2014广州一模数学学科分析报告
2014届高三“一模”数学科成绩分析及后一阶段备考建议
2014届高三“一模”数学科成绩分析及后一阶段备考建议1 近年来我市数学高考情况科目年份全省平均分我市平均分对比我市平均分在全省排名全省前100名我市所占人数备注200777.8581.27+3.42第7名最高148分；最低137分。
共129人。
2人从2011年起，顺德从佛山市分离出来，单独排名。
200870.5871.86+1.28第8名最高149分；最低139分。
共149人.5人最高文科数学200968.7473.03+4.29第7名149分；最低139分。
共129人。
25人201081.6287.53+5.91第5名最高146分；最低140分。
共141人。
18人201168.1877.68+9.5第1名最高136分；最低125分。
共137人。
13人201274.1987.53+13.34第1名最高150分；最低144分。
共118人。
16人201377.55约92.1约+14.55年报上未公布理科数学200784.7384.83+0.1第10名最高150分；最低138分。
共131人3人从2011年起，顺德从佛山市分离出来，单独排名。
200884.4384.17-0.26第8名最高149分；最低145分。
共120人2人200971.8873.80+1.92第8名最高149分；最低141分。
共125人。
7人201094.2596.53+2.28第6名最高148分；最低141分。
共179人。
7人第7最高147分；最低131201179.3883.47+4.09名分。
共109人。
8人201292.5698.06+5.5第5名最高150分；最低142分。
共139人。
8人201390.72约97.72约+7年报上未公布2 2014届高三“一模”情况文科数学（全体）序号学校考生数最高分平均分离均率>=140>=130>=120>=110>=100>=901东莞中学318142106.945.95118611462242822东莞一中42013597.633.270728972033133实验中学44913390.623.640118801742924高级中学47713493.828.0404291122193365松山湖学校27613592.125.650264497167石6中学38112180.810.330018451157常平中学47713476.8 4.8701536851688万江中学45012968.7-6.220013179虎门中学43014762.4-14.8423351110厚街中学47211569.3-5.4600053210311塘厦中学44411862.8-14.330002912东莞二中29311465.5-10.6300021313东莞四中53411266.4-9.400031314东莞五中50310956.1-23.380000615莞六中50412173.1-0.2300163016东莞七中46611468.2-6.8500041917东莞八中25311463.5-13.340001818东莞十中2799754.9-25.020000019麻涌中学40611467.6-7.70003620长安中学2609946.4-36.650000021济川中学26410762.1-15.230000522南城中学13211165-11.2500012大朗中23学24010854.3-25.850000424大岭山中学16011561-16.80002225东华高级63714588.120.274388113521531526光明中学49814580.810.32212235511218127虎门外语10414499.836.171721395528英才学校10211372.9-0.560001729翰林学校18913474.4 1.570210172630南开实验10413073.30.101141431光正实验15911957.7-21.2700049明32学校10612869-5.760013633石竹学校16012561-16.720013934水霖学校14210552.5-28.320000335全市1136414773.3 109930184617313127理科数学（全体）序号学校考生数最高分平均分离均率>=140>=130>=120>=110>=100>=901东莞中学584148.0110.329.684451543234585362东莞一中662135.0102.620.65010762474155303实验中学667136.096.613.5608391553374754高级中学580138.0104.522.910965215394514松山湖5校371137.0102.520.5207331152223086石龙中学545141.083.0-2.431111541102147常平中学539132.085.10.11029561422528万江中学502119.079.9-6.020*********9虎门中学450128.066.8-21.390018328110厚街中学295124.077.7-8.66004135110411塘厦中学458117.071.1-16.390005259512东莞二中268118.068.8-19.060005134413东莞四中473127.077.0-9.40002652125东14五中299122.066.0-22.330014154315东莞六中577129.083.8-1.4200114713125016东莞七中234117.071.3-16.210003205117东莞八中426123.068.8-19.130017297618东莞十中164115.059.6-29.900001319麻涌中学389117.073.7-13.2900012409520长安中学150115.063.3-25.590002112821济川中学190118.070.0-17.6800010174122南城中学144117.069.8-17.86000192723朗中学232117.052.0-38.83000251624大岭山中学155116.063.9-24.870004122325东华高级857147.0103.721.91137018635152166226光明中学716138.091.77.820124214428141827虎门外语191142.0103.321.5317378111714528英才学校142125.085.10.0700414316729翰林学校320134.085.90.9906175010815830南开实验240134.089.8 5.590182877133光正31实验165130.073.5-13.6201515325532明珠学校155126.075.4-11.380018295733石竹学校195127.075.5-11.240037306034水霖学校181125.067.3-20.82001102843 全市13028148.085.0 201917472112406962033 对下一阶段备考工作的几点建议3.1 下阶段备考的指导思想巩固——巩固前阶段复习成果，把巩固“三基”放在首位．完善——通过专题复习，查漏补缺，进一步完善知识与方法的网络体系．综合——在训练上，减少单一知识点大训练，增强知识的连接点，增加知识交汇点的题目，加大题目的综合性和灵活性．提高——培养思维能力、概括能力、探究能力、分析问题、解决问题的能力，尤其要进一步提升读题能力、运算能力（数据处理能力，尤其是字母运算和分类讨论）、空间想象能力、逻辑推理能力．3.2 具体建议3.2.1 狠抓落实，加强跟踪，及时反馈▲课堂教学中，应根据学生的接受情况，及时调整教学策略与方式，并及时解决学生在课堂学习中出现的问题。
2014年广州市普通高中毕业班综合测试(一)理科数学及答案
试卷类型：A
2014年广州市普通高中毕业班综合测试（一）
数学（理科）
2014.3
本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型
（A）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C?2B，则D．2 2c为 b
数学（理科）试题参考答案及评分标用2B铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式V?
2221Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高． 32 1?2?3???n?n?n?1??2n?1?
6?n?N?． *
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．已知i是虚数单位，若?m?i??3?4i，则实数m的值为
A．?2 B．?2 C
．
2014年广州市数学“一模”分析
命题背景分析
二、考查内容分布
“一模”数学试卷考查的知识点涉及集合与常用逻辑用语，函数、导数与不等式（含指定选考 内容） ，数列、推理与证明，平面向量与三角函数，概率与统计，立体几何，解析几何，复数，计数 原理（理科）等必考知识板块，以及坐标系与参数方程、几何证明选讲等选考内容．具体分值分布 与得分情况见表 1、2． 表 1：广州市 2014 年“一模”文科数学试卷考点分布及得分情况 内容 集合与常用逻辑用语 题号 7 9 1 函数、导数与不等式 5 6 20 题型 选择题 选择题 选择题 选择题 选择题 解答题 分值 5 5 5 5 5 14
5 14 5 5 12 5 5 12 5 14 5 5 14 5 5 150 分
2.17 2.73 3.38 1.66 8.35 2.2 3.79 10.54 3.02 4.96 3.90 0.56 1.85 4.14 1.97 72.7
周期数列的前 n 项和 等差数列、分组求和 正弦定理、二倍角的正弦 平面向量与充要条件 特殊角的三角函数、三角函数的图象 与性质 几何概型 程序框图 古典概型 三视图、几何体的体积 线线垂直、共面问题、几何体的体积 圆关于直线对称 空间向量、模的最值 双曲线的几何性质、直线与圆锥曲线 的位置关系、定值问题 复数相等的条件 极坐标下直线与圆的位置关系 圆中切割线定理、相似比
2
立体几何
11 18 3
填空题 解答题 选择题 解答题 选择题 填空题 填空题
5 14 5 14 5 5 150 分
3.95 9.71 4.67 3.39 4.71 2.48 85.4
三视图、几何体的体积 线线垂直、共面问题、二面角的计算 圆关于直线对称 双曲线的几何性质、直线与圆锥曲线的 位置关系、定值问题 复数相等的条件 极坐标下直线与圆的位置关系 圆中切割线定理、相似比
广东高考2014一模分析会后的高考备考经验分享
主讲人：肖声芳
主要内容：
1、广州2014高考分析。 2、备考资料的准备。
3、各种学生的准备方法。
4、临考抓分的技巧。
广东高考理综的形式
题型 单项 选 择题 题号 1-6 7-12 13-16 17-21 22-23 双项 选 择题 考查内容 题量 分值 生物 化学 物理 物理 化学 6题 6题 4题 5题 2题 24分 24分 16分 30分 12分 备注 每小题给出的四个选项中， 只有一个选项符合题目要 64分 求，共16题，每小题4分。 每小题给出的四个选项中， 有两个选项符合题目要求， 共9题，每小题6分。全选 54分 对得6分，只选1个且正确 得3分，错选，不选得0分。
Ⅰ Ⅱ Ⅱ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅰ Ⅱ Ⅱ 斜抛运动只作 Ⅰ 定性要求 Ⅱ Ⅰ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅰ Ⅰ Ⅱ 只限于一维 Ⅰ
主题
内容
物质的电结构、电荷守恒 静电现象的解释 点电荷 库仑定律 静电场 电场强度、点电荷的场强 电场线 电势能、电势、 电势差 匀强电场中电势差与电场强度的关系。 带电粒子在匀强电场中的运动 示波管 常用的电容器 电容器的电压、电荷量和电容的关系 欧姆定律 电阻定律 电阻的串、并联 电源的电动势和内阻 闭合电路的欧姆定律 电功率、焦耳定律
24-25
生物
2题
12分
非选择 题
26-29 30-33 34-36
生物 化学 物理
4题 4题 3题
共11题，包括填空、问答、 64分 计算等题型。 64分 182分 54分
广东高考考试说明
一、物理科要考查的能力 1. 理解能力 理解物理概念、物理规律的确切含义，理解物理规律的适用条件，以及它们在 简单情况下的应用；能够清楚认识概念和规律的表达形式(包括文字表述和数学表达)； 能够鉴别关于概念和规律的似是而非的说法；理解相关知识的区别和联系。 2. 推理能力 能够根据已知的知识和物理事实、条件，对物理问题进行逻辑推理和论证，得 出正确的结论或作出正确的判断，并能把推理过程正确地表达出来。 3. 分析综合能力 能够独立地对所遇到的问题进行具体分析、研究，弄清其中的物理状态、 物理过程和物理情境，找出起重要作用的因素及有关条件；能够把一个复杂问题分解 为若干较简单的问题，找出它们之 间的联系；能够提出解决问题的方法，运用物理知 识综合解决所遇到的问题。 4. 应用数学处理物理问题的能力 能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和 求解，并根据结果得出物理结论；能运用几何图形、函数图像进行表达、分析。 5．实验能力 能独立地完成知识内容表1中所列的实验，能明确实验目的，能理解实验原理 和方法，能控制实验条件，会使用仪器，会观察、分析实验现象，会记录、处理实验 数据，并得出结论，对结论进行分析和评价；能发现问题、提出问题，并制定解决方 案；能运用已学过的物理理论、实验方法和实验仪器去处理问题，包括简单的设计性 实验。
2014年广州一模数学试题及答案
试卷类型：A2014年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）2014.3本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。
用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． ()()22221211236n n n n ++++++=()*n ∈N ． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知i 是虚数单位，若()2i 34i m +=-，则实数m 的值为A ．2-B ．2±C ．D ．22．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2C B =，则c b为 A ．2sin C B ．2cos B C ．2sin B D ．2cos C 3．圆()()22121x y -+-=关于直线y x =对称的圆的方程为A ．()()22211x y -+-= B ．()()22121x y ++-= C ．()()22211x y ++-= D ．()()22121x y -++=4．若函数()f x =R ，则实数a 的取值范围为A ．()2,2-B ．()(),22,-∞-+∞C ．(][),22,-∞-+∞D ．[]2,2-5．某中学从某次考试成绩中抽取若干名学生的分数，并绘制２成如图1的频率分布直方图．样本数据分组为[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100．若用分层抽样的方法从样本中抽取分数在[]80,100范围内的数据16个， 则其中分数在[]90,100范围内的样本数据有A ．5个B ．6个C ．8个D ．10个 6．已知集合32A x x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭Z Z 且，则集合A 中的元素个数为 A ．2 B ．3 C ．4D ．57．设a ，b 是两个非零向量，则使a b =a b 成立的一个必要非充分条件是A ．=a bB ．⊥a bC ．λ=a b ()0λ>D ．ab8．设a ，b ，m 为整数（0m >），若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为()mod a b m ≡．若0122202020202020C C 2C 2C 2a =+⋅+⋅++⋅，()mod10a b ≡，则b 的值可以是A ．2011B ．2012C ．2013D ．2014 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．若不等式1x a -<的解集为{}13x x <<，则实数a 的值为 ． 10．执行如图2的程序框图，若输出7S =，则输入k ()*k ∈N 的值为 ． 11．一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图3所示，则这个四棱锥的体积是 ．12．设α为锐角，若cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 12απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 侧（左）视图图3俯视图爱迪教育 D 爱迪个性化教育发展中心D Idea Personalized Education Development C ３13．