离散数学模拟题(开卷)

《离散数学》模拟题（补）一．单项选择题1．下面四组数能构成无向图的度数列的有( )。

A 、 2,3,4,5,6,7； B 、 1,2,2,3,4； C 、 2,1,1,1,2； D 、 3,3,5,6,0。

2．图 的邻接矩阵为( )。

A 、；B 、；C 、；D 、。

3.设S 1={1，2，…，8，9}，S 2={2，4，6，8}，S 3={1，3，5，7，9}，S 4={3，4，5}， S 5={3，5}，在条件下X 与（ ）集合相等。

A 、X=S 2或S 5 ；B 、X=S 4或S 5；C 、X=S 1，S 2或S 4；D 、X 与S 1，…，S 5中任何集合都不等。

4．下列图中是欧拉图的有( )。

5.下述命题公式中，是重言式的为（ ）。

A 、；B 、；C 、；D 、。

6.的主析取范式中含极小项的个数为（ ）。

A 、2；B 、 3；C 、5；D 、0⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001101110100001⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111111111111111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001101111000010⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000110111010001031S X S X ⊄⊆且)()(q p q p ∨→∧))())(()(p q q p q p →∧→↔↔q q p ∧→⌝)(q p p ↔⌝∧)(r q p wff→∧⌝)(7.给定推理① P ② US ① ③ P ④ ES ③ ⑤ T ②④I ⑥ UG ⑤推理过程中错在（ ）。

A 、①->②;B 、②->③;C 、③->④;D 、④->⑤8.设S 1={1，2，…，8，9}，S 2={2，4，6，8}，S 3={1，3，5，7，9}，S 4={3，4，5}， S 5={3，5}，在条件下X 与（ ）集合相等。

A 、X=S 2或S 5 ；B 、X=S 4或S 5；C 、X=S 1，S 2或S 4；D 、X 与S 1，…，S 5中任何集合都不等。

9.设R 和S 是P 上的关系，P 是所有人的集合，，则表示关系 （ ）。

A 、； B 、； C 、 ；D 、。

10.下面函数（ ）是单射而非满射。

A 、； B 、；C 、；D 、。

))()((x G x F x →∀)()(y G y F →)(x xF ∃)(y F )(y G )(x xG ∀)())()((x xG x G x F x ∀⇒→∀∴31S X S X ⊄⊆且},|,{的父亲是y x P y x y x R ∧∈><=},|,{的母亲是y x P y x y x S ∧∈><=R S 1-},|,{的丈夫是y x P y x y x ∧∈><},|,{的孙子或孙女是y x P y x y x ∧∈><Φ},|,{的祖父或祖母是y x P y x y x ∧∈><12)(,:2-+-=→x x x f R R f x x f R Z f ln )(,:=→+的最大整数表示不大于x x x x f Z R f ][],[)(,:=→12)(,:+=→x x f R R f11.其中R 为实数集，Z 为整数集，R +，Z +分别表示正实数与正整数集。

1、 设S={1，2，3}，R 为S 上的关系，其关系图为则R 具有（ ）的性质。

A 、自反、对称、传递；B 、什么性质也没有；C 、反自反、反对称、传递；D 、自反、对称、反对称、传递。

12.设，则有（ ）。

A 、{{1,2}} ；B 、{1,2 } ； C 、{1} ； D 、{2} 。

13.设A={1 ,2 ,3 }，则A 上有（ ）个二元关系。

A 、23； B 、32； C 、； D 、二．填空题1.任何(n,m) 图G = (V,E) , 边与顶点数的关系是 。

2.当n 为 时,非平凡无向完全图Kn 是欧拉图。

3.已知一棵无向树T 有三个3顶点,一个2度顶点,其余的都是1度顶点, 则T 中有 个1度顶点。

4.n 阶完全图Kn 的点色数X(KN)= 。

5.设集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，定义A 上的二元关系“≤”为 x ≤ y = x|y , 则= 。

6.设，定义A 上的二元运算为普通乘法、除法和加法，则代数系统<A,*>中运算*关于 运算具有封闭性。

7.在群坯、半群、独异点、群中 满足消去律。

8.设<G,*>是由元素生成的循环群，且|G|=n ，则G = 。

三.证明题1. 设G 为具有n 个结点的简单图，且则G 是连通图。

2. 设G 是（n,m ）简单二部图，则。

}}2,1{},1{,{Φ=S S ⊆322232y x ∨},2|{N n x x A n∈==G a ∈)2)(1(21-->n n m 42n m ≤3.证明：在6个结点12条边的连通平面简单图中，每个面的面度都是3。

