第28章锐角三角函数试题

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人教版初3数学9年级下册第28章(锐角三角函数)综合复习题(含解析)

第二十八章锐角三角函数综合复习题一、单选题1．（重庆梁平·九年级期末）点()sin 60,cos30︒︒关于y 轴对称的点的坐标是（）．A ．12⎛- ⎝B ．1,2⎛ ⎝C ．⎛ ⎝D ．2．（重庆梁平·九年级期末）式子2cos30tan 45︒-︒的值是（）A ．0B ．C ．2D ．2-3．（重庆潼南·九年级期末）如图，O 的半径为6，将劣弧沿弦AB 翻折，恰好经过圆心O ，点C 为优弧AB 上的一个动点，则ABC 面积的最大值是（）A ．B ．C ．D ．4．（重庆万州·九年级期末）在Rt ABC 中，9054C AB BC ∠=︒==,,，那么下列各式中不正确的是（）A ．3cos 5A =B ．4sin 5A =C ．4tan 3A =D ．cosB 35=5．（重庆市育才中学九年级期末）已知Rt △ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，则cos B 的值为（）A B C ．23D ．136．（重庆南岸·九年级期末） sin30°的值为（）A ．12BC ．1D 7．（重庆·巴川初级中学校九年级期末）小华同学在数学实验活动中是测量自己学校门口前路灯的高度，如图，校门E 处，有一斜坡EB ，斜坡EB 的坡度i =1∶2.4；从E 点沿斜坡行走了4.16米到达斜坡顶的B处．在B 处看路灯顶端O 的仰角为35°，再往前走3米在D 处，看路灯顶端O 的仰角为65°，则路灯顶端O 到地面的距离约为（）tan35°≈0.7，tan65°≈2.1A ．5.5米B ．4.8米C ．4.0米D ．3.2米8．（重庆沙坪坝·九年级期末）某通信公司准备逐步在歌乐山上建设5G 基站．如图，某处斜坡CB 的坡度（或坡比）为i ＝1∶2.4，通讯塔AB 垂直于水平地面，在C 处测得塔顶A 的仰角为45°，在D 处测得塔顶A 的仰角为53°，斜坡路段CD 长26米，则通讯塔AB 的高度为（）（参考数据：4sin535︒≈，3cos535︒≈，4tan533︒≈）A ．774米B ．772米C ．56米D ．66米9．（重庆·西南大学附中九年级期末）在矩形ABCD 中，连接AC ，过点B 作BH AC ⊥于点H 交AD 于点I ，AE 平分BAC ∠分别交BH 、BC 于点P 、E ，BF 平分IBC ∠分别交AC 、DC 于点G 、F ，已知4AB =，1tan 2BAE ∠=，对下列说法中，①ABP ≌AGP ；②四边形BPGE 的面积是165；③4sin 5HPG ∠=；④2FC FD =．⑤连接FH ，则//FH BC ，正确的个数是（）．A ．2B ．3C ．4D ．510．（重庆南岸·九年级期末）公园的健身步道，其中一处阶梯的形状如图所示，其中线段AB ＝BC ＝6m ，AB 部分的坡角为45°，BC 部分的坡角为30°，如果每一个台阶的高度不超过20cm ，那么这一阶梯的台阶数最少为（）（最后一个台阶的高度不足20cm ≈1.41）A ．36B ．37C ．47D ．4811．（重庆市育才中学九年级期末）如图，在Rt △ABC 中，90BAC ∠=︒，30B ∠=︒，3AB =，以AB 边上一点O 为圆心作O ，恰与边AC ，BC 分别相切于点A ，D ，则阴影部分的面积为（）A 3π-B 3πC 23πD ．23π12．（重庆黔江·九年级期末）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB 的高度，他从古塔底部点B 处前行30m 到达斜坡CE 的底部点C 处，然后沿斜坡CE 前行20m 到达最佳测量点D 处，在点D 处测得塔顶A 的仰角为30︒，已知斜坡的斜面坡度i =A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内，小明同学测得古塔AB 的高度是（）A ．()20mB ．()10mC ．D ．40m二、填空题13．（重庆荣昌·九年级期末）在边长为OABC 中，D 为边BC 上一点，且2CD =，以O 为圆心，OD 为半径作圆，分别与OA 、OC 的延长线交于点E 、F ，则阴影部分的面积为 _____．14．（重庆八中九年级期末）如图，在ABC 中，6AB =，BC =，AC =ABC 绕点B 顺时针方向旋转45°得到BA C ''△，点A 经过的路径为弧AA '，点C 经过的路径为弧CC '，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留π）15．（重庆南开中学九年级期末）如图，在矩形ABCD 中，30BAC ∠=︒，AB =B 为圆心，BC 为半径画弧交矩形的边AB 于点E ，交对角线AC 于点F ，则图中阴影部分的面积为______．16．（重庆·西南大学附中九年级期末）计算：()022tan 45π1-+︒--=______．17．（重庆云阳·九年级期末）如图，在平行四边形ABNM 中，30MAB ∠=︒，8AB =，以AB 为直径作O ，点M 恰好在O 上，则图中阴影部分的面积为__________．18．（重庆忠县·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD 中，7AB =，3AD =，120A ︒∠=，以点B 为圆心，BC 为半径的圆弧交AB 于点E ，连接DE ，则图中黑色阴影部分的面积为________．（结果保留π）三、解答题19．（重庆·巴川初级中学校九年级期末）如图，A B C A →→→是湿地公园里的一条环形跑道，B 在A 的正南方．一天，李老师从起点A 出发开始跑步，此时他发现公园中心塔C 在他的东南方向，他以每分钟80米的速度，沿AB 方向跑了15分钟后到达健身跑道的B 处，此时他发现公园中心塔C 在他的南偏东75°方向．（A ，B ，C 1.414= 1.732=）(1)求BC 的长；（结果保留整数）(2)为了满足市民健身的要求，政府决定对健身跑道进行扩建．计划将跑道AB 段继续向正南方向延伸至D 处，再将DC 连接起来组成新的环形跑道．若在D 处测得C 在D 的北偏东60°方向．若预计修建跑道的成本为每米60元，政府拨付改建费20万元，则此次政府拨付改建费用是否足够？请通过计算说明理由．20．（重庆巴南·九年级期末）在△ABC 中，AB = BC ，∠ABC =90°．(1)如图1，已知DE ⊥BC ，垂足为D ，若∠DBE =60°，AC =BD AE 的长；(2)如图2，若点D 在△ABC 内部，点F 是CD 的中点，且∠BAD =∠CBF ，求证：∠DBF =45°；(3)如图3，点A 与点'A 关于直线BC 对称，点D 是△'A AC 内部一动点，∠ADC =90°．若AC =4，则线段'A D 的长是否有最小值，如果有，请直接写出这个最小值；如果没有，请说明理由．21．（重庆荣昌·九年级期末）在△ABC 与△DEF 中，∠BAC ＝∠EDF ＝90°，且AB ＝AC ，DE DF =．(1)如图1，若点D 与A 重合，AC 与EF 交于P ，30CAE ∠=︒，CE ＝EP 的长；(2)如图2，若点D 与C 重合，EF 与BC 交于点M ，且点M 是线段BC 的中点，连接AE ，且∠CAE ＝∠MCE ，求证：C MF E E +=；(3)如图3，若点D 与A 重合，连接BE ，且BE 平分ABC ∠，连接BF ，CE ，当BF CE +最小时，直接写出的2·BE BF CE值．22．（重庆一中九年级期末）ABC ∆为等腰直角三角形，90BAC ︒∠=，AB AC =，点D 为BC 的中点，连接AD ，在线段AD 上有一点M ，连接CM ，以AM 为直角边，点A 为直角顶点，向右作等腰直角三角形AMN ．(1)如图1，若1sin 3MCD ∠=，4CD =，求线段MN 的长；(2)如图2，将等腰直角三角形AMN 绕点A 顺时针旋转(045)<αα︒︒︒︒<，连接CM 、DM 、CN ，若DM CN ∥，求证：2224DM CN CM +=；(3)如图3，线段MN 交线段AC 于点E ，点P 、点Q 分别为线段BC 、线段AC 上的点，连接PM 、QN ，将DPM ∆沿PM 翻折得到D PM '∆，将EQN ∆沿QN 翻折得到E QN '∆，若3AM DM =，8BC =，在线段BC 上找一点F ，连接FD '、FE '，请直接写出FD FE ''+的最小值．23．（重庆南开中学九年级期末）如图1，在集美景与科技于一体的重庆融创渝乐小镇，有一座号称“山城之光”的摩天轮建在山体上．如图2，小北在山体底部A 处测得摩天轮顶端D 的仰角为52°，然后乘坐扶梯到达山体平台B 处，已知AB 坡度i ＝3：4，且80AB =米，BC ＝50米，CD ⊥BF 于点C （A ，B ，C ，D ，E ，F 均在同一平面内，AE ∥BF ）．(1)求平台上点B 到山体底部地面AE 的距离；(2)求摩天轮顶端D 到山体平台BF 的距离CD 的长．（精确到1米，参考数据：sin52°≈0.8，cos52°≈0.6，tan52°≈1.3）24．（重庆黔江·九年级期末）如图，在ABC 中，cos A =45B ∠=︒，AC =(1)用尺规作图法作出AB 边的高CD ．（保留作图痕迹，不写作法）(2)求AB 的长．25．（重庆万州·九年级期末）如图，等腰直角三角形ABC ，90C ∠=︒，4CA CB ==，延长CB 至E ，使得14BE BC =，以BE 为直角边作Rt DEB ，90E ∠=︒，60DBE ∠=︒．(1)若DEB 以每秒1个单位的速度沿BC 向右运动，当点E 到达点C 时停止运动，直接写出在运动过程中DEB 与ACB △重叠部分面积S 与运动时间t （单位：秒）的函数关系式；(2)点M 为线段AB 的中点，当（1）中DEB 的顶点E 运动到点C 后，将DEB 绕着点C 继续顺时针旋转90︒得到'' D EB ，点P 是直线B D ''上一动点，连接MP ，求12'+MP D P 的最小值．26．（重庆八中九年级期末）如图1，在等腰Rt ABC △中，AB BC =，D 是BC 的中点，E 为边AC 上任意一点，连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得到线段DF ，连接EF ，交AB 于点G ．(1)若6AB =，AE =ED 的长；(2)如图2，点G 恰好是EF 的中点，连接BF ，求证：CD =；(3)如图3，将BDF V 沿DF 翻折，使得点B 落在点P 处，连接AP 、EP ，若6AB =，当AP DP +最小时，直接写出AEP △的面积．27．（重庆实验外国语学校九年级期末）如图，ABC 为等腰直角三角形，90CBA ∠=︒，以斜边AC 为腰作等腰CAD ，使AC AD =，点E 为CD 边中点，连接AE ．(1)如图1，当A 、B 、D 三点共线时，若AE 与BC 相交于点F ，求证：BF BD =．(2)如图2，射线BM 是ABC ∠的外角CBG ∠的角平分线，当点D 恰好落在射线BM 上时，请求出CAE ∠的度数．(3)如图3，连接BD ，以BD 为斜边做Rt BQD △，连接EQ ，若AC =EQ 的最大值．28．（重庆南岸·九年级期末）为了测量旗杆AB 的高度，小颖画了如下的示意图，其中CD ，EF 是两个长度为2m 的标杆．(1)如果现在测得∠DEC ＝30°，EG ＝4m ，求旗杆AB 的高度；）(2)如果CE 的长为x ，EG 的长为y ，请用含x ，y 的代数式表示旗杆AB 的高度．29．（重庆梁平·九年级期末）如图是重庆欢乐谷的一个大型娱乐设施——“重庆之眼”摩天轮，它是全球第六、西南最高的观光摩天轮．如图2，小嘉从摩天轮最低处B 出发先沿水平方向向左行走37米到达点C ，再经过一段坡度为1:2.4i =，坡长为26米的斜坡CD 到达点D ，然后再沿水平方向向左行走50米到达点E ．在E 处小嘉操作一架无人勘测机，当无人勘测机飞行至点E 的正上方点F 时，测得点D 处的俯角为58︒，摩天轮最高处A 的仰角为24︒．AB 所在的直线垂直于地面，垂足为O ，点A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 在同一平面内，求AB 的高度．（结果精确到1米，参考数据：sin 580.85︒≈，cos580.53︒≈，tan 58 1.60︒≈，sin 240.40︒≈，cos 240.91︒≈，tan 240.45︒≈）10参考答案：1．C【分析】先利用特殊角的三角函数值得出点的坐标，再写出其关于y 轴对称的坐标即可．【详解】解：∵sin60°，cos30°∴y轴对称的点的坐标是（．故选：C ．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值和关于坐标轴对称的点的特征，掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键．2．A【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可．【详解】解：原式21=11)---11-=0故选：A ．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值及二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．3．C【分析】如图，过点C 作CT ⊥AB 于点T ，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，交⊙O 于点K ，连接AO 、AK ，解直角三角形求出AB ，求出CT 的最大值，可得结论．【详解】解：如图，过点C 作 CT ⊥AB 于点T ，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，交⊙O 于点K ，连接AO 、AK ，由题意可得AB 垂直平分线段OK ，∴AO =AK ，OH =HK=3，∵OA =OK ，∴OA =OK =AK ，∴∠OAK =∠AOK =60°，∴AH =OA ×sin ∵OH ⊥AB ，∴AH =BH ，∴AB =2AH ∵OC +OH ⩾CT ，∴CT ⩽6+3=9，∴CT 的最大值为9，∴△ABC 的面积的最大值为192⨯故选：C.【点睛】本题考查垂径定理、三角函数、三角形的面积、垂线段最短等知识，解题的关键是求出CT 的最大值，属于中考常考题型．4．D【分析】利用勾股定理求出AC =3，根据锐角三角函数的定义，分别计算∠A 的三角函数值即可．【详解】解：如图所示：∵∠C =90°，AB =5，BC =4，∴3AC === ，∴cos A =35，故A 正确，不符合题意；sin A =45，故B 正确，不符合题意；tan A =43，故C 正确，不符合题意；cos B =45，故D 错误，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．5．A【分析】根据勾股定理，可得AB 的长，根据余弦等于邻边比斜边，可得答案．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝1，由勾股定理，得ABcosB ＝BC AB =故选：A ．【点睛】本题考查了锐角三角函数，利用勾股定理求出斜边，再利用余弦等于邻边比斜边．6．A【分析】根据特殊锐角三角函数值求解即可．【详解】解：sin30°=12，故选：A ．【点睛】本题考查了特殊锐角三角函数值，掌握特殊锐角三角函数的值是前提．7．B【分析】过点O 作OF ⊥EC 于点F ，交BD 延长线于点G ，可得矩形ABDC 和矩形CDGF ，斜坡EB 的坡度i =1：2.4，EB =4.16，根据勾股定理可得，AB =1.6，AE =3.84，然后根据锐角三角函数即可求出DG 和OG 的长，进而可得路灯顶端O 到地面的距离．【详解】解：如图，过点O 作OF ⊥EC 于点F ，交BD 延长线于点G ，可得矩形ABDC 和矩形CDGF ，斜坡EB 的坡度i =1：2.4，EB =4.16，即AB ：AE =1：2.4，∴AE =2.4AB ，根据勾股定理可得：222AE AB BE +=，解得AB =1.6，AE =3.84，根据题意可知：AC =BD =3，FG =CD =AB =1.6，在Rt △BOG 中，tan ∠OBG =3OG OG BG DG =+，即tan35°≈0.7= 3OG DG+，在Rt △ODG 中，tan ∠ODG =OG DG ，即tan65°≈2.1=OG DG ，∴OG =2.1DG ，∴0.7= 2.13DG DG+，解得DG =1.5∴OG =2.1DG ≈3.15，∴OF =OG +GF =3.15+1.6≈4.75≈4.8（米）．所以路灯顶端O 到地面的距离约为4.8米．故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，解决本题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形求解．8．B【分析】通过作辅助线，利用斜坡CB 的坡度为1:2.4i =，13CD =，由勾股定理可求出DM 的长，设出DE 的长，根据坡度表示BE ，进而表示出CF ，由于ACF ∆是等腰直角三角形，可表示BE ，在ADE ∆中由锐角三角函数可列方程求出DE ，进而求出AB ．【详解】解：如图，延长AB 与水平线交于F ，过D 作DM CF ⊥，M 为垂足，过D 作DE AF ⊥，E 为垂足，连接AC ，AD ，斜坡CB 的坡度为1:2.4i =，∴152.412DM CM ==，设5DM k =米，则12CM k =米，在Rt CDM ∆中，26CD =米，由勾股定理得，222CM DM CD +=，即222(5)(12)26k k +=，解得2k =，10DM ∴=（米)，24CM =（米)，斜坡CB 的坡度为1:2.4i =，设12DE a =米，则5BE a =米，45ACF ∠=︒ ，(2412)AF CF CM MF a ∴==+=+米，241210(1412)AE AF EF a a ∴=-=+-=+米，在Rt ADE ∆中，12DE a =米，(1412)AE a =+米，4tan tan 533AE ADE DE ∠==︒≈ ，∴14124123a a +=，解得72a =，1242DE a ∴==（米)，141256AE a =+=（米)，3552BE a ==（米)，35775622AB AE BE ∴=-=-=（米)，答：基站塔AB 的高为772米．故选：B ．【点睛】本题考查解直角三角形-仰角俯角问题，坡度坡角问题，通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度的意义进行计算是解题关键．9．C【分析】先证△ABF ≌△AGF （ASA ），再证△ABP ≌△AGP （SAS ），可判断①正确；求出 PE =2MEBG =2BM ，利用菱形面积公式求S 四边形BPGE =11625BG PE ⋅==可判断②正确；根据∠PBF =∠EBF ，1tan ==tan 2GH HBG BAE BH ∠∠=，可得2BH GH =，在Rt △BHG 中，根据勾股定理222BG BH GH =+，求出85GH =，利用三角函数定义845sin 25GH HPG PG ∠===，可判断③正确；证明△GEC ∽△HBC ，EC GE BC BH =，求出EC =103，BC =1016233BE EC +=+=，CF =83，再求DF=CD-CF=4-8433=，可判断④正确；根据勾股定理CH6415==，AC=203==，AH=AC-CH=20643631515-=，可求CH:AH=6436:16:92:11515=≠，可判断⑤不正确；【详解】解：∵4AB=，1tan2BAE∠=∴1tan422BE AB BAE=∠=⨯=，∵AE平分BAC∠，BF平分IBC∠，∴∠BAE=∠CAE，∠PBF=∠EBF，∵BH AC⊥，∴∠ABH+2∠BAE=90°，∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC=90°，∴∠ABH+2∠EBM=90°∴∠BAE=∠EBM，∵∠BAE+∠BEM=90°，∴∠EBM+∠BEM=90°，∴∠BME=90°，∴在△ABM和△AGM中，BAM GAMAM AMBMA GMA∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABF≌△AGF（ASA），∴AB=AG，BM=GM，∴在△ABP和△AGP中，AB AGBAP GAPAP AP=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABP≌△AGP（SAS），故①正确；∵△ABP≌△AGP，∵BF =GM ，AE ⊥BG ，∴BE =GE ，在△PBM 和△EBM 中PBM EBM BM BMBMP BME ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△PBM ≌△EBM （ASA ），∴PB =EB =PG =EG ，∴四边形BEGP 为菱形，在Rt △ABE 中，AE==∵1122AB BE AE BM ⋅=⋅，∴BM=AB BE AE ⋅==∵∠BAE =∠EBM ，∴1tan tan 2EM EBM BAE BM∠=∠==，∴EM=12BM =∴PE =2MEBG =2BM，∴S 四边形BPGE=11625BG PE ⋅==，故②正确；∵∠PBF =∠EBF ，∴1tan ==tan 2GH HBG BAE BH ∠∠=，∴2BH GH =，在Rt △BHG 中，根据勾股定理222BG BH GH =+，即()2222GH GH =+，解得85GH =，∴845sin 25GH HPG PG ∠===，∴1625BH GH ==，∵四边形PBEG 为菱形，∴EG ∥BH ，∴△GEC ∽△HBC ，∴EC GE BC BH =，即21625EC EC =+，∴EC =103，∴BC =1016233BE EC +=+=，∴1tan ==tan 1623CF CF CBF BAE BC ∠∠==，∴CF =83，∴DF =CD -CF =4-8433=，∴2FC FD =，故④正确；在Rt △BCH 中，根据勾股定理CH6415==，AC203==，∴AH =AC -CH =20643631515-=，∴CH :AH =6436:16:92:11515=≠，∴FH 与AD 不平行，∴HF 与BC 不平行，故⑤不正确；故选C ．【点睛】本题考查矩形的性质，角平分线性质，线段垂直平分线性质，三角形全等判定与性质，菱形判定与性质，锐角三角函数，三角形相似判定与性质，平行线判定，掌握矩形的性质，角平分线性质，性的平分线性质，三角形全等判定与性质，菱形判定与性质，锐角三角函数，三角形相似判定与性质，平行线判定是解题关键．10．B【分析】先解直角三角形求得,CE BD 的长，进而根据CE BD +的长除以0.2即可求解【详解】解：依题意，sin BD AB A AB =⋅==1sin 32CE BC CBE BC =⋅∠==37.23BD CE ∴+=≈7.230.236÷≈又因为最后一个台阶的高度不足20cm ，则至少需要37个台阶故选B【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握三角函数关系是解题的关键．