21.3.1二次函数与一元二次方程的关系
(完整版)初中二次函数知识点汇总(史上最全)
二次函数知识点一、基本概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c=++（a b ca≠）的函数，叫做二次函数。
，，是常数，0这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y axa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c=+的性质：（上加下减）3. ()2y a x h =-的性质：（左加右减）4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法1：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法2：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y axbx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
人教版九年级数学上册21.3.1《一元二次方程的根与系数的关系》说课稿
人教版九年级数学上册21.3.1《一元二次方程的根与系数的关系》说课稿一. 教材分析《一元二次方程的根与系数的关系》是人教版九年级数学上册第21章第3节的内容。
本节课的主要内容是引导学生探究一元二次方程的根与系数之间的关系，让学生通过观察、分析、归纳等数学活动，发现并掌握一元二次方程的根与系数之间的内在联系。
为学生提供了进一步研究一元二次方程的机会，培养了学生的抽象思维能力和数学素养。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了一元二次方程的解法和因式分解的方法，具备了一定的数学思维能力。
但部分学生对于一元二次方程的根与系数之间的关系可能存在理解上的困难，因此，在教学过程中，需要关注这部分学生的学习情况，引导他们积极参与课堂活动，提高他们的数学素养。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握一元二次方程的根与系数之间的关系，能运用这一关系式解决一些实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等数学活动，培养学生的抽象思维能力和数学素养。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，体验数学的乐趣，培养学生的团队协作能力和自主学习能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.教学难点：如何引导学生发现并掌握一元二次方程的根与系数之间的关系。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用引导发现法、讨论法、归纳法等教学方法，引导学生主动探究，发现并掌握一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等教学手段，为学生提供丰富的学习资源，提高课堂教学效果。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习一元二次方程的解法和因式分解的方法，引出本节课的内容，激发学生的学习兴趣。
2.探究活动：让学生分组进行探究，观察、分析、归纳一元二次方程的根与系数之间的关系。
教师巡回指导，帮助学生解决问题。
3.成果展示：让学生代表汇报探究成果，其他学生进行评价、补充。
21.3.1二次函数与一元二次方程的关系
）， B（ X2，0 ）
思考：函数y＝x2-6x+9和y＝x2-2x+3与x轴的交点坐 标是什么？试试看！
想一想： 观察下列图象，分别说出一元二次方程x2-6x+9=0和x22x+3=0的根的情况.
y x2 6x 9 y 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x -1 -2 -3
那么，二次函数和一元二次方程又有什么关 系呢？
想一想：
如何求二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴的交点坐标 呢？
设y=0, 得到一个一元二次方程 x2-2x-3=0，
解得 x1=3,x2=-1,
所以与x轴的交点坐标是（3，0），（-1，0).
观察y=x2-2x-3的图象与x轴的交点坐标
y 4 3 2
利用下列条件估计一元二次方程x2+2x-10=0的 根（精确到0.1）
x y=x2+2x-10 -4.1 -1.39 -4.2 -0.76 -4.3 -0.11 -4.4 0.56
x y=x2+2x-10
2.1 -1.39
2.2 -0.76
2.3 -0.11
2.4 0.56
例题精讲 2. 判断下列二次函数图象与x轴的交点情况 （1）y＝x2－1； （2）y＝－2x2＋3x－9； （3）y＝x2－4x＋4； （4）y＝－ax2＋（a＋b）x－b（a、b为常数， a≠0）
抛物线与X 轴的交点个数能不能用一元二次方 程的知识来说明呢？ Y
b2-4ac＜0
b2-4ac=0
b2-4ac>0
O
X
归纳： 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一
沪科版数学九年级上册21.3 第2课时 二次函数与一元二次不等式教学课件
拓广探索：
函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么 方程ax2+bx+c=2的根是 _x_1_=_-_2_，__x_2_=_4___; 不等式ax2+bx+c>2的解集是_x_<_-2_或__x_>__4__; 不等式ax2+bx+c<2的解集是_-_2_<_x_<_4___y.
(-2,2)
2
-1 O
(4,2) 3x
问题2：如果不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的解集是x≠2
的一切实数，那么函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有
_1___ 个交点，坐标是_(_2_,0_)__.方程ax2+bx+c=0的根是
_x_=_2___.
y
O
2
x
问题3：如果方程ax2+bx+c=0 （a≠0）没有实数根， 那么函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有___0___个交点； 不等式ax2+bx+c<0的解集是多少？ 解：(1)当a>0时, ax2+bx+c<0无解；
解：根据题目提供的条件，画出草图：
y
ax2 bx＞kx
ax2 bx＞kx 2
x＞3
x＜0
O
3x
ax2 bx＜kx
0＜x＜3
由图可知，不等式 ax2 bx＞kx 的解集为
x＞3或 x＜0 .
方法归纳
不等式 ax2 bx c＞mx n 的解集是二次函数
y ax2 bx c 的图象在直线 y mx n上方的点的
21.3《二次函数与一元二次方程第1课时》教案
21.3二次函数与一元二次方程
第1课时
一、教学目标
1.理解二次函数图象与X轴交点的横坐标与一元二次方程的根之间的联系.
