空间向量的夹角和距离公式.
1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题之二：夹角问题
法向量的夹角即可.
典型例题
例5如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2,AA1=3,∠ACB=90°,P为BC的
中点，点Q, R分别在棱AA1,BB1上，A1Q=2AQ,BR=2RB1.求平面PQR与平面
A1B1C1夹角的余弦值.
解：先做出平面PQR与平面A1 1 1 的
典型例题
例5如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2,AA1=3,
∠ACB=90°,P为BC的中点，点Q, R分别在棱AA1,BB1上，
A1Q=2AQ,BR=2RB1.求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值.
分析：因为平面PQR与平面A1B1C1的夹角
可以转化为平面PQR与平面A1B1C1的法向
若异面直线l1,l2所成的角为 (0 ≤ ) ，其方向向量分别为 , Ԧ
则 =< , Ԧ >, 或 = −<, >
Ԧ
2
∙ Ԧ
= < , Ԧ > =
Ԧ
不要将两异面直线所成的角与其方向向量的夹角等
同起来,因为两异面直线所成角的范围是0 ≤ ,而
交线。
做PE⊥ 1 1 于E,则PE//Q1 ,PQ∩
1 = .
PR∩ 1 1 = ,则GH即为平面PQR与
平面A1 1 1 的交线。
做PF⊥ 于F,连C1 , ∠1 就是平面
PQR与平面A1 1 1 的二面角的平面角。
我们在⊿PF1 中求∠1 ，接下去就是
= < 1 , 2 > =
.
1 2
反思：1、三式中到底是sin还是cos，我们要通过记图来记住公
空间向量的夹角与距离求解公式-高中数学知识点讲解
空间向量的夹角与距离求解公式1．空间向量的夹角与距离求解公式【知识点的认识】1．空间向量的夹角公式→→设空间向量푎=（a1，a2，a3），푏=（b1，b2，b3），→→cos＜푎，푏＞=→→푎⋅푏→→|푎|⋅|푏|=푎1푏1+푎2푏2+푎3푏3푎12+푎22+푎32⋅푏12+푏22+푏32注意：→→→→（1）当 cos＜푎，푏＞= 1时，푎与푏同向；→→→→（2）当 cos＜푎，푏＞=― 1时，푎与푏反向；→→→→（3）当 cos＜푎，푏＞= 0时，푎⊥푏．2．空间两点的距离公式设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则→퐴퐵=(푥2―푥1，푦2―푦1，푧2―푧1)→d A，B＝|퐴퐵| =→퐴퐵⋅→퐴퐵=(푥2―푥1)2+(푦2―푦1)2+(푧2―푧1)2．【解题思路点拨】1．求空间两条直线的夹角建系→写出向量坐标→利用公式求夹角2．求空间两点的距离建系→写出点的坐标→利用公式求距离．【命题方向】（1）利用公式求空间向量的夹角→→例：已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量퐴퐵与퐴퐶的夹角为（）1/ 3A.30°B.45°C.60°D.90°→→→分析：由题意可得：퐴퐵=(0，3，3)，퐴퐶=(―1，1，0)，进而得到퐴퐵⋅→→→→→퐴퐶与|퐴퐵|，|퐴퐶|，再由cos＜퐴퐵，퐴퐶＞=→→퐴퐵⋅퐴퐶→→可得答案．|퐴퐵||퐴퐶|解答：因为A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），所以→→퐴퐵=(0，3，3)，퐴퐶=(―1，1，0)，→所以퐴퐵⋅→→→퐴퐶═0×（﹣1）+3×1+3×0＝3，并且|퐴퐵|＝3 2，|퐴퐶| = 2，→→所以 cos＜퐴퐵，퐴퐶＞=→→퐴퐵⋅퐴퐶→→|퐴퐵||퐴퐶|=332×2=12，→→∴퐴퐶的夹角为 60°퐴퐵与故选C．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握由空间中点的坐标写出向量的坐标与向量求模，以及由向量的数量积求向量的夹角，属于基础试题．（2）利用公式求空间两点的距离例：已知空间直角坐标系中两点A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），则A，B 两点间的距离是（）A.3B. 29C.25D.5分析：求出AB 对应的向量，然后求出AB 的距离即可．解答：因为空间直角坐标系中两点A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），→→所以퐴퐵=（﹣3，0，﹣4），所以|퐴퐵|=(―3)2+02+(―4)2= 5．故选D．点评：本题考查空间两点的距离求法，考查计算能力．2/ 33/ 3。
空间向量的夹角和距离公式(讲课)
a//b a 1 b 1 ,a 2 b 2 ,a 3 b 3 ( R ) ;
a 1/b 1a 2/b 2a 2/b 2 . a b a1b 1a2b2a3b30;
二、距离与夹角 （1）空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，已知 A(x1 , y1 , z1) 、 B(x2 , y2 ,z2)，则
例2 如图，在正方体 A B C DA 1B 1C 1D 1中，B1E1
D1F1
A1B1 4
，求
BE1
与
D
F1
所成的角的余弦值。
z
D1
F1
C1
D F 1 0 , 1 4， 1 (0 ,0 ,0 ) 0 , 1 4， 1 .