11．A【分析】连结OC ，根据切线长性质DC =AC ，OC 平分∠ACD ，求出∠OCD =∠OCA =12ACD =30°，利用在Rt △ABC 中，AC =AB tan B =Rt △AOC 中，∠ACO =30°，AO =AC 1=，利用三角形面积公式求出12AOC S OA AC ∆=⋅12DOC S OD DC ∆=⋅=212011==3603OAD S ππ⨯扇形，利用割补法求即可．【详解】解：连结OC ，∵以AB 边上一点O 为圆心作O ，恰与边AC ，BC 分别相切于点A , D ，∴DC =AC ，OC 平分∠ACD ，∵90BAC ∠=︒，30B ∠=︒，∴∠ACD =90°-∠B =60°，∴∠OCD =∠OCA =12ACD ∠=30°，在Rt △ABC 中，AC =AB tan B =在Rt △AOC 中，∠ACO =30°，AO =AC 1=，∴OD =OA =1，DC =AC∴11122AOC S OA AC ∆=⋅=⨯，11122DOC S OD DC ∆=⋅=⨯=∵∠DOC =360°-∠OAC -∠ACD -∠ODC =360°-90°-90°-60°=120°，∴212011==3603OAD S ππ⨯扇形，S 阴影=1133AOC DOC OAD S S S ππ∆∆+-扇形．故选择A ．【点睛】本题考查切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积，掌握切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积是解题关键．12．A【分析】过D 作DF BC ⊥于F ，DH AB ⊥于H ，得到DH BF =，BH DF =，设DF x =m ，CF =m，根据勾股定理得到220()CD x m ==，求得10BH DF m ==，CF =，30)(10)AH m =+=+，于是得到结论．【详解】解：过D 作DF BC ⊥于F ，DH AB ⊥于H ，DH BF ∴=，BH DF =，斜坡的斜面坡度i =∴DF CF=设DF x =m ，CF =m ，220()CD x m ∴===，10x ∴=，10BH DF m ∴==，CF =，30)DH BF m ∴==，30ADH ∠=︒ ，30)(10)AH m ∴=+=+，(20AB AH BH m ∴=+=+，故选：A ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解直角三角形的应用-坡角坡度问题，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．13．4123π-【分析】设圆与AB 边交于点G ，先利用正切三角函数可得30COD ∠=︒，再根据三角形全等的判定定理证出Rt COD Rt AOG ≅ ，根据全等三角形的性质可得30COD AOG ∠=∠=︒，Rt COD Rt AOG S S = ，然后根据阴影部分的面积等于OABC Rt COD Rt AOG ODG S S S S --- 扇形即可得出答案．【详解】解：如图，设圆与AB 边交于点G ，则OD OG =，四边形OABC 是边长为90OA OC OCB AOC OAB ∴==∠=∠=∠=︒，2CD = ，∴在Rt COD 中，tan 4CD COD OD OC ∠====，30COD ∴∠=︒，在Rt COD 和Rt AOG 中，OC OA OD OG =⎧⎨=⎩，()Rt COD Rt AOG HL ∴≅ ，30COD AOG ∴∠=∠=︒，Rt COD Rt AOG S S = ，30DOG ∴∠=︒，则阴影部分的面积为OABC Rt COD Rt AOG ODGS S S S --- 扇形21304222360π⨯=⨯⨯⨯-4123π=-，故答案为：4123π-．【点睛】本题考查了正切三角函数、正方形的性质、扇形的面积公式等知识点，熟练掌握扇形的面积公式和正确找出两个全等三角形是解题关键．14．27π65-##2765π-+【分析】设’BA 与AC 相交于点D ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为点E ，根据勾股定理逆定理可得ABC 为直角三角形，根据三边关系可得1tan 2CAB ∠=，根据题意及等角对等边得出DE EB =，在Rt AED 中，利用正弦函数可得2BE DE ==，结合图形，利用扇形面积公式及三角形面积公式求解即可得．【详解】解：设’BA 与AC 相交于点D ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为点E ，∵6AB =，BC =，AC =∴222AB BC AC =+，∴ABC 为直角三角形，∴1tan 2BC CAB AC ∠==，∵ABC 绕点B 顺时针方向旋转45°得到''BA C ，∴45ABA ∠='︒，∴45ABA EDB ∠=∠='︒，∴DE EB =，在Rt AED 中，1tan 2DE CAB AE ∠==，∴2AE EB =，∴36AE BE BE +==，∴2BE DE ==，162ABD S AB DE =⨯⨯= ，245693602ABA S ππ'︒⨯==︒扇形，2455936010CBC S ππ'︒⨯⎝⎭==︒扇形，9927662105ABD ABA CBC S S S S πππ''=-+=-+=- 阴影扇形扇形，故答案为：2765π-．【点睛】题目主要考查勾股定理逆定理，旋转的性质，等角对等边的性质，正切函数，扇形面积等，理解题意，结合图形，综合运用这些知识点是解题关键．15．512π【分析】连接BF 如下图，把阴影部分的面积转化2()ABC BFC EBC EBF S S S S =+-+ 扇形扇形，先得出BCF △为等边三角形，依次求出转化中涉及的部分面积，再计算即可．【详解】解：连接BF 如下图，30BAC ∠=︒，tan BC BAC AB ∴∠==解得：BC =，30BAC ∠=︒9060ACB BAC ∴∠=︒-∠=︒BC BF = ，60CFB ∴∠=︒，BCF ∴ 为等边三角形，根据阴影部分的面积2()ABC BFC EBC EBF S S S S =+-+ 扇形扇形，12ABC S == ，∴21544EBC S ππ=⨯⨯=扇形，215=1212EBF S ππ⨯⨯=扇形，1=2BFC S ∴根据阴影部分的面积2()ABC BFC EBC EBF S S S S =+-+ 扇形扇形，552(412ππ=+-，5546ππ=+-5546ππ=+-512π=，故答案是：512π．【点睛】本题考查了阴影部分面积的求法，矩形的性质、等边三角形面积、扇形面积的求法，解题的关键是将阴影部分的面积转化为规则图形面积的和差情况．16．14##0.25【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【详解】解：()22tan 45π1-+︒--1114=+-14=．故答案为：14．【点睛】本题考查了实数的运算，涉及了零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，属于基础题．17．83π-【分析】连结OM ，过点M 作MC ⊥AB 于C ，根据圆周角定理得出∠MOB =2∠MAB =60°，由8AB =得出OA =OB =OM =4，根据扇形面积公式求得26048=3603OMB S ππ⨯=扇形，在Rt △OMC 中，利用三角函数求得MC =OM sin ∠MOC =4=，利用割补法求阴影部分面积即可．【详解】解：连结OM ，过点M 作MC ⊥AB 于C ，∴∠MOB =2∠MAB =60°，∵8AB =，∴OA =OB =OM =4，26048=3603OMB S ππ⨯=扇形，在Rt △OMC 中，MC =OM sin ∠MOC =4=，∴S 平行四边形ABNM =AB·MC =8×=S △MAO =11422AO MC ⋅=⨯⨯=∴S 阴影部分= S 平行四边形ABNM - S △MAO -8833OMB S ππ-=扇形，故答案为：83π-．【点睛】本题考查圆周角定理，锐角三角函数，平行四边形的面积，三角形面积，扇形面积，掌握圆周角定理，锐角三角函数，平行四边形的面积，三角形面积，扇形面积是解题关键．1832π【分析】过点C 作CH AB ⊥于点H ，根据正弦定义解得CH 的长，再由扇形面积公式、三角形的面积公式解题即可．【详解】解：过点C 作CH AB ⊥于点H ，在平行四边形ABCD 中，120A ∠=︒18012060B ∴∠=︒-︒=︒=sin sin 603CH BC B AD ∴⋅=⨯︒==平行四边形ABCD 的面积为：7AB CH ⨯=图中黑色阴影部分的面积为：()2216016037323602360BC AE CH ππ⋅⨯⋅⋅-=⨯--=32π-，32π-．【点睛】本题考查平行四边形的性质、扇形面积等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．19．(1)跑道BC 的长为1697米(2)此次改建费用足够，理由见解析【分析】（1）作BH AC ⊥构造直角三角形后，利用特殊角的三角函数求解即可．（2）先画出图形，再通过构造直角三角形进行求解，得出需要修建的跑道总长，计算出总费用进行比较即可．【详解】（1）由题意得：45BAC ∠=︒，754530ACB DBC ︒︒︒∠=∠=-=，15801200AB =⨯=米过点B 作BH AC ⊥于点H ，∴90AHB CHB ∠=∠=︒，在Rt ABH △中，45A ∠=︒，∴·sin 45BH AB AB ︒===在Rt CBH △中，30ACB ∠=︒，∴21697CB BH ==≈（米）答：跑道BC 的长为1697米．（2）如图，过点B 作BG DC ⊥于点G ，∴90DGB CGB ∠=∠=︒，∵60BDC ︒∠=，∴30DBG ︒∠=∴在Rt CGB △中，45CBG ∠=︒，∴45BCG ︒∠=∴cos 45·1200CG BC BC ︒===，1200BG CG ==．在Rt BDG △中，60BDG ∠=︒，∴tan 60BG DG ︒===2BD DG ==，∴总道路长为1200BD CD +=+∴总共花费：(120060************+⨯≈<．答：此次改建费用足够．【点睛】本题考查了锐角三角函数的应用，解题关键是能正确理解题意，做出辅助线，构造直角三角形，并解直角三角形．20．(1)(2)见解析(3)2【分析】（1）如图1中，过点E 作EQ AB ⊥，交AB 延长线于点Q ，则四边形BQED 是矩形，解直角三角形求出AQ ，QE 即可解决问题．（2）如图2中，在BF 上取一点M ，使得BM AD =，并且延长MF 至点H ，使MF FH =，连接CM ，DH ．利用全等三角形的性质证明H FMC DBH ∠=∠=∠，再证明290DBH ∠=︒即可解决问题．（3）如图3中，取AC 的中点F ，连接A F '，DF ，过点F 作FT AB ⊥于T ．解直角三角形求出DF ，FA '，判断出当A '，D ，F 共线时，DA '的值最小于是得到结论．(1)解：如图1中，过点E 作EQ AB ⊥，交AB 延长线于点Q ，则四边形BQED 是矩形，BD QE ∴=，在Rt BQE ∆中，30QBE ∠=︒，2BE BD ∴==3BQ =，在Rt ABC ∆中，2AB BC ===，5AQ ∴=，在Rt AQE ∆中，AE ==(2)如图2中，在BF 上取一点M ，使得BM AD =，并且延长MF 至点H ，使MF FH =，连接CM ，DH ．在BAD ∆和CBM ∆中，AB BC BAD CBM AD BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BAD CBM SAS ∴∆≅∆，BD CM ∴=，ABD BCM ∠=∠，F 是CD 的中点，DF CF ∴=，在DFH ∆和CFM ∆中，MF HF MFC HFD DF CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DFH CFM SAS ∴∆≅∆，DH CM ∴=，H FMC ∠=∠，DH BD ∴=，H FMC DBH ∠=∠=∠，又FMC ∠ 是BMC ∆的外角，FMC BCM MBC ABD MBC ∴∠=∠+∠=∠+∠，90ABD MBC DBF ∠+∠+∠=︒ ，290DBF ∴∠=︒，45DBF ∴∠=︒；(3)如图3中，取AC 的中点F ，连接A F '，DF ，过点F 作FT AB ⊥于T ．AB BC = ，90ABC ∠=︒，4AC =，AB BC AC ∴===，45BAC ∠=︒，2AF FC == ，FT AB ⊥，AT FT AF ∴==AB BA ='=BT AT ∴==，A T '=A F ∴'==90ADC ∠=︒ ，AF CF =，122DF AC ∴==，DA A F DF ''- …，2DA ∴'-…，∴当A '，D ，F 共线时，DA '的值最小，此时2DA '=，故线段A D '的长最小值是2．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形或全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．21．(1)(2)证明见解析【分析】（1）如图1，作PM EC ⊥，垂足为M ，3045EPM CPM ∠=︒∠=︒，，∵tan 60PM EM MC =︒⨯=，EM MC +=EM 的值，由2sin 30EM EP EM ==︒即可求出EP 的值．（2）如图2，在EC 上截取EN AE =，连接AN ，AM ，由题意知BM CM AM ==，45MAC ACM MEC ∠=∠=∠=︒，由MAC MEC ∠=∠可知A M C E 、、、四点共圆，有90AEN AEM MEC ∠=∠+∠=︒，45EAN ENA ∠=∠=︒，可知AN =；由NAC NCA ∠=∠，知AN CN =，由CAE CM MCE E ∠=∠=∠，可得EM EC CF ==，AME MCF ∠=∠，然后证明AME MCF ≌，得到AE MF EN ==，从而可证明CE MF =+．（3）如图3，将AEC △绕点A 逆时针旋转90︒到AFM △，由旋转可知CE FM =，BF CE BF FM +=+，90MAC CAF MAF ∠=∠+∠=︒，故当BF CE +最小时有B F M 、、三点共线，即F M 、均在直线AB 上，此时图形如图4，点E 在∠ABC 的平分线与AC 的交点处，过点E 作EM ⊥BC ，设ME 的长为a ，有AE ME AF a ===，CE ==，AB AC a ==+，2BF AB AF a =+=，在Rt ABE 中，由勾股定理知222BE AB AE =+，将,,BE BF CE 均用含a 的式子表示，然后求比值即可．(1)解：如图1，作PM EC ⊥，垂足为M由题意得45B C AEF F ∠=∠=∠=∠=︒∴75EPC AEP CAE ∠=∠+∠=︒∴18060PEC EPC C ∠=︒-∠-∠=︒∴3045EPM CPM ∠=︒∠=︒，∵tan 60PM EM MC =︒⨯==，EM MC +=∴EM =解得)1EM ===∵2sin 30EM EP EM ===︒∴EP 的长为-．(2)解：证明：如图2，在EC 上截取EN AE =，连接AN ，AM ，由题意知BM CM AM ==，45MAC ACM MEC F ∠=∠=∠=∠=︒∵MAC MEC∠=∠∴A M C E 、、、四点共圆∴45AEM ACM ∠=∠=︒∴90AEN AEM MEC ∠=∠+∠=︒∴45EAN ENA ∠=∠=︒∴sin 45AE AN ==︒∵CAE MCE ∠=∠，NAC CAE EAN NCA MCE ACM∠=∠-∠∠=∠-∠，∴NAC NCA∠=∠∴AN CN=又∵CAE CME∠=∠∴CME MCE∠=∠∴EM EC CF==∵90AME EMC MCF MCE∠+∠=︒=∠+∠∴AME MCF∠=∠在AME △和MCF △中45AME MCF AEM MFC EM CF ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()AME MCF AAS ≌∴AE MF EN==∴CE CN EN MF=+=+∴CE MF =+得证．(3)解：如图3，将AEC △绕点A 逆时针旋转90︒到AFM△由旋转可知CE FM=∴BF CE BF FM+=+∵90MAF CAE EAF BAC ∠=∠∠=∠=︒，，,BAC BAE CAE EAF CAE CAF∠=∠+∠∠=∠+∠∴BAE CAF∠=∠∴90MAC CAF MAF ∠=∠+∠=︒∴当BF CE +最小时有B F M 、、三点共线，即F M 、均在直线AB 上∴此时图形如图4，点E 在∠ABC 的平分线与AC 的交点处，过点E 作EM ⊥BC ，设ME 的长为a由角平分线的性质和等腰直角三角形的性质得AE ME AF a===由题意可知△CME 、△BAC 均为等腰直角三角形∴CE ==，AB AC a ==+，2BF AB AF a =+=在Rt ABE 中，由勾股定理知()22222BE AB AE a a =+=+∴2BE BF CE ==⋅∴2BE BF CE⋅．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，勾股定理，四点共圆，三角形全等，旋转，角平分线的性质，等腰三角形等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用．22．(1)2MN=(2)见解析(3)min()1FD FE''+=【分析】（1）设MD a=，3MC a=，根据勾股定理求出MD的长，再利用解直角三角形得出结果；（2）延长CM至点K，使CM MK=，连接BM、BK，先证AMB ANC∆≅∆，得出BM CN=，ABM ACN∠=∠，进而得出90KBM︒∠=，再根据勾股定理得出结果；（3）过点D¢作D''关于BC对称，得出当点D''，F，E'共线时，D F E F D F E F D E''''''''+=+=最小，最后利用勾股定理得出结果．(1)AB AC=，90BAC︒∠=，点D为BC的中点，AD BC∴⊥，4AD BD DC===在Rt CDM∆中，90CDM︒∠=，1sin3MDMCDMC∴∠==，4DC∴===，a=MD∴=4AM AD DM∴=-=在等腰直角三角形AMN中，45AMN︒∠=，2cos45AMMN︒∴===(2)如图，延长CM至点K，使CM MK=，连接BM、BK，AB AC=，90BAC︒∠=且AM AN=，90MAN︒∠=，∵∠BAM=90°-∠MAC，∠NAC=90°-∠MAC，BAM NAC∠∠∴=，在AMB∆和ANC∆中AB ACBAM NACAM AN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AMB ANC∆≅∆，BM CN∴=，ABM ACN∠=∠，在等腰直角三角形ABC 中，AB AC=45MBD ABM ︒-∠∴∠=，45A B N N C C ︒∠∠=+，CM MK = ，CD DB =，∴DM 是△CBK 的中位线，2DM KB ∴=，DM KB ∥，∵MD CN∥KB MD CN ∴∥∥，180KBD NCB ︒∴+∠=∠，即180KBM DBM NCB ︒∠+∠+∠=，∵45A D M M B B ︒∠∠=-，45A B NN C C ︒∠∠=+90KBM ︒=∴∠，在Rt KBM ∆中，90KBM ︒∠=，222KB BM KM ∴+=，∵2DM KB =，BM CN =，CM MK =，∴2224DM CN CM +=；(3)过点D ¢作D ''关于BC 对称，∵点D ¢是以M 为圆心，1为半径的圆上运动，∴点D ''是以T 为圆心，1为半径的圆上运动，∵E '以N ∴连接NT ，当点D ''，F ，E '共线时，D F E F D F E F D E ''''''''+=+=最小，在Rt △ANT 中，NT =∴1E D '''=1∴min ()1FD FE ''+．【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形，全等三角形的判定与性质及最小值的问题，正确作出辅助线是解题的关键．23．(1)48米(2)100米【分析】（1）过点B 作BG AE ⊥，根据AB 坡度3:4i =，且80AB =米，设3BG k =，则4AG k =，进而求得5AB k =，即可求得k ，进而求得BG ；（2）延长DC 交AE 于点H ，解直角三角形AHD ,进而即可求得HD ,DC（1）解：如图，过点B 作BG AE ⊥， AB 坡度3:4i =，且80AB =米，34BG AG ∴=设3BG k =，则4AG k =，5AB k ∴=80165k ∴==41664AG ∴=⨯=米，31648BG =⨯=米48BG ∴=米即平台上点B 到山体底部底面AE 的距离为48米；（2）解：如图，延长DC 交AE 于点H ， CD BF ⊥,BG AE ⊥，AE BF ∥∴四边形CBGH 是矩形则48CH BG ==米，50GH BC ==米，6450114AH AG GH ∴=+=+= 在山体底部A 处测得摩天轮顶端D 的仰角为52°，即52DAE ∠=︒，∴在Rt ADH 中，tan 114 1.3148DH AH DAE =⋅∠=⨯≈米∴14848100BC BH BG =-=-=米即摩天轮顶端D 到山体平台BF 的距离CD 的长为100米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握三角函数是解题的关键．24．(1)见解析(2)3+【分析】（1）以C 为圆心，一定长度为半径画弧，与AB 有交点，作这两个交点确定的线段的垂直平分线即可；（2）过点C 作CD AB ⊥于D ．在ACD ∆中，根据90ADC ∠=︒，cos A AC =3AD =，利用勾股定理CD =BCD ∆中，BD CD =，即可求解．(1)解：如图所示：(2)解：如图，过点C 作CD AB ⊥于D ．在ACD ∆中，90ADC ∠=︒，cos A =AC =cos 3AD AC A ∴=⋅==，CD ==．在BCD ∆中，=90BDC ∠︒ ，45B ∠=︒，BD CD ∴==，3AB AD BD ∴=+=【点睛】本题考查了作高，锐角三角函数求边长，解题的关键是掌握锐角三角函数解直角三角形．25．(1)()())2220111121445t t t S t t <≤+-<≤+=+<≤⎪+<<⎪⎩52+【分析】（1）根据运动重合部分不同情况分四种情况讨论，①当01t <≤时，②当11t <≤③当14t <≤时，④当45t <<时，根据三角形的面积公式求函数解析式即可．（2）作E 关于B D ''的对称点E '，连接D E ''，过点P 作PR D E ''⊥于点R ，过点M 作MT BC ⊥于点T ，设MN 交BD '于点S ,交B D ''于点Q ，则12'+MP D P 的最小值即为MN 的长，进而解直角三角形,,SD N MTS BMT ' ,即可求得MN 的长，即12'+MP D P 的最小值（1）等腰直角三角形ABC ，90C ∠=︒，4CA CB ==， 14BE BC =，45,1ABC EB ∴∠=︒=在Rt DEB ，90E ∠=︒，60DBE ∠=︒。

