高中数学 3.2复数的四则运算导学案2苏教版选修2-2
2020年高中数学教案选修2-2《3.2 复数的四则运算(2)》
教学目标：1．掌握复数的除法及乘方运算法则及意义． 2．理解并掌握复数进行四则运算的规律．教学重点：复数乘方运算． 教学难点：复数运算法则在计算中的熟练应用．教学方法：类比探究法．教学过程：一、 复习回顾1．复数的加法，减法和乘法．2．共轭复数：共轭复数：i z a b ＝＋与i z a b ＝－互为共轭复数；实数的共轭复数是它本身；共轭复数的简单性质：2z z a -＋＝；2i z z b -－＝；22z z a b -⋅＝＋．二、建构数学乘方运算法则：z ，z 1，z 2∈C 及m ，n ∈N *．（1）m n m n z z z ＋＝ （2） ()m n mn z z ＝ （3） 1212()n n nz z z z ＝．除法运算：z 2＝c ＋d i ≠0， 2222i (i)(i)i i (i)(i)a b a b c d ac bd bc adc d c d c d c d c d ＋＋－＋－＝＝＋＋＋－＋＋． 三、数学应用例1 计算2i34i－－． 解 解法一 设2i34i－－＝x ＋y i ，即(3－4i)( x ＋y i)＝2－i ；所以342341x yy x⎧⎨⎩＋＝－＝－所以2515xy⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝所以2i34i－－＝25＋15i 例4设132ω＝－，求证：（1）210ωω＋＋＝（2）31ω＝．证明（1）221313(i2222ω＝－＋＝－－所以2131311i02222ωω＋＋＝－＋－－＝（2）221313(i2222ω＝－＋＝－－所以321313(122ωωω＝＝－＋－＝思考写出13=x在复数范围内的三个根？结论423213i22101ωωωωωω＝－＋＋＋＝＝＝，23213i22101ωωωωωω＝－－＋＋＝＝＝四、巩固练习课本P117练习第2，3题．五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1．复数的乘方法则和运算律．2．复数的除法法则和运算律．3．几个常用的结论．.....................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。
高中数学教案选修2-2《3.2复数的四则运算》
Word 文档仅限参照教课目的：1．掌握复数的除法及乘方运算法例及意义．2．理解并掌握复数进行四则运算的规律．教课重点：复数乘方运算．教课难点：复数运算法例在计算中的娴熟应用．教课方法：类比研究法．教课过程：一、复习回首1．复数的加法 ,减法和乘法．2．共轭复数：共轭复数：z＝ a＋bi 与z＝a－bi互为共轭复数；实数的共轭复数是它自己；共轭复数的简单性质：z＋ z＝2a ； z－ z＝2bi ； z z＝a2＋b2．二、建构数学乘方运算法例： z,z1,z2∈C及 m,n∈N*．（ 1）m n m＋ n（ 2）(m ) n mn n n nz z＝z z＝z（） ( z1z2 ) ＝ z1 z2．3除法运算： z2＝c＋di≠0,＋＋－＋bd2－ad2 i ．a bi ＝ (a bi)( c di)＝ac2＋bc2c＋ di(c＋di)( c－ di) c ＋ d c ＋ d三、数学应用例 1 计算2－i．3－ 4i2－ i解解法一设＝x＋yi,即(3－4i)( x＋yi)＝2－i；Word 文档仅限参照Word 文档仅限参照因此＋＝因此x＝2因此2－i＝2＋1i3x 4 y 25－＝－1－3 4i 5 53y 4 x1y＝5例 4设＝－1＋3求证：（）＋＋2＝0（ 2）3＝．22i,111证明（ 1）2＝(－1＋3i)2＝－1－3i 2222因此 1＋＋2＝1－1＋3i －1－3i＝0 2222（ 2）2＝(－1＋3i)2＝－1－3i 2222因此3＝2＝(－1＋3i)(－1－3i)＝1 2222思虑写出 x31在复数范围内的三个根？＝－1＋3i＝－1－3i22222结论 421＋＋,＋＋＝＝013＝13＝122＝＝四、稳固练习课本 P117 练习第 2, 3 题．Word 文档仅限参照Word 文档仅限参照五、重点概括与方法小结本节课学习了以下内容：1．复数的乘方法例和运算律．2．复数的除法法例和运算律．3．几个常用的结论．Word 文档仅限参照。
高中数学：3.2.2《复数的四则运算》教案(苏教版选修2-2)
某某中学西区高二数学教案（ ）
主备人
胡广宏 授课人 授课日期 课题 §复数的四则运算 课型 新授
教学目的：
知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算
过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题
情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。
教学重点：复数代数形式的除法运算。
教学难点：对复数除法法则的运用。
教学过程
备课札记 1、实数集R 中正整数指数的运算律,在复数集C 中仍然成立.即对z1,z2,z3
∈C 及m,n ∈N*有:
zmzn=zm+n,
(zm)n=zmn,
(z1z2)n=z1nz2n.
例2:设1322i ω=-+
,求证:
(1)
2310,(2)1ωωω++==
2. 复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y ∈R)叫复数a+bi
除以复数c+di 的商，记为：(a+bi)÷(c+di)或者di c bi
a ++
3.除法运算规则：
①设复数a+bi(a ，b ∈R)，除以c+di(c ，d ∈R)，其商为x+yi(x ，y ∈R)，
即(a+bi)÷(c+di)=x+yi
∵(x+yi)(c+di)=(cx －dy)+(dx+cy)i.
∴(cx －dy)+(dx+cy)i=a+bi.。
2019-2020学年高中数学 3.2复数的四则运算导学案1苏教版选修2-2.doc
2019-2020学年高中数学 3.2复数的四则运算导学案1苏教版选修
2-2
【学习目标】
知识与技能：掌握复数的乘法运算及意义；
过程与方法：理解并掌握实数进行四则运算的规律；
情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实
部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念。
【学习重点】复数乘法、除法运算。
【学习难点】复数乘法、除法运算。
【学习流程】
复习回顾
复数的加法、减法运算法则
重点点拨：
1．复数乘法运算律：
2．除法运算的运算律：
3．共轭复数及其性质：
诱思讨论1：怎样判断一个复数是实数？
诱思讨论2：的变化有怎样的规律？
例题分析
例1．已知复数，求实数使。
变题：复数满足，求。
例2．求值：。
例3．已知，求的值。
巩固练习
设复数满足（是虚数单位），则的实部为____。
2．若复数其中是虚数单位，则复数的实部为____________________。
3．表示为，则=_______________。
5．设，（i为虚数单位），求的值。
课堂小结
通过本节课的学习，你学到了哪些新知识？能解决哪些问题？笔记栏：
学后反思。
高中数学 3.2复数的四则运算学案 苏教版选修2-2
3．2 复数的四则运算二、预习指导1．预习目标(1)了解复数的代数表示法；(2)能进行复数代数形式的四则运算．2．预习提纲(1)复数四则运算法则：①加法法则：______________ ；②减法法则：______________ ；③乘法法则：______________ ；复数的乘法满足交换律、结合律和分配律吗?④除法法则：______________ ．(2)复数的正整数指数幂的运算律：① ____________________ ；② ____________________ ；③ ____________________ ．(3)我们把实部相等、虚部互为相反数的两个复数叫做互为________；_____数的共轭复数仍是它本身．(4)你能总结出i的正整数指数幂的规律吗?(5)你能写出方程x3=1的三个根吗?(6)阅读课本第106页至第110页内容，并完成课后练习．(7)结合课本第107页的例1，学习复数的加法法则和减法法则；结合课本第107页的例2，学习复数的乘法法则，体会复数的乘法满足结合律；结合课本第107页的例3，进一步运用复数的乘法法则，体会在复数范围内，对x2＋y2进行分解因式；结合课本第108页的例4，体会方程x3=1的三个根的相互关系；对于课本第109页的例5，解法1是运用复数的除法法则，解法2是使分母“实数化”，将复数除法化归为复数乘法，请仔细体会，并将两种解法作比较．3．典型例题(1)复数的加减运算两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．复数的加法运算是一种规定，减法是加法的逆运算．复数的加减运算可类比多项式的加减运算，但不是多项式运算的合情推理，而是一种新的规定，它是数学建构过程中的重要组成部分，运算时可类比多项式合并同类项法则来理解和记忆．例1 计算(2＋3i)＋(4－5i)－ (－2－i)的值．解：原式=(2＋4＋2)＋(3－5＋1)i=8－i．(2)复数的乘法与乘方复数的乘法运算法则：(i)(i)()()i a b c d ac bd bc ad ++=-++乘法运算律：1221123123(1);(2)()()z z z z z z z z z z ==；(3)1231213()z z z z z z z +=+；(4)m nm nz z z+=；(5)()m n mn z z =；(6)1212()m m nz z z z =例2 计算：(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)； (2)(12-)3；)6＋)6． 分析：复数的乘法运算与多项式的乘法运算相类似，先两两结合展开，利用n i 化简后， 在再将复数的实部与虚部合并；而乘方运算应注意合理利用一些常用且有效的结论来处理． 解：(1)原式=(11－2i)(－2＋i)=2015i -+；(2)原式=331(1)(2--+= －1；(3)原式=661(i)(2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦＋661(i)(2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦= －2． 点评：在运算过程中，注意运用常用技巧及规律，如有关复数的方幂：①i 的周期性：i 4n ＋1=i ；i4n ＋2= －1；i4n ＋3= －i ；i 4n=1(n Z ∈)；②若12ω=-，则=ω212--，=ω31，1＋=ω+ω20．(3)共轭复数共轭复数的定义：实部相等，虚部互为相反数的两个复数称为共轭复数．共轭复数的性质：① z z =；② 1212z z z z ±=±；③ 对于复数z ，z 是实数z z ⇔=；④ 若z 为纯虚数，则0z z +=．例3 已知复数22121()i 2(13)i()z m m m z m m R =+++=+-∈与是共轭复数，求m 的值． 分析：根据共轭复数的定义知：两个共轭复数的实部相同，虚部互为相反数． 解：由22121()i 2(13)i()z m m m z m m R =+++=+-∈与是共轭复数得：2212,(13).m m m m ⎧+=⎪⎨+=--⎪⎩解得：1,1.m m =±⎧⎨=⎩从而m =1． 即m =1时，12,z z 是共轭复数．点评：共轭复数是复数集中比较重要且具有独特性质的复数，应准确把握它的代数特征：虚部互为相反数．例4 已知f (z )=2z ＋z －3i ，f (z ＋i)=6–3i ，求f (－z )的值．分析：先利用f (z )=2z ＋z －3i ，f (z ＋i)=6–3i ，得到复数z 满足的等式，然后设z =a ＋b i(,a b R ∈)，利用复数相等得到关于实数a ，b 的方程组，解方程组即可． 解：f (z ) = 2z ＋z －3i ，∴ f (z ＋i )=2()()3z i z i i +++-=22z z i +-．又f (z ＋i )=6–3i ，∴22z z i +-=6– 3i ，即2z z +=6－i ． 设(,)z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，∴2()()6a bi a bi i -++=-，即3a －bi =6－i ．由复数相等的定义知：36,1.a b =⎧⎨-=-⎩解得：2,1.a b =⎧⎨=⎩∴z =2＋i ．∴ f (－z )=2(－2－i )＋(－2＋i )－3i = －6－4i ．点评：本题中要求f (－z )的值关键先求出z ，求复数z 时通常设复数(,)z a bi a b R =+∈，利用复数相等的定义将问题实数化，从而使问题得到解决．