高中数学北师大版必修一学业分层测评：第四章 函数应用(24) 含解析
新教材高中数学第4章对数运算与对数函数2 1对数的运算性质巩固练习含解析北师大版必修第一册
2.1对数的运算性质课后训练·巩固提升1.log242+log243+log244等于()A.1B.2C.24D.12242+log243+log244=log24(2×3×4)=log2424=1.故选A.2.化简12log612-2log6√2的结果为()A.6√2B.12√2C.log6√3D.12=log6√12-log62=log6√122=log6√3.故选C.3.方程(lg x)2+(lg 2+lg 3)lg x+lg 2lg 3=0的两根的积x1x2等于()A.lg 2+lg 3B.lg 2lg 3C.16D.-6lg x1+lg x2=-(lg2+lg3),∴lg(x1x2)=-lg6=lg6-1=lg16,∴x1x2=16.故选C.4.21+12log25的值等于()A.2+√5B.2√5C.2+√52D.1+√521+12log25=2×212log25=2×2log2√5=2√5,选B.5.已知a=log32,那么log38-2log36用a表示为()A.a-2B.5a-2+a)2 D.3a-a2-1log38-2log36=3log32-2(log32+log33)=3a-2(a+1)=a-2.6.已知a 23=49(a>0),则lo g23a=.a 23=49,∴a2=64729,∴a=827=(23)3,∴lo g23a=lo g23(23)3=3.7.计算(lg 14-lg25)÷100-12= .14-lg25)÷100-12=(lg 1100)÷10-1=-2×10=-20.208.lg 0.01+log 216的值是 ..01+log 216=lg 1100+log 224=-2+4=2.(lg x )2+lg x 5-6=0.(lg x )2+5lg x-6=0,即(lg x+6)(lg x-1)=0,所以lg x=-6或lg x=1,解得x=10-6或x=10.经检验x=10-6和x=10都是原方程的解,所以原方程的解为x=10-6或x=10.1.计算log 3√2743+lg 25+lg 4+7log 72的值为( ) A.-14B.4C.-154D.154=log 3√274-log 33+lg52+lg22+2=14log 333-1+2lg5+2lg2+2=34-1+2+2=154.2.已知函数f (x )满足:当x ≥4时,f (x )=(12)x ;当x<4时,f (x )=f (x+1),则f (2+log 23)=( ) A.124 B.112 C.18 D.382+log 23<2+log 24=4,3+log 23>3+log 22=4,故f (2+log 23)=f (2+log 23+1)=f (3+log 23)=(12)3+log 23=(12)3·12log 23=18×13=124.3.若lg a ,lg b 是方程2x 2-4x+1=0的两个实根,则(lg a b )2的值为( ) A.2B.12C.4D.14a b )2=(lg a-lg b )2=(lg a+lg b )2-4lg a lg b=22-4×12=2.4.若lg 2=a ,lg 3=b ,则用a ,b 表示lg √45= .√45=12lg45=12lg(5×9)=12lg5+12lg9=12(1-lg2)+lg3=-12lg2+lg3+12=-12a+b+12. -12a+b+125.已知2x =9,log 283=y ,则x+2y 的值为 .2x =9,得log 29=x ,所以x+2y=log 29+2log 283=log 29+log 2649=log 264=6.6.求下列各式的值:(1)log 535+2log 5√2-log 515-log 514; (2)〖(1-log 63)2+log 62·log 618〗÷log 64;(3)lg 5(lg 8+lg 1 000)+(lg 2√3)2+lg 0.06+lg 16.原式=log 535+log 52-log 515-log 514=log 535×215×14=log 535014=log 525=2. (2)原式=[(log 663)2+log 62·log 6362]÷log 64=〖(log 62)2+log 62(log 636-log 62)〗÷log 64=〖(log 62)2+2log 62-(log 62)2〗÷log 64=2log 62÷log 64=log 64÷log 64=1.(3)原式=lg5(3lg2+3)+3(lg2)2+lg 6100-lg6=lg5(3lg2+3)+3(lg2)2+lg6-2-lg6=3·lg5·lg2+3lg5+3·(lg2)2-2=3lg2(lg2+lg5)+3lg5-2=3lg2+3lg5-2=3(lg2+lg5)-2=3-2=1. f (x )=x 2+(lg a+2)x+lg b ,f (-1)=-2,方程f (x )=2x 至多有一个实根,求实数a ,b 的值.f (-1)=-2得,1-(lg a+2)+lg b=-2,所以lg b a =-1=lg 110,所以b a =110,即a=10b.又因为方程f (x )=2x 至多有一个实根,即方程x 2+(lg a )x+lg b=0至多有一个实根,所以(lg a )2-4lg b ≤0,即〖lg(10b )〗2-4lg b ≤0,所以(1-lg b )2≤0,所以lg b=1,b=10,从而a=100. 故实数a ,b 的值分别为100,10.a>1,若对于任意的x ∈〖a ,2a 〗,都有y ∈〖a ,a 2〗满足方程log a x+log a y=3,求a 的取值范围.log a x+log a y=3,∴log a (xy )=3.∴xy=a 3.∴y=a 3x . ∵函数y=a 3x (a>1)在(0,+∞)上是减函数,又当x=a 时,y=a 2,当x=2a 时,y=a 32a =a 22,∴[a 22,a 2]⊆〖a ,a 2〗.∴a 22≥a.又a>1,∴a ≥2.∴a的取值范围为〖2,+∞).。
高中北师大版数学必修1第1章至第四章学业质量标准检测
第一章学业质量标准检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若集合A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|x<－1或x>3}，则A∩B＝( A )A．{x|－2<x<－1} B．{x|－2<x<3}C．{x|－1<x<1} D．{x|1<x<3}[解析]A∩B＝{x|－2<x<1}∩{x|x<－1或x>3}＝{x|－2<x<－1}，故选A．2．下列集合中表示同一集合的是( B )A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}B．M＝{3,2}，N＝{2,3}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{1,2}，N＝{(1,2)}[解析]A选项中，元素为点，且不是同一点，C，D选项中的元素，一个为点，一个为数，都不可能为同一集合，故B正确．3．设集合A＝{a，b}，B＝{x|x∈A}，则( D )A．B∈A B．B AC．A∉B D．A＝B[解析]由已知可得B＝{a，b}，∴A＝B4．设全集U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩∁U B＝( B )A．{x|0≤x<1} B．{x|0<x≤1}C．{x|x<0} D．{x|x>1}[解析]易得∁U B＝{x|x≤1}，故A∩∁U B＝{x|0<x≤1}．5．(2019·全国卷Ⅱ理，1)设集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，则A∩B＝( A )A．(－∞，1) B．(－2,1)C．(－3，－1) D．(3，＋∞)[解析]∵A＝{x|x2－5x＋6>0}＝{x|(x－2)(x－3)>0}＝{x|x<2或x>3}，B＝{x|x－1<0}＝{x|x<1}．∴A∩B＝{x|x<2或x>3}∩{x|x<1}＝{x|x<1}，故选A．6．已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}，若P∪M＝P，则a的范围是( C )A．a≤－1 B．a≥1C．－1≤a≤1 D．a≥1或a≤－1[解析]∵P＝{x|－1≤x≤1}，P∪M＝P，∴a∈P.即－1≤a≤1.7．设集合A ＝{x|x≤13}，a ＝11，那么( D ) A ．a A B ．a ∉A C ．{a}∉AD ．{a} A[解析] A 是集合，a 是元素，两者的关系应是属于与不属于的关系．{a}与A 是包含与否的关系，据此，A 、C 显然不对．而11<13，所以a 是A 的一个元素，{a}是A 的一个子集．故选D ．8．设全集U ＝{x ∈N|x≥2}，集合A ＝{x ∈N|x 2≥5}，则∁U A ＝( B ) A ．∅ B ．{2} C ．{5}D ．{2,5}[解析] 本题考查集合的运算．A ＝{x ∈N|x 2≥5}＝{x ∈N|x≥5}，故∁U A ＝{x ∈N|2≤x<5}＝{2}．选B ．9．已知A ，B 均为集合U ＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁U B)∩A＝{9}，则A 等于( D ) A ．{1,3} B ．{3,7,9} C ．{3,5,9}D ．{3,9}[解析] 因为A∩B＝{3}，所以集合A 中必有元素3.因为(∁U B)∩A＝{9}，所以属于集合A 不属于集合B 的元素只有9.综上可得A ＝{3,9}．10．已知集合A ＝{x|－2≤x≤7}，B ＝{x|m ＋1<x<2m －1}，且B≠∅，若A ∪B ＝A ，则m 的取值范围为( D )A ．－3≤m≤4B ．－2<m<4C ．2<m<4D ．2<m≤4[解析] 因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A ． 又因为B≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－22m －1≤7m ＋1<2m －1，所以2<m≤4.11．已知集合A ＝{x|x<3或x≥7}，B ＝{x|x<a}．若(∁U A)∩B≠∅，则a 的取值范围为( A ) A ．a>3 B ．a≥3 C ．a≥7D ．a>7[解析] 因为A ＝{x|x<3或x≥7}，所以∁U A ＝{x|3≤x<7}，又(∁U A)∩B≠∅，则a>3.12．下列四个命题：①{0}是空集；②若a ∈N ，则－a ∉N ；③集合{x ∈R|x 2－2x ＋1＝0}有两个元素；④集合{x ∈Q|6x∈N}是有限集．其中正确命题的个数是( D )A ．1B ．2C ．3D ．0[解析] ①{0}是含有一个元素0的集合，不是空集， ∴①不正确．②当a ＝0时，0∈N ，∴②不正确． ③∵x 2－2x ＋1＝0，x 1＝x 2＝1， ∴{x ∈R|x 2－2x ＋1＝0}＝{1}， ∴③不正确．④当x 为正整数的倒数时6x ∈N ，∴{x ∈Q|6x ∈N}是无限集，∴④不正确．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知集合A ＝{x|x －2>0}，若a ∈A ，则集合B ＝{x|x 2－ax ＋1＝0}中元素的个数为2.[解析] ∵A ＝{x|x －2>0}，a ∈A ，∴a －2>0，即a>2，∴a 2－4>0，则方程x 2－ax ＋1＝0有两个不相等的实数根．故集合B 中元素的个数为2.14．设集合A ＝{x||x|<2}，B ＝{x|x>a}，全集U ＝R ，若A ⊆∁U B ，则a 的取值范围是a≥2. [解析] ∵|x|<2，∴－2<x<2，∴A ＝{x|－2<x<2}．而∁U B ＝{x|x≤a}，故当A ⊆∁U B 时，a≥2. 15．设全集U ＝R ，A ＝{x ∈N|1≤x≤10}，B ＝{x ∈R|x 2＋x －6＝0}，则图中阴影表示的集合为{－3}.[解析] 如图阴影部分为(∁U A)∩B．∵A ＝{x ∈N|1≤x≤10}＝{1,2,3,4，…，9,10}， B ＝{x|x 2＋x －6＝0}＝{2，－3}， ∴(∁U A)∩B＝{－3}．16．集合M ＝{x|x ＝3k －2，k ∈Z}，P ＝{y|y ＝3l ＋1，l ∈Z}，S ＝{z|z ＝6m ＋1，m ∈Z}之间的关系是SP ＝M.[解析] M 、P 是被3除余1的数构成的集合，则P ＝M ，S 是被6除余1的数，则S P. 三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设集合A ＝{x ∈Z|－6≤x≤6}，B ＝{1,2,3}，C ＝{3,4,5,6}．求： (1)A ∪(B∩C)； (2)A∩[∁A (B ∪C)]．[解析] 由题意知A ＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6}． (1)易知B∩C＝{3}，故A ∪(B∩C)＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6}．(2)∵B ∪C ＝{1,2,3,4,5,6}，∴∁A (B ∪C)＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0}， ∴A∩[∁A (B ∪C)]＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0}．18．(本小题满分12分)已知M ＝{1,2，a 2－3a －1}，N ＝{－1，a,3}，M∩N＝{3}，求实数a 的值． [解析] ∵M∩N＝{3}，∴3∈M ； ∴a 2－3a －1＝3，即a 2－3a －4＝0， 解得a ＝－1或4.但当a ＝－1时，与集合中元素的互异性矛盾； 当a ＝4时，M ＝{1,2,3}，N ＝{－1,3,4}，符合题意． ∴a ＝4.19．(本小题满分12分)已知A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x|mx －2＝0}且A ∪B ＝A ，求实数m 组成的集合C ．[解析] 由A ∪B ＝A 得B ⊆A ，因此B 有可能等于空集． ①当B ＝∅时，此时方程mx －2＝0无解， 即m ＝0符合题意．②当B≠∅时，即m≠0，此时A ＝{1,2}，B ＝{2m }，∵B ⊆A ．∴2m ＝1或2m ＝2，∴m ＝2或m ＝1.因此，实数m 组成的集合C 为{0,1,2}．20．(本小题满分12分)集合A ＝{x|－2<x<4}，集合B ＝{x|x －m<0}. (1)若m ＝3，求A∩B，A ∪B ；(2)若A∩B＝∅，求实数m 的取值范围； (3)若A∩B＝A ，求实数m 的取值范围． [解析] (1)当m ＝3时，B ＝{x|x<3}． 又A ＝{x|－2<x<4}，∴A∩B＝{x|－2<x<4}∩{x|x<3}＝{x|－2<x<3}， A ∪B ＝{x|－2<x<4}∪{x|x<3}＝{x|x<4}． (2)∵A ＝{x|－2<x<4}，B ＝{x|x<m}，又A∩B＝∅， ∴m≤－2，即m 的取值范围是{m|m≤－2}． (3)∵A∩B＝A ，∴A ⊆B ．又A ＝{x|－2<x<4}，B ＝{x|x<m}， ∴m≥4，即m 的取值范围是{m|m≥4}．21．(本小题满分12分)已知M ＝{x|x 2－5x ＋6＝0}，N ＝{x|ax ＝12}，若N ⊆M ，求实数a 所构成的集合A ，并写出A 的所有非空真子集.[解析]∵M＝{x|x2－5x＋6＝0}，解x2－5x＋6＝0得x＝2或x＝3，∴M＝{2,3}．∵N⊆M，∴N为∅或{2}或{3}．当N＝∅时，即ax＝12无解，此时a＝0；当N＝{2}时，则2a＝12，a＝6；当N＝{3}时，则3a＝12，a＝4.所以A＝{0,4,6}，从而A的所有非空真子集为{0}，{4}，{6}，{0,4}，{0,6}，{4,6}．22．(本小题满分12分)设非空集合S具有如下性质：①元素都是正整数；②若x∈S，则10－x∈S.(1)请你写出符合条件，且分别含有1个、2个、3个元素的集合S各一个．(2)是否存在恰有6个元素的集合S？若存在，写出所有的集合S；若不存在，请说明理由．(3)由(1)、(2)的解答过程启发我们，可以得出哪些关于集合S的一般性结论(要求至少写出两个结论)?[解析](1)由题意可知，若集合S中含有一个元素，则应满足10－x＝x，即x＝5，故S＝{5}．若集合S中含有两个元素，设S＝{a，b}，则a，b∈N＋，且a＋b＝10，故S可以是下列集合中的一个：{1,9}，{2,8}，{3,7}，{4,6}，若集合S中含有3个元素，由集合S满足的性质可知5∈S，故S是{1,5,9}或{2,5,8}或{3,5,7}或{4,5,6}中的一个．(2)存在含有6个元素的非空集合S如下所示：S＝{1,2,3,7,8,9}或S＝{1,2,4,6,8,9}或S＝{1,3,4,6,7,9}或S＝{2,3,4,6,7,8}共4个．(3)答案不唯一，如：①S⊆{1,2,3,4,5,6,7,8,9}；②若5∈S，则S中元素个数为奇数个，若5∉S，则S中元素个数为偶数个．第二章 学业质量标准检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f(x)＝x ＋1＋12－x 的定义域为( A )A ．[－1,2)∪(2，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．[－1,2)D ．[－1，＋∞)[解析] 要使x ＋1有意义，须满足x ＋1≥0，即x≥－1；要使12－x 有意义，须满足2－x≠0，即x≠2，所以函数f(x)的定义域为{x|x≥－1，且x≠2}，用区间可表示为[－1,2)∪(2，＋∞)．2．已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x 2＋1x ，则f(－1)＝( D )A ．2B ．1C ．0D ．－2[解析] ∵f(x)为奇函数， ∴f(－1)＝－f(1)＝－(1＋11)＝－2.3．下列四个图像中，表示的不是函数图像的是( B )[解析] 选项B 中，当x 取某一个值时，y 可能有2个值与之对应，不符合函数的定义，它不是函数的图像．4．二次函数y ＝－2(x ＋1)2＋8的最值情况是( C ) A ．最小值是8，无最大值 B ．最大值是－2，无最小值 C ．最大值是8，无最小值 D ．最小值是－2，无最大值[解析] 因为二次函数开口向下，所以当x ＝－1时，函数有最大值8，无最小值．5．已知集合A 和集合B 的元素都属于N ，映射f ：A→B，若把集合A 中的元素n 映射到集合B 中为元素n 2＋n ，则在映射f 下，像20的原像是( A )A ．4B ．5C．4或－5 D．－4或5[解析]由题意，得n2＋n＝20，∴n2＋n－20＝0，∴(n＋5)(n－4)＝0，∴n＝－5或n＝4.∵n∈N，∴n＝4，故选A．6．(2019·山东烟台高一期中测试)已知函数y＝f(x)的部分x与y的对应关系如下表：则f[f(4)]＝(A．－1 B．－2C．－3 D．3[解析]由图表可知，f(4)＝－3，∴f[f(4)]＝f(－3)＝3.7．函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数，若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x 的取值范围是( D )A．[－2,2] B．[－1,1]C．[0,4] D．[1,3][解析]∵f(x)为R上的奇函数，f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1，由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)，又∵f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3，故选D．8．若奇函数f(x)在[3,7]上是增函数，且最小值是1，则它在[－7，－3]上是( B )A．增函数且最小值是－1 B．增函数且最大值是－1C．减函数且最大值是－1 D．减函数且最小值是－1[解析]∵奇函数在对称区间上的单调性相同，最值互为相反数．∴y＝f(x)在[－7，－3]上有最大值－1且为增函数．9．定义在[1＋a,2]上的偶函数f(x)＝ax2＋bx－2在区间[1,2]上是( B )A．增函数B．减函数C．先增后减函数D．先减后增函数[解析]∵函数f(x)是偶函数，∴b＝0.定义域为[1＋a,2]，则1＋a＝－2，∴a＝－3.又二次函数f(x)＝－3x2－2的图像开口向下，对称轴为y轴，则在区间[1,2]上是减函数．10．若函数y＝kx＋5kx2＋4kx＋3的定义域为R，则实数k的取值范围为( D )A ．(0，34)B ．(34，＋∞)C ．(－∞，0)D ．[0，34)[解析] ∵函数的定义域为R ，∴kx 2＋4kx ＋3恒不为零，则k ＝0时，成立； k≠0时，Δ<0，也成立．∴0≤k<34.11．函数y ＝ax 2－bx ＋c(a≠0)的图像过点(－1,0)，则a b ＋c ＋b a ＋c －c a ＋b的值是( A ) A ．－1 B ．1 C ．12D ．－12[解析] ∵函数y ＝ax 2－bx ＋c(a≠0)的图像过(－1,0)点，则有a ＋b ＋c ＝0，即a ＋b ＝－c ，b ＋c ＝－a ，a ＋c ＝－b. ∴a b ＋c ＋b a ＋c －c a ＋b＝－1. 12．已知函数f(x)(x ∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f(x)图像的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则 i ＝1mx i ＝( B )A ．0B ．mC ．2mD ．4m[解析] 因为y ＝f(x)，y ＝|x 2－2x －3|都关于x ＝1对称，所以它们交点也关于x ＝1对称，当m 为偶数时，其和为2×m 2＝m ，当m 为奇数时，其和为2×m －12＋1＝m ，因此选B ．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．将二次函数y ＝x 2＋1的图像向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得二次函数的解析式是y ＝x 2＋4x ＋2.[解析] y ＝(x ＋2)2＋1－3＝(x ＋2)2－2 ＝x 2＋4x ＋2.14．(2019·陕西黄陵中学高一期末测试)函数f(x)＝4－2x ＋1x ＋1的定义域是{x|x≤2且x≠－1}. [解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4－2x≥0x ＋1≠0，解得x≤2且x≠－1，∴函数f(x)的定义域为{x|x≤2且x≠－1}．15．已知函数f(x)＝x 2－|x|，若f(－m 2－1)<f(2)，则实数m 的取值范围是(－1,1).[解析] 因为f(x)＝x 2－|x|＝|x|2－|x|＝(|x|－12)2－14，所以f(x)为偶函数，且在区间(12，＋∞)上为增函数．又f(－m 2－1)＝f(m 2＋1)<f(2)， 所以m 2＋1<2.所以m 2<1，即－1<m<1.16．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，例如：解析式为y ＝2x 2＋1，值域为{9}的“孪生函数”有三个：①y ＝2x 2＋1，x ∈{－2}；②y ＝2x 2＋1，x ∈{2}；③y ＝2x 2＋1，x ∈{－2,2}．那么函数解析式为y ＝2x 2＋1，值域为{1,5}的“孪生函数”有3个．[解析] 根据定义，满足函数解析式为y ＝2x 2＋1，值域为{1,5}的“孪生函数”有：y ＝2x 2＋1，x ∈{0，2}；y ＝2x 2＋1，x ∈{0，－2}，y ＝2x 2＋1，x ∈{－2，0，2}共3个．三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2(x≤－1)x 2(－1<x<2)2x (x≥2).(1)求f{f[f(3)]}的值； (2)求f(a)＝3，求a 的值； (3)画出函数的图像．[解析] (1)∵－1<3<2，∴f(3)＝(3)2＝3. 又 3≥2，∴f[f(3)]＝f(3)＝2×3＝6. 又6≥2，∴f{f[f(3)]}＝f(6)＝2×6＝12.(2)当a≤－1时，f(a)＝a ＋2.若f(a)＝3，则a ＋2＝3， ∴a ＝1(舍去)．当－1<a<2时，f(a)＝a 2.若f(a)＝3，则a 2＝3， ∴a ＝3，或a ＝－3(舍去)．当a≥2时，f(a)＝2a.若f(a)＝3，则2a ＝3， ∴a ＝32(舍去)．综上可知，a ＝ 3.(3)函数f(x)的图像如图所示，18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x 2－2ax ＋2，x ∈[－3,3]． (1)当a ＝－5时，求f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f(x)在区间[－3,3]上是单调函数． [解析] (1)当a ＝－5时，f(x)＝x 2＋10x ＋2＝(x ＋5)2－23，x ∈[－3,3]， 又因为二次函数开口向上，且对称轴为x ＝－5，所以当x ＝－3时，f(x)min ＝－19，当x ＝3时，f(x)max ＝41.(2)函数f(x)＝(x －a)2＋2－a 2的图像的对称轴为x ＝a ，因为f(x)在[－3,3]上是单调函数， 所以a≤－3或a≥3.19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝1a －1x (a>0，x>0)．(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增加的；(2)若f(x)在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值．[解析] (1)设x 1，x 2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2. 则f(x 1)－f(x 2)＝(1a －1x 1)－(1a －1x 2)＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2. ∵0<x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2>0. ∴x 1－x 2x 1x 2<0.∴f(x 1)<f(x 2)． ∴函数f(x)在(0，＋∞)上是增加的． (2)∵f(x)在[12，2]上的值域是[12，2]，又∵f(x)在[12，2]上是增加的，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (12)＝12f (2)＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧1a －2＝121a －12＝2.∴a ＝25.20．(本小题满分12分)已知幂函数y ＝f(x)＝x －2m2－m ＋3，其中m ∈{x|－2<x<2，x ∈Z}，满足：(1)是区间(0，＋∞)上的增函数； (2)对任意的x ∈R ，都有f(－x)＋f(x)＝0.求同时满足(1)，(2)的幂函数f(x)的解析式，并求x ∈[0,3]时f(x)的值域． [解析] 由{x|－2<x<2，x ∈Z}＝{－1,0,1}． (1)由－2m 2－m ＋3>0，∴2m 2＋m －3<0，∴－32<m<1，∴m ＝－1或0.由(2)知f(x)是奇函数．当m ＝－1时，f(x)＝x 2为偶函数，舍去． 当m ＝0时，f(x)＝x 3为奇函数． ∴f(x)＝x 3.当x ∈[0,3]时，f(x)在[0,3]上为增函数， ∴f(x)的值域为[0,27]．21．(本小题满分12分)设函数f(x)＝x 2－2|x|－1(－3≤x≤3)． (1)证明：f(x)是偶函数；(2)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数； (3)求函数的值域．[解析] (1)证明：∵定义域关于原点对称， f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x 2－2|x|－1＝f(x)， 即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(2)当x≥0时，f(x)＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2， 当x<0时，f(x)＝x 2＋2x －1＝(x ＋1)2－2，即f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2－2，x≥0(x ＋1)2－2，x<0.根据二次函数的作图方法，可得函数图像，如图函数f(x)的单调区间为[－3，－1)，[－1,0)，[0,1)，[1,3]．f(x)在区间[－3，－1)，[0,1]上为减函数， 在[－1,0)，[1,3]上为增函数．(3)当x≥0时，函数f(x)＝(x －1)2－2的最小值为－2，最大值为f(3)＝2. 当x<0时，函数f(x)＝(x ＋1)2－2的最小值为－2，最大值为f(－3)＝2. 故函数f(x)的值域为[－2,2]．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x ＋x 3，x ∈R. (1)判断函数f(x)的单调性，并证明你的结论；(2)若a ，b ∈R ，且a ＋b>0，试比较f(a)＋f(b)与0的大小． [解析] (1)函数f(x)＝x ＋x 3，x ∈R 是增函数， 证明如下：任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝(x 1＋x 31)－(x 2＋x 32)＝(x 1－x 2)＋(x 31－x 32)＝(x 1－x 2)(x 21＋x 1x 2＋x 22＋1) ＝(x 1－x 2)[(x 1＋12x 2)2＋34x 22＋1]．因为x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，(x 1＋12x 2)2＋34x 22＋1>0.所以f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)， 所以函数f(x)＝x ＋x 3，x ∈R 是增函数． (2)由a ＋b>0，得a>－b ，由(1)知f(a)>f(－b)， 因为f(x)的定义域为R ，定义域关于坐标原点对称， 又f(－x)＝(－x)＋(－x)3＝－x －x 3＝－(x ＋x 3)＝－f(x)， 所以函数f(x)为奇函数．于是有f(－b)＝－f(b)，所以f(a)>－f(b)，从而f(a)＋f(b)>0.第三章 学业质量标准检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·山东潍坊高一期末测试)函数f(x)＝ln (x ＋1)x －2的定义域是( B )A ．(－1，＋∞)B ．(－1,2)∪(2，＋∞)C ．(－1,2)D ．[－1,2)∪(2，＋∞)[解析] 要使函数有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0x －2≠0，∴x>－1且x≠2，故函数f(x)的定义域为(－1,2)∪(2，＋∞)． 2．下列计算正确的是( B ) A ．log 26－log 23＝log 23 B ．log 26－log 23＝1 C ．log 39＝3D ．log 3(－4)2＝2log 3(－4)[解析] 在B 选项中，log 26－log 23＝log 263＝log 22＝1，故该选项正确．3．(2019·安徽合肥众兴中学高一期末测试)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (x>0)3x(x≤0)，则f[f(14)]的值是( B )A ．9B ．19 C ．－19D ．－9[解析] ∵x>0时，f(x)＝log 2x ， ∴f(14)＝log 214＝log 22－2＝－2，又∵x<0时，f(x)＝3x ，∴f(－2)＝3－2＝19.∴f[f(14)]＝f(－2)＝19.4．(2019·山东潍坊高一期末测试)已知x ＝log 512，y ＝(12)0.1，z ＝213 ，则( A )A ．x<y<zB ．x<z<yC ．y<x<zD ．z<x<y[解析] log 512<log 51＝0，∴x<0；(12)0.1<(12)0＝1，∴0<y<1；213 >20＝1，∴z>1，∴x<y<z.5．函数y ＝a x与y ＝－log a x(a>0，且a≠1)在同一坐标系中的图像形状只能是( A )[解析] 排除法：∵函数y ＝－log a x 中x>0，故排除B ；当a>1时，函数y ＝a x为增函数，函数y ＝－log a x 为减函数，故排除C ；当0<a<1时，函数y ＝a x 为减函数，函数y ＝－log a x 为增函数，故排除D ，所以选A ． 6．(2019·北京文，3)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( A ) A ．y ＝x 12 B ．2－xC ．y ＝log 12xD ．y ＝1x[解析] 函数y ＝x 12＝x ，在(0，＋∞)上单调递增，函数y ＝2－x＝(12)x ，y ＝log 12x ，y ＝1x 在(0，＋∞)上都是单调递减的，故选A ．7．已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax 2－x(a ∈R)．若f[g(1)]＝1，则a ＝( A ) A ．1 B ．2 C ．3D ．－1[解析] 由已知条件可知：f[g(1)]＝f(a －1)＝5|a －1|＝1，∴|a －1|＝0，得a ＝1.故选A ．8．给出f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧12x (x≥4)f (x ＋1)(x<4)，则f(log 23)的值等于( D )A ．－238B ．111C ．119D ．124[解析] 因为log 23∈(1,2)， 所以f(log 23)＝f(log 23＋1)＝f(log 26)＝f(log 26＋1) ＝f(log 212)＝f(log 212＋1) ＝f(log 224)＝12log 224＝124.9．若a>b>0,0<c<1，则( B ) A ．log a c<log b c B ．log c a<log c b C ．a c<b cD ．c a>c b[解析] 对于选项A ：log a c ＝lgc lga ，log b c ＝lgclgb，∵0<c<1，∴lgc<0，而a>b>0，所以lga>lgb ，但不能确定lga 、lgb 的正负，所以它们的大小不能确定； 对于选项B ：log c a ＝lga lgc ，log c b ＝lgb lgc ，而lga>lgb ，两边同乘以一个负数1lgc 改变不等号方向所以选项B 正确；对于选项C ：利用y ＝x c在第一象限内是增函数即可得到a c>b c，所以C 错误；对于选项D ：利用y ＝c x在R 上为减函数易得为错误．所以本题选B ．10．设函数f(x)＝x 2－4x ＋3，g(x)＝3x－2，集合M ＝{x ∈R|f[g(x)]>0}，N ＝{x ∈R|g(x)<2}，则M∩N ＝( D )A ．(1，＋∞)B ．(0,1)C ．(－1,1)D ．(－∞，1)[解析] ∵f[g(x)]>0，∴g 2(x)－4g(x)＋3>0. ∴g(x)>3或g(x)<1， ∴M∩N＝{x|g(x)<1}．∴3x－2<1,3x<3，∴x<1.故选D ．11．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1－2，－log 2(x ＋1)，x≤1，x>1，且f(a)＝－3，则f(6－a)＝( A )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14[解析] 由已知条件可得函数图像：故f(a)＝－3＝－log 2(a ＋1)，可得a ＝7； f(6－a)＝f(－1)＝2－1－1－2＝－74.故本题正确答案为A ．12．已知f(x)＝log 12(x 2－ax ＋3a)在区间[2，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是( C )A ．(－4,4)B ．[－4,4)C ．(－4,4]D ．[－4,4][解析] 要使f(x)在[2，＋∞)上是减函数，则需g(x)＝x 2－ax ＋3a 在[2，＋∞)上递增且恒大于零． ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2g (2)＝22－2a ＋3a>0，解得－4<a≤4.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．(2019·大连市高一期末测试)已知16a＝4，lg x ＝a ，则x ＝10. [解析] ∵16a＝4，∴a ＝12，∴lg x ＝12，∴x ＝1012＝10，∴x ＝10.14．(2019·安徽安庆二中高一期中测试)计算：(49)12 ＋(12)log23＋lne ＝2.[解析] 原式＝23＋12log 23＋1＝23＋13＋1＝2. 15．(2019·全国卷Ⅱ理，14)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－e ax，若f(ln2)＝8，则a －3.[解析] 解法一：设x>0，则－x<0， ∴f(－x)＝－e－ax，∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴－f(x)＝－e －ax，∴f(x)＝e－ax＝1eax ＝1(e x )a ， ∵ln2>0，∴f(ln2)＝1(e ln2)a ＝12a ＝8，∴2a＝18＝2－3，∴a ＝－3.解法二：∵ln2>0，∴－ln2<0， 又∵当x<0时，f(x)＝－e ax， ∴f(－ln2)＝－e －aln2＝－1e aln2＝－1(e ln2)a＝－12a ，又∵f(x)为奇函数，∴f(－ln2)＝－f(ln2) ＝－8， ∴－12a ＝－8，∴2a＝18＝2－3，∴a ＝－3.16．关于函数y ＝2x2－2x －3有以下4个结论：①定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)； ②递增区间为[1，＋∞)； ③是非奇非偶函数； ④值域是(116，＋∞)．则正确的结论是②③.(填序号即可)[解析] ①不正确，因为y ＝2x 2－2x －3的定义域为R ； ④不正确，因为x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4， ∴2x2－2x －3≥2－4＝116，即值域为[116，＋∞)；②正确，因为y ＝2u为增函数，u ＝x 2－2x －3在(－∞，1]上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，所以y ＝2x2－2x －3的递增区间为[1，＋∞)；③正确，因为f(－x)≠f(x)且f(－x)≠－f(x)．三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(2019·安徽太和中学高一期中测试)计算下列各式的值： (1)(12)－2＋(12)0－2713 ＋38；(2)log 327－log 33＋lg25＋2lg2＋lne 2. [解析] (1)原式＝22＋1－(33) 13 ＋323＝4＋1－3＋2＝4.(2)原式＝log 3332 －log 3312 ＋lg25＋lg4＋2＝32－12＋lg100＋2 ＝32－12＋2＋2＝5. 18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2x的定义域是[0,3]，设g(x)＝f(2x)－f(x ＋2)． (1)求g(x)的解析式及定义域； (2)求函数g(x)的最大值和最小值． [解析] (1)∵f(x)＝2x， ∴g(x)＝f(2x)－f(x ＋2)＝22x－2x ＋2.∵f(x)的定义域是[0,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x≤30≤x＋2≤3，解得0≤x≤1.∴g(x)的定义域是[0,1]． (2)g(x)＝(2x )2－4×2x＝(2x－2)2－4. ∵x ∈[0,1]， ∴2x ∈[1,2]．∴当2x ＝1，即x ＝0时，g(x)取得最大值－3； 当2x＝2，即x ＝1时，g(x)取得最小值－4.19．(本小题满分12分)已知定义域为R 的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f(12)＝0，求不等式f(log 4x)>0的解集．[解析] 因为f(x)是偶函数， 所以f(－12)＝f(12)＝0，又f(x)在[0，＋∞)上是增函数， 所以f(x)在(－∞，0)上是减函数． 所以f(log 4x)>0⇒log 4x>12或log 4x<－12，解得：x>2或0<x<12，则不等式f(log 4x)>0的解集是 {x|x>2，或0<x<12}．20．(本小题满分12分)已知a>0且a≠1，函数f(x)＝log a x ，x ∈[2,4]的值域为[m ，m ＋1]，求a 的值．[解析] 当a>1时，f(x)＝log a x ，在[2,4]上是增加的，∴x ＝2时，f(x)取最小值；x ＝4时，f(x)取最大值，即⎩⎪⎨⎪⎧log a 2＝m log a 4＝m ＋1，∴2log a 2＝log a 2＋1.∴log a 2＝1，得a ＝2 当0<a<1时，f(x)＝log a x 在[2,4]上是减少的，∴当x ＝2时，f(x)取最大值；x ＝4时，f(x)取最小值，即⎩⎪⎨⎪⎧log a 2＝m ＋1log a 4＝m ，∴log a 2＝2log a 2＋1，∴log a 2＝－1.∴a ＝12.综上所述，a ＝2或a ＝12.21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(12x －1＋12)·x 3.(1)求f(x)的定义域； (2)讨论f(x)的奇偶性； (3)证明：f(x)>0.[解析] (1)因为要使题中函数有意义，需2x－1≠0，即x≠0， 所以所求定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)因为f(x)＝2＋(2x－1)2(2x－1)·x 3＝2x＋12(2x －1)·x 3， 又f(－x)＝2－x＋12(2－x －1)·(－x)3＝1＋2x2(1－2x )·(－x 3)＝2x＋12(2x－1)·x 3， 所以f(－x)＝f(x)，即f(x)是偶函数． (3)证明：因为x>0时，2x>1，所以2x－1>0. 又因为x 3>0，所以f(x)>0；因为x<0时，0<2x<1，所以－1<2x－1<0. 又因为x 3<0，所以f(x)>0.所以当x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，f(x)>0.22．(本小题满分12分)某商品的市场日需求量Q 1和日产量Q 2均为价格P 的函数，且Q 1＝144·(12)P ＋12，Q 2＝6×2P ，日总成本C 关于日产量Q 2的关系式为：C ＝10＋13Q 2.(1)Q 1＝Q 2时的价格为均衡价格，求此均衡价格P 0；(2)当P ＝P 0时，求日利润L 的大小．[解析] 均衡价格即供需相等时所对应的价格，利润＝收益－成本，列出方程即可求解． (1)根据题意有Q 1＝Q 2， 144·(12)P ＋12＝6×2P，即(2P )2－2·2P－24＝0. 解得2P＝6,2P＝－4(舍去)． ∴P ＝log 26，故P 0＝P ＝log 26. 即均衡价格为log 26元． (2)由于利润＝收益－成本，故L ＝Q 1P －C ＝36log 26－(10＋13×36)＝36log 26－22，故P ＝P 0时，利润为(36log 26－22)元．第四章学业质量标准检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f(x)的图像与x轴有3个交点，则方程f(x)＝0的实数解的个数是( D )A．0 B．1C．2 D．3[解析]因为函数f(x)的图像与x轴有3个交点，所以函数f(x)有3个零点，即方程f(x)＝0有3个实数解．2．函数y＝x的零点是( A )A．0 B．(0,0)C．(1,0) D．1[解析]函数y＝x的零点是其图像与横轴交点的横坐标0，它是一个实数，而不是点，故选A．3．方程lgx＋x＝0的根所在区间是( B )A．(－∞，0) B．(0,1)C．(1,2) D．(2,4)[解析]若lgx有意义，∴x>0，故A不正确，又当x>1时，lgx>0，lgx＋x>0，C、D不正确，故选B．4．函数f(x)的图像如图所示，则函数f(x)的零点个数为( D )A．1 B．2C．3 D．4[解析]因为f(x)与x轴有4个交点，所以共有4个零点．5．若f(x)是一个二次函数，且满足f(2＋x)＝f(2－x)，该函数有两个零点x1，x2，则x1＋x2＝( C ) A．0 B．2C．4 D．无法判断[解析]由f(2＋x)＝f(2－x)知f(x)的图像关于x＝2对称．∴x1＋x2＝4.6．下图是函数f(x)的图像，它与x轴有4个不同的公共点．在下列四个区间中，存在不能用二分法求出的零点，则该零点所在的区间是( B )A ．[－2，－1]B ．[1,2]C ．[4,5]D ．[5,6][解析] 在区间[1,2]上的零点为不变号零点，故不能用二分法求．7．夏季高山温度从山脚起每升高100m ，降低0.7摄氏度，已知山顶的温度是14.1摄氏度，山脚的温度是26摄氏度，则山的相对高度为( C )A ．1 750mB ．1 730mC ．1 700mD ．1 680m[解析] 设从山脚起每升高x 百米时，温度为y 摄氏度，根据题意得y ＝26－0.7x ，山顶温度是14.1摄氏度，代入得14.1＝26－0.7x.∴x ＝17(百米)，∴山的相对高度是1 700m.8．函数f(x)＝2x＋3x 的零点所在的一个区间是( B ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)[解析] ∵f(x)＝2x＋3x ，∴f(－1)＝－52<0，f(0)＝1>0，故选B ．9．若方程lnx ＋x －4＝0在区间(a ，b)(a ，b ∈Z ，且b －a ＝1)上有一根，则a 的值为( B ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] 设f(x)＝lnx ＋x －4，f(2)＝ln2－2<0，f(3)＝ln3－1>0，f(2)f(3)<0， ∴根在区间(2,3)内，∴a ＝2.故选B ．10．若方程x 2＋(m －2)x ＋(5－m)＝0的两根都大于2，则m 的取值范围是( A ) A ．(－5，－4] B ．(－∞，－4]C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－5)∪(－5，－4][解析] 考查函数f(x)＝x 2＋(m －2)x ＋(5－m)，由条件知它的两个零点都大于2，其图像如图所示．由图可知，⎩⎪⎨⎪⎧－m －22>2f 2＝m ＋5>0m －22－45－m≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧m<－2m>－5m≥4或m≤－4，∴－5<m≤－4.故选A ．11．已知函数f(x)在区间[0，a]中有唯一的变号零点(a>0)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为[0，a 2]，[0，a 4]，[0，a8]，则下列说法正确的是( D )A ．函数f(x)在区间[0，a16]中有零点B ．函数f(x)在区间[0，a 16]或[a 16，a8]中有零点C ．函数f(x)在区间[a16，a]中无零点D ．函数f(x)在区间[0，a 16]或[a 16，a 8]中有零点，或零点是a16[解析] 由二分法的定义可知，只有D 正确．12．已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x 2－3x.则函数g(x)＝f(x)－x ＋3的零点的集合为( D )A ．{1,3}B ．{－3，－1,1,3}C ．{2－7，1,3}D ．{－2－7，1,3}[解析] 令x<0，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)2－3(－x)＝x 2＋3x ， 又∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴－f(x)＝x 2＋3x ， ∴f(x)＝－x 2－3x(x<0)，∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x x≥0－x 2－3x x<0.∴g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3x≥0－x 2－4x ＋3x<0.当x≥0时，由x 2－4x ＋3＝0，得x ＝1或x ＝3. 当x<0时，由－x 2－4x ＋3＝0，得x ＝－2－7， ∴函数g(x)的零点的集合为{－2－7，1,3}．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．函数f(x)＝(x 2－3)(x 2－2x －3)的零点为±3，3，－1 . [解析] 令f(x)＝0，得x ＝±3，或x ＝3，或x ＝－1.14．用一根长为12m 的细铁丝弯折成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大面积是9m 2. [解析] 设框架的一边长为xm ，则另一边长为(6－x)m.设框架面积为ym 2，则y ＝x(6－x)＝－x 2＋6x ＝－(x －3)2＋9(0<x<6)，y max ＝9(m 2)．15．已知f(x)是定义域为R 的奇函数，且在(－∞，0)内的零点有2012个，则f(x)的零点的个数为4_025.[解析] 因为f(x)为奇函数，且在(－∞，0)内有2 012个零点，由奇函数的对称性知，在(0，＋∞)内也有2 012个零点，又x ∈R ，所以f(0)＝0，因此共4 025个零点．16．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x≤02x －6＋lnx x>0的零点个数是2.[解析] 当x≤2，令x 2－2＝0，得x ＝－2； 当x>0时，令2x －6＋lnx ＝0， 即lnx ＝6－2x ，在同一坐标系中，画出函数y ＝6－2x 与y ＝lnx 的图像如图所示．由图像可知，当x>0时，函数y ＝6－2x 与y ＝lnx 的图像只有一个交点，即函数f(x)有一个零点． 综上可知，函数f(x)有2个零点．三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)求函数y ＝x 3－7x ＋6的零点． [解析] ∵x 3－7x ＋6＝(x 3－x)－(6x －6) ＝x(x 2－1)－6(x －1) ＝x(x ＋1)(x －1)－6(x －1) ＝(x －1)(x 2＋x －6) ＝(x －1)(x －2)(x ＋3)，∴由x 3－7x ＋6＝0即(x －1)(x －2)(x ＋3)＝0得x 1＝－3，x 2＝1，x 3＝2. ∴函数y ＝x 3－7x ＋6的零点为－3,1,2.18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x 2－x ＋m 的零点都在区间(0,2)内，求实数m 的范围．[解析] 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0f 0>0f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧1－4m≥0m>04－2＋m>0，解得0<m≤14.所以实数m 的取值范围是(0，14]．19．(本小题满分12分)(济南一中月考，有改动)判断方程x 3－4x －2＝0在区间[－2,0]内实数根的个数．[解析] 设f(x)＝x 3－4x －2，则f(x)的图像是连续曲线，而f(－2)＝－2<0，f(0)＝－2<0，若取区间[－2,0]内一点－1，得f(－1)＝1>0，取x ＝3，得f(3)＝13>0，因此函数f(x)满足f(－2)·f(－1)<0，f(－1)·f(0)<0，f(0)·f(3)<0，∴f(x)分别在[－2，－1)，(－1,0)，(0,3)内至少存在一个零点， 又∵x 3－4x －2＝0最多有3个根，∴方程x 3－4x －2＝0在区间[－2,0]内有2个实数根．20．(本小题满分12分)某公司从2009年的年产值100万元，增加到10年后2019年的500万元，如果每年产值增长率相同，则每年的平均增长率是多少？(ln(1＋x)≈x，lg2＝0.3，ln10＝2.30)[解析] 设每年年增长率为x ， 则100(1＋x)10＝500，即(1＋x)10＝5， 两边取常用对数，得 10·lg(1＋x)＝lg5，∴lg(1＋x)＝lg510＝110(lg10－lg2)＝0.710.又∵lg(1＋x)＝ln1＋xln10，∴ln(1＋x)＝lg(1＋x)·ln10.∴ln(1＋x)＝0.710×ln10＝0.710×2.30＝0.161＝16.1%.又由已知条件ln(1＋x)≈x 得x≈16.1%. 故每年的平均增长率约为16.1%.21．(本小题满分12分)是否存在这样的实数a ，使函数f(x)＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上与x 轴恒有一个交点，且只有一个交点？若存在，求出范围；若不存在，请说明理由．[解析] 若实数a 满足条件，则只需f(－1)f(3)≤0即可．f(－1)f(3)＝(1－3a ＋2＋a －1)(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a)(5a ＋1)≤0，所以a≤－15或a≥1.检验：(1)当f(－1)＝0时a ＝1，所以f(x)＝x 2＋x. 令f(x)＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1. 方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠1. (2)当f(3)＝0时a ＝－15，此时f(x)＝x 2－135x －65.令f(x)＝0，即x 2－135x －65＝0.解得，x ＝－25或x ＝3.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠－15.综上所述，a ∈(－∞，－15)∪(1，＋∞)．22．(本小题满分12分)某房地产公司要在荒地ABCDE(如图所示)上划出一块长方形地面建造一幢公寓，问：如何设计才能使公寓占地面积最大？求出最大面积(尺寸单位：m)．[解析] 如图所示，设计长方形公寓分三种情况：(1)当一顶点在BC 上时，只有在B 点时长方形BCDB 1面积最大， ∴S 1＝SBCDB 1＝5 600m 2.(2)当一顶点在EA 边上时，只有在A 点时长方形AA 1DE 的面积最大， ∴S 2＝SAA 1DE ＝6 000m 2.(3)当一顶点在AB 边上时，设该点为M ，则可构造长方形MNDP ，并补出长方形OCDE. 设MQ ＝x(0≤x≤20)，∴MP ＝PQ －MQ ＝80－x. 又OA ＝20，OB ＝30，则OA OB ＝MQ QB ，∴23＝x QB ，∴QB ＝32x ，∴MN ＝QC ＝QB ＋BC ＝32x ＋70，∴S 3＝S MNDP ＝MN·MP＝(70＋32x)·(80－x)＝－32(x －503)2＋18 0503，当x ＝503时，S 3＝18 0503.比较S 1，S 2，S 3，得S 3最大，此时MQ ＝503m ，BM ＝25 133m ，故当长方形一顶点落在AB 边上离B 点25133m 处时公寓占地面积最大，最大面积为18 0503m 2.。
北京师范大学第三附属中学必修一第四单元《函数应用》检测(包含答案解析)