九年级数学第二十八章《锐角三角函数——应用举例》同步练习(含答案)

九年级数学第二十八章《锐角三角函数——应用举例》同步练习（含答案）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为37°，同时测得BC=15米，则树的高AB(单位：米)为A．15tan37︒B．15sin37︒C．15tan 37°D．15sin 37°【答案】C【解析】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=37°，BC=15，∴tan C=ABBC，则AB=BC•tan C=15tan37°．故选C．【名师点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．2．如图，在海拔200米的小山顶A处，观察M，N两地，俯角分别为30°，45°，则M，N两地的距离为A．200米B．2003米C．400米D．200（3+1）米【答案】D【解析】过A作AB⊥MN于B,在Rt △ABM 中, 90,200,30ABM AB M ∠==∠=，tan AB M BM∴∠=， 2003BM ∴=，在Rt △ABN 中, 90,45ABN N BAN ∠=∠=∠=，∴BN =AB =200，()200320020031MN ∴=+=+米.故选D.3．如图是一张简易活动餐桌，测得30cm OA OB ==，50cm OC OD ==，B 点和O 点是固定的．为了调节餐桌高矮，A 点有3处固定点，分别使OAB ∠为30，45，60，问这张餐桌调节到最低时桌面离地面的高度是（不考虑桌面厚度）A ．402cmB ．40cmC ．403cmD ．30cm【答案】B【解析】过点D 作DE ⊥AB 于点E ，∵∠OAB =30时，桌面离地面最低， ∴DE 的长即为最低长度， ∵OA =OB =30cm ，OC =OD =50cm ， ∴AD =OA +OD =80cm ，在Rt △ADE 中，∵∠OAB =30，AD =80cm ， ∴140cm.2DE AD ==故选:B.4．如图，某水库堤坝横截面迎水坡AB的坡度是1:3，堤坝高为40m，则迎水坡面AB的长度是A．80m B．803mC．40m D．403m【答案】A5．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°.公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A 处受噪音影响的时间为A．409秒B．16秒C．403秒D．24秒【答案】B【解析】如图，以点A为圆心，取AB＝AD＝200米为半径，过点A作AC⊥MN,∵∠QON＝30°，OA＝240米，∴AC＝120米，当火车到B点时开始对A处产生噪音影响，到点D时结束影响，此时AB＝200米，∵AB＝200米，AC＝120米，∴由勾股定理得: BC＝160米∴BD＝2BC＝320米,∵72千米/小时＝20米/秒,∴影响时间应是320÷20＝16 (秒)，故选B.6．如图，在A、B两地之间要修一条笔直的公路，从A地测得公路走向是北偏东48°，A，B两地同时开工，若干天后公路准确接通，若公路AB长8千米，另一条公路BC长是6千米，且BC的走向是北偏西42°，则A地到公路BC的距离是A．6千米B．8千米C．10千米D．14千米【答案】B【解析】∵∠ABG＝48°，∠CBE＝42°，∴∠ABC＝180°－48°－42°＝90°，∴A到BC的距离就是线段AB的长度，∴AB＝8千米.BE=，她7．如图，小颖利用有一锐角是30的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离6mAB=，那么这棵树高的眼睛距地面的距离 1.5m23 1.5mA．23m B．()32 1.5m D．4.5mC．()【答案】B【解析】在直角三角形ACD中，∠CAD=30°，AD=6m，∴CD=AD tan30°=6×33=23，∴CE=CD+DE=23+1.5（m）．故选B．8．如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A，B 两点间的距离为多少米．A．7502B．3752C．3756D．7506【答案】A二、填空题：请将答案填在题中横线上．9．如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后楼梯AC长为_____m．【答案】26【解析】在Rt△ABD中，∵sin∠ABD=AD AB，∴AD=4sin60°=23（m），在Rt△ACD中，∵sin∠ACD=AD AC，∴AC=23sin45=26（m）．故答案是：26．10．我国海域辽阔，渔业资源丰富．如图，现有渔船B在海岛A，C附近捕鱼作业，已知海岛C位于海岛A 的北偏东45°方向上．在渔船B上测得海岛A位于渔船B的北偏西30°的方向上，此时海岛C恰好位于渔船B的正北方向18（1+3）nmile处，则海岛A，C之间的距离为______nmile．【答案】2【解析】作AD⊥BC于D，设AC=x海里，在Rt△ACD中，AD=AC×sin∠ACD=22x，则CD=22x，在Rt△ABD中，BD=6 tan2ADABD=∠x，则22x+62x=18（1+3），解得，x=182，答：A，C之间的距离为182海里．故答案为：182.11．如图，一轮船由南向北航行到O处时，发现与轮船相距40海里的A岛在北偏东33方向．已知A岛周围20海里水域有暗礁，如果不改变航向，轮船________（填“有”或“没有”）触暗礁的危险．（可使用科学记算器）【答案】没有【解析】已知OA=40，∠O=33°，则AB=40•sin33°≈21.79＞20．所以轮船没有触暗礁的危险．故答案为: 没有．12．数学组活动，老师带领学生去测塔高，如图，从B点测得塔顶A的仰角为60，测得塔基D的仰角为45，已知塔基高出测量仪20m，（即20mDC=），则塔身AD的高为________米．【答案】()2031-【解析】在Rt △ABC 中，AC =3BC ．在Rt △BDC 中有DC =BC =20，∴AD =AC−DC =3BC−BC =20（3−1）米．故答案为：20（3−1）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13．某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB 的高度.他们在C 处仰望建筑物顶端A 处，测得仰角为45，再往建筑物的方向前进6米到达D 处，测得仰角为60，求建筑物的高度.(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，3 1.732≈，2 1.414)≈【解析】设AB x =米， ∵∠C =45°，∴在Rt ABC △中，BC AB x ==米，60ADB ∠=， 6CD =米，∴在Rt ADB △中tan ∠ADB =ABBD， tan60°=6xx -，解得)333114.2x =≈米答，建筑物的高度为14.2米．14．如图，一个热气球悬停在空中，从热气球上的P点测得直立于地面的旗杆AB的顶端A与底端B的俯角分别为34°和45°，此时P点距地面高度PC为75米，求旗杆AB的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin34°=0.56，cos34°=0.83，tan34°=0.67）15．太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中线段AB、CD、EF表示支撑角钢，太阳能电池板紧贴在支撑角钢AB上且长度均为300cm，AB的倾斜角为30°，BE=CA=50cm，支撑角钢CD、EF与地面接触点分别为D、F，CD垂直于地面，FE⊥AB于点E．点A到地面的垂直距离为50cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少．（结果保留根号）【解析】如图所示，延长BA交FD延长线于点G，过点A作AH⊥DG于点H．由题意知，AB=300cm，BE=AC=50cm，AH=50cm，∠AGH=30°．在Rt△AGH中，∵AG=2AH=100cm，∴CG=AC+AG=150cm，则CD=12CG=75cm．∵EG=AB﹣BE+AG=300﹣50+100=350（cm）．在Rt△EFG中，EF=EG tan∠EGF=350tan30°=350×33503（cm）．答：支撑角钢CD的长为75cm，EF 3503．。