A1
E1 B1
B E 1D F 1 0 0 1 4 1 4 1 1 1 1 6 5,
| AM| 5 30 6.故 点 A到 直 线 EF的 距 离 为6.
2 10 4
4
课堂练习：
1 . 若 正 方 体 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 的 边 长 为 1 , E , F 分 别 是
C C 1 , D 1 A 1 的 中 点 . 求 ( 1 ) < F E , F A , ( 2 ) 点 A 到 直 线 E F 的 距 离 .
D1
F A1
C1 B1
E
2021/3/11
D A
C B
9
课堂练习：
1 . 若 正 方 体 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 的 边 长 为 1 , E , F 分 别 是
C C 1 , D 1 A 1 的 中 点 . 求 ( 1 ) < F E , F A , ( 2 ) 点 A 到 直 线 E F 的 距 离 .
高一数学《夹角和距离公式》
距离问题
【例 2】 已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，点 E、F 分别在 DA1、AC 上，且 EF⊥A1D，EF⊥AC.求 EF 的长．
∵EF⊥AC，EF⊥DA1，
∴EDFA―1―→→·A·ECF――→→＝＝ab－－ba＋－1a－＝b0＝0
⇒
a＝13 b＝32.
∴E，F 坐标分别为(13，0，13)，(23，13，0)，
∴EF＝|EF―→|＝ 23－312＋13－02＋0－132＝ 33.
求线段的长度，可以利用公式|a|＝ a·a来求，也可以选择适当的空间直角坐 标系，由 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，用两点间的距离公式
nn··ab＝ ＝00 .
④解方程组，取其中的一个解，即得法向量． (3)方法二必须建立空间直角坐标系，方法一不一定要建立空间直角坐标系． (4)在求平面的法向量时，要先找有没有和平面垂直的直线，若没有则用待定系数法．
(5)在利用方法二求解平面的法向量时，方程组nn··ab＝ ＝00 有无数多个解，只需给 x，y，z
dA，B＝ x2－x12＋y2－y12＋z2－z12求解．
变式训练 21：如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，边长为 1，M、N 分别是 AD1， BD 上的动点，且 D1M＝DN＝a(0＜a＜ 2)，求 MN 的最小值．
解：如图所示，建立空间直角坐标系 则 M( 22a,0,1－ 22a)，N( 22a， 22a,0)， ∴NM＝ 22a－ 22a2＋0－ 22a2＋1－ 22a－02
空间向量的距离和夹角公式
例2 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、 D1 B1的中點，求證：EF⊥ DA1
例3 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、 CD的中點，求證：D1F⊥ 平面ADE
例4 如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知
B1E1
D1F1
1 4
AB
，與BE1與DF1所成的角的余弦值。
BC=1，AA1=√6，M是棱CC1的中點，
求證：A1B⊥AM
C1
B1
A1
M
C
B
A
3、在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別
是DD1，DB中點，G在棱CD上，CD=4CG，H是C1G的
中點，
z
(1) 求證：EF⊥B1C ；
D1
C1
A1 E
B1 H
D
G
C y
F
A
B
x
3、在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別
| a| | b |
a12 a22 a32 b12 b22 b32
(2) 空間兩點間的距離公式 在空間直角坐標系中，已知A(x1 , y1 , z1),
B(x2 , y2 , z2)，則
AB (x2 x1, y2 y1, z2 z1)
| AB | AB AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
是DD1，DB中點，G在棱CD上，CD=4CG，H是C1G的
中點，
z
(2) 求EF與C1G所成的角的余弦； D1
C1
(3) 求FH的長。A1 EB1 H NhomakorabeaD
G
C y
F
高一数学《夹角和距离公式》
做一做： 教师备用：已知 a＝(0，－1,1)，b＝(1,2，－1)，则 a 与 b 的夹角等于( D ) (A)30° (B)60° (C)90° (D)150°
解析：a·b＝0－2－1＝－3，
|a|＝ 2，|b|＝ 1＋22＋1＝ 6，
∴cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝
－3 ＝－ 2· 6
nn··ab＝ ＝00 .