在数列{}n a 中，已知11a =，111n n a a +=-+，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2014S = ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线()sin cos a ρθθ-=与曲线2cos 4sin ρθθ=-相交于A ，B 两点，若AB =3a 的值为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图4，PC 是圆O 的切线，切点为C ，直线PA 与圆O 交于A ，B 两点，APC ∠的平分线分别交弦CA ，CB 于D ，E两点，已知3PC =，2PB =，则PEPD的值为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()sin cos f x x a x =+的图象经过点π03⎛⎫- ⎪⎝⎭，． （1）求实数a 的值；（2）设[]2()()2g x f x =-，求函数()g x 的最小正周期与单调递增区间．17．（本小题满分12分）甲，乙，丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是25，甲，丙两人同时不能被聘用的概率是625，乙，丙两人同时能被聘用的概率是310，且三人各自能否被聘用相互独立． （1）求乙，丙两人各自能被聘用的概率；（2）设ξ表示甲，乙，丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求ξ的分布列与均值（数学期望）．18．（本小题满分14分）如图5，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1D D 的PEABCD 图4O 1C 1D DE1A 1B４中点，点F 在棱1B B 上，且满足12B F FB =． （1）求证：11EF A C ⊥；（2）在棱1C C 上确定一点G ， 使A ，E ，G ，F 四点共面，并求此时1C G 的长；（3）求平面AEF 与平面ABCD 所成二面角的余弦值． 19．（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的首项为10，公差为2，等比数列{}n b 的首项为1，公比为2，*n ∈N ．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设第n 个正方形的边长为{}min ,n n n c a b =，求前n 个正方形的面积之和n S ． （注：{}min ,a b 表示a 与b 的最小值．） 20．（本小题满分14分）已知双曲线E ：()222104x y a a -=>的中心为原点O ，左，右焦点分别为1F ，2F ，离心率为35，点P 是直线23a x =上任意一点，点Q 在双曲线E 上，且满足220PF QF =．（1）求实数a 的值；（2）证明：直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值；（3）若点P 的纵坐标为1，过点P 作动直线l 与双曲线右支交于不同两点M ，N ，在线段MN上取异于点M ，N 的点H ，满足PM MHPN HN=，证明点H 恒在一条定直线上． 21．（本小题满分14分）已知函数()()221e x f x x x =-+（其中e 为自然对数的底数）． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）定义：若函数()h x 在区间[],s t ()s t <上的取值范围为[],s t ，则称区间[],s t 为函数()h x 的“域同区间”．试问函数()f x 在()1,+∞上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由．2014年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可C爱迪教育 D 爱迪个性化教育发展中心D Idea Personalized Education Development C ５根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题，满分40分．题号 1 23 4 5 6 7 8答案 A B A D B C D A二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．题号 9 10 11 12131415答案23421020112-1-或5- 23三、解答题：本大题共6小题，满分80分． 16．（本小题满分1）（本小题主要考查三角函数图象的周期性、单调性、同角三角函数的基本关系和三角函数倍角公式等等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）解：（1）因为函数()sin cos f x x a x =+的图象经过点π03⎛⎫- ⎪⎝⎭，，所以03f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 即ππsin cos 033a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 即302a+=． 解得3a =（2）方法1：由（1）得()sin 3f x x x =．所以2()[()]2g x f x =-()2sin 32x x=+-22sin 23cos 3cos 2x x x x =++-６2cos 2x x =+122cos 22x x ⎫=+⎪⎪⎝⎭ 2sin 2cos cos 2sin 66x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π2sin 26x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．所以()g x 的最小正周期为22π=π． 因为函数sin y x =的单调递增区间为2,222k k ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ， 所以当πππ2π22π262k x k -≤+≤+()k ∈Z 时，函数()g x 单调递增， 即ππππ36k x k -≤≤+()k ∈Z 时，函数()g x 单调递增．所以函数()g x 的单调递增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ． 方法2：由（1）得()sin f x x x =+2sin cos cos sin 33x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π2sin 3x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．所以2()[()]2g x f x =-2π2sin 23x ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2π4sin 23x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭2π2cos 23x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭分所以函数()g x 的最小正周期为22π=π分 因为函数cos y x =的单调递减区间为[]2,2k k ππ+π()k ∈Z ， 所以当22223k x k ππ≤+≤π+π()k ∈Z 时，函数()g x 单调递增．爱迪教育 D 爱迪个性化教育发展中心D Idea Personalized Education Development C ７即ππππ36k x k -≤≤+（k ∈Z ）时，函数()g x 单调递增．所以函数()g x 的单调递增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ．17．（本小题满分1）（本小题主要考查相互独立事件、解方程、随机变量的分布列与均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识） 解：（1）记甲，乙，丙各自能被聘用的事件分别为1A ，2A ，3A ，由已知1A ，2A ，3A 相互独立，且满足()()()()()113232,5611,253.10P A P A P A P A P A ⎧=⎪⎪⎪--=⎡⎤⎡⎤⎨⎣⎦⎣⎦⎪⎪=⎪⎩解得()212P A =，()335P A =． 所以乙，丙各自能被聘用的概率分别为12，35． （2）ξ的可能取值为1，3．因为()()()1231233P P A A A P A A A ξ==+()()()()()()123123111P A P A P A P A P A P A =+---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦213312525525=⨯⨯+⨯⨯625=． 所以()()113P P ξξ==-=61912525=-=． 所以ξ的分布列为所以19613252525E ξ=⨯+⨯=．ξ 1 3P1925625８18．（本小题满分1）（本小题主要考查空间线面关系、四点共面、二面角的平面角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）推理论证法：（1）证明：连结11B D ，BD ，因为四边形1111A B C D 是正方形，所以1111A C B D ⊥． 在正方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面1111A B C D ，11A C ⊂平面1111A B C D ，所以111A C DD ⊥．因为1111B D DD D =，11B D ，1DD ⊂平面11BB D D ，所以11A C ⊥平面11BB D D ．因为EF ⊂平面11BB D D ，所以11EF A C ⊥． （2）解：取1C C 的中点H ，连结BH ，则BHAE ．在平面11BB C C 中，过点F 作FGBH ，则FGAE ．连结EG ，则A ，E ，G ，F 四点共面．因为11122CH C C a ==，11133HG BF C C a ===， 所以1C G 116C C CH HG a =--=．故当1C G 16a =时，A ，E ，G ，F 四点共面．（3）延长EF ，DB ，设EFDB M =，连结AM ，则AM 是平面AEF 与平面ABCD 的交线．过点B 作BN AM ⊥，垂足为N ，连结FN ， 因为FB AM ⊥，FB BN B =， 所以AM ⊥平面BNF ．因为FN ⊂平面BNF ，所以AM ⊥FN ． 所以FNB ∠为平面AEF 与平面ABCD 所成二面角的平面角．因为123132aMB BF MD DE a ===，23=，1D ABCD EF 1A1B1C MN1D ABCD EF 1A1B1C 1DABCDE F 1A1B 1C G H爱迪教育 D 爱迪个性化教育发展中心D Idea Personalized Education Development C ９所以22MB a =．在△ABM 中，AB a =，135ABM ∠=， 所以2222cos135AM AB MB AB MB =+-⨯⨯⨯ ()222222222a aa a ⎛=+-⨯⨯⨯- ⎝⎭213a =． 即13AM a =． 因为11sin13522AM BN AB MB ⨯=⨯⨯， 所以222sin13521321313a a AB MB BN a AMa⨯⨯⨯===．所以2222121371331339FN BF BN a a ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以6cos 7BN FNB FN ∠==．故平面AEF 与平面ABCD 所成二面角的余弦值为67．空间向量法：（1）证明：以点D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系， 则(),0,0A a ，()1,0,A a a ，()10,,C a a ，10,0,2E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,,3F a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()11,,0AC a a =-，1,,6EF a a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 因为221100AC EF a a =-++=， 所以11AC EF ⊥．1D ABC D EF 1A1B1C xyz１０所以11EF A C ⊥．（2）解：设()0,,G a h ，因为平面11ADD A 平面11BCC B ，平面11ADD A 平面AEGF AE =，平面11BCC B 平面AEGF FG =，所以FGAE ．所以存在实数λ，使得FG AE λ=． 因为1,0,2AE a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1,0,3FG a h a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 所以11,0,,0,32a h a a a λ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以1λ=，56h a =． 所以1C G 15166CC CG a a a =-=-=． 故当1C G 16a =时，A ，E ，G ，F 四点共面． （3）解：由（1）知1,0,2AE a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，10,,3AF a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 设(),,x y z =n 是平面AEF 的法向量，则0,0.AE AF ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 即10,210.3ax az ay az ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩取6z =，则3x =，2y =-．所以()3,2,6=-n 是平面AEF 的一个法向量． 而()10,0,DD a =是平面ABCD 的一个法向量， 设平面AEF 与平面ABCD 所成的二面角为θ， 则11cos DD DD θ=n n (1)爱迪教育 D 爱迪个性化教育发展中心D Idea Personalized Education Development C １１()()2220302667326a a⨯+⨯-+⨯==+-+⨯． 故平面AEF 与平面ABCD 所成二面角的余弦值为67．第（1）、（2）问用推理论证法，第（3）问用空间向量法： （1）、（2）给分同推理论证法． （3）解：以点D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系， 则(),0,0A a ，10,0,2E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,,3F a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1,0,2AE a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，10,,3AF a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭．设(),,x y z =n 是平面AEF 的法向量，则0,0.AE AF ⎧=⎪⎨=⎪⎩nn即10,210.3ax az ay az ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩取6z =，则3x =，2y =-．所以()3,2,6=-n 是平面AEF 的一个法向量． 而()10,0,DD a =是平面ABCD 的一个法向量， 设平面AEF 与平面ABCD 所成的二面角为θ， 则11cos DD DD θ=n n (1)()()2220302667326a a⨯+⨯-+⨯==+-+⨯． 故平面AEF 与平面ABCD 所成二面角的余弦值为67． 19．（本小题满分1）（本小题主要考查等差数列、等比数列、分组求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力和创新意识）1D ABC DEF 1A1B1C xyz１２解：（1）因为等差数列{}n a 的首项为10，公差为2，所以()1012n a n =+-⨯， 即28n a n =+．因为等比数列{}n b 的首项为1，公比为2，所以112n n b -=⨯， 即12n n b -=．