人教版九年级数学下册第28章：锐角三角函数全章测试含答案

人教版初中数学九年级下册第28章《锐角三角函数》全章测试一、选择题1. 在直角三角形中，如果各边都扩大1倍，则其锐角的三角函数值( )A. 都扩大1倍B.都缩小为原来的一半C.都没有变化D. 不能确定2．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝4，,32sin =A 则AC 的长为( )A ．6B ．52C ．53D ．132 3.已知β为锐角，cos β≤21，则β的取值范围为( ) A.30°≤β ＜90° B. 0°＜β≤60° C. 60°≤β＜90° D. 30°≤β＜60° 4．化简：140tan 240tan 2+-︒︒ 的结果为( )A.1+tan40°B. 1－tan40°C. tan40°－1D. tan 240°+1 5．△ABC 中，若AB ＝6，BC ＝8，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( )A ．312B ．12C ．324D ．3486．如图,△ABC 中,,90︒=∠C AD 是BAC ∠的角平分线,交BC 于点D ,那么CDACAB -=( )（A ）BAC ∠sin （B ）BAC ∠cos （C ）BAC ∠tan （D ）无法确定7．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，弦AD 、BC 相交于P 点，那么ABDC的值为( )A ．sin ∠APCB ．cos ∠APC C ．tan ∠APCD ．APC∠tan 18．铁路路基的横断面是一个等腰梯形，若腰的坡度为2∶3，顶宽为3m ，路基高为4m ，则路基的下底宽应为( )A ．15mB ．12mC ．9mD ．7m 9．已知α是锐角，且sin α+cos α=332,则sin α·cos α值为( ) A. 32 B. 23 C. 61D. 110．P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 点，若∠APB ＝2，⊙O 的半径为R ，则AB 的长为( )A ．ααtan sin RB ．ααsin tan R C ．ααtan sin 2R D ．ααsin tan 2R二、填空题11. 计算：1sin 60cos302-= . 12.ABC △中，90C =∠，若1tan 2A =，则sin ______A =13. 已知山坡的坡度i =1，则坡角为________．14. 在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝60°，若D 是AC 边中点，则tan ∠DBC 的值为______． 15. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝10，若△ABC 的面积为3350，则∠A ＝______度．第6题第7题16. 菱形的两条对角线长分别为23和6，则菱形的相邻的两内角分别为_________.17.如图，已知直线1l ∥2l ∥3l ∥4l ，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sin α= ．18. 如图所示，四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝2，CD ＝8，AC ⊥CD ，若,31s i n =∠A C B 则cos ∠ADC ＝______．19.如图，小明同学在东西方向的环海路A 处，测得海中灯塔P 在北偏东60°方向上，在A 处东500米的B 处，测得海中灯塔P 在北偏东30°方向上，则灯塔P 到环海路的距离PC ＝米（用根号表示）． 20.在数学活动课上，小敏，小颖分别画了△ABC •和△DEF ，数据如图7，如果把小敏画的三角形面积记作ABC S ∆，小颖画的三角形面积记作DEF S ∆，那么你认为小敏和小颖画的两个三角形的面积的大小关系是ABC S ∆ DEF S ∆.(填“＞,＜,或＝”) 三、解答题 21.计算:(1) 200822)45cot (30cot 60tan 60cot 30sin 2︒-+︒︒-︒+︒ (2) 130cos 260sin 60tan 45tan 2+︒-︒+︒-︒ (3)已知α是锐角，且sin (α+15°)=32，求8 －4cos α—( 2 －1)0+tan α的值． 22. 在Rt △ABC 中，∠C = 90°，a =3 ，c =5，求sin A 和tan A 的值.23由于保管不慎，小明把一道数学题染上了污渍，变成了“如图，在△ABC 中∠A =30°，tan B = ▲，AC =AB 的长”。

【单元练】人教版初中九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数》经典练习题(含答案解析)

一、选择题1．在ABC 中，若21cos |1tan |02A B ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，则C ∠的度数是（） A ．45︒ B ．60︒C ．75︒D ．105︒C解析：C 【分析】根据偶次方和绝对值的非负性可得1cos 02A -=，1tan 0B -=，利用特殊角的三角函数值可得A ∠和B 的度数，利用三角形内角和定理即可求解．【详解】解：21cos |1tan |02A B ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭， 21cos 0,|1tan |02A B ⎛⎫∴-=-= ⎪⎝⎭，1cos 02A ∴-=，1tan 0B -=，则1cos 2A =，tan 1B =，解得：60A ∠=︒，45B ∠=︒，则180604575C ∠=︒-︒-︒=︒．故选：C ．【点睛】本题考查偶次方和绝对值的非负性、特殊角的三角函数值、三角形内角和定理，熟悉特殊角的三角函数值是解题的关键．2．如图，这是某市政道路的交通指示牌，BD 的距离为5m ，从D 点测得指示牌顶端A 点和底端C 点的仰角分别是60°和45°，则指示牌的高度，即AC 的长度是（）A ．53mB ．52mC ．(5352mD ．()535m D解析：D 【分析】由题意可得到BD=BC=5，根据锐角三角函数关系得出方程，然后解方程即可．【详解】解：由题意可得：∠CDB=∠DCB=45°， ∴BD=BC=5，设AC=x m ，则AB=（x +5）m ，在Rt △ABD 中，tan60°=AB BD，则535x +=，解得：535x =-，即AC 的长度是()535m -；故选：D ．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键． 3．下表是小红填写的实践活动报告的部分内容，设铁塔顶端到地面的高度FE 为xm ，根据以上条件，可以列出的方程为（）题目测量铁塔顶端到地面的高度测量目标示意图相关数据10,45,50CD m αβ==︒=︒A ．()10tan50x x =-︒B ．()10cos50x x =-︒C ．10tan50x x -=︒D ．()10sin50x x =+︒A解析：A 【分析】过D 作DH ⊥EF 于H ，则四边形DCEH 是矩形，根据矩形的性质得到HE ＝CD ＝10，CE ＝DH ，求得FH ＝x−10，得到CE ＝x−10，根据三角函数的定义列方程即可得到结论．【详解】过D 作DH ⊥EF 于H ，则四边形DCEH 是矩形， ∴HE ＝CD ＝10，CE ＝DH ， ∴FH ＝x−10，∵∠FDH ＝α＝45°， ∴DH ＝FH ＝x−10， ∴CE ＝x−10，∵tanβ＝tan50°＝EF CE ＝-10x x ， ∴x ＝（x−10）tan 50°，故选：A ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，由实际问题抽象出边角关系的等式，正确的识别图形是解题的关键．4．下列计算中错误的是( ) A ．sin60sin30sin30︒-︒=︒ B ．22sin 45 cos 451︒+︒= C ．sin 60tan 60sin 30︒︒=︒D ．cos30tan 60cos60︒︒=︒A解析：A 【分析】根据特殊角的三角函数值、二次根式的运算即可得．【详解】A、11sin 60sin 303022︒-︒==︒=，此项错误； B、222211sin 45 cos 45122︒+︒=+=+=⎝⎭⎝⎭，此项正确； C、sin 602tan 601sin 302︒︒===︒sin 60tan 60sin 30︒︒=︒，此项正确； D、cos302tan 601cos 602︒︒===︒cos30tan 60cos60︒︒=︒，此项正确；故选：A ．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、二次根式的运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．5．如图，河坝横断面迎水坡AB 的坡比为1BC ＝3m ，则AB 的长度为（）A ．6mB ．33mC ．9mD ．63m A解析：A 【分析】根据坡比的概念求出AC ，根据勾股定理求出AB ．【详解】解：∵迎水坡AB 的坡比为1：3， ∴13BC AC =，即313AC =，解得，AC ＝33，由勾股定理得，AB 22BC AC =+=6（m ），故选：A ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键． 6．如图，在A 处测得点P 在北偏东60︒方向上，在B 处测得点P 在北偏东30︒方向上，若2AB =米，则点P 到直线AB 距离PC 为（）．A ．3米B 3米C ．2米D ．1米B解析：B 【分析】设点P 到直线AB 距离PC 为x 米，根据正切的定义用x 表示出AC 、BC ，根据题意列出方程，解方程即可．【详解】解：设点P 到直线AB 距离PC 为x 米，在Rt APC △中，3tan PCAC x PAC==∠，在Rt BPC △中，3tan PC BC x PBC ==∠，由题意得，3323x x -=，解得，3x =（米)，故选：B ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键．7．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 的对角线AC 在x 轴上，点A 的坐标是()1,0，把正方形ABCD 绕原点O 旋转180︒，则点B 的对应点B '的坐标是（）A ．(-1,-1)B ．()2,1C ．()2,1--D ．()2,1--D解析：D 【分析】根据题意，画出图形，连接BD ，交x 轴于E ，根据正方形的性质可得AB=2，BD ⊥x 轴，AE=BE ，∠BAE=45°，利用锐角三角函数即可求出AE 和BE ，从而求出OE ，即可求出点B 的坐标，然后根据关于原点对称的两点坐标关系即可求出结论．【详解】解：把正方形ABCD 绕原点O 旋转180︒，如图所示，连接BD ，交x 轴于E∵四边形ABCD 2∴2，BD ⊥x 轴，AE=BE ，∠BAE=45° ∴AE=BE=AB·sin ∠BAE=1 ∴OE=OA ＋AE=2 ∴点B 的坐标为（2,1）∴点B 绕点O 旋转180°的对应点B '的坐标（-2，-1）故选D ．【点睛】此题考查的是正方形的性质，锐角三角函数和关于原点对称的两点坐标关系，掌握正方形的性质，锐角三角函数和关于原点对称的两点坐标关系是解题关键． 8．如图，点A ，B ，C 在正方形网格的格点上，则sin ∠BAC=（）A ．26B ．2626C ．2613D ．1313B 解析：B 【分析】作BD ⊥AC 于D ，根据勾股定理求出AB 、AC ，利用三角形的面积求出BD ，最后在直角△ABD 中根据三角函数的意义求解．【详解】解：如图，作BD ⊥AC 于D ，由勾股定理得，22223213,3332AB AC =+==+= ∵1113213222ABCSAC BD BD =⋅=⨯=⨯⨯， ∴2BD =， ∴2262sin 2613BD BAC AB ∠===．故选：B ．【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形，三角形的面积，三角函数的意义等知识，根据网格构造直角三角形和利用三角形的面积求出BD 是解决问题的关键．9．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB 的边长为4，点A 在第二象限内，将OAB 沿射线AO 平移，平移后点A '的横坐标为43，则点B ′的坐标为（）A ．(63,2)-B ．(63,23)-C ．()6,2-D ．(63,2)-D解析：D 【详解】如解图，过点A 作AC x ⊥轴，过点A '作A D x '⊥轴，∵AOB 是等边三角形，∴4AO BO ==，60AOB ∠=︒，∴30AOC ∠=︒，∴·cos 23CO OA AOC ==，2AC =，∴(23,2)A -，∵30AOD AOC ∠'=∠=︒，43OD =，∴·t 34343an A D OD A OD ⨯=∠'=='，∴(43,4)A '-，∴点A '是将点A 向右平移63个单位，向下平移6个单位得到的，∴点B '也是将点B 向右平移63个单位，向下平移6个单位得到的，∵()0,4B ，∴B '的坐标为(63,2)-．10．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝15°，所以tan15°()()12323232323AC CD -====-++-．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（）A 21B 2﹣1C 2D ．12B 解析：B 【分析】作Rt △ABC ，使∠C ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 到D ，使BD ＝AB ，连接AD ，根据构造的直角三角形，设AC ＝x ，再用x 表示出CD ，即可求出tan22.5°的值. 【详解】解：作Rt △ABC ，使∠C ＝90°，∠ABC ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 到D ，使BD ＝AB ，连接AD ，设AC ＝x ，则：BC ＝x ，AB ＝2x ，CD ＝()1+2x ，()22.5==211+2AC xC tan taD xn D =∠=-︒故选：B. 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是根据阅读构造含45°的直角三角形，再作辅助线得到22.5°的直角三角形.二、填空题11．已知ABC 与ABD △不全等，且3AC AD ==，30ABD ABC ∠=∠=︒，60ACB ∠=︒，则CD =________．或3【分析】如图△ABC ≌△ABP 当D′是PB 中点或点D″是BC 的中点时满足条件分别求解即可【详解】解：如图△ABC ≌△ABP ∴∴CAP 共线∴△BPC 是等边三角形当D′是PB 中点时AD′=BP=AC解析：3或3 【分析】如图，△ABC ≌△ABP ，当D′是PB 中点或点D″是BC 的中点时，满足条件，分别求解即可．【详解】解：如图，△ABC ≌△ABP ，3AC AP ==，30ABP ABC ∠=∠=︒，60ACB ∠=︒，∴60APB ∠=︒，90CAB PAB ∠=∠=︒， ∴C ，A ，P 共线，BC BP AC AP ===， ∴△BPC 是等边三角形，当D′是PB 中点时，AD′=12BP=AC=3，此时ABC 与D'AB 满足条件， ∴D'90C P ∠=︒，∴CD′= PD′tan 60︒=3PD′=3，当点D″是BC 的中点时，此时ABC 与D AB "也满足条件， ∴CD″=3，∴满足条件的CD 的长为3或3．故答案为：3或3．【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是画出符合题意的图形，用分类讨论的思想思考问题．12．小芳同学在学习了图形的镶嵌和拼接以后，设计了一幅瓷砖贴纸（图1），它是由图2这种基本图形拼接而成。

