生活中的优化问题2
生活中的优化问题
256 0 2 x
方法小结 解决优化问题的基本思路如以下流程图所示:
建立数学模型
优化问题
用函数表示数学问题
解决数学模型
优化问题的答案
作答
用导数解决数学问题
问题 磁盘的最大存储量问题 (1) 你知道计算机是如何存储、检索信息的 吗？ (2) 你知道磁盘的结构吗？ (3)如何使一个圆环状的磁 盘存储尽可能多的信息？
例2：现有一张半径为R的磁盘， 它的存储区是半径介于r与R的 环行区域。 (1)是不是r越小，磁盘的存
R r
储量越大？ (2) r为多少时，磁盘具有最大存储量？
解：存储量=磁道数×每磁道的比特数
设存储区的半径介于r与R之间，由于磁道之间的宽 度必须大于m，且最外面的磁道不存储人何信息，所以 Rr 磁道最多可达 , 又由于每条磁道上的比特数相 m 同，为获得最大的存储量，最内一条磁道必须装满，即 2r .所以，磁道总存储量 每条磁道上的比特数可达到 n
f
'
r 0
R r 2
解得
R R ' 当r 时， f r 0;当r 时， f ' r 0, 2 2
R 因此，当 r 时，磁道具有最大的存储量，最大 2
R 2 存储量为
2m n
.
练习：在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去
相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成 一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱 子容积最大？最大容积是多少？
生活中的优化问题
刘武斌
2013年5月22日
心情：爽
天气 ：爽
早上醒来，想到今天的要和同学们一块到 游乐场玩，心情大好，立刻起床洗漱，到 卫生间拿起了我的杯子开始刷牙
3.4生活中的优化问题举例
变式训练
2.某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程 只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用 为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为
万元，(2假设桥x)墩x等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因
素，记余下工程的费用为y万元． (1)试写出y关于x的函数关系式； (2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
费用最省、用料最少问题
例2.已知A、B两地相距200千米，一只船从A地逆水而行到B地，水 速为8千米/小时，船在静水中的速度为v千米/小时(8<v≤v0)．若船每小时 的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比．当v＝12千米/小时时，每 小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船在静水中的速 度为多少？
第十三页，编辑于星期一：十四点 十二分。
第十四页，编辑于星期一：十四点 十二分。
第十二页，编辑于星期一：十四点 十二分。
(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问 题的主要关系； (2)建模；将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立相应 的数学模型； (3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法 求解； (4)对结果进行验证评估，定性定量分析，作出正确的判断，确定 其答案． 注：在将实际问题转化成数学问题时，要注意所设变量的取值 范围．
第九页，编辑于星期一：十四点 十二分。
变式训练
3.某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销， 经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为－t2＋5t(百万 元)(0≤t≤3)． (1)若该公司将当年的广告费控制在300万元之内，则应投入多少广告
高中数学选修1-1教学设计-生活中的优化问题举例
§1．4．2生活中的优化问题举例（2）
【学情分析】：
在基本方法已经掌握的基础上，本节课重点放在提高学生的应用能力上。
【教学目标】：
1．掌握利用导数求函数最值的基本方法。
2.提高将实际问题转化为数学问题的能力.提高学生综合、灵活运用导数的知识解决生活中问题的能力
3．体会导数在解决实际问题中的作用.
【教学重点】：
利用导数解决生活中的一些优化问题．
【教学难点】：
将生活中的问题转化为用函数表示的数学问题，再用导数解决数学问题，从而得出问题的最优化选择。
【教法、学法设计】：
练---讲---练.
【教学过程设计】：
396500500x x x ⎫+=⎪⎭ 500=
20=.。
了解生活中的优化问题及解决方案
详细描述
线性规划模型的核心是确定一个 最优解，该解满足给定的线性约 束条件并最大化或最小化一个线 性目标函数。线性规划在各种领 域都有广泛应用，如资源分配、 生产计划、物流管理等。
应用场景
例如，在物流管理中，线性规划 可以用于确定最佳的车辆路径或 货物配载方案，以实现运输成本 最低、时间最短等目标。
应用场景
动态规划广泛应用于各种优化问题，如背包问题、旅行商 问题、排序问题等。例如，在背包问题中，动态规划可以 用于标。
遗传算法
总结词
遗传算法是一种模拟生物进化过程的优化算法，用于解决一些难以用传统数学方法解决的优化问题。
详细描述
遗传算法通过模拟生物进化过程中的基因选择、交叉和变异等过程，来寻找最优解。它采用随机搜索的方法，不断迭 代搜索空间，直到找到满足要求的解或达到预设的终止条件。
应用场景
模拟退火算法广泛应用于各种优化问 题，如函数优化、组合优化、机器学 习等。例如，在组合优化中，模拟退 火算法可以用于解决旅行商问题、背 包问题等难解的问题。
03
解决方案：人工智能技术
机器学习
总结词
机器学习是一种人工智能技术，通过算 法使计算机系统具备学习和改进的能力 ，从而完成特定的任务。
详细描述
专家系统通常用于高度专业化的领域 ，如医学、法律、金融等，它们可以 通过推理和解析来提供准确的决策支 持，帮助用户解决问题和做出决策。
04
解决方案：优化软件工具
MATLAB
要点一
总结词
MATLAB是一种高效的数值计算软件，广泛应用于算法开 发、数据分析、数据可视化以及数值计算等。
要点二
详细描述
MATLAB提供了友好的用户界面和丰富的功能，使得用户 可以轻松地进行矩阵运算、绘制图形、实现算法等。此外 ，MATLAB还提供了丰富的工具箱，包括统计、优化、机 器学习等，可以满足不同领域的需求。
生活中的优化问题举例学案
个性学习 课题：《生活中的优化问题举例》 授课时间______________ 个性学习学习目标：利用导数解决一些生活中的优化问题．学习重点：利用导数解决一些生活中的优化问题． 一、复习引入： 1.函数的最大值和最小值: 在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．（1）在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．（3）函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个．2．利用导数求函数的最值步骤： ⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值． 二、讲解新课： 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的强有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题． 二、典型例题例1、海报版面尺寸的设计：学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传， 现让你设计一张如右图所示的竖向张贴的海报，要求版 心面积为128dm2，上、下两边各空2dm ，左、右两边各 空1dm ，如何设计海报的尺寸才能使四周空白面积最小？思考2: (课本习题A 组第3题)圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？例2：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 （1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？ 背景知识：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料。
生活中的优化问题
100
行驶 x 小时，记耗油量为h(x)升，其解析式为：
h(x) ( 1 x3 3 x 8).100 1 x2 800 15 (0 x 120),
128000 80
x 1280
x4.
