， 因为2[()()]()()()()()0()x x x xe f x xf x xe f x f x xf x xf x F x e e '+-+-=='<'， 故函数()()xxf x F x e=在R 上单调递减函数， 因为21>，所以212(2)(1)(2)(1)f f F F e e <⇒<，即2(2)(1)f f e<，故A 正确，B 错误； 因为()(1)0F F <，即()10f e<，所以()10f <，故C 错误； 因为()(1)0F F ->，即()110f e--->，所以()10f -<，故D 错误，故选BCD. 【名师点睛】解答本题的难点所在是如何依据题设条件构造出符合条件的函数()()xxf x F x e=，这里要求解题者具有较深的观察力和扎实的基本功，属于较难题． 3．已知函数()cos sin f x x x x =-，下列结论中正确的是 A ．函数()f x 在2x π=时，取得极小值1-B ．对于[]0,x π∀∈，()0≤f x 恒成立C ．若120x x π<<<，则1122sin sin x x x x < D ．若sin x a b x <<，对于0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1【试题来源】山东省肥城市2019-2020学年高二下学期期中考试 【答案】BCD【分析】先对函数求导，根据022f ππ⎛⎫'=-≠⎪⎝⎭，排除A ；再由导数的方法研究函数单调性，判断出B 选项；构造函数()sin xg x x=，由导数的方法研究其单调性，即可判断C 选项；根据()sin x g x x =的单调性，先得到sin 2x x π>，再令()sin h x x x =-，根据导数的方法研究其单调性，得到sin 1xx<，即可判断D 选项． 【解析】因为()cos sin f x x x x =-，所以()cos sin cos sin f x x x x x x x '=--=-， 所以022f ππ⎛⎫'=-≠⎪⎝⎭，所以2x π=不是函数的极值点，故A 错； 若[]0,x π∈，则()sin 0f x x x '=-≤，所以函数()cos sin f x x x x =-在区间[]0,π上单调递减；因此()()00≤=f x f ，故B 正确； 令()sin x g x x =，则()2cos sin x x x g x x -'=， 因为()cos sin 0f x x x x =-≤在[]0,π上恒成立，所以()2cos sin 0x x xg x x -'=<在()0,π上恒成立，因此函数()sin xg x x=在()0,π上单调递减；又120x x π<<<，所以()()12g x g x >，即1212sin sin x x x x >，所以1122sin sin x x x x <，故C 正确；因为函数()sin x g x x =在()0,π上单调递减；所以0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()sin x g x x =也单调递减，因此()sin 22x g x g x ππ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立；令()sin h x x x =-，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()1cos 0h x x '=-≥在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，所以()sin h x x x =-在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 因此()sin 0h x x x =->，即sin 1xx <在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立； 综上，2sin 1x x π<<在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，故D 正确．故选BCD ． 【名师点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数的方法研究函数的极值，单调性等，属于常考题型．4．已知函数()2f x x x=-，()()πcos 5202xg x a a a =+->，．给出下列四个命题，其中是真命题的为A ．若[]1,2x ∃∈，使得()f x a <成立，则1a >-B ．若R x ∀∈，使得()0g x >恒成立，则05a <<C ．若[]11,2x ∀∈，2x ∀∈R ，使得()()12f x g x >恒成立，则6a >D ．若[]11,2x ∀∈，[]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，则34a ≤≤ 【试题来源】冲刺2020高考数学之拿高分题目强化卷（山东专版） 【答案】ACD【分析】对选项A ，()f x 在[]1,2上的最小值小于a 即可；对选项B ，()g x 的最小值大于0即可；对选项C ，()f x 在[]1,2上的最小值大于()g x 的最大值即可；对选项D ，[]11,2x ∀∈，[]20,1x ∃∈，()min min ()g x f x ≤，()max max ()g x f x ≥即可．【解析】对选项A ，只需()f x 在[]1,2上的最小值小于a ，()f x 在[]1,2上单调递增，所以min 2()(1)111f x f ==-=-，所以1a >-，故正确； 对选项B ，只需()g x 的最小值大于0，因为[]πcos,2x a a a∈-，所以min ()52530g x a a a =-+-=->，所以503a <<，故错误； 对选项C ，只需()f x 在[]1,2上的最小值大于()g x 的最大值，min ()1f x =-，max ()525g x a a a =+-=-，即15a ->-，6a >，故正确；对选项D ，只需()min min ()g x f x ≤，()max max ()g x f x ≥，max 2()(2)212f x f ==-=，所以[]11,2x ∈，[]1()1,1f x ∈-， []0,1x ∈时，π0,22x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()g x 在[]0,1上单调递减， ()min (1)52a g x g ==-，()max (0)5a g x g ==-，所以()[]52,5g x a a ∈--，由题意，52151a a -≤-⎧⎨-≥⎩⇒34a ≤≤，故正确．故选ACD ．【名师点睛】本题主要考查不等式恒成立和存在性问题，考查学生的分析转化能力，注意恒成立问题和存在性问题条件的转化，属于中档题．5．当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立，则整数k 的取值可以是 A ．2- B ．1- C ．0D ．1【试题来源】江苏省南京市2020-2021学年高三上学期期中考前训练 【答案】ABC 【分析】将()41ln ln 3k x x x x --<-+，当1x >时，恒成立，转化为13ln ln 4x k x x x ⎛⎫<++ ⎪⎝⎭，当1x >时，恒成立，令()()3ln ln 1x F x x x x x =++>，利用导数法研究其最小值即可．【解析】因为当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立， 所以13ln ln 4x k x x x ⎛⎫<++ ⎪⎝⎭，当1x >时，恒成立， 令()()3ln ln 1xF x x x x x =++>，则()222131ln 2ln x x x F x x x x x---'=-+=．令()ln 2x x x ϕ=--，因为()10x x xϕ-'=>，所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增． 因为()10ϕ<，所以()0F x '=在()1,+∞上有且仅有一个实数根0x ， 于是()F x 在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 所以()()000min 00ln 3ln x F x F x x x x ==++．（*） 因为()1ln 3309F -'=<，()()21ln 22ln 4401616F --'==>，所以()03,4x ∈，且002ln 0x x --=，将00ln 2x x =-代入（*）式， 得()()0000min 00023121x F x F x x x x x x -==-++=+-，()03,4x ∈． 因为0011t x x =+-在()3,4上为增函数，所以713,34t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即()min1713,41216F x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 因为k 为整数，所以0k ≤．故选ABC ． 6．下列不等式中恒成立的有 A ．()ln 11xx x +≥+，1x >- B ．11ln 2x x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，0x > C ．1x e x ≥+D ．21cos 12x x ≥-【试题来源】广东省中山市2019-2020学年高二下学期期末 【答案】ACD 【分析】令10tx ，()1ln 1f t t t=+-，导数方法求出最小值，即可判定出A 正确；令()11ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，0x >，导数方法研究单调性，求出范围，即可判定B 错； 令()1xf x e x =--，导数的方法求出最小值，即可判定C 正确；令()21cos 12f x x x =-+，导数的方法求出最小值，即可判定D 正确． 【解析】A 选项，因为1x >-，令10t x ，()1ln 1f t t t=+-，则()22111t f t t t t -'=-=，所以01t <<时，()210t f t t-'=<，即()f t 单调递减；1t >时，()210t f t t -'=>，即()f t 单调递增； 所以()()min 10f t f ==，即()1ln 10f t t t=+-≥，即1ln t t t -≥，即()ln 11x x x +≥+，1x >-恒成立；故A 正确；B 选项，令()11ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，0x >， 则()()2222211112110222x x x f x x x x x ---⎛⎫'=-+==-≤ ⎪⎝⎭显然恒成立， 所以()11ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在0x >上单调递减， 又()10f =，所以当()0,1x ∈时，()()10f x f >=，即11ln 2x x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，故B 错； C 选项，令()1xf x e x =--，则()1xf x e '=-，当0x >时，()10xf e x ='->，即()f x 单调递增；当0x <时，()10xf e x ='-<，所以()f x 单调递减；则()()00f x f ≥=，即1x e x ≥+恒成立；故C 正确； D 选项，令()21cos 12f x x x =-+，则()sin f x x x '=-+， 所以()cos 10f x x ''=-+≥恒成立，即函数()sin f x x x '=-+单调递增， 又()00f '=，所以当0x >时，()0f x '>，即()21cos 12f x x x =-+单调递增； 当0x <时，()0f x '<，即()21cos 12f x x x =-+单调递减； 所以()()min 00f x f ==，因此21cos 12x x ≥-恒成立，故D 正确；故选ACD ． 三、填空题1．函数3()2,()ln 1f x x x c g x x =-+=+，若()()f x g x ≥恒成立，则实数c 的取值范围是___________．【试题来源】【全国区级联考】江苏省徐州市铜山区下学期高二数学（文）期中试题 【答案】2c ≥【解析】由()()f x g x ≥，即32ln 1x x c x -+≥+，即32ln 1c x x x ≥-+++．令()()32ln 10h x x x x x =-+++>，()()()21331x x x h x x'-++=-，故函数()h x 在区间()0,1上递增，在()1,+∞上递减，最大值为()12h =，所以2c ≥．【名师点睛】本题主要考查利用分析法和综合法求解不等式恒成立，问题，考查利用导数研究函数的单调性，极值和最值等知识．首先根据()()f x g x ≥，对函数进行分离常数，这里主要的思想方法是分离常数后利用导数求得另一个部分的最值，根据这个最值来求得参数的取值范围．2．若[,)x e ∀∈+∞，满足32ln 0mxx x me -≥恒成立，则实数m 的取值范围为___________．【试题来源】2020届湖南省长沙市长郡中学高三下学期3月停课不停学阶段性测试（理） 【答案】(,2]e -∞【分析】首先对参数的范围进行讨论，分两种情况，尤其是当0m >时，对式子进行变形，构造新函数，将恒成立问题转化为最值来处理，利用函数的单调性来解决，综述求得最后的结果．【解析】（1）0m ≤，显然成立；（2）0m >时，由32ln 0mxx x me -≥22ln m x m x x e x ⇒≥2ln (2ln )mxx m x e e x⇒≥，由()x f x xe =在[),e +∞为增2ln mx x⇒≥2ln m x x ⇒≤在[),e +∞恒成立， 由()2ln g x x x =在[),e +∞为增，min ()2g x e =，02m e <≤， 综上，2m e ≤，故答案为(,2]e -∞．3．已知函数()()21ax x xf x x ++=≥，若()0f x '≥恒成立，则a 的取值范围为___________．【试题来源】四川省泸州市2020学年下学期高二期末统一考试（文） 【答案】(],3-∞【分析】求函数的导数，根据()0f x '，利用参数分离法进行转化，然后构造函数()g x ，转化为求函数的最值即可．【解析】函数的导数2()21f ax x x '=+-，由()0f x '在1x 上恒成立得2210a x x +-在1x 上恒成立，即221a x x+，得322x x a +在1x 上恒成立，设32()2g x x x =+， 则2()622(31)g x x x x x '=+=+，当1x 时，()0g x '>恒成立，即()g x 在1x 上是增函数， 则当1x =时，()g x 取得最小值()1213g =+=，则3a ， 即实数a 的取值范围是(],3-∞，故答案为(],3-∞.【名师点睛】本题主要考查函数恒成立问题，求函数的导数，利用参数分离法以及构造函数，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键．属于中档题．4．已知函数()ln f x x x =-，若()10f x m -+≤恒成立，则m 的取值范围为___________． 【试题来源】2020年高考数学选填题专项测试（文理通用） 【答案】[)0,+∞【分析】把()ln f x x x =-，代入()10f x m -+≤，即ln 1m x x ≥-+恒成立，构造()ln 1g x x x =-+，利用导数研究最值，即得解．【解析】()ln f x x x =-，则()10f x m -+≤恒成立，等价于ln 1m x x ≥-+令11()ln 1(0),'()1(0)x g x x x x g x x x x-=-+>=-=> 因此()g x 在(0,1)单调递增，在(1)+∞，单调递减， 故max ()(1)00g x g m ==∴≥，故答案为[)0,+∞.【名师点睛】本题考查了导数在不等式的恒成立问题中的应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题．5．若函数()0x f x e ax =->恒成立，则实数a 的取值范围是___________． 【试题来源】2020届四川省成都七中高三二诊数学模拟（理）试题 【答案】0a e ≤<【分析】若函数()0x f x e ax =->恒成立，即min ()0f x >，求导得'()x f x e a =-，在0,0,0a a a >=<三种情况下，分别讨论函数单调性，求出每种情况时的min ()f x ，解关于a的不等式，再取并集，即得．【解析】由题意得，只要min ()0f x >即可，'()x f x e a =-，当0a >时，令'()0f x =解得ln x a =，令'()0f x <，解得ln x a <，()f x 单调递减， 令'()0f x >，解得ln x a >，()f x 单调递增，故()f x 在ln x a =时，()f x 有最小值，min ()(ln )(1ln )f x f a a a ==-， 若()0f x >恒成立，则(1ln )0a a ->，解得0a e <<； 当0a =时，()0x f x e =>恒成立； 当0a <时，'()x f x e a =-，()f x 单调递增，,()x f x →-∞→-∞，不合题意，舍去．综上，实数a 的取值范围是0a e ≤<．故答案为0a e ≤<6．当[1,2]x ∈-时，32122x x x m --<恒成立，则实数m 的取值范围是___________． 【试题来源】陕西省商洛市洛南中学2019-2020学年高二下学期第二次月考（理） 【答案】(2,)+∞【分析】设()3212,[1,2]2x x x x f x --∈-=，利用导数求得函数的单调性与最大值，结合题意，即可求得实数m 的取值范围．【解析】由题意，设()3212,[1,2]2x x x x f x --∈-=， 则()22(1)(323)x x f x x x --=-+'=，当2[1,)3x ∈--或(1,2]x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当2(,1)3x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减， 又由222(),(2)2327f f -==，即2()(2)3f f -<， 即函数()f x 在区间[1,2]-的最大值为2，又由当[1,2]x ∈-时，32122x x x m --<恒成立，所以2m >， 即实数m 的取值范围是(2,)+∞．故答案为(2,)+∞【名师点睛】本题主要考查了恒成立问题的求解，其中解答中熟练应用函数的导数求得函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题．7．若()()220xxx me exeex e ++-≤在()0,x ∈+∞上恒成立，则实数m 的取值范围为___________．【试题来源】浙江省杭州地区（含周边）重点中学2020-2021学年高三上学期期中 【答案】32m ≤-【分析】对已知不等式进行变形，利用换元法、构造函数法、常变量分离法，结合导数的性质进行求解即可．【解析】()()()()222210xx x x x xme ex e ex me ex e ex e e++++-⇒≤≤ （1）， 令x ext e=，因为()0,x ∈+∞，所以0t >， 则不等式(1)化为2221(2)(1)11t t m t t m t --+++≤⇒≤+，设()xex f x e=，()0,x ∈+∞，'(1)()x e x f x e -=，当1x >时，'()0,()f x f x <单调递减， 当01x <<时，'()0,()f x f x >单调递增，因此当()0,x ∈+∞时，max ()(1)1f x f ==， 而(0)0f =，因此当()0,x ∈+∞时，()(0,1]f x ∈，因此(0,1]t ∈，设2221()1t t g t t --+=+，(0,1]t ∈，因此要想()()220x x xme ex e ex e ++-≤在()0,x ∈+∞上恒成立，只需min ()m g t ≤，2'2243()(1)t t g t t ---=+，因为(0,1]t ∈，所以'()0g t <，因此()g t 在(0,1]t ∈时单调递减，所以min 3()(1)2g t g ==-，因此32m ≤-．8．已知函数()()(ln )xf x e ax x ax =--，若()0f x <恒成立，则a 的取值范围是___________．【试题来源】四川省三台中学实验学校2019-2020学年高二下学期期末适应性考试（理） 【答案】1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】先由x y e =的图象与ln y x =的图象可得，ln >x e x 恒成立；原问题即可转化为直线y ax =介于x y e =与ln y x =之间，作出其大致图象，由图象得到只需<<OA OB k a k ；根据导数的方法求出OA ，OB 所在直线斜率，进而可得出结果． 【解析】由x y e =的图象与ln y x =的图象可得，ln >x e x 恒成立；所以若()()(ln )0=--<xf x e ax x ax 恒成立，只需0ln 0x e ax x ax ⎧->⎨-<⎩，即直线y ax =介于x y e =与ln y x =之间，作出其大致图象如下：由图象可得，只需<<OA OB k a k ；设11(,)A x y ，由ln y x =得1y x'=，所以111OA x x k y x =='=， 所以曲线ln y x =在点11(,)A x y 处的切线OA 的方程为1111ln ()-=-y x x x x ， 又该切线过点O ，所以11110ln (0)1-=-=-x x x ，解得1x e =，所以1=OA k e； 设22(,)B x y ，由x y e =得e x y '=，所以22x OB x x k y e =='=，所以曲线x y e =在点22(,)B x y 处的切线OB 的方程为222()-=-x x y e e x x ，又该切线过点O ，所以2220(0)-=-x x ee x ，解得21x =，所以=OB k e ；所以1a e e <<．故答案为1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭. 【名师点睛】本题主要考查由导数的方法研究不等式恒成立的问题，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型．9．已知函数()1x f x e ax =+-，若0,()0x f x 恒成立，则a 的取值范围是___________． 【试题来源】黑龙江省七台河市田家炳高级中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理）【答案】[1,)-+∞【分析】求导得到()x f x e a '=+，讨论10a +和10a +<两种情况，计算10a +<时，函数()f x 在[)00,x 上单调递减，故()(0)0f x f =，不符合，排除，得到答案． 【解析】因为()1x f x e ax =+-，所以()x f x e a '=+，因为0x ，所以()1f x a '+． 当10a +，即1a ≥-时，()0f x '，则()f x 在[0,)+∞上单调递增，从而()(0)0f x f =，故1a ≥-符合题意；当10a +<，即1a <-时，因为()x f x e a '=+在[0,)+∞上单调递增，且(0)10f a '=+<，所以存在唯一的0(0,)x ∈+∞，使得()00f x '=．令()0f x '<，得00x x <，则()f x 在[)00,x 上单调递减，从而()(0)0f x f =，故1a <-不符合题意．综上，a 的取值范围是[1,)-+∞．故答案为[1,)-+∞．10．不等式()221n n n N *>-∈不是恒成立的，请你只对该不等式中的数字作适当调整，使得不等式恒成立，请写出其中一个恒成立的不等式：___________． 【试题来源】北京市101中学2019-2020学年高三10月月考 【答案】331n n >-【分析】将不等式中的数字2变为3，得出331n n >-，然后利用导数证明出当3n ≥时，33n n ≥即可，即可得出不等式331n n >-对任意的n *∈N 恒成立．【解析】13311>-，23321>-，33331>-，猜想，对任意的n *∈N ，331n n >-．下面利用导数证明出当3n ≥时，33n n ≥，即证ln 33ln n n ≥，即证ln ln 33n n ≤， 构造函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，当3x ≥时，()0f x '<． 所以，函数()ln x f x x =在区间[)3,+∞上单调递减，当3n ≥时，ln ln 33n n ≤．所以，当3n ≥且n *∈N 时，33n n ≥，所以，331n n >-．故答案为331n n >-． 【名师点睛】本题考查数列不等式的证明，考查了归纳法，同时也考查了导数在证明数列不等式的应用，考查推理能力，属于中等题．11．已知()ln f x x x m x =--，若()0f x >恒成立，则实数m 的取值范围是___________． 【试题来源】湖北省襄阳市第一中学2019-2020学年高二下学期5月月考 【答案】(,1)-∞【分析】函数()f x 的定义域为(0,)x ∈+∞，由()0f x >，得ln ||xx m x->，分类讨论，分离参数，求最值，即可求实数m 的取值范围．【解析】函数()f x 的定义域为(0,)x ∈+∞，由()0f x >，得ln ||xx m x->， (ⅰ)当(0,1)x ∈时，||0x m -≥，ln 0xx<，不等式恒成立，所以m R ∈； (ⅰ)当1x =时，|1|0m -≥，ln 0xx=，所以1m ≠； (ⅰ)当1x >时，不等式恒成立等价于ln x m x x <-恒成立或ln xm x x>+恒成立， 令ln ()x h x x x =-，则221ln ()x x h x x'-+=，因为1x >，所以()0h x '>，从而()1h x >， 因为ln xm x x<-恒成立等价于min ()m h x <，所以1m ， 令ln ()x g x x x =+，则221ln ()x xg x x+-'=， 再令2()1ln p x x x =+-，则1'()20p x x x=->在(1,)x ∈+∞上恒成立，()p x 在(1,)x ∈+∞上无最大值，综上所述，满足条件的m 的取值范围是(,1)-∞．故答案为(,1)-∞．12．已知函数21,0()2,0x e x f x ax x x ⎧-≥=⎨+<⎩，若()1f x ax ≥-恒成立，则a 的取值范围是___________．【试题来源】陕西省安康市2020-2021学年高三上学期10月联考（理）【答案】4e -⎡⎤⎣⎦【分析】若()1f x ax ≥-，则211,021,0x e ax x ax x ax x ⎧-≥-≥⎨+≥-<⎩，当0x =时，显然成立，当0x ≠时，则2,021,0xe a x xx a x x x ⎧≤>⎪⎪⎨+⎪≥<⎪-⎩，然后构造函数()x e g x x=（0x >），()221x h x x x +=-（0x <），分别求解函数()g x 的最小值和()h x 的最大值，只需()()min max h x a g x ≤≤即可．【解析】若()1f x ax ≥-，则211,021,0x e ax x ax x ax x ⎧-≥-≥⎨+≥-<⎩，当0x =时，显然成立；当0x ≠时，则()2,012,0x e ax x a x x x x ⎧≥>⎪⎨-≥--<⎪⎩，因为当0x <时，20x x ->， 所以只需满足2,021,0xe a x xx a x x x ⎧≤>⎪⎪⎨+⎪≥<⎪-⎩即可，令()x e g x x =（0x >），则()()21x x e g x x-'=， 则()0,1x ∈时，()0g x '<，所以()g x 在()0,1x ∈上递减， 当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，则()g x 在()1,+∞上递增， 所以()()1min g x g e ==，所以a e ≤，令()221x h x x x +=-（0x <）， 则()()()()()()22222222112221x x x x x x h x x x x x --+-+-'==--，令()0h x '=，得x =x =则当x ⎛∈-∞ ⎝ ⎭时，()0h x '>；当x ⎫∈⎪⎪⎝⎭时，()0h x '<， 所以函数()h x在⎛-∞ ⎝ ⎭上递增，在⎫⎪⎪⎝⎭上递减， 所以()4maxh x h ===-⎝⎭⎝⎭故4a ≥-4a e -≤．故答案为4e -⎡⎤⎣⎦．【名师点睛】本题考查根据不等式恒成立问题求参数的取值范围问题，考查学生分析问题、转化问题的能力，考查参变分离思想的运用，考查利用导数求解函数的最值，属于难题． 解决此类问题的方法一般有以下几种：（1）作出函数的图象，利用数形结合思想加以研究；（2）先进行参变分离，然后利用导数研究函数的最值，即可解决问题，必要时可以构造新函数进行研究．13．函数()2cos sin f x x x x x =+-，当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x ax ≤恒成立，则实数a 的取值范围是___________．【试题来源】河南省名校联盟2020届高三（6月份）高考数学（理）联考试题 【答案】[)0,+∞ 【分析】先根据2x π=时22f a ππ⎛⎫≤⎪⎝⎭得0a ≥，再对函数()f x 求导，研究导函数的单调性、最值等，进而研究函数()f x 单调性，即可解决．【解析】22f a ππ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π，0a ∴≥． 由题意得()()2sin sin cos 1sin cos 1f x x x x x x x x '=-++-=-+-⎡⎤⎣⎦， 令()sin cos 1g x x x x =-+-，则()sin g x x x '=-． 当,2x π⎛⎤∈π⎥⎝⎦时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，()g x ∴的最小值为()1g ππ=--． 又22g π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，302g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，3,22x ππ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，()0g x ≤，即()0f x '≤， ()f x ∴在区间3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数．02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≤．又当0a ≥，3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0ax ≥，故()f x ax ≤恒成立，因此a 的取值范围是[)0,+∞．14．已知0a <，且()221ln 0ax ax x ax -+≥+恒成立，则a 的值是___________．【试题来源】6月大数据精选模拟卷04（上海卷）（满分冲刺篇） 【答案】e -【分析】把不等式()221ln 0a x ax x ax -+≥+恒成立，转化为函数()()()1ln 0f x ax ax x =+⋅-≥在定义域内对任意的x 恒成立，结合函数的单调性和零点，得出1a-是函数ln y ax x =-的零点，即可求解． 【解析】由题意，不等式()221ln 0a x ax x ax -+≥+恒成立，即函数()()()1ln 0f x ax ax x =+⋅-≥在定义域内对任意的x 恒成立，由ln ,0,0y ax x a x =-<>，则10y a x'=-<，所以ln y ax x =-为(0,)+∞减函数， 又由当0a <，可得1y ax =+为(0,)+∞减函数， 所以1y ax =+ 与ln y ax x =-同为单调减函数，且1a-是函数1y ax =+的零点， 故1a -是函数ln y ax x =-的零点，故110ln a a a ⎛⎫⎛⎫=⋅--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得a e =-．【名师点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题，以及函数与方程的综合应用，其中解答中把不等式恒成立问题转化为函数的性质和函数的零点问题是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力．15．若对任意实数(],1x ∈-∞，2211xx ax e-+≥恒成立，则a =___________． 【试题来源】2020届辽宁省抚顺市高三二模考试（理） 【答案】12-【分析】设()()2211xx ax f x x e-+=≤，结合导数可知当0a <时，()()min 21f x f a =+；由题意可知，()()2122211a a f x f a e++≥+=≥，设()1t g t e t =--，则()0g t ≤，由导数可求出当0t =时，()g t 有最小值0，即()0g t ≥．从而可确定()0g t =，即可求出a 的值．【解析】设()()2211xx ax f x x e -+=≤，则()()()121xx x a f x e --+⎡⎤⎣⎦'=．当211a +≥，即0a ≥时，()0f x '≤，则()f x 在(],1-∞上单调递减， 故()()2211a f x f e -≥=≥，解得102ea ≤-<，所以0a ≥不符合题意； 当211a +<，即0a <时，()f x 在(),21a -∞+上单调递减，在(]21,1a +上单调递增， 则()()min21f x f a =+．因为2211xx ax e -+≥，所以()()2122211a a f x f a e ++≥+=≥． 令211a t +=<，不等式21221a a e++≥可转化为10te t --≤，设()1t g t e t =--， 则()1tg t e '=-，令()0g t '<，得0t <；令()0g t '>，得01t <<，则()g t 在(),0-∞上单调递减，在()0,1上单调递增；当0t =时，()g t 有最小值0， 即()0g t ≥．因为()0g t ≤，所以()0g t =，此时210a +=，故12a =-． 【名师点睛】本题考查了函数最值的求解，考查了不等式恒成立问题．本题的难点在于将已知恒成立问题，转化为()10tg t e t =--≤恒成立．本题的关键是结合导数，对含参、不含参函数最值的求解． 四、双空题1．已知函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，则a 的取值范围___________；且不等式()()1212f x f x x x t +<++恒成立，则实数t 的取值范围___________．【试题来源】辽宁省锦州市渤大附中、育明高中2020-2021学年高三上学期第一次联考 【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭[)5,-+∞【分析】求出导函数()2122122ax x f x ax x x-+'=-+=，只需方程22210ax x -+=有两个不相等的正根，满足1212010210x x a x x a ⎧⎪∆>⎪⎪=>⎨⎪⎪+=>⎪⎩，解不等式组可得a 的取值范围；求出 ()()1212f x f x x x +--的表达式，最后利用导数，通过构造函数，求出新构造函数的单调性，最后求出t 的取值范围．【解析】2221()(0)ax x f x x x'-+=>，因为函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点12,x x ，所以方程22210ax x -+=有两个不相等的正实数根，于是有：121248010102a x x a x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩，解得102a <<．()()221112221212122ln 2ln f x f x x x x ax x x ax x x x +--+--++=--()()212121212()23ln a x x x x x x x x ⎡⎤=+--++⎣⎦21ln 2a a=---， 设21()1ln 2,02h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭， 22()0a h a a '-=>，故()h a 在102a <<上单调递增，故1()52h a h ⎛⎫<=-⎪⎝⎭，所以5t ≥-．因此t 的取值范围是[)5,-+∞. 故答案为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；[)5,-+∞【名师点睛】本题考查了已知函数极值情况求参数取值范围问题，考查了不等式恒成立问题，构造新函数，利用导数是解题的关键，属于基础题．2．对任意正整数n ，函数32()27cos 1f n n n n n πλ=---，若(2)0f ≥，则λ的取值范围是___________；若不等式()0f n ≥恒成立，则λ的最大值为___________． 【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】13,2⎛⎤-∞-⎥⎝⎦132-【分析】将2n =代入求解即可；当n 为奇数时，cos 1n π=-，则转化。
2021-2022学年高二下学期期中学业质量监测数学试题 (解析版)