2 .经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，渗透数形结合的思想方法.
3 .通过共同探究的方式，培养学生的合作交流意识，以及观察问题和解决问题的能力.
4 .在探索二次函数与一元二次方程的关系的过程中，让学生感受数学知识之间的内在联系，认识到事物之间的联系与转化.
二、教学重难点
重点：理解二次函数图象与X轴交点的横坐标就是一元二次方程的根难点：探索二次函数与一元二次方程之间的关系.
三、教学用具
多媒体课件
四、教学过程设计
函数值等于O时自变量X的一个值，即二次函数的图象与X轴一个交点的横坐标.
即：
二次函败「必7丫，2, 二一元二次方程>J3x+20,
：）。
时，图象与簿!有两个交点11Δ^40c>0,有两个不相等的实败根」
2 .如果函数值y等于-5又会怎样呢？
首先，在图象上画出直线产-5此时这条直线与二次函数的图象有一个交点（-T，-》；再求解其对应的一元二次方程f+3x+2=-；,得到方程的解是M=X2=
结合上边的分析及其图象，我们得到：
：二痴由y⅛r÷2,U -元二次方程H=/
:图粼与直线r4只有一个交点：：A='*=C,有两个相等的实数《1:
3 .如果函数值y等于-2,又会怎样呢？
同样，先在图象上画出直线产-2,此时这条直线与二次函数的图象无交点；再求解其对应的一元二次方程f+3x+2=-2,此方程无解.。
21.3二次函数与一元二次方程 教案
21.3二次函数与一元二次方程教学设计讲授新课题目：写出二次函数y=x2-2x-3的顶点坐标,对称轴，并画出它的图象.教师提示：通过列表法展示该二次函数的画图过程探究一提问：当x为何值时，y=0?展示列表与图像，启发学生思考图像与x轴的交点，同时y=0时，即是方程x2-2x-3=0的解。
学生用已学知识列表法独立解答，并积极踊跃发言，验证自己的解答结果是否正确。
学生观察图像与列表，思考老师的问题并回答。
通过题目引导学生探究二次函数与一元二次方程的关系，而学生对于简单的题目轻而易举即可解答，增加了自信心的同时，也不知不觉地进入了探究新知的环节。
通过循序渐进的提问与提示，引导学生一步步思考，一步步探索二次函数与一元二次方程的关系。
探究一【例】如图，说一说二次函数y=x2+3x+2的图像与x轴有几个交点？交点的横坐标与一元二次方程x2+3x+2=0的根有什么关系？引导并帮学生完善结论：总结：一般地，如果二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x轴有两个公共点(x1，0)、(x2，0 )那么一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根x=x1、x=x2 ,反之亦成立. 学生结合上一道习题的解答过程思考，小组讨论解答。
学生通过两道题目的解答，总结出二次函数与一元二次通过启发让学生意识到二次函数与x轴的交点与一元二次方程的根的关系，随即抛物例题让学生自主解答，进一步学习新知。
学生通过自己解答题目找出规律，并自主归纳总结，加深了对变式：变式：不画图象，你能说出函数y=x2+x-6的图象与 x 轴的交点坐标吗？方程的关系。
请一位学生上台解答展示解答过程，其他学生自主解答。
新知的理解，且能培养学生的归纳总结能力、发现规律的能力。
总结新知后及时巩固练习，帮助学生加深理解，增强运用新知解答问题的能力探究二探究二：观察二次函数y=x²-6x+9的图象和二次函数y=x²-2x+3的图象，分别说出一元二次方程x²-6x+9=0和x²-2x+3=0的根的情况.提问：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系?例：用图象法求一元二次方程x²+2x－1= 0 的近似解（精确到0.1）。
沪科版数学九年级上册21.3《二次函数与一元二次方程》教学设计3
沪科版数学九年级上册21.3《二次函数与一元二次方程》教学设计3一. 教材分析沪科版数学九年级上册21.3《二次函数与一元二次方程》是本册教材中的重要内容，它旨在让学生通过学习二次函数与一元二次方程的关系，掌握求解一元二次方程的方法，并能够运用二次函数的性质解决实际问题。
本节内容与前面的二次函数知识紧密相连，为后续的代数学习打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了二次函数的基本知识，对函数的图像和性质有一定的了解。
但学生在求解一元二次方程时，可能会对公式法和解根的判别式混淆。
因此，在教学过程中，需要引导学生明确两者之间的关系，并通过实例让学生体会二次函数与一元二次方程在实际问题中的应用。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够掌握一元二次方程的解法，理解二次函数与一元二次方程的关系，并能运用二次函数的性质解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过探究二次函数与一元二次方程的关系，培养学生的观察、分析、解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生勇于探索、积极思考的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程的解法，二次函数与一元二次方程的关系。
2.教学难点：二次函数与一元二次方程在实际问题中的应用。
五.说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法，引导学生主动探究、积极参与。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学工具，结合数学软件和网络资源，为学生提供丰富的学习资源。
六.说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引入二次函数与一元二次方程的关系，激发学生的学习兴趣。
2.讲解：讲解一元二次方程的解法，引导学生通过公式法和因式分解法求解一元二次方程。
3.探究：引导学生发现二次函数的图像与一元二次方程的解之间的关系，总结二次函数与一元二次方程的内在联系。
4.应用：通过实例，让学生运用二次函数的性质解决实际问题，体会数学在生活中的应用。
沪科版数学九年级上册21.3二次函数与一元二次方程 课件(共24张PPT)
21.3 二次函数与一元二次方程
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.理解二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解.3.了解用图象法求一元二次方程的近似根的方法.