一、选择题1．已知函数()24xf x =-，()()()1g x a x a x a =-++同时满足：①x ∀∈R ，都有()0f x <或()0g x <，②(],1x ∃∈-∞-，()()0f x g x <，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(-3，0) B ．13,2⎛⎫--⎪⎝⎭C ．(-3，-1)D ．(-3，-1]2．已知函数,01()11,10(1)x x f x x f x ≤<⎧⎪=⎨--<<⎪+⎩，()()4g x f x mx m =--，其中m 是非零的实数，若函数()g x 在区间(1,1)-内有且仅有两个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1,(0,1)5⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭B ．1(,1),5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．1(,1)0,5⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭D ．1,(1,)5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭3．已知函数2,0()()21,0x e a x f x a R x x ⎧+=∈⎨->⎩，若函数()f x 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞- B ．[2,0)- C ．(1,0)- D ．[1,0)-4．对于函数()f x 和()g x ，设(){}0x R f x α∈∈=，(){}0x R g x β∈∈=，若存在α、β，使得1αβ-≤，则称()f x 与()g x 互为“零点关联函数”．若函数()12x f x e x -=+-与()23g x x ax a =--+互为“零点关联函数”，则实数a 的取值范围为（ ） A ．7,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]2,3D ．[]2,45．具有性质：1()()f f x x=-的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数.给出下列函数：①1ln 1x y x -=+；②2211x y x -=+；③,01,{0,1,1, 1.x x y x x x<<==-> 其中满足“倒负”变换的函数是（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．①6．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）A ．y =lnxB ．21y x =+C ．y =sinxD ．y =cosx7．用二分法求方程x 2–2=0在（1，2）内近似解，设f （x ）=x 2–2，得f （1）<0，f （1.5）>0， f （1.25）<0，则方程的根在区间( ) A ．（1.25，1.5）B ．（1，1.25）C ．（1, 1.5）D ．不能确定8．已知函数()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的偶函数，当(0,)x ∈+∞时，2(1),02()1(2),22x x f x f x x ⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数2()8()6()1g x f x f x =-+的零点个数为（ ）A ．20B ．18C ．16D ．149．已知函数()21xf x x =++，()2log 1g x x x =++，()2log 1h x x =-的零点依次为,,a b c ，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<10．函数()f x 对于任意实数x ，都()()f x f x -=与(1)(1)f x f x -=+成立，并且当01x ≤≤时，()2f x x =.则方程()02019xf x -=的根的个数是（ ） A ．2020B ．2019C ．1010D ．100911．已知函数23()log f x x x=-，(0,)x ∈+∞，则()f x 的零点所在的区间是 A ．(0,1) B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)12．用d （A ）表示集合A 中的元素个数，若集合A ={0，1}，B ={x |（x 2-ax ）（x 2-ax +1）=0}，且|d （A ）-d （B ）|=1．设实数a 的所有可能取值构成集合M ，则d （M ）=（ ） A ．3B ．2C ．1D ．4二、填空题13．已知函数()()21,043,0x e x f x x x x +⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，函数()y f x a =-有四个不同的零点，从小到大依次为1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x -++的取值范围为 _________14．已知函数()()3(0)0x x f x x x ≥⎧=⎨<-⎩，若函数()()()2|2|g x f x kx x k R =--∈恰有4个不同的零点，则k 的取值范围是______.15．已知函数()22,36,3x x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，若a 、b 、c 、d 、e ()a b c d e <<<<满足()()()()()f a f b f c f d f e ====，则()()()()()M af a bf b cf c df d ef e =++++的取值范围为______.16．某汽车厂商生产销售一款电动汽车，每辆车的成本为4万元，销售价格为6万元，平均每月销量为800辆，今年该厂商对这款汽车进行升级换代，成本维持不变，但为了提高利润，准备提高销售价格，经过市场分析后发现，如果每辆车价格上涨0.1万元，月销量就会减少20辆，为了获取最大利润，每辆车的销售价格应定为__________万元.17．已知函数241,0()3,0x x x x f x x ⎧--+≤=⎨>⎩，则函数(())3f f x =的零点的个数是________.18．若函数2,1()4()(2),1x a x f x x a x a x ⎧-<=⎨--≥⎩恰有两个零点，则实数a 的范围是________19．已知函数1,0()ln ,0ax x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，给出下列三个结论： ①当2a =-时，函数()f x 的单调递减区间为(,1)-∞；②若函数()f x 无最小值，则a 的取值范围为(0,)+∞；③若1a <且0a ≠，则b R ∃∈，使得函数()y f x b =-.恰有3个零点1x ，2x ，3x ，且1231x x x =-．其中，所有正确结论的序号是______．20．用符号[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[]0.60=；[]2.32=；[]55=.设函数()()()()2222ln 22ln 2f x ax x ax x =-+-有三个零点1x ，2x ，3x ()123x x x <<且[][][]1233x x x ++=，则a 的取值范围是_____________.三、解答题21．新冠肺炎疫情发生后，某公司生产A 型抗疫商品，第一个月是为国内生产，当地政府决定对该型商品免税，该型商品出厂价为每件20元，月销售量为12万件；后来国内疫情得到有效控制，从第二个月开始，该公司为国外生产该型抗疫商品，当地政府开始对该型抗疫商品征收税率为%p (0100p <<，即销售1元要征收100p元)的税，于是该型抗疫商品出厂价就上升到每件100202p-元，预计月销售量将减少2p 万件.（1）将第二个月政府对该商品征收的税y (万元)表示成p 的函数，并指出这个函数的定义域；（2）要使第二个月该公司缴纳的税额不少于1万元的前提下，又要让该公司当月获得最大销售金额，p 应为多少？22．某市出租汽车的收费标准如下：在3km 以内（含3km ）的路程统一按起步价7元收费，超过3km 以外的路程按2.4元/km 收费.而出租汽车一次载客的运输成本包含以下三个部分：一是固定费用，约为2.3元；二是燃油费，约为1.6元/km ；三是折旧费，它与路程的平方近似成正比，且当路程为20km 时，折旧费为0.1元.现设一次载客的路程为x km. （1）试将出租汽车一次载客的收费F 与成本C 分别表示为x 的函数；（2）若一次载客的路程不少于2km ，则当x 取何值时，该市出租汽车一次载客每千米的收益y 取得最大值？（每千米收益计算公式为)F Cy x-=23．新能源开发能够有效地解决我国能源短缺和传统能源使用带来的环境污染问题，国家新能源政策的出台，给新能源产业带来了春天，已知浙江某新能源企业，年固定成本600万，每生产()*x x N ∈台设备，另需投入成本t 万元，若年产量不足100台，则21602t x x =+；若年产量不小于100台，则242001524700t x x =+-，每台设备售价150万元，通过市场分析，该企业生产的设备能全部售完. （1）写出年利润y （万元）关于年产量x （台）的关系式； （2）年产量为多少台时，该企业所获利润最大？24．2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.为降低疫情影响，某厂家拟尽快加大力度促进生产.已知该厂家生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产x 千件，需另投入成本为()C x ，当年产量不足80千件时，21()202C x x x =+(万元).当年产量不小于80千件时，10000()51600C x x x=+-(万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完. （1）写出年利润()L x (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？25．已知函数22,01,()ln ,1x x f x x x e-≤<⎧=⎨≤≤⎩，其中e 为自然对数的底数．（1）求(f f 的值；（2）作出函数()()1F x f x =-的图象，并指出单调递减区间(无需证明) ；（3）若实数0x 满足00(())f f x x =，则称0x 为()f x 的二阶不动点，求函数()f x 的二阶不动点的个数．26．此前，美国政府颁布了针对中国企业华为的禁令，禁止各国及各国企业向华为出售含有美国技术或软件设计的产品，否则出售者本身也会受到制裁.这一禁令在9月15日正式生效，迫于这一禁令的压力，很多家企业被迫停止向华为供货，对华为电子设备的发展产生不良影响.为适应发展的需要，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a 万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x 名（x ∈N 且4575x ≤≤），调整后研发人员的年人均投入增加4x %，技术人员的年人均投入调整为225x a m ⎛⎫-⎪⎝⎭万元. （1）要使这100x -名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人?（2）是否存在这样的实数m ，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，存在，求出m 的范围；若不存在，说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】先判断当2x <时()0f x <，当2x ≥时()0f x ≥，问题转化为当2x ≥时，()0g x <恒成立且当1x ≤-时，()0g x >有解，分类讨论列出不等式可解出a 的范围． 【详解】∵()24xf x =-，∴当2x <时()0f x <，当2x ≥时()0f x ≥.因为x ∀∈R ，都有()0f x <或()0g x <且 (],1x ∃∈-∞-，()()0f x g x < 所以函数()g x 需满足:①当2x ≥时，()0g x <恒成立； ②当1x ≤-时，()0g x >有解.（1）当0a ≥时，显然()g x 不满足条件①；（2）当0a <时，方程()0g x =的两根为1x a =，21x a =--， ∵0a <，∴11a -->-， ∴112a a <-⎧⎨--<⎩，解得31a -<<-. 故选：C . 【点睛】转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将问题转化为当2x ≥时，()0g x <恒成立且当1x ≤-时，()0g x >有解是解题的关键.2．C解析：C 【分析】先求得分段函数的解析式，函数()g x 零点等价于函数()y f x =的图象与直线4y mx m =+公共点，做出图像，数形结合，即可求得答案.【详解】当10x -<<时，011x <+<，满足上支范围，所以()11f x x +=+，所以,01()11,101x x f x x x ≤<⎧⎪=⎨--<<⎪+⎩，作函数()y f x =的图象，如图所示.函数()g x 零点的个数等价于函数()y f x =的图象与直线4y mx m =+公共点的个数. 当直线4y mx m =+过点(1,1)时，15m =， 所以当105m <<时， 直线4y mx m =+与函数()y f x =图象有两个公共点.当直线4y mx m =+与曲线111y x =-+（10x -<<）相交时， 联立4111y mx m y x =+⎧⎪⎨=-⎪+⎩消去y 得，24(51)0mx m x m -++=， 因此22(51)160m m ∆=+->且510m +<时，解得1m <-.综上知，实数m 的取值范围是1(,1)0,5⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭. 故选：C 【点睛】本题的关键是根据x 的范围，先求得函数解析式，做出图像，再将零点问题转化为图像交点问题，易错点为，4y mx m =+可以与函数两支都有交点，也可以与函数111y x =-+单支产生交点，需分别检验和计算，属中档题.3．B解析：B【分析】当0x >时，()21f x x =-有一个零点12x =，只需当0x ≤时，20x e a +=有一个根，利用“分离参数法”求解即可. 【详解】因为函数()2,021,0x e a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩, 当0x >时，()21f x x =-有一个零点12x =， 所以只需当0x ≤时，202xxae a e +==-即有一个根即可， 因为2xy e =单调递增，当0x ≤时，(]0,1xe ∈，所以(]0,2a -∈，即[)2,0a ∈-， 故选：B. 【点睛】已知函数有零点（方程有根），求参数取值范围的三种常用的方法：（1）直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后利用数形结合求解．4．C解析：C 【分析】先求得函数()f x 的零点为1x =，进而可得()g x 的零点β满足02β≤≤，由二次函数的图象与性质即可得解. 【详解】由题意，函数()12x f x ex -=+-单调递增，且()10f =，所以函数()f x 的零点为1x =， 设()23g x x ax a =--+的零点为β，则11β-≤，则02β≤≤，由于()23g x x ax a =--+必过点()1,4A -，故要使其零点在区间[]0,2上，则()()020g g ⋅≤或()()00200022g g a ⎧>⎪>⎪⎪⎨∆≥⎪⎪≤≤⎪⎩，即()()3730a a -+-≤或()230370430022a a a a a -+>⎧⎪-+>⎪⎪⎨--+≥⎪⎪≤≤⎪⎩，所以23a ≤≤，故选：C. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将题目条件转化为函数()g x 零点的范围，再由二次函数的图象与性质即可得解.5．C解析：C 【解析】①1ln 1x y x -=+；1111()ln ln ()111x x f f x x x x--==≠-++所以不符合题意；②2211x y x -=+；22221111()()111x x f f x x x x --===-++所以符合题意；③,01,{0,1,1, 1.x x y x x x<<==->当01x <<时11x >，故1()()f x f x x =-=-，当1,x =时11x =显然满足题意，当1x >时，101x <<，故11()()f f x x x==-符合题意，综合得选C 点睛：新定义倒负函数，根据题意逐一验证()1f f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭是否成立，在计算中要注意对数的公式得灵活变幻，对于分段函数要注意逐段去讨论6．D解析：D 【详解】选项A ：ln y x =的定义域为（0,+∞），故ln y x =不具备奇偶性，故A 错误；选项B ：21y x =+是偶函数，但210y x =+=无解，即不存在零点，故B 错误；选项C ：sin y x =是奇函数，故C 错； 选项D ：cos y x =是偶函数， 且cos 02y x x k ππ==⇒=+，k z ∈，故D 项正确.考点：本题主要考查函数的奇偶性和零点的概念.7．A解析：A 【分析】根据零点存在定理,结合条件,即可得出结论. 【详解】已知(1)0,(1.5)0,(1.25)0f f f <><, 所以(1,25)(1.5)0f f ⋅<,可得方程的根落在区间(1.25,1.5)内, 故选A. 【点睛】该题考查的是有关判断函数零点所在区间的问题，涉及到的知识点有二分法，函数零点存在性定理，属于简单题目.8．C解析：C 【分析】解方程()0g x =，得1()2f x =或1()4f x =，作出()f x 的图象，由对称性只要作0x >的部分，观察()f x 的图象与直线12y =和直线14y =的交点的个数即得． 【详解】2()8()6()10g x f x f x =-+=,1()2f x ∴=或1()4f x = 根据函数解析式以及偶函数性质作()f x 图象， 当02x <≤时，()()21f x x =-.，是抛物线的一段， 当(]()()12,2,22,1,2,3,,22时，>∈+=⋯=-x x k k k f x f x ，是由(]22,2,∈-x k k 的图象向右平移2个单位，并且将每个点的纵坐标缩短为原来的一半得到，依次得出y 轴右侧的图象，根据对称轴可得y 左侧的结论，6x >时，1()8f x ≤，()y f x =的图象与直线12y =和14y =的交点个数，分别有3个和5个，∴函数g(x)的零点个数为2(35)16⨯+=，故选：C ．【点睛】本题考查函数零点个数，解题方法是数形结合思想方法，把函数零点个数转化为函数图象与直线交点个数，由图象易得结论．9．A解析：A 【解析】令函数()210xf x x =++=，可得0x <，即0a <，令()2log 10g x x x =++=，则01x <<，即01b <<，令()2log 10h x x =-=，可知2x =，即2c =，显然a b c <<，故选A.10．A解析：A 【分析】由题意明确函数的周期性，数形结合即可得到方程()02019xf x -=的根的个数. 【详解】 对任意实数x 都有f （x +2）＝f [1+（1+x ）]＝f [1﹣（1+x ）]＝f （﹣x ）， 由于f （x ）为偶函数，f （﹣x ）＝f （x ） ∴f （x +2）＝f （x ）∴函数f （x ）是以2为周期的周期函数，且值域为[]0,1． 方程()02019x f x -=的根的个数即函数()f x 图象与直线y 2019x=的交点个数， 当2019x =时，y 12019x ==，当x 2019>时，函数()f x 图象与直线y 2019x=无交点，由图像可得二者的交点个数为2020个 故选A 【点睛】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的周期性，函数的图象，方程根与函数零点的关系，难度中档．11．C解析：C 【分析】由题意结合零点存在定理确定()f x 的零点所在的区间即可. 【详解】由题意可知函数()23f x log x x=-在()0,+∞上单调递减，且函数为连续函数， 注意到()130f =>，()1202f =>，()231log 30f =-<，()34204f =-<， 结合函数零点存在定理可得()f x 的零点所在的区间是()2,3. 本题选择C 选项. 【点睛】应用函数零点存在定理需要注意： 一是严格把握零点存在性定理的条件；二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件；三是函数f (x )在(a ，b )上单调且f (a )f (b )＜0，则f (x )在(a ，b )上只有一个零点.12．A解析：A 【分析】根据题设条件，可判断出d （B ）的值为1或3，然后研究（x 2﹣ax ）（x 2﹣ax +1）＝0的根的情况，分类讨论出a 可能的取值． 【详解】解：由题意，|d （A ）-d （B ）|=1，d （A ）=2，可得d （B ）的值为1或3若d （B ）=1，则x 2-ax=0仅有一根，必为0，此时a=0，则x 2-ax+1=x 2+1=0无根，符合题意 若d （B ）=3，则x 2-ax=0有一根，必为0，此时a=0，则x 2-ax+1=x 2+1=0无根，不合题意 故x 2-ax=0有二根，一根是0，另一根是a ，所以x 2-ax+1=0必仅有一根，所以△=a 2-4=0，解得a=±2此时x 2-ax+1=0为1或-1，符合题意综上实数a 的所有可能取值构成集合M={0，-2，2}，故d （M ）=3． 故选：A ． 【点睛】本题考查方程的根的个数的判断以及集合中元素个数，综合性较强，考查了分类讨论的思想及一元二次方程根的个数的研究方法，难度中等．二、填空题13．【分析】先将函数有四个不同的零点转化为函数有四个不同的交点利用数形结合得到a 的范围再根据为方程的两根为方程的两根利用韦达定理建立的函数再利用函数的单调性求解【详解】因为函数有四个不同的零点所以函数有 解析：(]3,3e +【分析】先将函数()y f x a =-有四个不同的零点，转化为函数(),y f x y a ==有四个不同的交点，利用数形结合得到a 的范围，再根据1x ，2x 为方程()21x e a +=的两根，3x ，4x 为方程43x a x+-=的两根，利用韦达定理建立1234x x x x -++的函数，再利用函数的单调性求解.【详解】因为函数()y f x a =-有四个不同的零点， 所以函数(),y f x y a ==有四个不同的交点， 如图所示：由图知：1a e <≤，设1x ，2x 为方程()21x e a +=的两根，即221ln 0x x a ++-=的两根， 所以121ln =-x x a ， 设3x ，4x 为方程43x a x+-=的两根，即()2340x a x -++=的两根，所以343x x a +=+，所以1234ln 13ln 2x x x x a a a a -++=-++=++， 因为ln ,2y a y a ==+在()0,∞+上递增， 所以ln 2y a a =++在()0,∞+上递增， 所以1234(3,3]x x x x e ∈-+++， 故答案为：(]3,3e + 【点睛】关键点点睛：本题关键是利用利用数形结合法确定a 的范围，进而利用函数法求解.14．【分析】由题意可知对任意的且为函数的一个零点构造函数可知函数与的图象有个交点分和两种情况讨论数形结合可求得实数的取值范围【详解】由题意可知对任意的且为函数的一个零点令则函数与的图象有个交点当时函数的 解析：()(),022,-∞+∞【分析】由题意可知，对任意的x ∈R ，()0f x ≥，且0x =为函数()g x 的一个零点，构造函数()()()0f x h x x x =≠，()222kx x p x kx x-==-，可知，函数()p x 与()h x 的图象有3个交点，分0k <和0k >两种情况讨论，数形结合可求得实数k 的取值范围.【详解】由题意可知，对任意的x ∈R ，()0f x ≥，且0x =为函数()g x 的一个零点， 令()()()()2010f x x x h x x x⎧>⎪==⎨<⎪⎩，()222kx x p x kx x -==-， 则函数()p x 与()h x 的图象有3个交点. 当0k <时，函数()p x 的零点为20x k=<，如下图所示：此时，函数()p x 与()h x 的图象有3个交点，合乎题意； 当0k >时，函数()p x 的零点为20x k=>， 则函数()p x 与()h x 在y 轴左侧的图象没有交点， 所以，函数()p x 与()h x 在y 轴右侧的图象必有3个交点，则直线2y kx =-与()02>=x x y 有两个交点，联立22y x y kx ⎧=⎨=-⎩，可得220x kx -+=，则方程220x kx -+=在()0,∞+上有两个不等的实根，可得28002k k ⎧∆=->⎪⎨>⎪⎩，解得22k >.综上所述，实数k 的取值范围是()(),022,-∞+∞.故答案为：()(),022,-∞+∞.【点睛】方法点睛：判定函数()f x 的零点个数的常用方法：（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；（2）数形结合法：先令()0f x =，将函数()f x 的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果.15．【分析】设作出函数的图象可得利用对称性可得由可求得进而可得出利用二次函数的基本性质可求得的取值范围【详解】作出函数的图象如下图所示：设当时由图象可知当时直线与函数的图象有五个交点且点关于直线对称可得 解析：()0,9【分析】设()()()()()f a f b f c f d f e t =====，作出函数()f x 的图象，可得01t <<，利用对称性可得2a d b c +=+=，由()()0,1f e ∈可求得56e <<，进而可得出2224M e e =-++，利用二次函数的基本性质可求得M 的取值范围. 【详解】作出函数()f x 的图象如下图所示：设()()()()()f a f b f c f d f e t =====， 当02x <<时，()()222111f x x x x =-=--+≤，由图象可知，当01t <<时，直线y t =与函数()y f x =的图象有五个交点， 且点(),a t 、(),d t 关于直线1x =对称，可得2a d +=，同理可得2b c +=， 由()()60,1f e e t =-=∈，可求得56e <<， 所以，()()()()()()()()()46M af a bf b cf c df d ef e a b c d e f e e e =++++=++++=+-()()222241250,9e e e =-++=--+∈.因此，M 的取值范围是()0,9. 故答案为：()0,9.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.16．7【分析】设每辆车的销售价格为万元求出每月的销售数量乘以每一辆的获利可得每月的利润再由二次函数求最值【详解】解：设每辆车的销售价格为万元则月销售为辆由解得获利当时取得最大值为1800万元为了获取最大解析：7 【分析】设每辆车的销售价格为x 万元，求出每月的销售数量，乘以每一辆的获利可得每月的利润，再由二次函数求最值. 【详解】解：设每辆车的销售价格为x 万元，则月销售为68002020002000.1x x --⨯=-辆， 由20002000x ->，解得10x <，∴获利2(2000200)(4)20028008000(010)y x x x x x =--=-+-<<，当28007400x ==时，y 取得最大值为1800万元. ∴为了获取最大利润，每辆车的销售价格应定为7万元.故答案为：7. 【点睛】本题考查函数模型的选择及应用，二次函数最值的求法，是基础题.17．4【分析】根据分段函数的解析式当时令则解得当时做出函数的图像即可求解【详解】当时令则解得时令得作出函数的图像由图像可知与有两个交点与有一个交点则的零点的个数为4故答案为：4【点睛】本题考查了分段函数解析：4 【分析】根据分段函数的解析式当0x ≤时，令()3f x =，则2413x x --+=，解得2x =-±0x >时，()31xf x =>，1x =，做出函数()f x ，1,22y y y ==-=--.【详解】241,0()3,0x x x x f x x ⎧--+≤=⎨>⎩，∴当0x ≤时，()()2241255f x x x x =--+=-++≤，令()3f x =，则2413x x --+=， 解得22x =-±，1220,4223,-<-+<-<--<-0x >时，()31xf x =>，令()3f x =得1x =，作出函数()f x ，1,22,22y y y ==-=--由图像可知，()f x 与1y =有两个交点，与22y =-+ 则(())3f f x =的零点的个数为4. 故答案为：4 【点睛】本题考查了分段函数的零点个数，考查了数形结合的思想，属于基础题.18．【分析】分别设分两种情况讨论即可求出的范围【详解】解：设若在时与轴有一个交点所以并且当时所以而函数有一个交点所以且所以若函数在时与轴没有交点则函数有两个交点当时与轴无交点无交点所以不满足题意（舍去）解析：1[,1)[2,)2+∞【分析】分别设()2,()4()(2)xh x a g x x a x a =-=--，分两种情况讨论，即可求出a 的范围.【详解】解：设()2,()4()(2)xh x a g x x a x a =-=--， 若在1x <时，()2xh x a =-与x 轴有一个交点，所以0a >，并且当1x =时，(1)20h a =-> ，所以02a <<， 而函数()4()(2)g x x a x a =--有一个交点，所以21a ≥，且1a <， 所以112a ≤<，若函数()2x h x a =-在1x <时，与x 轴没有交点， 则函数()4()(2)g x x a x a =--有两个交点，当0a ≤时，()h x 与x 轴无交点，()g x 无交点，所以不满足题意（舍去），当(1)20h a =-≤时，即2a ≥时，()g x 的两个交点满足12,2x a x a ==，都是满足题意的，综上所述a 的取值范围是112a ≤<，或2a ≥. 故答案为：1[,1)[2,)2+∞.【点睛】本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题.19．②③【分析】由题意结合函数单调性的概念举出反例可判断①；画出函数的图象数形结合即可判断②；由题意结合函数图象不妨设进而可得令验证后即可判断③；即可得解【详解】对于①当时由所以函数在区间不单调递减故①解析：②③ 【分析】由题意结合函数单调性的概念举出反例可判断①；画出函数的图象数形结合即可判断②；由题意结合函数图象不妨设12301x x x <<<<，进而可得11b x a-=，2bx e -=，3b x e =，令111b x a-==-验证后即可判断③；即可得解. 【详解】对于①，当2a =-时，由201e -<<，22(0)1()ln 2f f e e --=<==，所以函数()f x 在区间(,1)-∞不单调递减，故①错误；对于②，函数1,0()ln ,0ax x f x x x +≤⎧=⎨>⎩可转化为1,0()ln ,01ln ,1ax x f x x x x x +≤⎧⎪=-<≤⎨⎪>⎩，画出函数的图象，如图：由题意可得若函数()f x 无最小值，则a 的取值范围为(0,)+∞，故②正确；对于③，令()0y f x b =-=即()f x b =，结合函数图象不妨设12301x x x <<<<， 则1231ln ln ax x x b +=-==， 所以11b x a-=，2b x e -=，3bx e =，所以231b b x x e e -⋅=⋅=， 令111b x a-==-即1b a =-+， 当0a <时，11b a =-+>，()0y f x b =-=存在三个零点，且1231x x x =-，符合题意； 当01a <<时，011b a <=-+<，()0y f x b =-=存在三个零点，且1231x x x =-，符合题意； 故③正确. 故答案为：②③. 【点睛】本题考查了分段函数单调性、最值及函数零点的问题，考查了运算求解能力与数形结合思想，合理使用函数的图象是解题的关键，属于中档题.20．【分析】由题意可知得；令可知单调递增区间为单调递减为作出的草图由图可知所以而所以即可得由此即可求出结果【详解】因为所以①或②由①得由②得令则所以当时单调递增时单调递减事实上当时当时由图显然所以而所以解析：2ln 2,ln 69⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【分析】由题意可知()()()21ln 22ln 20f x x ax x =-+=，得22ln 2x a x -=；令()22ln 2xg x x =，可知()g x 单调递增区间为e ⎛ ⎝⎭，()g x 单调递减为e ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，作出()g x 的草图，由图可知()10,1x ∈，()21,22ex =∈，所以[]10x =，[]21x =，而[][][]1233x x x ++=，所以[]32x =，即[)32,3x ∈，可得()()23a g a g ⎧-≤⎪⎨->⎪⎩，由此即可求出结果. 【详解】因为()()()2222ln 22ln 22ln 21ln 22ln 21ln 2f x ax ax x x x ax x x x =-+-=-+-()()21ln 22ln 20x ax x =-+=，0x >，所以1ln 20x -=①或22ln 20ax x +=②. 由①得2e x =，由②得22ln 2x a x -=. 令()22ln 2x g x x =，则()()3212ln 20x g x x -'==，所以ex =. 当0,2e x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，,2e x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减.事实上，当102x <<时，()0g x <，当1x >时，()0g x >. 由图显然()10,1x ∈，()21,22ex =∈，所以[]10x =，[]21x =， 而[][][]1233x x x ++=，所以[]32x =，即[)32,3x ∈.所以()()23a g a g ⎧-≤⎪⎨->⎪⎩，即2ln 4,42ln 6,9a a ⎧-≤⎪⎪⎨⎪->⎪⎩解得2ln 6ln 29a -≤<-. 故答案为：2ln 2,ln 69⎡⎫--⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题主要考查了导函数在函数零点中的应用，属于难题.三、解答题21．（1）2610p p y p-=-，定义域为()0,6；（2）2p =时，公司销售金额最大.【分析】（1）由题可得第二个月该商品销量为()122p -万件，月销售收入为100(122)202p p-⋅-万元，则可得出对该商品征收的税； （2）由1y ≥可得25p ≤≤，销售收入()100(6)()2510p g p p p-=≤≤-单调递减，即可求出最值. 【详解】解：（1）依题意，第二个月该商品销量为()122p -万件， 月销售收入为100(122)202p p-⋅-万元，当地政府对该商品征收的税为100(122)(6)20210010p py p p p p=-⋅⋅=-⋅--(万元).所以所求函数为2610p p y p-=-. 由60p ->及0p >得，所求函数的定义域为()0,6.（2）由1y ≥得26110p p p-≥-化简得27100p p -+≤， 即(2)(5)0p p --≤，解得25p ≤≤， 所以当25p ≤≤，税收不少于1万元；第二个月，当税收不少于1万元时，公司的销售收入为()100(6)()2510p g p p p-=≤≤-，因为100(6)400()1001010p g p p p -==+--在区间[]2,5上是减函数，所以max ()(2)50g p g ==(万元). 所以当2p =时，公司销售金额最大. 【点睛】本题考查函数的实际应用，解题的关键是正确理解题目，建立正确的函数关系式，根据函数的单调性求最值. 22．（1）7,032.40.2,3x F x x <≤⎧=⎨->⎩，212.3 1.6(0)4000C x x x =++>；（2）100km.（1）根据在3km 以内（含3km ）的路程统一按起步价7元收费，超过3km 以外的路程按2.4元/km 收费求得F ，设折旧费2z kx =，由路程为20km 时，折旧费为0.1元.代入求得k ，再根据运输成本包含固定费用，二是燃油费和折旧费求得C . （2）根据F Cy x-=，结合（1）求得y ，再根据分段函数的最值的求法求解. 【详解】（1）由题意得：7,037 2.4(3),3x F x x <≤⎧=⎨+->⎩，.即7,032.40.2,3x F x x <≤⎧=⎨->⎩.设折旧费2z kx =，将(20,0.1)代入， 得0.1400k =，解得14000k =. 所以212.3 1.6(0)4000C x x x =++>. （2）因为F Cy x-=， 所以 4.7 1.6,234000 2.50.8,34000x x x y x x x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+> ⎪⎪⎝⎭⎩，当3x >时，由基本不等式，得0.80.75y ≤-=， 当且仅当100x =时取等号.当23x ≤≤时，由y 在[2,3]上单调递减， 当2x =时，得max 10.750.752000y =-<. 综上所述，该市出租汽车一次载客路程为100km 时，每千米的收益y 取得最大值. 【点睛】方法点睛：(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型，如出租车的票价与路程的函数就是分段函数．(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．23．（1）()()2**1906000100,22420024100100,x x x x N y x x x N x ⎧-+-<<∈⎪⎪=⎨⎪--+≥∈⎪⎩；（2）110台.（1）分年产量不足100台和年产量不小于100台两种情况进行分析，利润=总收入-总投入，即得结果；（2）讨论分段函数最值，即得结果. 【详解】解：（1）依题意，若年产量不足100台，另外投本21602t x x =+，固定投本600万，总收入150x 万元，故利润2211150606009060022y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭；若年产量不小于100台，另外投本242001524700t x x=+-，固定投本600万，总收入150x 万元，故利润2420024200150152470060024100y x x x x x ⎛⎫=-+--=--+ ⎪⎝⎭. 故()()2**1906000100,22420024100100,x x x x N y x x x N x ⎧-+-<<∈⎪⎪=⎨⎪--+≥∈⎪⎩；（2）当0100,*x x N <<∈时，21906002y x x =-+-，在对称轴90x =处，取得最大值，max 3450y =；当100x ≥，*x N ∈时，2242002410021001410y x x x x ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭，对勾函数2110t x x=+在[]100,110上递减，在()110,+∞上递增，故110x =时，利润取得最大值，max 3660y =，综上可知，当年产量为110台时，该企业所获利润最大为3660万元. 【点睛】本题解题关键是能准确根据利润=总收入-总投入，得到利润的分段函数，再求分段函数的最值即突破难点.24．（1）2130200,0802()10000400(),80x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩；（2）当年产量为30千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为250万元. 【分析】（1）可得销售额为0.051000x ⨯万元，分080x <<和80x ≥即可求出；（2）当080x <<时，利用二次函数性质求出最大值，当80x ≥，利用基本不等式求出最值，再比较即可得出.解：（1）因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.051000x ⨯万元， 依题意得：当080x <<时，2211()(0.051000)(20)2003020022L x x x x x x =⨯-+-=-+-， 当80x ≥时，1000010000()(0.051000)(51600)200400()L x x x x x x=⨯-+--=-+， 所以2130200,0802()10000400(),80x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩；（2）当080x <<时，21()(30)2502L x x =--+， 此时，当30x =时，即()(30)250L x L ≤=万元.当80x ≥时，10000()400()400400200200L x x x =-+≤-=-=， 此时10000,100x x x==，即()(100)200L x L ≤=万元， 由于250200>，所以当年产量为30千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为250万元. 【点睛】关键点睛：本题考查函数模型的应用，解题的关键是理解清楚题意，正确的建立函数关系，再求最值时，需要利用函数性质分段讨论比较得出.25．（1）(1f f =；（2）图象见解析，递减区间为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，[]1,e ．（3）3【分析】（1）分段函数求值，根据x 的范围代入即可；（2）画出函数图象，结合图象求出函数单调性；（3）写出(())f f x 分段函数，根据(())f f x x =，求出解的个数 【详解】解：（11>，所以12f ==，所以1(()12f f f ==． （2）()|()1|F x f x =-，所以函数图象如下所示：。
北师大版高中数学必修一第四单元《函数应用》检测卷(含答案解析)
一、选择题1．已知函数()22020,0,,0,x x f x x x x <⎧=⎨-≥⎩若关于x 的方程()()21610f x kf x ++=有四个不同的实数根，则k 的取值范围为（ ） A ．(4,)+∞B ．(8,)+∞C ．(,4)-∞-D ．(,8)-∞-2．关于x 的方程x x a a -=有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,4) B ．(4,0)-C ．(4,4)-D ．(,4)(4,)-∞-⋃+∞3．已知函数给出下列三个结论：① 当2=-a 时，函数()f x 的单调递减区间为(,1)-∞；② 若函数()f x 无最小值，则a 的取值范围为(0,)+∞；③ 若1a <且0a ≠，则b R ∃∈，使得函数()y f x b =-恰有3个零点1x ,2x ,3x ，且1231x x x =-.其中，所有正确结论的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3 4．已知关于x 的方程|2|1x m -=有两个不等实根，则实数m 的取值范围是( ) A ．(-∞，1]-B ．(,1)-∞-C ．[1，)+∞D ．(1,)+∞5．具有性质：1()()f f x x=-的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数.给出下列函数：①1ln 1x y x -=+；②2211x y x -=+；③,01,{0,1,1, 1.x x y x x x<<==->其中满足“倒负”变换的函数是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①6．若对任意[]0,1m ∈，总存在唯一[]1,1x ∈-使得2e 0x m x a +-=成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]1,eB ．11,e e ⎛⎤+⎥⎝⎦C ．(]0,e D ．11,e e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦7．已知函数()21,04,0x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，若函数()y f x a =-有3个不同的零点1x ，2x ，3x （123x x x <<），则123ax x x ++的取值范围是( ) A ．()2,0-B ．[]2,0-C ．[]2,0-D ．(]2,0-8．函数f(x)＝2log ,02,0x x x a x >⎧⎨-+≤⎩有且只有一个零点的充分不必要条件是( )A ．a<0B ．0<a<C ． <a<1D ．a≤0或a>19．已知()11xf x e =-+，若函数2()[()](2)()2g x f x a f x a =+--有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(2,1)--B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(1,2)10．函数121()()2x f x x =-的零点个数为 （ ） A ．0B ．1C ．2D ．311．已知函数()22,0log ,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩若a b c <<，且满足()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围为（ ） A ．(],0-∞B ．(],1-∞-C ．[]2,0-D ．[]4,0-12．下列方程在区间()1,1-内存在实数解的是（ ） A ．230x x +-=B ．10x e x --=C ．()3ln 10x x -++=D ．2lg 0x x -=二、填空题13．已知函数()f x 定义域为D ，若存在0x D ∈，使()()()0011f x f x f +=+成立，则称()f x 具有性质P .现给出下列四个函数： ① ()1f x x=； ②()2xf x =； ③()()2log 2f x x =+； ④()sin f x x π= 其中具有性质P 的函数为_____________（注：填上你认为正确的所有函数序号）14．已知函数241,0()3,0x x x x f x x ⎧--+≤=⎨>⎩，则函数(())3f f x =的零点的个数是________.15．函数()()2121x x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，，，如果方程()f x b =有四个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x +++=______.16．已知函数211x y x -=+的图像与函数2y kx =+的图像恰有两个交点，则实数k 的取值范围是______.17．已知函数21,0()(1),0x x f x f x x ⎧-≥=⎨+<⎩，若方程()f x x a =--有两个不同实根，则实数a的取值范围为________.18．已知函数21(0)()(1)(0)x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩，若关于x 方程()f x ax =有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是_______________．19．已知当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()2sin 16f x x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（0>ω）有且仅有5个零点，则ω的取值范围是______.20．若函数|1|12x y m -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是__________．三、解答题21．已知函数()()222f x ax a x =-++，()a R ∈.（1）()32f x x <-恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当0a >时，求不等式()0f x ≥的解集； （3）若存在0m >使关于x 的方程()11f x m m=++有四个不同的实根，求实数a 的取值范围.22．已知函数()91xf x =-，()31xg x a =-.（1）若函数()()()h x f x g x =-有两个零点，求实数a 的取值范围； （2）当R x ∈时，不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （3）当0a >时，求函数()()()x f x g x ϕ=+在区间[]1,1-上的最值.23．近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资80万元，根据行业规定，每个城市至少要投资20万元，由前期市场调研可知:甲城市收益1y 与投入x （单位:万元）满足145040,2040{25,4060x y x x -+≤<=≤≤，乙城市收益2y 与投入x (单位:万元)满足21202y x =+（1）当甲项目的投入为25万元时，求甲乙两个项目的总收益； （2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大? 24．已知函数22,01,()ln ,1x x f x x x e-≤<⎧=⎨≤≤⎩，其中e 为自然对数的底数．（1）求(f f 的值；（2）作出函数()()1F x f x =-的图象，并指出单调递减区间(无需证明) ；（3）若实数0x 满足00(())f f x x =，则称0x 为()f x 的二阶不动点，求函数()f x 的二阶不动点的个数．25．某企业加工生产一批珠宝，要求每件珠宝都按统一规格加工，每件珠宝的原材料成本为0.5万元，每件珠宝售价（万元）与加工时间t （单位：天）之间的关系满足图1，珠宝的预计销量（件）与加工时间t （天）之间的关系满足图2．原则上，单件珠宝的加工时间不能超过55天，企业支付的工人报酬为这批珠宝销售毛利润的三分之一，其他成本忽略不计算．（1）如果每件珠宝加工天数分别为5，13，预计销量分别会有多少件？（2）设工厂生产这批珠宝产生的纯利润为S （万元），请写出纯利润S （万元）关于加工时间t （天）之间的函数关系式，并求纯利润S （万元）最大时的预计销量． 注：毛利润＝总销售额 — 原材料成本，纯利润＝毛利润 — 工人报酬．26．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点，研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数.当x 不超过4尾/立方米时，v 的值为2千克/年：当420x ≤≤时，v 是x 的一次函数，当x 达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v 的值为0千克/年.（1）当020x <≤时，求v 关于x 的函数解析式；（2）当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】设()f x t =，可得方程21610t kt ++=有两个不同的实数根214t <- ，1104t -<<，再利用一元二次方程根的分布列不等式求解即可. 【详解】作出()f x 的图象如图所示，设()f x t =， 要使方程()()21610fx kf x ++=有四个不同的实数根，则方程()21610g t t kt =++=有两个不同的实数根1t ，2t .且()1f x t =有三个根，方程()2f x t =有一个根， 由图可知，214t<-1104t -<<. 设2()161g t t kt =++，则()10,400,g g ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪>⎩，解得8k >. 故选：B.【点睛】函数零点的几种等价形式：函数()()y f x g x =-的零点⇔函数()()y f x g x =-在x 轴的交点⇔方程()()0f x g x -=的根⇔函数()y f x =与()y g x =的交点.2．D解析：D 【分析】画出函数()22,(),()x ax x a f x x x a x ax x a ⎧-≥=-=⎨-+<⎩与y a =图象可得【详解】数形结合法：画出函数()22,(),()x ax x a f x x x a x ax x a ⎧-≥=-=⎨-+<⎩与y a =图象可得由图可得：204a a <<解得4a > 或204a a >>-解得4a故选：D 【点睛】数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断.3．C解析：C 【分析】①画出函数的图象，直接判断函数的单调性；②分0,0,0a a a >=<三种情况讨论函数的图象，分析函数是否有最小值，得到实数a 的取值范围；③首先令()f x b =，解出三个零点，进而判断结论.【详解】①当2a =-时，()21,0ln ,0x x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩，画出函数的图象，如下图，由图象可知当(),0x ∈-∞时，函数单调递减，当()0,1x ∈时函数单调递减，但函数在(),1-∞时，函数并不单调递减，故①不正确；②当0a >时，0x ≤时，函数1y ax =+单调递增，并且当x →-∞时，y →-∞，所以函数没有最小值；当0a =时，()1,0ln ,0x f x x x ≤⎧=⎨>⎩，ln 0x ≥，函数的最小值是0；当0a <时，0x ≤时，函数1y ax =+单调递减，函数的最小值是1，当0x >时，ln 0x ≥，ln y x =的最小值是0，综上可知函数的最小值是0，综上，若函数没有最小值，只需满足0a >，故②正确；对于③，令()f x b =，当0x ≤时，1ax b +=，当0x >时，ln x b =， 不妨设1230x x x ≤<<，110b x a-=≤，2b x e -=，3b x e =， 则231x x =，令111b x a-==-，可得1b a =-， 当0a <时，11b a =->，则三个零点1231x x x =-，当01a <<时，011b a <=-<，则三个零点1231x x x =-. 综上可知③正确； 故选：C 【点睛】思路点睛：本题考查分段函数，函数性质和函数图象的综合应用，本题的关键是对a 的讨论，画出函数的图象，比较容易判断前两个命题，最后一个命题的关键是解出3个零点，并能判断231x x =，从而只需验证是否11x =-即可.4．D解析：D 【分析】分离参数，再根据指数函数性质求出． 【详解】解：21x m -=或21x m -=-，即21x m =-，或者21x m =+， 当211x m =->-时，有一个解， 当211x m =+>时，有一个解，所以1m 时，方程|2|1x m -=有两个不等实根， 故选：D ． 【点睛】考查方程根的个数问题，利用了分类讨论法，分离参数法，属于中档题．5．C解析：C 【解析】①1ln 1x y x -=+；1111()ln ln ()111x x f f x x x x--==≠-++所以不符合题意；②2211x y x -=+；22221111()()111x x f f x x x x --===-++所以符合题意；③,01,{0,1,1, 1.x x y x x x<<==->当01x <<时11x >，故1()()f x f x x =-=-，当1,x =时11x =显然满足题意，当1x >时，101x <<，故11()()f f x x x==-符合题意，综合得选C 点睛：新定义倒负函数，根据题意逐一验证()1f f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭是否成立，在计算中要注意对数的公式得灵活变幻，对于分段函数要注意逐段去讨论6．B解析：B 【解析】分析：由m+x 2e x ﹣a=0成立，解得x 2e x =a ﹣m ，根据题意可得：a ﹣1≥（﹣1）2e ﹣1，且a ﹣0≤12×e 1，解出并且验证等号是否成立即可得出． 详解：：由m+x 2e x ﹣a=0成立，得x 2e x =a ﹣m ，∴对任意的m ∈[0，1]，总存在唯一的x ∈[﹣1，1]，使得m+x 2e x ﹣a=0成立， ∴a ﹣1≥（﹣1）2e ﹣1，且a ﹣0≤12×e 1， 解得1+1e≤a≤e ， 其中a=1+1e时，x 存在两个不同的实数，因此舍去， a 的取值范围是（1+1e，e]． 故选B ．点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．7．D解析：D 【分析】作出函数()f x 的图象，由函数()f x 的图象与直线y a =的交点得123,,x x x 的范围与关系，从而可求得123ax x x ++的取值范围． 【详解】函数()y f x a =-的零点就是函数()y f x =的图象与直线y a =的交点的横坐标，作出函数()y f x =的图象，作出直线y a =，如图，由图可知122x x +=-，由241x =得12x =（12x =-舍去），∴3102x <≤，234x a =，∴23123334224(2,0]x ax x x x x ++=-+=-+∈-． 故选：D ．【点睛】本题考查函数的零点，解题关键是掌握转化与化归思想，函数零点转化为函数图象与直线的交点，由数形结合思想确定零点的性质，得出结论．8．A解析：A 【分析】函数y=f （x ）只有一个零点，分段函数在0x >时，2log y x = 存在一个零点为1，在0x ≤无零点，所以函数图象向上或向下平移，图像必须在x 轴上方或下方,解题中需要注意的是：题目要求找出充分不必要条件，解题中容易选成充要条件. 【详解】当0x >时，y=2log x ，x=1是函数的一个零点，则当0y 2xx a ≤=-+，无零点，由指数函数图像特征可知：a≤0或a>1 又题目求函数只有一个零点充分不必要条件，即求a≤0或a>1的一个真子集， 故选A 【点睛】本题考查函数零点个数问题，解决问题的关键是确定函数的单调性，利用单调性和特殊点的函数值的正负确定零点的个数；本题还应注意题目要求的是充分不必要条件，D 项是冲要条件，容易疏忽而出错.9．