高中数学人教A版浙江专版必修4课时跟踪检测(十)正弦函数、余弦函数的单调性与最值含解析
【高中教育】高中数学 1.4.1正弦函数、余弦函数的图象课时跟踪检测 新人教A版必修4.doc
高中数学 1.4.1正弦函数、余弦函数的图象课时跟踪检测新人教A版必修41．正弦函数y＝sin x，x∈R的图象的一条对称轴是( )A．x轴B．y轴C．直线x＝π2D．直线x＝π解析：由y＝sin x，x∈R的图象知，直线x＝π2为其一条对称轴．答案：C2．在同一坐标系中，函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象( )A．重合B．形状相同，位置不同C．关于y轴对称D．形状不同，位置不同解析：由诱导公式一：sin(α＋2kπ)＝sin α(k∈Z)，可知y＝sin x在[0,2π]与[2π，4π]上图象形状完全相同，故选B.答案：B3．y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝2交点的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：作出y ＝1＋sin x 在[0,2π]上的图象，可知只有一个交点．答案：B4．要得到y ＝cos x ，x ∈[－2π，0]的图象，只需将y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象向________平移________个单位长度．解析：向左平移2π个单位长度即可． 答案：左 2π5．下列函数：①y ＝sin x －1；②y ＝|sin x |；③y ＝－cos x ；④y ＝cos 2 x ；⑤y ＝1－cos 2 x .其中与函数y ＝sin x 形状完全相同的是________．(填序号)解析：y ＝sin x －1是将y ＝sin x 向下平移1个单位，没改变形状，y ＝－cos x 是作了对称变换，没改变形状，与y ＝sin x 形状相同，∴①③完全相同．而②y ＝|sin x |，④y ＝cos 2 x ＝|cos x |和⑤y ＝1－cos 2 x ＝|sin x |与y ＝sinx 的形状不相同．答案：①③6．函数y ＝2cos x ＋1的定义域是____________．解析：2cos x ＋1≥0，cos x ≥－12，结合图象知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－23π，2k π＋23π，k ∈Z .答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－23π，2k π＋23π，k ∈Z 7．根据函数图象解不等式sin x ＞cos x ，x ∈[0,2π]．解：在同一坐标系中画出函数y ＝sin x 和y ＝cos x 在x ∈[0,2π]上的图象，如图所示．可知，当π4＜x ＜5π4时sin x ＞cos x ， 即不等式的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4.8．函数y ＝cos x ·|tan x |⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜x ＜π2的大致图象是( )解析：y ＝cos x ·|tan x |＝|sin x |，结合正弦函数的图象可知C 正确． 答案：C9．下列选项中是函数y ＝－cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π2的图象上最高点的坐标的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0 B ．(π，1) C ．(2π，1)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2，1 解析：作出函数y ＝－cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π2的图象如图所示：答案：B10．方程x 2＝cos x 的实根个数是________．解析：在同一直角坐标系中画出y ＝x 2和y ＝cos x 的图象，观察交点个数为2.答案：211．求函数f (x )＝lg(1＋2cos x )的定义域．解：由1＋2cos x ＞0得cos x ＞－12，画出y ＝cos x 图象的简图，可得定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋2k π，2π3＋2k π(k ∈Z )． 12．用“五点法”画函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6在[0,6π]上的图象．解：列表如下：13．若函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，求这个封闭图形的面积．解：作图可知：图形S 1与S 2，S 3与S 4都是两个对称图形，有S 1＝S 2，S 3＝S 4，因此函数y ＝2cos x 的图象与直线y ＝2所围成的图形面积，可以等价转化为求矩形OABC的面积．∵OA＝2，OC＝2π，∴S矩形OABC＝2×2π＝4π.∴所求封闭图形的面积为4π.本节内容是在已知三角函数定义的基础上，运用学过的画图象的方法画出正、余弦函数的图象．1．正、余弦曲线在研究正、余弦函数的性质中有着非常重要的应用，是运用数形结合思想解决三角函数问题的基础．2．五点法是画三角函数图象的基本方法，要熟练掌握，与五点法作图有关的问题是高考常考知识点之一．。
人教A版高中数学必修四课时提升作业(十) 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)2 Word版含解析
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课时提升作业(十)
正弦函数、余弦函数的性质(二)
一、选择题(每小题分，共分)
.(·沈阳高一检测)函数，∈(，π)，其单调性是( )
.在(，π)上是增函数，在[π，π)上是减函数
.在，上是增函数，在上是减函数
.在[π，π)上是增函数，在(，π)上是减函数
.在上是增函数，在，上是减函数
【解析】选. 在(，π)上是增函数，在[π，π)上是减函数.
【变式训练】若()在[，]上是增函数，则()在[，]上是( )
.奇函数.偶函数.减函数.增函数
【解析】选.因为()在上为偶函数，
所以根据偶函数的性质可知()在[，]上是减函数.
.(·青岛高一检测)若函数(π)，(π)都是减函数，则的集合是( )
.
.
.
.
【解析】选.因为(π)，其单调减区间为
(∈)，(π)，其单调减区间是[π，ππ](∈)，所以函数(π)与函数(π)都是减函数时的的集合为π≤≤π，∈.
.(·邯郸高一检测)若函数()ω(ω>)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω的值可为( )
【解析】选.由题意，函数在处取得最大值，所以ωπ，即ω
，∈，故选.。
(浙江专版)高中数学课时跟踪检测(十)正弦函数、余弦函数的单调性与最值新人教A版必修4
课时跟踪检测（十） 正弦函数、余弦函数的单调性与最值层级一学业水平达标3 n3 n C. n,D. —, 2 n解析：选 C 由y = |sin x |的图象，易得函数 y = |sin x |的单调递增区间为n 3 nk n, k n + — , k €乙当k = 1时，得n, 为函数y = |sin x |的一个单调递增区间.3. 下列函数中，既为偶函数又在(0 ,n )上单调递增的是()A. y = |cos x |B . y = cos| — x |nxC. y = sin x — —D. y =— sinqn解析：选C y = |cos x |在0, "2上是减函数，排除 A ；nny = cos| — x | = cos| x | 在(0 , n )上是减函数. 排除 B; y = sin x —-^ = — sin — — x =x—cos x 是偶函数，且在（0 ,n ）上单调递增，符合题意； y =— sin?在（0 ,n ）上是单调递减的.n4.函数 y = sin x + ■— , x € R 在（）n nA. — 2，"2上是增函数 B . ［0 ,n ］上是减函数 C. ［ — n, 0］上是减函数D. ［ — n,n ］上是减函数n解析：选B y = sin x + 3 = cos x ,所以在区间［—n, 0］上是增函数，在［0 ,n ］上 是减函数，故1 .函数 f (x ) = — 2sin x + 1, x €n—2， n 的值域是（A. [1,3] C. [ — 3,1]n解析：选 B T x € —~, nB . [ —1,3] D. [ — 1,1] ，二 sin x € [ — 1,1],•••— 2sin x + 1€ [ — 1,3].2.函数y = |sin x |的一个单调递增区间是（ ） A.B .n 3 n 4，~4选B.n n5. 函数f(x) = sin 2x ——在区间0,迈上的最小值为()A.—1D. 0一、，亠兀n n 3 n , n n ,解析：选B •- x€ 0,㊁，•••—- W2X— - ，「当2x —习一刁时，f(x)=sin 2x ——有最小值一 -^.6. ________________________________________ 已知函数y= 3cos(n—x)，则当x = 时，函数取得最大值.解析：y = 3cos( n—x) =—3cos x，当cos x=—1，即x = 2k n + n, k € Z 时，y 有最大值3.答案：2k n + n, k€ Zn 2 n ，十7. y = sin x, x€ =, =—，贝U y 的范围是6 32解析：由正弦函数图象，对于x€,才，当x=^时，y max= 1,当x = -6时，y min1 1=2,从而y€ 2，1 .1答案：2，1%&函数y= sin( x+n )在一y, n上的单调递增区间为___________________ .nx，所以要求y= sin( x+n )在一~^，n上的单调递n n增区间，即求y = sin x在一~，n上的单调递减区间，易知为—，nn答案：~，n9.求下列函数的最大值和最小值.(1) y= 1 - ；sinc n x; (2) y = 3 + 2cos 2x + —3B.C.解析：因为sin( x +n ) =—sin解：⑴•••11 —尹n x > 0，—1 wsinx w 1，•- —1 wsinx w 1.•••当sin x = —1 时，y max= —；当sin x= 1时，ymin=#n(2) —1 < cos 2x + 3 < 1,n•••当cos 2x + — = 1 时，y max= 5 ；n当cos 2x+ "3 =一 1 时，y min = 1.10.比较下列各组数的大小.1.函数y= |sin x| + sin x的值域为()[—2,2] A. [ —1,1]B.C.[—2,0] D.[0,2]解析：选D■/y = |sin x| + sin x2sin x,sin x>0,0, sin x V 0.又，—1 wsinx< 1 ,•y€ [0,2],即函数的值域为［0,2］. 层级二(1)sin竽与11 nsin 帀;(2)cos5 n 16 n丁与COS亍sin解：(1) I函数11 ny= sin x 在-2,n 10 n 11 nn 上单调递减，且—V 17 V 17 Vn,10n• sin >175 n (2)cos一n=cos 2 n—二-=cos —, 3 3316 n 2 nCOS—= cos 2 n ——2n=co k •••函数y = cos x 在[0 ,n ］上单调递减,LT 2 n n 且0 V 厂V "3Vn,n 2 n•cos s<co话,•cos3 5 n 16 n<cos亍应试能力达标2. 函数y= 2sin w x+ ：( w> 0)的周期为n,则其单调递增区间为(, 3 冗，nA. k n —~4-, k n —4 ( k € Z)3 n nB. 2k n —丁，2k n + 丁(k€ Z)4 43 n nC. k n —, k n^ —( k € Z)8 83 n nD. 2k n —三,2k n + y (k€ Z)2 n n n解析：选 C 周期T=n, J. =n, •••3= 2, J. y= 2sin 2x+ .由一；+ 2k n<2 xco 4 2 n n 十 3 n n+ 〒W2k n+h，k € Z, 得k n — W X W k n + 石,k € Z.4 2 8 83. 下列关系式中正确的是（）A. sin 11 °v cos 10 °v sin 168 °B. sin 168 °v sin 11 °v cos 10 °C. sin 11 °v sin 168 °v cos 10 °D. sin 168 °v cos 10 °v sin 11 °解析：选 C sin 168 ° = sin(180 ° —12° ) = sin 12 ° , cos 10 ° = cos(90 ° —80°) =sin 80° .因为正弦函数y= sin x在区间［0,90 ° ］上为增函数，所以sin 11 °v sin 12 v sin 80 °，即卩sin 11 °v sin 168 °v cos 10 ° .n n4. 函数y= 2sin ——x —cos — + x (x € R)的最小值等于()A. —3 B . —2 C.—1 D. —, 5, t n n n解析：选 C •/—x + + x =3 6 2•y= 2sin7tn=2cos x+ —cos x +6 6n=cos x +• y min =—1.n 3 n 4 n 9 n n解析：T < 二-V 示"Vn ，又函数 y = sin x 在 ，n 上单调递减,2551025.函数值sin3n ~5~， sin9 nsin 10从大到小的顺序为_______ （用“〉”连接）.sin3n 54 n 9 n > s r > sin70答案：3 n 4 n 9 n sin5 >sin5 >sin106.函数y= cos x在区间［—n, a］上为增函数，则a的取值范围是 _____________ 解析：••• y = cos x在［—n, 0］上是增函数，在［0 ,n ］上是减函数，只有一nV a W0时满足条件，故a€ ( —n, 0］.答案：(一n, 0］7.设函数f(x) = :'2sin 2x—寸,x € R.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；n 3 n⑵ 求函数f (x)在区间y，-厂上的最小值和最大值，并求出取最值时x的值. 解：⑴最小正周期T= 22L=n,, n n n由2k n—— W2x—4 W2k n + ~( k € Z),“口n 3 n得k n — gW x W k n + _( k € Z),o o•函数f(x)的单调递增区间是k n — -, k n+寻(k € Z).o o7tn n⑵令t = 2x —，则由4 o x w芋可得45 n 3 n•••当t =〒，即x =〒时,, n 3 n ,•••当t =—，即X=-^时,y max= 2 X 1 = : 2&已知函数f (x) = 2a sinn n2x+石+ a+ b的定义域是0,三，值域是［—5,1］，求a,b的值.n解：•••0W x w 2,n•・=W2x +6n2x+7 W1.b =— 5,a = 2,当 a >0 时，解得3a ＋ b = 1,b =— 5.a =— 2,解得 b = 1. — 2, b = 1.当 a <0 时,因此 a = 2, b = 1,3a ＋b =— 5,b =— 5 或 a =。
2019_2020学年高中数学课时跟踪训练10正弦函数、余弦函数的性质(第二课时)新人教A版必修4
课时跟踪训练(十)(时间45分钟) 题型对点练(时间20分钟)题组一 正、余弦函数的单调性1．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的一个单调递减区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，7π8B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4[解析] 令z ＝2x －π4，函数y ＝sin z 的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )．由π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得3π8＋k π≤x ≤7π8＋k π，k ∈Z .令k ＝0，得3π8≤x ≤7π8. [答案] A 2．函数y ＝2－cos x的单调递增区间是( )A ．[2k π＋π，2k π＋2π](k ∈Z )B ．[k π＋π，k π＋2π](k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π2(k ∈Z )D ．[2k π，2k π＋π](k ∈Z )[解析] 令u ＝－cos x ，则y ＝2u.∵y ＝2u在u ∈(－∞，＋∞)时是增函数，∴y ＝2－cos x的增区间即u ＝－cos x 的增区间，又u ＝cos x 的减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z )．故原函数的增区间为[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，选D.[答案] D3．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________． [解析] ∵y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，∴只有－π<a ≤0时，满足条件．故a 的取值范围是(－π，0]．[答案] (－π，0]题组二 三角函数值的大小比较4．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π________sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫493π(填“>”或“<”)．[解析] ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－37π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－6π－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－sin π6<0，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫493π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫16π＋π3＝sin π3>0， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫493π>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π.[答案] <5．cos770°________sin980°(填“>”或“<”)．[解析] ∵cos770°＝cos(720°＋50°)＝cos50°＝sin40°， sin980°＝sin(720°＋250°)＝sin250°＝sin(180°＋70°) ＝sin70°>sin40°. ∴cos770°<sin980°. [答案] <6．sin1，sin2，sin3按从小到大排列的顺序为________________________． [解析] ∵1<π2<2<3<π，sin(π－2)＝sin2，sin(π－3)＝sin3.y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上递增，且0<π－3<1<π－2<π2， ∴sin(π－3)<sin1<sin(π－2)， 即sin3<sin1<sin2. [答案] sin3<sin1<sin2 题组三 正、余弦函数的最值7．函数y ＝1－2cos π2x 的最小值，最大值分别是( )A ．－1,3B ．－1,1C ．0,3D ．0,1[解析] ∵x ∈R ，∴π2x ∈R ，∴y ＝cos π2x 的值域[－1,1]．∴y ＝1－2cos π2x 的最大值为3，最小值－1.[答案] A8．若f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________.[解析] ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，即0≤x ≤π3，且0<ω<1，∴0≤ωx ≤ωπ3<π3. ∵f (x )max ＝2sin ωπ3＝2，∴sinωπ3＝22，ωπ3＝π4，即ω＝34. [答案] 349．函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则b －a 的最大值与最小值之和为________．[解析] 由下图知：b －a 的最大值为13π6－5π6＝4π3， b －a 的最小值为3π2－5π6＝2π3. ∴最大值与最小值之和为4π3＋2π3＝2π.[答案] 2π综合提升练(时间25分钟)一、选择题1．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是( ) A ．y ＝cos|x |B ．y ＝cos|－x |C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2D ．y ＝－sin x2[解析] y ＝cos|x |在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数，排除A ；y ＝cos|－x |＝cos|x |，排除B ；y＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－cos x 是偶函数，且在(0，π)上单调递增，符合题意；y＝－sin x2，在(0，π)上是单调递减的． [答案] C2．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－22C.22D ．0[解析] ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴－π4≤2x －π4≤34π，∴当2x －π4＝－π4时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4有最小值－22. [答案] B3．函数y ＝4cos 2x ＋4cos x －2的值域是( ) A ．[－2,6] B ．[－3,6] C ．[－2,4]D ．[－3,8][解析] 令cos x ＝t ，则t ∈[－1,1]，∴y ＝4t 2＋4t －2＝(2t ＋1)2－3，∴y ∈[－3,6]． [答案] B 二、填空题4．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4图象的一条对称轴方程为________．[解析] 对于函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，令x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋π4，k∈Z ，可得函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象的一条对称轴方程为x ＝π4.[答案] x ＝π45．设函数f (x )＝A ＋B sin x ，当B <0时，f (x )的最大值是32，最小值是－12，则A ＝________，B ＝________.[解析] 根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧A －B ＝32，A ＋B ＝－12.解得A ＝12，B ＝－1.[答案] 12 －1三、解答题6．求函数y ＝1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4，x ∈[－4π，4π]的单调减区间．[解] y ＝1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4＋1.由2k π－π2≤12x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )．解得4k π－π2≤x ≤4k π＋32π(k ∈Z )．∴k ＝0时 ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2，k ＝1时，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π2，11π2， k ＝－1时，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－9π2，－5π2.又∵x ∈[－4π，4π]，∴函数y ＝1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4π，－5π2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π2，4π.7．求下列函数的最大值和最小值． (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2；(2)y ＝－2cos 2x ＋2sin x ＋3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6.[解] (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，由函数图象知，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，sin π2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1. 所以，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值分别为1，－12.(2)y ＝－2(1－sin 2x )＋2sin x ＋3 ＝2sin 2x ＋2sin x ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin x ＋122＋12.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6，∴12≤sin x ≤1. 当sin x ＝1时，y max ＝5； 当sin x ＝12时，y min ＝52.。