二次函数图象、性质确定方程的解.
二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.
D
C
3.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点，∴k＝3;当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，∴Δ＝b2－4ac≥0.∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，∴－4k＋16≥0. ∴k≤4且k≠3.综上所述，k的取值范围是k≤4.
归纳小结
1.二次函数与一元二次方程的关系： 一般地，关于x的一元二次方程 的根，就是二次函数 的值为0时自变量x的值，也就是函数 的图像与x轴交点的横坐标.2.二次函数 与x轴交点个数的确定. 可有一元二次方程的根的判别式来表示判定二次函数图象与x轴的交点的情况，由根与系数的关系来解决相关问题.在函数问题中，往往需要解方程：反过来也可以利用函数图象解方程.
思 考： 如何利用二次函数求一元二次方程的近似解.例：求一元二次方程x2+2x-1=0的根的近似值（精确到 0.1）. 分析：一元二次方程x²+2x-1=0的根就是抛物线y=x²+2x-1与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
想一想：观察下列二次函数，图象与x轴有公共点吗? 如果有，公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少?由此你能得出相应的一元二次方程的根吗?(1) y＝x2＋x－2.(2)y＝x2－6x＋9.(3)y＝x2－x＋1.
沪科版-数学-九年级上册-21.3 二次函数与一元二次方程 课件
自变量的取值(范围) x＜x1或x＞x2 x＝x1或x＝x2 x1＜x＜x2 x1＜x＜x2 x＝x1或x＝x2 x＜x1或x＞x2
1 已知关于x的函数y＝(k－1)x2－2kx＋k＋2的图象与x轴 有公共点． (1)求k的取值范围． (2)若x1，x2是函数图象与x轴两个公共点的横坐标，且 满足(k－1)x12＋2kx2＋k＋2＝4x1x2. ①求k的值； ②当k≤x≤k＋2时，请结合函数图象确定y的最大值 和最小值．
n)，B(m＋6，n)，则 n＝__9__．
导引：∵抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴只有一个公共点，
∴当x b 时，y＝0，且b2－4c＝0，即b2＝4c.
2
又∵抛物线过点A(m，n)，B(m＋6，n)，点A，B关于直
线
xb 2
对称,∴
A
b 2
3,
n
,
B
b 2
3,
n
.
将A 点的坐标代入抛物线对应的函数表达式，得
21.3 二次函数与一元二次方程
第1课时 二次函数与一元二次 方程间的关系
1 课堂讲解 二次函数与一元二次方程之间的关系
抛物线与x轴的交点个数之间的关系
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
以前我们从一次函数的角度看一元一次方程， 认识了一次函数与一元一次方程的联系．本节 我们从二次函数的角度看一元二次方程，认识 二次函数与一元二次方程的联系．先来看下面 的问题．
(3)解：由(2)得y＝2x2－2x，其图象如图所示． ∵抛物线与x轴的两个公共点的坐标分别为 (0，0)，(1，0)， ∴当y＜0时，0＜x＜1； 当y＞0时，x＜0或x＞1.
总结
根据图象可直观地回答使得函数y的值大于、等于或小于零 时x的取值(范围)，具体如下表所述：
【学案】 二次函数与一元二次方程间的关系教案(完美版)
（1）求证：对于任意实数 ，抛物线与x轴总有公共点；
（2）若抛物线与x轴有两个公共点A、B且A点坐标为（1 ，0），求B点坐标．
21.3.1 二次函数与一元二次方程间的关系
教学思路
（纠错栏）
教学思路
（纠错栏）
教学思路
（纠错栏）
学习目标：
1.会求抛物线与坐标轴交点坐标，会结合函数图象求方程的根.
2.会用图象法求一元二次方程近似解，进一步提高综合解题能力．
3.提高估算能力，想象能力，巩固数形结合的思想方法．
学习重点：用图象法求一元二次方程的根，综合解题．
4.抛物线y=x2－4x-5与x轴的两个交点是
二、导读
阅读课本30页，并回答以下问题：
一元二次方程的根就是对应二次函数图象与x轴交点的横坐标，因此你可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根吗？
☆合作探究 ☆
1.用图象法求下列方程的解：
x2+3x+2=0
2.在用图象法求方程 （ ）的近似根时，得出下表：
与 轴有个交点
这个交点是点
0，
方程有的实数根
与 轴有个交点
0，
方程实数根.
