一元二次函数

x1， x2 ；这个时候我们设： y=a(x-x 1 )(x-x2)
解答：设 y=a(x-1)(x+3)
因为函数经过点（ 4,2），
所以： 21=a(4-1)(4+3)
解得： a=1
所以： y=(x-1)(x+3) 即： y=x 2+2x-3
一元二次函数
一、一元二次函数的定义形如 y=ax2+bx+c( 其中 a≠0)的函数称之为一元二次函数。
二、一元二次函数的图像及性质： y=ax 2+bx+c
(a≠ 0)
a>0
y
a<0 y
P
图像
x
y = f(x)
O
x
y = f(x)
O
P
对称轴顶点坐标
最值单调性
b
x=
2a
b 4ac b2
P(
,
)
么？解答： y=(x-1) 2+2 根据“左加右减”的原则，向左移动一个单位，则有：
根据“上加下减”的原则，向上移动两个单位，则有所以，最终的结果是： y=x 2+4
y=(x-1+1) 2+2 y=(x-1+1) 2+2+2
题型二：已知三点求函数的解析式——方法：待定系数法【例题 2】已知一元二次方程 y=ax2+bx+c 经过点 A(1 ，3),B(2 ，4),C(3 ，11),求函数的解析式。解答：根据题意有：
abc3 4a 2b c 4 9a 3b c 11
解上面的方程组，得：
a3 b8
c8
所以： y=3x 2-8x+8
【例题 3】已知函数

一元二次函数归纳

一元二次函数的图象一、定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的一元二次函数. 其中，x 是自变量，a,b,c 分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。

二、一元二次函数y ＝ax ²＋bx ＋c ﹙a ≠0﹚的图象(其中a,b,c 均为常数)1.当a ＞0时函数图象开口向上；对称轴为x ＝﹣2a ／b ，有最小值且为﹙4ac －b ²﹚／4a ；当x ∈﹙﹣∞,﹣2a ／b]时递减；当x ∈[﹣2a ／b,﹢∞﹚时递增；2.当a ＜0时函数图象开口向下；对称轴为x ＝﹣2a ／b ，有最大值且为﹙4ac －b ²﹚／4a ；当x ∈﹙﹣∞,﹣2a ／b]时递增；当x ∈[﹣2a ／b,﹢∞﹚时递减；2.△＝b ²－4ac当△＞0时，函数图象与x 轴有两个交点；当△＝0时，函数图象与x 轴只有一个交点；当△＜0时，函数图象与x 轴没有交点。

(如下图所示)三、抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用(1) a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.例1：画出212y x =- 2y x =- 22y x =-的图象212y x =- 22y x =- 2y x =-归纳：一般地，抛物线2y ax =的对称轴是y 轴，顶点是原点，当0a >时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小；当0a <时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大。

(2)b 和a共同决定抛物线对称轴的位置例2：画出二次函数21(1)2y x =-+，211)2y x =--（的图象，考虑他们的开口方向、对称轴和顶点。

21(1)2y x =-+ 211)2y x =--（可以看出，抛物线21(1)2y x =-+的开口向下，对称轴是进过点（-1,0）且与x 轴垂直的直线，记为x=-1，顶点是（-1,0）；抛物线211)2y x =--（的开口向下，对称轴是x=1，顶点是（1,0）。

关于一元二次函数,一元二次方程,一元二次不等式及其关系

1. 一元二次函数函数 2y ax bx c =++ (0)a ¹叫做一元二次函数，其中,,a b c 是常数一般式2y ax bx c =++ ( 0a ¹)顶点式 ()2y a x h k =-+ (0a ¹),其中(),h k 为抛物线顶点坐标两点式()()12y a x x x x =-- ( 0a ¹), 其中12,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标。

1.1一元二次函数的基本性质1.1.1一元二次函数的定义域和值域一元二次函数2y ax bx c =++ ，(0)a ¹的R一元二次函数2y ax bx c =++ ，(0)a ¹ 的值域是0a >时一元二次函数的值域是24,4ac ba 轹-÷ê÷+ ÷ê÷øë 0a <时一元二次函数的值域是24,4acb a 纟-çú- ççúèû1.1.2一元二次函数的单调性1. 2y ax bx c =++ ， ()0a > 在区间,2ba 纟çú-?ççúèû上为单调减函数，在区间,2ba 轹÷ê-+ ÷÷êøë上为单调增函数。