新教材高中数学课时跟踪检测四十正弦函数余弦函数的单调性与最值新人教A版必修第一册
正弦函数、余弦函数的单调性与最值层级(一) “四基”落实练 1．下列关系式中正确的是( ) A ．sin 11°<cos 10°<sin 168° B ．sin 168°<sin 11°<cos 10° C ．sin 11°<sin 168°<cos 10° D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°解析：选C 由诱导公式,得cos 10°＝sin 80°,sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°,由正弦函数y ＝sin x 在0°≤x ≤90°上是单调递增的,所以sin 11°<sin 12°<sin 80°,即sin 11°<sin 168°<cos 10°.故选C.2．(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中,以π2为周期且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2上单调递增的是( ) A ．f (x )＝|cos 2x | B ．f (x )＝|sin 2x | C ．f (x )＝cos|x |D ．f (x )＝sin|x |解析：选A 作出函数f (x )＝|cos 2x |的图象如图所示． 由图象可知f (x )＝|cos 2x |的周期为π2,在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2上单调递增．同理可得f (x )＝|sin 2x |的周期为π2,在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2上单调递减,f (x )＝cos|x |的周期为2π.f (x )＝sin|x |不是周期函数,故选A.3．(多选)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2(x ∈R),下面结论正确的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数解析：选ABC f (x )＝－cos x ,其图象关于y 轴对称,是偶函数,所以D 错误,A 、B 、C 正确．4．当－π2≤x ≤π2时,函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3有( )A ．最大值1,最小值－1B ．最大值1,最小值－12C ．最大值2,最小值－2D ．最大值2,最小值－1解析：选D 因为－π2≤x ≤π2,所以－π6≤x ＋π3≤5π6,所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤1,所以－1≤f (x )≤2.5．(多选)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6,下列说法正确的是( )A ．f (x )的最小正周期为2πB ．f (x )的最大值为2C ．f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3上为减函数D.5π6为f (x )的一个零点 解析：选ABCD f (x )的最小正周期为2π,故A 正确；当sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1时,f (x )的最大值为2,故B 正确；因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3,所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2,所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3上为减函数,故C 正确；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋π6＝2sin π＝0,所以5π6为f (x )的一个零点,故D 正确．6．函数y ＝13sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x (x ∈[0,π])的单调递增区间为________．解析：y ＝－13sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3,∵x ∈[0,π],∴－π3≤x －π3≤2π3.要求函数的单调递增区间, 则π2≤x －π3≤2π3,即5π6≤x ≤π. ∴y ＝13sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x (x ∈[0,π])的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π7．已知函数y ＝sin πx3在区间[0,t ]上至少取得2次最大值,则正整数t 的最小值是________．解析：因为T ＝2ππ3＝6.所以在[0,＋∞)第一次出现最大值x ＝64＝32,第二次出现最大值x ＝152,所以t ≥152.又因为t ∈Z,所以t 的最小值为8. 答案：88．求下列函数的值域． (1)y ＝5sin x －1；(2)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3； (3)y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π6＋1,x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π6，π2. 解：(1)因为－1≤sin x ≤1,所以－5≤5sin x ≤5,所以－6≤5sin x －1≤4, 即函数的值域为[－6,4]．(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3,所以2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π3.此时－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤32,所以－2≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤ 3. 故所求函数的值域为[－2,3]． (3)令u ＝3x －π6,因为x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π6，π2, 所以u ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2π3，4π3,因为y ＝cos u 在u ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，0,⎣⎢⎡⎭⎪⎫π，4π3上单调递增,在(0,π)上单调递减,所以－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π6≤1,所以－1≤2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π6＋1≤3,即函数的值域为[－1,3]．层级(二) 能力提升练1．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x (x ∈[0,π])的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6解析：选A 函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝－3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6, 令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2,k ∈Z,求得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6,k ∈Z,可得函数的单调递增区间为k π＋π3,k π＋5π6,k ∈Z,再根据x ∈[0,π],可得函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6.2．函数y ＝3cos 2x －4cos x ＋1,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3的最小值是( )A ．－13B ．154C ．0D ．－14解析：选D 令t ＝cos x ,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3,∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12,y ＝3t 2－4t ＋1＝3⎝⎛⎭⎪⎫t －232－13.∵y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232－13在t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上单调递减, ∴当t ＝12,即x ＝π3时,y min ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫122－4×12＋1＝－14.3．已知ω＞0,函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减,则ω的取值范围是________．解析：依题意得T 2≥π2⇒T ≥π,又ω＞0,所以2πω≥π⇒0＜ω≤2.由π2＜x ＜π得ωπ2＋π3＜ωx ＋π3＜ωπ＋π3, 由f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减得⎩⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π3≥π2，ωπ＋π3≤3π2⇒13≤ω≤76. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，764．设函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4,x ∈R. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，3π4上的最小值和最大值,并求出取最值时x 的值． 解：(1)最小正周期T ＝2π2＝π,由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z),得k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z),∴函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z)．(2)令t ＝2x －π4,则由π8≤x ≤3π4可得0≤t ≤5π4,∴当t ＝5π4,即x ＝3π4时,f (x )min ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－1；当t ＝π2,即x ＝3π8时,f (x )max ＝2×1＝ 2.5．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x ),且在[－4,－3]上是增函数,α,β是锐角三角形的两个内角,试判断f (sin α)与f (cos β)的大小关系．解：由f (x ＋1)＝－f (x ), 得f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x ),所以函数f (x )是周期函数,且2是它的一个周期． 因为函数f (x )是偶函数且在[－4,－3]上是增函数, 所以函数f (x )在[0,1]上是增函数．又α,β是锐角三角形的两个内角,则有α＋β＞π2,即π2＞α＞π2－β＞0, 因为y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上为增函数,所以sin α＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝cos β, 且sin α∈[0,1],cos β∈[0,1], 所以f (sin α)＞f (cos β)．层级(三) 素养培优练1．(多选)若f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋a ,对任意实数x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ,且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－4.则实数a 的值等于( )A ．－1B ．－7C ．1D ．7解析：选AB 因为对任意实数x 都有f ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ,所以直线x ＝π3是函数f (x )图象的一条对称轴．当x ＝π3时,f (x )取得最大值或最小值．所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝3＋a 或－3＋a . 由3＋a ＝－4得a ＝－7；由－3＋a ＝－4得a ＝－1.2．已知f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4,是否存在常数a ,b ∈Q,使得f (x )的值域为{y |－3≤y ≤3－1}？若存在,求出a ,b 的值；若不存在,请说明理由．解：∵π4≤x ≤3π4,∴2π3≤2x ＋π6≤5π3,∴－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤32.假设存在有理数a ,b ,使得f (x )的值域为{y |－3≤y ≤3－1},则当a ＞0时,⎩⎨⎧－3a ＋2a ＋b ＝－3，2a ＋2a ＋b ＝3－1，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3－5(不合题意,舍去)；当a ＝0时,f (x )＝b (不合题意,舍去)；当a ＜0时,⎩⎨⎧2a ＋2a ＋b ＝－3，－3a ＋2a ＋b ＝3－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.故a＝－1,b＝1时,使得f(x)的值域为{y|－3≤y≤3－1}．。
浙江专版高中数学课时跟踪检测四三角函数线新人教A版必修4
——教学资料参考参考范本——浙江专版高中数学课时跟踪检测四三角函数线新人教A版必修4______年______月______日____________________部门层级一学业水平达标1．角和角有相同的( )A．正弦线B．余弦线C．正切线D．不能确定解析：选C 在同一坐标系内作出角和角的三角函数线可知，正弦线及余弦线都相反，而正切线相等．2．已知角α的正切线是长度为单位长度的有向线段，那么角α的终边在( )A．直线y＝x上B．直线y＝－x上C．直线y＝x上或直线y＝－x上D．x轴上或y轴上解析：选C 由角α的正切线是长度为单位长度的有向线段，得tan α＝±1，故角α的终边在直线y＝x上或直线y＝－x上．3．如果MP和OM分别是角α＝的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是( )A．MP<OM<0 B．OM>0>MPC．OM<MP<0 D．MP>0>OM解析：选D ∵是第二象限角，∴sin >0，cos <0，∴MP>0，OM<0，∴MP>0>OM.4．已知角α的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，则α的终边在( )A．第一象限的角平分线上B．第四象限的角平分线上C．第二、第四象限的角平分线上D．第一、第三象限的角平分线上解析：选C 作图(图略)可知角α的终边在直线y＝－x上，∴α的终边在第二、第四象限的角平分线上，故选C.5．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是( )A．sin α＋cos α>1 B．sin α＋cos α＝1C．sin α＋cos α<1 D．不能确定解析：选A 作出α的正弦线和余弦线，由三角形“任意两边之和大于第三边”的性质可知sin α＋cos α>1.6．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为______．解析：若角α的余弦线长度为0，则α的终边落在y轴上，所以它的正弦线的长度为1.答案：17．用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是_________________________．解析：如图，sin 1＝MP，cos 1＝OM.显然MP>OM ，即sin 1>cos 1. 答案：sin 1>cos 18．若θ∈，则sin θ的取值范围是________． 解析：由图可知sin ＝， sin ＝－1，>sin θ>－1， 即sin θ∈.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－1，229．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线． (1)；(2)－.解：(1)因为∈，所以作出角的终边如图(1)所示，交单位圆于点P ，作PM⊥x 轴于点M ，则有向线段MP ＝sin ，有向线段OM ＝cos ，设过A(1,0)垂直于x 轴的直线交OP 的反向延长线于T ，则有向线段AT ＝tan .综上所述，图(1)中的有向线段MP ，OM ，AT 分别为角的正弦线、余弦线、正切线．(2)因为－∈，所以在第三象限内作出－角的终边如图(2)所示．交单位圆于点P′用类似(1)的方法作图，可得图(2)中的有向线段M′P′，OM′，A′T′分别为－角的正弦线、余弦线、正切线．10．求下列函数的定义域．(1)y ＝lg. (2)y ＝.解：(1)为使y ＝lg 有意义，则－sin x>0，所以sin x<，所以角x 终边所在区域如图所示，所以2k π－<x<2k π＋，k∈Z. 所以原函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π－5π4 <x<2k π＋π4，k∈Z . (2)为使y ＝有意义，则3tan x －≥0，所以tan x≥， 所以角x 终边所在区域如图所示， 所以k π＋≤x<k π＋，k∈Z， 所以原函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪k π－π6≤x<k π＋π2，k∈Z. 层级二 应试能力达标1．下列三个命题：①与的正弦线相等；②与的正切线相等； ③与的余弦线相等．其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．0解析：选B 和的正弦线关于y 轴对称，大小相等，方向相同；和两角的终边在同一条直线上，因而所作正切线相等；和的余弦线方向不同．2．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝，则这个三角形是( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形解析：选D 当0<α≤时，由单位圆中的三角函数线知，sin α＋cos α≥1，而sin α＋cos α＝，∴α必为钝角．3．如果<α<，那么下列不等式成立的是( ) A ．cos α<sin α<tan α B ．tan α<sinα<cos αC ．sin α<cos α<tan αD ．cos α<tan α<sin α解析：选A 如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ，很容易地观察出OM<MP<AT ，即cos α<sin α<tan α.4．使sin x≤cos x 成立的x 的一个变化区间是( ) A ． B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2C ．D ．[0，π]解析：选A 如图，画出三角函数线sin x ＝MP ，cos x ＝OM ，由于sin ＝cos ，sin ＝cos ，为使sin x≤cos x 成立， 则由图可得－≤x≤.5．sin ，cos ，tan 从小到大的顺序是________． 解析：由图可知：cos <0，tan >0，sin >0. ∵|MP|<|AT|， ∴sin <tan . 故cos <sin <tan .答案：cos <sin <tan 2π56．若0<α<2π，且sin α<，cos α>.利用三角函数线，得到α的取值范围是________．解析：利用三角函数线得α的终边落在如图所示∠AOB 区域内，所以α的取值范围是∪.答案：∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，2π7．利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围． (1)sin θ<－；(2)－≤cos θ<.解：(1)图①中阴影部分就是满足条件的角θ的范围， 即.(2)图②中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即.8．若0<α<，证明：sin α<α<tan α.证明：如图所示，连接AP，设弧AP的长为l，∵S△OAP<S扇形OAP<S△OAT，∴|OA|·|MP|<l·|OA|<|OA|·|AT|，∴|MP|<l<|AT|，∴sin α<α<tan α.。
