二次函数知识点串讲
(完整版)二次函数知识点汇总(全)
二次函数知识点(第一讲)一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质：（上加下减）3. ()2y a x h =-的性质：（左加右减）4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y axbx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
二次函数知识要点
二次函数知识要点一、定义和性质二次函数是一种形式为$f(x)=ax^2+bx+c$的函数，其中$a \neq 0$，且$a, b, c$为常数。
二次函数的定义域是实数集$\mathbb{R}$。
1. 抛物线二次函数的图像为抛物线，开口方向取决于系数$a$的正负。
若$a>0$，则抛物线开口向上；若$a<0$，则抛物线开口向下。
2. 零点二次函数的零点是函数图像与$x$轴的交点，表示方程$f(x)=0$的解。
二次函数的零点个数不超过2个。
3. 预备知识求一个二次函数的图像需要知道抛物线的顶点、开口方向以及与$x$轴的交点等信息，这些信息可以通过转化二次函数的标准形式$f(x)=a(x-h)^2+k$来获得。
二、顶点和轴对称性1. 顶点二次函数的顶点坐标为$(h, k)$，其中$x=h$时取得极值，$k$为函数的最小值（当$a>0$）或最大值（当$a<0$）。
2. 轴对称性二次函数的图像关于直线$x=h$对称。
直线$x=h$称为二次函数的对称轴。
三、更多的性质1. 单调性当$a>0$时，二次函数在开区间$(-\infty, h)$和$(h, +\infty)$上递增，在闭区间$[h, +\infty)$上递减；当$a<0$时，二次函数在开区间$(-\infty,h)$和$(h, +\infty)$上递减，在闭区间$[h, +\infty)$上递增。
2. 函数值的范围对于一般的二次函数，当$a>0$时，函数值的范围为$[k, +\infty)$；当$a<0$时，函数值的范围为$(-\infty, k]$。
3. 极值点若$a>0$，则二次函数的最小值为$k$，对应于顶点$(h, k)$；若$a<0$，则二次函数的最大值为$k$，对应于顶点$(h, k)$。
四、解析式和一般形式1. 解析式二次函数的标准形式为$f(x)=a(x-h)^2+k$，其中$h$和$k$为顶点坐标，$a$决定了开口方向和抛物线的缩放比例。
二次函数的知识点总结
二次函数的知识点总结一、二次函数的定义二次函数是指一个形如 $y = ax^2 + bx + c$ 的函数，其中 $a$、$b$ 和 $c$ 是常数，且 $a \neq 0$。
在这个表达式中，$x$ 是自变量，$y$ 是因变量，$a$、$b$ 和 $c$ 是系数，其中 $a$ 称为二次项系数，$b$ 称为一次项系数，$c$ 称为常数项。
二、二次函数的性质1. 抛物线形状：二次函数的图像是一个向上或向下开口的抛物线。
2. 开口方向：当 $a > 0$ 时，抛物线开口向上；当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下。
3. 对称轴：二次函数图像关于直线 $x = -\frac{b}{2a}$ 对称，这条直线称为抛物线的对称轴。
4. 顶点：抛物线的顶点坐标为 $\left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right)$。
5. 与 X 轴的交点：二次函数与 X 轴的交点称为根，可以通过解方程$ax^2 + bx + c = 0$ 来找到。
三、二次函数的图像1. 顶点式：$y = a(x - h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是顶点坐标。
2. 交点式：$y = a(x - x_1)(x - x_2)$，其中 $x_1$ 和 $x_2$ 是与 X 轴的交点坐标。
3. 标准式：$y = ax^2 + bx + c$。
四、求解二次方程1. 因式分解法：当能够找到两个数，它们的和等于 $b$，积等于$c$ 时，可以使用因式分解法。
2. 完全平方法：通过配方将二次方程转化为完全平方的形式。
3. 公式法：使用二次公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}$ 来求解。
五、二次函数的应用1. 物理运动：描述物体在重力作用下的自由落体运动和抛体运动。
2. 优化问题：在商业和工程中，用于寻找最大利润或最小成本。
3. 数据拟合：在统计学中，用于拟合数据点，找到最佳曲线。
二次函数知识点总结ppt
二次函数知识点总结ppt一、基本概念1. 二次函数的定义二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