当2b x a=-时 2min 44ac b y a-=， m ax y =无2. 2y ax bx c =++ ()0a <在区间,2ba 纟çú-?ççúèû上为单调增加函数，在区间,2ba轹÷ê-+ ÷÷êøë上为单调减函数。

一元二次函数总结

(5)一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组
的解的数目来确定：
1程组有两组不同的解时与有两个交点;
2程组只有一组解时与只有一个交点;
3③方程组无解时与没有交点.
(6)抛物线与轴两交点之间的距离:若抛物线与轴两交点为由于、是方程的两个根，故由韦达定理知:
八、二次函数与一元二次方程的关系:
可以看出,抛物线的开口向下，对称轴是进过点（-1,０）且与x轴垂直的直线,记为x=－１，顶点是(－１，0）；抛物线的开口向下,对称轴是x=1，顶点是(1，0）。
例3：画出函数的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点。抛物线经过怎样的变换可以得到抛物线？
抛物线的开口方向向下、对称轴是ｘ＝－1，顶点是（-１，-１)。
2．四、根的分布,根据函数图象来判断其所需要满足的条件
1.若ｘ＜y<ｍ﹙m为x轴上的一点﹚,则需满足：
┏△>０
┣﹣２ａ／b<m
┗f（m）>０
2.若m<x＜y﹙ｍ为x轴上的一点﹚,则需满足：
┏△>0
┣﹣2a／b＞ｍ
┗ｆ（m)>0
3.若x<m<ｙ﹙m为ｘ轴上的一点﹚,则需满足：
4.若x,y∈﹙m,n﹚﹙ｍ,ｎ为x轴上的一点﹚,则需满足：
当ｘ∈﹙﹣∞,﹣2a／b]时递增;当x∈[﹣2a/b,﹢∞﹚时递减;
ﻩ
2.△=ｂ²－4ａｃ
Hale Waihona Puke 当△＞０时，函数图象与x轴有两个交点；
当△=0时，函数图象与x轴只有一个交点;
当△＜0时,函数图象与x轴没有交点。
（如下图所示)
三、抛物线中, 的作用
(1) 决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.

专题09 一元二次函数的三种表示方式(解析版)

专题09 一元二次函数的三种表示方式一、知识点精讲通过上一小节的学习，我们知道，一元二次函数可以表示成以下三种形式：1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数．当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有ax2＋bx＋c＝0．①并且方程①的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b2－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b2－4ac 存在下列关系：（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成立．（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立．（3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x 轴没有交点，则Δ＜0也成立．于是，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以x1＋x2＝ba-，x1x2＝ca，即ba＝－(x1＋x2)，ca＝x1x2．所以，y＝ax2＋bx＋c＝a(2b cx xa a++)= a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2]＝a(x－x1) (x－x2)．由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)．这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3．交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．二、典例精析【典例1】已知某一元二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），求该一元二次函数的解析式．【答案】见解析【分析】：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a ．【解析】∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，∴顶点的纵坐标为2．又顶点在直线y ＝x ＋1上，所以，2＝x ＋1，∴x ＝1．∴顶点坐标是（1，2）．设该二次函数的解析式为2(1)2(0)y a x a =-+<，∵二次函数的图像经过点（3，－1），∴21(31)2a -=-+，解得a ＝－34． ∴二次函数的解析式为23(1)24y x =--+，即y ＝－34x 2＋32x+54．【说明】：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．【典例2】已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x 轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．【答案】见解析【分析一】：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x 轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．【解析一】：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴可设二次函数为y ＝a (x ＋3) (x －1) (a ≠0)，展开得 y ＝ax 2＋2ax －3a ，顶点的纵坐标为 2212444a a a a--=-，由于二次函数图象的顶点到x 轴的距离2，∴|－4a |＝2，即a ＝12±．所以，二次函数的表达式为y ＝21322x x +-，或y ＝－21322x x -+．【分析二】：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x ＝－1，又由顶点到x 轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式．【解析二】：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴对称轴为直线x ＝－1．又顶点到x 轴的距离为2，∴顶点的纵坐标为2，或－2．于是可设二次函数为y ＝a (x ＋1)2＋2，或y ＝a (x ＋1)2－2，由于函数图象过点(1，0)，∴0＝a (1＋1)2＋2，或0＝a (1＋1)2－2．∴a ＝－12，或a ＝12．所以，所求的二次函数为y ＝－12(x ＋1)2＋2，或y ＝12(x ＋1)2－2．【说明】：上述两种解法分别从与x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．【典例3】已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．【答案】见解析【解析】设该二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得22,8,842,a b c c a b c -=-+⎧⎪-=⎨⎪=++⎩解得 a ＝－2，b ＝12，c ＝－8．所以，所求的二次函数为y ＝－2x 2＋12x －8．【说明】通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？三、对点精练1．选择题:（1）函数y ＝－x 2＋x －1图象与x 轴的交点个数是（）（A ）0个（B ）1个（C ）2个（D ）无法确定【答案】A【解析】214(1)(1)30=-⨯-⨯-=-<，∴函数y ＝－x2＋x －1图象与x 轴的交点个数是0个。

