2018年山东省日照市高三上学期期中数学试卷含解析答案(文科)

2017-2018学年山东省日照市高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}，集合B={x|2x＜2}，则集合A∩∁U B=（）A．{x|x≥1}B．{x|x≤1}C．{x|0＜x≤1}D．{x|1≤x＜2}2．（5分）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（）A．B．C．D．3．（5分）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题P是“甲降落在指定范围”，命题q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围内”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q）B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．p∧q 4．（5分）设相量=（2，3），=（﹣1，2），若m+与﹣2垂直，则实数m 等于（）A．﹣ B．C．D．﹣5．（5分）已知函数是奇函数，则实数a的值为（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．06．（5分）若，则“”是“”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件7．（5分）设变量x，y满足约束条件，则z=|x﹣3y|的最大值为（）A．4 B．6 C．8 D．108．（5分）已知曲线C1：y=sinx，，则下列说法正确的是（）A．把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2C．把曲线C1向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线C2D．把曲线C1向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线C29．（5分）两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是（）A．48，49 B．62，63 C．75，76 D．84，8510．（5分）函数（其中e为自然对数的底数）图象的大致形状是（）A． B．C．D．11．（5分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，若{a n}和{}都是等差数列，且公差相等，则a6=（）A．B．C．D．112．（5分）已知函数f（x）=k|x|+2（k∈R），若函数y=|f（x）|+k有四个零点，则实数k的取值范围是（）A．k＜2 B．k＜0 C．﹣2＜k＜0 D．k＞2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）设=．14．（5分）函数的递减区间是．15．（5分）已知正数x，y满足x+y=1，则的最小值为．16．（5分）设集合M={1，2，3，4，5，6}，S1，S2，…，S k都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的S i={a i，b i}，S j={a j，b j}（i≠j，i、j∈{1，2，3，…，k}），都有（min{x，y}表示两个数x，y中的较小者），则k的最大值是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．17．（10分）已知定义域为R的函数是奇函数．（I）求a，b的值；（Ⅱ）若不等式f（kx2）+f（2x﹣1）＞0恒成立，求实数k的取值范围．18．（12分）已知S n为数列{a n}的前n项和，且满足S n﹣2a n=n﹣4．（I）证明{S n﹣n+2}为等比数列；（II）设数列{S n}的前n项和为T n，求T n．19．（12分）△ABC中，已知点D在BC边上，且，AB=3．（Ⅰ）求AD的长；（Ⅱ）求cosC．20．（12分）已知向量=（，﹣），=（2，cos2x）（I）若，试判断a与b能否平行；（Ⅱ）若，求函数f（x）=•的最小值．21．（12分）某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，经过市场调查和测算，2017年化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3﹣x与t+1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．已知每年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其平均每件生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和．则当年生产的化妆品正好能销完．（I）将该企业2017年的利润y（万元）表示为t（万元）的函数；（Ⅱ）该企业2017年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．（利润=销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本=固定费用+生产费用）22．（12分）已知函数（其中e为自然对数的底数）．（I）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当x≥0时，不等式ax2+x+1≤h（x）恒成立，求实数a的最大值．2017-2018学年山东省日照市高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}，集合B={x|2x＜2}，则集合A∩∁U B=（）A．{x|x≥1}B．{x|x≤1}C．{x|0＜x≤1}D．{x|1≤x＜2}【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}，集合B={x|2x＜2}={x|x＜1}，∴集合A∩∁U B={x|1≤x＜2}．故选：D．2．（5分）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（）A．B．C．D．【解答】解：∵已知点A（1，3），B（4，﹣1），∴=（4，﹣1）﹣（1，3）=（3，﹣4），||==5，则与向量同方向的单位向量为=，故选：A．3．