2. 二次函数的图像二次函数的图像是一个抛物线，开口方向取决于a的正负，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
3. 二次函数的顶点二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
4. 二次函数的对称轴二次函数的对称轴是通过抛物线顶点且垂直于x轴的直线，其方程为x=-b/2a。
5. 二次函数的平移二次函数的图像可以通过平移来变换位置，如上下平移、左右平移等。
6. 二次函数的零点二次函数的零点是函数与x轴相交的点，其坐标为(x1, 0)和(x2, 0)，其中x1和x2分别是二次方程ax^2+bx+c=0的根。
二、性质及相关概念1. 二次函数的坐标二次函数的坐标为(x, y)，其中x为自变量，y为因变量。
2. 二次函数的定义域二次函数的定义域为实数集R。
3. 二次函数的值域二次函数的值域取决于抛物线开口方向和顶点坐标。
4. 二次函数的最值当a>0时，二次函数的最小值为f(-b/2a)，当a<0时，二次函数的最大值为f(-b/2a)。
5. 二次函数的判别式二次函数的判别式Δ=b^2-4ac，当Δ>0时，二次函数有两个不相等的实根；当Δ=0时，二次函数有两个相等的实根；当Δ<0时，二次函数无实根。
6. 二次函数的性质（1）a的正负决定抛物线开口方向和抛物线的最值；（2）a的绝对值大小决定抛物线的开口程度；（3）b决定了抛物线的位置；（4）c决定了抛物线与y轴的交点。
三、二次函数的图像及相关变换1. 抛物线开口向上的二次函数二次函数y=ax^2+bx+c，当a>0时，抛物线开口向上。
2. 抛物线开口向下的二次函数二次函数y=ax^2+bx+c，当a<0时，抛物线开口向下。
3. 二次函数的平移二次函数y=ax^2+bx+c的平移变换为y=a(x-h)^2+k，其中(h, k)为抛物线顶点坐标。
二次函数知识点总结3篇
二次函数知识点总结第一篇：二次函数的基本定义及图像二次函数是指一个多项式中最高次为二次的函数，通常写成 $f(x)=ax^2+bx+c$ 的形式，其中 a,b,c 为常数，a 不为零。
二次函数是数学中一类重要的函数类型，其图像为对称的抛物线。
一、基本定义对于二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c$，其中 a,b,c 为常数，a 不为零：1. a 是二次函数的开口方向和开口程度的决定因素，当a>0 时，抛物线开口向上；当 a<0 时，抛物线开口向下。
2. x=-b/2a 是二次函数的对称轴。
3. (x, y) = (-b/2a, c-b^2/4a) 是二次函数的顶点，也是对称轴上的最高点或最低点。
4. 当 a>0 时，对于任何 x，有$f(x)≥y_{min}$；当a<0 时，对于任何 x，有$f(x)≤y_{max}$，其中$y_{min}$ 和 $y_{max}$ 分别为二次函数的最小值和最大值。
二、图像特征二次函数的图像是一条对称的抛物线，其最高点或最低点位于对称轴上，最大值或最小值发生在相应顶点处。
抛物线与 x 轴的交点称为根，由于对称性，常见情况下二次函数最多有两个根。
三、常用的二次函数图像变换1. 上下移动。
将二次函数整体向上或向下平移 k 个单位，得到一种新的二次函数 $y=f(x)+k$。
2. 左右移动。
将二次函数整体向左或向右平移 k 个单位，得到一种新的二次函数 $y=f(x-k)$ 或 $y=f(x+k)$。
3. 垂直方向压缩或拉伸。
将二次函数沿 y 轴缩短或拉长至原来的 s 倍，得到一种新的二次函数 $y=sf(x)$。
4. 水平方向压缩或拉伸。
将二次函数沿 x 轴缩短或拉长至原来的 s 倍，得到一种新的二次函数 $y=f(sx)$。
总之，二次函数的图像特征以及常用的变换方式是掌握二次函数知识的重要基础。
在实际应用中，这些基础概念和操作将为我们处理二次函数相关问题提供宝贵的帮助和指导。
二次函数知识点梳理
二次函数知识点梳理一、二次函数的定义二次函数是指一个变量的二次多项式函数，其一般形式为 f(x) =ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0。
二、二次函数的图像二次函数的图像是一个抛物线。
根据 a 的正负，抛物线开口向上或向下。
a > 0 时，抛物线开口向上；a < 0 时，抛物线开口向下。
三、顶点二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点。
顶点的坐标可以通过公式 (-b/2a, f(-b/2a)) 计算得出。
四、对称轴二次函数的对称轴是一条垂直线，其方程为 x = -b/2a。
对称轴将抛物线分为两部分，这两部分关于对称轴对称。
五、判别式二次函数的判别式是 b^2 - 4ac。
根据判别式的值，可以判断二次函数与 x 轴的交点情况：- 如果判别式 > 0，则有两个实数根。
