广西2017届高三上学期教育质量诊断性联合考试文数试题 Word版含答案

2016年广西秋季学期高三年级教育质量诊断性联合考试数学试卷（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列集合中，是集合{}2|5A x x x =<的真子集的是（ ） A ．{}2,5 B ．(6,)+∞C ．(0,5)D ．(1,5)2.复数37iz i+=的实部与虚部分别为（ ） A ．7，3-B ．7，3i -C ．7-,3D ．7-,3i3.设α为钝角，且3sin 2cos αα=，则sin α等于（ ） A ．16-B ．16CD ．134.设2log 5a =，2log 6b =，129c =，则（ ） A ．c b a >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．a b c >>5.设向量(1,2)a = ，(3,5)b =- ，(4,)c x =，若a b c λ+= （R λ∈），则x λ+的值为（ ）A ．112-B ．112C ．292-D ．2926.设x ，y 满足约束条件270,20,20,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-≥⎩则y x 的最大值为（ ）A ．32B ．2C ．13D ．07.将函数cos(2)3y x π=+的图象向左平移6π个单位后，得到()f x 的图象，则（ ） A ．()sin 2f x x =- B ．()f x 的图象关于3x π=-对称C ．71()32f π=D ．()f x 的图象关于(,0)12π对称8.执行如图所示的程序框图，若输入的2x =，4n =，则输出的s 等于（ ）A ．94B ．99C ．45D ．2039.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图的右边为一个半圆，则此几何体的体积为（ ）A ．164π+B ．162π+C ．484π+D ．482π+10.函数1()(2f x =的单调递增区间为（ ） A ．1(,]2-∞B ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1[,)2+∞D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦11.直线2y b =与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左支、右支分别交于B 、C 两点，A 为右顶点，O 为坐标原点，若AOC BOC ∠=∠，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D12.已知定义在R 上的奇函数()f x 在[0,)+∞上递减，若3(2)(1)f x x a f x -+<+对[]1,2x ∈-恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．(3,)-+∞B ．(,3)-∞-C ．(3,)+∞D ．(,3)-∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若从[]1,4上任取一个实数作正方形的边长，则该正方形的面积大于4的概率为 ．14.长、宽、高分别为2,1,2的长方体的每个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 ．15.已知曲线C 由抛物线28y x =及其准线组成，则曲线C 与圆22(3)16x y ++=的交点的个数为 ．16.我国南宋著名数学家秦九昭在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜．其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何．”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为 平方千米．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）某体育场一角的看台共有20排，且此看台的座位是这样排列的：第一排有2个座位，从第二排起每一排比前一排多1个座位，记n a 表示第n 排的座位数． （1）确定此看台共有多少个座位； （2）求数列2(1)n a n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前20项和20S ． 18. （本小题满分12分）已知某企业的近3年的前7个月的月利润（单位：百万元）如下面的折线图所示：（1）试问这3年的前7个月哪个月的月平均利润最高？ （2）通过计算判断这3年的前7个月的总利润的发展趋势；（3）试以第3年的前4个月的数据如表，用下行回归的拟合模式估测第3年8月份的利润．相关公式：1122211()()()nniii ii i nni ii i x x y y x y nx ybx x x nx====---⋅==--∑∑∑∑ ， ay bx =- ． 19. （本小题满分12分）如图，在直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱）111ABC A B C -中，点G 是AC 的中点．（1）求证：1//B C 平面1A BG ； （2）若AB BC =，1AC =，求证：11AC A B ⊥．20. （本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(1)x y a b a b+=>>的焦距为2，过短轴的一个端点与两个焦点的圆的面积为43π，过椭圆C 的右焦点作斜率为k （0k ≠）的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，线段AB 的中点为P ． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点P 垂直于AB 的直线与x 轴交于点1(,0)7D ，求k 的值． 21. （本小题满分12分）已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈．（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线270x y --=垂直，求()f x 的单调区间； （2）求证：()1f x ≥恒成立的充要条件是1a =．