江西省宜春市奉新一中2017-2018学年高一下学期期末数学试卷 Word版含解析

2017-2018学年江西省宜春市奉新一中高一（下）期末数学试卷一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知a＞b＞0，那么下列不等式成立的是（）A．﹣a＞﹣b B．a+c＜b+c C．（﹣a）2＞（﹣b）2D．2．在△ABC中，sinA：sinB：sinC=4：3：2，则cosA的值是（）A．﹣B．C．﹣D．3．不等式＞2的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，+∞）D．（﹣1，0）4．在2﹣与2+之间插入一个数，使这三个数成等比数列，则这个数为（）A．±B．±1 C．1 D．5．下列中错误的是（）A．若α⊥β，a⊂α，则a⊥βB．若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥βC．若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，则l⊥γD．若α⊥β，α∩β=AB，a∥α，a⊥AB，则a⊥β6．设变量x，y满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣87．直线l过点M（﹣1，2）且与以P（﹣2，﹣3），Q（4，0）为端点的线段PQ相交，则l 的斜率的取值范围是（）A．[﹣，5]B．[﹣，0）∪（0，5]C．[﹣，）∪（，5]D．（﹣∞，﹣]∪[5，+∞）8．已知数列{a n}的前n项和S n，且S n=n2+n，数列{b n}满足b n=（n∈N*），T n是数列{b n}的前n项和，则T9等于（）A．B．C．D．9．如图是一个空间几何体的三视图，根据图中尺寸（单位：cm），可知几何体的表面积是（）A．B．C．D．10．已知数列{a n}，若点（n，a n）（n∈N+）在经过点（5，3）的定直线l上，则数列{a n}的前9项和S9=（）A．9 B．10 C．18 D．2711．正四棱锥（底面为正方形，顶点在底面上的射影是底面的中心）S﹣ABCD的底面边长为2，高为2，E为边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的周长为（）A．B．C． D．12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A，B，C成等差数列，且b=1，则△ABC面积的最大值为（）A．B．C．D．1二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．直线l1：3x+4y﹣7=0与直线l2：6x+8y+1=0间的距离为．14．已知A（3，0），B（0，4），动点P（x，y）在线段AB上移动，则xy的最大值等于．15．在△ABC中，∠A=60°，AC=1，△ABC的面积为，则BC的长为．16．棱长为a正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是棱A1B1，B1C1的中点，点P是棱AB上一点，且AP=，过点P，M，N的平面与直线CD交于一点Q，则PQ的长为．三、解答题：（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17．已知直线l的方程为3x+4y﹣12=0，求直线l'的方程，使得：（1）l'与l平行，且过点（﹣1，3）；（2）l'与l垂直，且l'与两轴围成的三角形面积为4．18．已知函数，在△ABC中，，且△ABC的面积为，（1）求C的值；（2）求sinA+sinB的值．19．如图，在四凌锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，SA⊥CD，AB⊥平面SAD，M是SC的中点，且SA=AB=BC=2，AD=1．（1）求证：DM∥平面SAB；（2）求四棱锥S﹣ABCD的体积．20．已知数列{a n}的首项为a1=，且2a n+1=a n（n∈N+）．（1）求{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=，求{b n}的前n项和T n．21．某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P与日产量x（万件）之间大体满足关系：．（注：次品率=次品数/生产量，如P=0.1表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）．已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量．（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T（万元）表示为日产量x（万件）的函数；（2）当日产量x为多少时，可获得最大利润？22．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n﹣5a n﹣85，n∈N+．（1）求a n．（2）求数列{S n}的通项公式，并求出n为何值时，S n取得最小值？并说明理由．（参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.48）．2015-2016学年江西省宜春市奉新一中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知a＞b＞0，那么下列不等式成立的是（）A．﹣a＞﹣b B．a+c＜b+c C．（﹣a）2＞（﹣b）2D．【考点】不等式的基本性质．【分析】由条件求得﹣a＜﹣b＜0，从而得到（﹣a）2＞（﹣b）2，从而得到结论．【解答】解：∵a＞b＞0，∴﹣a＜﹣b＜0，∴（﹣a）2＞（﹣b）2，故选C．