- 如果判别式 = 0，则有一个实数根（重根）。
- 如果判别式 < 0，则没有实数根。
六、根的性质1. 根的和：如果α 和β 是二次方程 ax^2 + bx + c = 0 的两个根，则α + β = -b/a。
2. 根的积：如果α 和β 是二次方程的两个根，则αβ = c/a。
七、因式分解某些二次函数可以因式分解为 (x - α)(x - β) = 0 的形式，其中α 和β 是函数的根。
八、配方法配方法是求解二次方程的一种方法，通过将二次函数转化为完全平方的形式，从而更容易找到方程的解。
九、二次函数的应用二次函数广泛应用于物理、工程、经济等领域，如描述物体的抛体运动、优化生产成本等。
十、二次不等式二次不等式是形如 ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0 的不等式。
解这类不等式通常需要考虑二次函数的图像和判别式。
十一、复合二次函数复合二次函数是指外层函数是二次函数，内层函数可以是任何实值函数的情况。
这类函数的性质更为复杂，需要结合内外层函数的特点进行分析。
二次函数的相关知识点总结
二次函数的相关知识点总结一、二次函数的概念。
1. 定义。
- 一般地，形如y = ax^2+bx + c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数。
其中x是自变量，a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项。
- 例如y = 2x^2+3x - 1，这里a = 2，b=3，c=-1。
二、二次函数的图象。
1. 二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图象是一条抛物线。
2. 抛物线的顶点坐标。
- 对于二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)，其顶点坐标公式为(-(b)/(2a),frac{4ac - b^2}{4a})。
- 例如，对于二次函数y=x^2-2x - 3，其中a = 1，b=-2，c=-3。
根据顶点坐标公式，-(b)/(2a)=-(-2)/(2×1)=1，frac{4ac - b^2}{4a}=frac{4×1×(-3)-(-2)^2}{4×1}=(-12 - 4)/(4)=-4，所以顶点坐标为(1,-4)。
3. 抛物线的对称轴。
- 对称轴方程为x =-(b)/(2a)。
4. 抛物线的开口方向。
- 当a>0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
- 例如，y = 3x^2+2x - 1中a = 3>0，开口向上；y=-2x^2+5x+3中a=-2 < 0，开口向下。
三、二次函数的性质。
1. 增减性。
- 当a>0时，在对称轴x =-(b)/(2a)左侧，即x<-(b)/(2a)时，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，即x>-(b)/(2a)时，y随x的增大而增大。
- 当a < 0时，在对称轴x =-(b)/(2a)左侧，即x<-(b)/(2a)时，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，即x>-(b)/(2a)时，y随x的增大而减小。
2. 最值。
- 当a>0时，抛物线开口向上，函数有最小值，y_min=frac{4ac - b^2}{4a}，此时x =-(b)/(2a)。
初中二次函数最全知识点总结
初中二次函数最全知识点总结二次函数是初中数学中的重要内容，以下是二次函数的最全知识点总结：一、基本概念1. 二次函数的定义：y=ax^2+bx+c（a≠0）。
2. 求解二次函数的根：当y=0时，求解二次方程ax^2+bx+c=0的解。
3.二次函数的图像：二次函数的图像为抛物线，开口方向由a的正负决定。
4.抛物线的顶点：二次函数的图像的顶点坐标为（-b/2a，f(-b/2a)）。
5.抛物线的对称轴：二次函数图像的对称轴是直线x=-b/2a。
二、图像与相关性质1.拉平方法：将一般式的二次函数化为顶点形式的二次函数。
2.抛物线的开口方向：若二次函数的a>0，则抛物线开口向上；若二次函数的a<0，则抛物线开口向下。
3.抛物线的最值：若抛物线开口向上，则函数有最小值（最小值为f(-b/2a)）；若抛物线开口向下，则函数有最大值。
4.抛物线的轴对称性：抛物线关于对称轴对称。
5.零点存在性：若一元二次方程有实数根，则抛物线与x轴有交点；若一元二次方程无实数根，则抛物线与x轴无交点。
6.抛物线的轨迹：当抛物线的开口向上时，抛物线图像在x轴上方；当抛物线的开口向下时，抛物线图像在x轴下方。
三、解二次方程1. 提取公因式法：ax^2+bx+c=0，公因式为a，即a(x^2+(b/a)x+c/a)=0，再由零因积性质解得x的值。