一、单项选择题（共8小题）1．在复平面内，复数z＝﹣1+2i（i为虚数单位）对应的点所在象限是（）A．一B．二C．三D．四2．已知回归直线方程中斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（）A． 1.23x+0.08B．0.08x+1.23C． 1.23x+4D． 1.23x+53．已知随机变量X的分布列为P（X＝k），（k＝1，2，3，4），则P（1＜X≤3）＝（）A．B．C．D．4．由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字，且1，3不相邻的六位数的个数是（）A．36B．72C．480D．6005．甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投篮2次，则两人各投中一次的概率为（）A．0.42B．0.2016C．0.1008D．0.05046．设a∈Z，且0≤a≤16，若42020+a能被17整除，则a的值为（）A．1B．4C．13D．167．在某市2020年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N（98，100），已知参加本次考试的全市理科学生约有9450人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第（）附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544A．1500名B．1700名C．4500名D．8000名8．函数，x∈（﹣3，0）∪（0，3）的图象大致为（）A．B．C．D．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．若，则x的值为（）A．4B．6C．9D．1810．若直线是函数f（x）图象的一条切线，则函数f（x）可以是（）A．B．f（x）＝x4C．f（x）＝sinxD．f（x）＝ex 11．下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0 C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为312．已知的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有（）A．a＝1B．展开式中常数项为160C．展开式系数的绝对值的和1458D．若r为偶数，则展开式中xr和xr﹣1的系数相等三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．其中第14题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．计算．14．规定，其中x∈R，m∈N*，且，这是排列数（n，m∈N*，且m≤n）的一种推广．则，则函数的单调减区间为．15．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为．16．已知（x+m）（2x﹣1）7＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a8x8（m ∈R），若a1＝27，则ai）的值为．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知z1＝a+2i，z2＝3﹣4i（其中i为虚数单位）．（1）若为纯虚数，求实数a的值；（2）若（其中是复数z2的共轭复数），求实数a的取值范围．18．在（n≥3，n∈N*）的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．（1）求n的值；（2）求展开式中含x2的项．19．近期，某学校举行了一次体育知识竞赛，并对竞赛成绩进行分组：成绩不低于80分的学生为甲组，成绩低于80分的学生为乙组．为了分析竞赛成绩与性别是否有关，现随机抽取了60名学生的成绩进行分析，数据如表所示的2×2列联表．甲组乙组合计男生 3女生13合计40 60（1）将2×2列联表补充完整，判断是否有90%的把握认为学生按成绩分组与性别有关？（2）如果用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人在甲组的概率．附：参考数据及公式：P（K2≥k）0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828，n＝a+b+c+d．20．已知函数f（x）＝x3+ax2﹣a2x+1，a∈R．（1）当a＝1时，求函数f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；（2）当a≥0时，求函数f（x）的极值．21．为抗击疫情，中国人民心连心，向世界展示了中华名族的团结和伟大，特别是医护工作者被人们尊敬的称为“最美逆行者”，各地医务工作者主动支援湖北武汉．现有7名医学专家被随机分配到“雷神山”、“火神山”两家医院．（1）求7名医学专家中恰有两人被分配到“雷神山”医院的概率；（2）若要求每家医院至少一人，设X，Y分别表示分配到“雷神山”、“火神山”两家医院的人数，记ξ＝|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．22．已知函数f（x）＝（x﹣1）ex，其中e是自然对数的底数．（1）求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（2）设g（x）＝x2+|f（x）|，求函数g（x）的单调区间；（3）设h（x）＝mf（x）﹣lnx，求证：当0＜m时，函数h（x）恰有2个不同零点．参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．在复平面内，复数z＝﹣1+2i（i为虚数单位）对应的点所在象限是（）A．一B．二C．三D．四【分析】由复数z得到z的坐标得答案．解：∵z＝﹣1+2i，∴在复平面内，复数z＝﹣1+2i对应的点的坐标为（﹣1，2），所在象限是第二象限．故选：B．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．已知回归直线方程中斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（）A． 1.23x+0.08B．0.08x+1.23C． 1.23x+4D． 1.23x+5【分析】设出回归直线方程，将样本点的中心代入，即可求得回归直线方程．解：设回归直线方程为 1.23x+a∵样本点的中心为（4，5），∴5＝1.23×4+a∴a＝0.08∴回归直线方程为 1.23x+0.08故选：A．【点评】本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于基础题．3．已知随机变量X的分布列为P（X＝k），（k＝1，2，3，4），则P（1＜X≤3）＝（）A．B．C．D．【分析】根据所给的离散型随机变量的分布列，可以写出变量等于3和2时的概率，本题所求的概率包括两个数字的概率，利用互斥事件的概率公式把结果相加即可．解：∵∴P（X＝2）P（X＝3），∴P（1＜X≤3）故选：C．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，本题解题的关键是正确利用分布列的性质，解决随机变量的分布列问题，一定要注意分布列的特点，各个概率值在[0，1]之间，概率和为1，本题是一个基础题．4．由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字，且1，3不相邻的六位数的个数是（）A．36B．72C．480D．600【分析】根据题意，分2步进行分析：①，将2、4、5、6四个数全排列，②，四个数排好后，有5个空位，在5个空位中任选2个，安排1和3，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①，将2、4、5、6四个数全排列，有A44＝24种排法，②，四个数排好后，有5个空位，在5个空位中任选2个，安排1和3，有A52＝20种情况，则有24×20＝480个符合题意的六位数；故选：C．【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．5．甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投篮2次，则两人各投中一次的概率为（）A．0.42B．0.2016C．0.1008D．0.0504【分析】利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式直接求解．解：甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，两人各投篮2次，则两人各投中一次的概率为：p0.2016．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，考查n次独立重复试验中事件A 恰好发生k次的概率计算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．设a∈Z，且0≤a≤16，若42020+a能被17整除，则a的值为（）A．1B．4C．13D．16【分析】将式子化简，利用二项式定理展开，可得1+a能被17整除，从而得出结论．解：设a∈Z，且0≤a≤16，若42020+a＝161010+a＝（17﹣1）1010+a＝171010﹣171009+171008﹣171007+…+（﹣17）+1+a 能被17整除，则1+a能被17整除，故选：D．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．7．在某市2020年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N（98，100），已知参加本次考试的全市理科学生约有9450人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第（）附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544A．1500名B．1700名C．4500名D．8000名【分析】将正态总体向标准正态总体的转化，求出概率，即可得到结论．解：∵考试的成绩ξ服从正态分布N（98，100）．∵μ＝98，σ＝10，∴P（ξ≥108）＝1﹣P（ξ＜108）＝1﹣Φ（）＝1﹣Φ（1）≈0.158 7，即数学成绩优秀高于108分的学生占总人数的15.87%．∴9450×15.87%≈1500故选：A．【点评】本题考查正态总体与标准正态总体的转化，解题的关键是求出ξ≥108的概率．8．函数，x∈（﹣3，0）∪（0，3）的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】求出函数的导数，利用导函数在（﹣3，0）以及（0，3）上的符号，判断函数的单调性情况，进而结合选项得出答案．解：，当x∈（﹣3，0）时，f′（x）＞0，此时f（x）应单调递增，图象呈上升趋势，可排除选项B，C；当x∈（0，3）时，f′（x）可正可负，此时f（x）有增有减，可排除选项D．故选：A．【点评】本题考查函数图象的运用，考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想及数形结合思想，属于中档题．一、选择题9．若，则x的值为（）A．4B．6C．9D．18【分析】由，利用组合数的性质即可得出x＝3x﹣8或x+3x﹣8＝28，解出即可得出．解：∵，∴x＝3x﹣8或x+3x﹣8＝28，解得：x＝4，或9．故选：AC．【点评】本题考查了组合数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．若直线是函数f（x）图象的一条切线，则函数f（x）可以是（）A．B．f（x）＝x4C．f（x）＝sinxD．f（x）＝ex【分析】求得已知直线的斜率k，对选项中的函数分别求导，可令导数为k，解方程即可判断结论．解：直线的斜率为k，由f（x）的导数为f′（x），即有切线的斜率小于0，故A 不能选；由f（x）＝x4的导数为f′（x）＝4x3，而4x3，解得x，故B可以选；由f（x）＝sinx的导数为f′（x）＝cosx，而cosx有解，故C 可以选；由f（x）＝ex的导数为f′（x）＝ex，而ex，解得x＝﹣ln2，故D可以选．故选：BCD．【点评】本题考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键，考查运算能力，属于基础题．11．下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0 C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为3【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可．解：当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；反例z1＝1，z2＝i，满足z12+z22＝0，所以C不正确；复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的几何意义，是复数的对应点到（0，﹣2）的距离，它的最大值为3，所以D正确；故选：BD．【点评】本题考查命题的真假的判断，复数的基本性质以及复数的模的几何意义，考查发现问题解决问题的能力，是基础题．12．已知的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有（）A．a＝1B．展开式中常数项为160C．展开式系数的绝对值的和1458D．若r为偶数，则展开式中xr和xr﹣1的系数相等【分析】由题意令x＝1，可得a的值；二项式展开，分析可得结论．解：令x＝1，可得的展开式中各项系数的和为（1+a）×1＝2，∴a＝1，故A正确；∵（1）（1）（64x6﹣192x4+240x2﹣160+60x﹣2﹣12x﹣4+x﹣6），故展开式中常数项为﹣160，故B不正确；的展开式中各项系数绝对值的和，即项（1）的各系数和，为（1+a）•36＝1458，故C正确；根据（1）（1）（64x6﹣192x4+240x2﹣160+60x ﹣2﹣12x﹣4+x﹣6），可得若r为偶数，则展开式中xr和xr﹣1的系数相等，故D正确，故选：ACD．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．其中第14题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．计算35 ．【分析】先把化为C33，再根据组合数的性质，∁nm+∁nm﹣1＝Cn+1m，逐个化简，即可求出的值．解：∵∁mn+Cm﹣1n＝∁mn+1，∴原式35．故答案为：35．【点评】本题考查了组合数性质，做题时应认真计算，避免出错．14．规定，其中x∈R，m∈N*，且，这是排列数（n，m∈N*，且m≤n）的一种推广．则，则函数的单调减区间为．【分析】直接由排列数公式展开求得；展开排列数公式，得到f（x）的解析式，求出导函数，再由导数小于0求得函数的单调减区间．解：由，得；函数x（x﹣1）（x﹣3+1）＝x3﹣3x2+2x，∴f′（x）＝3x2﹣6x+2．由f′（x）＜0，得3x2﹣6x+2＜0，解得x．∴函数的单调减区间为（，）．故答案为：；（，）．【点评】本题考查排列及排列数公式的应用，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．15．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为 3 ．【分析】由题意知口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，算出取到白球的概率，由于每一次取到白球的概率是一个定值，且每一次的结果只有取到白球和取不到白球两种结果，得到变量符合超几何分布，写出期望公式，得到结果．解：设口袋中有白球n个，由题意知口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，取到白球的概率是，∵每一次取到白球的概率是一个定值，且每一次的结果只有取到白球和取不到白球两种结果，∴符合二项分布，∴2，∴n＝3故答案为：3【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．16．已知（x+m）（2x﹣1）7＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a8x8（m ∈R），若a1＝27，则ai）的值为43 ．【分析】先求出m的值，令x＝0，可得a0＝﹣2，在所给等式中，两边对x求导数，再令x＝1，可得要求式子的值．解：∵已知（x+m）（2x﹣1）7＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a8x8，而a1＝﹣1+m1+14m＝27，∴m＝2．∴（x+2）•（2x﹣1）7 ＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a8x8．令x＝0，可得a0＝﹣2．等式两边对x求导数可得，（2x﹣1）7+（x+2）•14（2x﹣1）6 ＝a1+2a2x+3a3x2…+8a8x7，∴再令x＝1，可得a1+2a2+3a3+…+8a8＝43，则ai）＝a1+2a2+…+8a8）＝43，故答案为：43．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知z1＝a+2i，z2＝3﹣4i（其中i为虚数单位）．（1）若为纯虚数，求实数a的值；（2）若（其中是复数z2的共轭复数），求实数a的取值范围．【分析】（1）利用复数运算化简，要为纯虚数，只需实部为零，虚部不为零．（2）化简，由可得（a﹣3）2+4＜a2+4，即可求a的范围．解：（1）由z1＝a+2i，z2＝3﹣4i，得．又因为为纯虚数，所以，所以，．（2），又因为，所以，即，（a﹣3）2+4＜a2+4，解得，．【点评】本题主要考查了复数运算，考查了学生的运算能力．属于基础题．18．在（n≥3，n∈N*）的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．（1）求n的值；（2）求展开式中含x2的项．【分析】（1）由题意可得2，由此求得n的值．（2）先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中的含x2的项．解：（1）∵在（n≥3，n∈N*）的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列，即2，求得n＝7，或n＝2（舍去）．（2）展开式的通项公式为Tr+1••，令2，求得r＝2，可得展开式中含x2的项为T3••x2•x2．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．19．近期，某学校举行了一次体育知识竞赛，并对竞赛成绩进行分组：成绩不低于80分的学生为甲组，成绩低于80分的学生为乙组．为了分析竞赛成绩与性别是否有关，现随机抽取了60名学生的成绩进行分析，数据如表所示的2×2列联表．甲组乙组合计男生 3女生13合计40 60（1）将2×2列联表补充完整，判断是否有90%的把握认为学生按成绩分组与性别有关？（2）如果用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人在甲组的概率．附：参考数据及公式：P（K2≥k）0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828，n＝a+b+c+d．【分析】（1）根据题目所给的数据填写2×2列联表，计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论；（2）先计算出抽取的6人中甲组的人数和乙组的人数，再利用对立事件间的概率关系即可求出结果．解：（1）根据题目所给数据得到如下2×2的列联表：甲组乙组合计男生27 3 30女生13 17 30合计40 20 60根据列联表中的数据，可以求得：K214.7；由于14.7＞2.706，所以有90%的把握认为学生按成绩分组与性别有关；（2）因为甲组有40人，乙组有20人，若用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取6人，则抽取的6人中甲组有4人，乙组有2人，从这6人中随机抽取2人，至少有1人在甲组的概率为P＝1，答：至少有1人在甲组的概率为．【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，以及对立事件间的概率关系，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．20．已知函数f（x）＝x3+ax2﹣a2x+1，a∈R．（1）当a＝1时，求函数f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；（2）当a≥0时，求函数f（x）的极值．【分析】（1）将a＝1代入，求导，求出函数在[﹣2，1]上的单调性，进而求得最大值；（2）求导，分a＝0及a＞0两种情形讨论即可得出结论．解：（1）当a＝1时，f（x）＝x3+x2﹣x+1，则f′（x）＝3x2+2x ﹣1＝（x+1）（3x﹣1），令f′（x）＞0，解得﹣2＜x＜﹣1或，令f′（x）＜0，解得，∴函数f（x）在单调递增，在单调递减，由于f（﹣1）＝2，f（1）＝2，故函数f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值为2；（2）f′（x）＝3x2+2ax﹣a2＝（x+a）（3x﹣a），令f′（x）＝0，解得x＝﹣a或，当a＝0时，f′（x）＝3x2≥0，所以函数f（x）在R上递增，无极值；当a＞0时，令f′（x）＞0，解得x＜﹣a或，令f′（x）＜0，解得，∴函数f（x）在（﹣∞，﹣a），单调递增，在单调递减，∴函数f（x）的极大值为f（﹣a）＝a2+1，极小值为．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查分类讨思想及运算求解能力，属于基础题．21．为抗击疫情，中国人民心连心，向世界展示了中华名族的团结和伟大，特别是医护工作者被人们尊敬的称为“最美逆行者”，各地医务工作者主动支援湖北武汉．现有7名医学专家被随机分配到“雷神山”、“火神山”两家医院．（1）求7名医学专家中恰有两人被分配到“雷神山”医院的概率；（2）若要求每家医院至少一人，设X，Y分别表示分配到“雷神山”、“火神山”两家医院的人数，记ξ＝|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．【分析】（1）设“7名医学专家中恰有两人被分配到‘雷神山’医院”为事件A，利用组合数求出事件A的基本事件数，再利用乘法计数原理求出总事件的基本空间数，最后根据古典概型即可求得概率；（2）随机变量ξ的所有可能取值为1，3，5，然后利用组合数与古典概型逐一求出每个ξ的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望．解：（1）设“7名医学专家中恰有两人被分配到‘雷神山’医院”为事件A，种，7名医学专家被随机分配到“雷神山”“火神山”两家医院，共有27＝128种等可能的基本事件，∴P（A）．故7名医学专家中恰有两人被分配到“雷神山”医院的概率为．（2）每家医院至少1人共有27﹣2＝126种等可能的基本事件，随机变量ξ的所有可能取值为1，3，5，P（ξ＝1）；P（ξ＝3）；P（ξ＝5）．∴ξ的分布列为ξ 1 3 5P数学期望E（ξ）．【点评】本题考查古典概型、计数原理、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．22．已知函数f（x）＝（x﹣1）ex，其中e是自然对数的底数．（1）求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（2）设g（x）＝x2+|f（x）|，求函数g（x）的单调区间；（3）设h（x）＝mf（x）﹣lnx，求证：当0＜m时，函数h（x）恰有2个不同零点．【分析】（1）利用导数求函数的在x＝1处切线的斜率，进而求出切线方程；（2）利用导数的正负求g（x）的单调区间，当g′（x）＞0时解得为函数的增区间，g′（x）＜0解得为函数的减区间，关键是由于f（x）为分段函数，所以g（x）也要进行分段讨论；（3）利用导数研究函数的单调性，从而证明函数的零点问题，关键是求函数的单调性时，导数的零点不可求，要用到零点存在性定理，放缩法卡范围．解：（1）由f（x）＝（x﹣1）ex，得f′（x）＝ex+（x﹣1）ex＝xex，所以f′（1）＝e，所以曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为y＝e（x﹣1）；（2）当x≥1时，g′（x）＝2x+xex ＝x（2+ex）＞0，所以函数g（x）的单调增区间为[1，+∞），当x＜1时g（x）＝x2﹣（x﹣1）ex，所以g′（x）＝2x﹣xex＝x（2﹣ex），令g′（x）＞0得0＜x＜ln2；令g′（x）＜0，得x＜0或ln2＜x ＜1，所以函数的单调增区间为（0，ln2）；单调减区间为（﹣∞，0）和（ln2，1）．综上所述，函数的单调增区间为（0，ln2）和[1，+∞）；函数的单调减区间为（﹣∞，0）和（ln2，1）．（3）证明：由题意知，F（x）＝m（x﹣1）ex﹣lnx得，令h（x）＝mx2ex﹣1（x＞0），当时，h′（x）＝（2mx+mx2）ex＞0，所以h（x）在（0，+∞）上单调递增，又因为h（1）＝me﹣1＜0，h（ln）1＞0，所以存在唯一的，使得，当x∈（0，x0）时，h′（x0）＜0，所以在（0，x0）上单调递减，当x∈（x0，+∞）时，h′（x）＞0，所以在（x0，+∞）上单调递增，故x0是h（x）＝mx2ex﹣1（x ＞0）的唯一极值点．令t（x）＝lnx﹣x﹣1，当x∈（1，+∞），，所以在（1，+∞）上单调递减，即当x∈（1，+∞）时，t（x）＜t（1）＝0，即lnx＜x﹣1，所以，又因为F（x0）＜F（1）＝0，所以F（x）在（x0，+∞）上有唯一的零点，所以函数F（x）恰有两个零点．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，最值及函数零点的问题，属于难题．。
2021-2022学年江苏省南通市重点中学高二下学期期中数学试题(解析版)
2021-2022学年江苏省南通市重点中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．设x 、y ∈R ，向量(),1,1a x =，()1,,1b y =，()3,6,3c =-且a c ⊥，//b c ，则a b +=（ ）A ．B ．C ．4D ．3【答案】D【分析】利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出x 、y 的值，求出向量a b +的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果.【详解】因为a c ⊥，则3630a c x ⋅=-+=，解得1x =，则()1,1,1a =， 因为//b c ，则136y=-，解得2y =-，即()1,2,1b =-，所以，()2,1,2a b +=-，因此，413a b +=+. 故选：D.2．3245A C -=（ ）A ．9B ．12C ．14D ．4【答案】C【分析】利用排列数公式可组合数公式可求得结果.【详解】324554A C 432142⨯-=⨯⨯-=. 故选：C.3．对图中的A ，B ，C 三个区域染色，每块区域染一种颜色，有公共边的区域不同色，现有红、黄、蓝三种不同颜色可以选择，则不同的染色方法共有（ ）A ．22种B ．18种C ．12种D ．6种【答案】C【分析】根据染色的规则排列组合即可. 【详解】先给A 选色，有13C 种方法； 再给B 选色，有12C 种方法；再给C 选色，有12C 种方法；共有111322C C C 12= 种方法；故选：C.4．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a ，b ，()0m m >为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为()mod a b m ≡．若0122202020C C 2C 2=+⋅+⋅++a 202020C 2⋅，()mod10a b ≡，则b 的值可以是（ ）A ．2022B ．2021C ．2020D ．2019【答案】B【分析】利用二项式定理可得()10101a =-，再利用二项式定理展开即可得解.【详解】因为0122202020C C 2C 2=+⋅+⋅++a 202020C 2⋅()()201010129101=+==-0101928910101010C 10C 10C 10C 1011(mod10)=⋅-⋅+⋅--⋅+≡,四个选项中，只有2021b =时，除以10余数是1． 故选：B ．5．已知空间中三点()1,0,0A ，()2,1,1B -，()012C -，，，则点C 到直线AB 的距离为（ ）ABCD【答案】A【分析】根据点到直线的向量坐标公式计算即可求解． 【详解】依题意得()()1,1,2,1,1,1AC AB =--=- 则点C 到直线AB 的距离为22AC AB d AC AB ⎛⎫⋅⎪=-== ⎪⎝⎭故选：A6．如图所示，空间四边形OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在OA 上，且，M 为OA 中点，N 为BC 中点，则MN 等于（ ）A ．111222a b c -++B ．111222a b c ++C ．122121a b c +-D ．111222a b c -+【答案】A【分析】根据空间向量的加减运算，即可求得答案.【详解】由题意得：11111()22222MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++，故选：A7．已知在6个电子元件中，有2个次品，4个合格品，每次任取一个测试，测试完后不再放回，直到两个次品都找到为止，则经过2次测试恰好将2个次品全部找出的概率（ ） A ．115B ．215C ．415D ．1415【答案】A【分析】把6个产品编号，用列举法写出两次测试的所有可能，计数后由概率公式计算可得．【详解】2个次品编号为1，2，4个合格品编号为a b c d ,,,，不考虑前后顺序时两次测试的可能情形是：12,1,1,1,1,2,2,2,2,,,,,,a b c d a b c d ab ac ad bc bd cd 共15种，考虑前后顺序时两次测试的可能情形有30种，其中12，21这两种情形表示经过2次测试恰好将2个次品全部找出， 因此概率为213015P ==． 故选：A ．8．若将整个样本空间想象成一个1×1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积.则如图所示的涂色部分的面积表示（ ）A ．事件A 发生的概率B ．事件B 发生的概率C ．事件B 不发生条件下事件A 发生的既率D ．事件A ､B 同时发生的概率 【答案】A【分析】根据题意结合条件概率的公式，推出阴影部分的面积，可得其含义，即得答案. 【详解】由题意可知：阴影部分面积为：(|)()(|)(1())()(|)()P A B P B P A B P B P AB P A B P B ⋅+⋅-=+⋅ ()()()P AB P AB P A =+= ,故选：A 二、多选题9．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（ ）A ．由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：m n mn n C C -=B ．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：11r r r n n n C C C -+=+C ．由“第n 行所有数之和为2n ”猜想：0122nn nn n n C C C C ++++=D ．由“11111=，211121=，3111331=”猜想51115101051= 【答案】ABC【分析】根据杨辉三角的性质结合二项式定理即可判断.【详解】由杨辉三角的性质以及二项式定理可知A 、B 、C 正确； 5505142332415555555111011010101010161051C C C C C C ，故D 错误.故选：ABC.【点睛】本题考查杨辉三角的性质和二项式定理，属于基础题.10．已知空间向量(2,1,1)a =--，(3,4,5)b =，则下列结论正确的是（ ） A ．(2)//a b a +B ．5||3||a b =C ．(56)a a b ⊥+D ．a 与b 【答案】BC【分析】根据空间向量平行的坐标表示，模的坐标运算，垂直的坐标表示，数量积的定义计算后判断．【详解】解：因为2(1,2,7)a b +=-，(2,1,1)a =--，而121211≠≠--，故A 不正确； 因为||6a =，||52b =，所以5||3||a b =，故B 正确：因为2(56)565(411)6(645)0a a b a a b ⋅+=+⋅=⨯+++⨯--+=，故C 正确；又5a b ⋅=-，cos ,6a b <>==，故D 不正确．故选：BC.11．下列说法中，正确的选项是（ ）． A ．所有元素完全相同的两个排列为相同排列．B ．()()()A 121mn n n n n m =---+．C ．若组合式C C x mn n =，则x m =成立．D ．222232341C C C C C n n +++++=．【答案】BD【分析】根据排列的而定义判断A;根据排列数公式判断B;根据组合数的性质判断C ，D.【详解】对于A ，因为排列是有顺序的，因此元素相同顺序可能不同，这样的排列是不同的排列，故A 错误；对于B ，根据排列数的公式()()()A 121mn n n n n m =---+，正确；对于C ，组合式C C x mn n =，则x m =或x m n += ，故C 错误；对于D ，22223222322323234334441C C C C C C C C C C C C C C n n n n n n +++++=++++=+++==+=，故D 正确， 故选：BD12．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的30%，30%，40%，则下列选项正确的有（ ） A ．任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.06 B ．任取一个零件是次品的概率为0.053C ．如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为1553D ．如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为2053【答案】BCD【分析】记事件A ：车床加工的零件为次品，记事件i B ：第i 台车床加工的零件，则1(|)6%P A B =，23(|)(|)5%P A B P A B ==，1()30%P B =，2()30%P B =，3()40%P B =，再依次求选项中的概率即可．【详解】记事件A ：车床加工的零件为次品，记事件i B ：第i 台车床加工的零件， 则1(|)6%P A B =，23(|)(|)5%P A B P A B ==，1()30%P B =，2()30%P B =，3()40%P B =，对于选项A ，任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为1()6%30%0.018P AB =⨯=，故错误；对于选项B ，任取一个零件是次品的概率为123()()()()6%30%5%30%5%40%0.053P A P AB P AB P AB =++=⨯+⨯+⨯=，故正确；对于选项C ，如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为2222()(|)()5%30%(|)()150.0535)3(P AB P A B P B P B A P A P A ⨯====，故正确； 对于选项D ，如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为3333()(|)()5%40%(|)()200.0535)3(P AB P A B P B P B A P A P A ⨯====，故正确； 故选：BCD ． 三、填空题13．若()()()()17217012171111x a a x a x a x -=+++++++，则012317a a a a a +++++=_________．【答案】-1【分析】运用赋值法，令x =0即可求解. 【详解】令x =0，则 ()1711x -=- ， ()()()21701217012171111a a x a x a x a a a a +++++++=++++=- ，故答案为：-1.14．若直线l 的方向向量为()2,0,1v =，平面α的一个法向量为()2,2,0n =-，则直线l 与平面α所成角的正弦值为_________．【答案】105【分析】利用空间向量的夹角公式，即可求出直线l 与平面α所成角的正弦值． 【详解】直线l 的方向向量为(2,0,1)v =，平面α的一个法向量为(2,2,0)n =-， ∴直线l 与平面α所成的角的正弦值为410cos ,54144v n -==+⋅+, 故答案为：105． 15．将某商场某区域的行走路线图抽象为一个223⨯⨯的长方体框架（如图），小红欲从A 处行走至B 处，则小红行走路程最近的路线共有_________．（结果用数字作答）【答案】210【分析】由题意分析得路线应该是3次向上,2次向右,2次向前，从而得到答案. 【详解】由题意,最近的路线应该是3次向上,2次向右,2次向前,一共走7次,所以路线共有3274C C 210=,故答案为：210 四、双空题16．将5个不同小球装入编号为1，2，3，4的4个盒子，不允许有空盒子出现，共________种放法；若将5个相同小球放入这4个盒子，允许有空盒子出现，共________种放法．（结果用数字作答） 【答案】 240 56【分析】5个不同的球按个数1，1，1，2分成四组，放入4个不同盒子可得第一空答案；第二空由于5个球相同，不同放法只是球的个数不同，因此可先借4个球，相当于9个球，用隔板法分成四组后放入盒子，用组合数定义可得．【详解】5个不同小球分成4组，每组个数分别为1，1，1，2，不同的分组情况有2510C =种方法，再将4组球放入4个不同盒子，共2454240C A ⋅=种方法.5个相同小球放入4个盒子，若允许有空盒子，可先借4个小球，共9个小球，再用隔板法分成4组放入盒子，共3856C =种方法．故答案为：240；56． 五、解答题17．如图所示，四边形ABCD 为矩形，四边形BCEF 为直角梯形，BF CE ∥，BC CE ⊥，4DC CE ==，2BC BF ==，平面ABCD ⊥平面BCEF .(1)求证：AF ∥平面CDE ；(2)平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析(2)π4【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得()0,2,4AF =-，求出平面CDE 的一个法向量CB ，计算0AF CB ⋅=，即可证明结论；（2）求得平面ADE 的一个法向量，再求得平面BCEF 一个法向量，根据向量的夹角公式求得答案. 【详解】(1)证明：∵四边形BCEF 为直角梯形，四边形ABCD 为矩形， ∴BC CE ⊥，BC CD ⊥，又∵平面ABCD ⊥平面BCEF ，且平面ABCD 平面BCEF BC =， ∴DC ⊥平面BCEF ．以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CE 所在直线为y 轴，CD 所在直线为z 轴建立如图所示空间直角坐标系．根据题意可得以下点的坐标：()2,0,4A ，()2,0,0B ，()0,0,0C ，()0,0,4D ，()0,4,0E ，()2,2,0F ，则()0,2,4AF =-，()2,0,0CB =．