江苏专版2018年高考数学二轮复习第1部分知识专题突破专题限时集训2函数20180223326
江苏专版2018年高考数学二轮复习知识专题突破专题限时集训3导数
专题限时集训(三) 导数(对应学生用书第83页) (限时:120分钟)一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请把答案填写在题中横线上.) 1.(湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检)若函数f (x )=x 33-a2x 2+x +1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12,3上单调递减,则实数a 的取值范围是________. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫103,+∞ [因为函数f (x )=x 33-a 2x 2+x +1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12,3上单调递减,所以f ′(x )=x 2-ax +1≤0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12,3上恒成立,所以x 2+1≤ax ⇒a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+1x max =⎝ ⎛⎭⎪⎫x +1x max,当且仅当x =3时,⎝ ⎛⎭⎪⎫x +1x max =103,所以a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫103,+∞.]2.(泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测)若函数y =f (x )的定义域为R ,∀x ∈R ,f ′(x )<f (x ),且f (x +1)为偶函数,f (2)=1,则不等式f (x )<e x的解集为________.(0,+∞) [令g (x )=f xex,则g ′(x )=f x -f xex<0,所以g (x )在定义域内为减函数,因为f (x +1)为偶函数,所以f (x +1)=f (-x +1)⇒f (0)=f (2)=1⇒g (0)=1,因此f (x )<e x⇒g (x )<1=g (0)⇒x >0.]3.(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)函数f (x )=log 2x 在点A (1,2)处切线的斜率为________.【导学号:56394017】1ln 2 [∵f ′(x )=1x ln 2,∴k =f ′(1)=1ln 2.] 4.(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)若实数a ,b ,c ,d 满足|b +a 2-4ln a |+|2c -d +2|=0,则(a -c )2+(b -d )2的最小值为________.5 [|b +a 2-4ln a |+|2c -d +2|=0⇒b +a 2-4ln a =0,2c -d +2=0,所以(a -c )2+(b -d )2表示直线2x -y +2=0上点P 到曲线y =4ln x -x 2上点Q 距离的平方.由y ′=4x -2x =2⇒x =1(负舍)得Q (1,-1),所以所求最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫|2+1+2|52=5.] 5.(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)已知函数f (x )=x 3+mx +14,g (x )=-ln x ,min{a ,b }表示a ,b 中的最小值,若函数h (x )=min{f (x ),g (x )}(x >0)恰有三个零点,则实数m 的取值范围是________.⎝⎛⎭⎪⎫-54,-34 [f ′(x )=3x 2+m ,因为g (1)=0,所以要使h (x )=min{f (x ),g (x )}(x >0)恰有三个零点,需满足f (1)>0,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-m 3 <0,m <0,解得m >-54,-m 3>12⇒-54<m <-34.] 6.(河北唐山市2017届高三年级期末)已知函数f (x )=ln(e x +e -x )+x 2,则使得f (2x )>f (x +3)成立的x 的取值范围是________.(-∞,-1)∪(3,+∞) [因为f (-x )=ln(e -x+e x )+(-x )2=ln(e x +e -x )+x 2=f (x ),所以函数f (x )是偶函数,易知函数y =e x +e -x在x ∈(0,+∞)是增函数,所以函数f (x )=ln(e x +e -x )+x 2在x ∈(0,+∞)也是增函数,所以不等式f (2x )>f (x +3)等价于|2x |>|x +3|,解得x <-1或x >3.]7.(广东省佛山市2017届高三教学质量检测(一))已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c ,g (x )=3x 2+2ax +b (a ,b ,c 是常数),若f (x )在(0,1)上单调递减,则下列结论中: ①f (0)·f (1)≤0;②g (0)·g (1)≥0;③a 2-3b 有最小值. 正确结论的个数为________.2 [由题意,得 f ′(x )=3x 2+2ax +b ,若函数 f (x )在(0,1)上单调递减,则⎩⎪⎨⎪⎧f ,f,即⎩⎪⎨⎪⎧b ≤0,3+2a +b ≤0,所以g (0)·g (1)=b ·(3+2a +b )≥0,故②正确;不妨设f (x )=x 3-2x 2-3x +5,则f (0)·f (1)=5·(1-2-3+5)>0,故①错;画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧b ≤0,3+2a +b ≤0表示的平面区域,如图所示,令z =a 2-3b ,则b =13a 2-z 3,①当-z 3>-3,即z <9时,抛物线b =13a 2-z3与直线2a +b +3=0有公共点,联立两个方程消去b 得a 2+6a +9-z =0,z =(a +3)2≥0,所以0≤z <9;当-z3≤-3,即z ≥9时,抛物线与平面区域必有公共点,综上所述,z ≥0,所以z =a 2-3b 有最小值 ,故③正确.]8.(广东省佛山市2017届高三教学质量检测(一))对任意的a ∈R ,曲线y =e x(x 2+ax +1-2a )在点P (0,1-2a )处的切线l 与圆C :x 2+2x +y 2-12=0的位置关系是________. 相交 [由题意,得y ′=e x (x 2+ax +1-2a )+e x(2x +a ),所以y ′|x =0=1-a ,所以直线l 的方程为y -(1-2a )=(1-a )x ,即(1-a )x -y +1-2a =0.化圆C 的方程为(x +1)2+y 2=13,其圆心(-1,0)到直线l 的距离为-a--0+1-2a |-a 2+-2=|a |a 2-2a +2=12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2-1a +1=12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a -122+12≤2<13,所以直线l 与圆相交.]9.(山东省枣庄市2017届高三上学期期末)定义在R 上的奇函数y =f (x )满足f (3)=0,且当x >0时,f (x )>-xf ′(x )恒成立,则函数g (x )=xf (x )+lg|x +1|的零点的个数为________.【导学号:56394018】3 [因为当x >0时,[xf (x )]′=f (x )+xf ′(x )>0,所以xf (x )在(0,+∞)上单调递增,又函数f (x )为奇函数,所以函数xf (x )为偶函数,结合f (3)=0,作出函数y =xf (x)与y =-lg|x +1|的图象,如图所示,由图象知,函数g (x )=xf (x )+lg|x +1|的零点有3个.]10.(湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检测)设函数f (x )在R 上存在导函数f ′(x ),对任意的实数x 都有f (x )=4x 2-f (-x ),当x ∈(-∞,0)时,f ′(x )+12<4x .若f (m +1)≤f (-m )+4m +2,则实数m 的取值范围是________.⎣⎢⎡⎭⎪⎫-12,+∞ [∵f (x )-2x 2+f (-x )-2x 2=0,设g (x )=f (x )-2x 2,则g (x )+g (-x )=0,∴g (x )为奇函数,又g ′(x )=f ′(x )-4x <-12,∴g (x )在(-∞,0)上是减函数,从而在R 上是减函数,又f (m +1)≤f (-m )+4m +2等价于f (m +1)-2(m +1)2≤f (-m )-2(-m )2,即g (m +1)≤g (-m ), ∴m +1≥-m ,解得m ≥-12.]11.(湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检测)已知函数f (x )=ax sin x -32(a ∈R ),且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2上的最大值为π-32,则实数a 的值为________.1 [由已知得f ′(x )=a (sin x +x cos x ),对于任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2,有sin x +x cosx >0,当a =0时,f (x )=-32,不合题意;当a <0时,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2,f ′(x )<0,从而f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2单调递减,又函数在图象上是连续不断的,故函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2上的最大值为f (0)=-32,不合题意;当a >0时, x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2,f′(x )>0,从而f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2单调递增,又函数在图象上是连续不断的,故函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2=π2·a -32=π-32,解得a =1.]12.(天津六校2017届高三上学期期中联考)设函数f (x )=ln x x,关于x 的方程[f (x )]2+mf (x )-1=0有三个不同的实数解,则实数m 的取值范围是________.⎝ ⎛⎭⎪⎫e -1e ,+∞ [f (x )=ln x x ⇒f ′(x )=1-ln x x 2=0⇒x =e ,因此当0<x ≤e 时,f(x )≤1e ;当x >e 时,0<f (x )<1e ,因此g (t )=t 2+mt -1=0有两个根,其中t 1∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫0,1e ,t 2∈(-∞,0]∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫1e ,因为g (0)=-1,所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e >0⇒m >e -1e .]13.(山西大学附属中学2017级上学期11月模块诊断)已知函数 f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +,x >0,12x +1,x ≤0,若m <n ,且f (m )=f (n ),则n -m 的取值范围是________.[3-2ln 2,2) [如图,作出函数y =f (x )的图象,不妨设f (m )=f (n )=t , 由f (m )=f (n )可知函数f (x )的图象与直线y =t 有两个交点, 而x ≤0时,函数y =f (x )单调递增,其图象与y 轴交于点(0,1), 所以0<t ≤1.又m <n ,所以m ≤0,n >0, 由0<t ≤1,得0<ln(n +1)≤1,解得0<n ≤e-1. 由f (m )=t ,即12m +1=t ,解得m =2t -2;由f (n )=t ,即ln(n +1)=t ,解得n =e t-1;记g (t )=n -m =e t -1-(2t -2)=e t -2t +1(0<t ≤1),g ′(t )=e t-2. 所以当0<t <ln 2时,g ′(t )<0,函数g (t )单调递减; 当ln 2<t ≤1时,g ′(t )>0,函数g (t )单调递增. 所以函数g (t )的最小值为g (ln 2)=eln 2-2ln 2+1=3-2ln 2;而g (0)=e 0+1=2,g (1)=e -2+1=e -1<2,所以3-2ln 2≤g (t )<2.] 14.(贵州遵义市2017届高三第一次联考)已知定义域为R 的偶函数f (x ),其导函数为f ′(x ),对任意x ∈[0,+∞),均满足:xf ′(x )>-2f (x ).若g (x )=x 2f (x ),则不等式g (2x )<g (1-x )的解集是________.⎝⎛⎭⎪⎫-1,13 [x ∈[0,+∞)时,g ′(x )=2xf (x )+x 2f ′(x )=x (2f (x )+xf ′(x ))>0,而g (x )=x 2f (x )也为偶函数,所以g (2x )<g (1-x )⇔g (|2x |)<g (|1-x |)⇔|2x |<|1-x |⇔3x 2+2x -1<0⇔-1<x <13.]二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(本小题满分14分)(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)在互联网时代,网校培训已经成为青年学习的一种趋势,假设某网校的套题每日的销售量h (x )(单位:千套)与销售价格(单位:元/套)满足关系式h (x )=f (x )+g (x )(3<x <7,m为常数),其中f (x )与(x -3)成反比,g (x )与(x -7)的平方成正比,已知销售价格为5元/套时,每日可售出套题21千套,销售价格为3.5元/套时,每日可售出套题69千套. (1)求h (x )的表达式;(2)假设网校的员工工资,办公等所有开销折合为每套题3元(只考虑销售出的套数),试确定销售价格的值,使网校每日销售套题所获得的利润最大.(保留1位小数) [解] (1)因为f (x )与x -3成反比,g (x )与x -7的平方成正比, 所以可设:f (x )=k 1x -3,g (x )=k 2(x -7)2,k 1≠0,k 2≠0,则h (x )=f (x )+g (x )=k 1x -3+k 2(x -7)2. 2分因为销售价格为5元/套时,每日可售出套题21千套,销售价格为3.5元/套时,每日可售出套题69千套,所以,h (5)=21,h (3.5)=69,即⎩⎪⎨⎪⎧k 12+4k 2=21,2k 1+494k 2=69,解得:⎩⎪⎨⎪⎧k 1=10,k 2=4,6分所以,h (x )=10x -3+4(x -7)2(3<x <7). 8分(2)由(1)可知,套题每日的销售量h (x )=10x -3+4(x -7)2, 设每日销售套题所获得的利润为F (x ), 则F (x )=(x -3) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10x -3+x -2=10+4(x -7)2(x -3) =4x 3-68x 2+364x -578,10分从而F ′(x )=12x 2-136x +364=4(3x -13)(x -7),3<x <7,x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3,133时,F ′(x )>0,所以函数F (x )在⎝⎛⎭⎪⎫3,133上单调递增,12分x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫133,7时,F ′(x )<0,所以函数F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫133,7上单调递减,所以x =133≈4.3时,函数F (x )取得最大值,即当销售价格为4.3元/套时,网校每日销售套题所获得的利润最大.14分16.(本小题满分14分)(河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛)已知函数f (x )=x +a ln x (a ∈R ).(1)若曲线y =f (x )在点(1,f (1))处与直线y =3x -2相切,求a 的值; (2)若函数g (x )=f (x )-kx 2有两个零点x 1,x 2,试判断g ′⎝⎛⎭⎪⎫x 1+x 22的符号,并证明.【导学号:56394019】[解] (1)f ′(x )=1+a x,又∵f ′(1)=3. 2分所以a =2.3分(2)函数g (x )的定义域是(0,+∞). 4分若a =0,则g (x )=f (x )-kx 2=x -kx 2. 令g (x )=0,则x -kx 2=0. 又据题设分析知k ≠0,∴x 1=0,x 2=1k.又g (x )有两个零点,且都大于0, ∴a =0,不成立.5分据题设知⎩⎪⎨⎪⎧gx 1=x 1+a ln x 1-kx 21=0,gx 2=x 2+a ln x 2-kx 22=0,不妨设x 1>x 2,x 1x 2=t ,t >1.6分所以x 1-x 2+a (ln x 1-ln x 2)=k (x 1-x 2)(x 1+x 2). 所以1+ax 1-ln x 2x 1-x 2=k (x 1+x 2),7分又g ′(x )=1+a x-2kx , 所以g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1+x 22=1+2a x 1+x 2-k (x 1+x 2)=1+2a x 1+x 2-1-ax 1-ln x 2x 1-x 2=a ⎝⎛⎭⎪⎫2x 1+x 2-ln x 1-ln x 2x 1-x 2=a x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2t +1-ln t t -1=a x 2·1t -1⎣⎢⎡⎦⎥⎤t -t +1-ln t .9分引入h (t )=t -t +1-ln t (t >1),则h ′(t )=4t +2-1t=-t -2t t +2<0.所以h (t )在(0,+∞)上单调递减. 10分而h (1)=0,所以当t >1时,h (t )<0. 易知x 2>0,1t -1>0, 所以当a >0时,g ′⎝⎛⎭⎪⎫x 1+x 22<0;当a <0时,g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1+x 22>0.14分17.(本小题满分14分)(广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测试卷)已知函数f (x )=x ln x ,g (x )=-x 2+ax -3.(1)求函数f (x )在[t ,t +2](t >0)上的最小值;(2)对一切x ∈(0,+∞),2f (x )≥g (x )恒成立,求实数a 的取值范围;(3)探讨函数F (x )=ln x -1e x +2e x 是否存在零点?若存在,求出函数F (x )的零点;若不存在,请说明理由. [解] (1)f ′(x )=ln x +1,由f ′(x )<0得,0<x <1e ,由f ′(x )>0得x >1e,∴函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0,1e 上单调递减,在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ,+∞上单调递增,1分当0<t ≤1e 时,t +2>1e ,∴f (x )min =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e =-1e ; 当t >1e时,f (x )在[t ,t +2]上单调递增,f (x )min =f (t )=t ln t ,2分∴f (x )min=⎩⎪⎨⎪⎧-1e ,0<t ≤1e ,t ln t ,t >1e. 3分(2)原问题可化为a ≤2ln x +x +3x, 4分设h (x )=2ln x +x +3x(x >0 ),h ′(x )=x +x -x2,当0<x <1时,h ′(x )<0,h (x )在(0,1)上单调递减;5分当x >1时, h ′(x )>0,h (x )在(1,+∞)上单调递增;6分 ∴h (x )min =h (1)=4,故a 的取值范围为(-∞,4].7分 (3)令F (x )=0,得ln x -1e x +2e x =0,即x ln x =x e x -2e (x >0),8分 由(1)知当且仅当x =1e 时,f (x )=x ln x (x >0)的最小值是-1e,9分设φ(x )=x e x -2e (x >0),则φ′(x )=1-xex ,易知φ(x )在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,∴当且仅当x =1时,φ(x )取最大值,且φ(1)=-1e,12分∴对x ∈(0,+∞)都有ln x >1e x -2e x ,即F (x )=ln x -1e x +2e x >0恒成立,故函数F (x )无零点.14分18.(本小题满分16分)(无锡市普通高中2017届高三上学期期中基础性检测)已知函数f (x )=sin xe x 的定义域为[0,2π],g (x )为f (x )的导函数.(1)求方程g (x )=0的解集; (2)求函数g (x )的最大值与最小值;(3)若函数F (x )=f (x )-ax 在定义域上恰有2个极值点,求实数a 的取值范围. [解] (1)因为f ′(x )=-sin x e x +cos xex , 1分所以g (x )=cos x e x -sin x e x =0,解得x =π4或x =5π4;3分 (2)因为g ′(x )=-cos x e x -sin x e x +sin x e x -cos x e x =-2cos xe x ,4分 令g ′(x )=0,解得x =π2或x =3π2,5分所以g (x )的最大值为g (0)=1,所以g (x )的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2=-e π2. 7分(3)因为F ′(x )=-sin x e x +cos xex -a =g (x )-a ,所以函数F (x )=f (x )-ax 在定义域上恰有2个极值点,等价于g (x )-a =0在定义域上恰有2个零点且在零点处异号,即y =g (x )与y =a 的图象恰有两个交点, 由(2)知F ′(0)=g (0)-a =1-a ,F ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2=g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-a =-e -π2-a ,F ′⎝⎛⎭⎪⎫3π2=g ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2-a =e -3π2-a ,F ′(2π)=g (2π)-a =e -2π-a ,若F ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2≥0,则F ′⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2>F ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>0, 所以F ′(x )=0至多只有1个零点,不成立,10分 所以只有F ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<0;11分若F ′⎝⎛⎭⎪⎫3π2<0,则F ′(2π)<0,所以F ′(x )=0只有1个零点,不成立,12分所以F ′⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2≥0,13分若F ′⎝⎛⎭⎪⎫3π2=0,即a =e -3π2,在x =3π2处同号,不成立;若F ′(2π)≤0,则F ′(x )=0有3个零点,不成立,14分 所以只有F ′(2π)>0. 所以满足的条件为:⎩⎪⎨⎪⎧F ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2=g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-a =-e -π2-a <0Fπ=g π-a =e -2π-a >0,解得-e -π2<a <e -2π或a =e -3π2,16分(注:利用图象直接得出-e -π2<a <e -2π或a =e -3π2扣4分.)19.(本小题满分16分)(河北唐山市2017届高三年级期末)已知函数f (x )=ln xx,g (x )=x ⎝⎛⎭⎪⎫ln x -ax 2-1.(1)求y =f (x )的最大值;(2)当a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,1e 时,函数y =g (x )(x ∈(0,e])有最小值.记g (x )的最小值为h (a ),求函数h (a )的值域.[解] (1)f ′(x )=1-ln xx2(x >0), 当x ∈(0,e)时,f ′(x )>0,f (x )单调递增; 当x ∈(e ,+∞)时,f ′(x )<0,f (x )单调递减, 所以当x =e 时, f (x )取得最大值f (e)=1e .4分(2)g ′(x )=ln x -ax =x ⎝⎛⎭⎪⎫ln x x -a ,由(1)及x ∈(0,e]得:①当a =1e 时,ln xx -a ≤0,g ′(x )≤0,g (x )单调递减,当x =e 时,g (x )取得最小值g (e)=h (a )=-e2.8分②当a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0, 1e ,f (1)=0≤a ,f (e)=1e >a , 所以存在t ∈[1,e),g ′(t )=0且ln t =at ,当x ∈(0,t )时,g ′(x )<0,g (x )单调递减,当x ∈(t ,e]时,g ′(x )>0,g (x )单调递增,所以g (x )的最小值为g (t )=h (a ). 12分 令h (a )=G (t )=t ln t2-t ,因为G ′(t )=ln t -12<0,所以G (t )在[1,e)单调递减,此时G (t )∈(-e2,-1].综上,h (a )∈[-e2,-1].16分20.(本小题满分16分)(江苏省泰州中学2017届高三摸底考试)已知函数f (x )=e x e x (为自然对数的底数).(1)求f (x )的单调区间;(2)是否存在正实数使得f (1-x )=f (1+x ),若存在请求出,否则说明理由;(3)若存在不等实数x 1,x 2,使得f (x 1)=f (x 2),证明:f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1+x 22<0. 【导学号:56394020】[解] (1)函数y =f (x )的单调递减区间是(1,+∞),单调递增区间为(-∞,1).(2)不存在正实数使得f (1-x )=f (1+x )成立,事实上,由(1)知函数y =f (x )在(-∞,1)上递增,而当x ∈(0,1),有y ∈(0,1),在(1,+∞)上递减,有0<y <1,因此,若存在正实数使得f (1-x )=f (1+x ),必有x ∈(0,1).6分 令F (x )=f (1+x )-f (1-x )=x +1e x +(x -1)e x, 令F ′(x )=x ⎝⎛⎭⎪⎫e x -1e x ,因为x ∈(0,1),所以F ′(x )>0,所以F (x )为(0,1)上的增函数,所以F (x )>F (0)=0,即f (1+x )>f (1-x ),故不存在正实数使得f (1-x )=f (1+x )成立. 8分(3)若存在不等实数x 1,x 2,使得f (x 1)=f (x 2),则x 1和x 2中,必有一个在(0,1),另一个在(1,+∞),不妨设x 1∈(0,1),x 2∈(1,+∞).10分 ①若x 2≥2,则x 1+x 22∈(1,+∞),由(1)知:函数y =f (x )在(1,+∞)上单调递减,所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1+x 22<0; ②若x 2∈(1,2),由(2)知:当x ∈(0,1),则有f (1+x )>f (1-x ),而1-x 1∈(0,1),所以f (2-x 1)=f [1+(1-x 1)]>f [1-(1-x 1)]=f (x 1)=f (x 2),即f (2-x 1)>f (x 2),而2-x 1,x 2∈(1,2),由(1)知:函数y =f (x )在(1,+∞)上单调递减,13分 ∴2-x 1<x 2,即有x 1+x 22∈(1,+∞),由(1)知:函数y =f (x )在(1,+∞)上单调递减,所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1+x 22<0; 综合①②得:若存在不等实数x 1,x 2,使得f (x 1)=f (x 2),则总有f ′⎝⎛⎭⎪⎫x 1+x 22<0.16分。
2018年江苏高考数学二轮复习课件:第1部分+知识专题突破+专题5 三角函数与解三角形
3. (2016· 江苏高考)在锐角三角形 ABC 中, 若 sin A=2sin Bsin C, 则 tan Atan Btan C 的最小值是________.