2. 公式法：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，解的公式为x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a)。
3. 完全平方式：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，通过变形将方程化为完全平方式(x﹦d)^2=0，再解出x的值。
四、因式分解1. 根与系数关系：若x1和x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个解，则方程可以分解为a(x-x1)(x-x2)=0。
2. 判别式与因式分解：一元二次方程ax^2+bx+c=0，其中b^2-4ac 被称为判别式，当判别式大于0时，方程有两个不等实数根，即方程可因式分解为a(x-p)(x-q)=0，其中p和q是方程的两个根；当判别式等于0时，方程有两个相等实数根，即方程可因式分解为a(x-r)^2=0，其中r 是方程的根；当判别式小于0时，方程无实数根，即方程不可因式分解。
《二次函数》知识点解读
《二次函数》知识点解读二次函数是高中数学中一个重要的知识点，它是一种常见的函数类型，形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a不能为0。
接下来，让我们来深入解读二次函数的相关知识点。
一、二次函数的基本形式与性质1. 基本形式：二次函数的基本形式为y=ax^2+bx+c，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
a决定了二次函数的开口方向和开口的大小，a>0时开口向上，a<0时开口向下。
2.对称轴：对称轴是二次函数图像的一个重要性质，其方程为x=-b/(2a)，对称轴将图像分为对称的两部分。
3. 零点：二次函数的零点是函数图像与x轴相交的点，即满足二次函数方程ax^2+bx+c=0的x值。
4. 判别式：二次函数的判别式为Δ=b^2-4ac，它决定了二次函数的零点个数和性质。
当Δ>0时，函数有两个不同的实根；当Δ=0时，函数有两个相等的实根；当Δ<0时，函数没有实根。
二、二次函数的图像特征1.开口方向：二次函数的开口方向由a的正负确定，a>0时开口向上，a<0时开口向下。
2.顶点：二次函数的顶点是函数图像的最高或最低点，坐标为(-b/(2a),f(-b/(2a)))。
3.最值：当二次函数开口向上时，函数的最小值为顶点的纵坐标；当二次函数开口向下时，函数的最大值为顶点的纵坐标。
4.对称性：二次函数具有对称性，即关于对称轴对称。
三、二次函数的变形1.平移变形：二次函数的图像可以通过平移来进行变形，平移的形式为y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为平移的距离和方向。
2.缩放变形：二次函数的图像可以通过缩放来进行变形，缩放的形式为y=a(x-h)^2+k，其中a为缩放的比例因子。
四、二次函数的应用1.物理学中的应用：二次函数常用于描述抛物线运动，如自由落体运动、抛体运动等。
2.经济学中的应用：二次函数常用于描述成本、收益、利润等与产量之间的关系。
3.工程学中的应用：二次函数常用于描述波形、曲线形状等。
二次函数知识点整理
二次函数知识点整理二次函数是数学中常见的一种函数形式，其表达式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0。
它是二次方程y=ax²+bx+c=0的图形表达方式，也是代数中的一项重要内容。
下面将对二次函数的相关知识点进行整理。
一、基本形式与图像特点：1. 基本形式：二次函数的基本形式为y=ax²+bx+c，其中a≠0，a代表抛物线的开口方向和开口的大小。
2.图像特点：(1) 方程y=ax²+bx+c=0的解法能够反映出二次函数图像的开口方向；(2)当a>0时，抛物线开口向上，极值点为最小值；(3)当a<0时，抛物线开口向下，极值点为最大值；(4)当a>0时，二次函数图像在x轴的右侧递增，在x轴的左侧递减；(5)当a<0时，二次函数图像在x轴的右侧递减，在x轴的左侧递增。
二、求解特点：1. 解的求解：二次函数的解是通过求解二次方程y=ax²+bx+c=0来得到的，可以使用求根公式、配方法等。
(1) 求根公式：当二次方程为完全平方时，即b²-4ac=0，可以使用求根公式x₁=(-b+√(b²-4ac))/(2a)和x₂=(-b-√(b²-4ac))/(2a)求解；(2) 配方法：当二次方程为非完全平方时，即b²-4ac≠0，可以使用配方法将二次方程进行化简后再求解。
二次函数的解可以分为以下三种情况：(1) 当b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；(2) 当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；(3) 当b²-4ac<0时，方程无实数根，在复数范围内存在两个共轭复数根。