一元二次方程和一元二次函数的关系

一元二次方程和一元二次函数的关系
一元二次方程和一元二次函数有着密切的关系。

一元二次方程是
表示形式为ax²+bx+c=0的方程，其中a,b,c为已知常数，x为未知数。

而一元二次函数是表示形式为y=ax²+bx+c的函数，其中a,b,c为已
知常数，x为自变量，y为因变量。

可以发现，一元二次方程的解就是
一元二次函数的零点，即函数图像与x轴的交点。

反之，一元二次函
数的图像在x轴处的交点就是一元二次方程的解。

因此，解一元二次
方程可以帮助我们找到一元二次函数的零点，而对一元二次函数进行
分析可以帮助我们求解一元二次方程。

一元二次函数性质

例：求函数y=2X2+4X+3在区间［-3,5］的值域。
2对称轴在区间外，根据函数性求解。
例：求函数y=-X2+2X+4在区间［2,4］上的最小值。
6.含有参数的二次函数问题
(1)动轴定区间
例：当0≤x≤2时，函数f(x)= 在X=2时取得最大值，求a的取值范围。
(2)定轴动区间
例：已知函数y= ,在0≤x≤m时，有最大值3，最小值2，求实数m的取值范围。
△<0，图像与X轴没有交点：
4.Hale Waihona Puke 次函数的基本形式（1）一般式：
（2）.顶点式：y=a(x-h)2+k（a，h，k为常数，a ）；
(3)两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a ，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
一元二次函数与一元二次方程（一）
一、一元二次函数
1.定义：一般地，形如（abc均是常数）的函数，叫做二次函数。在无特殊规定时，定义域为全体实数R。
2.图像与性质
a>0
a<0
开口方向
对称轴
顶点
最值
单调性
3.函数与X轴的交点个数
判别式 b2-4ac
△>0,图像与X轴有2个交点
△=0，图像与X轴有1交点
5.二次函数最值的求解
（1）配方法：配方法最主要的目的就是将一个一元二次方程式或多式化为一个一次式的完全平方，以便简化计算。
函数改写为顶点式y=a(x-h)2+k，其中k为函数的最大（a<0）最小值（a>0）.

一元二次函数解法

一元二次函数解法
一元二次函数解法是解决二次函数的根的方法。

一元二次函数的形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为已知数，x为未知数，y为函数值。

为了求出该函数的根，我们可以采用以下解法：
1.配方法：当a不为0时，可以采用配方法将一元二次函数化为完全平方形式，再利用求根公式求出函数的根。

2.因式分解法：当函数的系数a、b、c均为整数时，可以采用因式分解法将函数化简，再利用零点定理求出函数的根。

3.求根公式法：当函数无法化简时，可以直接利用求根公式求出函数的根。

求根公式为：x1,2=(-b±√b-4ac)/2a。

4.图像法：当函数的系数a、b、c无法确定时，可以采用图像法观察函数的图像，根据图像的性质推断函数的根。

以上是一元二次函数的几种解法，具体应用时需要根据实际情况选择合适的方法。

- 1 -。

二次函数及一元二次不等式

一、一元二次函数及一元二次不等式一、二次函数1．函数)0(2≠++=a c bx ax y 叫做一元二次函数。

2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。

3．任何一个二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 都可把它的解析式配方为顶点式：ab ac ab x a y 44)2(22-++=，性质如下：（1）图象的顶点坐标为)44,2(2ab ac ab --，对称轴是直线ab x 2-=。