8 [在锐角三角形 ABC 中,
∵sin A=2sin Bsin C, ∴sin(B+C)=2sin Bsin C, ∴sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bsin C,等号两边同除以 cos Bcos C,得
法二
y=sin 2x, 联立两曲线方程,得 y=cos x,
两曲线交点个数即为方程组解的个数,
也就是方程 sin 2x=cos x 解的个数.方程可化为 2sin xcos x=cos x, 即 cos x(2sin x-1)=0,
1 ∴cos x=0 或 sin x=2. π π 3 5 ①当 cos x=0 时,x=kπ+2,k∈Z,∵x∈[0,3π],∴x=2,2π,2π,共 3 个; 1 π 5 13 17 ②当 sin x=2时,∵x∈[0,3π],∴x=6,6π, 6 π, 6 π,共 4 个. 综上,方程组在[0,3π]上有 7 个解,故两曲线在[0,3π]上有 7 个交点.]
tan B+tan C=2tan Btan C.
tan B+tan C 2tan Btan C ∴tan A=tan[π-(B+C)]=-tan(B+C)= = .① tan Btan C-1 tan Btan C-1 ∵A,B,C 均为锐角, ∴tan Btan C-1>0,∴tan Btan C>1. tan A 由①得 tan Btan C= . tan A-2 tan A 又由 tan Btan C>1 得 >1, tan A-2 ∴tan A>2.
2018年高考数学理科江苏专版二轮专题复习与策略专题限
专题限时集训(十八) 圆锥曲线的定义、方程与性质(建议用时:4 5分钟)1.设抛物线C 1的方程为y =120x 2,它的焦点F 关于原点的对称点为E .若曲线C 2上的点到E ,F 的距离之差的绝对值等于6,则曲线C 2的标准方程为________.【解析】 方程y =120x 2可化为x 2=20y ,它的焦点为F (0,5),所以点E 的坐标为(0,-5),根据题意,知曲线C 2是焦点在y 轴上的双曲线,设方程为y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0),则2a =6,a =3,又c =5,b 2=c 2-a 2=16,所以曲线C 2的标准方程为y 29-x 216=1. 【答案】 y 29-x 216=12.(2016·常州期末)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线经过点P (1,-2),则该双曲线的离心率为________.【导学号:19592052】5 [双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的渐近线方程为y =±b a x . 由点P (1,-2)在其直线上,得ba =2. ∴离心率e =1+⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2=1+4= 5.] 3.(2016·苏北四市摸底)已知双曲线x 2-y 2m 2=1(m >0)的一条渐近线方程为x +3y =0,则m =________.33 [双曲线x 2-y 2m 2=1(m >0)的渐近线方程为y =±mx (m >0).由题意可知m=33.]4.(2016·南京盐城一模)在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线C 的顶点在坐标原点,焦点在x 轴上,若曲线C 经过点P (1,3),则其焦点到准线的距离为________.92[由题意,可设曲线C 的方程为y 2=2px (p >0). 由于点P (1,3)满足y 2=2px ,即9=2p ,∴p =92. 故焦点到准线的距离为92.]5.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率为33,过F 2的直线l 交C 于A ,B 两点.若△AF 1B 的周长为43,则C 的方程为________.x 23+y 22=1 [由e =33得c a =33①.又△AF 1B 的周长为43,由椭圆定义,得4a =43,得a =3,代入①得c =1,∴b 2=a 2-c 2=2,故C 的方程为x 23+y 22=1.]6.设F 为抛物线C :y 2=3x 的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ,B 两点,则AB =________.12 [∵F 为抛物线C :y 2=3x 的焦点,∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34,0,∴AB 的方程为y -0=tan 30°⎝ ⎛⎭⎪⎫x -34,即y =33x -34. 联立⎩⎨⎧y 2=3x ,y =33x -34,得13x 2-72x +316=0.∴x 1+x 2=--7213=212,即x A +x B =212.由于AB =x A +x B +p ,∴AB =212+32=12.]7.(2016·南通三模)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线x 2a 2-y 2=1与抛物线y 2=-12x 有相同的焦点,则双曲线的两条渐近线的方程为________.y =±24x [抛物线y 2=-12x 的焦点为(-3,0), 故双曲线x 2a 2-y 2=1满足a 2+1=9,∴a 2=8. ∴a =±2 2.∴双曲线的渐近线方程y =±x a =±24x .]8.已知F 1,F 2是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左,右焦点,过F 1的直线与椭圆相交于A ,B 两点,若AB →·AF 2→=0,且|AB →|=|AF 2→|,则椭圆的圆心率为________.6-3 [在Rt △ABF 2中,设AF 2=m , 则BF 2=2m , 所以4a =(2+2)m ,又在Rt △AF 1F 2中,AF 1=2a -m =22m , F 1F 2=2c ,所以(2c )2=⎝ ⎛⎭⎪⎫22m 2+m 2=32m 2,即2c =62m ,所以e =c a =2c2a =62m ⎝⎛⎭⎪⎫1+22m=6- 3.] 9.已知F 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点,P是椭圆上的一点,PF ⊥x 轴,OP ∥AB (O 为原点),则该椭圆的离心率是________.【导学号:19592053】图17-222 [把x =-c 代入椭圆方程,得y =±b 2a ,∴PF =b 2a . ∵OP ∥AB ,PF ∥OB ,∴△PFO ∽△BOA , ∴PF OF =OB OA ,即b 2a c =b a ,得b =c ,e =22.]10.过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A ,B ,C ,若BC =2BF ,且AF =3,则抛物线的方程是________.y 2=3x [设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),作AM ,BN 垂直准线于点M ,N (图略),则BN =BF ,又BC =2BF ,得BC =2BN ,所以∠NCB =30°,有AC =2AM =6,设BF =x ,则2x +x +3=6⇒x =1,又x 1+p 2=3,x 2+p 2=1,且x 1x 2=p 24, 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫3-p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1-p 2=p 24,解得p =32,从而抛物线方程为y 2=3x .]11.设M (x 0,y 0)为抛物线C :x 2=8y 上一点,F 为抛物线C 的焦点,以F 为圆心、FM 为半径的圆和抛物线C 的准线相交,则y 0的取值范围是________.(2,+∞) [∵x 2=8y ,∴焦点F 的坐标为(0,2),准线方程为y =-2.由抛物线的定义知MF =y 0+2.以F 为圆心、FM 为半径的圆的标准方程为x 2+(y -2)2=(y 0+2)2.由于以F 为圆心、FM 为半径的圆与准线相交,又圆心F 到准线的距离为4,故4<y 0+2,∴y 0>2.]12.如图17-3,已知直线l :y =k (x +1)(k >0)与抛物线C :y 2=4x 相交于A ,B 两点,且A ,B 两点在抛物线C 的准线上的射影分别是M ,N ,若AM =2BN ,则k =________.图17-3223 [设直线l 与曲线C 的准线的交点为E ,因为AM =2BN ,所以BE =BA ,即B 为AE 的中点,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),得2x 2=x 1-1,由⎩⎨⎧y =k (x +1),y 2=4x ,得k 2x 2+(2k 2-4)x +k 2=0,所以x 2·x 1=1,即x 1-12·x 1=1,得x 1=2,y 1=22,x 2=12,y 2=2,k =223.]13.(2013·辽宁高考)已知F 为双曲线C :x 29-y 216=1的左焦点,P ,Q 为C 上的点.若PQ 的长等于虚轴长的2倍,点A (5,0)在线段PQ 上,则△PQF 的周长为________.44 [由x 29-y 216=1,得a =3,b =4,c =5. ∴PQ =4b =16>2a .又∵A (5,0)在线段PQ 上,∴P ,Q 在双曲线的一支上, 且PQ 所在直线过双曲线的右焦点, 由双曲线定义知⎩⎨⎧PF -P A =2a =6,QF -QA =2a =6,∴PF +QF =28.∴△PQF 的周长是PF +QF +PQ =28+16=44.]14.椭圆Γ:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,焦距为2c .若直线y =3(x +c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1,则该椭圆的离心率等于________.3-1 [已知F 1(-c,0),F 2(c,0), 直线y =3(x +c )过点F 1,且斜率为3, ∴倾斜角∠MF 1F 2=60°. ∵∠MF 2F 1=12∠MF 1F 2=30°,∴∠F 1MF 2=90°,∴MF 1=c ,MF 2=3c . 由椭圆定义知MF 1+MF 2=c +3c =2a , ∴离心率e =c a =21+3=3-1.]15.(2016·宿迁模拟)已知动点P (x ,y )在椭圆x 225+y 216=1上,若A 点的坐标为(3,0),|AM →|=1,且PM →·AM →=0,则|PM →|的最小值为________.3 [由|AM →|=1,A (3,0),知点M 在以A (3,0)为圆心,1为半径的圆上运动, ∵PM →·AM →=0且P 在椭圆上运动,∴PM ⊥AM ,即PM 为⊙A 的切线,连结P A (如图),则|PM →|=|P A →|2-|AM →|2=|P A →|2-1,∵|P A →|min =a -c =5-3=2, ∴|PM →|min = 3.]16.椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ,使得△F 1F 2P 为等腰三角形,则椭圆C 的离心率的取值范围是________.⎝ ⎛⎭⎪⎫13,12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12,1 [当点P 位于椭圆的两个短轴端点时,△F 1F 2P 为等腰三角形,此时有2个.若点不在短轴的端点时,要使△F 1F 2P 为等腰三角形,则有PF 1=F 1F 2=2c 或PF 2=F 1F 2=2c .此时PF 2=2a -2c .所以有PF 1+F 1F 2>PF 2,即2c +2c >2a -2c ,所以3c >a ,即c a >13,又当点P 不在短轴上,所以PF 1≠BF 1,即2c ≠a ,所以c a ≠12.13<e<1且e≠12,即⎝⎛⎭⎪⎫13,12∪⎝⎛⎭⎪⎫12,1.]所以椭圆的离心率满足。
2018版高考数学理江苏专用大二轮总复习与增分策略配套课件:专题二 函数与导数 第2讲 精品
解析
答案
(2)已知函数 f(x)=efxx,-x1≤,1,x>1, g(x)=kx+1,若方程 f(x)-g(x)=0 有 两个不同的实根,则实数 k 的取值范围是_(_e_-2__1_,__1_)∪__(_1_,__e_-__1_]_.
思维升华
解析
答案
跟踪演练2 (1)已知函数f(x)=ex-2x+a有零点,则a的取值范围是 _(_-__∞_,__2_l_n_2_-__2_]___.
专题二 函数与导数
第2讲 函数的应用
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高考真题体验
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1.(2016·天津改编)已知函数 f(x)=sin2ω2x+12sin ωx-12 (ω>0,x∈R).若 f(x) 在区间(π,2π)内没有零点,则 ω 的取值范围是__0_,__18__∪__14_,__58____.
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热点分类突破
热点一 函数的零点 1.零点存在性定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且有 f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b) 使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根. 2.函数的零点与方程根的关系 函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)的图 象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标.
解析答案
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4.某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量 F(单位时间内经 过测量点的车辆数,单位:辆/时)与车流速度 v (假设车辆以相同速度 v 行驶, 单位:米/秒),平均车长 l(单位:米)的值有关,其公式为 F=v2+76180v0+0v20l. (1)如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为_1__9_0_0___辆/时;
2018年高考数学理科江苏专版二轮专题复习与策略课件:第1部分 专题1 第6讲 第2课时 利用导数解
[解] (1)f′(x)=1x-x+1=-x2+x x+1,x∈(0,+∞).
由f′(x)>0,得x->x02+,x+1>0,
解得0<x<1+2
5 .
故f(x)的单调递增区间是0,1+2 5. (2)令F(x)=f(x)-(x-1),x∈(0,+∞),
则有F′(x)=1-x x2.
8分
当x∈(1,+∞)时,F′(x)<0,
当x∈(e-1,+∞)时,h′(x)>0,故h(x)是(e-1,+∞)上的单调增函数.
所以h(x)在(0,+∞)上的最小值是h(e-1).
14分
注意到h(1)=h(e)=0,所以当x∈(1,e-1)⊆(0,e-1)时,h(e-1)≤h(x)<h(1) =0;
当x∈(e-1,e)⊆(e-1,+∞)时,h(x)<h(e)=0. 所以h(x)<0对任意的x∈(1,e)成立.15分 ①当a∈e+2e-1,e⊆(1,e)时,h(a)<0,即a-1<(e-1)ln a,从而ea-1<ae-1; ②当a=e时,ea-1=ae-1;
此时,函数f(x)的零点个数为1.
10分
(ⅲ)当a<2e-1时,f(x)min=f(e-2)=a-2e-1<0.
①a≤0时,
因为当x∈(0,e-2]时,f(x)=a+ xln x<a≤0,
所以,函数f(x)在区间(0,e-2]上无零点;
另一方面,因为f(x)在[e-2,+∞)上单调递增,且f(e-2)=a-2e-1<0,
(2)由(1)可知,f(x)min=f(e-2)=a-2e-1.
6分
(ⅰ)当a>2e-1时,由f(x)≥f(e-2)=a-2e-1>0,得函数f(x)的零点个数为0.
2018年高考数学文科江苏专版二轮专题复习与策略专题限
专题限时集训(二) 函数的图象与性质(建议用时:45分钟)1.函数f (x )=1(log 2x )2-1的定义域为________. ⎝ ⎛⎦⎥⎤0,12∪(2,+∞) [要使函数f (x )有意义,需使(log 2x )2-1>0,即(log 2x )2>1,∴log 2x >1或log 2x <-1,解得x >2或0<x <12.故f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12∪(2,+∞).]2.(2016·苏州期中)定义在R 上的奇函数f (x ),当x >0时,f (x )=2x -x 2,则f (-1)+f (0)+f (3)=________.-2 [∵f (x )为R 上的奇函数,∴f (-1)=-f (1),f (0)=0. 又f (1)=2-1=1,f (0)=0,f (3)=23-9=-1, ∴f (-1)+f (0)+f (3)=-1+0-1=-2.]3.(2016·无锡期中)若函数y =4x +a2x 的图象关于原点对称,则实数a 等于________.-1 [由题意可知函数y =4x +a 2x 为奇函数,故由40+a20=1+a =0得a =-1.] 4.f (x )是R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )=x 3+ln(1+x ),则当x <0时,f (x )=________.x 3-ln(1-x ) [当x <0时,-x >0,又f (x )是R 上的奇函数,所以f (x )=-f (-x )=-[(-x )3+ln(1-x )]=x 3-ln(1-x ).]5.已知f (x )是定义在R 上的奇函数,若对于x ≥0,都有f (x +2)=f (x ),且当x ∈[0,2)时,f (x )=e x -1,则f (2 015)+f (-2 016)=________.e -1 [由f (x +2)=f (x )可知当x ≥0时函数的周期是2.所以f (2 015)=f (1)=e -1,f (-2 016)=-f (2 016)=-f (0)=0,所以f (2 015)+f (-2 016)=e -1.]6.(2016·苏州模拟)设函数f (x )=⎩⎨⎧2x-4,x >0,-x -3,x <0,若f (a )>f (1),则实数a的取值范围是________.a <-1或a >1 [当a >0时,由f (a )>f (1)得2a -4>21-4,解得a >1. 当a <0时,由f (a )>f (1)得-a -3>21-4,即a <-1.综上可知a <-1或a >1.]7.偶函数y =f (x )的图象关于直线x =2对称,f (3)=3,则f (-1)=________.【导学号:91632006】3 [∵f (x )的图象关于直线x =2对称, ∴f (4-x )=f (x ),∴f (4-1)=f (1)=f (3)=3, 即f (1)=3. ∵f (x )是偶函数, ∴f (-x )=f (x ), ∴f (-1)=f (1)=3.]8.(2016·南通调研)若函数f (x )=⎩⎨⎧x (x -b ),x ≥0,ax (x +2),x <0(a >0,b >0)为奇函数,则f (a +b )的值为________.-1 [由于f (x )为奇函数,∴⎩⎨⎧f (-1)=-f (1),f (-2)=-f (2),∴⎩⎨⎧-a (-1+2)=-(1-b ),2(2-b )=0, ∴⎩⎨⎧a +b =1,b =2,解得a =-1,b =2, ∴f (a +b )=f (1)=1-b =1-2=-1.]9.若函数f (x )=⎩⎨⎧-x +6,x ≤2,3+log a x ,x >2(a >0,且a ≠1)的值域是[4,+∞),则实数a 的取值范围是________.(1,2] [由题意得f (x )的图象如图,则⎩⎨⎧a >1,3+log a 2≥4,∴1<a ≤2.]10.已知偶函数f (x )在[0,+∞)单调递减,f (2)=0.若f (x -1)>0,则x 的取值范围是________.(1,3) [∵f (x )是偶函数, ∴图象关于y 轴对称.又f (2)=0,且f (x )在[0,+∞)单调递减, 则f (x )的大致图象如图所示, 由f (x -1)>0,得-2<x -1<2, 即-1<x <3.]11.定义在R 上的函数f (x )满足f (x )=f (x +4).当-2≤x <0时,f (x )=log 2(-x );当0≤x <2时,f (x )=2x -1,则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2 016)的值为_____.1 260 [因为f (x )=f (x +4), 所以函数f (x )的周期为4.当-2≤x <0时,f (x )=log 2(-x ); 当0≤x <2时,f (x )=2x -1.所以f (1)=20=1, f (2)=f (-2)=log 22=1, f (3)=f (-1)=log 21=0, f (4)=f (0)=2-1=12.所以在一个周期内有f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=1+1+0+12=52, 所以f (1)+f (2)+…+f (2 016)=504×52=1 260.]12.已知函数h (x )(x ≠0)为偶函数,且当x >0时,h (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x 24,0<x ≤4,4-2x ,x >4,若h (t )>h (2),则实数t 的取值范围为________.(-2,0)∪(0,2) [因为x >0时,h (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x 24,0<x ≤4,4-2x ,x >4.易知函数h (x )在(0,+∞)上单调递减. 因为函数h (x )(x ≠0)为偶函数, 且h (t )>h (2), 所以h (|t |)>h (2), 所以0<|t |<2,所以⎩⎨⎧ t ≠0,|t |<2,即⎩⎨⎧t ≠0,-2<t <2,解得-2<t <0或0<t <2.综上,所求实数t 的取值范围为(-2,0)∪(0,2).]13.(2016·盐城期中)设函数f (x )=lg(x +1+mx 2)是奇函数,则实数m 的值为________.1 [由f (x )为奇函数可知, f (-x )+f (x )=0对∀x ∈R 恒成立,∴lg(-x +1+mx 2)+lg(x +1+mx 2)=0对∀x ∈R 恒成立, ∴lg(1+mx 2-x 2)=0对∀x ∈R 恒成立,∴m =1.]14.已知f (x )=x 2,g (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12x -m ,若对任意x 1∈[-1,3],总存在x 2∈[0,2],使得f (x 1)≥g (x 2)成立,则实数m 的取值范围是________.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14,+∞ [∵x 1∈[-1,3]时,f (x 1)∈[0,9]; x 2∈[0,2]时,g (x 2)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14-m ,1-m .故只需0≥14-m ,解得m ≥14.]15.已知函数f (x )在实数集R 上具有下列性质:①直线x =1是函数f (x )的一条对称轴;②f (x +2)=-f (x );③当1≤x 1<x 2≤3时,[f (x 2)-f (x 1)]·(x 2-x 1)<0,则f (2 015),f (2 016),f (2 017),f (2 018)从大到小的顺序为________.f (2 017)>f (2 016)=f (2 018)>f (2 015) [由f (x +2)=-f (x )得f (x +4)=f (x ),所以f (x )的周期是4,所以f (2 015)=f (3),f (2 016)=f (0),f (2 017)=f (1),f (2 018)=f (2).因为直线x =1是函数f (x )的一条对称轴,所以f (2 016)=f (0)=f (2).由1≤x 1<x 2≤3时,[f (x 2)-f (x 1)]·(x 2-x 1)<0,可知当1≤x ≤3时,函数单调递减,所以f (2 017)>f (2 016)=f (2 018)>f (2 015).]16.设函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且对任意的x ∈R 恒有f (x +1)=f (x -1),已知当x ∈[0,1]时,f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫121-x,给出下列命题:①2是函数f (x )的周期;②函数f (x )在(1,2)上是减函数,在(2,3)上是增函数; ③函数f (x )的最大值是1,最小值是0. 其中所有正确命题的序号是________.①② [在f (x +1)=f (x -1)中,令x -1=t ,则有 f (t +2)=f (t ),因此2是函数f (x )的周期,故①正确. 由于f (x )是偶函数,所以f (x -1)=f (1-x ), 结合f (x +1)=f (x -1)得f (1+x )=f (1-x ), 故f (x )的图象关于x =1对称.当x ∈[0,1]时,f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫121-x =2x -1单调递增,所以f (x )在(1,2)上是减函数,在(2,3)上是增函数,故②正确.由②知,f (x )在一个周期区间[0,2]上的最大值为f (1)=1,最小值为f (0)=f (2)=12,故③不正确.]。
2018届高考数学(文)二轮专题复习习题:第1部分 专题二 函数、不等式、导数 1-2-3
