线性代数-1.3行列式的计算
行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法行列式是线性代数中非常重要的概念，它可以帮助我们理解矩阵的性质和求解线性方程组。
行列式的计算方法有多种，下面将详细介绍几种常用的计算方法。
一、按定义式计算行列式：按照定义式计算行列式是最基本的一种方法。
对于一个n阶矩阵A，其行列式记作det(A)，可以按照以下公式进行计算：det(A) = Σ(−1)^σ(π_1,π_2,…,π_n)a_{1π_1}a_{2π_2}⋯a_{nπ_n}σ(π_1,π_2,…,π_n)是排列(π_1,π_2,…,π_n)的符号，a_{iπ_i}表示矩阵A的第i行第π_i列的元素，Σ表示对所有可能的排列进行求和。
按照定义式计算行列式需要对所有可能的排列进行求和，计算量较大，对于较大阶的矩阵来说并不实用。
我们通常会采用其他方法来计算行列式。
计算行列式时，我们可以利用其性质来简化计算过程。
行列式有一些基本的性质，如行列式中某一行（列）所有元素都乘以一个数k，行列式的值也要乘以k；行列式中某一行（列）元素乘以某个数加到另一行（列）上去后，行列式的值不变等。
利用这些性质，我们可以通过变换行列式中的元素或行列式本身，从而简化计算过程。
对于一个3阶矩阵A，我们可以利用做行列变换将其变换为上三角矩阵，这样计算其行列式就会变得非常简单。
具体地，我们可以通过交换行或列，将矩阵A变换为上三角矩阵，然后利用上三角矩阵的行列式的性质求解行列式的值。
三、按矩阵的余子式和代数余子式计算行列式：对于一个n阶矩阵A，其(i,j)位置的余子式M_{ij}定义为将A的第i行第j列划去后，剩下的元素按原来的次序组成的(n-1)阶行列式。
即M_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot \det(A_{ij})其中A_{ij}是将矩阵A的第i行第j列元素划掉后得到的(n-1)阶子式矩阵。
矩阵的代数余子式A_{ij}定义为A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}。
行列式的计算方法
行列式的计算方法行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个方阵所固有的一个标量值。
行列式在矩阵求逆、解线性方程组等问题中具有广泛的应用。
本文将详细介绍行列式的计算方法。
二阶行列式是最简单的行列式，它可以通过以下公式计算：$$\begin{vmatrix}a & b \\c & d\end{vmatrix} = ad - bc$$其中，a、b、c、d为二阶方阵的元素。
三阶行列式的计算方法较为复杂，但也可以通过公式来计算：$$\begin{vmatrix}a & b & c \\d & e & f\\g & h &i\end{vmatrix} = aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh$$其中，a、b、c、d、e、f、g、h、i为三阶方阵的元素。
当我们遇到高阶行列式时，直接使用公式计算是非常繁琐的，因此，我们需要借助于行列式的性质来简化计算。
-行列式的性质1：行互换改变行列式的符号。
利用这个性质，我们可以将行列式将换两行，然后通过变号来达到简化计算的目的。
-行列式的性质2：行列式中行的公因子可以提到行列式外面去。
利用这个性质，我们可以将行列式的其中一行的公因子提取出来，从而简化计算。
-行列式的性质3：行列式中一行的倍数加到另一行上，行列式值不变。
利用这个性质，我们可以将行列式中的其中一行的倍数加到另一行上，从而将一些元素化为零，进一步简化计算。
-行列式的性质4：行列式中如果有两行成比例，行列式的值为零。
利用这个性质，我们可以判断行列式是否为零，并且减少计算的步骤。
通过这些性质，我们可以将n阶行列式转化为n-1阶行列式，然后继续使用这些性质来简化计算，直到得到二阶行列式进行计算。
4.行列式的展开法行列式的展开法是计算行列式的一种常用方法。
它基于行列式的性质，通过展开其中一行（或其中一列）的元素，将n阶行列式转化为n-1阶行列式的和的形式。
行列式的定义与计算
行列式的定义与计算行列式是线性代数中的一个重要概念，用于描述线性方程组的性质以及矩阵的特征。
在本文中，将介绍行列式的定义以及计算方法。
一、行列式的定义行列式是一个数学函数，用一种特定的方式将矩阵映射为一个数字。
对于n阶矩阵A = [aij]来说，其行列式记作det(A)或|A|。
行列式的定义如下：当n=1时，矩阵只有一个元素，此时矩阵的行列式就是这个元素本身。
当n>1时，矩阵A可以分为n行n列，可以表示为：A = [a11 a12 (1)a21 a22 (2)... ... ... ...an1 an2 ... ann]其中a11、a12...ann是矩阵A的元素。
对于n>1的情况，行列式的计算可以使用展开定理或按行（列）展开等方法进行。