（2）最大（小）值① 当0>a ，函数图象开口向上，y 有最小值，a b ac y 442min -=，无最大值。

② 当0<a ，函数图象开口向下，y 有最大值，ab ac y 442max -=，无最小值。

（3）当0>a ，函数在区间)2,(ab --∞上是减函数，在),2(+∞-ab上是增函数。

当0<a ，函数在区间上),2(+∞-a b 是减函数，在)2,(ab --∞上是增函数。

【例1】求作函数64212++=x x y 的图象【解】 )128(21642122++=++=x x x x y【练习1】（1）求作函数362++=x x y 的图象。

（2）求作函数342+--=x x y 的图像【解】)34(3422-+-=+--=x x x x y 7)2[(]7)2[(22++-=-+-=x x （二）一元二次函数性质【例2】求函数962++=x x y 的最小值及图象的对称轴和顶点坐标，并求它的单调区间。

【解】 7)3(79626222-+=-++=++=x x x x x y 由配方结果可知：顶点坐标为)73(--，，对称轴为3-=x ； 01> ∴当3-=x 时， 7min -=y 函数在区间]3(--∞，上是减函数，在区间)3[∞+-，上是增函数。

【练习2】求函数1352++-=x x y 图象的顶点坐标、对称轴、最值及它的单调区间。

103)5(232=-⨯-=-ab ，2029)5(431)5(44422=-⨯-⨯-⨯=-ab ac∴函数图象的顶点坐标为)2029,103(，对称轴为2029=x05<- ∴当103=x 时，函数取得最大值2029=maz y函数在区间]103,(-∞上是增函数，在区间),3[+∞-上是减函数。

一元二次函数及应用

第三节
一元二次函数及应用
思考：小张家在农村，他建一个矩形养猪场，现已备足可以砌20m长砖墙的材料，如何设计，才能使得猪场的面积最大呢？这些实际生活中的问题就需要数学知识来加以解决，在解决此问题前我们首先学习一元二次函数的性质。。
一、一元二次函数的性质
给定a、b、c⋲R,且a≠0,把函数 y=ax²+bx+c叫做一元二次函数，它的定义域是实数集R，图像是一条抛物线。一元二次函数y=ax²+bx+c具有如下的性质： b （1）图像具有对称轴x= − 2a b ，4ac−b2 （2）图像的顶点坐标（− ） 2a 4a
下面我们来帮助小张解决猪圈的设计方案. 设矩形的长为xm，则宽为0.5（20-2x） (m),得矩形的面积为 S=x（10-x）=-x²+10x （0<x<10）因为a=-1<0，因此函数有最大值。将 a=-1,b=10，c=0代入公式，得到矩形的边长等于5m的正方形时，其面积最大达到25㎡.
课堂巩固
解下列一元二次不等式：解下列一元二次不等式：
（1）x²-x-6≥0；（2）-x²+4x-4>0; （3）x²+6x-7<0; （4）x²-x-12≥0.
三、区间
设a、b是两个实数，而且a<b: （1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭闭区间，表示为[a、b]；区间（2）满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区开区间，表示为（a、b）；（3）满足不等式a<x≤b的实数x的集合叫做半半开半闭区间，表示为（a、b]；开半闭区间（4）满足不等式a≤x<b的实数x的集合叫做半半闭半开区间，表示为[a、b)。闭半开区间这里的实数a与b叫做相应区间的端点相应区间的端点。相应区间的端点

一元二次函数定点式-解释说明

一元二次函数定点式-概述说明以及解释1.引言1.1 概述一元二次函数是数学中常见且重要的函数类型之一，其定义为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c 是实数常数且a 不等于零。