A解析：A 【分析】利用十字相乘法解()0g x =，得()2f x =或()f x a =-，利用函数与方程之间的关系转化为两个图象的交点个数问题进行求解即可． 【详解】解：若2()[()](2)()2[()2][()]g x f x a f x a f x f x a =+--=-+有三个零点， 即()[()2][()]0g x f x f x a =-+=有三个根， 即()2f x =或()f x a =-．当()2f x =时，由|1|12x e -+=，即|1|1x e -=，则11x e -=或11x e -=-， 即2x e =或0x e =，则2x ln =或x 无解，此时方程只有一个解， 则()f x a =-．有两个不同的根， 作出()f x 的图象如图：由图象知，则12a <-<，即21a -<<-， 即实数a 的取值范围是(2,1)--， 故选：A ．【点睛】本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合转化为两个函数图象的交点个数问题是解决本题的关键．10．B解析：B 【解析】 函数()12(12)f x xx =-的零点，即令()0f x =，根据此题可得12(12)xx=，在平面直角坐标系中分别画出幂函数12y x=和指数函数(12)y x=的图像，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选B【考点定位】本小题表面上考查的是零点问题，实质上考查的是函数图象问题，该题涉及到的图像为幂函数和指数函数11．A解析：A 【分析】画出()f x 的图象结合图象，求得1bc =、求得a 的取值范围，由此求得abc 的取值范围. 【详解】由函数()f x 的图象（如图），可知1022a b c ≤<≤<≤，由22log log b c =得22log log b c -=，所以1bc =，所以(],0abc a =∈-∞．故选：A【点睛】本小题主要考查分段函数的图象与性质，属于中档题.12．B解析：B 【分析】利用方程和函数之间的关系分别进行判断即可得到结论. 【详解】A ：令2()3f x x x =+-，因为抛物线开口向上，()()1010f f -<<，，所以在区间()1,1-内无实数解；B ：令()10xf x e x =--=，解得0x =，所以在区间()1,1-内有实数解；C ：令()()3ln 1f x x x =-++，则1()101f x x '=+>+在()1,1-成立，所以函数在()1,1-上单调递增，又(1)0f <，故在区间()1,1-内无实数解；D ：当(0,1)x ∈时，()20,1x ∈，lg (,0)x ∈-∞，则2lg 0x x ->，此时方程在()1,1-内无解. 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数与方程以及零点存在定理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．②④【分析】构造函数解方程即可得出结论【详解】构造函数对于①令得整理得方程无实解①中的函数不具备性质；对于②令得解得②中的函数具备性质；对于③③中的函数不具备性质；对于④令得得解得④中的函数具备性质解析：②④ 【分析】构造函数()()()()11g x f x f x f =+--，解方程()0g x =，即可得出结论. 【详解】构造函数()()()()11g x f x f x f =+--. 对于①，()1111g x x x =--+，令()0g x =，得111x x x+=+，整理得210x x ++=， 1430，方程210x x ++=无实解，①中的函数不具备性质P ；对于②，()122222x x x g x +=--=-，令()0g x =，得22x =，解得1x =.②中的函数具备性质P ；对于③，()()()()()22222log 3log 2log 1log 3log 20g x x x x x =+-+-=+-+≠， ③中的函数不具备性质P ；对于④，()()()sin sin sin sin sin 2sin g x x x x x x ππππππππ=+--=+-=-， 令()0g x =，得sin 0x π=，得()x k k Z ππ=∈，解得()x k k Z =∈， ④中的函数具备性质P . 故答案为：②④. 【点睛】本题考查函数新定义“性质P ”，本质上就是函数的零点问题或方程根的问题，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.14．4【分析】根据分段函数的解析式当时令则解得当时做出函数的图像即可求解【详解】当时令则解得时令得作出函数的图像由图像可知与有两个交点与有一个交点则的零点的个数为4故答案为：4【点睛】本题考查了分段函数解析：4 【分析】根据分段函数的解析式当0x ≤时，令()3f x =，则2413x x --+=，解得2x =-±0x >时，()31xf x =>，1x =，做出函数()f x ，1,22y y y ==-=--.【详解】241,0()3,0x x x x f x x ⎧--+≤=⎨>⎩，∴当0x ≤时，()()2241255f x x x x =--+=-++≤，令()3f x =，则2413x x --+=，解得2x =-±120,423,-<-+<-<--0x >时，()31xf x =>，令()3f x =得1x =，作出函数()f x ，1,22,22y y y ==-=--由图像可知，()f x 与1y =有两个交点，与22y =-+ 则(())3f f x =的零点的个数为4. 故答案为：4 【点睛】本题考查了分段函数的零点个数，考查了数形结合的思想，属于基础题.15．【分析】作出的图象可得和的图象有四个不同的交点不妨设交点横坐标由关于原点对称关于点对称即可得到所求的和【详解】作出的图象方程有四个不同的实数解等价为和的图象有四个不同的交点不妨设交点横坐标为且由关于 解析：4【分析】作出()f x 的图象，可得()y f x =和y b =的图象有四个不同的交点，不妨设交点横坐标1234x x x x <<<，由1x ，2x 关于原点对称，3x ，4x 关于点()2,0对称，即可得到所求的和.【详解】作出()()2121x x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，，的图象，方程()f x b =有四个不同的实数解，等价为()y f x =和y b =的图象有四个不同的交点，不妨设交点横坐标为1x ，2x ，3x ，4x 且1234x x x x <<<， 由1x ，2x 关于原点对称，3x ，4x 关于点()2,0对称， 可得12=0x x +，344x x +=， 则12344x x x x +++=， 故答案为：4 【点睛】本题主要考查了函数方程的转化思想，考查数形结合的思想以及对称性的运用，属于中档题.16．且【分析】先化简函数再由过定点（02）在同一坐标系中作出两个函数的图象利用数形结合法求解【详解】在同一坐标系中作出两个函数的图象如图所示:因为函数的图像与函数的图像恰有两个交点所以且故答案为：且【点解析：04k <≤ 且1k ≠ 【分析】 先化简函数()211,1111,11x x x x f x x x x --≥<-⎧==⎨+--<<⎩或，再由()2g x kx =+过定点（0,2），在同一坐标系中作出两个函数的图象，利用数形结合法求解. 【详解】()211,1111,11x x x x f x x x x --≥<-⎧==⎨+--<<⎩或，()2g x kx =+， 在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图所示:因为函数211x y x -=+的图像与函数2y kx =+的图像恰有两个交点，所以04k <≤ 且1k ≠，故答案为：04k <≤ 且1k ≠，【点睛】本题主要考查函数的零点与方程的根，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.17．【分析】先画出当时函数的图象当时利用周期性画出函数的图象在同一直角坐标系内画出直线的图象利用数形结合进行求解即可【详解】当时画出函数的图象当时当时画出函数的图象如下图所示：Failedtodownl 解析：(1,)-+∞【分析】先画出当0x ≥时函数()f x 的图象，当0x <时，利用周期性画出函数()f x 的图象，在同一直角坐标系内画出直线y x a =--的图象，利用数形结合进行求解即可. 【详解】当0x ≥时，画出函数()f x 的图象， 当10x -≤<时，1()21x f x +=-，当21x -≤<-时，2()21x f x +=-，画出函数()f x 的图象如下图所示： [Failed to download image :http://192.168.0.10:8086/QBM/2020/4/16/2442971918139392/2444041550692352/EXPLANATION /d0eaa7b33ddc4636b9cc52164f3abcc4.png]因为方程()f x x a =--有两个不同实根，所以函数()f x 和函数y x a =--的图象有两个不同的交点.由直线y x a =--过(0,1)，得1a =-； 由直线y x a =--过(0,0)，得0a =；由直线y x a =--过(1,0)-，得1a =；而函数()f x 不过(0,1),(1,1),(2,1)--因此有当1a >-时，函数()f x 和函数y x a =--的图象有两个不同的交点.，即方程()f x x a =--有两个不同实根.故答案为：(1,)-+∞ 【点睛】本题考查了已知方程根的个数求参数取值范围问题，考查了数形结合思想，考查了函数的周期性，考查了数学运算能力.18．【分析】作出函数图象关于方程有三个不相等的实数根即图象与直线有三个不同的公共点数形结合即可得解【详解】作出函数的图象关于方程有三个不相等的实数根即图象与直线有三个不同的公共点由图可得：【点睛】此题考解析：1[,1)2.【分析】作出函数图象，关于x 方程()f x ax =有三个不相等的实数根，即()f x 图象与直线y ax =有三个不同的公共点，数形结合即可得解. 【详解】作出函数21(0)()(1)(0)x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩，，的图象，关于x 方程()f x ax =有三个不相等的实数根，即()f x 图象与直线y ax =有三个不同的公共点由图可得：1[,1)2a ∈ 【点睛】此题考查方程的根的问题，根据函数图象，数形结合求解，需要熟练掌握常见基本初等函数的图象和性质，准确作出函数图象求解.19．【分析】令利用正弦函数的性质解方程得出非负根中较小的六个根根据题意得出且整理即可得出答案【详解】令得则或整理得或则非负根中较小的有则且解得：故答案为：【点睛】本题主要考查了根据函数零点的个数求参数范 解析：56163ω≤<【分析】令()0f x =，利用正弦函数的性质解方程1sin 62x πω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得出非负根中较小的六个根，根据题意，得出44ππω≤且2434πππωω+>，整理即可得出答案. 【详解】令()0f x =，得1sin 62x πω⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 则266x k ππωπ+=+或52,66x k k Z ππωπ+=+∈ 整理得2k x πω=或22,3k x k Z ππωω=+∈ 则非负根中较小的有22224240,,,,,333πππππππωωωωωωω++ 则44ππω≤且2434πππωω+> 解得：56163ω≤<故答案为：56163ω≤< 【点睛】本题主要考查了根据函数零点的个数求参数范围，属于中档题.20．【分析】由可得出设函数将问题转化为函数与函数的图象有交点利用数形结合思想可求出实数的取值范围【详解】由可得出设函数则直线与函数的图象有交点作出函数与函数的图象如下图所示由图象可知则解得因此实数的取值 解析：[)1,0-【分析】由|1|102x y m -⎛⎫=+= ⎪⎝⎭可得出112xm -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，设函数()112xg x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，将问题转化为函数y m =-与函数()y g x =的图象有交点，利用数形结合思想可求出实数m 的取值范围.【详解】由|1|102x y m -⎛⎫=+= ⎪⎝⎭可得出112xm -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，设函数()112xg x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则直线y m =-与函数()y g x =的图象有交点，作出函数()111,122,1x x x g x x --⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪<⎩与函数y m =-的图象如下图所示，由图象可知()01g x <≤，则01m <-≤，解得10m -≤<. 因此，实数m 的取值范围是[)1,0-. 故答案为：[)1,0-. 【点睛】本题考查利用函数有零点求参数的取值范围，在含单参数的函数零点问题的求解中，一般转化为参数直线与函数图象有交点来处理，考查数形结合思想的应用，属于中等题.三、解答题21．（1）(] 4,0-；（2）答案见解析；（3）(,423-∞--. 【分析】（1）将()32f x x <-，x ∈R 恒成立，转化为210ax ax --<，x ∈R 恒成立求解. （2）由()()120x ax --≥，分02a <<，2a =， 2a >讨论求解. （3）由0m >时，得到11213t m m=+++=≥，令x s =，将问题转化为存在3t ≥，()2220as a s t -++-=有两个不等正根求解.【详解】（1）因为()32f x x <-，x ∈R 恒成立， 所以210ax ax --<，x ∈R 恒成立；0a =时，10-<恒成立，满足题意；0a ≠时，只需0a <，∆<0，即40a ；综上，实数a 的取值范围是(] 4,0-； （2）()0f x ≥即()()120x ax --≥，当02a <<时，21>a ，不等式解集为(]2,1,a ⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭；当2a =时，21a，不等式解集为R ；当2a >时，21a <，不等式解集为[)2,1,a ⎛⎤-∞+∞⎥⎝⎦；（3）0m >时，令11213t m m=+++=≥， 则存在3t ≥，()fx t =有四个不等实根，即()2220a x a x t -++-=有四个不等实根，令x s =，0s >时一个s 对应两个x ；0s =时一个x 对应一个x ；0s <时无x 与之对应；则存在3t ≥，()2220as a s t -++-=有两个不等正根，则0a ≠，存在3t ≥，2020a at a+⎧>⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩，即存在3t ≥，()()224202a a t a ⎧+-->⎪⎨<-⎪⎩，即2a <-，且存在3t ≥，24440a a at -++>， 0a <时，3t ≥时22441284a a a a a -++=++最大值为22441284a a a a a -++=++，则2840a a ++>，由2a <-可得4a <--所以实数a的取值范围是(,4-∞--. 【点睛】方法点睛：含有参数的不等式的解法：，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论：(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．22．（1）(1,2)(2,)⋃+∞；（2）(,2]-∞-；（3）最大值为28a +，最小值为0 【分析】（1）由()()3131xxh x a =-⋅+-，易知0x =是函数()h x 的一个零点，可知31=-x a ()0x ≠有解，进而可求出a 的范围；（2）原不等式可化为()()313131+-≥-xxxa ，分0x =，0x >和0x <两种情况，分别讨论，可求出实数a 的取值范围；（3）()9131=-+-xxx a ϕ，当01x ≤≤时，令3(13)xt t =≤≤，可将()ϕx 转化为二次函数，可求出最大值与最小值；当10x -≤<时，令1313xk k ⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭，可将()ϕx 转化为二次函数，进而可求()ϕx 的取值范围，综合两种情况，可求得()ϕx 的最大值与最小值. 【详解】（1）由()()()()3131313131=+---=-⋅+-xxx xxh x a a ， 由(0)0h =，可知0x =是函数()h x 的一个零点， 若函数()f x 有两个零点，只需要31=-x a （0x ≠）有解，因为30x>，所以1011a a ->⎧⎨-≠⎩，可得1a >且2a ≠.故若函数()h x 有两个零点，则实数a 的取值范围为(1,2)(2,)⋃+∞.（2）若不等式()()f x g x ≥恒成立，有9131-≥-x xa ，可化为()()313131+-≥-xx x a .①当0x =时，显然原不等式恒成立；②当0x >时，31x >，原不等式可化为31+≥x a ， 因为312x +>，所以2a ≤；③当0x <时，031x <<，原不等式可化为31--≥x a ， 因为2311x -<--<-，所以2a ≤-.由上知，当x ∈R 时，不等式()()f x g x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为(,2]-∞-. （3）()9131=-+-xxx a ϕ，①当01x ≤≤时，令3(13)x t t =≤≤，则()ϕx 可化为()221(1)1y t a t t at a =-+-=+--，令2()1=+--t t at a μ(13)t ≤≤，二次函数()t μ的对称轴为2a t =-， 故()t μ在区间[1,3]上单调递增，可得()ϕx 的最小值为(1)110a a μ=+--=，()ϕx 的最大值为(3)93128a a a μ=+--=+； ②当10x -≤<时，令1313xk k ⎛⎫=≤<⎪⎝⎭，则()ϕx 可化为()221(1)1y k a k k ak a =--+-=--++，令21()113k k ak a k σ⎛⎫=--++≤<⎪⎝⎭，二次函数()k σ的对称轴为02=-<a k ，故函数()k σ在区间1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递减，由211128()133339a a a σ⎛⎫=--++=+ ⎪⎝⎭，(1)110a a σ=--++=，得280()39k a σ<≤+. 因为282839+>+a a ，所以函数()ϕx 在[1,1]-上的最大值为28a +，最小值为0． 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 23．（1）1392万元 （2）甲城市的投入为30万元，乙城市的投入为50万元 【分析】（1）当甲城市的投入为25万元时，则乙城市的投入为802555-=万元，直接分别代入对应的收益表达式中，得出答案.（2）设甲城市的投入为x 万元，则乙城市的投入为80x -万元,分2040x ≤<和4060x ≤≤分别求出甲、乙两个城市的投资的总收益，再分别求出其最大值，再比较得出答案. 【详解】（1）当甲城市的投入为25万元时，则乙城市的投入为802555-=万元 则甲城市收益1450402225y =-+=万元 乙城市收益2195552022y =⨯+= 所以甲、乙两个城市的投资的总收益为951392222+=万元 （2）设甲城市的投入为x 万元，则乙城市的投入为80x -万元 当2040x ≤<时，甲、乙两个城市的投资的总收益为()45014080202y x x =-++⨯-+即4501100100702y x x⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭，当且仅当45012x x =即30x =时，取等号.当4060x ≤≤时，甲、乙两个城市的投资的总收益为()12580202y x =+⨯-+ 即()112580208522y x x =+⨯-+=- 当40x =时，1852y x =-有最小值65 综上，当30x =时，甲、乙两个城市的投资的总收益最大.所以甲城市的投入为30万元，乙城市的投入为50万元，甲、乙两个城市的投资的总收益最大 【点睛】关键点睛：本题考查函数的实际应用问题，解答的关键是分段得出甲、乙两个城市的投资的总收益的表达式，当2040x ≤<时，甲、乙两个城市的投资的总收益为()45014080202y x x =-++⨯-+，当4060x ≤≤时，甲、乙两个城市的投资的总收益为()12580202y x =+⨯-+，分别求出最大值，从而可解，属于中档题. 24．（1）(())1f f e =；（2）图象见解析，递减区间为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，[]1,e ．（3）3【分析】（1）分段函数求值，根据x 的范围代入即可；（2）画出函数图象，结合图象求出函数单调性；（3）写出(())f f x 分段函数，根据(())f f x x =，求出解的个数 【详解】解：（1）因为1e >，所以1()2f e ln e ==，所以1(())()12f f e f ==． （2）()|()1|F x f x =-，所以函数图象如下所示：递减区间为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，[]1,e ．（3）根据题意，012x，(())(22)f f x ln x =-，当112x <<，(())42f f x x =-，当1x e ，(())22f f x lnx =-，当012x时，由(())(22)f f x ln x x =-=，记()(22)g x ln x x =--，则()g x 在1[0,]2上单调递减，且(0)20g ln =>，11()022g =-<， 故()g x 在1[0,]2上有唯一零点1x ，即函数()f x 在1[0,]2上有唯一的二阶不动点1x ． 当112x <<时，由(())42f f x x x =-=，得到方程的根为223x =，即函数()f x 在1(,1)2上有唯一的二阶不动点223x =． 当1x e 时，由(())22f f x lnx x =-=，记()22h x lnx x =--，则()h x 在[1，]e 上单调递减，且()110h =>， ()0h e e =-<，故()h x 在[1，]e 上有唯一零点3x ，即函数()f x 在[1，]e 上有唯一的二阶不动点3x ． 综上所述，函数()f x 的二阶不动点有3个． 【点睛】（1）这是分段函数求值，基础题；（2）含绝对值的函数单调性的判断，比较容易；（3）这道题难点是要写出(())f f x 分段函数，根据(())f f x x =，求出解的个数，一定注意x 的范围．25．（1）分别为25件，42件；（2）s (t )＝()()2241715,01052165,1055t t t t t t ⎧++⎪⎨---<⎪⎩；26件. 【分析】（1）先求出预计订单函数()()f t t N ∈为45,010,()55,1055.t t f t t t +⎧=⎨-+<⎩再求解；（2）先求出利润函数为2(1.55 3.5)(45),010,3()2(1.55 3.5)(55),1055.3t t t S t t t t ⎧+-+⎪⎪=⎨⎪+--+<⎪⎩再分段求函数的最大值即得解. 【详解】解：（1）预计订单函数()()f t t N ∈为45,010()55,1055t t f t t t +≤≤⎧=⎨-+<≤⎩；f (5)=20+5=25;f (13)=-13+55=42;∴每件珠宝加工天数分别为5，13，预计订单数分别为25件，42件． （2）售价函数为() 1.55g t t =+；∴利润函数为2(1.550.5)(45),0103()2(1.550.5)(55),10553t t t s t t t t ⎧+-+⎪⎪=⎨⎪+--+<⎪⎩，s (t )＝(3)(45),010(3)(55),1055t t t t t t ++⎧⎨-+-<⎩＝()()2241715,01052165,1055t t t t t t ⎧++⎪⎨---<⎪⎩； 当010t ≤≤时，2()41715s t t t =++的最大值为(10)585s =；当1055t <≤时，2()(52t 165)s t t =---的最大值为(26)841585s =>；故利润最大时，26t =，此时预计的销量为26件 【点睛】关键点睛：解题得关键在于根据题目条件，分段列出函数表达式，计算时，注意分段成立的条件，难度属于中档题26．（1）()()2,04,15,420,82x x N v x x x N**⎧≤<∈⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩；（2）当养殖密度x 为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大为252千克/立方米. 【分析】（1）由题意：当04x ≤<时，()2v x =．当420x ≤时，设()v x ax b =+，()v x ax b =+在[4，20]是减函数，由已知得20042a b a b +=⎧⎨+=⎩，能求出函数()v x ．（2）依题意并由（1），22,04,*()12,420,*85x x x N f x x x x x N ≤<∈⎧⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩，根据分段函数的性质求出各段的最大值，再取两者中较大的即可，由此能求出结果． 【详解】解：（1）由题意：当04x ≤<时，()2v x =．当420x ≤≤时，设()v x ax b =+，显然()v x ax b =+在[4，20]是减函数，由已知得20042a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得18a =-，52b =，故函数**2,04,()15.420,82x x N v x x x x N ⎧≤<∈⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩ （2）依题意并由（1）得22,04,*()12,420,*85x x x N f x x x x x N ≤<∈⎧⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩，当04x ≤<时，()f x 为增函数， 且()4428f =⨯=．当420x ≤≤时，22121()(10)12.5858f x x x x =-+=--+，()(10)12.5max f x f ==．所以，当020x ≤≤时，()f x 的最大值为12.5． 当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为12.5千克/立方米． 【点睛】(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型. (2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．。
(好题)高中数学必修一第四单元《函数应用》检测卷(有答案解析)
一、选择题1．已知函数()24xf x =-，()()()1g x a x a x a =-++同时满足：①x ∀∈R ，都有()0f x <或()0g x <，②(],1x ∃∈-∞-，()()0f x g x <，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(-3，0) B ．13,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．(-3，-1)D ．(-3，-1]2．已知方程923310x x k -⋅+-=有两个实根，则实数k 的取值范围为（ ） A ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．12,33⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[1,)+∞3．若关于x 的一元二次方程(2)(3)x x m --=有实数根1x ，2x ，且12x x <，则下列结论中错误的是（ ）A ．当0m =时，12x =，23x =B ．14m ≥-C ．当0m >时，1223x x <<<D ．二次函数()()12y x x x x m =--+的图象与x 轴交点的坐标为()2,0和()3,0 4．流行病学基本参数：基本再生数0R 指一个感染者传染的平均人数，世代间隔T 指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可用模型：0()rtI t N e =（其中0N 是开始确诊病例数）描述累计感染病例()I t 随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与0R ，T 满足01R rT =+，有学者估计出0 3.4,6R T ==．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，当0()2I t N =时，t 的值为（ln 20.69≈）（ ） A ．1.2B ．1.7C ．2.0D ．2.55．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米，若行车道总宽度AB 为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为（ ）A ．4.25米B ．4.5米C ．3.9米D ．4.05米6．对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x 满足()()00f x f x -=-，则称函数()f x 为“倒戈函数”．设()31xf x m =+-（m ∈R ，0m ≠）是定义在[]1,1-上的“倒戈函数”，则实数m 的取值范围是（ ） A ．2,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．21,33⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．(),0-∞7．具有性质：1()()f f x x=-的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数.给出下列函数：①1ln 1x y x -=+；②2211x y x -=+；③,01,{0,1,1, 1.x x y x x x<<==->其中满足“倒负”变换的函数是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①8．函数f(x)＝2log ,02,0xx x a x >⎧⎨-+≤⎩有且只有一个零点的充分不必要条件是( ) A ．a<0B ．0<a<C ． <a<1D ．a≤0或a>19．用二分法求方程x 2–2=0在（1，2）内近似解，设f （x ）=x 2–2，得f （1）<0，f （1.5）>0， f （1.25）<0，则方程的根在区间( ) A ．（1.25，1.5）B ．（1，1.25）C ．（1, 1.5）D ．不能确定10．某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投人.若该高校2018年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投人的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是（参考数据：lg1.120.05≈，lg1.30.11≈，lg 20.30≈）（ ）A ．2020年B ．2021年C ．2022年D ．2023年11．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()f x f x π+=- ，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x x =，则函数()()()1g x x f x π=-- 在区间3-,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上所有零点之和为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π12．若关于x 的方程12xa a -= (a >0，a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是（ ）A ．(0，1)∪(1，+∞)B ．(0，1)C ．(1，+∞)D ．1(0,)2二、填空题13．设方程240x mx -+=的两根为α，β，其中[1,3]α∈，则实数m 的取值范围是________.14．已知函数()1,0ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则函数()1y f f x ⎡⎤=-⎣⎦的零点个数为______. 15．已知函数()()21,043,0x e x f x x x x +⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，函数()y f x a =-有四个不同的零点，从小到大依次为1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x -++的取值范围为 _________16．若函数222,0(),0x x x x f x e a x +⎧->⎪=⎨-≤⎪⎩有3个零点，则实数a 的取值范围是___17．已知函数()2log ,02 sin ,2104x x f x x x π⎧<<⎪=⎨⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若1234x x x x <<<且()()()()1234f x f x f x f x ===，则()()341222x x x x --的取值范围为____________.18．若y a x =的图象与直线y x a =+（0a >）有两个不同交点，则a 的取值范围是__________.19．已知函数21,0()(1),0x x f x f x x ⎧-≥=⎨+<⎩，若方程()f x x a =--有两个不同实根，则实数a的取值范围为________.20．已知函数21(0)()(1)(0)x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩，若关于x 方程()f x ax =有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是_______________． 三、解答题21．设函数()()21f x ax ax a R =+-∈.（1）当12a =时，求函数()f x 的零点； （2）讨论函数()f x 零点的个数.22．已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()124x f x g x +-=.（Ⅰ）求函数()f x 和()g x 的表达式；（Ⅱ）若方程()4xf x m m =⋅-在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恰有一个实根，求实数m 的取值范围.23．如图所示，河（阴影部分）的两岸分别有生活小区ABC 和DEF ，其中AB BC ⊥，EF DF ⊥，DF AB ⊥，C ，E ，F 三点共线，FD 与BA 的延长线交于点O ，测得3AB FE ==千米，74OD =千米，94DF =千米，32EC =千米，若以OA ，OD 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系xOy ，则河岸DE 可看成是函数1by x a=--（其中a ，b 是常数）图象的一部分，河岸AC 可看成是函数y kx m =+（其中k ，m 为常数）图象的一部分.（1）写出点A 和点C 的坐标，并求k ，m ，a ，b 的值.（2）现准备建一座桥MN ，其中M 在曲线段DE 上，N 在AC 上，且MN AC ⊥.记M 的横坐标为t .①写出桥MN 的长l 关于t 的函数关系式()l f t =，并标明定义域；（注：若点M 的坐标为0(,)t y ，则桥MN 的长l 可用公式021lk计算）②当t 为何值时，l 取到最小值？最小值是多少？24．某工厂生产某产品x 件所需成本费用为P 元，且2110005,10P x x =++而每件售出的价格为Q 元，其中(),xQ a a b R b=+∈. （1）问:该工厂生产多少件产品，使得每件产品所需成本费用最少?（2）若生产出的产品能全部售出，且当产量为150件时利润最大，此时每件价格为30，求a b 、的值.25．已知()y f x =（x D ∈，D 为此函数的定义域）同时满足下列两个条件：①函数()f x 在D 内单调递增或单调递减；②如果存在区间[,]a b D ⊆，使函数()f x 在区间[,]a b 上的值域为[,]a b ，那么称()y f x =，x D ∈为闭函数（1）判断函数2()1((0,))f x x x x =+-∈+∞是否为闭函数？并说明理由； （2）求证：函数3y x =-（[1,1]x ∈-）为闭函数； （3）若(0)y k x k =<是闭函数，求实数k 的取值范围26．如图所示，已知1(,)A x m 、2(,2)B x m +、3(,4)C x m +（其中2m ≥）是指数函数()2x f x =图像上的三点．(1)当2m =时，求123()f x x x ++的值；(2)设ABC ∆的面积为S ，求S 关于m 的函数()S m 及其最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】先判断当2x <时()0f x <，当2x ≥时()0f x ≥，问题转化为当2x ≥时，()0g x <恒成立且当1x ≤-时，()0g x >有解，分类讨论列出不等式可解出a 的范围． 【详解】∵()24xf x =-，∴当2x <时()0f x <，当2x ≥时()0f x ≥.因为x ∀∈R ，都有()0f x <或()0g x <且 (],1x ∃∈-∞-，()()0f x g x < 所以函数()g x 需满足:①当2x ≥时，()0g x <恒成立； ②当1x ≤-时，()0g x >有解.（1）当0a ≥时，显然()g x 不满足条件①；（2）当0a <时，方程()0g x =的两根为1x a =，21x a =--， ∵0a <，∴11a -->-，∴112a a <-⎧⎨--<⎩，解得31a -<<-.故选：C . 【点睛】转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将问题转化为当2x ≥时，()0g x <恒成立且当1x ≤-时，()0g x >有解是解题的关键.2．B解析：B 【分析】先将指数型方程的解的问题转化为二次方程的根的问题，再利用判别式和韦达定理即可求出实数k 的取值范围. 【详解】设3x t =，则0t >，则方程923310x x k -⋅+-=有两个实根可转化为方程22310t t k -+-=有两个正根，则利用判别式和韦达定理得()()22431020310k k ⎧∆=---≥⎪>⎨⎪->⎩，解得：1233k <≤； 所以实数k 的取值范围为12,33⎛⎤⎥⎝⎦. 故选：B. 【点睛】关键点睛：将指数型方程的解的问题转化为二次方程的根的问题是解决本题的关键.3．C解析：C 【分析】画出函数()()23y x x =--的图像，然后对四个选项逐一分析，由此得出错误结论的选项. 【详解】画出二次函数()()23y x x =--的图像如下图所示，当0m =时，122,3x x ==成立，故A 选项结论正确. 根据二次函数图像的对称性可知，当 2.5x =时，y 取得最小值为14-， 要使()()23y x x m =--=有两个不相等的实数根， 则需14m >-，故B 选项结论正确. 当0m >时，根据图像可知122,3x x <>，故C 选项结论错误. 由()()23x x m --=展开得2560x x m -+-=， 根据韦达定理得12125,6x x x x m +=⋅=-. 所以()()()2121212y x x x x m x x x x x x m =--+=-+++()()25623x x x x =-+=--，故()()12y x x x x m =--+与x 轴的交点坐标为()()2,0,3,0. 故选：C. 【点睛】思路点睛：一元二次方程根的分布，根据其有两个不等的实根，结合根与系数的关系、函数图象，判断各选项的正误.4．B解析：B 【分析】根据所给模型求得0.4r =，代入已知模型，再由0()2I t N =，得002rtN e N =，求解t 值得答案 【详解】解：把0 3.4,6R T ==代入01R rT =+，得3.416r =+，解得0.4r =， 所以0.40()tI t N e=，由0()2I t N =，得0.4002tN e N =，则0.42t e =，两边取对数得，0.4ln 2t =，得ln 20.691.70.40.4t =≈≈， 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查函数模型的实际应用，考查计算能力，解题的关键是准确理解题意，弄清函数模型中各个量的关系，属于中档题5．D解析：D 【分析】可设抛物线的方程为2(0)x ny n =<，将(5,5)-代入可得n ，可得抛物线的方程，再令3.5x =，求得y ，计算70.5y --，可得所求值．【详解】解：如右图，设抛物线的方程为2(0)x ny n =<，将点(5,5)-代入抛物线的方程可得，255n =-，解得5n =-， 即抛物线的方程为25x y =-，令 3.5x =，可得23.55y =-，解得 2.45y =-，则通过隧道的车辆限制高度为7 2.450.5 4.05--=（米)． 故选：D ．【点睛】利用坐标法思想，建立适当的直角坐标系，得到抛物线的方程，从而解决问题.6．A解析：A 【分析】()31x f x m =+-是定义在[1,1]-上的“倒戈函数，即存在0[1,1]x ∈-,满足00()()f x f x -=-，即02332x x m -=--+有根，即可求出答案．【详解】()31x f x m =+-是定义在[1,1]-上的“倒戈函数，∴存在0[1,1]x ∈-满足00()()f x f x -=-，003131x x m m -∴+-=--+， 002332x x m -∴=--+，构造函数00332x x y -=--+，0[1,1]x ∈-，令03x t =，1[,3]3t ∈，1122()y t t t t=--+=-+在1[,1]3单调递增，在(1,3]单调递减，所以1t =取得最大值0， 13t =或3t =取得最小值43-，4[,0]3y ∴∈-，4203m ∴-<，032m ∴-<， 故选：A ． 【点睛】本题考查的知识点是指数函数的性质、函数的值域，新定义“倒戈函数”，正确理解新定义“倒戈函数”的含义，是解答的关键．7．C解析：C 【解析】①1ln 1x y x -=+；1111()ln ln ()111x x f f x x x x--==≠-++所以不符合题意；②2211x y x -=+；22221111()()111x x f f x x x x --===-++所以符合题意；③,01,{0,1,1, 1.x x y x x x<<==->当01x <<时11x >，故1()()f x f x x =-=-，当1,x =时11x =显然满足题意，当1x >时，101x <<，故11()()f f x x x==-符合题意，综合得选C 点睛：新定义倒负函数，根据题意逐一验证()1f f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭是否成立，在计算中要注意对数的公式得灵活变幻，对于分段函数要注意逐段去讨论8．A解析：A 【分析】函数y=f （x ）只有一个零点，分段函数在0x >时，2log y x = 存在一个零点为1，在0x ≤无零点，所以函数图象向上或向下平移，图像必须在x 轴上方或下方,解题中需要注意的是：题目要求找出充分不必要条件，解题中容易选成充要条件. 【详解】当0x >时，y=2log x ，x=1是函数的一个零点，则当0y 2x x a ≤=-+，无零点，由指数函数图像特征可知：a≤0或a>1 又题目求函数只有一个零点充分不必要条件，即求a≤0或a>1的一个真子集， 故选A 【点睛】本题考查函数零点个数问题，解决问题的关键是确定函数的单调性，利用单调性和特殊点的函数值的正负确定零点的个数；本题还应注意题目要求的是充分不必要条件，D 项是冲要条件，容易疏忽而出错.9．A解析：A 【分析】根据零点存在定理,结合条件,即可得出结论. 【详解】已知(1)0,(1.5)0,(1.25)0f f f <><, 所以(1,25)(1.5)0f f ⋅<,可得方程的根落在区间(1.25,1.5)内, 故选A. 【点睛】该题考查的是有关判断函数零点所在区间的问题，涉及到的知识点有二分法，函数零点存在性定理，属于简单题目.10．C解析：C 【分析】由题意知，2019年是第1年，则第n 年全年投入的科研经费为1300 1.12n ⨯万元，然后解不等式1300 1.122000n ⨯>，将指数式化为对数式，得出n 的取值范围，即可得出答案. 【详解】若2019年是第1年，则第n 年全年投入的科研经费为1300 1.12n ⨯万元， 由1300 1.122000n ⨯>可得1.3 1.122n ⨯>，lg1.3lg1.12lg 2n ∴+>， 所以0.050.19n ⨯>， 得 3.8n >，则正整数n 的最小值为4， 所以第4年，即2022年全年投入的科研经费开始超过2000万元， 故选：C. 【点睛】本题考查指数函数模型的应用，解题的关键就是列出指数不等式，考查函数思想的应用与计算能力，属于中等题.11．D解析：D 【解析】函数()()()1g x x f x π=--在区间3,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点就是函数()y f x =与函数1()h x x π=-的交点的横坐标． ∵()()f x f x π+=-∴()()2f x f x π+=，即函数()f x 的周期为2π，且函数()f x 的图象关于直线2x π=对称．又可得()()2f x f x π+=--，从而函数()f x 的图象关于点(π,0)对称． 函数1()h x x π=-的图象关于点(π,0)对称． 画出函数f(x),h(x)的图象（如下所示），根据图象可得函数f(x),h(x)的图象共有4个交点，它们关于点(π,0)对称． 所以函数()()()1g x x f x π=--在区间3,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上所有零点之和为2π+2π=4π． 选D ．点睛：解答本题的关键是将函数()()()1g x x f x π=--零点问题转化为两个函数图象交点的横坐标问题，借助函数图象的直观性使得问题得到解答，这是数形结合在解答数学题中的应用，解题中要求正确画出函数的图象．同时本题中还用到了函数的周期性、对称性、奇偶性之间的互相转化，对于这些知识要做到熟练运用．12．D解析：D 【分析】由题意转化条件为函数y =1xa -(a >0，a ≠1)的图象与直线y =2a 有两个不同的交点，按照a >1、0<a <1分类，数形结合即可得解. 【详解】根据题意，函数y =1xa -(a >0，a ≠1)的图象与直线y =2a 有两个不同的交点，a >1时，如图（1）所示；0<a <1时，如图（2）所示.由图象知，0<2a <1，所以10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查了指数函数图象及函数图象变换的应用，考查了函数与方程的综合应用及数形结合思想、分类讨论思想，属于中档题.二、填空题13．【分析】由题意利用韦达定理不等式的性质求出实数的取值范围【详解】解：方程的两根其中故即解得或令①解得；②解得综上可得故答案为：【点睛】本题考查二次函数根的分布问题属于中档题 解析：[]4,5【分析】由题意利用韦达定理，不等式的性质，求出实数m 的取值范围． 【详解】 解：方程240x mx -+=的两根α，β，其中[1,3]α∈， 故0∆，即()2440m --⨯≥，解得4m ≥或4m ≤-，令()24f x x mx =-+①()()0130f f ∆⎧⎨≤⎩，解得1353m ≤≤； ②()()01030132f f m ∆⎧⎪>⎪⎪⎨>⎪⎪≤≤⎪⎩解得134,3m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦综上可得[]4,5m ∈ 故答案为：[]4,5． 【点睛】本题考查二次函数根的分布问题，属于中档题.14．【分析】先由可求得的值再由和两种情况结合的值可求得的值即可得解【详解】下面先解方程得出的值（1）当时可得可得；（2）当时可得可得或下面解方程和①当时由可得由可得（舍去）由可得；②当时由可得由可得或由 解析：7【分析】先由()10f f x ⎡⎤-=⎣⎦可求得()f x 的值，再由0x ≤和0x >两种情况结合()f x 的值，可求得x 的值，即可得解. 【详解】下面先解方程()10f f x ⎡⎤-=⎣⎦得出()f x 的值.（1）当()0f x ≤时，可得()()1110f f x f x -=+-=⎡⎤⎣⎦，可得()0f x =；（2）当()0f x >时，可得()()1ln 10f f x f x -=-=⎡⎤⎣⎦，可得()f x e =或()1f x e=. 下面解方程()0f x =、()f x e =和()1f x e=. ①当0x ≤时，由()10f x x =+=可得1x =-，由()1f x x e =+=可得1x e =-（舍去），由()11f x x e =+=可得11x e=-； ②当0x >时，由()ln 0f x x ==可得1x =，由()1ln f x x e==可得1e x e =或1ex e -=，由()ln f x x e ==可得e x e =或ex e -=.综上所述，函数()1y f f x =-⎡⎤⎣⎦的零点个数为7. 故答案为：7. 【点睛】方法点睛：判定函数()f x 的零点个数的常用方法：（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；（2）数形结合法：先令()0f x =，将函数()f x 的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果.15．【分析】先将函数有四个不同的零点转化为函数有四个不同的交点利用数形结合得到a 的范围再根据为方程的两根为方程的两根利用韦达定理建立的函数再利用函数的单调性求解【详解】因为函数有四个不同的零点所以函数有 解析：(]3,3e +【分析】先将函数()y f x a =-有四个不同的零点，转化为函数(),y f x y a ==有四个不同的交点，利用数形结合得到a 的范围，再根据1x ，2x 为方程()21x e a +=的两根，3x ，4x 为方程43x a x+-=的两根，利用韦达定理建立1234x x x x -++的函数，再利用函数的单调性求解.【详解】因为函数()y f x a =-有四个不同的零点， 所以函数(),y f x y a ==有四个不同的交点， 如图所示：由图知：1a e <≤，设1x ，2x 为方程()21x e a +=的两根，即221ln 0x x a ++-=的两根， 所以121ln =-x x a ， 设3x ，4x 为方程43x a x+-=的两根，即()2340x a x -++=的两根， 所以343x x a +=+，所以1234ln 13ln 2x x x x a a a a -++=-++=++， 因为ln ,2y a y a ==+在()0,∞+上递增， 所以ln 2y a a =++在()0,∞+上递增， 所以1234(3,3]x x x x e ∈-+++， 故答案为：(]3,3e + 【点睛】关键点点睛：本题关键是利用利用数形结合法确定a 的范围，进而利用函数法求解.16．【分析】结合与的图象判断出当时的零点个数由此判断出当时的零点个数画出时的图象由此求得的取值范围【详解】画出与的图象如下图所示由图可知当时与的图象有个交点也即的图象有个零点所以当时有个零点当时画出的图解析：{}()21,e ⋃+∞【分析】 结合2x y =与2yx 的图象，判断出当0x >时，()f x 的零点个数.由此判断出当0x ≤时，()f x 的零点个数.画出0x ≤时2x y e +=的图象，由此求得a 的取值范围.【详解】 画出2x y =与2yx 的图象如下图所示，由图可知，当0x >时，2x y =与2y x 的图象有2个交点，也即()f x 的图象有2个零点. 所以当0x ≤时，()f x 有1个零点.当0x ≤时，画出()20x y ex +=≤的图象如下图所示，由图可知，要使()20x y e x +=≤与y a =只有1个交点，则需1a =或2a e >.所以a 的取值范围是{}()21,e ⋃+∞. 故答案为：{}()21,e ⋃+∞【点睛】研究分段函数零点问题，可结合函数图象，将零点问题转化为函数交点个数问来研究.17．【分析】根据解析式画出函数图象去绝对值并结合对数的运算性质求得根据正弦函数的对称性求得将化为结合二次函数的性质即可得出结果【详解】函数画出函数图象如下图所示:由函数图象可知若则因为与关于对称则且去绝 解析：()0,12【分析】根据解析式,画出函数图象.去绝对值并结合对数的运算性质求得12x x ⋅，根据正弦函数的对称性求得34x x +，将()()341222x x x x --化为2441220x x -+-，结合二次函数的性质，即可得出结果. 【详解】函数()2 log,02sin,2104x xf xx xπ⎧<<⎪=⎨⎛⎫≤≤⎪⎪⎝⎭⎩，画出函数图象如下图所示:由函数图象可知，若()()()()1234f x f x f x f x k====，则()0,1k∈，因为1234x x x x<<<，3x与4x关于6x=对称，则2122log logx x=，3412x x+=，且4810x<<，去绝对值化简可得2122log logx x-=，即2122log log0x x+=，由对数运算可得()212log0x x⋅=所以121x x⋅=，则()()()3434343412222420x xx x x x x xx x--=-=++-()23444442012201220x x x x x x=-=--=-+-，令21220y x x=-+-，()8,10x∈，因为21220y x x=-+-是开口向下，对称轴为6x=的二次函数，所以21220y x x=-+-在()8,10x∈上单调递减，所以10012020649620y-+-<<-+-，即012y<<；即()()()34244122212200,12x xx xx x--=-+-∈故答案为: ()0,12.【点睛】本题考查了分段函数的性质及应用，涉及求二次函数的最值，根据数形结合的方法求解即可，属于中档题.18．【分析】首先根据已知题意画出图形然后根据数形结合分析的取值范围需要注意为的斜率【详解】根据题意的图象如图：结合图象知要想有两个不同交点的斜率要大于的斜率的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查函数图象解析：()1,+∞【分析】首先根据已知题意画出图形，然后根据数形结合分析a 的取值范围，需要注意a 为y ax =的斜率. 【详解】根据题意y a x =的图象如图：()0a >，结合图象知，要想有两个不同交点y ax ∴=的斜率要大于y x a =+的斜率a ∴的取值范围是1a >.故答案为：()1,+∞ 【点睛】本题考查函数图象的交点问题，考查数形结合能力，属于中等题型.19．【分析】先画出当时函数的图象当时利用周期性画出函数的图象在同一直角坐标系内画出直线的图象利用数形结合进行求解即可【详解】当时画出函数的图象当时当时画出函数的图象如下图所示：Failedtodownl 解析：(1,)-+∞【分析】先画出当0x ≥时函数()f x 的图象，当0x <时，利用周期性画出函数()f x 的图象，在同一直角坐标系内画出直线y x a =--的图象，利用数形结合进行求解即可. 【详解】当0x ≥时，画出函数()f x 的图象，当10x -≤<时，1()21x f x +=-，当21x -≤<-时，2()21x f x +=-，画出函数()f x 的图象如下图所示： [Failed to download image :http://192.168.0.10:8086/QBM/2020/4/16/2442971918139392/2444041550692352/EXPLANATION /d0eaa7b33ddc4636b9cc52164f3abcc4.png]因为方程()f x x a =--有两个不同实根，所以函数()f x 和函数y x a =--的图象有两个不同的交点.