∵BC CD ⊥，BC CE ⊥，CD CE C =，CD 、CE ⊂平面CDE ， ∴BC ⊥平面CDE ，∴CB 为平面CDE 的一个法向量．又()0220400AF CB ⋅=⨯+⨯+-⨯=，且AF ⊂/平面CDE ， ∴AF ∥平面CDE ．(2)设平面ADE 的一个法向量为(),,n x y z =， 则()2,0,0AD =-，()0,4,4DE =-，20440AD n x DE n y z ⎧⋅=-=⎨⋅=-=⎩， 令1y =，可取得()0,1,1n =， ∵DC ⊥平面BCEF ，∴平面BCEF 一个法向量为()0,0,4CD =，设平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的大小为α， 则42cos 42CD n CD nα⋅==⨯⋅ 因此，平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的大小为π4． 18．（1）解方程：2399x x C C x N -=∈（）；（2）解不等式：1996x x A A x N ->∈（）【答案】（1）3x =或4;x =（2）{}2,3．【分析】（1）根据组合数的性质，得到关于x 的方程，解得x 的值；（2）根据排列数的公式，得到关于x 的分式不等式，解出x 的范围，再结合x ∈N ，得到答案【详解】解：()1因为2399x x C C -=,所以23x x =-或239x x +-=, 解得3x =或4;x =()19926x x A A ->,解原不等式即()()9!69!9!91!x x ⨯>--+，整理得106x ->，即4x <119x x -≥⎧⎨≤⎩，所以92x ≤≤ 所以得到24x ≤<， 而x ∈N 故2x =或3．∴原不等式的解集为{}2,3．【点睛】本题考查解组合数方程和排列数不等式，属于中档题.19．已知在()12nx +的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为5：2．(1)求n 的值；(2)求含2x 的项的系数；(3)求()()6121n x x +⨯+展开式中含2x 的项的系数. 【答案】(1)6n = (2)60 (3)147【分析】（1）利用二项式系数的比值求出n ；（2）在第一问求出的n 的基础上，写出展开式的通项公式，求出含2x 的项的系数；（3）利用通项公式分别写出()612x +与()61x +的符合题意得项，相乘再相加即可.【详解】(1)∵211C :C =5:22n n n -=， ∴6n =．(2)设()12nx +的展开式的通项为1r T +，则16C 2r r r r T x +=⋅⋅，令2r =． ∴含2x 的项的系数为226C 260⋅=； (3)由（1）知：()()()()666121121n x x x x +⨯+=+⨯+展开式中含2x 项的系数为：220111002666666C 2C 1C 2C 1C 2C 1147⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= 所以展开式中含2x 项的系数为14720．今年春季新型冠状病毒肺炎疫情又有爆发趋势，上海医疗资源和患者需求之间也存在矛盾，海安决定支持上海市.在接到上级通知后，某医院部门马上召开动员会，迅速组织队伍，在报名请战的6名医生（其中男医生4人、女医生2人）中，任选3人奔赴上海新冠肺炎防治一线．(1)求所选3人中恰有1名女医生的概率；(2)设“男医生甲被选中”为事件A ，“女医生乙被选中”为事件B ，求()P B 和()P B A ． 【答案】(1)35 (2)()12P B =，()25P B A = 【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求出；（2）根据古典概型的概率公式以及条件概率的概率公式即可求出．【详解】(1)设所选3人中恰有1名女医生为事件M ，()214236C C 3C 5P M ==， 故所选3人中恰有1名女医生的概率为35. (2)()()2536C 1C 2P B P A ===，()1436C 1C 5P AB ==，()()()125|152P AB P B A P A ===． 21．如图，正三角形ABE 与菱形ABCD 所在的平面互相垂直，2AB =，60ABC ∠=︒，M 是AB 的中点．(1)求证：EM AD ⊥；(2)求点B 到平面EAC 的距离；(3)已知点P 在线段EC 上，且直线AP 与平面ABE 所成的角为45°，求出EP EC 的值． 【答案】(1)证明见解析(2)2155 (3)23EP EC = 【分析】（1）由面面垂直可得线面垂直,进而可得线线垂直.（2）根据空间向量求点面距离.（3）在空间直角坐标系中，利用空间向量求解线面角，进而可知点的位置，进而可求解.【详解】(1)∵EA EB =，M 是AB 的中点，∴EM AB ⊥，∵平面ABE ⊥平面ABCD ，平面ABE 平面ABCD AB =，EM ⊂平面ABE ， ∴EM ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴EM AD ⊥.(2)由（1）知EM ⊥平面ABCD ，CM ⊂平面ABCD ，∴EM CM ⊥，菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，所以ABC 是正三角形， ∴MC AB ⊥．∴,,ME MC MB 两两垂直．建立如图所示空间直角坐标系M -xyz ．则()0,0,0M ，()1,0,0A -，()1,0,0B ，()3,0C ，(3E ，()1,3,0AC =，(3AE =，()2,0,0BA =-，设(),,m x y z =是平面ACE 的一个法向量， 则3030m AC x m AE x z ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩， 令1z =，得()3,1,1m =-，设点B 到平面EAC 的距离为d ，则232155m BAd m ⋅===∴点B 到平面EAC(3)因为y 轴垂直平面ABE ,所以设平面ABE 的法向量为()0,1,0n =(AE =，(EC =，设()0,,EP EC λ==，()01λ≤≤，则()1,AP AE EP =+=，∵直线AP 与平面ABE 所成的角为45°， sin 45cos ,AE nAP n AP n ⋅︒=<>=⋅== 由01λ≤≤，解得23λ=， ∴23EP EC =． 22．请先阅读：在等式()2cos22cos 1x x x =-∈R 的两边求导，得：()()2cos 22cos 1x x ''=-，由求导法则，得()()sin 224cos sin x x x -⋅=⋅-，化简得等式：sin 22cos sin x x x =⋅．利用上述的想法，结合等式()01221C C C C n n n n n n n x x x x +=++++（x ∈R ，正整数2n ≥）． (1)求1231010101010C 2C 3C 10C ++++的值．(2)求证：()212223221C 2C 3C C 12n n n n n n n n n -++++=+． 【答案】(1)5120(2)证明见解析【分析】（1）在等式()01221C C C C n n n n n n n x x x x +=++++两边对x 求导，然后令1x =，10n =，可求得所求代数式的值；（2）由（1）可得出()1122331C 2C 3C C n n n n n n n nx x x x x n x -+=++⋅++⋅，在此等式两边对x求导，然后令1x =可证得结论成立.【详解】(1)解：在等式()01221C C C C n n n n n n n x x x x +=++++（x ∈R ，正整数2n ≥），两边对x 求导得：()1123211C 2C 3C C n n n n n n n n x x x n x --+=++⋅++⋅①，令1x =，10n =，可得()91291010101010C 2C 9C 10C 10115120++++=⨯+=.(2)证明：①式两边同时乘以x 得()1122331C 2C 3C C n n n n n n n nx x x x x n x -+=++⋅++⋅②，②式两边对x 求导得：()()()1212223221111C 2C 3C C n n n n n n n n n x n n x x x x n x ---++-+=++⋅++⋅，令1x =，得()()21222321221C 2C 3C C 21212n n n n n n n n n n n n n n ---++⋅++=⋅+⋅-=⋅+.。
江苏省扬州市扬州中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题(含答案)
江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试卷高 二 数 学 2024.11一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．圆的圆心和半径分别是（ ）A ．，1B ．，3C ．，2D ．，22．经过两点，的直线的斜率为（ ）A ．B ．C ．D ．3．椭圆x 225+y 216=1的焦点为为椭圆上一点，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知双曲线的离心率大于实轴长，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D．5．两平行直线与之间的距离为（ ）ABCD6．已知圆关于直线对称，则实数（ ）A ．1或B ．1C ．3D ．或37．已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为，若抛物线上一点满足|MF |=2，∠OFM =60°，则（ ）A ．3B ．4C ．6D ．88．如图，双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与该双曲线的两支分别交于、两点（在线段上），⊙与⊙分别为与的内切圆，其半径分别为、，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．(0，+∞)二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．下列说法正确的是（ ）A ．若，且直线不经过第二象限，则，.()()22232x y +++=()2,3-()2,3-()2,3--()2.3-(2,7)A (4,6)B 12-2-12212,,F F P 13PF =2PF =435722:1y C x m -=m (3,)+∞)+∞(0,3)320mx y --=4670x y --=22:330C x y mx y +-++=:0l mx y m +-=m =3-1-F M p =2218y x -=1F 2F 1F l A B A 1F B 1O 2O 12AF F △2ABF △1r 2r 12r r 1132⎛⎫ ⎪⎝⎭，1233⎛⎫⎪⎝⎭，1223⎛⎫ ⎪⎝⎭，0abc ≠0ax by c ++=0ab >0bc <B ．方程（）表示的直线都经过点.C ．，直线不可能与轴垂直.D ．直线的横、纵截距相等.10．已知曲线．点，，则以下说法正确的是（ ）A ．曲线C 关于原点对称B ．曲线C 存在点P，使得C ．直线与曲线C 没有交点D ．点Q 是曲线C 上在第三象限内的一点，过点Q 向作垂线，垂足分别为A ，B ，则.11．已知集合.由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论，正确的有（ ）A ．白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为B ．在阴影部分任取一点，则到坐标轴的距离小于等于3.C ．阴影部分的面积为.D ．阴影部分的内外边界曲线长为.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若双曲线的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角的大小为 .13．已知椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点的直线交椭圆于A 、B 两点，若，则该椭圆的离心率为 .14．已知为曲线y =1+4―x 2上的动点，则的最大值为 .四、解答题:本题共5小题，共77分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知△ABC 的顶点坐标是为的中点.(1)求中线的方程；(2)求经过点且与直线平行的直线方程.16．已知双曲线C :x 2a2―y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为为双曲线的右焦点，且点到直线的()()21250x y λλ++--=R λ∈()2,1m ∈R 220m x y ++=y 3310x y +-=:44C x x y y =-1F 2(0,F 124PF PF -=2y x =2y x =±45QA QB ⋅=(){}22,(cos )(sin )4,0πP x y x y θθθ=-+-=≤≤∣P 1M M 8π8π()222210,0y x a b a b -=>>22221(0)x y a b a b+=>>2F 1AB F B ⊥，14sin 5F AB ∠=(),P a b 223a b a b --++()()()2,0,6,2,2,3,A B C M --AB CM B AC ()5,,03F c F 2a x c=距离为.(1)求双曲线的方程；(2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值.17．已知，是抛物线：上的两点．(1)求抛物线的方程；(2)若斜率为的直线经过的焦点，且与交于，两点，求的最小值．18．椭圆与椭圆：有相同的焦点，且经过点.(1)求椭圆的方程；(2)椭圆的右焦点为，设动直线与坐标轴不垂直，与椭圆交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数.①证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标.②求△OMN 面积的最大值.19．定义：M 是圆C 上一动点，N 是圆C 外一点，记的最大值为m ，的最小值为n ，若，则称N 为圆C 的“黄金点”；若G 同时是圆E 和圆F 的“黄金点”，则称G 为圆“”的“钻石点”.已知圆165C ()12,0A P C PA PF +()6,2A m +()24,8B m +C ()221y px p =>C ()0k k ≠l C C P Q 2PQ k +C 1C 2212x y +=31,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭C C B l l C M N BM BN l x MN MN 2m n =E F -A ：，P 为圆A 的“黄金点”(1)求点P 所在曲线的方程.(2)已知圆B ：，P ，Q 均为圆“”的“钻石点”.①求直线的方程.②若圆H 是以线段为直径的圆，直线l ：与圆H 交于I ，J 两点，对于任意的实数k ，在y 轴上是否存在一点W ，使得y 轴平分？若存在，求出点W 的坐标；若不存在，请说明理由.()()221113x y +++=()()22221x y -+-=A B -PQ PQ 13y kx =+IWJ ∠江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试卷高二数学（参考答案）2024.11参考答案：题号12345678910答案C A D A C C A C BD CD 题号11 答案ABD8．【详解】设，∴S △AF 1F 2=12r 1(8+2m )=(4+m )r 1，S △ABF 2=12r 2(2m +2p )=(m +p )r 2，.在△与△中：，即，，当双曲线的斜率为正的渐近线时，取最大，此时，，当与轴重合时，取最小，此时，经上述分析得：，.故选：C.10．【详解】当时，曲线，即；当时，曲线，即；不存在；时，曲线，即；时，曲线，即；画出图形如右：对于A ，由图可得A 错误，故A 错误；对于B ，方程是以为上下焦点的双曲线，当时，曲线C 存在点P ，使得，故B 错误；对于C ，一三象限曲线的渐近线方程为，所以直线与曲线C 没有交点，故C 正确；对于D ，设，设点在直线上，点在直线，11222,,6,2,2AF m BA p F F AF m BF m p ====+=+-()()11224m r S m S p m p r +∴==+12AF F 2AF B 122cos cos F AF F AB ∠=-∠()()()()()2222222262222224m m m p m p m p m m m pm++-++-+-=-⇒=⋅⋅+⋅+⋅-32212324444444m m r m mp m m m r p mp m m m++-∴===+++--//l m p →+∞404m m ∴-=⇒=l x m 2m =()2,4m ∈1212,23r r ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭0,0x y ≥>22:44C x y =-2214y x -=0,0x y ≥<22:44C x y =--2214y x +=-0,0x y ≤≥22:44C x y -=-2214y x +=0,0x y <≤22:44C x y -=--2214y x -=2214y x -=12,F F 0,0x y ≥>214PF PF -=2y x =2y x =()00,Q x y A 2y x =B 2y x =-又点Q 是曲线C 上在第三象限内的一点，代入曲线方程可得，故D 正确；故选：CD.11．【详解】对于A ，由于，令时，整理得，解得，“水滴”图形与轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为，点，白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为，故A 正确；对于B ，由于，整理得：，所以，所以到坐标轴的距离为或，因为，所以，，所以到坐标轴的距离小于等于3，故B正确；对于C ，由于，令时，整理得，解得，因为表示以为圆心，半径为的圆，则，且，则在x 轴上以及x 轴上方，故白色“水滴”的下半部分的边界为以为圆心，半径为1的半圆，阴影的上半部分的外边界是以为圆心，半径为3的半圆，根据对称可知：白色“水滴”在第一象限的边界是以以为圆心，半径为2的圆弧，设，则，即AN 所对的圆心角为，同理AM 所在圆的半径为2，所对的圆心角为，阴影部分在第四象限的外边界为以为圆心，半径为2的圆弧，设，可得，DG 所对的圆心角为，同理DH 所在圆的半径为2，所对的圆心角为，故白色“水滴”图形由一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成，22004455x y QA QB -⋅==22(cos )(sin )4x y θθ-+-=0x =[]32sin 0,2y yθ=-∈[1]y ∈- y (0,1)B -||1AB =22(cos )(sin )4x y θθ-+-=2cos cos 2sin sin x y αθαθ=+⎧⎨=+⎩2cos cos ,2sin sin )(M αθαθ++M ||2cos cos αθ+|2sin sin |αθ+cos [1,1],sin [0,1]θθ∈-∈2cos cos ||2cos ||cos |213|αθαθ+≤+≤+=|2sin sin ||2sin ||sin |213αθαθ+≤+≤+=M 22(cos )(sin )4x y θθ-+-=0y =[]32cos 2,2y yθ=-∈-[3,1][1,3]x ∈-- 22(cos )(sin )4x y -+-=θθ()cos ,sin Q θθ2r =13r OQ OP OQ r =-≤≤+=0πθ≤≤()cos ,sin Q θθO O ()1,0M -()1,0N 2AN AM MN ===π3π3()1,0N ()()3,0,3,0G H -π1,3ON OD OND ==∠=2π32π3所以它的面积是.轴上方的半圆（包含阴影和水滴的上半部分）的面积为，第四象限的阴影和水滴部分面积可以看作是一个直角三角形和一个扇形的面积的和，且等于所以阴影部分的面积为C 错误；对于D ，轴上方的阴影部分的内外边界曲线长为，轴下方的阴影部分的内外边界曲线长为，所以阴影部分的内外边界曲线长为，故D 正确.故选：ABD.12．13【详解】如图，设，因为，所以．由椭圆定义可知，，由，可得，所以．在Rt △F 1BF 2中，由，可得，即得，故得14．【详解】曲线，由于在曲线上，令，则，（其中），，又，，当时取得最大值15．【详解】（1）因为，所以，212π111π2π1222326S S S S ⎛=++=⨯⨯+⨯+⨯=⎝V 弓形半圆x 219π3π22⨯=2114π21π323⨯⨯+=941116π2(πππ2363++-=+x 1π4132π3223πππ2333⨯⨯+⨯⨯=+=x 111112π1(2π2π2)2π2233⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=13π11π8π33+=π314BF t =1AB F B ⊥，14sin 5F AB ∠=15,3AF t AB t ==21212=25,224AF a AF a t BF a BF a t =--=-=-22493AB AF BF a t t =+=-=13t a =1242,33BF a BF a ==2221212||||||F F BF BF =+222424(()33a a c =+2295c a =c e a ==9+1y =()()22141x y y +-=≥(),P a b ()2cos ,0π12sin a b θθθ=⎧≤≤⎨=+⎩()()222232cos 12sin 32cos 12sin a b a b θθθθ--++=---+++2cos 2sin 454sin 42sin 2cos 54sin θθθθθθ=--++=+-++()96sin 2cos 9θθθϕ=+-=+-sin ϕ=cos ϕ=π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭[][]0,π,πθθϕϕϕ∈∴-∈-- π,02ϕ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭ππ,π2ϕ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∴π2θϕ-=223a b a b --++9+()()2,0,6,2A B -()4,1M -故的方程是，即；（2）因为直线的斜率，所以经过点且与直线平行的直线方程为，即.16．【详解】（1）由题意知，解得，则，所以双曲线的方程为.（2）记双曲线的左焦点为，则，可得，当三点共线时，最小，且最小值为.故的最小值为.17．【详解】（1）∵，是抛物线C ：上的两点，∴，则，整理得，解得， 当时，，解得，不合题意；当时，，解得．故抛物线C 方程为y 2=6x ．（2）由（1）知C 的焦点为，故直线l 的方程为，联立，得，必有，设，，则，∴， ∴，即所以的最小值为18．【详解】（1）椭圆：的焦点坐标为，所以椭圆的焦点坐标也为，即得焦距为，∵椭圆过点，∴，CM 143124y x +-=+--2350x y +-=AC 303224ACk -==---B AC ()3264y x +=--34100x y +-=253165c a a c c ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩35a c =⎧⎨=⎩4b ==C 221916x y -=C 0F ()05,0F -0026PA PF PA PF a PA PF +=++=++0,,P F A 0PA PF +017AF =PA PF +17623+=()6,2A m +()24,8B m +()221y px p =>()()22212,848m p m p⎧+=⎪⎨+=⎪⎩()()22842m m +=+216m =4m =±4m =-()21224p m =+=113p =<4m =()212236p m =+=31p =>3,02⎛⎫⎪⎝⎭32y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2632y xy k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩()222293604k x k x k -++=0∆>()11,P x y ()22,Q x y 212236k x x k ++=2122236636k PQ x x p k k+=++=+=+222666PQ k k k +=++≥+226k k=2k =2PQ k +6+1C 2212x y +=()1,0±C ()1,0±22c =C 31,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭24a +=∴，，∴椭圆的标准方程为.（2）①设直线：（），由，得，设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，所以，，所以，因为直线和的斜率互为相反数，所以，所以，所以，所以.即，所以，因为，所以，所以动直线恒过轴上的定点②由①知，，且，即，又S △OMN =12⋅|OT |⋅|y 1―y 2|=12⋅4⋅(y 1+y 2)2―4y1y 2令，则，∴S △OMN=24⋅n (3n +16)2≤24⋅n (2⋅3n⋅16)2=24⋅n 4⋅3n ⋅16=3（当且仅当时取“＝”）∴(S △OMN )max =3.19．【详解】（1）因为点P 为圆A 的“黄金点”，即，所以点P的轨迹是以AP 所在曲线的方程为（2）①因为P 为圆B 的“黄金点”，则所以，即点P 在圆上，则P 是圆和的交点.因为P ，Q 均为圆“”的“钻石点”，所以直线即为圆和的公共弦所在直线，2a =b =22143x y +=l x my t =+0m ≠223412x my t x y =+⎧⎨+=⎩()2223463120m y mty t +++-=122634mt y y m +=-+212231234t y y m -=+()()()()1221121212111111MF NF y x y x y yk k x x x x -+-+=+=----()()()()1221121111y my t y my t x x +-++-=--BM BN 0MB NB k k =+()()()()12211211011y my t y my t x x +-++-=--()()1221110y my t y my t +-++-=()()1212210my y t y y +-+=()22231262103434t mtm t m m --⨯+-⨯=++()640m t -=0m ≠4t =l x ()4,0T 1222434m y y m +=-+1223634y y m =+()()22Δ24434360m m =-+⋅>24m >224==240n m =->24m n =+316n ==PA =()()2211 3.x y +++=()121PB PB +=-||3PB =()()22229x y -+-=()()22113x y +++=()()22229x y -+-=A B -PQ ()()22113x y +++=()()22229x y -+-=两圆方程相减可得，故直线的方程为.②设的圆心为的圆心为，半径为.直线的方程为，得的中点坐标为，点S 到直线，则，所以圆H 的方程为.假设轴上存在点满足题意，设，.若轴平分，则，即，整理得又，所以代入上式可得，整理得①，由可得，所以x 1+x 2=―23k k 2+1,x 1x 2=―89k 2+1，代入①并整理得，此式对任意的都成立，所以.故轴上存在点，使得轴平分.0x y +=PQ 0x y +=22(1)(1)3x y +++=(11),S --()()22229x y -+-=(2,2)T 3ST y x =PQ (0,0)0x y +==12PQ ==221x y +=y (0),W t ()()1122,,,I x y J x y 120x x ≠y IWJ ∠0IM JW k k +=12120y t y tx x --+=()()21120.x y t x y t -+-=11223,113y kx y kx =+=+211211)33(()0x kx t x kx t +-++-=()12121203kx x t x x ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭22131y kx x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩()22281039k x kx ++-=2203k kt -+=k 3t =y ()0,3W y IWJ ∠。
江苏省苏州市常熟市2019-2020学年高二下学期期中数学试卷及解析
江苏省苏州市常熟市2019-2020学年高二下学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知复数1z i =-（其中i 是虛数单位），则复数z 的虛部为（ ） A.1-B.i -C.1D.i2.火车开出车站一段时间内，速度v （单位：m/s ）与行驶时间t （单位：s ）之间的关系是()20.40.6v t t t =+，则火车开出几秒时加速度为2.8m/s 2？（ ）A.32s B.2s C.52s D.73s 3.在正方体1111ABCD A B C D -中，平面1A BD 与平面ABCD 所成二面角的正弦值为（ ）D.134.有6个人排成一排拍照，其中甲和乙相邻，丙和丁不相邻的不同的排法有（ ） A.240种B.144种C.72种D.24种5.若函数()332f x x bx =-+在区间()2,3内单调递增，则实数b 的取值范围是（ ） A.4b ≤B.4b <C.4b ≥D.4b >6.如图，在圆锥PO 的轴截面PAB 中，60APB ∠=︒，有一小球1O 内切于圆锥（球面与圆锥的侧面、底面都相切），设小球1O 的体积为1V ，圆锥PO 的体积为V ，则1:V V 的值为（ ）A.13B.49C.59D.237.若函数()2x x f x ax e =-存在两个不同零点，则实数a 的取值范围是（ ）A.1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B.10,e ⎛⎫⎪⎝⎭C.()1,0e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭D.()1,00,e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭8.从0，1，2，3，…，9中选出三个不同数字组成一个三位数，其中能被3整除的三位数个数为（ ） A.252B.216C.162D.228第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）9.复数z 满足z i=（其中i 是虛数单位），则复数z 的模等于______. 10.设函数()f x 满足()()2311f x x f x '=++，则()3f 的值为______.11.用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中五个区域进行涂色，要求相邻区域所涂颜色不同，共有______种不同的涂色方法.（用数字回答）三、解答题（题型注释）12.已知复数(),z a bi a b R =+∈满足3z i +为实数，2zi-为纯虚数，其中i 是虚数单位. （1）求实数a ，b 的值；（2）若复数()2125z z m m i =++-在复平面内对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围.13.已知函数()ln f x ax bx x =+，()f x 在x e =处的切线方程是0x y e +-=，其中e 是自然对数的底数.（1）求实数a ，b 的值； （2）求函数()f x 的极值.14.某班有6名同学报名参加校运会的四个比赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法，（用数字回答）（1）每人恰好参加一项，每项人数不限； （2）每项限报一人，且每人至多参加一项；（3）每人限报一项，人人参加，且每个项目均有人参加.15.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =，M 是PD 上一点，且BM PD ⊥.（1）求异面直线PB 与CM 所成角余弦的大小； （2）求点M 到平面PAC 的距离.16.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AB CD ，3AB AC AD ===，4PA CD ==，E 为线段AB 上一点，2AE EB =，M 为PC 的中点.（1）求证：//EM 平面PAD ；（2）求直线AM 与平面PCE 所成角的正弦值. 17.已知()221()ln ,x f x a x x a R x-=-+∈．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当1a =时，证明()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立．四、新添加的题型）A.若()2211x f x x -=+，则()()2241x f x x '=+ B.若()2x f x e =，则()2x f x e '=C.若()f x =()f x '=D.若()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()sin 23f x x π⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭19.下面四个命题中的真命题为（ ） A.若复数z 满足1R z∈，则z R ∈ B.若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈ C.若复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则12z z = D.若复数z R ∈，则z R ∈ 20.以下关于函数()21f x x x=+的说法正确的是（ ） A.函数()f x 在0,上不单调B.函数()f x 在定义域上有唯一零点C.函数()f xD.x =()f x 的一个极值点21.（多选题）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=，将ABD △沿对角线BD 翻折到PBD △位置，连结PC ，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A.PC 与平面BCD 所成的最大角为45B.存在某个位置，使得PB CD ⊥--的大小为90时，PC=C.当二面角P BD CD.存在某个位置，使得B到平面PDC22.已知四面体ABCD的所有棱长均为a，则对棱AB与CD间的距离为______，该四面体的外接球表面积为______.参考答案1.A【解析】1.利用复数的除法运算化简，再得到复数z 的虛部.21i z i =-2(1)1(1)(1)i i i i i --==--+--，则复数z 的虛部为1-. 故选：A 2.B【解析】2.计算()'v t ，根据()'v t 的物理意义，代入() 2.8='v t ，简单计算可得结果. 由题可知：()20.40.6v t t t =+，所以()=0.4+1.2'v t t 则()2.8=0.4+1.22⇒=t t s 所以火车开出2s 时加速度为2.8m/s 2 故选：B 3.C【解析】3.连AC 交BD 于O ，连1A O ，证明BD ⊥平面11AAC C ，从而有1,AC BD AO BD ⊥⊥，1AOA ∠或（补角1A OC ∠）为平面1A BD 与平面ABCD 所成二面角的平面角，在1Rt AOA 中求出11,AO AA 关系， 即可得出结论.连接AC 交BD 于点O ，连1A O ，如下图所示， 因为1AA ⊥平面ABCD ， 所以11,A AA BD AC BD A C A A ⊥⊥=，，BD ⊥平面111,AAC C AO ⊂平面111,AAC C BD AO ⊥， 所以1AOA ∠（或补角1A OC ∠）为平面1A BD 与平面ABCD 的平面角，在△A 1OA 中，设AA 1＝a ，则AO 2=a ，12A O a =，1111sin sin2AAAOC AOAAO∠=∠===所以平面1A BD与平面ABCD.故选：C．4.B【解析】4.甲和乙相邻，捆绑法，丙和丁不相邻用插空法，即先捆甲和乙，再与丙和丁外的两人共“3人”排列，再插空排丙和丁.甲和乙相邻，捆绑在一起有22A种，再与丙和丁外的两人排列有33A种，再排丙和丁有24A种，故共有22A33A24A144=种.故选：B5.A【解析】5.先对函数求导，根据函数在区间()2,3内单调递增，转化为导函数大于等于0，然后分离常数b，根据最值求得b的取值范围.3()32f x x bx=-+，2()33f x x b'=-，∵函数()332f x x bx=-+在区间()2,3内单调递增，∴导函数2()33f x x b'=-0,(2,3)x≥∈恒成立，则2,(2,3)b x x≤∈恒成立，故4b≤.故选：A．6.B【解析】6.采用数形结合，假设小球1O 的半径为r ，圆O 的半径为R，然后计算=r R ，可得R =，然后根据体积公式简单计算，可得结果.如图设小球1O 的半径为r ，圆O 的半径为R 由1△△POB PMO 所以11=PO O MPB OB由60APB ∠=︒，所以tan tan 603=∠==OP R OBP R R2sin2==∠OBPB RAPB所以=r RR =所以3323141,3333πππ==⋅==r R V V R r所以149=V V ， 故选：B 7.C【解析】7.首先能判断出0x=是函数的零点，问题转化为xxa e =有一个非零根，构造函数，研究其图象的走向，从而得出结果.函数()2x x f x ax e =-存在两个不同零点，等价于2x x ax e=有两个不同的解，0x =满足条件，所以xxa e =有一个非零根， 令()x x g x e =，21'()x x xx e xe xg x e e--==， 当1x >时，)'(0g x <，1x <时，'()0g x >，所以()g x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，且当(,1)x ∈-∞时，1()(,)f x e ∈-∞，当(1,)x ∈+∞时，1()(0,)f x e∈， 所以xx a e =有一个非零根时，实数a 的取值范围是()1,0e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭， 故选：C. 8.D【解析】8.