专题 概率与统计新题赏析--讲义
高考数学中的概率与统计题详解
高考数学中的概率与统计题详解概率与统计是高考数学中的重要内容之一，涉及概率、统计两个部分。
概率是研究随机事件发生的可能性，统计则是根据观察到的现象，对总体进行推断。
在高考中，概率与统计题往往需要运用一定的公式和推理能力来解答。
下面将详细介绍高考中常见的概率与统计题，并提供相关的解题技巧。
一、概率题概率题常见于高考数学中，考察学生对随机事件和概率的理解与计算能力。
下面将从基本定义、计算公式和常见类型等方面对概率题进行详解。
1.基本定义概率是事件发生的可能性大小的度量，用一个介于0和1之间的数表示。
当事件不可能发生时，概率为0；当事件一定发生时，概率为1。
2.计算公式(1)事件A的概率：P(A) = 事件A的可能结果数 / 样本空间的可能结果数。
(2)互斥事件的概率：P(A或B) = P(A) + P(B)。
(3)独立事件的概率：P(A和B) = P(A) × P(B)。
3.常见类型(1)选择题：将概率题与其他数学知识相结合，如求百分比、比例等。
解题时应根据题目给出的条件，利用计算公式进行计算。
(2)排列组合问题：对于不同颜色、大小、形状的球，求取满足某个条件的组合数。
解题时应根据题目所给条件，使用排列组合公式进行计算。
(3)事件的复合：求两个或多个事件复合后的概率。
解题时应根据题目所给条件，利用计算公式进行计算。
二、统计题统计题常见于高考数学中，考察学生对收集、整理和分析数据的能力，以及对统计方法的应用。
下面将从数据收集与整理、统计指标和抽样调查等方面对统计题进行详解。
1.数据收集与整理统计题要求学生根据给定的数据进行分析和计算。
在实际情境中，常见的数据收集方法有观察、问卷调查、实验等。
解题时应根据题目所给的数据，进行整理和清晰的分类。
2.统计指标统计指标是对统计数据进行度量和描述的指标。
常见的统计指标有均值、中位数、众数、标准差等。
解题时应根据题目所要求的统计指标，运用相应的公式进行计算。
2015届高考数学(理)一轮讲义：第13讲 排列、组合及二项式定理、概率与统计新题赏析 精品讲义
排列组合、二项式定理、概率与统计新题赏析主讲教师：陈孟伟 北京八中数学特级教师重难点突破●计数原理 ●二项式定理 ●概率 ● 统计新题赏析题一：从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )．A ．24B ．18C ．12D ．6题二：6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有__________种(用数字作答)．题三：从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是_________(用数字作答)．题四：已知5(1)(1)ax x ++的展开式中2x 的系数为5，则a =( )．A ．4-B ．3-C ．2-D ．1-题五：设m 为正整数，2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ，21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ，若137a b =，则m =( )．A ．5B ．6C ．7D ．8题六：将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体。
经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为X ，则X 的均值为()E X =( )．A ．126125 B ．65 C ．168125 D ．75题七：一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测。
方法一：在10箱子中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚。
国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为1p 和2p , 则( )．A ．12p p =B ．12p p <C ．12p p >D ．以上均有可能题八：某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物. 根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y （单位：kg ）与它的“相近”作物株数X 之间的关系如下表所示：这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．（1）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；（2）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．排列组合、二项式定理、概率与统计新题赏析新题赏析题一：B 题二：480 题三：590 题四：D题五：B 题六：B 题七：B题八：(1) 2=P ；（2）分布列： X()46=E Y0 1 2 3 4。
概率与统计【题集】-讲义(教师版)
概率与统计【题集】1. 条件概率与相互独立事件1.盒子中有个白球和个红球，现从盒子中依次不放回地抽取个球，那么在第一次抽出白球的条件下，第二次抽出红球的概率是 ．【答案】【解析】设事件为第一次抽取的为白球；设事件为第二次抽到红球，∴；∴第一次抽到白球条件下，第二次抽到红球的概率为．故答案为：．【标注】【知识点】超几何分布；条件概率A.B.C.D.2.甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛．若赛完局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．则甲在局以内（含局）赢得比赛的概率为（ ）．【答案】A【解析】用表示“甲在局以内（含局）赢得比赛”，表示“第局甲胜”，表示“第局乙胜”，则，，，，，，，∴．故选项．【标注】【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式2. 离散型随机变量的分布列、期望与方差A.B.C.D.3.设是一个服从两点分布的离散型随机变量，其分布列为：则的值为（）．【答案】A 【解析】，∴，∴．故选．【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；离散型随机变量的分布列A.B.C.D.4.已知随机变量的分布列如表（其中为常数）则等于（ ）．【答案】C【解析】由概率之和等于可知，∴．故选．【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列；概率的基本性质5.若随机变量的概率分布如表，则表中的值为 ．【答案】【解析】由随机变量的概率分布表得：，解得．故答案为：．【标注】【知识点】概率的基本性质；互斥事件的概率加法公式A. B.C.D.6.设离散型随机变量的分布列为（）．