(III)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油
最少？最少为多少升？
例3、经统计说明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的 耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式 能够表示为：
解决优化问题的方法之一： 通过搜集大量的统计数据，建立与其相对应的数学
模型，再通过研究相对应函数的性质，提出优化方案， 使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有 力的工具，其基本思路如以下流程图所示
优化问题
用函数表示的数学问题
优化问题的答案
用导数解决数学问题
问题情景二：汽油使用效率何时最高
15
s vt v
所如以以由下右图图，可g知表，示当经直过线原O点P
10
P(v，g)
为最与曲小曲线值线的时上切，的线 汽点v时 油P， 使(v即用，斜效g)的率率直最k取线高 5
kmin f '(90) 0.07
的斜率k
O
30 50
90 120 v(km/h)
例3、经统计说明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的
当 x 80 时， h(x) 取到极小值 h(80) 11.25.
因为 h(x) 在 (0,120] 上只有一个极值，所以它是最小值。
答：当汽车以 80 千米/小时的速度匀速行驶时， 从甲地到乙地耗油最少，最少为 11.25 升。
练习：已知某厂每天生产x件产品的成本为
c 25000 200x x2 (元) 40
2020年高考山东版高考理科数学 第五节 生活中的优化问题举例(数学建模二)
第五节生活中的优化问题举例(数学建模二)A组基础题组1.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-x3+81x-234,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为()A.13万件B.11万件C.9万件D.7万件答案C由题意得,y'=-x2+81,令y'=0,解得x=9或x=-9(舍去).当0<x<9时,y'>0;当x>9时,y'<0.故当x=9时,y取最大值.2.(2019孝感模拟)某品牌小汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式为y=x3-x+18(0<x≤120).要使该汽车行驶200千米时的油耗最低,则汽车匀速行驶的速度应为()A.60千米/时B.80千米/时C.90千米/时D.100千米/时答案C当速度为x千米/小时时,该汽车行驶200千米时行驶了小时,设耗油量为h(x)升,y=x3-x+18(0<x≤120).依题意得h(x)=-·=x2+-20(0<x≤120),h'(x)=x-=-(0<x≤120).令h'(x)=0,得x=90.当x∈(0,90)时,h'(x)<0,h(x)是减函数;当x∈(90,120]时,h'(x)>0,h(x)是增函数.所以当x=90时,h(x)取得极小值h(90)=18.因为h(x)在(0,120]上只有一个极值,所以当x=90时取得最小值.故选C.3.设底面为正三角形的直棱柱的体积为V,那么其表面积最小时,底面正三角形的边长为()A. B. C. D.2答案C设底面正三角形的边长为x,侧棱长为l,则V=x2·sin60°·l,∴l=,∴S表=2S底+S侧=x2sin60°+3xl=x2+.令S'表=x-=0,得x=,又当x∈(0,)时,S'表<0;x∈(,+∞)时,S'表>0,∴当x=时,表面积最小.4.在半径为r的半圆内作一内接梯形,使其下底为直径,其他三边为圆的弦,则梯形的面积最大时,梯形的上底长为()A. B.r C.r D.r答案D设梯形的上底长为2x,高为h,面积为S,∵h=-,∴S=-=(r+x)·-.∴S'=---=-=-.令S'=0,得x=(x=-r舍去),∴h=r.当x∈时,S'>0;当x∈时,S'<0,∴当x=时,S取最大值,即当梯形的上底长为r 时,它的面积最大.5.某厂生产某种产品x件的总成本c(x)=1200+x3(万元),已知产品单价的平方与产品件数x 成反比,生产100件这样的产品单价为50万元,则产量定为件时,总利润最大.答案25解析设产品的单价为p万元,根据已知,可设p2=,其中k为比例系数.因为当x=100时,p=50,所以k=250000,所以p2=,p=(x>0).设总利润为y万元,则y=·x-1200-x3=500-x3-1200.y'=-x2.令y'=0,得x=25.当0<x<25时,y'>0;当x>25时,y'<0.因此当x=25时,函数y取得极大值,也是最大值.6.要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为20cm,要使其体积最大,则高为cm.答案解析设该漏斗的高为x cm,则其底面半径为-cm,体积V=π(202-x2)x=π(400x-x3)(0<x<20),则V'=π(400-3x2).令V'=0,解得x1=,x2=-(舍去).当0<x<时,V'>0;当<x<20时,V'<0,所以当x=时,V取得最大值.7.统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶过程中的耗油量y(L/h)关于行驶速度x(km/h)的解析式可以表示为y=x3-x+8(0<x≤120).已知甲、乙两地相距100km.(1)当汽车以40km/h的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少?解析(1)汽车以40km/h的速度从甲地匀速行驶到乙地需=2.5(h),要耗油-×2.5=17.5(L).(2)当匀速行驶速度为x km/h时,汽车从甲地行驶到乙地需h,设耗油量为h L,依题意得h(x)=-=-+(0<x≤120),则h'(x)=-=-(0<x≤120).令h'(x)=0,得x=80.当x∈(0,80)时,h'(x)<0,h(x)是减函数;当x∈(80,120]时,h'(x)>0,h(x)是增函数.所以当x=80时,h(x)取得极小值h(80)=11.25.因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值,所以它也是最小值.所以当汽车以80km/h的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,为11.25L.8.某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h 米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时,该蓄水池的体积最大.解析(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh=200πrh元,底面的总成本为160πr2元,所以蓄水池的总成本为(200πrh+160πr2)元.又据题意知200πrh+160πr2=12000π,所以h=(300-4r2),从而V(r)=πr2h=(300r-4r3).