限时规范训练六 导数的简单应用 限时45分钟,实际用时________ 分值81分,实际得分________一、选择题(本题共6小题,每小题5分,共30分)1.设函数f (x )=x 24-a ln x ,若f ′(2)=3,则实数a 的值为( )A .4B .-4C .2D .-2解析:选B.f ′(x )=x 2-a x ,故f ′(2)=22-a2=3,因此a =-4.2.曲线y =e x在点A 处的切线与直线x -y +3=0平行,则点A 的坐标为( ) A .(-1,e -1) B .(0,1) C .(1,e)D .(0,2)解析:选B.设A (x 0,e x 0),y ′=e x,∴y ′|x =x 0=e x 0.由导数的几何意义可知切线的斜率k =e x 0.由切线与直线x -y +3=0平行可得切线的斜率k =1. ∴e x 0=1,∴x 0=0,∴A (0,1).故选B.3.若函数f (x )=x 3-2cx 2+x 有极值点,则实数c 的取值范围为 ( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32,+∞ B.⎝⎛⎭⎪⎫32,+∞ C.⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,-32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32,+∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫-∞,-32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32,+∞ 解析:选D.若函数f (x )=x 3-2cx 2+x 有极值点,则f ′(x )=3x 2-4cx +1=0有两根,故Δ=(-4c )2-12>0,从而c >32或c <-32. 4.已知f (x )=a ln x +12x 2(a >0),若对任意两个不等的正实数x 1,x 2都有f x 1-f x 2x 1-x 2≥2恒成立,则实数a 的取值范围是( )A .[1,+∞)B .(1,+∞)C .(0,1)D .(0,1]解析:选A.由条件可知在定义域上函数图象的切线斜率大于等于2,所以函数的导数f ′(x )=a x+x ≥2.可得x =a 时,f ′(x )有最小值2.∴a ≥1.5.若定义在R 上的函数f (x )满足f (0)=-1,其导函数f ′(x )满足f ′(x )>k >1,则下列结论中一定错误的是( )A .f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k<1kB .f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k >1k -1C .f ⎝⎛⎭⎪⎫1k -1<1k -1D .f ⎝⎛⎭⎪⎫1k -1>1k -1解析:选C.构造函数g (x )=f (x )-kx +1,则g ′(x )=f ′(x )-k >0,∴g (x )在R 上为增函数. ∵k >1,∴1k -1>0,则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k -1>g (0). 而g (0)=f (0)+1=0, ∴g ⎝⎛⎭⎪⎫1k -1=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k -1-k k -1+1>0,即f ⎝⎛⎭⎪⎫1k -1>k k -1-1=1k -1,所以选项C 错误,故选C.6.函数f (x )在定义域R 内可导,若f (x )=f (2-x ),且当x ∈(-∞,1)时,(x -1)f ′(x )<0,设a =f (0),b =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,c =f (3),则( )A .a <b <cB .c <b <aC .c <a <bD .b <c <a解析:选C.因为当x ∈(-∞,1)时,(x -1)f ′(x )<0,所以f ′(x )>0,所以函数f (x )在(-∞,1)上是单调递增函数,所以a =f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=b ,又f (x )=f (2-x ),所以c =f (3)=f (-1),所以c =f (-1)<f (0)=a ,所以c <a <b ,故选C.二、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)7.(2017·高考全国卷Ⅰ)曲线y =x 2+1x在点(1,2)处的切线方程为________.解析:∵y ′=2x -1x2,∴y ′|x =1=1,即曲线在点(1,2)处的切线的斜率k =1, ∴切线方程为y -2=x -1, 即x -y +1=0. 答案:x -y +1=08.已知函数f (x )=-12x 2-3x +4ln x 在(t ,t +1)上不单调,则实数t 的取值范围是________.解析:由题意得,f (x )的定义域为(0,+∞),∴t >0, ∴f ′(x )=-x -3+4x=0在(t ,t +1)上有解,∴x 2+3x -4x=0在(t ,t +1)上有解,∴x 2+3x -4=0在(t ,t +1)上有解,由x 2+3x -4=0得x =1或x =-4(舍去),∴1∈(t ,t +1),∴t ∈(0,1),故实数t 的取值范围是(0,1).答案:(0,1)9.已知函数f (x )=1-xax+ln x ,若函数f (x )在[1,+∞)上为增函数,则正实数a 的取值范围为________.解析:∵f (x )=1-x ax +ln x ,∴f ′(x )=ax -1ax2(a >0).∵函数f (x )在[1,+∞)上为增函数,∴f ′(x )=ax -1ax 2≥0在x ∈[1,+∞)上恒成立,∴ax -1≥0在x ∈[1,+∞)上恒成立,即a ≥1x在x ∈[1,+∞)上恒成立,∴a ≥1.答案:[1,+∞)三、解答题(本题共3小题,每小题12分,共36分) 10.(2017·高考全国卷Ⅱ)设函数f (x )=(1-x 2)e x. (1)讨论f (x )的单调性;(2)当x ≥0时,f (x )≤ax +1,求a 的取值范围. 解:(1)f ′(x )=(1-2x -x 2)e x.令f ′(x )=0得x =-1-2或x =-1+ 2. 当x ∈(-∞,-1-2)时,f ′(x )<0; 当x ∈(-1-2,-1+2)时,f ′(x )>0; 当x ∈(-1+2,+∞)时,f ′(x )<0.所以f (x )在(-∞,-1-2),(-1+2,+∞)单调递减,在(-1-2,-1+2)单调递增.(2)f (x )=(1+x )(1-x )e x.当a ≥1时,设函数h (x )=(1-x )e x,则h ′(x )=-x e x<0(x >0),因此h (x )在[0,+∞)单调递减.而h (0)=1,故h (x )≤1,所以f (x )=(x +1)h (x )≤x +1≤ax +1.当0<a <1时,设函数g (x )=e x-x -1,则g ′(x )=e x-1>0(x >0),所以g (x )在[0,+∞)单调递增.而g (0)=0,故e x≥x +1.当0<x <1时,f (x )>(1-x )(1+x )2,(1-x )(1+x )2-ax -1=x (1-a -x -x 2),取x 0=5-4a -12,则x 0∈(0,1),(1-x 0)(1+x 0)2-ax 0-1=0,故f (x 0)>ax 0+1. 当a ≤0时,取x 0=5-12,则x 0∈(0,1),f (x 0)>(1-x 0)(1+x 0)2=1≥ax 0+1. 综上,a 的取值范围是[1,+∞).11.(2017·河南郑州质量检测)设函数f (x )=12x 2-m ln x ,g (x )=x 2-(m +1)x .(1)求函数f (x )的单调区间;(2)当m ≥0时,讨论函数f (x )与g (x )图象的交点个数.解:(1)函数f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=x 2-mx,当m ≤0时,f ′(x )>0,所以函数f (x )的单调递增区间是(0,+∞),无单调递减区间. 当m >0时,f ′(x )=x +mx -mx,当0<x <m 时,f ′(x )<0,函数f (x )单调递减;当x >m 时,f ′(x )>0,函数f (x )单调递增.综上,当m ≤0时,函数f (x )的单调递增区间是(0,+∞),无单调递减区间;当m >0时,函数f (x )的单调递增区间是(m ,+∞),单调递减区间是(0,m ).(2)令F (x )=f (x )-g (x )=-12x 2+(m +1)x -m ln x ,x >0,问题等价于求函数F (x )的零点个数,当m =0时,F (x )=-12x 2+x ,x >0,有唯一零点;当m ≠0时,F ′(x )=-x -x -m x,当m =1时,F ′(x )≤0,函数F (x )为减函数,注意到F (1)=32>0,F (4)=-ln 4<0,所以F (x )有唯一零点.当m >1时,0<x <1或x >m 时,F ′(x )<0;1<x <m 时,F ′(x )>0,所以函数F (x )在(0,1)和(m ,+∞)上单调递减,在(1,m )上单调递增,注意到F (1)=m +12>0,F (2m +2)=-m ln(2m +2)<0,所以F (x )有唯一零点.当0<m <1时,0<x <m 或x >1时,F ′(x )<0;m <x <1时,F ′(x )>0,所以函数F (x )在(0,m )和(1,+∞)上单调递减,在(m,1)上单调递增,易得ln m <0, 所以F (m )=m2(m +2-2ln m )>0,而F (2m +2)=-m ln(2m +2)<0,所以F (x )有唯一零点.综上,函数F (x )有唯一零点,即两函数图象有一个交点. 12.(2017·河南洛阳模拟)已知函数f (x )=ln x -a x +x -1,曲线y =f (x )在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12处的切线平行于直线y =10x +1.(1)求函数f (x )的单调区间;(2)设直线l 为函数g (x )=ln x 的图象上任意一点A (x 0,y 0)处的切线,在区间(1,+∞)上是否存在x 0,使得直线l 与曲线h (x )=e x也相切?若存在,满足条件的x 0有几个?解:(1)∵函数f (x )=ln x -a x +x -1,∴f ′(x )=1x+2a x -2,∵曲线y =f (x )在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12处的切线平行于直线y =10x +1, ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12=2+8a =10,∴a =1,∴f ′(x )=x 2+1x x -2.∵x >0且x ≠1,∴f ′(x )>0,∴函数f (x )的单调递增区间为(0,1)和(1,+∞). (2)存在且唯一,证明如下:∵g (x )=ln x ,∴切线l 的方程为y -ln x 0=1x 0(x -x 0),即y =1x 0x +ln x 0-1 ①,设直线l 与曲线h (x )=e x相切于点(x 1,e x 1), ∵h ′(x )=e x,∴e x 1=1x 0,∴x 1=-ln x 0,∴直线l 的方程也可以写成y -1x 0=1x 0(x +ln x 0),即y =1x 0x +ln x 0x 0+1x 0②,由①②得ln x 0-1=ln x 0x 0+1x 0,∴ln x 0=x 0+1x 0-1.证明:在区间(1,+∞)上x 0存在且唯一. 由(1)可知,f (x )=ln x -x +1x -1在区间(1,+∞)上单调递增, 又f (e)=-2e -1<0,f (e 2)=e 2-3e 2-1>0,结合零点存在性定理,说明方程f (x )=0必在区间(e ,e 2)上有唯一的根,这个根就是所求的唯一x 0.。
2018年高考数学江苏专版二轮专题复习附加题高分练全套含解析
2018年高考数学江苏专版二轮专题复习附加题高分练1.矩阵与变换1.(2017²常州期末)已知矩阵A =⎣⎡⎦⎤2 13 2,列向量X =⎣⎡⎦⎤x y ,B =⎣⎡⎦⎤47,若AX =B ,直接写出A -1,并求出X . 解 由A =⎣⎡⎦⎤2 13 2,得到A -1=⎣⎡⎦⎤ 2 -1-3 2.由AX =B ,得到X =A -1B =⎣⎡⎦⎤ 2 -1-3 2⎣⎡⎦⎤47=⎣⎡⎦⎤12.也可由AX =B 得到⎣⎡⎦⎤2 13 2⎣⎡⎦⎤x y =⎣⎡⎦⎤47,即⎩⎪⎨⎪⎧2x +y =4,3x +2y =7,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =2,所以X =⎣⎡⎦⎤12.2.(2017²江苏淮阴中学调研)已知矩阵A =⎣⎡⎦⎤3 3c d ,若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1=⎣⎡⎦⎤11,属于特征值1的一个特征向量α2=⎣⎡⎦⎤ 3-2.求矩阵A ,并写出A 的逆矩阵.解 由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量α1=⎣⎡⎦⎤11可得,⎣⎡⎦⎤33cd ⎣⎡⎦⎤11=6⎣⎡⎦⎤11,即c +d =6;由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量α2=⎣⎡⎦⎤ 3-2,可得⎣⎡⎦⎤3 3c d ⎣⎡⎦⎤ 3-2=⎣⎡⎦⎤3-2,即3c -2d =-2,解得⎩⎪⎨⎪⎧c =2,d =4.即A =⎣⎡⎦⎤3 32 4,A 的逆矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 -12-13 123.(2017²江苏建湖中学月考)曲线x 2+4xy +2y 2=1在二阶矩阵M =⎣⎡⎦⎤1 a b 1的作用下变换为曲线x 2-2y 2=1. (1)求实数a ,b 的值; (2)求M 的逆矩阵M -1.解 (1)设P(x ,y)为曲线x 2-2y 2=1上任意一点,P ′(x ′,y ′)为曲线x 2+4xy +2y 2=1上与P 对应的点,则⎣⎡⎦⎤1 a b 1⎣⎡⎦⎤x ′y ′=⎣⎡⎦⎤x y ,即⎩⎪⎨⎪⎧x =x ′+ay ′,y =bx ′+y ′,代入x 2-2y 2=1得(x ′+ay ′)2-2(bx ′+y ′)2=1得(1-2b 2)x ′2+(2a -4b)x ′y ′+(a 2-2)y ′2=1,及方程x 2+4xy +2y 2=1,从而⎩⎪⎨⎪⎧1-2b 2=1,2a -4b =4,a 2-2=2,解得a =2,b =0. (2)因为M =⎪⎪⎪⎪1 20 1=1≠0,故M-1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 -210111=⎣⎡⎦⎤1 -20 1. 4.已知曲线C :y 2=12x ,在矩阵M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 -2对应的变换作用下得到曲线C 1,C 1在矩阵N =⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110对应的变换作用下得到曲线C 2,求曲线C 2的方程.解 设A =NM ,则A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 -2=⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 -21 0, 设P(x ′,y ′)是曲线C 上任一点,在两次变换下,在曲线C 2上对应的点为P(x ,y),则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y =⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 -21 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′=⎣⎢⎡⎦⎥⎤-2y ′ x ′, 即⎩⎪⎨⎪⎧x =-2y ′,y =x ′,∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′=y ,y ′=-12x.又点P(x ′,y ′)在曲线C :y 2=12x 上,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫-12x 2=12y ,即x 2=2y. 2.坐标系与参数方程1.(2017²南通一模)在极坐标系中,求直线θ=π4(ρ∈R )被曲线ρ=4sin θ所截得的弦长.解 方法一 在ρ=4sin θ中,令θ=π4,得ρ=4sin π4=22,即弦长为2 2.方法二 以极点O 为坐标原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系. 直线θ=π4(ρ∈R )的直角坐标方程为y =x ,①曲线ρ=4sin θ的直角坐标方程为x 2+y 2-4y =0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x =0,y =0或⎩⎪⎨⎪⎧x =2,y =2,所以直线θ=π4(ρ∈R )被曲线ρ=4sin θ所截得的弦长为(2-0)2+(2-0)2=2 2.2.(2017²江苏六市联考)平面直角坐标系xOy 中,已知直线⎩⎪⎨⎪⎧x =-32+22l ,y =22l (l 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x =18t 2,y =t(t 为参数)相交于A ,B 两点,求线段AB 的长.解 直线的普通方程为2x -2y +3=0,曲线的普通方程为y 2=8x.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x -2y +3=0,y 2=8x ,得⎩⎪⎨⎪⎧x =12,y =2或⎩⎪⎨⎪⎧x =92,y =6.取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,2,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫92,6,得AB =4 2.3.(2017²江苏滨海中学质检)已知直线的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ+π4=22,圆M 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =2cos θ,y =-2+2sin θ,(其中θ为参数).(1)将直线的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求圆M 上的点到直线的距离的最小值. 解 (1)极点为直角坐标原点O ,ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π4=ρ⎝⎛⎭⎪⎫22sin θ+22cos θ=22,∴ρsin θ+ρcos θ=1,其直角坐标方程为x +y -1=0.(2)将圆的参数方程化为普通方程为x 2+(y +2)2=4,圆心为M(0,-2), ∴点M 到直线的距离为d =|0-2-1|2=32=322,∴圆上的点到直线距离的最小值为32-42.4.(2017²常州期末)在平面直角坐标系中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.已知圆ρ=4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π6被射线θ=θ0⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ≥0,θ0为常数,且θ0∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2所截得的弦长为23,求θ0的值.解 圆ρ=4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π6的直角坐标方程为(x -1)2+(y -3)2=4,射线θ=θ0的直角坐标方程可以设为y =kx(x ≥0,k >0).圆心(1,3)到直线y =kx 的距离d =|k -3|1+k 2. 根据题意,得24-(k -3)21+k 2=23,解得k =33. 即tan θ0=33,又θ0∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2,所以θ0=π6.3.曲线与方程、抛物线1.(2017²江苏南通天星湖中学质检)已知点A(1,2)在抛物线F :y 2=2px 上.(1)若△ABC 的三个顶点都在抛物线F 上,记三边AB ,BC ,CA 所在直线的斜率分别为k 1,k 2,k 3, 求1k 1-1k 2+1k 3的值;(2)若四边形ABCD 的四个顶点都在抛物线F 上,记四边AB ,BC ,CD ,DA 所在直线的斜率分别为k 1,k 2,k 3,k 4,求1k 1-1k 2+1k 3-1k 4的值.解 (1)由点A(1,2)在抛物线F 上,得p =2,∴抛物线F :y 2=4x ,设B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214,y 1,C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224,y 2,∴1k 1-1k 2+1k 3=y 214-1y 1-2-y 224-y 214y 2-y 1+1-y 2242-y 2=y 1+24-y 2+y 14+2+y 24=1. (2)另设D ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 234,y 3,则1k 1-1k 2+1k 3-1k 4=y 1+24-y 2+y 14+y 3+y 24-2+y 34=0.2.(2017²江苏赣榆中学月考)抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点,点P(1,2),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)均在抛物线上.(1)写出该抛物线的方程及其准线方程;(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求y 1+y 2的值及直线AB 的斜率. 解 (1)由已知条件,可设抛物线的方程为y 2=2px. ∵点P(1,2)在抛物线上, ∴22=2p ³1,得p =2,故所求抛物线的方程是y 2=4x ,准线方程是x =-1.(2)设直线PA 的斜率为k PA ,直线PB 的斜率为k PB , 则k PA =y 1-2x 1-1(x 1≠1),k PB =y 2-2x 2-1(x 2≠1).∵PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补, ∴k PA =-k PB ,由A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)在抛物线上,得 y 21=4x 1,① y 22=4x 2,② ∴y 1-214y 21-1=-y 2-214y 22-1, ∴y 1+2=-(y 2+2), ∴y 1+y 2=-4,由①-②得直线AB 的斜率k AB =y 2-y 1x 2-x 1=4y 1+y 2=-44=-1(x 1≠x 2).3.(2017²江苏常州中学质检)已知点A(-1,0),F(1,0),动点P 满足AP →²AF →=2||FP →. (1)求动点P 的轨迹C 的方程;(2)在直线l :y =2x +2上取一点Q ,过点Q 作轨迹C 的两条切线,切点分别为M ,N.问:是否存在点Q ,使得直线MN ∥l ?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由. 解 (1)设P(x ,y),则AP →=(x +1,y),FP →=(x -1,y),AF →=(2,0), 由AP →²AF →=2|FP →|,得2(x +1)=2(x -1)2+y 2,化简得y 2=4x. 故动点P 的轨迹C 的方程为y 2=4x.(2)直线l 方程为y =2(x +1),设Q(x 0,y 0),M(x 1,y 1),N(x 2,y 2).设过点M 的切线方程为x -x 1=m(y -y 1),代入y 2=4x ,得y 2-4my +4my 1-y 21=0, 由Δ=16m 2-16my 1+4y 21=0,得m =y 12,所以过点M 的切线方程为y 1y =2(x +x 1),同理过点N 的切线方程为y 2y =2(x +x 2).所以直线MN 的方程为y 0y =2(x 0+x), 又MN ∥l ,所以2y 0=2,得y 0=1,而y 0=2(x 0+1),故点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,1. 4.(2017²江苏宝应中学质检)如图,已知抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,过F 的直线l 与抛物线C 交于A(x 1,y 1)(y 1>0),B(x 2,y 2)两点,T 为抛物线的准线与x 轴的交点.(1)若TA →²TB →=1,求直线l 的斜率; (2)求∠ATF 的最大值.解 (1)因为抛物线y 2=4x 焦点为F(1,0),T(-1,0).当l ⊥x 轴时,A(1,2),B(1,-2),此时TA →²TB →=0,与TA →²TB →=1矛盾, 所以设直线l 的方程为y =k(x -1),代入y 2=4x ,得k 2x 2-(2k 2+4)x +k 2=0, 则x 1+x 2=2k 2+4k2,x 1x 2=1,①所以y 21y 22=16x 1x 2=16,所以y 1y 2=-4,② 因为TA →²TB →=1,所以(x 1+1)(x 2+1)+y 1y 2=1, 将①②代入并整理得,k 2=4,所以k =±2.(2)因为y 1>0,所以tan ∠ATF =y 1x 1+1=y 1y 214+1=1y 14+1y 1≤1,当且仅当y 14=1y 1,即y 1=2时,取等号,所以∠ATF ≤π4,所以∠ATF 的最大值为π4.4.空间向量与立体几何1.(2017²苏锡常镇调研)如图,已知正四棱锥P -ABCD 中,PA =AB =2,点M ,N 分别在PA ,BD 上,且PM PA =BN BD =13.(1)求异面直线MN 与PC 所成角的大小; (2)求二面角N -PC -B 的余弦值.解 (1)设AC ,BD 交于点O ,在正四棱锥P -ABCD 中,OP ⊥平面ABCD ,又PA =AB =2,所以OP = 2.以O 为坐标原点,DA →,AB →,OP →方向分别为x 轴,y 轴,z 轴正方向,建立空间直角坐标系O -xyz ,如图.则A(1,-1,0),B(1,1,0),C(-1,1,0),D(-1,-1,0),P(0,0,2),AP →=(-1,1,2).故OM →=OA →+AM →=OA →+23AP →=⎝ ⎛⎭⎪⎫13,-13,223,ON →=13OB →=⎝ ⎛⎭⎪⎫13,13,0,所以MN →=⎝ ⎛⎭⎪⎫0,23,-223,PC →=(-1,1,-2),所以cos 〈MN →,PC →〉=MN →²PC →|MN →||PC →|=32,所以异面直线MN 与PC 所成角的大小为π6.(2)由(1)知PC →=(-1,1,-2),CB →=(2,0,0),NC →=⎝ ⎛⎭⎪⎫-43,23,0.设m =(x ,y ,z)是平面PCB 的法向量,则m ²PC →=0,m ²CB →=0,可得⎩⎨⎧-x +y -2z =0,x =0,令y =2,则z =1,即m =(0,2,1).设n =(x 1,y 1,z 1)是平面PCN 的法向量,则n ²PC →=0,n ²CN →=0,可得⎩⎨⎧-x 1+y 1-2z 1=0,-2x 1+y 1=0,令x 1=2,则y 1=4,z 1=2,即n =(2,4,2),所以cos 〈m ,n 〉=m²n |m||n|=523³22=53333,则二面角N -PC -B 的余弦值为53333.2.(2017²常州期末)如图,以正四棱锥V -ABCD 的底面中心O 为坐标原点建立空间直角坐标系O -xyz ,其中Ox ∥BC ,Oy ∥AB ,E 为VC 的中点.正四棱锥的底面边长为2a ,高为h ,且有cos 〈BE →,DE →〉=-1549.(1)求ha的值;(2)求二面角B -VC -D 的余弦值.解 (1)根据条件,可得B(a ,a,0),C(-a ,a,0),D(-a ,-a,0),V(0,0,h),E ⎝ ⎛⎭⎪⎫-a 2,a 2,h 2,所以BE →=⎝ ⎛⎭⎪⎫-32a ,-a 2,h 2,DE →=⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2,32a ,h 2,故cos 〈BE →,DE →〉=h 2-6a 2h 2+10a2.又cos 〈BE →,DE →〉=-1549,则h 2-6a 2h 2+10a 2=-1549, 解得h a =32.(2)由h a =32,得BE →=⎝ ⎛⎭⎪⎫-32a ,-a 2,34a ,DE →=⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2,32a ,34a ,且容易得到,CB →=(2a,0,0),DC →=(0,2a,0). 设平面BVC 的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1), 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1²BE →=0,n 1²CB →=0.即⎩⎪⎨⎪⎧-32ax 1-a 2y 1+34az 1=0,2ax 1=0,则⎩⎪⎨⎪⎧x 1=0,2y 1=3z 1,取y 1=3,z 1=2,则n 1=(0,3,2).同理可得平面DVC 的一个法向量为n 2=(-3,0,2). cos 〈n 1,n 2〉=n 1²n 2|n 1||n 2|=0³(-3)+3³0+2³213³13=413,结合图形,可以知道二面角B -VC -D 的余弦值为-413.3.(2017²南京学情调研)如图,在底面为正方形的四棱锥P -ABCD 中,侧棱PD ⊥底面ABCD ,PD =DC ,E 是线段PC 的中点.(1)求异面直线AP 与BE 所成角的大小;(2)若点F 在线段PB 上,且使得二面角F -DE -B 的正弦值为33,求PFPB的值.解 (1)在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 为正方形,侧棱PD ⊥底面ABCD ,所以DA ,DC ,DP 两两垂直,故以{DA →,DC →,DP →}为正交基底,建立空间直角坐标系D -xyz.因为PD =DC ,所以DA =DC =DP , 不妨设DA =DC =DP =2,则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),B(2,2,0). 因为E 是PC 的中点,所以E(0,1,1), 所以AP →=(-2,0,2),BE →=(-2,-1,1), 所以cos 〈AP →,BE →〉=AP →²BE →|AP →||BE →|=32,从而〈AP →,BE →〉=π6.因此异面直线AP 与BE 所成角的大小为π6.(2)由(1)可知,DE →=(0,1,1),DB →=(2,2,0),PB →=(2,2,-2). 设PF →=λPB →,则PF →=(2λ,2λ,-2λ), 从而DF →=DP →+PF →=(2λ,2λ,2-2λ). 设m =(x 1,y 1,z 1)为平面DEF 的法向量, 则⎩⎪⎨⎪⎧m ²DF →=0,m ²DE →=0,即⎩⎪⎨⎪⎧λx 1+λy 1+(1-λ)z 1=0,y 1+z 1=0,取z 1=λ,则y 1=-λ,x 1=2λ-1.故m =(2λ-1,-λ,λ)为平面DEF 的一个法向量, 设n =(x 2,y 2,z 2)为平面DEB 的法向量.则⎩⎪⎨⎪⎧n ²DB →=0,n ²DE →=0,即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2+2y 2=0,y 2+z 2=0,取x 2=1,则y 2=-1,z 2=1.所以n =(1,-1,1)为平面BDE 的一个法向量. 因为二面角F -DE -B 的余弦值的绝对值为63, 即|cos 〈m ,n 〉|=|m²n ||m||n|=|4λ-1|3²(2λ-1)2+2λ2=63, 化简得4λ2=1.因为点F 在线段PB 上,所以0≤λ≤1, 所以λ=12,即PF PB =12.4.(2017²苏北四市一模)如图,在四棱锥P -ABCD 中,PA ⊥平面ABCD ,∠ABC =∠BAD =90°,AD =AP =4,AB =BC =2,M 为PC 的中点. (1)求异面直线AP ,BM 所成角的余弦值;(2)点N 在线段AD 上,且AN =λ,若直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为45,求λ的值.解 (1)因为PA ⊥平面ABCD ,且AB ,AD ⊂平面ABCD ,所以PA ⊥AB ,PA ⊥AD. 又因为∠BAD =90°,所以PA ,AB ,AD 两两互相垂直.分别以AB ,AD ,AP 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,如图所示,则由AD =2AB =2BC =4,PA =4可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),P(0,0,4). 