（2）因为110a =，212a =，314a =，416a =，518a =，620a =，11b =，22b =，34b =，48b =，516b =，632b =．易知当5n ≤时，n n a b >．下面证明当6n ≥时，不等式n n b a >成立．方法1：①当6n =时，616232b -==620268a >=⨯+=，不等式显然成立．②假设当n k =()6k ≥时，不等式成立，即1228k k ->+．则有()()()()122222821826218kk k k k k -=⨯>+=++++>++．这说明当1n k =+时，不等式也成立．综合①②可知，不等式对6n ≥的所有整数都成立． 所以当6n ≥时，n n b a >． 方法2：因为当6n ≥时()()()112281128n n n n b a n n ---=-+=+-+()()01211111C C C C 28n n n n n n -----=++++-+()()012321111111C C C C C C 28n n n n n n n n n n ---------≥+++++-+ ()()0121112C C C 28n n n n ---=++-+()()236460n n n n n =--=-+->，所以当6n ≥时，n n b a >．所以{}min ,n n n c a b =12,5,28,5.n n n n -⎧≤=⎨+>⎩爱迪教育 D 爱迪个性化教育发展中心D Idea Personalized Education Development C １３则()22222,5,44, 5.n n n c n n -⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩当5n ≤时，2222123n n S c c c c =++++ 2222123n b b b b =++++024222222n -=++++1414n -=-()1413n=-．当5n >时，2222123n n S c c c c =++++()()22222212567n b b b a a a =+++++++()51413=-()()()222464744n ⎡⎤+++++++⎣⎦()()()222341467867165n n n ⎡⎤=+++++++++-⎣⎦ ()()()()2222223414121253267645n n n ⎡⎤=++++-++++++++-⎣⎦()()()()()121653414553264562n n n n n n +++-⎡⎤=+-+⨯+-⎢⎥⎣⎦3242421867933n n n =++-． 综上可知，n S ()32141,5,3424218679, 5.33nn n n n n ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪++->⎪⎩20．（本小题满分1）（本小题主要考查直线的斜率、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） （1）解：设双曲线E 的半焦距为c ，由题意可得22354.c a c a ⎧=⎪⎨⎪=+⎩解得5a =．１４（2）证明：由（1）可知，直线2533a x ==，点()23,0F ．设点5,3P t ⎛⎫⎪⎝⎭,()00,Q x y ， 因为220PF QF =，所以()0053,3,03t x y ⎛⎫----= ⎪⎝⎭． 所以()00433ty x =-． 因为点()00,Q x y 在双曲线E 上，所以2200154x y -=，即()2200455y x =-． 所以20000200005533PQ OQy t y y ty k k x x x x --⋅=⋅=--()()2002004453453553x x x x ---==-．所以直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值45．（3）证法1：设点(),H x y ，且过点5,13P ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与双曲线E 的右支交于不同两点()11,M x y ，()22,N x y ，则22114520x y -=，22224520x y -=，即()2211455y x =-，()2222455y x =-． 设PM MH PN HN λ==，则,.PM PN MH HN λλ⎧=⎪⎨=⎪⎩． 即()()1122112255,1,1,33,,.x y x y x x y y x x y y λλ⎧⎛⎫⎛⎫--=--⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪--=--⎩整理，得()()()1212121251,31,1,1.x x y y x x x y y y λλλλλλλλ⎧-=-⎪⎪⎪-=-⎨⎪+=+⎪+=+⎪⎩①②③④由①×③，②×④得()()22221222221251,31.x x x y y y λλλλ⎧-=-⎪⎨⎪-=-⎩⑤⑥将()2211455y x =-，()2222455y x =-代入⑥，爱迪教育 D 爱迪个性化教育发展中心D Idea Personalized Education Development C １５得2221224451x x y λλ-=⨯--． ⑦ 将⑤代入⑦，得443y x =-． 所以点H 恒在定直线43120x y --=上．证法2：依题意，直线l 的斜率k 存在． 设直线l 的方程为513y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，由2251,31.54y k x x y ⎧⎛⎫-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪-=⎪⎩消去y 得()()()22229453053255690k x k k x k k -+---+=． 因为直线l 与双曲线E 的右支交于不同两点()11,M x y ，()22,N x y ，则有()()()()()()()22222122212290053900455690,3053,95425569.954k k k k k k k x x k k k x x k ⎧⎪∆=-+--+>⎪⎪-⎪+=⎨-⎪⎪-+⎪=⎪-⎩设点(),H x y ，由PM MH PN HN =，得112125353x x x x x x --=--． 整理得()()1212635100x x x x x x -+++=．1 将②③代入上式得()()()()()2222150569303553100954954k k x k k x k k -++--+=--．整理得()354150x k x --+=． ④①② ③１６因为点H 在直线l 上，所以513y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． ⑤ 联立④⑤消去k 得43120x y --=． 所以点H 恒在定直线43120x y --=上．（本题（3）只要求证明点H 恒在定直线43120x y --=上，无需求出x 或y 的范围．） 21．（本小题满分1）（本小题主要考查函数的单调性、函数的导数、函数的零点等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识） 解：（1）因为()()221e x f x x x =-+，所以2()(22)e (21)e x x f x x x x '=-+-+()21e xx =-(1)(1)e x x x =+-． 当1x <-或1x >时，()0f x '>，即函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和()1,+∞． 当11x -<<时，()0f x '<，即函数()f x 的单调递减区间为()1,1-．所以函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和()1,+∞，单调递减区间为()1,1-． （2）假设函数()f x 在()1,+∞上存在“域同区间”[,](1)s t s t <<，由（1）知函数()f x 在()1,+∞上是增函数，所以(),().f s s f t t =⎧⎨=⎩ 即22(1)e ,(1)e .s ts s t t ⎧-⋅=⎨-⋅=⎩也就是方程2(1)e xx x -=有两个大于1的相异实根． 设2()(1)e (1)xg x x x x =-->，则2()(1)e 1xg x x '=--． 设()h x =2()(1)e 1xg x x '=--，则()()221e x h x x x '=+-．因为在(1,)+∞上有()0h x '>，所以()h x 在()1,+∞上单调递增． 因为()110h =-<，()223e 10h =->，即存在唯一的()01,2x ∈，使得()00h x =．当()01,x x ∈时，()()0h x g x '=<，即函数()g x 在()01,x 上是减函数； 当()0,x x ∈+∞时，()()0h x g x '=>，即函数()g x 在()0,x +∞上是增函数．因为()110g =-<，0()(1)0g x g <<，2(2)e 20g =->，爱迪教育 D 爱迪个性化教育发展中心D Idea Personalized Education Development C １７所以函数()g x 在区间()1,+∞上只有一个零点．这与方程2(1)e xx x -=有两个大于1的相异实根相矛盾，所以假设不成立． 所以函数()f x 在()1,+∞上不存在“域同区间”．。
2014一模分析
2014年一模情况分析李海维各位校长，各位主任：我想就一模情况谈四个方面的话题：一、本次划线的参考因素和划线结果2013年高考成绩揭晓到现在，有两个方面的新情况必然会牵动全市高中教育多方面的变化：一是2013年二本达线9300多，加上体艺类，全市二本以上达线人数首次突破万人大关；二是2014年一模总体成绩，应届生首次超过往届生。
这两个情况存在着明显的内在联系：去年升入大学的考生多，留下来的往届生就少了，应届生成绩超过往届生符合情理。
这两个情况也说明吕梁的高中教育的内涵发展以及高考情况在经历了一个漫长的量变积累之后，正在发生质的变化。
2013年考入大学的学生多，外因是高校扩招，内因是吕梁高中教育自身的发展。
今年应届生成绩超过往届生，外因仍然是2013年高校扩招，内因是全市高中学校审时度势，改变靠往届生吃饭的决心和内涵发展战略。
由于出现了上述情况，往年的模考“划线”方法就过时了。
本次模考划线，我们更多地比照了2013年的二本以上达线人数。
划线结果是：理科应届420分，上线人数4160人；理科往届430分，上线人数3531人；文科应届490分，上线人数743人；文科往届500分，上线人数916人。
合计上线人数9350人。
与2013年二本以上实际达线人数基本持平。
大家都清楚，往年模考后总是按照高于上一年二本以上实际达线人数几百人确定预期线的，而且高考结果很少低于预期。
那么，本次划线为什么在上线总人数的确定上仅仅保持了与去年持平，没有提出高于去年的预期呢？我们主要是考虑到考生人数减少这一重大因素。
2013年岚县没有参加一模，全市实际参加一模人数是37500人，假如岚县参加的话，全市一模人数应该达到39000人。
而本次参加模考的人数是34800人。
从这两个数字的对比中我们发现：2014年全市参加高考的人数可能会比2013年少4000人左右。
这个情况务必要高度注意：长期计划生育的因素已经反映到高中在校生人数的变化上；高考志愿由往年的主要看第一志愿转变为五六个平行志愿不分彼此，使得往届生的数量由多少年来的年年增加，转变为今年的突然锐减，不少学校已经取消了补习班。
2014年一模考试数学试卷分析
2014年中招模拟考试数学试卷分析一模考试已经结束，现就我县数学考试情况进行简单分析。
希望能给九年级数学教师一点启发。
一、试题主要特点。
（一）试卷结构。
本次数学考试试题卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟。
本次的一模考试严格按中招考试的题型、难度、时间要求进行的。
数学题型涵盖有选择题、填空题、解答题。
其中选择题8个每题3分共24分，填空题7个每题3分共21分，解答题8个共75分，共有23个题目。
（二）知识点分布及分值。
从上表可以看出，该试卷覆盖了课标的大部分知识点，考察全面。
重点知识、主干知识重点考查，不单纯追求知识覆盖面。
（三）数学试题具有以下特点：1、严格按照课标要求，无偏题、怪题、死记硬背性的题目。
（1）对数与代数的考察，主要考查学生对概念、法则及运算的理解和运用水平。
（2）对几何与图形的考查，主要考查学生对基本几何事实的理解，空间观念的发展及合情推理能力和初步演绎推理能力的获得，对证明部分的评价，关注学生对证明意义的理解以及证明的过程是不是步步有依据（3）对统计与概念的考查，重点放在考查学生能否具有现实背景的活动中应用统计与概念的知识与技能，是否具有统计观念。
2、考查基础知识的题目简单，充分体现《课标》理念：“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。
”3、选拔性的题目（即区分度大的题目或难题）分散在各种题型中。
从整张试卷，不仅后面大题有区分度，而前面的选择题、填空题中也有一定的区分度。
一般8个选择题中，有5—6个送分题，1—2个选拔性题目，7个填空题中有3—4个送分题，1—2个中档题，有1—2个选拔性题目，同样8个大题中有2—4个送分题。
3—4个中挡题。
有1—2个难度较大的题目，每一种题型学生均可得到分，但得满分也不容易。
4、大题分几个小题，由易到难，有利于不同程度的学生充分发挥自己的数学潜能。
顺利完成各自的目标。
5、试题的背景更贴近学生的生活，在学生熟悉的生活背景下提出问题，充分考察学生运用所学知识解决实际问题的能力。
2014广州大学附中数学一模及答案
20.（12 分）如图，已知 Rt△ABC 中∠BAC=30° ，分别以 Rt△ABC 的直角边 AC 及斜边 AB 向外作等 边△ACD，等边△ABE． EF⊥AB，垂足为 F，连接 DF． （1）试说明 AC=EF； （2）求证：四边形 ADFE 是平行四边形．
21、 （12 分）在“传赠言”活动中，某班团支部对该班全体团员在一个月内所发赠言条数的情况进行了统 计，并制成了如下两幅不完整的统计图：
2 x 1 17、 （9 分）解方程3 +3x-1 =9x-3
18、 （9 分）已知：点 A（-4,0） 、B（0,3）分别是 x、y 轴上的两 点。 （1）用尺规作图作出△ABO 的外接圆⊙P。 （不写作法，保留作
A
B
O
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图痕迹） （2）求出⊙P 向上平移几个单位后与 x 轴相切。
8. 如图， 四边形 ABCD 是圆内接四边形， E 是 BC 延长线上一点， 若∠BAD=105° ， 则∠DCE 的大小是（ ） A．115° B．l05° C．100° D．95°
9. 如图，已知 A、B 是反比例函数 y= （k＞0，x＞0）图象上的两点，BC∥x 轴，交 y 轴于点 C．动点 P 从坐标原点 O 出发，沿 O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为 C．过 P 作 PM⊥x 轴，PN
19.（10 分）如图所示，我市的 A、B 两地相距 20km，B 在 A 的北偏东 45° 方向上，一森林保护中心 P 在 A 的北偏东 30° 和 B 的正西方向上．现计划修建的一条高速铁路将经过 AB（线段） ，已知森林保护 区的范围在以点 P 为圆心， 半径为 4km 的圆形区域内． 请问这条高速铁路会不会穿越保护区， 为什么？
2014广东省广州市高考数学一模试卷(理科)(含解析)