又由r>0,h>0可得r<5,故函数V(r)的定义域为(0,5).(2)因V(r)=(300r-4r3),故V'(r)=(300-12r2).令V'(r)=0,解得r1=5,r2=-5(舍去).当r∈(0,5)时,V'(r)>0,故V(r)在(0,5)上为增函数;当r∈(5,5)时,V'(r)<0,故V(r)在(5,5)上为减函数.由此可知,V(r)在r=5处取得最大值,此时h=8.即当r=5,h=8时,该蓄水池的体积最大.B组提升题组1.某商店经销一种奥运纪念品,每件产品的成本为30元,并且每卖出一件产品需向税务部门上交a(a为常数,4≤a≤5)元的税收,设每件产品的日售价为x(35≤x≤41)元,根据市场调查,日销售量与e x(e为自然对数的底数)成反比.已知每件产品的日售价为40元时,日销量为10件.(1)求该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元的函数关系式;(2)当每件产品的日售价为多少元时,该商品的日利润L(x)最大?并求出L(x)的最大值.解析(1)设日销售量为,则=10,所以k=10e40,则日销售量为件.则日利润L(x)=(x-30-a)=--(35≤x≤41).(2)由(1)可得L'(x)=-,因为4≤a≤5,所以35≤a+31≤36.令L'(x)=0,得x=a+31,故L(x)在[35,a+31]上为增函数,在(a+31,41]上为减函数.所以当x=a+31时,L(x)取得最大值,最大值为10e9-a.2.某种商品的成本为5元/件,开始按8元/件销售,销售量为50件,为了获得最大利润,商家先后采取了提价与降价两种措施进行试销.经试销发现:销售单价每上涨1元,每天的销售量就减少10件,而降价后,日销售量Q(单位:件)与实际销售单价x(单位:元)满足关系:Q(x)=---(1)试写出该商家的销售利润y与销售单价x的函数关系式;(利润=销售额-成本)(2)当实际销售单价为多少元时,日销售利润最大?并求出最大利润.解析(1)根据题意得y=--------=-----(2)由(1)得当5<x<7时,y=39(2x3-39x2+252x-535),y'=39(6x2-78x+252),令y'=0,则6x2-78x+252=0,解得x=6或x=7(舍去).当5<x<6时,y'>0;当6<x<7时,y'<0,故当x=6时,y max=195.当7≤x<8时,y=6(33-x),故当x=7时,y max=156.当8≤x≤13时,y=-10x2+180x-650=-10(x-9)2+160,故当x=9时,y max=160.综上可知,当实际销售单价定为6元时,日销售利润最大,最大利润为195元.3.如图,点C为某沿海城市的高速公路出入口,直线BD为海岸线,∠CAB=,AB⊥BD,是以A 为圆心,半径为1km的圆弧形小路.该市拟修建一条从C通往海岸的观光专线-PQ,其中P 为上异于B,C的一点,PQ与AB平行,设∠PAB=θ.(1)证明:观光专线-PQ的总长度随θ的增大而减小;(2)已知新建道路PQ的单位成本是翻新道路的单位成本的2倍,当θ取何值时,观光专线-PQ的修建总成本最低?请说明理由.解析(1)证明:由题意,∠CAP=-θ,所以=-θ.又PQ=AB-APcosθ=1-cosθ,所以观光专线的总长度f(θ)=-θ+1-cosθ=-θ-cosθ++1,0<θ<.因为当0<θ<时,f'(θ)=-1+sin θ<0,所以f(θ)在上单调递减,即观光专线-PQ的总长度随θ的增大而减小.(2)设翻新道路的单位成本为a(a>0),则总成本g(θ)=a--=a(-θ-2cosθ++2),0<θ<,g'(θ)=a(-1+2sinθ),令g'(θ)=0,得sinθ=,因为0<θ<,所以θ=.当0<θ<时,g'(θ)<0;当<θ<时,g'(θ)>0.所以,当θ=时,g(θ)最小,即当θ=时,观光专线-PQ的修建总成本最低.。
生活中的优化问题举例
生活中的优化问题举例引言生活中，我们经常面临各种各样的问题和挑战。
为了提高效率、提升生活质量，我们需要不断寻找解决问题的方法和策略。
在这篇文章中，我们将探讨生活中的优化问题，并给出一些实际的例子来说明如何应对这些问题。
什么是优化问题？优化问题是指在给定的限制条件下，寻找一个最优解的问题。
通过优化，我们可以最大限度地提高效率、降低成本、提升满意度等。
在生活中，我们可以将优化问题应用于各个领域，如时间管理、健康管理、金融规划等。
生活中的优化问题举例1. 时间管理时间管理是一个常见的生活优化问题。
我们每天都面临着有限的时间资源，如何合理分配时间成为了一个重要的课题。
以下是一些可以帮助我们优化时间管理的方法和技巧：1.制定优先级：将任务按照重要性和紧急性进行排序，优先处理重要且紧急的任务，避免因琐碎的事务耗费过多时间。
2.打破大目标：学会将大目标分解成小目标，逐步推进。
这样可以减少任务的压力，并更好地管理时间。
3.制定时间表：制定一个明确的时间表，为每项任务规定固定的时间段。
这样可以提高效率，并避免时间的浪费。
4.利用时间碎片：充分利用日常生活中的碎片化时间，比如排队等待、交通工具上的时间，可以用来读书、听课等。
2. 健康管理健康是幸福生活的基石，因此健康管理也成为了一个重要的优化问题。
以下是一些可以帮助我们优化健康管理的方法和策略：1.合理饮食：均衡饮食是健康的基础。
合理控制饮食，摄入适量的营养物质，避免过量或偏食，有助于维持身体的健康状态。
2.积极运动：适量的运动可以帮助我们保持身体健康和心理平衡。
根据个人情况选择合适的运动方式和时间，如慢跑、游泳、瑜伽等。
3.规律作息：良好的作息习惯对于身体和心理健康至关重要。
合理安排睡眠时间，确保充足的休息，有助于保持精力充沛和情绪稳定。
4.健康检查：定期进行身体检查，及时发现和处理潜在的健康问题，有助于预防和治疗疾病。
3. 金融规划金融规划是一个经济优化的问题。
1.4生活中的优化问题举例
练习1、 一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个 正方形，要使两个正方形的面积和最小， 两段铁丝的长度分别是多少？
解：设两段铁丝的长度分别为x,l-x,
其中0<x<l 则两个正方形面积和为
S
=
s1
+ s2
=( x)2 4
+( l
- x)2 4
=
1 (2x2 16
-
2lx
+
l2
)
S 1 (4x 2l) 1 (2x l)
生活中经常遇到求利润最大、用料 最省、效率最高等问题，这些问题称 为优化问题，优化问题有时也称为最 值问题．解决这些问题具有非常重要 的现实意义．
通过前面的学习，我们知道，导数是求函 数最大（小）值的有力工具，本节我们运 用导数，解决一些生活中的优化问题。
类型一：求面积、容积的最大问题
例1、海报版面尺寸的设计： 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，
解：设版心的高为xdm，则版心的
1dm
m
宽 128 dm，此时四周空白面积为 2dm x
S( x) ( x 4)(128 2) 128 x
2x 512 8 ( x 0) x
S
'(
x
)
2
512 x2
2dm
S(
x)
2
x
512 x
8，S
'(
x)
2
512 x2
令S '(x) 0可解得x 1（6 x -16舍去）
V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60).