二、行列式的计算（一）二阶行列式二阶行列式的计算公式如下：|A| = a11·a22 - a12·a21（二）三阶行列式三阶行列式的计算公式如下：|A| = a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a13·a21·a32 - a13·a22·a31 -a12·a21·a33 - a11·a23·a32（三）n阶行列式n阶行列式的计算可以通过列展开、行展开或使用拉普拉斯定理等方法进行。
这里以列展开为例介绍。
设A为一个n阶矩阵，可以将其表示为A = [a1 a2 ...an]，其中ai为A的第i列。
若选择第k列进行展开，则根据列展开法可得：|A| = a1k·A1k - a2k·A2k + ... + (-1)^(k+1)·ank·Ank其中，Aik是移去第i行第k列元素所形成的(n-1)阶行列式。
根据此公式，可以递归地计算n阶行列式的值。
三、行列式的性质行列式具有以下性质：1. 互换行列式的两行（列），行列式的值变号。
《线性代数》1.3行列式的性质
a1n ain ka jn D1 a jn ann
n 2 ka j1 an1ai1 a a j1 an1
证 由行列式性质4 以及性质3 的推论2 可得到
a11 ai1 D1 a j1 an1 a j2 an 2 a jn ann a12 ai 2 a1n ain a j1 an1 a j2 an 2 a jn ann a11 ka j1 a12 ka j 2 a1n ka jn
x n 1 a r2 , r3 rn都减去r1 0 0
a xa 0
a 0 xa
x n 1 a x a
n 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
练习 计算
a1 0 Dn 1 0 1
a1 a2 0 1
0
0 0
0 0 an 1
a2 0 1
an 1
c2 c1后c3 c2 类推 1 a1a2
n
a1 0 0 a2 0 1 0 2
0 0 0 3
0 0 an n
0 0 0 n 1
an n 1
例4
计算 2 n 阶行列式（行列式的空白处为零）
a a a b b a b b a a b b
D2 n
同理 ci c j ; kci ; ci kc j 分别表示行列式互换第 i列与第 j
列；数k乘以第 i列；第 i列的各元素加上第 j列对应元素 的k倍.
例1 计算
1 2 D 1 1 3 2 2 1 1 4 0 3 2 1 0 1 2 3 1 5 1
3 1 2 1 1 2 0 3
b
a b
小结： 本次课我们学习了行列式的性质，重点要掌握如何 灵活应用行列式的性质来计算行列式。 作业： P26 习题一：5⑥⑦,6①②
线性代数行列式的性质与计算
线性代数行列式的性质与计算线性代数中的行列式是一种非常重要的数学工具，它在各个领域的数学和物理问题中都具有广泛的应用和重要性。
行列式是一个数，它与矩阵的元素有关，在许多情况下可以通过一些算法进行计算。
一、行列式的性质1.行列式有可加性：若A为n阶方阵，有两列完全相同，则行列式的值为0；若A为n阶方阵，交换两列，行列式的值变号。
2.行列式有因子约束：若A的其中一行或其中一列的元素是两个数之和，则A的行列式等于这两个数的和的行列式之和。
3.行列式有数乘的性质：若将A的其中一行或其中一列的元素都乘以k，则A的行列式等于k乘以这个行列式。
4.行列式对其中一行与另一行的代换变号，对其中一列与另一列的代换变号，换行、换列对行列式无影响。
5.方阵A与其转置矩阵A'行列式相等，即，A，=，A'。
6.若A为可逆的方阵，则，A，≠0；若A的其中一行全为0，则，A，=0。
二、行列式的计算1.二阶行列式的计算：设A为二阶方阵。
2.三阶行列式的计算：设A为三阶方阵a11a12a1A=，a21a22a23a31a32a33.高阶行列式的计算：a)拉普拉斯展开法：以行或列为基准进行展开，逐步减小行列式的阶数，直至计算到二阶行列式。
b)三角形矩阵法：若A为上（下）三角矩阵，则A的行列式等于对角元素的乘积。
c)伴随矩阵法：设A为n阶方阵，A的伴随矩阵的转置矩阵为A*，则，A，=，A*，=A*A^-1d)特征值法：设A的特征值为λ1,λ2,…,λn，则，A，=λ1λ2…λn.e)克拉默法则：若Ax=b为线性方程组，其中A为n阶方阵，且，A，≠0，则方程组有唯一解x=A^-1b.总之，行列式作为一种数学工具，在线性代数中具有重要的地位和作用。
它不仅可以帮助我们判断矩阵的可逆性，还可以求解线性方程组、计算矩阵的秩、判断矩阵的相似性等。
行列式的性质和计算方法可以帮助我们更好地理解和应用线性代数的相关知识。
线性代数行列式计算方法总结
线性代数行列式计算方法总结在线性代数中，行列式是一个非常重要的概念，它在矩阵运算和线性方程组的求解中起着至关重要的作用。
本文将总结一些常见的行列式计算方法，希望能够帮助读者更好地理解和运用线性代数中的行列式。
1. 代数余子式法。
代数余子式法是一种常见的计算行列式的方法。
对于一个n阶矩阵A，它的行列式可以通过以下公式来计算：det(A) = a11A11 + a12A12 + ... + a1nA1n。