(5)复数的除法满足(c ＋di )(x ＋yi )=(a ＋bi )的复数x ＋yi (x ，y ∈R )叫复数a ＋bi 除以复数c ＋di 的商，记为：(a ＋bi )÷(c ＋di )或者dic bia ++． 一般地，我们有di c bi a ++=22)(b a i ad bc bd ac di c di c di c bi a +-++=--⋅++=i dc adbc d c bd ac 2222+-+++． 例5 已知2222227832a ab b a b ia b abi i+++-=+++，求实数a ，b ．分析：要求两个未知数的值，必须列出两个方程，这可以由两个复数相等的充要条件而得到．因此我们先得将已知等式变形．解：已知左边=22()()[][]a b abi a b abi a b abi a b abi a b abi+-+++-=++++=()a b abi +-，右边=(278)(32)657856(32)(32)13i i ii i i ---==-+-，所以()a b abi +-=5－6i ．由复数相等的定义知：532623a b a a ab b b +==⎧⎧⎧⎨⎨⎨==⎩⎩⎩=解得或= 点评：该例解答是否简便关键在于采取的变形方法．表面上看对已知等式作如下的变形：2222(2)(32)()(278)a ab b a b i a b abi i ++++=++-，再施行复数运算较为简便．但事实上不如上述解答简捷．这是因为已知式的左边的分式并非杂乱无章的，只要我们仔细观察就会发现它是一个按一定规律排列的关于a ，b 对称的式子，因此就得到如此简捷的解法． 4．自我检测(1)(1－2i)–(2–3i)＋(3–4i)－…＋(2007－2008i)=______________． (2)已知复数,230i z +=满足0035,z z z z +=-则复数z = ______________． (3)设a R ∈，且2()a i i +为正实数，则a =______________． (4)复数()221i i +=______________． (5)复数32(1)i i +=______________． 三、课后巩固练习A 组1． 若()()12i i ++=a+bi ,其中,,a b R i ∈为虚数单位,则a b +=_______. 2． 计算:ii+-13=_______(i 为虚数单位). 3． 若复数z 满足1iz i =+,则z =_______.4． 设a b ∈R ，,117ii 12ia b -+=-,则a b +的值为____. 5． 若复数z 满足(2)z i z =-，则z =______________． 6．已知2()2a i i -=，那么实数a =______________．7．如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m =______________．8．若i b i i a -=-)2(，其中a 、b ∈R ，则22b a +=______________．9．)2321(i +-)2321(i --)2321(i -6=______________．10．设,,,,a b c d R ∈则复数()()a bi c di ++为实数的充要条件是______________． 11．设复数：z 1=1＋i ，z 2=x ＋2i (x ∈R )，若z 1 z 2为实数，则x = ______________． 12．若复数z 满足方程220z +=，则3z =______________．13．416x -分解为一次式的乘积为______________．14．复数－7＋24i 的平方根为______________．15．已知复数z 满足3i )z ＝3i ，则z =______________．16．已知复数1z i =-，则21z z =-______________．17．11ii+-表示为a ＋bi (a ，b ∈R )，则a ＋b = ． 18．计算：(1)31()i i -； (2)(2)12i i i +-； (3)1＋22i；(4)(1)(12)1i i i -++； (5) 201311⎪⎭⎫⎝⎛-+i i ； (6)()()221111iii i -+++-；3； (8)3123i i ++；19．计算： (1) (1－i )＋(2－i 3)＋(3－i 5)＋(4－i 7)；(2) (22－22i )2＋(22＋22i )2； (3) (a ＋bi )(a －bi )(－a ＋bi )(－a －bi )．20．计算： (1)ii i 1212++；(2)1i i + (3)212i i-+-+． B 组21．复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋i 4的值是______________． 22．已知z =，则z 100＋z 50＋1=______________．23．i 1i 2i 3i 4…i2001= ，(1－i )11的实部为 ，)2321(i +-2001的虚部为 ．24．已知a 是实数，iia +-1是纯虚数，则a =______________． 25．复数ai i1+2-为纯虚数，则实数a为_____ ．26．设复数z 满足i z i 23)1(+-=+，则z 的实部是_________．27.已知复数1z 满足1(2)(1)1z i i -+=-，复数2z 的虚部为2，12z z ⋅是实数，则2z =———．28．复数11212i i+-+-的虚部是______________． 29．若2121,43,2z z i z i a z 且-=+=为纯虚数，则实数a 的值为______________． 30．已知11mni i=-+，其中m ，n 是实数，则m ni +=___________． 31．复数11z i=-的共轭复数是______________．32．复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --=____________ ． 33．若i z i1+2=，则复数z =__________ ．34．设z 1=2＋3i ，z 2=4－5i ，则2121z z z z -= ______________． 35．若复数z 同时满足z －-z ＝2i ，-z ＝iz ，则z =______________． 36．设z 的共轭复数是z ，若z ＋z =4，z ·z ＝8，则zz=______________． 37．设211z z iz =-，已知z 2的实部是1-，则z 2的虚部为 ．38．若f (z )=z ，z 1=3＋4i ，z 2=－2＋i ，则)(21z z f -的值为______________． 39．设,x y 为实数，且511213x y i i i+=---，求x y +的值． 40．已知x ，y ∈R ，复数(3x ＋2y )＋5xi 与复数18)2(+-i y 相等，求x ，y 的值． 41．已知复数z =1＋i ，求实数a ，b ，使22(2)az bz a z +=+．42．已知1(3)(4)z x y y x i =++-，2(42)(53)z y x x y i =--+(,)x y R ∈．设12z z z =-，且132z i =+，求12,z z ．C 组43．已知12()1,23,5,f z z z i z i =-=+=-求12()f z z -．44．已知关于t 的一元二次方程t 2＋(2＋i )t ＋2xy ＋(x －y )i =0(x ，y ∈R )． (1)当方程有实根时，求点(x ，y )的轨迹方程； (2)求方程实根的取值范围．45．求同时满足下列两个条件的所有复数： (1)10z z +是实数，且1＜10z z+≤6； (2)z 的实部和虚部都是整数． 46．设z 为虚数，1w z z=+是实数，且－1＜w ＜2，若设z =a ＋bi (b ≠0)． (1)求a 2＋b 2的值，及a 的取值范围； (2)设11zu z-=+，求证：u 为纯虚数；(3)求w－u2的最小值．五、拓展视野如果a，b，c，d都是实数，那么关于x的方程：x2＋(a＋bi)x＋(c＋di)=0有实根的充要条件是什么?下面是某同学给出的解法：由题意知x∈R，且x2＋ax＋c＋(bx＋d)i=0，∴20,(1)0.(2) x ax cbx d⎧++=⎨+=⎩由(2)得dxb=-，代入(1)得d2－abd＋b2c=0．以上解法是否正确?请给出你的评价．3.2 复数的四则运算（1）1004-1005i （2）9+6i （3）-1 （4）-4 （5）21.(1)(2)131,34i i i a bi a b a b ++=+=+⇒==⇒+=2.i i i i i i i i 212413)1)(1()1)(3(13-=--=-+--=+-3.1i -4.由117ii 12i a b -+=-得()()()()117i 12i 117i 1115i 14i ===53i 12i 12i 12i 14a b -+-+++=+--++,所以=5=a b ，,=8a b +5．1+i 6．-1 7．-1 8．5 9．1 10．ad +bc =0 11．-2 12．i 22± 13．(x +2)(x -2)(x +2i )(x -2i )14．3+4i 或-3-4i 15．34 16．2 17. 1 18．(1) -8i (2) -1 (3) -1 (4) 2-i (5) i (6) -1 (7) i (8)1710i+ (9) i 19．(1)10；(2)0；(3)(a 2+b 2)220．(1)i ；(2)12i-；(3) 0 17．0 22．-i 23．i ，-32，0 24．1 25.2 26.1 27.1(2)(1)1z i i -+=-⇒12z i =-设22,z a i a R =+∈，则12(2)(2)(22)(4)z z i a i a a i =-+=++-，∵ 12z z R ∈，∴ 242z i =+ 28．15 29．38 30．2+i 31．1122i - 32．i - 33． i 2+ 34．44i 35．i -136．±i 37．1 38．5+3i39．解：(1)(12)2()()112252525x y x i y i x y x yi i y +++=+=+++--， 而55(13)13131022i i i +==+- 所以123252252x y x y +=+=且，解得x ＝－1，y ＝5， 所以x ＋y ＝4.40．x = -2，y =12 41．2,1,a b =-⎧⎨=-⎩或4,2,a b =-⎧⎨=⎩42．z 1=5-9i ，z 2=-8-7i 43． 4-4i 44．(1)设实根为t ，则t 2+2t +2xy +(t +x -y )i =0，根据复数相等的充要条件，得t 2+2t +2xy =0，且t +x -y =0.消去t 得：(x -1)2+(y +1)2=2；(2)所求点的轨迹是以(1,-1)t=y-x 与圆有公共点，≤-4≤t ≤0.45．设,,z x yi x y Z =+∈，则222210101010()x y z x yi x y i z x yi x y x y+=++=++-+++， 因为10z z +为实数，所以2210y y x y-+=0，所以y =0或x 2+y 2=10.当y =0时，1010z x z x +=+，因为1010x x x x+≥+≤-或 又1＜10z z+≤6，所以y =0不合题意. 当x 2+y 2=10时，1010210x z x x z +=+=，所以1＜2x ≤6,又因为x ∈Z ,所以x =1,2,3 分别代入检验，得z =1±3i ，或z =3±i . 46．(1)222211()()a b w z a bi a b i z a bi a b a b =+=++=++-+++, 因为-1＜w ＜2，所以w 为实数，所以220bb a b-=+， 又因为b ≠0,所以a 2+b 2=1.此时w =2a ∈(-1,2),所以1(,1)2a ∈-.(2)221(1)[(1)][(1)]1(1)(1)1z a bi a bi a bi bu i z a bi a b a-----+-====-++++++, 因为b ≠0，所以u 是纯虚数.(3)222222112()222(1)311(1)(1)b b a w u a i a a a a a a a -⎡⎤-=--=+=+=++-⎢⎥++++⎣⎦因为1(,1)2a ∈-，所以11(,2)2a +∈，所以1(1)21a a ++≥+， 当且仅当a =0时取等号，所以w -u 2的最小值为1.。
数学：《3.2复数的四则运算(2) 》(选修2-2)
【探究】 怎样判断一个复数是实数？ ① z的虚部为0 ② z = z
【例1】已知复数 z=1+i 使 ,求实数a,b
2
a z 2b z (a 2 z)
a=－2,b=－1; a=－4,b=2;