2019-2020学年高中数学人教版必修四课时达标检测(十) 正弦函数、余弦函数的性质(二) Word版含答案
课时达标检测（十） 正弦函数、余弦函数的性质(二)一、选择题1．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2的一个对称中心是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0 答案：B2．下列关系式中正确的是( ) A ．sin 11°＜cos 10°＜sin 168°B ．sin 168°＜sin 11°＜cos 10°C ．sin 11°＜sin 168°＜cos 10°D ．sin 168°＜cos 10°＜sin 11°答案：C3．函数y ＝|sin x |＋sin x 的值域为( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,0]D ．[0,2]答案：D 4．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2(x ∈R)，下面结论错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数答案：D5．若函数y ＝f (x )同时满足下列三个性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x ＝π3对称；③在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上是增函数．则y ＝f (x )的解析式可以是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 答案：A二、填空题6．设x ∈(0，π)，则f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最大值是________．答案：547．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的对称轴是________． 答案：x ＝k π＋3π4，k ∈Z 8．函数y ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的单调递增区间是________． 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3＋4k π，8π3＋4k π，k ∈Z 三、解答题9．已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上是增函数，求ω的取值范围． 解：由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2(k ∈Z)得 －π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω(k ∈Z)． ∴f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω (k ∈Z)． 据题意：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z)． 从而有⎩⎪⎨⎪⎧ －π2ω≤－π3，π2ω≥π4，ω>0，解得0<ω≤32. 故ω的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 10．求函数y ＝3－4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6的最大值、最小值及相应的x 值． 解：∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3， 从而－12≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1. ∴当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1，即2x ＋π3＝0， 即x ＝－π6时，y min ＝3－4＝－1. 当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－12，即2x ＋π3＝2π3，即x ＝π6时，y max ＝3－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝5.11．已知f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4，是否存在常数a ，b ∈Q ，使得f (x )的值域为{y |－3≤y ≤3－1}？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．解：∵π4≤x ≤3π4， ∴2π3≤2x ＋π6≤5π3， ∴－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤32. 假设存在这样的有理数a ，b ，则当a >0时，⎩⎨⎧ －3a ＋2a ＋b ＝－3，2a ＋2a ＋b ＝3－1，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3－5(不合题意，舍去)； 当a <0时，⎩⎨⎧ 2a ＋2a ＋b ＝－3，－3a ＋2a ＋b ＝3－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1. 故a ，b 存在，且a ＝－1，b ＝1.。
高中数学浙江专版必修4讲义：第一章 1.4 1.4.2 第二课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值 含答案
第二课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值预习课本P37～40，思考并完成以下问题 (1)正、余弦函数的单调区间分别是什么？(2)正、余弦函数的最值分别是多少？取最值时自变量x 的值是多少？[新知初探]正弦函数、余弦函数的图象和性质 正弦函数余弦函数图象值域[－1,1][－1,1]单调性在⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z)上递增，在⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 (k ∈Z)上递减 在[2k π－π，2k π](k ∈Z)上递增，在[2k π，2k π＋π](k ∈Z)上递减 最值 x ＝π2＋2k π(k ∈Z)时，y max ＝1；x ＝－π2＋2k π(k ∈Z)时，y min ＝－1x ＝2k π(k ∈Z)时，y max ＝1； x ＝2k π＋π(k ∈Z)时，y min ＝－1[点睛] (1)正弦函数、余弦函数有单调区间，但都不是定义域上的单调函数，即正弦函数、余弦函数在整个定义域内不单调．(2)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数．( ) (2)存在x ∈R 满足sin x ＝ 2.( )(3)在区间[0,2π]上，函数y ＝cos x 仅当x ＝0时取得最大值1.( ) 答案：(1)× (2)× (3)×2．在下列区间中，使函数y ＝sin x 为增函数的是( ) A ．[0，π]B ．⎣⎡⎦⎤π2，3π2C ．⎣⎡⎦⎤－π2，π2D ．[π，2π]答案：C3．函数y ＝2－sin x 的最大值及取最大值时x 的值为( ) A ．y max ＝3，x ＝π2B ．y max ＝1，x ＝π2＋2k π(k ∈Z)C ．y max ＝3，x ＝－π2＋2k π(k ∈Z)D ．y max ＝3，x ＝π2＋2k π(k ∈Z)答案：C4．函数y ＝3＋2cos x 的最大值为________． 答案：5正、余弦函数的单调性[典例] 求函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递减区间． [解] ∵y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝－3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， ∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3是增函数时， y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 是减函数． ∵函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z)上是增函数， ∴－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，即－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π(k ∈Z)． ∴函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π(k ∈Z)．与正、余弦函数有关的单调区间的求解技巧(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．(2)确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx ＋φ看作一个整体，可令“z ＝ωx ＋φ”，即通过求y ＝A sin z 的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式将x 的系数转变为正数．[活学活用]求y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调增区间． 解：因为y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 所以令π＋2k π≤2x －π3≤2π＋2k π，k ∈Z ，得2π3＋k π≤x ≤7π6＋k π，k ∈Z. 所以函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调增区间为⎣⎡⎦⎤2π3＋k π，7π6＋k π，k ∈Z.三角函数值的大小比较[典例] (1)sin 250°与sin 260°；(2)cos 15π8与cos 14π9.[解] (1)∵函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤π2，3π2上单调递减，且90°<250°<260°<270°， ∴sin 250°>sin 260°. (2)cos 15π8＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－π8＝cos π8， cos 14π9＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－4π9＝cos 4π9. ∵函数y ＝cos x 在[0，π]上单调递减， 且0<π8<4π9<π，∴cos π8>cos 4π9，∴cos 15π8>cos 14π9.比较三角函数值大小的方法(1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较．(2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上．[活学活用]比较下列各组数的大小．(1)cos ⎝⎛⎭⎫－π8与cos 13π7； (2)sin 194°与cos 160°. 解：(1)cos ⎝⎛⎭⎫－π8＝cos π8， cos 13π7＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－π7＝cos ⎝⎛⎭⎫－π7＝cos π7. ∵0＜π8＜π7＜π，且y ＝cos x 在(0，π)上单调递减，∴cos π8＞cos π7，即cos ⎝⎛⎭⎫－π8＞cos 13π7. (2)sin 194°＝sin (180°＋14°)＝－sin 14°， cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°. ∵0°＜14°＜70°＜90°且y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增， ∴sin 70°＞sin 14°，即－sin 14°＞－sin 70°. 故sin 194°＞cos 160°.正、余弦函数的最值1．若y ＝a sin x ＋b 的最大值为3，最小值为1，则ab ＝________.解析：当a >0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝3，－a ＋b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.当a <0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，－a ＋b ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.答案：±2题点二：形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b 型2．求函数y ＝3－4cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π6的最大、最小值及相应的x 值． 解：因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π6， 所以2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， 从而－12≤cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1. 所以当cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝1，即2x ＋π3＝0，x ＝－π6时，y min ＝3－4＝－1. 当cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－12，即2x ＋π3＝2π3，x ＝π6时，y max ＝3－4×⎝⎛⎭⎫－12＝5.综上所述，当x ＝－π6时，y min ＝－1；当x ＝π6时，y max ＝5.题点三：形如y ＝A sin 2x ＋B sin x ＋C 或y ＝A cos 2x ＋B cos x ＋C 型 3．求函数y ＝3－4sin x －4cos 2x 的值域． 解：y ＝3－4sin x －4cos 2x ＝3－4sin x －4(1－sin 2x ) ＝4sin 2x －4sin x －1， 令t ＝sin x ，则－1≤t ≤1.∴y ＝4t 2－4t －1＝4⎝⎛⎭⎫t －122－2(－1≤t ≤1)． ∴当t ＝12时，y min ＝－2，当t ＝－1时，y max ＝7.即函数y ＝3－4sin x －4cos 2x 的值域为[－2,7]．三角函数最值问题的三种常见类型及求解方法(1)形如y ＝a sin x (或y ＝a cos x )型，可利用正弦函数，余弦函数的有界性，注意对a 正负的讨论．(2)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b )型，可先由定义域求得ωx ＋φ的范围，然后求得sin(ωx ＋φ)(或cos(ωx ＋φ))的范围，最后求得最值．(3)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)型，可利用换元思想，设t ＝sin x ，转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 求最值．t 的范围需要根据定义域来确定．层级一 学业水平达标1．函数f (x )＝－2sin x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π的值域是( ) A ．[1,3] B ．[－1,3] C ．[－3,1]D ．[－1,1]解析：选B ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π，∴sin x ∈[－1,1]， ∴－2sin x ＋1∈[－1,3]．2．函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间是( )A ．⎝⎛⎭⎫－π4，π4B ．⎝⎛⎭⎫π4，3π4 C ．⎝⎛⎭⎫π，3π2 D ．⎝⎛⎭⎫3π2，2π 解析：选C 由y ＝|sin x |的图象，易得函数y ＝|sin x |的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝1时，得⎝⎛⎭⎫π，3π2为函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间． 3．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是( ) A ．y ＝|cos x | B ．y ＝cos|－x | C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2 D ．y ＝－sin x2解析：选C y ＝|cos x |在⎝⎛⎭⎫0，π2上是减函数，排除A ； y ＝cos|－x |＝cos|x |在(0，π)上是减函数．排除B ；y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－cos x 是偶函数，且在(0，π)上单调递增，符合题意；y ＝－sin x2在(0，π)上是单调递减的．4．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，x ∈R 在( ) A ．⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数 B ．[0，π]上是减函数 C ．[－π，0]上是减函数D ．[－π，π]上是减函数解析：选B y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x ，所以在区间[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，故选B.5．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－22C ．22D ．0解析：选B ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴－π4≤2x －π4≤3π4，∴当2x －π4＝－π4时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4有最小值－22. 6．已知函数y ＝3cos(π－x )，则当x ＝________时，函数取得最大值．解析：y ＝3cos(π－x )＝－3cos x ，当cos x ＝－1，即x ＝2k π＋π，k ∈Z 时，y 有最大值3.答案：2k π＋π，k ∈Z7．y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，则y 的范围是________．解析：由正弦函数图象，对于x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，当x ＝π2时，y max ＝1，当x ＝π6时，y min ＝12，从而y ∈⎣⎡⎦⎤12，1.答案：⎣⎡⎦⎤12，18．函数y ＝sin(x ＋π)在⎣⎡⎦⎤－π2，π上的单调递增区间为________． 解析：因为sin(x ＋π)＝－sin x ，所以要求y ＝sin(x ＋π)在⎣⎡⎦⎤－π2，π上的单调递增区间，即求y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，π上的单调递减区间，易知为⎣⎡⎦⎤π2，π. 答案：⎣⎡⎦⎤π2，π9．求下列函数的最大值和最小值． (1)y ＝1－12sin x ；(2)y ＝3＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 解：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧1－12sin x ≥0，－1≤sin x ≤1，∴－1≤sin x ≤1.∴当sin x ＝－1时，y max ＝62； 当sin x ＝1时，y min ＝22. (2)∵－1≤cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1， ∴当cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝1时，y max ＝5； 当cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－1时，y min ＝1. 10．比较下列各组数的大小． (1)sin10π17与sin 11π17；(2)cos 5π3与cos 16π9. 解：(1)∵函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤π2，π上单调递减，且π2＜10π17＜11π17＜π，∴sin 10π17＞sin 11π17. (2)cos 5π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－π3＝cos π3， cos 16π9＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－2π9＝cos 2π9. ∵函数y ＝cos x 在[0，π]上单调递减，且0＜2π9＜π3＜π，∴cos π3<cos 2π9，∴cos 5π3<cos 16π9.层级二 应试能力达标1．函数y ＝|sin x |＋sin x 的值域为( ) A ．[－1,1] B ．[－2,2] C ．[－2,0]D ．[0,2]解析：选D ∵y ＝|sin x |＋sin x＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ，sin x ≥0，0， sin x ＜0. 又∵－1≤sin x ≤1，∴y ∈[0,2]， 即函数的值域为[0,2]．2．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω＞0)的周期为π，则其单调递增区间为( ) A ．⎣⎡⎦⎤k π－3π4，k π＋π4(k ∈Z) B ．⎣⎡⎦⎤2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z) C ．⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z) D ．⎣⎡⎦⎤2k π－3π8，2k π＋π8(k ∈Z) 解析：选C 周期T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.3．