其中，a11, a12, ..., a1n是矩阵A的第一行元素，A11, A12, ..., A1n分别是对应元素的代数余子式。
代数余子式的计算方法是先将对应元素所在的行和列去掉，然后计算剩下元素构成的(n-1)阶矩阵的行列式，再乘以对应元素的符号（正负交替）。
通过递归的方式，可以计算出整个矩阵的行列式。
2. 克拉默法则。
克拉默法则是一种用于求解线性方程组的方法，它也可以用来计算行列式。
对于一个n阶方阵A，如果它的行列式不为0，那么可以通过克拉默法则来求解它的逆矩阵。
逆矩阵的元素可以通过矩阵A的各个元素的代数余子式和行列式的比值来计算。
虽然克拉默法则在实际计算中并不常用，但它对于理解行列式的性质和逆矩阵的计算方法有一定的帮助。
3. 初等行变换法。
初等行变换法是一种通过对矩阵进行一系列行变换来简化行列式计算的方法。
这些行变换包括交换两行、某一行乘以一个非零常数、某一行加上另一行的若干倍。
通过这些行变换，可以将一个矩阵化简为上三角形矩阵或者对角矩阵，从而更容易计算它的行列式。
需要注意的是，进行行变换时要保持行列式的值不变，即每一次行变换都要乘以一个相应的系数。
4. 特征值法。
特征值法是一种通过矩阵的特征值和特征向量来计算行列式的方法。
对于一个n阶矩阵A，它的行列式可以表示为其特征值的乘积。
通过计算特征值和特征向量，可以得到矩阵A的行列式的值。
特征值法在实际计算中比较复杂，但它对于理解矩阵的性质和特征值分解有一定的帮助。
行列式的运算法则
行列式的运算法则行列式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵运算和方程组求解中起着重要的作用。
行列式的运算法则是指对于不同类型的行列式，我们可以通过一系列的运算来求得其值。
本文将介绍行列式的运算法则，包括行列式的定义、性质以及常见的运算方法。
1. 行列式的定义行列式是一个数学概念，用来描述一个方阵（即行数等于列数的矩阵）所固有的一种性质。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作det(A)，可以通过以下方法来计算：- 当n=1时，det(A) = a11，即一个1阶方阵的行列式就是它的唯一元素。
- 当n=2时，det(A) = a11 * a22 - a12 * a21，即一个2阶方阵的行列式是其主对角线上元素的乘积减去次对角线上元素的乘积。
- 当n>2时，可以通过递归的方法将n阶方阵的行列式表示为n-1阶方阵的行列式的线性组合，直到n=2时再利用上述方法计算。
2. 行列式的性质行列式具有许多重要的性质，其中包括：- 互换行列式的两行（列）会改变行列式的符号，即det(-A)= (-1)^n * det(A)，其中n为方阵的阶数。
- 如果方阵A的某一行（列）全为0，则det(A) = 0。
- 如果方阵A的两行（列）成比例，则det(A) = 0。
- 如果方阵A的某一行（列）是另一行（列）的线性组合，则det(A) = 0。
- 如果方阵A的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。
3. 行列式的运算法则在实际应用中，我们经常需要对行列式进行一系列的运算，常见的运算包括：- 行列式的加法：如果方阵A、B的行数和列数相等，则它们的行列式可以相加，即det(A + B) = det(A) + det(B)。
- 行列式的数乘：如果方阵A的行列式为det(A)，则kA的行列式为k^n * det(A)，其中k为常数，n为方阵的阶数。
- 行列式的乘法：如果方阵A、B的行数和列数相等，则它们的行列式可以相乘，即det(AB) = det(A) * det(B)。
行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法行列式是线性代数中的重要概念，是一种用于描述矩阵特征的数学工具。
在数学和工程领域中，行列式的计算是非常重要的，它与矩阵的性质及相关运算具有密切的关系。
本文将介绍关于行列式的几种计算方法，希望能够帮助读者更好地理解和应用行列式。
一、行列式的定义在了解行列式的计算方法之前，我们首先来了解行列式的定义。
行列式是一个用方括号表示的数学量，它是一个矩阵所代表的线性变换对“面积”或“体积”的伸缩因子。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)，其中n表示方阵的阶数。
行列式的计算方法有很多种，下面我们将介绍其中的几种常见方法。
二、拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是一种常见的行列式计算方法。
在使用拉普拉斯展开法计算行列式时，首先需要选择一个行或列，然后将行列式展开成以该行或列元素为首元素的一系列代数余子式的和。
具体步骤如下：1. 选择一个行或列，我们以第一行为例；2. 对第一行的每个元素，计算它的代数余子式，代数余子式的计算方法是去掉对应行和列的元素后计算得到的行列式；3. 计算每个元素的代数余子式，然后与对应元素相乘再相加，得到最终的行列式值。