④解方程组，取其中的一个解，即得法向量． (3)方法二必须建立空间直角坐标系，方法一不一定要建立空间直角坐标系． (4)在求平面的法向量时，要先找有没有和平面垂直的直线，若没有则用待定系数法．
(5)在利用方法二求解平面的法向量时，方程组nn··ab＝ ＝00 有无数多个解，只需给 x，y，z
角时可以在两条异面直线上分别取出两个向量，通过求这两个向量所成的角来求异面直线所
成的角，但需注意异面直线所成角范围(0°，90°]，注意这两个角相互转化时范围的不同．
知识要点二：线段的长度的求法
1．利用 a·a离公式来求．
知识要点三：对平面法向量的理解 1．所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然，一个平面的法向 量有无数多个，它们是共线向量．由于过直线外一点作与已知直线垂直的平面有且只有一个， 因此，在空间中，给定一个点 A 和一个向量 a，那么以向量 a 为法向量且经过 A 的平面是唯 一确定的． 2．求平面法向量的方法 (1)方法一：找到一条与已知平面垂直的直线，则该直线的任意方向向量都是该平面的法 向量． (2)方法二：待定系数法 若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求 解，一般步骤如下： ①设出平面的法向量为 n＝(x，y，z)． ②找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)． ③根据法向量的定义建立关于 x、y、z 的方程组
向量法求空间的距离和角
所以异面直线BD与D1A间的距离为
3 。 3
(2) A1 B1 = (0,1, 0), 设n = ( x, y, z )是平面A1DB的一 个法向量，因为DA1 = (1, 0,1), DB = (1,1, 0)， ì ì x +z = 0 nDA1 = 0 镲 由眄 即 取x = - 1, 镲 î x+y =0 î nDB = 0 | nA1 B1 | 1 2 于是n = (-1,1,1, )，且 = = 。 2 |n| 2 2 所以点B1到平面A1 BD的距离为 。 2
例1：如图1所示： 三棱柱ABC - A1 B1C1中，CA=CB， AB = AA1， ? BAA1 60o， （ 1）求证：AB^ A1C （2）若平面ABC ^ 平面AA1 B1 B， AB =CB，求直线A1C与平面BB1C1C 所成角的正弦值。
C C1
B A A1
B1
图1
C
C1
O
B A1
Z
解：由(1)知OC ^ AB，OA1 ^ AB， 又平面ABC ^ 平面AA1 B1 B，交线 为AB，所以OC ^ 平面AA1 B1 B， 故OA、OA1、OC两两相互垂直。 建立如图所示的空间直角坐标系 A
O
C
C1
B A1
B1 图1-2
X o - xyz 设AB = 2,由题设知A(1, 0, 0)、B(- 1, 0, 0)、C (0, 0, 3)、A1 (0, 3, 0), 则BC = (1, 0, 3)、 BB1 = AA1 = (- 1, 3, 0)、 A1C = (0, - 3, 3). 设n = ( x, y, z )是平面BBCC的法向量，则 ì x + 3z = 0 ì nBC = 0 镲 即 可取n = ( 3,1, -1)， 眄 镲 î nBB1 = 0 î - x + 3y = 0 nA1C 10 故 cos < n, A1C >= =. 5 | n | ×| A1C |
空间向量的夹角和距离公式PPT教学课件
定理三：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积 是S，高是h，那么它的体积是 V锥体＝ 1 Sh
推论：如果圆锥的底面半3径是r，高是h， 那么它的体积是 V圆锥＝ 1 πr2h
3
例题一：如图：已知三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底
面BCD，侧面ABC与底面所成的角为θ 求证：V三棱锥＝ 1 S△ABC·ADcosθ