下列关系式中正确的是( ) A ．sin 11°＜cos 10°＜sin 168° B ．sin 168°＜sin 11°＜cos 10° C ．sin 11°＜sin 168°＜cos 10° D ．sin 168°＜cos 10°＜sin 11°解析：选C sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝cos(90°－80°)＝sin 80°.因为正弦函数y ＝sin x 在区间[0,90°]上为增函数，所以sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，即sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.4．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－x －cos ⎝⎛⎭⎫π6＋x (x ∈R)的最小值等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．－ 5解析：选C ∵⎝⎛⎭⎫π3－x ＋⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝π2， ∴y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6＋x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，∴y min ＝－1. 5．函数值sin 3π5，sin 4π5，sin 9π10从大到小的顺序为________(用“＞”连接)．解析：∵π2＜3π5＜4π5＜9π10＜π，又函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤π2，π上单调递减，∴sin 3π5＞sin 4π5＞sin 9π10. 答案：sin 3π5＞sin 4π5＞sin 9π106．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________． 解析：∵y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数， ∴只有－π＜a ≤0时满足条件，故a ∈(－π，0]． 答案：(－π，0]7．设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，x ∈R. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π8，3π4上的最小值和最大值，并求出取最值时x 的值． 解：(1)最小正周期T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z)，∴函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z)． (2)令t ＝2x －π4，则由π8≤x ≤3π4可得0≤t ≤5π4，∴当t ＝5π4，即x ＝3π4时，y min ＝2×⎝⎛⎭⎫－22＝－1，∴当t ＝π2，即x ＝3π8时，y max ＝2×1＝ 2.8．已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋b 的定义域是⎣⎡⎦⎤0，π2，值域是[－5,1]，求a ，b 的值．解：∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6， ∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1. 当a >0时，⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－5，3a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－5.当a <0时，⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，3a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1.因此a ＝2，b ＝－5或a ＝－2，b ＝1.。
高中数学人教A版浙江专版必修4课时跟踪检测(九)正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性含解析
课时跟踪检测（九） 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性层级一 学业水平达标1．函数f (x )＝sin(－x )的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数解析：选A 由于x ∈R ，且f (－x )＝sin x ＝－sin(－x )＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数．2．函数y ＝－x cos x 的部分图象是下图中的( )解析：选D 因为函数y ＝－x cos x 是奇函数，图象关于原点对称，所以排除A ，C ；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，y ＝－x cos x ＜0，故排除B. 3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx －π2－1，则下列命题正确的是( ) A ．f (x )是周期为1的奇函数 B ．f (x )是周期为2的偶函数 C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数 D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数解析：选B f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx －π2－1＝－cos πx －1，从而函数为偶函数，且T ＝2ππ＝2. 4．函数y ＝4sin(2x ＋π)的图象关于( ) A ．x 轴对称 B ．原点对称 C ．y 轴对称D ．直线x ＝π2对称解析：选B y ＝4sin(2x ＋π)＝－4sin 2x ，奇函数图象关于原点对称． 5．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫－x 2＋π2的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．即是奇函数也是偶函数解析：选A cos ⎝⎛⎭⎫－x 2＋π2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x 2＝sin x2，故为奇函数．6．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的周期为________． 解析：T ＝2π12＝4π.答案：4π7．函数ƒ(x )是以2为周期的函数，且ƒ(2)＝3，则ƒ(6)＝________. 解析：∵函数ƒ(x )是以2为周期的函数，且ƒ(2)＝3， ∴ƒ(6)＝ƒ(2×2＋2)＝ƒ(2)＝3. 答案：38．函数ƒ(x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为2π3，则ƒ(π)＝________. 解析：由已知2πω＝2π3得ω＝3，∴ƒ(x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫3x －π3，∴ƒ(π)＝3cos ⎝⎛⎭⎫3π－π3 ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π－π3＝－3cos π3＝－32. 答案：－329．判断下列函数的奇偶性． (1)ƒ(x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x cos(π＋x )； (2)ƒ(x )＝1＋sin x ＋1－sin x . 解：(1)x ∈R ，ƒ(x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x cos(π＋x ) ＝－sin 2x ·(－cos x )＝sin 2x cos x . ∴ƒ(－x )＝sin(－2x )cos(－x ) ＝－sin 2x cos x ＝－ƒ(x )． ∴该函数ƒ(x )是奇函数． (2)对任意x ∈R ，－1≤sin x ≤1， ∴1＋sin x ≥0,1－sin x ≥0.∴ƒ(x )＝1＋sin x ＋1－sin x 的定义 域为R.∵ƒ(－x )＝1＋sin (－x )＋1－sin (－x ) ＝1－sin x ＋1＋sin x ＝ƒ(x )， ∴该函数是偶函数．10．已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |，(1)画出函数的简图；(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期． 解：(1)y ＝12sin x ＋12|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，0，x ∈[2k π－π，2k π](k ∈Z )， 图象如图所示：(2)由图象知该函数是周期函数，且周期是2π.层级二 应试能力达标1．下列函数中最小正周期为π且为偶函数的是( ) A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2 解析：选B 对于A ，y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝sin 2x 是奇函数；对于B ，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x 是偶函数，且最小正周期T ＝2π2＝π；对于C ，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x 是偶函数，但最小正周期T ＝2π；对于D ，y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2＝sin x 是奇函数，故选B. 2．函数ƒ(x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋15π2是( ) A ．周期为3π的偶函数 B ．周期为2π的偶函数 C ．周期为3π的奇函数D ．周期为4π3的偶函数 解析：选A ∵ƒ(x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋3π2 ＝－3cos 23x ，∴ƒ(x )为偶函数，且T ＝2π23＝3π，故选A.3．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫k 4x ＋π3(k >0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是( ) A ．10 B ．11 C ．12D ．13解析：选D ∵T ＝2πk 4＝8πk ≤2，∴k ≥4π， 又k ∈Z ，∴正整数k 的最小值为13.4．函数ƒ(x )＝sin(2x ＋φ)为R 上的奇函数，则φ的值可以是( ) A ．π4B ．π2C ．πD ．3π2解析：选C 要使函数ƒ(x )＝sin(2x ＋φ)为R 上的奇函数，需φ＝k π，k ∈Z.故选C. 5．若函数f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π2，且满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π2≤x ＜0，sin x ，0≤x ＜π，则f ⎝⎛⎭⎫－15π4＝________.解析：∵T ＝3π2，∴f ⎝⎛⎭⎫－15π4＝f ⎝⎛⎭⎫－15π4＋3π2×3 ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4＝sin 3π4＝22. 答案：226．函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin x2的最小正周期是________． 解析：∵y ＝sin x 2的最小正周期为T ＝4π，而y ＝⎪⎪⎪⎪sin x 2的图象是把y ＝sin x2的图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，∴y ＝⎪⎪⎪⎪sin x2的最小正周期为T ＝2π. 答案：2π7．已知ƒ(x )是以π为周期的偶函数，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，ƒ(x )＝1－sin x ，当x ∈⎣⎡⎦⎤5π2，3π时，求ƒ(x )的解析式．解：x ∈⎣⎡⎦⎤5π2，3π时，3π－x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，ƒ(x )＝1－sin x ，所以ƒ(3π－x )＝1－sin(3π－x )＝1－sin x ．又ƒ(x )是以π为周期的偶函数，所以ƒ(3π－x )＝ƒ(－x )＝ƒ(x )，所以ƒ(x )的解析式为ƒ(x )＝1－sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤5π2，3π.8．已知函数ƒ(x)对于任意实数x满足条件ƒ(x＋2)＝－1ƒ(x)(ƒ(x)≠0)．(1)求证：函数ƒ(x)是周期函数．(2)若ƒ(1)＝－5，求ƒ(ƒ(5))的值．解：(1)证明：∵ƒ(x＋2)＝－1ƒ(x)，∴ƒ(x＋4)＝－1ƒ(x＋2)＝－1－1ƒ(x)＝ƒ(x)，∴ƒ(x)是周期函数，4就是它的一个周期．(2)∵4是ƒ(x)的一个周期．∴ƒ(5)＝ƒ(1)＝－5，∴ƒ(ƒ(5))＝ƒ(－5)＝ƒ(－1)＝－1ƒ(－1＋2)＝－1ƒ(1)＝15.。
高中数学 课时跟踪检测(十)正弦函数、余弦函数的单调
课时跟踪检测（十） 正弦函数、余弦函数的单调性与最值层级一 学业水平达标1．函数f (x )＝－2sin x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π的值域是( ) A ．[1,3]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．[－1,1]解析：选B ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π，∴sin x ∈[－1,1]， ∴－2sin x ＋1∈[－1,3]．2．函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π 解析：选 C 由y ＝|sin x |的图象，易得函数y ＝|sin x |的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝1时，得⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2为函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间． 3．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是( )A ．y ＝|cos x |B ．y ＝cos|－x |C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2D ．y ＝－sin x 2 解析：选C y ＝|cos x |在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数，排除A ； y ＝cos|－x |＝cos|x |在(0，π)上是减函数．排除B ；y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－cos x 是偶函数，且在(0，π)上单调递增，符合题意；y ＝－sin x 2在(0，π)上是单调递减的． 4．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，x ∈R 在( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数 B ．[0，π]上是减函数 C ．[－π，0]上是减函数 D ．[－π，π]上是减函数解析：选B y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x ，所以在区间[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，故选B.5．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1B ．－22C ．22D ．0解析：选 B ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴－π4≤2x －π4≤3π4，∴当2x －π4＝－π4时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4有最小值－22. 6．已知函数y ＝3cos(π－x )，则当x ＝________时，函数取得最大值．解析：y ＝3cos(π－x )＝－3cos x ，当cos x ＝－1，即x ＝2k π＋π，k ∈Z 时，y 有最大值3.答案：2k π＋π，k ∈Z7．y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，则y 的范围是________． 解析：由正弦函数图象，对于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，当x ＝π2时，y max ＝1，当x ＝π6时，y min ＝12，从而y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 8．函数y ＝sin(x ＋π)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的单调递增区间为________． 解析：因为sin(x ＋π)＝－sin x ，所以要求y ＝sin(x ＋π)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的单调递增区间，即求y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的单调递减区间，易知为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π 9．求下列函数的最大值和最小值． (1)y ＝1－12sin x ；(2)y ＝3＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 解：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧ 1－12sin x ≥0，－1≤sin x ≤1，∴－1≤sin x ≤1.∴当sin x ＝－1时，y max ＝62； 当sin x ＝1时，y min ＝22. (2)∵－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1， ∴当cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时，y max ＝5； 当cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－1时，y min ＝1. 10．比较下列各组数的大小．(1)sin 10π17与sin 11π17；(2)cos 5π3与cos 16π9. 解：(1)∵函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递减，且π2＜10π17＜11π17＜π，∴sin 10π17＞sin 11π17. (2)cos 5π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π－π3＝cos π3， cos 16π9＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π－2π9＝cos 2π9. ∵函数y ＝cos x 在[0，π]上单调递减，且0＜2π9＜π3＜π， ∴cos π3<cos 2π9，∴cos 5π3<cos 16π9. 层级二 应试能力达标1．函数y ＝|sin x |＋sin x 的值域为( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,0]D ．[0,2] 解析：选D ∵y ＝|sin x |＋sin x＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2sin x ，sin x ≥0，0， sin x ＜0.又∵－1≤sin x ≤1，∴y ∈[0,2]，即函数的值域为[0,2]．2．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)的周期为π，则其单调递增区间为( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π4，k π＋π4(k ∈Z) B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z) C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z) D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π8，2k π＋π8(k ∈Z)解析：选C 周期T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z. 3．下列关系式中正确的是( )A ．sin 11°＜cos 10°＜sin 168°B ．sin 168°＜sin 11°＜cos 10°C ．sin 11°＜sin 168°＜cos 10°D ．sin 168°＜cos 10°＜sin 11°解析：选C sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝cos(90°－80°)＝sin 80°.因为正弦函数y ＝sin x 在区间[0,90°]上为增函数，所以sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，即sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.4．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x (x ∈R)的最小值等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．－ 5解析：选C ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝π2， ∴y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6 ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∴y min ＝－1. 5．函数值sin 3π5，sin 4π5，sin 9π10从大到小的顺序为________(用“＞”连接)． 解析：∵π2＜3π5＜4π5＜9π10＜π，又函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递减，∴sin 3π5＞sin 4π5＞sin 9π10. 答案：sin 3π5＞sin 4π5＞sin 9π10 6．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________． 解析：∵y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，∴只有－π＜a ≤0时满足条件，故a ∈(－π，0]．答案：(－π，0]7．设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，x ∈R. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，3π4上的最小值和最大值，并求出取最值时x 的值． 解：(1)最小正周期T ＝2π2＝π， 由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z)， 得k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z)， ∴函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z)． (2)令t ＝2x －π4，则由π8≤x ≤3π4可得0≤t ≤5π4， ∴当t ＝5π4，即x ＝3π4时，y min ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－1， ∴当t ＝π2，即x ＝3π8时，y max ＝2×1＝ 2.8．已知函数f (x )＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋b 的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，值域是[－5,1]，求a ，b 的值．解：∵0≤x ≤π2， ∴π6≤2x ＋π6≤7π6， ∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1.当a >0时，⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－5，3a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－5. 当a <0时，⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，3a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝1.因此a ＝2，b ＝－5或a ＝－2，b ＝1.。