对于一个3阶矩阵A```a b cd e fg h i```使用拉普拉斯展开法，选择第一行进行展开，计算行列式的方法如下：```det(A) = a*det(A11) - b*det(A12) + c*det(A13)```其中A11、A12、A13分别为：A11 =```e fh i```A12 =```d fg i```A13 =```d eg h```通过计算A11、A12、A13的行列式值，再按照上述公式计算，即可得到矩阵A的行列式值。
三、性质法行列式的性质法是一种简单而有效的计算方法，它是通过一些行列式的基本性质来简化和计算行列式的值。
行列式的基本性质包括以下几条：1. 对调行或列，行列式变号；2. 行或列成比例，行列式为0；3. 行列式中有两行、两列相同，行列式为0；4. 两行或两列互换，行列式变号；5. 行列式中某一行或列乘以一个数，等于这个数与行列式的乘积。
线性代数1-3
0
−1 2 3 5 1+ 5 + = 7 0 5 5 = 7 × − 1） − 1） 1 （ × （ 8 10 0 8 10
行乘以2加到第 第1行乘以 加到第 行 行乘以 加到第2行 行乘以3加到第 第1行乘以 加到第 行 行乘以 加到第3行 按第一列展开
= −70
线性代数 第一章 行列式
5
例5 计算行列式
2
− a1 a1 0 − a2 计算n阶行列式 例3 计算 阶行列式 D = L L 0 0 1 1
−1 1 0 −1 D = a1a2 Lan−1 L L 0 0 1 1
0 L a2 L 0 1
0
0
L 0 0 L L L L − an−1 an−1 L 1 1
解第i ( i = 1,2, L , n − 1)行提出公因子 a i，得
证 从第2行开始，自上而下，将下一行乘以-1加到上一行，得 从第 行开始，自上而下，将下一行乘以 加到上一行， 行开始 加到上一行
0 1 1 0 1− x 1 0 0 1− x D= 0 0 L L 0 1 0 x 1 1 1 L L L 1 1 1 1 1 1
按第 一列 展开
1 1 1− x 1 0 1− x 0 L 0 0
0 0 L L −1 x a2 x + a1
L 0 L L L L 0 *
按第一列展开
= ( −1) ( x + a1 x
n n+1 n−1
(其中y = x n + a1 x n −1 + a2 x n− 2 + L + an )
−1 0 L 0 0 −1 L 0 0 0
+ a2 x
n− 2
线性代数行列式计算方法总结
线性代数行列式计算方法总结1. 引言行列式是线性代数中的重要概念，用于描述线性方程组的性质以及向量空间的基本性质。
在实际应用中，行列式计算是非常常见的操作。
本文将总结常用的线性代数行列式计算方法，并通过具体的例子进行说明。
2. 行列式的定义行列式是一个将矩阵映射为一个标量的函数。
设A为一个n阶方阵，则其行列式记作|A|，它由元素a_ij组成的n×n矩阵所决定。
行列式的计算方法有多种，下面将介绍其中几种常用的方法。
3. 基本行列变换法基本行列变换法是求解行列式值的一种常见方法。
它包括以下三种基本行列变换：3.1 行交换行交换是将两行互换位置的操作。
当行交换次数为偶数次时，行列式的值保持不变；当行交换次数为奇数次时，行列式的值取负。
例如，对于一个3×3矩阵 A：A = [a b c][d e f][g h i]如果我们交换第一行和第三行，得到矩阵 B：B = [g h i][d e f][a b c]则有 |A| = -|B|。
3.2 行倍加行倍加是将某一行乘以一个非零常数，并加到另一行上去的操作。
行倍加不改变行列式的值。
例如，对于一个3×3矩阵 A：A = [a b c][d e f][g h i]如果我们将第一行的2倍加到第二行上，得到矩阵 C：C = [a b c][2a+e 2b+f 2c+f][g h i]则有 |A| = |C|。
3.3 行倍乘行倍乘是将某一行乘以一个非零常数的操作。
行倍乘改变行列式的值。
例如，对于一个3×3矩阵 A：A = [a b c][d e f][g h i]如果我们将第三行乘以2，得到矩阵 D：D = [a b c][d e f][2g 2h 2i]则有 |A| = 2|D|。
4. Laplace展开法Laplace展开法是求解行列式值的另一种常用方法。
它基于以下原理：设A是一个n阶方阵，将A的第i行第j列的元素记为a_ij，则A的行列式可展开为a_ij 与其余元素构成的n-1阶矩阵的行列式的代数余子式之和。
行列式的计算方法-计算行列式的格式
行列式的计算方法-计算行列式的格式行列式是线性代数中的一个重要概念，它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
计算行列式是线性代数中的一项基本技能，掌握正确的计算格式对于准确求解行列式至关重要。
接下来，让我们详细探讨一下计算行列式的格式。
首先，我们需要明确什么是行列式。
行列式是一个由数值排列成的方形矩阵经过特定运算得到的一个数值。