2014年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知i 是虚数单位，若2(i)34i m +=-，则实数m 的值为（ ）．A ．2-B ．2±C ．D ．2【答案】A【解答】解：∵2(i)34i m +=-， ∴222i i 34i m m ++=-， 即22i 134i m m +-=-， ∴22413m m =-⎧⎨-=⎩，解得2m =-，故选A ．2．（5分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2C B =，则cb为（ ）． A ．2sin CB ．2cos BC ．2sin BD ．2cos C【答案】B【解答】解：在ABC △中， ∵2C B =，∴sin sin 22sin cos C B B B ==， 即2cos c b B =，则2cos cB b=． 故选B ．3．（5分）圆22(1)(2)1x y -+-=关于直线y x =对称的圆的方程为（ ）．A ．22(2)(1)1x y -+-=B ．22(1)(2)1x y ++-=C ．22(2)(1)1x y ++-=D ．22(1)(2)1x y -++=【答案】A【解答】解：∵点(,)P x y 关于直线y x =对称的点为(,)P y x '， ∴(1,2)关于直线y x =对称的点为(2,1)，∴圆22(1)(2)1x y -+-=关于直线y x =对称的圆的方程为22(2)(1)1x y -+-=． 故选A ．4．（5分）若函数()f x R ，则实数a 的取值范围为（ ）．A ．(2,2)-B ．(,2)(2,)-∞-+∞UC ．]([,22,)-∞-+∞UD ．[]2,2-【答案】D【解答】解：函数()f x R ， 则210x ax ++≥恒成立，即240a ∆=-≤，解得22a -≤≤，即实数a 的取值范围是[]2,2-，故选D ． 5．（5分）某中学从某次考试成绩中抽取若干名学生的分数，并绘制成如图的频率分布直方图．样本数据分组为[5060)，，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．若用分层抽样的方法从样本中抽取分数在[80,100]范围内的数据16个，则其中分数在[90,100]范围内的样本数据有（ ）．A ．5个B ．6个C ．8个D ．10个【答案】B【解答】解：由频率分布直方图知：抽取分数在[80,100]范围内的频率为(0.0250.015)100.4+⨯=， 又在[80,100]范围内的数据有16个，∴样本容量16400.4==个， ∵分数在[90,100]范围内的频率为0.015100.15⨯=， ∴在[90,100]范围内的频数为0.15406⨯=个． 故选B ．6．（5分）已知集合{|A x x =∈Z 且3}2x∈-Z ，则集合A 中的元素个数为（ ）． A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解答】解：∵{|A x x =∈Z 且{}3}=1,1,3,52x∈--Z ， ∴集合A 中的元素有4个． 答案C ．7．（5分）设a r ，b r 是两个非零向量，则使||||a b a b ⋅=r r r r成立的一个必要非充分条件是（ ）．A ．a b =r rB ．a b r r ⊥C ．(0)a b λλ=>r rD ．a b r r ∥【答案】D【解答】解：∵a r ，b r 是两个非零向量，则||||a b a b ⋅=r r r r ， ∴||||cos ,||||a b a b a b a b ⋅==r r r r r r r r ，∴cos ,1a b =r r，∴,0a b =r r． ∴a b r r ∥． a r ，b r 是两个非零向量，则使||||a b a b ⋅=r r r r成立的一个必要非充分条件是a b r r ∥．故选D ． 8．（5分）设a ，b ，m 为整数(0)m >，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为(mod )a b m ≡．若0122202020202020C C 2C 2C 2a =+⋅+⋅++⋅L ，(mod10)a b ≡，则b 的值可以是（ ）． A ．2011 B ．2012 C ．2013 D ．2014【答案】A【解答】解：∵0122202020202020C C 2C 2C 2a =+⋅+⋅++⋅L ，2020122202020202012312C 2C 2C +==++++L （），∴203a =．∵13个位是3，23个位是9，33个位是7，43个位是1，53个位是3，L ∴203个位是1，若(mod10)a b ≡，则b 的个位也是1．故选A ．二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分．（一）必做题（9～13题） 9．（5分）若不等式||1x a -<的解集为{}3|1x x <<，则实数a 的值为__________． 【答案】2【解答】解：∵||1x a -<， ∴11x a -<-<， ∴11a x a -<<+，∴不等式||1x a -<的解集为{}1|1x a x a -<<+， ∵不等式||1x a -<的解集为{}3|1x x <<， ∴11a -=且13a +=， 解得：2a =． 故答案为：2．10．（5分）执行如图的程序框图，若输出7S =，则输入*()k k ∈N 的值为__________．【答案】3【解答】解：由程序框图知，程序第一次运行1n =，11021S -=+=； 第二次运行112n =+=，1123S =+=； 第三次运行3n =，121227S =++=． ∵输出7S =，∴程序运行终止时3n =， 又不满足条件n k <时输出S ， ∴3k =，故答案为：3． 11．（5分）一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是__________．正主()视图侧左()视图俯视图【答案】4【解答】解：由三视图知几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱垂直于底面， 3， ∵底面为菱形，对角线互相垂直平分，∴底面面积124142S =⨯⨯⨯=，∴几何体的体积14343V =⨯⨯=．故答案为：4．12．（5分）设α为锐角，若π3cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 12α⎛⎫-= ⎪⎝⎭ __________．【解答】解：∵α为锐角，π3cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭为正数，∴π6α+是锐角，π4sin 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴πππsin sin 1264αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，ππππsin cos cos sin 6464αα⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4355=-=，．13．（5分）在数列{}n a 中，已知11a =，111n n a a ++=-，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2014S =__________． 【答案】20112-【解答】解：∵11a =，111n n a a ++=-， ∴212a =-，312112a =-=-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，411(2)1a =-=-+，512a =-，L∴数列{}n a 是以3为周期的数列， 又3123131222S a a a =++=--=-，∴20142013201432013201167111222S S a ⎛⎫=+=⨯-+=-+=- ⎪⎝⎭．故答案为：20112-．三、选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）（坐标系与参数方程选做题） 14．（5分）在极坐标系中，直线(sin cos )a ρθθ-=与曲线2cos 4sin ρθθ=-相交于A ，B 两点，若||AB =a 的值为__________． 【答案】1-或5-【解答】解：直线(sin cos )a ρθθ-=即0x y a -+=；曲线2cos 4sin ρθθ=-即22cos 4sin ρρθρθ=-，即22 240x y x y ++=-，即22(1)(2)5x y -++=，表示以(1,2)C -设圆心到直线的距离为d ，则d再根据点到直线的距离公式可得d解得1a =-，或5a =-， 故答案为：1-或5-．（几何证明选讲选做题）15．如图，PC 是圆O 的切线，切点为C ，直线PA 与圆O 交于A 、B 两点，APC ∠的平分线分别交弦CA ，CB 于D ，E 两点，已知3PC =，2PB =，则PEPD的值为__________．【答案】2 3【解答】解：作直线CF，连结BF，∴CF PC⊥，∴90PCB BCF∠+∠=︒，∵CF是直径，∴90BCF F∠+∠=︒，∴PCB F∠=∠，∵F A∠=∠，∴PCB A∠=∠，∴PCB PAC△∽△，∴23 PC PBPA PC==，∵PCE PCB A∠=∠=∠，CPE APD∠=∠，∴PCE PAD△∽△，∴23 PE PCPD PA==．故答案为：23．四、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数()sin cosf x x a x=+的图象经过点π,03⎛⎫-⎪⎝⎭．（1）求实数a的值．（2）设2()()2[]g x f x=-，求函数()g x的最小正周期与单调递增区间．【答案】见解析．【解答】解：（1）∵函数()sin cos f x x a x =+的图象经过点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴π03f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即ππsin cos 033a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即02a =，解得a（2）由（1）得()sin f x x x =． ∴2()()2[]g x f x =-2(sin )2x x =-22sin cos 3cos 2x x x x =++-2cos2x x +122cos22x x ⎫=+⎪⎪⎝⎭ ππ2sin 2cos cos2sin 66x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ π2sin 26x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．∴函数的最小正周期为2ππ2=． ∵函数sin y x =的单调递增区间为ππ2π,2π()22k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，令πππ2π22π262k x k -++≤≤，k ∈Z ，求得ππππ36k x k -+≤≤，∴函数的单调递增区间为πππ,π()36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ．17．（12分）甲，乙，丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是25，甲，丙两人同时不能被聘用的概率是625，乙，丙两人同时能被聘用的概率是310，且三人各自能否被聘用相互独立．（1）求乙，丙两人各自能被聘用的概率．（2）设ξ表示甲，乙，丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求ξ的分布列与均值（数学期望）． 【答案】见解析．【解答】解：（1）记甲，乙，丙各自能被聘用的事件分别为1A ，2A ，3A ， 由已知1A ，2A ，3A 相互独立，且满足113232()56[1()][1()]253()()10P A P A P A P A P A ⎧=⎪⎪⎪--=⎨⎪⎪=⎪⎩解得21()2P A =，33()5P A =． ∴乙，丙各自能被聘用的概率分别为12，35． （2）ξ的可能取值为1，3． ∵123123(3)()()P P A A A P ξ==+，123123)))[)][)][)(((1(1(1(]P A P A P A P A P A P A =+---213312525525=⨯⨯+⨯⨯ 625=． ∴619(1)1(3)12525P P ξξ==-==-=． ∴ξ的分布列为∵1963713252525E ξ=⨯+⨯=．18．（14分）如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1D D 的中点，点F 在棱1B B 上，且满足12B F FB =． （1）求证：11EF AC ⊥．（2）在棱1C C 上确定一点G ，使A ，E ，G ，F 四点共面，并求此时1C G 的长． （3）求平面AEF 与平面ABCD 所成二面角的余弦值．D ABCE F A 1B 1D 1C 1【答案】见解析．【解答】（1）证明：连结11B D ，BD ， ∵四边形1111A B C D 是正方形，∴1111B D AC ⊥．在正方体1111ABCD A B C D -中，∵1DD ⊥平面1111A B C D ，11AC ⊂平面1111A B C D ， ∴111AC DD ⊥．∵1111B D DD D =I ，11B D ，1DD ⊂平面11BB D D ， ∴11AC ⊥平面11BB D D ． ∵EF ⊂平面11BB D D ， ∴11EF AC ⊥．（2）解：以点D 为坐标原点，以DA ，DC ，1DD 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴， 建立如图的空间直角坐标系，则(,0,0)A a ，1,(0,)A a a ，10,(,)C a a ，10,0,2E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,,3F a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴11(,,0)AC a a =-u u u u r ，1,,6EF a a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ． 设(0,,)G a h ，∵平面11ADD A ∥平面11BCC B ，平面11ADD A I 平面AEGF AE =， 平面11BCC B I 平面AEGF FG =，∴存在实数λ，使得FG AE λ=u u u r u u u r． ∵1,0,2AE a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，1,0,3FG a h a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，∴11,0,,0,32a h a a a λ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∴1λ=，56h a =．∴115166C G CC CG a a a =-=-=．∴当116C G a =时，A ，E ，G ，F 四点共面．（3）解：由（1）知1,0,2AE a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，10,,3AF a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ．设(,,)n x y z =r是平面AEF 的法向量，则00n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r，即102103ax az ay az ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩取6z =，则3x =，2y =-． 所以(3,2,6)n =-r是平面AEF 的一个法向量． 而1(0,0,)DD a =u u u u r是平面ABCD 的一个法向量，设平面AEF 与平面ABCD 所成的二面角为θ，则6cos 7θ==．故平面AEF 与平面PQ 所成二面角的余弦值为67．C 1D 1B 1A 1F EC B AD19．（14分）已知等差数列{}n a 的首项为10，公差为2，等比数列{}n b 的首项为1，公比为2，*n ∈N ． （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式．（2）设第n 个正方形的边长为{}min ,n n n C a b =，求前n 个正方形的面积之和n S ．（注：{}min ,a b 表示a 与b 的最小值．） 【答案】见解析．【解答】解：（1）因为等差数列{}n a 的首项为10，公差为2，所以10(1)2n a n =+-⨯，即28n a n =+．因为等比数列{}n b 的首项为1，公比为2，所以112n n b -=⨯，即12n n b -=．（2）因为110a =，212a =，314a =，416a =，518a =，620a =，11b =，22b =，34b =，48b =，516b =，632b =．易知当5n ≤时，n n a b >．下面证明当6n ≥时，不等式n n b a >成立．方法1：①当6n =时，616623220268b a -==>=⨯+=，不等式显然成立．②假设当(6)n k k =≥时，不等式成立，即1228k k ->+．则有12222(28)2(1)8(26)2(1)8k k k k k k -=⨯+=++++>++>．这说明当1n k =+时，不等式也成立．综合①②可知，不等式对6n ≥的所有整数都成立．所以当6n ≥时，n n b a >．方法2：因为当6n ≥时112(28)(11)(28)n n n n b a n n ---=-+=+-+ 01211111(C C C C )(28)n n n n n n -----=++++-+L 012321111111(C C C C C C )(28)n n n n n n n n n n ---------+++++-+≥ 0121112(C C C )(28)n n n n ---=++-+ 236(4)(6)0n n n n n =-=-+->-， 所以当6n ≥时，n n b a >．