3
A’
C’ 把三棱锥1以
△ABC为底面、
B’
AA1为侧棱补成 一个三棱柱。
A
C
B
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
它的体积是 V三棱锥＝ 1 Sh
3
连接B’C,然后
A’
C’ 把这个三棱柱
3
分割成三个三
B’
2
棱锥。 就是三棱锥1
１
和另两个三棱
A
C
锥2、3。
B
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
1 13
问题2、解答过程中的
A
3
×2
BC ·AEcosθ·AD其中 1 AEcosθ·AD可表示意思？
2
分析：
B θ
E C
∵AEcosθ＝ED
1
D ∴S△AED＝ 2 ED·AD 又BE与CE都垂直平面AED，故BE、CE 分别是三棱锥B-AED、C-AED的高。
结论： V三棱锥＝VC-AE D＋VB-AE D
高也相等（顶点都是A’）。
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
它的体积是 V三棱锥＝ 1 Sh
A’
A’
3
A’
2 B’
3
C’
B’
1
A
C
C
空间向量夹角公式大全
空间向量夹角公式大全空间向量是三维空间中的向量，它们具有长度和方向。
在空间中，向量之间的夹角是一个重要的概念，它可以帮助我们理解向量之间的关系，以及在实际问题中的应用。
本文将介绍空间向量夹角的相关概念和公式，帮助读者更好地理解和运用空间向量的知识。
1. 向量的夹角概念。
在二维平面中，我们可以通过向量的数量积来计算它们之间的夹角。
而在三维空间中，向量的夹角的计算则需要借助向量的数量积和向量的模长来进行。
具体而言，设有两个向量a和b，它们之间的夹角θ满足以下公式：cosθ = (a·b) / (|a| |b|)。
其中，a·b表示向量a和b的数量积，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长。
这个公式可以帮助我们计算任意两个向量之间的夹角，从而更好地理解它们之间的关系。
2. 向量夹角的计算方法。
在实际问题中，我们可能需要计算两个向量之间的夹角，以便解决一些几何或物理问题。
为了方便计算，我们可以通过向量的坐标表示来求解夹角。
具体而言，设向量a和b的坐标分别为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)，则它们之间的夹角θ可以通过以下公式计算：cosθ = (a1b1 + a2b2 + a3b3) / (sqrt(a1^2 + a2^2 + a3^2) sqrt(b1^2 + b2^2 + b3^2))。
这个公式可以帮助我们在实际问题中快速准确地计算出向量之间的夹角，从而更好地应用空间向量的知识。
3. 向量夹角的性质。
除了计算向量夹角的公式外，向量夹角还具有一些重要的性质。
首先，向量夹角的范围是[0, π]，即夹角的取值范围在0到180度之间。
其次，当两个向量夹角为0时，它们是共线的；当夹角为π/2时，它们是垂直的；当夹角为π时，它们是相反的。
这些性质可以帮助我们更好地理解和判断向量之间的关系。
4. 应用举例。
最后，我们通过一个具体的应用举例来展示空间向量夹角的计算和应用。
假设有两个向量a(1, 2, 3)和b(4, 5, 6)，我们需要计算它们之间的夹角。
高三数学空间向量夹角与距离
设a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3)
a//b
a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3（λ∈R）
a⊥b
a1b1+a2b2+a3b3=0
例1.已知A(3,3,1)，B(1,0,5)求：