2．在△ABC中，sinA：sinB：sinC=4：3：2，则cosA的值是（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】已知比例式利用正弦定理化简求出三边之比，进而设出三边长，利用余弦定理表示出cosA，将三边长代入即可求出cosA的值．【解答】解：在△ABC中，sinA：sinB：sinC=4：3：2，利用正弦定理化简得：a：b：c=4：3：2，设a=4k，b=3k，c=2k，∴cosA===﹣．故选：A．3．不等式＞2的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，+∞）D．（﹣1，0）【考点】其他不等式的解法．【分析】移项、通分，即可求出不等式＞2的解集．【解答】解：由题意，可得＞0，即有x（x+1）＜0，∴﹣1＜x＜0，∴不等式＞2的解集是（﹣1，0），故选：D．4．在2﹣与2+之间插入一个数，使这三个数成等比数列，则这个数为（）A．±B．±1 C．1 D．【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的性质直接求解．【解答】解：∵在2﹣与2+之间插入一个数，使这三个数成等比数列，∴这个数为：=±1．故选：B．5．下列中错误的是（）A．若α⊥β，a⊂α，则a⊥βB．若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥βC．若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，则l⊥γD．若α⊥β，α∩β=AB，a∥α，a⊥AB，则a⊥β【考点】的真假判断与应用．【分析】由线面垂直的几何特征，讨论a⊂α，但a与l不垂直时，a与β的位置关系，可得A的真假；根据线面垂直的第二判定定理及面面垂直的判定定理，可得B的真假；根据面面垂直的性质可得C的真假，根据面面垂直的性质定理，可得D的真假，进而得到答案．【解答】解：若α⊥β，α∩β=l，当a⊂α，但a与l不垂直时，a与β不垂直，故A错误；若m∥n，n⊥β，则m⊥β，又由m⊂α，则α⊥β，故B正确；若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，则l⊥γ，故C正确；若α⊥β，α∩β=AB，a⊥AB，由面面垂直的性质定理可得a⊥β故选A6．设变量x，y满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8【考点】简单线性规划．【分析】我们先画出满足约束条件：的平面区域，求出平面区域的各角点，然后将角点坐标代入目标函数，比较后，即可得到目标函数z=x﹣3y的最小值．【解答】解：根据题意，画出可行域与目标函数线如图所示，由图可知目标函数在点（﹣2，2）取最小值﹣8故选D．7．直线l过点M（﹣1，2）且与以P（﹣2，﹣3），Q（4，0）为端点的线段PQ相交，则l 的斜率的取值范围是（）A．[﹣，5]B．[﹣，0）∪（0，5]C．[﹣，）∪（，5]D．（﹣∞，﹣]∪[5，+∞）【考点】恒过定点的直线；直线的斜率．【分析】画出图形，由题意得所求直线l的斜率k满足k≥k PM或k≤k MQ，用直线的斜率公式求出k PM和k MQ的值，解不等式求出直线l的斜率k的取值范围．【解答】解：如图所示：M（﹣1，2）且与以P（﹣2，﹣3），Q（4，0），由题意得，所求直线l的斜率k满足k PM≤k或k≤k MQ，即k PM≥=5，k MQ≤=﹣，∴k∈（﹣∞，﹣]∪[5，+∞），故选：D．8．已知数列{a n}的前n项和S n，且S n=n2+n，数列{b n}满足b n=（n∈N*），T n是数列{b n}的前n项和，则T9等于（）A．B．C．D．【考点】数列的求和．即可得到a n．再利用“裂项求和”即可【分析】当n=1时，a1=S1．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1得到T n．【解答】解：当n=1时，a1=S1=1+1=2．∵S n=n2+n，=n2+n﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]=2n．可得当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1当n=1时，上式也成立．∴．∴==．∴T n==．∴．故选：D．9．如图是一个空间几何体的三视图，根据图中尺寸（单位：cm），可知几何体的表面积是（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图复原的几何体的特征，结合三视图的数据，求出几何体的表面积．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是放倒的正三棱柱，正三角形的边长为：2，正三棱柱的高为3，所以正三棱柱的表面积为：2×+3×2×3=18+2cm2．故选A．10．已知数列{a n}，若点（n，a n）（n∈N+）在经过点（5，3）的定直线l上，则数列{a n}的前9项和S9=（）A．9 B．10 C．18 D．27【考点】等差数列的性质．【分析】由题意可得a5=3，而S9==，代入可得答案．【解答】解：∵点（n，a n）（n∈N+）在经过点（5，3）的定直线l上，∴数列{a n}为等差数列，且a5=3，而S9===27，故选D11．正四棱锥（底面为正方形，顶点在底面上的射影是底面的中心）S﹣ABCD的底面边长为2，高为2，E为边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的周长为（）A．B．C． D．【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】由动点P在正四棱锥的表面上运动，并且总保持PE⊥AC，故P点落在过E点且于AC垂直的平面上，根据线面平行的判定定理，找到满足条件的P点轨迹，解三角形可得答案．