令
V(x)= 60x - 3 x2 = 0 2
,解得x=0(舍去),x=40.且
生活中的优化问题举例
生活中的优化问题举例
以下是一些生活中常见的优化问题举例：
1. 路线规划：对于一次旅行或者日常通勤，如何选择最短或最快的路线，以节省时间和资源。
2. 日程安排：如何合理分配时间，使得工作效率最大化，同时留出时间进行休息和娱乐。
3. 购物决策：在购买商品时，如何选择最佳的品牌、型号或价格，以满足需求并节约开支。
4. 饮食计划：如何合理安排饮食，以保证营养均衡，同时避免浪费和过量摄入。
5. 能源使用：如何优化能源的使用，例如合理设置空调温度、减少电器待机时间等，以节约能源成本并保护环境。
6. 个人理财：如何合理规划个人财务，包括投资、储蓄和债务，以实现财务增长并达到目标。
7. 旅游安排：在进行旅游计划时，如何选择最佳的目的地、交通方式、住宿和活动，以满足旅行的需求。
8. 学习方法：如何优化学习方法，例如选择适合个人的学习时间、学习环境和学习资源，以提高学习效率。
9. 生活习惯：如何培养健康的生活习惯，例如规律作息、科学饮食和适度运动，以改善身体健康。
10. 时间管理：如何合理分配时间，设置优先级和避免拖延，以提高工作和生活的效率。
最新3.4生活中的优化问题举例(教学设计)(1)(2)汇总
3.4生活中的优化问题举例(教学设计)(1)(2)3.4生活中的优化问题举例（教学设计）（1）（2）（2课时）教学目标：知识与技能目标：会利用导数求利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用，提高将实际问题转化为数学问题的能力。
过程与方法目标：在利用导数解决实际问题中的优化问题的过程中，进一步巩固导数的相关知识，学生通过自主探究，体验数学发现与创造的历程，提高学生的数学素养。
情感、态度与价值观目标：在学习应用数学知识解决问题的过程中，培养学生善于发现问题、解决问题的自觉性，以及科学认真的生活态度，并以此激发他们学习知识的积极性。
教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．教学难点：将实际问题转化为数学问题，根据实际利用导数解决生活中的优化问题．教学过程：一．创设情景、新课引入生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．二．师生互动，新课讲解导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。
例1（课本P101例1）．海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。
现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。
如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？解：设版心的高为xdm，则版心的宽为«Skip Record If...»dm,此时四周空白面积为«Skip Record If...»。
求导数，得«Skip Record If...»。
令«Skip Record If...»，解得«Skip Record If...»舍去）。
生活中的优化问题举例课件
跨部门协作
加强部门间的沟通和协作 ，打破信息孤岛，提高整 体工作效率。
合理分配工作任务
任务分配原则
根据员工的能力、经验和专长， 合理分配工作任务，确保工作量
均衡和高效。
优先级排序
根据任务的重要性和紧急性，指导 员工对工作任务进行优先级排序， 确保高优先级任务得到优先处理。
激励与考核机制
建立有效的激励和考核机制，鼓励 员工积极承担工作任务，提高工作 积极性和满意度。
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优先处理重要和紧急的任务，避免拖延和浪费时间。
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学习一些时间管理技巧，如番茄工作法等。
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避免多任务处理，尽量专注于单一任务，以提高工作效率 。
04
工作中的优化问题
பைடு நூலகம்
提高工作效率
制定合理的工作计划
减少干扰因素
根据工作优先级和任务量，制定每日 、每周和每月的工作计划，确保工作 有序进行。
生活中的优化问题举例课件
• 购物中的优化问题 • 旅行中的优化问题 • 日常生活中的优化问题 • 工作中的优化问题 • 学习中的优化问题
01
购物中的优化问题
寻找最优惠的价格
01
在购物时，消费者通常会寻找最 优惠的价格，以节省开支。
02
比较不同商家的价格，考虑商品 的质量、品牌、售后服务等因素 ，权衡性价比，选择最优惠的价 格。
02
旅行中的优化问题
选择最佳的旅行路线
总结词
选择最佳的旅行路线是旅行中的重要优化问题，可以减少时间和金钱的浪费。
详细描述
在旅行前，我们需要根据目的地、交通工具、时间等因素，选择一条最佳的旅行 路线。这需要考虑路线的长度、所需时间、交通工具的舒适度、费用等因素，以 便在有限的时间内尽可能多地游览景点，并减少不必要的花费。
生活中最优化问题案例
生活中最优化问题案例在我们的日常生活中，最优化问题无处不在。
从如何规划购物以节省开支，到安排工作任务以提高效率，再到选择出行方式以节省时间和费用，这些都是最优化问题的体现。
下面，让我们通过一些具体的案例来深入了解生活中的最优化问题。
案例一：购物省钱策略假设你要为家庭购买一周的生活用品，附近有两家超市 A 和 B。
超市 A 正在进行满 100 减 20 的活动，而超市 B 则对部分商品进行打折销售。
为了实现购物最优化，即花费最少的钱买到所需的商品，你需要对两家超市的商品价格和优惠政策进行详细比较。
首先，列出家庭一周所需的生活用品清单，包括食品、清洁用品等。
然后，分别到两家超市查看这些商品的价格。
对于超市 A，计算在满足满减条件后的实际支付金额。
对于超市 B，计算打折商品的折后价格。
在比较价格时，还需要考虑商品的质量、保质期等因素。
如果某些商品在两家超市的价格差异不大，但超市 A 的商品质量更好或保质期更长，那么即使在价格上稍微高一些，也可能是更优的选择。
此外，还需要考虑购物的便利性，比如超市的距离、交通状况等。
如果为了去一家稍微便宜但距离较远的超市而花费过多的时间和交通费用，可能并不划算。
通过综合考虑价格、质量、便利性等因素，最终做出最优化的购物决策，以达到省钱的目的。
案例二：工作任务安排假设你是一个项目负责人，手头上有多个任务需要在规定的时间内完成，并且每个任务都有不同的优先级和所需时间。
为了确保项目按时完成并提高工作效率，需要对任务进行合理的安排。
首先，对所有任务进行优先级排序。
将那些紧急且重要的任务排在前面，优先处理。
然后，根据每个任务所需的时间和团队成员的能力，合理分配任务。