确实是一种不好的行为，它会给人们带来不幸和灾难，但也有些“闯祸”恰恰是对旧事物的破坏，对旧传统的反叛，因此，就带有一种革命性的色彩，具有创新的内涵。你可以写写生活中的这类事件，也可以虚构故事来表现这一道理。 25、21世纪世界教育的核心主题之一是“学会共同生 活，”而“学会共同生活”的核心内容是“学会合作”。 试围绕“学会合作”的话题，写一篇600字左右的文章，题目自拟，文体不限。 思路点拨 合作的领域很多，同学们可以从自己的学习与生活中选取材料，可以写与老师、家长、同学、朋友等熟悉的人合作，也可以写与陌生人合作，还 可以写与集体的合作，更可以写与“自己”合作（学会用理智控制自己的感情，或自己的毅力与勤奋等）。可从大处着眼，也可以从小处说起；可高层建瓴叙谈，也可以小见大行文；既可写正面的（成功的）合作经历，也可写反面的（失败的）合作经历。可以写记叙文，也可写议。可以表达 这样的主题：合作是事业取得成功的保，合作万事兴。 26、阅读下面的材料，根据要求作文。 1830年，法国作家雨果同出版商签订合同，半年内交出一部作品。于是，雨果把外出的所有衣服锁进柜子里，把钥匙扔进了湖里，彻底断了外出会友和游玩的念头，一心写作，文学巨著《巴黎圣母 院》就是这样写成的。是的，在漫漫人生路上，往往只有不留下退路，才更容易赢得出路。当我们难以驾驭自己的惰性和欲望，不能专心致志地前行时，不妨也采取一些斩断退路之举，逼着自己全力以赴地寻找出路，走向成功。 请以“不留退路，才有出路”为题写一篇作文，所写内容必须 与“退路和出路”有关，文体不限，文题自拟，不得少于800字，不得抄袭。 27、阅读下面的材料，根据要求作文。 登山的人，有的目不旁视，奋力攀登，他执著于到达峰顶的瞬间风光；有的则流连沿途风景，且走且赏，山顶不过是他歇脚的地方。不只登山，生活也是这样：两种心态，两 种行为，两种价值观。你怎么看待这个问题呢？ 请以“进取心与平常心”为题，联系现实生活，写一篇文章。自定立意，自拟标题，自选文体，不少于800字。 28、阅读下面的材料，根据要求作文。 巴豆，药性最能泻，但只要用量适度，非但不会引起腹泻，反倒能治好腹泻，剂量大了才会 引起严重腹泻。 由此，你会得到哪些启示？请以“度”为题，写一篇作文。题目自拟，立意自定，文体自选，不少于800字。 29、联系生活实际，以“包装”为题，写一篇不少于800字的作文，立意自定，题目自拟，文体不限。 [写作提示]联系现实生活，说明包装是为了使产品美观，吸引 消费者乐于购买，收到外观与内质相得益彰的效果。而今有些“包装”，诸如歌星矫揉造作，打扮过分；商品包装花样翻新；房屋装修华而不实。凡此种种，其效果适得其反，追求形式而损害了内容。要结合画面寓意予以剖析。 30、阅读下面的材料，根据要求作文。 两只蚂蚁想翻越一段墙， 寻找墙那边的食物。这段墙长有20米，高有10米。其中一只蚂蚁来到墙脚就毫不犹豫地向上爬去，可每爬到大半时，就会因劳累跌落下来。可是它不气馁，它相信只要付出就会有回报。一次次跌下来，它都迅速地调整一下自己，重新开始向上爬。 而另一只蚂蚁观察一下，决定绕过这段墙。 很快地，这只蚂蚁绕过这段墙来到食物面前，开始享用起来；而那只“勇敢”“坚定”的蚂蚁还在不停地跌落下去，又重新开始。 很多时候，我们赞扬那些做事情锲而不舍的人，但是往往忽视方向的选择与方法的运用。实际上，成功需要坚持，也需要方向、机遇、方法。请以“坚持与选择” 为题写一篇不少于800字的文章。立意自定，文体自拟。 三、半命题作文预测 31、请以“听听那 的声音”为题，写一篇作文。可讲述你自己或身边的故事，抒发你的真情实感，也可阐明你的思想观点。 【注意】①把题目补充完整。②立意自定，角度自选。③除诗歌外，文体不限。④不少 于800字。⑤不得抄袭。 写作点拨 这个命题非常贴近学生的生活可以写自然界的各种声音，也可以写家庭中、社会上的各种声音，还可以写心灵的声音等等等等。而我们要选择的，是最最触动我们心灵的声音。 32、阅读下面材料，按要求作文。 喧闹、快节奏的生活和工作给人们带来了满 足，也带来了烦恼。心灵时常被搓揉得疲惫不堪。那么，我们该到哪里去寻找心灵的憩息地呢？ 请以“让心灵在 中憩息”为标题写一篇文章，文体自选，立意自定，字数不少于800，不得抄袭和套作。 思路点拨 这是一篇半命题作文。文题“让心灵在 中憩息”包含着一定的哲理意义。