2. 复数 z 满足 (1 2i ) z 4 3i 求z
3.2 复数的四则运算
复习: z1 a bi , z2 c di
z1 z2 (a c) (b d )i
z1 z2 ac adi bci bdi
2
(ac bd) (ad bc)i
运算满足交换律、结合律、分配律
a bi (a bi ) (c di ) c di (a bi)(c di) (c di)(c di)
拓
设关于 x 的方程
2
展
x (tan i ) x (2 i ) 0 ( R) 若方程有实数根，求锐角 的值, 并求出方程的所有根。
解： 2 x tan 2) ( x 1)i 0 (x x x tan 2 0, x 1 0 x 1, tan 1
2
45
o
i __ , i __ , i __ , i __
5 6 7 8
你能发现规律吗？有怎样的规律？
i
4n
1 ,
i
4n 1
i ,
i
4n 2
1
, i
4n 3
i
【例2】求值： i i
2
i i
3
2 3 4
2006
苏教版数学高二-数学苏教版选修2-2学案 复数的四则运算(2)
第3课时复数的四则运算(2)教学过程一、问题情境在实数中,除法运算是乘法的逆运算.类似地,可以怎样定义复数的除法运算?二、数学建构问题1复数的除法法则是什么?解设复数a+b i(a,b∈R)除以c+d i(c,d∈R),其商为x+y i(x,y∈R),其中c+d i≠0,即(a+b i)÷(c+d i)=x+y i.因为(x+y i)(c+d i)=(cx-dy)+(dx+cy)i,所以(cx-dy)+(dx+cy)i=a+b i.由复数相等的定义可知解这个方程组,得于是有(a+b i)÷(c+d i)=+i.由于c+d i≠0,所以c2+d2≠0,可见两个复数的商仍是一个复数.利用待定系数法和等价转化的思想来推导除法法则,最后再利用两个复数相等的定义解.问题2初中我们学习的化简无理分式时,采用的分母有理化的思想方法,而c+d i的共轭复数是c-d i,能否模仿分母有理化的方法对复数商的形式进行分母实数化?解====+i.所以(a+b i)÷(c+d i)=+i.三、数学运用【例1】i+i2+i3+…+i2 010+i2 011+i2 012.[1](见学生用书P57)[处理建议]i n是周期出现的,i n+i n+1+i n+2+i n+3=0(n∈N*).[规范板书]解原式=(i+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+…+(i2 009+i2 010+i2 011+i2 012)=0.[题后反思]可能有学生考虑用等比数列求和公式.原式==0,这个方法也很好.变式计算i+2i2+3i3+…+1 997i1 997.[规范板书]解原式=(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)+(9i-10-11i+12)+…+(1993i-1994-1995i+1996)+1997i=499·(2-2i)+1 997i=998+999i.【例2】(教材第116页例4)设ω=-+i,求证:(1) 1+ω+ω2=0;(2)ω3=1;(3)ω2=,=ω.[2](见学生用书P57)[处理建议]先计算ω2,再做加法.[规范板书]证明(1) 1+ω+ω2=1++=+i+-2××i+=+i+-i-=0.(2)ω3==+3··i+3··+=-+i+-i=+i=1.(3)ω=1,由(2)知ω2===,同理=ω.[题后反思]对于第(2)小题,也可以这样做,要证ω3=1,只要证ω3-1=0即可.由ω3-1=(ω-1)·(ω2+ω+1)=(ω-1)·0=0,由此可知,1有3个立方根:1,ω,.变式设z=+i,求证:(1) 1-z+z2=0;(2)z3=1;(3)z2=-.[规范板书]解由例2知z=+i=-,所以=-ω.(1) 1-z+z2=1++(-)2=1++ω=0.(2)z3=(-)3=1.(3)z2=(-)2=ω=-.【例3】计算:(1+2i)÷(3-4i).[3](见学生用书P58)[处理建议]用两种方法做复数的除法运算.[规范板书]解法一设(1+2i)÷(3-4i)=x+y i,所以1+2i=(3-4i)(x+y i),1+2i=(3x+4y)+(3y-4x)i.所以3x+4y=1且3y-4x=2.所以x=-,y=.所以(1+2i)÷(3-4i)=-+i.解法二(1+2i)÷(3-4i)=====-+i.[题后反思]解法一根据复数相等的充要条件应用待定系数法求复数,是常用的方法之一;解法二体现了复数问题实数化的基本思想.变式计算.解原式======1-i.*【例4】计算+.[4][处理建议]先计算=-i,再利用i n的周期性;对于,不易发现分子与分母的关系,可先启发寻找a+b i与b-a i之间的关系.[规范板书]解原式=+=-i+(-i)1997=-2i.[题后反思]在学习过程中积累一些常用结论,可以更有效地简化计算,提高计算速度.又如(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,=-i,===i.变式计算:i2 007+(+i)8-+.解原式=i4×501+3+[2(1+i)2]4-+=i3+(4i)4-+i=-i+256++i=256+=256-i.*【例5】已知z2=8+6i,求复数f(z)=z3-16z-的值.[5][处理建议]利用待定系数法,求出z,再代入求f(z).[规范板书]解设z=x+y i(x,y∈R),所以由②得y=,代入①得x2-=8,所以x4-8x2-9=0,所以x2=9或x2=-1(舍去).所以x=±3.当x=3时,y=1;当x=-3时,y=-1.所以z=±(3+i).当z=3+i时,f(3+i)=(3+i)3-16(3+i)-=33+3·32·i+3·3·i2+i3-48-16i-=27+27i-9-i-48-16i-30+10i=-60+20i.当z=-3-i时,f(-3-i)=(-3-i)3-16(-3-i)-=-(27+27i-9-i)+48+16i+=60-20i.[题后反思]通过此例,会求任意一个复数的平方根,会在复数范围内求函数式的值.四、课堂练习1.复数-i+=-2i .提示-i+=-i-i=-2i.2.计算:(1);(2).解(1)===-i.(2)解法一====i.解法二===i.3.=-i.解=i2 011=i3=-i.4.在复数范围内写出方程x4=1的根.解x4-1=(x2-1)(x2+1)=(x+1)(x-1)(x+i)(x-i),所以方程x4=1的根为1,-1,i,-i.五、课堂小结1.在进行复数四则运算时,我们既要做到会做,会解,更要做到快速解答.在学习过程中积累一些常用结论,可以更有效地简化计算,提高计算速度,例如:(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,=i,=-i;若ω=-+i,则1+ω+ω2=0,ω3=1;===i.2.在进行复数的四则运算时,容易出现的错误有:(1)由于对i的性质掌握不准确致误.如“i2=1”“i4=-1”等在计算中是常见的错误.事实上,i2=-1,i4=1.(2)在计算除法运算时出错.因为复数的除法运算是四则运算中最麻烦的一种,常会出现一些计算上的错误.。
高中数学第三章3.2复数的四则运算(第一课时)复数的加减与乘法运算讲义(含解析)苏教版选修2_2
3.2复数的四则运算第一课时复数的加减与乘法运算复数的加减法已知复数z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)．问题1：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．问题2：复数的加法满足交换律和结合律吗？提示：满足．1．复数的加法、减法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i.即两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．2．复数加法的运算律(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1；(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).复数的乘法设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，(a，b，c，d∈R)问题1：如何规定两复数相乘？提示：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．即z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝ac＋bc i＋ad i＋bd i2＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.问题2：试验复数乘法的交换律．提示：z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i，z2z1＝(c＋d i)(a＋b i)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.故z1z2＝z2z1.1．复数的乘法设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么它们的积(a ＋b i)(c ＋d i)＝ac ＋bc i ＋ad i ＋bd i 2＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i(a ，b ，c ，d ∈R )．2．复数乘法的运算律 对于任意z 1、z 2、z 3∈C ，有交换律 z 1·z 2＝z 2·z 1结合律 (z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)乘法对加法的分配律z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3共轭复数问题：复数3＋4i 与3－4i ，a ＋b i 与a －b i(a ，b ∈R )有什么特点？ 提示：两复数的实部相等，虚部互为相反数．1．把实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数． 2．复数z ＝a ＋b i 的共轭复数记作z －，即z －＝a －b i.3．当复数z ＝a ＋b i 的虚部b ＝0时，z ＝z －，也就是说，实数的共轭复数仍是它本身．1．复数加、减法的规定：实部与实部相加(减)、虚部与虚部相加(减)．两个复数的和或差仍是一个复数．2．复数的乘法与多项式的乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i 2换成－1，再把实部，虚部分别合并、两个复数的积仍是一个复数，可推广到任意多个复数，任意多个复数的积仍然是一个复数．[对应学生用书P38]复数的加减运算[例1] 计算： (1)(3＋5i)＋(3－4i)； (2)(－3＋2i)－(4－5i)；(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)．[思路点拨] 解答本题可根据复数加减运算的法则进行．[精解详析] (1)(3＋5i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i.(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i.(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝(5－2－3)＋[－5＋(－2)－3]i＝－10i.[一点通] 复数加减运算法则的记忆方法：(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．(2)把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．1．(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)＝________.解析：(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i＝－4－10i.答案：－4－10i2．若(－7i＋5)－(9－8i)＋(x＋y i)＝2，则x＋y＝________. 解析：(－7i＋5)－(9－8i)＋(x＋y i)＝(5－9＋x)＋(－7＋8＋y)i＝(x－4)＋(y＋1)i.∴(x－4)＋(y＋1)i＝2，即x－4＝2，y＋1＝0.∴x＝6，y＝－1.∴x＋y＝5.答案：53．计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]．