人教A版精编高中数学必修4课时作业10正弦函数、余弦函数的性质(二) Word版含答案
课时作业10.正弦函数、余弦函数的性质(二)时间：45分钟..分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象关于直线x ＝π8对称，则φ可能是(..)A.π2 B ．－π4 C.3π4D.π4解析：由题意，当x ＝π8时， f (x )＝sin(2×π8＋φ)＝±1， 故π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )， 解得φ＝k π＋π4(k ∈Z )．当k ＝0时，φ＝π4，故φ可能是π4. 答案：D2．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是(..)A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 解析：由0≤x ≤π2，得π6≤x ＋π6≤2π3，∴－12≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32，故选B.答案：B3．函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则b －a 的最大值和最小值之和等于(..)A.4π3B.8π3 C ．2π D ．4π解析：如图，当x ∈[a 1，b ]时，值域为[－1，12]，且b －a 最 大．当x ∈[a 2，b ]时，值域为[－1，12]，且b －a 最小．∴最大值与最小值之和为 (b －a 1)＋(b －a 2)＝2b －(a 1＋a 2) ＝2×π6＋π2＋7π6＝2π. 答案：C4．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的周期为π，则其单调递增区间为(..)A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π4，k π＋π4(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z )C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π8，2k π＋π8(k ∈Z ) 解析：周期T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2. ∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－38π≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 答案：C5．同时具有性质：“①最小周期为π；②图象关于直线x ＝π3对称；③在[－π6，π6]上是增函数”的一个函数为(..)A ．y ＝sin(x 2＋π6) B ．y ＝cos(2x ＋π3) C ．y ＝cos(2x －π6)D ．y ＝sin(2x －π6)解析：本题采用验证法，由周期性排除A ，由对称性排除C ，由单调性可排除B.答案：D6．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0) 在区间[0，π3]上单调递增，在区间[π3，π2]上单调递减，则ω＝(..)A ．3B ．2 C.32D.23解析：本题考查三角函数的单调性． 因为当0≤ωx ≤π2时，函数f (x )是增函数， 当π2≤ωx ≤π时，函数f (x )为减函数， 即当0≤x ≤π2ω时，函数f (x )为增函数， 当π2ω≤x ≤πω时，函数f (x )为减函数， 所以π2ω＝π3，所以ω＝32. 答案：C二、填空题(每小题8分，共计24分)7．比较cos0，cos 12，cos30°，cos1，cosπ的大小为________． 解析：∵0<12<π6<1<π，而y ＝cos x 在区间[0，π]上是减函数， ∴cos0>cos 12>cos30°>cos1>cosπ. 答案：cos0>cos 12>cos30°>cos1>cosπ8．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．解析：x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，－12≤sin x ≤1，y ＝2sin 2x －sin x ＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －142＋78，当sin x ＝14时，y min ＝78；当sin x ＝1或－12时， y max ＝2.答案：78.29．若函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在[0，π4]上单调递增，且在[0，π4]上的最大值是3，则ω等于________．解析：由已知，得2sin ωπ4＝3，且0<ωπ4<π2， 解得ω＝43. 答案：43三、解答题(共计40分，其中10题10分，11、12题各15分) 10．已知函数f (x )＝2cos(π3－2x )．(1)若f (x )＝1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4，求x 的值；(2)求f (x )的单调增区间． 解：(1)根据题意cos(π3－2x )＝12， 因为π3－2x ＝2k π±π3(k ∈Z )，而x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4，故x ＝0.(2)令2n π≤π3－2x ≤2n π＋π(其中n ∈Z )， 解得－n π－π3≤x ≤－n π＋π6(其中n ∈Z )， 即k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，从而f (x )的单调增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )．11．已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间．(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 值． 解：(1)令2k π－π≤3x ＋π4≤2k π(k ∈Z )， 解得2k π3－5π12≤x ≤2k π3－π12(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π3－5π12，2k π3－π12(k ∈Z )． (2)当3x ＋π4＝2k π－π(k ∈Z )时，f (x )取最小值－2. 即x ＝2k π3－5π12(k ∈Z )时，f (x )取最小值－2.12．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数且|φ|<π，若f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立，且f (π2)>f (π)，求f (x )的单调递增区间．解：由f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立知， 2×π6＋φ＝2k π±π2(k ∈Z )， 得到φ＝2k π＋π6或φ＝2k π－5π6，代入f (x )并由f (π2)>f (π)检验得，φ的取值为－5π6， 所以由2k π－π2≤2x －5π6≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得f (x )的单调递增区间是[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )．。
人教版高中数学必修四浙江专用练习：课时跟踪检测(十) 正弦函数、余弦函数的单调性与最值
课时跟踪检测（十） 正弦函数、余弦函数的单调性与最值A 级——学考水平达标1．函数y ＝4sin x ，x ∈[－π，π]的单调性是( ) A ．在[－π，0]上是增加的，在[0，π]上是减少的B ．在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增加的，在⎣⎡⎦⎤－π，－π2和⎣⎡⎦⎤π2，π上是减少的 C ．在[0，π]上是增加的，在[－π，0]上是减少的D ．在⎣⎡⎦⎤－π，－π2∪⎣⎡⎦⎤π2，π上是增加的，在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是减少的 解析：选B 由正弦函数y ＝4sin x ，x ∈[－π，π]的图像，可知它在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增加的，在⎣⎡⎦⎤－π，－π2和⎣⎡⎦⎤π2，π上是减少的． 2．使y ＝sin x 和y ＝cos x 均为减函数的一个区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，π2 B.⎝⎛⎭⎫π2，π C.⎝⎛⎭⎫π，3π2 D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π 解析：选B 由y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象知均为减函数的一个区间是⎝⎛⎭⎫π2，π. 3．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是( ) A ．y ＝|cos x | B ．y ＝cos|－x | C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2 D ．y ＝－sin x2解析：选C y ＝|cos x |在⎝⎛⎭⎫0，π2上是减函数，排除A ； y ＝cos|－x |＝cos|x |在(0，π)上是减函数，排除B ；y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2 －x ＝－cos x 是偶函数，且在(0，π)上单调递增，符合题意；y ＝－sin x2在(0，π)上是减函数．4.函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( ) A ．[－1,1] B.⎣⎡⎦⎤－54，－1 C.⎣⎡⎦⎤－54，1 D.⎣⎡⎦⎤－1，54 解析：选C y ＝sin 2x ＋sin x －1＝⎝⎛⎭⎫sin x ＋122－54，当sin x ＝－12时，y min ＝－54；当sin x ＝1时，y max ＝1.即y ∈⎣⎡⎦⎤－54，1.5．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－22C.22D ．0解析：选B ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴－π4≤2x －π4≤3π4，∴当2x －π4＝－π4时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4有最小值－22. 6．已知函数y ＝3cos(π－x )，则当x ＝________时，函数取得最大值． 解析：y ＝3cos(π－x )＝－3cos x ，当cos x ＝－1， 即x ＝2k π＋π，k ∈Z 时，y 有最大值3. 答案：2k π＋π，k ∈Z7．函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3的值域为________．解析：由正弦函数图象，对于x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，当x ＝π2时，y max ＝1，当x ＝π6时，y min ＝12，从而y ∈⎣⎡⎦⎤12，1. 答案：⎣⎡⎦⎤12，1 8．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π的单调递减区间为________． 解析：y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4， 由2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z)，得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z)．所以函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z)，因为x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，所以函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π2，5π8.答案：⎣⎡⎦⎤π2，5π89．求函数y ＝cos 2x ＋4sin x 的最大值和最小值，及取到最大值和最小值时的x 的取值集合．解：函数y ＝cos 2x ＋4sin x ＝1－sin 2x ＋4sin x ＝－sin 2x ＋4sin x ＋1＝－(sin x －2)2＋5. ∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝1，即x ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，y max ＝4；当sin x ＝－1，即x ＝2k π－π2，k ∈Z 时，y min ＝－4.∴y max ＝4，此时x 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝2k π＋π2，k ∈Z ； y min＝－4，此时x 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝2k π－π2，k ∈Z . 10．求下列函数的单调递增区间． (1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3；(2)y ＝log 12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 解：(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 由π2＋2k π≤2x －π3≤3π2＋2k π(k ∈Z)， 得5π12＋k π≤x ≤11π12＋k π(k ∈Z)， 故所求函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤5π12＋k π，11π12＋k π(k ∈Z)． (2)由对数函数的定义域和复合函数的单调性， 可知⎩⎨⎧sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4>0，2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，解得2k π＋π2≤2x ＋π4＜2k π＋π(k ∈Z)，即k π＋π8≤x ＜k π＋3π8(k ∈Z)，故所求函数的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫k π＋π8，k π＋3π8(k ∈Z)． B 级——高考能力达标1．函数y ＝|sin x |＋sin x 的值域为( ) A ．[－1,1] B ．[－2,2] C ．[－2,0]D ．[0,2]解析：选D ∵y ＝|sin x |＋sin x＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ，sin x ≥0，0， sin x ＜0.又∵－1≤sin x ≤1，∴y ∈[0,2]， 即函数的值域为[0,2]．2．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω＞0)的周期为π，则其单调递增区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤k π－3π4，k π＋π4(k ∈Z) B.⎣⎡⎦⎤2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z) C.⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z) D.⎣⎡⎦⎤2k π－3π8，2k π＋π8(k ∈Z) 解析：选C ∵周期T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z. 3．函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，则b －a 的最大值和最小值之和等于( )A.4π3 B.8π3 C ．2πD ．4π解析：选C 如图，当x ∈[a 1，b ]时，值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，且b －a 最大．当x ∈[a 2，b ]时，值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，且b －a 最小．∴最大值与最小值之和为(b －a 1)＋(b －a 2)＝2b －(a 1＋a 2)＝2×π6＋π2＋7π6＝2π.4．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )A.23 B.32 C ．2D ．3解析：选B 由x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4，得ωx ∈⎣⎡⎦⎤－π3ω，π4ω，要使函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π3，π4上取得最小值－2，则－π3ω≤－π2或π4ω≥3π2，得ω≥32，故ω的最小值为32.5．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为________． 解析：由0≤x ≤π2，得－π6≤2x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1，即－32≤3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤3，所以f (x )∈⎣⎡⎦⎤－32，3. 答案：⎣⎡⎦⎤－32，3 6．函数y ＝2＋cos x2－cos x的最大值为________．解析：由y ＝2＋cos x 2－cos x ，得y (2－cos x )＝2＋cos x ，即cos x ＝2y －2y ＋1(y ≠－1)，因为－1≤cosx ≤1，所以－1≤2y －2y ＋1≤1，解得13≤y ≤3，所以函数y ＝2＋cos x 2－cos x的最大值为3.答案：37．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (1)求函数f (x )图象的对称轴方程； (2)解不等式：f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12≥32； (3)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π2上的值域． 解：(1)由2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π3(k ∈Z)．∴函数图象的对称轴方程为x ＝k π2＋π3(k ∈Z)．(2)由f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12＝sin 2x ≥32， 得2k π＋π3≤2x ≤2k π＋2π3，k ∈Z ，解得k π＋π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，故不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π＋π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z . (3)∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π2，∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π3，5π6. ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减．∴当x ＝π3时，f (x )取最大值1.又∵f ⎝⎛⎭⎫－π12＝－32＜f ⎝⎛⎭⎫π2＝12， 当x ＝－π12时，f (x )取最小值－32.∴函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π2上的值域为⎣⎡⎦⎤－32，1.8．已知函数y ＝a －b cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6(b ＞0)的最大值为32，最小值为－12. (1)求a ，b 的值；(2)求函数g (x )＝－4a sin ⎝⎛⎭⎫bx －π3的最小值并求出对应x 的集合． 解：(1)cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－1,1]， ∵b ＞0，∴－b ＜0.∴⎩⎨⎧y max ＝b ＋a ＝32，ymin ＝－b ＋a ＝－12.∴a ＝12，b ＝1.(2)由(1)知g (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3， ∵sin ⎝⎛⎭⎫x －π3∈[－1,1]， ∴g (x )∈[－2,2]．∴g (x )的最小值为－2，此时，sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＝1. 对应x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k π＋5π6，k ∈Z .由Ruize收集整理。