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22((1)9x y -++=，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程； （2）直线OP ：6πθ=（R ρ∈）与圆C 交于点M 、N ，求线段MN 的长．23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知()|2||21|f x x x =+--，M 为不等式()0f x >的解集． （1）求M ；（2）求证：当x ，y M ∈时，||15x y xy ++<．2016年广西秋季学期高三年级教育质量诊断性联合考试数学试卷（文科）答案 一、选择题1-5:DABAC 6-10:ABABD 11、12：DC二、填空题13.2314.9π 15.4 16.21 三、解答题17.解：（1）由题可知数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列， ∴211n a n n =+-=+（120n ≤≤）． ∴此看台的座位数为(221)202302+⨯=．（2）∵2111(1)(1)1n a n n n n n n ==-+++， ∴20111111201122320212121S =-+-++-=-=…． 18.解：（1）由折线图可知5月和6月的平均利润最高．（2）第1年前7个月的总利润为123567428++++++=（百万元）， 第2年前7个月的总利润为255455531++++++=（百万元）， 第3年前7个月的总利润为446676841++++++=（百万元）， 所以这3年的前7个月的总利润呈上升趋势．（3）∵ 2.5x =，5y =，2222123430+++=，1424364654⨯+⨯+⨯+⨯=，∴2544 2.550.8304 2.5b-⨯⨯==-⨯ ，∴ 5 2.50.83a=-⨯=， ∴ 0.83y x =+，当8x =时， 0.8839.4y =⨯+=（百万元），∴估计8月份的利润为940万元． 19.证明：（1）连接1AB 交1A B 于O ，连接OG ．在1B AC ∆中，因为G ，O 分别为AC ，1AB 的中点，所以1//OG B C ， 又因为OG ⊂平面1A BG ，1B C ⊄平面1A BG ，所以1//B C 平面1A BG ．（2）直三棱柱111ABC A B C -，故1AA ⊥底面ABC ，BG ⊂平面ABC ，所以1AA BG ⊥． 又因为G 为棱AC 的中点，AB BC =，所以BG AC ⊥，因为1AA AC A = ，所以BG ⊥平面11ACC A ，所以1BG AC ⊥， 因为G 为棱AC 中点，不妨设2AC =，所以1AG =，又因为1AA =，所以在1Rt ACC ∆和1Rt A AG ∆中，11tan tan AC C AGA ∠=∠=， 所以11AC C AGA ∠=∠，即111190AC C C AC AGA C AC ∠+∠=∠+∠=︒，所以11AG AC ⊥， 因为1BG AG G = ，所以1AC ⊥平面1A BG ， 因为1A B ⊂平面1A BG ，故11AC A B ⊥．20.解：（1，设右焦点的坐标为(,0)c ，依题意知，2222222,,4(,3c a b c b c ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪-+=⎪⎩又1b >，解得2a =，b =，1c =， 所以椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）设过椭圆C 的右焦点的直线l 的方程为(1)y k x =-，将其代入22143x y +=，得2222(34)84120k x k x k +-+-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+，∴121226()234ky y k x x k k -+=+-=+，因为P 为线段AB 的中点，故点P 的坐标为22243(,)3434k kk k -++，又直线PD 的斜率为1k-， 直线PD 的方程为222314()3434k k y x k k k --=--++，令0y =，得2234k x k =+，由点D 的坐标为22(,0)34k k +， 则221347k k =+，解得1k =±． 21.解：因为'()1af x x=-，所以'(1)1f a =-， 所以1(1)12a -=-，解得3a =． 令3'()10f x x =->，得3x >，所以()f x 得单调递增区间为(3,)+∞，令3'()10f x x=-<，得03x <<，所以()f x 的单调递减区间为(0,3)．（2）证明：①充分性．当1a =时，()ln f x x x =-，11'()1x f x x x-=-=， 所以当1x >时，'()0f x >，所以函数()f x 在(1,)+∞上是增函数； 当01x <<时，'()0f x <，所以函数()f x 在(0,1)上是减函数． 所以()(1)1f x f ≥=． ②必要性．'()1a x af x x x-=-=，其中0x >． （i ）当0a ≤时，'()0f x >恒成立，所以函数()f x 在(0,)+∞上是增函数． 而(1)1f =，所以当(0,1)x ∈时，()1f x <，与()1f x ≥恒成立矛盾， 所以0a ≤不满足题意． （ii ）当0a >时，因为当x a >时，'()0f x >，所以函数()f x 在(,)a +∞上是增函数； 当0x a <<时，'()0f x <，所以函数()f x 在(0,)a 上是减函数． 所以()()ln f x f a a a a ≥=-，因为(1)1f =，所以当1a ≠时，()(1)1f a f <=，此时与()1f x ≥恒成立矛盾， 所以1a =．综上所述，()1f x ≥恒成立的充要条件是1a =．22.解：（1）22((1)9x y ++=可化为22250x y y +-+-=，故其极坐标方程为2cos 2sin 50ρθρθ-+-=．（2）将6πθ=代入2cos 2sin 50ρθρθ-+-=，得2250ρρ--=，∴122ρρ+=，125ρρ=-，∴12||||MN ρρ=-==．23.解：（1）3,2,1()31,2,213,.2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩当2x <-时，由30x ->，得3x >，舍去；当1122x -≤≤时，由310x +>，得13x >-，即1132x -<≤； 当12x >时，由30x -+>，得3x <，即132x <<．综上，1(,3)3M =-．（2）因为x ，y M ∈，∴||3x <，||3y <， 所以||||||||||||||||||||x y xy x y xy x y xy x y x y ++≤++≤++=++⋅333315<++⨯=．。