由直线y x a =--过(0,1)，得1a =-； 由直线y x a =--过(0,0)，得0a =； 由直线y x a =--过(1,0)-，得1a =； 而函数()f x 不过(0,1),(1,1),(2,1)--因此有当1a >-时，函数()f x 和函数y x a =--的图象有两个不同的交点.，即方程()f x x a =--有两个不同实根.故答案为：(1,)-+∞【点睛】本题考查了已知方程根的个数求参数取值范围问题，考查了数形结合思想，考查了函数的周期性，考查了数学运算能力.20．【分析】作出函数图象关于方程有三个不相等的实数根即图象与直线有三个不同的公共点数形结合即可得解【详解】作出函数的图象关于方程有三个不相等的实数根即图象与直线有三个不同的公共点由图可得：【点睛】此题考解析：1[,1)2.【分析】作出函数图象，关于x方程()f x ax=有三个不相等的实数根，即()f x图象与直线y ax=有三个不同的公共点，数形结合即可得解.【详解】作出函数21(0)()(1)(0)x xf xf x x-⎧-≤=⎨->⎩，，的图象，关于x方程()f x ax=有三个不相等的实数根，即()f x图象与直线y ax=有三个不同的公共点由图可得：1[,1)2a∈【点睛】此题考查方程的根的问题，根据函数图象，数形结合求解，需要熟练掌握常见基本初等函数的图象和性质，准确作出函数图象求解.三、解答题21．（1）2-和1；（2）答案见解析.【分析】（1）当12a=时，直接解方程()0f x=，即可求得函数()f x的零点；（2）分0a=和0a≠两种情况讨论，在0a=时，直接求解即可；在0a≠时，结合∆的符号可得出函数()f x 的零点个数. 【详解】 （1）当12a =时，()211122f x x x =+-，令()0f x =，可得220x x +-=，解得2x =-或1x =.此时，函数()f x 的零点为2-和1；（2）当0a =时，()1f x =-，此时函数()f x 无零点； 当0a ≠时，24a a ∆=+. ①若∆<0，即40a 时，此时函数()f x 无零点；②若0∆=，即4a =-时，函数()f x 有且只有一个零点； ③若0∆>，即4a 或0a >时，此时函数()f x 有两个零点. 综上所述，当40a时，函数()f x 无零点；当4a =-时，函数()f x 有且只有一个零点； 当4a或0a >时，函数()f x 有两个零点.【点睛】思路点睛：本题考查含参二次函数零点个数的分类讨论，步骤如下： （1）首先确定首项系数为零的情况，直接解方程()0f x =即可；（2）对首项系数不为零进行讨论，分∆<0、0∆=、0∆>三种情况讨论，可得出函数()f x 在不同情况下的零点个数.22．（Ⅰ）()44xxf x -=+，()44xx g x -=-；（Ⅱ）5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【分析】（Ⅰ）由()()124x f x g x +-=，结合()f x 的偶函数，()g x 是奇函数，得到()()124x f x g x -+-=，两式联立求解.（Ⅱ）()4x f x m m =⋅-在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭恰有一个实根，即()214410x x m m --⋅-=在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恰有一个实根，令()4,1,2xz z =∈，转化为()2110m z mz ---=在()1,2上恰有一个实根，令()()211h z m z mz =---，用二次函数的性质求解.【详解】（Ⅰ）由()()124x f x g x +-=.得()()124x f x g x -+---=，.因为()f x 的偶函数，()g x 是奇函数， 所以()()124x f x g x -+-=，解得()44xxf x -=+，()44xx g x -=-.（Ⅱ）因为()4xf x m m =⋅-在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭恰有一个实根， 即444x x x m m -+=⋅-，在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭恰有一个实根， 即()214410xxm m --⋅-=在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恰有一个实根，令()4,1,2xz z =∈，则()2110m z mz ---=在()1,2上恰有一个实根，令()()211h z m z mz =---又()12h =-，则有()2250h m =->或()()244012211020m m m m m h ⎧∆=+-=⎪⎪<<⎪-⎨⎪-<⎪<⎪⎩， 解得52m >， 综上m 的取值范围为5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛：在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析． 23．（1）3,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，9,42C ⎛⎫⎪⎝⎭，43k =，2m =-，4a =，3b =；（2）①19()94,[0,3]54f t t t t ⎛⎫=--∈ ⎪-⎝⎭；②52t =，min ()1f t =. 【分析】（1）根据题中给的边长，得到点,A C 的坐标，并代入直线，求,k m ，由点,D E 的坐标代入函数1b y x a =--，求,a b 的值；（2）①由（1）可知点43,1M t t ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，利用点到直线的距离求()l f t =，②定义域下利用基本不等式求最值. 【详解】（1）由题意得：4OF BC ==，OA EC =，∴3,02A ⎛⎫⎪⎝⎭，9,42C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 把3,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，9,42C ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入y kx m =+得302942k m k m ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得43k =，2m =-.∵70,4D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()3,4E ，把70,4D ⎛⎫⎪⎝⎭，()3,4E 代入1b y x a =--得3433b a b a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪-⎩，解得：4a =，3b =.（2）①由（1）得：M 点在314y x =--上，∴43,1M t t ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，[0,3]t ∈， ∴桥MN 的长l为341219()(94),[0,3]54l f t t t t t --+===--∈-； ②由①得：1919()(94)4(4)75454f t t t t t ⎡⎤=--=----⎢⎥--⎣⎦194(4)754t t ⎡⎤=----⎢⎥-⎣⎦， 而40t -<，904t <-，∴94(4)124t t ---≥=-， 当且仅当94(4)4t t --=--时即52t =时，“=”成立，∴min 1()12715f t =-+=. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数应用题，函数模型的应用，基本不等式求最值. 本题的关键是最后一问，函数的变形，1919()(94)4(4)75454f t t t t t ⎡⎤=--=----⎢⎥--⎣⎦，只有变形成这种形式，才能用基本不等式求最值.24．（1）该工厂生产100件产品时,使得每件产品所需成本费用最少；（2）25,30.a b ==【分析】（1）建立函数的解析式，再利用基本不等式求函数的最值；（2）根据利润=销售收入-成本，求出利润函数，再利用当产量为150套时利润最大，此时每套价格为30元，结合二次函数的性质建立条件关系，即可求a ，b 的值 【详解】解：（1）由题意，每套玩具所需成本费用为211000510001000105255251010x xP x x xxx x++==+++==，当且仅当100010x x=， 即100x =时，每套玩具所需成本费用最少为25元．（2）利润22111()()(10005)()(5)10001010x y xQ x P x a x x x a x b b =-=+-++=-+--，若生产出的玩具能全部售出，且当产量为150套时利润最大，此时每套价格为30元，∴满足5150112()1015030ab a b -⎧=⎪-⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得25a =，30b =．【点睛】本题考查函数模型的构建，考查利用基本不等式求函数的最值，考查二次函数的最值，确立函数模型是关键，属于中档题．25．（1）见解析；(2)见解析；（3）1(,0)4-【分析】（1）可判断函数f （x ）在定义域内不单调，由闭函数的定义可作出判断；（2）按照闭函数的定义只需证明两条：①在定义域内单调；②该函数值域也为[﹣1，1]；（3）由y k =0，+∞）上的增函数，知其符合条件①；设函数符合条件②的区间为[a ，b ]，从而有a k b k ⎧=⎪⎨=⎪⎩x k =用二次方程根的分布知识可得k 的限制条件； 【详解】（1）函数f （x ）在区间1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；所以，函数在定义域上不是单调递增或单调递减函数，从而该函数不是闭函数． （2）先证y ＝﹣x 3符合条件①：对于任意x 1，x 2∈[﹣1，1]，且x 1＜x 2， 有331221y y x x-=-＝()()22212121x x x x x x -++＝()222121113024x x x x x ⎡⎤⎛⎫-++>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，∴y 1＞y 2，故y ＝﹣x 3是R 上的减函数．又因为y ＝﹣x 3在[﹣1，1]上的值域是[﹣1，1]． 所以函数y ＝﹣x 3（x ∈[﹣1，1]）为闭函数；（3）易知y k =0，+∞）上的增函数，符合条件①；设函数符合条件②的区间为[a ，b ]，则有a k b k ⎧=+⎪⎨=⎪⎩故a ，b是x k =22(21)00x k x k x x k ⎧-++=⎪⎨⎪⎩有两个不等非负实根；设x 1，x 2为方程x 2﹣（2k +1）x +k 2＝0的二根，则2212212(21)4021000k k x x k x x k k ⎧∆=+->⎪+=+>⎪⎨=⎪⎪<⎩，解得：104-<<k ∴k 的取值范围：1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查新定义，考查导数知识的运用，解题的关键是理解新定义，并利用新定义求参数的值，属于中档题． 26．（1）48；（2）24log 3【分析】（1）根据指数运算法则求解，（2）作辅助线，将所求三角形面积转化为一个大直角三角形面积减去一个小直角三角形面积以及一个直角梯形面积，利用坐标表示面积，最后根据二次函数性质求最值. 【详解】（1）()()()123312123222224x x x x x x f x x x m m m ++++===++，∴ 当2m =时，()12348f x x x ++=；(2)过C 作直线l 垂直于x 轴，分别过,A B 作11,AA BB 垂直于直线l ，垂足分别为11,A B ，则1111ABC AAC BB C AA B B S S S S ∆∆∆=--梯形 ()()()31323231111422222x x x x x x x x =-⨯--⨯--+-⨯ ()()()()21322222log 2log log 4x x x m m m =-+=+-++()2222224log log 144m m m m m +⎛⎫==+ ⎪++⎝⎭即S 关于m 的函数为：()224log 14S m m m ⎛⎫=+⎪+⎝⎭，[)2,m ∈+∞令24v m m =+，因为24v m m =+在[)2,+∞上是增函数，∴12v ≥ 再令41t v =+，则41t v =+在[)12,+∞上是减函数，∴413t <≤； 而2log S t =在区间41,3⎛⎤ ⎥⎝⎦上是增函数，所以，函数()224log 14S m m m ⎛⎫=+⎪+⎝⎭在区间[)2,+∞上是减函数，故当2m =时，()()2max 42log 3S m S ==．【点睛】本题考查指数函数、对数函数以及二次函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.。
北师大版高中数学必修一第四单元《函数应用》测试卷(有答案解析)(2)
一、选择题1．已知函数()102xx f x =+-的零点为a ，()()lg 13g x x x =-+-的零点为b ，则a b +=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知函数()24xf x =-，()()()1g x a x a x a =-++同时满足：①x ∀∈R ，都有()0f x <或()0g x <，②(],1x ∃∈-∞-，()()0f x g x <，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(-3，0) B ．13,2⎛⎫--⎪⎝⎭C ．(-3，-1)D ．(-3，-1]3．已知函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且其图像关于直线1x =对称，若()0f x =在[0,1] 内有且只有一个根12x =，则()0f x =在区间[0,2017] 内根的个数为（ ） A ．1006B ．1007C ．2016D ．20174．设,m n R ∈，定义在区间[],m n 上的函数()()2log 4f x x =-的值域是[]0,2，若关于t 的方程||1102t m ⎛⎫++= ⎪⎝⎭()t R ∈有实数解，则m n +的取值范围是（ ）A ．[]0,3B ．(]3,2--C ．[]3,1--D ．[)1,25．已知函数24,?0()7,?0x f x xx x x ⎧<⎪=⎨⎪-≥⎩，()()g x f x x a =+-，若()g x 存在两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．(﹣4，0] B ．(-∞，﹣9) C ．(-∞，﹣9)(﹣4，0]D ．(﹣9，0]6．已知函数21,1()1,1x x x f x x x⎧-+<⎪=⎨⎪⎩，若函数()y f x a =-有三个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．3[4，1]B ．3(4，1)C ．(0,1)D ．3(4，)+∞7．已知函数1,0(),0x x m f x e x -⎧=⎪=⎨⎪≠⎩，关于x 的方程23()(23)()20mf x m f x -++=有以下结论：①存在实数m ，使方程有2个解；②当方程有3个解时，这3个解的和为0；③不存在实数m ，使方程有4个解；④当方程有5个解时，实数m 的取值范围是331,,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．其中正确结论的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．具有性质：1()()f f x x=-的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数.给出下列函数：①1ln 1x y x -=+；②2211x y x -=+；③,01,{0,1,1, 1.x x y x x x<<==->其中满足“倒负”变换的函数是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①9．若函数()af x x x=+(a ∈R)在区间(1，2)上有零点，则a 的值可能是( ) A ．－2 B ．0 C ．1 D ．310．若直角坐标平面内的两点P 、Q 满足条件：①P 、Q 都在函数()y f x =的图象上；②P 、Q 关于原点对称，则称点对[]P Q 、是函数()y f x =的一对“友好点对”（点对[]P Q 、与[]Q P 、看作同一对“友好点对”）．已知函数22(0)()2(0)x x f x x x x ⎧≤=⎨->⎩，则此函数的“友好点对”有（ ） A ．4对 B ．3对 C ．2对 D ．1对11．函数121()()2x f x x =-的零点个数为 （ ） A ．0B ．1C ．2D ．312．已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx xk =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（ ） A ．1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,(0,22)2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭C ．(,0)(0,22)-∞D ．(,0)(22,)-∞+∞二、填空题13．函数()e |ln |2x f x x =-的零点个数为______________.14．已知函数()2log ,02 sin ,2104x x f x x x π⎧<<⎪=⎨⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若1234x x x x <<<且()()()()1234f x f x f x f x ===，则()()341222x x x x --的取值范围为____________.15．已知f (x )＝23,123,1x x x x x +≤⎧⎨-++>⎩，则函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数为________．16．若方程22(1)10kx k x k +-+-=(0)k >的两根为12,x x ，且110x -<<，201x <<，则实数k 的取值范围是__________.17．已知函数211x y x -=+的图像与函数2y kx =+的图像恰有两个交点，则实数k 的取值范围是______.18．已知函数()2f x x ax b =++的两个零点为1x ，2x ，且满足1202x x <<<，记()()f x x R ∈的最小值为m ，则m 的取值范围是______.19．对于实数a b ，，定义运算“*”：22*a ab a ba b b ab a b ⎧-≤=⎨->⎩，，，设()()2*1f x x x =+，且关于x 的方程()()f x m m R =∈恰有三个互不相等的实数根，则m 的取值范围是________. 20．函数13()3log 1xf x x =-的零点个数为______三、解答题21．2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生产生活造成严重影响．为降低疫情影响，某厂家拟尽快加大力度促进生产．已知该厂家生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产x 千件，需另投入成本为()C x ，当年产量不足80千件时，21()202C x x x =+万元）．当年产量不小于80千件时，10000()51600C x x x=+-（万元）．每千件商品售价为50万元．通过市场分析，该厂生产的产品能全部售完． （1）写出年利率()L x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式； （2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 22．有A 、B 两城相距120km ，某天然气公司计划修建一条管道为两城供气，并在两城之间设立供气站点D （如图），为保证城市安全，规定站点D 距两城市的距离均不得少于15km ．又已知A 城一边有段10km 长的旧管道AC ，准备改造利用，改造费用为5万元//km ，其余地段都要新建，新建的费用（含站点D ）与站点D 到A 、B 两城方向上新修建的长度的平方和成正比．．．．．．．．．，并且当站点D 距A 城距离为40km 时，新建的费用为1825万元．设站点D 距A 城的距离为km x ，A ，B 两城之间天然气管道的建设总费用为y 万元．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出其定义域；（2）天然气站点D 距A 城多远时，建设总费用最小？最小总费用多少？23．某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目，经测算该项目月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可以近似地表示为：[)[)3221805040,120,1443120080000,144,5002x x x x y x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪-+∈⎪⎩，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元.（1）当[]200,300x ∈时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润：如果不获利，则月处理量x 为多少吨时可使亏损量最小？（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？24．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情知，从二月一日起的300天内，西红柿市场销售价与上市时间的关系用图①的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图②的抛物线段表示．（Ⅰ）写出图①表示的市场售价与时间的函数关系式()f t ；写出图②表示的种植成本与时间的函数关系式()g t ；（Ⅱ）若记市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/100kg ，时间单位：天）．25．科学家发现一种可与污染液体发生化学反应的药剂，实验表明每投a (14a ≤≤且a R ∈)个单位的药剂，它在水中释放的浓度y (克/升)随着时间x （小时)化的函数关系式近似为()y a f x =⋅，其中()161,04815,4102x xf x x x ⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪-<≤⎪⎩，若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验，当水中药剂的浓度不低于4(克/升)时，它才能起到有效治污的作用.（1）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间能持续多久？（2）若第一次投放2个单位的药剂，6小时后再投放1个单位的药剂，则在接下来的4小时内，什么时刻，水中药剂的浓度达到最小值？最小值为多少？26．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足，当(,0)x ∈-∞时，1()1f x x x=++． （1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()()224g x f x x x =+-，证明：函数()g x 的图像在区间1,内与x 轴恰有一个交点．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】设()()1lg 2h x g x x x =+=+-，可知函数()h x 的零点为1b -，令()0f x =，可得出102x x =-，令()0h x =可得出lg 2x x =-，在同一平面直角坐标系中作出函数10x y =、lg y x =、y x =、2y x =-的图象，利用函数10x y =、lg y x =的图象关于直线y x =的对称，并求出直线y x =、2y x =-的交点坐标，进而可求得+a b 的值. 【详解】设()()1lg 2h x g x x x =+=+-，由于函数()()lg 13g x x x =-+-的零点为b ，则函数()h x 的零点为1b -.令()0f x =，可得102x x =-，令()0h x =，可得出lg 2x x =-，在同一平面直角坐标系中作出函数10xy =、lg y x =、y x =、2y x =-的图象，如下图所示：由于函数10xy =、lg y x =的图象关于直线y x =的对称，直线2y x =-与直线y x =垂直，设直线2y x =-与函数10xy =的交点为点A ，直线2y x =-与函数lg y x =的图象的交点为点B ，易知点A 、B 关于直线y x =对称，直线2y x =-与直线y x =的交点为点()1,1C ，且C 为线段AB 的中点，所以12a b +-=，因此，3a b +=. 故选：C. 【点睛】易错点点睛：本题考查函数零点之和，解题的关键在于利用函数10x y =、lg y x =互为反函数，这两个函数的图象关于直线y x =对称，结合对称性来求解.2．C解析：C 【分析】先判断当2x <时()0f x <，当2x ≥时()0f x ≥，问题转化为当2x ≥时，()0g x <恒成立且当1x ≤-时，()0g x >有解，分类讨论列出不等式可解出a 的范围． 【详解】∵()24xf x =-，∴当2x <时()0f x <，当2x ≥时()0f x ≥.因为x ∀∈R ，都有()0f x <或()0g x <且 (],1x ∃∈-∞-，()()0f x g x < 所以函数()g x 需满足:①当2x ≥时，()0g x <恒成立； ②当1x ≤-时，()0g x >有解.（1）当0a ≥时，显然()g x 不满足条件①；（2）当0a <时，方程()0g x =的两根为1x a =，21x a =--， ∵0a <，∴11a -->-，∴112a a <-⎧⎨--<⎩，解得31a -<<-. 故选：C . 【点睛】转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将问题转化为当2x ≥时，()0g x <恒成立且当1x ≤-时，()0g x >有解是解题的关键.3．D解析：D 【分析】由(2)()f x f x +=，以及()(2)f x f x -=+，进而推出()f x 为偶函数，且()f x 是周期等于2的周期函数，根据1()02f =，求出3()02f =，从而得到函数()f x 在一个周期的零点个数，且函数()f x 在每两个整数之间都有一个零点，从而得到()0f x =在区间[0，2017]内根的个数．【详解】解：函数()f x 满足(2)()f x f x +=， 故函数()f x 是周期等于2的周期函数，其图象关于直线1x =对称，可得()(2)f x f x -=+， 即有()()f x f x -=，1()02f =， 1()02f ∴-=，再由周期性得13(2)()022f f -+==， 故函数()f x 在一个周期[0，2]上有2个零点， 即函数()f x 在每两个整数之间都有一个零点， ()0f x ∴=在区间[0，2017]内根的个数为2017．故选：D ． 【点睛】利用函数的奇偶性与周期性相结合，求出函数在指定区间的零点个数，求解的关键在于周期性的应用.4．D解析：D 【分析】首先利用函数值域确定自变量范围，再初步确定m ，n 的关系，然后结合指数函数的性质整理计算即可求得最终结果． 【详解】函数2()log (4||)f x x =-的值域是[0，2]，14||4x ∴-， 0||3x ∴，3m ∴=-，03n ，或30m -，3n =；又关于t 的方程||1()10()2t m t R ++=∈ 有实数解，∴||1()12t m =--有解，||11()122t <+，21m ∴-<-，则3n =， 则12m n +<， 故选：D 【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解5．C解析：C 【分析】令()()0g x f x x a =+-=，将()g x 存在两个零点，转化为两函数24,?0,6,?0x x y a y x x x x ⎧+<⎪==⎨⎪-≥⎩有两个交点，在同一坐标系中，作出两个函数的图象，利用数形结合法求解. 【详解】令()()0g x f x x a =+-=，得24,?06,?0x x a x x x x ⎧+<⎪=⎨⎪-≥⎩，令24,?0,6,?0x x y a y x x x x ⎧+<⎪==⎨⎪-≥⎩，在同一坐标系中，作出两个函数的图象，如图所示：因为()g x存在两个零点，由图象可得：a<﹣9或﹣4<a≤0，故选：C【点睛】方法点睛：函数零点问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．6．B解析：B【分析】画出函数21,1 ()1,1x x xf xxx⎧-+<⎪=⎨⎪⎩的图象，函数()y f x a=-有三个零点等价于()y f x=与y a=的图象有3个不同交点，数形结合得答案.【详解】作出函数21,1()1,1x x xf xxx⎧-+<⎪=⎨⎪⎩的图象如图，函数()y f x a=-有三个零点，即()y f x=与y a=的图象有3个不同交点，由图可知，实数a的取值范围为3(4，1).故选：B. 【点睛】方法点睛：由零点求参数范围：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．7．C解析：C 【分析】将方程的解的个数转化为函数()y f x =的图象与直线23y =和1y m=的交点总数，数形结合即可得解. 【详解】由题意，23()(23)()20[3()2][()1]0mf x m f x f x mf x -++=⇒--=， 解得2()3f x =或1()f x m=， 则方程解的个数即为函数()y f x =的图象与直线23y =和1y m=的交点总数， 作出函数()f x 的图象，如图，由()f x 的图象可知，2()3f x =有两个非零解， 由1(0)f m =得1()f x m=至少有一个解0，故①错； 当方程有3个解时，10m <或11m ≥或123m =，由函数的对称性可得这3个解的和为0， 故②对；不存在实数m ，使方程有4个解，故③对； 当方程有5个解时，则函数()y f x =的图象与直线23y =和1y m=共有五个交点，所以直线1y m=与函数()y f x =的图象有三个交点， 数形结合可得101123mm ⎧<<⎪⎪⎨⎪≠⎪⎩，解得331,,22m ⎛⎫⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故④对.故正确结论有3个. 故选：C ． 【点睛】方法点睛：解决函数零点(方程的根)的问题常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.8．C解析：C 【解析】①1ln 1x y x -=+；1111()ln ln ()111x x f f x x x x--==≠-++所以不符合题意；②2211x y x -=+；22221111()()111x x f f x x x x --===-++所以符合题意；③,01,{0,1,1, 1.x x y x x x<<==->当01x <<时11x >，故1()()f x f x x =-=-，当1,x =时11x =显然满足题意，当1x >时，101x <<，故11()()f f x x x==-符合题意，综合得选C 点睛：新定义倒负函数，根据题意逐一验证()1f f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭是否成立，在计算中要注意对数的公式得灵活变幻，对于分段函数要注意逐段去讨论9．A解析：A 【分析】利用零点存在性定理逐个选项代入验证，即可得到答案. 【详解】 函数()af x x x=+()a R ∈的图象在()12，上是连续不断的，逐个选项代入验证，当2a ＝－时，()()112022110f f ＝－＜，＝－＝＞，.故()f x 在区间()12，上有零点，同理，其他选项不符合， 故选A. 【点睛】本题考查了函数的零点与方程的根的应用，属于基础题．10．C解析：C 【分析】由题意，设点(,)P x y ，则Q 的坐标为(,)x y --，结合22(0)()2(0)x x f x x x x ⎧≤=⎨->⎩，转化为此函数的“友好点对”的个数即方程222x x x --=-在0x >时的解的个数，从而作图解答 【详解】解：由题意，设点(,)P x y ，则Q 的坐标为(,)x y --，因为22(0)()2(0)x x f x x x x ⎧≤=⎨->⎩，所以此函数的“友好点对”的个数即方程222x x x --=-在0x >时的解的个数， 作2x y -=-与22y x x =-的图像如图所示，两函数图像有两个交点，所以此函数的“友好点对”有2对 故选：C 【点睛】此题考查学生对新定义的理解能力及作图能力，属于中档题11．B解析：B 【解析】 函数()12(12)f x xx =-的零点，即令()0f x =，根据此题可得12(12)xx=，在平面直角坐标系中分别画出幂函数12y x=和指数函数(12)y x=的图像，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选B【考点定位】本小题表面上考查的是零点问题，实质上考查的是函数图象问题，该题涉及到的图像为幂函数和指数函数12．D解析：D 【分析】由(0)0g =，结合已知，将问题转化为|2|y kx =-与()()||f x h x x =有3个不同交点，分0,0,0k k k =<>三种情况，数形结合讨论即可得到答案.【详解】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根 即可， 令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点. 因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩， 当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有1个不同交点，不满足题意； 当0k <时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意； 当0k >时，如图3，当2y kx =-与2yx 相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得22k =（负值舍去），所以22k >. 综上，k 的取值范围为(,0)(22,)-∞+∞.故选：D.【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.二、填空题13．2【分析】令可得可将函数的零点可以转化为：函数和的图象的交点问题进而画出函数的图象可得出答案【详解】令可得所以函数的零点可以转化为：函数和的图象的交点问题函数和的图象如下图所示：根据图象可得有两个交解析：2 【分析】令()e |ln |20xf x x =-=，可得2ln ex x =，可将函数()f x 的零点可以转化为：函数ln y x =和2ex y =的图象的交点问题，进而画出函数的图象，可得出答案. 【详解】令()e |ln |20xf x x =-=，可得2ln ex x =， 所以函数()f x 的零点可以转化为：函数ln y x =和2ex y =的图象的交点问题. 函数ln y x =和2e xy =的图象，如下图所示：根据图象可得有两个交点，故原函数有两个零点. 故答案为：2. 【点睛】方法点睛：本题考查求函数零点的个数（方程解的个数）问题.常用的方法：（1）直接解方程()0f x =，求出方程的解的个数，也就是函数()y f x =的零点个数； （2）作出函数()y f x =的图象，其图象与x 轴交点的个数就是函数()y f x =的零点的个数；（3）化函数零点个数问题为方程()()=g x h x 的解的个数问题，在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，两函数图象的交点个数就是函数()y f x =的零点的个数.14．【分析】根据解析式画出函数图象去绝对值并结合对数的运算性质求得根据正弦函数的对称性求得将化为结合二次函数的性质即可得出结果【详解】函数画出函数图象如下图所示:由函数图象可知若则因为与关于对称则且去绝 解析：()0,12【分析】根据解析式,画出函数图象.去绝对值并结合对数的运算性质求得12x x ⋅，根据正弦函数的对称性求得34x x +，将()()341222x x x x --化为2441220x x -+-，结合二次函数的性质，即可得出结果. 【详解】函数()2log ,02sin ,2104x x f x x x π⎧<<⎪=⎨⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，画出函数图象如下图所示:由函数图象可知，若()()()()1234f x f x f x f x k ====，则()0,1k ∈， 因为1234x x x x <<<，3x 与4x 关于6x =对称， 则2122log log x x =，3412x x +=，且4810x <<， 去绝对值化简可得2122log log x x -=，即2122log log 0x x +=，由对数运算可得()212log 0x x ⋅= 所以121x x ⋅=，则()()()3434343412222420x x x xx x x x x x --=-=++-()23444442012201220x x x x x x =-=--=-+-，令21220y x x =-+-，()8,10x ∈，因为21220y x x =-+-是开口向下，对称轴为6x =的二次函数， 所以21220y x x =-+-在()8,10x ∈上单调递减，所以10012020649620y -+-<<-+-， 即012y <<； 即()()()34244122212200,12x x x xx x --=-+-∈故答案为: ()0,12.【点睛】本题考查了分段函数的性质及应用，涉及求二次函数的最值，根据数形结合的方法求解即可，属于中档题.15．2【详解】把函数的零点个数转化为方程解的个数转化为两个函数图象与象交点的个数在同一坐标系中画出这两个函数的图象由图象可知函数g(x)＝f(x)－ex 的零点个数为2解析：2 【详解】 把函数的零点个数转化为方程解的个数转化为两个函数图象与象交点的个数，在同一坐标系中画出这两个函数的图象，由图象可知，函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数为2.16．【分析】将方程的根转化为函数零点问题再利用零点存在性定理求解【详解】由题知方程的两根为且故设则有故答案为:【点睛】本题考查二次函数根的分布问题需要学生熟悉二次函数的图像性质解决此类问题时常结合零点存解析：3(,1)4【分析】将方程的根转化为函数零点问题,再利用零点存在性定理求解. 【详解】由题知方程22(1)10kx k x k +-+-=(0)k >的两根为12,x x ,且110x -<<,201x <<,故设()f x =22(1)1kx k x k +-+-,(0)k >则有(1)2210103(0)10114(1)221034f k k k f k k k f k k k k ⎧⎪-=-++->>⎧⎪⎪=-<⇒<⇒<<⎨⎨⎪⎪=+-+->⎩⎪>⎩, 故答案为:3(,1)4. 【点睛】本题考查二次函数根的分布问题,需要学生熟悉二次函数的图像性质,解决此类问题时常结合零点存在性定理解决.17．且【分析】先化简函数再由过定点（02）在同一坐标系中作出两个函数的图象利用数形结合法求解【详解】在同一坐标系中作出两个函数的图象如图所示:因为函数的图像与函数的图像恰有两个交点所以且故答案为：且【点解析：04k <≤ 且1k ≠【分析】 先化简函数()211,1111,11x x x x f x x x x --≥<-⎧==⎨+--<<⎩或，再由()2g x kx =+过定点（0,2），在同一坐标系中作出两个函数的图象，利用数形结合法求解. 【详解】()211,1111,11x x x x f x x x x --≥<-⎧==⎨+--<<⎩或，()2g x kx =+， 在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图所示:因为函数211x y x -=+的图像与函数2y kx =+的图像恰有两个交点，所以04k <≤ 且1k ≠，故答案为：04k <≤ 且1k ≠，【点睛】本题主要考查函数的零点与方程的根，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.18．【分析】根据二次方程根的分布得出满足的关系在坐标系中作出这个关系式表示的平面区域求出的最小值平移根据这个目标函数对应的曲线可得其取值范围【详解】由题意即在直角坐标系中作出此不等式组表示的平面区域如图 解析：()1,0-【分析】根据二次方程根的分布得出,a b 满足的关系，在坐标系O ab -中作出这个关系式表示的平面区域，求出()f x 的最小值，平移根据这个目标函数对应的曲线可得其取值范围． 【详解】由题意240(0)0(2)420 022a bfbf a ba⎧->⎪=>⎪⎪⎨=++>⎪⎪<-<⎪⎩，即24040420a bbaa b⎧->⎪>⎪⎨-<<⎪⎪++>⎩，在直角坐标系O ab-中作出此不等式组表示的平面区域，如图阴影部分（不含边界），()f x的最小值为24az b=-，作出曲线24ab-=，它正好是图象阴影部分的一个曲边边界，把这个曲线向下平移，24az b=-在减小，当它在阴影部分边界时，0z=，当它过点(2,0)-时，1z=-，所以(1,0)z∈-．故答案为：(1,0)-．【点睛】本题考查二次方程根的分布，考查非线性平面区域的非线性规划问题（仿照简单的线性规划处理方法），解题时根据二次方程根的分布求出条件，再求出最小值的表达式，然后仿照简单的线性规划问题求解，考查了学生的创新意识．19．【分析】根据对运算的定义将写成分段函数画出该函数的图像将问题转化为直线与函数的图像有3个交点求参数的范围问题【详解】根据题意在直角坐标系中画出该函数的图像如下所示：由图可知当时由最小值故数形结合可知解析：1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】根据对运算的定义，将()f x写成分段函数，画出该函数的图像，将问题转化为直线y m =与函数()f x 的图像有3个交点求参数的范围问题.【详解】根据题意()()221,11,1x x x f x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩在直角坐标系中画出该函数的图像如下所示：由图可知，当()0,1x ∈时，由最小值1122f ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 故数形结合可知，当1,02m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，直线y m =与函数()f x 的图像有3个交点，即()()f x m m R =∈恰有三个互不相等的实数根. 故答案为：1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查由函数的零点个数求参数的取值范围，本题中采用数形结合的方法，将问题转化为函数图像交点的问题进行处理.20．2【分析】化简得到画出函数图像根据图像得到答案【详解】取则即画出函数图像如图所示：根据图像知有两个交点故函数有两个零点故答案为：【点睛】本题考查了函数零点问题画出函数图像是解题的关键解析：2 【分析】化简得到131log =3xx ⎛⎫⎪⎝⎭，画出函数图像，根据图像得到答案.【详解】取13()3log 1=0x f x x =-，则133log =1xx ，即131log =3xx ⎛⎫ ⎪⎝⎭，画出函数图像，如图所示：根据图像知有两个交点，故函数有两个零点. 故答案为：2.【点睛】本题考查了函数零点问题，画出函数图像是解题的关键.三、解答题21．（1）2130200,0802()10000400,80x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）30千件；250万元．【分析】（1）可得销售额为0.051000x ⨯万元，分080x <<和80x ≥即可求出；（2）当080x <<时，利用二次函数性质求出最大值，当80x ≥，利用基本不等式求出最值，再比较即可得出. 【详解】（1）∵每千件商品售价为50万元．则x 千件商品销售额50x 万元 当080x <<时，2211()50202003020022L x x x x x x ⎛⎫=-+-=-+-⎪⎝⎭当80x 时，1000010000()5051600200400L x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2130200,0802()10000400,80x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪∴=⎨⎛⎫⎪-+ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当080x <<时，21()(30)2502L x x =--+ 此时，当30x =时，即()(30)250L x L =万元当80x 时，1000010000()4004002L x x x x x⎛⎫=-+≤-⋅ ⎪⎝⎭400200200=-=此时10000x x=，即100x =，则()(100)200L x L =万元 由于250200>所以当年产量为30千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为250万元． 【点睛】关键点睛：本题考查函数模型的应用，解题的关键是理解清楚题意，正确的建立函数关系，再求最值时，需要利用函数性质分段讨论比较得出.22．（1）y 21(1307350)2x x =-+，定义域为[15,105]（2）天然气站点D 距A 城65km 时，建设总费用最小,最小总费用为1562.5万元. 【分析】（1）根据站点D 距两城市的距离均不得少于15km ．可求得15105x ≤≤，设22[(10)(120)]510y k x x =-+-+⨯，根据当40x =时，1825501875y =+=，求出k ，从而可得y 与x 之间的函数关系式； （2）根据二次函数知识可求得最值. 【详解】（1）因为站点D 距两城市的距离均不得少于15km ．所以1512015x x ≥⎧⎨-≥⎩，解得15105x ≤≤，设22[(10)(120)]510y k x x =-+-+⨯，15105x ≤≤，当40x =时，1825501875y =+=，所以22(3080)501875k ++=，解得14k =， 所以221[(10)(120)]5104y x x =-+-+⨯21(1307350)2x x =-+，15105x ≤≤. （2）y 21(1307350)2x x =-+21(65)1562.52x =-+， 所以当65x =时，min 1562.5y =万元.所以当天然气站点D 距A 城65km 时，建设总费用最小,最小总费用为1562.5万元. 【点睛】关键点点睛：理解题意，建立正确的数学模型是解决函数应用题的关键.23．（1）不能获利，当月处理量为300吨时可使亏损最小；（2）每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低. 【分析】（1）设项目获利为S ，根据二次函数知识可知，当[]200,300x ∈时，0S <，因此，该项目不会获利：当300x =时，S 取得最大值-5000；（2）根据题意可知，[)[)21805040,120,1443180000200,144,5002x x x y x x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪+-∈⎪⎩，分段求出最小值，比较可得答案. 【详解】（1）当[]200,300x ∈时，该项目获利为S ，则()2221112002008000040080000400222S x x x x x x ⎛⎫=--+=-+-=-- ⎪⎝⎭，当[]200,300x ∈时，0S <，因此，该项目不会获利：当300x =时，S 取得最大值-5000，故当月处理量为300吨时可使亏损最小，为5000元；（2）由题意知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：[)[)21805040,120,1443180000200,144,5002x x x y x x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪+-∈⎪⎩当[)120,144x ∈时，()211202403y x x =-+，所以当120x =时，y x 取得最小值240，当[)144,500x ∈时，1800002002002002y x x x =+-≥=， 当且仅当1800002x x =时等号成立，即400x =时，yx取得最小值200， ∵200240∴每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 24．（Ⅰ）300,0200()2300,200300t t f t t t -≤≤⎧=⎨-<≤⎩，()21()150100,0300200g t t t =-+≤≤；（Ⅱ）从二月一日开始的第50天上市的西红柿收益最大. 【分析】（Ⅰ）根据图①的图象可知：是由一次函数构成的分段函数由点()()()0,300,200,100,300,300写出函数解析式；根据图②的图象是二次函数；由顶点()150,100和过点()250,150，写出函数解析式；（Ⅱ）设纯收益为h ，市场售价减去种植成本为纯收益，得到()()2211175+,020020022171025+,20030020022t t t h f t g t t t t ⎧-+≤≤⎪⎪=-=⎨⎪--<≤⎪⎩求解.【详解】（Ⅰ）当0200t ≤≤时，设()111()0f t k t b k =+≠，则111300200100b k b =⎧⎨+=⎩，解得113001b k =⎧⎨=-⎩，所以()300f t t =-.当200300t <≤时，设()222()0f t k t b k =+≠，则2222300300200100k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得223002b k =-⎧⎨=⎩，所以()2300f t t =-.综上市场售价与时间的函数关系式300,0200()2300,200300t t f t t t -≤≤⎧=⎨-<≤⎩；设()2()150100g t a t =-+，则()2150250150100a =-+，解得1200a =， 所以种植成本与时间的函数关系式()21()150100,0300200g t t t =-+≤≤； （Ⅱ）设纯收益为h ，因为 若记市场售价减去种植成本为纯收益，所以()()2211175+,020020022171025+,20030020022t t t h f t g t t t t ⎧-+≤≤⎪⎪=-=⎨⎪--<≤⎪⎩，当0200t ≤≤时，()22111751+50+10020022200h t t t =-+=--， 所以当50t =时，纯收益h 取得最大值100； 当200300t <≤时，()221710251+350+10020022200h t t t =-+=-- 当300t =时，纯收益h 取得最大值87.5， 因为10087.5>，所以当50t =即从二月一日开始的第50天上市的西红柿收益最大. 【点睛】结论点睛：函数模型的应用一般分为三类：（1）已知函数的图象，可根据图象得到函数类型利用待定系数法建立模型； （2）已知函数有关数表，可根据数据分析函数类型利用待定系数法建立模型； （3）已知函数模型的定义，可根据其定义建立模型. 25．（1）8小时；（2）10小时时浓度达到最小值3 【分析】（1）根据题意列出不等式()44f x ≥，求解出不等式解集，即可得到有效治污的持续时间；（2）根据条件求解出药剂在水中释放的浓度y 的解析式，然后利用基本不等式求解出对应的最小值，并计算出取最小值时对应的时间. 【详解】（1）因为()644,0448202,410x y f x x x x ⎧-≤≤⎪==-⎨⎪-<≤⎩，当04x ≤≤时，令64448x-≥-，解得04x ≤≤， 当410x <≤时，令2024x -≥，解得48x <≤， 所以有效治污时间能持续8小时；（2）设在第x 个小时达到最小值，则610x ≤≤，所以()116162511928614y x x x x ⎡⎤⎛⎫=-+⋅-=-+⎢⎥ ⎪---⎝⎭⎣⎦， 所以()161455314y x x =-+-≥=-， 取等号时161414x x-=-，即10x =， 所以10小时的时候浓度达到最小值，最小值为3. 【点睛】易错点睛：实际问题中求解函数解析式以及采用基本不等式求最值需要注意的事项： （1）函数应用类型的问题，写函数解析式时一定要注意函数的定义域不能丢； （2）利用基本不等式求解最值的时候，注意“一正、二定、三相等”，缺一不可.26．（1）()11,00,011,0x x x f x x x x x ⎧++<⎪⎪==⎨⎪⎪+->⎩；（2）证明见解析.【分析】（1）当(0,)x ∈+∞时，(,0)x -∈-∞，利用()()f x f x =-- 求当(0,)x ∈+∞时的解析式，结合(0)(0)f f =-即可得答案；。
2022新教材高中数学第四章对数运算与对数函数章末检测含解析北师大版必修第一册