高中数学人教A版浙江专版必修4讲义：第一章 第一课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性 含答案
1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质第一课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性预习课本P34～37，思考并完成以下问题 (1)周期函数的定义是什么？(2)如何利用周期的定义求正、余弦函数的周期？(3)正、余弦函数的奇偶性分别是什么？[新知初探]1．周期函数 (1)周期函数的概念[点睛] 对周期函数的两点说明(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一． (2)如果T 是函数ƒ(x )的一个周期，则nT (n ∈Z 且n ≠0)也是ƒ(x )的周期． 2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)因sin ⎝⎛⎭⎫π3＋π3＝sin π3，则π3是正弦函数y ＝sin x 的一个周期．( )(2)若T 是函数ƒ(x )的周期，则kT ，k ∈N *也是函数f (x )的周期．( ) (3)函数y ＝3sin 2x 是奇函数．( ) (4)函数y ＝－cos π3x 是偶函数．( )答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2．函数ƒ(x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2－x 是( ) A ．T ＝2π的奇函数 B ．T ＝2π的偶函数 C ．T ＝π的奇函数 D ．T ＝π的偶函数 答案：B3．下列函数中，周期为π2的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝sin 2xC ．y ＝cos x2D ．y ＝cos 4x答案：D4．函数ƒ(x )＝sin x cos x 是______(填“奇”或“偶”)函数． 答案：奇[典例]求下列函数的周期．(1)ƒ(x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3；(2)ƒ(x )＝|sin x |. [解] (1)[法一 定义法]∵ƒ(x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2π ＝cos ⎣⎡⎦⎤2(x ＋π)＋π3＝ƒ(x ＋π)， 即ƒ(x ＋π)＝ƒ(x )，∴函数ƒ(x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期T ＝π.[法二公式法]∵y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，∴ω＝2. 又T ＝2π|ω|＝2π2＝π. ∴函数ƒ(x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期T ＝π. (2)[法一 定义法] ∵ƒ(x )＝|sin x |,∴ƒ(x ＋π)＝|sin(x ＋π)|＝|sin x |＝ƒ(x )， ∴ƒ(x )的周期为π. [法二 图象法]∵函数y ＝|sin x |的图象如图所示．由图象可知T ＝π.求下列函数的周期． (1)y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋3； (2)y ＝|cos x |. 解：(1)T ＝2ππ2＝4， ∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋3的周期为4. (2)函数y ＝|cos x |的图象如图所示，由图象知T ＝π.[典例] (1)函数A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数(2)判断函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫34x ＋3π2的奇偶性． (1)[解析] ∵f (x )的定义域是R.且f (－x )＝2sin 2(－x )＝－2sin 2x ＝－f (x )， ∴函数为奇函数． [答案] A(2)[解] ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫34x ＋3π2＝－cos 34x ， ∴f (－x )＝－cos ⎝⎛⎭⎫－34x ＝－cos 34x ， ∴函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫34x ＋3π2为偶函数．判断函数奇偶性的方法[活学活用]判断下列函数的奇偶性： (1)ƒ(x )＝x cos(π＋x )； (2)ƒ(x )＝sin(cos x )．解：(1)函数ƒ(x )的定义域为R ， ∵ƒ(x )＝x cos(π＋x )＝－x cos x ，∴ƒ(－x )＝－(－x )·cos(－x )＝x cos x ＝－ƒ(x )， ∴ƒ(x )为奇函数．(2)函数ƒ(x )的定义域为R ，∴ƒ(－x )＝sin []cos (－x )＝sin(cos x )＝ƒ(x )， ∴ƒ(x )为偶函数.[典例] 定义在R 上的函数ƒ(x )既是偶函数又是周期函数，若ƒ(x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，ƒ(x )＝sin x ，求ƒ ⎝⎛⎭⎫5π3的值． [解] ∵ƒ(x )的最小正周期是π， ∴ƒ ⎝⎛⎭⎫5π3＝ƒ ⎝⎛⎭⎫5π3－2π＝ƒ ⎝⎛⎭⎫－π3 ∵ƒ(x )是R 上的偶函数， ∴ƒ ⎝⎛⎭⎫－π3＝ƒ ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3＝32. ∴ƒ ⎝⎛⎭⎫5π3＝32. [一题多变]1．[变条件]若本例中“偶”变“奇”其他条件不变，求ƒ ⎝⎛⎭⎫5π3的值． 解：ƒ ⎝⎛⎭⎫5π3＝ƒ ⎝⎛⎭⎫－π3＝－ƒ ⎝⎛⎭⎫π3 ＝－sin π3＝－32.2．[变设问]若本例条件不变，求ƒ ⎝⎛⎭⎫－19π6的值． 解：ƒ ⎝⎛⎭⎫－19π6＝ƒ ⎝⎛⎭⎫19π6＝ƒ ⎝⎛⎭⎫3π＋π6 ＝ƒ ⎝⎛⎭⎫π6＝sin π6＝12. 3．[变条件]若本例条件为：函数ƒ(x )为偶函数且ƒ ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－ƒ(x )，ƒ ⎝⎛⎭⎫π3＝1，求ƒ ⎝⎛⎭⎫5π3的值．解：∵ƒ ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－ƒ(x )， ∴ƒ(x ＋π)＝ƒ(x )，即T ＝π，ƒ ⎝⎛⎭⎫5π3＝ƒ ⎝⎛⎭⎫5π3－2π＝ƒ ⎝⎛⎭⎫－π3＝ƒ ⎝⎛⎭⎫π3＝1.层级一 学业水平达标1．函数f (x )＝sin(－x )的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数解析：选A 由于x ∈R ，且f (－x )＝sin x ＝－sin(－x )＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数．2．函数y ＝－x cos x 的部分图象是下图中的( )解析：选D 因为函数y ＝－x cos x 是奇函数，图象关于原点对称，所以排除A ，C ；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，y ＝－x cos x ＜0，故排除B. 3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx －π2－1，则下列命题正确的是( ) A ．f (x )是周期为1的奇函数 B ．f (x )是周期为2的偶函数 C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数 D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数解析：选B f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx －π2－1＝－cos πx －1，从而函数为偶函数，且T ＝2ππ＝2. 4．函数y ＝4sin(2x ＋π)的图象关于( ) A ．x 轴对称 B ．原点对称 C ．y 轴对称D ．直线x ＝π2对称解析：选B y ＝4sin(2x ＋π)＝－4sin 2x ，奇函数图象关于原点对称． 5．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫－x 2＋π2的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．即是奇函数也是偶函数解析：选A cos ⎝⎛⎭⎫－x 2＋π2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x 2＝sin x2，故为奇函数． 6．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的周期为________．解析：T ＝2π12＝4π.答案：4π7．函数ƒ(x )是以2为周期的函数，且ƒ(2)＝3，则ƒ(6)＝________. 解析：∵函数ƒ(x )是以2为周期的函数，且ƒ(2)＝3， ∴ƒ(6)＝ƒ(2×2＋2)＝ƒ(2)＝3. 答案：38．函数ƒ(x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为2π3，则ƒ(π)＝________. 解析：由已知2πω＝2π3得ω＝3，∴ƒ(x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫3x －π3，∴ƒ(π)＝3cos ⎝⎛⎭⎫3π－π3 ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π－π3＝－3cos π3＝－32. 答案：－329．判断下列函数的奇偶性． (1)ƒ(x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x cos(π＋x )； (2)ƒ(x )＝1＋sin x ＋1－sin x . 解：(1)x ∈R ，ƒ(x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x cos(π＋x ) ＝－sin 2x ·(－cos x )＝sin 2x cos x . ∴ƒ(－x )＝sin(－2x )cos(－x ) ＝－sin 2x cos x ＝－ƒ(x )． ∴该函数ƒ(x )是奇函数． (2)对任意x ∈R ，－1≤sin x ≤1， ∴1＋sin x ≥0,1－sin x ≥0.∴ƒ(x )＝1＋sin x ＋1－sin x 的定义 域为R.∵ƒ(－x )＝1＋sin (－x )＋1－sin (－x ) ＝1－sin x ＋1＋sin x ＝ƒ(x )， ∴该函数是偶函数．10．已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |，(1)画出函数的简图；(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期． 解：(1)y ＝12sin x ＋12|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，0，x ∈[2k π－π，2k π](k ∈Z )， 图象如图所示：(2)由图象知该函数是周期函数，且周期是2π.层级二 应试能力达标1．下列函数中最小正周期为π且为偶函数的是( ) A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2 解析：选B 对于A ，y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝sin 2x 是奇函数；对于B ，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x 是偶函数，且最小正周期T ＝2π2＝π；对于C ，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x 是偶函数，但最小正周期T ＝2π；对于D ，y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2＝sin x 是奇函数，故选B. 2．函数ƒ(x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋15π2是( ) A ．周期为3π的偶函数 B ．周期为2π的偶函数 C ．周期为3π的奇函数D ．周期为4π3的偶函数 解析：选A ∵ƒ(x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋3π2 ＝－3cos 23x ，∴ƒ(x )为偶函数，且T ＝2π23＝3π，故选A. 3．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫k 4x ＋π3(k >0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是( ) A ．10 B ．11C ．12D ．13解析：选D ∵T ＝2πk 4＝8πk ≤2，∴k ≥4π， 又k ∈Z ，∴正整数k 的最小值为13.4．函数ƒ(x )＝sin(2x ＋φ)为R 上的奇函数，则φ的值可以是( ) A ．π4B ．π2C ．πD ．3π2解析：选C 要使函数ƒ(x )＝sin(2x ＋φ)为R 上的奇函数，需φ＝k π，k ∈Z.故选C. 5．若函数f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π2，且满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π2≤x ＜0，sin x ，0≤x ＜π，则f ⎝⎛⎭⎫－15π4＝________.解析：∵T ＝3π2，∴f ⎝⎛⎭⎫－15π4＝f ⎝⎛⎭⎫－15π4＋3π2×3 ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4＝sin 3π4＝22. 答案：226．函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin x2的最小正周期是________． 解析：∵y ＝sin x 2的最小正周期为T ＝4π，而y ＝⎪⎪⎪⎪sin x 2的图象是把y ＝sin x2的图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，∴y ＝⎪⎪⎪⎪sin x2的最小正周期为T ＝2π. 答案：2π7．已知ƒ(x )是以π为周期的偶函数，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，ƒ(x )＝1－sin x ，当x ∈⎣⎡⎦⎤5π2，3π时，求ƒ(x )的解析式．解：x ∈⎣⎡⎦⎤5π2，3π时，3π－x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，ƒ(x )＝1－sin x ，所以ƒ(3π－x )＝1－sin(3π－x )＝1－sin x ．又ƒ(x )是以π为周期的偶函数，所以ƒ(3π－x )＝ƒ(－x )＝ƒ(x )，所以ƒ(x )的解析式为ƒ(x )＝1－sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤5π2，3π.8．已知函数ƒ(x )对于任意实数x 满足条件ƒ(x ＋2)＝－1ƒ(x)(ƒ(x)≠0)．(1)求证：函数ƒ(x)是周期函数．(2)若ƒ(1)＝－5，求ƒ(ƒ(5))的值．解：(1)证明：∵ƒ(x＋2)＝－1ƒ(x)，∴ƒ(x＋4)＝－1ƒ(x＋2)＝－1－1ƒ(x)＝ƒ(x)，∴ƒ(x)是周期函数，4就是它的一个周期．(2)∵4是ƒ(x)的一个周期．∴ƒ(5)＝ƒ(1)＝－5，∴ƒ(ƒ(5))＝ƒ(－5)＝ƒ(－1)＝－1ƒ(－1＋2)＝－1ƒ(1)＝15.。
高中数学人教A版浙江专版必修4讲义：第一章 第二课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值 含答案
第二课时正弦函数、余弦函数的单调性与最值预习课本P37～40，思考并完成以下问题(1)正、余弦函数的单调区间分别是什么？(2)正、余弦函数的最值分别是多少？取最值时自变量x的值是多少？[新知初探]正弦函数、余弦函数的图象和性质[点睛](1)正弦函数、余弦函数有单调区间，但都不是定义域上的单调函数，即正弦函数、余弦函数在整个定义域内不单调．(2)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数．()(2)存在x∈R满足sin x＝ 2.()(3)在区间[0,2π]上，函数y＝cos x仅当x＝0时取得最大值1.()答案：(1)×(2)×(3)×2．在下列区间中，使函数y＝sin x为增函数的是()A ．[0，π]B ．⎣⎡⎦⎤π2，3π2 C ．⎣⎡⎦⎤－π2，π2 D ．[π，2π]答案：C3．函数y ＝2－sin x 的最大值及取最大值时x 的值为( ) A ．y max ＝3，x ＝π2B ．y max ＝1，x ＝π2＋2k π(k ∈Z)C ．y max ＝3，x ＝－π2＋2k π(k ∈Z)D ．y max ＝3，x ＝π2＋2k π(k ∈Z)答案：C4．函数y ＝3＋2cos x 的最大值为________． 答案：5[典例] 求函数y ＝3sin ⎝⎛⎭π3－2x 的单调递减区间． [解] ∵y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝－3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， ∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3是增函数时， y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 是减函数． ∵函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z)上是增函数， ∴－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，即－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π(k ∈Z)．∴函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π(k ∈Z)．[活学活用]求y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调增区间． 解：因为y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 所以令π＋2k π≤2x －π3≤2π＋2k π，k ∈Z ，得2π3＋k π≤x ≤7π6＋k π，k ∈Z. 所以函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调增区间为⎣⎡⎦⎤2π3＋k π，7π6＋k π，k ∈Z.[典例] (1)sin 250°与sin 260°；(2)cos 15π8与cos 14π9.[解] (1)∵函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤π2，3π2上单调递减，且90°<250°<260°<270°， ∴sin 250°>sin 260°.(2)cos 15π8＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－π8＝cos π8， cos 14π9＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－4π9＝cos 4π9. ∵函数y ＝cos x 在[0，π]上单调递减， 且0<π8<4π9<π，∴cos π8>cos 4π9，∴cos 15π8>cos 14π9.[活学活用]比较下列各组数的大小． (1)cos ⎝⎛⎭⎫－π8与cos 13π7； (2)sin 194°与cos 160°. 解：(1)cos ⎝⎛⎭⎫－π8＝cos π8， cos 13π7＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－π7＝cos ⎝⎛⎭⎫－π7＝cos π7. ∵0＜π8＜π7＜π，且y ＝cos x 在(0，π)上单调递减，∴cos π8＞cos π7，即cos ⎝⎛⎭⎫－π8＞cos 13π7. (2)sin 194°＝sin (180°＋14°)＝－sin 14°， cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°. ∵0°＜14°＜70°＜90°且y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增， ∴sin 70°＞sin 14°，即－sin 14°＞－sin 70°. 故sin 194°＞cos 160°.1．若y ＝a sin x ＋b 的最大值为3，最小值为1，则ab ＝________.解析：当a >0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝3，－a ＋b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.当a <0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，－a ＋b ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.答案：±2题点二：形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b 型2．求函数y ＝3－4cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π6的最大、最小值及相应的x 值． 解：因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π6， 所以2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， 从而－12≤cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1. 