又因为M 为PC 的中点,所以M(1,1,2). 所以BM →=(-1,1,2),AP →=(0,0,4), 所以cos 〈AP →,BM →〉=AP →²BM →|AP →||BM →|=0³(-1)+0³1+4³24³6=63,所以异面直线AP ,BM 所成角的余弦值为63. (2)因为AN =λ,所以N(0,λ,0)(0≤λ≤4),则MN →=(-1,λ-1,-2),BC →=(0,2,0),PB →=(2,0,-4).设平面PBC 的法向量为m =(x ,y ,z), 则⎩⎪⎨⎪⎧m ²BC →=0,m ²PB →=0,即⎩⎪⎨⎪⎧2y =0,2x -4z =0.令x =2,解得y =0,z =1,所以m =(2,0,1)是平面PBC 的一个法向量.因为直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为45,所以|cos 〈MN →,m 〉|=|MN →²m ||MN →||m |=|-2-2|5+(λ-1)2²5=45,解得λ=1∈[0,4],所以λ的值为1.5.离散型随机变量的概率分布1.(2017²南京、盐城一模)某年级星期一至星期五每天下午排3节课,每天下午随机选择1节作为综合实践课(上午不排该课程),张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程.(1)求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率;(2)设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X ,求X 的概率分布与数学期望E(X). 解 (1)这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为P =1-33³3=23.(2)由题意得X ~B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5,13,P(X =k)=C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫13k²⎝ ⎛⎭⎪⎫235-k ,k =0,1,2,3,4,5.所以X 的概率分布为所以X 的数学期望为E(X)=5³13=53.2.一位网民在网上光顾某网店,经过一番浏览后,对该店铺中的A ,B ,C 三种商品有购买意向.已知该网民购买A 种商品的概率为34,购买B 种商品的概率为23,购买C 种商品的概率为12.假设该网民是否购买这三种商品相互独立. (1)求该网民至少购买2种商品的概率;(2)用随机变量η表示该网民购买商品的种数,求η的概率分布和数学期望. 解 (1)该网民恰好购买2种商品的概率为P(AB C )+P(A B C)+P(A BC)=34³23³12+34³13³12+14³23³12=1124;该网民恰好购买3种商品的概率为P(ABC)=34³23³12=14,所以P =1124+14=1724.故该网民至少购买2种商品的概率为1724.(2)随机变量η的可能取值为0,1,2,3,由(1)知,P(η=2)=1124,P(η=3)=14,而P(η=0)=P(A B C )=14³13³12=124,所以P(η=1)=1-P(η=0)-P(η=2)-P(η=3)=14.随机变量η的概率分布为所以随机变量η的数学期望E(η)=0³124+1³14+2³1124+3³14=2312.3.(2017²南京学情调研)甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一次篮,先投中者获胜,投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束.设甲每次投篮命中的概率为25,乙每次投篮命中的概率为23,且各次投篮互不影响.现由甲先投.(1)求甲获胜的概率;(2)求投篮结束时甲的投篮次数X 的概率分布与数学期望.解 (1)设甲第i 次投中获胜的事件为A 1(i =1,2,3),则A 1,A 2,A 3彼此互斥. 甲获胜的事件为A 1+A 2+A 3.P(A 1)=25,P(A 2)=35³13³25=225,P(A 3)=⎝ ⎛⎭⎪⎫352³⎝ ⎛⎭⎪⎫132³25=2125.所以P(A 1+A 2+A 3)=P(A 1)+P(A 2)+P(A 3)=25+225+2125=62125.(2)X 的所有可能取值为1,2,3. 则P(X =1)=25+35³23=45,P(X =2)=225+35³13³35³23=425,P(X =3)=⎝ ⎛⎭⎪⎫352³⎝ ⎛⎭⎪⎫132³1=125.即X 的概率分布为所以数学期望E(X)=1³45+2³425+3³125=3125.4.为了提高学生学习数学的兴趣,某校决定在每周的同一时间开设《数学史》、《生活中的数学》、《数学与哲学》、《数学建模》四门校本选修课程,甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习,假设三人选择课程时互不影响,且每人选择每一课程都是等可能的.(1)求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率;(2)设X 为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数,求X 的概率分布和数学期望E(X). 解 (1)甲、乙、丙三人从四门课程中各任选一门,共有43=64种不同的选法,记“甲、乙、丙三人选择的课程互不相同”为事件M ,事件M 共包含A 34=24个基本事件,则P(M)=2464=38,所以甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率为38.(2)方法一 X 可能的取值为0,1,2,3. P(X =0)=3343=2764,P(X =1)=C 13³3243=2764,P(X =2)=C 23³343=964,P(X =3)=C 3343=164.所以X 的概率分布为所以E(X)=0³2764+1³2764+2³964+3³164=34.方法二 甲、乙、丙三人从四门课程中任选一门,可以看成三次独立重复试验,X 为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数,则X ~B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3,14,所以P(X =k)=C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫14k ⎝ ⎛⎭⎪⎫343-k,k =0,1,2,3,所以X 的概率分布为所以X 的数学期望E(X)=3³14=34.6.计数原理、二项式定理和数学归纳法1.已知等式(1+x)2n -1=(1+x)n -1(1+x)n.(1)求(1+x)2n -1的展开式中含x n的项的系数,并化简:C 0n -1C nn +C 1n -1C n -1n +…+C n -1n -1C 1n ;(2)证明:(C 1n )2+2(C 2n )2+…+n(C n n )2=nC n2n -1. (1)解 (1+x)2n -1的展开式中含x n 的项的系数为C n2n -1,由(1+x)n -1(1+x)n=(C 0n -1+C 1n -1x +…+C n -1n -1xn -1)(C 0n +C 1n x +…+C n n x n )可知,(1+x)n -1(1+x)n的展开式中含x n的项的系数为C 0n -1C nn +C 1n -1C n -1n +…+C n -1n -1C 1n . 所以C 0n -1C nn +C 1n -1C n -1n +…+C n -1n -1C 1n =C n2n -1. (2)证明 当k ∈N *时,kC kn =k²n !k !(n -k )!=n !(k -1)!(n -k )!=n²(n -1)!(k -1)!(n -k )!=nC k -1n -1,所以(C 1n)2+2(C 2n)2+…+n(C n n)2=∑k =1n[k(C k n )2]=k =1n (kC k n C kn )=k =1n (nC k -1n -1C kn )=n k =1n (C k -1n -1C kn )=n k =1n (C n -k n -1C kn ).由(1)知C 0n -1C n n +C 1n -1C n -1n +…+C n -1n -1C 1n =C n2n -1,即k =1n (C n -k n -1C k n )=C n2n -1,所以(C 1n )2+2(C 2n )2+…+n(C n n )2=nC n2n -1.2.(2017²江苏泰州中学调研)在平面直角坐标系xOy 中,点P(x 0,y 0)在曲线y =x 2(x >0)上.已知点A(0,-1),P n (x n0,y n0),n ∈N *.记直线AP n 的斜率为k n . (1)若k 1=2,求P 1的坐标; (2)若k 1为偶数,求证:k n 为偶数. (1)解 因为k 1=2,所以y 0+1x 0=x 20+1x 0=2,解得x 0=1,y 0=1,所以P 1的坐标为(1,1).(2)证明 方法一 设k 1=2p(p ∈N *),即y 0+1x 0=x 20+1x 0=2p.所以x 20-2px 0+1=0,所以x 0=p±p 2-1. 因为y 0=x 2,所以k n =y n0+1x n 0=x 2n0+1x n 0=x n 0+1x n 0,所以当x 0=p +p 2-1时,k n =(p +p 2-1)n+⎝ ⎛⎭⎪⎫1p +p 2-1n =(p +p 2-1)n +(p -p 2-1)n. 同理,当x 0=p -p 2-1时,k n =(p +p 2-1)n +(p -p 2-1)n.①当n =2m(m ∈N *)时,k n =2∑k =0mC 2k n pn -2k(p 2-1)k,所以k n 为偶数.②当n =2m +1(m ∈N )时,k n =2∑k =0mC 2k n pn -2k(p 2-1)k,所以k n 为偶数.综上,k n 为偶数.方法二 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0+1x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x n +10+1x n +10=x n +20+1x n +20+x n0+1x n 0,所以k n +2=k 1k n +1-k n .k 2=x 20+1x 20=⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0+1x 02-2=k 21-2.设命题p(n):k n ,k n +1均为偶数.以下用数学归纳法证明“命题p(n)是真命题”.①因为k 1是偶数,所以k 2=k 21-2也是偶数.当n =1时,p(n)是真命题;②假设当n =m(m ∈N *)时,p(n)是真命题,即k m ,k m +1均为偶数,则k m +2=k 1k m +1-k m 也是偶数,即当n =m +1时,p(n)也是真命题.由①②可知,对n ∈N *,p(n)均是真命题,从而k n 是偶数.3.(2017²江苏扬州中学模拟)在数列{a n }中,a n =cos π3³2(n ∈N *)(1)试将a n +1表示为a n 的函数关系式; (2)若数列{b n }满足b n =1-2n²n!(n ∈N *),猜想a n 与b n 的大小关系,并证明你的结论. 解 (1)a n =cos π3³2n -2=cos 2π3³2n -1=2⎝⎛⎭⎪⎫cosπ3³2n -12-1, ∴a n =2a 2n +1-1, ∴a n +1=±a n +12, 又n ∈N *,n +1≥2,a n +1>0, ∴a n +1=a n +12. (2)当n =1时,a 1=-12,b 1=1-2=-1,∴a 1>b 1,当n =2时,a 2=12,b 2=1-12=12,∴a 2=b 2, 当n =3时,a 3=32,b 3=1-19=89,∴a 3<b 3, 猜想:当n ≥3时,a n <b n ,下面用数学归纳法证明. ①当n =3时,由上知,a 3<b 3,结论成立. ②假设当n =k ,k ≥3,n ∈N *时,a k <b k 成立, 即a k <1-2k²k!,则当n =k +1时,a k +1=a k +12<2-2k²k!2=1-1k²k!, b k +1=1-2(k +1)²(k +1)!,要证a k +1<b k +1,即证明⎝ ⎛⎭⎪⎫1-1k²k!2<⎝ ⎛⎭⎪⎫1-2(k +1)²(k +1)!2,即证明1-1k²k!<1-4(k +1)²(k +1)!+⎝ ⎛⎭⎪⎫2(k +1)²(k +1)!2,即证明1k²k!-4(k +1)²(k +1)!+⎝ ⎛⎭⎪⎫2(k +1)²(k +1)!2>0,即证明(k -1)2k (k +1)²(k +1)!+⎝ ⎛⎭⎪⎫2(k +1)²(k +1)!2>0,显然成立.∴n =k +1时,结论也成立.综合①②可知:当n ≥3时,a n <b n 成立.综上可得:当n =1时,a 1>b 1;当n =2时,a 2=b 2, 当n ≥3,n ∈N *时,a n <b n .4.已知f n (x)=C 0n x n -C 1n (x -1)n +…+(-1)k C k n (x -k)n +…+(-1)n C n n (x -n)n,其中x ∈R ,n ∈N *,k ∈N ,k ≤n.(1)试求f 1(x),f 2(x),f 3(x)的值;(2)试猜测f n (x)关于n 的表达式,并证明你的结论. 解 (1)f 1(x)=C 01x -C 11(x -1)=1,f 2(x)=C 02x 2-C 12(x -1)2+C 22(x -2)2=x 2-2(x -1)2+(x -2)2=2,f 3(x)=C 03x 3-C 13(x -1)3+C 23(x -2)3-C 33(x -3)3=x 3-3(x -1)3+3(x -2)3-(x -3)3=6. (2)猜测f n (x)=n !,n ∈N *. 以下用数学归纳法证明.①当n =1时,f 1(x)=1,等式成立. ②假设当n =m 时,等式成立,即 f m (x)=k =0m (-1)k C k m (x -k)m=m !.当n =m +1时,则f m +1(x)=k =0m +1(-1)k C k m +1²(x-k)m +1.因为C k m +1=C k m +C k -1m ,kC k m +1=(m +1)²C k -1m ,其中k =1,2,…,m , 且C 0m +1=C 0m ,C m +1m +1=C mm ,所以f m +1(x)=k =0m +1(-1)k C k m +1(x -k)m +1=x k =0m +1(-1)k C k m +1(x -k)m -k =0m +1(-1)k kC km +1(x -k)m=x k =0m (-1)k C k m(x -k)m+x ∑k =1m +1²(-1)k Ck -1m(x -k)m-(m +1)∑k =1m +1²(-1)k C k -1m (x -k)m=x²m!+(-x +m +1)k =0m (-1)k C km ²[(x-1)-k]m=x²m!+(-x +m +1)²m!=(m+1)²m!=(m+1)!.即n=m+1时,等式也成立.由①②可知,对n∈N*,均有f n(x)=n!.。
2018年高考数学理科江苏专版二轮专题复习与策略专题限时集训7 第1部分 专题1 第6讲 第1课时 利用导数解决不
专题限时集训(七) 利用导数解决不等 式、方程的解、曲线交点个数问题(建议用时:45分钟)1.已知函数f (x )=x ln x ,g (x )=-x 2+ax -2(a ∈R ).(1)判断曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线与曲线y =g (x )的公共点个数;(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ,e 时,若函数y =f (x )-g (x )有两个零点,求a 的取值范围. [解] (1)f ′(x )=ln x +1,所以斜率k =f ′(1)=1.1分又f (1)=0,曲线在点(1,0)处的切线方程为y =x -1.由⎩⎨⎧y =-x 2+ax -2,y =x -1 2分 ⇒x 2+(1-a )x +1=0,由Δ=(1-a )2-4=a 2-2a -3可知:当Δ>0时,即a <-1或a >3时,有两个公共点;当Δ=0时,即a =-1或a =3时,有一个公共点;当Δ<0时,即-1<a <3时,没有公共点. 4分(2)y =f (x )-g (x )=x 2-ax +2+x ln x ,由y =0得a =x +2x +ln x , 6分令h (x )=x +2x +ln x ,则h ′(x )=(x -1)(x +2)x 2. 8分 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ,e ,由h ′(x )=0得x =1, 10分 所以,h (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ,1上单调递减,在[1,e]上单调递增, 因此,h (x )min =h (1)=3,11分由h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e =1e +2e -1, 12分h(e)=e+2e+1比较可知h⎝⎛⎭⎪⎫1e>h(e). 13分所以,当3<a≤e+2e+1时,函数y=f(x)-g(x)有两个零点.14分2.设函数f(x)=e2x-a ln x.(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数;(2)证明:当a>0时,f(x)≥2a+a ln 2 a.[解](1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=2e2x-ax(x>0). 1分当a≤0时,f′(x)>0,f′(x)没有零点;3分当a>0时,设u(x)=e2x,v(x)=-a x,因为u(x)=e2x在(0,+∞)上单调递增,v(x)=-ax在(0,+∞)上单调递增,所以f′(x)在(0,+∞)上单调递增. 5分又f′(a)>0,当b满足0<b<a4且b<14时,f′(b)<0,故当a>0时,f′(x)存在唯一零点. 6分(2)证明:由(1),可设f′(x)在(0,+∞)上的唯一零点为x0,当x∈(0,x0)时,f′(x)<0;8分当x∈(x0,+∞)时,f′(x)>0.9分故f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,所以当x=x0时,f(x)取得最小值,最小值为f(x0).由于2e2x0-ax0=0,12分所以f(x0)=a2x0+2ax0+a ln2a≥2a+a ln2a.故当a>0时,f(x)≥2a+a ln 2a. 14分3.(2013·江苏高考)设函数f(x)=ln x-ax,g(x)=e x-ax,其中a为实数.(1)若f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,且g(x)在(1,+∞)上有最小值,求a 的取值范围;(2)若g(x)在(-1,+∞)上是单调增函数,试求f(x)的零点个数,并证明你的结论.[解](1)令f′(x)=1x-a=1-axx<0,考虑到f(x)的定义域为(0,+∞),故a>0,进而解得x>a-1,即f(x)在(a-1,+∞)上是单调减函数.2分同理,f(x)在(0,a-1)上是单调增函数.由于f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,故(1,+∞)⊆(a-1,+∞),从而a-1≤1,即a≥1. 4分令g′(x)=e x-a=0,得x=ln a.当x<ln a时,g′(x)<0;当x>ln a时,g′(x)>0.又g(x)在(1,+∞)上有最小值,所以ln a>1,即a>e.综上可知,a∈(e,+∞). 6分(2)当a≤0时,g(x)必为单调增函数;当a>0时,令g′(x)=e x-a>0,解得a<e x,即x>ln a.7分因为g(x)在(-1,+∞)上是单调增函数,类似(1)有ln a≤-1,即0<a≤e-1.综合上述两种情况,得a≤e-1.①当a=0时,由f(1)=0以及f′(x)=1x>0,得f(x)存在唯一的零点;8分②当a<0时,由于f(e a)=a-a e a=a(1-e a)<0,f(1)=-a>0,且函数f(x)在[e a,1]上的图象连续,所以f(x)在(e a,1)上存在零点. 9分另外,当x>0时,f′(x)=1x-a>0,故f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,所以f(x)只有一个零点.③当0<a≤e-1时,令f′(x)=1x-a=0,解得x=a-1.当0<x<a-1时,f′(x)>0;当x>a-1时,f′(x)<0,所以,x=a-1是f(x)的最大值点,且最大值为f(a-1)=-ln a-1. 10分a.当-ln a-1=0,即a=e-1时,f(x)有一个零点x=e.b .当-ln a -1>0,即0<a <e -1时,f (x )有两个零点.实际上,对于0<a <e -1,由于f (e -1)=-1-a e -1<0,f (a -1)>0,且函数f (x )在[e -1,a -1]上的图象连续,所以f (x )在(e -1,a -1)上存在零点.另外,当x ∈(0,a -1)时,f ′(x )=1x -a >0,故f (x )在(0,a -1)上是单调增函数,所以f (x )在(0,a -1)上只有一个零点.下面考虑f (x )在(a -1 ,+∞)上的情况.先证f ()e a -1=a ()a -2-e a -1<0.为此,我们要证明:当x >e 时,e x >x 2.设h (x )=e x -x 2,则h ′(x )=e x -2x ,再设l (x )=h ′(x )=e x -2x ,则l ′(x )=e x -2. 12分 当x >1时,l ′(x )=e x -2>e -2>0,所以l (x )=h ′(x )在(1,+∞)上是单调增函数.故当x >2时,h ′(x )=e x -2x >h ′(2)=e 2-4>0,零点. 13分又当x >a -1时,f ′(x )=1x -a <0,故f (x )在(a -1,+∞)上是单调减函数,所以f (x )在(a -1,+∞)上只有一个零点.综合①②③可知,当a ≤0或a =e -1时,f (x )的零点个数为1,当0<a <e -1时,f (x )的零点个数为2. 14分4.(2016·苏锡常镇调研二)已知函数f (x )=a ·e x +x 2-bx (a ,b ∈R ,e =2.718 28…是自然对数的底数),其导函数为y =f ′(x ).(1)设a =-1,若函数y =f (x )在R 上是单调减函数,求b 的取值范围;(2)设b =0,若函数y =f (x )在R 上有且只有一个零点,求a 的取值范围;(3)设b =2,且a ≠0,点(m ,n )(m ,n ∈R )是曲线y =f (x )上的一个定点,是否存在实数x 0(x 0≠m ),使得f (x 0)=f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0+m 2(x 0-m )+n 成立?证明你的结论. [解] (1)当a =-1时,f (x )=-e x +x 2-bx ,∴f ′(x )=-e x +2x -b ,1分 由题意f ′(x )=-e x +2x -b ≤0对x ∈R 恒成立﹒由-e x +2x -b ≤0,得b ≥-e x +2x ,令F (x )=-e x +2x ,则F ′(x )=-e x +2,令F ′(x )=0,得x =ln 2.3分 当x <ln 2时,F ′(x )>0,F (x )单调递增,当x >ln 2时,F ′(x )<0,F (x )单调递减, 5分从而当x =ln 2时,F (x )有最大值2ln 2-2,所以b ≥2ln 2-2. 6分(2)当b =0时,f (x )=a e x +x 2,由题意a e x +x 2=0只有一解.7分由a e x +x 2=0,得-a =x 2e x ,令G (x )=x 2e x ,则G ′(x )=x (2-x )e x , 令G ′(x )=0,得x =0或x =2.当x ≤0时,G ′(x )≤0,G (x )单调递减,G (x )的取值范围为[0,+∞),8分当0<x <2时,G ′(x )>0,G (x )单调递增,G (x )的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0,4e 2,9分 当x ≥2时,G ′(x )≤0,G (x )单调递减,G (x )的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0,4e 2, 10分由题意,得-a =0或-a >4e 2,从而a =0或a <-4e 2,∴当a =0或a <-4e 2时,函数y =f (x )只有一个零点.12分(3)f (x )=a e x +x 2-2x ,f ′(x )=a e x +2x -2,假设存在,则有f (x 0)=f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0+m 2(x 0-m )+n =f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0+m 2(x 0-m )+f (m ), 13分即f (x 0)-f (m )x 0-m =f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0+m 2,∵f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0+m 2=a e +2·x 0+m 2-2,f (x 0)-f (m )x 0-m =a (e x 0-e m )+(x 20-m 2)-2(x 0-m )x 0-m =a (e x 0-e m )x 0-m+(x 0+m )-2, ∴a e =a (e x 0-e m )x 0-m.(*) 14分 ∵a ≠0,∴e=e x 0-e m x 0-m ,不妨设t =x 0-m >0,则e t 2+m =e t +m -e m t .∴h (t )在(0,+∞)上单调递增, 又∵h (0)=0,∴h (t )>0对t ∈(0,+∞)恒成立,即g ′(t )>0对t ∈(0,+∞)恒成立, ∴g (t )在(0,+∞)上单调递增,又g (0)=0,∴g (t )>0对t ∈(0,+∞)恒成立,即(*)式不成立,∴不存在实数x 0(x 0≠m ),使得f (x 0)=f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0+m 2(x 0-m )+n 成立. 16分 5.(2016·南通三模)设函数f (x )=x e x -a sin x cos x (a ∈R ,其中e 是自然对数的底数).(1)当a =0时,求f (x )的极值;(2)若对于任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2,f (x )≥0恒成立,求a 的取值范围; (3)是否存在实数a ,使得函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2上有两个零点?若存在,求出a 的取值范围;若不存在,请说明理由.【导学号:19592022】[解] (1)当a =0时,f (x )=x e x ,f ′(x )=e x (x +1),令f ′ (x )=0,得x =-1. 2分列表如下:所以函数f (x )的极小值为f (-1)=-1e ,无极大值.4分(2)①当a ≤0时,由于对于任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2,有sin x cos x ≥0, 所以f (x )≥0恒成立,当a ≤0时,符合题意; 5分②当0<a ≤1时,因为f ′(x )≥e x (x +1)-a cos 2x ≥e 0(0+1)-a cos 0=1-a ≥0,所以函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2 上为增函数,所以f (x )≥f (0)=0,即当0<a ≤1,符合题意; 6分③当a >1时,f ′(0)=1-a <0,f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 =e π4⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+1>0, 所以存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π4,使得f ′(α)=0,且在(0,α)内, f ′(x )<0,所以f (x )在(0,α)上为减函数,所以f (x )<f (0)=0.即当a >1时,不符合题意.综上所述,a 的取值范围是(-∞,1]. 8分(3)不存在实数a ,使得函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2上有两个零点,由(2)知,当a ≤1时,f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2上是增函数,且f (0)=0,故函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2上无零点. 