二次函数与一元二次方程的关系(通用)解析

二次函数与一元二次方程
2、二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点
情况如何？（b2-4ac如何）
(1)有两个交点
b2 – 4ac > 0
(2)有一个交点
b2 – 4ac= 0
(3)没有交点
b2 – 4ac< 0
思考：若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则 b2-4ac ≥0 .
练习:看谁算的又快又准。
1、学习二次函数与一元二次方程的关系
2、会用一元二次方程解决二次函数图象 与x轴的交点问题
复习.
1、一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情 况可由 b2- 4ac 确定。
＞0
有两个不相等的实数根
=0
有两个相等的实数根
＜0
没有实数根
2、在式子h=50-20t2中，如果h=15，那么
50-20t2= 15 ，如果h=20，那50-20t2= 20 ， 如果h=0，那50-20t2= 0 。如果要想求t的值，那么我 们可以求 方程 的解。
的图象如图所示。
y x2 x 2
y x2 6x 9
y x百度文库 x 1
(1).每个图象与x轴有几个交点？ 答：2个，1个，0个 (2).一元二次方程? x2+x-2=0 , x2 - 6x +9=0有几个根?
验证一下一元二次方程x2 – x+ 1 =0有根吗?
2.2个根,2个相等的根 ,无实数根.
A
:
k
4 7
B
:
k
4 7
且k
0
B
C
:
k
4 7
D：k
4 7
且k
0
(1)抛物线y x2 2x 3与x轴的交点个数有( C ) .
A.0个 B.1个 Ｃ．2个 Ｄ．3个
(2)抛物线y m x2 3x 3m m2 经过原点,则其顶点
顶点坐标为___(_1_,_3_)___.
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(3)关于x的一元二次方程x2 x n 0没有实数根,则 抛物线y x2 x n的顶点在( A ) .
一般地，当y取定值时，二次函数为一元 二次方程。
如：y=5时，则5=ax2+bx+c就 是一个一元二次方程。
练习一：
如图设水管AB的高出地面2.5m，在B处有一自动旋
转的喷水头，喷出的水呈抛物线状，可用二次函数
y=-0.5x2+2x+2.5描述，在所有的直角坐标系中，求
水流的落地点D到A的距离是多少？
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.已知二次函数y 2 x2 mx m2.
(1)求证: 对于任意实数m,该二次函数的图象与x轴总有公共点;
(2)若该二次函数的图象与x轴有两个公共点A、B, 且A点坐标
为(1,0),求B点坐标.
(1)证明 : 令y 0,得2 x2 mx m2 0 (m)2 4 2 m2 9m2 0
4.抛物线y=x2-3x+2 与y轴交于点＿＿(0＿,2＿) ,与x轴交
于点＿(1＿,0＿) (2,0＿) .
K≠0 5图.如象图知,,抛关物于线x的y=方ax程2+abxx2++bcx的+对c=称0的b轴2两-是4个a直c根线≥分0x别=-是1,由
x1=1.3 ,x2=＿-＿3.3＿
6.已知抛物线y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点，则 k的取值范围（ B ）
问题1:如图,以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30度
角的方向击出时,球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑
空气阻力,球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单
位:s)之间具有关系:h=
考虑下列问题:
20 2t0=2–02.15055=t=2t–02250ttt–2 –55t2t2
(1)球的飞行高度能否达到 15 m ? 若能,需要多少时间?
不论m取何值,抛物线与 x轴总有公共点 .
(2) A(1,0)在抛物线y 2x2 mx m2 上 0 212 m 1 m2 即m2 m 2 0, (m 2)(m 1) 0 m1 2, m2 1 B点坐标为(2,0)
5.在ABC中, B 90,点P从点A开始沿AB边向点B 以1cm / s的速度移动,点Q从点B开始沿BC的边向点C
1.不与x轴相交的抛物线是( D )
A y=2x2 – 3
B y= - 2 x2 + 3
C y= - x2 – 2x D y=-2(x+1)2 - 3
2.如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实
数根,则m=＿1＿,此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有＿1 个
交点.
3.已知抛物线 y=x2 – 8x +c的顶点在 x轴上,则c=＿1＿6 .
分析：根据图象可知，水流的
y
落地点D的纵坐标为0，横坐
标即为落地点D到A的距离。
B
即：y=0 。
解：根据题意得 -0.5x2+2x+2.5 = 0， -1 A 0
Dx
解得x1=5，x2=-1(不合题意舍去) 答：水流的落地点D到A的距离是5m。
边观察边思考
1、二次函数y = x2+x-2 , y = x2 - 6x +9 , y = x2 – x+ 1
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与
一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
2、二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交 点,则b2-4ac的情况如何。
b2 – 4ac ＜0
Y
b2 – 4ac =0
.
O
b2 – 4ac ＞0
X
二次函数与一元二次方程
一般地,从二次函数y a x2 bx c的图象可知, (1)如果抛物线y a x2 bx c与x轴有公共点,公共点 的横坐标是x x0时,函数的值是0,因此x x0 就是 方程a x2 bx c 0的一个根.
以2cm / s的速度移动，设PBQ的面积为y cm2 运动
时间为xs，如果P、Q分别从A、B同时出发： （1）写出y与x的函数关系式；
（2）几秒后PBQ的面积等于8c m2？
6.已知抛物线y x2 ax a 2与x轴交于A、B两点,与y轴交于点D(0,8),
(20)=h球=20的0飞t 行– 5高t度2 能否达到 20 m ? 若能,需要多少时间?
(3)球的飞行高度能否达到 20.5 m ? 若能,需要多少时间?
(4)球从 飞出到落地 要用多少时间 ?
h t
为一个常数 （定值）
那么从上面，二次函数y=ax2+bx+c何时为 一元二次方程?它们的关系如何?