解：(1)原式＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i；(2)原式＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.复数的乘法[例2] 计算：(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.[思路点拨] 应用复数的乘法法则及乘法运算律来解．[精解详析] (1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i 2－1＋i ＝1＋i. (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i ＝(－2＋10i ＋i －5i 2)(3－4i)＋2i ＝(－2＋11i ＋5)(3－4i)＋2i ＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝(9－12i ＋33i －44i 2)＋2i ＝53＋21i ＋2i ＝53＋23i.[一点通] (1)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算．混合运算的顺序与实数的运算顺序一样．(2)平方差公式，完全平方公式等在复数范围内仍然成立．一些常见的结论要熟悉：i 2＝－1，(1±i)2＝±2i.4．(浙江高考改编)已知i 是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝________. 解析：(－1＋i)(2－i)＝－2＋i ＋2i －i 2＝－1＋3i. 答案：－1＋3i5．若(1＋i)(2＋i)＝a ＋b i ，其中a ，b ∈R ，i 为虚数单位，则a ＋b ＝________. 解析：∵(1＋i)(2＋i)＝1＋3i ＝a ＋b i ，∴a ＝1，b ＝3， 故a ＋b ＝4. 答案：46．计算下列各题． (1)(1＋i)2；(2)(－1＋3i)(3－4i)； (3)(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (1＋i)．解：(1)(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i.(2)(－1＋3i)(3－4i)＝－3＋4i ＋9i －12i 2＝9＋13i. (3)法一：(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＋12i －32i 2(1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12＋3＋12i (1＋i)＝3－12＋3＋12i ＋3－12i ＋3＋12i 2＝－1＋3i.法二：原式＝(1－i)(1＋i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i＝(1－i 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝－1＋3i.共轭复数的概念[例3] 已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z . [思路点拨]设z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )―→z ＝a －b i(a ，b ∈R )―→代入等式利用复数相等的条件求解.[精解详析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z ＝a －b i(a ，b ∈R )，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，所以z ＝－1或z ＝－1＋3i. [一点通](1)实数的共轭复数是它本身，即z ∈R ⇔z ＝z ，利用此性质可以证明一个复数是实数． (2)若z ≠0且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．7．已知复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则z ·z －z －1＝________. 解析：∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ， ∴z ·z ＝(1＋i)(1－i)＝2，∴z ·z －z －1＝2－(1＋i)－1＝2－1－i －1＝－i. 答案：－i8．复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________. 解析：设z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i. ∴(1＋2i)(a －b i)＝4＋3i ，∴a －b i ＋2a i ＋2b ＝4＋3i ， 即(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，解之得a ＝2，b ＝1.∴z ＝2＋i. 答案：2＋i9．已知复数 z ＝1＋i ，求实数 a ，b 使 az ＋2b z ＝(a ＋2z )2成立． 解：∵z ＝1＋i ，∴az ＋2b z ＝(a ＋2b )＋(a －2b )i ， (a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i. ∵a ，b 都是实数， ∴由 az ＋2b z＝(a ＋2z )2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝a 2＋4a ，a －2b ＝4(a ＋2).两式相加，整理得 a 2＋6a ＋8＝0.解得 a 1＝－2，a 2＝－4，对应得 b 1＝－1，b 2＝2. ∴所求实数为 a ＝－2，b ＝－1 或 a ＝－4，b ＝2.1．复数的加减运算把复数的代数形式z ＝a ＋b i 看作关于“i”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法，只需要“合并同类项”就行，不需要记加、减法法则．2．复数的乘法运算复数的乘法可以把虚数单位i 看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i 2化为－1，进行最后结果的化简．[对应学生用书P40]一、 填空题1．计算(－i ＋3)－(－2＋5i)的结果为________． 解析：(－i ＋3)－(－2＋5i) ＝－i ＋3＋2－5i ＝－6i ＋5.答案：5－6i2．若复数z ＝1－2i ，(i 为虚数单位)则z ·z ＋z 的实部是________． 解析：∵z ＝1－2i ， ∴z ＝1＋2i ，∴z ·z ＝(1－2i)(1＋2i)＝5， ∴z ·z ＋z ＝5＋1－2i ＝6－2i. 答案：63．已知3＋i －(4＋3i)＝z －(6＋7i)，则z ＝________. 解析：∵3＋i －(4＋3i)＝z －(6＋7i) ∴z ＝3＋i －(4＋3i)＋(6＋7i) ＝(3－4＋6)＋(1－3＋7)i ＝5＋5i. 答案：5＋5i4．(北京高考)若(x ＋i)i ＝－1＋2i(x ∈R )，则x ＝________. 解析：(x ＋i)i ＝－1＋x i ＝－1＋2i ，由复数相等的定义知x ＝2. 答案：25．已知z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t ＝________. 解析：∵z 2＝t ＋i ， ∴z 2＝t －i ，∴z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i) ＝3t －3i ＋4t i －4i 2＝(3t ＋4)＋(4t －3)i ， 又∵z 1·z 2是实数， ∴4t －3＝0，即t ＝34.答案：34二、解答题6．计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2i ； (2)(3＋2i)＋(3－2)i ；(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)．解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2i ＝52－52i ；(3)(3＋2i)＋(3－2)i ＝3＋(2＋3－2)i ＝3＋3i ；(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i) ＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i ＝8＋2i. 7．计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i (4i －6)＋2＋i ； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i (1＋i)． 解：⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i (4i －6)＋2＋i ＝2i ＋6i 2－3－9i ＋2＋i ＝－7－6i.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i (1＋i) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－34＋⎝⎛⎭⎪⎫34－14i (1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋12i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎪⎫－32－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i ＝－1＋32＋1－32i.8．(江西高考改编)z 是z 的共轭复数．若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，求z .解：法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ， ∵z ＋z ＝2a ＝2，∴a ＝1. 又(z －z )i ＝2b i 2＝－2b ＝2. ∴b ＝－1. 故z ＝1－i.法二：∵(z －z )i ＝2，∴z －z ＝2i＝－2i又z＋z＝2.∴z－z＋(z＋z)＝－2i＋2，∴2z＝－2i＋2，∴z＝1－i.。
苏教版数学高二-苏教版数学选修2-2 3.2 复数的四则运算
§3.2 复数的四则运算课时目标 1.理解复数加法、乘法法则的合理性及复数差的定义.2.掌握复数加减法和乘法法则，能够熟练地进行复数的加、减法和乘法运算.3.理解共轭复数的概念．1．复数的加法与减法法则设a ＋b i (a ，b ∈R )和c ＋d i (c ，d ∈R )是任意两个复数，定义复数的加法、减法如下： (a ＋b i)＋(c ＋d i)＝______________；(a ＋b i)－(c ＋d i)＝____________.即两个复数的和(或差)仍然是一个复数．它的实部是原来两个复数的________的和(或差)，它的虚部是原来两个复数的________的和(或差)．2．复数的乘法法则(a ＋b i)(c ＋d i)＝________________.3．复数乘法的运算律(1)对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有交换律z 1·z 2＝__________ 结合律(z 1·z 2)·z 3＝____________ 乘法对加法的分配律 z 1(z 2＋z 3)＝________________(2)在复数范围内，实数范围内正整数指数幂的运算律仍然成立，即对于任意复数z ，z 1，z 2和正整数m ，n ，有z m ·z n ＝__________，(z m )n ＝________，(z 1z 2)n ＝____________.4．共轭复数当两个复数的________相等，________互为相反数时，这样的两个复数叫作互为共轭复数．复数z 的共轭复数用z 来表示，即当z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )时，z ＝________.5．复数的除法法则给出两个复数a ＋b i ，c ＋d i (c ＋d i ≠0，a ，b ，c ，d ∈R )，将满足等式________________的复数x ＋y i (x ，y ∈R )叫作复数a ＋b i 除以复数c ＋d i 的商，记作____________或者________________，(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝________________ (c ＋d i ≠0)．