一元二次函数的图像呈现出特定的形状，通常为一个开口朝上或朝下的抛物线。

在本文中，我们将重点研究一元二次函数的定点式及其含义。

定点式是一种表示函数图像上顶点坐标的方式，它提供了关于函数最高或最低点的关键信息。

通过研究函数的定点式，我们可以更深入地理解一元二次函数的性质和变化规律。

本文旨在通过对一元二次函数定点式的探讨，让读者对这一函数类型有更全面的了解，并认识到定点式在函数分析和解题过程中的重要性。

同时，我们还将展望定点式的应用领域，探索更多与一元二次函数定点式相关的实际问题，并寻找使用定点式解决这些问题的可能性。

在下一节中，我们将首先介绍一元二次函数的定义，为后续讨论奠定基础。

1.2文章结构文章结构是指文章的组织结构和框架，它决定了文章内容的组织方式和展示顺序。

一个良好的文章结构能够帮助读者更好地理解文章主题，并且使文章更加连贯和有条理。

下面将介绍关于一元二次函数定点式的文章结构打算。

在本文中，文章的结构主要分为三个部分：引言、正文和结论。

引言部分（Chapter 1）是文章的开篇，目的是引导读者进入主题，并介绍文章的背景和意义。

具体包括以下几个方面的内容：1.1 概述：介绍一元二次函数的基本概念和定义，简要说明一元二次函数在数学中的重要性。

1.2 文章结构：详细说明本文的组织结构和框架，引导读者了解文章的整体布局和内容安排。

1.3 目的：明确本文的写作目的和研究问题，阐述对一元二次函数定点式的探索和分析。

1.4 总结：对引言部分进行总结，承接下文，为读者带来连贯的阅读体验。

正文部分（Chapter 2）是文章的核心部分，通过对一元二次函数定点式的定义、图像特点和含义进行详细解析，以展现该主题的全面性和深度。

具体包括以下几个方面的内容：2.1 一元二次函数的定义：介绍一元二次函数的基本形式和表达式，解释其在数学中的重要性和应用。

一元二次函数标准形式

一元二次函数的标准形式是指一元二次函数的通式，即：
y=ax^2+bx+c
其中，a、b、c是常数，x是一元二次函数的自变量。

一元二次函数的标准形式可以表示各种不同的一元二次函数，只要给定不同的常数a、b、c，就可以得到不同的一元二次函数。

例如，当a=1、b=2、c=3时，一元二次函数的标准形式就可以表示为y=x^2+2x+3。

在使用一元二次函数的标准形式表示函数时，我们需要注意几点：
1.当a=0时，一元二次函数就变成了一元一次函数。

2.当a=0、b=0时，一元二次函数就变成了常数函数。

3.当a=0、c=0时，一元二次函数就变成了一元一次函数。

4.当a>0时，一元二次函数为二次凹函数，函数图像的开口向上，且函数的最小值
为：f(x)=c-b^2/(4a)。

当a<0时，一元二次函数为二次凸函数，函数图像的开口向下，且函数的最大值为：f(x)=c-b^2/(4a)。

一元二次函数的标准形式在数学中有着广泛的应用，可以用来描述各种不同的物理现象和经济过程。

例如，可以用一元二次函数来描述自由落体运动的位移与时间的关系，或者用一元二次函数来描述消费者的收入与消费水平的关系等。

专题09 一元二次函数的三种表示方式(解析版)

专题09 一元二次函数的三种表示方式一、知识点精讲通过上一小节的学习，我们知道，一元二次函数可以表示成以下三种形式：1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数．当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有ax2＋bx＋c＝0．①并且方程①的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b2－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b2－4ac 存在下列关系：（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成立．（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立．（3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x 轴没有交点，则Δ＜0也成立．于是，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以x1＋x2＝ba-，x1x2＝ca，即ba＝－(x1＋x2)，ca＝x1x2．所以，y＝ax2＋bx＋c＝a(2b cx xa a++)= a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2]＝a(x－x1) (x－x2)．由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)．这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3．交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．二、典例精析【典例1】已知某一元二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），求该一元二次函数的解析式．【答案】见解析【分析】：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a ．【解析】∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，∴顶点的纵坐标为2．又顶点在直线y ＝x ＋1上，所以，2＝x ＋1，∴x ＝1．∴顶点坐标是（1，2）．设该二次函数的解析式为2(1)2(0)y a x a =-+<，∵二次函数的图像经过点（3，－1），∴21(31)2a -=-+，解得a ＝－34． ∴二次函数的解析式为23(1)24y x =--+，即y ＝－34x 2＋32x+54．【说明】：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．【典例2】已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x 轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．【答案】见解析【分析一】：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x 轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．【解析一】：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴可设二次函数为y ＝a (x ＋3) (x －1) (a ≠0)，展开得 y ＝ax 2＋2ax －3a ，顶点的纵坐标为 2212444a a a a--=-，由于二次函数图象的顶点到x 轴的距离2，∴|－4a |＝2，即a ＝12±．所以，二次函数的表达式为y ＝21322x x +-，或y ＝－21322x x -+．【分析二】：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x ＝－1，又由顶点到x 轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式．【解析二】：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴对称轴为直线x ＝－1．又顶点到x 轴的距离为2，∴顶点的纵坐标为2，或－2．于是可设二次函数为y ＝a (x ＋1)2＋2，或y ＝a (x ＋1)2－2，由于函数图象过点(1，0)，∴0＝a (1＋1)2＋2，或0＝a (1＋1)2－2．∴a ＝－12，或a ＝12．所以，所求的二次函数为y ＝－12(x ＋1)2＋2，或y ＝12(x ＋1)2－2．【说明】：上述两种解法分别从与x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．【典例3】已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．【答案】见解析【解析】设该二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得22,8,842,a b c c a b c -=-+⎧⎪-=⎨⎪=++⎩解得 a ＝－2，b ＝12，c ＝－8．所以，所求的二次函数为y ＝－2x 2＋12x －8．【说明】通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？三、对点精练1．选择题:（1）函数y ＝－x 2＋x －1图象与x 轴的交点个数是（）（A ）0个（B ）1个（C ）2个（D ）无法确定【答案】A【解析】214(1)(1)30=-⨯-⨯-=-<，∴函数y ＝－x2＋x －1图象与x 轴的交点个数是0个。