根据题意将10个数字分成三组:即被3除余1的有1，4，7；被3除余2的有2，5，8；被3整除的有3，6，9，0，若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论:每组自己全排列，每组各选一个，再利用排列与组合的知识求出个数，进而求出答案.解:将10个数字分成三组，即被3除余1的有{1,4,7}，被3除余2的有{2,5,8}，被3整除的有{3,6,9,0}.若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论:①三个数字均取自第一组{1,4,7}中，或均取自第二组{2,5,8}中，有33212A =个；②若三个数字均取自第三组{3,6,9,0}，则要考虑取出的数字中有无数字0，共有324318A A -=个；③若三组各取一个数字，第三组中不取0，有11133333162C C C A ⋅⋅⋅=个， ④若三组各取一个数字，第三组中取0，有112332236C C A ⋅⋅⋅=个，这样能被3整除的数共有12+18+162+36228=个. 故选：D.【解析】9.利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出结果． ∵3iz i-=， ∴223331131i i i i i z i i --+===---=，∴|z |=10.1【解析】10.先对函数求导，再令1x =，求出'(1)f 的值，代入原函数中，再令3x =可求出(3)f .由()()2311f x x f x '=++，得''()23(1)f x x f =+，令1x =，则''(1)23(1)f f =+，解得'(1)1f =-，所以()231=-+f x x x ，令3x =，则(3)9911f =-+=，解得(3)1f = 故答案为：1 11.240【解析】11.根据分步计数原理与分类计数原理，列出每一步骤及每种情况，计算即可. 从A 开始涂色，A 有4种方法，B 有3种方法， ①若E 与B 涂色相同，则,C D 共有23A 种涂色方法； ②若E 与B 涂色不相同，则E 有2种涂色方法，当,C E 涂色相同时，D 有3种涂色方法；当,C E 涂色不相同时，C 有2种涂法，D 有2种涂色方法.共有()2343432322240A ⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=种涂色方法.故答案为：240.12.（1）32a =-；3b =-；（2）34m <<【解析】12.（1）根据3z i +为实数，求得3b =-，利用复数的除法运算法则，化简2zi-，利用其为纯虚数，求得32a =-； （2）将所求值代入，确定出()213222z m m i ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，根据其在复平面内对应的点在第四象限，列出不等式组，求得结果.（1）因为()33z i a b i +=++为实数，所以3b =-，因为()()()()()()32236322225a i i a a i z a i i i i i -+++--===---+为纯虚数， 所以32a =-． （2）332z i =--，332z i =-+，所以()213222z m m i ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，因为复数1z 在复平面内对应的点在第四象限，所以2320220m m ⎧->⎪⎨⎪-<⎩，解之得34m << 13.（1）11a b =⎧⎨=-⎩；（2）极大值1；()f x 无极小值..【解析】13.（1）计算()f e ，()f e '，根据函数在x e =处的切线方程，简单计算可得结果. （2）根据（1）的结论，可得()ln f x x x x =-，然后利用导数，判断原函数的单调性，找到极值点，最后计算可得结果.（1）由()ln f x ax bx x =+，得()()1ln f x a b x '=++，由()f x 在x e =处的切线方程是0x y e +-=，知切点为(),0e ，斜率为1-，所以()()()021f e a b e f e a b ⎧=+=⎪⎨=+=-'⎪⎩，解之得11a b =⎧⎨=-⎩．（2）()ln f x x x x =-，()ln f x x '=-，令()0f x '=，得1x =，由表可知，当1x =时，f x 取得极大值1；)f x 无极小值. 14.（1）4096种；（2）360种；（3）1560种.【解析】14.（1）根据分步计数原理直接计算可得64，然后可得结果. （2）依据题意，计算46A ，可得结果.（3）先分组，可得22364622+C C C A ，后排列，可得2234646422⎛⎫+ ⎪⎝⎭C C C A A ，简单计算可得结果. （1）每人都可以从这四个项目中选报一项，各有4种不同的选法， 由分步计数原理知共有644096=种．（2）每项限报一人，且每人至多报一项，因此可由项目选人， 第一个项目有6种不同的选法，第二个项目有5种不同的选法， 第三个项目有4种不同的选法，第四个项目有3种不同的选法，由分步计数原理得共有报名方法466543360A =⨯⨯⨯=种．（3）每人限报一项，人人参加，且每个项目均有人参加，因此需将6人分成4组，有2236462215620652C C C A ⨯+=+=种． 每组参加一个项目，由分步计数原理得共有()22346464222045241560C C C A A ⎛⎫+=+⨯= ⎪⎝⎭种． 15.（1；（2.【解析】15.（1）连BD 交AC 于O ，连MO ，根据已知可得BP BD =，得出M 为PD 中点，从而有//OM PB ，OMC ∠（或补角）就为所求的角，分别求出,,OM OC MC ，即可得出结论；或建立空间直角坐标系，确定,,,P B M C 坐标，利用向量夹角公式，也可求解.（2）点M 到平面PAC 的距离等于点D 到平面PAC 距离的一半，由PA ⊥平面ABCD ，过D 做DN AC ⊥于N ，可证DN ⊥平面PAC ，即可求出结论；或求出,PAC ACD △△的面积，用等体积法也可求解；或建立空间直角坐标系，求出平面PAC的法向量，利用空间向量点到面的距离公式亦可求解. （1）连BD 交AC 于O ，连MO ，PA ⊥平面ABCD ，所以,PA AB PA CD ⊥⊥，在Rt PAB中，4,2,PA AB PB ====，又因为底面ABCD 是矩形，所以O 为BD 中点，2,4AB AD ==，所以BD PB ==，因为M 是PD 上一点，且BM PD ⊥， 所以M 为PD 中点，1//,2MO PB MO PB =， 所以OMC ∠（或补角）就为PB 与CM 所成的角， 因为,,PA CD AD CD PAAD A ⊥⊥=所以CD ⊥平面,PAD CD PD ⊥，MC ==，1122MO PB CO AC ====2cos MCOMC MO ∠===所以异面直线PB 与CM所成角余弦值为5； （2）解1：过D 做DN AC ⊥于N ，PA ⊥平面ABCD ， 所以,PA DN PAAC A ⊥=，所以DN ⊥平面PAC ，DN 为点D 到平面PAC 的距离，在Rt ACD △中，CD DA DN AC ⋅==， 又M 是PD 中点，所以点M 到平面PAC． 解2：因为Rt BCE ，PA ⊥平面ABCD ，所以111162443323P ACD ACD V S PA -⎛⎫=⋅=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭△，在Rt ADC 中，AC ==11422PAC S AC PA =⋅=⨯=△设点D 到平面PAC 的距离为h ，则13D PAC PAC V S h -=⋅=△，由P ACD D PAC V V --=，得1633=，所以h =．又M 是PD 中点，所以点M 到平面PAC ．解法二：分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，（1）()()()()()0,0,0,2,442,0,0,0,4,0,0,0,,0,A P C B D则()2,0,4PB =-，()2,4,4PC =-，()0,4,4PD =-， 设()01PM PD λλ=≤≤，则()0,4,4PM λλ=-， 所以()2,4,44BM PM PB λλ=-=--，由BM PD ⊥，知()0164440BM PD λλ⋅=+--=，所以12λ=，M 为PD 中点， 所以()0,2,2M ，()2,2,2CM =--，cos ,2PBCM PB CM PB CM⋅===．所以异面直线PB 与CM 所成角的余弦值为5． （2）()0,0,4AP =，()2,4,0AC =， 设平面PAC 的法向量为(),,n x y z =，由00AP n AC n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得40240z x y =⎧⎨+=⎩，所以0z =，取2x =，得1y =-，所以()2,1,0n =-是平面PAC 的一个法向量．所以点M 到平面PAC 的距离为22CM n n⋅-==． 16.（1）证明见解析；（2.【解析】16.（1）取PD 中点N ，连接AN ，MN ，证明//EM AN ，再证得//EM 平面PAD ； （2）连接PE ，先证CE AB ⊥，证得CE ⊥面PAB ，再作⊥AF PE 交PE 于F，连接MF ，证得AF ⊥面PEC ，则AMF ∠为直线AM 与平面PCE 所成角，再求出AMF∠的正弦值.（1）证明：取PD 中点N ，连接AN ，MN ，因为M 为PC 的中点，所以//MN CD 且12MN CD =， 又223AE AB ==，4CD =，且//AB CD ，则//MN AE ，且MN AE =， 所以四边形AEMN 为平行四边形，则//EM AN ． 又因为EM ⊄平面PAD ，AN ⊂平面PAD ， 所以//EM 平面PAD ．（2）解：在ACD △中，22291692cos 22343AC CD AD ACD AC CD +-+-∠===⋅⨯⨯，因为//AB CD ，所以2cos 3BAC ∠=， 在ACE △中，22222cos 4922353CE AE AC AE AC BAC =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=， 由222AE CE AC +=，知CE AB ⊥．因为PA ⊥底面ABCD ，CE ⊂底面ABCD ，所以CE PA ⊥， 又PAAB A =，PA ⊂平面PAB ，AB 平面PAB ，所以CE ⊥平面PAB ．在平面PAB 内，过点A 作⊥AF PE ，交PE 于F ，连接FM ， 则CE AF ⊥，又PECE E =，CE ⊂平面PCE ，PE ⊂平面PCE ，所以AF ⊥平面PCE ，所以FM 是AM 在平面PCE 内的射影， 则AMF ∠为直线AM 与平面PCE 所成角．在Rt PAC △中，M 为PC 的中点，所以1522AM PC ===，在Rt PAE 中，由PA AE PE AF ⋅=⋅，得5PA AE AF PE ⋅===，所以sin 25AF AMF AM ∠==所以直线AM 与平面PCE 所成角的正弦值为25． 17.（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析【解析】17.试题（Ⅰ）求()f x 的导函数，对a 进行分类讨论，求()f x 的单调性； （Ⅱ）要证()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立，即证3()'()2f x f x ->，根据单调性求解. 试题解析： （Ⅰ）的定义域为；223322(2)(1)'()a ax x f x a x x x x--=--+=. 当，时，'()0f x >，单调递增；(1,),'()0x f x ∈+∞<时，单调递减.当时，3(1)22'()()()a x f x x x x a a-=+-. （1），，当或x ∈时，'()0f x >，单调递增；当x ∈时，'()0f x <，单调递减；（2）时，，在x ∈内，'()0f x ≥，单调递增；（3）时，，当或x ∈时，'()0f x >，单调递增；当x ∈时，'()0f x <，单调递减.综上所述， 当时，函数在内单调递增，在内单调递减； 当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增； 当时，在内单调递增； 当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，时，22321122()'()ln (1)x f x f x x x x x x x --=-+---+23312ln 1x x x x x =-++--，，令，.则()'()()()f x f x g x h x -=+， 由1'()0x g x x-=≥可得，当且仅当时取得等号.又24326'()x x h x x--+=， 设，则在x ∈单调递减，因为， 所以在上存在使得时，时，，所以函数()h x 在上单调递增；在上单调递减， 由于，因此，当且仅当取得等号， 所以3()'()(1)(2)2f x f xgh ->+=， 即3()'()2f x f x >+对于任意的恒成立。
江苏省无锡市第一中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题(解析版)
2020-2021学年江苏省无锡一中高二（下）期中数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．已知i是虚数单位，复数的虚部为（）A．B．C．D．2．（3﹣2x）（x+1）5展开式中x3的系数为（）A．﹣15B．﹣10C．10D．153．环保部门为降低某社区在改造过程中产生的扬尘污染，决定对全部街道采取洒水降尘作业．该社区街道的平面结构如图所示（线段代表街道），洒水车随机选择A、B、C、D、E、F中的一点驶入进行作业，则选择的驶入点使洒水车能够不重复地走遍全部街道的概率为（）A．B．C．D．4．为了弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门课程，每周开设一门，连续开设六周，若课程“射”不排在第二周，课程“乐”不排在第五周，则所有可能的排法种数为（）A．600种B．504种C．480种D．384种5．我国古代珠算算具，算盘的每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面的两颗珠叫“上珠”，下面的5颗叫“下珠”，从一档的7颗算珠中任取3颗，至多含有一颗上珠的概率为（）A．B．C．D．6．复数集中，一个数的平方恰好为这个数的共轭复数的数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个7．函数的图象不可能是下列图中的（）A．B．C．D．8．定义在（0，+∞）上的函数y＝f（x），有不等式2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，其中y＝f′（x）为函数y＝f（x）的导函数，则（）A．4＜＜16B．4＜＜8C．3＜＜4D．2＜＜4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列命题正确的有（）A．若z1，z2互为共轭复数，则z1z2为实数B．若z为复数，|z|2＝z2C．若复数z满足，则|z|＝5D．已知复数z满足|z﹣1|＝|z+1|，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线10．已知的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（）A．二项展开式中各项系数之和为36B．二项展开式中二项式系数最大的项为C．二项展开式中无常数项D．二项展开式中系数最大的项为90x311．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），则下列命题正确的是（）A．若f（x）＝a有唯一解，则B．函数f（x）有3个零点C．f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜212．对于函数，下列说法正确的是（）A．f（x）在x＝e处取得极大值B．f（x）有两个不同的零点C．f（2）＜f（π）＜f（3）D．若在（0，+∞）上恒成立，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知随机变量ξ～N（3，σ2），且，则P（3＜ξ＜5）＝．14．若，则m＝．15．已知函数f（x）＝2lnx，g（x）＝ax2﹣x﹣1（a＞0），若直线y＝2x﹣b函数y＝f（x），y＝g（x）的图象均相切，则a的值为．16．定义：设函数y＝f（x）在（a，b）上的导函数为f′（x），若f′（x）在（a，b）上也存在导函数，则称函数y＝f（x）在（a，b）上存在二阶导函数，简记为f″（x）．若在区间（a，b）上f″（x）＜0恒成立，则称函数y＝f（x）在区间（a，b）上为“凸函数．已知f（x）＝ln（2+e x）﹣mx2在区间（﹣1，1）上为“凸函数”，则实数m的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在①；②复平面上表示的点在直线x+2y＝0上；③z1（a﹣i）＞0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答：已知复数z1＝1+i，z2＝a+3i（a∈R）（i为虚数单位），满足____．（1）若，求复数z以及|z|；（2）若z2是实系数一元二次方程x2+mx+4﹣3m＝0的根，求实数m的值．18．现有编号为A，B，C的3个不同的红球和编号为D，E的2个不同的白球．（1）若将这些小球排成一排，且要求D，E两个球相邻，则有多少种不同的排法？（2）若将这些小球排成一排，要求A球排在中间，且D，E各不相邻，则有多少种不同的排法？（3）现将这些小球放入袋中，从中随机一次性摸出3个球，求摸出的三个球中至少有1个白球的不同的摸球方法数．（4）若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则有多少种不同的放法？（注：请列出解题过程，结果保留数字）19．已知（1﹣x）n＝a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a n x n，且＝﹣1010．（1）求n和a0的值；（2）求a2+a4+a6+⋅⋅⋅+a n﹣1的值；（3）求a1+2a2+3a3+⋅⋅⋅+na n的值．20．某学校准备举办数学文化知识竞赛，进入决赛的条件为：先参加初赛，初赛时，电脑随机产生5道数学文化试题，能够正确解答3道及以上的参赛者进入决赛．若学生甲参赛，他正确解答每道试题的概率均为．（1）求甲在初赛中恰好正确解答4道试题的概率；（2）进入决赛后，采用积分淘汰制，规则是：参赛者初始分为零分，电脑随机抽取4道不同的数学文化试题，每道试题解答正确加20分，错误减10分，由于难度增加，甲正确解答每道试题的概率变为，求甲在决赛中积分X的概率分布，并求数学期望．21．已知函数，其中m为正实数．（1）试讨论函数f（x）的单调性；（2）设，若存在x∈[1，2]，使得不等式g（x）＜0成立，求m的取值范围．22．已知函数，且函数f（x）与g（x）有相同的极值点．（1）求实数a的值；（2）若对，不等式恒成立，求实数k的取值范围；（3）求证：．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知i是虚数单位，复数的虚部为（）A．B．C．D．解：∵＝，∴复数的虚部为﹣．故选：A．2．（3﹣2x）（x+1）5展开式中x3的系数为（）A．﹣15B．﹣10C．10D．15解：∵（x+1）5展开式的通项公式为T r+1＝•x5﹣r，分别令5﹣r＝3，5﹣r＝2，可得r＝2，3，故（3﹣2x）（x+1）5展开式中x3的系数为3﹣2＝10，故选：C．3．环保部门为降低某社区在改造过程中产生的扬尘污染，决定对全部街道采取洒水降尘作业．该社区街道的平面结构如图所示（线段代表街道），洒水车随机选择A、B、C、D、E、F中的一点驶入进行作业，则选择的驶入点使洒水车能够不重复地走遍全部街道的概率为（）A．B．C．D．解：由题意可知，若使洒水车能够不重复地走遍全部街道，则要选择B，E两点开始驶入，若从B点驶入，则有B→A→F→E→D→C→B→E或B→C→D→E→F→A→B→E，同理E点也是如图，若选择除B，E外的其它点开始驶入，则会有重复路线，所以6个点中有2个点，故选择的驶入点使洒水车能够不重复地走遍全部街道的概率为．故选：B．4．为了弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门课程，每周开设一门，连续开设六周，若课程“射”不排在第二周，课程“乐”不排在第五周，则所有可能的排法种数为（）A．600种B．504种C．480种D．384种解：根据题意，分2种情况讨论：①课程“射”排在第五周，剩下5“艺”任意安排在其他五周即可，有A55＝120种安排方法，①课程“射”不排在第五周，则课程“射”有4种排法，课程“乐”有4种排法，剩下4“艺”任意安排在其他四周即可，此时有4×4×A44＝384种安排方法，则有120+384＝504种安排方法；故选：B．5．我国古代珠算算具，算盘的每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面的两颗珠叫“上珠”，下面的5颗叫“下珠”，从一档的7颗算珠中任取3颗，至多含有一颗上珠的概率为（）A．B．C．D．解：算盘的每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面的两颗珠叫“上珠”，下面的5颗叫“下珠”，从一档的7颗算珠中任取3颗，基本事件总数n＝＝35，至多含有一颗上珠包含的基本事件有m＝＝30，∴至多含有一颗上珠的概率为P＝＝＝．故选：A．6．复数集中，一个数的平方恰好为这个数的共轭复数的数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个解：设z＝a+bi，（a，b∈R），则，∴（a+bi）2＝a﹣bi，∴a2﹣b2+2abi＝a﹣bi，∴，解得，，∴z＝0，1，．因此满足条件的复数z共有4个．故选：A．7．函数的图象不可能是下列图中的（）A．B．C．D．解：根据题意，对于，当a＝0时，f（x）＝x2+x+1，为二次函数，开口向上，其对称轴为x＝﹣1，与y轴交于（0，1），D选项符合；当a＜0时，f′（x）＝ax2+x+1，f′（x）＝0有一正一负的两根，f（x）先减再增最后为减函数，与y轴交于（0，1），C选项符合，当a＞0时，f′（x）＝ax2+x+1，则有△＝1﹣4a，当1﹣4a＜0，即a＞时，f′（x）＝0无解，即f′（x）＞0恒成立，f（x）在R上为增函数，与y轴交于（0，1），B选项符合，当1﹣4a＞0，即0＜a＜时，f′（x）＝0有两个负根，在（﹣∞，0）上，先增再减最后增，A选项不符合；故选：A．8．定义在（0，+∞）上的函数y＝f（x），有不等式2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，其中y＝f′（x）为函数y＝f（x）的导函数，则（）A．4＜＜16B．4＜＜8C．3＜＜4D．2＜＜4解：2f（x）＜xf'（x），即f'（x）⋅x﹣2f（x）＞0，∵y＝f（x）定义在（0，+∞）上，∴f'（x）⋅x2﹣2xf（x）＞0，令，则，则函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，由g（2）＞g（1）得，，即，同理令，，则函数h（x）在（0，+∞）上单调递减，由h（2）＜h（1），得，即，∴．故选：B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列命题正确的有（）A．若z1，z2互为共轭复数，则z1z2为实数B．若z为复数，|z|2＝z2C．若复数z满足，则|z|＝5D．已知复数z满足|z﹣1|＝|z+1|，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线解：若z1，z2互为共轭复数，设z1＝a+bi，z2＝a﹣bi（a，b∈R），则z1z2＝a2+b2，故是实数，即z1z2为实数，所以A正确；若z为复数，|z|2≥0，z2可能是复数，所以两者不一定相等，所以B不正确；复数z满足，则|z|＝＝＝＝5，所以C正确；复数z满足|z﹣1|＝|z+1|，则z在复平面内对应的点的轨迹为到（1，0）与（﹣1，0）距离相等的点的轨迹，是中垂线，是直线，所以D正确．故选：ACD．10．已知的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（）A．二项展开式中各项系数之和为36B．二项展开式中二项式系数最大的项为C．二项展开式中无常数项D．二项展开式中系数最大的项为90x3解：∵的二项展开式中二项式系数之和为2n＝64，∴n＝6．令x＝1，可得二项展开式中各项系数之和为36，故A正确；根据展开的通项公式为T r+1＝•26﹣r•，可得第四项（r＝3）的二项式系数最大，该项为160，故B正确；对于通项公式，令x的幂指数等于零，即令6﹣＝0，求得r＝4，可得展开式第四项为常数项，故C错误；由于第r+1项的系数为•26﹣r，检验可得，当r＝2时，该项的系数取得最大值，该项为240x3，故D错误．故选：AB．11．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），则下列命题正确的是（）A．若f（x）＝a有唯一解，则B．函数f（x）有3个零点C．f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），设x＞0时，﹣x＜0，f（﹣x）＝e﹣x（﹣x+1），∴f（x）＝﹣f（﹣x）＝e﹣x（x﹣1），x＝0时，f（0）＝0．因此函数f（x）有三个零点：0，±1．当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），f′（x）＝）＝e x（x+2），可得x＝﹣2时，函数f（x）取得极小值，f（﹣2）＝﹣可得其图象：f（x）＜0时的解集为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|f（0+）﹣f（0﹣）|＜2．因此BCD都正确．故选：BCD．12．对于函数，下列说法正确的是（）A．f（x）在x＝e处取得极大值B．f（x）有两个不同的零点C．f（2）＜f（π）＜f（3）D．若在（0，+∞）上恒成立，则解：函数f（x）＝＝，定义域为x∈（0，+∞），因为f'（x）＝，令f'（x）＝0，则有x＝e，f'（x）＞0⇒0＜x＜e；f'（x）＜0⇒x＞e；即得函数f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减；所以函数f（x）在x＝e处取得极大值为，f（e）＝，故A正确；又因为当x→0时，lnx→﹣∞；当x→+∞时，lnx→0；据此作出函数图像如下：故可得函数f（x）只有一个零点，故B错误；由上可得，因为π＞3，所以f（π）＜f（3），又因为f（2）＝＝，f（3）＝＝，即得f（2）＜f（3），又因为f（π）＝，f（2）＝，即得f（π）＞f（2）综上可得，f（2）＜f（π）＜f（3），故C正确；若f（x）＜k﹣在（0，+∞）上恒成立，即f（x）+＜k在（0，+∞）上恒成立，令g（x）＝f（x）+（x＞0），则有g'（x）＝f'（x）﹣＝，令g'（x）＝0⇒﹣2﹣2lnx＝0⇒x＝，g'（x）＞0⇒0＜x＜；g'（x）＜0⇒x＞，所以函数g（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，即得，故得k＞，即D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知随机变量ξ～N（3，σ2），且，则P（3＜ξ＜5）＝0.3．解：由正态分布的性质可知：μ＝3，曲线关于ξ＝3对称，故P（ξ＜1）＝P（ξ＞5），结合正态分布的性质可知：，即为，结合P（ξ＞5）+P（ξ＜5）＝1解得：P（ξ＞5）＝0.2．故P（3＜ξ＜5）＝P（ξ＜5）﹣P（ξ≤3）＝（1﹣0.2）﹣0.5＝0.3．故答案为：0.3．14．若，则m＝7．解：，可得m（m﹣1）（m﹣2）＝6×，解得m＝7．故答案为：7．15．已知函数f（x）＝2lnx，g（x）＝ax2﹣x﹣1（a＞0），若直线y＝2x﹣b函数y＝f（x），y＝g（x）的图象均相切，则a的值为．解：设直线y＝2x﹣b与函数y＝f（x）的图象相切的切点为（m，2lnm），由f′（x）＝，可得＝2，即m＝1，切点为（1，0），则b＝2，切线的方程为y＝2x﹣2，联立y＝g（x）＝ax2﹣x﹣1，可得ax2﹣3x+1＝0，由题意可得△＝9﹣4a＝0，解得a＝．故答案为：．16．定义：设函数y＝f（x）在（a，b）上的导函数为f′（x），若f′（x）在（a，b）上也存在导函数，则称函数y＝f（x）在（a，b）上存在二阶导函数，简记为f″（x）．若在区间（a，b）上f″（x）＜0恒成立，则称函数y＝f（x）在区间（a，b）上为“凸函数．已知f（x）＝ln（2+e x）﹣mx2在区间（﹣1，1）上为“凸函数”，则实数m的取值范围为[，+∞）．解：∵f（x）＝ln（2+e x）﹣mx2，∴f′（x）＝﹣2mx，∵f（x）＝ln（2+e x）﹣mx2在区间（﹣1，1）上为“凸函数”，∴f″（x）＝﹣2m＝﹣2m≤0恒成立，∴m≥＝（﹣1＜x＜1））恒成立，令t＝e x（＜t＜e），y＝e x++4可化为g（t）＝t++4，由基本不等式得，t++4≥2+4＝8（当且仅当t＝2时取“＝”），∴y＝e x++4的最小值为8，∴m≥，故答案为：[，+∞）．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在①；②复平面上表示的点在直线x+2y＝0上；③z1（a﹣i）＞0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答：已知复数z1＝1+i，z2＝a+3i（a∈R）（i为虚数单位），满足____．（1）若，求复数z以及|z|；（2）若z2是实系数一元二次方程x2+mx+4﹣3m＝0的根，求实数m的值．解：（1）选条件①，因为z1＝1+i，z2＝a+3i，所以z2＝a2+9＝10，解得a2＝1；又a＞0，所以a＝1；选条件②，复平面上表示的点在直线x+2y＝0上，因为z1＝1+i，z2＝a+3i，（a∈R），所以＝＝＝+i，在复平面上表示的点为（，），依题意可知+2×＝0，解得a＝1；选条件③，z1（a﹣i）＞0，因为z1＝1+i，所以z1（a﹣i）＝（1+i）（a﹣i）＝（a+1）+（a﹣1）i＞0，所以，解得a＝1，所以+＝+＝+＝﹣i，|z|＝＝1；（2）z2是实系数一元二次方程x2+mx+4﹣3m＝0的根，则也是该方程的根，所以实数m＝﹣（z2+）＝﹣（1+3i+1﹣3i）＝﹣2．18．现有编号为A，B，C的3个不同的红球和编号为D，E的2个不同的白球．（1）若将这些小球排成一排，且要求D，E两个球相邻，则有多少种不同的排法？（2）若将这些小球排成一排，要求A球排在中间，且D，E各不相邻，则有多少种不同的排法？（3）现将这些小球放入袋中，从中随机一次性摸出3个球，求摸出的三个球中至少有1个白球的不同的摸球方法数．（4）若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则有多少种不同的放法？（注：请列出解题过程，结果保留数字）解：（1）编号为A，B，C的3个不同的红球和编号为D，E的2个不同的白球，将这些小球排成一排，且要求D，E两个球相邻，则把D、E2个白球捆在一起看做一个，和其他的小球排列，方法有•＝48种．（2）将这些小球排成一排，要求A球排在中间，且D，E各不相邻，则先把A安在中间位置，从A的2侧各选一个位置插入D、E，其余小球任意排，方法有•••＝16种．（3）将这些小球放入袋中，从中随机一次性摸出3个球，求摸出的三个球中至少有1个白球的不同的摸球方法数为﹣＝9种．（4）将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则先把5个小球分成3组，再进入3个盒子中．若按311分配，方法有••＝20种，若按221分配，方法有••＝30种．综上可得，方法共有20+30＝50种．19．已知（1﹣x）n＝a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a n x n，且＝﹣1010．（1）求n和a0的值；（2）求a2+a4+a6+⋅⋅⋅+a n﹣1的值；（3）求a1+2a2+3a3+⋅⋅⋅+na n的值．解：（1）∵（1﹣x）n＝a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a n x n，且＝﹣1010＝，∴n＝2021，a0＝＝1．（2）令x＝1，可得a0+a1+a2+a3+⋅⋅⋅+a n＝0，再令x＝﹣1，可得a0﹣a1+a2﹣a3+⋅⋅⋅+（﹣1）n a n＝2n＝22021，两式相加除以2，可得a2+a4+a6+⋅⋅⋅+a n﹣1＝a2+a4+a6+⋅⋅⋅+a2020 ＝22020．（3）对于（1﹣x）n＝a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a n x n，两边对x求导数，可得﹣n（1﹣x）n﹣1＝a1+2a2x+⋅⋅⋅+na n x n﹣1，再令x＝1，可得a1+2a2+3a3+⋅⋅⋅+na n＝0．20．某学校准备举办数学文化知识竞赛，进入决赛的条件为：先参加初赛，初赛时，电脑随机产生5道数学文化试题，能够正确解答3道及以上的参赛者进入决赛．若学生甲参赛，他正确解答每道试题的概率均为．（1）求甲在初赛中恰好正确解答4道试题的概率；（2）进入决赛后，采用积分淘汰制，规则是：参赛者初始分为零分，电脑随机抽取4道不同的数学文化试题，每道试题解答正确加20分，错误减10分，由于难度增加，甲正确解答每道试题的概率变为，求甲在决赛中积分X的概率分布，并求数学期望．解：（1）记“甲在初赛中恰好正确解答4道试题的”为事件A，学生甲参赛，他正确解答每道试题的概率均为，则P（A）＝××＝．（2）甲的积分X的可能的取值为80分，50分，20分，﹣10分，﹣40分，则P（X＝80）＝×＝，P（X＝50）＝××＝，P（X＝20）＝××＝＝，P（X＝﹣10）＝××＝，P（X＝﹣40）＝××＝，所以X的概率分布列为：X805020﹣10﹣40P所以数学期望E（X）＝80×+50×+20×﹣10×﹣40×＝0．21．已知函数，其中m为正实数．（1）试讨论函数f（x）的单调性；（2）设，若存在x∈[1，2]，使得不等式g（x）＜0成立，求m的取值范围．解：（1）根据题意，f'（x）＝mx2﹣（m+1）x+1＝（mx﹣1）（x﹣1），∵m＞0，∴f'（x）＝0⇒（mx﹣1）（x﹣1）＝0⇒x＝，或x＝1，所以①当m＞1时，，则有f'（x）＞0⇒x＜，或x＞1；f'（x）＜0⇒＜x＜1，此时可得，f（x）在（），（1，+∞）上单调递增，在（）上单调递减．②当0＜m＜1时，，则有f'（x）＞0⇒x＞，或x＜1；f'（x）＜0⇒1＜x＜，此时可得，f（x）在（﹣∞，1），（，+∞）上单调递增，在（1，）上单调递减．③当m＝1时，恒有f'（x）≥0，此时函数f（x）在R上单调递增．综上可得，①当m＞1时，f（x）在（），（1，+∞）上单调递增，在（）上单调递减．②当0＜m＜1时，f（x）在（﹣∞，1），（，+∞）上单调递增，在（1，）上单调递减．③当m＝1时，函数f（x）在R上单调递增．（2）根据题意，由（1）可得，＝（x＞0），若存在x∈[1，2]，使得不等式g（x）＜0成立，则需使g（x）min＜0，∵g'（x）＝＝，由（1）可知，①当m＞1时，，则有g'（x）＞0⇒x＜，或x＞1；f'（x）＜0⇒＜x＜1，此时可得，g（x）在（﹣∞，），（1，+∞）上单调递增，在（）上单调递减，即得g（x）在[1，2]上单调递增，故有＜0⇒m＞1；②当0＜m＜1时，，则有g'（x）＞0⇒x＞，或x＜1；g'（x）＜0⇒1＜x＜，此时可得，g（x）在（﹣∞，1），（，+∞）上单调递增，在（1，）上单调递减．（i）当≥2时，即0＜m≤时，g（x）在[1，2]上单调递减，则有＞0，不合题意；（ii）当1＜＜2时，即＜m＜1时，g（x）在[1，）上单调递减，在（]，则有，此时令（1＜t＜2），则⇒＞0，即得此时h（t）在（1，2）上单调递增，所以h（t）＞h（1）＝0恒成立，即g（x）min ＞0恒成立，不合题意；综上可得，m＞1．22．已知函数，且函数f（x）与g（x）有相同的极值点．（1）求实数a的值；（2）若对，不等式恒成立，求实数k的取值范围；（3）求证：．解：（1）令，解得x＝1，易知函数f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，故函数f（x）的极大值点为x＝1，令，则由题意有，g′（1）＝1﹣a＝0，解得a＝1，经验证符合题意，故实数a的值为1；（2）由（1）知，函数f（x）在单调递增，在（1，3）单调递减，又，且，∴当时，f（x）max＝f（1）＝﹣1，f（x）min＝f（3）＝ln3﹣3，①当k+1＞0，即k＞﹣1时，对，不等式恒成立，即为k+1≥f（x1）﹣f（x2）恒成立，则k+1≥f（x）max﹣f（x）min＝﹣1﹣（ln3﹣3）＝2﹣ln3，∴k≥1﹣ln3，又1﹣ln3＞﹣1，∴此时k的取值范围为k≥1﹣ln3；②当k+1＜0，即k＜﹣1时，对，不等式恒成立，即为k+1≤f（x1）﹣f（x2）恒成立，则k+1≤f（x）min﹣f（x）max＝ln3﹣3+1＝ln3﹣2，∴k≤ln3﹣3，又ln3﹣3＜﹣1，∴此时k的取值范围为k≤ln3﹣3，综上，实数k的取值范围为（﹣∞，ln3﹣3]∪[1﹣ln3，+∞）；（3）证明：所证不等式即为xlnx﹣e x＜cos x﹣1，下证：xlnx﹣e x＜﹣x﹣1，即证xlnx﹣e x+x+1＜0，设h（x）＝xlnx﹣e x+x+1（x＞0），则h′（x）＝lnx+1﹣e x+1＝lnx﹣e x+2，，易知函数h''（x）在（0，+∞）上单调递减，且，故存在唯一的，使得h''（x0）＝0，即，lnx0＝﹣x0，且当x∈（0，x0）时，h''（x）＞0，h′（x）单调递增，当x∈（x0，+∞）时，h''（x）＜0，h′（x）单调递减，∴＝，∴h（x）在（0，+∞）单调递减，又x→0时，h（x）→0，故h（x）＜0，即xlnx﹣e x＜﹣x﹣1；再证：﹣x﹣1＜cos x﹣1（x＞0），即证cos x+x＞0在（0，+∞）上恒成立，设m（x）＝cos x+x，m′（x）＝﹣sin x+1≥0，∴m（x）在（0，+∞）单调递增，则m（x）＞m（0）＝1，故﹣x﹣1＜cos x﹣1，综上，xlnx﹣e x＜cos x﹣1，即得证．。
2020-2021学年江苏省苏州市常熟市高二(下)期中数学试卷(解析版)