☆ 达标检测 ☆
1.判断下列二次函数的图象与x轴有无交点，如有，求出交点坐标；如没有，
说明理由．
； ；
2.画出下列函数的图象，并求出当x为何值时，y=0？
（1）y=4x2+4x+1 (2)y=x2-4x+5
3.用图象法求方程x2-4x+1=0的近似解：（精确到0.1.3
0.2
0.8
你能确定这个一元二次方程一个根的范围吗？
☆ 归纳反思 ☆
一元二次方程 ，当 0时有实数根，这个实数根就是对应二次函数 当 =0时自变量 的值，这个值就是二次函数图象与x轴交点的．
21.3 二次函数与一元二次方程
出，4s时落回地面。
?
利用二次函数的图象求方程x2-x-3=0的实
数根（精确到0.1）. y
方法: (1)先作出图象;
(2)写出交点的坐标;
（-1.3、0）、（2.3、0）
x
(3)得出方程的解. 1
x =-1.3，x =2.3。
用你学过的一元二次方程的解法来解，
准确答案是什么？
?
小结：
本节课你有什么收获？
(1)证明 : 令y 0, 得2 x2 mx m2 0 (m)2 4 2 m2 9m2 0
不论m取何值, 抛物线与 x轴总有公共点 .
(2) A(1,0)在抛物线y 2x2 mx m2 上 0 2 12 m 1 m2 即m2 m 2 0, (m 2)(m 1) 0 m1 2, m2 1 B点坐标为(2,0)
?
问题1:如图,以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30度 角的方向击出时,球的飞行路线是一条抛物线,如果不考 虑空气阻力,球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系: h= 20 t – 5 t2
考虑下列问题:
(1)球的飞行高度能否达到 15 m? 若能,需要多少时间?
∵（-4）²-4*4.1＜0，
当球飞行1s和2s时， ∴方程无实数根
它的高度为15m。
（2）解方程
（4）解方程
20=20t-5t²
0=20t-5t²
t²-4t+4=0
t²-4t=0
t 1=
t
2
=2.
当球飞行2s时，
t1 =0， t2 =4. 当球飞行0s和4s时，
t
它的高度为20m。 它的高度为0m，即0s飞
沪科版九年级数学 21.3 二次函数与一元二次方程(学习、上课课件)
二次函数的图象与性质是解题关键．
感悟新知
知1－练
(1)若 m=－3，求该抛物线与 x 轴交点的坐标；
解：当 m=－3 时，抛物线为 y=x2+2x－3.
令 y=0，则 x2+2x－3=0，解得 x1=－3， x2=1，
∴该抛物线与 x 轴交点的坐标为( －3，0)和(1，0) .
线y=x2+2x+k 与 x 轴只有一个交点， 则
1 ．
k=_______
感悟新知
知识点 2
二次函数的图象与一元二次方程的近似解的关系
知2－讲
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴的公共点的横坐标
是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的解，因此可以借助二次函数的
图象求一元二次方程的解 .
知1－讲
二次函数
y＝ax2＋
bx＋c的
图象
a>0
a<0
抛物线与
(x1，0)，(x2，0)
x轴的交点ቆ－b没来自交点，0ቇ感悟新知
拓宽视野
知1－讲
已知二次函数y＝ax2 ＋bx＋c，求当y＝m时自变量x
的值，可以解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m；反之，解一
元二次方程ax2＋bx＋c＝m可以看成是已知y＝ax2＋bx＋c
c，并确定抛物线与直线的公共点的坐标；
(3)公共点的横坐标即为一元二次方程 ax2+bx+c=0 的解 .
感悟新知
知2－练
例2
[母题 教材 P34 习题 T4 ]利用二次函数的图象求一元
二次方程－x2＋2x－3＝－8的近似解(结果精确到0.1).