所以当cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝1，即2x ＋π3＝0，x ＝－π6时，y min ＝3－4＝－1. 当cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－12，即2x ＋π3＝2π3，x ＝π6时，y max ＝3－4×⎝⎛⎭⎫－12＝5. 综上所述，当x ＝－π6时，y min ＝－1；当x ＝π6时，y max ＝5.题点三：形如y ＝A sin 2x ＋B sin x ＋C 或y ＝A cos 2x ＋B cos x ＋C 型 3．求函数y ＝3－4sin x －4cos 2x 的值域． 解：y ＝3－4sin x －4cos 2x ＝3－4sin x －4(1－sin 2x ) ＝4sin 2x －4sin x －1， 令t ＝sin x ，则－1≤t ≤1.∴y ＝4t 2－4t －1＝4⎝⎛⎭⎫t －122－2(－1≤t ≤1)． ∴当t ＝12时，y min ＝－2，当t ＝－1时，y max ＝7.即函数y ＝3－4sin x －4cos 2x 的值域为[－2,7]．层级一 学业水平达标1．函数f (x )＝－2sin x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π的值域是( ) A ．[1,3] B ．[－1,3] C ．[－3,1]D ．[－1,1]解析：选B ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π，∴sin x ∈[－1,1]， ∴－2sin x ＋1∈[－1,3]．2．函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间是( ) A ．⎝⎛⎭⎫－π4，π4 B ．⎝⎛⎭⎫π4，3π4 C ．⎝⎛⎭⎫π，3π2 D ．⎝⎛⎭⎫3π2，2π 解析：选C 由y ＝|sin x |的图象，易得函数y ＝|sin x |的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝1时，得⎝⎛⎭⎫π，3π2为函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间． 3．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是( ) A ．y ＝|cos x | B ．y ＝cos|－x | C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2 D ．y ＝－sin x2解析：选C y ＝|cos x |在⎝⎛⎭⎫0，π2上是减函数，排除A ； y ＝cos|－x |＝cos|x |在(0，π)上是减函数．排除B ；y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－cos x 是偶函数，且在(0，π)上单调递增，符合题意；y ＝－sin x2在(0，π)上是单调递减的．4．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，x ∈R 在( ) A ．⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数 B ．[0，π]上是减函数 C ．[－π，0]上是减函数D ．[－π，π]上是减函数解析：选B y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x ，所以在区间[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，故选B.5．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－22C ．22D ．0解析：选B ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴－π4≤2x －π4≤3π4，∴当2x －π4＝－π4时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4有最小值－22. 6．已知函数y ＝3cos(π－x )，则当x ＝________时，函数取得最大值．解析：y ＝3cos(π－x )＝－3cos x ，当cos x ＝－1，即x ＝2k π＋π，k ∈Z 时，y 有最大值3.答案：2k π＋π，k ∈Z7．y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，则y 的范围是________．解析：由正弦函数图象，对于x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，当x ＝π2时，y max ＝1，当x ＝π6时，y min ＝12，从而y ∈⎣⎡⎦⎤12，1.答案：⎣⎡⎦⎤12，18．函数y ＝sin(x ＋π)在⎣⎡⎦⎤－π2，π上的单调递增区间为________． 解析：因为sin(x ＋π)＝－sin x ，所以要求y ＝sin(x ＋π)在⎣⎡⎦⎤－π2，π上的单调递增区间，即求y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，π上的单调递减区间，易知为⎣⎡⎦⎤π2，π. 答案：⎣⎡⎦⎤π2，π9．求下列函数的最大值和最小值． (1)y ＝1－12sin x ；(2)y ＝3＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 解：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧1－12sin x ≥0，－1≤sin x ≤1，∴－1≤sin x ≤1.∴当sin x ＝－1时，y max ＝62； 当sin x ＝1时，y min ＝22. (2)∵－1≤cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1， ∴当cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝1时，y max ＝5； 当cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－1时，y min ＝1. 10．比较下列各组数的大小． (1)sin10π17与sin 11π17；(2)cos 5π3与cos 16π9. 解：(1)∵函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤π2，π上单调递减，且π2＜10π17＜11π17＜π，∴sin 10π17＞sin 11π17. (2)cos 5π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－π3＝cos π3， cos 16π9＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－2π9＝cos 2π9. ∵函数y ＝cos x 在[0，π]上单调递减， 且0＜2π9＜π3＜π，∴cos π3<cos 2π9，∴cos 5π3<cos 16π9.层级二 应试能力达标1．函数y ＝|sin x |＋sin x 的值域为( ) A ．[－1,1] B ．[－2,2] C ．[－2,0]D ．[0,2]解析：选D ∵y ＝|sin x |＋sin x＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ，sin x ≥0，0， sin x ＜0. 又∵－1≤sin x ≤1，∴y ∈[0,2]， 即函数的值域为[0,2]．2．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω＞0)的周期为π，则其单调递增区间为( ) A ．⎣⎡⎦⎤k π－3π4，k π＋π4(k ∈Z)B ．⎣⎡⎦⎤2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z) C ．⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z) D ．⎣⎡⎦⎤2k π－3π8，2k π＋π8(k ∈Z) 解析：选C 周期T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.3．下列关系式中正确的是( ) A ．sin 11°＜cos 10°＜sin 168° B ．sin 168°＜sin 11°＜cos 10° C ．sin 11°＜sin 168°＜cos 10° D ．sin 168°＜cos 10°＜sin 11°解析：选C sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝cos(90°－80°)＝sin 80°.因为正弦函数y ＝sin x 在区间[0,90°]上为增函数，所以sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，即sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.4．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－x －cos ⎝⎛⎭⎫π6＋x (x ∈R)的最小值等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．－ 5 解析：选C ∵⎝⎛⎭⎫π3－x ＋⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝π2， ∴y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6＋x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，∴y min ＝－1. 5．函数值sin 3π5，sin 4π5，sin 9π10从大到小的顺序为________(用“＞”连接)．解析：∵π2＜3π5＜4π5＜9π10＜π，又函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤π2，π上单调递减，∴sin 3π5＞sin 4π5＞sin 9π10. 答案：sin 3π5＞sin 4π5＞sin 9π106．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________．解析：∵y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数， ∴只有－π＜a ≤0时满足条件，故a ∈(－π，0]． 答案：(－π，0]7．设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，x ∈R. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π8，3π4上的最小值和最大值，并求出取最值时x 的值． 解：(1)最小正周期T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z)，∴函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z)． (2)令t ＝2x －π4，则由π8≤x ≤3π4可得0≤t ≤5π4，∴当t ＝5π4，即x ＝3π4时，y min ＝2×⎝⎛⎭⎫－22＝－1，∴当t ＝π2，即x ＝3π8时，y max ＝2×1＝ 2.8．已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋b 的定义域是⎣⎡⎦⎤0，π2，值域是[－5,1]，求a ，b 的值．解：∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6， ∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1. 当a >0时，⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－5，3a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－5.当a <0时，⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，3a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1.因此a＝2，b＝－5或a＝－2，b＝1.。
(浙江专版)高中数学课时跟踪检测(八)正弦函数、余弦函数的图象新人教A版必修4
课时跟踪检测（八） 正弦函数、余弦函数的图象层级一学业水平达标1•用“五点法”画函数 y = 2-3sin x 的图象时，首先应描出五点的横坐标是（ ）n n 3 nn3 nA 0，4，7，~4，nB ・ 0，7，n ，T ，2nn解析：选B 所描出的五点的横坐标与函数 y = sin x 的五点的横坐标相同，即°，三，3 nn, , 2 n,故选 B.2. 下列函数图象相同的是()A.f (x ) = sin x 与g (x ) = sin( n+ x )nnB. f (x ) = sin x -— 与g (x ) = sin — — xC. f (x ) = sin x 与 g (x ) = sin( — x )D.f (x ) = si n(2 n + x )与g (x ) = sin x解析：选 D A 、B C 中 f (x ) = — g (x ) , D 中 f (x ) = g ( x ). 3.以下对正弦函数 y = sin x 的图象描述不正确的是()A. 在x € [2 k n, 2k n+ 2n ]( k € Z)上的图象形状相同，只是位置不同B.介于直线y = 1与直线y = — 1之间C. 关于x 轴对称D. 与y 轴仅有一个交点解析：选C 函数y = sin x 的图象关于原点中心对称，并不关于 x 轴对称.4.不等式cos x <0, x € ［0,2 n ］的解集为（）B .解析：选A 由y = cos x 的图象知, 在［0,2 n ］内使cos x <0的x 的范围是nn5.函数 y = ln cos x — ■— < x < ■—的图象是()C. 0 ,n, 2 n, 3 n, 4 n n n nD. 0, -, -3, 7,2nA.C.n°, 2 D. 7t—,2nn ,V x V 2时，cos x € (0,1],••• y = In x W0且图象左增右减，故选 A.6. _____________________________________ 方程sin x = Ig x 的根的个数为 . 解析：作出y = sin x 及y = lg x 的部分图象如图，由图可以看出两图象有3个交点,即方程有3个不同根.答案：37. __________________________________________________________________ 函数y =^2cos x -眾的定义域是 _________________________________________________________解析：要使函数有意义，只需2cos x — .'2>0,即cos x >孑.由余弦函数图象知(如图)，n n所求定义域为--+ 2k n ，4 + 2k n ，k € z.答案：nn―4 + 2k n ，I + 2k n ，k € Z& y = 1 + sin x , x € [0,2 n ]的图象与解析：由y = sin x 的图象向上平移 1个单位，得y = 1 + sin x 的图象，故在[0,2 n]3上与y =㊁交点的个数是2个.解析：选A 首先y = In cos x = In cos( — x )，二函数为偶函数，排除B D,又T —7ty =2的交点的个数是答案：29.用“五点法”作出函数y = 1+ 2sin x, x€ [0,2 n ]的图象. 解：列表：n 3 n在直角坐标系中描出五点（0,1） , ~2， 3 , （ n, 1） , 2，— 1 ， （2 n, 1），然后用1log 2 --------- 1 >0,解：为使函数有意义，需满足sin xsin x >0,由图象知其定义域为:5 n U x 2k n + < x <2k 冗 + 冗,k € Z层级二应试能力达标1•用“五点法”作 y = 2sin 2 x 的图象时，首先描出的五个点的横坐标是 （）n 3nn n 3A 0, —2nB. 0, — —2，'2 '4， 2， 4n n n 2n C .0, n, 2 n, 3 n, 4 nD. 0,— — — 3632n3 n n n 3 n解析：选B 由2x = 0, ~2,n ，丁, 2n 知五个点的横坐标是 0 , — , — , — , n.y = sin x , x € [0,2 n ]与 y = sin x , x € [2 n, 4 n]B .形状相同，位置不同解析：选B 根据正弦曲线的作法过程，可知函数 y = sin x , x € [0,2 n ]与y = sin x , x € [2 n, 4n ]sin 即x < 1 2,sin x >0,n x 2k n < x W2k n + y, k € Z 2.在同一平面直角坐标系内，函数 的图象（）A.重合C.关于y 轴对称D.形状不同，位置不同 由正弦函数图象或单位圆，如图所示.的图象位置不同，但形状相同在［0,2 n ］内，不等式 sin x < —p 3的解集是( )5 nD.-3-, 2n解析：选C 画出y = sin x , x € ［0,2 n ］的草图如下.n 、/3 - nx ［3因为 sin —= 牙，所以 sin n + 3 =— 于,4.方程 | x | = cos x 在(一8,+8 )内(3. A.(0 ,n ) C. x ,sin 2 n — -3 =—乎.即在［0,2 n ］内，满足 sin x =—或亏•可知不等式A.没有根B .有且仅有一个根 C.有且仅有两个根 D. 有无穷多个根解析：选C 求解方程|X | = cos x 在(—8,+m )内根的个数问题,可转化为求解函数 f (x ) = | x |和g (x ) = cos x 在(—8,+^)内的交点 个数问题.f (x ) =|x |和g (x ) = cos x 的图象如右图，显然有两交点，即/M = \<-1原方程有且仅有两个根.5.函数y = 2cos x , x € ［0,2 n ］的图象和直线 y = 2围成的一个封闭的平面图形的面积解析：如图所示，将余弦函数的图象在 x 轴下方的部分补到 x 轴的上方，可得一个矩形,其面积为2 nX 2= 4 n.rc £-2答案:y5TT T T 2JT4 n5 nx =sin x < — 亠 4 n 5 n , 集是 V ，丁.故选C .1x与y = sin x的图象交点的个数为6.当x € ［—n,n ］时，y解析: 如图，有3个答案：3解：列表如下:xn~2n 3n _2-2n 5 n ~2nx-En"2n3n 22nnsin x —-^0 1—1描点连线，如图所示.&画出函数y = 1 + 2cos 2 x , x € [0 ,n ]的简图，并求使 y 》0成立的x 的取值范围. 解：按五个关键点列表:1 令 y = 0,艮卩 1 + 2cos2 x = 0,贝U cos 2x = —••• x € [0 ,n ]，二 2x € [0,2 n ]. 2 n 4 nn 2 n从而 2x = -y 或亍，•••或-3-.2xn~2n 3n ""2" 2nx0 n~4 n~23n 4 ncos 2 x 1 0 —1 0 1 1 + 2cos 2 x31—1137 •利用“五点法”作出函数 n5y = sin x — x22 2的图由图可知，使y》0成立的x的取值范围是n 2 n0, T u 可,n.。
人教版高中数学必修四浙江专用练习：课时跟踪检测(九) 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性
课时跟踪检测（九） 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性A 级——学考水平达标1．函数f (x )＝sin(－x )的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数解析：选A 由于x ∈R ，且f (－x )＝sin x ＝－sin(－x )＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数．2．函数y ＝－x cos x 的部分图象是下图中的( )解析：选D 因为函数y ＝－x cos x 是奇函数，图象关于原点对称，所以排除A 、C ；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，y ＝－x cos x ＜0，故排除B ，选D. 3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx －π2－1，则下列命题正确的是( ) A ．f (x )是周期为1的奇函数 B ．f (x )是周期为2的偶函数 C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数 D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数解析：选B f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx －π2－1＝－cos πx －1，从而函数为偶函数，且T ＝2ππ＝2. 4．函数y ＝4sin(2x －π)的图象关于( ) A ．x 轴对称 B ．原点对称 C ．y 轴对称D ．直线x ＝π2对称解析：选B y ＝4sin(2x －π)＝－4sin 2x 是奇函数，其图象关于原点对称． 5．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－x 2＋π2的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数也是偶函数解析：选B y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－x 2＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x 2＝cos x2，故为偶函数． 6．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的最小正周期为________．解析：T ＝2π12＝4π. 答案：4π7．函数ƒ(x )是以2为周期的函数，且ƒ(2)＝3，则ƒ(6)＝________. 解析：∵函数ƒ(x )是以2为周期的函数，且ƒ(2)＝3， ∴ƒ(6)＝ƒ(2×2＋2)＝ƒ(2)＝3. 答案：38．函数ƒ(x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为2π3，则ƒ(π)＝________. 解析：由已知2πω＝2π3得ω＝3，∴ƒ(x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫3x －π3，∴ƒ(π)＝3cos ⎝⎛⎭⎫3π－π3 ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π－π3＝－3cos π3＝－32. 答案：－329．判断下列函数的奇偶性． (1)ƒ(x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x cos(π＋x )； (2)ƒ(x )＝1＋sin x ＋1－sin x . 