在分配任务时，要考虑团队成员的专长和工作负荷。
避免将过多的任务分配给某一个成员，导致其压力过大而影响工作质量和效率。
同时，也要给一些相对复杂的任务预留足够的时间，以保证能够高质量地完成。
此外，要合理安排任务的执行顺序。
小学奥数题目-四年级-简单逻辑推理类-最优化问题2
最优化问题2——集合点的选取在日常生活和生产中，我们会经常遇到一些事情需要进行合理、科学地安排，既要在指定时间内完成任务，又要考虑到精打细算，用最少的时间、人力、物力，发挥出最大的效率。
这就涉及这一章的知识“统筹问题”。
它包含的内容非常广泛，例如统筹安排问题、排队问题、最短路线问题、场地设置问题、物资调运问题、最省运费问题等等，每类问题都有特定的解法。
这些来源于生活的实际问题，正是启发同学们学数学、用数学最好的思维锻炼题目。
本节主要介绍两类典型的集合点选取问题：人员集合与物资集合人员集合：问题描述：多个人分散分布在一条线上，现在要使他们在某处集合，我们应该如何选取他们集合的位置，保证所有人走的路程和最短；解决方案：考虑总的人数为n，则有，n为奇数，设在(n+1)/2这个点；n为偶数，设在n/2或n/2+1这两个点中的任意一个或者两点之间的任意一个位置上。
物资集合：问题描述：现在各地有数量不等的物资，需要将它们集中到其中的某地，我们应该如何选取位置，保证运费最省；解决方案：1、计算物资总量；2、分析两端的量，找出来物资量较大的一端，如果大端大于等于总量的一半，则集中到大端；否则，大端集中到离它最近的不为零的位置。
本节主要介绍两类典型的集合点选取问题的解题思路，其推导验证过程会在之后的具体问题中再做如图，在街道上有A、B、C、D、E五栋居民楼，现在在某一居民楼处设立一个公交站，要想使居民到达车站的距离之和最短，车站应该设在哪栋居民楼处？1.1.如图，在街道上有A、B、C、D、E五栋居民楼，每栋楼的距离均为200米，每栋楼里每天都有20个人要坐车，现在设立一个公交站，要想使居民到达车站的距离之和最短，应该设在何处？、A、B、C、D2.2.如图，在街道上有A、B、C、D、E、F六栋居民楼，现在在某一居民楼处设立一个小超市，要想使居民到达超市的距离之和最短，超市应该设在哪栋居民楼处？、A、C、D、E3.3.现在有A、B、C、D、E、F、G、H八个人分别住在如图所示的八栋居民楼，八栋楼之间的距离都不一样，如图所示，现在这八个人某天相约在某栋居民楼碰头，要想使这八个人走的路程和最短，应该在哪栋居民楼下碰头？、A或H、B或G、C或F、D或E有1993名少先队员分散在一条公路上值勤宣传交通法规，问完成任务后应该在公路的什么地点集合，可以使他们从各自的宣传岗位沿公路走到集合地点的路程总和最小？1.1.有998名少先队员分散在一条公路上值勤宣传交通法规，问完成任务后应该在公路的什么地点集合，可以使他们从各自的宣传岗位沿公路走到集合地点的路程总和最小？、出发地点、在第一个学生所在的地点、在正中间两个学生所在的地点、在最后一名学生所在的地点2.2.在一条公路上每隔100千米，这条路上共有5个仓库，并且每个仓库都有10吨的货物，现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1公里需要1元运输费，那么最少要________元运费才行？集中到哪个仓库能使运费最省？（回答最省运费是多少元）3.3.有101只蚂蚁分别住在一条直线路上，现在他们需要集合起来开会，请问开会地点设在第_____只蚂蚁的家里才能使所有蚂蚁走的路程的总和最小？在一条公路上每隔100千米，有一个仓库(如图)共有5个仓库，一号仓库存有10吨货物，二号仓库有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的．现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1公里需要1元运输费，那么最少要多少运费才行？1.1.在一条公路上每隔100千米有一个仓库(如图)，共有5个仓库，一号仓库存有30吨货物，二号仓库有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的．现在想把所以的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1公里需要1元运输费，那么最少要_____元运费才行？2.2.一条直线公路上有5个村，现在几个村的居民要一起开会，每个村的要开会的人数如下图，请问将开会的地点设在哪个村，几个村的居民走的路程和最短？、一、二、三、四3.3.一条直街上有8栋楼，从左到右编号为1，2，3，4，5，6，7，8，相邻两楼的距离都是50米。
生活中最优化问题案例
生活中最优化问题案例最优化问题是在生活中非常常见的一种问题类型。
它涉及了我们如何在给定的条件下，找到最佳的解决方案，以最大化或最小化某个目标函数。
在本文中，我将介绍一些生活中的最优化问题案例，并探讨它们的解决方法和应用。
1. 旅行路径规划：在我们的日常生活中，我们经常需要规划旅行路径，以使我们能够在最短的时间内到达目的地。
这是一个典型的最优化问题。
通过考虑交通状况、路况、距离和其他因素，我们可以使用最优化算法，如迪杰斯特拉算法或A*搜索算法来找到最佳路径。
这样，我们可以避免交通拥堵和浪费时间。
2. 资源分配问题：在许多组织和企业中，资源分配是一个重要的问题。
如何有效地分配有限的资源以达到最佳效果，是一个最优化问题。
一个公司可能需要决定如何分配有限的预算、人力和设备资源，以最大化利润或满足特定的目标要求。
通过使用线性规划等最优化方法，可以找到最佳的资源分配方案。
3. 股票组合优化：对于投资者来说，构建一个良好的股票组合是非常重要的。
在股票组合优化中，我们需要考虑投资目标、风险承受能力、预期收益率和相关性等因素，以找到一个最佳的投资组合。
通过使用现代投资组合理论和数学优化方法，如马科维茨均值-方差模型，可以帮助投资者构建一个高效的股票组合，以最大化收益并控制风险。
4. 生产计划优化：在制造业中，如何优化生产计划以最大化生产效率是一个关键问题。
通过考虑生产设备的利用率、库存管理、生产工序和交货期等因素，可以使用线性规划、模拟和其他最优化技术来制定最佳的生产计划。
这将帮助制造商提高生产效率，降低成本，并实现更好的交货能力。
5. 能源系统优化：在能源领域，如何优化能源系统以实现可持续发展是一个重要的问题。
通过综合考虑能源供应、需求、成本、环境影响和可再生能源利用等因素，可以使用最优化技术来设计和优化能源系统。
使用混合整数线性规划、动态规划和优化算法，可以找到最佳的电力系统规划，以最大限度地提高能源利用效率和减少碳排放。
1.4生活中的优化问题举例
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变式 已知:某商品生产成本Ｃ与产量q的函数关系式为 100 4q C , 价格p与产量q的函数关系式为 p 25 1 q 8 求产量 q 为何值时，利润 L 最大？
1 1 解：利润L pq C (25 q )q (100 4q) q 2 21q 100 8 8