（5分）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题P是“甲降落在指定范围”，命题q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围内”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q）B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．p∧q【解答】解：依据题意得￢p：“甲没有降落在指定范围”，￢q：“乙没有降落在指定范围”，因此“至少一位学员没有降落在指定范围”可以表示为（￢p）∨（￢q），故选：A．4．（5分）设相量=（2，3），=（﹣1，2），若m+与﹣2垂直，则实数m 等于（）A．﹣ B．C．D．﹣【解答】解：∵=（2，3），=（﹣1，2），∴m+=（2m﹣1，3m+2），﹣2=（4，﹣1），∵m+与﹣2垂直，∴4（2m﹣1）﹣（3m+2）=0，解得m=，故选：B．5．（5分）已知函数是奇函数，则实数a的值为（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即f（﹣x）+f（x）=0，即ln（+a）+ln（+a）=0，即ln（•）=0，即=1，则a2﹣（a+2）2x2=1﹣x2，即a2=1，且（a+2）2=1，则，得，得a=﹣1，故选：B．6．（5分）若，则“”是“”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：∵，若“xsin2x＜1”，则xsinx＜，若＞1．此时xsinx＜1可能不成立．例如x→，sinx→1，xsinx＞1．由此可知，“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的必要而不充分条件，故，则“”是“”的必要不充分条件故选：A．7．（5分）设变量x，y满足约束条件，则z=|x﹣3y|的最大值为（）A．4 B．6 C．8 D．10【解答】解：由题意作出满足条件的可行域如图中阴影部分，则对于目标函数z=|x﹣3y|，平移直线y=x可知，当直线经过点A（﹣2，2）时，z=|x﹣3y|取得最大值，代值计算可得z max=|﹣2﹣3×2|=8．故选：C．8．（5分）已知曲线C1：y=sinx，，则下列说法正确的是（）A．把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2C．把曲线C1向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线C2D．把曲线C1向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线C2【解答】解：对于A，，对于B，，对于C，，对于D，，，故选：B．9．（5分）两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是（）A．48，49 B．62，63 C．75，76 D．84，85【解答】解：由已知图形中座位的排列顺序，可得：被5除余1的数，和能被5整除的座位号临窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4组座位号，只有D符合条件．故选：D．10．（5分）函数（其中e为自然对数的底数）图象的大致形状是（）A． B．C．D．【解答】解：f（x）=（﹣1）cosx=cosx，f（﹣x）=cos（﹣x）=cosx=﹣f（x）．∴f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A，C；当0＜x＜时，e x＞1，cosx＞0，∴f（x）=cosx＜0，故选：B．11．（5分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，若{a n}和{}都是等差数列，且公差相等，则a6=（）A．B．C．D．1【解答】解：设等差数列{a n}和{}的公差为d，则a n=a1+（n﹣1）d，=+（n﹣1）d，∴==+d，=+2d，平方化为：a 1+d=d2+2d，2a1+3d=4d2+4d，可得：a=d﹣d2，代入a1+d=d2+2d，化为d（2d﹣1）=0，解得d=0或．d=0时，可得a1=0，舍去．∴，a1=．∴a6==．故选：A．12．（5分）已知函数f（x）=k|x|+2（k∈R），若函数y=|f（x）|+k有四个零点，则实数k的取值范围是（）A．k＜2 B．k＜0 C．﹣2＜k＜0 D．k＞2【解答】解：因为函数y=|f（x）|+k有四个零点，即|f（x）|=﹣k有四个根，画图得：﹣2＜k＜0．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）设=．【解答】解：∵，∴f（2）=，f（f（2））=f（）=．故答案为：．14．（5分）函数的递减区间是（﹣∞，1）．【解答】解：自变量x满足x2﹣3x+2＞0，解得x＜1或x＞2，所以，函数f（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（2，+∞）．令u=x2﹣3x+2，则y=log2u，内层函数u=x2﹣3x+2在区间（﹣∞，1）上单调递减，在区间（2，+∞）上单调递增，而外层函数y=log2u为增函数，根据复合函数同增异减的原则可知，函数y=﹣3x+2）的单调递减区间为（﹣∞，1），故答案为：（﹣∞，1）．15．（5分）已知正数x，y满足x+y=1，则的最小值为．【解答】解：正数x，y满足x+y=1，即有（x+2）+（y+1）=4，则=[（x+2）+（y+1）]（）=[5++]≥[5+2]=×（5+4）=，当且仅当x=2y=时，取得最小值．故答案为：．16．（5分）设集合M={1，2，3，4，5，6}，S1，S2，…，S k都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的S i={a i，b i}，S j={a j，b j}（i≠j，i、j∈{1，2，3，…，k}），都有（min{x，y}表示两个数x，y中的较小者），则k的最大值是11．【解答】解：含2个元素的子集有15个，但{1，2}、{2，4}、{3，6}只能取一个；{1，3}、{2，6}只能取一个；{2，3}、{4，6}只能取一个，故满足条件的两个元素的集合有11个．故答案为：11．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．17．（10分）已知定义域为R的函数是奇函数．（I）求a，b的值；（Ⅱ）若不等式f（kx2）+f（2x﹣1）＞0恒成立，求实数k的取值范围．