审题 立意的关键在于明确设定“心灵”与“憩息”的含义，并准确把握“憩息”的条件。可以选择宽容、爱等。 33、“? 的滋味” 以“? 的滋味”为题，写一篇记叙文。 要求：①补全题目；②自定立意；③不少于800字。 思路点拨： 文题中的“滋味”本义是“味道”，喻义是“某种感受”。 为此，本文的写作要注意以下三点：一是缘事生感。必须叙写一个中心事件，或围绕一个中心叙写一组事件，在此基础上生发出自己的内心感受。而且，只有事件叙写得“厚实”，生发的感受才会“真切”。那种通篇无事、跟着感觉走的文章只会给人以无病呻吟、为赋新词强说愁之感。二是 多法生感。对于“感受”的生发，既可先“事”后“感”，卒章生发，升华情感；也可将“感受”融化在“事件”的叙写过程之中，“生发”于无痕。三是用足描写。中学生的生活一般都是风平浪静的，很难“惊世骇俗”，很难给人以“超级震撼”。那么，要想在“平凡的世界”里生发出让 人怦然心动的感受，就必须用敏锐的触觉去捕捉，用细腻的笔触去描写生活中那些让人的心灵为之一颤的场景、画面、镜头，让读者的心弦在你柔柔地拨弄下产生出共鸣，这样才能收到“平凡的人给我以最多感动”的构思之效。 34、阅读下面的文字，根据要求作文。 人类要面对自然，个人
距离和夹角公式(空间向量) 精品
D1
C1
思路二:利用空间向量的知识,
转化为求 EF和BG的 夹角,进一步转化为求 它们的数量积和长度.
B1 D
G
Cy F A E B
x
问题:正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为AB,BC, CC1的中点,那么EF与BG所成角的余弦值为----z 解:不妨设已知正方体的棱长 为1个单位长度,且设DA=i D1 C1 DC=j,DD1=k,以i,j,k为坐标 向量建立空间直角坐标系 G A1 D-xyz B1
cos a, b a b | a ||b |
a1b1 a2b2 a3b3 a1 a2 a3 b1 b2 b3
2 2 2 2 2 2
;
a b a1b1 a2b2 a3b3 ;
| a | a a a1 a2 a3
2 2 2 2
| b | b b b b2 b3
2
2 1
2
2
练习:求下列向量的夹角的余弦: (1)a=(2,-3, 3), b=(1,0,0) (2)a=(-1,-1,1), b=(-1,01,)
思 已知A（0,2,3)、B（ 2,1,6), C (1,1,5), 用向量 考
方法求ABC的面积S。
距离和夹角公式
(空间向量)
复习
空间向量的数量积: a b a b cos a, b 空间向量的坐标运算:
设a (a1, a2 , a3 ),b (b1 , b2 , b3 )则
a b a1b1 a2b2 a3b3 ;
请思考： 2+a 2+a 2 2 a· a= a 1 2 3 |a| = |a|= √ a12+a22+a32 b=b12+b22+b32 |b|2= b· |b|= √ b12+b22+b323页第7题,第9题
1.4.2-用空间向量研究距离、夹角问题
探究 已知直线l的单位方向向量为u, A是直线l上的定点，P是直线l外一点. 如何利
用这些条件求点P到直线l的距离? 如图示，向量AP在直线l上的投影向量为 AQ ，则△APQ是直角
u
P
三角形，因为A，P都是定点，所以|AP|，AP 与 u 的夹角∠PAQ都
dn
是确定的. 于 是可求 |AQ|. 再利用勾股定理，可以求出点P到直线l
点C1到平面AB1 E
的距离为 |
C1B1 |n|
n
|
1 3
.
D
A x
F
C
y
B
即直线FC1到平面AB1
E的距离为
1 3
.
3. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面A1DB与平面D1CB1的距离.
解 : 平面A1DB//平面D1CB1,平面A1DB与平面D1CB1的距离 z
MN AN AM
1 ( AB AF ) 1 ( AB AD)
2
2
1 (c b) 2
∴|MN|2 1 (c b )2 1 ,
4
2
∴|MN| 2 ,即MN 2 .