沪科版数学九年级上册21.3《二次函数与一元二次方程》教学设计2
沪科版数学九年级上册21.3《二次函数与一元二次方程》教学设计2一. 教材分析《二次函数与一元二次方程》是沪科版数学九年级上册第21.3节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了二次函数的图象与性质的基础上进行学习的，通过本节内容的学习，使学生能够进一步理解二次函数与一元二次方程之间的关系，能够运用二次函数的性质解决一些实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次函数的图象与性质有一定的了解。
但是，对于如何运用二次函数的性质来解决实际问题，学生的掌握情况参差不齐。
因此，在教学过程中，教师需要针对学生的实际情况，进行有针对性的教学。
三. 教学目标1.让学生理解二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.使学生能够运用二次函数的性质解决一些实际问题。
3.培养学生的数学思维能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.如何运用二次函数的性质解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法，引导学生通过自主学习、合作学习，探究二次函数与一元二次方程之间的关系，以及如何运用二次函数的性质解决实际问题。
六. 教学准备1.教案设计。
2.PPT制作。
3.练习题准备。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题，引导学生思考二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示二次函数与一元二次方程之间的关系，以及如何运用二次函数的性质解决实际问题。
3.操练（10分钟）教师引导学生进行练习，巩固所学知识。
4.巩固（10分钟）教师通过一些实际问题，让学生运用所学知识解决问题，进一步巩固所学内容。
5.拓展（10分钟）教师引导学生进行拓展学习，让学生了解二次函数与一元二次方程在实际生活中的应用。
6.小结（5分钟）教师对本节内容进行小结，使学生对所学内容有一个清晰的认识。
7.家庭作业（5分钟）教师布置一些练习题，让学生课后进行巩固练习。
8.板书（5分钟）教师对本节内容的板书设计，使学生能够直观地了解二次函数与一元二次方程之间的关系。
沪科版初中九年级上册数学教案 第21章 二次函数与反比例函数 21.3 二次函数与一元二次方程
21.3 二次函数与一元二次方程1.体会函数与方程之间的联系，初步体会利用函数图象研究方程问题的方法；2.理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根的函数图象特征.3.经历类比、观察、发现、归纳的探索过程，体会函数与方程相互转化的数学思想和数形结合的数学思想.4.培养学生类比与猜想、不完全归纳、认识到事物之间的联系与转化、体验探究的乐趣和学会用辨证的观点看问题的思维品质.【教学重点】经历“类比——观察——发现——归纳”而得出二次函数与一元二次方程的关系的探索过程.【教学难点】准确理解二次函数与一元二次方程的关系.一、情景导入，初步认知我们学习了一元一次方程kx＋b＝0(k≠0)和一次函数y＝kx＋b(k≠0)后，讨论了它们之间的关系.当一次函数中的函数值y＝0时，一次函数y＝kx＋b就转化成了一元一次方程kx＋b＝0，且一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx＋b＝0的解.现在我们学习了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，它们之间是否也存在一定的关系呢？本节课我们将探索有关问题.【教学说明】让学生通过对旧知识的回顾及对新知识的思考，梳理旧知识，起到承上启下之效，同时通过老师的引导，培养学生的形成解决一类问题的通用方法的思维品质.二、思考探究，获取新知1.观察二次函数y=x2+3x+2的图象，并回答下列问题.（1）每个图象与x轴有几个交点？（2）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点坐标与一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根有什么关系？【教学说明】引起学生的认知冲突，激发学生的求知欲望，大胆猜想，通过交流寻求解决类似问题的方法.【归纳结论】一元二次方程ax2+bx+c=0.当Δ≥0时有实数根，这个实数根就是对应二次函数y＝ax2＋bx＋c的值等于0时自变量x的一个值，即二次函数的图象与x轴一个交点的横坐标.2.用图象法求一元二次方程x2+2x-1=0近似解.（精确到0.1）由图象可知，方程有两个实数根，一个在-3和-2之间，另一个在0和1之间.先求位于-3和-2之间的根，由图象可估计这个根是-2.5或-2.4，利用计算器进行探索，见下表：观察上表可以发现，当x分别取-3和-2时，对应的y由正变负，可见在-3和-2之间肯定有一个x使y=0,即方程的一个根.题目要求精确到0.1,当x=-2.4时，y=-0.04比y=0.25更接近0，所以选x=-2.4.因此，方程x2+2x-1=0在-3和-2之间精确到0.1的根为x=-2.4.请仿照上面的方法，求出方程精确到0.1的另一个根.3.方程x2+2x-1=0的近似解还可以这样求：分别画出函数y=x2,y=-2x+1的图象，如图，它们交点A,B的横坐标就是方程x2+2x-1=0的根.【教学说明】引导学生讨论，交流，发表不同意见，并进行归纳.三、运用新知，深化理解1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（ B ）A.ac＞0B.方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3C.2a-b=0D.当x＞0时，y随x的增大而减小【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，与x轴、y轴的交点，逐一判断.解：A.∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，∴a＜0，c＞0，ac ＜0，故本选项错误；B.∵抛物线对称轴是x=1，与x轴交于（3，0），∴抛物线与x轴另一交点为（-1，0），即方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3，故本选项正确；C.∵抛物线对称轴为x=1，∴2a+b=0，故本选项错误；D.∵抛物线对称轴为x=1，开口向下，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，故本选项错误.故选B.2.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.6，x2=（ C ）A.