4.对代数系统<A,*>，*是A上二元运算，e为A中幺元，如果*是可结合的且每个元素都有右逆元，则（1）<A,*>中的每个元素在右逆元必定也是左逆元。

（2）每个元素的逆元是唯一的。

5.证明任一环的同态象也是一环。

四.中国邮递员问题求带权图G中的最优投递路线。

邮局在v1点。

五.应用题某年级共有9门选修课程，期末考试前必须提前将这9门课程考完，每人每天只在下午考一门课，若以课程表示结点，有一人同时选两门课程，则这两点间有边（其图如右），问至少需几天？参考答案：一、单项选择题二．填空题1.2.奇数3.54.n5.LCM （x,y ）6.乘法7.群 8.三．证明题1、反证法：若G 不连通，不妨设G 可分成两个连通分支G 1、G 2，假设G 1和G 2的顶点数分别为n 1和n 2，显然。

与假设矛盾。

所以G 连通。

2、设G=（V ，E ），对完全二部图有当时，完全二部图的边数m 有最大值。

故对任意简单二部图有。

3、证：n=6,m=12 欧拉公式n-m+f=2知 f=2-n+m=2-6-12=8 由图论基本定理知：，而，所以必有，即每个面用3条边围成。

4.证明：（1）设，b 是a 的右逆元，c 是b 的右逆元，由于，所以b 是a 的左逆元。

（2）设元素a 有两个逆元b 、c ，那么a 的逆元是唯一的。

5.证明:设是一环,且是关于同态映射f 的同态象。

∑∈=Vv mv d 2)(},,{12e a a a a G nn ==-， n n n =+2111112121-≤-≤∴≥≥n n n n n n 2)2)(1(2)2)(1(2)1(2)1(212211--=-+-≤-+-≤∴n n n n n n n n n m nn n n Y n X Y X V =+==⋃=2121,,,则4)2()(2211211121n n n n n n n n n n n m +--=+-=-=⋅=21nn =),(m n 42n ),(m n 42n m ≤242)deg(=⨯=∑m F 3)deg(≥iF 3)deg(=iF A c b a ∈,,b e b b a b ==*)*(*a b e a b c b a b c b a b c b e **)*()*(*)*(*)*(**=====c c e c a b c a b e b b =====**)*()*(**>∙+<,,A >⊗⊕<,,)(A f由是Abel 群，易证也是Abel 群。

是半群，易证也是半群。

现只需证：对是可分配的。

于是同理可证因此也是环。

四．中国邮递员问题解：图中有4个奇数结点，（1） 求任两结点的最短路再找两条道路使得它们没有相同的起点和终点，且长度总和最短：（2） 在原图中复制出，设图G ‘，则图G ‘中每个结点度数均为偶数的图G ‘存在欧拉回路，欧拉回路C 权长为43。

五.应用题解：即为最少考试天数。

用Welch-Powell 方法对G 着色：第一种颜色的点 ，剩余点 第二种颜色的点 ，剩余点 第三种颜色的点>+<,A >⊕<,)(A f >∙<,A >⊗<,)(A f ⊗⊕3,2,1,)(:,,),(,,321321==∈∀i b a f a a a A f b b b i i 使得则必有相应的)()())()(())()(()()())()(())(())(()())()(()()(3121312131213121321321321321b b b b a f a f a f a f a a f a a f a a a a f a a a f a a f a f a f a f a f b b b ⊗⊕⊗=⊗⊕⊗=⋅⊕⋅=⋅+⋅=+⋅=+⊗=⊕⊗=⊕⊗)()()(1312132b b b b b b b ⊗⊕⊗=⊗⊕>⊗⊕<,,)(A f 5)(, 3)( ,5)( ,3)(5321====v d v d v d v d 5321,,,v v v v 5736562532457133212211535232513221 , , , , ,4)( , 3)( ,2)( ,4)(, 5)( ,3)(v v v p v v v p v v p v v v p v v v p v v p v v d v v d v v d v v d v v d v v d ============ , ,3245713v v p v v v p ==43 ,p p 157123.5726542371v v v v v v v v v v v v v v v v C =)(G χ685421739v v v v v v v v v 6419v v v v 85273v v v v v 573v v v 82v v 82vv所以≤3 任构成一圈，所以≥3故=3所以三天下午即可考完全部九门课程。

)(G χ932v v v )(G χ)(G χ。