2020-2021学年江苏省苏州市常熟市高二（下）期中数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．命题甲：对任意x∈（a，b），有f′（x）＞0；命题乙：f（x）在（a，b）内是单调递增的，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．将4封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数为（）A．B．C．34D．433．函数在区间上的最大值是（）A．B．C．D．4．若（1+x）3（1﹣2x）4＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7，则a0+a2+a4+a6＝（）A．8B．6C．5D．45．如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有（）A．72种B．96种C．108种D．120种6．设a∈Z，且0≤a≤13，若512021+a能被13整除，则a＝（）A．0B．1C．11D．127．函数f（x）＝x2﹣x sin x的图象大致为（）A．B．C．D．8．已知定义在R上的连续奇函数f（x）的导函数为f′（x），已知f（1）≠0，且当x＞0时，有xlnx•f′（x）＜﹣f（x）成立，则使（x2﹣4）f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣2，0）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）二、多选题（每小题5分）.9．若直线是函数f（x）图象的一条切线，则函数f（x）可以是（）A．B．f（x）＝x4C．f（x）＝sin x D．f（x）＝e x 10．下列等式正确的是（）A．C＝CB．A﹣A＝n2AC．A＝nAD．nC＝C+kC11．已知（+3x2）n展开式中，各项系数的和比它的二项式系数的和大992，则下列结论正确的为（）A．展开式中偶数项的二项式系数之和为25B．展开式中二项式系数最大的项只有第三项C．展开式中系数最大的项只有第五项D．展开式中有理项为第三项、第六项12．已知函数f（x）＝x cos x﹣sin x，下列结论中正确的是（）A．函数f（x）在时，取得极小值﹣1B．对于∀x∈[0，π]，f（x）≤0恒成立C．若0＜x1＜x2＜π，则D．若，对于恒成立，则a的最大值为，b的最小值为1三、填空题（每小题5分）.13．（﹣3）7的展开式中x3的系数为．14．已知a为实数，若函数f（x）＝x3﹣3ax2+2a2的极小值为0，则a的值为．15．已知函数f（x）＝ax2﹣2x+lnx有两个不同的极值点x1，x2，则实数a的取值范围为．16．有8个座位连成一排，甲、乙、丙、丁4人就坐，要求有且仅有两个空位相邻且甲、乙两人都在丙的同侧，则共有种不同的坐法．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）＝lnx﹣x2+3．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在区间[，e]上的最大值和最小值．18．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．（1）在组成的五位数中，所有奇数的个数有多少？（2）在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有多少？（3）在组成的五位数中，若从小到大排列，30124排第几个？19．将4个编号为1，2，3，4的不同小球全部放入4个编号为1，2，3，4的4个不同盒子中．求：（Ⅰ）每个盒至少一个球，有多少种不同的放法？（Ⅱ）恰好有一个空盒，有多少种不同的放法？（Ⅲ）每盒放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？（Ⅳ）把已知中4个不同的小球换成四个完全相同的小球（无编号），其余条件不变，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？20．已知在（﹣）n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56：3．（1）求展开式中的所有有理项；（2）求展开式中系数绝对值最大的项．（3）求n+++…+9n﹣1的值．21．已知函数f（x）＝lnx++a．（1）当a＝﹣时，求函数f（x）在（2，f（2））处的切线方程；（2）当a∈（0，ln2），证明：函数g（x）＝e x f（x）存在唯一极值点x0，且g（x0）＞0．22．已知函数f（x）＝xlnx﹣ae x+a，其中a∈R．（1）若f（x）在定义域内是单调函数，求a的取值范围；（2）当a＝1时，求证：对任意x∈（0，+∞），恒有f（x）＜cos x成立．参考答案一、单项选择题（每小题5分）.1．命题甲：对任意x∈（a，b），有f′（x）＞0；命题乙：f（x）在（a，b）内是单调递增的，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：对任意x∈（a，b），有f′（x）＞0，则f（x）在（a，b）内是单调递增的，则甲是乙的充分条件，f（x）在（a，b）内是单调递增的，则对任意x∈（a，b），有f′（x）≥0，则甲是乙的不必要条件，故甲是乙的充分不必要条件，故选：A．2．将4封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数为（）A．B．C．34D．43解：每封信都有3种不同的投法由分步计数原理可得，4封信共有3×3×3×3＝34．故选：C．3．函数在区间上的最大值是（）A．B．C．D．解：函数f（x）＝，x∈，f′（x）＝1﹣2sin x，令f′（x）＝0，解得x＝．∴函数f（x）在内单调递增，在内单调递减．∴x＝时函数f（x）取得极大值即最大值．＝﹣＝．故选：B．4．若（1+x）3（1﹣2x）4＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7，则a0+a2+a4+a6＝（）A．8B．6C．5D．4解：∵（1+x）3（1﹣2x）4＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7，令x＝1，可得a0+a1+a2+…+a7＝8 ①，再令x＝﹣1，可得a0﹣a1+a2+…﹣a7＝0 ②，则①+②，并除以2，可得a0+a2+a4+a6＝4，故选：D．5．如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有（）A．72种B．96种C．108种D．120种解：由题意知本题是一个分步计数问题，第一步：涂区域1，有4种方法；第二步：涂区域2，有3种方法；第三步：涂区域4，有2种方法（此前三步已经用去三种颜色）；第四步：涂区域3，分两类：第一类，3与1同色，则区域5涂第四种颜色；第二类，区域3与1不同色，则涂第四种颜色，此时区域5就可以涂区域1或区域2或区域3中的任意一种颜色，有3种方法．所以，不同的涂色种数有4×3×2×（1×1+1×3）＝96种．故选：B．6．设a∈Z，且0≤a≤13，若512021+a能被13整除，则a＝（）A．0B．1C．11D．12解：∵a∈Z，且0≤a≤13，若512021+a＝（52﹣1）2021+a＝×522021﹣×522020+522016+…+×52﹣+a能被13整除，∴﹣+a＝﹣1+a能被13整除，则a＝1，故选：B．7．函数f（x）＝x2﹣x sin x的图象大致为（）A．B．C．D．解：∵f（﹣x）＝（﹣x）2﹣（﹣x）sin（﹣x）＝x2﹣x sin x＝f（x），且定义域为R，∴f（x）为偶函数，故排除选项D；f（x）＝x（x﹣sin x），设g（x）＝x﹣sin x，则g′（x）＝1﹣cos x≥0恒成立，∴g（x）单调递增，∴当x＞0时，g（x）＞g（0）＝0，∴当x＞0时，f（x）＝xg（x）＞0，且f（x）单调递增，故排除选项A、B；故选：C．8．已知定义在R上的连续奇函数f（x）的导函数为f′（x），已知f（1）≠0，且当x＞0时，有xlnx•f′（x）＜﹣f（x）成立，则使（x2﹣4）f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣2，0）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）解：令g（x）＝f（x）•lnx（x＞0），所以g′（x）＝f′（x）lnx+，当x＞0时，有xlnx•f′（x）+f（x）＜0，得f′（x）lnx+＜0，则g′（x）＜0，故g（x）在（0，+∞）上单调递减，且g（1）＝0m当x＞1时，f（x）lnx＜0，得f（x）＜0，当0＜x＜1时，f（x）lnx＞0，得f（x）＜0，因为f（x）为连续函数，且f（1）≠0，所以f（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，又f（x）为定义在R上的奇函数，所以当x＜0时，f（x）＞0，不等式（x2﹣4）f（x）＞0，即或，解得x＜﹣2或0＜x＜2，则x的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（0，2），故选：B．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．若直线是函数f（x）图象的一条切线，则函数f（x）可以是（）A．B．f（x）＝x4C．f（x）＝sin x D．f（x）＝e x解：直线的斜率为k＝，由f（x）＝的导数为f′（x）＝﹣，即有切线的斜率小于0，故A不能选；由f（x）＝x4的导数为f′（x）＝4x3，而4x3＝，解得x＝，故B可以选；由f（x）＝sin x的导数为f′（x）＝cos x，而cos x＝有解，故C可以选；由f（x）＝e x的导数为f′（x）＝e x，而e x＝，解得x＝﹣ln2，故D可以选．故选：BCD．10．下列等式正确的是（）A．C＝CB．A﹣A＝n2AC．A＝nAD．nC＝C+kC解：∵＝，而＝•＝，故A错误；∵﹣＝（n+1）n（n﹣1）•••（n﹣m+1）﹣n（n﹣1）•••（n﹣m+1）＝n（n﹣1）•••（n﹣m+1）[n+1﹣1]＝n2（n﹣1）（n﹣2）•••（n﹣m+1），n2＝n2（n﹣1）（n﹣2）•••（n﹣m+1），故B正确；∵＝n（n﹣1）•••（n﹣m+1），n＝n•（n﹣1）（n﹣2）•••（n﹣m+1），故C正确；n＝n，+k＝+k＝+＝，故D错误，故选：BC．11．已知（+3x2）n展开式中，各项系数的和比它的二项式系数的和大992，则下列结论正确的为（）A．展开式中偶数项的二项式系数之和为25B．展开式中二项式系数最大的项只有第三项C．展开式中系数最大的项只有第五项D．展开式中有理项为第三项、第六项解：∵（+3x2）n展开式中，各项系数的和比它的二项式系数的和大992，∴4n﹣2n＝992，求得2n＝32，∴n＝5，故展开式中偶数项的二项式系数之和为＝24，故A错误．二项展开式的通项公式为T r+1＝•3r•，展开式中，故当r＝2或3时，即第三项、第四项的二项式系数最大，故B错误．故当r＝4时，展开式中第r+1项的系数•3r最大，即第五项得系数最大．由于（+3x2）n展开式的通项公式为T r+1＝•3r•，故C正确．故当r＝2 或5时，展开式中为理项，即第三项、第六项为有理项，故D正确．故选：CD．12．已知函数f（x）＝x cos x﹣sin x，下列结论中正确的是（）A．函数f（x）在时，取得极小值﹣1B．对于∀x∈[0，π]，f（x）≤0恒成立C．若0＜x1＜x2＜π，则D．若，对于恒成立，则a的最大值为，b的最小值为1解：因为f′（x）＝cos x﹣x sin x﹣cos x＝﹣x sin x，当x∈[0，π]时，f′（x）≤0，f（x）单调递减，所以函数f（x）在x＝处，不是极值点，故A错误．所以对于∀x∈[0，π]，f（x）≤f（0）＝0，故B正确，令g（x）＝，g′（x）＝，由上可知，当x∈（0，π）时，g′（x）≤0，所以g（x）在（0，π）上是减函数，若0＜x1＜x2＜π所以，即，故C正确，当x＞0时，“”等价于“sin x﹣ax＞0”，令g（x）＝sin x﹣cx，g′（x）＝cos x﹣c，当c≤0时，g（x）＞0对x∈（0，）恒成立，当c≥1时，因为对∀∈（0，），g′（x）＝cos x﹣c＜0，所以g（x）在区间（0，）上单调递减，从而，g（x）＜g（0）＝0，对∀x∈（0，）恒成立，当0＜c＜1时，存在唯一的x0∈（0，）使得g（x0）＝cos x0﹣c＝0成立，若x∈（0，x0），g′（x0）＞0，g（x）在（0，x0）上单调递增，且g（x）＞g（0）＝0，若x∈（x0，），g′（x0）＜0，g（x）在（x0，）上单调递减，且g（x）＝sin x﹣cx＞0，在（x0，）上恒成立，必须使g（）＝sin﹣c＝1﹣≥0恒成立，即0＜c≤，综上所述，当c≤时，g（x）＞0，对任意x∈（0，）恒成立，当c≥1时，g（x）＜0，对任意x∈（0，）恒成立，所以若a＜＜b，对x∈（0，）恒成立，则a的最大值为，b的最小值为1，所以D正确．故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．13．（﹣3）7的展开式中x3的系数为﹣21．解：（﹣3）7的展开式的通项．由，得r＝1．∴（﹣3）7的展开式中x3的系数为．故答案为：﹣21．14．已知a为实数，若函数f（x）＝x3﹣3ax2+2a2的极小值为0，则a的值为．解：由已知f′（x）＝3x2﹣6ax＝3x（x﹣2a），又a＞0，所以由f′（x）＞0得x＜0或x＞2a，由f′（x）＜0得0＜x＜2a，所以f（x）在x＝2a处取得极小值0，即f（x）极小值＝f（2a）＝（2a）3﹣3a（2a）2+2a2＝﹣4a3+2a2＝0，又a＞0，解得a＝，故答案为：．15．已知函数f（x）＝ax2﹣2x+lnx有两个不同的极值点x1，x2，则实数a的取值范围为（0，）．解：f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝2ax﹣2+＝，∵f（x）有两个不同的极值点x1，x2，∴f′（x）＝0有两个不相等的正实数根，即2ax2﹣2x+1＝0两个不相等的正实数根x1，x2，∴，解得：0＜a＜，故答案为：（0，）．16．有8个座位连成一排，甲、乙、丙、丁4人就坐，要求有且仅有两个空位相邻且甲、乙两人都在丙的同侧，则共有480种不同的坐法．解：根据题意，分3步进行分析：①将甲乙两人安排在丙的同侧，有2A22＝4种安排方法，②将丁安排在三人的空位中，有4种安排方法，③将两个空位看成一个整体，和剩下的2个空位安排到4人形成的5个空位中，有5C42＝30种安排方法，则有4×4×30＝480种安排方法，故答案为：480．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）＝lnx﹣x2+3．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在区间[，e]上的最大值和最小值．解：（1）∵f（x）＝lnx﹣x2+3，定义域为（0，+∞），∴f'（x）＝﹣x＝，令f'（x）＞0，则0＜x＜1，∴函数f（x）的单调递增区间为（0，1）；令f'（x）＜0，则x＞1，∴函数f（x）的单调递减区间为（1，+∞）．（2）f（x），f'（x）在区间[，e]上随x的变化情况如下表：x（，1）1（1，e）ef'（x）+0﹣f（x）2﹣↑极大值↓4﹣e2∴f（x）max＝，f（x）min＝4﹣e2．18．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．（1）在组成的五位数中，所有奇数的个数有多少？（2）在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有多少？（3）在组成的五位数中，若从小到大排列，30124排第几个？解：（1）依题意，所有奇数的个数为＝36个；（2）数字1和3相邻的个数有＝36个；（3）比30124小的数的个数为：＝48个，所以在组成的五位数中，若从小到大排列，30124排第49个．19．将4个编号为1，2，3，4的不同小球全部放入4个编号为1，2，3，4的4个不同盒子中．求：（Ⅰ）每个盒至少一个球，有多少种不同的放法？（Ⅱ）恰好有一个空盒，有多少种不同的放法？（Ⅲ）每盒放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？（Ⅳ）把已知中4个不同的小球换成四个完全相同的小球（无编号），其余条件不变，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？解：（Ⅰ）每个盒至少一个球即每个盒子均有一球，也就是4个元素的排列，故有A44＝24种不同的放法；（Ⅱ）恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个小球，从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，故共有C42A43＝144种不同的放法；（Ⅲ）先选出1个小球，放到对应序号的盒子里，有C41＝4种情况，其它小球的放法只有2种，例如：4号球放在4号盒子里，其余3个球的放法为，（2，3，1），（3，1，2），共2种，故每盒放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有2C41＝8种；（Ⅳ）分2步进行分析，从4个盒子中选出一个盒子当作空盒，C41＝4种选法，再将其余3个盒子装球，由题意，3个盒子分别装2，1，1个球，只要选一个盒子装2个球，另外的2个盒子一定是每个装一个球，有C31＝3种选法，所以，总方法数为3×4＝12种．20．已知在（﹣）n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56：3．（1）求展开式中的所有有理项；（2）求展开式中系数绝对值最大的项．（3）求n+++…+9n﹣1的值．解：（1）由第5项的系数与第3项的系数之比是：＝56：3，解得n＝10．因为通项：T r+1＝•（﹣2）r•，当5﹣为整数，r可取0，6，于是有理项为T1＝x5和T7＝13440．（2）设第r+1项系数绝对值最大，则．解得，于是r只能为7．所以系数绝对值最大的项为T8＝﹣15360．（3）n+++…+9n﹣1＝10+9+92•+…+910﹣1•＝＝＝．21．已知函数f（x）＝lnx++a．（1）当a＝﹣时，求函数f（x）在（2，f（2））处的切线方程；（2）当a∈（0，ln2），证明：函数g（x）＝e x f（x）存在唯一极值点x0，且g（x0）＞0．解：（1）当a＝﹣时，f（x）＝lnx+﹣．f′（x）＝﹣＝，∴f′（2）＝，f（2）＝ln2，∴函数f（x）在（2，f（2））处的切线方程为：y﹣ln2＝（x﹣2），整理为：x﹣4y+4ln2﹣2＝0．（2）证明：函数g（x）＝e x f（x）＝e x（lnx++a），x∈（0，+∞）．g′（x）＝e x（lnx+﹣+a），设h（x）＝lnx+﹣+a，∵∀x∈R，e x＞0，因此g′（x）与h（x）的符号相同．h′（x）＝﹣+＝，显然，当x＞0时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．又h（1）＝0+2﹣1+a＝1+a＞0，h（）＝ln+4﹣4+a＝a﹣ln2＜0．（a∈（0，ln2）），∴存在唯一x0∈（，1），使得h（x0）＝0．对于g（x），则有x∈（0，x0）时，g′（x）＜0；x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0．∴函数g（x）＝e x f（x）存在唯一极值点x0，x0∈（，1）．由h（x0）＝0，可得：lnx0+﹣+a＝0，解得a＝﹣lnx0﹣+，∴g（x0）＝（lnx0++﹣lnx0﹣）＝（﹣）＝，∵x0∈（，1），∴g（x0）＞0．22．已知函数f（x）＝xlnx﹣ae x+a，其中a∈R．（1）若f（x）在定义域内是单调函数，求a的取值范围；（2）当a＝1时，求证：对任意x∈（0，+∞），恒有f（x）＜cos x成立．解：（1）因为f（x）＝xlnx﹣ae x+a，所以f'（x）＝lnx+1﹣ae x，因为f（x）在定义域内是单调递减函数，则f'（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，若f'（x）≤0，则a≥，令G（x）＝（x＞0），得G′（x）＝，易知G'（1）＝0，且函数y＝−lnx−1在（0，+∞）上单调递减，当x＞0时，e x＞1，所以在区间（0，1）上，G'（x）＞0；在（1，+∞）上G'（x）＜0，所以G（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，此时G（x）的最大值为G（1）＝，所以当a≥时，f（x）在定义域上单调递减；即a的取值范围是[，+∞）．（2）证明：当a＝1时，f（x）＝xlnx﹣e x+1，要证f（x）＜cos x，即证xlnx＜e x+cos x﹣1，当0＜x≤1时，xlnx≤0，而e x+cos x﹣1＞1+cos1﹣1＝cos1＞0，故xlnx＜e x+cos x﹣1成立，即f（x）＜cos x成立，当x＞1时，令h（x）＝e x+cos x﹣xlnx﹣1（x＞1），则h′（x）＝e x﹣sin x﹣lnx﹣1，设g（x）＝e x﹣sin x﹣lnx﹣1（x＞1），则g′（x）＝e x﹣cos x﹣，∵x＞1，∴g′（x）＝e x﹣cos x﹣＞e﹣1﹣1＞0，故x＞1时，g（x）单调递增，故g（x）＞e﹣sin x﹣1＞0，即h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）单调递增，故h（x）＞e+cos1﹣1＞0，即f（x）＜cos x成立，综上：对任意x∈（0，+∞），恒有f（x）＜cos x成立．。
2021-2022学年江苏省苏州中学高二下学期线上教学阶段调研(期中)数学试题(解析版)
2021-2022学年江苏省苏州中学高二下学期线上教学阶段调研（期中）数学试题一、单选题1．若2C 36n =，则n 的值为（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10【答案】C【分析】直接解组合数方程，即可求解.【详解】因为2C 36n =，所以()13621n n ⨯-=⨯，解得：n =9.故选：C2．下列求导数的运算中错误的是（ ） A ．(3x )′＝3x ln3 B ．(x 2ln x )′＝2x ln x ＋xC ．cos x x ⎛⎫⎪⎝⎭′＝2sin cos x x x x - D ．(sin x ·cos x )′＝cos2x 【答案】C【解析】根据导数的运算法则进行计算后判断各选项． 【详解】由指数函数求导法则得A 正确； 22221(ln )()ln (ln )2ln 2ln x x x x x x x x x x x x x'''=+=+⨯=+，B 正确； 22cos (cos )cos sin cos x x x x x x x x x x x '''-⋅--⎛⎫== ⎪⎝⎭，C 错误；11(sin cos )sin 2cos 22cos 222x x x x x '⎛⎫'⋅==⨯= ⎪⎝⎭，D 正确．故选：C ．【点睛】本题考查导数的运算法则，掌握导数运算法则是解题关键．3．现收集了7组观测数据.用4种模型分别进行拟合.由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到如图4幅残差图，根据残差图，拟合效果最好的模型是（ ）A．模型一B．模型二C．模型三D．模型四【答案】D【分析】根据残差的带状宽度对拟合效果的影响，即可作出判断.【详解】当残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，拟合的精确度越好，拟合效果越好，对比四个残差图，可知模型四的图对应的带状区域的宽度最窄.故选:D4．设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动方案有a种，这4名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b种，则（a，b）为（）A．（34，34）B．（43，34）C．（34，43）D．（A43，A43）【答案】C【分析】本题是一个分步乘法问题，每名学生报名有3种选择，有4名学生根据分步计数原理知共有34种选择，同理三项冠军的结果数也有类似的做法．【详解】由题意知本题是一个分步乘法问题，首先每名学生报名有3种选择，有4名学生根据分步计数原理知共有34种选择，每项冠军有4种可能结果，3项冠军根据分步计数原理知共有43种可能结果.故选：C．5．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】从导函数的图象可知两个函数在0x 处斜率相同，可以排除B 答案，再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出y =f (x )的导函数的值在减小，所以原函数应该斜率慢慢变小，排除AC ，最后就只有答案D 了，可以验证y =g (x )． 6．某班有48名学生，一次数学考试的成绩近似地服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数约为（ ）附：若随机变量()()2~,0X N μσσ>，则()0.6827P X μσμσ-<<+≈，()220.9544P X μσμσ-<<+≈，()330.9973P X μσμσ-<<+≈.A ．32B ．16C ．8D ．24【答案】B【分析】计算出()8090P X ≤<，乘以48即可得解.【详解】因为数学成绩X 服从正态分布()280,10N ，所以，90μσ=+，所以，()()()80900.341352P X P X P X μσμσμμσ-<<+≤<=≤<+=≈，因此，理论上说在80分到90分的人数约为480.3413516⨯≈. 故选：B.7．一袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，从中先后随意各取一球(不放回)，则第二次取到的是黑球的概率为（ ） A ．29B ．310 C ．13D ．710【答案】B【分析】设事件1A ：表示第1次取到黑球，事件2A ：表示第1次取到白球，事件B ：表示第2次取到黑球，结合12()(|)(|)P B P B A P B A =+，即可求解.【详解】设事件1A ：表示第1次取到黑球，事件2A ：表示第1次取到白球， 事件B ：表示第2次取到黑球，可得1237(),()1010P A P A ==， 则1232733()(|)(|)10910910P B P B A P B A =+=⨯+⨯=. 故选：B.8．已知集合{}1,2,3,4,5P =，若A ，B 是P 的两个非空子集，则所有满足A 中的最大数小于B 中的最小数的集合对(A ,B )的个数为（ ） A ．49 B ．48 C ．47 D ．46【答案】A【分析】利用分类计数法，当A 中的最大数分别为1、2、3、4时确定A 的集合数量，并得到对应B 的集合个数，它们在各情况下个数之积，最后加总即为总数量. 【详解】集合{}1,2,3,4,5P =知：1、若A 中的最大数为1时，B 中只要不含1即可：A 的集合为{1}， 而B 有 42115-=种集合，集合对(A ,B )的个数为15；2、若A 中的最大数为2时，B 中只要不含1、2即可：A 的集合为{2},{1,2}，而B 有3217-=种，集合对(A ,B )的个数为2714⨯=；3、若A 中的最大数为3时，B 中只要不含1、2、3即可：A 的集合为{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}，而B 有2213-=种，集合对(A ,B )的个数为4312⨯=；4、若A 中的最大数为4时，B 中只要不含1、2、3、4即可：A 的集合为{4},{1,4},{2,4},{3,4},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4}，而B 有1211-=种，集合对(A ,B )的个数为818⨯=； ∴一共有151412849+++=个，故选：A【点睛】本题考查了分类计数原理，按集合最大数分类求出各类下集合对的数量，应用加法原理加总，属于难题. 二、多选题9．下列诗句所描述的两个对象之间是相关关系的为（ ）A ．苏轼诗句 “粗缯大布裹生涯，腹有诗书气自华”，谈吐文雅程度与阅读量之间的关系B ．王勃诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”，落霞面积与鹜鸟飞行速度之间的关系C ．李隆基诗句“为知勤恤意，先此示年丰”，瑞雪的量与粮食产量之间的关系D ．李白诗句“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”，理想状态下自由落体的速度与下落距离之间的关系 【答案】AC【分析】直接利用相关关系的定义判断即可.【详解】通过对诗句的理解可判断选项A 和C 为相关关系，选项B 不是相关关系，选项D 中理想状态下自由下落的距离为212s gt =，与速度无关，选项D 不是相关关系， 故选：AC .10．在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中黑球的个数为X ，则下列结论正确的是（ ） A ．随机变量X 可能的取值为0，1，2，3，4，5，6 B ．随机变量X 服从超几何分布 C ．()(04)P X P X ＝＝＝ D ．()1625D X =【答案】BD【分析】根据题意知随机变量X 服从超几何分，利用超几何分布的性质，再结合离散型随机变量的方差公式即可求解.【详解】根据超几何分布的定义知，随机变量X 服从超几何分布，故B 正确； 由题意可知，随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4，故A 不正确；44104C 1(0)C 210P X ===；6341041C C 4(1)C 35P X ===；2264410C C 3(2)C 7P X ===6141043C C 8(3)C 21P X ===， 44106C 1(4)C 14P X ===.所以()(04)P X P X =≠=，故C 不正确； ()143818401234210357211435E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.()2222284184484384884116012343521035353573521351425D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：BD.11．若(1－2x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则下列结论中正确的是（ ） A ．a 0＝1B ．a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝2C ．a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝35D ．a 0－|a 1|＋a 2－|a 3|＋a 4－|a 5|＝－1【答案】ACD【分析】用赋值法求系数的代数和． 【详解】由题意令0x =得01a =，A 正确； 令1x =得0151a a a +++=-，所以1252a a a +++=-，B 错；令1x =-得50123453a a a a a a -+-+-=，C 正确；由题意024,,a a a 均为正，135,,a a a 均为负，因此a 0－|a 1|＋a 2－|a 3|＋a 4－|a 5|0123451a a a a a a =+++++=-，D 正确． 故选：ACD ．12．已知函数f (x )＝x ln(1＋x )，则（ ） A ．f (x )在(0，＋∞)单调递增 B ．f (x )有两个零点C ．(0，0)是f (x )的极小值点D ．若方程f (x )＝m 有两个不同的解x 1，x 2，则x 1＋x 2＞0 【答案】AD【分析】求出导函数()'f x ，由()'f x 的正负确定函数的单调性，极值点，零点，判断ABC ，在讨论过程中得出0m >时，()f x m =有两个不同的实数解12,x x ，不妨设 1210x x -<<<，然后构造函数()()(),(10)F x f x f x x =---<<，利用导数确定单调性得出1()0F x >，结合()f x 单调性可得结论从而判断D ． 【详解】()f x 的定义域是(1,)-+∞， )ln(1)1(xx f xx =+'++1ln(1)11x x =++-+，0x >时，11x +>，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞是单调递增，A 正确； 设1()ln(1)11g x x x=++-+，则211()1(1)g x x x '=+++，1x >-时，()0g x '>恒成立，()g x 即()'f x 是增函数，又(0)0f '=，所以10x -<<时，()0f x '<，0x >时，()0f x '>，()f x 在(1,0)-上递减，在(0,)+∞上递增，所以0x =是函数的极小值点．极小值点是一个数，不是点，C 错；由于(0)0f =是极小值，因此()f x 只有一个零点0x =，B 错；由以上讨论知0m >时，()ln(1)f x x x m =+=有两个不同的实数解12,x x ，不妨设12x x <， 则1210x x -<<<，设()()()F x f x f x =--（10x -<<）， 则11()()()ln(1)1ln(1)111F x f x f x x x x x'''=+-=++-+-+-+-222ln(1)21x x =-+--，10x -<<，则201x <<，2011x <-<，所以()0F x '<，()F x 是减函数，所以1()(0)0F x F >=，即11()()0f x f x -->，所以211()()()f x f x f x =>-，又10x ->，20x >，()f x 在(0,)+∞上是增函数， 所以21x x >-，即120x x +>，D 正确． 故选：AD ．【点睛】关键点点睛：导数研究函数的单调性、极值、零点等问题，在证明方程的解有关的不等式120x x +>时，关键是构造新函数，利用单调性得出11()()f x f x >-，目的是得出21()()f x f x >-，再由函数单调性得出12,x x 的关系．本题对学生的逻辑思维能力、转化与化归能力要求较高，属于难题． 三、填空题13．《西游记》第六十二回“涤垢洗心惟扫塔缚魔归正乃修身”，描写了一只小妖，他说：“我两个是乱石山碧波潭万圣龙王差来巡塔的.他叫做奔波儿灞，我叫做灞波儿奔.”如果这族小妖都是用这四个字不同顺序命名，那么还可以．．．命制_________个名字. 【答案】22【分析】根据题意，结合排列数的公式，求得共有24种不同命名分式，即可求解.【详解】由题意，这族小妖都是用这四个字不同顺序命名，共有4424A =种不同命名分式，所以还可以命制24222-=个名字. 故答案为：22.14．设随机试验的结果只有A 发生和A 不发生，令随机变量10A X A ⎧=⎨⎩，发生，不发生，若P (X＝1)＝2P (X ＝0)，则P (A )等于_______. 【答案】23【分析】根据概率的性质求出()1P X =，再根据()()1P A P X ==即可得解. 【详解】解：因为P (X ＝1)＝2P (X ＝0)， 则()()()10301P X P X P X =+====，所以()103P X ==，所以()()213P A P X ===. 故答案为：23.15．若方程x －m ＝e x 在区间[0，1]有且只有一解，则实数m 的取值范围是_______. 【答案】[1e,1]--【分析】方程变形为e x m x =-，引入函数()e x f x x =-，[0,1]x ∈，由导数得单调性，得最值，从而得参数范围． 【详解】已知方程化为e x m x =-，设()e x f x x =-，[0,1]x ∈，则()1e 0x f x '=-≤，()f x 在[0,1]上单调递减，(0)1f =-，(1)1e f =-，所以1e 1m -≤≤-． 故答案为：[1e,1]--．16．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止.某考生一次发球成功的概率为p (0＜p ＜1)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )＞1.75，则p 的取值范围为_______. 【答案】10<2p <【分析】求出随机变量X 的分布列，可得期望，进而可根据E (X )＞1.75解得. 【详解】有题意知()()()()()21,21,31,P X p P X p p P X p ====-==-所以()()()22131>1.75E X p p p p =+-+-，解得52p >或2p 1<，由()0,1p ∈，所以10,2p ⎛∈⎫⎪⎝⎭.故答案为：10<2p < 四、解答题17．一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单. (1)3个舞蹈节目两两互不相邻，有多少种排法? (2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法? 【答案】(1)14400 (2)37440【分析】（1）先在除去开始和结尾的位置选3个位置排舞蹈节目,再排5个演唱节目即可；（2）将8个节目全排,再减去前四个节目没有舞蹈节目的排法，即可得解.【详解】(1)先排5个演唱节目有55A 种方法种数，再把3个舞蹈节目用插空法排在演唱节目的首尾或之间，由36A 种方法种数，所以一共有5356A A 12012014400⋅=⨯=种.(2)前四个节目要有舞蹈节目，有853854A A A 403202412037440-⋅=-⨯=18．已知函数()sin f x x ax+b -＝ (a ，b ∈R)的图象在点()()00f ，处的切线方程为y ＝1. (1)实数a 的值；(2)求函数()f x 在区间[0]1，上的最大值和最小值. 【答案】(1)1；(2)最大值为b ，最小值为sin11b -+.【分析】（1）直接利用导数的几何意义求出a ； （2）先利用导数判断单调性，求出最值.【详解】(1)因为函数()sin f x x ax+b -＝，则()cos f x x a '-＝. 所以()0cos01f a a '-=-＝.又函数()f x 的图象在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1， 所以()010f a '=-=，解得：1a =.(2)由（1）知，()sin f x x x+b -＝，()cos 1f x x '-＝.在]1[0x ∈，时，有()cos 10f x x '-≤＝，所以函数f (x )在区间[0]1，上单减， 所以()()max 0f x f b ==，()()min sin111f b x f ==-+.19．已知1+22nx ⎛⎫⎪⎝⎭的展开式中前三项的二项式系数之和等于79.(1)求正整数n 的值；(2)求展开式中系数最大的项. 【答案】(1)12 (2)1016896x【分析】（1）根据题意得到012(1)C C C 1792n n n n n n -++=++=且n *∈N ，即可求得n 的值. （2）化简二项式为12121()(14)2x +，得到12(14)x +展开式的通项为112C 4r r r r T x +=⋅，设展开式的第1k +项的系数最大，列出不等式组，求得10k =，进而求得展开式中系数最大的项.