例3 磁盘的最大存储量问题
1你知道计算机是如何存 储、检索信息的吗? 2你知道磁盘的结构吗? 3如何使一个圆环状的磁盘存储尽可能多的
信息?
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知识背景：计算机把信息存储在磁盘上，磁盘是带有磁性介 质的圆盘，并由操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是 指不同半径所构成的同心圆轨道，扇区是指被圆心角分割成 的扇形区域。磁道上的定长的弧可作为基本存储单元，根据 其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常称为比 特（bit）。磁盘的构造如图1.4-3所示。
由S ( R )
R h
2V 4R 0. 解得R 3 V . R2 2
V V 3 从而h 2 2 R 2
即h=2R.
可以判断S(R)只有一个极值点,且是最小值点. 答 罐高与底的直径相等时, 所用材料最省.
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问题3:如何使一个圆形磁盘储存更多信息?
当r 2时, f ' (r ) 0. 当r (0,2)时, f ' (r ) 0;
当r (2,6) 时, f ' (r ) 0.
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解： 由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利 4r 3 润为： y f (r ) 0.2 0.8r 2 (0 r 6)
（１）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ （２）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？ 解：由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利 润为： y f ( r ) 0.2 4 r 3 0.8r 2 (0 r 6)
生活中的优化问题举例
学案60答案 生活中的优化问题举例例1. 用长为90 cm ，宽为48 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°，再焊接而成(如图)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解：设容器的高为x ，容器的容积为V ，则V ＝(90－2x )(48－2x )x (0＜x ＜24)，即V ＝4x 3－276x 2＋4 320x .因为V ′＝12x 2－552x ＋4 320，由V ′＝12x 2－552x ＋4 320＝0，得x 1＝10，x 2＝36. 因为0＜x ＜10时，V ′＞0，10＜x ＜36时，V ′＜0，x ＞36时，V ′＞0，所以当x ＝10时，V 有极大值V (10)＝19 600.又因为0＜x ＜24，所以V (10)也是最大值．所以当x ＝10时，V 有最大值V (10)＝19 600.故当容器的高为10 cm 时，容器的容积最大，最大容积是19 600 cm 3.例2.一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10海里时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？解：设速度为每小时v 海里的燃料费是每小时p 元，那么由题设的比例关系得p ＝k ·v 3，其中k 为比例系数，它可以由v ＝10，p ＝6求得，即k ＝6103＝0.006，则p ＝0.006v 3.又设当船的速度为每小时v 海里时，行1海里所需的总费用为q 元，那么每小时所需的总费用是0.006v 3＋96(元)，而行1海里所需时间为1v小时，所以行1海里的总费用为q ＝1v (0.006v 3＋96)＝0.006v 2＋96v .q ′＝0.012v －96v 2＝0.012v 2(v 3－8 000)， 令q ′＝0，解得v ＝20.因为当v ＜20时，q ′＜0；当v ＞20时，q ′＞0，所以当v ＝20时q 取得最小值，即速度为20海里/小时时，航行1海里所需费用总和最小．例3.某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本为20元，并且每公斤蘑菇的加工费为t 元(t 为常数，且2≤t ≤5)，设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x 元(25≤x≤40)，根据市场调查，日销售量q 与e x 成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100公斤．(1)求该工厂的每日利润y 元与每公斤蘑菇的出厂价x 元的函数关系式；(2)若t ＝5，当每公斤蘑菇的出厂价为多少元时，该工厂的每日利润最大？并求最大值．解： (1)设日销量q ＝k e x ，则k e 30＝100，所以k ＝100e 30， 所以日销量q ＝100e 30e x ，所以y ＝100e 30（x －20－t ）e x (25≤x ≤40)．(2)当t ＝5时，y ＝100e 30（x －25）e x ，所以y ′＝100e 30（26－x ）e x . 由y ′>0，得x <26，由y ′<0，得x >26，所以y 在[25，26)上单调递增，在[26，40]上单调递减，所以当x ＝26时，y max ＝100e 4.故当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的每日利润最大，最大值为100e 4元．四、反馈训练1．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( ) A ．13万件 B ．11万件 C ．9万件 D ．7万件1.解析：选C.因为x >0，y ′＝－x 2＋81＝(9－x )(9＋x )，令y ′＝0，解得x ＝9或x ＝－9(舍去)，当x ∈(0，9)时，y ′>0，当x ∈(9，＋∞)时，y ′<0，所以y 先增后减．所以当x ＝9时函数取得最大值．选C.2.用长为24 m 的钢筋做成一个长方体框架，若这个长方体框架的底面为正方形，则这个长方体体积的最大值为________．2.解析：设长方体的底面边长为x m ，则高为(6－2x )m ，所以x ∈(0，3)，则V ＝x 2(6－2x )＝6x 2－2x 3，V ′＝12x －6x 2，令V ′＝0得x ＝2或x ＝0(舍)，所以当x ∈(0，2)时，V ′>0，V 是增函数，当x ∈[2，3)时，V ′<0，V 是减函数，所以当x ＝2时，V max ＝22×2＝8(m 3)．3.