2. 极值点：对于一般形式的二次函数y=ax²+bx+c，其图像的极值点的x坐标为-x₀/2a，y坐标为代入此x坐标求得的值。
(1)当a>0时，极小值点存在；(2)当a<0时，极大值点存在。
二次函数知识点 二次函数知识点总结
二次函数知识点二次函数知识点总结
二次函数是形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a≠0。
二次函数的图像呈现出抛物线的形状，开口的方向取决于a的正负。
1. 零点：二次函数的零点就是方程ax^2+bx+c=0的解，可以通过因式分解、配方法、根公式等求得。
2. 平移：二次函数可以通过平移抛物线来改变其图像的位置。
平移的方法包括横向平
移和纵向平移，分别通过将x和y值加上或减去常数来实现。
3. 对称轴：二次函数的对称轴是抛物线的镜像轴，可以通过x= -b/2a求得。
4. 最值：对于开口向上的抛物线，最小值为对称轴上的y值；对于开口向下的抛物线，最大值为对称轴上的y值。
5. 函数值的范围：对于开口向上的抛物线，函数值的范围为对称轴上的y值到正无穷；对于开口向下的抛物线，函数值的范围为负无穷到对称轴上的y值。
6. 判别式：判别式是方程ax^2+bx+c=0的判别式b^2-4ac，通过判别式可以判断方
程有几个解，并且可以判断解的性质。
7. 与x轴交点：与x轴交点是方程ax^2+bx+c=0的解，可以通过零点或者因式分解
求得。
8. 与y轴交点：与y轴交点是当x等于0时的函数值，即c。
9. 开口方向：二次函数的开口方向由系数a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
10. 求解顶点：顶点是抛物线的最高或最低点，可以通过对称轴和函数的最值求得。
《二次函数》知识点归纳
《二次函数》知识点归纳一、定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量之间存在如下关系：=ax2+bx+，则称为x的二次函数。
二、二次函数的三种表达式一般式：=ax2+bx+顶点式：=a2+，此时抛物线的顶点坐标为P交点式：=a仅用于函数图像与x轴有两个交点时，x1、x2为交点的横坐标，所以两交点的坐标分别为A和B)，对称轴所在的直线为x=注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：h=-，=;x1,x2=;x1+x2=-三、二次函数的图像从图像可以看出，二次函数的图像是一条抛物线，属于轴对称图形。
四、抛物线的性质抛物线是轴对称图形，对称轴为直线x=-，对称轴与抛物线唯一的交点是抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是轴2抛物线有一个顶点P，坐标为P。
当x=-时，最值=，当a0时，函数有最小值;当a0时，函数有最大值。
当-=0时，P在轴上;当=b2-4a=0时，P在x轴上。
3二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a0时，抛物线开口向上;当a0时，抛物线开口向下。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
对于两个抛物线，若形状相同，开口方向相同，则a相等;若形状相同，开口方向相反，则a互为相反数。
4二次项系数a和一次项系数b共同决定对称轴的位置，四字口诀为“左同右异”，即：当对称轴在轴左边时，a与b 同号。
常数项决定抛物线与轴交点位置，抛物线与轴交于点。
6抛物线=ax2+bx+与x轴交点个数与方程ax2+bx+=0的根的判定方法：=b2-4a0时，抛物线与x轴有2个交点，对应方程有两个不相同的实数根;=b2-4a=0时，抛物线与x轴有1个交点，对应方程有两个相同的实数根。
=b2-4a0时，抛物线与x轴没有交点，对应方程没有实数根。
五、二次函数与一元二次方程二次函数=ax2+bx+，当=0时，二次函数为关于x的一元二次方程，即ax2+bx+=0，此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
《二次函数》知识点解读