一元二次函数知识点(详细)

一元二次函数知识点1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的一元二次函数.2.二次函数2ax y =的性质(1)抛物线2ax y =）（0≠a 的顶点是原点，对称轴是y 轴. (2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系：①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线.4.二次函数cbx axy ++=2用配方法可化成：()kh x a y +-=2的形式，其中abac k ab h 4422-=-=，.5.抛物线c bx ax y ++=2的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a 决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 越小，抛物线的开口越大，a 越大，抛物线的开口越小。

②对称轴为平行于y 轴(或重合)的直线，记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .③定点是抛物线的最值点[最大值(0<a 时)或最小值(0>a 时)]，坐标为(h ,k )。

6.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=.(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是h x =.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相等的两个点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★ 7.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用(1)a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.(2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线ab x 2-=,故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b 时,对称轴在y 轴左侧；③0<ab时,对称轴在y轴右侧.(3)c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点(0，c )： ① 0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则0<ab .8. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.9.用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.(2)顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. (3)交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=.10.直线与抛物线的交点（或称二次函数与一次函数关系） (1)y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(c ,0)(2)与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).(3)抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程 02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点(顶点在x 轴上)⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. (4)平行于x 轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.而根的存在情况仍如(3)一样由根的判别式判定。

一元二次方程和一元二次函数的关系

一元二次方程和一元二次函数的关系
一元二次方程和一元二次函数有着密切的关系。

一元二次方程的一般形式是ax+bx+c=0，其中a、b、c为常数，x为未知数。

而一元二次函数的一般形式是y=ax+bx+c，其中a、b、c为常数，x为自变量，y为因变量。

可以发现，一元二次函数的方程形式与一元二次方程的形式非常相似，只是将未知数x换成了因变量y。

通过解一元二次方程，可以得到其对应的一元二次函数的图像的特征。

当方程有解时，一元二次函数的图像与x轴有两个交点，即存在两个实数解。

当方程没有实数解时，一元二次函数的图像与x轴没有交点，但是在复数域上有两个解。

此外，一元二次方程的系数a也能反映出一元二次函数的开口方向。

如果a>0，则函数图像开口向上；如果a<0，则函数图像开口向下。

这也可以通过求一元二次函数的导数来得到。

因此，一元二次方程和一元二次函数之间的关系是十分紧密的，二者可以互相转化，通过解方程可以得到函数的图像特征，通过函数的系数可以得到方程的解的情况。

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九年级一元二次函数知识点

九年级一元二次函数知识点一元二次函数是九年级数学学习的重要内容之一。

它在解决实际问题中具有广泛的应用。

本文将从基本概念、图像与性质、解析式与判别式以及实际问题等方面，深入探讨九年级一元二次函数的相关知识点。

首先，我们来了解一元二次函数的基本概念。

一元二次函数是指形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为实数且a≠0。

其中，a决定抛物线的开口方向，正值使抛物线开口向上，负值则开口向下；b决定抛物线的位置，正值使抛物线向左平移，负值则向右平移；c为常数项，决定抛物线与y轴的交点。

