夹角与距离

（1）A＝(1, 1, 0), B＝(1, 1, 1);
1
（2）C＝(－3, 1, 5), D＝(0, －2, 3);
22
3. 已知: A(1, －2, 11), B(4, 2, 3), C(6, －1, 4),
求证：△ABC是直角三角形。

证明：∵ AB ＝(3, 4, －8), AC ＝(5, 1, －7),
E1
C
y
x
M
B
解：不妨设正方体的边长为1，建立空间直角坐标系
O—xyz，则
B1 (1, 1, 1 ), M(1, 1 , 0), D( 0, 0, 0), C (0, 1 , 0 ).

DB1 ＝(1, 1, 1 ) CM

2
＝ (1, － 1 , 0)
1
cos DB1, CM
M
1 OM= 2 (OA+OB)
y
2 2 2
o x
A(3,3,1)
d A, B 1 3 0 3 5 1 29
例1.已知A(3,3,1)，B(1,0,5)求： (2)到A、B两点距离相等的点P(x,y,z)的坐标
x,y,z满足的条件. 解：设点P(x, y, z) 到A、B的距离相等, 则 dP,A＝dP,B
如果a⊥α ，那么向量a叫做平面α的法向量
1.三个公式： 向量的长度公式； 两个向量的夹角公式； 空间两点间的距离公式。 2.平面的法向量。 3.空间直角坐标系的建系方法。 4.类比法研究数学问题。 作业：P42 6、7、8、9
;
算命
hnq913dgk



a＋ b ＝(a1＋b1, a2＋b2, a3＋b3 ) a － b ＝(a1－b1, a2－b2, a3－b3 ) ＝ a1b1+a2b2+a3b3 ＝ | a | | b |cosθ a b a ＝λ b (λ∈ R) a ∥b


a ⊥b
3 BE1 ＝ (1, 4 , 1)－ (1, 1, 0 ) ＝ (0, － 1 4 , 1 )， 1 1 DF1 ＝ (0, 4 , 1)－ (0, 0, 0 ) ＝ (0, 4 , 1 )，
O—xyz，则 B (1, 1, 0 ), E1 (1, 3 , 1), D( 0, 0, 0), F1 (0, 1 , 1 ). 4
O,B为垂足
求证：OA∥BD 证明：以点O为原点， 以射线OA为非负z轴， 建立空间直角坐标系Oxyz，i,j,k为沿x轴，y轴， z轴的坐标向量，且设 BD=(x,y,z).
A
z
D
y
α
x
k i oj
B
A
z
D
∵ BD ⊥α ， y B j ∴ BD ⊥ i ， BD⊥ . α x ∴ BD i ＝(x, y, z ) ( 1, 0, 0 ) ＝ x ＝ 0,
k i oj
BD j ＝(x, y, z ) ( 0, 1, 0, ) ＝ y ＝ 0,
∴ BD＝( 0, 0, z ).



∴ BD＝z k ∴ BD∥ k ，又知O、B为两个不同的点，
∴ B如果表示向量a的有向线段所在直线垂 直于平面α，则称这个向量垂直于平面α， 记作a⊥α

a1 ＝λb1, a2 ＝λb2, a3 ＝λb3,

a b ＝ 0
a1b1+a2b2+a3b3＝0
一、向量长度公式
设

a＝(a1, a2, a3)， b ＝ (b1, b2, b3)，则 ＝ a 2 a a | a |＝ a a

| b |＝

＝ b 2 b 2 b 2 1 2 3 bb
2
( x 3) y 3 z 1 x 1 y 0 z 5
2 2 2 2
2
化简，得 4x+6y-8z+7=0
即到A,B距离相等的点的坐标（x,y,z)满足的 条件是 4x+6y-8z+7=0
z B(1,0,5)
M
o x
A(3,3,1)
1
2
2
2 3
二、两向量的夹角公式
a b cos a, b | a | | b |

ab a b a b a a a b b
1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 1 2 3 1
2
2
b3
2
;
三、空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中， 已知A( x1 , y1 , z1 ), B( x2 , y2 , z 2 ),则 | AB | AB AB ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z 2 z1 ) ;


BC ＝(2, －3, 1)
∴ BC AC＝5×2＋1 ×(－3) ＋(－7) ×1 ＝0 ∴ BC ⊥ AC ∴ BC⊥AC

∴ △ABC为Rt △。
例1.已知A(3,3,1)，B(1,0,5)求：
(1)线段 AB的中点坐标和长度； z B(1,0,5) 设M是AB的中点，则
2 DB CM
| DB1 | | CM |
1 1 0 15 2 ， 15 1 3 1 4
例3. 求证：如果两条直线同垂直于一个平面，
则这两条直线平行。
已知：直线OA⊥平面α，直线BD⊥平面α，
O,B为垂足
求证：OA∥BD
A
D
α
o
B
已知：直线OA⊥平面α，直线BD⊥平面α，
2 2 2
或dA,B＝ ( x2 x1)2 ( y2 y1)2 ( z2 z1)2
1. 求下列两个向量的夹角的余弦：
（ 1） a ＝( 2, －3,
1 2