当a >1时,f ′(x )≥e x (x +1)-a cos 2x , 9分 令g (x )=e x (x +1)-a cos 2x ,g ′(x )=e x (x +2)+2a sin 2x ,当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2时,恒有g ′(x )>0,所以g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2上是增函数,由g (0)=1-a <0,g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2=e π2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+1 +a >0, 故g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2上存在唯一的零点x 0,即方程f ′(x )=0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2上存在唯一解x 0, 11分且当x ∈(0,x 0)时,f ′(x )<0,当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0,π2,f ′(x )>0, 即函数f (x )在(0,x 0)上单调递减,在⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0,π2上单调递增, 12分当x ∈(0,x 0)时,f (x )<f (0)=0,即f (x )在(0,x 0)无零点;当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0,π2时,f (x 0)<f (0),f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 =π2e >0, 所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0,π2上有唯一零点, 14分 所以,当a >1时,f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2上有一个零点. 综上所述,不存在实数a ,使得函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2上有两个零点. 16分 6.设函数f (x )=(x +a )ln x ,g (x )=x 2e x .已知曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线与直线2x -y =0平行.(1)求a 的值;(2)是否存在自然数k ,使得方程f (x )=g (x )在(k ,k +1)内存在唯一的根?如果存在,求出k ;如果不存在,请说明理由;(3)设函数m (x )=min{f (x ),g (x )}(min{p ,q }表示p ,q 中的较小值),求m (x )的最大值.[解] (1)由题意知,曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线斜率为2,所以f ′(1)=2. 2分又f ′(x )=ln x +a x +1,所以a =1. 4分(2)当k =1时,方程f (x )=g (x )在(1,2)内存在唯一的根.设h (x )=f (x )-g (x )=(x +1)ln x -x 2e x ,当x ∈(0,1]时,h (x )<0.5分又h (2)=3ln 2-4e 2=ln 8-4e 2>1-1=0,所以存在x 0∈(1,2),使得h (x 0)=0. 6分 因为h ′(x )=ln x +1x +1+x (x -2)e x ,所以当x ∈(1,2)时,h ′(x )>1-1e >0,当x ∈(2,+∞)时,h ′(x )>0,所以当x ∈(1,+∞)时,h (x )单调递增.7分所以当k =1时,方程f (x )=g (x )在(k ,k +1)内存在唯一的根.8分 (3)由(2)知,方程f (x )=g (x )在(1,2)内存在唯一的根x 0, 且x ∈(0,x 0)时,f (x )<g (x ),x ∈(x 0,+∞)时,f (x )>g (x ),所以m (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ (x +1)ln x ,x ∈(0,x 0],x 2e x ,x ∈(x 0,+∞).10分 当x ∈(0,x 0)时,若x ∈(0,1],m (x )≤0;若x ∈(1,x 0),由m ′(x )=ln x +1x +1>0,可知0<m (x )≤m (x 0);故m (x )≤m (x 0). 12分 当x ∈(x 0,+∞)时,由m ′(x )=x (2-x )e x ,可得x ∈(x 0,2)时,m ′(x )>0,m (x )单调递增;x ∈(2,+∞)时,m ′(x )<0,m (x )单调递减.可知m (x )≤m (2)=4e 2,且m (x 0)<m (2).综上可得,函数m (x )的最大值为4e 2.14分。
2018年高考数学文科江苏专版二轮专题复习与策略课件:专题二 函数的图象与性质 精品
且 a≠1),则实数 a 的取值范围是________.
【导学号:91632004】
[解题指导]
(1)f
-52
=
f
9 2
―f―x―在―周[-―期1―,为―12,―上―已―知→
建立a的等量关系 ―→ 求a ―→ 求f5a
(2)
fx=x3+2x
奇――偶→性
fx为奇函数
f1+flog13>0 ――――――a ――→
1.已知函数 f(x)=e1x--kk,x+x≤k,0,x>0 是 R 上的增函数,则实数 k 的取值范 围是________.
12,1 [由 f(x)为 R 上的增函数,则 f(x)在(0,+∞)上为增函数,1-k>0, k<1.同时,k≥e0-k=1-k,即 k≥21,从而 k∈12,1.]
2.(2016·南京三模)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=2x -2,则不等式 f(x-1)≤2 的解集是________.
【名师点评】 1.应用函数周期性和奇偶性求值的关键是借助函数的性质将 待求函数值的自变量向已知函数的定义域进行转化.
2.关于周期性的常用结论,若对于函数 fx的定义域内任意一个自变量的值 x 都有 fx+a=-fx或 fx+a=f1x 或 fx+a=-f1x a 是常数且 a≠0,则 fx 是以 2a 为一个周期的周期函数.
(2)∵f(x)=x3+2x,∴f(-x)=-x3-2x=-f(x), ∴f(x)为 R 上的奇函数,∴f(1)+f(loga13)>0 等价于 f(1)>f(loga3). 又 f′(x)=3x2+2>0,∴f(x)在 R 上单调递增, ∴loga3<1, 当 a>1 时,由 loga3<1 得 a>3, 当 0<a<1 时,由 loga3<1 得 0<a<1. 综上可知,a∈(0,1)∪(3,+∞).]
(江苏专版)18年高考数学二轮复习第1部分知识专题突破专题6数列学案
专题六 数列———————命题观察·高考定位———————(对应学生用书第21页)1.(2017·江苏高考)等比数列{a n }的各项均为实数,其前n 项和为S n .已知S 3=74,S 6=634,则a 8=________.32 [设{a n}的首项为a 1,公比为q ,则⎩⎪⎨⎪⎧a 1-q31-q =74,a1-q 61-q=634,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=14,q =2,所以a 8=14×27=25=32.]2.(2016·江苏高考)已知{a n }是等差数列,S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3,S 5=10,则a 9的值是________.20 [法一:设等差数列{a n }的公差为d ,由S 5=10,知S 5=5a 1+5×42d =10,得a 1+2d =2,即a 1=2-2d .所以a 2=a 1+d =2-d ,代入a 1+a 22=-3,化简得d 2-6d +9=0,所以d =3,a 1=-4.故a 9=a 1+8d =-4+24=20. 法二:设等差数列{a n }的公差为d ,由S 5=10,知a 1+a 52=5a 3=10,所以a 3=2.所以由a 1+a 3=2a 2,得a 1=2a 2-2,代入a 1+a 22=-3,化简得a 22+2a 2+1=0,所以a 2=-1.公差d =a 3-a 2=2+1=3,故a 9=a 3+6d =2+18=20.]3.(2014·江苏高考)在各项均为正数的等比数列{a n }中,若a 2=1,a 8=a 6+2a 4,则a 6的值是________.4 [因为a 8=a 2q 6,a 6=a 2q 4,a 4=a 2q 2,所以由a 8=a 6+2a 4得a 2q 6=a 2q 4+2a 2q 2,消去a 2q 2,得到关于q 2的一元二次方程(q 2)2-q 2-2=0,解得q 2=2,a 6=a 2q 4=1×22=4.]4.(2015·江苏高考)设数列{}a n 满足a 1=1,且a n +1-a n =n +1(n ∈N *),则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为______.2011[由题意有a 2-a 1=2,a 3-a 2=3,…,a n -a n -1=n (n ≥2).以上各式相加,得a n -a 1=2+3+…+n =n -+n2=n 2+n -22.又∵a 1=1,∴a n =n 2+n2(n ≥2).∵当n =1时也满足此式,∴a n =n 2+n2(n ∈N *).∴1a n =2n 2+n =2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +1. ∴S 10=2×⎝ ⎛⎭⎪⎫11-12+12-13+…+110-111=2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1-111=2011.] 5.(2017·江苏高考)对于给定的正整数k ,若数列{a n }满足:a n -k +a n -k +1+…+a n -1+a n +1+…+a n +k -1+a n +k =2ka n ,对任意正整数n (n >k )总成立,则称数列{a n }是“P (k )数列”. (1)证明:等差数列{a n }是“P (3)数列”;(2)若数列{a n }既是“P (2)数列”,又是“P (3)数列”,证明:{a n }是等差数列.【导学号:56394035】[证明] (1)因为{a n }是等差数列,设其公差为d ,则a n =a 1+(n -1)d ,从而,当n ≥4时,a n -k +a n +k =a 1+(n -k -1)d +a 1+(n +k -1)d=2a 1+2(n -1)d =2a n ,k =1,2,3,所以a n -3+a n -2+a n -1+a n +1+a n +2+a n +3=6a n , 因此等差数列{a n }是“P (3)数列”.(2)数列{a n }既是“P (2)数列”,又是“P (3)数列”,因此, 当n ≥3时,a n -2+a n -1+a n +1+a n +2=4a n ,①当n ≥4时,a n -3+a n -2+a n -1+a n +1+a n +2+a n +3=6a n .② 由①知,a n -3+a n -2=4a n -1-(a n +a n +1),③a n +2+a n +3=4a n +1-(a n -1+a n ).④将③④代入②,得a n -1+a n +1=2a n ,其中n ≥4, 所以a 3,a 4,a 5,…是等差数列,设其公差为d ′.在①中,取n =4,则a 2+a 3+a 5+a 6=4a 4,所以a 2=a 3-d ′,在①中,取n =3,则a 1+a 2+a 4+a 5=4a 3,所以a 1=a 3-2d ′,所以数列{a n }是等差数列. [命题规律](1)对等差数列与等比数列基本量的考查是重点,主要考查利用通项公式、前n 项和公式建立方程组求解,属于低档题,主要是以填空题的形式出现.(2)对等差数列与等比数列性质的考查是热点,具有“新、巧、活”的特点,考查利用性质解决有关的计算问题,属中低档题,主要是以填空题的形式出现.(3)数列的通项公式及递推公式的应用也是命题的热点,根据a n 与S n 的关系求通项公式以及利用构造或转化的方法求通项公式也是常考的热点.填空、解答题都有出现. (4)数列的求和问题,多以考查等差、等比数列的前n 项和公式、错位相减法和裂项相消法为主,且考查频率较高,是高考命题的热点.填空、解答题都有出现. (5)数列与函数、不等式的综合问题也是高考考查的重点,主要考查利用函数的观点解决数列问题以及用不等式的方法研究数列的性质,多为中档题,以解答题的形式出现.(6)数列与解析几何交汇主要涉及点列问题,难度中等及以上,常以解答题形式出现. (7)数列应用题主要以等差数列、等比数列及递推数列为模型进行考查,难度中等及以上,常以解答题形式出现.———————主干整合·归纳拓展———————(对应学生用书第21页) [第1步▕ 核心知识再整合]1.等差数列(1)通项公式⎩⎪⎨⎪⎧a n =a 1+n -d ,a n=a m +n -m d m ,n ∈N *,m ≤n ,d =a n-a mn -m .(2)前n 项和公式:S n =n a 1+a n2=na 1+n n -2d .(3)常用性质:①如果数列{a n }是等差数列,m +n =p +q ⇒a m +a n =a p +a q (m ,n ,p ,q ∈N *),特别地,当n 为奇数时,a 1+a n =a 2+a n -1=……=2a 中.②若等差数列{a n }的前n 项和为S n ,则S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…成等差数列. ③若等差数列{a n },{b n }的前n 项和为A n ,B n ,则a n b n =A 2n -1B 2n -1.④若等差数列{a n }的前n 项和为S n ,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 仍是等差数列.(4)等差数列的单调性设等差数列{a n }的公差为d ,当d >0时,数列{a n }为递增数列;当d <0时,数列{a n }为递减数列;若d =0,则数列{a n }为常数数列. (5)等差数列的最值若{a n }是等差数列,求前n 项和的最值时, ①若a 1>0,d <0,且满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0,a n +1≤0,则前n 项和S n 最大;②若a 1<0,d >0,且满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0,a n +1≥0,则前n 项和S n 最小.2.等比数列(1)通项公式⎩⎪⎨⎪⎧a n =a 1·q n -1,a n=a m·qn -mm ,n ∈N *,m <n ,q n -m=a n am.(2)前n 项和公式S n =⎩⎪⎨⎪⎧na 1q =,a 1-q n 1-q或a 1-a n q1-q q(3)常用性质:①如果数列{a n }是等比数列m +n =p +q ⇒a m ·a n =a p ·a q (m ,n ,p ,q ∈N *),特别地,当n 为奇数时,a 1·a n =a 2·a n -1=……=a 2中.②等比数列{a n }的前n 项和为S n ,满足S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,S 4n -S 3n ,…成等比数列(其中S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…均不为0). (4)等比数列的单调性 设等比数列{a n }的公比为q ,当⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0q >1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<00<q <1时,{a n }为递增数列;当⎩⎪⎨⎪⎧a 1>00<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0q >1时,{a n }为递减数列;当q =1时,则数列{a n }为常数数列. 3.数列常见通项公式的求法(1)观察法:利用递推关系写出前几项,根据前几项的特点观察、归纳、猜想出a n 的表达式,然后用数学归纳法证明. (2)利用前n 项和与通项的关系a n =⎩⎪⎨⎪⎧S 1 n =,S n -S n -1n(3)公式法:利用等差(比)数列求通项公式.(4)累加法:在已知数列{a n }中,满足a n +1=a n +f (n ),把原递推公式转化为a n +1-a n =f (n ),再利用累加法(逐差相加法)求解.(5)叠乘法:在已知数列{a n }中,满足a n +1=f (n )a n ,把原递推公式转化为a n +1a n=f (n ),再利用叠乘法(逐商相乘法)求解.(6)构造等比数列法:在已知数列{a n }中,满足a n +1=pa n +q (其中p ,q 均为常数,pq (p -1)≠0),先用待定系数法把原递推公式转化为a n +1-t =p (a n -t ),其中t =q1-p ,再利用换元法转化为等比数列求解. 4.数列求和的主要方法(1)公式法:如果一个数列是等差数列或等比数列,则求和时直接利用等差、等比数列的前n 项和公式,注意等比数列公比q 的取值情况要分q =1或q ≠1.(2)倒序相加法:如果一个数列{a n },首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数,那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法,如等差数列的前n 项和即是用此法推导的.(3)分组转化求和法:若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组转化法,分别求和而后相加减.(4)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n 项和即可用此法来求,如等比数列的前n 项和就是用此法推导的.(5)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和. 常见的拆项公式如下: ①分式型1n n +=1n -1n +1,1n -n +=12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1-12n +1,1nn +=12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +2,1nn +n +=12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1nn +-1n +n +. ②乘式型n (n +1)=-13[(n -1)n (n +1)-n (n +1)(n +2)],n (n +1)(n +2)=-14[(n -1)n (n +1)(n +2)-n (n +1)(n +2)(n +3)].③阶乘型n n +!=n +-1n +!=1n !-1n +!,C n -1m -1=C n m -C n m -1,k C k n =n C k -1n -1. ④三角函数型tan a n tan a n +1=1-tan a n +1+tan a ntan a n +1+a n,1sin a n sin a n +1=cot a n -cot a n +1sin a n +1-a n ,1cos a n cos a n +1=tan a n +1-tan a nsin a n +1-a n,cos⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 2n +12=sin k n +1-sin kn2sink2,sin⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 2n +12=cos k n +1-cos kn-2sink2.⑤根式型1n +n +1=n +1-n .(6)并项求和法:在一个数列的前n 项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.[第2步▕ 高频考点细突破]【例n S n ,若a 2-a 5=-78,S 3=13,则数列{a n }的通项公式a n =________.[解析] 由题意得a 1q (q 3-1)=78,a 1(1+q +q 2)=13⇒q (q -1)=6,∵q >0∴q =3,a 1=1,a n =3n -1.[答案] 3n -1[规律方法] 等差(比)数列的通项公式、求和公式中一共包含a 1、d (或q )、n 、a n 与S n 这五个量,如果已知其中的三个,就可以求其余的两个.其中a 1和d (或q )是两个基本量,所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量,然后根据通项公式、求和公式构建这两者的方程组,通过解方程组求其值,这也是方程思想在数列问题中的体现. [举一反三](江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试)设S n 是等比数列{a n }的前n 项的和,若a 3+2a 6=0,则S 3S 6的值是________.【导学号:56394036】2 [a 3+2a 6=0⇒a 6a 3=-12⇒q 3=-12,因此S 3S 6=a 1·1-q 31-q a 1·1-q 61-q =1-q 31-q 6=1+121-14=2.]【例2】 n }的各项均为正数,且满足:a 1a 9=4,则数列{log 2a n }的前9项之和为________.[解析] ∵a 1a 9=a 25=4,∴a 5=2,∴log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a 9=log 2(a 1a 2…a 9)=log 2a 95=9log 2a 5=9. [答案] 9[规律方法] 条件或结论中涉及等差或等比数列中的两项或多项的关系时,先观察分析下标之间的关系,再考虑能否应用性质解决,要特别注意等差、等比数列性质的区别.等差数列(或等比数列)中若出现的是通项与数列和的关系,则优先考虑等差数列(或等比数列)性质m +n =p +q ⇒a m +a n =a p +a q (m ,n ,p ,q ∈N *)(m +n =p +q ⇒a m ·a n =a p ·a q (m ,n ,p ,q ∈N *)). [举一反三](2017届高三七校联考期中考试)设S n 为数列{a n }的前n 项和,S n =kn 2+n ,n ∈N *,其中k 是常数.若对于任意的m ∈N *,a m ,a 2m ,a 4m 成等比数列,则k 的值为________. 0或1 [∵S n =kn 2+n ,n ∈N *,∴ 数列{a n }是首项为k +1,公差为2k 的等差数列,a n =2kn +1-k .又对于任意的m ∈N *都有a 22m =a m a 4m ,∴a 22=a 1a 4,(3k +1)2=(k +1)·(7k +1),解得k =0或1.又k =0时a n =1,显然对于任意的m ∈N *,a m ,a 2m ,a 4m 成等比数列;k =1时a n =2n ,a m =2m ,a 2m =4m ,a 4m =8m ,显然对于任意的m ∈N *,a m ,a 2m ,a 4m 也成等比数列.综上所述,k =0或1.]n n①|a 1|≠|a 2|;②r (n -p )S n +1=(n 2+n )a n +(n 2-n -2)a 1,其中r ,p ∈R ,且r ≠0. (1)求p 的值;(2)数列{a n }能否是等比数列?请说明理由; (3)求证:当r =2时,数列{a n }是等差数列.[解] (1)n =1时,r (1-p )(a 1+a 2)=2a 1-2a 1,其中r ,p ∈R ,且r ≠0.又|a 1|≠|a 2|. ∴1-p =0,解得p =1.(2)设a n =ka n -1(k ≠±1),r (n -1)S n +1=(n 2+n )a n +(n 2-n -2)a 1,∴rS 3=6a 2,2rS 4=12a 3+4a 1,化为:r (1+k +k 2)=6k ,r (1+k +k 2+k 3)=6k 2+2.联立解得r =2,k =1(不合题意),舍去,因此数列{a n }不是等比数列.(3)证明:r =2时,2(n -1)S n +1=(n 2+n )a n +(n 2-n -2)a 1,∴2S 3=6a 2,4S 4=12a 3+4a 1,6S 5=20a 4+10a 1.化为:a 1+a 3=2a 2,a 2+a 4=2a 3,a 3+a 5=2a 4.假设数列{a n }的前n 项成等差数列,公差为d . 则2(n -1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤na 1+n n -2d +a n +1=(n 2+n )[a 1+(n -1)d ]+(n 2-n -2)a 1,化为a n +1=a 1+(n +1-1)d ,因此第n +1项也满足等差数列的通项公式,综上可得,数列{a n }成等差数列.[规律方法] (1)定义法:a n +1-a n =d (常数)(n ∈N *){a n }是等差数列;a n +1a n=q (q 是非零常数){a n }是等比数列;(2)等差(比)中项法:2a n +1=a n +a n +2(n ∈N *){a n }是等差数列;a 2n +1=a n ·a n +2(n ∈N *,a n ≠0){a n }是等比数列;(3)通项公式法:a n =pn +q (p ,q 为常数){a n }是等差数列;a n =a 1·qn -1(其中a 1,q 为非零常数,n ∈N *){a n }是等比数列.(4)前n 项和公式法:S n =An 2+Bn (A ,B 为常数){a n }是等差数列;S n =Aq n-A (A 为非零常数,q ≠0,1){a n }是等比数列. [举一反三](2017·江苏省盐城市高考数学二模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{b n },{c n }满足(n +1)b n =a n +1-S nn ,(n +2)c n =a n +1+a n +22-S n n,其中n ∈N *. (1)若数列{a n }是公差为2的等差数列,求数列{c n }的通项公式;(2)若存在实数λ,使得对一切n ∈N *,有b n ≤λ≤c n ,求证:数列{a n }是等差数列.【导学号:56394037】[解] (1)∵数列{a n }是公差为2的等差数列,∴a n =a 1+2(n -1),S nn=a 1+n -1. ∴(n +2)c n =a 1+2n +a 1+n +2-(a 1+n -1)=n +2,解得c n =1.(2)证明:由(n +1)b n =a n +1-S n n,可得:n (n +1)b n =na n +1-S n ,(n +1)(n +2)b n +1=(n +1)a n +2-S n +1, 相减可得:a n +2-a n +1=(n +2)b n +1-nb n , 可得:(n +2)c n =a n +1+a n +22-S n n =a n +1+a n +22-[a n +1-(n +1)b n ]=a n +2-a n +12+(n +1)b n=n +b n +1-nb n2+(n +1)b n =n +22(b n +b n +1),因此c n =12(b n +b n +1).∵b n ≤λ≤c n ,∴λ≤c n =12(b n +b n +1)≤λ,故b n =λ,c n =λ.∴(n +1)λ=a n +1-S n n ,(n +2)λ=12(a n +1+a n +2)-S nn,相减可得:12(a n +2-a n +1)=λ,即a n +2-a n +1=2λ(n ≥2).又2λ=a 2-S 11=a 2-a 1,则a n +1-a n =2λ(n ≥1),∴数列{a n }是等差数列.【例n q >1,且满足:a 2+a 3+a 4=28,且a 3+2是a 2,a 4的等差中项. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若b n =a n log 12a n ,S n =b 1+b 2+…+b n ,求使S n +n ·2n +1>62成立的正整数n 的最小值.[解] (1)∵a 3+2是a 2,a 4的等差中项,∴2(a 3+2)=a 2+a 4, 代入a 2+a 3+a 4=28,可得a 3=8,∴a 2+a 4=20,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2=8,a 1q +a 1q 3=20,解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=2q =2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1=32,q =12,∵q >1,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1=2,q =2,∴数列{a n }的通项公式为a n =2n.(2)∵b n =a n log 12a n =2n log 122n =-n ·2n,∴S n =-(1×2+2×22+…+n ·2n),① 2S n =-(1×22+2×23+…+(n -1)·2n +n ·2n +1),② ②-①得S n =2+22+23…+2n -n ·2n +1=-2n1-2-n ·2n +1=2n +1-2-n ·2n +1.∵S n +n ·2n +1>62,∴2n +1-2>62,∴n +1>6,n >5,∴使S n +n ·2n +1>62成立的正整数n 的最小值为6.[规律方法] 等差数列、等比数列的综合问题的解题关键仍然是“基本量”方法,其通过方程或者方程组求出数列的基本量,然后再解决后续问题. [举一反三](泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测文科)已知各项都为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{b n }的通项公式b n =⎩⎪⎨⎪⎧n ,n 为偶数n +1,n 为奇数(n ∈N *),若S 3=b 5+1,b 4是a 2和a 4的等比中项. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .[解] (1)∵数列{b n }的通项公式b n =⎩⎪⎨⎪⎧n ,n 为偶数n +1,n 为奇数(n ∈N *),∴b 5=6,b 4=4.设各项都为正数的等比数列{a n }的公比为q ,q >0, ∵S 3=b 5+1=7,∴a 1+a 1q +a 1q 2=7,① ∵b 4是a 2和a 4的等比中项,∴a 2a 4=a 23=16, 解得a 3=a 1q 2=4,② 由①②得3q 2-4q -4=0, 解得q =2或q =-23(舍去),∴a 1=1,a n =2n -1.(2)当n 为偶数时,T n =(1+1)×20+2×2+(3+1)×22+4×23+(5+1)×24+…+[(n -1)+1]×2n -2+n ×2n -1=(20+2×2+3×22+4×23+…+n ×2n -1)+(20+22+…+2n -2),设H n =20+2×2+3×22+4×23+…+n ×2n -1,③则2H n =2+2×22+3×23+…+(n -1)×2n -1+n ×2n,④③-④,得-H n =20+2+22+23+…+2n -1-n ×2n=1-2n1-2-n ×2n =(1-n )×2n-1,∴H n =(n -1)×2n+1,∴T n =(n -1)×2n+1+1-41-4=⎝ ⎛⎭⎪⎫n -23×2n +23.当n 为奇数,且n ≥3时,T n =T n -1+(n +1)×2n -1=⎝⎛⎭⎪⎫n -53×2n -1+23+(n +1)×2n -1=⎝⎛⎭⎪⎫2n -23×2n -1+23,经检验,T 1=2符合上式.∴T n=⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫2n -23×2n -1+23,n 为奇数,⎝ ⎛⎭⎪⎫n -23×2n+23,n 为偶数.【例5】 ({a n },若2a 4+a 3-2a 2-a 1=8,则2a 8+a 7的最小值为________.[解析] 设{a n }的公比为q ,由2a 4+a 3-2a 2-a 1=8,得(2a 2+a 1)q 2-(2a 2+a 1)=8,所以(2a 2+a 1)(q 2-1)=8,显然q 2>1,2a 8+a 7=(2a 2+a 1)q 6=8q 6q 2-1,令t =q 2,则2a 8+a 7=8t 3t -1,设函数f (t )=8t 3t -1(t >1),f ′(t )=8t 2t -t -2,易知当t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1,32时f (t )为减函数,当t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32,+∞时,f (t )为增函数时,所以f (t )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32=54,故2a 8+a 7的最小值为54. [答案] 54[规律方法] (1)在处理数列单调性问题时应利用数列的单调性定义,即“若数列{a n }是递增数列⇔∀n ≥1,a n +1≥a n 恒成立”;(2)数列a n =f (n )的单调性与y =f (x ),x ∈[1,+∞)的单调性不完全一致;(3)当数列对应的连续函数是单调函数,则可以借助其单调性来求解数列的单调性问题. [举一反三](南京市2016届高三年级模拟考试)已知数列{a n }是递增数列,且对n ∈N *,都有a n =n 2+λn 恒成立,则实数λ的取值范围是________.【导学号:56394038】(-3,+∞) [利用递增数列的定义,a n +1>a n ,a n +1-a n =2n +1+λ>0⇒λ>-2n -1,n ∈N *恒成立,则λ>-3.(注:本题易错的解法是根据数列所对应的函数单调性a n =n 2+λn =⎝⎛⎭⎪⎫n +λ22-λ24,然后-λ2≤1⇒λ≥-2.由数列是递增数列去断定数列对应的函数是递增函数,是错误的)]【例6】 n a n +1=a n (1-a n +1),a 1=1,数列{b n }满足:b n =a n ·a n +1,则数列{b n }的前10项的和S 10=________. [解析] 由a n +1=a n (1-a n +1)得:1a n +1-1a n=1,因此数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列,所以1a n=n ,即a n =1n ,b n =a n a n +1=1nn +=1n -1n +1,所以S 10=b 1+b 2+…+b 10=⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12+⎝ ⎛⎭⎪⎫12-13+…+⎝⎛⎭⎪⎫110-111=1-111=1011.[答案]1011[规律方法] (1)通常情况下数列的第(1)题是需要求数列的通项公式,而且其中也设出一个新的数列,我们在做的过程中,要把这个条件作为一种提示,配凑成这种新的数列,即可解决;若题中没有设出这样的新数列,可以看知识整合中6种求通项公式的方法;(2)对于数列求和,需要先判断用哪种求和的方法,然后进行求解. [举一反三](无锡市普通高中2017届高三上学期期中基础性检测)设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知4S n =2a n -n 2+7n (n ∈N *),则a 11=________.-2 [由题设4S n =2a n -n 2+7n (n ∈N *)可得4S n -1=2a n -1-(n -1)2+7(n -1),将以上两式两边相减可得4a n =2a n -2a n -1-2n +1+7,即a n =-a n -1-n +4,所以a n +a n -1=-n +4,又因为a 1=3,所以a 2=-3-2+4=-1,故a 3=1-3+4=2,依次可推得a 11=-2.]【例7】 (n S n ,且S n +a n =4,n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)已知c n =2n +3(n ∈N *),记d n =c n +log C a n (C >0且C ≠1),是否存在这样的常数C ,使得数列{d n }是常数列?若存在,求出C 的值;若不存在,请说明理由;(3)若数列{b n },对于任意的正整数n ,均有b 1a n +b 2a n -1+b 3a n -2+…+b n a 1=⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -n +22成立,求证:数列 {b n }是等差数列. [解] (1)a 1=4-a 1,所以a 1=2, 由S n +a n =4得n ≥2时,S n -1+a n -1=4, 两式相减得,2a n =a n -1,a n a n -1=12. 数列{a n }是以2为首项,公比为12的等比数列,所以a n =22-n(n ∈N *).(2)由于数列{d n }是常数列,d n =c n +log C a n =2n +3+(2-n )log C 2=2n +3+2log C 2-n log C 2=(2-log C 2)n +3+2log C 2为常数列,只有2-log C 2=0;解得C =2,此时d n =7.(3)证明:b 1a n +b 2a n -1+b 3a n -2+…+b n a 1=⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -n +22.①当n =1时,b 1a 1=12-32=-1,其中a 1=2,所以b 1=-12.当n ≥2时,b 1a n -1+b 2a n -2+b 3a n -3+…+b n -1a 1=⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1-n +12,② ②式两边同时乘以12得,b 1a n +b 2a n -1+b 3a n -2+…+b n -1a 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -n +14.③①式减去③式得,b n a 1=-n -34,所以b n =-n 8-38,且b n +1-b n =-18.所以数列{b n }是以-12为首项,公差为-18的等差数列.[举一反三](南京市2017届高三年级学情调研)已知数列{a n }是公差为正数的等差数列,其前n 项和为S n ,且a 2a 3=15,S 4=16. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)数列{b n }满足b 1=a 1,b n +1-b n =1a n a n +1.①求数列{b n }的通项公式;②是否存在正整数m ,n (m ≠n ),使得b 2,b m ,b n 成等差数列?若存在,求出m ,n 的值;若不存在,请说明理由.[解] (1)设数列{a n }的公差为d ,则d >0.由a 2·a 3=15,S 4=16,得⎩⎪⎨⎪⎧a 1+da 1+2d =15,4a 1+6d =16,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1d =2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1=7d =-2(舍去).所以a n =2n -1.(2)①因为b 1=a 1,b n +1-b n =1a n a n +1,所以b 1=a 1=1,b n +1-b n =1a n a n +1=12n -12n +1=12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1-12n +1,即b 2-b 1=12⎝⎛⎭⎪⎫1-13,b 3-b 2=12⎝ ⎛⎭⎪⎫13-15,……b n -b n -1=12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -3-12n -1(n ≥2),累加得:b n -b 1=12⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12n -1=n -12n -1, 所以b n =b 1+n -12n -1=1+n -12n -1=3n -22n -1.b 1=1也符合上式.故b n =3n -22n -1,n ∈N *.②假设存在正整数m 、n (m ≠n ),使得b 2,b m ,b n 成等差数列,则b 2+b n =2b m . 又b 2=43,b n =3n -22n -1=32-14n -2,b m =32-14m -2,所以43+⎝ ⎛⎭⎪⎫32-14n -2=2⎝ ⎛⎭⎪⎫32-14m -2,即12m -1=16+14n -2, 化简得:2m =7n -2n +1=7-9n +1.当n +1=3,即n =2时,m =2,不符合题意,舍去; 当n +1=9,即n =8时,m =3,符合题意.所以存在正整数m =3,n =8,使得b 2,b m ,b n 成等差数列.【例8】 n n S n =t (S n-a n +1)(t 为常数,且t ≠0,t ≠1). (1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =a 2n +S n ·a n ,若数列{b n }为等比数列,求t 的值;(3)在满足条件(2)的情形下,设c n =4a n +1,数列{c n }的前n 项和为T n ,若不等式12k 4+n -T n≥2n -7对任意的n ∈N *恒成立,求实数k 的取值范围.[解] (1)当n =1时,S 1=t (S 1-a 1+1),得a 1=t .当n ≥2时,由S n =t (S n -a n +1),即(1-t )S n =-ta n +t ,① 得(1-t )S n -1=-ta n -1+t ,②①-②,得(1-t )a n =-ta n +ta n -1,即a n =ta n -1,∴a na n -1=t (n ≥2),∴{a n }是等比数列,且公比是t ,∴a n =t n. (2)由(1)知,b n =(t n )2+t-t n1-t·t n,即b n =t 2n +t n +1-2t 2n +11-t,若数列{b n }为等比数列,则有b 22=b 1·b 3, 而b 1=2t 2,b 2=t 3(2t +1),b 3=t 4(2t 2+t +1),故[t 3(2t +1)]2=(2t 2)·t 4(2t 2+t +1), 解得t =12,再将t =12代入b n ,得b n =⎝ ⎛⎭⎪⎫12n,由b n +1b n =12,知{b n }为等比数列,∴t =12. (3)由t =12,知a n =⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ,∴c n =4⎝ ⎛⎭⎪⎫12n+1,∴T n =4×12⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12n 1-12+n =4+n -42n ,由不等式12k 4+n -T n ≥2n -7恒成立,得3k ≥2n -72n 恒成立,设d n =2n -72n ,由d n +1-d n =2n -52n +1-2n -72n =-2n +92n +1,∴当n ≤4时,d n +1>d n ,当n >4时,d n +1<d n , 而d 4=116,d 5=332,∴d 4<d 5,∴3k ≥332,∴k ≥132.[规律方法] 数列与不等式交汇命题,不等式常作为证明或求解的一问呈现,解答时先将数列的基本问题解决,再集中解决不等式问题,注意放缩法、基本不等式、裂项、累加法的运用. [举一反三](江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试)设公差不为零的等差数列{a n }的前5项和为55,且a 2,a 6+a 7,a 4-9成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设数列b n =1a n -a n -,求证:数列{b n }的前n 项和S n <12.[解] (1)设等差数列的首项为a 1,公差为d , 则⎩⎪⎨⎪⎧5a 1+5×42d =55a 1+5d +a 1+6d 2=a 1+d a 1+3d -⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1=7d =2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1=11d =0(舍去),故数列{a n }的通项公式为a n =7+2(n -1),即a n =2n +5.(2)证明:由(1)a n =2n +5, 得b n =1a n -a n -=1n -n +=12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1-12n +1.S n =b 1+b 2+…+b n =12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1-13+⎝ ⎛⎭⎪⎫13-15+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1-12n +1=12⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12n +1<12.【例9】 (2017·海安模拟)设函数f n (x )=-1+x +22+32+…+n2(x ∈R ,n ∈N *),证明:(1)对每个n ∈N *,存在唯一的x n ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23,1,满足f n ()x n =0;(2)对任意p ∈N *,由(1)中x n 构成的数列{}x n 满足0<x n -x n +p <1n.【导学号:56394039】[证明] (1)对每个n ∈N *,当x >0时,f n ′(x )=1+x2+…+x n -1n>0,则f n (x )在(0,+∞)内单调递增,而f 1(1)=0,当n ≥2时,f n (1)=122+132+…+1n 2>0,故f n (1)≥0,又f n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23=-1+23+∑k =2n⎝ ⎛⎭⎪⎫23kk 2≤-13+14∑k =2n⎝ ⎛⎭⎪⎫23k=-13+14·⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝ ⎛⎭⎪⎫23n -11-23=-13·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n -1<0,所以对每个n ∈N *,存在唯一的x n ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23,1,满足f n (x n )=0.(2)当x >0时,f n +1(x )=f n (x )+x n +1n +2>f n (x ),并由(1)知f n +1(x n )>f n (x n )=f n +1(x n +1)=0.由f n +1(x )在(0,+∞)内单调递增知,x n +1<x n ,故{x n }为单调递减数列, 从而对任意n ,p ∈N *,x n +p <x n . 对任意p ∈N *,f n (x n ) =-1 + x n + x 2n22 + … + x 2nn2 =0.①f n +p (x n +p ) =-1 + x n +p +x 2n +p22+…+x n n +p n 2+x n +1n +pn +2+…+x n +pn +pn +p2=0.②①-②并移项,利用0<x n +p <x n ≤1,得x n -x n +p =∑k =2nx k n +p -x k n k 2+∑k =n +1n +p x k n +p k 2≤∑k =n +1n +px k n +pk 2 ≤∑k =n +1n +p1k 2<∑k =n +1n +p1k k -=1n -1n +p <1n. 因此,对任意p ∈N *,0<x n -x n +p <1n.[规律方法] 对于数列、函数、不等式的问题.可以利用函数的单调性,结合极限思想解决问题;也可以利用均值不等式等号成立的条件,结合极限思想获得思路;也可以利用方程进行等量变换,减少未知量,确定参数的取值范围;也可以等价转化不等关系为恒成立问题,利用函数最值得到解法;还可以利用函数的性质,数形结合,求出参数的取值范围. [举一反三](2017·如皋月考)已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 的图象通过原点,对称轴为x =-2n (n ∈N *).f ′(x )是f (x )的导函数,且f ′(0)=2n (n ∈N *) . (1)求f (x )的表达式(含有字母n );(2)若数列{a n }满足a n +1=f ′(a n ),且a 1=4,求数列{a n }的通项公式; (3)在(2)的条件下,若b n =n ·2a n +1-a n2,S n =b 1+b 2+…+b n ,是否存在自然数M ,使得当n >M 时n ·2n +1-S n >50恒成立?若存在,求出最小的M ;若不存在,说明理由.[解] (1)由已知,可得c =0,f ′(x )=2ax +b ,∴⎩⎪⎨⎪⎧b =2n ,b2a=2n , 解之得a =12,b =2n .∴f (x )=12x 2+2nx .(2)∵a n +1=a n +2n ,∴a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+…+(a 3-a 2)+(a 2-a 1)+a 1=2(1+2+3+…+n -1)+4=2×n n -12+4=n 2-n +4.(3)a n +1-a n =(n +1)2-(n +1)+4-(n 2-n +4)=2n , ∴b n =n ·2a n +1-a n2=n ·2n.S n =1·21+2·22+3·23+…+n ·2n ,①2S n =1·22+2·23+3·24+…+n ·2n +1.②①-②得:-S n =21+22+…+2n -n ·2n +1=2n +1-2-n ·2n +1,∴n ·2n +1-S n =2n +1-2>50,即2n +1>52,当n ≥5时,2n +1>52.∴存在M =4,使得当n >M 时,n ·2n +1-S n >50恒成立.[第3步▕ 高考易错明辨析]1.忽视n 的取值范围致误已知数列{a n }中,a 1=1,前n 项的和为S n ,对任意的自然数n ≥2,a n 是3S n -4与2-32S n -1的等差中项.求通项a n . [错原] 忽视了a n +1a n =-12成立的前提n ≥2,只能说明数列从第2项起为等比数列,至于整个数列{a n }是否为等比数列还需验证a 2a 1是否等于-12,这种在解答过程中忽视数列“定义域”限制而致错的题目频率是非常高的,应引起足够的重视.[正解] 由已知,当n ≥2时,2a n =(3S n -4)+⎝ ⎛⎭⎪⎫2-32S n -1,又a n =S n -S n -1, 得a n =3S n -4(n ≥2),a n +1=3S n +1-4,以上两式相减得a n +1-a n =3a n +1, ∴a n +1a n =-12, ∴a 2,a 3,…,a n ,…成等比数列,其中a 2=3S 2-4=3(1+a 2)-4.即a 2=12,q =-12,∴当n ≥2时,a n =a 2qn -2=12·⎝ ⎛⎭⎪⎫-12n -2=-⎝ ⎛⎭⎪⎫-12n -1, ∴a n =⎩⎪⎨⎪⎧1, n =1,-⎝ ⎛⎭⎪⎫-12n -1, n ≥2.2.求等比数列的公比时忽视隐含条件致误已知一个等比数列的前四项之积为116,第2,3项的和为2,求这个等比数列的公比.[错原] 设这四个数为a q 3,a q,aq ,aq 3,公比为q 2,就等于规定了这个等比数列各项要么同为正,要么同为负,但题中q 可以为负! [正解] 依题意,设这四个数为a ,aq ,aq 2,aq 3,则⎩⎪⎨⎪⎧a 4q 6=116,aq +aq 2= 2.解得q =3±22或q =-5±2 6. 3.解数列问题时由思维定势导致错误已知等比数列{a n }中a 2=1,则其前3项的和S 3的取值范围是________. [错原] 默认q >0,遗漏当q <0时的情况.所以需要分q 为正、负两种情况. [正解] 因为等比数列{a n }中a 2=1, 所以S 3=a 1+a 2+a 3=a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1+q +1q =1+q +1q;当公比q >0时,S 3=1+q +1q≥1+2q ·1q=3; 当公比q <0时,S 3=1-⎝ ⎛⎭⎪⎫-q -1q ≤1-2-q⎝ ⎛⎭⎪⎫-1q =-1;所以S 3∈(-∞,-1]∪[3,+∞).———————专家预测·巩固提升———————(对应学生用书第27页)1.已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数且满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32-x =f (x ),f (-2)=-3,数列{a n }满足a 1=-1,且S nn =2×a n n+1(其中S n 为{a n }的前n 项和),则f (a 5)+f (a 6)=________.3 [由定义在R 上的函数f (x )是奇函数且满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32-x =f (x )知,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -32=f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤-⎝ ⎛⎭⎪⎫32-x =-f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32-x =-f (x ),所以f (x -3)= f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x -32-32= -f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -32=-(-f (x ))=f (x ),所以f (x )的周期为3,由S n n =2×a n n +1得,S n=2a n +n ,当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2a n +n -2a n -1-(n -1),所以a n =2a n -1-1,所以a 2=-3,a 3=-7,a 4=-15,a 5=-31,a 6=-63,所以f (a 5)+f (a 6)=f (-31)+f (-63) =-f (3×10+1)-f (3×21+0)=-f (1)-f (0)=-f (1-3)-0 =-f (-2)=3.]2.设△A n B n C n 的三边长分别为a n ,b n ,c n ,n =1,2,3,…,若b 1>c 1,b 1+c 1=2a 1,a n +1=a n ,b n +1=a n +c n 2,c n + 1=a n +b n2,则∠A n 的最大值是________.π3 [由b n +1=a n +c n 2,c n +1=a n +b n2得b n +1+c n +1=a n +c n 2+a n +b n 2=12(b n +c n )+a n ,又a n +1=a n =a 1,所以b n +1+c n +1-2a 1=12(b n+c n -2a 1),而b 1+c 1=2a 1,所以b n +c n =2a 1,所以cos ∠A n =b 2n +c 2n -a 2n 2b n c n =b n +c n 2-a 2n -2b n c n2b n c n =3a 212b n c n-1≥3a 212⎝ ⎛⎭⎪⎫b n +c n 22-1=3a 212a 21-1=12,所以∠A n 的最大值是π3.]3.在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若内角A ,B ,C 依次成等差数列,且a 和c 是-x 2+6x -8=0的两根,则S △ABC =________. 23 [∵内角A ,B ,C 依次成等差数列,∴B =60°, ∵a 和c 是-x 2+6x -8=0的两根,∴a =2,c =4, ∴S △ABC =12ac sin B =12×2×4×32=2 3.]4.(改编题)函数 f 1(x )=x 3,f 2(x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x 2,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,12,log 14x ,x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12,1,f 3(x )=⎩⎪⎨⎪⎧31-2x,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,12,1,x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12,1,f 4(x )=14|sin(2πx )|,等差数列{a n }中,a 1=0,a 2 015=1,b n =|f k (a n +1)-f k (a n )|(k=1,2,3,4),用P k 表示数列{b n }的前2 014项的和,则P 1,P 2,P 3,P 4的关系为________.【导学号:56394040】P 4<1=P 1=P 2<P 3=2 [{a n }是等差数列,且a 1=0,a 2 015=1,可知该数列为递增数列,且a 1 008=12,a 504<14,a 505>14.对于f 1(x )=x 3,该函数在[0,1]上为增函数,于是有f 1(a n +1)-f 1(a n )>0, 于是b 1=f 1(a n +1)-f 1(a n ),所以P 1=f 1(a 2 015)-f 1(a 1)=1-0=1.对于f 2(x ),该函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,12上递增,在⎝ ⎛⎦⎥⎤12,1上递减,于是P 2=f 2(a 1 008)-f 2(a 1)+f 2(a 1 008)-f 2(a 2 015)=12-0+12-0=1.21 对于f 3(x ),该函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,12上递减,在⎝ ⎛⎦⎥⎤12,1上为常数, 类似有P 3=f 3(a 1)-f 3(a 1 008)=f 3(0)-f 3⎝ ⎛⎭⎪⎫12=3-1=2. 对于f 4(x ),该函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,14和⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,34递增,在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14,12和⎣⎢⎡⎦⎥⎤34,1上递减,且是以12为周期的周期函数,故只需讨论⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,12的情况,再2倍即可,仿前可知,P 4=2[f 4(a 504)- f 4(a 1)+ f 4(a 505)- f 4(a 1008)]<2⎝ ⎛⎭⎪⎫14sin π2-14sin 0+14sin π2-14sin π=1, 故P 4<1,则P 4<1=P 1=P 2<P 3=2.]。
2018年高考数学理科江苏专版二轮专题复习与策略课件:第1部分 专题1 第6讲 第1课时 利用导数研
处的切线平行于x轴.