【解答】（1）由于f（x）为R上的奇函数，故f（0）=0，即，解得b=1；又由于f（﹣1）=﹣f（1），即，解得a=1，代入检验，当a=1，b=1时，函数f（x）为奇函数．故a=1，b=1（2）由（1）可知，，故由基本函数法可以判断，f（x）为R上的减函数．由f（kx2）+f（2x﹣1）＞0，等价转化为f（kx2）＞﹣f（2x﹣1），又由奇函数可知﹣f（2x﹣1）=f（1﹣2x），故转化为f（kx2）＞f（1﹣2x）恒成立，由单调性可知，kx2＜1﹣2x恒成立，即kx2+2x﹣1＜0对x∈R上恒成立，故需要满足k＜0且△＜0，解得k＜﹣1．故实数k的取值范围为（﹣∞，﹣1）．18．（12分）已知S n为数列{a n}的前n项和，且满足S n﹣2a n=n﹣4．（I）证明{S n﹣n+2}为等比数列；（II）设数列{S n}的前n项和为T n，求T n．【解答】解：（I）∵S n﹣2a n=n﹣4．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，∴S n﹣2（S n﹣S n﹣1）=n﹣4，化为：S n﹣n+2=2[S n﹣1﹣（n﹣1）+2]，n=1时，a1﹣2a1=1﹣4，解得a1=3，∴S1﹣1+2=4．∴{S n﹣n+2}为等比数列，首项为4，公比为2的等比数列．（Ⅱ）由（I）知：S n﹣n+2=2n+1，可得：S n=2n+1+n﹣2．于是T n=（22+23+……+2n+1）+（1+2+……+n）﹣2n=+﹣2n=2n+2﹣4+．19．（12分）△ABC中，已知点D在BC边上，且，AB=3．（Ⅰ）求AD的长；（Ⅱ）求cosC．【解答】解：（Ⅰ）由得到：AD⊥AC，所以，所以．（2分）在△ABD中，由余弦定理可知，BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cosBAD即AD2﹣8AD+15=0，（4分）解之得AD=5或AD=3，由于AB＞AD，所以AD=3．（6分）（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理可知，，又由，可知（8分）所以（10分）因为，即（12分）20．（12分）已知向量=（，﹣），=（2，cos2x）（I）若，试判断a与b能否平行；（Ⅱ）若，求函数f（x）=•的最小值．【解答】解：（Ⅰ）向量=（，﹣），=（2，cos2x），若与平行，则有=•2，因为x∈（0，]，sinx≠0，所以得cos2x=﹣2，这与|cos2x|≤1相矛盾，故与不能平行．…（6分）（Ⅱ）∵向量=（，﹣），=（2，cos2x），∴f（x）=•====2sinx+，又∵x∈（0，]，∴sinx∈（0，]，∴2sinx+≥2=2，当2sinx=，即sinx=时取等号．故函数f（x）的最小值等于2．…（12分）21．（12分）某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，经过市场调查和测算，2017年化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3﹣x与t+1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．已知每年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其平均每件生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和．则当年生产的化妆品正好能销完．（I）将该企业2017年的利润y（万元）表示为t（万元）的函数；（Ⅱ）该企业2017年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．（利润=销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本=固定费用+生产费用）【解答】解：（Ⅰ）由题意可设3﹣x=，将t=0，x=1代入，得k=2，∴x=3﹣．当年生产x万件时，因为年生产成本=年生产费用+固定费用年生产成本为32x+3=32×（3﹣）+3当年销售x万件时，年销售收入为150%[32×（3﹣）+3]+t，由题意，生产x万件化妆品正好销完，由年利润=销售收入﹣生产成本﹣促销费，得年利润y=150%[32×（3﹣）+3]+t﹣32（3﹣）﹣3﹣t=．（Ⅱ）y==50﹣（+）≤50﹣2=42（万元），当且仅当=即t=7万元时利润最大值为42万元，所以当促销价这为7万元时，年利润最大．22．（12分）已知函数（其中e为自然对数的底数）．（I）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当x≥0时，不等式ax2+x+1≤h（x）恒成立，求实数a的最大值．【解答】解：（Ⅰ）依题意，f（x）=e x﹣x2，f′（x）=e x﹣x，令m（x）=e x﹣x，故m′（x）=e x﹣1，令m′（x）=0，解得x=0，故m（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．故[m（x）]min=m（0）=1，故e x﹣x＞0，即f′（x）＞0，故函数f （x ）在R 上单调递增…（4分） （Ⅱ）令g （x ）=e x ﹣（ax 2+x +1），则g′（x ）=e x ﹣2ax ﹣1，令φ（x ）=e x ﹣2ax ﹣1， φ′（x ）=e x ﹣2a ，（i ）当a ≤时，在x ∈[0，+∞），φ′（x ）≥0， 所以φ（x ）在[0，+∞）上为增函数， φ（x ）≥φ（0）=0，所以g′（x ）≥0，所以g （x ）在[0，+∞）上为增函数，g （x ）≥g （0）=0适合题意； …（8分） （ii ）当a ＞时，φ′（x ）和φ（x ）变化如下表，故函数g′（x ）在（0，ln2a ）上为减函数，g′（x ）＜g′（0）=0． 所以函数g （x ）在（0，ln2a ）上为减函数，g （x ）＜g （0）=0， a ＞，不适合题意．综上，a ≤，所以a 的最大值为．…（12分）赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当n 为奇数时，a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a NaN =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质图象定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<变化对图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。