【详解】(1)解：由题意，1+22nx ⎛⎫⎪⎝⎭的展开式中前三项的二项式系数之和等于79，可得012(1)C C C 1792n n n n n n -++=++=且n *∈N ，解得12n =. (2)解：由（1）知，二项式12121211+2()(14)22x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭则12(14)x +展开式的通项为11212C (4)C 4r r r r rr T x x +==⋅，设展开式的第1k +项的系数最大，则111212111212C 4C 4C 4C 4k k k k k k k k --++⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩， 解得9.410.4k ≤≤，所以10k =，所以展开式中系数最大的项为121010101011121()C 4168962T x x =⋅⋅=，所以其展开式中系数最大的项为1016896x .20．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，在下落的过程中，小球将遇到黑色障碍物3次，最后落入A 袋或B 袋中，已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是23，13.设小球向左的次数为随机变量X .(1)求随机变量X 的概率分布列；(2)分别求出小球落入A 袋和B 袋中的概率.【答案】(1)分布列见解析(2)小球落入A 袋和B 袋中的概率分别为13和23【分析】（1）易得23,3XB ⎛⎫⎪⎝⎭，根据二项分布可得出答案； （2）小球落入A 袋则小球一直向左或一直向右，从而可求出小球落入A 袋的概率，再利用对立事件的概率公式可求得小球落入B 袋的概率. 【详解】(1)解：由题意可知，23,3XB ⎛⎫⎪⎝⎭，其中将向左的概率看成成功概率， 则()()3321C 0,1,2,333kkk P X k k -⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，列表如下：P0 12 3 X1272949827(2)解：小球落入A 袋的概率()()()1813027273P A P X P X ==+==+=， 小球落入B 袋中的概率()12133P B =-=，所以小球落入A 袋和B 袋中的概率分别为13和23.21．2022年，受新冠疫情的影响，苏州学生基本上进行了居家线上学习，以保证安全与健康；然而随着居家时间越来越长，学生焦虑程度越强.经有关机构调查，得出居家周数与焦虑程度对应的正常值变化情况如下表： 周数x 1 2 3 4 5 6 正常值y 556372809099(1)作出散点图；(2)根据上表数据用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+；(精确到0.01) (3)根据经验观测值为正常值的0.85~1.06为正常，1.06~1.12为轻度焦虑，1.12~1.20为中度焦虑，1.20及其以上为重度焦虑.小明同学在第7周时观测值为110，试预测小明同学的焦虑程度，并给小明同学一些建议.参考数据与公式：其中1221ˆni ii nii x y nxybxnx ==-=-∑∑，611761i i i x y ==∑，2191ni i x ==∑，ˆˆa y bx =-. 【答案】(1)见解析 (2)ˆ8.8345.60yx =+ (3)小明的焦虑程度在正常范围内，小明在家应保持正常的生活和学习习惯 【分析】（1）根据已知的数据直接描点即可，（2）先求出,x y ，然后根据已知的数据和公式求解即可， （3）将7x =代入回归方程中，求出y 的值，然后计算110y的值，再进行判断 【详解】(1)散点图如图(2)因为1(123456) 3.56x =⨯+++++=，1(556372809099)76.56x =⨯+++++=，611761i ii x y==∑，2191ni i x ==∑，所以6162221617616 3.576.5ˆ8.83916 3.56i ii ii x y xybxx ==--⨯⨯==≈-⨯-∑∑，所以ˆˆ76.58.83 3.545.60ay bx =-=-⨯≈，所以y 关于x 的线性回归方程ˆ8.8345.60yx =+； (3)当7x =时，8.83745.60107.41y =⨯+=， 所以1101.02107.41≈ 因为0.85 1.02 1.06<<，所以小明的焦虑程度在正常范围内，小明在家应保持正常的生活和学习习惯22．已知x ＝2是三次函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )的极值点，且直线3x ＋y －5＝0与曲线y ＝f (x )相切与点(1，f （1）). (1)求实数a ，b ，c 的值；(2)若f (t )＝－1，f (s )＝5，求f (t ＋s )的值；(3)若对于任意实数x ，都有f (x 2－2x ＋4)＋f (x 2＋λx )＞4恒成立，求实数λ的取值范围. 【答案】(1)3,0,4a b c =-==； (2)0 (3)26λ-<<【分析】（1）求出导函数()'f x ，由(2)0f '=，(1)3f '=-，(1)2f =可求得,,a b c ； （2）由导函数确定()f x 的单调性，极值，得出(,1)s -和(,5)t 都是()y f x =图象上唯一的点，证明()f x 的图象关于点(1,2)对称，由对称可得2s t +=，从而得函数值； （3）由对称性，把不等式化为22(24)(2)f x x f x x λ-+>--，再利用2243x x -+≥，(3)4f =，结合单调性、极值，即可转化为22242x x x x λ-+>--恒成立，由二次不等式知识可得．参数范围．【详解】(1)2()32f x x ax b '=++，在350x y +-=中令1x =得2y =，即(1)2f =， 所以(2)1240(1)323(1)12f a b f a b f a b c =++=⎧⎪=++=-⎨⎪=+++='⎩'，解得304a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩；(2)由（1）32()34f x x x =-+，2()363(2)f x x x x x '=-=-，0x <或2x >时，()0f x '>，02x <<时，()0f x '<，()f x 在(,0)-∞和(2,)+∞上递增，在(0,2)上递减，极大值为(0)4f =，极小值为(2)0f =，()10f s =-<，()54f t =>，因此,s t 都是唯一的实数． (1)(1)f x f x ++-3232(1)3(1)4(1)3(1)4x x x x =+-+++---+2322321333(12)41333(12)4x x x x x x x x x x =+++-++++-+---++4=，所以()f x 的图象关于(1,2)对称，而()()4f s f t +=， 又(,1)s -和(,5)t 都是()y f x =图象上唯一的点， 所以2s t +=， ()(2)0f s t f +==；(3)2224(1)33x x x -+=-+≥，当且仅当1x =时，2243x x -+=，所以()()()224340f x x f f -+≥==，且3x ≤时，()4f x ≤，由f (x 2－2x ＋4)＋f (x 2＋λx )＞4恒成立，得22(24)4()f x x f x x λ-+>-+（）, 又()y f x =的图象关于点(1,2)对称，所以(2)4()f x f x -=-， 所以不等式（）为22(24)(2)f x x f x x λ-+>--，所以22242x x x x λ-+>--，所以22(2)20x x λ+-+>恒成立， 2(2)160λ∆=--<，所以26λ-<<．。
2023-2024学年江苏省泰州市兴化市高二下册期初考试数学模拟试题(含解析)
2023-2024学年江苏省泰州市兴化市高二下册期初考试数学模拟试题一、单选题1．已知两条平行直线12:210,:4220l x y l x y +-=++=,则1l 与2l 的距离为（）AB ．5C D ．【正确答案】B【分析】先将直线进行化简,再利用平行线间的距离公式即可得出结果.【详解】解:由题知2422:0l x y ++=,即2:210l x y ++=,由1:210l x y +-=,根据平行线间的距离公式可得:d ==故选:B2．已知{}n a 为等差数列，1233a a a ++=-，55a =，则10a =（）A ．5B ．10C ．13D ．15【正确答案】D【分析】根据等差数列的性质即可求解.【详解】由等差中项得12322331a a a a a -=+=⇒=-+，所以5253a a d ==+，故2d =，所以105551015a a d =+=+=，故选：D3．抛物线24y x =的焦点坐标是（）A ．()0,1B ．()1,0C ．10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,016⎛⎫ ⎪⎝⎭【正确答案】C【分析】将抛物线方程化为标准方程，由此可得抛物线的焦点坐标．【详解】将抛物线24y x =的化为标准方程为214x y =，18p =，开口向上，焦点在y 轴的正半轴上，所以焦点坐标为10,16⎛⎫⎪⎝⎭．故选：C ．4．已知定义在(]0,3上的函数()f x 的图象如图，则不等式()0f x '<的解集为（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()()0,12,3【正确答案】B【分析】根据函数图象得到单调性，从而确定不等式()0f x '<的解集.【详解】由图象可知：()f x 在()0,1，()2,3上单调递增，在()1,2上单调递减，故等式()0f x '<的解集为()1,2.故选：B5．双曲线E 与椭圆22162x y C +=：焦点相同且离心率是椭圆CE 的标准方程为（）A ．2213y x -=B ．2221yx -=C ．22122x y -=D ．2213x y -=【正确答案】C【分析】根据椭圆的方程求出焦点坐标与离心率，设双曲线E 的标准方程为()222210,0x ya b a b -=>>，可得222224a b c a c a b ⎧+=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩.【详解】椭圆22162x y C +=：的焦点坐标为()2,0±,3=.设双曲线E 的标准方程为()222210,0x y a b a b -=>>，由题意可得2222243a b ca c ab ⎧+=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩a b ==所以双曲线E 的标准方程为22122x y -=.故选:C.6．设函数()22ln f x x a x x=--在()1,2上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．[]4,5B ．()5,+∞C ．[)4,+∞D ．[)5,+∞【正确答案】D【分析】由函数单调递增，可得()2220af x x x'=+-≤在()1,2上恒成立，孤立参数22a x x ≥+，再设()22h x x x=+，确定()h x 的单调性求最值，即可得实数a 的取值范围.【详解】解：函数()22ln f x x a x x=--在()1,2上单调递减，则()2220af x x x '=+-≤在()1,2上恒成立，所以22a x x ≥+，在()1,2上恒成立，设函数()22h x x x=+，则()()()22222112222x x x h x x x x +--='=-=，所以()0h x '>在()1,2x ∈上恒成立，所以()h x 在()1,2上单调递增，所以()()25h x h <=，所以5a ≥，则实数a 的取值范围是[)5,+∞.故选：D.7．在等比数列{}n a 中，37,a a 是函数321()4413f x x x x =-+-的极值点，则a 5＝（）A ．2-或2B ．2-C ．2D．【正确答案】C【分析】根据题意可知：37,a a 是方程()0f x '=的两根，利用韦达定理和等比数列的性质即【详解】因为321()4413f x x x x =-+-，所以2()84f x x x '=-+.又因为37,a a 是函数321()4413f x x x x =-+-的极值点，即37,a a 是方程2()840f x x x '=-+=的两根，则有374a a =，由{}n a 为等比数列可知：25374a a a ==，因为3780a a +=>，且374a a =，所以370,0a a >>，则有50a >，所以52a =，故选.C8．已知数列{}n a 满足()()111N n n n a na n *+-+=∈，且前n 项和为n S ，若N n *∀∈，6n S S ≥，则6S 的取值范围为（）A ．73,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．90,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．92,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]0,3【正确答案】A【分析】利用递推关系可得122n n n na na na ++-=，即数列{}n a 是等差数列，结合条件得67150160a d a d =+≥⎧⎨=+≤⎩，再利用等差数列求和公式即得.【详解】∵()()111N n n n a na n *+-+=∈，当1n =时，11a =，又()111n n n a na +-+=①，∴()2111n n na n a +++=+②，由①－②，得122n n n na na na ++-=，即122n n n a a a ++=+，∴数列{}n a 是等差数列.由6n S S ≥，设d 为公差，则67150160a d a d =+≥⎧⎨=+≤⎩，解得1156d -≤≤-，则6736152S d ≤=+≤.二、多选题9．若函数()f x 导函数的部分图像如图所示，则（）A ．1x 是()f x 的一个极大值点B ．2x 是()f x 的一个极小值点C ．3x 是()f x 的一个极大值点D ．4x 是()f x 的一个极小值点【正确答案】AB【分析】根据导函数值正负，与原函数单调性之间的关系，进行逐一判断.【详解】对于A 选项，由图可知，在1x 左右两侧，函数()f x 左增右减，1x 是()f x 的一个极大值点，A 正确.对于B 选项，由图可知，在2x 左右两侧，函数()f x 左减右增，2x 是()f x 的一个极小值点，B 正确.对于C 选项，由图可知，在3x 左右两侧，函数()f x 单调递增，3x 不是()f x 的一个极值点，C 错误.对于D 选项，由图可知，在4x 左右两侧，函数()f x 左增右减，4x 是()f x 的一个极大值点，D 错误.故选：AB.10．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，20182019S S <且20192020S S >，则（）A ．在数列{}n a 中，1a 最大；B ．在数列{}n a 中，2019a 最大C ．20200a >D ．当2020n ≥时，0n a <【正确答案】AD【分析】由题得201920200,0a a ><，即可解决.【详解】由题知，无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，20182019S S <且20192020S S >，所以201920200,0a a ><，所以等差数列{}n a 为递减数列，所以在数列{}n a 中，1a 最大；当2020n ≥时，0n a <；故选：AD11．已知圆M ：223330x y x y +--+=与圆N ：22220x y x y +--=的交点为A ，B ，则（）A ．直线AB 的方程为30x y +-=B ．线段AB 的中垂线方程为10x y +-=C ．在过A ，B 的所有圆中，圆M 的半径最小D ．线段AB【正确答案】AC【分析】求得直线AB 的方程判断选项A ；求得线段AB 的中垂线方程判断选项B ；求得以线段AB 为直径的圆判断选项C ；求得线段AB 的长度判断选项D.【详解】圆M 的方程为：223330x y x y +--+=，圆心M 3322⎛⎫ ⎪⎝⎭，，半径62圆N 的方程为：22220x y x y +--=圆心N ()11，∵两圆相交于A ，B ，联立上述两方程得30x y +-=，圆心3322⎛⎫⎪⎝⎭，在直线30x y +-=上，则直线30x y +-=与圆M 相交则直线AB 的方程为：30x y +-=，选项A 判断正确；∵线段AB 的中垂线过N 点，又()1,1N ，与直线AB 垂直的直线斜率为1∴AB 的中垂线方程为()111y x -=´-，即y x =，则选项B 判断错误；∵33,22M ⎛⎫⎪⎝⎭满足30x y +-=，∴M 在公共弦AB 上，∴AB 的长为圆M 的直径，即AB =D 不对，选项C 对.故选：AC.12．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，数列{}n b 是首项和公比均为2的等比数列，将数列{}n a 和{}n b 中的项按照从小到大的顺序排列构成新的数列{}n c ，则下列结论正确的是（）A ．1216c =B ．数列{}n c 中n b 与1n b +之间共有12n -项C ．22nn b a =D ．121n n n b c -+-=【正确答案】AB【分析】根据题意可得：数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，则21n a n =-，2n n b =，然后根据数列的性质逐项判断即可求解.【详解】由题意可知：数列{}n a 的前n 项和2n S n =，当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-；经检验，当1n =时也满足，所以21n a n =-；又因为数列{}n b 是首项和公比均为2的等比数列，所以2nn b =.则数列{}n c 为：1,2,3,4,5,7,8,9,11,13,15,16,17,19,21,23,，所以1216c =，故选项A 正确；数列{}n a 是由连续奇数组成的数列，1,n n b b +都是偶数，所以n b 与1n b +之间包含的奇数个数为112222n nn +--=，故选项B 正确；因为2n n b =，则222nn b =为偶数，但1222121n n n a +=⨯-=-为奇数，所以22n n b a ≠，故选项C错误；因为2n n b =，前邻的一个奇数为21n -，令2121nk a k =-=-，解得：12n k -=，所以数列{}n c 从1到2n 共有12n n -+，也即122n nn n c b -+==，故选项D 错误，故选：AB三、填空题13．在由正数组成的等比数列{}n a 中213424a a a a +=+=，，则56a a +=___________.【正确答案】8【分析】根据等比数列的通项公式求解.【详解】设公比为q ，因为213424a a a a +=+=，，所以11311224a a a a q q q =++=，，所以13221112a a qa a q q q ++==，所以45225611133412a q a a a a a a a q q q q+===+++，则()563428a a a a =++=，故答案为:8.14．已知双曲线C 过点()1,2，且与双曲线2212y x -=有共同的渐近线，则双曲线C 的方程为______.【正确答案】2212y x -=【分析】由题意设双曲线C 方程为222y x λ-=，()0λ≠，再由双曲线C 过点()1,2求解.【详解】解：因为与双曲线2212y x -=有共同的渐近线，所以设双曲线C 方程为：222y x λ-=，()0λ≠，又因为双曲线C 过点()1,2，所以将()1,2代入上式中得1λ=-，∴所求双曲线C 的方程为：2212y x -=，故2212y x -=15．已知x a =是函数32()(3)5f x x a x x =-++的极小值点，则=a _____．【正确答案】5【分析】求导()()23235f x x a x '=-++，根据x a =是函数()f x 的极小值点，由()0f a ¢=求解，并检验即可.【详解】解：因为函数()()3235f x x a x x =-++，所以()()23235f x x a x '=-++，因为x a =是函数()()3235f x x a x x =-++的极小值点，所以()()232350f a a a a '=-++=，即2650a a -+=，解得1a =或5a =，当1a =时，()2385f x x x '=-+，当1x <或53x >时，()0f x ¢>，当513x <<时，()0f x '<，所以，()f x 在区间()5,1,,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，()f x 在51,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以当1x =时，函数()f x 取得极大值，不符合题意；当5a =时，()23165f x x x '=-+，当13x <或5x >时，()0f x ¢>，当153x <<时，()0f x '<，所以，()f x 在区间()1,,5,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，()f x 在1,53⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以，当5x =时，函数()f x 取得极小值，符合题意；所以5a =，故516．“牛顿迭代法”是牛顿在17世纪提出的一种近似求方程根的方法.如图，设r 是()0f x =的根，选取0x 作为r 初始近似值，过点()()00,x f x 作()y f x =的切线,l l 与x 轴的交点横坐标为()()()()010000f x x x f x f x ''=-≠，称1x 是r 的一次近似值；过点()()11,x f x 作()y f x =的切线，则该切线与x 轴的交点的横坐标为()()()()121110f x x x f x f x '=-≠'，称2x 是r 的二次近似值；重复以上过程，得到r 的近似值序列{}n x 为“牛顿数列”，即()()1n n n n f x x x f x +=-'.已知函数()228f x x =-，数列{}n x 为“牛顿数列”，设2ln2n n n x a x +=-，且11,2n a x =>.数列{}n a 的前n 项和n S =__________.【正确答案】21n -##12n-+【分析】求出()f x '代入1n x +计算，再计算1122n n x x +++-得21122()22n n n n x x x x ++++=--，左右两边同时取对数得到12n n a a +=，即{}n a 是等比数列，进而求得{}n a 的前n 项和n S .【详解】∵2()28f x x =-，∴()4f x x '=，∴221()284()42n n n n n n n n nf x x x x x x f x x x +-+=-=-='，∴222212221422244(2)2()4244(2)222n n n n n n n n n n n n n nx x x x x x x x x x x x x x +++++++++====+--+---又∵2n x >∴211222lnln()2ln 222n n nn n n x x x x x x +++++==---又∵2ln2n n n x a x +=-，∴12n n a a +=，又∵11a =，∴{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，∴{}n a 的前n 项和1(1)1221112n nn n a q S q --===---，故答案为.21n -四、解答题17．已知圆C 经过坐标原点O 和点（4，0），且圆心在x 轴上(1)求圆C 的方程；(2)已知直线l ：34110x y +-=与圆C 相交于A 、B 两点，求所得弦长AB 的值．【正确答案】(1)()2224x y -+=(2)【分析】（1）求出圆心和半径，写出圆的方程；（2）求出圆心到直线距离，进而利用垂径定理求出弦长.【详解】（1）由题意可得，圆心为(2，0)，半径为2．则圆的方程为()2224x y -+=；（2）由（1）可知：圆C 半径为2r =，设圆心（2，0）到l 的距离为d ，则6111d -==，由垂径定理得：AB ==．18．已知数列{}n a 满足212n n n a a a ++=，且1411,381a a ==.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设31212111()log ,()()(),n n n nf x x b f a f a f a T b b b ==+++=+++，求2017T .【正确答案】(1)1()3n n a =(2)20171009-【分析】(1)根据等比数列的定义求解通项公式；(2)利用裂项相消法求和即可.【详解】（1）因为数列{}n a 满足212n n n a a a ++=，所以112n n nn a a a a +++=，所以数列{}n a 是等比数列，首项为13，设公比为q ，由1411,381a a ==，可得：311813q =⨯，解得13q =.1111()()333n n n a -∴=⨯=.（2）31()log ()3n n f a n ==-，12(1)()()()122n n n n b f a f a f a n +∴=+++=----=-，1112()1n b n n ∴=--+，1211111111122(1)()()2(1)234111n n n T b b b n n n n -⎡⎤=+++=--+-++-=--=⎢⎥+++⎣⎦，201720171009T -∴=.19．已知函数()3233f x x x bx c =-++在=0x 处取得极大值1.(1)求函数()y f x =的图象在=1x -处的切线方程；(2)求过点()1,1-与曲线()y f x =相切的直线方程.【正确答案】(1)960x y -+=(2)320x y +-=【分析】（1）根据题意结合导数与极值的关系求,b c ，再根据导数的几何意义求切线方程；（2）先设切点坐标，根据导数的几何意义求切线方程，根据题意列式求解0x ，进而可得结果.【详解】（1）()3233f x x x bx c =-++，则()2363f x x x b '=-+，由题意可得()()03001f b f c ⎧'==⎪⎨==⎪⎩，解得01b c =⎧⎨=⎩，即()3231f x x x =-+，()236f x x x '=-，令()0f x ¢>，解得2x >或0x <，故()f x 在()(),0,2,-∞+∞上单调递增，在()0,2上单调递减，则()f x 在=0x 处取得极大值1，即0,1b c ==符合题意.∵()()13,19f f '-=--=，则切点坐标为()1,3--，切线斜率9k =，∴函数()y f x =的图象在=1x -处的切线方程为()391y x +=+，即960x y -+=.（2）由（1）可得：()3231f x x x =-+，()236f x x x '=-，设切点坐标为()32000,31x x x -+，切线斜率20036k x x =-，则切线方程为()()()322000003136y x x x x x x --+=--，∵切线过点()1,1-，则()()()32200000131361x x x x x ---+=--，整理得()3010x -=，即01x =，∴切线方程为()131y x +=--，即320x y +-=.20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22114426,4n n n n a S a a a S ++++===.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列13n n a +⎧⎫⋅⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【正确答案】(1)132n -⨯(2)2n n T n =⨯【分析】(1)根据n a 与n S 的关系可得120n n a a +-=，从而确定数列{}n a 为等比数列，即可求通项公式；(2)根据错位相减法求和.【详解】（1）由21444n n n n a S a S ++++=得21444n n n n a a S S +++-=即2144n n n a a a +++=，所以()211222n n n n a a a a +++-=-，因为2126a a ==，所以322120,20,a a a a -=-=，即120n n a a +-=，所以12n n a a +=，所以数列{}n a 是以13a =为首项，2为公比的等比数列，所以11132n n n a a q --==⨯.（2）由（1）得()11132n n n n a -++⋅=，前n 项和0121223242(1)2n n T n -=⨯+⨯+⨯+++⨯，1232223242(1)2n n T n =⨯+⨯+⨯+++⨯，两式相减得11212(12)2222(1)22(1)212n n nn n T n n ----=++++-+⨯=+-+⨯-，即222(1)22n n n n T n n -=+--+⨯=-⨯，所以2n n T n =⨯.21．已知函数()()212ln 22f x x a x x a =+-∈R ．(1)若函数()f x 在区间()1,2上不单调，求a 的取值范围；(2)令()()F x f x ax =-，当0a >时，求()F x 在区间[]1,2上的最大值．【正确答案】(1)10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)答案不唯一，具体见解析【分析】（1）利用导函数讨论()f x 单调性，求a 的范围即可；（2）利用导函数求解()F x 在[]1,2上的单调性，按照a 的不同取值分类讨论，即可求得最大值.【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+()22222a x x a f x x x x-+=+='-令()222g x x x a =-+，其对称轴为1x =，因为函数()f x 在区间()1,2上不单调，所以(1)0(2)0g g <⎧⎨>⎩即12020a a -+<⎧⎨>⎩，解得102a <<，所以a 的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．（2）()212ln 22F x x a x x ax =+--，函数()F x 的定义域为()0,∞+()()()222222x x a a x x ax a F x x a x x x----+='=+--=①01a <≤时，令()0F x '>得0x a <<或2x >，令()0F x '<得2a x <<，所以函数()F x 在[]1,2上单调递减，所以()max 3()12F x F a ==--②12a <<时，由①知()F x 在()1,a 上单调递增，在(),2a 上单调递减，所以()2max 1()2ln 22F x F a a a a a ==--③2a =时，()0F x '≥，所以()F x 在[]1,2上单调递增，所以()max ()22ln222F x F a a ==--④2a >时，令()0F x '>得02x <<或x a >，令()0F x '<得2x a <<，所以函数()F x 在[]1,2上单调递增，所以()max ()22ln222F x F a a ==--综上：01a <≤时，()max 3()12F x F a ==--12a <<时，()2max 1()2ln 22F x F a a a a a ==--2a ≥时，()max ()22ln222F x F a a ==--22．已知()16,0F -，()26,0F ，点P 满足218PF PF -=，记点P 的轨迹为曲线C .斜率为k 的直线l 过点2F ，且与曲线C 相交于A ，B 两点.(1)求斜率k 的取值范围；(2)在x 轴上是否存在定点M ，使得无论直线l 绕点2F 怎样转动，总有22MBF MAF MA S MB S ⋅=⋅ △△成立？如果存在，求点M 的坐标；如果不存在，请说明理由.【正确答案】(1),⎫⎛+∞⋃-∞⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭(2)存在，8,03M ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）由题意可得点P 的轨迹是以1F ，2F 为焦点的双曲线的右支，从而可得曲线C 的方程，则可求得其渐近线方程，从而可求出斜率k 的取值范围；（2）将直线l 的方程代入双曲线方程化简利用根与系数的关系，设(),0M t ，由22MBF MAF MA S MB S ⋅=⋅ △△，得0AM BM k k +=，即()()()()12211212120y x t y x t y y x t x t x t x t -+-+==----，化简结合前面的式子可求出t 的值，从而可得答案.【详解】（1）依题意12128PF PF F F -=<，所以点P 的轨迹是以1F ，2F 为焦点的双曲线的右支.则6c =，28a =，4a =，b ==所以曲线C 的方程为()22141620x y x -=≥.曲线C 的方程()22141620x y x -=≥为对应的渐近线方程为y =，根据渐近线的性质可知，要使直线():6l y k x =-与曲线C 有2个交点，则k的取值范围是,⎫⎛+∞⋃-∞⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭（2）由题意得直线l 为(6)y k x =-，由22(6)11620y k x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并化简得()22225448144800k x k x k -+--=，其中4x ≥，,22k ⎛⎫⎛∈+∞-∞- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭.设()11,A x y ，()22,B x y ，则21224845k x x k +=-，21221448045k x x k +⋅=-，设(),0M t ，因为22MBF MAF MA S MB S ⋅=⋅ △△，即0AM BM k k +=，则()()()()12211212120y x t y x t y y x t x t x t x t -+-+==----，()()12210y x t y x t -+-=，()()()()1221660k x x t k x x t --+--=，0k ≠，()()()()1221660x x t x x t --+--=，所以()()121226120x x t x x t -+++=，所以()22221448048261204545k k t t k k +⋅-+⋅+=--，()()()22222144804861245045k t k t k k ⋅+-++-=-，()()222 144802466450k t k t k+-++-=，80300t-=，83 t=，所以存在8,03M⎛⎫⎪⎝⎭，使22MBF MAFMA S MB S⋅=⋅△△成立。
江苏省徐州市2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)试题(解析版)
江苏省徐州市2018—2019学年高二下学期期中考试数学（理）试题一、填空题（不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）1.=______【答案】60【解析】【分析】根据排列数公式计算即可.【详解】5×4×3＝60．故答案为：60．【点睛】本题主要考查了排列数公式，属于基础题．2.若i是虚数单位，且复数z满足z＝3﹣i，则＝______【答案】【解析】【分析】由已知直接代入复数模的计算公式求解．【详解】∵z＝3﹣i，∴|z|．故答案为：．【点睛】本题考查复数模的求法，是基础题．3.用反证法证明命题“如果m＜n，那么”时，假设的内容应该是______【答案】假设【解析】【分析】由于用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立，由此得出结论．【详解】∵用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立，而“m7＜n7”的否定为：“m7≥n7”，故答案为：假设m7≥n7【点睛】本题主要考查用命题的否定，反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于基础题．4.若，则x的值为______．【答案】3或4【解析】【分析】结合组合数公式结合性质进行求解即可．【详解】由组合数的公式和性质得x＝2x﹣3，或x+2x﹣3＝9，得x＝3或x＝4，经检验x＝3或x＝4都成立，故答案为：3或4.【点睛】本题主要考查组合数公式的计算，结合组合数的性质建立方程关系是解决本题的关键．5.已知复数（是虚数单位），则＝______【答案】-1 【解析】【分析】把代入ω3﹣2，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】∵，∴ω3﹣2．故答案为：﹣1．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．6.用灰、白两种颜色的正六边形瓷砖按如图所示的规律拼成若干个图案，则第6个图案中正六边形瓷砖的个数是______【答案】37【解析】【分析】通过已知的几个图案找出规律，可转化为求一个等差数列的通项公式问题即可．【详解】第1个图案中有灰色瓷砖6块，白色瓷砖1块第2个图案中有灰色瓷砖11块，白色瓷砖2块；第3个图案中有灰色瓷砖16块，白色瓷砖3块；…设第n个图案中有瓷砖a n块，用数列{}表示，则＝6+1＝7，＝11+2＝13，＝16+3＝19，可知﹣＝﹣＝6，…∴数列{}是以7为首项，6为公差的等差数列，∴＝7+6（n﹣1）＝6n+1，∴＝37，故答案为：37.【点睛】本题考查了归纳推理的问题，属于基础题.7.有这样一段“三段论”推理，对于可导函数，大前提：如果，那么是函数的极值点；小前提：因为函数在处的导数值，结论：所以是函数的极值点．以上推理中错误的原因是______错误（“大前提”，“小前提”，“结论”）．【答案】大前提【解析】因为导数等于零的点不一定是极值点.如函数y=x3,它在x=0处导数值等于零，但x=0不是函数y=x3的极值点.因为只有此值两侧的导数值异号时才是极值点8.用数学归纳法证明（，n＞1）时，第一步应验证的不等式是______．【答案】【解析】试题分析：式子的左边应是分母从1，依次增加1，直到，所以答案为。
江苏省扬州中学2021-2022学年度第二学期期中试题-高二数学(后附参考答案与解析)