所以5n ≤时，22222222123123n n nS c c c c b b b b =++++=++++L L 024222222n -=++++L1414n-=-1(41)3n =-． 当5n >时，2222123n nS c c c c =++++L ， 22222212567()()n b b b a a a =+++++++L L 52221(41)464)(74()3[(])4n =-+++++++L 2223414678(67)1[(6(5))]n n n =+++++++++-L L222222[()(34141212532(67)64(]5))n n n =++++++++++++--L L L(1)(21)(6)(5)3414553264(5)62n n n n n n +++-⎡⎤=+-+⨯+-⎢⎥⎣⎦3242421867933n n n =++-． 综上可知，321(41),53424218679,533n n n S n n n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪++->⎪⎩≤．20．（14分）已知双曲线222:1(0)4x y E a a -=>的中心为原点O ，左，右焦点分别为1F ，2F ，，点P 是直线23a x =上任意一点，点Q 在双曲线E 上，且满足220PF QF ⋅=u u u u r u u u u r ． （1）求实数a 的值．（2）证明：直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值．（3）若点P 的纵坐标为1，过点P 作动直线l 与双曲线右支交于不同两点M ，N ，在线段MN 上取异于点M ，N 的点H ，满足||||||||PM MH PN HN =，证明点H 恒在一条定直线上． 【答案】见解析．【解答】（1）解：设双曲线E 的半焦距为c ，由题意可得224c a c a ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，解得a（2）证明：由（1）可知，直线2533a x ==，点2)(3,0F ． 设点5,3P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，00)(,Q x y ， 因为220PF QF ⋅=u u u u r u u u u r ，所以0053,(3,)03t x y ⎛⎫--⋅--= ⎪⎝⎭， 所以004(3)3ty x =-． 因为点00)(,Q x y 在双曲线E 上，所以2200154x y -=，即22004(5)5y x =-． 所以220000002200000044(5)(3)4535555333PQ OQ x x y t y y ty k k x x x x x x -----⋅=⋅===---． 所以直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值45． （3）证明：设点(,)H x y ，且过点5,13P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线l 与双曲线E 的右支交于不同两点11)(,M x y ，22)(,N x y ，则22114520x y -=，22224520x y -=，即22114(5)5y x =-，22224(5)5y x =-． 设||||||||PM MH PN HN λ==，则PM PN MH HNλλ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u u r u u u r u u u u r u u u u r ． 即1122112255,1,133(,)(,)x y x y x x y y x x y y λλ⎧⎛⎫⎛⎫--=--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪--=--⎩， 整理，得121212125(1)31(1)(1)x x y y x x x y y y λλλλλλλλ⎧-=-⎪⎪⎪-=-⎨⎪+=+⎪+=+⎪⎩①②③④由①×③，②×④得2221222212x x y y λλ⎧-=⎪⎨⎪-⎩将22114(5)5y x =-，22224(5)5y x =-代入⑥， 得2221224451x x y λλ-=⨯--．⑦ 将⑤代入⑦，得443y x =-． 所以点H 恒在定直线43120x y --=上．21．（14分）已知函数2()(21)e x f x x x -=+（其中e 为自然对数的底数）． （1）求函数()f x 的单调区间．（2）定义：若函数()h x 在区间[](,)s t s t <上的取值范围为[],s t ，则称区间[],s t 为函数()h x 的“域同区间”．试问函数()f x 在(1,)+∞上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由．【答案】见解析．【解答】解：（1）因为2()(21)e x f x x x -=+，所以22()(22)e (21)e (1)e (1)(1)e x x x x f x x x x x x x '=-++==+---． 当1x <-或1x >时，()0f x '>，即函数()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-和(1,)+∞． 当11x -<<时，()0f x '<，即函数()f x 的单调递减区间为(1,1)-． 所以函数()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-和(1,)+∞，单调递减区间为(1,1)-． （2）假设函数()f x 在(1,)+∞上存在“域同区间”,1)[](s t s t <<， 由（1）知函数()f x 在(1,)+∞上是增函数，所以()()f s s f t t =⎧⎨=⎩即22(1)e (1)e s t s s t t ⎧-⋅=⎪⎨-⋅=⎪⎩， 也就是方程2(1)e x x x -=有两个大于1的相异实根．设2()(1)e (1)x g x x x x --=>，则2()(1)e 1x g x x -'=-． 设2()()(1)e 1x h x g x x '==--，则2()(21)e x h x x x '=+-． 因为在(1,)+∞上有()0h x '>，所以()h x 在(1,)+∞上单调递增． 因为(1)10h =-<，2(2)3e 10h =->，即存在唯一的0(1,2)x ∈，使得0)(0h x =．当0)(1,x x ∈时，()()0h x g x '=<，即函数()g x 在0(1,)x 上是减函数； 当0(),x x ∈+∞时，()()0h x g x '=>，即函数()g x 在0(),x +∞上是增函数． 因为(1)10g =-<，0)((1)0g x g <<，2(2)e 20g =->， 所以函数()g x 在区间(1,)+∞上只有一个零点．这与方程2(1)e x x x -=有两个大于1的相异实根相矛盾，所以假设不成立． 所以函数()f x 在(1,)+∞上不存在“域同区间”．故答案为：（1）函数()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-和(1,)+∞，单调递减区间为(1,1)-． （2）函数()f x 在(1,)+∞上不存在“域同区间”．。
2014广州一模理科数学评分细则
2
2
π 4sin 2 x 2 3
数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 2 页 共 13 页
2π 2 cos 2 x ．…………………………………………………………………………7 分 3
AB MB sin135 所以 BN AM
2 2
a 2 2a
2 2 2 13 a ．……………………………………12分 13 13a
2
2 7 13 1 2 13 所以 FN BF BN a a a ．……………………………………13分 39 3 13 BN 6 所以 cos FNB ． FN 7 6 故平面 AEF 与平面 ABCD 所成二面角的余弦值为 ．……………………………………………14分 7
数学（理科）试题参考答案及评分标准
第 5 页 共 13 页
空间向量法： （1）证明：以点 D 为坐标原点， DA ， DC ， DD1 所在的直线 分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图的空间直角坐标系， 则 A a, 0, 0 ， A1 a, 0, a ， C1 0, a, a ，
数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 3 页 共 13 页
所以 的分布列为
P
所以 E 1
1
3
19 25
6 25
…………………………………10 分
19 6 37 ．………………………………………………………………………12 分 3 25 25 25
18． （本小题满分14分） （本小题主要考查空间线面关系、四点共面、二面角的平面角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结 合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）
2014广州一模高三理科数学答题情况分析
顺德区广州一模高三理科数学答题情况分析顺德区数学中心教研组第一部分：基本情况一、平均分：全区平均分84.13，其中一卷（选择题）平均28.73，二卷平均分55.4，各校平均分如下：班级、学校总人数参加人数平均分排名最高分国华纪念中学113 113 117.47 1 144顺德一中685 685 104.81 2 138李兆基中学369 369 100.67 3 134郑裕彤中学329 328 96.16 4 131省实顺德学校96 96 93.52 5 141华侨中学288 288 92.94 6 125罗定邦中学443 443 90.62 7 124碧桂园学校53 53 90.02 8 120伦教中学288 288 81.6 9 117容山中学472 472 80.79 10 125杏坛中学371 371 77.98 11 120乐从中学453 453 77.48 12 131均安中学284 284 76.19 13 118青云中学256 256 75.34 14 115北滘中学222 222 75.09 15 123龙江中学292 291 73.68 16 117勒流中学297 297 71.57 17 119一中实验学校114 114 66 18 112莘村中学272 271 62.98 19 137桂洲中学260 259 61.19 20 121全体5957 5953 84.13 144从平均分来看，区属中学基本正常，每位学校都发挥出自己应有的水平；镇属中学除罗定邦一枝独秀外（均分超过90分），伦教、容山均分超过80，大部分学校的均分位于70—80之间，差距不大。
和上学期期末考试相比变化不大，其中北滘进步最大。
二、理数分数段分布情况总人数：5953 最高分：144 最低分：5 平均分：84分数段人数比例累计人数累计比例>=145 0 0.00% 0 0.00%140-145 3 0.05% 3 0.05%135-140 6 0.10% 9 0.15%130-135 31 0.52% 40 0.67%125-130 56 0.94% 96 1.61%120-125 116 1.95% 212 3.56%115-120 207 3.48% 419 7.04%110-115 275 4.62% 694 11.66%105-110 415 6.97% 1109 18.63%100-105 496 8.33% 1605 26.96%95-100 585 9.83% 2190 36.79%90-95 552 9.27% 2742 46.06%85-90 489 8.21% 3231 54.28%80-85 527 8.85% 3758 63.13%75-80 399 6.70% 4157 69.83%70-75 365 6.13% 4522 75.96%65-70 316 5.31% 4838 81.27%60-65 250 4.20% 5088 85.47%55-60 177 2.97% 5265 88.44%50-55 158 2.65% 5423 91.10%45-50 133 2.23% 5556 93.33%40-45 101 1.70% 5657 95.03%35-40 92 1.55% 5749 96.57%30-35 63 1.06% 5812 97.63%<30 141 2.37% 5953 100.00%三、全区前十名：姓名班级学校理数名次孙鹏程 1 国华纪念中学144 1高雅玉洁 5 省实顺德学校141 2张逸凡 1 国华纪念中学140 3王健 3 国华纪念中学138 4钟秋宇 3 顺德一中138 5康国强 1 国华纪念中学137 6王鹤燃 1 国华纪念中学137 7罗泳妍12 莘村中学137 8吴文灿 1 国华纪念中学135 9张闳一 1 国华纪念中学134 10 前十名中，国华有7人，一中、省实、莘村各1人第二部分：学生答题情况一、选择题：题号答案平均分得分率选A率% 选B率% 选C率% 选D率%单选1 A 4.77 95.35 95.35 1.62 0.44 2.54 单选2 B 4.37 87.46 4.85 87.46 5.16 2.43 单选3 A 4.67 93.5 93.5 2.48 1.79 2.11 单选4 D 3.44 68.74 5.95 3.15 22.09 68.74 单选5 B 4.83 96.7 0.54 96.7 1.08 1.63 单选6 C 2.68 53.67 22.41 18.86 53.67 4.92单选7 D 2.24 44.73 17.9 8.21 28.99 44.73 单选8A 1.81 36.27 36.27 8.53 23.49 31.31从上表可以看出，选择题中第4、6、7、8得分率较低。
2014年广东省广州市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2014年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知i是虚数单位，若（m+i）2＝3﹣4i，则实数m的值为（）A．﹣2B．±2C．D．22．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝2B，则为（）A．2sin C B．2cos B C．2sin B D．2cos C3．（5分）圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1B．（x+1）2+（y﹣2）2＝1C．（x+2）2+（y﹣1）2＝1D．（x﹣1）2+（y+2）2＝14．（5分）若函数f（x）＝的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为（）A．（﹣2，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]5．（5分）某中学从某次考试成绩中抽取若干名学生的分数，并绘制成如图的频率分布直方图．样本数据分组为[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．若用分层抽样的方法从样本中抽取分数在[80，100]范围内的数据16个，则其中分数在[90，100]范围内的样本数据有（）A．5个B．6个C．8个D．10个6．（5分）已知集合A＝，则集合A中的元素个数为（）A．2B．3C．4D．57．（5分）设，是两个非零向量，则使•＝||||成立的一个必要非充分条件是（）A．＝B．⊥C．＝λ（λ＞0）D．∥8．（5分）设a，b，m为整数（m＞0），若a和b被m除得的余数相同，则称a 和b对模m同余，记为a≡b（modm）．若，a≡b（mod10），则b的值可以是（）A．2011B．2012C．2013D．2014二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分．（一）必做题（9～13题）9．（5分）若不等式|x﹣a|＜1的解集为{x|1＜x＜3}，则实数a的值为．10．（5分）执行如图的程序框图，若输出S＝7，则输入k（k∈N*）的值为．11．（5分）一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是．12．（5分）设α为锐角，若cos（）＝，则sin（α﹣）＝．13．（5分）在数列{a n}中，已知a1＝1，a n+1＝﹣，记S n为数列{a n}的前n 项和，则S2014＝．（坐标系与参数方程选做题）14．（5分）在极坐标系中，直线ρ（sinθ﹣cosθ）＝a与曲线ρ＝2cosθ﹣4sinθ相交于A，B两点，若|AB|＝，则实数a的值为．（几何证明选讲选做题）15．