例如，对于一个二阶行列式：＼＼begin{vmatrix}a ＆b ＼＼c ＆ d＼end{vmatrix}＼其值为＼（ad bc\）。
在计算行列式时，第一步是要确定行列式的阶数。
行列式的阶数就是其行数或列数。
常见的行列式有二阶、三阶等。
对于二阶行列式，我们已经知道其计算公式为＼（ad bc\）。
对于三阶行列式：＼＼begin{vmatrix}a_{11} ＆ a_{12} ＆ a_{13} ＼＼a_{21} ＆ a_{22} ＆ a_{23} ＼＼a_{31} ＆ a_{32} ＆ a_{33}＼end{vmatrix}＼我们可以按照以下格式进行计算：＼＼begin{align}＆a_{11} ＼times ＼begin{vmatrix}a_{22} ＆ a_{23} ＼＼a_{32} ＆ a_{33}＼end{vmatrix} a_{12} ＼times ＼begin{vmatrix} a_{21} ＆ a_{23} ＼＼a_{31} ＆ a_{33}＼end{vmatrix} ＋ a_{13} ＼times ＼begin{vmatrix}a_{21} ＆ a_{22} ＼＼a_{31} ＆ a_{32}＼end{vmatrix}＼＼＝＆a_{11}（a_{22}a_{33} a_{23}a_{32}） a_{12}（a_{21}a_{33} a_{23}a_{31}）＋ a_{13}（a_{21}a_{32} a_{22}a_{31}）＼end{align}＼在书写计算过程时，要清晰地标明每一步的运算，并且使用适当的括号来区分不同的运算顺序。
行列式的计算方法和技巧大总结
行列式的计算方法和技巧大总结行列式是线性代数中的一个重要概念，用于表示线性方程组的性质和解的情况。
在计算行列式时，有许多方法和技巧可以帮助我们简化计算过程。
以下是行列式计算方法和技巧的大总结。
1. 二阶矩阵行列式：对于一个2x2的矩阵A，行列式的计算方法是ad-bc，其中a、b、c和d分别为矩阵A的元素。
2. 三阶矩阵行列式：对于一个3x3的矩阵A，行列式的计算方法是a(ei-fh) - b(di-fg) + c(dh-eg)，其中a、b、c、d、e、f、g和h分别为矩阵A的元素。
3.行变换法：行变换是一种常用的简化计算行列式的方法。
行变换可以通过交换行、倍乘行和行加减法三种操作来实现。
当进行行变换时，行列式的值保持不变。
4.行列式的性质：行列式有以下性质：a)交换行，行列式的值相反；b)两行交换位置，行列式的值相反；c)同行相等，行列式的值为0；d)其中一行乘以一个数k，行列式的值变为原来的k倍；e)两行相加（减），行列式的值保持不变。
5.定义展开法：行列式的定义展开法可以通过选取任意一行或一列对行列式进行展开。
展开定理是一种递归的方法，它将一个复杂的行列式分解成若干个简单的行列式，从而简化计算过程。
6.三角矩阵行列式：对于一个上（下）三角矩阵，它的行列式等于对角线上的元素相乘。
这是因为在上（下）三角矩阵中，除了对角线上的元素外，其他元素都为0，因此它们的乘积为0。
7.克拉默法则：克拉默法则适用于解线性方程组时的行列式计算。
克拉默法则使用行列式来计算方程组的解。
具体来说，对于n个方程n个未知数的线性方程组，如果系数矩阵的行列式不为零，那么该方程组有唯一解，可以通过求解该方程组的克拉默行列式来得到方程组的解。
8.外积法则：在向量代数中，我们可以使用外积法则计算向量的叉乘。
对于两个三维向量a和b，它们的叉乘可以表示为a×b，它的模就是行列式的值。
具体计算方法是：ijka1a2a3b1b2b3其中，i、j和k是单位向量，a1、a2、a3和b1、b2、b3分别为向量a和向量b的坐标。
线性代数1-3 n阶行列式的计算
311 131 113
1234 2341 3412 4123
例7 计算行列式 1 a a 0 0 0 1 1a a 0 0
D5 0 1 1 a a 0 . 0 0 1 1a a 0 0 0 1 1a
解： 将行列式的其它行加到第一行得
a 0 0 0 1 1 1a a 0 0 D5 0 1 1 a a 0 0 0 1 1a a 0 0 0 1 1a
3 2 0 ... 0 0
1 3 2 ... 0 0
3Dn1 2 ... ... ... ... ... ... 3Dn1 2Dn2
0 0 0 ... 3 2 0 0 0 ... 1 3
3 2 0 ... 0 0 1 3 2 ... 0 0
即
Dn 3Dn1 2Dn2
1
0 0 0 y
1 1 1 y
第一章 行列式
1
xy 2 x 1
1
1 1 y
1
1 x 1 0 1 y 0
1 1 y
1
1 1 1
xy2
x
0
0
y 0
1 y 0 x
1 y
1
1
y
xy 2 x( y 2 xy2 ) x 2 y 2
13
第一章 行列式
Dn Dn1 2n
第一章 行列式
Dn 2n Dn1 2n (2n1 Dn2 )
0
a xa
0 0
a 0 xa 0
a 0 0 xa
( x a)n1[ x (n 1)a].
第一章 行列式
行列式的每一行的n个元素之和相等时常用此法.