接下来，我们来探讨一元二次函数的图像与性质。

一元二次函数的图像是一条抛物线。

当a>0时，抛物线开口向上，最低点称为顶点；当a<0时，抛物线开口向下，最高点称为顶点。

顶点的横坐标为x = -b/2a，纵坐标为f(-b/2a)。

抛物线在顶点对称，对称轴为x = -b/2a。

解析式与判别式是解一元二次方程的关键。

给定一元二次方程ax² + bx + c = 0，其中a、b、c是已知实数且a≠0。

一元二次函数的解析式为x = (-b±√(b²-4ac))/2a。

判别式Δ = b²-4ac，它可以判断一元二次方程的解的性质。

当Δ>0时，方程有两个不相等实数解；当Δ=0时，方程有两个相等实数解；当Δ<0时，方程没有实数解，但有两个共轭复数解。

最后，我们来看一元二次函数在实际问题中的应用。

一元二次函数的应用非常广泛，例如在物理学、经济学和几何学等领域。

以抛物线的运动轨迹为例，当一个物体被抛出时，其轨迹可以用一元二次函数来描述。

在经济学中，一元二次函数可以用来分析企业的成本、收益和利润等情况。

在几何学中，一元二次函数可以用来求解问题，如确定两个点之间的最短距离。

总结起来，九年级一元二次函数是一个非常重要的数学知识点。

它不仅在解决实际问题中具有广泛的应用，而且通过学习一元二次函数的基本概念、图像与性质、解析式与判别式以及实际问题等内容，可以帮助学生加深对数学的理解，并提高解决问题的能力。

一元二次函数及其图像

04
求零点问题：利用二次函数求解方程的零点问题
平移
平移的概念：将函数图像沿x 轴或y轴移动一定距离
平移的方法：确定平移的方向和距离，然后对函数解析式进行相应的变换
平移的性质：平移不改变函数的形状，只改变函数的位置
平移的应用：解决实际问题中函数图像的平移问题
伸缩
01
02
03
04
旋转
05
一元二次函数的单调性由a的值决定：当a>0 时，函数在x轴上方的单调递增；当a<0时，函数在x轴下方的单调递减。
特殊类型
01
抛物线： y=ax^2+bx+c，其中a≠0
02
双曲线： y=ax^2+bx+c，其中a=0
03
直线：y=bx+c，其中a=0，b≠0
04
常数函数：y=c，其中a=b=0
对称性：中心对称、轴对称、原点对称等
2
渐近线：与x轴、y轴的交点、斜率等
5
开口方向：向上、向下、向左、向右等
3
截距：与x轴、y轴的交点、截距值等
6
101
标准形式
一元二次函数的一般形式： ax^2 + bx
+c=0
标准形式：y = ax^2 +
bx + c
其中，a、b、 c为常数，a
≠0
当a > 0时，图像为向上开
口的抛物线
当a < 0时，图像为向下开
口的抛物线
b^2 - 4ac决定了图像的开口方向和大小
顶点式
01
02
一元二次函数的顶点式：y=a(xh)^2+k

一元二次方程五大解法

一元二次方程五大解法
1、直接开平方法。

对于直接开平方法解一元二次方程时注意一般都有两个解，不要漏解，如果是两个相等的解，也要写成x1=x2=a的形式，其他的都是比较简单。

2、配方法。

在化成直接开平方法求解的时候需要检验方程右边是否是非负的，如果是则利用直接开平方法求解即可，如果不是，原方程就没有实数解。

3、公式法。

公式法是解一元二次方程的根本方法，没有使用条件，因此是必须掌握的。

用公式法的注意事项只有一个就是判断“△”的取值范围，只有当△≥0时，一元二次方程才有实数解。

4、因式分解法。

因式分解，在初二下学期的时候重点讲了，之前也有相关的文章，重要性毋庸置疑，在一元二次方程里，因式分解法用的还是挺多的，难度非常容易调节。

5、图像解法。

一元二次方程ax2+bx+c=0的根的几何意义是二次函数y=ax2+bx+c的图像（为一条抛物线）与x轴交点的x坐标。

当△＞0时，则该函数与x轴相交（有两个交点）。

当△=0时，则该函数与x轴相切（有且仅有一个交点）。

当△＜0时，则该函数与轴x相离（没有交点）。

一元二次方程的判别式。

利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）可以判断方程的根的情况。

一元二次方程ax+bx+c=0（a不等于0）的根与根的判别式有如下关系：△=b2-4ac。

①当△>0时，方程有两个不相等的实数根。

②当△=0时，方程有两个相等的实数根。

③当△<0时，方程无实数根，但有2个共轭复根。