如图，PC是圆O的切线，切点为C，直线P A与圆O交于A、B两点，∠APC的平分线分别交弦CA，CB于D，E两点，已知PC＝3，PB＝2，则的值为．四、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）＝sin x+a cos x的图象经过点（，0）．（1）求实数a的值；（2）设g（x）＝[f（x）]2﹣2，求函数g（x）的最小正周期与单调递增区间．17．（12分）甲，乙，丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是，甲，丙两人同时不能被聘用的概率是，乙，丙两人同时能被聘用的概率是，且三人各自能否被聘用相互独立．（1）求乙，丙两人各自能被聘用的概率；（2）设ξ表示甲，乙，丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求ξ的分布列与均值（数学期望）．18．（14分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱D1D 的中点，点F在棱B1B上，且满足B1F＝2FB．（1）求证：EF⊥A1C1；（2）在棱C1C上确定一点G，使A，E，G，F四点共面，并求此时C1G的长；（3）求平面AEF与平面ABCD所成二面角的余弦值．19．（14分）已知等差数列{a n}的首项为10，公差为2，等比数列{b n}的首项为1，公比为2，n∈N*．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）设第n个正方形的边长为∁n＝min{a n，b n}，求前n个正方形的面积之和S n．（注：min{a，b}表示a与b的最小值．）20．（14分）已知双曲线E：＝1（a＞0）的中心为原点O，左，右焦点分别为F1，F2，离心率为，点P是直线x＝上任意一点，点Q在双曲线E上，且满足＝0．（1）求实数a的值；（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；（3）若点P的纵坐标为1，过点P作动直线l与双曲线右支交于不同两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点H，满足，证明点H恒在一条定直线上．21．（14分）已知函数f（x）＝（x2﹣2x+1）e x（其中e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）定义：若函数h（x）在区间[s，t]（s＜t）上的取值范围为[s，t]，则称区间[s，t]为函数h（x）的“域同区间”．试问函数f（x）在（1，+∞）上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由．2014年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知i是虚数单位，若（m+i）2＝3﹣4i，则实数m的值为（）A．﹣2B．±2C．D．2【解答】解：∵（m+i）2＝3﹣4i，∴m2+2mi+i2＝3﹣4i，即m2+2mi﹣1＝3﹣4i，∴，解得m＝﹣2，故选：A．2．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝2B，则为（）A．2sin C B．2cos B C．2sin B D．2cos C【解答】解：在△ABC中，∵C＝2B，∴sin C＝sin2B＝2sin B cos B，即c＝2b cos B，则＝2cos B．故选：B．3．（5分）圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1B．（x+1）2+（y﹣2）2＝1C．（x+2）2+（y﹣1）2＝1D．（x﹣1）2+（y+2）2＝1【解答】解：∵点P（x，y）关于直线y＝x对称的点为P'（y，x），∴（1，2）关于直线y＝x对称的点为（2，1），∴圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1．故选：A．4．（5分）若函数f（x）＝的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为（）A．（﹣2，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]【解答】解：函数f（x）＝的定义域为实数集R，则x2+ax+1≥0恒成立，即△＝a2﹣4≤0，解得﹣2≤a≤2，即实数a的取值范围是[﹣2，2]，故选：D．5．（5分）某中学从某次考试成绩中抽取若干名学生的分数，并绘制成如图的频率分布直方图．样本数据分组为[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．若用分层抽样的方法从样本中抽取分数在[80，100]范围内的数据16个，则其中分数在[90，100]范围内的样本数据有（）A．5个B．6个C．8个D．10个【解答】解：由频率分布直方图知：抽取分数在[80，100]范围内的频率为（0.025+0.015）×10＝0.4，又在[80，100]范围内的数据有16个，∴样本容量＝＝40个，∵分数在[90，100]范围内的频率为0.015×10＝0.15，∴在[90，100]范围内的频数为0.15×40＝6个．故选：B．6．（5分）已知集合A＝，则集合A中的元素个数为（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：∵A＝{x|x∈Z且}＝{﹣1，1，3，5}，∴集合A中的元素有4个，故选：C．7．（5分）设，是两个非零向量，则使•＝||||成立的一个必要非充分条件是（）A．＝B．⊥C．＝λ（λ＞0）D．∥【解答】解：∵，是两个非零向量，则•＝||||，∴•＝||||cos＝||||，∴cos＝1，∴．∴∥．，是两个非零向量，则使•＝||||成立的一个必要非充分条件是∥．故选：D．8．（5分）设a，b，m为整数（m＞0），若a和b被m除得的余数相同，则称a 和b对模m同余，记为a≡b（modm）．若，a≡b（mod10），则b的值可以是（）A．2011B．2012C．2013D．2014【解答】解：∵，（1+2）20＝320＝1+2C201+22C202+…+220C2020，∴a＝320．∵31个位是3，32个位是9，33个位是7，34个位是1，35个位是3，…∴320个位是1，若a≡b（mod10），则b的个位也是1．故选：A．二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分．（一）必做题（9～13题）9．（5分）若不等式|x﹣a|＜1的解集为{x|1＜x＜3}，则实数a的值为2．【解答】解：∵|x﹣a|＜1，∴﹣1＜x﹣a＜1，∴a﹣1＜x＜a+1，∴不等式|x﹣a|＜1的解集为{x|a﹣1＜x＜a+1}，∵不等式|x﹣a|＜1的解集为{x|1＜x＜3}，∴a﹣1＝1且a+1＝3，解得：a＝2．故答案为：2．10．（5分）执行如图的程序框图，若输出S＝7，则输入k（k∈N*）的值为3．【解答】解：由程序框图知，程序第一次运行n＝1，S＝0+21﹣1＝1；第二次运行n＝1+1＝2，S＝1+21＝3；第三次运行n＝3，S＝1+21+22＝7．∵输出S＝7，∴程序运行终止时n＝3，又不满足条件n＜k时输出S，∴k＝3，故答案为：3．11．（5分）一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是4．【解答】解：由三视图知几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱垂直于底面，由正视图可得高为＝3，∵底面为菱形，对角线互相垂直平分，∴底面面积S＝2××4×1＝4，∴几何体的体积V＝×4×3＝4．故答案为：4．12．（5分）设α为锐角，若cos（）＝，则sin（α﹣）＝．【解答】解：∵α为锐角，cos（）＝为正数，∴α+是锐角，sin（α+）＝，∴sin（α﹣）＝sin[（α+）﹣]＝sin（α+）cos﹣cos（α+）sin＝﹣＝，故答案为：．13．（5分）在数列{a n}中，已知a1＝1，a n+1＝﹣，记S n为数列{a n}的前n项和，则S2014＝﹣．【解答】解：∵a1＝1，a n+1＝﹣，∴a2＝﹣，a3＝﹣＝﹣2，a4＝﹣＝1，a5＝﹣，…∴数列{a n}是以3为周期的数列，又S3＝a1+a2+a3＝1﹣﹣2＝﹣，∴S2014＝S2013+a2014＝671×（﹣）+1＝﹣+1＝﹣．故答案为：﹣．（坐标系与参数方程选做题）14．（5分）在极坐标系中，直线ρ（sinθ﹣cosθ）＝a与曲线ρ＝2cosθ﹣4sinθ相交于A，B两点，若|AB|＝，则实数a的值为﹣1或﹣5．【解答】解：直线ρ（sinθ﹣cosθ）＝a即x﹣y+a＝0；曲线ρ＝2cosθ﹣4sinθ即ρ2＝2ρcosθ﹣4ρsinθ，即x2+y2﹣2x+4y＝0，即（x﹣1）2+（y+2）2＝5，表示以C（1，﹣2）为圆心、半径等于的圆．设圆心到直线的距离为d，则d＝＝，再根据点到直线的距离公式可得d＝，∴＝．解得a＝﹣1，或a＝﹣5，故答案为：﹣1或﹣5．（几何证明选讲选做题）15．如图，PC是圆O的切线，切点为C，直线P A与圆O交于A、B两点，∠APC的平分线分别交弦CA，CB于D，E两点，已知PC＝3，PB＝2，则的值为．【解答】解：作直线CF，连结BF，∴CF⊥PC，∴∠PCB+∠BCF＝90°，∵CF是直径，∴∠BCF+∠F＝90°，∴∠PCB＝∠F，∵∠F＝∠A，∴∠PCB＝∠A，∴△PCB∽△P AC，∴，∵∠PCE＝∠PCB＝∠A，∠CPE＝∠APD，∴△PCE∽△P AD，∴＝．故答案为：．四、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）＝sin x+a cos x的图象经过点（，0）．（1）求实数a的值；（2）设g（x）＝[f（x）]2﹣2，求函数g（x）的最小正周期与单调递增区间．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝sin x+a cos x的图象经过点，∴，即，即，解得．（2）由（1）得．∴g（x）＝[f（x）]2﹣2＝＝＝＝＝＝．∴函数的最小正周期为．∵函数y＝sin x的单调递增区间为（k∈Z），令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得kπ﹣≤x≤kπ+，∴函数的单调递增区间为（k∈Z）．17．（12分）甲，乙，丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是，甲，丙两人同时不能被聘用的概率是，乙，丙两人同时能被聘用的概率是，且三人各自能否被聘用相互独立．（1）求乙，丙两人各自能被聘用的概率；（2）设ξ表示甲，乙，丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求ξ的分布列与均值（数学期望）．【解答】解：（1）记甲，乙，丙各自能被聘用的事件分别为A1，A2，A3，由已知A1，A2，A3相互独立，且满足解得，．∴乙，丙各自能被聘用的概率分别为，．（2）ξ的可能取值为1，3．∵＝P（A1）P（A2）P（A3）+[1﹣P（A1）][1﹣P（A2）][1﹣P（A3）]＝＝．∴P（ξ＝1）＝1﹣P（ξ＝3）＝．∴ξ的分布列为∵．18．（14分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱D1D 的中点，点F在棱B1B上，且满足B1F＝2FB．（1）求证：EF⊥A1C1；（2）在棱C1C上确定一点G，使A，E，G，F四点共面，并求此时C1G的长；（3）求平面AEF与平面ABCD所成二面角的余弦值．【解答】（1）证明：连结B1D1，BD，∵四边形A1B1C1D1是正方形，∴B1D1⊥A1C1．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵DD1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴A1C1⊥DD1．∵B1D1∩DD1＝D1，B1D1，DD1⊂平面BB1D1D，∴A1C1⊥平面BB1D1D．∵EF⊂平面BB1D1D，∴EF⊥A1C1．（2）解：以点D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图的空间直角坐标系，则A（a，0，0），A1（a，0，a），C1（0，a，a），，，∴，．设G（0，a，h），∵平面ADD1A1∥平面BCC1B1，平面ADD1A1∩平面AEGF＝AE，平面BCC1B1∩平面AEGF＝FG，∴存在实数λ，使得．∵，，∴．∴λ＝1，．∴C1G＝．∴当C1G＝时，A，E，G，F四点共面．（3）解：由（1）知，．设＝（x，y，z）是平面AEF的法向量，则，即取z＝6，则x＝3，y＝﹣2．所以＝（3，﹣2，6）是平面AEF的一个法向量．而是平面ABCD的一个法向量，设平面AEF与平面ABCD所成的二面角为θ，则cosθ＝．故平面AEF与平面PQ所成二面角的余弦值为．19．（14分）已知等差数列{a n}的首项为10，公差为2，等比数列{b n}的首项为1，公比为2，n∈N*．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）设第n个正方形的边长为∁n＝min{a n，b n}，求前n个正方形的面积之和S n．（注：min{a，b}表示a与b的最小值．）【解答】解：（1）因为等差数列{a n}的首项为10，公差为2，所以a n＝10+（n﹣1）×2，即a n＝2n+8．因为等比数列{b n}的首项为1，公比为2，所以，即．（2）因为a1＝10，a2＝12，a3＝14，a4＝16，a5＝18，a6＝20，b1＝1，b2＝2，b3＝4，b4＝8，b5＝16，b6＝32．易知当n≤5时，a n＞b n．下面证明当n≥6时，不等式b n＞a n成立．方法1：①当n＝6时，＞20＝2×6+8＝a6，不等式显然成立．②假设当n＝k（k≥6）时，不等式成立，即2k﹣1＞2k+8．则有2k＝2×2k﹣1＞2（2k+8）＝2（k+1）+8+（2k+6）＞2（k+1）+8．这说明当n＝k+1时，不等式也成立．综合①②可知，不等式对n≥6的所有整数都成立．所以当n≥6时，b n＞a n．方法2：因为当n≥6时＝＝＝n2﹣3n﹣6＝n（n﹣4）+（n﹣6）＞0，所以当n≥6时，b n＞a n．所以n≤5时，＝＝20+22+24+…+22n﹣2＝＝．当n＞5时，＝＝+4[（6+4）2+（7+4）2+…+（n+4）2]＝341+4[（62+72+…+n2）+8（6+7+…+n）+16（n﹣5）]＝341+4[（12+22+…+n2）﹣（12+22+…+52）]+32（6+7+…+n）+64（n﹣5）＝＝．综上可知，S n＝20．（14分）已知双曲线E：＝1（a＞0）的中心为原点O，左，右焦点分别为F1，F2，离心率为，点P是直线x＝上任意一点，点Q在双曲线E上，且满足＝0．（1）求实数a的值；（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；（3）若点P的纵坐标为1，过点P作动直线l与双曲线右支交于不同两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点H，满足，证明点H恒在一条定直线上．【解答】（1）解：设双曲线E的半焦距为c，由题意可得，解得．（2）证明：由（1）可知，直线，点F2（3，0）．设点，Q（x0，y0），因为，所以，所以．因为点Q（x0，y0）在双曲线E上，所以，即．所以＝．所以直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值．（3）证明：设点H（x，y），且过点的直线l与双曲线E的右支交于不同两点M（x1，y1），N（x2，y2），则，，即，．设，则．即整理，得由①×③，②×④得将，代入⑥，得．⑦将⑤代入⑦，得．所以点H恒在定直线4x﹣3y﹣12＝0上．21．（14分）已知函数f（x）＝（x2﹣2x+1）e x（其中e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）定义：若函数h（x）在区间[s，t]（s＜t）上的取值范围为[s，t]，则称区间[s，t]为函数h（x）的“域同区间”．试问函数f（x）在（1，+∞）上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）因为f（x）＝（x2﹣2x+1）e x，所以f'（x）＝（2x﹣2）e x+（x2﹣2x+1）e x＝（x2﹣1）e x＝（x+1）（x﹣1）e x．当x＜﹣1或x＞1时，f'（x）＞0，即函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）．当﹣1＜x＜1时，f'（x）＜0，即函数f（x）的单调递减区间为（﹣1，1）．所以函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1）和（1，+∞），单调递减区间为（﹣1，1）．（2）假设函数f（x）在（1，+∞）上存在“域同区间”[s，t]（1＜s＜t），由（1）知函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，所以即也就是方程（x﹣1）2e x＝x有两个大于1的相异实根．设g（x）＝（x﹣1）2e x﹣x（x＞1），则g'（x）＝（x2﹣1）e x﹣1．设h（x）＝g'（x）＝（x2﹣1）e x﹣1，则h'（x）＝（x2+2x﹣1）e x．因为在（1，+∞）上有h'（x）＞0，所以h（x）在（1，+∞）上单调递增．因为h（1）＝﹣1＜0，h（2）＝3e2﹣1＞0，即存在唯一的x0∈（1，2），使得h（x0）＝0．当x∈（1，x0）时，h（x）＝g'（x）＜0，即函数g（x）在（1，x0）上是减函数；当x∈（x0，+∞）时，h（x）＝g'（x）＞0，即函数g（x）在（x0，+∞）上是增函数．因为g（1）＝﹣1＜0，g（x0）＜g（1）＜0，g（2）＝e2﹣2＞0，所以函数g（x）在区间（1，+∞）上只有一个零点．这与方程（x﹣1）2e x＝x有两个大于1的相异实根相矛盾，所以假设不成立．所以函数f（x）在（1，+∞）上不存在“域同区间”．故答案为：（1）函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1）和（1，+∞），单调递减区间为（﹣1，1）．（2）函数f（x）在（1，+∞）上不存在“域同区间”．。