对数运算与对数函数(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．计算：log 225·log 522＝( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选A log 225·log 522＝lg 25lg 2·lg 812lg 5＝3，故选A.2．函数f (x )＝log a |x |＋1(0＜a ＜1)的图象大致为( )解析：选A 由函数f (x )的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y 轴对称．设g (x )＝log a |x |，先画出x >0时，g (x )的图象，然后根据g (x )的图象关于y 轴对称画出x <0时g (x )的图象，最后由函数g (x )的图象向上整体平移一个单位长度即得f (x )的图象，故选A.3．不等式log 2(x ＋1)<1的解集为( ) A ．{x |0<x <1} B ．{x |－1<x ≤0} C ．{x |－1<x <1}D ．{x |x >－1}解析：选C ∵log 2(x ＋1)<1，∴0<x ＋1<2，即－1<x <1.故选C. 4．函数f (x )＝|log 23x |的单调递增区间是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 B ．(0，1] C ．(0，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选D f (x )的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．5．已知函数f (x )＝ln(1＋4x 2－2x )－1，则f (lg 3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 13＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．－2解析：选D ∵f (－x )＝ln(1＋4x 2＋2x )－1＝ln11＋4x 2－2x－1＝－ln(1＋4x 2－2x )－1，∴f (－x )＋f (x )＝－2，∴f (lg 3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 13＝f (lg 3)＋f (－lg 3)＝－2.故选D. 6．若函数f (x )＝log a |x ＋1|在(－1，0)上有f (x )>0，则f (x )( ) A ．在(－∞，0)上是增函数 B ．在(－∞，0)上是减函数 C ．在(－∞，－1)上是增函数 D ．在(－∞，－1)上是减函数 解析：选C 当－1<x <0时，0<x ＋1<1. ∵log a |x ＋1|>0，∴0<a <1，∴函数f (x )＝log a |x ＋1|在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减． 7．设a ＝log 23，b ＝30.01，c ＝ln22，则( ) A ．c <a <b B ．a <b <c C ．a <c <bD ．b <a <c解析：选A 先与0比较，a ＝log 23>log 21＝0，b ＝30.01>0，c ＝ln22<ln 1＝0，得到c 最小；再与1比较，a ＝log 23<log 22＝1，b ＝30.01>30＝1，得到b 最大．综上，b >a >c .故选A.8．如果一个点是一个指数函数与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”．在下面的五个点M (1，1)，N (1，2)，P (2，1)，Q (2，2)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12中，可以是“好点”的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 设指数函数为y ＝a x(a >0，且a ≠1)，显然其图象不过点M ，P ；设对数函数为y ＝log b x (b >0，且b ≠1)，显然其图象不过点N .故选C.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．有以下四个结论，其中正确的有( ) A ．ln(lg 10)＝0 B ．lg(ln e 10)＝1 C ．若e ＝ln x ，则x ＝e 2D ．ln(lg 1)＝0解析：选AB ln(lg 10)＝ln 1＝0，lg(ln e 10)＝lg 10＝1，所以A 、B 均正确；C 中若e ＝ln x ，则x ＝e e，故C 错误；D 中lg 1＝0，而ln 0没意义，故D 错误．10．若a >b >0，0<c <1，则( ) A ．log c a <log c b B ．c a >c bC ．a c>b cD ．log c (a ＋b )>0解析：选AC 因为0<c <1，所以y ＝log c x 在定义域内为减函数，由a >b >0得log c a <log c b ，故A 正确；因为0<c <1，所以y ＝c x在定义域内为减函数，由a >b >0，得c a<c b，故B 错误；因为a >b >0，0<c <1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c>1，所以a c >b c，故C 正确；取c ＝12，a ＋b ＝2，则log c (a ＋b )＝log 122＝－1<0，故D 错误．11．函数f (x )＝log a |x －1|在(0，1)上是减函数，那么( ) A ．f (x )在(1，＋∞)上递增且无最大值 B ．f (x )在(1，＋∞)上递减且无最小值 C ．f (x )在定义域内是偶函数 D ．f (x )的图象关于直线x ＝1对称解析：选AD 由|x －1|＞0得，函数y ＝log a |x －1|的定义域为{x |x ≠1}．设g (x )＝|x－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ＞1，－x ＋1，x ＜1，则g (x )在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，且g (x )的图象关于x ＝1对称，所以f (x )的图象关于x ＝1对称，D 正确；因为函数f (x )在(0，1)上是减函数，所以a >1，所以f (x )＝log a |x －1|在(1，＋∞)上递增且无最大值，A 正确，B 错误；又f (－x )＝log a |－x －1|＝log a |x ＋1|≠f (x )，所以C 错误，故选A 、D. 12．已知函数f (x )＝lg(x 2＋ax －a －1)，给出下列论述，其中正确的是( ) A ．当a ＝0时，f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．f (x )一定有最小值C ．当a ＝0时，f (x )的值域为RD ．若f (x )在区间[2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是{a |a ≥－4}解析：选AC 对A ，当a ＝0时，解x 2－1>0有x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故A 正确；对B ，当a ＝0时，f (x )＝lg(x 2－1)，此时x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，x 2－1∈(0，＋∞)，此时f (x )＝lg(x 2－1)的值域为R ，故B 错误，C 正确；对D ，若f (x )在区间[2，＋∞)上单调递增，此时y ＝x 2＋ax －a －1对称轴x ＝－a2≤2.解得a ≥－4.但当a ＝－4时f (x )＝lg(x2－4x ＋3)在x ＝2处无意义，故D 错误．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知log b a >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＝__________，b ＝________．解析：因为log a b ＋log b a ＝52，所以1log b a ＋log b a ＝52，所以2(log b a )2－5log b a ＋2＝0，所以log b a ＝2或log b a ＝12(舍去)，所以a ＝b 2，代入a b ＝b a ，得b 2b ＝b b 2，所以2b ＝b 2，因为b ≠0，所以b ＝2，从而a ＝b 2＝4，故a ＝4，b ＝2.答案：4 214．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x <1，log 12x ，x ≥1，则f (0)＋f (2)等于________．解析：易得f (0)＋f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120－1＋log 122＝2＋(－1)＝1.答案：115．已知函数y ＝log a 1－xx ＋1(0<a <1)在区间(a ，1)上的值域是(1，＋∞)，则实数a 的值为________．解析：由题意，y ＝log a 1－xx ＋1在区间(a ，1)上是增函数．∵函数在区间(a ，1)上的值域是(1，＋∞)， ∴log a 1－a a ＋1＝1，∴1－a a ＋1＝a ，∴a 2＋2a －1＝0.∵0<a <1，∴a ＝2－1. 答案：2－116．里氏地震等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里克特制定的，它同震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关．震级M ＝23 lg E －3.2，其中E (焦耳)为地震时以地震波的形式释放出的能量．如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗原子弹释放的能量，那么里氏8.0级大地震所释放的能量相当于________颗原子弹的能量．解析：设里氏8.0级、6.0级地震释放的能量分别为E 2，E 1，则8－6＝23(lg E 2－lg E 1)，即lg E 2E 1＝3，∴E 2E 1＝103＝1 000.故里氏8.0级大地震所释放的能量相当于1 000颗原子弹的能量．答案：1 000四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)解答下列各题： (1)计算：lg 0.000 1；log 2164；log 3.12(log 1515)； (2)已知log 4x ＝－32，log 3(log 2y )＝1，求xy 的值．解：(1)因为10－4＝0.000 1， 所以lg 0.000 1＝－4.因为2－6＝164，所以log 2164＝－6.log 3.12(log 1515)＝log 3.121＝0.(2)因为log 4x ＝－32，所以x ＝4－32＝2－3＝18.因为log 3(log 2y )＝1，所以log 2y ＝3. 所以y ＝23＝8.所以xy ＝18×8＝1.18．(本小题满分12分)画出函数f (x )＝|log 6x |的图象，并求出其值域、单调区间以及在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤136，6上的最大值．解：因为f (x )＝|log 6x |＝⎩⎪⎨⎪⎧log 6x ，x ≥1，－log 6x ，0<x <1，所以在[1，＋∞)上f (x )的图象与y ＝log 6x 的图象相同，在(0，1)上的图象与y ＝log 6x 的图象关于x 轴对称，据此可画出其图象如图所示．由图象可知，函数f (x )的值域为[0，＋∞)，单调递增区间是[1，＋∞)，单调递减区间是(0，1)．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤136，6时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤136，1上单调递减，在(1，6]上单调递增．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫136＝2，f (6)＝1<2，故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤136，6上的最大值为2.19．(本小题满分12分)已知函数f (x －1)＝lg x2－x .(1)求函数f (x )的解析式；(2)解关于x 的不等式f (x )≥lg(3x ＋1)．解：(1)令t ＝x －1，则x ＝t ＋1.由题意知x2－x>0，即0<x <2，则－1<t <1.所以f (t )＝lg t ＋12－（t ＋1）＝lg t ＋11－t. 故f (x )＝lg x ＋11－x(－1<x <1)．(2)lg x ＋11－x ≥lg(3x ＋1)⇔x ＋11－x≥3x ＋1>0.由3x ＋1>0，得x >－13.因为－1<x <1，所以1－x >0. 由x ＋11－x≥3x ＋1，得x ＋1≥(3x ＋1)(1－x )， 即3x 2－x ≥0，解得x ≥13或x ≤0.又x >－13，－1<x <1，所以－13<x ≤0或13≤x <1.故不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－13，0∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )(a >0且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明．解：(1)要使函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1.故函数f (x )的定义域为(－1，1)． (2)f (x )为奇函数．证明如下：由(1)知f (x )的定义域为(－1，1)，定义域关于原点对称，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )，故f (x )为奇函数．21．(本小题满分12分)已知不等式log 2(x ＋1)≤log 2(7－2x )． (1)求不等式的解集A ；(2)若当x ∈A 时，不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －1－4⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋2≥m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x ＋1≤7－2x ，解得－1<x ≤2，因此，原不等式的解集A ＝(－1，2]．(2)令f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －1－4⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋2，x ∈(－1，2]，则原问题等价于f (x )min ≥m .∵f (x )＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2，令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，2， 则y ＝4t 2－4t ＋2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋1，当t ＝12，即x ＝1时，函数f (x )取得最小值，即f (x )min ＝1，∴m ≤1.因此，实数m 的取值范围是(－∞，1]．22．(本小题满分12分)某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现注意力指数p 与听课时间t 之间的关系满足如图所示的曲线．当t ∈(0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t ∈[14，45]时，曲线是函数y ＝log a (t －5)＋83(a >0且a ≠1)图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p 大于80时听课效果最佳．(1)试求p ＝f (t )的函数关系式；(2)老师在什么时段内讲解核心内容能使学生听课效果最佳？请说明理由．解：(1)由题意知，当t ∈(0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，抛物线顶点坐标为(12，82)，且曲线过点(14，81)，则可得f (t )＝－14(t －12)2＋82，t ∈(0，14]．又当t ∈[14，45]时，曲线是函数y ＝log a (t －5)＋83(a >0且a ≠1)图象的一部分，且曲线过点(14，81)，则易得a ＝13，则f (t )＝log 13(t －5)＋83，t ∈[14，45]．则p ＝f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－14（t －12）2＋82，t ∈（0，14]，log 13（t －5）＋83，t ∈（14，45].(2)由题意知，注意力指数p 大于80时听课效果最佳， 当t ∈(0，14]时，令f (t )＝－14(t －12)2＋82>80，解得12－22<t ≤14.当t ∈(14，45]时，令f (t )＝log 13(t －5)＋83>80，解得14<t <32.综上可得，12－22<t <32.故老师在(12－22，32)这一时间段内讲解核心内容，学生听课效果最佳．。
(易错题)高中数学必修一第四单元《函数应用》检测卷(有答案解析)(1)
一、选择题1．若函数2()f x x x a =--有四个零点，则关于x 的方程210ax x ++=的实根个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．不确定2．已知函数()()223,ln 1,x x x f x x x λλ⎧--≤⎪=⎨->⎪⎩，若()f x 恰有两个零点，则λ的取值范围是（ ） A ．[)[)1,23,-+∞ B ．[)[)1,23,+∞C ．[)()1,22,⋃+∞D ．[)1,+∞3．已知函数21,1()1,1x x x f x x x⎧-+<⎪=⎨⎪⎩，若函数()y f x a =-有三个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．3[4，1]B ．3(4，1)C ．(0,1)D ．3(4，)+∞4．已知关于x 的方程|2|1x m -=有两个不等实根，则实数m 的取值范围是( ) A ．(-∞，1]-B ．(,1)-∞-C ．[1，)+∞D ．(1,)+∞5．若直角坐标平面内A 、B 两点满足：①点A 、B 都在函数()f x 的图象上；②点A 、B 关于原点对称，则称点()A B ，是函数()f x 的一个“姊妹点对”.点对()A B ，与()B A ，可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数220()20xx x x f x x e⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的“姊妹点对”有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．若函数2()x f x x e a =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．24(,)e+∞ B ．24(0,)eC ．2(0,4)eD ．(0,)+∞7．对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x 满足()()00f x f x -=-，则称函数()f x 为“倒戈函数”．设()31xf x m =+-（m ∈R ，0m ≠）是定义在[]1,1-上的“倒戈函数”，则实数m 的取值范围是（ ） A ．2,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．21,33⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．(),0-∞8．已知方程2mx e x =在(]0,8上有两个不等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ）A ．1ln 2,84⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1ln 2,164⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3ln 22,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．122,4n e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭9．已知函数()()()222,0423,46x x x f x x -⎧--≤<⎪=⎨-≤≤⎪⎩,若存在12,x x ,当12046x x ≤<≤≤时,()()12f x f x =,则()12x f x ⋅的取值范围是（ ） A ．[)0,1B ．[]1,4C ．[]1,6D ．[][]0,13,810．统计学家克利夫兰对人体的眼睛详细研究后发现；我们的眼睛看到图形面积的大小与此图形实际面积的0.7次方成正比.例如：大图形是小图形的3倍，眼睛感觉到的只有0.73（约2.16）倍.观察某个国家地图，感觉全国面积约为某县面积的10倍，那么这国家的实际面积大约是该县面积的（lg 20.3010≈，lg30.4771=，lg70.8451≈）（ ） A ．l 8倍B ．21倍C ．24倍D ．27倍11．函数()211f x x x=-+的零点个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．312．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度为1θC ，空气的温度是0θC ，那么t 分钟后物体的温度θ（单位C ）可由公式：()010kt e θθθθ-=+-求得，其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有100℃的物体，放在20C 的空气中冷却，4分钟后物体的温度是60C ，则再经过（ ）分钟，物体的温度是40C （假设空气的温度保持不变）. A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题13．已知函数227,03()1108,333x x f x x x x ⎧-<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若()y f x =的图象与y m =的图象有A ，B ，C ，D 四个不同的交点，交点横坐标为1234,,,x x x x ，满足1234x x x x <<<，则()()341233222x x x x --++的取值范围是________14．已知函数2()log (2)f x x =+与2()()1g x x a =-+，若对任意的1[2,6)x ∈，都存在2[0,2]x ∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是______．15．若关于xx m =+有两个不同实数解，则m 的取值范围是______.16．对于函数sin ,[0,2]()1(2),(2,)2x x f x f x x π∈⎧⎪=⎨-∈+∞⎪⎩现有下列结论：①任取12[2,,)x x ∈+∞，都有()()121f x f x -≤； ②函数()y f x =在[]4,5上先增后减 ③函数()()ln 1y f x x =--有3个零点：④若关于x 的方程()()0f x m m =<有且只有两个不同的实根1x ，2x ，则123x x += 其中，正确结论的序号为_______________（写出所有正确命题的序号） 17．函数()11f x x =-，()g x kx = ，若方程()()f x g x =有3个不等的实数根，则实数k 的取值范围为________.18．若方程22(1)10kx k x k +-+-=(0)k >的两根为12,x x ，且110x -<<，201x <<，则实数k 的取值范围是__________.19．函数()()2121x x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，，，如果方程()f x b =有四个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x +++=______.20．若关于x 的方程2220x x m ---=有三个不相等的实数根，则实数m 的值为_______.三、解答题21．如图所示，河（阴影部分）的两岸分别有生活小区ABC 和DEF ，其中AB BC ⊥，EF DF ⊥，DF AB ⊥，C ，E ，F 三点共线，FD 与BA 的延长线交于点O ，测得3AB FE ==千米，74OD =千米，94DF =千米，32EC =千米，若以OA ，OD 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系xOy ，则河岸DE 可看成是函数1by x a=--（其中a ，b 是常数）图象的一部分，河岸AC 可看成是函数y kx m =+（其中k ，m 为常数）图象的一部分.（1）写出点A 和点C 的坐标，并求k ，m ，a ，b 的值.（2）现准备建一座桥MN ，其中M 在曲线段DE 上，N 在AC 上，且MN AC ⊥.记M 的横坐标为t .①写出桥MN 的长l 关于t 的函数关系式()l f t =，并标明定义域；（注：若点M 的坐标为0(,)t y ，则桥MN 的长l 可用公式021lk 计算）②当t 为何值时，l 取到最小值？最小值是多少？22．某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目.经测算，该项目月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可以近似地表示为：3221805040,[120,144)3120080000,[144,500)2x x x x y x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪--∈⎪⎩且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴.（1）当[200,300]x ∈时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润：如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？23．党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，发展混合所有制经济，培育具有全球竞争力的世界一流企业．这为我们深入推进公司改革发展指明了方向，提供了根本遵循．某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A 、B 两种产品，根据市场调查与市场预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图（1）；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）（1）分别求出A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？24．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点，研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数.当x 不超过4尾/立方米时，v 的值为2千克/年：当420x ≤≤时，v 是x 的一次函数，当x 达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v 的值为0千克/年.（1）当020x <≤时，求v 关于x 的函数解析式；（2）当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值.25．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25万元1600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y （单位：万元）随投资收益x （单位：万元）的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%．（即：设奖励方案函数模型为()y f x =时，则公司对函数模型的基本要求是:当[]25,1600x ∈时，①()f x 是增函数；②()75f x ≤恒成立；③()5xf x ≤恒成立．） （1）判断函数() 1030x f x =+是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；（2）已知函数()()51g x a =≥符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a 的取值范围．（参考结论：函数()()0af x x a x=+>的增区间为(,-∞、)+∞，减区间为()、(）26．对于定义域为D 的函数()f x ，若同时满足下列两个条件：①()f x 在D 上具有单调性；②存在区间[],a b D ⊆，使()f x 在区间,a b 上的值域也为,a b ，则称()f x 为D 上的“精彩函数”，区间,a b 为函数()f x 的“精彩区间”．（1）判断0,1是否为函数3y x =的“精彩区间”，并说明理由；（2）判断函数()()40f x x x x=+>是否为“精彩函数”，并说明理由；（3）若函数()g x m =是“精彩函数”，求实数m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由()0f x =可得出2x x a =-，将问题转化为曲线2yx 与曲线y x a =-有4个交点，数形结合可求得实数a 的取值范围，进而结合判别式可判断出方程210ax x ++=的实数根个数. 【详解】由()0f x =可得出2x x a =-，作出函数2yx 与函数y x a =-的图象如下图所示：,,x a x a y x a x a x a-≥⎧=-=⎨-+<⎩，若使得函数()2f x x x a =--有4个零点，则直线y x a =-与y x a =-+均与函数2y x 的图象有两个交点， 联立2y x a y x =-⎧⎨=⎩可得20x x a -+=，1140a ∆=->，解得14a <， 联立2y x a y x =-+⎧⎨=⎩可得20x x a +-=，2140a ∆=+>，解得14a >-， 当0a =时，则()()21f x x x xx =-=-，令()0f x =，可得0x =或1x =±，此时，函数()y f x =只有3个零点，不合乎题意. 综上所述，实数a 的取值范围是11,00,44⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 对于二次方程210ax x ++=，140a ∆=->， 因此，关于x 的二次方程210ax x ++=有两个实根. 故选：C. 【点睛】方法点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.2．A解析：A 【分析】分别求出函数223y x x =--和()ln 1y x =-的零点，然后作出函数223y x x =--与函数()ln 1y x =-的图象，结合函数()f x 恰有两个零点，可得出实数λ的取值范围. 【详解】解方程2230x x --=，解得11x =-，23x =，解方程()ln 10x -=，解得2x =.作出函数223y x x =--与函数()ln 1y x =-的图象如下图所示：要使得函数()()223,ln 1,x x x f x x x λλ⎧--≤⎪=⎨->⎪⎩恰有两个零点，则12λ-≤<或3λ≥.因此，实数λ的取值范围是[)[)1,23,-+∞.故选：A. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.3．B解析：B 【分析】画出函数21,1()1,1x x x f x x x⎧-+<⎪=⎨⎪⎩的图象，函数()y f x a =-有三个零点等价于()y f x =与y a =的图象有3个不同交点，数形结合得答案. 【详解】作出函数21,1()1,1x x x f x x x⎧-+<⎪=⎨⎪⎩的图象如图，函数()y f x a =-有三个零点，即()y f x =与y a =的图象有3个不同交点， 由图可知，实数a 的取值范围为3(4，1). 故选：B. 【点睛】方法点睛：由零点求参数范围：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．4．D解析：D 【分析】分离参数，再根据指数函数性质求出． 【详解】解：21x m -=或21x m -=-，即21x m =-，或者21x m =+， 当211x m =->-时，有一个解， 当211x m =+>时，有一个解，所以1m 时，方程|2|1x m -=有两个不等实根， 故选：D ． 【点睛】考查方程根的个数问题，利用了分类讨论法，分离参数法，属于中档题．5．C解析：C 【解析】根据题意可知，“姊妹点对”满足两点：都在函数图象上，且关于坐标原点对称． 可作出函数()220y x x x =+<的图象关于原点对称的图象，看它与函数()20x y x e=≥ 交点个数即可．如图所示：当1x =时，201xe << 观察图象可得：它们有2个交点． 故答案选C点睛：本题主要考查了函数的性质运用，理解题目中两点都在函数图象上，且关于原点对称的意思，结合函数图象即可得出结果6．B解析：B 【分析】求导函数，求出函数的极值，利用函数2()xf x x e a =-恰有三个零点，即可求实数a 的取值范围. 【详解】函数2xy x e =的导数为2'2(2)x x xy xe x e xe x =+=+， 令'0y =，则0x =或2-，20x -<<上单调递减，(,2),(0,)-∞-+∞上单调递增，所以0或2-是函数y 的极值点， 函数的极值为：224(0)0,(2)4f f ee -=-==， 函数2()xf x x e a =-恰有三个零点，则实数的取值范围是：24(0,)e . 故选B. 【点睛】该题考查的是有关结合函数零点个数，来确定参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意应用导数研究函数图象的走向，利用数形结合思想，转化为函数图象间交点个数的问题，难度不大.7．A解析：A 【分析】()31x f x m =+-是定义在[1,1]-上的“倒戈函数，即存在0[1,1]x ∈-,满足00()()f x f x -=-，即02332x x m -=--+有根，即可求出答案．【详解】()31x f x m =+-是定义在[1,1]-上的“倒戈函数，∴存在0[1,1]x ∈-满足00()()f x f x -=-，003131x x m m -∴+-=--+，002332x x m -∴=--+，构造函数00332x x y -=--+，0[1,1]x ∈-，令03x t =，1[,3]3t ∈，1122()y t t t t=--+=-+在1[,1]3单调递增，在(1,3]单调递减，所以1t =取得最大值0，13t =或3t =取得最小值43-，4[,0]3y ∴∈-，4203m ∴-<，032m ∴-<， 故选：A ． 【点睛】本题考查的知识点是指数函数的性质、函数的值域，新定义“倒戈函数”，正确理解新定义“倒戈函数”的含义，是解答的关键．8．C解析：C 【分析】由题意可得方程2mx e x =在(]0,8上有两个不等的实数根，设()(]ln ,0,8xf x x x=∈，求得函数的导数和单调性，可得极值和最值，画出()y f x =的图象，可得m 的不等式，即可求解. 【详解】由题意，方程2mx e x =在(]0,8上有两个不等的实数根， 即为2ln mx x =在(]0,8上有两个不等的实数根， 即1ln 2x m x=在(]0,8上有两个不等的实数根， 设()(]ln ,0,8x f x x x =∈，则()21ln xf x x -'=， 当(,8)x e ∈时，()0f x '<，函数()f x 递减， 当(0,)x e ∈时，()0f x '>，函数()f x 递增， 所以当x e =时，函数()f x 取得最大值1e，且()ln83ln 2888f ==， 所以3ln 2182m e ≤<，解得3ln 224m e≤<，故选C.【点睛】本题主要考查了函数与方程，以及导数在函数中的综合应用，其中解答中把方程的根转化为1ln 2x m x =在(]0,8上有两个不等的实数根，利用导数求得函数()ln x f x x =的单调性与最值是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力.9．B解析：B 【详解】根据图像，当()()12f x f x =时，有()212f x ≤≤，将()1f x =代入函数()22f x x =--中，可解得11x =或13x =， 所以当()()12f x f x =时，113x ≤≤， 当[1,2]x ∈时，()f x x =，因为()()12f x f x =， 所以()()21211111x f x x f x x x x ==⋅=⋅⋅，因为1[1,2]x ∈，所以()12[1,4]x f x ⋅∈；当[2,3]x ∈时，()4f x x =-，因为()()12f x f x =， 所以()()21211111(4)(2)4x f x x f x x x x ==⋅-=--⋅+⋅，因为1[2,3]x ∈，所以()12[3,4]x f x ⋅∈； 综上所述，()12x f x ⋅的取值范围是[1,4]. 故选：B.【点睛】本题考查了分段函数与函数与方程的综合性问题，属于中档题型，当正确画出函数的图像后，重点抓住本题的一个关键的条件()12()f x f x =，这样就可以将求()12x f x ⋅的范围转化为求()11x f x ⋅的范围.10．D解析：D 【分析】根据已知条件可构造出函数关系式，进而得到0.710x =，根据对数运算法则可解方程求得近似值. 【详解】由题意可知，看到图形面积大小y 与图形实际面积x 之间满足0.7y x=∴若看到全国面积约为某县面积的10倍，则0.710x =，解得：10lg 1.437x =≈ lg 273lg3 1.43=≈ 27x ∴≈故选：D 【点睛】本题考查利用函数模型求解实际问题，关键是能够根据已知条件构造出合适的函数模型，结合对数运算性质求得结果.11．B解析：B 【分析】 令f(x)=0得211x x -+=0，所以211x x +=，再作出函数211y x y x=+=与的图像得解. 【详解】令f(x)=0得211x x -+=0，所以211x x +=，再作出函数211y x y x=+=与的图像, 由于两个函数的图像只有一个交点，所以零点的个数为1.故答案为B【点睛】(1)本题主要考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)零点问题的处理常用的方法有方程法、图像法、方程+图像法.12．B解析：B 【分析】根据题意将数据120θ=，0100θ=，60θ=，4t =代入()010kte θθθθ-=+-，可得1412k e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，再将40θ代入即可得8t =，即可得答案.【详解】由题意知：120θ=，0100θ=，60θ=，4t =代入()010kte θθθθ-=+-得：()4602010020ke-=+-，解得1412k e -⎛⎫= ⎪⎝⎭所以当40θ时，()1440201002012t ⎛⎫ -⎪⎭=+⎝，解得：124114212t ⎛⎫== ⎛⎫ ⎝⎪⎭⎪⎭⎝， 所以8t =，所以再经过4分钟物体的温度是40C ， 故选：B 【点睛】本题主要考查了指数函数的综合题，关键是弄清楚每个字母的含义，属于中档题.二、填空题13．【分析】根据题意得进而得由于故的取值范围是【详解】解：如图根据题意得满足：即关于直线对称故所以所以由于所以所以故答案为：【点睛】本题考查函数与方程的综合应用考查数形结合思想与运算求解能力是中档题本题 解析：(15,22)【分析】根据题意得122214x x +=，3410x x +=，进而得()()2334312103321142222x x x x x x -+---=+++，由于()33,4x ∈，故()()341233222x x x x --++的取值范围是(15,22).【详解】解：如图，根据题意得12,x x 满足：1227270x x -+-=，即122214x x +=.34,x x 关于直线5x =对称，故3410x x +=，所以4310x x =-，()33,4x ∈所以()()()()23343331210333721141422222x x x x x x x x --+----=+=+++，由于()33,4x ∈，()()3232321540,031x x x -=--+∈-+，所以()233120121,8x x --+∈所以()()()()()233433312103337211414215,222222x x x x x x x x -+-----++=+=+∈故答案为：(15,22) 【点睛】本题考查函数与方程的综合应用，考查数形结合思想与运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意作图得122214x x +=，3410x x +=，()33,4x ∈，故将问题转化为求2331102142x x -+-+，()33,4x ∈的值域问题.14．【分析】由对数函数的性质可得转化条件为由二次函数的图象与性质即可得解【详解】因为所以即函数的图象开口朝上对称轴为①当函数在上单调递增所以即所以解得；②当时函数在上单调递减所以即所以解得；③当时所以解解析：1,222,3⎡⎡⎤-⎣⎣⎦【分析】由对数函数的性质可得()123f x ≤<，转化条件为()2max 3g x ≥、()2min 2g x ≤，由二次函数的图象与性质即可得解. 【详解】因为1[2,6)x ∈，所以()()()126f f x f ≤<即()123f x ≤<，函数2()()1g x x a =-+的图象开口朝上，对称轴为x a =，①当0a ≤，函数()g x 在[0,2]上单调递增，所以()()()202g g x g ≤≤， 即()2221,45g x a a a ⎡⎤∈+-+⎣⎦，所以22124530a a a a ⎧+≤⎪-+≥⎨⎪≤⎩，解得10a -≤≤；②当2a ≥时，函数()g x 在[0,2]上单调递减，所以()()()220g g x g ≤≤， 即()22245,1g x a a a ⎡⎤∈-++⎣⎦，所以22452132a a a a ⎧-+≤⎪+≥⎨⎪≥⎩，解得23a ≤≤；③当01a <≤时，()()22max 245g x g a a ==-+，()()2min 12g x g a ==<，所以245301a a a ⎧-+≥⎨<≤⎩，解得02a <≤④当12a <<时，()()22max 01g x g a ==+，()()2min 12g x g a ==<，所以21312a a ⎧+≥⎨<<⎩2a ≤<；综上，实数a的取值范围是1,22,3⎡⎡⎤-⎣⎣⎦. 故答案为：1,22,3⎡⎡⎤-⎣⎣⎦.【点睛】解决本题的关键是将条件转化为()2max 3g x ≥、()2min 2g x ≤，结合二次函数的图象与性质讨论即可得解.15．【分析】先由题中条件得到方程在上有两个不同实数解且对任意恒成立分别求出的范围进而可得出结果【详解】由得且即且因为关于的方程有两个不同实数解所以方程在上有两个不同实数解且对任意恒成立令则函数在区间上有 解析：2,⎡⎣【分析】先由题中条件，得到方程222240x mx m ++-=在[]2,2x ∈-上有两个不同实数解，且0x m +≥对任意[]2,2x ∈-恒成立，分别求出m 的范围，进而可得出结果.【详解】x m =+得()224x x m -=+且240x -≥， 即222240x mx m ++-=且22x -≤≤，因为关于x x m =+有两个不同实数解，所以方程222240x mx m ++-=在[]2,2x ∈-上有两个不同实数解，且0x m +≥对任意[]2,2x ∈-恒成立，令()22224f x x mx m =++-，[]2,2x ∈-，则函数()f x 在区间[]22-,上有两不同零点， 因为函数()22224f x x mx m =++-是开口向上，对称轴为x m =-的二次函数，因此只需()()()2220204840f f m m ⎧-≥⎪⎪≥⎨⎪∆=-->⎪⎩，解得m -<<又0x m +≥对任意[]2,2x ∈-恒成立，所以m x ≥-对任意[]2,2x ∈-恒成立， 因此只需2m ≥综上，2m ≤<故答案为：2,⎡⎣. 【点睛】 关键点点睛：求解本题的关键在于根据题中条件，得到方程222240x mx m ++-=在[]2,2x ∈-上有两个不同实数解，且0x m +≥对任意[]2,2x ∈-恒成立，（一定要注意0x m +≥），转化为一元二次方程根的分布问题求解即可.16．①②③④【分析】当时函数的最大值为最小值为所以任取都有恒成立故①正确；函数先增后减故②正确；根据图象知函数有3个零点故③正确；根据图象知根据对称性知故④正确【详解】函数当时函数的最大值为最小值为所以解析：①②③④ 【分析】当[2,)x ∈+∞时，函数()f x 的最大值为12，最小值为12-，所以任取12[2,,)x x ∈+∞，都有()()121f x f x -≤恒成立，故①正确；()1sin 4f x x π=，函数先增后减，故②正确；根据图象知，函数有3个零点，故③正确；根据图象知112m -<<-，根据对称性知123x x +=，故④正确.【详解】函数()[]()()sin ,0,212,2,2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，当[2,)x ∈+∞时，函数()f x 的最大值为12，最小值为12-，所以任取12[2,,)x x∈+∞，都有()()121f x f x-≤恒成立，故①正确；当[]4,5x∈，[]40,1x-∈，故()()()1114sin4sin444f x f x x xππ=-=-=，函数先增后减，故②正确；令()()ln10y f x x=--=，即()()ln1f x x=-，同②，计算得到()[](](]sin,0,21sin,2,421sin,4,64x xf x x xx xπππ⎧⎪∈⎪⎪=∈⎨⎪⎪∈⎪⎩，画出函数图象，如图所示：根据图象知，函数有3个零点，故③正确；()()0f x m m=<有且只有两个不同的实根12,x x，根据图象知112m-<<-，根据对称性知123x x+=，故④正确；故答案为：①②③④.【点睛】方法点睛：函数零点问题的处理常用的方法有：(1)方程法：直接解方程得到函数的零点；（2）图像法：直接画出函数的图象得解；（3）方程+图像法：令()0f x=重新构造两个函数，数形结合分析得解.17．【分析】作出函数的图象及与函数的图象求出相切时的值即可得答案；【详解】分别作出函数的图象即当与相切时方程有3个不等的实数根两函数图象有3个交点由图可知时符合题意故答案为：【点睛】利用数形结合思想作出解析：4k>【分析】作出函数()11f xx=-的图象及与函数()g x kx=的图象，求出相切时k的值即可得答案；【详解】分别作出函数的图象，即21101kx kx kx x -=⇒-+=- 当()g x kx =与()11f x x =-相切时， 24040k k k k ⎧∆=-=⇒=⎨≠⎩，, 方程()()f x g x =有3个不等的实数根，∴两函数图象有3个交点，由图可知4k >时符合题意， 故答案为：4k >.【点睛】利用数形结合思想，作出两函数的图象，首先找到临界位置，即相切位置.18．【分析】将方程的根转化为函数零点问题再利用零点存在性定理求解【详解】由题知方程的两根为且故设则有故答案为:【点睛】本题考查二次函数根的分布问题需要学生熟悉二次函数的图像性质解决此类问题时常结合零点存解析：3(,1)4【分析】将方程的根转化为函数零点问题,再利用零点存在性定理求解. 【详解】由题知方程22(1)10kx k x k +-+-=(0)k >的两根为12,x x ,且110x -<<,201x <<,故设()f x =22(1)1kx k x k +-+-,(0)k >则有(1)2210103(0)10114(1)221034f k k kf k k kf k k kk⎧⎪-=-++->>⎧⎪⎪=-<⇒<⇒<<⎨⎨⎪⎪=+-+->⎩⎪>⎩,故答案为:3(,1)4.【点睛】本题考查二次函数根的分布问题,需要学生熟悉二次函数的图像性质,解决此类问题时常结合零点存在性定理解决.19．【分析】作出的图象可得和的图象有四个不同的交点不妨设交点横坐标由关于原点对称关于点对称即可得到所求的和【详解】作出的图象方程有四个不同的实数解等价为和的图象有四个不同的交点不妨设交点横坐标为且由关于解析：4【分析】作出()f x的图象，可得()y f x=和y b=的图象有四个不同的交点，不妨设交点横坐标1234x x x x<<<，由1x，2x关于原点对称，3x，4x关于点()2,0对称，即可得到所求的和.【详解】作出()()2121x xf xx x⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，，的图象，方程()f x b=有四个不同的实数解，等价为()y f x=和y b=的图象有四个不同的交点，不妨设交点横坐标为1x，2x，3x，4x且1234x x x x<<<，由1x，2x关于原点对称，3x，4x关于点()2,0对称，可得12=0x x+，344x x+=，则12344x x x x +++=， 故答案为：4 【点睛】本题主要考查了函数方程的转化思想，考查数形结合的思想以及对称性的运用，属于中档题.20．3【解析】令则由题意可得函数与函数的图象有三个公共点画出函数的图象如图所示结合图象可得要使两函数的图象有三个公共点则答案：3解析：3 【解析】令()222f x x x =--，则由题意可得函数()y f x =与函数y m =的图象有三个公共点．画出函数()222f x x x =--的图象如图所示，结合图象可得，要使两函数的图象有三个公共点，则3m =． 答案：3三、解答题21．（1）3,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，9,42C ⎛⎫⎪⎝⎭，43k =，2m =-，4a =，3b =；（2）①19()94,[0,3]54f t t t t ⎛⎫=--∈ ⎪-⎝⎭；②52t =，min ()1f t =. 【分析】（1）根据题中给的边长，得到点,A C 的坐标，并代入直线，求,k m ，由点,D E 的坐标代入函数1b y x a =--，求,a b 的值；（2）①由（1）可知点43,1M t t ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，利用点到直线的距离求()l f t =，②定义域下利用基本不等式求最值. 【详解】（1）由题意得：4OF BC ==，OA EC =，∴3,02A ⎛⎫⎪⎝⎭，9,42C ⎛⎫⎪⎝⎭，把3,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，9,42C ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入y kx m =+得302942k m k m ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得43k =，2m =-. ∵70,4D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()3,4E ，把70,4D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()3,4E 代入1b y x a =--得3433b a b a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪-⎩，解得：4a =，3b =.（2）①由（1）得：M 点在314y x =--上，∴43,1M t t ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，[0,3]t ∈， ∴桥MN 的长l为341219()(94),[0,3]54l f t t t t t --+===--∈-； ②由①得：1919()(94)4(4)75454f t t t t t ⎡⎤=--=----⎢⎥--⎣⎦ 194(4)754t t ⎡⎤=----⎢⎥-⎣⎦， 而40t -<，904t <-，∴94(4)124t t ---≥=-， 当且仅当94(4)4t t --=--时即52t =时，“=”成立，∴min 1()12715f t =-+=. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数应用题，函数模型的应用，基本不等式求最值. 本题的关键是最后一问，函数的变形，1919()(94)4(4)75454f t t t t t ⎡⎤=--=----⎢⎥--⎣⎦，只有变形成这种形式，才能用基本不等式求最值.22．（1）不能获利，政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损，（2）400【分析】（1）先确定该项目获得的函数，再利用配方法确定不会获利，从而可求政府每月至少需要补贴的费用；（2）确定食品残渣的每吨的平均处理成本函数，分别求出分段函数的最小值，即可求得结论【详解】解：（1）当[200,300]x ∈时，该项目获利为S ，则2211200(20080000)(400)22S x x x x =--+=--， 所以当[200,300]x ∈时，0S <，因此该项目不会获利，当300x =时，S 取得最大值5000-，所以政府每月至少需要补贴5000元才能使项目不亏损，（2）由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为21805040,[120,144)3180000200,[144,500)2x x x y x x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪+-∈⎪⎩， 当[120,144)x ∈时，21(120)2403y x x =-+， 所以当120x =时，y x取得最小值240； 当[144,500)x ∈时，1800002002002002y x x x =+-≥=，当且仅当1800002x x =，即400x =时，y x取得最小值200， 因为240200>，所以当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低【点睛】关键点点睛：此题考查基本不等式在最值问题中的应用，函数模型的选择与应用，考查函数模型的构建，考查函数的最值，解题的关键是根据题意确定函数关系式，属于中档题23．（1）A 产品的利润为1()(0)2f x x x =≥，B产品的利润为()0)g x x =≥；（2）A 产品投入6万元，B 产品投入4万元时取得最大利润，最大利润为7万元．【分析】 （1）由题设1()f x k x =，()g x k =（2）列出企业利润的函数解析式21()(10)10)y f x g x x x =+-=+≤≤换元法求得函数最值得解.【详解】（1）设投资为x 万元，A 产品的利润为()f x 万元，B 产品的利润为()g x 万元 由题设1()f x k x =，()g x k =，由图知()21f =，故112k =，又(4)4g =，∴22k =． 从而1()(0)2f x x x =≥，()0)g x x =≥．（2）设A 产品投入x 万元，则B 产品投入10x -万元，设企业利润为y 万元21()(10)10)y f x g x x x =+-=+≤≤令t =21(2)7(02y t t =--+≤≤ 当2t =时，max 7y =，此时6x =．【点睛】函数最值问题中函数表达式中若含有根式，通常采用换元法求解函数最值.24．（1）()()2,04,15,420,82x x N v x x x N **⎧≤<∈⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩；（2）当养殖密度x 为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大为252千克/立方米. 【分析】 （1）由题意：当04x ≤<时，()2v x =．当420x ≤时，设()v x ax b =+，()v x ax b =+在[4，20]是减函数，由已知得20042a b a b +=⎧⎨+=⎩，能求出函数()v x ． （2）依题意并由（1），22,04,*()12,420,*85x x x N f x x x x x N ≤<∈⎧⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩，根据分段函数的性质求出各段的最大值，再取两者中较大的即可，由此能求出结果．【详解】解：（1）由题意：当04x ≤<时，()2v x =．当420x ≤≤时，设()v x ax b =+，显然()v x ax b =+在[4，20]是减函数，由已知得20042a b a b +=⎧⎨+=⎩， 解得18a =-，52b =， 故函数**2,04,()15.420,82x x N v x x x x N ⎧≤<∈⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩ （2）依题意并由（1）得22,04,*()12,420,*85x x x N f x x x x x N ≤<∈⎧⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩， 当04x ≤<时，()f x 为增函数，且()4428f =⨯=．当420x ≤≤时，22121()(10)12.5858f x x x x =-+=--+， ()(10)12.5max f x f ==．所以，当020x ≤≤时，()f x 的最大值为12.5．当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为12.5千克/立方米．【点睛】(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型.(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．25．（1）函数模型()1030x f x =+，不符合公司要求；详见解析；（2）[]1,2. 【分析】（1）研究函数()1030x f x =+的单调性与值域，验证该函数是否满足题中三个要求，即可得出结论；（2）先求出函数()y g x =的最大值()()max 1600405g x g a ==-，由40575a -≤求出实数a 的范围，在利用参变量分离法求出满足()5x g x ≤恒成立时实数a 的取值范围，由此可得出实数a 的取值范围.【详解】（1）对于函数模型()1030x f x =+， 当[]25,1600x ∈时，函数()y f x =是单调递增函数，则()()160075f x f ≤≤显然恒成立，若函数()5x f x ≤恒成立，即10305x x +≤，解得60x ≥，则()5x f x ≤不恒成立， 综上所述，函数模型()1030x f x =+，满足基本要求①②，但是不满足③， 故函数模型()1030x f x =+，不符合公司要求；（2）当[]25,1600x ∈时，()()51g x a =≥单调递增，∴函数()y g x =的最大值为()16005405g a ==-，由题意可得40575a -≤，解得2a ≤.设()55x g x =≤恒成立，2255x a x ⎛⎫∴≤+ ⎪⎝⎭恒成立，即225225x a x ≤++， 对于函数2251252525x y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由题意可知，该函数在25x =处取得最小值，即min 252522525y =+=，2224a ∴≤+=，1a ≥，12a ∴≤≤. 因此，实数a 的取值范围是[]1,2. 【点睛】本题考查函数模型的选择，本质上就是考查函数基本性质的应用，同时也考查了函数不等式恒成立问题，在求解含单参数的不等式恒成立问题，可充分利用参变量分离法转化为函数最值问题来求解，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.26．（1）是“精彩区间”，理由见解析；（2）不是“精彩函数”，理由见解析；（3）1744m -<≤- 【分析】 （1）先判断函数3y x =是否满足“精彩函数”的条件，从而可判断0,1是否为函数3y x=的“精彩区间”；（2）判断函数()()40f x x x x=+>是否满足“精彩函数”的条件即可； （3）由()g x 是“精彩函数”，可知()g x x =至少存在两个不等的实数解，可转化为()222140x m x m -++-=有两个不等的实数根，两实根都不小于4-和m ，结合二次函数的性质，求出m 的取值范围.【详解】（1）由题意，3y x =是R 上的增函数，易知3y x =在0,1上的值域为0,1，所以函数3y x =是“精彩区间”，0,1是该函数的“精彩区间”.（2）不是精彩函数，证明如下：因为函数()()40f x x x x =+>在区间()0,2上单调递减，在区间2,上单调递增， 所以函数()4f x x x =+在定义域0,上不单调，不满足“精彩函数”的第一个条件， 所以函数()()40f x x x x=+>不是“精彩函数”.（3）由题意，函数()g x m =的定义域为[)4,-+∞，且()g x 在定义域上为单调递增函数，因为函数()g x m 是“精彩函数”m x =至少存在两个不等的实数解， 方程整理得()222140x m x m -++-=， 所以该方程有两个不等的实数根，设为12,x x ，不妨设21x x >，则214x x >≥-，。