一、填空题1．(1＋i)2＝________.2．若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x 与y 的值分别是________．3．复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋i 4的值为________．4.⎝⎛⎭⎫12＋32i 4＝______________. 5．(2x ＋3y i)－(3x －2y i)＋(y －2x i)－3x i ＝____________.(x ，y ∈R )6．已知a ＋2i i＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝________. 7．设x 、y 为实数，且x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i，则x ＋y=_______________.8．若实数x，y满足(1＋i)x＋(1－i)y＝2，则xy＝________.二、解答题9．计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；(3)(a＋b i)－(2a－3b i)－3i (a，b∈R)．10.设z的共轭复数是z，若z＋z＝4，z·z＝8，求z z.能力提升11．若21－i＝a＋b i (i为虚数单位，a，b∈R)，则a＋b＝________.12．已知复数z＝1＋i，求实数a、b使az＋2b z＝(a＋2z)2.1．复数的运算顺序与实数相同，先进行乘方、开方，再进行乘法、除法，最后进行加减法运算．2．共轭复数在复数的除法运算中起关键作用．3．复数问题实数化是解决问题的基本思想，可以利用两个复数相等的充要条件进行转化．答 案知识梳理1．(a ＋c )＋(b ＋d )i (a －c )＋(b －d )i 实部 虚部2．(ac －bd )＋(ad ＋bc )i3．(1)(2)z m ＋n z mn z n 1·z n 24．实部 虚部 a －b i5．(c ＋d i)·(x ＋y i)＝a ＋b ia ＋b ic ＋d i (a ＋b i)÷(c ＋d i) ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i 作业设计1．2i2．－1,1 解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3xy ＝1，∴x ＝－1，y ＝1. 3．04．－12－32i 5．(y －x )＋5(y －x )i解析 原式＝(2x －3x ＋y )＋(3y ＋2y －2x －3x )i ＝(y －x )＋5(y －x )i. 6．1解析 ∵a ＋2i i＝b ＋i ，∴a ＋2i ＝b i －1. ∴a ＝－1，b ＝2，∴a ＋b ＝1.7．4解析 x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i⇒x (1＋i )(1－i )(1＋i )＋y (1＋2i )(1＋2i )(1－2i )＝5(1＋3i )(1－3i )(1＋3i )⇒12x (1＋i)＋15y (1＋2i) ＝(12x ＋15y )＋(12x ＋25y )i ＝12(1＋3i) ⇒⎩⎨⎧ 12x ＋15y ＝1212x ＋25y ＝32⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝5，∴x ＋y ＝4. 8．1解析 由(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，得(x ＋y )＋(x －y )i ＝2.所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1.∴xy ＝1. 9．解 (1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i.(2)5i －[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i －(4＋i) ＝－4＋4i.(3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i＝(a －2a )＋[b －(－3b )－3]i ＝－a ＋(4b －3) i.10．解 设z ＝x ＋y i (x ，y ∈R )，则z ＝x －y i ，由z ＋z ＝4，z ·z ＝8得， ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y i ＋x －y i ＝4(x ＋y i )(x －y i )＝8⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2x 2＋y 2＝8⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝±2， ∴z z ＝x －y i x ＋y i ＝x 2－y 2－2xy i x 2＋y 2＝±i. 11．2解析 21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1＋i ＝a ＋b i. ∴a ＝1，b ＝1，∴a ＋b ＝2.12．解 ∵z ＝1＋i ，∴az ＋2b z ＝(a ＋2b )＋(a －2b )i ，(a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i.∵a 、b 都是实数，∴由az ＋2b ·z ＝(a ＋2z )2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝a 2＋4a ，a －2b ＝4(a ＋2). 两式相加，整理得a 2＋6a ＋8＝0.解得a 1＝－2，a 2＝－4，对应得b 1＝－1，b 2＝2.∴所求实数为a ＝－2，b ＝－1或a ＝－4，b ＝2.。
江苏省镇江市高中数学 3.2复数的四则运算导学案2(无答
复数的四则运算
课题：复数的四则运算(第2课时)
【学习目标】
知识与技能：掌握复数的加法运算及意义；
过程与方法：理解并掌握实数进行四则运算的规律；
3．情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、
实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念。
【学习重点】复数加法、减法运算。
【学习难点】复数加法、减法运算的运算律。
【学习流程】
复习回顾
1、虚数单位：
2、复数的定义：
3、复数的代数形式：
4、复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：
5、复数集与其它数集之间的关系：
6、两个复数相等的定义：
重点点拨：
复数加法、减法运算的运算律。
例题分析
例1．计算：。
例2．计算：。
巩固练习：
1．已知复数，，，则___________。
2．计算=________________________。
3．设，，当时，复数=________。
4．已知，，若，=__________________。
课堂小结
通过本节课的学习，你学到了哪些新知识？能解决哪些问题？
笔记栏：学后反思。
数学：3.3.2《复数的运算2》江苏教案(苏教版选修2-2)
• §3.2复数的四则运算（二）
一． 教学目标
1.通过几个特殊的复数（i i i i i 2
321,2321,1,1,--+--+），再次巩固复数的四则运算法则； 2.通过个例，再次体会复数的四则运算是一种新的规定．．
，不是多项式运算法则合情推理的结果。
二． 重点、难点
掌握几个特殊的复数；加强对新事物的科学认识（可以用类比来记忆新事物，但使用之前应
推理、证明）。
三． 知识链接
应用复数的运算法则，计算下列各个结果：
1.,+∈N n n i
4= , 14+n i = , 24+n i = , 34+n i = ； 2.2)1(i += ；2)1(i -= ；
3.解方程)(,13
C x x ∈=
四． 学习过程
例1. 设i 2
321+-=ω，求证： ○
1012=++ωω ○213=ω ○3ωω=2，ωω=2
例2.计算：○11002321）（i +- ○2i
i i i +-+-+1)1(1)1(77
高二数学选修2-2 撰写人：张金凤 用案时间： 编号：
例3. 32-i 是关于x 的方程022
=++q px x 的一个根，求实数q p ,的值。
五、达标检测
1.若规定n n i
i 1=-，当)()(+-∈+=N n i i n f n n ,则集合{}+∈N n n f ),(=
2.在复数范围内分解因式：
○144b a - ○242
+x ○3522++x x ○4ab c b a 22
22+++
3.已知i z 2472--=，求复数z .
反思总结：
后继探究（判断）：i i 2323->+。
高中数学：3.3.2复数的运算1江苏教案苏教版选修22
• §复数的四则运算（一）一． 教学目标1．理解复数代数形式的四则运算法则； 2. 能运用运算律进行复数的四则运算。
二． 重点、难点重点：了解复数的四则运算是一种新的规定，不是多项式运算法则合情推理的结果； 掌握复数代数形式的四则运算法则；难点：理解复数代数形式的四则运算法则；会应用法则解方程、因式分解等。
三． 知识链接实系数一元二次方程),,(02R c b a c bx ax ∈=++根与判别式∆的关系四． 学习进程（一）自主学习，合作探讨阅读讲义第106~109页，完成下列问题：在引入虚单位i 的进程中，规定．．i 与实数一路能够依如实数的运算法则进行四则运算， 在对复数的加法进行运算时，又作一次新的规定．．．．。
1. 规定．．bi a z +=1，di c z +=2，则1z +2z = = 2.规定．．：若bi a yi x di c +=+++)(）（，则记作)()(di c bi a yi x +-+=+。
由复数相等的概念知b y d a x c =+=+,，即x = ，y = ，从而记bi a z +=1，di c z +=2，得21z z -= = 3.规定．．bi a z +=1，di c z +=2，则21z z = = 4.实验证复数的乘法知足互换律、结合律、分派律。
5.规定．．：若）（）（0)(≠++=++di c bi a yi x di c ，则=+yi x 6.由复数的四则运算法则可知，两个复数进行四则运算的结果仍为高二数学选修2-2 撰写人：张金凤 用案时间： 编号：7.复数bi a z +=的共轭复数z = ，特别的，实数a 的共轭复数是 8．规定．．：复数的乘方是相同复数的积，即2)())((bi a bi a bi a +=++，3)())()((bi a bi a bi a bi a +=+++等。
按照复数乘法的运算律，容易验证：C z z z ∈21,,，且+∈N n m ,时，有n m z z = ，nmz )(= ，nz z )(21= 。
高中数学：3.2.1《复数的四则运算》教案(苏教版选修2-2)
主备人
胡广宏
授课人
授课日期
课题
§3.2.1复数的四则运算
课型新授Biblioteka 教学目的：知识与技能：掌握复数的加法运算及意义
过程与方法：理解并掌握实数进行四则运算的规律
情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部)理解并掌握复数相等的有关概念
解法二：∵(1－2i)+(－2+3i)=－1+i，(3－4i)+(－4+5i)=－1+i，
……
(2001－2002i)+(－2002+2003)i=－1+i.
相加得(共有1001个式子)：
原式=1001(－1+i)+(2003－2004i)
=(2003－1001)+(1001－2004)i=1002－1003i
2.乘法运算律：
(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3 (2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
例3计算(-2-i)(3-2i)(-1+3i)
例4.计算(a+bi) (a-bi)
5*.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数
课后作业：课本第111页习题3. 2 6 , 7 , 8
复数的乘法法则是：(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.复数的代数式相乘，可按多项式类似的办法进行，不必去记公式.