(1)确定a与b的关系;
(2)若a≥0,试讨论函数g(x)的单调性.
[解] (1)依题意得g(x)=ln x+ax2+bx,则g′(x)=1x+2ax+b.
4分
由函数g(x)的图象在点(1,g(1))处的切线平行于x轴得g′(1)=1+2a+b=0,
∴b=-2a-1.
6分
(2)由(1)得g′(x)=2ax2-2ax+1x+1=2ax-1xx-1.7分
当a=1时,g(x)=x-bx-2ex.7分 因为g(x)≥1在x∈(0,+∞)上恒成立,
所以b≤x2-2x-exx在x∈(0,+∞)上恒成立.
8分
记h(x)=x2-2x-exx(x>0),则h′(x)=x-1e2x ex+1.9分
当0<x<1时,h′(x)<0,h(x)在(0,1)上是减函数; 当x>1时,h′(x)>0,h(x)在(1,+∞)上是增函数. 所以h(x)min=h(1)=-1-e-1. 所以b的最大值为-1-e-1.11分
∵函数g(x)的定义域为(0,+∞),∴当a=0时,g′(x)=-x-x 1.
8分
由g′(x)>0得0<x<1,由g′(x)<0得x>1,
即函数g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减;
当a>0时,令g′(x)=0得x=1或x=21a,
10分
若
1 2a
<1,即a>
1 2
,由g′(x)>0得x>1或0<x<
且PM=x,所以点P坐标为x,x+4x22,1分
直线OB的方程为x-y=0,
2分
则点P到直线x-y=0的距离为x-x+24x22=4x222=x42, 又PM的造价为5万元/百米,PN的造价为40万元/百米, 则两条道路总造价为f(x)=5x+40·x42=5x+3x22 (1≤x≤9).
2018版高考数学文江苏专用大二轮总复习与增分策略配套课件:专题二 函数与导数 第1讲 精品
3.设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,
则满足不等式 f(1)<f(lg 1x0)的 x 的取值范围是_(_0_,1_)_∪__(_1_0_0_,__+__∞__)_.
押题依据 利用函数的单调性、奇偶性求解不等式是高考中的热点,
较好地考查学生思维的灵活性.
解析
由题意得,f(1)<f(|lg
5的值为__e__.
解析
∵
5>2,∴f
f
5 =f log 5-1 =f 2 =e =e.
2
2-1
解析答案
(2)已知 y=f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x>0 时不等式 f(x)+
xf′(x)<0 恒成立,若 a=30.3·f(30.3),b=logπ3·f(logπ3),c=log319·f(log319),
解析答案
(2)若函数
f
(
x)
log2
log
1 2
x, x (x),
0 x
0
若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围
是_(_-__1_,0_)_∪__(_1_,__+__∞__)_.
思维升华
解析
答案
跟踪演练 3
(1)已知函数 fx=elox-g21,x2-x≤12,,x>2,
则 f f
又x1,x2是f(x)的两个极值点, ∴x1,x2 是方程 3x2-2x-2=0 的两个根,即 x1+x2=23.
解析答案
(2)
已
知
定
义
在
区
间
0,1
上
的
函
数
y=f
2018江苏高考数学总复习要点——知识篇(全套)
2
x2 y 2
2
2
⑸ 数量积的运算律
①交换律:
a b b a
②对数乘的结合律: ( a) b (a b) a (b)
③分配律: (a b) c a c b c
注意: 数量积不满足结合律,即:
coS(-α)=cos α , 偶
tan(-α)=—tan α ,奇
Sin(2π-α)=—sin α , 奇,周期函数
coS(2π-α)=cos α , 偶,周期函数
tan(2π-α)=—tan α ,奇,周期函数
三、基本初等函数(2)三角恒等变
换
•
•
•
•
•
3正余弦正切的诱导公式
公式三(仅正弦不变号)
1)概念
一般地,我们规定实数λ与向量 的积是一个向量,
这种运算叫做向量的数乘,记作 ,它的长度和方向
规定如下:
• ① ՜ = ՜
• ②当>0时, ՜的方向与 ՜的方向相同;
• 当 <0时, ՜的方向与 ՜的方向相反;
• 特别地,当 =0时, ՜=՜
0
五、平面向量
• b=2RsinB
• c=2RsinC
• 注:∆ =
1
absinC
2
= 2 外接圆半径
四、解三角形
•
•
•
•
2余弦定理及其应用
2 = 2 + 2 − 2
2 = 2 + 2 − 2
2 = 2 + 2 − 2
• =
2 + 2 −2
(1)概念
2018年高考数学理科江苏专版二轮专题复习与策略课件:第1部分 专题1 第5讲 导数的简单应用 精品
3.已知函数y=x3-3x在区间[a,a+1](a≥0)上的最大值与最小值的差为2, 则满足条件的实数a的所有值是________.
3-1或0 [∵y′=3x2-3=3(x+1)(x-1),
∴函数y=x3-3x在(-∞,-1)上递增,在(-1,1)上递减,在(1,+∞)上递
增,
①当a=0时,由题意可知f(x)max=f(0)=0,f(x)min=f(1)=-2, ∴f(0)-f(1)=0-(-2)=2,故a=0合题意.
所以xx12=43-f(0)x+12x2在点(1,f(1))处的切线方程为________.
y=ex-12 [令x=0,f(0)=f′e1e0-f(0)×0+0,所以f(0)=f′e1, 从而f(x)=f′e1ex-f′e1x+12x2, f′(x)=f′e1ex-f′e1+x. 令x=1时,f′(1)=f′e1·e-f′e1+1,f′(1)=e, f(x)=ex-x+x22. f(1)=e-12,则切线为y-e-12=e(x-1),即y=ex-12.]
切点分别为A(x1,y1)和B(x2,y2),则xx21的值是________.
4 3
[由题设函数y=x2在A(x1,y1)处的切线方程为:y=2x1x-x21,
函数y=x3在B(x2,y2)处的切线方程为y=3x22x-2x32.
所以x221x=1=2x323x,22, 解得x1=3227,x2=89.
【名师点评】 利用导数研究函数的极值、最值的注意点: (1)极值:导函数的零点并不一定就是函数的极值点,因此在求得f′(x0)=0后 务必验证x>x0及x<x0时f′(x)的符号是否相反. (2)最值:①对含参数的函数解析式求最值时,常常分类讨论,分类的原则是 极值点在给定区间的内部还是外部,从而根据单调性求出最值. ②求极值和最值时,为了直观易懂,常常列出x的取值范围与y的符号及y的单 调区间、极值的对应表格.
2018年高考数学文科江苏专版二轮专题复习与策略专题限
专题限时集训(十九) 高考中的圆锥曲线(建议用时:45分钟)1.(2014·江苏高考)如图18-5,在平面直角坐标系xOy 中,F 1,F 2分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点,顶点B 的坐标为(0,b ),连结BF 2并延长交椭圆于点A ,过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ,连结F 1C.图18-5(1)若点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43,13,且BF 2=2,求椭圆的方程;(2)若F 1C ⊥AB ,求椭圆离心率e 的值.[解] 设椭圆的焦距为2c ,则F 1(-c,0),F 2(c,0). (1)因为B (0,b ),所以BF 2=b 2+c 2=a . 又BF 2=2,故a = 2. 3分因为点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫43,13在椭圆上,所以169a 2+19b 2=1,解得b 2=1. 故所求椭圆的方程为x 22+y 2=1.6分 (2)因为B (0,b ),F 2(c,0)在直线AB 上, 所以直线AB 的方程为x c +yb =1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x c +y b =1,x 2a 2+y 2b 2=1,得⎩⎪⎨⎪⎧x 1=2a 2c a 2+c 2,y 1=b (c 2-a 2)a 2+c 2,⎩⎨⎧x 2=0,y 2=b .所以点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2+c2,b (c 2-a 2)a 2+c 2.10分又AC 垂直于x 轴,由椭圆的对称性,可得点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2+c2,b (a 2-c 2)a 2+c 2.因为直线F 1C 的斜率为b (a 2-c 2)a 2+c 2-02a 2c a 2+c 2-(-c )=b (a 2-c 2)3a 2c +c 3,直线AB 的斜率为-bc ,且F 1C ⊥AB ,所以b (a 2-c 2)3a 2c +c 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫-b c =-1.又b 2=a 2-c 2,整理得a 2=5c 2. 故e 2=15,因此e =55.16分2.(2016·南通二调)如图18-6,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为22.A 为椭圆上异于顶点的一点,点P 满足OP →=2AO →.图18-6(1)若点P 的坐标为(2,2),求椭圆的方程;(2)设过点P 的一条直线交椭圆于B ,C 两点,且BP →=mBC →,直线OA ,OB 的斜率之积为-12,求实数m 的值.【导学号:91632055】[解] (1)因为OP →=2AO →,而P (2,2), 所以A ⎝⎛⎭⎪⎫-1,-22.3分代入椭圆方程,得1a 2+12b 2=1,① 又椭圆的离心率为22,所以1-b 2a 2=22,②由①②,得a 2=2,b 2=1, 故椭圆的方程为x 22+y 2=1.6分(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3), 因为OP →=2AO →,所以P (-2x 1,-2y 1).因为BP →=mBC →,所以(-2x 1-x 2,-2y 1-y 2)=m (x 3-x 2,y 3-y 2), 即⎩⎨⎧-2x 1-x 2=m (x 3-x 2),-2y 1-y 2=m (y 3-y 2), 于是⎩⎪⎨⎪⎧x 3=m -1m x 2-2m x 1,y 3=m -1m y 2-2m y 1,10分代入椭圆方程,得⎝ ⎛⎭⎪⎫m -1mx 2-2m x 12a 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫m -1m y 2-2m y 12b2=1, 即4m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 21a 2+y 21b 2+(m -1)2m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22a 2+y 22b 2-4(m -1)m 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2a 2+y 1y 2b 2=1,③ 14分因为A ,B 在椭圆上,所以x 21a 2+y 21b 2=1,x 22a 2+y 22b 2=1.④因为直线OA ,OB 的斜率之积为-12,即y 1x 1·y 2x 2=-12,结合②知x 1x 2a 2+y 1y 2b 2=0. ⑤将④⑤代入③,得4m 2+(m -1)2m 2=1, 解得m =52.16分3.(理)(2016·江苏高考)如图18-7,在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l :x -y -2=0,抛物线C :y 2=2px (p >0).图18-7(1)若直线l 过抛物线C 的焦点,求抛物线C 的方程; (2)已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q . ①求证:线段PQ 的中点坐标为(2-p ,-p );②求p 的取值范围.[解] (1)抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2,0,3分由点⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2,0在直线l :x -y -2=0上,得p 2-0-2=0,即p =4.所以抛物线C 的方程为y 2=8x .6分(2)设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),线段PQ 的中点M (x 0,y 0).因为点P 和Q 关于直线l 对称,所以直线l 垂直平分线段PQ ,于是直线PQ 的斜率为-1,则可设其方程为y =-x +b .①证明:由⎩⎨⎧y 2=2px ,y =-x +b消去x 得y 2+2py -2pb =0.(*)10分因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点,所以y 1≠y 2,从而Δ=(2p )2-4×(-2pb )>0,化简得p +2b >0.方程(*)的两根为y 1,2=-p ±p 2+2pb , 从而y 0=y 1+y 22=-p .因为M (x 0,y 0)在直线l 上,所以x 0=2-p . 12分因此,线段PQ 的中点坐标为(2-p ,-p ). ②因为M (2-p ,-p )在直线y =-x +b 上, 所以-p =-(2-p )+b ,即b =2-2p .由①知p +2b >0,于是p +2(2-2p )>0,所以p <43. 因此,p 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0,43.16分3.(文)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦距为4,且与椭圆x 2+y 22=1有相同的离心率,斜率为k 的直线l 经过点M (0,1),与椭圆C 交于不同的两点A ,B .(1)求椭圆C 的标准方程;(2)当椭圆C 的右焦点F 在以AB 为直径的圆内时,求k 的取值范围. [解] (1)∵椭圆C 的焦距为4,∴c =2. 又∵椭圆x 2+y 22=1的离心率为22,3分∴椭圆C 的离心率e =c a =2a =22,∴a =22,b =2, ∴椭圆C 的标准方程为x 28+y 24=1.6分(2)设直线l 的方程为y =kx +1,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +1,x 28+y 24=1,消去y 得(1+2k 2)x 2+4kx -6=0,∴x 1+x 2=-4k 1+2k 2,x 1x 2=-61+2k 2.由(1)知椭圆C 的右焦点F 的坐标为(2,0), ∵右焦点F 在圆的内部,∴F A →·FB →<0, 10分∴(x 1-2)(x 2-2)+y 1y 2<0,即x 1x 2-2(x 1+x 2)+4+k 2x 1x 2+k (x 1+x 2)+1<0,∴(1+k 2)x 1x 2+(k -2)(x 1+x 2)+5=(1+k 2)·-61+2k 2+(k -2)·-4k 1+2k 2+5=8k -11+2k 2<0, ∴k <18.经检验,当k <18时,直线l 与椭圆C 相交, ∴直线l 的斜率k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,18.16分4.(理)如图18-8,等边三角形OAB 的边长为83,且其三个顶点均在抛物线E :x 2=2py (p >0)上.图18-8(1)求抛物线E 的方程;(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ,与直线y =-1相交于点Q .证明:以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点.[解] (1)依题意,OB =83,∠BOy =30°,设B (x ,y ),则x =OB sin 30°=43,y =OB cos 30°=12.因为点B (43,12)在x 2=2py 上,所以(43)2=2p ×12,解得p =2.故抛物线E 的方程为x 2=4y .6分(2)证明:法一:由(1)知y =14x 2,y ′=12x . 设P (x 0,y 0),则x 0≠0,且l 的方程为 y -y 0=12x 0(x -x 0),即y =12x 0x -14x 20. 由⎩⎪⎨⎪⎧y =12x 0x -14x 20,y =-1,得⎩⎪⎨⎪⎧x =x 20-42x 0,y =-1.所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20-42x 0,-1. 10分设M (0,y 1),令MP →·MQ →=0对满足y 0=14x 20(x 0≠0)的x 0,y 0恒成立. 由于MP →=(x 0,y 0-y 1),MQ →=⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20-42x 0,-1-y 1, 由MP →·MQ →=0,得x 20-42-y 0-y 0y 1+y 1+y 21=0, 即(y 21+y 1-2)+(1-y 1)y 0=0.(*)由于(*)式对满足y 0=14x 20(x 0≠0)的y 0恒成立, 所以⎩⎨⎧1-y 1=0,y 21+y 1-2=0,解得y 1=1.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1).16分法二:由(1)知y =14x 2,y ′=12x .设P (x 0,y 0),则x 0≠0,且l 的方程为y -y 0=12x 0(x -x 0),即y =12x 0x -14x 20. 由⎩⎪⎨⎪⎧y =12x 0x -14x 20,y =-1,得⎩⎪⎨⎪⎧x =x 20-42x 0,y =-1.10分所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20-42x 0,-1. 取x 0=2,此时P (2,1),Q (0,-1),以PQ 为直径的圆为(x -1)2+y 2=2,交y 轴于点M 1(0,1)或M 2(0,-1);取x 0=1,此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1,14,Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫-32,-1,以PQ为直径的圆为⎝ ⎛⎭⎪⎫x +142+⎝ ⎛⎭⎪⎫y +382=12564,交y 轴于M 3(0,1)或M 4⎝ ⎛⎭⎪⎫0,-74.故若满足条件的点M 存在,只能是M (0,1). 以下证明点M (0,1)就是所要求的点.因为MP →=(x 0,y 0-1),MQ →=⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20-42x 0,-2, 所以MP →·MQ →=x 20-42-2y 0+2=2y 0-2-2y 0+2=0. 故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1).16分4.(文)椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12,其左焦点到点P (2,1)的距离为10.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若直线l :y =kx +m 与椭圆C 相交于A ,B 两点(A ,B 不是左,右顶点),且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点,求证:直线l 过定点,并求出该定点的坐标.[解] (1)设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),由e =c a =12, 得a =2c ,∵a 2=b 2+c 2,∴b 2=3c 2,3分 则椭圆方程变为x 24c 2+y 23c 2=1. 又由题意知(2+c )2+12=10, 解得c 2=1,故a 2=4,b 2=3,即得椭圆的标准方程为x 24+y 23=1. 6分(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 联立⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +m ,x 24+y 23=1,得(3+4k 2)x 2+8mkx +4(m 2-3)=0.则⎩⎪⎨⎪⎧Δ=64m 2k 2-16(3+4k 2)(m 2-3)>0,x 1+x 2=-8mk 3+4k 2,x 1·x 2=4(m 2-3)3+4k2.①又y 1y 2=(kx 1+m )(kx 2+m ) =k 2x 1x 2+mk (x 1+x 2)+m 2 =3(m 2-4k 2)3+4k 2.10分∵椭圆的右顶点为A 2(2,0),AA 2⊥BA 2, ∴(x 1-2)(x 2-2)+y 1y 2=0, ∴y 1y 2+x 1x 2-2(x 1+x 2)+4=0,∴3(m 2-4k 2)3+4k 2+4(m 2-3)3+4k 2+16mk 3+4k 2+4=0,∴7m 2+16mk +4k 2=0, 解得m 1=-2k ,m 2=-2k 7, 12分 由①得3+4k 2-m 2>0,② 当m 1=-2k 时,l 的方程为y =k (x -2),直线过定点(2,0),与已知矛盾. 当m 2=-2k7时,l 的方程为y =k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -27,直线过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫27,0,且满足②,∴直线l 过定点,定点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫27,0.16分5.(2016·南京盐城一模)如图18-918-7,在平面直角坐标系xOy 中,设点M (x 0,y 0)是椭圆C :x 24+y 2=1上一点,从原点O 向圆M :(x -x 0)2+(y -y 0)2=r 2作两条切线分别与椭圆C 交于点P ,Q ,直线OP ,OQ 的斜率分别记为k 1,k 2.图18-7 图18-9(1)若圆M 与x 轴相切于椭圆C 的右焦点,求圆M 的方程; (2)若r =255. ①求证:k 1k 2=-14; ②求OP ·OQ 的最大值.[解] (1)因为椭圆C 右焦点的坐标为(3,0),所以圆心M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3,±12, 4分 从而圆M 的方程为(x -3)2+⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±122=14. 6分(2)①证明:因为圆M 与直线OP :y =k 1x 相切,所以|k 1x 0-y 0|k 21+1=255,即(4-5x 20)k 21+10x 0y 0k 1+4-5y 20=0, 同理,有(4-5x 20)k 22+10x 0y 0k 2+4-5y 20=0,所以k 1,k 2是方程(4-5x 20)k 2+10x 0y 0k +4-5y 20=0的两根,从而k 1k 2=4-5y 204-5x 20=4-5⎝ ⎛⎭⎪⎫1-14x 204-5x 20=-1+54x 204-5x 20=-14.10分②设点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),联立⎩⎪⎨⎪⎧y =k 1x ,x 24+y 2=1,解得x 21=41+4k 21,y 21=4k 211+4k 21,12分同理,x22=41+4k 22,y22=4k 221+4k 22,所以OP 2·OQ 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫41+4k 21+4k 211+4k 21·⎝ ⎛⎭⎪⎫41+4k 22+4k 221+4k 22=4(1+k 21)1+4k 21·4(1+k 22)1+4k 22=4+4k 211+4k 21·1+16k 211+4k 21≤⎝ ⎛⎭⎪⎫5+20k 2122(1+4k 21)2=254, 当且仅当k 1=±12时取等号.所以OP ·OQ 的最大值为52.16分6.(2016·苏州期末)如图18-1018-8,已知椭圆O :x 24+y 2=1的右焦点为F ,点B ,C 分别是椭圆O 的上,下顶点,点P 是直线l :y =-2上的一个动点(与y 轴交点除外),直线PC 交椭圆于另一点M.图18-8(1)当直线PM 过椭圆的右焦点F 时,求△FBM 的面积; (2)①记直线BM ,BP 的斜率分别为k 1,k 2,求证:k 1·k 2为定值; ②求PB →·PM →的取值范围.[解] (1)由题意B (0,1),C (0,-1),焦点F (3,0),当直线PM 过椭圆的右焦点F 时,则直线PM 的方程为x 3+y -1=1,即y =33x -1, 联立,⎩⎪⎨⎪⎧x 24+y 2=1,y =33x -1,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =837,y =17或⎩⎨⎧x =0,y =-1(舍),即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫837,17.3分连结BF ,则直线BF :x 3+y1=1,即x +3y -3=0, 而BF =a =2,M 到直线BF 的距离为d =⎪⎪⎪⎪⎪⎪837+3·17-312+(3)2=2372=37.故S △MBF =12·BF ·d =12·2·37=37.6分 (2)法一:①设P (m ,-2),且m ≠0,则直线PM 的斜率为k =-1-(-2)0-m=-1m ,则直线PM 的方程为y =-1m x -1,联立⎩⎪⎨⎪⎧y =-1m x -1,x 24+y 2=1,化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫1+4m 2x 2+8m x =0,解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫-8m m 2+4,4-m 2m 2+4, 8分所以k 1=4-m 2m 2+4-1-8m m 2+4=-2m 2-8m =14m ,k 2=1-(-2)0-m =-3m , 所以k 1·k 2=-3m ·14m =-34为定值. 12分②由①知,PB →=(-m,3),PM →=⎝ ⎛⎭⎪⎫-8m m 2+4-m ,4-m 2m 2+4+2=⎝ ⎛⎭⎪⎫-m 3-12m m 2+4,m 2+12m 2+4, 所以PB →·PM →=(-m,3)·⎝⎛⎭⎪⎫-m 3+12m m 2+4,m 2+12m 2+4 =m 4+15m 2+36m 2+4,令m 2+4=t >4,故PB →·PM →=(t -4)2+15(t -4)+36t =t 2+7t -8t=t -8t +7,因为y =t -8t +7在t ∈(4,+∞)上单调递增,所以PB →·PM →=t -8t +7>4-84+7=9,即PB →·PM →的取值范围为(9,+∞). 16分法二:①设点M (x 0,y 0)(x 0≠0),则直线PM 的方程为y =y 0+1x 0x -1, 令y =-2,得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫-x 0y 0+1,-2. 所以k 1=y 0-1x 0,k 2=-2-1-x 0y 0+1=3(y 0+1)x 0, 所以k 1k 2=y 0-1x 0·3(y 0+1)x 0=3(y 20-1)x 20=3(y 20-1)4(1-y 20)=-34(定值). 10分②由①知,PB →=⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0y 0+1,3,PM →=⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0+x 0y 0+1,y 0+2, 所以PB →·PM →=x 0y 0+1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0+x 0y 0+1+3(y 0+2)=x 20(y 0+2)(y 0+1)2+3(y 0+2) =4(1-y 20)(y 0+2)(y 0+1)2+3(y 0+2)=(7-y 0)(y 0+2)y 0+1.令t =y 0+1∈(0,2),则PB →·PM →=(8-t )(t +1)t =-t +8t +7, 因为y =-t +8t +7在t ∈(0,2)上单调递减,所以PB →·PM →=-t +8t +7>-2+82+7=9,即PB →·PM →的取值范围为(9,+∞). 16分。