人教版九年级数学下册第28章《锐角三角函数》单元测试【含答案】

人教版九年级数学下册第28章《锐角三角函数》单元测试一．选择题（共10小题，满分30分）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos A＝（）A．B．C．D．2．在边长相等的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上（）A．B．C．D．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，那么tan B的值是（）A．B．C．D．4．∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝0，则∠β＝（）A．30°B．60°C．45°D．37.5°5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则tan A的值是（）A．B．C．D．6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则sin B＝（）A．B．2C．D．7．若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′，按键顺序正确的是（）A．B．C．D．8．如图，AD是△ABC的高，AB＝4，tan∠CAD＝，则BC的长为（）A． +1B．2+2C．2+1D． +49．如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA＝，当∠OPA最大时，S△OPA等于（）A．B．C．D．110．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，∠C＝42°，AB＝60（）A．60sin50°B．C．60cos50°D．60tan50°二．填空题（共10小题，满分30分）11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝．12．用科学计算器计算： tan16°15′≈ （结果精确到0.01）13．在△ABC中，若，∠A，∠B都是锐角三角形．14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，那么AB的长为．15．比较大小：sin80° tan50°（填“＞”或“＜”）．16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝．17．在△ABC中，若|sin A﹣|+（﹣cos B）2＝0，则∠C的度数是．18．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，AC＝6，则tan A的值为．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，连接CD，过点B作CD的垂线，tan A＝，则cos∠DBE的值为．20．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），水平宽度AC＝m 米．三．解答题（共7小题，满分6021．已知cos45°＝，求cos21°+cos22°+…+cos289°的值．22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5．求sin A，cos A和tan A．23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90˚，BC＝6，求AC的长和sin A的值．24．计算：cos60°﹣2sin245°+tan230°﹣sin30°．25．计算：（1）；（2）sin245°+cos245°+tan30°tan60°﹣cos30°．26．2022年8月21日，重庆市北碚区缙云山突发山火，山火无情，各地消防迅速出动，冲锋在前，然后沿着坡比为5：12的斜坡前进104米到达B处平台，继续前进到达C，沿斜坡CD前行800米到达着火点D．（1）求着火点D距离山脚的垂直高度；（2）已知消防员在平地的平均速度为4m/s，求消防员通过平台BC的时间．（保留一位小数）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈，≈1.732）27．如图，已知∠ABC和射线BD P（点P与点B不重合），且点P到BA、BC的距离为PE、PF．（1）若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，PB＝m；（2）若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β都是锐角，并给出证明．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分）1．解：如图，∵∠C＝90°，∴设AC＝5k，AB＝13k，根据勾股定理得，BC＝＝，所以，sin A＝＝＝．故选：D．2．解：设点C到AB的距离为h，由勾股定理可知：AC＝＝2＝，由于S△ABC＝32﹣×6×2﹣×7×3＝9﹣8﹣3＝4．∴AB•h＝4，∴h＝，∴sin∠BAC＝＝，∴cos∠BAC＝，故选：A．3．解：∵∠C＝90°，∴tan B＝＝＝．故选：D．4．解：∵∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝8，∴cosβ＝，∴∠β＝60°．故选：B．5．解：∵∠C＝90°，AB＝5，∴AC＝＝＝4，∴tan A＝＝，故选：D．6．解：∵∠C＝90°，tan A＝2，∴BC＝2AC，∴，∴，故C正确．故选：C．7．解：若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′，按键顺序正确的是．故选：C．8．解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，cos∠BAD＝，∴cos60°＝，sin60°＝，∴AD＝4cos60°＝7×＝5＝4，在Rt△ADC中，tan∠CAD＝，∴＝，解得CD＝1，∴BC＝BD+CD＝2+1．故选：C．9．解：如图所示：∵OA、OP是定值，∴PA⊥OA时，∠OPA最大，在直角三角形OPA中，OA＝，∴PA＝＝，∴S△OPA＝OA•AP＝××＝．故选：B．10．解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：∵∠BAC＝88°，∠C＝42°，∴∠B＝180°﹣88°﹣42°＝50°，在Rt△ABD中，AD＝AB×sin60×sin50°，∴点A到BC的距离为60sin50°，故A正确．故选：A．二．填空题（共10小题，满分30分）11．解：由sin A＝知，可设a＝6x，b＝3x．∴tan A＝．故答案为：．12．解： tan16°15′≈0.71，故答案为：4.71．13．解：∵，∴sin A＝，cos B＝，∴∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．故答案为：等边．14．解：∵cos A＝＝，AC＝7，∴AB＝＝8，故答案为：8．15．解：∵tan50°＞tan45°，tan45°＝1，∴tan50°＞1，又sin80°＜2，∴sin80°＜tan50°；故答案为：＜．16．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴sin B＝cos A＝．故答案为：．17．解：∵|sin A﹣|+（2＝2，∴sin A﹣＝4，，即sin A＝，cos B＝，∴∠A＝30°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°．故答案为：105°．18．解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∴AB＝2CD＝10，∵AC＝6，∴BC＝＝＝8，∴tan A＝＝＝，故答案为：．19．解：过点C作CF⊥AB，垂足为F，在Rt△ABC中，AC＝3a＝，∴BC＝4a，AB＝5a，∵D是AB的中点，∴CD＝AB＝a，∵△ABC的面积＝AB•CF＝，∴AB•CF＝AC•CB，∴5aCF＝3a×4a，∴CF＝a，∴cos∠DCF＝＝，∵BE⊥CD，∴∠E＝90°，∴∠EDB+∠EBD＝90°，∵∠FCD+∠CDF＝90°，∠CDF＝∠BDE，∴∠EBD＝∠DCF，∴cos∠DBE＝cos∠DCF＝，故答案为：．20．解：∵河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，AC＝m，∴＝，∴BC＝AC＝＝3（m），在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝，故答案为：6．三．解答题（共7小题，满分60分）21．解：原式＝（cos21°+cos289°）+（cos22°+cos588°）+…+（cos244°+cos246°）+cos445＝（sin21°+cos51°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin844°+cos244°）+cos245＝44+（）2＝44．22．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5．∴AB＝＝＝13，∴sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝．23．解：∵△ABC中，tan A＝，∴＝，∴AC＝8，∴AB＝＝＝10，∴sin A＝＝24．解：原式＝﹣4×（）6+×（）2﹣＝﹣2×+×﹣＝﹣2+﹣＝﹣．25．解：（1）＝﹣4﹣7+1＝﹣4；（2）sin645°+cos245°+tan30°tan60°﹣cos30°＝＝＝．26．（1）如图所示，过点B，C，D分别作水平线的垂线，F，G，延长BC交AG于点H，BHGE是矩形，依题意，，AB＝104米，CD＝800米，在Rt△ABE中，，设BE＝8k米，∴AB＝13k，∵AB＝104米，∴k＝8，∴BE＝5×2＝40（米），AE＝12×8＝96（米），在Rt△DCH中，CD＝800米，∴DG＝DH+HG＝DH+BE＝480+40＝520（米），即着火点D距离山脚的垂直高度为520米；（2）依题意，∠DAG＝30°，∴米，∵Rt△DCH中，CH＝cos37°×CD＝≈0.8×800＝640（米），又AE＝96米，∴（米），∵消防员在平地的平均速度为4m/s，∴消防员通过平台BC的时间为（秒）．27．解：（1）在Rt△BPE中，sin∠EBP＝在Rt△BPF中，sin∠FBP＝又sin40°＞sin20°∴PE＞PF；（2）根据（1）得sin∠EBP＝＝sinα＝sinβ又∵α＞β∴sinα＞sinβ∴PE＞PF．。

人教版九年级下册数学第二十八章锐角三角函数含答案解析

人教版九年级下册数学第二十八章锐角三角函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在⊙O中，E是直径AB延长线上一点，CE切⊙O于点E，若CE=2BE，则∠E的余弦值为（）A. B. C. D.2、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列线段的比中不等于sinA 的是( )A. B. C. D.3、如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20m，DE的长为10m，则树AB的高度是（）m．A.20B.30C.30D.404、如图所示，已知：点A（0，0），B（，0），C（0，1）．在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…，则第n个等边三角形的边长等于（）A. B. C. D.5、已知Rt△ABC中，∠A=90°，则是∠B的（）A.正切；B.余切；C.正弦；D.余弦6、如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（）．A. B. C. D.7、如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，则tanB的值是（）A. B. C. D.8、如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=3, AC=4，则sinA的值为（）．.A. B. C. D.9、定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角A的正对记作sadA，即sadA＝底边：腰．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝4∠B．则cosB•sadA＝（）A.1B.C.D.10、Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且a：b=3：4，斜边c=15，则b的值是（）A.12B.9C.4D.311、已知tanα=0.3249，则α约为（）A.17°B.18°C.19°D.20°12、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，DE垂直平分AB交BC于E，若BE=2 ，则AC=( )A.1B.2C.3D.413、如图，在一块矩形ABCD区域内，正好划出5个全等的矩形停车位，其中EF＝a米，FG＝b米，∠AEF＝30°，则AD等于（）A.（a+ b）米B.（a+ b）米C.（a+ b）米D.（a+ b）米14、如图，平面直角坐标系中，A（8，0），B（0，6），∠BAO，∠ABO的平分线相交于点C，过点C作CD∥x轴交AB于点D，则点D的坐标为（）A.（，2）B.（，1）C.（，2）D.（，1）15、如图，已知A，B，C，D是⊙O上的点，AB⊥CD，OA=2，CD=2 ，则∠D 等于（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD 的对角线BD上，时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O上.若，则BC长为________cm（结果保留根号）.17、在三角形ABC中，AB=2，AC= ，∠B=45°，则BC的长________．18、如图，射线OC与x轴正半轴的夹角为30°，点A是OC上一点，AH⊥x轴于H，将△AOH绕着点O逆时针旋转90°后，到达△DOB的位置，再将△DOB沿着y轴翻折到达△GOB的位置，若点G恰好在抛物线y=x2（x＞0）上，则点A 的坐标为________．19、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=3，点D、E分别在AB、AC 上，将△ABC沿DE折叠，点A落在AC边的点F处．若F为CE的中点，则DF 的长为________.20、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4 ，AC=4，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F.若∠AB′F为直角，则AE的长为________.21、小华从斜坡底端沿斜坡走了100米后，他的垂直高度升高了50米，那么该斜坡的坡角为________度22、在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,则cosA=________.23、如图，ABCD中，E是AD边上一点，AD=4 ，CD=3，ED= ，∠A=45．点P，Q分别是BC，CD边上的动点，且始终保持∠EPQ=45°．将CPQ沿它的一条边翻折，当翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形时，线段BP的长为________．24、把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上，∠CAB=60°，若量出AD=6cm，则圆形螺母的外直径是________.25、已知：正方形ABCD的边长为3，点P是直线CD上一点，若DP=1，则tan∠BPC的值是________．三、解答题(共5题，共计25分)26、计算：+（tan60﹣1）0+| ﹣1|﹣2cos30°．27、教育部布的《基础教育课程改革纲要》要求每位学生每学年都要参加社会实践活动，某学校组织了一次测量探究活动，如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度1：，AB＝10米，AE＝21米，求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，tan53°≈，cos53°≈0.60）28、如图，B位于A南偏西37°方向，港口C位于A南偏东35°方向，B位于C正西方向. 轮船甲从A出发沿正南方向行驶40海里到达点D处，此时轮船乙从B出发沿正东方向行驶20海里至E处，E位于D南偏西45°方向.这时，E 处距离港口C有多远？（参考数据：tan37°≈0.75，tan35°≈0.70）29、周末，小亮一家在东昌湖游玩，妈妈在湖心岛岸边P处观看小亮与爸爸在湖中划船（如图）.小船从P处出发，沿北偏东60°划行200米到达A处，接着向正南方向划行一段时间到达B处.在B处小亮观测妈妈所在的P处在北偏西37°方向上，这时小亮与妈妈相距多少米（精确到米）？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73）30、每年的6至8月份是台风多发季节，某次台风来袭时，一棵大树树干AB （假定树干AB垂直于地面）被刮倾斜15°后折断倒在地上，树的项部恰好接触到地面D（如图所示），量得树干的倾斜角为∠BAC＝15°，大树被折断部分和地面所成的角∠ADC＝60°，AD＝4米，求这棵大树AB原来的高度是多少米？（结果精确到个位，参考数据：）参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、D3、B4、A5、A6、D7、A8、C9、B10、A11、B12、B13、A14、A二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、。

