21.3.1二次函数与一元二次方程的关系

2 3
.
(3) y=x2-2x+3 解： x2-2x+3=0
a=1 , b=-2 , c=3 Δ =（-2）2-4×1×3<0 此方程无解，所以，抛物线 y=x2-2x+3与x轴没有交点.
三 利用二次函数求一元二次方程的近似解 用图象法求一元二次方程x2+2x-1=0的解（精确到0.1）.
分析：一元二次方程 x²+2x-1=0 的根就是抛物线 y=x²+2x-1 与x 轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从 图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法 叫作图象法.
分别说出一元二次方程 x2 6x 9 0 和 x2 2x 2 0 的根的情
况.
y x2 6x 9
y x2 2x 2
二次函数y ax2 bx c 与x轴的交点的个数
一元二次方程 ax2 bx c 0 的实数根的个数
对于二次函数y=ax2+bx+c(a 0),当y=0时,函数即可化为一元二次 方程ax2 +bx+c=0,这时方程的根就是抛物线与x轴交点的横坐标.
1 y x2 x 2
2 y 9x2 12x 4
解：它与x轴有交点，则y=0
解：它与x轴有交点，则 y=0
x2 x 2 0
9x2 12x 4 0
解这个方程(x－2)(x+1)= 0 ∴ x1=2, x2=－1
∴ x1= x2=
2 3
∴抛物线与x轴交点的横坐标分别 为2,－1.
∴ 与x轴交点的横坐标为
状元成才路
一元一次方程kx+b=0的解.
21.3 二次函数与一元二次方程
第1课时 二次函数与一元二次方程
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联 系；（重点）
2.会用二次函数图象求一元二次方程的近似解； （重 点）
3.通过研究二次函数与一元二次方程的联系体会数形 结合思想的应用.（难点）
二次函数y ax2 bx c 与x轴的交点横坐标x1，x2
二次函数y ax2 bx c 与x轴的交点的个数
一元二次方程 ax2 bx c 0
一元二次方程 ax2 bx c 0 的实数根x1, x2 一元二次方程 ax2 bx c 0 的实数根的个数
练一练
1. 不画图象，你能说出函数 y x2 x 6 的
回顾旧知
由一次函状元成才数路 y=2x-3的图象可知：
它与x轴的交点坐标是( 3 ，0 )，
2
即当x=
3 2
时，y=0
y=2x-3
即x= 3 是一元一次方程 2x-3=20的根。
二次函数与一
一次函数y=kx+b当函数值y=0时对元应二的x次值就方是程一之元
一次方程kx+b=0的解
间有什么联系？
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为
一 一元二次方程根与二次函数图象的关系
写出二次函数 y x2 2x 3 的顶点坐标,对称轴,并
画出它的图象.
x… y…
-2 -1 0 5 0 -3
12 -4 -3
(1,-4)
34 … 05…
思考一
N
当x为何值时, y=0?
M
x=-1或 x=3
x2 2x 3 0
x1 1, x2 3.
归纳 二次函数y ax2 bx c 函数值y 0时
当堂练习
用图象法求一元二次方程 x2 x 1 0 的解的近似值
（精确到0.1）.
解：画出x2+x-1=0的图象，
如图所示，由图象知，方程由两
个根，一个在-2和-1之间，另一
个在0到1之间. 通过估算，可得到抛物线与x轴
交点的横坐标大约为-1.6和0.6.即
一元二次方程的实数根为x1≈-1.6 ，x2≈0.6.
解：画出函数 y=x²+2x-1 的图象（如下图），由图象 可知，方程有两个实数根，一个在-3与-2之间,另一个 在0与1之间.
先求位于-3到-2之间的根，由图象可估计这个根是-2.4 或-2.5，利用计算器进行探索，见下表：
x
…
-2.5
-2.4
…
y
… 0.25 -0.04 …
观察上表可以发现，当x分别取-2.5和-2.4时，对应的y由正变 负，可见在-2.5与-2.4之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2+2x-1 的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取x=-2.4或x=-2.5都符 合要求.但当x=-2.4时更为接近0.故x1≈-2.4.
3.小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图，则
关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是( D )
A．无解 B．x＝1 C．x＝－4 D．x＝－1或x＝4
二 一元二次方程根与二次函数图象与X轴交点的关系
观察二次函数 y x2 6x 9 的图象和二次函数 y x2 2x 2 的
图象,它们与X轴交点的个数
y=ax2+bx+c的
方程
图象和x轴交 ax2+bx+c=0的
点
根
b2-4ac
函数的图象
有两个交点 方程有两个不
相等的实数根
b2-4ac>0
y .o . x
只有一个交 点
方程有两个相 等的实数根
b2-4ac=0
y o
x
没有交点 方程没有实数 b2-4ac<0 y
根
o
x
当堂练习
1.求下列抛物线与x轴的交点的横坐标：
同理可得另一近似值为.
方法归纳
一元二次方程的图象解法
利用二次函数的图象求一元二次方程ax2+bx+c=0的近似 根. (1)用描点法作二次函数 y=ax2+bx+c的图象；
(2)观察估计二次函数 y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的 横坐标的大致取值范围；
(3)确定方程 y=ax2+bx+c的解;利用逼近法求近似解
图象与 x 轴的交点坐标吗？
解：当y=0时，x2 x 6 0
解得 x1 3, x2 ห้องสมุดไป่ตู้2.
所以,函数 y x2 x 6 的图象与 x 轴的交点
坐标为（-3，0）和（2，0）.
2.抛物线y＝－3(x－2)(x＋5)与x轴的交点坐标为_(_2_,_0)，_ (-_5_,．0) 一元二次方程－3(x－2)(x＋5)＝0的 解为__X_1_=_2__，_．X2=-5
拓展：利用图像法求解一元二次方程的根还 有没有其他解决方法？如：方程x²+2x-1=0
解：方程x²+2x-1=0， 变形可得：x²=-2x+1 令函数y=x2和y=-2x+1，画出两个函数 图像如右图所示 函数y=x2和y=-2x+1交于A、B两点，这 两点的横坐标就是我们要求的根. 利用逼近法求解近似值