江苏省扬州中学2021-2022学年度第二学期期中试题高二数学2022．04试卷满分：150分，考试时间：120分钟注意事项：1．作答前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上条形码.2．将选择题答案填写在答题卡的指定位置上（使用机读卡的用2B 铅笔在机读卡上填涂），非选择题一律在答题卡上作答，在试卷上答题无效.3．考试结束后，请将机读卡和答题卡交监考人员.一.单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）1．已知从甲地到乙地有飞机或轮渡两种交通方式，从乙地到丙地有大巴车、高铁或者飞机三种交通方式，则从甲地经乙地到丙地不同的交通方式的种数为（）A．4B．5C．6D．82．直三棱柱111ABC A B C -中，若CA a = ，CB b = ，1CC c =，则1A B = （）A．a b c -+-B．a b c -+C．a b c-++D.cb a -+3．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率()P A 是（）A．23B．13C．19D．1184．设m 为正整数，2()m x y +的展开式中二项式系数的最大值为a ，21()m x y ++的展开式中的二项式系数的最大值为b .若158a b =，则m 的值为（）A．5B．6C．7D．85．青年大学习是共青团中央发起的青年学习行动，每期视频学习过程中一般有两个问题需要点击回答．某期学习中假设同学小华答对第一、二个问题的概率分别为13,35，且两题是否答对相互之间没有影响，则至少答对一个问题的概率是（）A．1115B．415C．215D．7156．椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，O 为坐标原点，若2POF ∆为等边三角形，则椭圆的离心率为（）117．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1CC 的中点，则直线1AD 与平面BDE 所成角的正弦值为（）D．68．23(2ln 3)1ln 3,,3a b c e e -===，则a ，b ，c 的大小顺序为（）A．a c b <<B．c a b <<C．a b c <<D．b a c<<二.多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）9．已知空间向量()2,1,1a =-- ，()3,4,5b = ，则下列结论正确的是（）A．()2//a b a+B．5a =C．()56a a b⊥+ D．a 与b 夹角的余弦值为10．已知随机变量i ξ满足()()1,01,1,2i i i i P p P p i ξξ====-=.若12102p p <<<，则下列结论正确的是()A．12()()E E ξξ<B．12()()E E ξξ>C．12()()D D ξξ<D．12()()D D ξξ>11．已知)66016xa a x a x =+++ ，则（）A．20log 3a =B．016,,a a a ⋯这7个数中只有3个有理数C．3a =-D．25123636a a a++++= 12．已知椭圆221:14x C y +=，过抛物线22:4C x y =焦点F 的直线交抛物线于M 、N 两点，连NO 、MO 并延长分别交1C 于A、B 两点(A、B 两点在椭圆的下半部分)，连接AB ，OMN 与OAB 的面积分别记为OMN S △、OAB S ．则下列说法正确的是（）A．若记直线NO 、MO 的斜率分别为1k 、2k ，则12k k 的大小是定值14-B．OAB 的面积OAB S 是定值1C．线段OA 、OB 长度的平方和22OA OB +是定值4D．设OMNOABS S λ=△△，则2λ≥三.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中.）13．已知离散型随机变量X 的分布列如下表所示，则=)(X E _________.X 123P0.2a0.514．在平行六面体1111D C B A ABCD -中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60 ，则1AC 的长为__________。
2021-2022学年江苏省南京市中华中学高二下学期期中数学试题(解析版)
2021-2022学年江苏省南京市中华中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}03A x x =<<，2|43B x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ）A ．233x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭B ．2|43x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭C ．{}04x x <≤D ．{}03x x <<【答案】A【分析】在数轴上分别作出集合A ，集合B ，再由交集的概念取相交部分.【详解】因为{}03A x x =<<，2|43B x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，所以2|33A B x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭．故答案为：A.2．十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数2n >，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为（ ）A ．对任意正整数n ，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=都没有正整数解B ．对任意正整数2n >，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=至少存在一组正整数解C ．存在正整数2n ≤，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=至少存在一组正整数解D ．存在正整数2n >，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=至少存在一组正整数解 【答案】D【分析】根据命题的否定形式，直接写出命题的否定即可 【详解】命题的否定形式为，原命题的题设不变，结论改否定； 故只有D 满足题意； 故选：D3．曲线23ln 2x y x =-的斜率为－2的切线方程为（ ）A ．250x y +-=B ．4250x y +-=C ．250x y ++=D ．4250x y ++=【答案】B【分析】利用导数的几何意义，即得.【详解】∵23ln ,02x y x x =->，∴3y x x '=-，由32y x x'=-=-，可得1x =，3x =-（舍去）当1x =时，12y =， ∴曲线23ln 2x y x =-的斜率为－2的切线方程为()1212y x -=--，即4250x y +-=.故选：B.4．若命题“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题，则实数x 的取值范围为（ ）A ．[]1,4-B ．50,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]51,0,43⎡⎤⎢⎥⎣-⎦D ．[)51,0,43⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】C【分析】等价于“[]()21,3,2130a ax a x a ∀∈---+-≥”为真命题．令2()(21)30g a x x a x =--++≥，解不等式(1)0(3)0g g -≥⎧⎨≥⎩即得解.【详解】解：命题“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题，其否定为真命题，即“[]()21,3,2130a ax a x a ∀∈---+-≥”为真命题．令22()23(21)30g a ax ax x a x x a x =-++-=--++≥，则(1)0(3)0g g -≥⎧⎨≥⎩，即22340350x x x x ⎧-++≥⎨-≥⎩，解得14503x x x -≤≤⎧⎪⎨≥≤⎪⎩或，所以实数x 的取值范围为[]51,0,43⎡⎤⎢⎥⎣-⎦. 故选：C5．关于空间向量，以下说法不正确的是（ ）A ．若两个不同平面α，β的法向量分别是u ν，，且()()122212n ν=-=，，，，，，则αβ⊥ B ．若直线l 的方向向量为()103e =，，，平面α的法向量为2203n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，，则直线l //α C ．若对空间中任意一点O ，有111442OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点共面D ．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 【答案】B【分析】由面面垂直的向量表示可判断A ；由线面平行的向量表示可判断B ；根据向量共线定理，可判断C ；由空间向量基底的表示可判断D.【详解】对于A ，()22220u ν⋅=++-⨯=，所以u ν⊥，A 正确； 对于B ， 2020e n ⋅=-++=，所以e n ⊥，B 错误对于C ，对空间中任意一点O ，有111442OP OA OB OC =++，满足1111442++=，则P ，A ，B ，C 四点共面，可知C 正确；对于D ，两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线，所以D 正确. 故选：B.6．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，AB BC =，22AC =，12AA =，点E 为11A C 的中点，点F 在BC 的延长线上且14CF BC =，则异面直线BE与1C F 所成角的余弦值为（ ）A ．32B ．12-C ．32-D ．12【答案】D【分析】以B 为坐标原点，BC ，BA ，1BB 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法，根据111cos ,BE C F BE C F BE C F⋅=⋅即可求出答案.【详解】在三棱柱111ABC A B C -中，因为侧棱垂直于底面，且AB BC ⊥，所以以B 为坐标原点，BC ，BA ，1BB 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由AB BC =，22AC =12AA =2AB BC ==，所以(0,0,0)B ，(2,0,0)C ，12)A ，1(2,02)C ，2)E ．由14CF BC =，得11(2,0,0),0,042CF ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以11C F C CCF =+=11(0,0,,0,0,0,22⎛⎫⎛+= ⎪ ⎝⎭⎝，BE =，所以异面直线BE 与1C F 所成角的余弦值为111312cos ,324BE C F BE C F BE C F⋅====⋅． 故选：D ．7．在()*N n n ∈次独立重复试验中，每次试验的结果只有A ，B ，C 三种，且A ，B ，C三个事件之间两两互斥.已知在每一次试验中，事件A ，B 发生的概率均为25，则事件A ，B ，C 发生次数的方差之比为（ ） A ．5：5：4 B ．4：4：3 C ．3：3：2D ．2：2：1【答案】C【分析】事件A ，B ，C 发生次数均服从二项分布，然后分别求出二项分布，再分别计算二项分布的方差即可【详解】根据,,A B C 事件的互斥性可得：每一次试验中，事件C 发生的概率为15设事件A ，B ，C 发生的次数为分别随机变量,,X Y Z ，则有： 2~,5X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭2~,5Y B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭1~,5Z B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭则事件A ，B ，C 发生次数的方差分别为：625n ，625n ，425n 故事件A ，B ，C 发生次数的方差之比为：3:3:2 故选：C8．袋中有5个球，其中红、黄、蓝、白、黑球各一个，甲、乙两人按序从袋中有放回的随机摸取一球，记事件:A 甲和乙至少一人摸到红球，事件:B 甲和乙摸到的球颜色不同，则条件概率()P B A =（ ） A ．925B ．25C ．45D ．89【答案】D【分析】求出()P AB 和()P A 的值，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由题意可知，事件:AB 甲、乙只有一人摸到红球，则()1242C A 85525P AB ==⨯，()2491525P A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 因此，()()()82582599P AB P B A P A ==⨯=. 故选：D.二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱B ．将一组数据中的每个数据都乘2022后，方差也变为原来的2022倍C ．已知回归模型为221y x x =++，则样本点()1,3的残差为1-D ．对于独立性检验，随机变量2K 的观测值k 值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大 【答案】CD【分析】根据相关系数、方差的性质、残差的计算以及独立性检验的计算，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A ：线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，故A 错误；对B ：将一组数据中的每个数据都乘2022后，方差变为原来的22022倍，故B 错误； 对C ：当1x =时，1214y =++=，所以样本点()1,3的残差为341-=-，故C 正确； 对D ：对于独立性检验，随机变量2K 的观测值k 值越小，则“两变量有关系”的把握程度越小，则判定“两变量有关系”犯错误的概率越大，故D 正确. 故选：CD ．10．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C 为线段AB 上的点，且AC a =，BC b =，O 为AB 的中点，以AB 为直径作半圆．过点C 作AB 的垂线交半圆于D ，连接OD ，AD ，BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为E . 则该图形可以完成的所有的无字证明为（ ）A ．)002a bab a b +≥>>， B ．()22200a b ab a b +≥>>，C ()10011ab a b a b>>+， D ．()220022a b a b a b ++=≥>，【答案】AC【分析】结合图形和基本不等式可得答案. 【详解】,2+=+===a bAB a b OA OB OD ，由射影定理可知，2CD AC BC ab =⋅=，所以CD ab =Rt OCD 中，OD CD >，当且仅当⊥OD AB 时取等；所以A 正确； 在Rt OCD 中，2CD DE OD =⋅，所以222112CD ab ab DE a b OD a b a b====+++，由于CD ≥DE 111ab a b≥+，所以C 正确.故选：AC.11．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以12A A ，和3A 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则（ ） A ．()922P B =B ．()15|11P B A =C ．事件B 与事件1A 相互独立D ．123A A A ，，是两两互斥的事件 【答案】ABD【分析】根据每次取一球，易得1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件，求得()()()123,,P A P A P A ，然后由条件概率求得1()P B A ，123()()()()P B P BA P BA P BA =++，再逐项判断.【详解】解：因为每次取一球，所以1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件，故D 正确； 因为()()()123523,,101010P A P A P A ===， 所以11155()51011()5()1110P BA P B A P A ⨯===，故B 正确； 同理3223232434()()4410111011(),()23()11()111010P BA P BA P B A P B A P A P A ⨯⨯======， 所以1235524349()()()()10111011101122P B P BA P BA P BA =++=⨯+⨯+⨯=，故A 正确； 由于()()115559()10111022P BA P B P A =⨯≠⨯=，故事件B 与事件1A 不相互独立，故C 错误. 故选：ABD12．如图，己知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，//,4AD BC AD =，90ABC ∠=，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB BC ===，下列说法正确的是（ ）A ．PB 与CD 所成的角是60B ．平面PCD 与平面PBA 6C ．PB 与平而PCD 3D ．M 是线段PC 上动点，N 为AD 中点，则点P 到平面BMN 43【答案】AD【分析】由题意，以A 为原点，以,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，结合向量的夹角公式，可判定A 正确，B 、C 不正确；在PC 上取点M ，使得BM PC ⊥，利用线面垂直的判定定理，证得PC ⊥平面BMN ，得到点P 到平面BMN 的距离最大距离为PM ，在直角PBC 中，利用直角三角形的射影定理，求得PM 的长，可判定D 正确.【详解】由题意，以A 为原点，以,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，可得(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,4,0),(0,0,2)A B C D P ，对于A 中，可得(2,0,2),(2,2,0)BP CD =-=-， 所以41cos ,22222BP CD BP CD BP CD⋅===⨯，因为0,180BP CD ≤≤，所以BP 与CD 的夹角为60，所以A 正确； 对于B 中，由平面PAB 的法向量为(0,1,0),(2,2,2)m PC ==-， 又由(2,2,2),(2,2,0)PC CD =-=-，设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =，则2220220x y z x y +-=⎧⎨-+=⎩，令1x =，可得1,2y z ==，所以(1,1,2)n =，所以1cos ,6m n m n m n⋅==，所以B 错误.对于C 中，由212cos ,12226BP n BP n BP n⋅===⨯，所以C 错误； 对于D 中，在PC 上取点M ，使得BM PC ⊥，连接,,AC MN BN ， 因为ABCN 为正方形，且边长为2，可得BN AC ⊥，又因为PA ⊥平面ABCD ，BN ⊂平面ABCD ，所以BN PA ⊥， 因为AC PA A ⋂=，且,AC PA ⊂平面PAC ，所以BN ⊥平面PAC ， 又因为PC ⊂平面PAC ，所以BN PC ⊥， 因为BM PC ⊥，且BMBN B =，,BM BN ⊂平面BMN ，所以PC ⊥平面BMN ，此时点P 到平面BMN 的距离最大，最大值即为PM ， 在直角PBC 中，22,2PB BC ==，可得23PC =，由直角三角形的射影定理得2PB PM PC =⋅，即22(22)43323PB PM PC ===， 即点P 到平面BMN 的距离最大值为433，所以D 正确. 故选：AD.三、填空题13．已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，()40.84P ξ≤=，则(0)P ξ<=_______. 【答案】0.16425【分析】利用正态分布的对称性可得(0)(4)P P ξξ<=>，然后结合条件即得. 【详解】因为随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ， 所以(0)(4)P P ξξ<=>， 又()40.84P ξ≤=，所以(0)1(4)10.840.16P P ξξ<=-≤=-=. 故答案为：0.16.14．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵111ABC A B C -，中，M 是11A C 的中点，122AB AA AC ==，113BN BB =，3MG GN =，若1AG xAA y AB z AC =++，则x y z ++=_________．【答案】118【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量可以解决问题.【详解】设2AB =,如下图所示，建立空间直角坐标系，()000A ，， ，()200B ，，，()001C ，，，()1010A ，，1012M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，1203N ⎛⎫⎪⎝⎭，，，则1121200123232MN ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，-， 所以13213110122432228AG AM MG ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，-，，， 又因为()131122,,228AG xAA y AB z AC y x z y x z =++=⇒===，，所以131112488x y z ++=++= 故答案为：11815．若0m >，0n >，则214m n m n ++的最小值为___________. 【答案】4【分析】连续使用两次均值不等式即可求出结果. 【详解】22141444224m m n n n n m n m n n n++≥+⋅=+≥⋅=， 当且仅当2142mm n n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即2,1n m ==时等号成立，所以214m n m n ++的最小值为4.故答案为：4.16．给图中A ，B ，C ，D ，E 五个区域填充颜色，每个区域只填充一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则共有_________种不同的方案．【答案】72【分析】分为B ，E 同色和B ，E 不同色两种情形，再按照分步乘法原理计算即可. 【详解】当B ，E 同色时，共有432248⨯⨯⨯=种不同的方案，当B ，E 不同色时，共有43224⨯⨯=种不同的方案，所以共有72种不同的方案． 故答案为：72.四、解答题17．已知集合{}13A x x =-≤ ，{}22240B x x mx m =-+-≤.(1)命题p ：x ∈A ，命题q : x ∈B ，且p 是q 的必要非充分条件，求实数m 的取值范围:(2)若A ∩B ≠,∅求实数m 的取值范围.【答案】(1)[]02m ∈， (2)[]46m ∈-，【分析】(1)要使p 是q 的必要不充分条件，则 B A 即可； (2)求A B =∅时m 的取值范围，然后求其补集. 【详解】(1)因为p 是q 的必要不充分条件，所以B A ，B 集合：()22444160m m ∆=--=>，所以B 不可能为空集， 因为()()222422x mx m x m x m ⎡⎤⎡⎤-+-=---+⎣⎦⎣⎦，所以{}22B x m x m =-≤≤+， 集合{}24A x x =-≤≤，所以2224m m -≥-⎧⎨+<⎩或2224m m ->-⎧⎨+≤⎩，分别解不等式组，取并集后可得[]02m ∈，. (2)由（1）知{}{}2422A x x B x m x m =-≤≤=-≤≤+，， 当A B =∅时：22m +<-或24m ->， 解之得：4m <-或6m >，则A B ⋂≠∅时，[]46m ∈-，. 18．已知()2N nn x *⎫∈⎪⎭的展开式中第2项与第三项的二项式系数之和为36．(1)求n ；(2)求展开式中系数最大的项． 【答案】(1)8 (2)721792x -和51792x -.【分析】（1）根据题意得到1236n n C C +=，求得8n =，即可求解；（2）由（1）知82)x，得到展开式的通项为34821882()2r r r r r rr T C C x x--+=⋅=⋅，列出不等式组118811882222r r r r r r r r C C C C --++⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩，结合组合数的公式，求得56r ≤≤，进而求得67,T T ，即可求解.【详解】(1)解：由题意，()2N nn x *⎫∈⎪⎭的展开式中第2项与第三项的二项式系数之和为36，可得1236n n C C +=，即2720n n +-=，解得8n =或9n =-（舍去），所以8n =.(2)解：由（1）可得二项式82)x，其展开式的通项为34821882()2r r rr r rr T C C x x--+=⋅=⋅， 即展开式中项的系数为82r rC ⋅，设第1r +项的系数最大，则满足118811882222r r r r r r r r C C C C --++⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩， 可得()()()()()()118!8!228!!9!1!8!8!228!!7!1!r r r r r r r r r r r r -+⎧⋅≥⋅⎪-⋅-⨯-⎪⎨⎪⋅≥⋅⎪-⨯-⨯-⎩，即2191281r r r r ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩，解得56r ≤≤，当=5r 时，7755226821792T C x x --=⋅⋅=；当6r =时，66557821792T C x x --=⋅⋅=，所以展开式中系数最大的项为721792x -和51792x -.19．第24届冬季奥林匹克运动会（The XXIV Olympic Winter Games ），即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕．2022年北京冬季奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项．北京赛区承办所有的冰上项目，延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目，张家口赛区承办除雪车、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上项目．为调查学生对冬季奥运会项目的了解情况，某中学进行了一次抽样调查，统计得到以下22⨯列联表．(1)完成22⨯列联表，并判断有超过多大的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关；(2)为弄清学生不了解冬季奥运会项目的原因，按照性别采用分层抽样的方法、从样本中不了解冬季奥运会项目的学生中随机抽取5人，再从这5人中抽取2人进行面对面交流，求“男、女生各抽到一名”的概率．附表：附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．【答案】(1)表格见解析；没有超过99.9%的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关；(2)35【分析】（1）完善2×2列联表，根据2K 的计算可得出关于n 的等式，即可求得正整数n 的值，结合临界值，即可求解．（2）根据已知条件，结合分层抽样的定义，以及古典概型的概率公式，即可求解． 【详解】(1)求22⨯列联表可得:根据所给数据得22400(1409011060)=9.6<10.828200200250150K ⨯-⨯=⨯⨯⨯ 故没有超过99.9%的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关； (2)由于在“不了解冬季奥运会项目”的学生中，按男女比例为2:3， 所以抽取的5人中包含3名女生，2名男生，设“男、女生各抽到一名”的事件为A ，则1132253()5C C P A C ==20．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，60BAD BPD ∠=∠=︒，2PB PD ==.(1)证明：平面PAC ⊥平面ABCD ；(2)若二面角P BD A --的余弦值为13，求二面角B PA D --的正弦值.【答案】(1)证明见解析 (2)223【分析】（1）依据面面垂直判定定理去证明平面PAC ⊥平面ABCD ； （2）建立空间直角坐标系，以向量的方法去求二面角B PA D --的正弦值. 【详解】(1)设ACBD O =，连接PO ，在菱形ABCD 中，O 为BD 中点，且BD AC ⊥， 因为PB PD =，所以BD PO ⊥， 又因为POAC O =，且PO ，AC ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以平面PAC ⊥平面ABCD ；(2)作OM ⊥平面ABCD ，以{},,OA OB OM 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，易知2PB PD BD AB AD =====，则3OA OP =1OB =，因为OA BD ⊥，OP BD ⊥，所以POA ∠为二面角P BD A --的平面角，所以1cos 3POA ∠=，则P ⎝⎭，)A ，()0,1,0B ，()0,1,0D -，所以()1,0AD =--，()AB =，AP ⎛= ⎝⎭， 设平面PAB 的法向量为()111,,m x y z =，由00m AB m AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得111100y x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 取11z =，则1x=，1y()2,m =，设平面PAD 的法向量为()222,,n x y z =，由00n AD n AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得222200y x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩ 取21z=，则2x=2y =，所以()2,n =，设二面角B PA D --为θ，则1cos 32m n m nθ⋅===+⋅，又[]0,πθ∈，则sin θ=. 21．核酸检测是诊断新冠病毒感染的重要手段，首先提取人的唾液或咽拭子样本，如果样本中有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性．检测时既可以逐个化验，也可以将样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性，需要再对各个样本逐个化验；若混合样本呈阴性，则各个样本均为阴性．现有4例疑似病例，疑似病例核酸检测呈阳性的概率均为()01p p <<． (1)若12p =，求至多有1个疑似病例样本化验结果为阳性的概率； (2)如果逐个化验，需要化验4次．为了减少化验次数，可以考虑采用4例样本混合在一起进行化验，当p 在什么范围时，混合化验能减少化验次数？ 【答案】(1)516(2)当01p <<时，4例混合化验能减少化验次数 【分析】（1）根据题意计算即可（2）根据题意，混合化验的次数是1次或者5次，分别求出其对应的概率，计算混合化验的期望，使期望值小于4即可【详解】(1)解：（1）设4例疑似病例中化验结果为阳性的病例数为X ，则1(4,)2X B ~，041444115(1)(0)(1)C ()+C ()2216P X P X P X ==+=== 所以，至多有1个疑似病例样本化验结果为阳性的概率为516(2)设4例混合化验的化验次数为Y ，则Y 可取1，5．00444(1)C (1)(1)P Y p p p ==-=-，4(5)1(1)1(1)P Y P Y p ==-==--，所以，444()1(1)5[1(1)]54(1)E Y p p p =⨯-+⨯--=--． 要使化验次数减少，须有()4E Y <， 即454(1)4p --<．因为01p <<，解得01p <<所以，当012p <<-时，4例混合化验能减少化验次数． 22．己知函数()()21e 2x h x ax r x ax ax =-=-，(1)令()()()f x h x r x =+，当a e =时，讨论()f x 的单调性: (2)当0x ≥时，()()()3121312h x r x x a x +≥+-+，求a 的取值范围. 【答案】(1)()1x ∈-∞，时，()f x 单调递减；()1x ∈+∞，时，()f x 单调递增 (2)27e 4a ⎡⎫-∈+∞⎪⎢⎣⎭， 【分析】（1）由题意得到()21e 2e 2x f x ex x =-+，求得()e 2e e x f x x =-+'，令()e 2e e x g x x =-+，取得()e e 0x g x '=+>，且()10g =，进而得到函数()f x 的单调性；（2）根据题意，把不等式可化为3211210exx ax x -++-≤，令()32112 1e x x ax x g x -++=-，求得()g x '，得到()0g x '=的解，分210a +≤、2210a >+>和212a +≥三种情况讨论，结合函数的单调性与最值，即可求解.【详解】(1)解：当e a =时，函数()()()2211e e e e e 2e 22x xf x h x r x x x x ex x =+=-+-=-+，可得()e 2e e xf x x =-+'，令()e 2e e x g x x =-+，可得()e e 0xg x '=+>，且()10g =，所以当()1x ∈-∞，时，()0g x <，即()0f x '<，函数()f x 单调递减；当()1x ∈+∞，时，()0g x >，即()0f x '>，函数()f x 单调递增. (2)解：由()()222e 2e 3x x h x r x ax ax ax ax ax +=-+-=-+，不等式可化为()231e 3131,02x ax ax x a x x -+≥+-+≥， 化简可得321e 12xx ax x ≥-++，即321121e x x ax x -++≤，即3211210exx ax x -++-≤， ①令()32112 1e xx ax x g x -++=-， 可得()()()()3213121221222e e x xx a x a x x x x a g x ⎛⎫-++-+⎡⎤---+ ⎪⎣⎦⎝⎭'==， 令()0g x '=，即()()122102x x x a ⎡⎤---+=⎣⎦，解得1230221x x x a ===+，，， 若210a +≤，即12a ≤-时，当()02x ∈，时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当()2,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减； 所以()()22741e g x g x a-=-≤，且()00g =，所以()20g >， 即不等式①不恒成立；不合题意； 若2210a >+>，即1122a >>-时 当()0g x '<， ()g x 单调递减；()21,2x a ∈+，()0g x '>，()g x 单调递增；当()2,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减； 所以()()27421e ag x g -≤=-， 要不等式①恒成立，只需()20g ≤，即27410e a --≤，解得274e a -≥，所以217e 24a ->≥. 若212a +≥， 即12a ≥时，当()0,2x ∈，()0g x '< ()g x 单调递减； 当()2,21x a ∈+，()0g x '> ()g x 单调递增； 当()21,x a ∈+∞，()0g x '< ()g x 单调递减；所以()210g a +≤，即()31121e xx x g x ++≤-， 只需当2x ≥时，311210e x x x ++-≤，就可得到()210g a +≤就恒成立。
2021-2022学年江苏省常州市溧阳市高二下学期期中数学试题(解析版)