人教版九年级下《第二十八章锐角三角函数》单元测试题含答案

第二十八章锐角三角函数一、选择题(每小题3分，共30分) 1．sin60°的值等于( ) A.12 B.22 C.32 D.332．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，sin A ＝23，则AB 的长为( )A.83B ．6C ．12D ．8 3．已知α为锐角，且cos(90°－α)＝12，则cos α的值为( )A.33 B.22 C.12 D.324．如图1，点A (t ，3)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，则t 的值是( )图1A ．1B ．1.5C ．2D ．35．如图2，∠AOB 在正方形网格中，则cos ∠AOB 的值为( )图2A.12B.22C.32D.336．如图3，将△ABC 放在每个小正方形的边长都为1的网格中，点A ，B ，C 均在格点上，则tan A 的值是( )图3A.55 B.105 C ．2 D.127．如图4，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D .若AC ＝5，BC ＝2，则sin ∠ACD 的值为( )图4A.53B.2 55C.52 D.238．如图5，某酒店大门的旋转门内部由三块宽为2米，高为3米的玻璃隔板组成，三块玻璃摆放时夹角相同．若入口处两根立柱之间的距离为2米，则两立柱底端中点到转轴底端的距离为( )图5A.3米 B ．2米 C ．2 2米 D ．3米9．如图6，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M 处观测到灯塔P 在南偏西22°方向上．航行2小时后到达N 处，观测灯塔P 在南偏西44°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近的位置，则此时轮船离灯塔的距离约为(参考数据：sin68°≈0.9272，sin46°≈0.7193，sin22°≈0.3746，sin44°≈0.6947)( )图6A ．22.48海里B ．41.68海里C ．43.16海里D ．55.63海里10．如图7，四边形BDCE 内接于以BC 为直径的⊙A ，已知BC ＝10，cos ∠BCD ＝35，∠BCE ＝30°，则线段DE 的长是( )图7A.89 B ．7 3 C ．4＋3 3 D ．3＋4 3 请将选择题答案填入下表：题号 12345678910总分答案第Ⅱ卷 (非选择题共70分)二、填空题(每小题3分，共18分)11．如图8，在△ABC 中，∠B ＝45°，cos C ＝35，AC ＝5a ，则△ABC 的面积用含a 的式子表示是________．图812．为解决停车难的问题，在一段长56米的路段上开辟停车位，如图9，每个车位是长为5米、宽为2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出________个这样的停车位．(参考数据：2≈1.4)图913．如图10，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，D 为BC 的中点，点E ，F 在线段AD 上，tan ∠ABC ＝3，则阴影部分的面积是________．图1014．已知△ABC ，若⎪⎪⎪⎪sin A －12与(tan B －3)2互为相反数，则∠C 的度数是________． 15．如图11，已知四边形ABCD 是正方形，以CD 为一边向CD 两旁分别作等边三角形PCD 和等边三角形QCD ，那么tan ∠PQB 的值为________．图1116.如图12，已知点A(5 3，0)，直线y ＝x ＋b(b ＞0)与y 轴交于点B ，连接AB.若∠α＝75°，则b ＝________．图12三、解答题(共52分)17．(5分)计算：cos30°tan60°－cos45°sin45°－sin260°.18．(5分)如图13，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC＝45°，求BC的长及tan C 的值．图1319.(5分)如图14，在半径为1的⊙O中，∠AOB＝45°，求sin C的值．图1420．(5分)如图15，AB是长为10 m，倾斜角为37°的自动扶梯，平台BD与大楼CE垂直，且与扶梯AB的长度相等，在B处测得大楼顶部C的仰角为65°，求大楼CE的高度(结果保留整数)．(参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34，sin65°≈910，tan65°≈157)图1521．(7分)如图16，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD.(1)求tan∠DBC的值；(2)求证：四边形OBEC是矩形．图1622．(7分)如图17，市防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，设计师提供的方案是：水坝加高1米(EF＝1米)，背水坡AF的坡度i＝1∶1，已知AB＝3米，∠ABE＝120°，求水坝原来的高度．图1723．(9分)阅读下面的材料：小凯遇到这样一个问题：如图18①，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝4，BD＝6，∠AOB＝30°，求四边形ABCD的面积．小凯发现，分别过点A，C作直线BD的垂线，垂足分别为E，F，设AO为m，通过计算△ABD与△BCD的面积和可以使问题得到解决(如图②)．请回答：(1)△ABD 的面积为________(用含m 的式子表示)； (2)求四边形ABCD 的面积．参考小凯思考问题的方法，解决问题：如图③，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AC ＝a ，BD ＝b ，∠AOB ＝α(0°＜α＜90°)，则四边形ABCD 的面积为________(用含a ，b ，α的式子表示)．图1824．(9分)观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角三角形ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，过点A 作AD ⊥BC 于点D(如图19①)，则sin B ＝AD c ，sin C ＝ADb ，即AD ＝c sin B ，AD ＝b sin C ，于是c sin B ＝b sin C ，即b sin B ＝csin C ，同理有c sin C ＝a sin A ，a sin A ＝b sin B ，所以a sin A ＝b sin B ＝c sin C. 即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素(至少有一条边)，运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题：(1)如图②，△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝75°，BC ＝60，则∠A ＝________°，AC ＝________；(2)如图③，在某次巡逻中，渔政船在C 处测得海岛A 在其北偏西30°的方向上，随后以40海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得海岛A 在其北偏西75°的方向上，求此时渔政船距海岛A 的距离AB.(结果精确到0.01海里，6≈2.449)图19详解详析1．C2．B [解析] 由题意可得sin A ＝23＝BCAB.因为BC ＝4，所以AB ＝6.3．D [解析] 因为cos(90°－α)＝12，α为锐角，所以90°－α＝60°，所以α＝30°，所以cos α＝32. 4．C [解析] ∵点A (t ，3)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，∴tan α＝3t ＝32，∴t ＝2. 5．B [解析] 如图，连接AC .由网格图的特点，易得△ACO 是等腰直角三角形，所以∠AOB ＝45°，所以cos ∠AOB 的值为22.6．D [解析] 如图，连接BD .由网格图的特点可知AD ⊥BD ，由AD ＝2 2，BD ＝2，可得tan A 的值为12.7．A [解析] 在Rt △ABC 中，根据勾股定理可得AB 2＝AC 2＋BC 2＝(5)2＋22＝9，∴AB ＝3.∵∠B ＋∠BCD ＝90°，∠ACD ＋∠BCD ＝90°，∴∠B ＝∠ACD ，∴sin ∠ACD ＝sin B ＝AC AB ＝53.故选A. 8．A [解析] 如图，设转轴底端为A ，两立柱底端的点为B ，C ，BC 的中点为D ，则有AB ＝AC ＝2米，所以AD ⊥BC ，且CD ＝1米，所以AD ＝3米．9．B [解析] 如图，过点P 作P A ⊥MN 于点A ，MN ＝30×2＝60(海里)．∵∠PMN ＝22°，∠PNA ＝44°， ∴∠MPN ＝∠PNA －∠PMN ＝22°， ∴∠PMN ＝∠MPN ， ∴MN ＝PN ＝60海里． ∵∠PNA ＝44°，∴在Rt △NAP 中，P A ＝PN ·sin ∠PNA ≈60×0.6947≈41.68(海里)．故选B.10．D [解析] 如图，过点B 作BF ⊥DE 于点F .在Rt △CBD 中，∵BC ＝10，cos ∠BCD ＝35，∴DC ＝6，∴BD ＝8.在Rt △BCE 中，BC ＝10，∠BCE ＝30°， ∴BE ＝5.在Rt △BDF 中，∠BDF ＝∠BCE ＝30°，BD ＝8， ∴DF ＝BD ·cos30°＝4 3.在Rt △BEF 中，∠BEF ＝∠BCD ，即cos ∠BEF ＝cos ∠BCD ＝35，∴EF ＝BE ·cos ∠BEF ＝3，∴DE ＝EF ＋DF ＝3＋4 3. 11．14a 2 12.1713．6 [解析] 由等腰三角形的轴对称性可知阴影部分的面积等于△ABC 的面积的一半．因为BD ＝12BC ＝2，AD ⊥BC ，tan ∠ABC ＝3，所以AD ＝6，所以△ABC 的面积为12，所以阴影部分的面积为6.14．90° [解析] 由题意得sin A ＝12，tan B ＝3，所以∠A ＝30°，∠B ＝60°，所以∠C的度数是90°.15．2－3 [解析] 延长QP 交AB 于点F .∵四边形ABCD 是正方形，△PCD 和△QCD 是以CD 为边的等边三角形， ∴四边形PCQD 是菱形．设正方形ABCD 的边长为a ，则可得PE ＝QE ＝32a ，DE ＝EC ＝12a ，FB ＝12a ， ∴tan ∠PQB ＝FBFQ＝12a a ＋32a＝2－ 3. 16．5 [解析] 设直线y ＝x ＋b (b ＞0)与x 轴交于点C ，易得C (－b ，0)，B (0，b )，所以OC ＝OB ，所以∠BCO ＝45°.又因为α＝75°，所以∠BAO ＝30°. 因为OA ＝5 3，所以OB ＝5，所以b ＝5. 17.1418．解：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D .在Rt △ABD 中，∠B ＝45°， ∵sin B ＝ADAB，∴AD ＝AB ·sin B ＝4×sin45°＝4×22＝2 2， ∴BD ＝AD ＝2 2.在Rt △ADC 中，AC ＝6，由勾股定理，得DC ＝AC 2－AD 2＝62－（2 2）2＝2 7， ∴BC ＝BD ＋DC ＝2 2＋2 7，tan C ＝AD DC ＝2 22 7＝147. 19．解：如图，过点A 作AD ⊥OB 于点D . ∵在Rt △AOD 中，∠AOB ＝45°， ∴OD ＝AD ＝OA ·cos45°＝1×22＝22， ∴BD ＝OB －OD ＝1－22， ∴AB ＝AD 2＋BD 2＝（22）2＋（1－22）2＝2－ 2. ∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，AC ＝2，∴sin C ＝ABAC ＝2－22.20．解：如图，过点B 作BF ⊥AE 于点F ，则BF ＝DE .在Rt △ABF 中，sin ∠BAF ＝BF AB，则BF ＝AB ·sin ∠BAF ≈10×35＝6(m)．在Rt △CDB 中，tan ∠CBD ＝CD BD ，则CD ＝BD ·tan65°≈10×157≈21(m)．则CE ＝DE ＋CD ＝BF ＋CD ≈6＋21＝27(m)．答：大楼CE 的高度约是27 m.21．解：(1)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC ，∴∠ABC ＋∠BAD ＝180°. 又∵∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2， ∴∠ABC ＝60°.∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠DBC ＝12∠ABC ＝30°，∴tan ∠DBC ＝tan30°＝33. (2)证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠BOC ＝90°.∵BE ∥AC ，CE ∥BD ，∴∠OBE ＝∠BOC ＝∠OCE ＝90°， ∴四边形OBEC 是矩形．22．解：如图所示，过点E 作EC ⊥BD 于点C ，设BC ＝x 米．∵∠ABE ＝120°， ∴∠CBE ＝60°. 在Rt △BCE 中， ∵∠CBE ＝60°，∴tan60°＝CE BC ＝3，即CE ＝3x 米． ∵背水坡AF 的坡度i ＝1∶1，∴CF AC＝1. ∵AC ＝(3＋x )米，CF ＝(1＋3x )米， ∴1＋3x 3＋x＝1，解得x ＝3＋1， ∴EC ＝3x ＝(3＋3)米．答：水坝原来的高度为(3＋3)米．23．解：(1)∵AO ＝m ，∠AOB ＝30°，∴AE ＝12m ， ∴△ABD 的面积为12×12m ×6＝32m . 故答案为32m. (2)由(1)得S △ABD ＝32m . 同理，CF ＝12(4－m )， ∴S △BCD ＝12BD ·CF ＝6－32m . ∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝6.解决问题：分别过点A ，C 作直线BD 的垂线，垂足分别为E ，F ，设AO 为x .∵∠AOB ＝α，∴AE ＝x ·sin α，∴S △ABD ＝12BD ·AE ＝12b ·x ·sin α. 同理，CF ＝(a －x )·sin α，∴S △BCD ＝12BD ·CF ＝12b ·(a －x )·sin α. ∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12b ·x ·sin α＋12b ·(a －x )·sin α＝12ab ·sin α. 故答案为12ab ·sin α. 24．解：(1)60 20 6(2)依题意，得BC ＝40×0.5＝20(海里)．∵CD∥BE，∴∠DCB＋∠CBE＝180°.∵∠DCB＝30°，∴∠CBE＝150°.∵∠ABE＝75°，∴∠ABC＝75°，∴∠A＝45°.在△ABC中，ABsin∠ACB＝BC sin A，即ABsin60°＝20sin45°，解得AB＝10 6≈24.49(海里)．答：渔政船距海岛A的距离AB约为24.49海里．。

人教版九年级数学下册第二十八章：锐角三角函数练习(含答案)

第二十八章锐角三角函数一、单选题1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5，则sinA 的值为（）A ．B ．C ．D ． 2．（2016甘肃省兰州市）在Rt △ABC 中，∠C =90°，sin A =35，BC =6，则AB =（） A ．4 B ．6 C ．8 D ．103．在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinB=513，则tanA 的值为（） A ．513 B ．1213 C ．512 D ．1254．Rt ABC 中，C 90∠=，若BC 2=，AC 3=，下列各式中正确的是 ( ) A ．2sinA 3= B ．2cosA 3= C ．2tanA 3= D ．2cotA 3= 5．如图，过点C （﹣2，5）的直线AB 分别交坐标轴于A （0，2），B 两点，则tan ∠OAB=（）A ．25B ．23C ．52D ．326．如图，某超市自动扶梯的倾斜角为，扶梯长为米，则扶梯高的长为（）A．米B．米C．米D．米7．聊城流传着一首家喻户晓的民谣：“东昌府，有三宝，铁塔、古楼、玉皇皋．”被人们誉为三宝之一的铁塔，初建年代在北宋早期，是本市现存最古老的建筑．如图，测绘师在离铁塔10米处的点C测得塔顶A的仰角为α，他又在离铁塔25米处的点D测得塔顶A的仰角为β，若tanαtanβ＝1，点D，C，B在同一条直线上，那么测绘师测得铁塔的高度约为(参考≈3.162)()A．15.81米B．16.81米C．30.62米D．31.62米8．若某人沿坡角为α的斜坡前进100m，则他上升的最大高度是（）A．100 αm B．100sinαm C．100cosαm D．100 αm9．某水坝的坡度i=1，坡长AB=20米，则坝的高度为（）A．10米B．20米C．40米D．2010．如图，两建筑物的水平距离为32 m，从点A测得点C的俯角为30°，点D的俯角为45°，则建筑物CD的高约为()A．14 m B．17 m C．20 m D．22 m二、填空题11．2sin45°+2sin60°﹣＝_____． 12．在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =5，BC =3，则sin A = ．13．某同学沿坡比为1：的斜坡前进了90米,那么他上升的高度是______米14．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 与CD 相交于点P ，则tan ∠APD 的值为______.三、解答题15．计算：|﹣2|﹣2cos60°+（16）﹣1﹣（π0． 16．如图，为了测得某建筑物的高度AB ，在C 处用高为1米的测角仪CF ，测得该建筑物顶端A 的仰角为45°，再向建筑物方向前进40米，又测得该建筑物顶端A 的仰角为60°．求该建筑物的高度AB ．（结果保留根号）17．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB=13，AD=1．（1）求BC的长；（2）求tan∠DAE的值．18．如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处D（点D与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据： 53°≈0.8， 53°≈0.6， 53°≈43，计算结果用根号表示，不取近似值）．答案1．D2．D3．D4．C5．B6．A7．A8．A9．A10．A1112．3513．4514．215．|﹣2|﹣2cos60°+（16）﹣1﹣（π﹣ ）0 =2﹣2×12+6﹣1 =6．16．解：设AM x =米，在Rt AFM ∆中，45AFM ︒∠=，∴FM AM x ==，在Rt AEM ∆中，AM tan EMAEM ∠=，则tan AM EM x AEM ==∠，由题意得，FM EM EF -=，即40x x -=，解得，60x =+，∴61AB AM MB =+=+答：该建筑物的高度AB为(61+米．17．解：（1）在△ABC 中，∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°。