线性代数行列式计算方法总结
线性代数行列式计算方法总结线性代数中，行列式是一个非常重要的概念。
它是一种用于表示线性变换、矩阵和线性方程组性质的数值指标。
在实际应用中，我们常常需要计算行列式的值。
下面将总结一些常用的行列式计算方法。
一、定义法行列式的定义法是最基本的计算方法。
对于一个n阶方阵A=[a[i][j]]，其行列式表示为det(A)，可以通过如下公式进行计算：det(A) = Σ[(-1)^perm] * a[1][p[1]] * a[2][p[2]] * ... *a[n][p[n]]其中，Σ表示求和，perm表示排列p[1]、p[2]、..、p[n]的所有可能情况。
公式中的(-1)^perm是一个符号因子，当一些排列具有奇数个逆序时，符号为负；当一些排列具有偶数个逆序时，符号为正。
这种方法简单直观，但对于大型的n阶矩阵计算复杂度较高。
因此，我们需要探索一些优化方法。
二、拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法也是一种常用的行列式计算方法。
它基于行列式的定义法，并通过将行列式展开为一系列子行列式的和来计算。
对于一个n阶方阵A=[a[i][j]]，其行列式表示为det(A)，可以通过以下公式进行计算：det(A) = Σ[(-1)^(i+1)] * a[i][j] * det(A[i][j])其中，A[i][j]表示A删去第i行和第j列后的子矩阵。
公式中的Σ表示求和，从j=1到j=n进行累加。
拉普拉斯展开法的优点是可以通过递归地计算子矩阵的行列式来减少计算量，但其复杂度仍然为O(n!)，对于大型矩阵仍然不够高效。
三、行变换法行变换法是一种常用的行列式计算方法，通过矩阵的初等行变换将矩阵转化为易于计算的上（下）三角形式，从而求得行列式的值。
对于一个n阶方阵A=[a[i][j]]，其行列式表示为det(A)，可以通过以下步骤进行计算：1.对A进行初等行变换，将其转化为上（下）三角形形式。
2.计算上（下）三角形矩阵对角线上的元素的乘积，即可得到行列式的值。
线性代数B-1.3 行列式的性质
第 i 行(列)
§1 .3 行列式的性质
二、行列式的计算
a11 a12 计算行列式常用方法： 0 a22 0 0
a1n a2 n ann
a11a22
ann
前面已经介绍过三角形行列式的计算方法， 如果利用行列式的性质把行列式等价地转化为三角 形行列式可以简化计算．
方法：化三角形行列式
§1 .3 行列式的性质
例4 计算D=
解：根据行列式的特点，可将第1列加至第2列，然后将第2列加 至第3列，再将第3列加至第4列，目的是使D中的零元素增多.
§1 .3 行列式的性质
a b c d a b c d 例5 计算 D a a b a b c a 2a b 3a 2b c 4a 3b 2c d a 3a b 6a 3b c 10a 6b 3c d 解：r2r1 a b c d r4r3 a b c d r3r1 0 a ab abc r3r2 0 a ab abc D r4r1 0 2a 3a2b 4a3b2c D 2ab 3a2bc 0 3a 6a3b 10a6b3c r2r1 0 a 3 a b 6 a 3 b c 0 a r32r2 a b c d r4r3 a b c d r43r2 0 a ab abc r3r2 0 a ab abc 0 0 a 2ab 0 0 a 2ab 0 0 3a 7a3b 0 0 a 3ab a b c d a b c d r43r3 0 a ab abc r4r3 0 a ab abc a4 0 0 a 2ab a4 0 0 a 2ab 0 0 0 a 0 0 0 a 法一 法二
行列式的定义计算方法
行列式的定义计算方法行列式是线性代数中一个重要的概念，用于描述线性方程组的解的性质。
行列式广泛应用于数学、物理、工程等领域，具有重要的理论和实际价值。
本文将详细介绍行列式的定义和计算方法，并通过实例加以说明。
行列式是线性代数中独特的一个概念，它起源于19世纪初，由日本数学家关孝和引入并发展起来。
行列式在线性代数中具有非常重要的地位，它与线性方程组的解有密切的关联。
掌握行列式的定义和计算方法，对于理解线性代数的相关概念和解决实际问题具有重要的意义。
一、行列式的定义行列式是一个方阵的一个标量值，它可以用来判断矩阵的很多性质和计算线性方程组的解。
对于一个n阶矩阵A=(a_ij)，它的行列式记作det(A)，其中a_ij表示在矩阵A中第i行、第j列的元素。
二、行列式的计算方法1. 二阶行列式的计算：对于一个2x2的矩阵A=(a_11 a_12; a_21 a_22)，它的行列式计算公式为：det(A) = a_11 * a_22 - a_12 * a_212. 三阶行列式的计算：对于一个3x3的矩阵A=(a_11 a_12 a_13; a_21 a_22 a_23; a_31 a_32 a_33)，它的行列式计算公式为：det(A) = a_11 * a_22 * a_33 + a_12 * a_23 * a_31 + a_13 * a_21 * a_32- a_31 * a_22 * a_13 - a_32 * a_23 * a_11 - a_33 * a_21 * a_123. 高阶行列式的计算：对于高于三阶的行列式，我们通常使用拉普拉斯展开法来计算。
选择行或列，然后对该行或列的元素依次乘以其代数余子式，再按正负号加和，即可得到行列式的值。
【举例说明】为了更好地理解行列式的计算方法，我们通过一个实例来进行说明。
考虑一个3x3的矩阵A=(1 2 3; 4 5 6; 7 8 9)，我们将按照上述的计算方法来求解其行列式值。
关于行列式的计算方法
关于行列式的计算方法行列式是线性代数中非常重要的一个概念，它在矩阵和线性方程组的求解中都有广泛的应用。