3 ),

b＝(1, 0, 0 );

＝(－1, －1 ，1), （ 2） a
b＝(－1, 0, 1)。
6 3
2. 求下列两点间的距离：
y
求到下列两定点距离相等的点的坐标满足的条件： （1）A(1, 0, 1), B(3, －2, 1); x－ y－ 3 ＝ 0 （2）A(－3, 2, 2), B(1, 0, －2)
2x－y－2z＋3＝0
例2. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1E1＝ A1B1 D1F1＝ ，求BE1与DF1所成的角的余弦值。
4
z
D1 A1 D A x F1 B1 C1
E1 O
解：以D为原点， DA,DC,DD1分别为x轴， y轴，z轴建立直角坐标 系.
y
C
B
不妨设正方体的边长为1，建立空间直角坐标系
17 | DF | 17 ， | BE1 | ， 1 4 4 1 1 15 BE1 DF1 0 0 ( - ） 1 1 ， 4 4 16

4
15 15 BE1 DF1 16 ， cos BE1 , DF1 17 17 17 | BE1 | | DF1 | 4 4
如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB 的中点，求对角线DB1与CM所成的角的余弦值。
z D1 A1 D A F1 B1 C1
轻松愉快起来，爽啊！爽！似乎每个细胞都打开了气孔，真的太爽了！马启明微闭着眼睛，完全沉浸在美妙的、如痴如醉的感觉中了。 马启明还是第一次喝到如此清爽甘冽的啤酒，瞬间的沉醉让他心中更加充满了期待，他在美滋滋地想：今生今世从事这么美好的职业---酿造美酒的同时，也在酿造自己的美好人生，心头有一种美滋滋、甜蜜蜜的感觉。他觉得嘴长在自己的身上确实太享受了，没有白来这 个世上。马启明忽然觉得，他就是为啤酒而生的！“走吧！”张钢铁的一句话，把马启明从梦境中轻轻地拽回到现实当中。从发酵工段 出来后，张钢铁眯着两只眼睛，目不转睛地注视着马启明，发问道：“传统发酵你还想去看吗？那可是我们最早的发酵车间，传统发酵 的酒比露天发酵的酒可要好喝多了。我在这儿干了二十年多年，可惜因操作繁琐、能耗大、产量低，马上也要象老糖化一样停产了，真 舍不得呀！”说完长长叹了口气。马启明看着张钢铁惋惜的神情，为了弥补刚才的口误，怕拂逆了张钢铁的好意，赶紧说：“那是必须 的。张主任，我从没见过传统发酵，还真想去看一看。”张钢铁一扫刚才的不愉快，立刻笑着答应道：“好！不过，传统发酵里面很冷， 有4℃以下呢，必须要穿棉衣棉裤，还要换上长统雨靴。走！” 说着便将马启明带到更衣间。马启明觉得，欣赏别人，是对别人最好的 尊重。穿好公用的棉袄棉裤和长统雨靴，马启明感觉马上变成了爱斯基摩人，臃肿得像个橄榄球一样。他跟着张钢铁来到传统发酵门口， 张钢铁刚拉开那扇厚重的大木门，一股阴冷潮湿的冷气便扑面而来，里面黑幽幽的，一时什么都看不见，从里面传来马达呜呜呜的响声， 就像《西游记》里面的黑风洞一样，又像到了阎王爷的阴曹地府一样，怪吓人的。张钢铁立刻关上木门熟悉地朝前走去，马启明却站在 消毒池中，几乎什么都看不见，心怦怦乱跳，一动也不敢动，感觉就像黑夜爬华山长空栈道一样，稍有不慎，就会掉入万丈深渊。片刻， 只听到张钢铁的声音从前面传过来：“小马，消毒池上面没有灯，前面就有灯了，你尽管往前走就行了。”马启明从亮处一下走到暗处， 眼睛一时半会儿还没适应过来，而且他从来没到过传统发酵，对里面的情况一无所知，心里感到即害怕又刺激，汗毛一根根都竖起来了， 身体唯有站在那里一动不动，声音颤抖地问道：“张……主任，我什么……都看不见，怎么……走呀？”“那你等一会儿。” 张钢铁走 到马启明身边，拉起他的手小心翼翼地走过消毒池。前方昏黄的灯光还是让马启明眼前一片模糊，只得颤颤巍巍、深一脚浅一脚地往前 慢慢移。过了好一会儿，马启明眼睛才逐渐地适应过来了。他看见左右两边，上下两层横卧着许多十八吨左右、被漆成黄色的大铁罐， 像是走到了一个秘密底