某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a 件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价格提高的百分率为x (0＜x ＜1)，那么月平均销售量减少的百分率为x 2.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y (元)．(1)写出y 关于x 的函数关系式；(2)改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大．解：(1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1＋x )，月平均销售量为a (1－x 2)件，则月平均利润y ＝a (1－x 2)·[20(1＋x )－15](元)，所以y 关于x 的函数关系式为y ＝5a (1＋4x －x 2－4x 3)(0＜x ＜1)．(2)由y ′＝5a (4－2x －12x 2)＝0，得x 1＝12，x 2＝－23(舍去)，当12＜x ＜1时，y ′＜0，当0＜x ＜12时，y ′＞0； 所以函数y ＝5a (1＋4x －x 2－4x 3)(0＜x ＜1)在x ＝12处取得极大值，即最大值． 故改进工艺后，产品的销售价为20⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝30元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大．五、课时作业．1.已知某商品的进货单价为1元/件，商户甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件，今年拟下调销售单价以提高销量，增加收益．据测算，若今年的实际销售单价为x 元/件(1≤x ≤2)，今年新增的年销量(单位：万件)与(x －2)2成正比，比例系数为4.(1)写出今年商户甲的收益y (单位：万元)与今年的实际销售单价x 间的函数关系式；(2)商户甲今年采取降低单价，提高销量的营销策略是否能获得比往年更大的收益(即比往年收益更多)？说明理由．解：(1)由题意知，今年的销售量为[1＋4(x －2)2](万件)．因为每销售一件，商户甲可获利(x －1)元，所以今年商户甲的收益y ＝[1＋4(x －2)2]·(x －1)＝4x 3－20x 2＋33x －17(1≤x ≤2)．(2)由(1)知y ＝f (x )＝4x 3－20x 2＋33x －17，1≤x ≤2，从而y ′＝f ′(x )＝12x 2－40x ＋33＝(2x －3)(6x －11)．令y ′＝0，解得x ＝32或x ＝116.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝1，f (2)＝1， 所以f (x )在区间[1，2]上的最大值为1(万元)．而往年的收益为(2－1)×1＝1(万元)，所以，商户甲采取降低单价，提高销量的营销策略不能获得比往年更大的收益．2．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r m ，高为h m ，体积为V m 3.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/m 2，底面的建造成本为160元/m 2，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大． 解：(1)∵蓄水池侧面的总成本为100×2πrh ＝200πrh (元)，底面的总成本为160πr 2元，∴蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元．根据题意，得200πrh ＋160πr 2＝12 000π，所以h ＝15r(300－4r 2)， 从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)． 由h >0且r >0，可得0<r <53，故函数V (r )的定义域为(0，53)．(2)由(1)知V (r )＝π5(300r －4r 3)， 故V ′(r )＝π5(300－12r 2)． 令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(舍去)．当r ∈(0，5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0，5)上为增函数；当r ∈(5，53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5，53)上为减函数．由此，可知V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8，即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．3.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝a x －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解：(1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a 2＋10＝11，解得a ＝2. (2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10（x －6）2＝2＋10(x －3)(x －6)2(3<x <6)． f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)(x －6)，解30(x －4)(x －6)＝0，得x 1＝4，x 2＝6(舍去)．当x所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，最大值为42.故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大4．已知某公司生产某种产品的年固定成本为10万元，每生产1千件该产品需要另投入1.9万元．设R (x )(单位：万元)为销售收入，根据市场调查知R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x －130x 3，0≤x ≤10，2003，x >10.其中x 是年产量(单位：千件)． (1)写出年利润W 关于年产量x 的函数解析式；(2)求年产量为多少时，该公司可从这一产品生产中获得最大利润？解：(1)设年产量为x 千件，年利润为W 万元，依题意有W ＝⎩⎪⎨⎪⎧10x －130x 3－10－1.9x ，0≤x ≤10，2003－10－1.9x ，x >10.(2)设f (x )＝－130x 3＋8.1x －10，0≤x ≤10. f ′(x )＝－110x 2＋8.1，令f ′(x )＝0得x 1＝9，x 2＝－9(舍去)．