必修一第四单元《函数应用》测试题(含答案解析)
一、选择题1．已知函数22,()11,x x x a f x x a x⎧--≤⎪=⎨->⎪⎩，若函数图象与x 轴有且仅有一个交点，则实数a的取值范围是（ ）A ．(),1-∞-B ．()[),11,2-∞-⋃C ．[)1,2D ．(]()1,12,-+∞2．对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x 满足()()00f x f x -=-，则称函数()f x 为“倒戈函数”．设()31xf x m =+-（m ∈R ，0m ≠）是定义在[]1,1-上的“倒戈函数”，则实数m 的取值范围是（ ） A ．2,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．21,33⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．(),0-∞3．已知方程2mx e x =在(]0,8上有两个不等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ）A ．1ln 2,84⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1ln 2,164⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3ln 22,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．122,4n e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 4．若函数()f x 的图象是连续不断的，且(0)0f >，(1)(2)(4)0f f f <，则下列命题正确的是( )．A ．函数()f x 在区间(0 , 1)内有零点B ．函数()f x 在区间(1 , 2)内有零点C ．函数()f x 在区间(0 , 2)内有零点D ．函数()f x 在区间(0 , 4)内有零点5．用二分法求方程x 2–2=0在（1，2）内近似解，设f （x ）=x 2–2，得f （1）<0，f （1.5）>0， f （1.25）<0，则方程的根在区间( ) A ．（1.25，1.5）B ．（1，1.25）C ．（1, 1.5）D ．不能确定6．已知函数()()()222,0423,46x x x f x x -⎧--≤<⎪=⎨-≤≤⎪⎩,若存在12,x x ,当12046x x ≤<≤≤时,()()12f x f x =,则()12x f x ⋅的取值范围是（ ） A ．[)0,1B ．[]1,4C ．[]1,6D ．[][]0,13,87．统计学家克利夫兰对人体的眼睛详细研究后发现；我们的眼睛看到图形面积的大小与此图形实际面积的0.7次方成正比.例如：大图形是小图形的3倍，眼睛感觉到的只有0.73（约2.16）倍.观察某个国家地图，感觉全国面积约为某县面积的10倍，那么这国家的实际面积大约是该县面积的（lg 20.3010≈，lg30.4771=，lg70.8451≈）（ ） A ．l 8倍B ．21倍C ．24倍D ．27倍8．已知()11xf x e =-+，若函数2()[()](2)()2g x f x a f x a =+--有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(2,1)--B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(1,2)9．已知函数f (x )＝1,01,0x x x⎧⎪⎨>⎪⎩则使方程x ＋f (x )＝m 有解的实数m 的取值范围是（ ）A ．(1，2)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)10．某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投人.若该高校2018年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投人的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是（参考数据：lg1.120.05≈，lg1.30.11≈，lg 20.30≈）（ ）A ．2020年B ．2021年C ．2022年D ．2023年11．已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx xk =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（ ） A ．1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,(0,22)2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭C ．(,0)(0,22)-∞ D ．(,0)(22,)-∞+∞12．已知函数21,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，若123123()()(),(,,f x f x f x x x x ==互不相等），则123x x x ++的取值范围是（ ）A ．(2,0]-B ．(1,0)-C ．(1,0]-D ．(2,0)-二、填空题13．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为____元． 14．212x x m -=+有实数根，则实数m 的取值范围是__________.15．已知函数()()3(0)0x x f x x x ≥⎧=⎨<-⎩，若函数()()()2|2|g x f x kx x k R =--∈恰有4个不同的零点，则k 的取值范围是______.16．已知函数11,0,()2ln(),0,x x f x x x -⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-<⎩设函数()()g x f x a =-有4个不同的零点，则实数a 的取值范围是_______.17．已知函数()2log ,02 sin ,2104x x f x x x π⎧<<⎪=⎨⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若1234x x x x <<<且()()()()1234f x f x f x f x ===，则()()341222x x x x --的取值范围为____________.18．若关于x 的方程()4230x x f x k k =-⋅++=只有一个实数解，则实数k 的取值范围是______.19．函数2|1|y x =-的图象与函数y x k =+的图象交点恰为3个，则实数k =__________.20．已知函数()2f x x ax b =++的两个零点为1x ，2x ，且满足1202x x <<<，记()()f x x R ∈的最小值为m ，则m 的取值范围是______. 三、解答题21．已知函数()()222f x ax a x =-++，()a R ∈.（1）()32f x x <-恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当0a >时，求不等式()0f x ≥的解集； （3）若存在0m >使关于x 的方程()11f x m m=++有四个不同的实根，求实数a 的取值范围.22．新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献.生产口罩的固定成本为400万元，每生产x 万箱，需另投入成本()p x 万元，当产量不足60万箱时，()21502p x x x =+；当产量不小于60万箱时，()64001011860p x x x=+-，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完.（1）求口罩销售利润y （万元）关于产量x （万箱）的函数关系式； （2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？23．小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为()W x 万元，在年产量不足8万件时，()2W x x x =+(万元)．在年产量不小于8万件时，()100638W x x x=+- (万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完． （1）写出年利润()L x (万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)（2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 24．某市近郊有一块大约400m 400m ⨯的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为S 平方米.（1）求S 关于x 的函数关系式，并写出定义域； （2）当x 为何值时S 取得最大值，并求最大值，25．宜城市流水镇是全国闻名的西瓜基地，流水西瓜含糖量高，口感好，多次入选全国农博会并获金奖，畅销全国12省百余个大中城市.实践证明西瓜的产量和品质与施肥关系极大，现研究发现该镇礼品瓜“金皇后”的每亩产量L （单位：百斤）与施用肥料x （单位：百斤）满足如下关系：238(2),02()603,312x x L x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪+⎩，肥料成本投入为5x （单位：百元），其它成本投入为10x （单位：百元）.已知“金皇后”的市场批发价为2元/斤，且销路畅通供不应求，记每亩“金皇后”的利润为()f x （单位：百元）. （1）求()f x 的函数关系式；（2）当施用肥料为多少斤时，每亩“金皇后”的利润最大，最大利润是多少元？ 2 1.414≈）.26．已知函数()y f x =为二次函数，()04f =，且关于x 的不等式()20f x -<的解集为{}12x x <<（1）求函数()f x 的解析式（2）若关于x 的方程()0f x m -=有一实根大于1，一实根小于1，求实数m 的取值范围 （3）已知()1g x x =+，若存在x 使()y f x =的图象在()y g x =图象的上方，求满足条件的实数x 的取值范围【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】讨论a 的范围，分别确定x a ≤、x a >上与x 轴的交点情况，即可确定实数a 的取值范围. 【详解】∵当x a ≤时，()(2)(1)f x x x =-+， ∴当2a ≥时，()f x 在x a ≤与x 轴有2个交点； 当12a -≤<时，()f x 在x a ≤与x 轴有1个交点； 当1a <-时，()f x 在x a ≤与x 轴无交点；∵当x a >时，1(1)f x x=-，与x 轴有交点时交点为(1,0)， ∴当1a ≥时，()f x 在x a >与x 轴无交点； 当1a <时，()f x 在x a >与x 轴有1个交点；综上要使()f x 在R 上与x 轴有且仅有一个交点，即12a ≤<或1a <-， 故选：B 【点睛】易错点睛：讨论不等式的参数时，要注意参数边界是否可以取等号.1x =时()f x 与x 轴有交点，要使()f x 在x a >与x 轴无交点则1a ≥. 1x =-时()f x 与x 轴有交点，要使()f x 在x a ≤与x 轴无交点则1a <-. 2．A解析：A 【分析】()31x f x m =+-是定义在[1,1]-上的“倒戈函数，即存在0[1,1]x ∈-,满足00()()f x f x -=-，即02332x x m -=--+有根，即可求出答案．【详解】()31x f x m =+-是定义在[1,1]-上的“倒戈函数，∴存在0[1,1]x ∈-满足00()()f x f x -=-，003131x x m m -∴+-=--+， 002332x x m -∴=--+，构造函数00332x x y -=--+，0[1,1]x ∈-，令03x t =，1[,3]3t ∈，1122()y t t t t=--+=-+在1[,1]3单调递增，在(1,3]单调递减，所以1t =取得最大值0，13t =或3t =取得最小值43-，4[,0]3y ∴∈-，4203m ∴-<，032m ∴-<， 故选：A ． 【点睛】本题考查的知识点是指数函数的性质、函数的值域，新定义“倒戈函数”，正确理解新定义“倒戈函数”的含义，是解答的关键．3．C解析：C 【分析】由题意可得方程2mx e x =在(]0,8上有两个不等的实数根，设()(]ln ,0,8xf x x x=∈，求得函数的导数和单调性，可得极值和最值，画出()y f x =的图象，可得m 的不等式，即可求解. 【详解】由题意，方程2mx e x =在(]0,8上有两个不等的实数根， 即为2ln mx x =在(]0,8上有两个不等的实数根， 即1ln 2x m x=在(]0,8上有两个不等的实数根， 设()(]ln ,0,8x f x x x =∈，则()21ln xf x x-'=， 当(,8)x e ∈时，()0f x '<，函数()f x 递减， 当(0,)x e ∈时，()0f x '>，函数()f x 递增， 所以当x e =时，函数()f x 取得最大值1e，且()ln83ln 2888f ==， 所以3ln 2182m e ≤<，解得3ln 224m e≤<，故选C.【点睛】本题主要考查了函数与方程，以及导数在函数中的综合应用，其中解答中把方程的根转化为1ln2xmx=在(]0,8上有两个不等的实数根，利用导数求得函数()ln xf xx=的单调性与最值是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力.4．D解析：D【解析】解：因为f（0）＞0，f（1）f（2）f（4）＜0，则f（1），f（2），f（4）恰有一负两正或三个都是负的，结合图象可得函数f（x）必在区间（0，4）内有零点因为f（0）＞0，f（1）f（2）f（4）＜0，则f （1），f（2），f（4）恰有一负两正或三个都是负的，函数的图象与x轴相交有多种可能，如图所示：所以函数f（x）必在区间（0，4）内有零点，故选D．5．A解析：A 【分析】根据零点存在定理,结合条件,即可得出结论. 【详解】已知(1)0,(1.5)0,(1.25)0f f f <><, 所以(1,25)(1.5)0f f ⋅<,可得方程的根落在区间(1.25,1.5)内, 故选A. 【点睛】该题考查的是有关判断函数零点所在区间的问题，涉及到的知识点有二分法，函数零点存在性定理，属于简单题目.6．B解析：B 【详解】根据图像，当()()12f x f x =时，有()212f x ≤≤，将()1f x =代入函数()22f x x =--中，可解得11x =或13x =， 所以当()()12f x f x =时，113x ≤≤， 当[1,2]x ∈时，()f x x =，因为()()12f x f x =， 所以()()21211111x f x x f x x x x ==⋅=⋅⋅，因为1[1,2]x ∈，所以()12[1,4]x f x ⋅∈；当[2,3]x ∈时，()4f x x =-，因为()()12f x f x =， 所以()()21211111(4)(2)4x f x x f x x x x ==⋅-=--⋅+⋅，因为1[2,3]x ∈，所以()12[3,4]x f x ⋅∈； 综上所述，()12x f x ⋅的取值范围是[1,4]. 故选：B.【点睛】本题考查了分段函数与函数与方程的综合性问题，属于中档题型，当正确画出函数的图像后，重点抓住本题的一个关键的条件()12()f x f x =，这样就可以将求()12x f x ⋅的范围转化为求()11x f x ⋅的范围.7．D解析：D 【分析】根据已知条件可构造出函数关系式，进而得到0.710x =，根据对数运算法则可解方程求得近似值. 【详解】由题意可知，看到图形面积大小y 与图形实际面积x 之间满足0.7y x=∴若看到全国面积约为某县面积的10倍，则0.710x =，解得：10lg 1.437x =≈ lg 273lg3 1.43=≈ 27x ∴≈故选：D 【点睛】本题考查利用函数模型求解实际问题，关键是能够根据已知条件构造出合适的函数模型，结合对数运算性质求得结果.8．A解析：A 【分析】利用十字相乘法解()0g x =，得()2f x =或()f x a =-，利用函数与方程之间的关系转化为两个图象的交点个数问题进行求解即可． 【详解】解：若2()[()](2)()2[()2][()]g x f x a f x a f x f x a =+--=-+有三个零点， 即()[()2][()]0g x f x f x a =-+=有三个根， 即()2f x =或()f x a =-．当()2f x =时，由|1|12x e -+=，即|1|1x e -=，则11x e -=或11x e -=-， 即2x e =或0x e =，则2x ln =或x 无解，此时方程只有一个解， 则()f x a =-．有两个不同的根， 作出()f x 的图象如图：由图象知，则12a <-<，即21a -<<-， 即实数a 的取值范围是(2,1)--， 故选：A ．【点睛】本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合转化为两个函数图象的交点个数问题是解决本题的关键．9．D解析：D 【分析】分别讨论x ≤0和x >0，方程有解时，m 的取值. 【详解】当x ≤0时，x ＋f (x )＝m ，即x ＋1＝m ，解得m ≤1；当x >0时，x ＋f (x )＝m ，即1x m x+=，解得m ≥2， 即实数m 的取值范围是(,1][2,)-∞⋃+∞故选：D 【点睛】本题考查了方程有解求参数的取值问题，考查了计算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.10．C解析：C 【分析】由题意知，2019年是第1年，则第n 年全年投入的科研经费为1300 1.12n ⨯万元，然后解不等式1300 1.122000n ⨯>，将指数式化为对数式，得出n 的取值范围，即可得出答案. 【详解】若2019年是第1年，则第n 年全年投入的科研经费为1300 1.12n ⨯万元， 由1300 1.122000n ⨯>可得1.3 1.122n ⨯>，lg1.3lg1.12lg 2n ∴+>， 所以0.050.19n ⨯>， 得 3.8n >，则正整数n 的最小值为4， 所以第4年，即2022年全年投入的科研经费开始超过2000万元， 故选：C. 【点睛】本题考查指数函数模型的应用，解题的关键就是列出指数不等式，考查函数思想的应用与计算能力，属于中等题.11．D解析：D 【分析】由(0)0g =，结合已知，将问题转化为|2|y kx =-与()()||f x h x x =有3个不同交点，分0,0,0k k k =<>三种情况，数形结合讨论即可得到答案.【详解】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根 即可， 令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点. 因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩， 当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有1个不同交点，不满足题意； 当0k <时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意； 当0k >时，如图3，当2y kx =-与2yx 相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得22k =（负值舍去），所以22k >. 综上，k 的取值范围为(,0)(22,)-∞+∞.故选：D.【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.12．C解析：C 【分析】做出函数图像，由图象得出三个交点的横坐标关系，以及交点横坐标的取值范围，即可求解. 【详解】做出函数()f x 的图象如图，设()()()123===f x f x f x a ，则01a <≤， 因此12232(1)2,0log 1+=⨯-=-<≤x x x ,得312<≤x 于是12310-<++≤x x x ， 故选:C.【点睛】本题考查分段函数的图象和运用，考查函数的对称性和对数的运算性质，正确画图和通过图象观察是解题关键，属于中档题.二、填空题13．1120【分析】明确折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式结合y ＝30＞25代入可得某人在此商场购物总金额减去折扣可得答案【详解】由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式y ∵y ＝30＞2解析：1120 【分析】明确折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，结合y ＝30＞25，代入可得某人在此商场购物总金额, 减去折扣可得答案． 【详解】由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，y ()()006000.0560060011000.11100251100x x x x x ⎧≤⎪=-≤⎨⎪-+⎩，＜，＜，＞ ∵y ＝30＞25 ∴x ＞1100∴0.1（x ﹣1100）+25＝30 解得，x ＝1150， 1150﹣30＝1120，故此人购物实际所付金额为1120元． 【点睛】本题考查的知识点是分段函数，正确理解题意，进而得到满足条件的分段函数解析式是解答的关键．14．【分析】方程有实根等价于半圆和直线有交点数形结合可得实数的取值范围【详解】方程有实根故半圆和直线有交点半圆和直线在交点处取得最小值此时半圆和直线相切时的值最大因为所以；数形结合可得：；故答案为：【点 解析：[2,]5-【分析】方程212x x m -=+有实根等价于半圆221(0)x y y +=≥和直线2y x m =+有交点，数形结合可得实数m 的取值范围. 【详解】212x x m -=+有实根，故半圆221(0)x y y +=≥和直线2y x m =+有交点，半圆221(0)x y y +=≥和直线2y x m =+在交点1,0A 处取得最小值，此时2m =-，半圆221(0)x y y +=≥和直线2y x m =+相切时m 的值最大，1m =⇒=因为0m >，所以m =数形结合可得：2m -≤≤故答案为：[-. 【点睛】方法点睛：本题主要考查函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法；函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．15．【分析】由题意可知对任意的且为函数的一个零点构造函数可知函数与的图象有个交点分和两种情况讨论数形结合可求得实数的取值范围【详解】由题意可知对任意的且为函数的一个零点令则函数与的图象有个交点当时函数的 解析：()(),022,-∞+∞【分析】由题意可知，对任意的x ∈R ，()0f x ≥，且0x =为函数()g x 的一个零点，构造函数()()()0f x h x x x =≠，()222kx x p x kx x-==-，可知，函数()p x 与()h x 的图象有3个交点，分0k <和0k >两种情况讨论，数形结合可求得实数k 的取值范围.【详解】由题意可知，对任意的x ∈R ，()0f x ≥，且0x =为函数()g x 的一个零点， 令()()()()2010f x x x h x x x⎧>⎪==⎨<⎪⎩，()222kx x p x kx x -==-， 则函数()p x 与()h x 的图象有3个交点. 当0k <时，函数()p x 的零点为20x k=<，如下图所示：此时，函数()p x 与()h x 的图象有3个交点，合乎题意； 当0k >时，函数()p x 的零点为20x k=>， 则函数()p x 与()h x 在y 轴左侧的图象没有交点， 所以，函数()p x 与()h x 在y 轴右侧的图象必有3个交点，则直线2y kx =-与()02>=x x y 有两个交点，联立22y x y kx ⎧=⎨=-⎩，可得220x kx -+=，则方程220x kx -+=在()0,∞+上有两个不等的实根，可得28002k k ⎧∆=->⎪⎨>⎪⎩，解得22k >.综上所述，实数k 的取值范围是()(),022,-∞+∞.故答案为：()(),022,-∞+∞.【点睛】方法点睛：判定函数()f x 的零点个数的常用方法：（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；（2）数形结合法：先令()0f x =，将函数()f x 的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果.16．【分析】先将方程变形为根据数形结合思想与必须有两个交点即可求出的范围【详解】函数有4个不同的零点即为有4个不等实根作出的图象可得时与的图象有4个交点故答案为：【点睛】关键点睛：解题的关键在于把问题转解析：1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】先将方程()0f x a -= 变形为()f x a =,根据数形结合思想,y a =与()f x 必须有两个交点,即可求出a 的范围. 【详解】函数()()g x f x a =-有4个不同的零点，即为()f x a =有4个不等实根，作出()y f x =的图象， 可得112a <时，()y f x =与y a =的图象有4个交点. 故答案为：1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 【点睛】关键点睛：解题的关键在于把问题转化为即为()f x a =有4个不等实根和根据分段函数作出()f x 的图像，难度属于中档题17．【分析】根据解析式画出函数图象去绝对值并结合对数的运算性质求得根据正弦函数的对称性求得将化为结合二次函数的性质即可得出结果【详解】函数画出函数图象如下图所示:由函数图象可知若则因为与关于对称则且去绝 解析：()0,12【分析】根据解析式,画出函数图象.去绝对值并结合对数的运算性质求得12x x ⋅，根据正弦函数的对称性求得34x x +，将()()341222x x x x --化为2441220x x -+-，结合二次函数的性质，即可得出结果.【详解】函数()2log,02sin,2104x xf xx xπ⎧<<⎪=⎨⎛⎫≤≤⎪⎪⎝⎭⎩，画出函数图象如下图所示:由函数图象可知，若()()()()1234f x f x f x f x k====，则()0,1k∈，因为1234x x x x<<<，3x与4x关于6x=对称，则2122log logx x=，3412x x+=，且4810x<<，去绝对值化简可得2122log logx x-=，即2122log log0x x+=，由对数运算可得()212log0x x⋅=所以121x x⋅=，则()()()3434343412222420x xx x x x x xx x--=-=++-()23444442012201220x x x x x x=-=--=-+-，令21220y x x=-+-，()8,10x∈，因为21220y x x=-+-是开口向下，对称轴为6x=的二次函数，所以21220y x x=-+-在()8,10x∈上单调递减，所以10012020649620y-+-<<-+-，即012y<<；即()()()34244122212200,12x xx xx x--=-+-∈故答案为: ()0,12.【点睛】本题考查了分段函数的性质及应用，涉及求二次函数的最值，根据数形结合的方法求解即可，属于中档题.18．【分析】换元令再根据二次函数在区间上只有一个实数解求解即可【详解】令则在区间上只有一个实数解故=0在上有两个等根或有一个正根和一个负根①故②故实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题主要考查了根据根的解析：(,3){6}-∞-⋃【分析】换元令2x t =,()0,t ∈+∞,再根据二次函数2()30g t t k t k =-⋅++=在区间()0,t ∈+∞上只有一个实数解求解即可. 【详解】令2x t =,()0,t ∈+∞,则2()30g t t k t k =-⋅++=在区间()0,t ∈+∞上只有一个实数解.故2()3g t t k t k =-⋅++=0在()0,t ∈+∞上有两个等根或有一个正根和一个负根.①()()()()2430620002k k k k k k ⎧--+=⎧-+=⎪⇒⎨⎨->->⎩⎪⎩ .故6k =②(0)303g k k =+<⇒<- 故实数k 的取值范围是(,3){6}-∞-⋃ 故答案为：(,3){6}-∞-⋃ 【点睛】本题主要考查了根据根的分布求解参数范围的问题.需要根据题意换元再分两种情况讨论.属于中档题.19．1或【分析】作出函数的图象与函数的图象由图象求实数的值【详解】解：作出函数的图象与函数的图象如下图：当过点时成立此时；当时联立消去得解得故答案为：1或【点睛】本题考查了数学结合思想分类讨论思想属于基解析：1或54【分析】作出函数2|1|y x =-的图象与函数y x k =+的图象，由图象求实数k 的值． 【详解】解：作出函数21y x =-的图象与函数y x k =+的图象如下图：当过点(1,0)-时，成立，此时，1k =-；当(1,1)x ∈-时，21y x =-，联立21y x y x k⎧=-⎨=+⎩，消去y 得210x x k ++-=，()21410k ∆=--=解得 54k =， 故答案为：1或54． 【点睛】本题考查了数学结合思想，分类讨论思想，属于基础题.20．【分析】根据二次方程根的分布得出满足的关系在坐标系中作出这个关系式表示的平面区域求出的最小值平移根据这个目标函数对应的曲线可得其取值范围【详解】由题意即在直角坐标系中作出此不等式组表示的平面区域如图 解析：()1,0-【分析】根据二次方程根的分布得出,a b 满足的关系，在坐标系O ab -中作出这个关系式表示的平面区域，求出()f x 的最小值，平移根据这个目标函数对应的曲线可得其取值范围． 【详解】由题意240(0)0(2)420 022a bf bf a ba⎧->⎪=>⎪⎪⎨=++>⎪⎪<-<⎪⎩，即24040420a bbaa b⎧->⎪>⎪⎨-<<⎪⎪++>⎩，在直角坐标系O ab-中作出此不等式组表示的平面区域，如图阴影部分（不含边界），()f x的最小值为24az b=-，作出曲线24ab-=，它正好是图象阴影部分的一个曲边边界，把这个曲线向下平移，24az b=-在减小，当它在阴影部分边界时，0z=，当它过点(2,0)-时，1z=-，所以(1,0)z∈-．故答案为：(1,0)-．【点睛】本题考查二次方程根的分布，考查非线性平面区域的非线性规划问题（仿照简单的线性规划处理方法），解题时根据二次方程根的分布求出条件，再求出最小值的表达式，然后仿照简单的线性规划问题求解，考查了学生的创新意识．三、解答题21．（1）(]4,0-；（2）答案见解析；（3）(,423-∞--.【分析】（1）将()32f x x<-，x∈R恒成立，转化为210ax ax--<，x∈R恒成立求解.（2）由()()120x ax--≥，分02a<<，2a=，2a>讨论求解.（3）由0m >时，得到11213t m m=+++=≥，令x s =，将问题转化为存在3t ≥，()2220as a s t -++-=有两个不等正根求解.【详解】（1）因为()32f x x <-，x ∈R 恒成立，所以210ax ax --<，x ∈R 恒成立；0a =时，10-<恒成立，满足题意；0a ≠时，只需0a <，∆<0，即40a ；综上，实数a 的取值范围是(] 4,0-；（2）()0f x ≥即()()120x ax --≥，当02a <<时，21>a ，不等式解集为(]2,1,a ⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭； 当2a =时，21a ，不等式解集为R ； 当2a >时，21a <，不等式解集为[)2,1,a ⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦；（3）0m >时，令11213t m m =+++=≥， 则存在3t ≥，()fx t =有四个不等实根， 即()2220a x a x t -++-=有四个不等实根，令x s =，0s >时一个s 对应两个x ；0s =时一个x 对应一个x ；0s <时无x 与之对应；则存在3t ≥，()2220as a s t -++-=有两个不等正根， 则0a ≠，存在3t ≥，2020a a t a+⎧>⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩， 即存在3t ≥，()()224202a a t a ⎧+-->⎪⎨<-⎪⎩， 即2a <-，且存在3t ≥，24440a a at -++>，0a <时，3t ≥时22441284a a a a a -++=++最大值为22441284a a a a a -++=++，则2840a a ++>，由2a <-可得4a <--所以实数a的取值范围是(,4-∞--.【点睛】方法点睛：含有参数的不等式的解法：，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论：(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集． 22．（1）2150400,060264001460,60x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）80万箱. 【分析】（1）分060x <<和60x ≥两种情况分析，利用利润等于销售收入减去成本可得出口罩销售利润y （万元）关于产量x （万箱）的函数关系式；（2）分060x <<和60x ≥两种情况分析，利用二次函数和基本不等式求出口罩销售利润y 的最大值及其对应的x 值，综合可得出结论.【详解】（1）当060x <<时，2211100504005040022y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+-⎪⎝⎭； 当60x ≥时，6400640010010118604001460y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以，2150400,060264001460,60x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩； （2）当060x <<时，221150400(50)85022y x x x =-+-=--+， 当50x =时，y 取得最大值，最大值为850万元； 当60x ≥时，6400146014601300y x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭， 当且仅当6400x x=时，即80x =时，y 取得最大值，最大值为1300万元. 综上，当产量为80万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1300万元.【点睛】思路点睛：解函数应用题的一般程序：第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； 第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．23．（1）()2143,08310035(),8x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩；（2）当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元.【分析】（1）根据年利润=年销售收入-固定成本-流动成本，分08x <<和8x ≥两种情况得到()L x 的解析式即可；（2）当08x <<时，根据二次函数求最大值的方法来求()L x 的最大值，当8x ≥时，利用基本不等式来求()L x 的最大值，最后综合即可．【详解】（1）因为每件商品售价为5元，则x 万件商品销售收入为5x 万元，依题意得，当08x <<时，()2211534333L x x x x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭， 当8x ≥时， ()1001005638335L x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()2143,08310035(),8x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩； （2）当08x <<时，()()21693L x x =--+， 此时，当6x =时，()L x 取得最大值()69L =万元，当8x ≥时，()10035L x x x =⎛⎫-+ ⎪⎝⎭35352015≤-=-=， 此时，当且仅当100x x=，即10x =时，()L x 取得最大值15万元， 因为915<，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大， 最大利润为15万元.【点睛】关键点睛：本题考查函数模型的选择与应用，考查分段函数，考查基本不等式的应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质和基本不等式，属于常考题.24．（1）1500030306S x x---，定义域为(4,400]；（2）50x =，max 2430S =．【分析】（1）用x 求出矩形的长，然后减去道路宽后计算塑胶运动场地面积S ，注意中间三个小矩形存在，同时400可得定义域；（2）由基本不等式求得最值．【详解】（1）由题意30003000(4)(6)(6)(6)22x x x x S ----=+250030306x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 4060300060x x x⎧⎪->⎪->⎨⎪⎪->⎩，又400x ≤，所以6400x <≤． 综上1500030306S x x---，定义域为(4,400]． （2）由（1）250030306()303062430S x x =-+≤-⨯=，当且仅当2500x x=，即50x =时，等号成立． 所以50x =，max 2430S =．【点睛】关键点点睛：本题考查函数的应用，解题关键是列出函数解析式，在定义域时，要注意变量的实际意义，本题中一是小矩形存在，二是场地长、宽不超过400米，这样才能得定义域．25．（1）()f x 23161532,02120315,312x x x x x x x ⎧-+<≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪+⎩；（2）182.8斤，最大利润为5016元. 【分析】（1）由()()215f x L x x =-以及()L x 的解析式可得结果；（2）分段求出最大值，再取更大的函数值即可得解.【详解】（1）()()215f x L x x =-23161532,02120315,312x x x x x x x⎧-+<≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪+⎩， （2）①当302x <≤时，对称轴3015323224x +=<=，∴当32x =时，()max 45.5f x =百元， ②当332x <≤时，()()12013515113513550.161f x x x ⎡⎤=-++≤-=-≈⎢⎥+⎣⎦百元， 当且仅当()1201511x x =++即1 1.828x =≈百斤， 由①②可知： 1.828x =时，()max 50.16f x ≈百元.∴当施用肥料为182.8斤时，每亩“金皇后”的利润最大，最大利润为5016元.【点睛】本题考查了分段函数的最值，考查了基本不等式求最值，考查了二次函数求最值，属于中档题.26．（1）2()34f x x x =-+；（2）(2,)+∞；（3）(,1)(3,)-∞+∞【分析】（1）根据题意，设出()f x 的解析式，根据题中条件，求得对应的参数，得到结果； （2）利用一元二次方程根的分布，列出对应的不等式，求得结果；（3）根据题中所给的条件，列出对应的不等式，求得结果.【详解】（1）由已知可设2()(0)f x ax bx c a =++≠， 因为()04f =，所以4c =，因为()20f x -<，即220ax bx ++<的解集为{}12x x <<，所以1x =与2x =是方程220ax bx ++=的两根， 则由韦达定理可知12212b a a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得13a b =⎧⎨=-⎩， 所以2()34f x x x =-+；（2）令234()()h x f x m x x m --=+=-， 若()0h x =有一实根大于1，一实根小于1，则(1)20h m =-<，解得2m >，故实数m 的取值范围是：(2,)+∞；（3）若存在x 使()y f x =的图象在()y g x =图象的上方，则存在x 使()()f x g x >，即2341x x x -+>+，即2430x x -+>，所以(1)(3)0x x -->，。
北师大版高中数学必修一第四单元《函数应用》检测(包含答案解析)
一、选择题1．已知1,0()1,0ax x f x x x x +≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，则下列关于[()]1y f f x =+的零点的判断正确的是（ ） A ．当0a >时，有4个零点，当0a <时，有1个零点； B ．当0a >时，有3个零点，当0a <时，有2个零点； C ．无论a 为何值，均有2个零点； D ．无论a 为何值，均有4个零点．2．已知函数()22020,0,,0,x x f x x x x <⎧=⎨-≥⎩若关于x 的方程()()21610f x kf x ++=有四个不同的实数根，则k 的取值范围为（ ） A ．(4,)+∞ B ．(8,)+∞ C ．(,4)-∞- D ．(,8)-∞-3．已知关于x 的方程2(3)10ax a x +-+=在区间1(,)2+∞上存在两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2332a << B ．213a < C ．9aD ．293a < 4．已知函数,01()11,10(1)x x f x x f x ≤<⎧⎪=⎨--<<⎪+⎩，()()4g x f x mx m =--，其中m 是非零的实数，若函数()g x 在区间(1,1)-内有且仅有两个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1,(0,1)5⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭B ．1(,1),5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．1(,1)0,5⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭D ．1,(1,)5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭5．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，|2|()12x f x +=-，若关于x 的方程2()|1|f x a f -+2()0x a +=恰好有四个不同的根1x ，2x ，3x ，4x ，则()()()()12341111f x f x f x f x ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦的取值范围是（ ）A ．160,81⎛⎫⎪⎝⎭B ．10,16⎛⎫⎪⎝⎭C ．116,1681⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．11,164⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．已知偶函数()f x 在[0,)+∞上为增函数，若关于x 的方程()()21xf b f =-有且只有一个实根，则实数b 的取值范围是（ ） A ．2b ≥B ．0b ≥C ．1b ≤-或0b =D ．1b ≥或1b ≤-或0b =7．对任意实数a ，b 定义运算“”：,1,1b a b ab a a b -≥⎧=⎨-<⎩，设()()()214f x x x k =-++，若函数()f x 的图象与x 轴恰有三个交点，则k 的取值范围是（ ） A ．[)2,1-B ．[]0,1C ．(]0,1D ．()2,1-8．若()f x 为奇函数，且0x 是()x y f x e =- 的一个零点，则0x -一定是下列哪个函数的零点 （ ）A ．()1x y f x e =+B ．()1x y f x e -=--C ．()1x y f x e =-D ．()1x y f x e =-+9．已知函数()()()222,0423,46x x x f x x -⎧--≤<⎪=⎨-≤≤⎪⎩,若存在12,x x ,当12046x x ≤<≤≤时,()()12f x f x =,则()12x f x ⋅的取值范围是（ ） A ．[)0,1B ．[]1,4C ．[]1,6D ．[][]0,13,810．已知定义在R .上的偶函数f (x )， 对任意x ∈R ，都有f (2-x ) =f (x +2)，且当[2,0]x ∈-时()21x f x -=-.若在a > 1时，关于x 的方程()()log 20a f x x -+=恰有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1，2)B ．(232，2)C ．23(,2)-∞(2， +∞) D ．(2，+∞)11．已知函数()22,0log ,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩若a b c <<，且满足()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围为（ ） A ．(],0-∞B ．(],1-∞-C ．[]2,0-D ．[]4,0-12．下列方程在区间()1,1-内存在实数解的是（ ） A ．230x x +-=B ．10x e x --=C ．()3ln 10x x -++=D ．2lg 0x x -=二、填空题13．已知函数()()21,043,0x e x f x x x x +⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，函数()y f x a =-有四个不同的零点，从小到大依次为1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x -++的取值范围为 _________14．M 是所有同时满足下列条件的函数()y f x =的集合：①()y f x =的定义域为(0,)+∞；②对任意00x >，001()22f x x =+或001()f x x x =+；若对一切()f x M ∈，关于x 的方程()f x a =恒有解，则实数a 的取值集合是___________15．若函数222,0(),0x x x x f x e a x +⎧->⎪=⎨-≤⎪⎩有3个零点，则实数a 的取值范围是___16．若关于xx m =+有两个不同实数解，则m 的取值范围是______.17．已知函数()()223,ln 1,x x x f x x x λλ⎧--≤⎪=⎨->⎪⎩恰有两个零点，则λ的取值范围为______.18．函数2|1|y x =-的图象与函数y x k =+的图象交点恰为3个，则实数k =__________. 19．2018年5月至2019年春，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蚂虫迅速繁衍，呈现几何式的爆发，仅仅几个月，蝗虫数量增长了8000倍，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦，假设蝗虫的日增长率为5%，最初有0N 只，则经过____________天能达到最初的16000倍（参考数据：ln1.050.0488,ln1.50.4055,ln16007.3778≈≈≈，ln160009.6803≈.20．某物流公司计划在其停车库附近租地建仓库，已知每月土地占用费P (万元)与仓库到停车库的距离x (公里)成反比，而每月库存货物的运费K (万元)与仓库到停车库的距离x (公里)成正比.如果在距停车库18公里处建仓库，这两项费用P 和K 分别为4万元和144万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库到停车库的距离x = ________ 公里.三、解答题21．某化工厂一种溶液的成品，生产过程的最后工序是过滤溶液中的杂质，过滤初期溶液含杂质为2%，每经过一次过滤均可使溶液杂质含量减少一半，记过滤次数为*()x x N ∈时溶液杂质含量为y（1）分别求出1次过滤、2次过滤以后的溶液杂质含量1y ，2y 的值． （2）写出y 与x 的函数关系式（要求写出定义域）（3）按市场要求，出厂成品杂质含量不能超过0.02%，问至少经过几次过滤才能使产品达到市场要求？(参考数据：lg2=0.301)22．某产品拟在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）m 万件与年促销费用x （0x a ≤≤）万元满足141m x =-+.已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要投入25万元.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.（1）将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用x 万元的函数； （2）该服装厂2020年的促销费用投入多少万元时，利润最大？23．某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目，经测算该项目月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可以近似地表示为：[)[)3221805040,120,1443120080000,144,5002x x x x y x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪-+∈⎪⎩，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元.（1）当[]200,300x ∈时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润：如果不获利，则月处理量x 为多少吨时可使亏损量最小？（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 24．已知函数f (x )=x +11x +，g (x )=ax +5-2a (a >0). （1）判断函数f (x )在[0，1]上的单调性，并用定义加以证明；（2）若对任意m ∈[0，1]，总存在m 0∈[0，1]，使得g (m 0)=f (m )成立，求实数a 的取值范围.25．党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，发展混合所有制经济，培育具有全球竞争力的世界一流企业．这为我们深入推进公司改革发展指明了方向，提供了根本遵循．某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A 、B 两种产品，根据市场调查与市场预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图（1）；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）（1）分别求出A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？26．我国辽东半岛普兰附近的泥炭层中，发掘出的古莲子，至今大部分还能发芽开花，这些古莲子是多少年以前的遗物呢？要测定古物的年代，可用放射性碳法.在动植物的体内都含有微量的放射性14C ，动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C 不再产生，且原有的14C 会自动衰变，经过5570年(叫做14C 的半衰期)，它的残余量只有原始量的一半，经过科学家测定知道，若14C 的原始含量为a ，则经过t 年后的残余量a '(与a 之间满足·)kta a e -'=.现测得出土的古莲子中14C 残余量占原始量的87.9%，试推算古莲子是多少年前的遗物.(注：计算结果精确到个位数；20.693ln ≈，2log 0.8790.186≈-.)【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A 解析：A 【分析】按0a >和0a <分类讨论[()]1y f f x =+的零点个数，即确定[()]10f f x +=的解的个数，可得正确选项． 【详解】0x >时，1()f x x x=-是增函数，()(,)f x ∈-∞+∞，此时()f x m =对任意m R ∈均有一解．0x ≤时，若0a >，()1f x ax =+是增函数，()(,1]f x ∈-∞，此时()f x m =在1m 时有一解，1m 时无解，若0a <，()1f x ax =+是减函数，()[1,)f x ∈+∞，此时()f x m =在m 1≥时有一解，1m <时无解，由[())10f f x +=得[()]1f f x =-，设()1f t =-，则0a >时，()1f t =-的解为2t a =-和12t =，20a-<，1012<<，因此2()f x a =-有两解，1()2f x =有两解，共4解．0a <时，()1f t =-只有一解1t =<，()f x = ∴函数[()]1y f f x =+在0a >时，有4个零点，当0a <时，有1个零点． 故选：A ． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的零点，解题方法是转化与化归思想，转化为方程[()]10f f x +=的解．通过换元法，先求得()1f t =-的解，若0t 是其解，再求0()f x t =的解，从而得出结论．2．B解析：B 【分析】设()f x t =，可得方程21610t kt ++=有两个不同的实数根214t <- ，1104t -<<，再利用一元二次方程根的分布列不等式求解即可. 【详解】作出()f x 的图象如图所示，设()f x t =， 要使方程()()21610fx kf x ++=有四个不同的实数根，则方程()21610g t t kt =++=有两个不同的实数根1t ，2t .且()1f x t =有三个根，方程()2f x t =有一个根， 由图可知，214t <-1104t -<<. 设2()161g t t kt =++，则()10,400,g g ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪>⎩，解得8k >. 故选：B.【点睛】函数零点的几种等价形式：函数()()y f x g x =-的零点⇔函数()()y f x g x =-在x 轴的交点⇔方程()()0f x g x -=的根⇔函数()y f x =与()y g x =的交点.3．