《二次函数》知识点解读知识点1 二次函数的概念二次函数的概念：形如y=ax 2+bx+c （a≠0，a,b,c 为常数）的函数是二次函数.若b=0，则y=ax 2+c ；若c=0，则y=ax 2+bx ；若b=c=0，则y=ax 2.以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax 2+bx+c 是二次函数的一般式.在二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0，a,b,c 为常数）中，其中ax 2叫做二次项，a 叫做二次项的系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项的系数；c 叫做常数项.为什么要规定二次项的系数a≠0？当a=0时，函数为y=bx+c 是一次函数，由此可见，一次函数是二次函数的特例.（1）a≠0是保证y 是x 的二次函数的重要条件，不能缺少.b 、c 可以为0.（2）因为解析式是整式，所以自变量x 的取值范围是全体实数.（3）确定二次函数的解析式就是确定待定系数a ，b ，c ，一般需要三个条件.（4）识别二次函数的条件：必须是整式，自变量的最高次数为2，即必须有二次项.例1 下列函数中，哪些是二次函数？（1）y=2+5x 2 （2）322+=x y （3）y=3x （x+5） （4）225x y = （5）y=x 2-4（4-x ）2分析：二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0，a,b,c 为常数）是整式函数，二次函数不一定是一般式，通过化简变形可以化成一般式，注意隐含条件a≠0.解：（1）（3）（4）（5）是二次函数；（2）不是.例2 已知，函数22)2(-+=k xk y 是关于x 的二次函数，你能确定k 的值吗？请说明理由. 分析：要想确定k 的值，可由二次函数的定义来求解.解：由题意，得{22022=-≠+k k解得k=2. 所以，当k=2时，函数22)2(-+=k xk y 是关于x 的二次函数. 知识点2 二次函数在实际问题中的应用例3 某商场第一个月销售额为50万元，第三个月的销售额y （万元）与月平均增长率x 之间的函数关系如何表示？解析：函数关系式是y=50（1＋x ）2，即y=50x 2+100x+50.点评 由上例，归纳出函数解析式均为整式（这表明这种函数与一次函数有共同的特征）.自变量的最高次数是2（这与一次函数不同）.例4 篱笆墙长30m ，靠墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积y （m 2）与长x 之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围.分析：由矩形面积公式，写出二次函数关系式.解答：篱笆墙长30m ，一边长为x ，则另一边长为（30－x ），面积y （m 2）与长x 之间的函数关系式：y=x （15-x ）=-x 2+15x.其自变量x 的取值范围：0＜x ＜15.。
二次函数的知识点
二次函数的复习资料知识点1.二次函数的定义1、一般地，如果y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a ≠0），那么y 叫做x 的二次函数，它是关于自变量的 次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．2、当b=c=0时，二次函数y=ax 2是最简单的二次函数．知识点2.二次函数的图像及性质1、已知一个二次函数，确定它的图象名称、开口方向、对称轴、顶点坐标、增减范围、极值。
已知条件中含二次函数开口方向或对称轴、顶点坐标、增减范围、极值，求解析中待定系数的取值。
（1）、二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线.（2）、二次函数 c bx ax y ++=2，当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点（3）、对于y=ax 2+bx+c 而言，其顶点坐标为（ ， ）．对于y=a （x －h ）2+k 而言其顶点坐标为（ ， ）。
二次函数c bx ax y ++=2用配方法或公式法（求h 时可用代入法）可化成：k h x a y +-=2)(的形式，其中h= ,k=（4）、二次函数 c bx ax y ++=2的对称轴为直线x=－2b a运用抛物线的对称性求对称轴，由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线段的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.若抛物线上有两点A （m,n ）、B(p,n)的纵坐标相等,则它的对称轴为直线x=－2p m + （5）增减性：二次函数 c bx ax y ++=2的增减性分对称轴左右两侧描述（数形结合理解它的增减性）若0>a ，当x 时（在对称轴 侧），y 随x 的增大而增大，当x 时（在对称轴 侧），y 随x 的增大而减小，若0<a ，当x 时（在对称轴 侧），y 随x 的增大而增大，当x 时（在对称轴 侧），y 随x（6）最大（小）值：当a>0时，函数有最 值，并且当x= 时，y 最 值= ；当a<0时，函数有最 值，并且当x= 时，y 最 值= ；②若顶点横坐标不在自变量的取值范围内，只考虑在端点处是否取得最值。