本文将介绍关于行列式的定义、计算方法及其性质，以及一些常用的行列式计算技巧。
一、行列式的定义行列式是一个方阵（只有行数和列数相等的矩阵才有行列式）所具有的一个确定的数值。
对于一个n阶的方阵，其行列式记作det(A)，其中A 表示矩阵。
行列式的计算方法主要有三种：代数余子式法、按行（列）展开法和逆序数法。
二、代数余子式法对于一个n阶方阵A，它的第i行第j列元素的代数余子式表示为Mij，定义为：将A的第i行和第j列元素划去，然后找出剩余元素所形成的n-1阶方阵的行列式。
即：Mij = det(Aij)其中Aij表示由第i行和第j列元素删去后所得到的(n-1)阶方阵。
根据代数余子式的定义，行列式的计算可以通过以下公式进行求解：det(A) = a11M11 - a12M12 + a13M13 - ... + (-1)^(i+j)aijMij + ...其中a11,a12,a13,...是第一行元素，M11,M12,M13,...是它们对应的代数余子式。
三、按行（列）展开法按行（列）展开法是行列式计算中最常用的一种方法。
对于一个n阶方阵A，选择其中任意一行或者一列，然后按照一定规律展开计算。
以按第一行展开为例，按照以下规律进行展开：det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13 + ... + a1nC1n其中Cij表示第一行第j列元素aij的余子式，定义为：将A的第一行和第j列元素划去，然后找出剩余元素所形成的(n-1)阶方阵的行列式。
将Cij的计算公式中的行列式再按行（列）展开，可以得到更小阶的余子式，直到降阶为2阶方阵时，余子式的计算直接是两个元素之差。
四、逆序数法逆序数法是行列式计算中的另一种方法。
对于一个n阶方阵A，按照以下步骤进行计算：1.首先，将方阵A展开至最小的单位（1阶方阵）。
考研数学线性代数行列式的计算方法
考研数学线性代数行列式的计算方法线性代数是数学中的一个重要分支，对于考研数学来说，线性代数是必不可少的一部分。
而在线性代数中，行列式的计算是一个非常重要且基础的部分。
本文将详细介绍行列式的计算方法。
一、行列式的基本定义行列式是对一个方阵进行运算得到的值，用来描述一个线性变换对空间进行了多大的“拉伸”。
对于一个n阶方阵A（n*n矩阵），其行列式记作，A，或det(A)。
二阶行列式的计算非常简单，对于一个二阶方阵：aA=，cd其行列式的计算方法为：，A， = ad - bc。
三阶行列式的计算方法稍微复杂一些，对于一个三阶方阵：abA=，defgh其行列式的计算方法为：，A， = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh。
对于多阶行列式的计算，可以利用行列式的性质进行简化。
以下是行列式的一些基本性质：1.行列式与转置行列式不受转置操作的影响，即对于一个方阵A，有det(A) =det(A^T)。
2.行列式的行列互换行列互换会改变行列式的正负号。
对于一个方阵A，如果交换了第i 行和第j行，那么行列式的值变为-，A。
同理，对于方阵A，如果交换了第i列和第j列，行列式的值也变为-，A。
可以利用这一性质来简化计算。
3.行列式的公因子对于一个方阵A，如果存在一个数k，使第i行（或第i列）的元素分别乘以k，则行列式的值也应该乘以k。
4.行列式的零行（零列）与行列式的值如果一个方阵A的其中一行（或其中一列）的元素全部为0，则行列式的值为0。
5.行列式的线性性质行列式满足线性运算的性质，即对于一个方阵A和一个数k，有det(kA) = k^n * det(A)，其中n为方阵的阶数；另外，如果方阵A的第i行（或第i列）的元素分别加上方阵B的第i行（或第i列）的元素，得到一个新的方阵C，则有det(C) = det(A) + det(B)。
通过上述性质，我们可以采用行列变换的方法，将一个方阵化简为一个三角行列式或对角行列式，从而简化计算。
行列式的计算方法
行列式的计算方法行列式是线性代数中的重要概念，它在数学和物理等领域都有着广泛的应用。
在本文中，我们将介绍行列式的计算方法，包括二阶、三阶和高阶行列式的计算步骤和技巧。
首先，我们来看二阶行列式的计算方法。
设有二阶行列式。
\[D=\begin{vmatrix}a & b\\c & d\end{vmatrix}\]其计算公式为：\[D=ad-bc\]这里，我们可以直接利用计算公式得出行列式的值，不需要进行其他复杂的计算步骤。
接下来，我们来看三阶行列式的计算方法。
设有三阶行列式。
\[D=\begin{vmatrix}a & b & c\\d & e & f\\g & h & i\end{vmatrix}\]其计算公式为：\[D=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh\]在计算三阶行列式时，我们可以利用这个公式，按照公式中的顺序进行计算，最终得出行列式的值。
对于高阶行列式的计算方法，我们可以利用行列式的性质进行化简。
例如，可以利用行列式的行变换、行列式的性质和代数余子式的性质等方法，将高阶行列式化简为二阶或三阶行列式的和或差，然后再利用前面介绍的计算方法进行计算。
除了上述的直接计算方法外，我们还可以利用行列式的性质进行计算。
例如，行列式的性质包括行列式的行交换、行列式的行倍加、行列式的某一行的公因子可以提取出来等。
利用这些性质，我们可以将行列式化简为更容易计算的形式，从而简化计算过程。
在实际应用中，我们经常会遇到需要计算行列式的情况。
例如，在线性代数中，我们需要计算矩阵的行列式来判断矩阵是否可逆；在微积分中，我们需要计算二重积分的雅可比行列式来进行坐标变换等。
因此，掌握行列式的计算方法对于深入理解数学知识和解决实际问题都具有重要意义。
总之，行列式是线性代数中的重要概念，掌握行列式的计算方法对于理解数学知识和解决实际问题都具有重要意义。