【解答】解：连接AC，BD交于点O，连接SO，则SO⊥平面ABCD由AC⊂平面ABCD，故SO⊥AC取SC中点F和CD中点G，连接GE交AC于H则H为OC的中点，故FH∥SO，则FH⊥AC又由GE∥BD，BD⊥AC得GE⊥AC∵GE∩FH=H，GE，FH⊂平面FGE∴AC⊥平面FGE故当P∈平面FGE时，总有PE⊥AC，故动点P的轨迹即为△FGE的周长又∵正四棱锥S﹣ABCD的底面边长为2，高为2，故SO=2，BD=2则GE=，SB=则FE=FG=故△FGE的周长为故选D12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A，B，C成等差数列，且b=1，则△ABC面积的最大值为（）A．B．C．D．1【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由A，B，C成等差数列，利用等差数列的性质及内角和定理求出B的度数，由余弦定理列出关系式，把b=1，cosB的值代入并利用基本不等式求出ac的最大值，即可确定出三角形ABC的面积．【解答】解：∵A、B、C成等差数列，A+B+C=π，∴2B=A+C，即B=，∵b=1，cosB=，∴在△ABC中，由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得：a2+c2﹣ac=1，整理得：1=a2+c2﹣ac≥ac，∴S△ABC=acsinB≤，当且仅当a=c时最大值，则△ABC面积的最大值为．故选：C．二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．直线l1：3x+4y﹣7=0与直线l2：6x+8y+1=0间的距离为．【考点】两条平行直线间的距离．【分析】直接利用平行线之间的距离公式化简求解即可．【解答】解：直线l1：3x+4y﹣7=0与直线l2：6x+8y+1=0，化为直线l1：6x+8y﹣14=0，l2：6x+8y+1=0，则l1与l2的距离是=．故答案为：．14．已知A（3，0），B（0，4），动点P（x，y）在线段AB上移动，则xy的最大值等于3．【考点】平均值不等式在函数极值中的应用．【分析】解出线段AB所在直线的方程，由于出现了和为定值的情形，故可以用基本不等式求最值．【解答】解：AB所在直线方程为+=1，∴•≤（+）2=，∴xy≤3，当且仅当=，即x=，y=2时取等号．由题意知，等号成立的条件足备，xy的最大值等于3故答案为315．在△ABC中，∠A=60°，AC=1，△ABC的面积为，则BC的长为．【考点】余弦定理．【分析】先利用三角形面积公式和AC，∠A求得AB，进而利用余弦定理求得BC．【解答】解：由三角形面积公式可知AB•ACsin60°=∴AB=4由余弦定理可知BC==故答案为：16．棱长为a正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是棱A1B1，B1C1的中点，点P是棱AB上一点，且AP=，过点P，M，N的平面与直线CD交于一点Q，则PQ的长为．【考点】棱柱的结构特征．【分析】可根据条件先画出图形，然后找出过P，M，N的平面：根据MN∥A1C1∥AC，从而找过P平行于AC的直线，这样就可找出过点M，N，P的平面，并求出该直线和DC 的交点，从而结合图形即可求出PQ的长度．【解答】解：如图，在BC上取，连接PP1；则MN∥PP1，延长PP1，则交DC延长线于Q；∴PQ=PP1+P1Q=．故答案为：．三、解答题：（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17．已知直线l的方程为3x+4y﹣12=0，求直线l'的方程，使得：（1）l'与l平行，且过点（﹣1，3）；（2）l'与l垂直，且l'与两轴围成的三角形面积为4．【考点】直线的点斜式方程．【分析】（1）根据平行直线的斜率相等，先求出斜率，点斜式求得直线方程．（2）根据垂直关系求出直线的斜率，得到它在坐标轴上的截距，根据与两坐标轴围成的三角形面积为4 求出截距，即得直线方程．【解答】解：（1）∵直线l的方程为3x+4y﹣12=0∴直线l斜率为﹣∵l'与l平行∴直线l'斜率为﹣∴直线l'的方程为y﹣3=﹣（x+1）即3x+4y﹣9=0（2）∵l′⊥l，∴k l′=．设l′在x轴上截距为b，则l′在y轴上截距为﹣b，由题意可知，S=|b|•|﹣b|=4，∴b=±．∴直线l′：y=x+，或y=x﹣．18．已知函数，在△ABC中，，且△ABC的面积为，（1）求C的值；（2）求sinA+sinB的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用两角和的余弦函数好聚好散的表达式，通过已知条件即可求C的值；（2）通过三角形的面积以及余弦定理和正弦定理直接求sinA+sinB的值．【解答】解：（1）f（x）==由，得，得，∵C∈（0，π），∴∴∴（2）由（1）知，又∵∴∴ab=2由余弦定理得∴a2+b2=5∴a+b=3由正弦定理得…∴19．如图，在四凌锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，SA⊥CD，AB⊥平面SAD，M是SC的中点，且SA=AB=BC=2，AD=1．（1）求证：DM∥平面SAB；（2）求四棱锥S﹣ABCD的体积．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）要证DM∥平面SAB，可取SB的中点N，连接AN、MN，利用中位线知识及已知条件证明四边形MNAD是平行四边形，从而得到DM∥AN，由线面平行的判定得证；（2）由AB⊥平面SAD，结合线面垂直的性质得到SA⊥AB，再由已知SA⊥CD，利用线面垂直的判定得SA⊥底面ABCD，由直角梯形的面积公式求出底面积，直接代入棱锥体积公式得答案．