B解析：B 【分析】可设2()(3)1f x ax a x =+-+，0a ≠，讨论0a >，0a <，结合对称轴与区间的关系和1()2f 的符号、判别式的符号，解不等式可得所求范围． 【详解】解：方程有两个实数根，显然0a ≠，可设2()(3)1f x ax a x =+-+，对称轴是32ax a-=，当0a >时，要使二次方程在区间1(,)2+∞上有两个实数根，如图所示，则需3122a a ->，且113()10242a f a -=++>，且2(3)40a a ∆=--， 即为302a <<且23a >，且9a 或1a ，则213a <；当0a <时，要使二次方程在区间1(,)2+∞上有两个实数根，如图所示，则需3122a a ->，且113()10242a f a -=++<，且2(3)40a a ∆=--， 即为302a <<且23<a ，且9a 或1a ，则a ∈∅．综上可得，a 的取值范围是213a <．故选：B ． 【点睛】本题解题关键是结合二次函数的图象特征研究二次方程根的分布，分类讨论借助图象准确列出不等关系，突破难点.4．C解析：C 【分析】先求得分段函数的解析式，函数()g x 零点等价于函数()y f x =的图象与直线4y mx m =+公共点，做出图像，数形结合，即可求得答案.【详解】当10x -<<时，011x <+<，满足上支范围，所以()11f x x +=+，所以,01 ()11,101x xf xxx≤<⎧⎪=⎨--<<⎪+⎩，作函数()y f x=的图象，如图所示.函数()g x零点的个数等价于函数()y f x=的图象与直线4y mx m=+公共点的个数.当直线4y mx m=+过点(1,1)时，15m=，所以当15m<<时，直线4y mx m=+与函数()y f x=图象有两个公共点.当直线4y mx m=+与曲线111yx=-+（10x-<<）相交时，联立4111y mx myx=+⎧⎪⎨=-⎪+⎩消去y得，24(51)0mx m x m-++=，因此22(51)160m m∆=+->且510m+<时，解得1m<-.综上知，实数m的取值范围是1(,1)0,5⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭.故选：C【点睛】本题的关键是根据x的范围，先求得函数解析式，做出图像，再将零点问题转化为图像交点问题，易错点为，4y mx m=+可以与函数两支都有交点，也可以与函数111yx=-+单支产生交点，需分别检验和计算，属中档题.5．A解析：A【分析】由奇函数得出()f x的性质，作出函数图象，可知()f x t=的解的个数，令()t f x=，原方程变为2210t a t a-++=，根据()f x t=的解的情形，可得2210t a t a-++=有两不等实根且实根12,t t 都在(0,3)上，由二次方程根的分布可得a 的范围，应用韦达定理得1212,t t t t +，这样()()()()12341111f x f x f x f x ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦就可能用a 表示，并根据a 的求得结论． 【详解】由题意(0)0f =，0x >时，2()()21x f x f x -+=--=-，作出函数()f x 的图象，如图，若0a =，则方程2()|1|f x a f -+2()0x a +=为2()()0f x f x -=，()0f x =或()1f x =()0f x =三个解，()1f x =有两个解，原方程共有5个解，不合题意，设()t f x =，因此关于t 方程2210t a t a -++=必有两个不等实根，又12212100t t a t t a ⎧+=+>⎨=>⎩，所以120,0t t >>，从而103t <<，203t <<且12t t ≠.若其中一根为1，则由2110a a -++=，1a ≤-时，2110a a +++=无实数解，1a >-，2110a a --+=，0a =或1a =，不合题意．因此121,1t t ≠≠，由2222103209310140a a a a a a ⎧+<<⎪⎪⎪>⎨⎪-++>⎪∆=+->⎪⎩，解得113-<<a 且0a ≠．不妨设121()()f x f x t ==，342()()f x f x t ==， 则()()()()222212341212121111[(1)(1)][1()][11]f x f x f x f x t t t t t t a a ----=--=-++=-++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦22()a a =-，∵113-<<a 且0a ≠．∴21449a a -≤-<且20a a -≠，∴2160,81a a ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭． 故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题考查方程根的分布问题，解题关键是两个：一是研究函数()f x 的性质，二是换元后得出二次方程，问题转化为二次方程根的分布，求出参数a 的范围．6．D解析：D 【分析】由题意有|21|xb =±-，令20x t =>，即可得22210t t b -+-=有且只有一个实根，22()21f t t t b =-+-问题转化为()f t 在(0,)t ∈+∞上有且仅有一个零点，结合二次函数零点分布即可求b 的取值范围. 【详解】由()f x 是偶函数且在[0,)+∞上为增函数知：|21|xb =±-，∴22(21)x b =-，令20x t =>，则22210t t b -+-=，令22()21f t t t b =-+-，即()f t 在(0,)t ∈+∞上有且仅有一个零点，而2244(1)4b b ∆=--=且对称轴为直线1t =，∴当0∆=，0b =时，在(0,)t ∈+∞上有且仅有一个零点；当0∆>时，22(0)10b f b ⎧>⎨=-≤⎩，解得1b ≤-或1b ≥，在(0,)t ∈+∞上有且仅有一个零点；∴综上，有1b ≤-或1b ≥或0b =， 故选：D. 【点睛】本题考查函数与方程，将方程的根的个数问题转化为对应函数零点个数问题，注意换元法的应用、定义域范围，属于中档题.7．A解析：A 【分析】利用新定义化简()f x 解析式，做出()g x 的函数图象，根据图象即可得出k 的范围. 【详解】解：有题意：21(4)1x x --+，解得：2x -或3x ，所以()24,(,2][3,)1,(2,3)x k x f x x k x ++∈-∞-⋃+∞⎧=⎨-+∈-⎩，令()24,(,2][3,)1,(2,3)x x g x x x +∈-∞-⋃+∞⎧=⎨-∈-⎩画出()g x 的函数图象，如图：因为函数()f x 的图象与x 轴恰有三个交点， 所以()y g x k =+有三个零点， 由图可得：21k -<． 故选：A ． 【点睛】本题考查根据零点个数求参数的范围，求解一元二次不等式，是中档题．8．A解析：A 【解析】试题分析：根据题意有00()0x f x e-=，所以00()x f x e =，而000000()1()110x x x x f x e f x e e e ----+=-+=-⋅+=，所以有0x -是函数()1x y f x e =+的零点，故选A ．考点：函数的零点的定义．9．B解析：B 【详解】根据图像，当()()12f x f x =时，有()212f x ≤≤，将()1f x =代入函数()22f x x =--中，可解得11x =或13x =， 所以当()()12f x f x =时，113x ≤≤， 当[1,2]x ∈时，()f x x =，因为()()12f x f x =， 所以()()21211111x f x x f x x x x ==⋅=⋅⋅，因为1[1,2]x ∈，所以()12[1,4]x f x ⋅∈；当[2,3]x ∈时，()4f x x =-，因为()()12f x f x =， 所以()()21211111(4)(2)4x f x x f x x x x ==⋅-=--⋅+⋅，因为1[2,3]x ∈，所以()12[3,4]x f x ⋅∈； 综上所述，()12x f x ⋅的取值范围是[1,4]. 故选：B.【点睛】本题考查了分段函数与函数与方程的综合性问题，属于中档题型，当正确画出函数的图像后，重点抓住本题的一个关键的条件()12()f x f x =，这样就可以将求()12x f x ⋅的范围转化为求()11x f x ⋅的范围.10．B解析：B 【分析】由函数的奇偶性和周期性作()f x 的图象，将方程的根的问题转化为两函数图象交点的问题，从而得log (22)3log (62)3a a +<⎧⎨+>⎩，进而可求出实数a 的取值范围.【详解】依题意函数()f x 的图象关于y 轴及直线2x =对称，所以()f x 的周期为4， 作出[]2,0x ∈-时()f x 的图象，由()f x 的奇偶性和周期性作出()f x 的图象， 关于x 的方程()log (2)0a f x x -+=恰有三个不同的实数根，可转化为函数()f x 与log (2)a y x =+的图象有三个不同的交点，由数形结合可知log (22)3log (62)3a a +<⎧⎨+>⎩，解得2322a <<，故选:B ．【点睛】本题考查了数形结合的思想，考查了函数的奇偶性和周期性，考查了函数的零点与方程的根，考查了对数不等式的求解，属于中档题.画出函数的图象是本题的关键.11．A解析：A 【分析】画出()f x 的图象结合图象，求得1bc =、求得a 的取值范围，由此求得abc 的取值范围. 【详解】由函数()f x 的图象（如图），可知1022a b c ≤<≤<≤，由22log log b c =得22log log b c -=，所以1bc =，所以(],0abc a =∈-∞．故选：A【点睛】本小题主要考查分段函数的图象与性质，属于中档题.12．B解析：B 【分析】利用方程和函数之间的关系分别进行判断即可得到结论. 【详解】A ：令2()3f x x x =+-，因为抛物线开口向上，()()1010f f -<<，，所以在区间()1,1-内无实数解；B ：令()10xf x e x =--=，解得0x =，所以在区间()1,1-内有实数解；C ：令()()3ln 1f x x x =-++，则1()101f x x '=+>+在()1,1-成立，所以函数在()1,1-上单调递增，又(1)0f <，故在区间()1,1-内无实数解；D ：当(0,1)x ∈时，()20,1x ∈，lg (,0)x ∈-∞，则2lg 0x x ->，此时方程在()1,1-内无解. 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数与方程以及零点存在定理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．【分析】先将函数有四个不同的零点转化为函数有四个不同的交点利用数形结合得到a 的范围再根据为方程的两根为方程的两根利用韦达定理建立的函数再利用函数的单调性求解【详解】因为函数有四个不同的零点所以函数有 解析：(]3,3e +【分析】先将函数()y f x a =-有四个不同的零点，转化为函数(),y f x y a ==有四个不同的交点，利用数形结合得到a 的范围，再根据1x ，2x 为方程()21x e a +=的两根，3x ，4x 为方程43x a x+-=的两根，利用韦达定理建立1234x x x x -++的函数，再利用函数的单调性求解.【详解】因为函数()y f x a =-有四个不同的零点， 所以函数(),y f x y a ==有四个不同的交点， 如图所示：由图知：1a e <≤，设1x ，2x 为方程()21x e a +=的两根，即221ln 0x x a ++-=的两根， 所以121ln =-x x a ， 设3x ，4x 为方程43x a x+-=的两根，即()2340x a x -++=的两根， 所以343x x a +=+，所以1234ln 13ln 2x x x x a a a a -++=-++=++， 因为ln ,2y a y a ==+在()0,∞+上递增， 所以ln 2y a a =++在()0,∞+上递增， 所以1234(3,3]x x x x e ∈-+++， 故答案为：(]3,3e + 【点睛】关键点点睛：本题关键是利用利用数形结合法确定a 的范围，进而利用函数法求解.14．【分析】根据条件可知当且仅当时对一切关于的方程恒有解由此求的取值范围【详解】对任意或当且仅当时对一切关于的方程恒有解此时则实数的取值集合是故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查方程有解求参数的取值范解析：{32±【分析】根据条件可知当且仅当000112=2x x x ++时，对一切()f x M ∈，关于x 的方程()f x a =恒有解，，由此求a 的取值范围. 【详解】对任意00x >，001()22f x x =+或0001()f x x x =+ 当且仅当000112=2x x x ++时，对一切()f x M ∈，关于x 的方程()f x a =恒有解，此时0=2x0()3f x =±，则实数a的取值集合是{3±故答案为：{32± 【点睛】关键点点睛：本题考查方程有解，求参数的取值范围，关键是利用题意，正确求解0x >时，000112=2x x x ++时满足题意.15．【分析】结合与的图象判断出当时的零点个数由此判断出当时的零点个数画出时的图象由此求得的取值范围【详解】画出与的图象如下图所示由图可知当时与的图象有个交点也即的图象有个零点所以当时有个零点当时画出的图解析：{}()21,e ⋃+∞【分析】 结合2xy =与2yx 的图象，判断出当0x >时，()f x 的零点个数.由此判断出当0x ≤时，()f x 的零点个数.画出0x ≤时2x y e +=的图象，由此求得a 的取值范围.【详解】 画出2xy =与2yx 的图象如下图所示，由图可知，当0x >时，2x y =与2y x 的图象有2个交点，也即()f x 的图象有2个零点. 所以当0x ≤时，()f x 有1个零点.当0x ≤时，画出()20x y ex +=≤的图象如下图所示，由图可知，要使()20x y e x +=≤与y a =只有1个交点，则需1a =或2a e >.所以a 的取值范围是{}()21,e ⋃+∞.故答案为：{}()21,e ⋃+∞【点睛】研究分段函数零点问题，可结合函数图象，将零点问题转化为函数交点个数问来研究.16．【分析】先由题中条件得到方程在上有两个不同实数解且对任意恒成立分别求出的范围进而可得出结果【详解】由得且即且因为关于的方程有两个不同实数解所以方程在上有两个不同实数解且对任意恒成立令则函数在区间上有 解析：2,22⎡⎣【分析】先由题中条件，得到方程222240x mx m ++-=在[]2,2x ∈-上有两个不同实数解，且0x m +≥对任意[]2,2x ∈-恒成立，分别求出m 的范围，进而可得出结果.【详解】x m =+得()224x x m -=+且240x -≥， 即222240x mx m ++-=且22x -≤≤，因为关于xx m =+有两个不同实数解，所以方程222240x mx m ++-=在[]2,2x ∈-上有两个不同实数解，且0x m +≥对任意[]2,2x ∈-恒成立，令()22224f x x mx m =++-，[]2,2x ∈-，则函数()f x 在区间[]22-,上有两不同零点， 因为函数()22224f x x mx m =++-是开口向上，对称轴为x m =-的二次函数，因此只需()()()2220204840f f m m ⎧-≥⎪⎪≥⎨⎪∆=-->⎪⎩，解得m -<<又0x m +≥对任意[]2,2x ∈-恒成立，所以m x ≥-对任意[]2,2x ∈-恒成立， 因此只需2m ≥综上，2m ≤<故答案为：2,⎡⎣. 【点睛】 关键点点睛：求解本题的关键在于根据题中条件，得到方程222240x mx m ++-=在[]2,2x ∈-上有两个不同实数解，且0x m +≥对任意[]2,2x ∈-恒成立，（一定要注意0x m +≥），转化为一元二次方程根的分布问题求解即可.17．或【分析】当时求出函数的两个零点是和当时求出函数的零点为然后分三类讨论零点可解得结果【详解】当时令得或；当时令得若的两个零点是和则解得若的两个零点是和则解得若的两个零点是和则此不等式组无解综上所述：解析：12λ-≤<或3λ≥ 【分析】当x λ≤时，求出函数()f x 的两个零点是1-和3，当x λ>时，求出函数()f x 的零点为2，然后分三类讨论零点可解得结果.【详解】当x λ≤时，令2230x x --=，得1x =-或3x =； 当x λ>时，令()ln 10x -=，得2x =，若()f x 的两个零点是1-和3，则132λλλ-≤⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，解得3λ≥，若()f x 的两个零点是1-和2，则132λλλ-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩，解得12λ-≤<，若()f x 的两个零点是2和3，则132λλλ->⎧⎪≤⎨⎪>⎩，此不等式组无解，综上所述：λ的取值范围为12λ-≤<或3λ≥. 故答案为：12λ-≤<或3λ≥. 【点睛】关键点点睛：利用方程求出三个实根后，按照三种情况讨论函数()f x 的零点是哪两个进行求解是解题关键.18．1或【分析】作出函数的图象与函数的图象由图象求实数的值【详解】解：作出函数的图象与函数的图象如下图：当过点时成立此时；当时联立消去得解得故答案为：1或【点睛】本题考查了数学结合思想分类讨论思想属于基解析：1或54【分析】作出函数2|1|y x =-的图象与函数y x k =+的图象，由图象求实数k 的值． 【详解】解：作出函数21y x =-的图象与函数y x k =+的图象如下图：当过点(1,0)-时，成立，此时，1k =-；当(1,1)x ∈-时，21y x =-，联立21y x y x k⎧=-⎨=+⎩，消去y 得210x x k ++-=，()21410k ∆=--=解得 54k =， 故答案为：1或54． 【点睛】本题考查了数学结合思想，分类讨论思想，属于基础题.19．199【分析】设过天能达到最初的16000倍得到方程结合对数的运算性质即可求解【详解】设过天能达到最初的16000倍由已知解得又因为所以过199天能达到最初的16000倍故答案为：199【点睛】本题解析：199 【分析】设过x 天能达到最初的16000倍，得到方程00(10.05)16000xN N +=，结合对数的运算性质，即可求解. 【详解】设过x 天能达到最初的16000倍，由已知00(10.05)16000xN N +=，解得ln16000198.4ln1.05x =≈，又因为x ∈N ，所以过199天能达到最初的16000倍. 故答案为：199.【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中认真审题，列出方程，结合对数的运算公式求解是解答的关键，着重考查运算与求解能力.20．3【分析】由条件设将条件代入可解得的值可以得到两项费用之和的表达式利用均值不等式可求得答案【详解】设由和分别为万元和万元即时可得则两项费用之和为：所以当且仅当即时取得等号故答案为：3【点睛】本题考查解析：3 【分析】由条件设,nP K mx x==，将条件4,144P K ==代入，可解得,m n 的值，可以得到两项费用之和的表达式，利用均值不等式可求得答案. 【详解】设,nP K mx x==,由P 和K 分别为4万元和144万元. 即18x =时4P =，144K =，可得，72,8n m ==.则两项费用之和为：()7280y P K x x x=+=+>.所以72848x x +≥=，当且仅当728x x =，即3x =时取得等号. 故答案为：3 【点睛】本题考查了实际问题转化为数学问题的能力及基本不等式求最值，属于中档题．三、解答题21．（1）1%，0.5%；（2）211()50x y =⨯，*x ∈N ；（3）7． 【分析】 （1）1次过滤后，11502⨯，2次过滤后，1115022⨯⨯，化简即可； （2）由每经过一次过滤均可使溶液杂质含量减少一半得12%(1)2xy =⨯-，*x ∈N ；（3）结合lg20.301=，解不等式11()0020.2%5x ⨯，即可得到x 的范围． 【详解】（1）1次过滤后，溶液杂质含量1110.011%502y =⨯==， 2次过滤后，溶液杂质含量21110.0050.5%5022y =⨯⨯==； （2）因为每经过一次过滤均可使溶液杂质含量减少一半，所以过滤次数为*()x x N ∈时溶液杂质含量111222%(1)()50x x y =⨯-=⨯，*x ∈N ．（3）设至少应过滤x 次才能是产品达到市场要求，则11()0020.2%5x ⨯， 即0121()10x ，所以121lg2100 6.7lg 2lgx=≈， 又*x ∈N ，所以7x ，即至少应过滤7次才能使产品达到市场要求． 【点睛】与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.22．（1）251081y x x =--+（(0,]x a ∈）；（2）当4a ≥时，该服装厂2020年的促销费用投入4万元时，利润最大；当04a <<时，该服装厂2020年的促销费用投入a 万元时，利润最大. 【分析】（1）根据题意，结合已知条件，列出函数关系即可；（2）对函数进行配凑，使之可用基本不等式，即可求得利润的最大值. 【详解】（1）由题意知：每件产品的销售价格为8252mm+⨯ 所以()8252825my m m x m+=⋅-++825m x =+-. 182541x x ⎛⎫=+-- ⎪+⎝⎭251081x x =--+（(0,]x a ∈） 所以251081y x x =--+（(0,]x a ∈）. （2）当4a ≥时，由251081y x x =--+()2510911x x ⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦10999≤-=当且仅当2511x x =++，即4x =时取等号.又(0,]x a ∈ 当4x =时，y 有最大值；当04a <<时，令()251091f x x x =--+ 在(]0,a 上任取12,x x 使得12x x <()()()()()121221121225252510910911111f x f x x x x x x x x x ⎛⎫-=---++=--⎪ ⎪++++⎝⎭(]()()()()122112121225,0,,401125,1011x x x x x x a a x x x x ∴-∈<∴<++<∴+<<>-+()()()120f x f x f x ∴-<∴是(]0,a 上的增函数..所以x a =时，y 有最大值；答：当4a ≥时，该服装厂2020年的促销费用投入4万元时，利润最大； 当04a <<时，该服装厂2020年的促销费用投入a 万元时，利润最大.. 【点睛】关键点睛：解题关键在于，当4a ≥时，利用均值不等式得到，251081y x x =--+()2510911x x ⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦10999≤-=；当04a <<时，令()251091f x x x =--+，利用定义法判断()f x 的单调性，进而求出x a =时，y 有最大值，最后得到答案，难度属于中档题23．（1）不能获利，当月处理量为300吨时可使亏损最小；（2）每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低. 【分析】（1）设项目获利为S ，根据二次函数知识可知，当[]200,300x ∈时，0S <，因此，该项目不会获利：当300x =时，S 取得最大值-5000；（2）根据题意可知，[)[)21805040,120,1443180000200,144,5002x x x y x x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪+-∈⎪⎩，分段求出最小值，比较可得答案. 【详解】（1）当[]200,300x ∈时，该项目获利为S ，则()2221112002008000040080000400222S x x x x x x ⎛⎫=--+=-+-=-- ⎪⎝⎭，当[]200,300x ∈时，0S <，因此，该项目不会获利：当300x =时，S 取得最大值-5000，故当月处理量为300吨时可使亏损最小，为5000元；（2）由题意知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：[)[)21805040,120,1443180000200,144,5002x x x y x x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪+-∈⎪⎩当[)120,144x ∈时，()211202403y x x =-+，所以当120x =时，y x 取得最小值240，当[)144,500x ∈时，1800002002002002y x x x =+-≥=， 当且仅当1800002x x =时等号成立，即400x =时，yx取得最小值200， ∵200240∴每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 24．（1）函数f (x )在[0，1]上单调递增，证明见解析；（2）72,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）任取1201x x ≤<≤，计算()()12f x f x -并判断正负即可判断单调性；（2）可得出f (m )∈31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，g (m 0)∈[5-2a ，5-a ]，由题得31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦⊆[5-2a ，5-a ]，即可建立不等式求出. 【详解】（1）函数f (x )在[0，1]上单调递增， 证明如下：设1201x x ≤<≤， 则()()12f x f x -12121111x x x x =+--++ ()()()21121211x x x x x x -=-+++()()()()1212121211x x x x x x x x -++=++，因为120x x -<，()()12110x x ++>，12120x x x x ++>， 所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <， 所以函数f (x )在[0，1]上单调递增；（2）由（1）知，当m ∈[0，1]时，f (m )∈31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.因为0a >，()52g x ax a =+-在[0，1]上单调递增， 所以m 0∈[0，1]时，g (m 0)∈[5-2a ，5-a ].依题意，只需31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦⊆[5-2a ，5-a ]， 所以521352a a -≤⎧⎪⎨-≥⎪⎩解得2≤a ≤72， 即实数a 的取值范围为72,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】关键点睛：本题考查与函数相关的方程的有解性问题，解题的关键是求出()0g m 和()f m 的取值范围，由()f m 的范围是()0g m 范围的子集建立不等式求解.25．（1）A 产品的利润为1()(0)2f x x x =≥，B产品的利润为()0)g x x =≥；（2）A 产品投入6万元，B 产品投入4万元时取得最大利润，最大利润为7万元． 【分析】（1）由题设1()f x k x =，()g x k = （2）列出企业利润的函数解析式21()(10)10)y f x g x x x =+-=+≤≤换元法求得函数最值得解. 【详解】（1）设投资为x 万元，A 产品的利润为()f x 万元，B 产品的利润为()g x 万元 由题设1()f x k x =，()g x k =， 由图知()21f =，故112k =，又(4)4g =，∴22k =． 从而1()(0)2f x x x =≥，()0)g x x =≥． （2）设A 产品投入x 万元，则B 产品投入10x -万元，设企业利润为y 万元21()(10)10)y f x g x x x =+-=+≤≤令t =21(2)7(02y t t =--+≤≤ 当2t =时，max 7y =，此时6x =． 【点睛】函数最值问题中函数表达式中若含有根式，通常采用换元法求解函数最值.26．古莲子约为1036年前的遗物 【分析】由14C 的半衰期，计算可得k ，再由两边取2为底的对数，计算可得所求值. 【详解】 由题意可得55701·2k a a e -=， 即557012k e -=， 解得25570ln k =， 由0.879?kt a a e -=， 即0.879kt e -=，两边取2为底的对数，可得2222log 0.879log ?·log 5570ln kt e t e =-=-， 5570t-=， 则55700.1861036t =⨯≈. 则古莲子约为1036年前的遗物. 【点睛】本题主要考查函数在实际问题中的运用以及指数与对数的运算，还考查了函数思想和运算能力，属于中档题.。
高中数学北师大版必修一学业分层测评第四章 函数应用(22) Word版含解析
学业分层测评(二十二)(建议用时：分钟)[学业达标]一、选择题．函数()＝＋的零点所在的一个区间是( )．(－)．(－，－)．()．()【解析】因为函数()的图像是连续不断的一条曲线，又(－)＝－－＜，()＝＞，所以(－)·()＜，故函数零点所在的一个区间是(－)．故选.【答案】．函数()＝－)的零点有( )．个．个．个．个【解析】由()＝－)＝得：＝，∴()＝－)只有一个零点．【答案】．若函数()＝＋＋没有零点，则实数的取值范围是( )．>．<．≥．≤【解析】由题意知，Δ＝－<，∴>.【答案】．(·湖南长沙一中高一期中)函数()＝＋－零点所在大致区间是( )．()．()．()．()【解析】∵()＝＋－，∴()＝＋－＝－<，()＝＋－＝－＜，()＝＋－＝>，()＝＋－＝＋＞，()＝＋－＝＋＞，∴函数()＝＋－零点所在大致区间是()．故选.【答案】．设函数()＝－ (＞)，则＝()( )．在区间，(，)内均有零点．在区间，(，)内均无零点．在区间内无零点，在区间(，)内有零点．在区间内有零点，在区间(，)内无零点【解析】因为＝－＝＋＞，()＝－＝＞，()＝－＝－＜.故函数()在内无零点，在区间(，)内有零点．【答案】二、填空题．(·威海高一检测)函数()＝＋－的一个零点是－，则另一个零点是．【解析】由题意(－)－－＝，解得＝，由＋－＝，解得＝－，＝.故另一个零点为.【答案】．若函数()＝－－(＞且≠)有两个零点，则实数的取值范围是．【解析】函数()的零点的个数就是函数＝与函数＝＋交点的个数，由函数的图像如图所示，可知＞时两函数图像有两个交点，＜＜时两函数图像有唯一交点，故＞.【答案】(，＋∞)．已知函数()＝＋－(＞，且≠)．当＜＜＜＜时，函数()的零点∈(，＋)，∈＋，则＝.【解析】∵＜＜＜＜，当＝时，。
最新北师大版高中数学必修一第四单元《函数应用》检测(包含答案解析)
一、选择题1．已知1,0()1,0ax x f x x x x +≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，则下列关于[()]1y f f x =+的零点的判断正确的是（ ） A ．当0a >时，有4个零点，当0a <时，有1个零点； B ．当0a >时，有3个零点，当0a <时，有2个零点； C ．无论a 为何值，均有2个零点； D ．无论a 为何值，均有4个零点．2．已知关于x 的方程2(3)10ax a x +-+=在区间1(,)2+∞上存在两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2332a << B ．213a < C ．9a D ．293a <3．已知函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且其图像关于直线1x =对称，若()0f x =在[0,1] 内有且只有一个根12x =，则()0f x =在区间[0,2017] 内根的个数为（ ） A ．1006B ．1007C ．2016D ．20174．已知函数321()232x f x ax bx c =+++的两个极值分别为1()f x 和2()f x ，若1x 和2x 分别在区间(0,1)与(1,2)内，则21b a --的取值范围是（ ） A ．(1,14)B ．1[,1]4C ．1(,)(1,)4-∞+∞D ．1(,][1,)4-∞+∞5．若函数2()x f x x e a =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．24(,)e+∞ B ．24(0,)eC ．2(0,4)eD ．(0,)+∞6．某工厂生产某产品2019年每月生产量基本保持稳定，2020年由于防疫需要2、3、4、5月份停产，6月份恢复生产时月产量仅为去年同期的一半，随着疫情缓解月产量逐步提高．该工厂如果想8月份产量恢复到去年同期水平，那么该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达多少个百分点？（ ） A ．25B ．35C ．42D ．507．已知()11xf x e =-+，若函数2()[()](2)()2g x f x a f x a =+--有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(2,1)--B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(1,2)8．已知函数()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的偶函数，当(0,)x ∈+∞时，2(1),02()1(2),22x x f x f x x ⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数2()8()6()1g x f x f x =-+的零点个数为（ ）A ．20B ．18C ．16D ．149．函数()f x 对于任意实数x ，都()()f x f x -=与(1)(1)f x f x -=+成立，并且当01x ≤≤时，()2f x x =.则方程()02019xf x -=的根的个数是（ ） A ．2020 B ．2019C ．1010D ．100910．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度为1θC ，空气的温度是0θC ，那么t 分钟后物体的温度θ（单位C ）可由公式：()010kt e θθθθ-=+-求得，其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有100℃的物体，放在20C 的空气中冷却，4分钟后物体的温度是60C ，则再经过（ ）分钟，物体的温度是40C （假设空气的温度保持不变）. A ．2B ．4C ．6D ．811．下列方程在区间()1,1-内存在实数解的是（ ） A ．230x x +-=B ．10x e x --=C ．()3ln 10x x -++=D ．2lg 0x x -=12．已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx xk =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（ ） A ．1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,(0,22)2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭C ．(,0)(0,22)-∞ D ．(,0)(22,)-∞+∞二、填空题13．已知()f x 是定义在[)1,+∞上的函数，且()123,1211,222x x f x f x x ⎧--≤<⎪=⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，则函数2()3y xf x =-在区间()1,2015上零点的个数为 ．14．对于函数()f x ，若在定义域存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”．若函数()423xxf x m =-⋅-是定义在R 上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范围为______．15．M 是所有同时满足下列条件的函数()y f x =的集合：①()y f x =的定义域为(0,)+∞；②对任意00x >，001()22f x x =+或001()f x x x =+；若对一切()f x M ∈，关于x 的方程()f x a =恒有解，则实数a 的取值集合是___________16．定义在R 上的函数()f x ，满足()()f x f x -=-且()(2)f x f x =-，当01x <≤时，2()log f x x =，则方程()f x x =-在()2,2-上的实数根之和为___________．17．已知函数f(x)＝若关于x 的方程f(x)＝k 有三个不同的实根，则实数k的取值范围是________．18．方程()2332log log 30x x +-=的解是______.19．若函数2,1()4()(2),1x a x f x x a x a x ⎧-<=⎨--≥⎩恰有两个零点，则实数a 的范围是________20．规定[]t 为不超过t 的最大整数，如[]3.33=，[]2.43-=-.若函数()[][]()2f x x x x =-∈R ，则方程()()22f x f x -=的解集是______.三、解答题21．已知函数()11f x x=-，实数a 、b 满足a b <． （1）在下面平面直角坐标系中画出函数()f x 的图象；（2）若函数在区间[],a b 上的值域为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求+a b 的值；（3）若函数()f x 的定义域是[],a b ，值域是[](),0ma mb m >，求实数m 的取值范围． 22．已知a R ∈，函数21()log f x a x ⎛⎫=+⎪⎝⎭． （1）当5a =时，解不等式()0f x >；（2）若函数()()22log g x f x x =+只有一个零点，求实数a 的取值范围；23．某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目，经测算该项目月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可以近似地表示为：[)[)3221805040,120,1443120080000,144,5002x x x x y x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪-+∈⎪⎩，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元.（1）当[]200,300x ∈时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润：如果不获利，则月处理量x 为多少吨时可使亏损量最小？（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 24．设函数2()2||3f x x x =-+；（1）判断函数()f x 的奇偶性，并用定义证明你的结论；（2）画出()y f x =的图象；若方程()f x m =有3个不同的实数根，试写出这3个根． 25．荷兰阿斯麦尔公司（ASML ）是全球高端光刻机霸主，最新的EUV （极紫外光源）具备7nm 工艺.芯片是手机中重要部件，除此以外还有如液晶屏、电池等配件.如果某工厂一条手机配件生产线的产量ω（单位：百个）与生产成本x （单位：百元）满足如下关系：()213(02)236(25)1x x x x xω⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪+⎩此外，还需要投入其他成本（如运输、包装成本等）2x 百元，已知这种手机配件的市场售价为16元/个（即16百元/百个），且市场需要始终供不应求.记这条生产线获得的利润为()L x （单位：百元）. （Ⅰ）求()L x 的函数表达式；（Ⅱ）当投入的生产成本为多少时，这条生产线获得的利润最大？最大利润是多少？ 26．某服装厂品牌服装的年固定成本100万元，每生产1万件需另投入27万元，设服装厂一年内共生产该品牌服装x 万件并全部销售完，每万件的销售收入为R （x ）万元.且()()()2211080103108010000103x x R x x xx ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩（1）写出年利润y （万元）关于年产量x （万件）的函数关系式；（2）年产量为多少万件时，服装厂在这一品牌的生产中所获年利润最大？（注：年利润=年销售收入－年总成本）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】按0a >和0a <分类讨论[()]1y f f x =+的零点个数，即确定[()]10f f x +=的解的个数，可得正确选项． 【详解】0x >时，1()f x x x=-是增函数，()(,)f x ∈-∞+∞，此时()f x m =对任意m R ∈均有一解．0x ≤时，若0a >，()1f x ax =+是增函数，()(,1]f x ∈-∞，此时()f x m =在1m 时有一解，1m 时无解，若0a <，()1f x ax =+是减函数，()[1,)f x ∈+∞，此时()f x m =在m 1≥时有一解，1m <时无解，由[())10f f x +=得[()]1f f x =-，设()1f t =-，则0a >时，()1f t =-的解为2t a =-和12t =，20a-<，1012<<，因此2()f x a =-有两解，1()2f x =有两解，共4解．0a <时，()1f t =-只有一解112t =<，1()2f x =只有一解， ∴函数[()]1y f f x =+在0a >时，有4个零点，当0a <时，有1个零点． 故选：A ． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的零点，解题方法是转化与化归思想，转化为方程[()]10f f x +=的解．通过换元法，先求得()1f t =-的解，若0t 是其解，再求0()f x t =的解，从而得出结论．2．B解析：B 【分析】可设2()(3)1f x ax a x =+-+，0a ≠，讨论0a >，0a <，结合对称轴与区间的关系和1()2f 的符号、判别式的符号，解不等式可得所求范围． 【详解】解：方程有两个实数根，显然0a ≠，可设2()(3)1f x ax a x =+-+，对称轴是32ax a-=， 当0a >时，要使二次方程在区间1(,)2+∞上有两个实数根，如图所示，则需3122a a ->，且113()10242a f a -=++>，且2(3)40a a ∆=--， 即为302a <<且23a >，且9a 或1a ，则213a <；当0a <时，要使二次方程在区间1(,)2+∞上有两个实数根，如图所示，则需3122a a ->，且113()10242a f a -=++<，且2(3)40a a ∆=--， 即为302a <<且23<a ，且9a 或1a ，则a ∈∅．综上可得，a 的取值范围是213a <．故选：B ． 【点睛】本题解题关键是结合二次函数的图象特征研究二次方程根的分布，分类讨论借助图象准确列出不等关系，突破难点.3．D解析：D 【分析】由(2)()f x f x +=，以及()(2)f x f x -=+，进而推出()f x 为偶函数，且()f x 是周期等于2的周期函数，根据1()02f =，求出3()02f =，从而得到函数()f x 在一个周期的零点个数，且函数()f x 在每两个整数之间都有一个零点，从而得到()0f x =在区间[0，2017]内根的个数．【详解】解：函数()f x 满足(2)()f x f x +=， 故函数()f x 是周期等于2的周期函数，其图象关于直线1x =对称，可得()(2)f x f x -=+， 即有()()f x f x -=，1()02f =， 1()02f ∴-=，再由周期性得13(2)()022f f -+==， 故函数()f x 在一个周期[0，2]上有2个零点， 即函数()f x 在每两个整数之间都有一个零点， ()0f x ∴=在区间[0，2017]内根的个数为2017．故选：D ． 【点睛】利用函数的奇偶性与周期性相结合，求出函数在指定区间的零点个数，求解的关键在于周期性的应用.4．A解析：A 【分析】由极值点的所在区间即可知()f x 的导函数2()2f x x ax b '=++的零点区间，应用根的分布可得1310a b ->>-⎧⎨>>⎩，结合目标式的几何意义即可求其范围.【详解】由题意知：2()2f x x ax b '=++，而()f x 两个极值点1x 和2x 分别在区间(0,1)与(1,2)内，∴方程220x ax b ++=两个根在(0,1)与(1,2)内，()'f x 开口向上，∴012020b a b a b >⎧⎪++<⎨⎪++>⎩，可得1310a b ->>-⎧⎨>>⎩，即214122a b ->->-⎧⎨->->-⎩，∴令1,2x a y b =-=-，问题转化为在24,12x y ->>-->>-的可行域内的点与原点所成直线斜率yx的取值范围，如下图示：有1(,1)4y x ∈， 故选：A 【点睛】本题考查了根据函数极值点的所在区间求目标式的范围，应用了极值点与导数关系、根的分布、不等式的性质，结合线性规划及目标式的几何意义求范围，属于中档题.5．B解析：B 【分析】求导函数，求出函数的极值，利用函数2()xf x x e a =-恰有三个零点，即可求实数a 的取值范围. 【详解】函数2xy x e =的导数为2'2(2)x x xy xe x e xe x =+=+， 令'0y =，则0x =或2-，20x -<<上单调递减，(,2),(0,)-∞-+∞上单调递增，所以0或2-是函数y 的极值点， 函数的极值为：224(0)0,(2)4f f ee -=-==，函数2()x f x x e a =-恰有三个零点，则实数的取值范围是：24(0,)e . 故选B. 【点睛】该题考查的是有关结合函数零点个数，来确定参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意应用导数研究函数图象的走向，利用数形结合思想，转化为函数图象间交点个数的问题，难度不大.6．C解析：C 【分析】设该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达x ，8月份产量去年同期水平为a ，则21(1)2a x a +=．由此能求出该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达多少个百分点． 【详解】设该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达x ，8月份产量去年同期水平为a ，则21(1)2a x a +=．解得10.41442%x =≈≈．∴该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达42个百分点．故选：C ． 【点睛】本题考查百分点的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．A解析：A 【分析】利用十字相乘法解()0g x =，得()2f x =或()f x a =-，利用函数与方程之间的关系转化为两个图象的交点个数问题进行求解即可． 【详解】解：若2()[()](2)()2[()2][()]g x f x a f x a f x f x a =+--=-+有三个零点， 即()[()2][()]0g x f x f x a =-+=有三个根， 即()2f x =或()f x a =-．当()2f x =时，由|1|12x e -+=，即|1|1x e -=，则11x e -=或11x e -=-， 即2x e =或0x e =，则2x ln =或x 无解，此时方程只有一个解， 则()f x a =-．有两个不同的根， 作出()f x 的图象如图：由图象知，则12a <-<，即21a -<<-， 即实数a 的取值范围是(2,1)--， 故选：A ．【点睛】本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合转化为两个函数图象的交点个数问题是解决本题的关键．8．C解析：C 【分析】解方程()0g x =，得1()2f x =或1()4f x =，作出()f x 的图象，由对称性只要作0x >的部分，观察()f x 的图象与直线12y =和直线14y =的交点的个数即得． 【详解】2()8()6()10g x f x f x =-+=,1()2f x ∴=或1()4f x = 根据函数解析式以及偶函数性质作()f x 图象， 当02x <≤时，()()21f x x =-.，是抛物线的一段， 当(]()()12,2,22,1,2,3,,22时，>∈+=⋯=-x x k k k f x f x ，是由(]22,2,∈-x k k 的图象向右平移2个单位，并且将每个点的纵坐标缩短为原来的一半得到，依次得出y 轴右侧的图象，根据对称轴可得y 左侧的结论，6x >时，1()8f x ≤，()y f x =的图象与直线12y =和14y =的交点个数，分别有3个和5个，∴函数g(x)的零点个数为2(35)16⨯+=，故选：C ．【点睛】本题考查函数零点个数，解题方法是数形结合思想方法，把函数零点个数转化为函数图象与直线交点个数，由图象易得结论．9．A解析：A 【分析】由题意明确函数的周期性，数形结合即可得到方程()02019xf x -=的根的个数. 【详解】 对任意实数x 都有f （x +2）＝f [1+（1+x ）]＝f [1﹣（1+x ）]＝f （﹣x ）， 由于f （x ）为偶函数，f （﹣x ）＝f （x ） ∴f （x +2）＝f （x ）∴函数f （x ）是以2为周期的周期函数，且值域为[]0,1． 方程()02019x f x -=的根的个数即函数()f x 图象与直线y 2019x=的交点个数， 当2019x =时，y 12019x ==，当x 2019>时，函数()f x 图象与直线y 2019x=无交点，由图像可得二者的交点个数为2020个 故选A 【点睛】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的周期性，函数的图象，方程根与函数零点的关系，难度中档．10．B解析：B 【分析】根据题意将数据120θ=，0100θ=，60θ=，4t =代入()010kte θθθθ-=+-，可得1412k e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，再将40θ代入即可得8t =，即可得答案.【详解】由题意知：120θ=，0100θ=，60θ=，4t =代入()010kte θθθθ-=+-得：()4602010020ke-=+-，解得1412k e -⎛⎫= ⎪⎝⎭所以当40θ时，()1440201002012t ⎛⎫ -⎪⎭=+⎝，解得：124114212t ⎛⎫== ⎛⎫ ⎝⎪⎭⎪⎭⎝， 所以8t =，所以再经过4分钟物体的温度是40C ， 故选：B 【点睛】本题主要考查了指数函数的综合题，关键是弄清楚每个字母的含义，属于中档题.11．B解析：B 【分析】利用方程和函数之间的关系分别进行判断即可得到结论. 【详解】A ：令2()3f x x x =+-，因为抛物线开口向上，()()1010f f -<<，，所以在区间()1,1-内无实数解；B ：令()10xf x e x =--=，解得0x =，所以在区间()1,1-内有实数解；C ：令()()3ln 1f x x x =-++，则1()101f x x '=+>+在()1,1-成立，所以函数在()1,1-上单调递增，又(1)0f <，故在区间()1,1-内无实数解；D ：当(0,1)x ∈时，()20,1x ∈，lg (,0)x ∈-∞，则2lg 0x x ->，此时方程在()1,1-内无解. 故选：B.【点睛】本题主要考查函数与方程以及零点存在定理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12．D解析：D 【分析】由(0)0g =，结合已知，将问题转化为|2|y kx =-与()()||f x h x x =有3个不同交点，分0,0,0k k k =<>三种情况，数形结合讨论即可得到答案.【详解】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根 即可， 令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点. 因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩， 当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有1个不同交点，不满足题意； 当0k <时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意； 当0k >时，如图3，当2y kx =-与2yx 相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得22k =（负值舍去），所以22k >. 综上，k 的取值范围为(,0)(22,)-∞+∞.故选：D.【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.二、填空题13．11【分析】令函数得到方程从而化函数的零点为方程的根再转化为两个函数的交点问题从而解得【详解】解：令函数得到方程当时函先增后减在时取得最大值1而在时也有；当时在处函数取得最大值而在时也有；当时在处函解析：11 【分析】令函数2()30y xf x =-=，得到方程3()2f x x=，从而化函数的零点为方程的根，再转化为两个函数的交点问题，从而解得． 【详解】解：令函数2()30y xf x =-=，得到方程3()2f x x=， 当[)1,2x ∈时，函()f x 先增后减，在32x =时取得最大值1，而32y x =在32x =时也有1y =； 当)22,2x ⎡∈⎣时，11()22f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，在3x =处函数()f x 取得最大值12， 而32y x =在3x =时也有12y =； 当)232,2x ⎡∈⎣时，11()22f x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭，在6x =处函数()f x 取得最大值14， 而32y x =在6x =时也有14y =； …，当)10112,2x ⎡∈⎣时，11()22f x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭，在1536x =处函数()f x 取得最大值1012， 而32y x =在1536x =时也有1012y =； 综合以上分析，将区间()1,2015分成11段，每段恰有一个交点，所以共有11个交点，即有11个零点． 故答案为：11． 【点睛】本题考查函数的零点，对于较为复杂的函数的零点，可以转化为常见函数的图象的交点来考虑，本题属于中档题．14．【分析】根据局部奇函数的定义便知若函数是定义在上的局部奇函数只需方程有解可设从而得出方程在时有解从而设由二次函数的性质分析可得答案【详解】根据题意由局部奇函数的定义可知：若函数是定义在上的局部奇函数 解析：[)2,-+∞【分析】根据“局部奇函数”的定义便知，若函数()f x 是定义在R 上的“局部奇函数”，只需方程()()2222280xx x x m --+-+-=有解．可设()222x xt t -+=≥，从而得出方程280t mt --=在2t ≥时有解，从而设()28g x t mt =--，由二次函数的性质分析可得答案． 【详解】根据题意，由“局部奇函数”的定义可知：若函数()423xxf x m =-⋅-是定义在R 上的“局部奇函数”，则方程()()f x f x -=-有解，即()423423xx x x m m ---⋅-=--⋅-有解；变形可得()442260xxx x m --+-+-=，即()()2222280xx x x m --+-+-=有解即可.设22x x t -+=，则222x x t -=+≥=，当且仅当0x =时，等号成立. 则方程()()f x f x -=-等价为280t mt --=在2t ≥时有解.设()28g t t mt =--，若方程280t mt --=的两根分别为1t 、2t ，则1280t t =-<，所以，()2428240g m m =--=--≤， 解可得：2m ≥-，即m 的取值范围为[)2,-+∞． 故答案为：[)2,-+∞． 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.15．【分析】根据条件可知当且仅当时对一切关于的方程恒有解由此求的取值范围【详解】对任意或当且仅当时对一切关于的方程恒有解此时则实数的取值集合是故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查方程有解求参数的取值范解析：{3 【分析】根据条件可知当且仅当000112=2x x x ++时，对一切()f x M ∈，关于x 的方程()f x a =恒有解，，由此求a 的取值范围. 