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专题限时集训(二) 函 数(对应学生用书第80页) (限时:120分钟)一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请把答案填写在题中横线上.)1.(河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 5x ,x >0,2x,x ≤0,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫125=________.14 [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫125=log 5125=-2,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫125=f (-2)=2-2=14.] 2.(江苏省苏州市2017届高三上学期期中)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数,当0<x <1时,f (x )=8x.则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-193=________.-2 [函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数,当0<x <1时,f (x )=8x,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-193=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-13=-f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13=-813=-2.]3.(2017·江苏省淮安市高考数学二模)函数f (x )=lg 5-x 2的定义域是________.[-2,2] [由lg(5-x 2)≥0,得5-x 2≥1, 即x 2≤4,解得-2≤x ≤2.∴函数f (x )=lg 5-x 2的定义域是[-2,2]. 故答案为:[-2,2].]4.(广西柳州市2017届高三10月模拟)设a ,b ,c 均为正数,且2a=log 12a ,⎝ ⎛⎭⎪⎫12b =log 12b ,⎝ ⎛⎭⎪⎫12c =log 2c ,则a ,b ,c 的大小关系为________. a <b <c [画图可得0<a <b <1<c .]5.(广东2017届高三上学期阶段测评(一))定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x +2)=-f (x ),当0≤x ≤1时,f (x )=x ,则f (37.5)等于________.0.5 [∵f (x +2)=-f (x ),∴f (x +4)=f (x )且f (-x )=-f (x ),0≤x ≤1时,f (x )=x ,∴f (37.5)=f (1.5)=-f ()-0.5=f ()0.5=0.5.]6.(广东省佛山市2017届高三教学质量检测(一))函数f (x )=1x -log 21+ax1-x 为奇函数,则实数a =________.±1 [因为函数f (x )为奇函数,所以f (-x )=1-x -log 21-ax 1+x =-1x +log 21+ax1-x ,即1+x 1-ax =1+ax1-x,所以a =±1.] 7.(天津六校2017届高三上学期期中联考)已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x +2)·f (x )=1对于x ∈R 恒成立,且f (x )>0,则f (2 015)=________. 1 [因为f (x +2)·f (x )=1⇒f (x +4)=1f x +2=f (x )⇒T =4,因此f (2 015)=f (3)=f (-1)=f (1);而f (x +2)·f (x )=1⇒f (-1+2)·f (-1)=1⇒f 2(1)=1,f (x )>0⇒f (1)=1,所以f (2 015)=1.]8.(河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛)已知函数f (x )是R 上的单调函数,且对任意实数x ,都有f ⎝⎛⎭⎪⎫f x +22x +1=13,则f (log 23)=________. 12 [因为函数f (x )是R 上的单调函数,且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f x +22x +1=13,所以可设f (x )+22x+1=t (t 为常数),即f (x )=t -22x +1,又因为f (t )=13,所以t -22t +1=13,令g (x )=x -22x +1,显然g (x )在R 上单调递增,且g (1)=13,所以t =1,f (x )=1-22x+1,f (log 23)=1-22log 23+1=12.] 9.(湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检测)已知函数f (x )=|ln x |-1,g (x )=-x 2+2x +3,用min{m ,n }表示m ,n 中最小值,设h (x )=min{f (x ),g (x )},则函数h (x )的零点个数为________.3 [作出函数f (x )和g (x )的图象(两个图象的下面部分图象)如图,由g (x )=-x 2+2x +3=0,得x =-1或x =3,由f (x )=|ln x |-1=0,得x =e 或x =1e .∵g (e)>0,∴当x >0时,函数h (x )的零点个数为3个.]10.(江苏省南京市2017届高三上学期学情调研)已知f (x ),g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,且f (x )+g (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .若存在x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,1,使得等式af (x 0)+g (2x 0)=0成立,则实数a 的取值范围是________.【导学号:56394011】⎣⎢⎡⎦⎥⎤22,522 [由f (x )+g (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 得f (-x )+g (-x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12-x,即-f (x )+g (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12-x ,所以f (x )=12(2-x -2x ),g (x )=12(2-x +2x ).存在x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,1,使得等式af(x 0)+g (2x 0)=0成立,即x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,1,a =-g 2x 0 f x 0 ,设h (x )=-g 2x f x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,1,则h (x )=-12 2-2x +22x12 2-x -2x=22x +2-2x2-2=(2x -2-x)+22-2,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,1时,2x-2-x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22,32,设t =2x -2-x,则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22,32,而h (x )=t +2t ,易知y =t+2t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤22,2上递减,在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2,32上递增,因此y min =2+22=22,y max =22+222=522,所以h (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22,522,即a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22,522.] 11.(江苏省苏州市2017届高三上学期期中)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x -1,x >0,x 2+x ,x ≤0,若函数g (x )=f (x )-m 有三个零点,则实数m 的取值范围是________.⎝ ⎛⎦⎥⎤-14,0 [由g (x )=f (x )-m =0得f (x )=m ,若函数g (x )=f (x )-m 有三个零点, 等价为函数f (x )与y =m 有三个不同的交点,作出函数f (x )的图象如图:当x ≤0时,f (x )=x 2+x =⎝ ⎛⎭⎪⎫x +122-14≥-14,若函数f (x )与y =m 有三个不同的交点, 则-14<m ≤0,即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤-14,0,故答案为:⎝ ⎛⎦⎥⎤-14,0.] 12.(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧4x -x 2,x ≥0,3x ,x <0,若函数g (x )=|f (x )|-3x +b 有三个零点,则实数b 的取值范围为________. (-∞,-6)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤-14,0 [函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧4x -x 2,x ≥0,3x,x <0,若函数g (x )=|f (x )|-3x +b 有三个零点,就是h (x )=|f (x )|-3x 与y =-b 有3个交点,h (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x -x 2,0≤x ≤4,x 2-7x ,x >4,-3x-3x ,x <0,画出两个函数的图象如图:当x <0时,-3x-3x ≥6,当且仅当x =-1时取等号,此时-b >6,可得b <-6;当0≤x ≤4时,x -x 2≤14,当x =12时取得最大值,满足条件的b ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤-14,0 .综上,b ∈(-∞,-6)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤-14,0. 故答案为:(-∞,-6)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤-14,0.] 13.(2017·江苏省淮安市高考数学二模)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x +m ,x <0,x 2-1,x ≥0,其中m >0,若函数y =f (f (x ))-1有3个不同的零点,则m 的取值范围是________.(0,1) [①当x <0时,f (f (x ))=(-x +m )2-1,图象为开口向上的抛物线在y 轴左侧的部分,顶点为(0,m 2-1);②当0≤x <1时,f (f (x ))=-x 2+1+m ,图象为开口向下的抛物线在0≤x <1之间的部分,顶点为(0,m +1).根据题意m >0,所以m +1>1;③当x ≥1时,f (f (x ))=(x 2-1)2-1,图象为开口向上的抛物线在x =1右侧的部分,顶点为(1,-1).根据题意,函数y =f (f (x ))-1有3个不同的零点,即f (f (x ))的图象与y =1有3个不同的交点.根据以上三种分析的情况:第③种情况x =1时,f (f (x ))=-1,右侧为增函数,所以与y =1有一个交点;第②种情况,当x →1时,f (f (x ))→m ,所以与y =1有交点,需m <1;第①种情况,当x →0时,f (f (x ))→m 2-1,只要m 2-1<1即可,又m >0,∴0<m <2, 综上m 的取值范围为(0,1).]14.(2017·江苏省无锡市高考数学一模)若函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧12x -1,x <1,ln xx 2,x ≥1,则函数y =|f (x )|-18的零点个数为________.4 [当x ≥1时,ln x x =18,即ln x =18x 2,令g (x )=ln x -18x 2,x ≥1时函数是连续函数,g (1)=-18<0,g (2)=ln 2-12=ln2e>0,g (4)=ln 4-2<0,由函数的零点判定定理可知g (x )=ln x -18x 2有2个零点.(结合函数y =ln x x 2与y =18可知函数的图象有2个交点.)当x <1时,y =⎩⎪⎨⎪⎧12x-1,x <0,1-12x,x ∈[0,1 ,函数的图象与y =18的图象如图,考查两个函数有2个交点,综上函数y =|f (x )|-18的零点个数为4个.故答案为4.]二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(本小题满分14分)(2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试)已知函数f (x )=3x +λ·3-x(λ∈R ).(1)若f (x )为奇函数,求λ的值和此时不等式f (x )>1的解集; (2)若不等式f (x )≤6对x ∈[0,2]恒成立,求实数λ的取值范围.【导学号:56394012】[解] (1)函数f (x )=3x +λ·3-x的定义域为R ,∵f (x )为奇函数,∴f (-x )+f (x )=0对∀x ∈R 恒成立,即3-x+λ·3x +3x+λ·3-x=(λ+1)(3x +3-x)=0对∀x ∈R 恒成立,∴λ=-1.3分此时f (x )=3x-3-x>1,即3x -3-x-1>0, 解得3x >1+52或3x <1-52(舍去),6分∴解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >log 31+52. 7分(2)由f (x )≤6得3x +λ·3-x ≤6,即3x+λ3x ≤6,令t =3x ∈[1,9],原问题等价于t +λt≤6对t ∈[1,9]恒成立,亦即λ≤-t 2+6t 对t ∈[1,9]恒成立,10分令g (t )=-t 2+6t ,t ∈[1,9],∵g (t )在[1,3]上单调递增,在[3,9]上单调递减. ∴当t =9时,g (t )有最小值g (9)=-27, ∴λ≤-27.14分16.(本小题满分14分)(泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测)设函数y =lg(-x 2+4x -3)的定义域为A ,函数y =2x +1,x ∈(0,m )的值域为B . (1)当m =2时,求A ∩B ;(2)若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件,求实数m 的取值范围. [解] (1)由-x 2+4x -3>0, 解得1<x <3,所以A =(1,3), 2分又函数y =2x +1在区间(0,m )上单调递减, 所以y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2m +1,2,即B =⎝⎛⎭⎪⎫2m +1,2,5分当m =2时,B =⎝ ⎛⎭⎪⎫23,2,所以A ∩B =(1,2).7分 (2)首先要求m >0,9分 而“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件,所以B 是A 的真子集, 从而2m +1≥1,解得0<m ≤1.12分 所以实数m 的取值范围为(0,1].14分17.(本小题满分14分)(江苏省泰州中学2017届高三上学期第二次月考)无锡市政府决定规划地铁三号线:该线起于惠山区惠山城铁站,止于无锡新区硕放空港产业园内的无锡机场站,全长28公里,目前惠山城铁站和无锡机场站两个站点已经建好,余下的工程是在已经建好的站点之间铺设轨道和等距离修建停靠站.经有关部门预算,修建一个停靠站的费用为6 400万元,铺设距离为x 公里的相邻两个停靠站之间的轨道费用为400x 3+20x 万元.设余下工程的总费用为f (x )万元.(停靠站位于轨道两侧,不影响轨道总长度). (1)试将f (x )表示成x 的函数;(2)需要建多少个停靠站才能使工程费用最小,并求最小值.[解] (1)设需要修建k 个停靠站,则k 个停靠站将28公里的轨道分成相等的k +1段,∴(k +1)x =28⇒k =28x-1,3分∴f (x )=6 400k +(k +1)(400x 3+20x )=6 400⎝ ⎛⎭⎪⎫28x -1+28x (400x 3+20x ),化简得f (x )=28×400x 2+28×6 400x-5 840,7分(2)f (x )=28×400x 2+28×3 200x +28×3 200x-5 840≥3328×400x 2·28×3 200x ·28×3 200x-5 840=128 560(万元),当且仅当28×400x 2=28×3 200x ,即x =2,k =28x-1=13时取“=”.13分故需要建13个停靠站才能使工程费用最小,最小值费用为128 560万元.14分 18.(本小题满分16分)(泰州中学2017届高三上学期期中考试)已知函数f (x )=|x 2-1|+x 2+kx ,且定义域为(0,2).(1)求关于x 的方程f (x )=kx +3在(0,2)上的解;(2)若关于x 的方程f (x )=0在(0,2)上有两个的解x 1,x 2,求k 的取值范围. [解] (1)∵f (x )=|x 2-1|+x 2+kx ,f (x )=kx +3,即|x 2-1|+x 2=3.当0<x ≤1时,|x 2-1|+x 2=1-x 2+x 2=1,此时该方程无解.当1<x <2时,|x 2-1|+x 2=2x 2-1,原方程等价于:x 2=2,此时该方程的解为 2.综上可知:方程f (x )=kx +3在(0,2)上的解为 2.6分(2)当0<x ≤1时,kx =-1,① 当1<x <2时,2x 2+kx -1=0,② 若k =0,则①无解,②的解为x =±22∉(1,2),故k =0不合题意.若k ≠0,则①的解为x =-1k.8分(ⅰ)当-1k∈(0,1]时,k ≤-1时,方程②中Δ=k 2+8>0,故方程②中一 根在(1,2)内,一根不在(1,2)内.设g (x )=2x 2+kx -1,而x 1x 2=-12<0,则⎩⎪⎨⎪⎧g 1 <0,g 2 >0,⎩⎪⎨⎪⎧k <-1,k >-72,又k ≤-1,故-72<k <-1.12分(ⅱ)当-1k∉(0,1]时,即-1<k <0或k >0时,方程②在(1,2)需有两个不同解,而x 1x 2=-12<0,知道方程②必有负根,不合题意. 综上所述,故-72<k <-1.19.(本小题满分16分)(江苏省南通市如东县、 徐州市丰县2017届高三10月联考)已知函数f (x )=-3x+a 3x +1+b.(1)当a =b =1时,求满足f (x )=3x的x 的值; (2)若函数f (x )是定义在R 上的奇函数.①存在t ∈R ,不等式f (t 2-2t )<f (2t 2-k )有解,求k 的取值范围;②若函数g (x )满足 f (x )·[g (x )+2]=13(3-x -3x),若对任意x ∈R ,不等式g (2x )≥m ·g (x )-11恒成立,求实数m 的最大值 .[解] (1) 由题意,-3x+13x +1+1=3x ,化简得3·(3x )2+2·3x-1=0,解得3x =-1(舍)或3x=13,2分 所以x =-1.4分(2) 因为f (x )是奇函数,所以f (-x )+f (x )=0, 所以-3-x+a 3-x +1+b +-3x+a 3x +1+b=0,化简并变形得: (3a -b )(32x+1)+(2ab -6)·3x=0, 要使上式对任意的x 成立,则3a -b =0且2ab -6=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =3或⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,b =-3,因为f (x )的定义域是R ,所以⎩⎪⎨⎪⎧a =-1b =-3(舍去),所以a =1,b =3, 所以f (x )=-3x+13x +1+3.6分①f (x )=-3x+13x +1+3=13⎝⎛⎭⎪⎫-1+23x +1,对任意x 1,x 2∈R ,x 1<x 2有:f (x 1)-f (x 2)=13⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 1+1-23x 2+1=23⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2-3x 1 3x 1+1 3x 2+1 , 因为x 1<x 2,所以3x 2-3x 1>0,所以f (x 1)>f (x 2), 因此f (x )在R 上递减.8分因为f (t 2-2t )<f (2t 2-k ),所以t 2-2t >2t 2-k , 即t 2+2t -k <0在t ∈R 上有解 , 所以Δ=4+4k >0,解得k >-1, 所以k 的取值范围为(-1,+∞). 10分②因为f (x )·[g (x )+2]=13(3-x -3x),所以g (x )=3-x-3x3f x -2,即g (x )=3x+3-x .12分所以g (2x )=32x +3-2x=(3x +3-x )2-2.不等式g (2x )≥m ·g (x )-11恒成立, 即(3x+3-x )2-2≥m ·(3x +3-x)-11, 即m ≤3x +3-x+93x +3-x 恒成立.14分令t =3x +3-x,t ≥2,则m ≤t +9t在t ≥2时恒成立,令h (t )=t +9t ,h ′(t )=1-9t2,t ∈(2,3)时,h ′(t )<0,所以h (t )在(2,3)上单调递减, t ∈(3,+∞)时,h ′(t )>0,所以h (t )在(3,+∞)上单调递增,所以h (t )min =h (3)=6,所以m ≤6, 所以实数m 的最大值为6 .16分20.(本小题满分16 分)(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)给出定义在(0,+∞)上的两个函数f (x )=x 2-a ln x ,g (x )=x -a x . (1)若f (x )在x =1处取最值,求a 的值;(2)若函数h (x )=f (x )+g (x 2)在区间(0,1]上单调递减 ,求实数a 的取值范围; (3)在(1)的条件下,试确定函数m (x )=f (x )-g (x )-6的零点个数,并说明理由.【导学号:56394013】[解] (1)f ′(x )=2x -a x,由已知f ′(1)=0,即2-a =0, 解得a =2,经检验a =2满足题意, 所以a =2.4分(2)h (x )=f (x )+g (x 2)=x 2-a ln x +x 2-ax =2x 2-a (x +ln x ),h ′(x )=4x -a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1+1x ,要使得h (x )=2x 2-a (x +ln x )在区间(0,1]上单调递减,则h ′(x )≤0,即4x -a ⎝⎛⎭⎪⎫1+1x ≤0在区间(0,1]上恒成立,6分因为x ∈(0,1],所以a ≥4x2x +1,设函数F (x )=4x2x +1,则a ≥F (x )max ,8分F (x )=4x 2x +1=4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2+1x,因为x ∈(0,1],所以1x∈[1,+∞),11 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2+1x min =2, 所以F (x )max =2,所以a ≥2.10分(3)函数m (x )=f (x )-g (x )-6有两个零点.因为m (x )=x 2-2ln x -x +2x -6,所以m ′(x )=2x -2x -1+1x =2x 2-2-x +x x = x -1 2x x +2x +x +2 x .当x ∈(0,1)时,m ′(x )<0,当x ∈(1,+∞)时, m ′(x )>0,所以m (x )min =m (1)=-4<0, 14分m (e -2)= 1-e 1+e +2e 3 e 4<0,m (e -4)=1+2e 8+e 4 2e 2-1e 8>0,m (e 4)=e 4(e 4-1)+2(e 2-7)>0,故由零点存在定理可知:函数m (x )在(e -4,1)上存在一个零点,函数m (x )在(1,e 4)上存在一个零点, 所以函数m (x )=f (x )-g (x )-6有两个零点. 16分。