2021-2022学年江苏省常州市溧阳市高二下学期期中数学试题一、单选题1．下列选项中，与36C 相等的是（ ） A ．35C B ．35AC ．25AD ．4!【答案】C【分析】先求出36C 的值，然后逐个求解判断即可【详解】36C 20=，对于A ，3512C 00=≠，所以A 错误，对于B ， 35A 5436020=⨯⨯=≠，所以B 错误，对于C ，25A 5420=⨯=，所以C 正确，对于D ， 4!43212420=⨯⨯⨯=≠，所以D 错误， 故选：C2．平行六面体1111ABCD A B C D -中，()()11,2,3,1,2,4AC C =-，则点1A 的坐标为（ ） A ．()0,4,7 B ．()2,0,1-C ．()2,0,1-D ．()2,0,1【答案】B【分析】利用空间向量的坐标表示，即得. 【详解】设()1,,A x y z ，∵()()11,2,3,1,2,4AC C =-，又11AC AC =， ∴()()1,2,31,2,4x y z =----， 解得2,0,1x y z =-==，即()12,0,1A -. 故选：B.3．掷一枚质地均匀的正四面体骰子（四面点数分别为1,2,3,4），掷出点数的数学期望为（ ） A ．2 B ．2.5C ．3D ．3.5【答案】B【分析】由题意得到掷出点数的可能取值及各个取值的概率，由期望公式求解即可. 【详解】掷一枚质地均匀的正四面体骰子，掷出点数的可能取值为1,2,3,4，且掷出每种点数的概率均为14，则掷出点数的数学期望为()11234 2.54+++⨯=，故选：B4．5(2)x y -的展开式中，含32x y 的系数为（ ） A ．80 B ．80- C ．40 D ．40-【答案】A【分析】在二项展开式的通项公式中,令y 的幂指数等于2,求出r 的值，即可求得展开式中含32x y 的系数．【详解】依题意可知,555155(2)()2(1)rrr r r r r r r T C x y C x y ---+=⋅⋅-=⋅⋅⋅-,故含32x y 系数为352280C ⋅=.故选:A .【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,难度较易.5．在四面体OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 在OA 上，且2,OM MA N =为BC 中点，则MN =（ ）A ．121232a b c -+B ．211322a b c -++C ．111222a b c +-D ．221332a b c ++ 【答案】B【分析】利用空间向量的线性运算，空间向量基本定理求解即可． 【详解】解：点M 在线段OA 上，且2OM MA =，N 为BC 中点， ∴23OM OA =，111()222ON OB OC OB OC =+=+，∴122113122223a b c MN ON OM OB OC OA =-=+-+=-+． 故选：B ．6．由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3不相邻的六位数的个数是（ ） A ．36 B ．72 C ．600 D ．480【答案】D【解析】直接利用插空法计算得到答案.【详解】根据题意将2,4,5,6进行全排列，再将1,3插空得到4245480A A ⨯=个.故选：D .【点睛】本题考查了排列组合中的插空法，意在考查学生的计算能力和应用能力. 7．直三棱柱111ABC A B C -中，11111π,,,2BCA AC BC CC A M MB A N NC ∠=====，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ） A ．3010B ．22C ．110 D ．25【答案】A【分析】根据几何体特点建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式即可得出异面直线所成角.【详解】如图所示，以C 为原点，以1,,CA CB CC 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设12AC BC CC ===，可得()2,0,0A ，()0,2,0B ，()1,1,2M ， ()1,0,2N .()1,0,2AN ∴=- ，()1,1,2BM =-130cos ,56AN BM AN BM AN BM⋅-∴===⋅ 故BM 与AN 30故选：A.8．甲､乙､丙三人相约一起去做核酸检测，到达检测点后，发现有,A B 两支正在等待检测的队伍，则甲､乙､丙三人不同的排队方案共有（ ） A ．12种 B ．18种C ．24种D ．36种【答案】C【分析】对该问题进行分类，分成以下情况①3人到A 队伍检测，②2人到A 队伍检测，③1人到A 队伍检测，④0人到A 队伍检测；然后，逐个计算后再相加即可求解；注意计算时要考虑排队时的顺序问题.【详解】先进行分类：①3人到A 队伍检测，考虑三人在A 队的排队顺序，此时有33A 6=种方案；②2人到A 队伍检测，同样要考虑两人在A 队的排队顺序，此时有23A 6=种方案；③1人到A 队伍检测，要考虑两人在B 队的排队顺序，此时有23A 6=种方案；④0人到A 队伍检测，要考虑两人在B 队的排队顺序，此时有33A 6=种方案； 所以，甲､乙､丙三人不同的排队方案共有24种. 故选：C 二、多选题9．下列结论正确的是（ ） A ．乘积()()1212n n a a a b b b ++++++展开后共有2n 项B ．一个含有5个元素的集合有32个子集C ．正十二边形对角线共有54条D ．4名工人各自在3天中选择1天休息，不同方法的种数是43 【答案】BC【分析】对于A ，利用多项式的乘法分析判断，对于B ，利用求子集个数的公式计算，对于C ，利用多边形对角线条数的公式计算，对于D ，由每名工人有3种休息方法进行判断【详解】对于A ，乘积()()1212n n a a a b b b ++++++展开后共有2n 项，所以A 错误，对于B ，一个含有5个元素的集合有5232=个子集，所以B 正确， 对于C ，正十二边形对角线共有12(123)542⨯-=条，所以C 正确， 对于D ，由题意可得每名工人有3种休息方法，所以4名工人共有43种休息方法，所以D 错误， 故选：BC10．下列命题是真命题的有（ ）A ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若,,BA BM BN 不能构成空间的一个基底，那么A ，B ，M ，N 共面B ．直线l 的方向向量为()1,1,2a =-，直线m 的方向向量为12,1,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则l 与m 垂直C ．直线l 的方向向量为()0,1,1a =-，平面α的法向量为()1,1,1n =--，则l ⊥αD ．平面α经过三点(1,0,1),(0,1,0),(1,2,0),(1,,)A B C n u t --=是平面α的法向量，则1u t += 【答案】ABD【分析】由基底的概念以及空间位置关系的向量证明依次判断4个选项即可.【详解】对于A ，若,,BA BM BN 不能构成空间的一个基底，则,,BA BM BN 共面，可得A ，B ，M ，N 共面，A 正确；对于B ，2110a b ⋅=--=，故a b ⊥，可得l 与m 垂直，B 正确； 对于C ，0110a n ⋅=-+=，故a n ⊥，可得l 在α内或//l α，C 错误； 对于D ，(1,1,1)AB =-，易知n AB ⊥，故10u t -++=，故1u t +=，D 正确. 故选：ABD.11．下列命题中，正确的是（ ）A ．若事件A 与事件B 互斥，则事件A 与事件B 独立 B ．已知随机变量X 的方差为()V x ，则()23V X -=()4V XC ．已知随机变量X 服从二项分布16,3B ⎛⎫⎪⎝⎭，则E （X ）=2D ．已知随机变量X 服从正态分布()21,B σ，若()30.8P X <=，则()110.3P X -<<=【答案】BCD【分析】对A ：由互斥事件与独立事件的定义即可判断；对B ：由方差的性质即可判断；对C ：由二项分布的期望公式即可判断；对D ：利用正态分布的对称性即可判断. 【详解】解：对A ：由互斥事件与独立事件的定义，设事件A 、B 都是概率不为0的事件，若事件A 与事件B 是互斥事件，则()0P AB =，而若事件A 与事件B 是相互独立事件，则()()()0P AB P A P B =≠，故选项A 错误；对B ：由方差的性质可知，随机变量X 的方差为()V X ，则()23V X -=()()224V X V X =，故选项B 正确；对C ：由随机变量X 服从二项分布16,3B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()1623E X =⨯=，故选项C 正确；对D ：由随机变量X 服从正态分布()21,B σ，()30.8P X <=，则()()()()1113310.80.50.3P X P X P X P X -<<=<<=<-<=-=，故选项D 正确. 故选：BCD.12．如图，在菱形ABCD 中，AB =2，∠BAD =60°，将△ABD 沿对角线BD 翻折到△PBD 位置，连接PC ，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A ．任取三棱锥P -BCD 中的三条棱，它们共面的概率为0.2B ．存在某个位置，使得PC 与BD 所成角为60°C ．PC 与平面BCD 所成角为45°时，三棱锥P -BCD 的体积最大 D ．当二面角P -BD -C 大小为90°时，点D 到面PBC 的距离最大 【答案】AC【分析】对于A ：利用古典概型的概率公式直接求概率，即可判断； 对于B ：连结AC 交BD 于E .证明出BD ⊥面PCE ，得到BD ⊥PC .即可判断； 对于C ：证明出ECP ∠=45°时三棱锥P -BCD 的高为EP 最大，从而三棱锥P -BCD 的体积最大；对于D ：求出二面角P -BD -C 大小为90°时，点D 到面PBC 的距离12155d =. 求出特殊位置当2PC =时，点D 到面PBC 的距离所以2263d =.判断出12d d <.即可否定结论.【详解】对于A ：任取三棱锥P -BCD 中的三条棱，有3665420321C ⨯⨯==⨯⨯种，其中共面一共有4种，故概率为40.220=.故A 正确； 对于B ：连结AC 交BD 于E .因为ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥,即CE BD ⊥,PE BD ⊥. 又CE PE E ⋂=,所以BD ⊥面PCE ，所以BD ⊥PC . 故B 错误；对于C ：因为BD ⊥面PCE ，所以点P 在底面的射影落在直线AC 上，即ECP ∠为PC 与平面BCD 所成角，即ECP ∠=45°.因为CE PE =，所以45ECP EPC ∠=∠=︒，所以90CEP ∠=︒，即EP EC ⊥. 又EP BD ⊥，BD EC E ⋂=,所以EP ⊥面BCD .此时三棱锥P -BCD 的高为EP 最大.所以1133P BCD BCDBCDSh SEP V -=≤.所以PC 与平面BCD 所成角为45°时，三棱锥P -BCD 的体积最大. 故C 正确； 对于D ：因为BD ⊥面PCE ，所以CEP ∠即为二面角P -BD -C 的平面角，即90CEP ∠=︒. 此时设点D 到面PBC 的距离为1d .因为90CEP ∠=︒，2sin 603CE PE ==︒=，所以22336PC CE PE =+=+=. 所以222116615422222PBCSPC CB PC ⎛⎫⎛⎫=⋅-=⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由等体积法可得：P BCD D PBC V V --=，即1111152333232d ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，解得：12155d =. 当2PC =时，三棱锥P -BCD 的各边长均为2，为一个正四面体.此时记点D 到面PBC 的距离为2d ，则2d 为正四面体的高. 如图示：过C 作CF PB ⊥于F ,则3sin 6023CF BC =︒==过D 作DG ⊥面PBC 于G ,则G 为△PBC 的中心，所以2233CG CF ==.所以2d DG ==因为(122201515d d -==<，所以12d d <.故D 错误. 故选：AC.【点睛】（1）立体几何中的翻折叠（展开）问题要注意翻折（展开）过程中的不变量； （2）①立体几何中的几何关系的证明，用判定定理；②立体几何中的计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算． 三、填空题13．6x⎛+ ⎝的展开式中常数项是___________（用数字作答）.【答案】240【分析】根据二项式定理，可知6x⎛ ⎝的展开式通项为163622r rr r T x C +-=，令3602r -=，求出4r =，带入通项公式，即可求出结果.【详解】因为6x⎛+ ⎝的展开式通项为36621662rr r r r r r x xT C C -+-==， 令3602r -=，则4r =，所以6x ⎛ ⎝的展开式中常数项是446622240r r C C ==. 故答案为：240.14．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为3，112AM MC =，点N 为B 1B 的中点，则||MN =___________.【分析】根据题意，建立适当的空间直角坐标系，即可求解.【详解】如图所示，以点D 为坐标原点，以DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，则()()()()113,0,0,0,3,3,3,3,0,3,3,3A C B B ，因为112AM MC =，点N 为1B B 的中点， 所以()111,1,13AM AC ==-， 所以(2,1,1)M ，3(3,3,)2N ，11,2,2MN ⎛⎫= ⎪⎝⎭故2221211222MN ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭21. 15．长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约80%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过40分钟，这些人的近视率约为90%，现从玩手机不超过40分钟的学生中任意周查一名学生，则他近视的概率为___________. 【答案】31400.775 【分析】利用条件求出每天玩手机不超过40分钟的学生的人数及其中近视的人数，再进行概率估计．【详解】解：设该校共有a 名同学，则约有80%0.8a a ⨯=名学生近视，20%0.2a a ⨯=名学生每天玩手机超过40分钟且玩手机超过40分钟的学生中有0.290%0.18a a ⨯=名学生近视．所以有0.8a 名学生每天玩手机不超过40分钟且其中有0.80.180.62a a a -=名学生近视． 所以从每天玩手机不超过40分钟的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率约为0.62310.840a a =． 故答案为：3140． 16．某部件由三个电子元件按如图方式连接而成，该部件要正常工作，需满足：①元件D 正常工作；②元件C 正常工作或部件A ，B 同时正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (100，225)，且各个元件相互独立，那么该部件的使用寿命超过100小时的概率为___________．【答案】516【分析】由三个电子元件的使用寿命均服从正太分布N (100，225)可知每个元件使用寿命超过100小时的概率均为12，根据独立事件概率计算方法即可计算该部件的使用寿命超过100小时的概率.【详解】因为三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (100，225)，且各个元件相互独立，故每一个元件能用100小时以上的概率均为12，设A 元件能用100小时以上为事件A ，B 元件能用100小时以上为事件B ，C 元件能用100小时以上为事件C ，D 元件能用100小时以上为事件D ， 则该部件的使用寿命超过100小时的概率为：()()()()()()()()()()()P D P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A B P C P A P B ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111155522222816⎛⎫=⨯⨯⨯⨯=⨯= ⎪⎝⎭． 故答案为：516． 四、解答题17．已知n 为偶数，2012(1)n n n x a a x a x a x -=++++.(1)当10n =时，求8a 的值； (2)证明：10242n n a a a a -++++=.【答案】(1)845a = (2)证明见解析【分析】（1）直接利用二项式展开式的通项公式求解即可，（2）利用赋值法，分别令1x =-和1x =，然后将得到的式子相加可得答案【详解】(1)当10n =时，8222291010()45T C x C x x =-=⋅=，故845a =(2)当1x =-时，012(11)nn a a a a +=-+-+即0122n n a a a a -+-+=①当1x =时，012(11)n n a a a a -=++++ 即0120n a a a a ++++=②.由①②相加得：()02422n n a a a a ++++=即有10242n n a a a a -++++=. 18．如图，四棱锥P -ABCD 的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，PD =DC =3，2BM MC =，且PB ⊥AM ．(1)求AD 的长；(2)求二面角P -AM -D 的正弦值.【答案】(1)33 213 【分析】(1)以{},,DA DC DP 为一组基底，建立空间直角坐标系，设3BC a =，求出各点坐标，根据0PB AM ⋅=求出a 的值，从而确定AD 的长度；(2)求出平面P AM 和平面DAM 的法向量，利用向量方法即可求二面角的余弦值和正弦值．【详解】(1)∵PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，∴不妨以{},,DA DC DP 为一组基底，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -．设3BC a =，则()()()()3,3,0,0,0,3,2,3,0,3,0,0,B a P M a A a则()()3,3,3,,3,0PB a AM a =-=-， PB AM ⊥，则2390PB AM a ⋅=-+=，解得3a = 故333AD a ==(2)()()3,3,0,33,0,3AM AP =-=-，设平面PAM 的法向量为()111,,m x y z =， 则11113303330m AM x y m AP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取13x =，可得()3,1,3m =， ∵PD ⊥平面AMD ，∴可设平面AMD 的法向量为()0,0,1n =，3313cos ,,13131m n m n m n ⋅===⋅⨯ 因此，二面角P AM D --的正弦值为231321311313⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭．19．高二某班级举办知识竞赛，从A ，B 两种题库中抽取3道题目（从A 题库中抽取2道，从B 题库中抽取1道）回答.小明同学对抽取的A 题库中的每道题目回答正确的概率均为12，对抽取的B 题库中的题目回答正确的概率为23.设小明对竞赛所抽取的3道题目回答正确的个数为X .(1)求X =2时的概率；(2)求X 的分布列及数学期望E （X ）.【答案】(1)512(2)分布列见解析，53【分析】（1）由题意分析：X =2表示可能答得对A 题库2题，也可能A 题库1题，B 题库1题，直接求概率；（2）X 的可能取值为0,1,2,3.分别求概率，计算数学期望.【详解】(1)X =2不表示可能答得对A 题库2题，也可能A 题库1题，B 题库1题，所以()11211152222322312P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯=.(2)X 的可能取值为0,1,2,3.所以()1111022312P X ==⨯⨯=；()1111121122232233P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯=；()112132236P X ==⨯⨯=. X 的分布列为：X 01 2 3 P 112 13 51216所以数学期望为：()1151501231231263E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 20．如图，底面为正方形的平行六面体1111ABCD A B C D -的各个棱的长度均为12,60CDD ∠=，平面11DCC D ⊥平面,,ABCD M N 分别是11,BC A D 的中点.(1)证明：AN ∥平面1C DM ；(2)求点C 到面1C DM 的距离.【答案】(1)证明见解析2 【分析】（1）利用向量的线性运算判断出1//AN MC ，利用线面平行的判定定理证明//AN 平面1C DM ；（2）以{},,DA DC DP 为一组正交基底，建立空间直角坐标系D xyz -，用向量法求点C 到面1C DM 的距离. 【详解】(1)由题1111112AN AA A N CC BC CC MC MC =+=+=+= 则1//AN MC 又AN ⊄平面1C DM ，所以//AN 平面1C DM .(2)在平面11CDD C 内，过点D 作DP DC ⊥，由平面11DCC D ⊥平面ABCD 可知：DP ⊥平面ABCD ，又ABCD 为正方形.现以{},,DA DC DP 为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则 ()()()10,0,0,1,2,0,0,3,3D M C设(),,m x y z =为平面1C DM 的法向量，则100m DM m DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,所以20,330.x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 不妨取1y =-,则()2,1,3m =-.又()0,2,0C ，所以()0,2,0DC =则0202m DC ⋅=-+=-则点C 到面1C DM 的距离为：22.28m DCh m ⋅===21．某工厂对一批零件进行质量检测.具体检测方案为：从这批零件中任取10件逐一进行检测.当检测到有2件不合格零件时，停止检测，此批零件检测未通过，否则检测通过.假设每件零件为不合格零件的概率为0.1，且每件零件是否为不合格零件之间相互独立.(1)若此批零件检测未通过，求恰好检测4次的概率；(2)已知每件零件的生产成本为100元，合格零件的售价为180元/件.现对不合格零件进行修复，修复后合格的零件正常销售，修复后不合格的零件以20元/件按废品处理，若每件零件的修复费用为30元，每件不合格零件修复后为合格零件的概率为0.8. ①记X 为生产一件零件获得的利润，求X 的分布列和数学期望.②小明说，对于不合格零件，直接按照废品处理更划算，从利润的角度出发，你同意小明的看法吗？试说明理由.【答案】(1)0.0243(2)①分布列见解析，73.8（元）；②不同意小明的看法，因为修复不合格雪件获得利润的数学期望更大【分析】（1）根据题意，由第四次检验不合格，前三次有一次检验不合格求解； （2）①易得X 可取80，50，110-，求得相应的概率，列出分布列，再求期望；②由两个期望比较下结论.【详解】(1)解：若此批零件检测末通过，恰好检测4次，则第四次检验不合格，前三次有一次检验不合格，故恰好检测4次的概率1230.1(10.1)0.10.0243P C =⨯⨯-⨯=.(2)①由题意可得，合格产品利润为80元，不合格产品修复合格后利润为50元，不合格产品修复后不合格的利润为110-元，则X 可取80，50，110-，故()800.9P X ==，()500.10.80.08,P X ==⨯=()1100.10.20.02,P X =-=⨯= 故X 的分布列为：故()800.9500.081100.0273.8E X =⨯+⨯-⨯=（元）.②对于不合格零件，直接按照废品处理，则每个零件获得利润的数学期望为： 800.9800.164⨯-⨯=（元）又6473.8<故不同意小明的看法，因为修复不合格零件获得利润的数学期望更大22．空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：,,i j k 分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x 轴､y 轴､z 轴）正方向的单位向量，若向量n xi yj zk =++，则n 与有序实数组（x ，y ，z ）相对应，称向量n 的斜60°坐标为[x ，y ，z ]，记作[,,]n x y z =.(1)若[]1,2,3a =，[1,1,2]b =-，求a b +的斜60°坐标；(2)在平行六面体11ABCD ABC D -中，AB =AD =2，AA 1=3，1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠=，如图，以{}1,,AB AD AA 为基底建立“空间斜60°坐标系”.①若1BE EB =，求向量1ED 的斜60坐标；②若[]2,,0AM t =，且1AM AC ⊥，求AM .【答案】(1)[0,3,5](2)①32,2,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；②2 【分析】（1）根据所给定义可得23a i j k =++，2b i j k =-++，再根据空间向量线性运算法则计算可得；（2）设,,i j k 分别为与1,,AB AD AA 同方向的单位向量，则12,2,3AB i AD j AA k ===，①根据空间向量线性运算法则得到1112ED AB AD AA =-++，即可得解； ②依题意1223AC i j k =++、2AM i tj =+且10AM AC ⋅=根据空间向量数量积的运算律得到方程，即可求出t ，再根据2(22)AM i j =-及向量数量积的运算律计算可得；【详解】(1)解：由[]1,2,3a =，[]1,1,2b =-，知23a i j k =++，2b i j k =-++， 所以(23)(2)a b i j k i j k +=+++-++35j k =+，所以[0,3,5]a b +=；(2)解：设,,i j k 分别为与1,,AB AD AA 同方向的单位向量，则12,2,3AB i AD j AA k ===， ①11ED AD AE =-()1112AD AA AB AA ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭ 112AB AD AA =-++ 3222i j k =-++ 32,2,2⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦ ②由题11223AC AB AD AA i j k =++=++， 因为[]2,,0AM t =，所以2AM i tj =+， 由1AM AC ⊥知()()122320AM AC i j k i tj ⋅=++⋅+= ()224242630i tj t i j k i tk j ⇒+++⋅+⋅+⋅=()1342423022t t t ⇒+++⋅++= 2t ⇒=-则()22222AM i j i j =-=-22448i j i j +-⋅2=⋅。
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高二数学下学期期中试题理（含解析）一、填空题：（请将答案填入答题纸相应的答题线上）1.从9道选择题与3道填空中任选一道进行解答，不同的选择方法有______．【答案】12【解析】【分析】12道题中选择一道，可根据组合数得到结果.【详解】从9道选择题与3道填空中任选一道进行解答，不同的选择方法有种方法. 故答案为：12.【点睛】考查了分类计数原理的应用，比较简单.2.某学校高三年级700人，高二年级700人，高一年级800人，若采用分层抽样的办法，从高一年级抽取80人，则全校总共抽取______人.【答案】220.【解析】分析：根据学生的人数比，利用分层抽样的定义即可得到结论．详解：设全校总共抽取n人，则：故答案为220人.点睛：本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键，比较基础．3.执行如图所示的伪代码，最后输出的值为______．【答案】14【解析】【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S的值，模拟程序的运行即可得解．【详解】模拟程序的运行，可得n＝1，S＝0满足条件S＜9，执行循环体，S＝0﹣1+1＝0，n＝2满足条件S＜9，执行循环体，S＝0+1+2＝3，n＝3满足条件S＜9，执行循环体，S＝3﹣1+3＝5，n＝4满足条件S＜9，执行循环体，S＝5+1+4＝10，n＝5满足条件S＜9，执行循环体，S＝10-1+5＝14，n＝6此时不满足S<9这一条件，退出循环，得到此时S=14.故答案为：14．【点睛】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．4.一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了1000人，并根据所得数据绘制了样本频率分布直方图（如图所示），则月收入在[2000，3500）范围内的人数为_______．【答案】650 【解析】 【分析】 先计算出内的频率，然后乘以总人数，得到这个范围内的人数. 【详解】内的频率为，故人数为人.【点睛】本小题主要考查频率分布直方图，考查频率的计算和频数的计算，属于基础题.5.已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8，9，10，10，8，则该组数据的方差为______． 【答案】 【解析】6.有4种不同的蔬菜，从中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行实验，则不同的种植方法共______种．（用数字作答） 【答案】【解析】分析：相当于从4块不同的土地中选出3块，进行全排列，方法共有 种详解：这相当于从4块不同的土地中选出3块，进行全排列，方法共有=4×3×2=24种， 故答案为： 24．点睛：本题考查了排列的实际问题，合理转化题意是关键.7.如图，圆和其内接正三角形，若在圆面上任意取一点，则点恰好落在三角形外的概率为____.【答案】【解析】【分析】结合三角形及三角形外接圆的面积公式，由几何概型中的面积比，即可求解其概率，得到答案。
【详解】设正三角形的外接圆的半径为，边长为，由正弦定理得，解得，设事件A为“点P恰好落在外”，由面积比的几何概型，可得，故答案为。
【点睛】本题主要考查了面积比的几何概型，三角形及三角形的外接圆的面积的应用，其中解答中正确求解正三角形的边长和其外接圆的半径的关系是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。
8.的展开式中的常数项为______.【答案】2【解析】【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．【详解】的展开式的通项公式为T r+1•（﹣1）r••x10﹣5r，令10﹣5r＝0，求得r＝2，可得展开式中的常数项为•5﹣1＝2，故答案为：2．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可;(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.9.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为__________．【答案】【解析】试题分析：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为，则一次取出2只球，基本事件为、、、、、共6种，其中2只球的颜色不同的是、、、、共5种；所以所求的概率是．考点：古典概型概率10.若，则的值为____．【答案】【解析】【分析】先化简=，再分别求和的值即得解.【详解】由题得=，令x=1,则，令x=-1,则，所以=故答案为：16【点睛】（1）本题主要考查二项式定理，考查二项式展开式的系数问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)与二项式定理展开式系数有关的问题，一般利用赋值法解答.11.一只电子蚂蚁在如图所示的网格线上由原点出发,沿向上或向右方向爬至点,记可能的爬行方法总数为,则=_____．【答案】21【解析】【分析】根据题意得到蚂蚁需要一共走7步，其中应该是向右爬5步，向上爬2步，故方法种数为【详解】蚂蚁在如图所示的网格线上由原点出发,沿向上或向右方向爬至点,一共走7步，其中应该是向右爬5步，向上爬2步，故方法种数为种数.故答案为：21.【点睛】本题考查组合数公式的应用，注意将原问题转化为组合问题进行分析．12.已知,,点M在直线OC上运动，则的最小值为_______．【答案】【解析】试题分析：由题意得，因为点M在直线OC上运动，所以设，显然当a=时，有最小值为考点：1.共线向量的充要条件；2.向量的数量积的运算；3.二次函数最值的求解方法。
13.在一个如图所示的6个区域栽种观赏植物，要求同一块区域中种同一种植物，相邻的两块区域中种不同的植物.现有4种不同的植物可供选择，则不同的栽种方案的总数为____．【答案】【解析】【分析】先种B、E两块，再种A、D,而种C、F与种A、D情况一样，根据分类与分步计数原理可求。
【详解】先种B、E两块，共种方法，再种A、D,分A、E相同与不同，共种方法，同理种C、F共有7种方法，总共方法数为【点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.本题先种B、E两块，让问题变得更简单。
14.对于各数不相等的正整数组（i1, i2, …, i n），（n是不小于2的正整数），如果在p>q时有，则称i p和i q是该数组的一个“好序”，一个数组中“好序”的个数称为此数组的“好序数”，例如，数组（1, 3, 4, 2）中有好序“1, 3”，“1, 4”，“1, 2”，“3, 4”，其“好序数”等于4. 若各数互不相等的正整数组（a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7）的“好序数”等于3，则（a7，a6, a5, a4, a3, a2, a1）的“好序数”是______.【答案】18【解析】【分析】各数互不相等的正整数组（a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7）的“好序数”等于3，这个数组中可以组成对实数，另一个数组的好序数即为对.【详解】各数互不相等的正整数组（a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, a 6, a 7）的“好序数”等于3，这个数组中可以组成对实数，则（a 7，a 6, a 5, a 4, a 3, a 2, a 1）的“好序数”是对.故答案为：18.【点睛】本题考查一个新定义问题，解题的关键是读懂题目条件中所给的条件，并且能够利用条件来解决问题，本题是一个考查学生理解能力的题目．二、解答题：（解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）15.从5本不同的科普书和4本不同的数学书中选出4本，送给4位同学，每人1本，问： （1）如果科普书和数学书各选2本，共有多少种不同的送法？（各问用数字作答） （2）如果科普书甲和数学书乙必须送出，共有多少种不同的送法？（3）如果选出的4本书中至少有3本科普书，共有多少种不同的送法？ 【答案】（1）1440种（2）504种（3）1080种 【解析】 【分析】（1）由题意，先从5本不同的科普书和4本不同的数学书中各选2本，再送给4位同学，可得结论；（2）科普书甲和数学书乙必须送出，从其余7本中选2本，再送给4位同学，可得结论；（3）选出的4本书中至少有3本科普书，包括3本科普书1本数学书、4本科普书，可得结论．【详解】（1）从5本科普书中选2本有种选法，从4数学书中选2本有种选法，再把4本书给4位同学有种，所以科普书和数学书各选2本，共有种不同的送法.（2）因为科普书甲和数学书乙必须送出，所以再从其余7本书选2本有种，再把4本书给4位同学有种，所以共有种不同的送法.（3）选出4本科普书有种，选出3本科普书有种，再把4本书给4位同学有种，所以至少有3本科普书的送法为种.【点睛】本题考查排列组合知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．16.在班级活动中，4 名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）（1）三名女生互不相邻，有多少种不同的站法？（2）四名男生相邻有多少种不同的排法？（3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？（4）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等）【答案】（1）1440（2）576（3）3720（4）840【解析】分析：（1）采取“插空法”可得结果；（2）采取“捆绑法”可得结果；（3）分“甲在右端”、“甲不在两端”两种情况讨论，然后求和即可；（4）先把七个人全排列，再除以即可.详解：（1）=1440;（2）=576;（3）=3720;（4）=840 .点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊顺序问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.17.如图，在正四棱柱中，，，点是的中点．（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1) .(2) .【解析】【详解】分析：（1）直接建立空间直角坐标系，求出，D，M四点的坐标写出对于的向量坐标，然后根据向量的夹角公式求解即可；（2）先根据坐标系求出平面的法向量，然后写出向量，在根据向量夹角公式即可求解.详解：在正四棱柱中，以为原点，、、分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系．因为，，，所以，，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为．(2)，设平面的一个法向量为．则，得，取，得，，故平面的一个法向量为．于是，所以直线与平面所成角的正弦值为．点睛：考查线线角，线面角对于好建空间坐标系的立体几何题则首选向量做法，直接根据向量求解解题思路会比较简单，但要注意坐标的准确性和向量夹角公式的熟悉，属于基础题.18.如图，四棱锥的底面是菱形，与交于点，底面，点为线段中点，.（1）求直线与所成角的正弦值；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建立空间坐标系分别求得直线DP和BM的方向向量，进而得到异面直线的夹角；（2）分别求两个平面的法向量，再由向量夹角的计算公式得到结果.【详解】（1）因为是菱形，所以．又底面，以为原点，直分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系．则,,,,,．所以，，，，．则故直线与所成角的余弦值为.直线与所成角的正弦值为.（2），．．设平面的一个法向量为，则，得，令，得，．得平面的一个法向量为又,设平面的一个法向量为，得，令，得，．得平面的一个法向量为．所以，，．则故平面与平面所成二面角的正弦值为.【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．异面直线的夹角的求法；常见方法有：将异面直线平移到同一平面内，转化为平面角的问题；或者证明线面垂直进而得到面面垂直，这种方法适用于异面直线垂直的时候.19.已知.（1）若，求及的值；（2）若，求最大的系数；（3）定义，若化简.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】(1)由赋值法得到相应的数值；（2）将参数值代入表达式得到其通项公式为，由不等式，可得到，进而得到；（3）按照组合数的展开公式，分组求和即可.【详解】（1）若，，令,则，令，则所以.（2）若，其通项公式为，由不等式解得，且，∴.所以.（3）若,【点睛】本题考查二项式定理的应用,以及组合数公式的相关运算，考查推理能力与计算能力，属于中等题。