-1.6B.3.2C.4.4D.以上都不对【分析】根据图象知道抛物线的对称轴为x=3，根据抛物线是轴对称图形和已知条件即可求出x2.解：由抛物线图象可知其对称轴为x=3，又抛物线是轴对称图象，∴抛物线与x轴的两个交点关于x=3对称，而关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1，x2，那么两根满足2×3=x1+x2，而x1=1.6，∴x2=4.4. 故选C.3.根据下列表格的对应值：判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ C ）A.8＜x＜9B.9＜x＜10C.10＜x＜11D.11＜x＜12【分析】根据表格知道8＜x＜12，y随x的增大而增大，而-0.38＜0＜1.2，由此即可推出方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围.解：依题意得当8＜x＜12，y随x的增大而增大，而-0.38＜0＜1.2，∴方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是10＜x＜11.故选C.【教学说明】学生独立完成3个小题，小组交流所做结果，练习巩固，加深理解.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:教材“习题21.3”中第2、4、8题.本节课主要是向学生渗透两种思想：函数与方程互相转化的思想；数形结合思想.三种题型：函数图象与x轴交点的横坐标、方程根的个数、函数图象的交点坐标.。
沪科版数学九年级上册21.3《二次函数与一元二次方程》教学设计
沪科版数学九年级上册21.3《二次函数与一元二次方程》教学设计一. 教材分析《二次函数与一元二次方程》是沪科版数学九年级上册第21.3节的内容。
本节内容是在学生已经学习了二次函数的图像和性质的基础上，进一步引导学生通过观察二次函数的图像，探究其与一元二次方程之间的关系，从而加深学生对二次函数和一元二次方程的理解。
教材通过具体的例子，引导学生从图像的角度去观察、分析和解决问题，提高学生的数形结合思想。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的图像和性质，对二次函数有了初步的认识。
但是，对于如何通过二次函数的图像来解决一元二次方程，可能会感到困惑。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、操作、思考等活动，自己去发现二次函数与一元二次方程之间的关系，培养学生的自主学习能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生能够通过观察二次函数的图像，找出其与一元二次方程之间的关系，提高学生解决问题的能力。
2.过程与方法：培养学生观察、操作、思考的能力，提高学生的数形结合思想。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生积极的学习态度。
四. 教学重难点1.重点：引导学生通过观察二次函数的图像，找出其与一元二次方程之间的关系。
2.难点：如何引导学生从图像的角度去分析和解决问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、观察法、小组合作法等教学方法，引导学生通过观察、操作、思考等活动，自己去发现二次函数与一元二次方程之间的关系，提高学生的自主学习能力。
六. 教学准备1.教师准备：熟悉教材内容，准备好相关的教学工具和材料。
2.学生准备：预习相关内容，了解二次函数的图像和性质。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾二次函数的图像和性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT或黑板，展示一个二次函数的图像，并提出相关问题，引导学生观察和思考。
3.操练（10分钟）教师引导学生通过观察二次函数的图像，找出其与一元二次方程之间的关系。
二次函数与一元二次方程间的关系教案(完美版)
21.3.1 二次函数与一元二次方程间的关系教学目标【知识与技能】掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系,会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.【过程与方法】经历探究二次函数与一元二次方程关系的过程,体会函数、方程之间的联系. 【情感、态度与价值观】进一步培养学生的综合解题能力,掌握解决问题的方法,培养探究精神.重点难点【重点】用函数图象求一元二次方程的近似解.【难点】用数形结合的思想解方程.教学过程一、创设情境,导入新知师:任意一次函数的图象与x轴有几个交点?生甲:一个.生乙:不对,当直线与x轴平行时,没有交点.生丙:还有一种情况,当直线与x轴重合时,有无数个交点.师:同学们考虑得很周到!当一次函数的图象与x轴有1个交点时,你能求出它与x轴交点的坐标吗?比如一次函数y=2x-3,它的图象与x轴交点的坐标是多少?学生计算后回答.二、共同探究,获取新知师:你猜想一下,二次函数的图象与x轴可能会有几个交点?我们可以借助什么来研究?学生思考.生:借助二次函数的图象.师:对.教师多媒体课件出示:二次函数y=x2+3x+2的图象如图所示,根据图象回答问题:1.它与x轴有公共点吗?如果有,公共点的横坐标是多少?学生作图,教师巡视指导.教师出示图象:学生观察图象后回答.生:这个函数的图象与x轴有公共点,公共点的横坐标分别是-2和-1.这时函数值都为0,所以方程x2+3x+2=0的根为-2和-1.方程x2+3x+2=0的解与交点的横坐标是一样的.师:同学们回答得很好!你能归纳出函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数的其他情况吗?交点的个数与方程ax2+bx+c=0的根的个数有何关系呢?学生思考,交流讨论.生:函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数与方程ax2+bx+c=0根的个数一样,所以也有三种情况:令Δ=b2-4ac,当Δ>0时,函数图象与x轴有两个交点,方程有两个根;当Δ=0时,函数图象与x轴有一个交点,方程有两个相等的根;当Δ<0时,函数图象与x轴没有交点,方程无解.师:同学们回答得很好!所以我们有了求一元二次方程根的另一种方法,画出二次函数的图象,然后怎么确定方程的解呢?生:二次函数的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的解.三、例题讲解【例】用图象法求一元二次方程x2+2x-1=0的近似解(精确到0.1).解:画出函数y=x2+2x-1的图象,如图.让每个人平等 由图象可知,方程有两个实数根,一个在-3和-2之间,另一个在0和1之间. 先求位于-3和-2之间的根.