教学重点：复数加法运算．
高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数的四则运算(二)学案 苏教版选修2-2-苏教版
3．2 复数的四则运算(二)1.了解复数乘方的运算性质和复数除法的分母实数化方法．2.理解i 幂性质，能熟练进行复数的乘方和除法运算． 3．掌握综合运用复数概念、共轭复数及复数的四则运算解决问题．1．复数的乘方在复数范围内，实数范围内的正整数指数幂的运算律仍然成立，即对任意的复数z ，z 1，z 2和正整数m ，n 有z m z n ＝z m ＋n ，(z m )n ＝z mn ＝(z n )m ，(z 1z 2)n ＝z n 1z n2．2．i 幂性质一般地，如果n ∈N *，我们有①i 4n＝1；②i 4n ＋1＝i ；③i4n ＋2＝－1；④i4n ＋3＝－i ．3．复数的除法法则(1)我们把满足(c ＋d i)(x ＋y i)＝a ＋b i(c ＋d i ≠0)的复数x ＋y i(x ，y ∈R )叫做复数a ＋b i 除以复数c ＋d i 的商，记作a ＋b ic ＋d i或(a ＋b i )÷(c ＋d i)． (2)一般地，我们有a ＋b ic ＋d i ＝(a ＋b i)(c －d i)(c ＋d i)(c －d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i. (3)两个复数的商仍是一个复数．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个复数的积与商一定是虚数．( ) (2)两个共轭复数的和与积是实数．( )(3)复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ 2.1＋3i1－i＝( ) A ．1＋2i B ．－1＋2i C ．1－2i D ．－1－2i答案：B3．复数3＋ii2(i 为虚数单位)的实部等于________．答案：－34．已知z 是纯虚数，z ＋21－i是实数，那么z 等于________．解析：因为z 为纯虚数，所以设z ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则z ＋21－i ＝b i ＋21－i ＝(b i ＋2)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝b i ＋b i 2＋2＋2i 1－i2＝－b ＋2＋(b ＋2)i 2＝－b ＋22＋12(b ＋2)i ，又z ＋21－i 为实数，所以12(b ＋2)＝0，即b ＝－2.所以z ＝－2i.答案：－2i复数的乘方运算(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017等于________．(2)化简i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100.【解】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋i)(1＋i)(1－i)(1＋i)2 017＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2i 2 2 017＝i 2 017＝(i 4)504·i ＝1504·i ＝i.故填i.(2)设S ＝i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100，① 所以i S ＝i 2＋2i 3＋…＋99i 100＋100i 101，② ①－②得(1－i)S ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 100－100i 101＝i(1－i 100)1－i－100i 101＝0－100i ＝－100i.所以S ＝－100i 1－i ＝－100i(1＋i)(1－i)(1＋i)＝－100(－1＋i)2＝50－50i.所以i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100＝50－50i.(1)等差、等比数列的求和公式在复数集C 中仍适用，i 的周期性要记熟，即i n＋i n ＋1＋in ＋2＋in ＋3＝0(n ∈N *)．(2)记住以下结果，可提高运算速度． ①(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i.②1－i 1＋i ＝－i ，1＋i1－i＝i. ③1i＝－i. 1.计算：(1)2＋2i (1－i)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 016； (2)i ＋i 2＋…＋i2 017.解：(1)原式＝2(1＋i)－2i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22i 1 008＝i(1＋i)＋(－i)1 008＝i ＋i 2＋(－1)1 008·i 1 008＝i －1＋i4×252＝i －1＋1 ＝i.(2)法一：原式＝i(1－i 2 017)1－i ＝i －i2 0181－i＝i －(i 4)504·i 21－i ＝i ＋11－i ＝(1＋i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝2i2＝i.法二：因为i n＋in ＋1＋in ＋2＋in ＋3＝i n (1＋i ＋i 2＋i 3)＝0(n ∈N *)，所以原式＝(i ＋i 2＋i 3＋i 4)＋(i 5＋i 6＋i 7＋i 8)＋…＋(i 2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016)＋i2 017＝i2 017＝(i 4)504·i ＝1504·i ＝i.复数的除法运算计算下列各题． (1)3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i； (2)1i (2＋2i)5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋i 4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 7； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－12i 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2i 1－3i 8. 【解】 (1)3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i＝(3＋2i)(2＋3i)－(3－2i)(2－3i)(2－3i)(2＋3i)＝13i ＋13i13＝2i.(2)原式＝－i ·(2)5·[(1＋i)2]2·(1＋i)＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1(1＋i)22＋i 7＝162(－1＋i)－14－i ＝－⎝⎛⎭⎪⎫162＋14＋(162－1)i. (3)原式＝(－i)12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－12i 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋i 12－32i 8 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 12＋[(1＋i)2]4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i 33＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 34＋(－8＋83i)＝1－8＋83i ＝－7＋83i.(1)复数的除法运算中，要牢记“分母实数化”(类比实数运算的分母有理化)，即分子、分母同乘以分母的共轭复数，不必死记除法法则．(2)复数的运算顺序与实数运算顺序相同，都是先进行高级运算(乘方、开方)，再进行次级运算(乘、除)，最后进行低级运算(加、减)．如i 的幂运算，先利用i 的幂的周期性，将其次数降低，然后再进行四则运算．(3)要记住下列结果，使运算起点高． ①1i ＝－i ；②1＋i 1－i ＝i ；③1－i 1＋i ＝－i ； ④⎝ ⎛⎭⎪⎫－12±32i 3＝1；⑤⎝ ⎛⎭⎪⎫12±32i 3＝－1. 2.计算下列各题：(1)－1＋3i 1＋i ；(2)3－4i 4＋3i ＋1＋i 1－i ；(3)(2＋2i)4(1－3i)5. 解：(1)原式＝(－1＋3i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝－1＋3＋(1＋3)i 2＝3－12＋3＋12i.(2)原式＝(3－4i)(4－3i)(4＋3i)(4－3i)＋(1＋i)2(1－i)(1＋i)＝(12－12)－(16＋9)i 25＋2i2＝－i ＋i ＝0.(3)(2＋2i)4(1－3i)5＝24(1＋i)4(1－3i)5＝24·(2i)2(1－3i)5＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i 5 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 5＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 6⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 5＝－1＋3i.复数范围内解方程、因式分解问题在复数范围内解方程： (1)x 2－2x ＋3＝0； (2)x 3－1＝0.【解】 (1)法一：因为x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2 ＝(x －1)2－(2i)2＝(x －1－2i)(x －1＋2i)＝0， 所以x ＝1＋2i 或x ＝1－2i.所以方程x 2－2x ＋3＝0的两根为1＋2i 和1－2i. 法二：设x ＝a ＋b i(a ，b ∈R )为方程x 2－2x ＋3＝0的根， 则(a ＋b i)2－2(a ＋b i)＋3＝0， 整理得a 2－b 2－2a ＋3＋2b (a －1)i ＝0.由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2－2a ＋3＝0，2b (a －1)＝0.解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2，或⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－ 2.所以方程x 2－2x ＋3＝0的两根为1＋2i 和1－2i. 法三：因为x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2， 又因为x 2－2x ＋3＝0，所以(x －1)2＋2＝0. 所以(x －1)2＝－2.所以x －1＝2i 或x －1＝－2i ， 即x ＝1＋2i 或x ＝1－2i.所以方程x 2－2x ＋3＝0的两根为1＋2i 和1－2i. (2)因为x 3－1＝(x －1)(x 2＋x ＋1)＝(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34＝(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－⎝ ⎛⎭⎪⎫32i 2＝(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋32i ＝0，所以x ＝1或x ＝－12＋32i 或x ＝－12－32i.复数范围内解方程的一般思路：一是因式分解，二是对次数较低的方程依据题意设出方程的根，代入方程，利用复数相等的充要条件求解．对于一元二次方程，也可以利用求根公式求解，要注意在复数范围内负数是能开方的，此外，根与系数的关系也是成立的．注意求方程中参数的取值时，不能利用判别式求解．3.在复数范围内分解因式：(1)x 2＋x ＋1；(2)x 2－x ＋1；(3)x 6－1.解：(1)x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－34i 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－⎝ ⎛⎭⎪⎫32i 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋32i . (2)x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－34i 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－⎝ ⎛⎭⎪⎫32i 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋32i . (3)x 6－1＝(x 3＋1)(x 3－1)＝(x ＋1)(x 2－x ＋1)(x －1)(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1)(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋32i ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋32i .1．复数除法的认识复数除法的法则形式复杂，难于记忆．所以有关复数的除法运算，只要记住利用分母的共轭复数对分母进行“实数化”，然后结果再写成一个复数a ＋b i(a ，b ∈R )的形式即可．2．复数范围内因式分解由于实数范围内的乘法公式在复数范围内仍然成立，因此可以据此在复数范围内进行因式分解，而原来在实数范围内不能进行的因式分解，在复数范围内则可以进行，比如a 2＋b 2＝a 2－(b i)2＝(a ＋b i)(a －b i)．3．