2
2
【巩固训练4】如图，两条异面直线a, b所成的角为θ，在直线a, b上分别取点A′, E和
点A, F，使AA′⊥a，且AA′⊥b (AA′称为异面直线a, b的公垂线). 已知A′E=m, AF=n，
易得C1 (0, 1, 1),
A(1,
0, 0),
E(0,
0,
1 ). 2
E
∴C1 A
(1,
1, 1),
AE
(1, 0,
1 ). 2
D
F
空间向量的所有公式。
空间向量的所有公式。
空间向量的所有公式1. 向量的定义公式如果 A 和 B 是两个点，则向量 A B 可以用坐标表示为AB = (Bx - Ax)i + (By - Ay)j + (Bz - Az)k2. 向量的模长公式向量的模长表示向量的大小，可以使用以下公式计算|AB| = sqrt((Bx - Ax)^2 + (By - Ay)^2 + (Bz - Az)^2)3. 向量的加法公式设向量 A = (Ax, Ay, Az) 和 B = (Bx, By, Bz)，则 A + B 的结果可以表示为A +B = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j + (Az + Bz)k4. 向量的减法公式设向量 A = (Ax, Ay, Az) 和 B = (Bx, By, Bz)，则 A - B 的结果可以表示为A -B = (Ax - Bx)i + (Ay - By)j + (Az - Bz)k5. 向量的数量积公式向量的数量积可以使用以下公式计算A ·B = |A| |B| cosθ其中 |A| 和 |B| 分别表示 A 和 B 的模长，θ 表示两个向量之间的夹角6. 向量的向量积公式向量的向量积可以使用以下公式计算A ×B = (AyBz - AzBy)i + (AzBx - AxBz)j + (AxBy - AyBx)k7. 向量的投影公式向量的投影表示一个向量沿着另一个向量的方向的分量，可以使用以下公式计算projAB = (A · B) / |B|其中 A 表示被投影向量，B 表示投影方向8. 向量的夹角公式向量的夹角可以使用以下公式计算cosθ = (A · B) / (|A| |B|)θ = acos((A · B) / (|A| |B|))其中 A 和 B 表示两个向量，θ 表示两个向量之间的夹角这些是空间向量的基本公式。
根据这些公式，可以进行向量的计算、分解等操作。
高中数学必修知识点空间向量知识点
高中数学必修知识点空间向量知识点高中数学必修知识点：空间向量知识点在高中数学的学习中，空间向量是一个重要的知识板块。
它为我们解决空间几何问题提供了全新的思路和方法，使复杂的空间关系能够通过代数运算得以清晰展现。
接下来，让我们一起深入探索空间向量的奥秘。
一、空间向量的基本概念空间向量是指具有大小和方向的量。
与平面向量类似，空间向量也由起点和终点来确定。
但由于是在三维空间中，其表现形式更加丰富。
空间向量用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的模，也就是向量的大小。
而向量的方向则由有向线段的指向来确定。
在空间直角坐标系中，我们通常用坐标来表示空间向量。
若向量的起点坐标为$（x_1, y_1, z_1)＄，终点坐标为$（x_2, y_2, z_2)＄，则该向量的坐标为$（x_2 x_1, y_2 y_1, z_2 z_1)＄。
二、空间向量的运算1、加法和减法空间向量的加法和减法遵循三角形法则或平行四边形法则。
两个向量相加或相减，其结果仍然是一个空间向量。
例如，若有向量$＼overrightarrow{a}＝（x_1, y_1, z_1)＄，＄＼overrightarrow{b}＝（x_2, y_2, z_2)＄，则$＼overrightarrow{a} ＋＼overrightarrow{b} ＝（x_1 ＋ x_2, y_1 ＋ y_2, z_1 ＋ z_2)＄，＄＼overrightarrow{a} ＼overrightarrow{b} ＝（x_1 x_2, y_1 y_2, z_1 z_2)＄。
2、数乘运算实数$＼lambda$与空间向量$＼overrightarrow{a}＝（x, y, z)＄的乘积$＼lambda\overrightarrow{a}＝（＼lambda x, ＼lambda y, ＼lambda z)＄。
数乘运算改变向量的大小，但不改变向量的方向（当$＼lambda ＞0$时）或使向量反向（当$＼lambda ＜ 0$时）。
线到面的距离公式空间向量
线到面的距离公式空间向量
空间向量的夹角公式：cosθ=a*b/(|a|*|b|)1、a=(x1,y1,z1)，b=(x2,y2,z2)。