由图象可估计这个根是-2.5或-2.4,利用计算器进行探索,见下表: x …-2.5 -2.4 … y … 0.25 -0.04…观察上表可以发现,当x 分别取-2.5和-2.4时,对应的y 由正变负,可见在-2.5与-2.4之间肯定有一个x 使y=0,即有方程x 2+2x-1=0的一个根.题目只要求精确到0.1,这时取x=-2.5或x=-2.4作为根都符合要求.但当x=-2.4时,y=-0.04比y=0.25(x=-2.5)更接近0,故选x=-2.4.同理,可求出方程x 2+2x-1=0在0和1之间精确到0.1的另一个根. 方程x 2+2x-1=0的近似解还可以这样求:分别画出函数y=x 2和y=-2x+1的图象,如图,它们的交点A 、B 的横坐标就是方程x 2+2x-1=0的根.如有条件,可以在计算机上用《几何画板》处理.四、练习新知师:我这有几个习题,现在让我们一起来解决它们.1.已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点坐标分别为(1,0)、(-5,0),那么关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的两个根分别是 .【答案】x 1=1,x 2=-5 2.判断下列二次函数的图象与x 轴有无交点.若有,求出交点的坐标;若没有,请说明理由.(1)y=2x2-5x+3; (2)y=x2+3x+5;(3)y=3x2-7x+8; (4)y=x2+x-12.【答案】(1)有交点,交点坐标为(1,0)、(,0);(2)无交点,Δ=b2-4ac=32-4×1×5=-11<0;(3)无交点,Δ=b2-4ac=(-7)2-4×3×8=-47<0;(4)有交点,交点坐标为(4,0)、(-6,0).3.已知二次函数y=kx2-3x-2的图象与x轴有两个交点,求k的取值范围.【答案】根据题意,得解得k>-且k≠0.师:同学们很聪明!你现在就根据这个来完成课本第33页练习的1、2.学生做题,教师巡视指导,完成后集体订正.六、课堂小结师:本节课你学习了什么内容?有什么收获?学生回答.师:你还有什么不明白的地方吗?学生提问,教师解答.教学反思学习这节内容要充分运用两种思想方法:1.函数与方程的思想,用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想,函数思想是函数概念、图象和性质等知识更高层次的提炼和概括,是在知识和方法反复学习中抽象出的带有观念的指导方法.2.数形结合思想,在中学数学里,我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开,也就是说,代数问题可以几何化,几何问题也可以代数化,“数”和“形”在一定条件下可以相互转化、相互渗透.在学生理解二次函数与一元二次方程的联系的基础上,能够运用二次函数及其图象、性质去解决现实生活中的一些问题,进一步培养学生综合解题的能力,在整个章节的学习过程中始终渗透数形结合的思想,更体现了学好数学的重要意义.。
21.3二次函数与一元二次方程(第1课时)教学设计.3二次函数与一元二次方程(第1课时)教案
21.3二次函数与一元二次方程（第1课时）太湖三中杨流芬一、教学背景（一）教材分析本节课的内容是研究一元二次方程与二次函数的关系，利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解，重要的是这种求解方程的思路，而不是求解的结果。
在教学中，让学生经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，进一步体会方程与函数之间的联系；经历用图像法求一元二次方程近似根的过程，获得用图像法求近似根的体验，理解二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根；应关注学生是否能利用图像法求一元二次方程的近似根，是否理解这种求解方程的思路。
通过类比一次函数与一次函数的关系研究二次函数与二次方程的关系，使学生理解抛物线与x轴交点的横坐标就是对应的一元二次方程的解；再次体会到函数与方程之间的联系，进一步渗透数形结合的数学思想方法，为学习二次函数与二次不等式的关系做好准备。
（二）学情分析在学生学习了一元二次方程的解法、根的判别式、一次函数、二次函数的图像的画法有关内容后，在12.3节已经学习过用图像法求一元一次方程的根，二元一次方程组的解，再学习用图像法求一元二次方程近似根的过程。
二、教学目标知识与技能1、探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。
2、理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解方程何时有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实数根。
3、理解一元二次方程的根ax2+bx+c=0(a≠0)根就是二次函y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的横坐标。
4、进一步发展学生的估算能力。
过程与方法1、经历用图像法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图像法求一元二次方程近似根的体验。
2、通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根情况，进一步培养学生的数形结合思想。
3、在探索二次函数与一元二次方程的关系的过程中，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
由一次函状元成才数路 y=2x-3的图象可知：
它与x轴的交点坐标是( 3 ，0 )，
2
即当x=
3 2
时，y=0
y=2x-3
即x= 3 是一元一次方程 2x-3=20的根。
二次函数与一
一次函数y=kx+b当函数值y=0时对元应二的x次值就方是程一之元
一次方程kx+b=0的解
间有什么联系？
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为
图象与 x 轴的交点坐标吗？
解：当y=0时，x2 x 6 0
解得 x1 3, x2 2.
所以,函数 y x2 x 6 的图象与 x 轴的交点
坐标为（-3，0）和（2，0）.
2.抛物线y＝－3(x－2)(x＋5)与x轴的交点坐标为_(_2_,_0)，_ (-_5_,．0) 一元二次方程－3(x－2)(x＋5)＝0的 解为__X_1_=_2__，_．X2=-5
分别说出一元二次方程 x2 6x 9 0 和 x2 2x 2 0 的根的情
况.
y x2 6x 9
y x2 2x 2
二次函数y ax2 bx c 与x轴的交点的个数
一元二次方程 ax2 bx c 0 的实数根的个数
对于二次函数y=ax2+bx+c(a 0),当y=0时,函数即可化为一元二次 方程ax2 +bx+c=0,这时方程的根就是抛物线与x轴交点的横坐标.