1的三次虚根ω的性质由方程x 3－1＝0得x 1＝1，x 2＝－1＋3i 2，x 3＝－1－3i 2.若取ω1＝－1＋3i 2，ω2＝－1－3i2，有如下性质： (1)ω31＝ω32＝1； (2)1＋ω1＋ω2＝0； (3)ω21＝ω2； (4)ω1·ω2＝1，ω1＝1ω2，ω2＝1ω1；(5)ω1＝ω2；(6)1＋ω1＋ω21＝0，1＋ω2＋ω22＝0.下列命题中错误的序号是________． ①若z ∈C ，则z 2≥0；②若z 1，z 2∈C ，且z 1－z 2＞0，则z 1＞z 2. 【解析】 ①错，反例设z ＝i 则z 2＝i 2＝－1＜0.②错，反例设z 1＝2＋i ，z 2＝1＋i ，满足z 1－z 2＝1＞0，但z 1、z 2不能比较大小． 【答案】 ①②(1)认为任何一个实数的平方大于零可推广到复数中，易误认为命题①正确． (2)认为两实数之差大于零等价于前一个大于后一个实数，也可推到复数中来．认为两复数差为实数则这两个复数也为实数．而误认为命题②是正确的．(3)把不等式性质错误的推广到复数中，忽略不等式是在实数中成立的前提条件．1．复数z ＝1－i 1＋i ，则ω＝z 2＋z 4＋z 6＋z 8＋z 10的值为( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i解析：选B ．z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝－1，所以ω＝－1＋1－1＋1－1＝－1. 2.i －21＋2i＝________． 解析：法一：原式＝(－2＋i)(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝(－2＋2)＋(1＋4)i5＝i.法二：原式＝i ＋2i 21＋2i ＝i(1＋2i)1＋2i ＝i.答案：i3．若z 是复数，且(3＋z )i ＝1(i 为虚数单位)，则z 为________． 解析：由(3＋z )i ＝1，得3＋z ＝1i ＝－i ，所以z ＝－3－i.答案：－3－i[A 基础达标]1．设复数z ＝3＋2i2－3i ，则z 的共轭复数为( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i解析：选D ．z ＝3＋2i 2－3i ＝2－3i2－3i ·i ＝i ，于是z 的共轭复数为－i.2．若a 为实数，且2＋a i1＋i ＝3＋i ，则a ＝( )A ．－4B ．－3C ．3D ．4解析：选D ．因为2＋a i1＋i ＝3＋i ，所以2＋a i ＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i ，又a ∈R ，所以a＝4.3．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2zz －1＝( )A ．2iB ．－2iC ．2D ．－2解析：选B ．法一：因为z ＝1－i ，所以z 2－2z z －1＝(1－i)2－2(1－i)1－i －1＝－2－i＝－2i.法二：由已知得z －1＝－i ，从而z 2－2z z －1＝(z －1)2－1z －1＝(－i)2－1－i ＝2i＝－2i.4．若复数z 满足z－1－i ＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i解析：选A ．由题意z －＝i(1－i)＝1＋i ，所以z ＝1－i ，故选A ． 5．若ω＝－12＋32i ，则ω＋1ω＝________．解析：ω＋1ω＝－12＋32i ＋1－12＋32i ＝－12＋32i －12－32i ＝－1.答案：－16．设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝11－7i1－2i (i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为________．解析：因为11－7i 1－2i ＝(11－7i)(1＋2i)(1－2i)(1＋2i)＝15(25＋15i)＝5＋3i ，所以a ＝5，b ＝3. 所以a ＋b ＝5＋3＝8. 答案：87．已知复数z ＝1＋a i(a ∈R ，i 是虚数单位)，z －z ＝－35＋45i ，则a ＝________．解析：由题意可知1－a i 1＋a i ＝(1－a i)2(1＋a i)(1－a i)＝1－a 21＋a 2－2a 1＋a 2i ＝－35＋45i ， 因此1－a 21＋a 2＝－35. 化简得5a 2－5＝3a 2＋3，所以a 2＝4，则a ＝±2. 由－2a 1＋a 2＝45可知a <0，所以a ＝－2.答案：－28．若复数z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则⎝⎛⎭⎪⎫z ＋1z －·z －＝________．解析：因为z ＝1＋2i ，所以z －＝1－2i.所以⎝⎛⎭⎪⎫z ＋1z －·z －＝z ·z －＋1＝5＋1＝6.答案：69．计算：－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 018＋(4－8i)2－(－4＋8i)24＋3i . 解：原式＝i(23i ＋1)1＋23i＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22i 1 009＋(4－8i)2－(4－8i)24＋3i＝i ＋(－i)1 009＋04＋3i＝i －i ＋0＝0. 10．已知复数z 1＝a ＋2i(a ∈R )，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，求复数z 1.解：z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝(a ＋2i)(3＋4i)25＝(3a －8)＋(6＋4a )i25，因为z 1z 2为纯虚数，所以3a －8＝0，a ＝83，z 1＝83＋2i.[B 能力提升]1．若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”．已知z ＝a1－2i ＋b i(a ，b ∈R )为“理想复数”，则( )A ．a －5b ＝0B ．3a －5b ＝0C ．a ＋5b ＝0D ．3a ＋5b ＝0解析：选D ．因为z ＝a 1－2i ＋b i ＝a (1＋2i)(1－2i)(1＋2i)＋b i ＝a 5＋(2a 5＋b )i.由题意知，a 5＝－2a 5－b ，则3a ＋5b ＝0. 2．对任意复数ω1，ω2，定义ω1*ω2＝ω1ω2，其中ω2是ω2的共轭复数，对任意复数z 1，z 2，z 3，有如下四个命题：①(z 1＋z 2)*z 3＝(z 1*z 3)＋(z 2*z 3)；②z 1*(z 2＋z 3)＝(z 1*z 2)＋(z 1*z 3)；③(z 1*z 2)*z 3＝z 1*(z 2*z 3)；④z 1*z 2＝z 2*z 1.则真命题的个数是________．解析：由于ω1*ω2＝ω1ω2—，对于①，(z 1＋z 2)*z 3＝(z 1＋z 2)z －3＝z 1z －3＋z 2z －3＝(z 1*z 3)＋(z 2*z 3)，显然成立；对于②，z 1*(z 2＋z 3)＝z 1(z 2＋z 3)＝z 1z －2＋z 1z －3＝(z 1*z 2)＋(z 1*z 3)，显然成立；对于③，(z 1*z 2)*z 3＝(z 1z －2)z －3＝z 1z －2z －3，而z 1*(z 2*z 3)＝z 1*(z 2z －3)＝z 1z －2z 3，显然不成立；对于④，由于z 1*z 2＝z 1z －2，而z 2*z 1＝z 2z －1，显然不一定成立．答案：23．已知x 是实数，y 是纯虚数，且满足(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，求x 与y 的值． 解：根据已知条件x 是实数，y 是纯虚数，可设y ＝b i(b ∈R ，b ≠0)，代入关系式(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，整理得：(2x －1)＋i ＝－b ＋(b －3)i ，根据复数相等的充要条件，可得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝－b ，1＝b －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32，b ＝4，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32，y ＝4i.4．(选做题)求同时满足下列两个条件的所有复数：(1)z ＋10z 是实数且1＜z ＋10z≤6； (2)z 的实部和虚部都是整数．解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈Z )，则z ＋10z ＝x ＋y i ＋10x ＋y i ＝x ＋y i ＋10(x －y i)x 2＋y 2∈R ，得y －10y x 2＋y 2＝0， 所以y ＝0或x 2＋y 2＝10.若y ＝0，1＜x ＋10x≤6无解，所以x 2＋y 2＝10. 从而z ＋10z＝2x ∈(1，6]．又x ，y ∈Z ，所以x ＝1或x ＝3. 若x ＝1，则y ＝±3；若x ＝3，则y ＝±1.所以z ＝1±3i 或z ＝3±i.。
2019-2020学年苏教版高中数学选修2-2《3.2复数的四则运算(3)》教案
2019-2020学年苏教版数学精品资料教学目标：1．知识技能目标：掌握复数的几个常用结论，会在复数范围内进行因式分解．2．过程方法目标：理解并掌握复数进行四则运算的规律．3．情感态度价值观目标：我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系．教学重点：复数混合运算．教学难点：几个常用结论在计算中的熟练应用．教学过程：一、复习回顾1．z 2＝c ＋di ≠0，则2222i (i)(i)i i (i)(i)a b a b c d ac bd bc ad c d c d c d c d c d＋＋－＋－＝＝＋＋＋－＋＋．2．共轭复数：i z a b ＝＋与i z a b ＝－互为共轭复数．3．乘方运算法则：z ，z 1，z 2∈C 及m ，n ∈N *．（1）m n m n z z z ＋＝（2）()m n mn z z＝（3）1212()n n n z z z z ＝．特别地：n ∈N *，有i 4n ＝1，i4n+1＝i ，i 4n+2＝－1，i 4n+3＝－i ，结论1 补充：1．22(1i)2i (1i)2i ＋＝－＝－结论2 2．1i 1i i i 1i 1i ＋－＝，＝－－＋结论33．23213i 22101＝－＋＋＋＝＝＝结论4二、问题情境问题1计算1010(1i)(1i)－＋．问题2计算3113i i 2222＋－＋．问题3在复数范围内解方程x 4＝1．13131331i i i i i i 22222222－－＋－＋＝－－－＝－＋．问题3∵x 4－1＝(x 2＋1)( x 2－1)＝(x ＋1)( x －1)( x ＋i)( x －i)＝0∴x ＝±1，±i ．四、数学应用1．计算（1）22i 1i ＋（2）i .i 2.i 3.....i 100解（1）22i 1i ＋＝2i ；（2）i .i 2.i 3.. (i)100＝i 5050＝i 2＝－1 2．计算：15152020(13i)(13i)(1i)(1i)－＋－－－－＋解原式＝15151515101013i13i2()2()2222(2i)(2i)－＋－－－－＝1515101022(2i)(2i)－－＝03．在复数范围内因式分解：（1）a4－b4（2）x2＋2x＋5．解（1）a4－b4＝(a＋b)( a－b)( a＋bi)( a－bi)（2）∵x2＋2x＋5＝0，∴(x＋1)2＝4i2∴x＝±2i－1∴x2＋2x＋5＝(x＋1＋2i)( x＋1－2i)五、巩固练习在复数范围内因式分解：（1）x2＋4 （2）a2＋b2＋c2＋2ab已知z2＝－7－24i，求复数z．六、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1．关于复数运算的几个常用结论；2．在复数范围内因式分解；3．待定系数法求复数．。
高中数学_3.2复数代数形式的四则运算教学设计学情分析教材分析课后反思
选修2-2 第三章 复数代数形式的四则运算教学设计教学目标：掌握复数的代数形式的加减乘除运算法则， 会进行复数代数形式的运算；了解复数的代数形式的加、减运算的几何意义教学重点：复数的代数形式的加减乘除运算法则 教学难点：复数的代数形式的乘、除运算法则一、课前热身：1．复数i －21＋2i＝( ) A ．i B ．－i C ．－45－35iD ．－45＋35i2．复数(3＋4i)i (其中i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．复数z ＝2＋m i1＋i (m ∈R )是纯虚数，则m ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．24复数3)2321(i +等于（ ） （A ）i - （B ）i （C ）1- （D ） 15．若i iz 21+=,则复数z = 6.复数的11Z i =-模为（ ）A ．12B ．2CD ．2教学过程 二、题型分析题型一、复数的代数运算例1、计算（1）)1)(2123)(2321(i i i +++- （2）iii i 32233223+---+变式训练：（1）已知2i -3是关于x 的方程2x 2+px+q=0的一根，求p,q 的值（2）已知z 是纯虚数，iz +-12是实数，求zi z b b ib b ib b i i i bi i bi i z b R b bi 2202222222)2(2)1)(1()1)(2(1212)0(z -=∴-==+++-=++-=-+--=+-=+-≠∈=，，设 拓展探究：1、试求87654321i i i i i i i i 、、、、、、、的值2、由1推论猜测*)(N n i n∈有什么规律？并把这个规律用式子表示出来。