【解答】（1）证明：如图，取SB的中点N，连接AN、MN，∵点M是SC的中点，∴MN∥BC，且BC=2MN，∵底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD，AB⊥BC，BC=2，AD=1，∴AD∥BC，且BC=2AD，∴MN∥AD，且MN=AD，∴四边形MNAD是平行四边形，∴DM∥AN，∵DM⊄面SAB，AN⊂面SAB，∴DM∥平面SAB；（2）解：∵AB⊥底面SAD，SA⊂底面SAD，AD⊂底面SAD，∴AB⊥SA，AB⊥AD，∵SA⊥CD，AB、CD是平面ABCD内的两条相交直线，∴侧棱SA⊥底面ABCD，又在四棱锥S﹣ABCD中，侧棱SA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，SA=AB=BC=2，AD=1，∴．20．已知数列{a n}的首项为a1=，且2a n+1=a n（n∈N+）．（1）求{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=，求{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由等比数列的定义和通项公式，即可得到所求；（2）求得b n==n•2n．由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．【解答】解（1）由于数列{a n}满足a1=，且2a n+1=a n（n∈N+）．所以数列{a n}是首项为，公比为的等比数列．∴a n=×（）n﹣1=（）n．（2）由已知b n==n•2n．∴T n=1×2+2×22+3×23+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n．∴2T n=1×22+2×23+…+（n﹣2）•2n﹣1+（n﹣1）•2n+n•2n+1∴相减可得﹣T n=1×2+1×22+1×23+…+1×2n﹣1+1×2n﹣n•2n+1=﹣n•2n+1=2n+1﹣2﹣n•2n+1，∴T n=（n﹣1）•2n+1+2．21．某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P与日产量x（万件）之间大体满足关系：．（注：次品率=次品数/生产量，如P=0.1表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）．已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量．（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T（万元）表示为日产量x（万件）的函数；（2）当日产量x为多少时，可获得最大利润？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）每天的赢利为T=日产量（x）×正品率（1﹣P）×2﹣日产量（x）×次品率（P）×1，根据分段函数分段研究，整理即可；（2）利用基本不等式求函数的最大值．【解答】解：（1）当x≥6时，P=，则T=x×2﹣x×1=0．当1≤x＜6时，P=，则T=（1﹣）x×2﹣（）x×1=．综上所述，日盈利额T（万元）与日产量x（万件）的函数关系为：T=．…（2）由（1）知，当x≥6时，每天的盈利为0．当1≤x ＜6时，T （x ）==15﹣2[（6﹣x ）+]≤15﹣12=3，∴T ≤3．当且仅当x=3时，T=3．综上，当日产量为3万件时，可获得最大利润3万元．…22．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =n ﹣5a n ﹣85，n ∈N +． （1）求a n ．（2）求数列{S n }的通项公式，并求出n 为何值时，S n 取得最小值？并说明理由．（参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.48）．【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）运用数列的通项与求和的关系：当n=1时，a 1=S 1，当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1，通过构造数列，结合等比数列的定义和通项公式，即可得到所求；（2）将（1）的结论代入条件，可得S n =n +75×（）n ﹣1﹣90．设S k 为最小值，则，运用通项公式，结合对数函数的单调性，解不等式计算即可得到所求k 的值． 【解答】解：（1）∵S n =n ﹣5a n ﹣85，∴当n=1时，S 1=1﹣5a 1﹣85， 即a 1=1﹣5a 1﹣85，解得a 1=﹣14；当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=（n ﹣5a n ﹣85）﹣[（n ﹣1）﹣5a n ﹣1﹣85]=﹣5a n +5a n ﹣1+1， 整理得6a n =5a n ﹣1+1，∴6（a n ﹣1）=5（a n ﹣1﹣1），∴=．又a 1﹣1=﹣15，∴数列{a n ﹣1}是以﹣15为首项，为公比的等比数列． ∴a n =﹣15×（）n ﹣1+1；（2）由（1）知，a n =﹣15×（）n ﹣1+1，代入S n =n ﹣5a n ﹣85得，S n =n ﹣5[﹣15×（）n ﹣1+1]﹣85 =n +75×（）n ﹣1﹣90．设S k 为最小值，则，即有，即，即，可得，即log≤k≤log+1，又log===，lg2≈0.3，lg3≈0.48，∴log≈14.75．∴14.75≤k≤15.75．又∵k∈N+，∴k=15．即当n=15时，S n取得最小值．2016年8月13日。