当堂练习
用图象法求一元二次方程 x2 x 1 0 的解的近似值
（精确到0.1）.
解：画出x2+x-1=0的图象，
如图所示，由图象知，方程由两
个根，一个在-2和-1之间，另一
个在0到1之间. 通过估算，可得到抛物线与x轴
交点的横坐标大约为-1.6和0.6.即
一元二次方程的实数根为x1≈-1.6 ，x2≈0.6.
y=ax2+bx+c的
方程
图象和x轴交 ax2+bx+c=0的
点
根
b2-4ac
函数的图象
有两个交点 方程有两个不
相等的实数根
b2-4ac>0
y .o . x
只有一个交 点
方程有两个相 等的实数根
b2-4ac=0
y o
x
没有交点 方程没有实数 b2-4ac<0 y
根
o
x
当堂练习
1.求下列抛物线与x轴的交点的横坐标：
二次函数y ax2 bx c 与x轴的交点横坐标x1，x2
二次函数y ax2 bx c 与x轴的交点的个数
一元二次方程 ax2 bx c 0
一元二次方程 ax2 bx c 0 的实数根x1, x2 一元二次方程 ax2 bx c 0 的实数根的个数
练一练
1. 不画图象，你能说出函数 y x2 x 6 的
状元成才路
一元一次方程kxΒιβλιοθήκη b=0的解.21.3 二次函数与一元二次方程
第1课时 二次函数与一元二次方程
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联 系；（重点）
2.会用二次函数图象求一元二次方程的近似解； （重 点）
3.通过研究二次函数与一元二次方程的联系体会数形 结合思想的应用.（难点）
同理可得另一近似值为.
方法归纳
一元二次方程的图象解法
利用二次函数的图象求一元二次方程ax2+bx+c=0的近似 根. (1)用描点法作二次函数 y=ax2+bx+c的图象；
(2)观察估计二次函数 y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的 横坐标的大致取值范围；
(3)确定方程 y=ax2+bx+c的解;利用逼近法求近似解
解：画出函数 y=x²+2x-1 的图象（如下图），由图象 可知，方程有两个实数根，一个在-3与-2之间,另一个 在0与1之间.
先求位于-3到-2之间的根，由图象可估计这个根是-2.4 或-2.5，利用计算器进行探索，见下表：
x
…
-2.5
-2.4
…
y
… 0.25 -0.04 …
观察上表可以发现，当x分别取-2.5和-2.4时，对应的y由正变 负，可见在-2.5与-2.4之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2+2x-1 的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取x=-2.4或x=-2.5都符 合要求.但当x=-2.4时更为接近0.故x1≈-2.4.
拓展：利用图像法求解一元二次方程的根还 有没有其他解决方法？如：方程x²+2x-1=0
解：方程x²+2x-1=0， 变形可得：x²=-2x+1 令函数y=x2和y=-2x+1，画出两个函数 图像如右图所示 函数y=x2和y=-2x+1交于A、B两点，这 两点的横坐标就是我们要求的根. 利用逼近法求解近似值
1 y x2 x 2
2 y 9x2 12x 4
解：它与x轴有交点，则y=0
解：它与x轴有交点，则 y=0
x2 x 2 0
9x2 12x 4 0
解这个方程(x－2)(x+1)= 0 ∴ x1=2, x2=－1
∴ x1= x2=
2 3
∴抛物线与x轴交点的横坐标分别 为2,－1.
∴ 与x轴交点的横坐标为
2 3
.
(3) y=x2-2x+3 解： x2-2x+3=0
a=1 , b=-2 , c=3 Δ =（-2）2-4×1×3<0 此方程无解，所以，抛物线 y=x2-2x+3与x轴没有交点.
三 利用二次函数求一元二次方程的近似解 用图象法求一元二次方程x2+2x-1=0的解（精确到0.1）.
分析：一元二次方程 x²+2x-1=0 的根就是抛物线 y=x²+2x-1 与x 轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从 图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法 叫作图象法.
3.小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图，则
关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是( D )
A．无解 B．x＝1 C．x＝－4 D．x＝－1或x＝4
二 一元二次方程根与二次函数图象与X轴交点的关系
观察二次函数 y x2 6x 9 的图象和二次函数 y x2 2x 2 的
图象,它们与X轴交点的个数
一 一元二次方程根与二次函数图象的关系
写出二次函数 y x2 2x 3 的顶点坐标,对称轴,并
画出它的图象.
x… y…
-2 -1 0 5 0 -3
12 -4 -3
(1,-4)
34 … 05…
思考一
N
当x为何值时, y=0?
M
x=-1或 x=3
x2 2x 3 0
x1 1, x2 3.
归纳 二次函数y ax2 bx c 函数值y 0时