二次函数知识点归纳总结
二次函数知识点归纳总结一、基本概念：1. 二次函数的定义：二次函数是指具有形式f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中a、b、c为常数，且a不等于零。
2.二次函数图像的一般特征：二次函数的图像为抛物线，开口方向由a的正负确定。
3.二次函数的平面坐标系：二次函数的图像在平面直角坐标系中的形状、位置以及与坐标轴的焦点有关。
二、顶点坐标与开口方向：1.顶点坐标：二次函数的顶点坐标可通过化简函数式得到，即x=-b/(2a)得到x坐标，再代入函数式计算得到y坐标。
2.开口方向：二次函数开口向上当且仅当a大于零，开口向下当且仅当a小于零。
三、对称轴与焦点：1.对称轴：二次函数的对称轴是垂直于x轴的直线，其方程为x=-b/(2a)。
2.焦点：二次函数的焦点与平面坐标系画图时的焦点位置有关。
四、性质与变化规律：1.奇偶性：二次函数的奇偶性由二次项的系数a的奇偶性决定，即，若a为奇数，则函数为奇函数；若a为偶数，则函数为偶函数。
2.正负性：二次函数的正负性由函数值的正负决定，其函数值与x的值、a的符号以及顶点坐标的y值正负有关。
3.单调性与极值：二次函数的单调性与开口方向有关，开口向上的二次函数在对称轴两侧单调递增，开口向下的二次函数在对称轴两侧单调递减。
二次函数的极值即为顶点值。
4.过点性质：给定两点，可以通过这两点在函数上的坐标计算出唯一确定的二次函数的函数式。
5.零点求解：二次函数的零点即为函数与x轴的交点，可以使用因式分解、配方法、求根公式等方法求解。
五、两点式与标准式：1.两点式：已知二次函数经过两点，可以利用两点式直接写出函数的函数式。
2.标准式：将二次函数的一般式化简成标准式，即f(x)=a(x-h)^2+k 的形式，能够直接得到函数的顶点坐标。
六、函数图像：1.函数图像绘制：根据顶点坐标、对称轴方程、开口方向以及函数值的正负性，可以绘制出二次函数的图像。
2.辅助判断：利用辅助判断函数的图像与坐标轴的交点，确定函数的变化规律。
二次函数知识点串讲
二次函数知识点串讲二次函数考点及对策1)解析式：a)标准式：三点代入，三元方程。
慎用- -计算能力要求很高哦；b)交点式：只要与x轴有两交点或两点纵坐标相同都可以用；可以方便与一元方程相联系；c)顶点式：求对称轴，求最值2）图像a)开口方向确定a；对称轴确定b；y轴交点确定c；x轴交点确定△；b)关于x轴和y轴对称的图像，注意a、b、c的符号变化；c)数形结合解题：如求x2+x-6=k的解，可抽象为二次函数和直线的交点问题；3）二次函数自身考点a)对称性：关于对称轴对称，可转化点坐标问题、等腰三角形三线合一问题、正方形对角线问题；b)平移：左右移、上下移x、y如何变化？c)注意：a控制开口方向和开口大小，平移翻折过程中a的绝对值不变4）代几综合a)常见问题：无思路，讨论情况不全面；b)解决方案：代几综合难在考点的综合，想要做好，一、要将几何的考点及解题方法熟记；二、二次函数的上述考点能灵活应用。
c) 常考问题：等腰三角形，相似，梯形，平行四边形，圆。
d) 最值：代数配方解决；几何对称求解以上是关于二次函数的常用考点总结，考点记住并不代表你会解题，所以多看多想多练是你必须要做的。
二次函数练习（自己找考）2010-2011东城区期末25．抛物线23y ax bx a =+-经过A （1-，0）、C （0，3-）两点，与x 轴交于另一点B ．（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点D （m ，1m --）在第四象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 对称的点D '的坐标．（3）在（2）的条件下，连结BD ，问在x 轴上是否存在点P ，使PC B C BD ∠=∠，若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．2010-2011朝阳期末24、如图，在△ABC 中，∠A=90°，AB=8，AC=6，M 是AB 上的动点（不与A 、B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 中作内接矩形AMPN ．令AM=x ．（1）用含x 的代数式表示△MNP 的面积S ； （2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？（3）在点M 的运动过程中，设△MNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？练习3：如图，抛物线c bx x y ++=2与x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点。
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二次函数知识点串讲