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1 1 1 3
1 1
D 2 5 11 2
2
2 3
2
1 r2 r1 1 0 0
4
22 5
1
12
1 2 3
4 4 2
1 1 1 7
11 7
c4 4c3
10 22
0 5
1 2
0 1 2 5 4 4 2
1 2 10
1 2 3 10
1 1 0
2
1 3
7 18
1
3
21
18 17
31 21
6 33 17 2
13
例6
a a
b b
D2n
ab
cd
（按第一行展开）
c
d
c
d
a
b 0 0a
b
O
N
O
N
ab
ab
a
cd
b
cd
N
O
N
O
c
d 0 0c
d
0
0d c0
0
(ad bc)D2(n1) (ad bc)n
14
例 7 计算 Vandermonde 行列式
D x1 x2 x3 . x12 x22 x32
a32的余子式
a11 a13 a14 M 32 a21 a23 a24
a41 a43 a44
a32的代数余子式
A32 (1)32 M32
5
二、行列式的展开定理 定理 行列式D的任一行（列）的每个元素 与其对应的代数余子式乘积之和等于该行列式的值； 行列式D的任一行（列）的每个元素与另一行（列） 相应元素的代数余子式的乘积之和为零。
2100
1100
1 D5 2 0
2 1
1 2
0 (1)3 0
1
0
2 1
1 2
0
1 2D4 D3
0012
0012
这种关系称为递推关系式，由此式可得
12
D5 2D4 D3
D5 D4 D4 D3 D3 D2
21
D2 D1 1
2 1
2
D5 D4 1 (D3 1) 1 D3 2 D2 3 6
41 4 9 8 1 8 27
17
作业
P36 1 (1)(2)(4)(5) 2
18
Ajn
D
0
, ,
i j时 i j时
或按 j 列展开
D , i j时
a1i A1 j a2i A2 j L
ani Anj
0
,
i j时
7
例1 解
421 D 3 0 2
2 1 2
计算 A31 A32 A33
1 2 A31 A32 2 A33
421
A31 A32 A33 3 0 2 111
a1
a4
1 0 0 1
c1 c2
c3
c4a1a2 a3a41
4 i 1
x ai
4 i 1
ai 1
4 i 1
x ai
11
21000
12100
例5
D5 0 1 2 1 0
0 0 1 2 1 递推法
00012
解 此为三对角线行列式，5阶行列式 D5 和4阶行列式 D4 有相同的形式。按第一行展开
421
2 A31
A32
1 2
A33
3
2
0 1
2 1
2
8
例2 计算下列行列式的值
a00b c d 0 0c d
1.
0 D4 0
c e
d f
0 ae 00
f 0
0 b0 hg
e 0
f 0
g00h
c ah
d bg c
d
(ah bg)(cf de)
ef ef
9
例3 计算行列式 1 1 1 3
线性代数
1
第三节
第一章
行列式的计算
一、 余子式和代数余子式 二、 行列式按一行（列）展开
2
一、余子式和代数余子式
划去D 的第 i行 j 列元素，剩下元素按原来相对位 置排成的 n 1阶 行列式
a11 a1 j1 a1 j a1 j1 a1n
ai11 ai1 ai11
ai1 j1 aij1 ai1 j1
解 将 D 的第 2 行乘以 ( x1 )加到第 3 行，再将 D 的第
1 行乘以 ( x1 )加到第 2 行，得
11
1
D 0 x2 x1
x3 x1
0 x22 x1 x2 x32 x1 x3
再对第一列用展开定理得
15
D
x2 x1 x22 x1 x2
x3 x1 x32 x1 x3
11 ( x2 x1 )(x3 x1 ) x2 x3
ai1 j aij ai1 j
ai1 j1 aij1 ai1 j1
ai1n ain ai1n
an1 anj1
anj
anj1 ann
3
得 aij 的余子式
a11
M ij
a i 1,1 a i 1,1
an1
a1, j 1 ai1, j 1 ai1, j 1 a n, j 1
a1, j1 ai1, j1 ai1, j 1 an, j1
a1n
a i 1, n a i 1, n
ann
称 Aij (1)i j M ij为 aij的 代数余子式。
4
例如
a11 a21 a31 a41
a12 a22 a32 a42
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 a44
0 1 17
10
例4 计算4阶行列式， a1a2a3a4 0
x a1 x
x
x
x D4 x
x a2 x x x a3
x x
双边对角形
x
x
x a1 x x
ri r1 a1 a2
i 2,3,4 a1
a3
x x a4
x
1 x x a1 a2
a1a2a3a4 1 1 1 0
xx a3 a4 00 10
按 i 行展开
D ai1Ai1 ai2 Ai2 ain Ain
或按 j 列展开
D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj
6
a11 a1 j a1n
D ai1 aij ain
an1 anj ann
即按 i 行展开
ai1 Aj1 ai2 Aj2
ain
( x2 x1 )(x3 x1 )(x3 x2 ) ( x j xi ). 1i j3
利用数学归纳法可得 n 阶 Vandermonde 行列式
1 1 1
x1 Dn x12
x2 x22
xn
x
2 n
( xi x j ).
ni j1
x1n1 x2n1
x
n1 n
16
11 1 1 例如 2 1 2 3 (3)(4) 1(1) 45 240