【广东省各市一模2014广州一模】2014年广州市普通高中毕业班综合测试(一)数学文试题 Word版
2014年广州市普通高中毕业班综合测试一文科数学第2卷（共50分）一、选择题：2.已知i 是虚数单位，若()234m i i +=-，则实数m 的值为（ ）A.2-B.2±C.2±D.2 1.函数()()ln 1f x x =+的定义域为（ ）A.(),1-∞-B.(),1-∞C.()1,-+∞D.()1,+∞3.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若2C B =，则cb为（ ） A.2sin C B.2cos B C.2sin B D.2cos C 5.已知1x >-，则函数11y x x =++的最小值为（ ） A.1- B.0 C.1 D.2 4.圆()()22121x y -+-=关于直线y x =对称的圆的方程为（ ）A.()()22211x y -+-= B.()()22121x y ++-=C.()()22211x y ++-= D.()()22121x y -++=6.函数()21xf x x =+的图象大致是（ ）DCBAyyyyxxxxO O O O9.设a 、b 是两个非零向量，则使a b a b ⋅=⋅成立的一个必要非充分的条件是（ ）A.a b =B.a b ⊥C.()0a b λλ=>D.//a b10.在数列{}n a 中，已知11a =，()11sin 2n nn a a π++-=，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2014S =（ ）A.1006B.1007C.1008D.1009 7.已知非空集合M 和N ，规定{}M N x x M x N -=∈∉且，那么()M M N --等于（ ） A.MN B.M N C.M D.N8.任取实数a 、[]1,1b ∈-，则a 、b 满足22a b -≤的概率为（ ） A.18 B.14 C.34 D.78第2卷（共100分）二、填空题11.执行如图1所示的程序框图，若输出7S =，则输入()k k N *∈的值为 .开始输入输出结束是否Sk 0,0n S ==?n k <1n n =+12n S S -=+图113.由空间向量()1,2,3a =，()1,1,1b =-构成的向量集合{},A x x a kb k Z ==+∈，则向量x 的模x 的最小值为 .12.一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图2所示，则这个四棱锥的体积是 .图2俯视图侧（左）视图正（主）视图451122（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）15.（几何证明选讲选做题）如图3，PC 是圆O 的切线，切点为点C ，直线PA 与圆O 交于A 、B 两点，APC ∠的角平分线交弦CA 、CB 于D 、E 两点，已知3PC =，2PB =，则PEPD的值为 . E图3O PD C BA14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线()sin cos a ρθθ-=与曲线2cos 4sin ρθθ=-相交于A 、B 两点，若23AB =，则实数a 的值为 .三、解答题19.（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的首项为10，公差为2，数列{}n b 满足62n n nb a n =-，n N *∈. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）记{}max ,n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S .（注：{}max ,a b 表示a 与b 的最大值.）16.（本小题满分12分）已知某种同型号的6瓶饮料中有2瓶已过了保质期.（1）从6瓶饮料中任意抽取1瓶，求抽到没过保质期的饮料的概率； （2）从6瓶饮料中随机抽取2瓶，求抽到已过保质期的饮料的概率.18.（本小题满分14分）如图4，在棱长为a 的正方体1111ABCD A BC D -中，点E 是棱1D D 的中点，点F 在棱1B B 上，且满足12B F BF =.（1）求证：11EF AC ⊥；（2）在棱1C C 上确定一点G ，使A 、E 、G 、F 四点共面，并求此时1C G 的长； （3）求几何体ABFED 的体积.图4D 1C 1B 1A 1FE DCBA17.（本小题满分12分）已知函数()sin cos f x x a x =+的图象经过点,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭. （1）求实数a 的值；（2）设()()22g x f x =-⎡⎤⎣⎦，求函数()g x 的最小正周期与单调递增区间.21.（本小题满分14分）已知双曲线()222:104x y E a a -=>的中心为原点O ，左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为355，点P 是直线23a x =上任意一点，点Q 在双曲线E 上，且满足220PF QF ⋅=.（1）求实数a 的值；（2）证明：直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值；（3）若点P 的纵坐标为1，过点P 作动直线l 与双曲线右支交于不同的两点M 、N ，在线段MN 上去异于点M 、N 的点H ，满足PM MH PNHN=，证明点H 恒在一条定直线上.20.（本小题满分14分）已知函数()32693f x x x x =-+-. （1）求函数()f x 的极值；（2）定义：若函数()h x 在区间[](),s t s t <上的取值范围为[],s t ，则称区间[],s t 为函数()h x 的“域同区间”.试问函数()f x 在()3,+∞上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由.。
广东省广州市2014届高三1月调研测试数学(理)试题及参考答案
试卷类型：A广州市2014届高三年级调研测试数学（理科）试题参考答案及评分标准16．（本小题满分12分）解：（1）在△ABC 中，A B C π++=．所以coscos 22A C B π+-= (2)分sin 2B ==． 所以2cos 12sin2B B =-……5分13=．………7分 （2）因为3a =，b =1cos 3B =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，……9分得2210c c -+=．……11分 解得1c =．……12分 17．（本小题满分12分） 解：（1）由茎叶图可知，甲城市在2013年9月份随机抽取的15天中的空气质量类别为优或良的天数为5天．…………………………………………………………………………………………………1分 所以可估计甲城市在2013年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数为10天．…………2分 （2）X 的取值为0，1，2，………………………………………………………………………………3分因为()02510215C C 30C 7P X ===5分()11510215C C 101C 21P X ===，…7分()20510215C C 22C 21P X ===9分 所以X 的分布列为：所以数学期望321221170=⨯+⨯+⨯=EX ．…………………………………………………12分18．（本小题满分14分）（1）证明1：因为BC AB 2=，60ABC ︒∠=，在△ABC 中，由余弦定理可得BC AC 3=．……………………………………………………2分 所以222AC BC AB +=．所以BC AC ⊥．………………………………………………………………………………………3分……………………10分因为AC FB ⊥，BF BC B =，BF 、BC ⊂平面FBC ，所以⊥AC 平面FBC ．………………………………………………………………………………4分证明2：因为60ABC ︒∠=，设BAC α∠=()0120α<<，则120ACB α∠=-．在△ABC 中，由正弦定理，得()sin sin 120BC ABαα=-．…………………………………………1分 因为BC AB 2=，所以()sin 1202sin αα-=．整理得tan 3α=，所以30α=．…………………………………………………………………2分 所以BC AC ⊥．………………………………………………………………………………………3分 因为AC FB ⊥，BF BC B =，BF 、BC ⊂平面FBC ，所以⊥AC 平面FBC ．………………………………………………………………………………4分（2）解法1：由（1）知，⊥AC 平面FBC ，FC ⊂平面FBC ，所以FC AC ⊥．因为平面CDEF 为正方形，所以FC CD ⊥．因为AC CD C =，所以⊥FC 平面ABCD ．……………………………………………………6分取AB 的中点M ，连结MD ，ME ，因为ABCD 是等腰梯形，且BC AB 2=，60DAM ∠=， 所以MD MA AD ==．所以△MAD 是等边三角形，且MEBF ．…………………………7分取AD 的中点N ，连结MN ，NE ，则MN AD ⊥．………8分 因为MN ⊂平面ABCD ，ED FC ，所以ED MN ⊥．因为ADED D =，所以MN ⊥平面ADE ． ……………9分所以MEN ∠为直线BF 与平面ADE 所成角． ……………10分 因为NE ⊂平面ADE ，所以MN ⊥NE ．…………………11分因为MN AD =，ME ，…………………………………………12分 在Rt △MNE中，sin 4MN MEN ME ∠==．……………………………………………………13分 所以直线BF 与平面ADE所成角的正弦值为4．………………………………………………14分 解法2：由（1）知，⊥AC 平面FBC ，FC ⊂平面FBC ，所以FC AC ⊥．因为平面CDEF 为正方形，所以FC CD ⊥．因为AC CD C =，所以⊥FC 平面ABCD ．……………………………………………………6分所以CA ，CB ，CF 两两互相垂直，建立如图的空间直角坐标系xyz C -．………………………7分因为ABCD 是等腰梯形，且BC AB 2=，60ABC ︒∠=所以CB CD CF ==．不妨设1BC =，则()0,1,0B ，()0,0,1F，)A，1,02D ⎫-⎪⎪⎝⎭，1,12E ⎫-⎪⎪⎝⎭， 所以()0,1,1BF =-，31,02DA ⎛⎫=⎪⎪⎝⎭，()0,0,1DE =．………………………………………9分 设平面ADE 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.DA DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,20.y x z +=⎪=⎩取1x =，得=n ()1,是平面ADE 的一个法向量．………………………………………11分 设直线BF 与平面ADE 所成的角为θ， 则)()1,11,3,0sincos ,22BF BF BF -⋅θ=〈〉===n n n13分 所以直线BF 与平面ADE ………………………………………………14分 19．（本小题满分14分） 解：（1）因为1321n n n a a a +=+，所以111233n n a a +=+．…………………………………………………1分所以1111113n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．………3分因为135a =，则11213a -=．……4分所以数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为32，公比为31的等比数列．…………………………………………5分（2）由（1）知，112121333n n n a -⎛⎫-=⨯= ⎪⎝⎭，所以332nn na =+．……………………………………7分 假设存在互不相等的正整数m ，s ，t 满足条件，则有()()()22,111.s m t m t s a a a +=⎧⎪⎨-=--⎪⎩…………9分由332n n na =+与()()()2111s m t a a a -=--， 得2333111323232s m t sm t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭．……………………………………………………10分 即232323343m tm t s s ++⨯+⨯=+⨯．……………………………………………………………11分因为2m t s +=，所以3323m t s+=⨯．……………………………………………………………12分因为3323m t s +≥=⨯，当且仅当m t =时等号成立，这与m ，s ，t 互不相等矛盾．……………………………………………………………………13分 所以不存在互不相等的正整数m ，s ，t 满足条件．……………………………………………14分 20．（本小题满分14分） 解：（1）因为()313f x x ax =-，()221g x bx b =+-， 所以()2f x x a '=-，()2g x bx '=.…………………………………………………………………1分因为曲线()x f y =与()x g y =在它们的交点()c ,1处有相同切线, 所以()()11g f =,且()()11g f '='。
2014广州高三第一次模拟考试理数
广州市2014届普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：01．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。
用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
02．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
03．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
04．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