a*b=x1x2+y1y2+z1z2 2、|a|=√(x1^2+y1^2+z1^2)，|b|=√(x2^2+y2^2+z2^2)。
3、
cosθ=a*b/(|a|*|b|)
1.直线与面的夹角：求出直线的一个方向向量l和平面的一个法向量n,用向量的夹角公式求出两个向量夹角余弦cos＝m直线与平面所成角π/2-arccos|m|。
2.二面角：分别谋出来两个平面的法向量m,n利用公式谋出来两个法向量夹角余弦cos,二面角的平面角与两法向量夹角成正比或优势互补,（融合图确认,若两法向量同时指
向平面外或内则优势互补；若一个指向内一个指向外则成正比）。
3.点到面距离：设平面外一点a,找到平面内任意一点b,求出向量ab坐标,求平面一
个法向量n,则点a到平面距离d=|ab*n|/|n|。
4.线面平行的距离其实也就是点面距离（直线上任一一点至平面距离），所以带发修
行和点面距离方法一样,a在直线上投,b在平面内挑,先至面的距离d=|ab*n|/|n|（*则表
示数量内积,还有些向量符号没标箭头，你能够看看明白不）。
长度为0的向量叫做零向量，记为0。
模为1的向量称为单位向量。
与向量a长度相
等而方向相反的向量，称为a的相反向量。
记为-a方向相等且模相等的向量称为相等向量。
空间向量的夹角和距离公式
空间向量的夹角和距离公式
cosθ = (A·B) / (，A， * ，B，)
其中，A·B表示向量A和向量B的点乘，A，和，B，表示向量A和向量B的模。
点乘的计算方法如下：
A·B=A1*B1+A2*B2+A3*B3
其中，A1、A2、A3和B1、B2、B3分别表示向量A和向量B的三个分量。
模的计算方法如下：
A，=√(A1^2+A2^2+A3^2)
B，=√(B1^2+B2^2+B3^2)
其中，^2表示求平方根的操作。
夹角θ的取值范围是[0,π]，即0到180度。
此外，空间向量的夹角还可以通过向量的叉乘计算。
设有两个三维向量A和B，它们的夹角θ可以通过以下公式计算：
sinθ = ，A × B， / (，A， * ，B，)
其中，A×B表示向量A和向量B的叉乘。
叉乘的计算方法如下：
A×B=(A2*B3-A3*B2,A3*B1-A1*B3,A1*B2-A2*B1)
其中，A1、A2、A3和B1、B2、B3分别表示向量A和向量B的三个分量。
距离公式：
两点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)之间的距离可以通过以下公式计算：d=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)
其中，^2表示求平方根的操作。
这个公式适用于二维和三维空间的点之间的距离计算。
总结起来，空间向量的夹角可以通过点乘和叉乘计算，距离可以通过
坐标差的平方和再开方计算。
这些公式在物理学、几何学和计算机图形学
等领域有广泛应用。
空间向量及常用公式
空间向量及常用公式（1）共线：.)0(//b a b b a λλ=⇔≠使存在实数（2）若1=++⇔++=z y x C B A P OC z OB y OA x op 是共面、、、，则四点（3）空间两个向量的夹角公式232221232221332211,cos b b b a a a b a b a b a b a ++++++>=<（4）直线AB 与平面所成角)(arcsin 的法向量为平面ααm m AB mAB ⋅=（5）的法向量），为平面或的平面角二面角βαπθβαn m n m nm n m nm l ,(arccos arccos ⋅⋅=--- （6）三余弦公式：21cos cos cos θθθ=（7）空间两点间的距离公式 212212212,222111)()()(,,,,z z y y x x AB AB AB d z y x B z y x A B A -+-+-=⋅==则）（）（若（8）)()()(122PQ b PA a l l P b a a b a a h l Q ==⋅-=，向量的方向向量上，直线在直线点距离到直线点（9）异面直线间的距离n nCD d ⋅=（21,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C 、D 分别为21,l l 上任一点，D 为21,l l 间的距离）（10）点B 到平面α的距离)(ααα∈⋅=A AB n n nAB d 的一条斜线，是平面的法向量，为平面（11）异面直线上两点距离公式θcos 2222mn n m d AB -++=（12）面积射影定理 ),(cos θθ面角的为它们所在平面所成锐二、面积分别是平面多边形及其射影的S S S S ''=。