二次函数考点及对策
1)解析式：
a)标准式：三点代入，三元方程。
慎用- -计算能力要求很高哦；
b)交点式：只要与x轴有两交点或两点纵坐标相同都可以用；可
以方便与一元方程相联系；
c)顶点式：求对称轴，求最值
2）图像
a)开口方向确定a；对称轴确定b；y轴交点确定c；x轴交点确
定△；
b)关于x轴和y轴对称的图像，注意a、b、c的符号变化；
c)数形结合解题：如求x2+x-6=k的解，可抽象为二次函数和直
线的交点问题；
3）二次函数自身考点
a)对称性：关于对称轴对称，可转化点坐标问题、等腰三角形三线
合一问题、正方形对角线问题；
b)平移：左右移、上下移x、y如何变化？
c)注意：a控制开口方向和开口大小，平移翻折过程中a的绝对值
不变
4）代几综合
a)常见问题：无思路，讨论情况不全面；
b)解决方案：代几综合难在考点的综合，想要做好，一、要将几
何的考点及解题方法熟记；二、二次函数的上述考点能灵活应用。
c) 常考问题：等腰三角形，相似，梯形，平行四边形，圆。
d) 最值：代数配方解决；几何对称求解
以上是关于二次函数的常用考点总结，考点记住并不代表你会解题，所以多看多想多练是你必须要做的。
二次函数练习（自己找考）
2010-2011东城区期末
25．抛物线23y ax bx a =+-经过A （1-，0）、C （0，3-）两点，与x 轴交于另一点B ．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点D （m ，1m --）在第四象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 对称的点D '的坐标．
（3）在（2）的条件下，连结BD ，问在x 轴上是否存在点P ，使PC B C BD ∠=∠，若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．
2010-2011朝阳期末
24、如图，在△ABC 中，∠A=90°，AB=8，AC=6，M 是AB 上的动点（不与A 、B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 中作内接矩形AMPN ．令AM=x ．
（1）用含x 的代数式表示△MNP 的面积S ； （2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？
（3）在点M 的运动过程中，设△MNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并
求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？
练习3：
如图，抛物线
c bx x y ++=2与x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点。
（1）求该抛物线的解析式；（3分）
（第24题）
（2）设（1）中的抛物线上有一个动点P ，当点P 在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S △PAB=8，并求出此时P 点的坐标；（5分）
（3）设（1）中的抛物线交y 轴于C 点。
在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小，若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由。
（5分）
练习4
已知平面直角坐标系xOy ，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 过点A(4,0)、B(1,3) .
（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）记该抛物线的对称轴为直线l ，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P
关于直线l 的对称点为E ，点E 关于y 轴的对称点为F ，若四边形OAPF 的面积为20，求m 、n 的值.
2010-2011西城期末
已知抛物线2()y ax
a c x c =-++（其中a ≠ c 且a ≠0）.
（1）求此抛物线与x 轴的交点坐标；（用a ，c 的代数式表示）
（2）若经过此抛物线顶点A 的直线y x k =-+与此抛物线的另一个交点为(,)a c
B c a +-，
求此抛物线的解析式；
（3）点P 在（2）中x 轴上方的抛物线上，直线y x k =-+与 y 轴的交点为C ，
若
1
tan tan 4POB POC ∠=∠，求点P 的坐标；
（4）若（2）中的二次函数的自变量x 在n ≤x ＜1n +（n 为正整数）的范围
内取值时，记它的整数函数值的个数为N ， 则N 关于n 的函数关系式为 .。