解：(1)∵x ∈R ，ƒ(x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x cos(π＋x ) ＝－sin 2x ·(－cos x )＝sin 2x cos x . ∴ƒ(－x )＝sin(－2x )cos(－x ) ＝－sin 2x cos x ＝－ƒ(x )． ∴函数ƒ(x )是奇函数．(2)对任意x ∈R ，－1≤sin x ≤1， ∴1＋sin x ≥0,1－sin x ≥0.∴ƒ(x )＝1＋sin x ＋1－sin x 的定义域为R. ∵ƒ(－x )＝1＋sin (－x )＋1－sin (－x ) ＝1－sin x ＋1＋sin x ＝ƒ(x )， ∴函数f (x )是偶函数．10．已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |，(1)画出函数的简图；(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期． 解：(1)y ＝12sin x ＋12|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，0，x ∈[2k π－π，2k π](k ∈Z )， 图象如图所示：(2)由图象知该函数是周期函数，且周期是2π.B 级——高考能力达标1．下列函数中，最小正周期为4π的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝cos x C ．y ＝sin x 2D ．y ＝cos 2x解析：选C A 项，y ＝sin x 的最小正周期为2π，故A 项不符合题意；B 项，y ＝cos x 的最小正周期为2π，故B 项不符合题意；C 项，y ＝sin x 2的最小正周期为T ＝2πω＝4π，故C 项符合题意；D 项，y ＝cos 2x 的最小正周期为T ＝2πω＝π，故D 项不符合题意．故选C.2．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期为π5，则ω的值为( ) A ．5 B ．10 C ．15D ．20解析：选B 由题意，知T ＝2πω＝π5，所以ω＝10. 3．函数f (x )＝sin x1＋cos x的奇偶性是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数解析：选A 因为f (x )的定义域为{x |x ≠2k π＋π，k ∈Z}，关于原点对称，又f (－x )＝sin (－x )1＋cos (－x )＝－sin x1＋cos x＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，故选A.4．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －φ(0≤φ≤π)是R 上的偶函数，则φ的值是( ) A ．0B.π4C.π2D ．π解析：选C 由题意，得sin(－φ)＝±1，即sin φ＝±1.因为φ∈[0，π]，所以φ＝π2.故选C.5．若函数f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π2，且满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π2≤x ＜0，sin x ，0≤x ＜π，则f ⎝⎛⎭⎫－15π4＝________.解析：∵T ＝3π2，∴f ⎝⎛⎭⎫－15π4＝f ⎝⎛⎭⎫－15π4＋3π2×3 ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4＝sin 3π4＝22. 答案：226．函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin x2的最小正周期是________． 解析：∵y ＝sin x 2的最小正周期为T ＝4π，而y ＝⎪⎪⎪⎪sin x 2的图象是把y ＝sin x2的图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，∴y ＝⎪⎪⎪⎪sin x2的最小正周期为T ＝2π. 答案：2π7．已知ƒ(x )是以π为周期的偶函数，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，ƒ(x )＝1－sin x ，当x ∈⎣⎡⎦⎤5π2，3π时，求ƒ(x )的解析式．解：x ∈⎣⎡⎦⎤5π2，3π时，3π－x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，ƒ(x )＝1－sin x ，所以ƒ(3π－x )＝1－sin(3π－x )＝1－sin x ．又ƒ(x )是以π为周期的偶函数，所以ƒ(3π－x )＝ƒ(－x )＝ƒ(x )，所以ƒ(x )的解析式为ƒ(x )＝1－sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤5π2，3π.8．已知函数ƒ(x )对于任意实数x 满足条件ƒ(x ＋2)＝－1ƒ(x )(ƒ(x )≠0)． (1)求证：函数ƒ(x )是周期函数． (2)若ƒ(1)＝－5，求ƒ(ƒ(5))的值． 解：(1)证明：∵ƒ(x ＋2)＝－1ƒ(x )，∴ƒ(x＋4)＝－1ƒ(x＋2)＝－1－1ƒ(x)＝ƒ(x)，∴ƒ(x)是周期函数，4就是它的一个周期．(2)∵4是ƒ(x)的一个周期．∴ƒ(5)＝ƒ(1)＝－5，∴ƒ(ƒ(5))＝ƒ(－5)＝ƒ(－1)＝－1ƒ(－1＋2)＝－1ƒ(1)＝15.由Ruize收集整理。
高中数学1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(一)课时跟踪检测新人教A版必修4
【优化指导】2015年高中数学 1.4.2正弦函数、余弦函数的性质（一）课时跟踪检测 新人教A 版必修41．(2014·陕西高考)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的最小正周期是( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π解析：∵T ＝2π|ω|＝2π2＝π，∴B 正确．答案：B2．函数y ＝x sin x ( ) A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．是非奇非偶函数解析：函数定义域为R ，又f (－x )＝(－x )sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，∴f (x )是偶函数． 答案：B3．下列函数中，不是周期函数的是( ) A ．y ＝|cos x | B ．y ＝cos |x | C ．y ＝|sin x |D ．y ＝sin |x |解析：结合各函数的图象可知函数y ＝sin |x |不是周期函数． 答案：D4．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx －π2－1，则下列命题正确的是( )A ．f (x )是周期为1的奇函数B ．f (x )是周期为2的偶函数C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数 解析：∵f (x )＝－cos πx －1， ∴f (－x )＝－cos(－πx )－1＝－cos πx －1＝f (x )． ∴f (x )为偶函数．又－cos[π(x ＋2)]－1＝－cos(πx ＋2π)－1 ＝－cos πx －1， ∴f (x )的周期为2.故选B. 答案：B5．函数y ＝4sin(2x ＋π)的图象关于________对称．解析：y ＝4sin(2x ＋π)＝－4sin 2x ，易证函数为奇函数，所以其图象关于原点对称． 答案：原点6．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为23π，则ω＝________.解析：∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的最小正周期为T ＝2πω， ∴2πω＝2π3，∴ω＝3. 答案：37．判断函数f (x )＝cos(2π－x )－x 3sin 12x 的奇偶性．解：f (x )＝cos(2π－x )－x 3sin 12x ＝cos x －x 3sin 12x 的定义域为R ，f (－x )＝cos(－x )－(－x )3sin 12(－x )＝cos x －x 3sin 12x ＝f (x )，所以f (x )为偶函数．8．若函数y ＝sin(φ－x )是奇函数，则φ的值可能是( ) A ．30° B ．60° C ．90°D ．180°解析：要使此函数为奇函数，必须不改变函数名称，结合选项可知，当φ＝180°时，y ＝sin(180°－x )＝sin x 是奇函数．答案：D9．设f (x )是定义域为R ，最小正周期为3π2的函数，若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π2≤x ≤0，sin x ，0＜x ≤π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4的值等于( ) A ．1B.22C ．0D ．－22解析：由题意知，f ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3×3π2＋3π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝sin 3π4＝22.答案：B10．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6的图象的两条相邻对称轴间的距离为________．解析：两条相邻对称轴之间的距离为函数的半个周期，即为2π2×4＝π4.答案：π411．若函数f (x )是奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x －sin x ，求当x ＜0时f (x )的解析式． 解：设x ＜0，则－x ＞0， ∴f (－x )＝－x －sin(－x ) ＝－x ＋sin x . 又f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )＝x －sin x (x ＜0)．12．已知f (x )是奇函数，且满足f (x ＋1)＝1＋f x 1－f x ，若f (－1)＝1，求f (－3)的值．解：∵f (x ＋2)＝1＋f x ＋1－f x ＋＝1＋1＋f x 1－f x 1－1＋f x1－fx＝2－2f x＝－1f x， ∴f (x ＋4)＝－1fx ＋＝－1－1f x＝f (x )．∴f (x )是以4为周期的周期函数． ∵f (x )为奇函数，∴f (－3)＝－f (3)＝－f (4－1)＝－f (－1)＝－1.本节内容是在学习了正、余弦函数图象的基础上来学习，主要学习三角函数的周期性和奇偶性．1．求函数的最小正周期的常用方法(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f (x ＋T )＝f (x )成立的T .(2)图象法，即作出y ＝f (x )的图象，观察图象可求出T .如y ＝|sin x |.(3)结论法，一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A 、ω、φ为常数，A ≠0，ω＞0，x ∈R )的周期T ＝2πω. 2．判断函数的奇偶性应遵从“定义域优先”原则，即先求定义域，看它是否关于原点对称．涉及三角函数有关的问题时注意诱导公式的运用.。
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课时跟踪检测（十） 正弦函数、余弦函数的单调性与最值
层级一 学业水平达标
1．函数f (x )＝－2sin x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤－π
2，π的值域是( ) A ．[1,3] B ．[－1,3] C ．[－3,1]
D ．[－1,1]
解析：选B ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π
2，π，∴sin x ∈[－1,1]， ∴－2sin x ＋1∈[－1,3]．
2．函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间是( ) A ．⎝⎛⎭⎫－π4，π
4 B ．⎝⎛⎭⎫
π4，3π4 C ．⎝
⎛⎭⎫π，3π2 D ．⎝⎛⎭
⎫3π
2，2π 解析：选C 由y ＝|sin x |的图象，易得函数y ＝|sin x |的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π，k π＋π
2，k ∈Z ，当k ＝1时，得⎝
⎛⎭⎫π，3π
2为函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间． 3．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是( ) A ．y ＝|cos x | B ．y ＝cos|－x | C ．y ＝sin ⎝⎛⎭
⎫x －π
2 D ．y ＝－sin x
2
解析：选C y ＝|cos x |在⎝⎛⎭
⎫0，π
2上是减函数，排除A ； y ＝cos|－x |＝cos|x |在(0，π)上是减函数．排除B ；y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π
2－x ＝－cos x 是偶函数，且在(0，π)上单调递增，符合题意；y ＝－sin x
2
在(0，π)上是单调递减的．
4．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π
2，x ∈R 在( ) A ．⎣⎡⎦⎤－π2，π
2上是增函数 B ．[0，π]上是减函数 C ．[－π，0]上是减函数
D ．[－π，π]上是减函数
解析：选B y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π
2＝cos x ，所以在区间[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，故选B.
5．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦
⎤0，π
2上的最小值为( )
A ．－1
B ．－22
C ．
22
D ．0
解析：选B ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴－π4≤2x －π4≤3π4，∴当2x －π4＝－π
4时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4有最小值－
2
2
. 6．已知函数y ＝3cos(π－x )，则当x ＝________时，函数取得最大值．
解析：y ＝3cos(π－x )＝－3cos x ，当cos x ＝－1，即x ＝2k π＋π，k ∈Z 时，y 有最大值3.
答案：2k π＋π，k ∈Z
7．y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤
π6，2π3，则y 的范围是________．
解析：由正弦函数图象，对于x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，当x ＝π2时，y max ＝1，当x ＝π6时，y min ＝1
2，从而y ∈⎣⎡⎦⎤12，1.
答案：⎣⎡⎦⎤
12，1
8．函数y ＝sin(x ＋π)在⎣⎡⎦
⎤－π
2，π上的单调递增区间为________． 解析：因为sin(x ＋π)＝－sin x ，所以要求y ＝sin(x ＋π)在⎣⎡⎦⎤－π
2，π上的单调递增区间，即求y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，π上的单调递减区间，易知为⎣⎡⎦
⎤π
2，π. 答案：⎣⎡⎦⎤π2，π
9．求下列函数的最大值和最小值． (1)y ＝
1－1
2
sin x ；(2)y ＝3＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 解：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧
1－12sin x ≥0，
－1≤sin x ≤1，
∴－1≤sin x ≤1.
∴当sin x ＝－1时，y max ＝62
； 当sin x ＝1时，y min ＝
2
2
. (2)∵－1≤cos ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π
3≤1，
∴当cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
3＝1时，y max ＝5； 当cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
3＝－1时，y min ＝1. 10．比较下列各组数的大小． (1)sin
10π17与sin 11π17；(2)cos 5π3与cos 16π9
. 解：(1)∵函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤π2，π上单调递减，且π2＜10π17＜11π17＜π，∴sin 10π17＞sin 11π
17. (2)cos 5π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－π3＝cos π
3， cos 16π9＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－2π9＝cos 2π9. ∵函数y ＝cos x 在[0，π]上单调递减， 且0＜2π9＜π
3
＜π，
∴cos π3<cos 2π9，∴cos 5π3<cos 16π9
.
层级二 应试能力达标
1．函数y ＝|sin x |＋sin x 的值域为( ) A ．[－1,1] B ．[－2,2] C ．[－2,0]
D ．[0,2]
解析：选D ∵y ＝|sin x |＋sin x
＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2sin x ，sin x ≥0，0， sin x ＜0. 又∵－1≤sin x ≤1，∴y ∈[0,2]， 即函数的值域为[0,2]．
2．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π
4(ω＞0)的周期为π，则其单调递增区间为( ) A ．⎣⎡⎦⎤k π－3π4，k π＋π
4(k ∈Z) B ．⎣⎡⎦⎤2k π－3π4，2k π＋π
4(k ∈Z) C ．⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π
8(k ∈Z) D ．⎣⎡⎦⎤2k π－3π8，2k π＋π
8(k ∈Z)
解析：选C 周期T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.由－π2＋2k π≤2x ＋π
4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π
8
，k ∈Z. 3．下列关系式中正确的是( ) A ．sin 11°＜cos 10°＜sin 168° B ．sin 168°＜sin 11°＜cos 10° C ．sin 11°＜sin 168°＜cos 10° D ．sin 168°＜cos 10°＜sin 11°
解析：选C sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝cos(90°－80°)＝sin 80°.因为正弦函数y ＝sin x 在区间[0,90°]上为增函数，所以sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，即sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.
4．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－x －cos ⎝⎛⎭⎫π
6＋x (x ∈R)的最小值等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．－ 5 解析：选C ∵⎝⎛⎭⎫π3－x ＋⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝π
2， ∴y ＝2sin ⎣⎡⎦
⎤π2－⎝⎛⎭⎫π
6＋x －cos ⎝⎛⎭
⎫x ＋π6 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π
6 ＝cos ⎝⎛⎭
⎫x ＋π
6，∴y min ＝－1. 5．函数值sin 3π5，sin 4π5，sin 9π
10从大到小的顺序为________(用“＞”连接)．
解析：∵π2＜3π5＜4π5＜9π10＜π，又函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤π2，π上单调递减，∴sin 3π5＞sin 4π
5＞sin 9π
10
. 答案：sin 3π5＞sin 4π5＞sin 9π
10
6．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________． 解析：∵y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数， ∴只有－π＜a ≤0时满足条件，故a ∈(－π，0]． 答案：(－π，0]
7．设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
4，x ∈R. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤
π8，3π4上的最小值和最大值，并求出取最值时x 的值．
解：(1)最小正周期T ＝2π
2＝π，
由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π
2(k ∈Z)，
得k π－π8≤x ≤k π＋3π
8
(k ∈Z)，
∴函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π8，k π＋3π
8(k ∈Z)． (2)令t ＝2x －π4，则由π8≤x ≤3π4可得0≤t ≤5π
4，
∴当t ＝5π4，即x ＝3π4时，y min ＝2×⎝⎛⎭⎫－
22＝－1，
∴当t ＝π2，即x ＝3π
8
时，y max ＝2×1＝ 2.
8．已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋b 的定义域是⎣⎡⎦⎤0，π
2，值域是[－5,1]，求a ，b 的值．
解：∵0≤x ≤π
2，
∴π6≤2x ＋π6≤7π6， ∴－1
2
≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1. 当a >0时，⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－5，3a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝2，
b ＝－5.
当a <0时，⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，3a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－2，
b ＝1.
因此a ＝2，b ＝－5或a ＝－2，b ＝1.。