当0<x <9时，f ′(x )>0；当9<x <10时，f ′(x )<0，故当x ＝9时，f (x )取得最大值38.6.当x >10时，f (x )＝1703－1.9x <1133<38.6. 即当年产量为9千件时，该公司所获年利润最大．5．如图是某市在城市改造中的沿市内主干道城站路修建的圆形休闲广场，圆心为O ，半径为100 m ，其与城站路一边所在直线l 相切于点M ，MO 的延长线交圆O 于点N ，A 为上半圆弧上一点，过点A 作l 的垂线，垂足为点B .市园林局计划在△ABM 内进行绿化，设△ABM 的面积为S (单位：m 2)．(1)以∠AON ＝θ(rad)为自变量，将S 表示成θ的函数；(2)求使绿化面积最大时点A 的位置及最大绿化面积．解：(1)由题意知，BM ＝100sin θ，AB ＝100＋100cos θ，故S ＝5 000sin θ(1＋cos θ)(0<θ<π)．(2)因为S ＝5 000sin θ(1＋cos θ)(0<θ<π)，所以S ′＝5 000(cos θ＋cos2θ－sin 2θ)＝5 000(2cos 2θ＋cos θ－1)＝5 000(cos θ＋1)(2cos θ－1)．令S ′＝0，得cos θ＝12或cos θ＝－1(舍去)，又θ∈(0，π)，故θ＝π3. 当0<θ<π3时，12<cos θ<1，S ′>0； 当π3<θ<π时，－1<cos θ<12，S ′<0. 故当θ＝π3时，S 取得极大值，也是最大值，最大值为3 7503，此时AB ＝150. 即当点A 距路边的距离为150 m 时，绿化面积最大，最大面积为3 750 3 m 2.。
生活中的优化问题举例(含过程)
▪ [思路分析] 代入数据求k的值，建造费用加上20年能源消耗综合得出总费用f(x)，利用导数求 最值．
[解析] (1)设隔热层厚度 xcm，由题意建筑物每年的能源消耗费用为 C(x)＝ 3x＋k 5(0≤x≤10)，再由 C(0)＝8 得 k＝40，
上述解决优化问题的过程是一个典型的 数学建模 过程.
体积面积最值问题
例1 请你设计一个包装盒，如图所示， ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片， 切去阴影部分所示的四个全等的等腰 直角三角形，再沿虚线折起，使得A， B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒. 点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设AE ＝FB＝x(cm). 某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒 的高与底面边长的比值.
自主练习巩固2
某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量 x(吨)与每吨产品的价格 P(元/吨) 之间的关系为 P＝24200－15x2，且生产 x 吨的成本为 R＝50000＋200x 元．问 每月生产多少吨该产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收 入－成本)．
[思路分析] 根据题意，月收入＝月产量×单价＝Px，月利润＝月收入－成本 ＝Px－(50000＋200x)(x≥0)，列出函数关系式建立数学模型后再利用导数求最大值．
自主练习巩固1
▪ 有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同 的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器．为使其容积最大，截 下的小正方形边长应为多少？
▪ [思路分析] 设截下的小正方形边长为x，用x表示出长方体的边长， 根据题意列出关系式，然后利用导数求最值．
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为了保障磁盘的分辨率，磁道之间 的宽度必须大于m，每比特所占用的磁道 长度不得小于n.为了数据检索的方便， 磁盘格式化时要求所有磁道具有相同的 比特数. R
r
思考1：现有一张半径为R的磁盘，它的 存储区是半径介于r与R的环形区域，且 最外面的磁道不存储任何信息，那么这 张磁盘的磁道数最多可达多少？ R
r
2p r 2p (r + m ) 2p (R - m ) f (r ) = + +L + n n n p = (R + r - m )(R - r ) mn
1.解决优化问题的基本思路：
优化问题 用函数表示的数学问题
优化问题的答案
用导数解决数学问题
练习:在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长相 等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个无 盖的方底铁皮箱.箱底边长为多少时,箱子容积最大?最 大容积是多少?
2p r (R - r )(0 < r < R ) 磁盘的存储量 f (r ) = mn
如何变化？有何最值？
R
r
R r = 时，存储量最大. 2
思考6：如果每条磁道存储的信息与磁道 的长度成正比，那么如何计算磁盘的存 储量？此时，是不是r越小，磁盘的存储 R 量越大？
ห้องสมุดไป่ตู้
m r = 时，存储量最大. 2
探究（三）：磁盘的最大存储量问题
【背景材料】计算机把信息存储在磁盘 上，磁盘是带有磁性介质的圆盘，并由 操作系统将其格式化成磁道和扇区.磁道 是指不同半径所构成的同心圆轨道，扇 区是指被圆心角分割成的扇形区域.磁道 上的定长的弧可作为基本存储单元，根 据其磁化与否可分别记录数据0或1，这 个基本单元通常称为比特，磁盘的构造 如图所示.
R- r m
最内一条磁道.
r
思考2：由于每条磁道上的比特数相同， 那么这张磁盘存储量的大小取决于哪条 磁道上的比特数？
思考3：要使磁盘的存储量达到最大，那 么最内一条磁道上的比特数为多少？
R
2p r n
r
思考4：这张磁盘的存储量最大可达到多 少比特？
R - r 2p r × m n
思考5：若R为定值，r为变量，那么这张
例3 如图所示，一条宽为1m的走廊与 另一条走廊垂直相连，要使一条长为8m 的细杆能水平通过拐角，问另一条走廊 的宽度至少为多少m？
细杆 走廊
3 3m
1m
走廊
h
x
例1 一艘轮船在航行中每小时的燃料 费和它的速度的立方成正比，已知在速 度为每小时10km时，燃料费是每小时6元， 其它与速度无关的费用是每小时96元， 问此轮船以何种速度航行时，能使每行 驶1km的总费用最小？ 20km/h
例2 用总长为14.8m的钢条制作一个长 方体容器的框架，如果所制作的容器的 底面的一边比另一边长0.5m，那么当容 器的高为多少时，其容积最大？最大容 积为多少？ 高为1.2m，最大容积为1.8m3.