05．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：如果事件A ，B 相互独立，那么)()()(B P A P B A P •=•.线性回归方程a x b yˆˆˆ+=中系数计算公式x b y ax x y yx x b ni ini ii-=---=∑∑==ˆ,)())((ˆ121， 其中y x ,表示样本均值。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．01．设全集}6,5,4,3,2,1{=U ，集合}5,3,1{=A ，}4,2{=B ，则A.B A U ⋃=B.B A C U U ⋃=)(C.)(B C A U U ⋃=D.)()(B C A C U U U ⋃=02．已知bi ia+=-11，其中a,b 是实数，i 是虚数单位，则a+bi=A.1+2iB.2+iC.2-iD.1-2i03．已知变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≥+.01,1,12y y x y x ，则y x z 2-=的最大值为A.-3 B .0 C.1 D.3 04．直线03==y x 截圆4)2(22=+-y x 所得劣弧所对的圆心角是A.6B.3C.2D.305．某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是A.2B.1C.32 D.3106．函数)cos )(sin cos (sin x x x x y -+=是A.奇函数且在]2,0[π上单调递增B.奇函数且在],2[ππ上单调递增C.偶函数且在]2,0[π上单调递增D.偶函数且在],2[ππ上单调递增07．已知e 是自然对数的底数，函数2)(-+=x e x f x的零点为a ，函数2ln )(-+=x x x g 的零点为b ，则下列不等式中成立的是A.)()1()(b f f a f <<B.)1()()(f b f a f <<C.)()()1(b f a f f <<D.)()1()(a f f b f <<08．如图2，一条河的两岸平行，河的宽度d=600m ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B.已知km AB 1=，水流速度为2km/h ，若客船行驶完航程所用最短时间为6分钟，则客船在静水中的速度大小为 A.8km/h B.h km /26C.h km /342D.10km/h二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9-13题）09．不等式x x ≤-1的解集是_________.10．⎰=1._______cos xdx11．某工厂的某种型号机器的使用年限x 和所支出的维修费用y （万元）有下表的统计资料：x 2 3 4 5 6y2.23.85.56.57.0根据上表可得回归方程a x yˆ23.1ˆ+=，据此模型估计，该型号机器使用所限为10年维修费用约______万元（结果保留两位小数）.12．已知1,0≠>a a ，函数⎩⎨⎧>+-≤=1,1,)(x a x x a x f x ，若函数)(x f 在区间[0,2]上的最大值比最小值大25，则a 的值为________.13．已知经过同一点的)3*,(≥∈n N n n 个平面，任意三个平面不经过同一条直线，若这n 个平面将空间分成)(n f 个部分，则.________)(______,)3(n f f =（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，定点)23,2(πA ，点B 在直线0sin 3cos =+θρθρ上 运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标为______. 15．（几何证明选讲选做题）如图3，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，AC 与⊙O交于点D ，若BC=3，516=AD ，则AB 的长为______.三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知函)4sin()(πω+=x A x f （其中0,0,>>∈ωA R x ）的最大值为2，最小正周期为8．(1)求函数)(x f 的解析式；(2)若函数)(x f 图象上的两点P ，Q 的横坐标依次为2，4，O 坐标原点，求POQ ∆的面积.17．（本小题满分12分）甲、乙、丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为,21乙，丙做对的概率分别为m,n(m>n)，且三位学生是否做对相互独立.记ξ为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：ξ0 1 2 3P41 ab241 (1)求至少有一位学生做对该题的概率； (2)求m,n 的值； (3)求ξ的数学期望.18．（本小题满分14分）如图4，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，ABC ∆是边长为2的等 边三角形，⊥1AA 平面ABC ，D ，E 分别是CC 1，AB 的中点. (1)求证：CE//平面A 1BD ；(2)若H 为A 1B 上的动点，当CH 为平面A 1AB 所成最大角的正切值为215时，求平面A 1BD 与平面ABC 所成二面角（锐角）的余弦值.19．（本小题满分14分）已知数列}{n a 的前n 项和为S n ，且n na a a a ++++Λ32132*)(2)1(N n n S n n ∈+-=.(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)若p,q,r 是三个互不相等的正整数，且p,q,r 成等差数列，试判断1,1,1---r q p a a a 是否成等比数列？并说明理由.20．C 121．参考答案说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、其09．13．三、16．∴(4,P Q .∴OP PQ OQ ===………8分 ∴222222cos 23OP OQ PQPOQ OP OQ+-+-∠===.…10分 ∴POQ sin ∠==………11分∴△POQ的面积为1122S OP OQ POQ sin =∠=⨯⨯⨯=………12分解法2：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭………4分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭ ………5分分17．（解：设“甲做对”为事件A ，“乙做对”为事件B ，“丙做对”为事件C ，由题意知，()()()12P A P B m P C n ,,===. ………1分 （1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“0ξ=”是对立的，所以至少有一位学生做对该题的概率是()1310144P ξ-==-=.……3分 （2）由题意知()()()()1101124P P ABC m n ξ===--=， ………4分()()113224P P ABC mn ξ====， ………5分 整理得 112mn =，712m n +=.由m n >，解得13m =，14n =. ………7分（3）由题意知()()()()1a P P ABC P ABC P ABC ξ===++12分18．（∴CE ⊥平面1A AB . ………6分∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角. ………7分∵CE =Rt△CEH 中，tan CE EHC EH EH∠==， ∴当EH 最短时，tan EHC ∠的值最大，则EHC ∠最大. ………8分 ∴当1EH A B ⊥时，EHC ∠最大.此时，tan CE EHC EH EH∠===.∴EH =. ………9分∵CE∥BF，CE⊥平面1A AB，∴BF⊥平面1A AB. ………10分∵AB⊂平面1A AB，1A B⊂平面1A AB，∴BF⊥AB，BF⊥1A B. (11)分∴1ABA∠为平面1A BD与平面ABC所成二面角（锐角）. ………12分在Rt△EHB中，BH==cos1ABA∠BHEB==分1此时，tanCEEHCEH EH∠===. ∴EH=. ………9分在Rt△EHB中，5BH==.∵Rt△EHB～Rt△1A AB，∴1EH BHAA AB=，即1552AA=.∴14AA =. ………10分以A 为原点，与AC 垂直的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴，1AA 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -. 则()000A ,,，1A ()004,,，B)10,，D ()02,,2.∴1AA =u u u r ()004,,，1A B =u u ur )14,-，1A D =u u u u r()02,,-2.设平面A BD 1的法向量为n =()x y z ,,，19．（ 1n n +∵112240S a +=+=≠，∴数列{2}n S +是以4为首项,2为公比的等比数列.∴1242n n S -+=⨯,即1142222n n n S -+=⨯-=-. ………6分 当2n ≥时, 11(22)(22)2n n nn n n a S S +-=-=---=， ………7分又12a =也满足上式,∴2nn a =. ………8分法2：由③式得：()111(1)(1)22n n n n n n n a nS n S n S S S ++++=--+=-++， 得12n n a S +=+. ④ ………4分 当2n ≥时,12n n a S -=+, ⑤ ………5分 ⑤-④得：12n n a a +=. ………6分 由12224a a S +=+，得24a =， ∴212a a =. ………7分n20．（∵2c =， ∴22212b a c =-=. ………2分∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ………3分 (2)解法1：设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ，则))(41,(212212x x x x BC --=，)413,2(211x x BA --=，∵C B A ,,三点共线,∴BC BA //u u u r u u u r. ………4分∴()()()222211211113244x x x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭, 化简得：1212212x x x x ()+-=. ① ………5分 由24xy =,即214y x ,=得y '=12x . ………6分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-，即211412x x x y -=. ②.∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x y -=. ① ………6分同理， 20202y x xy -=. ② ………7分综合①、②得，点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程y x xy -=002. ………8分∵经过),(),,(2211y x C y x B 的直线是唯一的，∴直线L 的方程为y x xy -=002， ………9分∵点)3,2(A 在直线L 上， ∴300-=x y . ………10分∴点P 的轨迹方程为3-=x y . ………11分若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，又在直线3-=x y 上，…12分 ∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ………13分∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ………14分 解法3：显然直线L 的斜率存在，设直线L 的方程为，分由()2124732280Δ=-⨯⨯-=>, ………13分可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个. ………14分 21．（本小题满分14分）（本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识）（1）解：∵关于x 的不等式()()2211f x m x m <-+-的解集为()1m m ,+，即不等式()22120x a m x m m ++-++<的解集为()1m m ,+，∴()2212x a m x m m ++-++=()()1x mx m ---.∴()2212x a m x m m ++-++=()()2211x m x m m -+++.∴()1221a m m +-=-+.∴2a =-. ………2分(2)解法1:由(1)得()()1f x g x x =-()221111x x m m x x x -++==-+--.).,则()11x x ,∈时，()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12x x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x，有极大值点1x . ………8分综上所述, 当0m >时，k 取任意实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m <时，k >()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x .…9分(其中122k x +-=, 222k x ++=)解法2:由(1)得()()1f x g x x =-()221111x x m mx x x -++==-+--. ∴()()x g x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞. ∴()1x ϕ'=-mk()221x k x k m -++-+. ………3分 且至11220>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12x x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x，有极大值点1x . ………8分综上所述, 当0m >时，k 取任何实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m <时，k >()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x .…9分 (其中122k x +-=, 222k x ++=)(2)证法1：∵1m =， ∴()g x =()111x x -+-. ∴()()1111nnn n n g x g x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+-+=+-+ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭ 112212111111n n n n n n n n n n n n n x C x C x C x C x x x x x x ----⎛⎫=+⋅+⋅++⋅+-+ ⎪⎝⎭L 122412n n n nC x C x C x ----=+++L . ………10分⎣⎦111kk k x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111k k x x --⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ………11分()22k ≥⋅-+………12分 122k +=-. ………13分 也就是说，当1n k =+时，不等式也成立.由①②可得，对∀n ∈N *，()()1122nn n g x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦都成立. ……14分。
2014届高三数学一模分析
2014届高三数学一模分析张向农 2014.3.26于三中1、本次考试的难易度这届考生进入总复习后共参加了3次全市组织的考试，摸底、质检、一模。
摸底考试理科数学18333人文科数学11648人12月份质检理科数学18110人文科数学10691人3月份一模考试理科数学18889人文科数学14497人三次考试的区分度均在0.4之上，0.4以上的区分度意味着区分度很好。
本次一模考试数据理科数学区分度达到0.48，文科数学区分度更是达到0.53。
说明试卷的区分度很好，可以有效检测一轮复习过后,考生对知识的掌握、方法的落实和技能的提高情况。
希望各校用好这次统计数据，详细分析本校，本班学生数学各块复习的效果。
2、两次高考的基本难度2012年全省难度文科数学 0.36, 理科数学 0.502013年全省难度文科数学0.44 理科数学0.52一模考试有效分理科一本108 二本91 三本49文科一本110 二本91 三本553、本次考试数学命题原则遵循考试说明，注重考查学生的基础知识基本技能和基本思想方法方法，尽量增大覆盖面，适度创新。
4、对本次一模考试的基本数据评价（1）基本数据本次考试，比较好地反映出我市一轮复习结束后学生的真实底数，也就是说，反映了在知识、方法和能力三方面学生的层次，特别是学校整体的层次。
我们可以从平均分、有效分率、区分度、难度等指标进行学校之间的对比，进行学校和全市的对比，从中发现学校的优势和不足。
比如，理科数学平均分全市76.01，学校均分超过这一分数的学校共有7所，接近这一分数的5所。
从有效分率来看，理科全市有效分率为36.44%，高于这一比例的有6所学校，接近这个比例的学校有3所。
最高的有效分率为79%。
然而有些省示范性高中的有效分率仅仅是个位数。
这次考试从难度上看，与高考的难度持平，文科略大一些。
如果考虑到还有76天这个因素，难度应该和高考相当。
（2）、本次考试的意义通过阅卷发现到目前为止存在的薄弱问题，举例如下基础知识不扎实。