人教版九年级数学下《第二十八章锐角三角函数》单元练习题含答案

第二十八章锐角三角函数一、选择题1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cos B＝，则BC的长为()A． 4B． 2C．D．2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，则sin A等于()A．B．C．D．3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝1，b＝，则∠A等于()A． 30°B． 45°C． 60°D． 90°4.如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB＝α，则拉线BC的长度为(A、D、B在同一条直线上)()A．B．C．D．h·cosα5.如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα＝，则小车上升的高度是()A． 5米B． 6米C． 6.5米D． 12米6.Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则sin B的值为()A．B．C．D．7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AC＝4，则cos A的值是()A．B．C．D．8.如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，C离海岸线l的距离(即CD的长)为2，从A 测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则AB的长()A． 2 kmB． (2＋)kmC． (4－2) kmD． (4－) km9.在高为100米的楼顶测得地面上某目标的俯角为α，那么楼底到该目标的水平距离是() A． 100tanα米B． 100cotα米C． 100sinα米D． 100cosα米10.把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦函数值()A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．不能确定二、填空题11.若2cosα－＝0，则锐角α＝____________度．12.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，现给出下列结论：①sin A＝；②cos B＝；③tan A＝；④tan B＝，其中正确的结论是__________(只需填上正确结论的序号)13.如图，已知点A(0,1)，B(0，－1)，以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，则sin ∠BAC＝____________.14.已知∠A的补角是120°，则tan A＝________.15.如图是一斜坡的横截面，某人沿着斜坡从P处出发，走了13米到达M处，此时在铅垂方向上上升了5米，那么该斜坡的坡度是____________．16.汽车沿着坡度为1∶7的斜坡向上行驶了50米，则汽车升高了____________米．17.已知0°＜θ＜30°，且sinθ＝km＋(k为常数且k＜O)，则m的取值范围是__________．18.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，sin A＝，那么AB＝__________.19.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则sin ∠ABC＝________.20.如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为________米．(精确到1米，参考数据：≈1.73)三、解答题21.如图，初三一班数学兴趣小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°.朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°，已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为(即AB∶BC＝)，且B，C，E三点在同一条直线上，请根据以上条件求出树DE的高度．(测量器的高度忽略不计)22.南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在C处成功拦截不明船只，问我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里(最后结果保留整数)?(参考数据：cos 75°＝0.2588，sin 75°＝0.9659，tan 75°＝3.732，＝1.732，＝1.414)23.如图，图①是某电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AO可以绕点O旋转一定的角度．研究表明：显示屏顶端A与底座B的连线AB与水平线BC垂直时(如图②)，人观看屏幕最舒适．此时测得∠BAO＝15°，AO＝30 cm，∠OBC＝45°，求AB的长度．(结果精确到0.1 cm)(参考数据：sin 15°≈0.259，cos 15°≈0.966，tan 15°≈0.268，≈1.414)24.小明周日在广场放风筝，如图，小明为了计算风筝离地面的高度，他测得风筝的仰角为60°，已知风筝线BC的长为20米，小明的身高AB为1.75米，请你帮小明计算出风筝离地面的高度．(结果精确到0.1米，参考数据≈1.41，≈1.73)25.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东53°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处．(1)在图中画出点B，并求出B处与灯塔P的距离(结果取整数)；(2)用方向和距离描述灯塔P相对于B处的位置．(参考数据：sin 53°＝0.80，cos 53°＝0.60，tan 53°＝0.33，＝1.41)26.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，求cos B的值．27.如图是某小区的一个健身器材，已知BC＝0.15 m，AB＝2.70 m，∠BOD＝70°，求端点A到地面CD的距离(精确到0.1 m)．(参考数据：sin 70°≈0.94，cos 70°≈0.34，tan 70°≈2.75)28.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝24，求sin A，sin B的值．答案解析1.【答案】A【解析】如图，∵∠C＝90°，∴cos B＝，∴BC＝AB cos B＝6×＝4，故选A.2.【答案】B【解析】sin A＝＝，故选B.3.【答案】A【解析】如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝1，b＝，∴tan A＝＝.∴∠A＝30°，故选A.4.【答案】B【解析】∵∠CAD＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCD＝90°，∴∠CAD＝∠BCD，在Rt△BCD中，∵cos ∠BCD＝，∴BC＝＝，故选B.5.【答案】A【解析】在如图AC＝13，作CB⊥AB，∵cosα＝＝，∴AB＝12，∴BC＝＝＝5，∴小车上升的高度是5 m.故选A.6.【答案】A【解析】∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，∴sin B＝＝.故选A.7.【答案】B【解析】cos A＝＝＝.故选B.8.【答案】C【解析】在CD上取一点E，使BD＝DE，可得∠EBD＝45°，AD＝DC＝2，∵从B测得船C在北偏东22.5°的方向，∴∠BCE＝∠CBE＝22.5°，∴BE＝EC.设AB＝x，则DE＝BD＝AD－AB＝2－x，∴EC＝BE＝BD＝(2－x)，∵DE＋EC＝CD，∴2－x＋(2－x)＝2，解得x＝4－2，即AB＝4－2.故选C.9.【答案】B【解析】∵∠BAC＝α，BC＝100 m，∴AB＝BC·cotα＝100cotαm.故选B.10.【答案】A【解析】因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，故锐角A的余弦函数值也不变．故选A.11.【答案】45°【解析】∵2cosα－＝0，∴cosα＝，又∵cos 45°＝，∴锐角α＝45°.12.【答案】②③④【解析】如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，∴sin A＝＝，故①错误；∴∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴cos B＝cos 60°＝，故②正确；∵∠A＝30°，∴tan A＝tan 30°＝，故③正确；∵∠B＝60°，∴tan B＝tan 60°＝，故④正确．故答案为②③④.13.【答案】【解析】∵A(0,1)，B(0，－1)，∴AB＝2，OA＝1，∴AC＝2，由勾股定理，得OC＝＝，∴在Rt△AOC中，sin ∠OAC＝sin ∠BAC＝＝.14.【答案】【解析】∵∠A的补角是120°，∴∠A＝180°－120°＝60°，∴tan A＝tan 60°＝.15.【答案】5∶12【解析】如图所示，由题意可知，PM＝13 m，MC＝5米，∴PC＝＝12，∴MC∶PC＝5∶12，故答案为5∶12.16.【答案】5【解析】∵坡度为1∶7，∴设坡角是α，则sinα＝＝，∴上升的高度是50×＝5(米)．17.【答案】＜m＜【解析】∵0°＜θ＜30°，∴sin 0°＜sinθ＜sin 30°，即0＜km＋＜，∴＜km＜，∴＜m＜.18.【答案】18【解析】在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，sin A＝＝，∴AB＝3×6＝18.19.【答案】【解析】∵小正方形边长为1，∴AB2＝8，BC2＝10，AC2＝2；∴AB2＋AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，且∠CAB＝90°，∴sin ∠ABC＝＝＝.20.【答案】208【解析】由题意可得：tan 30°＝＝＝，解得：BD＝30，tan 60°＝＝＝，解得DC＝90，故该建筑物的高度为BC＝BD＋DC＝120≈208(m)．21.【答案】解∵AF⊥AB，AB⊥BE，DE⊥BE，∴四边形ABEF为矩形，∴AF＝BE，EF＝AB＝2，设DE＝x，在Rt△CDE中，CE＝＝＝x，在Rt△ABC中，∵＝，AB＝2，∴BC＝2，在Rt△AFD中，DF＝DE－EF＝x－2，∴AF＝＝＝(x－2)，∵AF＝BE＝BC＋CE.∴(x－2)＝2＋x，解得x＝6.答：树DE的高度为6米．【解析】由于AF⊥AB，则四边形ABEF为矩形，设DE＝x，在Rt△CDE中，CE＝＝＝x，在Rt△ABC中，得到＝，求出BC，在Rt△AFD中，求出AF，由AF＝BC＋CE 即可求出x的长．22.【答案】解过B作BD⊥AC，∵∠BAC＝75°－30°＝45°，∴在Rt△ABD中，∠BAD＝∠ABD＝45°，∠ADB＝90°，由勾股定理，得BD＝AD＝×20＝10(海里)，在Rt△BCD中，∠C＝15°，∠CBD＝75°，∴tan ∠CBD＝，即CD＝10×3.732＝52.77048，则AC＝AD＋DC＝10＋10×3.732＝66.91048≈67(海里)，即我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了67海里．【解析】过B作BD⊥AC，在直角三角形ABD中，利用勾股定理求出BD与AD的长，在直角三角形BCD中，求出CD的长，由AD＋DC求出AC的长即可．23.【答案】解过O点作OD⊥AB交AB于D点．在Rt△ADO中，∵∠A＝15°，AO＝30，∴OD＝AO·sin 15°≈30×0.259≈7.77(cm)AD＝AO·co s 15°≈30×0.966≈28.98(cm)又∵在Rt△BDO中，∠OBC＝45°，∴BD＝OD＝7.77(cm)，∴AB＝AD＋BD＝36.75≈36.8(cm)．答：AB的长度为36.8 cm.【解析】过O点作OD⊥AB交AB于D点，根据∠A＝15°，AO＝30可知OD＝AO·sin 15°，AD＝AO·cos 15°，在Rt△BDO中根据∠OBC＝45°可知，BD＝OD，再根据AB＝AD＋BD即可得出结论．24.【答案】解∵在Rt△CBE中，sin 60°＝，∴CE＝BC·sin 60°＝20×≈17.3 m，∴CD＝CE＋ED＝17.3＋1.75＝19.05≈19.1 m.答：风筝离地面的高度是19.1 m.【解析】先根据锐角三角函数的定义求出CE的长，再由CD＝CE＋ED即可得出结论．25.【答案】解(1)如图，作PC⊥AB于C，在Rt△PAC中，∵PA＝100，∠PAC＝53°，∴PC＝PA·sin ∠PAC＝100×0.80＝80，在Rt△PBC中，∵PC＝80，∠PBC＝∠BPC＝45°，∴PB＝PC＝1.41×80≈113，即B处与灯塔P的距离约为113海里；(2)∵∠CBP＝45°，PB≈113海里，∴灯塔P位于B处北偏西45°方向，且距离B处约113海里．【解析】(1)根据方向角的定义结合已知条件在图中画出点B，作PC⊥AB于C，先解Rt△PAC，得出PC＝PA·sin ∠PAC＝80，再解Rt△PBC，得出PB＝PC＝1.41×80≈113；(2)由∠CBP＝45°，PB≈113海里，即可得到灯塔P位于B处北偏西45°方向，且距离B处约113海里．26.【答案】解∵∠C＝90°，MN⊥AB，∴∠C＝∠ANM＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∠A＋∠AMN＝90°，∴∠B＝∠AMN，又AN＝3，AM＝4，∴MN＝＝，∴cos B＝cos ∠AMN＝＝.【解析】根据“同角的余角相等”，可得∠B＝∠AMN，又AN＝3，AM＝4，由勾股定理得MN＝，故 cos B＝cos ∠AMN.27.【答案】解作AE⊥CD于E，BF⊥AE于F，则四边形EFBC是矩形，∵OD⊥CD，∠BOD＝70°，∴AE∥OD，∴∠A＝∠BOD＝70°，在Rt△AFB中，∵AB＝2.7，∴AF＝2.7×cos 70°≈2.7×0.34＝0.918，∴AE＝AF＋BC≈0.918＋0.15＝1.068≈1.1 m，答：端点A到地面CD的距离是1.1 m.【解析】作AE⊥CD于E，BF⊥AE于F，则四边形EFBC是矩形，求出AF、EF即可解决问题．28.【答案】解在△ABC中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝24，由勾股定理，得AB＝＝＝25，sin A＝＝，sin B＝＝.【解析】根据勾股定理，可得AC的长，根据锐角的正弦为对边比斜边，可得答案．。

人教版初3数学9年级下册第28章(锐角三角函数)单元综合练习(含解析)