3计算（1）=+++++124321 (i)i i i i（2）⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 011题型二、共轭复数（1）已知复数i z 21+=，求z z ⋅ （2）若2)(,2=-=+i z z z z ,求复数z变式训练：（1）已知复数z 满足8,4=⋅=+z z z z ，求复数z题型三、复数加法、减法的几何意义例3、已知212121212,1,,z z z z z z C z z -=+==∈，求变式提升：在复平面内，z 1，z 2对应的点为A ，B ，z 1+z 2对应的点为C ，O 为坐标原点，则四边形OABC（1） 若| z 1+z 2|=| z 1-z 2|，则四边形OABC 为 （2） 若| z 1|=| z 2|，则四边形OABC 为（3） 若| z 1|=| z 2|且| z 1+z 2|=| z 1-z 2|，则四边形OABC 为练习：已知212121211,1,,z z z z z z C z z +=-==∈，求知识整合1．复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行：设),,,(,21R d c b a di c z bi a z ∈+=+=则=±21z z=⋅21z z =21z z2、i 的周期性3．共轭复数（1）定义 （2）性质：4、复数加法、减法的几何意义：课堂小结达标检测1 ．设复数z 满足(1)2i z i -=,则=z （ ）A ．i +-1B ．i --1C ．i +1D ．i -12．若复数z 满足(34)|43|i z i -=+,则z 的虚部为（ ）A ．4-B ．45-C ．4D ．453. 在复平面内,复数21iz i=+(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4.已知a 是实数，iia +-1是纯虚数，则a = （ ） （A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）-25.已知复数1z i =-，则21z z =-（ ） A. 2B. －2C. 2iD. －2i6.已知,43,10521i z i z -=+=21111z z z +=，求z七、板书设计：学情分析:我所授课班级是理科班，学生的数学基础较差，自主研究获得知识和解法有较大的困难。
推荐高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3-2复数的四则运算学案苏教版选修2_2
3.2 复数的四则运算1．复数的加法法则(1)设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(其中a ，b ，c ，d 均为实数)是任意两个复数，复数的加法按照以下的法则进行：(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝________＋________i ，即：两个复数相加就是把__________、__________分别相加．(2)两个复数的和仍是一个________．(3)加法的运算律：对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有：①交换律：z 1＋z 2＝________；②结合律：(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋________.2．复数的减法法则(1)我们把满足(c ＋d i)＋(x ＋y i)＝a ＋b i 的复数x ＋y i(x ，y ∈R )叫做复数a ＋b i 减去复数c ＋d i 的______，记作__________．(2)设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，复数的减法按照以下的法则进行：(a ＋b i)－(c ＋d i)＝________＋________i ，即：两个复数相减就是把__________、________分别相减．(3)两个复数的差仍是一个________．预习交流1做一做：已知复数z 1＝1－i ，z 2＝2－3i ，则z 1＋z 2＝__________，z 1－z 2＝__________.3．复数的乘法法则(1)设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，复数的乘法按照以下的法则进行：(a ＋b i)(c ＋d i)＝________＋________i.(2)两个复数的积仍然是一个________．(3)乘法的运算律：对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有①交换律：z 1z 2＝________；②结合律：(z 1z 2)z 3＝________；③分配律：z 1(z 2＋z 3)＝________.(4)(________)2＝－1.预习交流2(2012福建高考改编)若复数z 满足z i ＝1－i ，则z 等于__________．4．共轭复数(1)我们把实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为________．(2)复数z ＝a ＋b i 的共轭复数记作_______，即_______．(3)当复数z ＝a ＋b i 的虚部b ＝0时，z ＝________，也就是说，实数的共轭复数仍是________． 预习交流3互为共轭的两复数，在复平面内对应的点有何关系？预习交流4做一做：若复数a ＋3i 与复数－3＋b i 互为共轭复数，其中a ∈R ，b ∈R ，则a ＋b i ＝__________.5．复数范围内正整数指数幂的运算律(1)对任何z ，z 1，z 2∈C ，及m ，n ∈N *，有z m z n ＝________，(z m )n ＝________，(z 1z 2)n ＝________.(2)一般地，如果n ∈N *，我们有i 4n ＝________，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i.6．复数的除法法则(1)我们把满足(c ＋d i)(x ＋y i)＝a ＋b i(c ＋d i ≠0)的复数x ＋y i(x ，y ∈R )叫做复数a ＋b i 除以复数c ＋d i 的________，记作________或______________．(2)一般地，我们有a ＋bi c ＋di ＝________＝ac ＋bd c2＋d2＋bc －ad c2＋d2i. (3)两个复数的商仍是一个________．预习交流5做一做：i 是虚数单位，则复数3＋i 1－i＝__________.答案：预习导引1．(1)(a ＋c ) (b ＋d ) 实部与实部 虚部与虚部(2)复数 (3)①z 2＋z 1 ②(z 2＋z 3)2．(1)差 (a ＋b i)－(c ＋d i) (2)(a －c ) (b －d ) 实部与实部 虚部与虚部 (3)复数 预习交流1：提示：3－4i －1＋2i3．(1)(ac －bd ) (bc ＋ad ) (2)复数 (3)①z 2z 1②z 1(z 2z 3) ③z 1z 2＋z 1z 3 (4)±i预习交流2：－1－i 提示：由z i ＝1－i ，得z ＝1－i i ＝(1－i)i i2＝i －i2－1＝i ＋1－1＝－1－i. 4．(1)共轭复数 (2)z z ＝a －b i (3)z 它本身预习交流3：提示：设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，在复平面内对应的点为Z (a ，b )； 其共轭复数z ＝a －b i 在复平面内对应的点为Z ′(a ，－b )显然两点关于x 轴对称． 预习交流4：提示：－3－3i5．(1)z m ＋n z m n z 1n z 2n (2)16．(1)商 a ＋bi c ＋di(a ＋b i)÷(c ＋d i) (2)(a ＋bi)(c －di)(c ＋di)(c －di)(3)复数 预习交流5：提示：1＋2i一、复数的加减运算计算(6－6i)＋(7－i)－(4＋6i)．思路分析：利用复数的加、减法法则进行运算．1．(1)(1＋3i)＋(－2＋i)－(2－i)＝__________.(2)已知复数z 1＝2＋a i ，z 2＝b －3i ，a ，b ∈R ，当z 1－z 2＝(1－i)＋(1＋2i)时，a ＝__________，b ＝__________.2．已知复数(5＋6i)＋(b －3i)－(2＋a i)＝0(a ，b ∈R )，则复数z ＝a ＋b i ＝__________.(1)复数的加、减运算类似于合并同类项，实部与实部合并，虚部与虚部合并，注意符号是易错点；(2)复数的加、减运算结果仍是复数；(3)对应复数的加法(或减法)可以推广到多个复数相加(或相减)的混合运算；(4)实数的加法交换律和结合律在复数集中仍适用．二、复数的乘除运算。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-2 3.2 复数的四则运算》7
课题：高三数学一轮复习——《复数》考纲要求：1理解复数的概念————B 级要求2理解复数的四则运算——B 级要求3了解复数的几何意义——A 级要求复习重点：复数的概念复习难点：复数的几何意义教学过程：【主干知识 ，自主排查】——重温教材、自查自纠、夯基固本知识梳理:1复数的概念2复数的四则运算3复数的几何意义【核心考点，互动探究】——剖析典例、突破疑难、通法悟道考向一 复数的概念例11i 为虚数单位,i 607的共轭复数为2i 是虚数单位,若复数1-2iai 是纯虚数,则实数a 的值为[解题感悟]求解与复数的概念有关问题的关键在哪里？通用思路是什么？考向二 复数的四则运算命题方向1:复数的加、减、乘、除法运算[例2] (1+i)3(1−i)2 =________命题方向2:解简单的复数方程[例3]设复数满足1+z 1−z =i ，则||=________[解题感悟]利用复数的四则运算求复数的思路有哪些？其中简单的复数方程如何求解？考向三 复数的几何意义[例4]1设i 是虚数单位,则复数2i 1−i 在复平面内所对应的点位于第_____象限2若|z |=|z −2−2i |，则|z +2i|的最小值为_______[解题感悟]复数几何意义的本质是什么？两个复数的差的模如何转化？复数的几何意义有什么应用价值？【本课小结】——厚积薄发、提炼升华[题组通关]bia,b ∈R 的模为√3，则abia －bi=_______,b ∈R,i=2-bi,则(a +bi)2=__________为虚数单位，若复数z =1+2i 2−i ，的共轭复数为z̅，则z ∙z̅ =________ 4已知(1−i)2z =1ii 为虚数单位，则复数=_______5在复平面内，已知65i 对应的向量为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB⃗⃗⃗⃗⃗ =4,5，则OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为__________。
高中数学 3.2 复数的四则运算配套教学课件2 苏教版选修22
例2 计算(jì suàn)
(1＋i)2＝ _2_i_; (1－i)2＝ －__2_i;
i
－i
i
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例3 求值：
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例4 设
⑴
证明(zhèngmíng):
求证 (qiúzhèng):
(2)
（2）
第十页，共14页。
思考 (sīk ǎo)
如果把例4中的 换成 ，那么欲证的两个等式
＋bi 除以复数 c＋ຫໍສະໝຸດ i 的商, (其中a，b，c，d，x，y都是实数)
记为 (a＋b i)÷
(c＋d
i)或
a＋b c＋d
i i
.
第三页，共14页。
复数(fùshù)的除法 法则
一般(yībān)地，我们有：
由于 c＋d i ≠ 0所，以 c2＋d 2 ≠ 0，可见，两个复数的商仍是一个
复数．
分子(fēnzǐ)分母同乘以分母的共轭复数， 即把分母 “实数化”．
z，即 z＝a－bi
共轭复数的简单性质： z＋z＝_2_a_；z－z＝_2_b_i_；z z＝_a__2＋__b_2_
第二页，共14页。
在实数中，除法(chúfǎ)运算是乘法的逆运算， 类似地，可以定义复数的除法(chúfǎ)运算：
定义: 把满足(c＋di)(x＋yi) =a＋bi (c＋di≠0) 的复 数 x＋yi 叫做复数 a
第四页，共14页。
例1 计算 解:
(1＋2i)÷ (3－4i)
第五页，共14页。
实数集R中正整数指数幂的运算(yùn suàn)律, 在复数集C中仍然成立.即对任意的z，z1，z2∈C及 m，n∈N*，有:
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复数的四则运算
课题：复数的四则运算(第2课时)
【学习目标】
知识与技能：掌握复数的加法运算及意义；
过程与方法：理解并掌握实数进行四则运算的规律；
3．情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、
实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念。
【学习重点】复数加法、减法运算。
【学习难点】复数加法、减法运算的运算律。
【学习流程】
复习回顾
1、虚数单位：
2、复数的定义：
3、复数的代数形式：
4、复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：
5、复数集与其它数集之间的关系：
6、两个复数相等的定义：
重点点拨：
复数加法、减法运算的运算律。
例题分析
例1．计算：。
例2．计算：。
巩固练习：
1．已知复数，，，则___________。
2．计算=________________________。
3．设，，当时，复数=________。
4．已知，，若，=__________________。
课堂小结
通过本节课的学习，你学到了哪些新知识？能解决哪些问题？
笔记栏：学后反思。