【详解】对任意00x >，001()22f x x =+或0001()f x x x =+ 当且仅当000112=2x x x ++时，对一切()f x M ∈，关于x 的方程()f x a =恒有解，此时0=2x0()32f x =±，则实数a的取值集合是{32±故答案为：{3± 【点睛】关键点点睛：本题考查方程有解，求参数的取值范围，关键是利用题意，正确求解0x >时，000112=2x x x ++时满足题意. 16．0【分析】首先由条件求出函数周期为再利用当时作出和的图象方程在上的实数根之和为由图象结合奇函数的性质即可求解【详解】因为函数满足且所以即所以所以函数周期为由可得所以对称轴为当时作函数和图象如图所示：解析：0 【分析】首先由条件求出函数()f x 周期为4，再利用当01x <≤时，2()log f x x =，作出和y x =-的图象，方程()f x x =-在()2,2-上的实数根之和为1234x x x x +++，由图象结合奇函数的性质即可求解. 【详解】因为函数()f x 满足()()f x f x -=-且()(2)f x f x =-，所以[](2)2(2)()f x f x f x +=-+=-，即(2)()f x f x +=-， 所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=， 所以函数()f x 周期为4，由()(2)f x f x =-可得(1)(1)f x f x +=-，所以()f x 对称轴为1x =， 当01x <≤时，2()log f x x =， 作函数()y f x =和y x =-图象如图所示：其中()y f x =时奇函数，y x =-也是奇函数， 设两个函数图象交点的横坐标分别为1x 、2x 、3x 、4x 方程()f x x =-在()2,2-上的实数根之和为1234x x x x +++， 由图象结合奇函数的性质可得：14230x x x x +=+=，O 所以12340x x x x +++=，方程()f x x =-在()2,2-上的实数根之和为0， 故答案为：0 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用已知条件求出()f x 周期为4，方程()f x x =-在()2,2-上的实数根之和等价于()y f x =和y x =-图象交点的横坐标之和，关键点是作出()y f x =在()2,2-的图象，数形结合即可求解.17．【分析】问题等价于函数f(x)与函数y ＝k 的图象有三个不同的交点画出函数的图象然后结合图象求解即可【详解】关于x 的方程f(x)＝k 有三个不同的实根等价于函数y=f(x)的图象与函数y ＝k 的图象有三个解析：()1,0-【分析】问题等价于函数f(x)与函数y ＝k 的图象有三个不同的交点，画出函数()y f x =的图象，然后结合图象求解即可． 【详解】关于x 的方程f(x)＝k 有三个不同的实根，等价于函数y=f(x)的图象与函数y ＝k 的图象有三个不同的交点，作出函数的图象如图所示，由图可知实数k 的取值范围是(－1,0)． 【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．18．或【分析】设原方程等价转化为由此能求出原方程的解【详解】设则原方程转化为解得当即解得当即解得所以原方程的解为或故答案为：或【点睛】本题考查方程的解的求法解题时要认真审题注意换元法的合理运用属于基础题解析：39或3 【分析】设3log x t =，原方程等价转化为2230t t +-=，由此能求出原方程的解. 【详解】设3log x t =，则原方程转化为2230t t +-=，解得132t =-，21t =， 当132t =-，即33log 2x =-，解得3x = 当21t =，即3log 1x =，解得3x =， 33. 故答案为：39或3.【点睛】本题考查方程的解的求法，解题时要认真审题，注意换元法的合理运用，属于基础题.19．【分析】分别设分两种情况讨论即可求出的范围【详解】解：设若在时与轴有一个交点所以并且当时所以而函数有一个交点所以且所以若函数在时与轴没有交点则函数有两个交点当时与轴无交点无交点所以不满足题意（舍去）解析：1[,1)[2,)2+∞【分析】分别设()2,()4()(2)xh x a g x x a x a =-=--，分两种情况讨论，即可求出a 的范围.【详解】解：设()2,()4()(2)xh x a g x x a x a =-=--， 若在1x <时，()2xh x a =-与x 轴有一个交点，所以0a >，并且当1x =时，(1)20h a =-> ，所以02a <<， 而函数()4()(2)g x x a x a =--有一个交点，所以21a ≥，且1a <， 所以112a ≤<， 若函数()2xh x a =-在1x <时，与x 轴没有交点， 则函数()4()(2)g x x a x a =--有两个交点，当0a ≤时，()h x 与x 轴无交点，()g x 无交点，所以不满足题意（舍去），当(1)20h a =-≤时，即2a ≥时，()g x 的两个交点满足12,2x a x a ==，都是满足题意的，综上所述a 的取值范围是112a ≤<，或2a ≥. 故答案为：1[,1)[2,)2+∞.【点睛】本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题.20．【分析】先计算出的取值再结合题目中的规定计算出结果【详解】由方程可得或若则故或由题目中的规定为不超过的最大整数当时可得当时可得;若则无解综上方程的解集是故答案为:【点睛】本题考查了新定义内容结合函数 解析：[)[)1,02,3-【分析】先计算出()f x 的取值,再结合题目中的规定计算出结果. 【详解】由方程()()22fx f x -=,可得()2f x =或()1f x =-,若()2f x =,则[][]()22x x x -=∈R ,故[]2x =或[]1x =-,由题目中的规定[]t 为不超过t 的最大整数, 当[]2x =时,可得23x ≤<, 当[]1x =-时,可得10x -≤<;若()1f x =-,则[][]()21x x x -=-∈R 无解,综上方程()()22fx f x -=的解集是[)[)1,02,3-.故答案为:[)[)1,02,3-【点睛】本题考查了新定义内容,结合函数思想来解题,需要理清题意,抓住题目的核心,通常考查函数的性质、零点等问题.三、解答题21．（1）图象见解析；（2）1；（3）10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【分析】（1）化简函数()f x 的解析式，进而可作出函数()f x 的图象； （2）分别解方程()13f x =和()3f x =，结合图象可得出a 、b 的值，进而可求得结果； （3）由题意可知函数()f x 在区间[],a b 上单调递增，分析得出方程210mx x -+=在[)1,+∞上有两个不等的实根，利用二次函数的零点分布可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】（1）由题意可得()(]()()11,0,11111,,01,x xf x x x x⎧-∈⎪⎪=-=⎨⎪-∈-∞⋃+∞⎪⎩，则由图形变换可画出函数图象，如图：（2）当()13f x =时，此时1113x -=，解得32x =或34x =；当()3f x =时，此时113x -=，解得12x =-或14x =.由（1）中的图象可知，若使得函数()f x 在区间[],a b 上的值域为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则[](),0,a b ⊆+∞，由图象可得1344a b ==，，所以1a b +=； （3）因为函数()f x 的定义域是[],a b ，值域是[](),0ma mb m >，分以下几种情况讨论：①若0a b <<，则0ma mb <<，由图象可知，函数()f x 在[],a b 上单调递增，函数()f x 在[],a b 上的值域为()(),f a f b ⎡⎤⎣⎦，由图象可知()()00f a f b ⎧>⎪⎨>⎪⎩，不合乎题意；②若01a b <<<，则函数()f x 在[],a b 上单调递减，所以函数()11f x x =-在[],a b 上的值域为()(),f b f a ⎡⎤⎣⎦，则()()1111f b ma bf a mba ⎧=-=⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩， 上述两个等式相减得1m ab =，将1m ab =代入11ma b-=可得10，矛盾； ③若01a b <<≤，则[]0,ma mb ∈，而0ma >，0mb >，矛盾； ④若1b a >≥，函数()f x 在[],a b 上单调递增，又函数()f x 在[)1,+∞上单调递增，所以()()f a ma fb mb ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即1111ma a mbb⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，则a 、b 为方程11mx x-=的两个根，即210mx x -+=在[)1,+∞上有两个不等实根， 可设()21g x mx x =-+，则有()14010112m g m m ⎧⎪∆=->⎪=≥⎨⎪⎪>⎩，解得104m <<，所以实数m 的取值范围为10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】方法点睛：本题考查利用二次函数的零点分布求参数，一般要分析以下几个要素： （1）二次项系数的符号； （2）判别式； （3）对称轴的位置； （4）区间端点函数值的符号. 结合图象得出关于参数的不等式组求解. 22．（1）1(,)(0,)4-∞-+∞；（2）1{}[0,)4-+∞.【分析】（1）当5a =时，得到21()log (5)f x x=+，根据()0f x >，得出不等式151x+>，即可求解；（2）化简()221log ()g x a x x=+⋅（其中0x >），根据函数()g x 只有一个零点，得到方程210ax x +-=在(0,)+∞上只有一个解，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）当5a =时，21()log (5)f x x=+， 由()0f x >，即21log (5)0x +>，可得151x+>，解得14x <-或0x >，即不等式()0f x >的解集为1(,)(0,)4-∞-+∞. （2）由()()22222112log log ()2log log ()g x f x x a x a x xx=+=++=+⋅（其中0x >），因为函数()()22log g x f x x =+只有一个零点，即()0g x =只有一个根， 即21()1a x x+⋅=在(0,)+∞上只有一个解， 即210ax x +-=在(0,)+∞上只有一个解，①当0a =时，方程10x -=，解得1x =，复合题意； ②当0a ≠时，设函数21y ax x =+-当0a >时，此时函数21y ax x =+-与x 轴的正半轴，只有一个交点，复合题意；当0a <时，要使得函数21y ax x =+-与x 轴的正半轴只有一个交点，则满足102140a a ⎧->⎪⎨⎪∆=+=⎩，解得14a =- ，综上可得，实数a 的取值范围是1{}[0,)4-+∞. 【点睛】根据函数的零点求参数的范围的求解策略：转化：把已知函数的零点的存在情况转化为方程的解或两函数图象的交点的情况； 列式：根据函数零点的存在性定理或结合函数的图象、性质列出方程（组）或不等式（组）；结论：求出参数的取值范围或根据图象得出参数的取值范围；23．（1）不能获利，当月处理量为300吨时可使亏损最小；（2）每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低. 【分析】（1）设项目获利为S ，根据二次函数知识可知，当[]200,300x ∈时，0S <，因此，该项目不会获利：当300x =时，S 取得最大值-5000；（2）根据题意可知，[)[)21805040,120,1443180000200,144,5002x x x y x x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪+-∈⎪⎩，分段求出最小值，比较可得答案. 【详解】（1）当[]200,300x ∈时，该项目获利为S ，则()2221112002008000040080000400222S x x x x x x ⎛⎫=--+=-+-=-- ⎪⎝⎭，当[]200,300x ∈时，0S <，因此，该项目不会获利：当300x =时，S 取得最大值-5000，故当月处理量为300吨时可使亏损最小，为5000元；（2）由题意知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：[)[)21805040,120,1443180000200,144,5002x x x y x x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪+-∈⎪⎩当[)120,144x ∈时，()211202403y x x =-+，所以当120x =时，y x 取得最小值240，当[)144,500x ∈时，1800002002002002y x x x =+-≥=， 当且仅当1800002x x =时等号成立，即400x =时，yx取得最小值200， ∵200240∴每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 24．（1）偶函数，证明见解析；（2）画图见解析；2-，0，2. 【分析】（1）根据偶函数的定义计算()f x -与()f x 比较即可判断证明()f x 的奇偶性； （2）作出()y f x =在()0,∞+上的图象，利用奇偶性即可得(),0-∞的图象，由图能判断3m =，再解方程即可.【详解】（1）()f x 为偶函数，证明如下： ()f x 的定义域为R 关于原点对称；22()()2||32||3()f x x x x x f x -=---+=-+=，所以()f x 为偶函数．（2）22223,0()2323,0x x x f x x x x x x ⎧--≥=-+=⎨+-<⎩，图象如图所示：若方程()f x m =有3个不同的实数根，由图知：3m =； 当0x ≥时，2233x x -+=，解得120,2x x ==； 当0x <时，2233x x ++=，解得32x =-， 所以()f x m =的解为2-，0，2 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是根据函数是偶函数结合二次函数的性质正确作出函数图象，由图能判断3m =，再解方程即可.25．（1）28483(02)()48963(25)1x x x L x x x x ⎧+-⎪=⎨--<⎪+⎩；（2）300元，7500元. 【分析】（1）由题意可得()16()2L x x x x ω=--，把()x ω代入整理得答案；（2）分段求出函数的最大值，取最大值中的最大者得答案． 【详解】（1）28483(02)()16()248963(25)1x x x L x x x x x x x ω⎧+-⎪=--=⎨--<⎪+⎩； （2）当02x 时，2()8348L x x x =-+，对称轴方程为316x =， ()max L x L ∴=（2）74=；当25x <时，4848()99[3(1)]9923(1)7511L x x x x x =-++-⨯+++． 当且仅当483(1)1x x =++时，即3x =时等号成立． 因为7574>，。
北师大版高中数学必修一第四单元《函数应用》检测(答案解析)
一、选择题1．已知1,0 ()1,0axxf xx xx+≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，则下列关于[()]1y f f x=+的零点的判断正确的是（）A．当0a>时，有4个零点，当0a<时，有1个零点；B．当0a>时，有3个零点，当0a<时，有2个零点；C．无论a为何值，均有2个零点；D．无论a为何值，均有4个零点．2．若函数2()f x x x a=--有四个零点，则关于x的方程210ax x++=的实根个数为（）A．0 B．1 C．2 D．不确定3．已知函数()24xf x=-，()()()1g x a x a x a=-++同时满足：①x∀∈R，都有()0f x<或()0g x<，②(],1x∃∈-∞-，()()0f xg x<，则实数a的取值范围为（）A．(-3，0) B．13,2⎛⎫--⎪⎝⎭C．(-3，-1) D．(-3，-1]4．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米，若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为（）A．4.25米B．4.5米C．3.9米D．4.05米5．对于函数()f x﹐若集合()(){}0,x x f x f x>=-中恰有k个元素，则称函数()f x是“k阶准偶函数”.若函数21,()2,xx af xx x a⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩是“2阶准偶函数”，则a的取值范围是（）A．(),0-∞B．[)0,2C．[)0,4D．[)2,46．函数()32xy x x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） A ．y =lnxB ．21y x =+C ．y =sinxD ．y =cosx8．已知函数()()()222,0423,46x x x f x x -⎧--≤<⎪=⎨-≤≤⎪⎩,若存在12,x x ,当12046x x ≤<≤≤时,()()12f x f x =,则()12x f x ⋅的取值范围是（ ） A ．[)0,1B ．[]1,4C ．[]1,6D ．[][]0,13,89．已知函数()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的偶函数，当(0,)x ∈+∞时，2(1),02()1(2),22x x f x f x x ⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数2()8()6()1g x f x f x =-+的零点个数为（ ）A ．20B ．18C ．16D ．1410．已知函数()21xf x x =++，()2log 1g x x x =++，()2log 1h x x =-的零点依次为,,a b c ，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<11．若函数()22f x x x a =--有4个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．01a <≤B ．10a -<<C ．0a =或1a >D ．01a <<12．已知定义在R 上的函数()2ln ,1,1x x f x x x x >⎧⎪=⎨-⎪⎩，若函数()()k x f x ax =-恰有2个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,11,0e ⎛-⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,1,1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．(){}1,1,10e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．(){}11,00,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭二、填空题13．设方程240x mx -+=的两根为α，β，其中[1,3]α∈，则实数m 的取值范围是________.14．设函数212,2()1,2xx f x x x lnx x ⎧⎪⎪=⎨⎪-->⎪⎩，若函数()()F x f x a =+恰有2个零点，则实数a的取值范围是__.15．函数2()23f x x x a =---有四个零点，则a 的取值范围为_______. 16．函数()22|cos |cos 3x x f x =+-在区间[0,2]π内的零点个数是_____. 17．函数2|1|y x =-的图象与函数y x k =+的图象交点恰为3个，则实数k =__________. 18．若关于x 的方程2220x x m ---=有三个不相等的实数根，则实数m 的值为_______.19．函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，如[1.6]=1，[2]=2，()[]g x x x =-．若方程1()log ()0(02a g x x a --=>，且1)a ≠有一个实根，则a 的取值范围为________．20．已知函数254,0()22,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩，若函数()y f x a x =-恰有4个零点，则实数a 的取值范围是________．三、解答题21．设函数2()2||3f x x x =-+；（1）判断函数()f x 的奇偶性，并用定义证明你的结论；（2）画出()y f x =的图象；若方程()f x m =有3个不同的实数根，试写出这3个根． 22．已知函数f （x ）＝a x +21x x -+（a ＞1）. （1）求证：f （x ）在（﹣1，+∞）上是增函数； （2）若a ＝3，求方程f （x ）＝0的正根（精确到0.1）.23．我国辽东半岛普兰附近的泥炭层中，发掘出的古莲子，至今大部分还能发芽开花，这些古莲子是多少年以前的遗物呢？要测定古物的年代，可用放射性碳法.在动植物的体内都含有微量的放射性14C ，动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C 不再产生，且原有的14C 会自动衰变，经过5570年(叫做14C 的半衰期)，它的残余量只有原始量的一半，经过科学家测定知道，若14C 的原始含量为a ，则经过t 年后的残余量a '(与a 之间满足·)kta a e -'=.现测得出土的古莲子中14C 残余量占原始量的87.9%，试推算古莲子是多少年前的遗物.(注：计算结果精确到个位数；20.693ln ≈，2log 0.8790.186≈-.)24．科学家发现一种可与污染液体发生化学反应的药剂，实验表明每投a (14a ≤≤且a R ∈)个单位的药剂，它在水中释放的浓度y (克/升)随着时间x （小时)化的函数关系式近似为()y a f x =⋅，其中()161,04815,4102x xf x x x ⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪-<≤⎪⎩，若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验，当水中药剂的浓度不低于4(克/升)时，它才能起到有效治污的作用.（1）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间能持续多久？（2）若第一次投放2个单位的药剂，6小时后再投放1个单位的药剂，则在接下来的4小时内，什么时刻，水中药剂的浓度达到最小值？最小值为多少？ 25．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足，当(,0)x ∈-∞时，1()1f x x x=++． （1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()()224g x f x x x =+-，证明：函数()g x 的图像在区间1,内与x 轴恰有一个交点．26．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出()*x x N ∈名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为310500x a ⎛⎫-⎪⎝⎭万元()0a >，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2%x . （1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】按0a >和0a <分类讨论[()]1y f f x =+的零点个数，即确定[()]10f f x +=的解的个数，可得正确选项． 【详解】0x >时，1()f x x x=-是增函数，()(,)f x ∈-∞+∞，此时()f x m =对任意m R ∈均有一解．0x ≤时，若0a >，()1f x ax =+是增函数，()(,1]f x ∈-∞，此时()f x m =在1m 时有一解，1m 时无解，若0a <，()1f x ax =+是减函数，()[1,)f x ∈+∞，此时()f x m =在m 1≥时有一解，1m <时无解，由[())10f f x +=得[()]1f f x =-，设()1f t =-，则0a >时，()1f t =-的解为2t a =-和t =，20a-<，01<<，因此2()f x a =-有两解，()f x =4解．0a <时，()1f t =-只有一解112t =<，1()2f x =只有一解，∴函数[()]1y f f x =+在0a >时，有4个零点，当0a <时，有1个零点． 故选：A ． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的零点，解题方法是转化与化归思想，转化为方程[()]10f f x +=的解．通过换元法，先求得()1f t =-的解，若0t 是其解，再求0()f x t =的解，从而得出结论．2．C解析：C 【分析】由()0f x =可得出2x x a =-，将问题转化为曲线2yx 与曲线y x a =-有4个交点，数形结合可求得实数a 的取值范围，进而结合判别式可判断出方程210ax x ++=的实数根个数. 【详解】由()0f x =可得出2x x a =-，作出函数2yx 与函数y x a =-的图象如下图所示：,,x a x a y x a x a x a-≥⎧=-=⎨-+<⎩，若使得函数()2f x x x a =--有4个零点，则直线y x a =-与y x a =-+均与函数2y x 的图象有两个交点， 联立2y x a y x =-⎧⎨=⎩可得20x x a -+=，1140a ∆=->，解得14a <， 联立2y x a y x =-+⎧⎨=⎩可得20x x a +-=，2140a ∆=+>，解得14a >-， 当0a =时，则()()21f x x x xx =-=-，令()0f x =，可得0x =或1x =±，此时，函数()y f x =只有3个零点，不合乎题意. 综上所述，实数a 的取值范围是11,00,44⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 对于二次方程210ax x ++=，140a ∆=->， 因此，关于x 的二次方程210ax x ++=有两个实根.故选：C. 【点睛】方法点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.3．C解析：C 【分析】先判断当2x <时()0f x <，当2x ≥时()0f x ≥，问题转化为当2x ≥时，()0g x <恒成立且当1x ≤-时，()0g x >有解，分类讨论列出不等式可解出a 的范围． 【详解】∵()24xf x =-，∴当2x <时()0f x <，当2x ≥时()0f x ≥.因为x ∀∈R ，都有()0f x <或()0g x <且 (],1x ∃∈-∞-，()()0f x g x < 所以函数()g x 需满足:①当2x ≥时，()0g x <恒成立； ②当1x ≤-时，()0g x >有解.（1）当0a ≥时，显然()g x 不满足条件①；（2）当0a <时，方程()0g x =的两根为1x a =，21x a =--， ∵0a <，∴11a -->-，∴112a a <-⎧⎨--<⎩，解得31a -<<-. 故选：C . 【点睛】转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将问题转化为当2x ≥时，()0g x <恒成立且当1x ≤-时，()0g x >有解是解题的关键.4．D解析：D 【分析】可设抛物线的方程为2(0)x ny n =<，将(5,5)-代入可得n ，可得抛物线的方程，再令3.5x =，求得y ，计算70.5y --，可得所求值．【详解】解：如右图，设抛物线的方程为2(0)x ny n =<，将点(5,5)-代入抛物线的方程可得，255n =-，解得5n =-， 即抛物线的方程为25x y =-，令 3.5x =，可得23.55y =-，解得 2.45y =-，则通过隧道的车辆限制高度为7 2.450.5 4.05--=（米)． 故选：D ．【点睛】利用坐标法思想，建立适当的直角坐标系，得到抛物线的方程，从而解决问题.5．B解析：B 【分析】根据“2阶准偶函数”定义，分0a <，0a >，0a =三种情况分析即可得答案. 【详解】解：根据题意，函数21,()2,xx af x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩是“2阶准偶函数”，则集合()(){}0,x x f x f x >=-中恰有2个元素.当0a <时，函数21,()2,xx a f x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩有一段部分为2,y x x a =>，注意的函数2yx 本身具有偶函数性质，故集合()(){}0,x x f x f x >=-中不止有两个元素，矛盾，当0a >时，根据“2阶准偶函数”的定义得()f x 的可能取值为2x 或12x⎛⎫ ⎪⎝⎭，()f x -为122-⎛⎫= ⎪⎝⎭xx，故当122xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭，该方程无解，当22x x =，解得2x =或4x =，故要使得集合()(){}0,x x f x f x >=-中恰有2个元素，则需要满足2a <，即02a <<；当0a =时，函数21,0()2,0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，()f x 的取值为2x ，()f x -为122-⎛⎫= ⎪⎝⎭xx ，根据题意得22x x =满足恰有两个元素，故0a =满足条件. 综上，实数a 的取值范围是[)0,2. 故选：B 【点睛】本题解题的关键是根据新定义的“2阶准偶函数”，将问题转化为研究函数()f x ，()f x -可能取何值，进而根据22x x =方程有两个解2x =或4x =求解.考查运算求解能力与综合分析能力，是中档题.6．B解析：B 【分析】先根据函数的奇偶性排除部分选项，然后令y =0，结合图象分析求解. 【详解】因为函数()32xy x x =-定义域为R ，且()()()()()()3322xxf x x x x x f x --=---=--=-，所以函数是奇函数，故排除C ，由()()()32112xxy x x x x x =-=-+，令y =0得x =-1，x =0，x =1，当01x <<时，0y <，当1x >时，0y >，排除AD故选：B 【点睛】本题主要考查函数图象的识别以及函数的奇偶性和零点的应用，还考查了数形结合的思想和分析求解问题的能力，属于中档题.7．D解析：D 【详解】选项A ：ln y x =的定义域为（0,+∞），故ln y x =不具备奇偶性，故A 错误；选项B ：21y x =+是偶函数，但210y x =+=无解，即不存在零点，故B 错误；选项C ：sin y x =是奇函数，故C 错； 选项D ：cos y x =是偶函数， 且cos 02y x x k ππ==⇒=+，k z ∈，故D 项正确.考点：本题主要考查函数的奇偶性和零点的概念.8．B解析：B 【详解】根据图像，当()()12f x f x =时，有()212f x ≤≤，将()1f x =代入函数()22f x x =--中，可解得11x =或13x =， 所以当()()12f x f x =时，113x ≤≤， 当[1,2]x ∈时，()f x x =，因为()()12f x f x =， 所以()()21211111x f x x f x x x x ==⋅=⋅⋅，因为1[1,2]x ∈，所以()12[1,4]x f x ⋅∈；当[2,3]x ∈时，()4f x x =-，因为()()12f x f x =， 所以()()21211111(4)(2)4x f x x f x x x x ==⋅-=--⋅+⋅，因为1[2,3]x ∈，所以()12[3,4]x f x ⋅∈； 综上所述，()12x f x ⋅的取值范围是[1,4]. 故选：B.【点睛】本题考查了分段函数与函数与方程的综合性问题，属于中档题型，当正确画出函数的图像后，重点抓住本题的一个关键的条件()12()f x f x =，这样就可以将求()12x f x ⋅的范围转化为求()11x f x ⋅的范围.9．C解析：C 【分析】解方程()0g x =，得1()2f x =或1()4f x =，作出()f x 的图象，由对称性只要作0x >的部分，观察()f x 的图象与直线12y =和直线14y =的交点的个数即得． 【详解】2()8()6()10g x f x f x =-+=,1()2f x ∴=或1()4f x = 根据函数解析式以及偶函数性质作()f x 图象， 当02x <≤时，()()21f x x =-.，是抛物线的一段， 当(]()()12,2,22,1,2,3,,22时，>∈+=⋯=-x x k k k f x f x ，是由(]22,2,∈-x k k 的图象向右平移2个单位，并且将每个点的纵坐标缩短为原来的一半得到，依次得出y 轴右侧的图象，根据对称轴可得y 左侧的结论，6x >时，1()8f x ≤，()y f x =的图象与直线12y =和14y =的交点个数，分别有3个和5个，∴函数g(x)的零点个数为2(35)16⨯+=， 故选：C ．【点睛】本题考查函数零点个数，解题方法是数形结合思想方法，把函数零点个数转化为函数图象与直线交点个数，由图象易得结论．10．A解析：A 【解析】令函数()210xf x x =++=，可得0x <，即0a <，令()2log 10g x x x =++=，则01x <<，即01b <<，令()2log 10h x x =-=，可知2x =，即2c =，显然a b c <<，故选A.11．D解析：D 【分析】 令0f x，可得22x x a -=，作出()22g x x x =-的图象，令直线y a =与()g x 的图象有4个交点，可求出实数a的取值范围.【详解】令0f x，则22x x a-=，构造函数()22g x x x=-，作出()g x的图象，如下图，()g x在()0,2上的最大值为()1121g=-=，当01a<<时，直线y a=与()g x的图象有4个交点，所以函数()f x有4个零点，实数a的取值范围为01a<<.故选：D.【点睛】本题考查函数的零点，注意利用数形结合方法，考查学生的计算求解能力，属于中档题. 12．C解析：C【分析】把函数交点有两个零点转化为函数图象与直线有两个交点，作出对应函数图象和直线，利用导数求出相应切线的斜率，由图象观察出a的范围．【详解】()0f x ax-=()f x ax⇒=，所以函数()y f x=的图象与直线y ax=有两个交点，作出函数()2ln,1,1x xf xx x x>⎧⎪=⎨-≤⎪⎩的图象，如下图，由()lnf x x=得1()f xx'=，设直线y ax=与()lnf x x=图象切点为00(,)P x y，则00000ln1y xax x x===，x e=，所以11ax e==．由2()f x x x =-得()12f x x '=-，(0)1f '=，y ax =与2y x x 在原点相切时，1a =，由2()f x x x =-得()21f x x '=-，(0)1f '=-，y ax =与2yx x 在原点相切时，1a =-，所以直线y x =，y x =-，1ey x =与曲线()f x 相切， 由直线y ax =与曲线()y f x =的位置关系可得： 当(){}1,1,10e a ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时有两个交点，即函数()y k x =恰有两个零点.故选：C . 【点睛】本题考查函数零点个数问题，解题方法是把函数零点转化为方程的解的个数，再转化为函数图象与直线交点个数，作出函数图象与直线通过数形结合思想求解．二、填空题13．【分析】由题意利用韦达定理不等式的性质求出实数的取值范围【详解】解：方程的两根其中故即解得或令①解得；②解得综上可得故答案为：【点睛】本题考查二次函数根的分布问题属于中档题 解析：[]4,5【分析】由题意利用韦达定理，不等式的性质，求出实数m 的取值范围． 【详解】 解：方程240x mx -+=的两根α，β，其中[1,3]α∈， 故0∆，即()2440m --⨯≥，解得4m ≥或4m ≤-，令()24f x x mx =-+①()()0130f f ∆⎧⎨≤⎩，解得1353m ≤≤； ②()()01030132f f m ∆⎧⎪>⎪⎪⎨>⎪⎪≤≤⎪⎩解得134,3m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦综上可得[]4,5m ∈ 故答案为：[]4,5． 【点睛】本题考查二次函数根的分布问题，属于中档题.14．【分析】令求出函数的导数判断函数的单调性结合函数的图象推出结果即可【详解】解：令则令得或（舍去）当时；当时所以在上是减函数在上是增函数又（1）而在上是增函数且作出函数的图象如图由得所以当即时函数与的解析：[2-，12]4ln -. 【分析】令2()g x x x lnx =--，12x >，求出函数的导数，判断函数的单调性，结合函数的图象，推出结果即可. 【详解】解：令2()g x x x lnx =--，12x >， 则2121(21)(1)()21x x x x g x x x x x--+-'=--==， 令()0g x '=，得1x =或12x =-（舍去）当112x <<时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>， 所以()g x 在1(,1)2上是减函数，在(1,)+∞上是增函数，又11()224g ln =-+，g （1）0=，而2xy =在1(,)2-∞上是增函数，且022x<，作出函数()f x 的图象如图，由()0F x =得()f x a =-，所以当1224ln a-+-即1224aln --时，函数()y f x =与y a =-的图象有两个交点.故答案为：1[2,2]4ln --.【点睛】本题考查函数的零点与方程的根的关系，函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题.15．【分析】函数零点转化为的解即函数与直线的交点的横坐标由数形结合思想可得解【详解】由得作函数的图象和直线如图函数在和上递减在和上递增由图象知当时的图象和直线有四个交点即有4个零点故答案为：【点睛】本题 解析：(0,4)【分析】函数零点转化为223x x a --=的解，即函数2()23g x x x =--与直线y a =的交点的横坐标，由数形结合思想可得解． 【详解】由()0f x =得223x x a --=，作函数2()23g x x x =--的图象和直线y a =，如图，函数()g x 在(,1)-∞-和(1,3)上递减，在(1,3)-和(3,)+∞上递增，(1)4f =，由图象知当04a <<时，2()23g x x x =--的图象和直线y a =有四个交点．即()f x 有4个零点．故答案为：(0,4)．【点睛】本题考查函数的零点个数，解题时把问题转化为函数图象与直线交点个数，通过数形结合思想求解．16．4【分析】根据角的范围确定余弦函数的符号去掉绝对值作函数图象利用数形结合求解函数的零点个数即可【详解】令则设则当时当时画出函数的图象易知函数的图象与直线有4个不同的交点故答案为：4【点睛】本题考查三解析：4 【分析】根据角的范围确定余弦函数的符号，去掉绝对值，作函数图象，利用数形结合求解函数的零点个数即可. 【详解】令()0f x =，则22|cos |cos 3x x +=，设()2|cos |cos g x x x =+， 则当30,,222x πππ⎡⎤⎡⎤∈⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦时，()3cos g x x =， 当3,22x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()cos g x x =-， 画出函数()y g x =的图象，，易知函数()y g x =的图象与直线23y =有4个不同的交点， 故答案为：4 【点睛】本题考查三角函数的求值，函数的零点个数的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.17．1或【分析】作出函数的图象与函数的图象由图象求实数的值【详解】解：作出函数的图象与函数的图象如下图：当过点时成立此时；当时联立消去得解得故答案为：1或【点睛】本题考查了数学结合思想分类讨论思想属于基解析：1或54【分析】作出函数2|1|y x =-的图象与函数y x k =+的图象，由图象求实数k 的值． 【详解】解：作出函数21y x =-的图象与函数y x k =+的图象如下图：当过点(1,0)-时，成立，此时，1k =-；当(1,1)x ∈-时，21y x =-，联立21y x y x k⎧=-⎨=+⎩，消去y 得210x x k ++-=，()21410k ∆=--=解得 54k =， 故答案为：1或54． 【点睛】本题考查了数学结合思想，分类讨论思想，属于基础题.18．3【解析】令则由题意可得函数与函数的图象有三个公共点画出函数的图象如图所示结合图象可得要使两函数的图象有三个公共点则答案：3解析：3 【解析】令()222f x x x =--，则由题意可得函数()y f x =与函数y m =的图象有三个公共点．画出函数()222f x x x =--的图象如图所示，结合图象可得，要使两函数的图象有三个公共点，则3m =． 答案：319．1)∪(1)∪(【分析】方程且有一个实根等价于函数的图象有一个交点画出函数的图象根据函数的性质分类讨论进行求解即可【详解】方程且有一个实根等价于函数的图象有一个交点画出函数的图象如下图所示：函数的定解析：[12，1) ∪(1，32)∪ (52，72] 【分析】方程1()log ()0(02a g x x a --=>，且1)a ≠有一个实根等价于函数1(),log ()2a y g x y x ==-的图象有一个交点，画出函数()y g x =的图象，根据函数1log ()2a y x =-的性质分类讨论进行求解即可.【详解】方程1()log ()0(02a g x x a --=>，且1)a ≠有一个实根等价于函数1(),()log ()2a y g x y h x x ===-的图象有一个交点，画出函数()y g x =的图象，如下图所示：函数1()log ()2a y h x x ==-的定义域为1(,)2+∞，且恒过定点3(,0)2.当01a <<时，当(1)1h ≥时，函数1(),()log ()2a y g x y h x x ===-的图象有一个交点，解得12a ≥，所以有112a ≤<；当1a >时，要想函数1(),()log ()2a y g x y h x x ===-的图象有一个交点，只需满足：(2)1h ≥或(3)1(4)1h h <⎧⎨≥⎩，解得(1，32)或 (52，72]，综上所述：a 的取值范围为[12，1) ∪(1，32)∪ (52，72]. 故答案为：[12，1) ∪(1，32)∪ (52，72] 【点睛】本题考查了已知方程根的情况求参数取值范围问题，考查了数形结合思想和转化思想，考查了数学运算能力.20．【分析】函数恰有4个零点等价于函数与函数的图象有四个不同的交点画出函数图象利用数形结合思想进行求解即可【详解】函数恰有4个零点等价于函数与函数的图象有四个不同的交点画出函数图象如下图所示：由图象可知 解析：(1,3)【分析】函数()y f x a x =-恰有4个零点，等价于函数()f x 与函数y a x =的图象有四个不同的交点，画出函数图象，利用数形结合思想进行求解即可. 【详解】函数()y f x a x =-恰有4个零点，等价于函数()f x 与函数y a x =的图象有四个不同的交点，画出函数图象如下图所示：由图象可知：实数a 的取值范围是13a <<.故答案为：(1,3) 【点睛】本题考查了已知函数零点个数求参数取值范围问题，考查了数形结合思想和转化思想.三、解答题21．（1）偶函数，证明见解析；（2）画图见解析；2-，0，2. 【分析】（1）根据偶函数的定义计算()f x -与()f x 比较即可判断证明()f x 的奇偶性； （2）作出()y f x =在()0,∞+上的图象，利用奇偶性即可得(),0-∞的图象，由图能判断3m =，再解方程即可. 【详解】（1）()f x 为偶函数，证明如下： ()f x 的定义域为R 关于原点对称；22()()2||32||3()f x x x x x f x -=---+=-+=，所以()f x 为偶函数．（2）22223,0()2323,0x x x f x x x x x x ⎧--≥=-+=⎨+-<⎩，图象如图所示：若方程()f x m =有3个不同的实数根，由图知：3m =； 当0x ≥时，2233x x -+=，解得120,2x x ==； 当0x <时，2233x x ++=，解得32x =-， 所以()f x m =的解为2-，0，2 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是根据函数是偶函数结合二次函数的性质正确作出函数图象，由图能判断3m =，再解方程即可. 22．（1）证明见解析；（2）0.312 5. 【分析】（1）根据定义法证明函数在所给区间的单调性，依次按取值，设定大小，作差，判断符号，可得出结果.（2）把a ＝3代入可得()231x x fx x -=++，根据（1）的结论可知正根在区间(0,1)内，然后利用二分法近似求解步骤计算即可. 【详解】证明：（1）设121x x -<<∴()()()()()121212121212123221111x x x x x x x x f x f x a a a a x x x x ----=-+-=-+++++， ∵121x x -<<，∴1210,10,x x +>+>120x x -< ∴()()()1212311x x x x -++＜0；∵121x x -<<，且a ＞1，∴12x x a a <，∴120-<x x a a ， ∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，∴函数()f x 在()1+-∞，上为增函数； （2）由（1）知，当a ＝3时，()231x x fx x -=++在()1+-∞，上为增函数， 故在()0+∞，上也单调递增，由于()()5010,102f f =-<=>，因此()0f x =的正根仅有一个，以下用二分法求这一正根，由于()()5010,102f f =-<=> ， ∴取（0，1）为初始区间，用二分法逐次计算，列出下表：∴原方程的近似解可取为0.312 5. 【点睛】思路点睛：本题考查利用函数的奇偶性求参数，证明函数的单调性和利用单调性解不等式.证明函数的单调性的基本步骤为：(1)在给定的区间内任取变量12,x x ，且设12x x <.(2)作差()()12f x f x -变形，注意变形要彻底，变形的手段通常有通分、因式分解、配方、有理化等.(3)判断符号，得出()()12f x f x ，的大小. (4)得出结论.23．古莲子约为1036年前的遗物 【分析】由14C 的半衰期，计算可得k ，再由两边取2为底的对数，计算可得所求值. 【详解】 由题意可得55701·2k a a e -=， 即557012k e -=， 解得25570ln k =， 由0.879?kt a a e -=， 即0.879kt e -=，两边取2为底的对数，可得2222log 0.879log ?·log 5570ln kt e t e =-=-， 5570t-=， 则55700.1861036t =⨯≈. 则古莲子约为1036年前的遗物. 【点睛】本题主要考查函数在实际问题中的运用以及指数与对数的运算，还考查了函数思想和运算能力，属于中档题.24．（1）8小时；（2）10小时时浓度达到最小值3 【分析】（1）根据题意列出不等式()44f x ≥，求解出不等式解集，即可得到有效治污的持续时间；（2）根据条件求解出药剂在水中释放的浓度y 的解析式，然后利用基本不等式求解出对应的最小值，并计算出取最小值时对应的时间. 【详解】（1）因为()644,0448202,410x y f x x x x ⎧-≤≤⎪==-⎨⎪-<≤⎩，当04x ≤≤时，令64448x-≥-，解得04x ≤≤， 当410x <≤时，令2024x -≥，解得48x <≤，所以有效治污时间能持续8小时；（2）设在第x 个小时达到最小值，则610x ≤≤，所以()116162511928614y x x x x ⎡⎤⎛⎫=-+⋅-=-+⎢⎥ ⎪---⎝⎭⎣⎦，所以()161455314y x x =-+-≥=-， 取等号时161414x x-=-，即10x =， 所以10小时的时候浓度达到最小值，最小值为3. 【点睛】易错点睛：实际问题中求解函数解析式以及采用基本不等式求最值需要注意的事项： （1）函数应用类型的问题，写函数解析式时一定要注意函数的定义域不能丢； （2）利用基本不等式求解最值的时候，注意“一正、二定、三相等”，缺一不可.25．（1）()11,00,011,0x x x f x x x x x ⎧++<⎪⎪==⎨⎪⎪+->⎩；（2）证明见解析.【分析】（1）当(0,)x ∈+∞时，(,0)x -∈-∞，利用()()f x f x =-- 求当(0,)x ∈+∞时的解析式，结合(0)(0)f f =-即可得答案；（2）先利用定义证明当(1,)x ∈+∞时， 1()1f x x x=+-递增，结合224y x x =-在(1,)+∞单调递增，可得()()224g x f x x x =+-在(1,)+∞单调递增，利用零点存在性定理可得答案. 【详解】（1）当(0,)x ∈+∞时，(,0)x -∈-∞，所以11()()11f x f x x x x x ⎛⎫=--=--++=+- ⎪-⎝⎭ 当0x =时，(0)(0)f f =-， 所以()0f x =.所以()11,00,011,0x x x f x x x x x ⎧++<⎪⎪==⎨⎪⎪+->⎩（2）当(1,)x ∈+∞时，由（1）知1()1f x x x=+-， 设121x x <<，则12121211()()11f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭121211x x x x =-+-()()()1212121212111x x x x x x x x x x --⎛⎫=--= ⎪⎝⎭因为121x x <<，所以120x x -<，1210x x ->, 所以12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <,所以函数()f x 在(1,)+∞单调递增.又因为224y x x =-在(1,)+∞单调递增，所以()()224g x f x x x =+-在(1,)+∞单调递增，又因为()()()311210,202g f g =-=-<=>，即()()120⋅<g g ， 所以函数()g x 在1,恰有一个零点．即函数()g x 的图象在区间1,内与x 轴恰有一个交点.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的应用，属于中档题. 利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取21x x >；（2）作差()()21f x f x -；（3）判断()()21f x f x -的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号），()()210f x f x ->可得()f x 在已知区间上是增函数，()()210f x f x -< 可得()f x 在已知区间上是减函数. 26．（1）500名；（2）(0,5]. 【分析】（1）求出剩下1000x -名员工创造的利润列不等式求解；（2）求出从事第三产业的员工创造的年总利润为310500⎛⎫- ⎪⎝⎭x a x 万元，从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)1500⎛⎫-+ ⎪⎝⎭x x 万元，列出不等关系，在（1）的条件下求出a 的范围． 【详解】解：（1）由题意，得()()10100010.2%101000x x -+≥⨯， 即25000x x -≤，又0x >，所以0500x <≤. 即最多调整500名员工从事第三产业.（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为310500⎛⎫-⎪⎝⎭x a x 万元， 从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)1500⎛⎫-+⎪⎝⎭x x 万元，则311010(1000)1500500x a x x x ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以223110002500500x ax x x x -+--.所以221000500++x ax x ，即210001500++x ax 在(0,500]x ∈时恒成立. 因为21000224500x x+=， 当且仅当21000500x x=，即500x =时等号成立，所以5a ≤， 又0a >，所以05a <≤.所以a 的取值范围为(0,5].【点睛】本题考查函数的应用，已知函数模型，直接根据函数模型列出不等式求解即可，考查了学生的数学应用意识，运算求解能力．。
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学业分层测评(二十四)
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[学业达标]
一、选择题1．(2015·佛山高一检测)甲乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图4-2-7所示，则下列说法正确的是( )
图4-2-7
A．甲比乙先出发
B．乙比甲跑得路程更多
C．甲、乙两人的速度相同
D．甲先到达终点
【解析】由图可知，甲比乙跑的要快，比乙先到达终点，两人跑的路程相同，故选D.
【答案】 D
2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图像如图4-2-8所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )
图4-2-8 A ．310元 B ．300元 C ．290元
D ．280元
【解析】 令y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨
⎪⎧
k ＋b ＝800，
2k ＋b ＝1 300，解得⎩⎪⎨
⎪⎧
k ＝500，
b ＝300，
所以y ＝500x ＋300，令x ＝0，y ＝300. 故营销人员没有销售量时的收入是300元． 【答案】 B
3．某机器总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y ＝x 2－75x ，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产的机器台数为( )
A ．30
B ．40
C ．50
D ．60
【解析】 设安排生产x 台，则获得利润 f(x)＝25x －y ＝－x 2＋100x ＝－(x －50)2＋2 500.
故当x ＝50台时，获利润最大．故选C. 【答案】 C
4．如图4-2-9，开始时桶(1)中有a 升水，t 分钟后剩余的水符合指数衰减曲
线y1＝ae－nt，那么桶(2)中水就是y2＝a－ae－nt，假设过5分钟时桶(1)和桶(2)
中的水相等，则再过( )桶(1)中的水只有a 8
.
图4-2-9
A．7分钟B．8分钟
C．9分钟D．10分钟
【解析】由题意得ae－5n＝a－ae－5n，e－n＝
⎝
⎛
⎭
⎪
⎪
⎫1
2
1
5
.设再经过t分钟，桶(1)中的水只有
a
8
，得ae－n(t＋5)＝
a
8
，则
t＋5
5
＝3，解得t＝10.
【答案】 D
二、填空题
5．经市场调查，某商品的日销售量(单位：件)和价格(单位：元/件)均为时间t(单位：天)的函数．日销售量为f(t)＝2t＋100，价格为g(t)＝t＋4，则该种商品的日销售额S(单位：元)与时间t的函数关系式为S(t)＝________.
【解析】日销售额S＝f(t)·g(t)＝(2t＋100)(t＋4)＝2t2＋108t＋400.
【答案】2t2＋108t＋400
6．甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲同学家到公园的距离与乙同学。