人教版九年级数学下册《第28章锐角三角函数》单元综合练习（附答案）1．若锐角α满足cos α＜且tan α＜，则α的范围是（）A ．30°＜α＜45°B ．45°＜α＜60°C ．60°＜α＜90°D ．30°＜α＜60°2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2BC ，那么sin A 的值为（）A ．B ．C ．D ．13．在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，cos A ＝，则sin A 的值为（）A ．B ．C ．D ．4．cos45°的值等于（）A ．B ．C ．D ．5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，AC ＝3，则下列等式正确的是（）A ．sin A ＝B ．cos A ＝C ．tan A ＝D ．cos A ＝6．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，sin B ＝，AC ＝2，则BC 长为（）A ．2B ．4C ．6D ．87．已知△ABC 是锐角三角形，若AB ＞AC ，则（）A ．sin A ＜sin BB ．sin B ＜sin CC ．sin A ＜sin CD ．sin C ＜sin A8．在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，△ABC 的顶点都是格点，则sin ∠BAC 的值为（）A ．B ．C ．2D ．9．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝6，AB＝4，则BC的长是（）A．6B．2C．2D．910．如图，AB是斜靠在墙上的长梯，AB与地面夹角为α，当梯顶A下滑1m到A′时，梯脚B滑到B′，A'B'与地面的夹角为β，若tanα＝，BB'＝1m，则cosβ＝（）A．B．C．D．11．角α，β满足0°＜α＜β＜45°，下列是关于角α，β的命题，其中错误的是（）A．0＜sinα＜B．0＜tanβ＜1C．cosβ＜sinαD．sinβ＜cosα12．下列各式中正确的是（）A．sin46°＞cos44°B．2sin40°＝sin80°C．cos44°＜cos46°D．sin244°+sin246°＝113．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，则竹竿AD 与AB的长度之比为（）A．B．C．D．14．如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向西走60米到达C点，测得点B 在点C的北偏东60°方向，则这段河的宽度为（）A．60（）米B．30（）米C．（90﹣30）米D．30（﹣1）米15．用计算器求sin24°37'的值，以下按键顺序正确的是（）A．B．C．D．16．如图，活动课小明利用一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知他与树之间的水平距离BE为9m，AB为1.5m（即小明的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（）A．3m B．27m C．（3+）m D．（27+）m 17．比较大小：tan30° cos30°（用“＞”或“＜”填空）18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则sin A＝．19．如图所示的网格是正方形网格，∠BAC ∠DAE．（填“＞”，“＝”或“＜”）20．用科学计算器计算：tan16°15′≈ （结果精确到0.01）21．如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则cos∠ABC的值为．22．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan A＝．23．计算：2cos45°＝．24．2022年在北京将举办第24届冬季奥运会，很多学校都开展了冰雪项目学习．如图，滑雪轨道由AB，BC两部分组成，AB，BC的长度都为200米，一位同学乘滑雪板沿此轨道由A点滑到了C点，若AB与水平面的夹角α为20°，BC与水平面的夹角β为45°，则他下降的高度为米．（参考数据：sin20°≈0.34）25．如图，一人乘雪橇沿坡比1：的斜坡笔直滑下72米，那么他下降的高度为米．26．如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB＝2km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为．27．在直角三角形ABC中，角C为直角，锐角A的余弦函数定义为，写出sin70°、cos40°、cos50°的大小关系．28．如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠ABC的值为．29．如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中cos∠ABC＝．30．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ABC＝．31．在△ABC中，∠C＝90°，若sin B＝，则cos A＝．32．如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知乙楼的高CD是45m，则甲楼的高AB是 m （结果保留根号）；33．已知cos45°＝，求cos21°+cos22°+…+cos289°的值．34．计算：sin60°•tan30°+．35．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90，tan A＝，BC＝6，求AC的长和sin A的值．36．选做题（从下面两题中任选一题，如果做了两题的，只按第（2）题评分）（1）用科学计算器计算：135×sin13°≈ （结果精确到0.1）（2）已知α是锐角，且sin（α+15°）＝．计算﹣4cosα﹣（π﹣3.14）0+tanα+（）﹣1的值37．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cos A，即cos A＝．当c＝2，a＝1时，求cos A．38．（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，52°，65°，88°，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；（3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“＞”或“＝”）若∠α＝45°，则sinα cosα；若∠α＜45°，则sinα cosα；若∠α＞45°，则sinα cosα；（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：sin10°，cos30°，sin50°，cos70°．参考答案1．解：∵α是锐角，∴cosα＞0，∵cosα＜，∴0＜cosα＜，又∵cos90°＝0，cos45°＝，∴45°＜α＜90°；∵α是锐角，∴tanα＞0，∵tanα＜，∴0＜tanα＜，又∵tan0°＝0，tan60°＝，0＜α＜60°；故45°＜α＜60°．故选：B．2．解：∵∠C＝90°，AB＝2BC，∴sin A＝＝，故选：A．3．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∴∠A是锐角，∵cos A＝＝∴设AB＝25x，AC＝7x，由勾股定理得：BC＝24x，∴sin A＝＝，故选：A．4．解：cos45°＝．故选：D．5．解：如图所示：∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，∴BC＝4，∴sin A＝，故A错误；cos A＝，故B正确；tan A＝；故C错误；cos A＝，故D错误；故选：B．6．解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，sin B＝，则＝，解得，BC＝6，故选：C．7．解：△ABC是锐角三角形，若AB＞AC，则∠C＞∠B，则sin B＜sin C．故选：B．8．解：作CD⊥AB于D，由图形可知BC＝2，由勾股定理得，AC＝＝，AB＝＝3，由三角形的面积公式可得，×2×3＝×3×DE，解得，DE＝，∴sin∠BAC＝＝＝，故选：D．9．解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，∵∠BAC＝120°，∴∠DAC＝180°﹣120°＝60°，∴∠ACD＝30°，∴AD＝AC＝3，∴BD＝AB+AD＝7，由勾股定理得，CD＝＝3，在Rt△BCD中，BC＝＝2，故选：B．10．解：如图．∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tanα＝，∴可设AC＝4xm，那么BC＝3xm，∴AB＝＝5xm，∴A′B′＝AB＝5x（m）．∵在Rt△A′B′C中，∠A′CB′＝90°，A′C＝（4x﹣1）m，B′C＝（3x+1）m，∴（4x﹣1）2+（3x+1）2＝（5x）2，解得x＝1，∴A′C＝3m，B′C＝4m，A′B′＝5m，∴cosβ＝．故选：A．11．解：0°＜α＜β＜45°，A、0＜sinα＜，是真命题，不符合题意；B、0＜tanβ＜1，是真命题，不符合题意；C、cosβ＞sinα，是假命题，符合题意；D、sinβ＜cosα，是真命题，不符合题意；故选：C．12．解：sin46°＝cos（90°﹣46°）＝cos44°，因此选项A不符合题意；2sin40°≠sin80°，因此选项B不符合题意；一个锐角的余弦值随着角度的增大而减小，于是有cos44°＞cos46°，因此选项C不符合题意；sin244°+sin246°＝sin244°+cos244°＝1，因此选项D符合题意；故选：D．13．解：在Rt△ABC中，∵sin∠ABC＝，即sinα＝，∴AB＝，在Rt△ADC中，∵sin∠ADC＝，即sinβ＝，∴AD＝，∴＝＝，故选：C．14．解：作BD⊥CA交CA的延长线于D，设BD＝xm，∵∠BCA＝30°，∴CD＝＝x，∵∠BAD＝45°，∴AD＝BD＝x，则x﹣x＝60，解得x＝＝30（），答：这段河的宽约为30（）米．故选：B．15．解：先按键“sin”，再输入角的度数24°37′，按键“＝”即可得到结果．故选：A．16．解：∵AB⊥BE，DE⊥BE，AD∥BE，∴四边形ABED是矩形，∵BE＝9m，AB＝1.5m，∴AD＝BE＝9m，DE＝AB＝1.5m，在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，AD＝9m，∴CD＝AD•tan30°＝9×＝3，∴CE＝CD+DE＝3+1.5故选：C．17．解：∵tan30°＝，cos30°，＜，∴tan30°＜cos30°，故答案为：＜．18．解：如图所示：∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB＝＝13，∴sin A＝．故答案为：．19．解：解法一：在AD上取一点G，在网格上取点F，构建△AFG为等腰直角三角形，∵tan∠BAC＝＝1，tan∠EAD＜1，∴∠BAC＞∠EAD；解法二：连接NH，BC，过N作NP⊥AD于P，S△ANH＝2×2﹣﹣×1×1＝AH•NP，＝PN，PN＝，Rt△ANP中，sin∠NAP＝＝＝＝0.6，Rt△ABC中，sin∠BAC＝＝＝＞0.6，∵正弦值随着角度的增大而增大，∴∠BAC＞∠DAE，故答案为：＞．20．解：tan16°15′≈0.71，故答案为：0.71．21．解：如图所示，作AD⊥BC，垂足为D，AD＝3，BD＝4，∴AB＝5，∴cos∠ABC＝，故答案为：．22．解：由sin A＝＝知，可设a＝3x，则c＝5x，b＝4x．∴tan A＝＝＝．23．解：原式＝2×＝．故答案为：．24．解：过点A作AE⊥BD于点E，过点B作BG⊥CF于点G，在Rt△ABE中，∵sinα＝，∴AE＝AB×sin20°≈68米，在Rt△BCG中，∵sinβ＝，∴BG＝BC×sin45°≈142米，∴他下降的高度为：AE+BG＝210米，故答案为：21025．解：因为坡度比为1：，即tanα＝，∴α＝30°．则其下降的高度＝72×sin30°＝36（米）．26．解：在CD上取一点E，使BD＝DE，∵CD⊥AB，∴∠EBD＝45°，AD＝DC，∵AB＝AD﹣BD，CE＝CD﹣DE，∴CE＝AB＝2km，∵从B测得船C在北偏东22.5°的方向，∴∠BCE＝∠CBE＝22.5°，∴BE＝EC＝2km，∴BD＝ED＝km，∴CD＝2+（km）．故答案为：（2+）km．27．解：∵直角三角形ABC中，角C为直角∴AB为斜边，BC是锐角∠A的对边，AC为锐角∠A的邻边，又∴锐角A的余弦表示锐角A的邻边与斜边的比，即cos A＝，∴余弦的定义为cos A＝；∵sin70°＝cos20°且余弦值在锐角范围内随角度的增大而减小，∴cos20°＞cos40°＞cos50°，∴sin70°＞cos40°＞cos50°，故答案为：cos A＝；sin70°＞cos40°＞cos50°．28．解：过A作AE⊥BC，交BC延长线于E，设小正方形的边长为1，则AE＝3，BE＝4，所以tan∠ABC＝＝，故答案为：．29．解：由图可知，AC2＝22+42＝20，BC2＝12+22＝5，AB2＝32+42＝25，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，∴cos∠ABC＝，故答案为：．30．解：tan∠ABC＝＝，故答案为：．31．解：在直角△ABC中，∠C＝90°，sin B＝＝＝cos A，所以cos A＝，故答案为：．32．解：由题意可得：∠BDA＝45°，则AB＝AD，又∵∠CAD＝30°，∴在Rt△ADC中，CD＝45m．tan∠CDA＝tan30°＝＝，即＝，解得：AD＝45（m），∴AB＝45m．故答案为：45．33．解：原式＝（cos21°+cos289°）+（cos22°+cos288°）+…+（cos244°+cos246°）+cos245＝（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin244°+cos244°）+cos245＝44+（）2＝44．34．解：原式＝＝+＝1．35．解：∵△ABC中，tan A＝，BC＝6，∴＝，∴AC＝8，∴AB＝＝＝10，∴sin A＝＝36．解：（1）原式＝135××0.224 95≈135×3.605×0.225≈371293×3.605×0.225≈301165.0；（2）∵α是锐角，且sin（α+15°）＝，∴α+15°＝60°，∴α＝45°，∴原式＝2﹣4×﹣1+1+3＝3；故答案为：（1）301165.0；37．解：∵∠C＝90°，c＝2，a＝1，∴b＝＝，∴cos A＝＝．38．解：（1）在图（1）中，令AB1＝AB2＝AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC于点C3，显然有：B1C1＞B2C2＞B3C3，∠B1AC＞∠B2AC＞∠B3AC．∵sin∠B1AC＝，sin∠B2AC＝，sin∠B3AC＝，而＞＞．∴sin∠B1AC＞sin∠B2AC＞sin∠B3AC．在图（2）中，Rt△ACB3中，∠C＝90°，cos∠B1AC＝，cos∠B2AC＝，cos∠B3AC＝，∵AB3＜AB2＜AB1，∴＞＞．即cos∠B3AC＞cos∠B2AC＞cos∠B1AC．（2）sin88°＞sin65°＞sin52°＞sin34°＞sin18°；cos88°＜cos65°＜cos52°＜cos34°＜cos18°．（3）若∠α＝45°，则sinα＝cosα；若∠α＜45°，则sinα＜cosα；若∠α＞45°，则sinα＞cosα．（4）cos30°＞sin50°＞cos70°＞sin10°．。

第二十八章锐角三角函数(A卷知识通关练)(原卷版)

班级姓名学号分数第二十八章锐角三角函数（A卷·知识通关练）核心知识1 锐角三角函数1．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，那么下列各式中正确的是（）A．tan A＝B．cot A＝C．sin A＝D．cos A＝2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝4，那么下列各式中正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．cot A＝3．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，AC＝6，则AB等于（）A．6B．C．10D．84．已知α为锐角，且，那么α的正切值为（）A．B．C．D．5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝，则cos B＝（）A．B．C．D．6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝3，那么tan A＝．7．Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝2，则cos A的值为．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝24，sin A＝，则BC＝．9．已知在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，AC＝6，那么cos A的值是．核心知识2．解直角三角形10．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则tan B的值为（）A．B．C．D．111．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝，则AC的长为（）A．B．3C．D．212．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，，则AC的长是（）A．B．3C．D．13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，下列结论正确的是（）A．sin C＝B．sin C＝C．sin C＝D．sin C＝14．在△ABC中，已知AC＝3，BC＝4，AB＝5，那么下列结论正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．以上均不正确15．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin∠ABC的值为（）A．B．C．D．16．已知AD是△ABC的中线，BC＝6，且∠ADC＝45°，∠B＝30°，则AC＝（）A．B．C．D．617．如图，在4×4正方形网格中，点A，B，C为网格交点，AD⊥BC，垂足为D，则sin∠BAD的值为（）A．B．C．D．核心知识3．解直角三角形的应用18．如图，沿AB方向架桥BD，以桥两端B、D出发，修公路BC和DC，测得∠ABC＝150°，BC＝1800m，∠BCD＝105°，则公路DC的长为（）A．900m B．900m C．900m D．1800m19．图1是一款平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成．工作时，可将平板电脑吸附在托板上，底座放置在桌面上．图2是其侧面结构示意图，已知托板AB长200mm，支撑板CB长80mm，当∠ABC＝130°，∠BCD＝70°时，则托板顶点A到底座CD所在平面的距离为（）（结果精确到1mm）．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41，≈1.73）A．246 mm B．247mm C．248mm D．249mm20．如图，架在消防车上的云梯AB长为15m，BD∥CE，∠ABD＝α，云梯底部离地面的距离BC为2m．则云梯的顶端离地面的距离AE的长为（）A．（2+15sinα）m B．（2+15tanα）mC．17tanαm D．17sinαm21．如图，小明为了测量遵义市湘江河的对岸边上B，C两点间的距离，在河的岸边与BC平行的直线EF 上点A处测得∠EAB＝37°，∠F AC＝60°，已知河宽30米，则B，C两点间的距离为（）（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）A．（18+25）米B．（40+10）米C．（24+10）米D．（40+30）米22．如图，已知A、C两点的距离为5米，∠A＝α，则树高BC为（）A．5sinα米B．5cosα米C．5tanα米D．米23．如图，一条河的两岸互相平行，为了测量河的宽度PT（PT与河岸PQ垂直），测量得P，Q两点间距离为m米，∠PQT＝α，则河宽PT的长为（）A．m sinαB．m cosαC．m tanαD．24．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝44cm，则高AD约为（）（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm25．一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知BC＝6m，∠ABC＝α，则房顶A离地面EF的高度为（）A．（4+3sinα）m B．（4+3tanα）m C．（4+）m D．（4+）m26．某学校安装红外线体温检测仪（如图1），其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆OP上自由调节（如图2）．已知最大探测角∠OBC＝67°，最小探测角∠OAC＝37°．测温区域AB的长度为2米，则该设备的安装高度OC应调整为（）米．（精确到0.1米．参考数据：sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）A．2.4B．2.2C．3.0D．2.727．如图1是一种可折叠手机平板支架，由托板、支撑板和底座组成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．量得托板长AB＝17cm，支撑板长CD＝12cm，底座长DE＝13cm，托板AB固定在支撑板的端点C处，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动，当∠ACD＝2∠D＝60°时，点A到点D的距离恰好是点C到直线DE的距离的2倍，则BC＝cm．为了观看舒适，把AB绕点C旋转，再将CD绕点D旋转，使点B与点E重合，则此时点A到直线DE的距离为cm．。

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第28章锐角三角函数综合测试题
姓名学号成绩
（祝你取得好成绩）
一、选择题
1. 三角形在正方形网格纸中的位置如图1所示，则sin α的值是（）
Ａ．
34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．45
2．一人乘雪橇沿如图2所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离S （米）与时间t （秒）间的关系式为210S t t =+，若滑到坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为（）Ａ．24米
Ｂ．12米
Ｃ．
Ｄ．6米
3．下列计算错误的是（）
A ．sin 60sin 30sin 30︒-︒=︒
B ．2
2
sin 45cos 451︒+︒= C ．sin 60cos 60cos 60︒︒=
︒ D ．cos30cos30sin 30︒
︒=︒
4．如图3，在ABC ∆中30A ∠=︒
,tan 2
B =
, AC =则AB 的长是( )
A
．3
．2+．5 D ．
92
5．如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点
处．已知8AB =，
10BC =，AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )
Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．45 6．如图5，在直角坐标系中，将矩形OABC 沿OB 对折，使点A
落在1A 处，已知OA =1AB =，则点1A 的坐标是（）Ａ．322⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭，Ｂ．32⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，
Ｃ．32⎛ ⎝⎭
，
Ｄ．12⎛ ⎝⎭
，
7．已知正三角形ABC ，一边上的中线长为a ，则此三角形的边长为( )
图3
α 图1 图2
A D E C
B F 图4
图5
A ．
B ．
3a C
D ．
3
a 8．点()sin60,cos60M -︒︒关于x 轴对称的点的坐标是（）
A ．
12⎫⎪⎪⎝⎭ B ．
12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ C
．12⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭ D ．
12⎛- ⎝⎭
9．在ABC ∆中，A ∠、B ∠都是锐角，且1sin 2A =
，cos 2
B =，则AB
C ∆的形状是 ( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形
D ．不能确定
10．如图6，在等腰直角三角形ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，
D 为AC 上一点，若1
tan 5
DBA ∠=
，则AD 的长为( ) A
．2 C ．1 D
．二、填空题
11．如图7，在坡度为1﹕2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是________米．
12．如图8，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒,D 是直角边AC 上的点，且2AD DB a ==,
15A ∠=︒ ，则BC 边的长为．
13．如图9，在ABC ∆中，90C ∠=,2BC =,1
sin 3
A =
，则AB =______．． 14．如图10，在矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，
若4
tan 3
AEH ∠=，四边形EFGH 的周长为40，则矩形ABCD 的面积为 ______．
15．如图11所示，在高2米、坡角为30︒的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需______
米． 1.732≈,精确到0.1米）
图7
图9 图8
图6
图10
图11 图12
16．如图12所示，ABC ∆中，AB AC =，BD AC ⊥于D ，6BC =，1
2
DC AD =
，则cos C =____．
17．某山路的路面坡度1i =
200m ，升高了______m ． 18．等腰三角形的顶角是120︒，底边上的高为30，则三角形的周长是______． 19．某人沿着山脚到山顶共走了1000m ，他上升的高度为500m ，这个山坡的坡度i 为____．三、解答题 20．计算：
（1）2
2sin30cos60tan 60tan30cos 45+-⋅+︒．（2）2
2sin 45cos30tan 45+- 21．在一次数学活动课上，海桂学校初三数学老师带领学生去测万泉河河宽，如图13所示，某学生在河东岸点A 处观测到河对岸水边有一点C ，测得C 在A 北偏西31︒的方向上，沿河岸向北前行20米到达B 处，测得C 在B 北偏西45︒的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．（参考数值：tan31°≈53，sin31°≈2
1）．
22．在一次公路改造的工作中，工程计划由A 点出发沿正西方向进行，在A 点的南偏西60︒ 方向上有一所学校B ，如图14 ，占地是以 B 为中心方圆100m 的圆形，当工程进行了
200m 后到达C 处，此时B 在C 南偏西30︒的方向上，请根据题中所提供的信息计算并
分析一下，工程若继续进行下去是否会穿越学校．
图14
23．如图15，在嘉积镇某建筑物AC上，挂着“2007年海南岛欢乐节欢迎您”的宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测的仰角为︒
30，再往条幅方向前行20米到达点E 处，看到条幅顶端B，测的仰角为︒
60，求宣传条幅BC的长，（小明的身高不计，结果精确到0.1米）
24．（1）如图16所示，身高相同的甲、乙、丙三人放风筝，各人放出的线分别为300m，250m，200m，线与地面所成的角分别为30︒，45︒，60︒（假设风筝线是拉直的），问三人所放的风筝谁的最高？
（2）如图17，是一座人行天桥的示意图，天桥的高是10米，坡角是45︒，为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面的倾斜角为30︒，若新坡角需留3米的
人行道，问：离原坡底A处11
1.732
≈≈）
图15
图16
图16
图17。