若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（ ）．【答案】AC【解析】由离散型随机变量的分布列的性质得︰，则，，即，离散型随机变量满足，∴，故结果正确的有．故选．【标注】【知识点】期望与方差的性质3. 两点分布7.已知随机变量服从两点分布，且，设，那么．【答案】【解析】∵随机变量服从两点分布，且，∴，∴，设，则．【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；两点分布A. B. C. D.8.设某项试验的成功率是失败率的倍，用随机变量去描述次试验的成功次数，则（）．【答案】C【解析】设失败率为，则成功率为．∴的分布列为：则“”表示试验失败，“”表示试验成功，∴由，得，即．故选．【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列9.若的分布列为：其中，则，．【答案】 ;【解析】，，故答案为：，．【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列A.和 B.和 C.和 D.和10.若随机变量服从两点分布，其中，则和的值分别是（）．【答案】D【解析】∵随机变量服从两点分布，且，∴，∴，，∴，．故选．【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；离散型随机变量的方差A. B. C. D.11.某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为，，，只有通过前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为（）．【答案】D【解析】某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为，，，只有通过前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为：．故选：．【标注】【知识点】两点分布；离散型随机变量的分布列；相互独立事件的概率乘法公式4. 次独立重复实验与二项分布A.，B.，C.，D.，12.已知随机变量服从二项分布，即，且，，则二项分布的参数，的值为（）．【答案】D【解析】由二项分布的期望和方差公式，，则，∴，，∴，∴．故选．【标注】【知识点】n次独立重复试验与二项分布A. B. C. D.13.已知服从二项分布的随机变量满足，则（）的值为（）．【答案】B【解析】．故选．【标注】【知识点】n次独立重复试验与二项分布14.一批产品的次品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的次品件数，则．【答案】【解析】∵一批产品的次品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的次品件数，∴，∴，故答案为：．【标注】【知识点】n次独立重复试验与二项分布15.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第，，层停靠，若该电梯在底层载有位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用表示这位乘客在第层下电梯的人数，则．【答案】【解析】服从二项分布，即，∴．【标注】【知识点】n次独立重复试验与二项分布A. B. C. D.16.新冠肺炎病毒可以通过飞沫传染，佩戴口罩可以预防新冠肺炎病毒传染，已知，，三人与新冠肺炎病人甲近距离接触，由于，，三人都佩戴了某种类型的口罩，若佩戴了该种类型的口罩，近距离接触病人被感染的概率为，记，，三人中被感染的人数为，则的数学期望（）．【答案】B【解析】，，，，故．故选．【标注】【知识点】n 次独立重复试验与二项分布；离散型随机变量的数学期望（1）（2）17.在天猫进行大促期间，某店铺统计了当日所有消费者的消费金额（单位：元），如图所示：人数消费金额元将当日的消费金额超过元的消费者称为“消费达人”，现从所有“消费达人”中随机抽取人，求至少有位消费者，当日的消费金额超过元的概率．该店铺针对这些消费者举办消费返利活动，预设有如下两种方案：方案：按分层抽样从消费金额在不超过元，超过元且不超过元，元以上的消费者中总共抽取位“幸运之星”给予奖励金，每人分别为元、元和元．方案：每位会员均可参加线上翻牌游戏，每轮游戏规则如下：有张牌，背面都是相同的喜羊羊头像，正面有张笑脸、张哭脸，将张牌洗匀后背面朝上摆放，每次只能翻一张且每翻一次均重新洗牌，共翻三次．每翻到一次笑脸可得元奖励金．如果消费金额不超过元的消费者均可参加轮翻牌游戏；超过元且不超过元的消费者均可参加轮翻牌游戏；元以上的消费者均可参加轮翻牌游戏（每次、每轮翻牌的结果相互独立）．以方案的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少？并说明理由．【答案】（1）（2）．方案投资较少；证明见解析．【解析】（1）记“在抽取的人中至少有位消费者消费超过元”为事件，由图可知，去年消费金额在内的有人，在内的有人，消费金额超过元的“消费达人”共有（人），从这人中抽取人，共有种不同方法，其中抽取的人中没有位消费者消费超过元，（2）共有种不同方法，所以．方案按分层抽样从消费金额在不超过元，超过元且不超过元，元以上的消费者中总共抽取位“幸运之星”，则“幸运之星”中的人数分别为：，，，按照方案奖励的总金额为：（元），方案设表示参加一轮翻牌游戏所获得的奖励金，则的可能取值为，，，，由题意，每翻牌次，翻到笑脸的概率为：，所以，，，，所以的分布列为：数学期望为：（元），按照方案奖励的总金额为：（元），因为由，所以施行方案投资较少．【标注】【知识点】组合；离散型随机变量的分布列；n次独立重复试验与二项分布；古典概型18.（1）（2）（3）年月，我国武汉地区爆发了新冠肺炎疫情，为了预防疫情蔓延，全国各地的学校都推迟年的春季线下开学，并采取了“停课不停学”的线上授课措施，某校为了解学生对线上课程的满意程度，随机抽取了学校中的名学生对线上课程进行评价打分，其得分情况的频率分布直方图如下：若根据频率分布直方图得到的评分不低于分的概率估计值为．频率组距评分求直方图中的，值，若评分的平均值不低于分视为满意，判断该校学生对线上课程是否满意？并说明理由．若采用分层抽样的方法，从评分在和内的学生中共抽取人，再从这人中随机抽取人检验他们的网课学习效果，求抽取到的人中至少一人评分在内的概率．若从该校学生中随机抽取人，记评分标准在的人数为，用频率估计概率，求随机变量的分布列与数学期望．【答案】（1）（2）（3）满意，证明见解析．．的分布列为：．【解析】（1）（2）由已知得，解得，又，∴，评分的平均值为：，因此该校学生对线上课程满意．由题知评分在和内的频率分别为和，则抽取的人中，评分在内的为人，评分在的有人，记评分在的位学生为 , , ，（3）评分在内的位学生为，，则从人中任选人的所有可能结果为：，，，，，，，，，，共种，其中，评分在内的可能结果为，，，共种，∴这人中至少一人评分在的概率为．学生在分的频率为，用频率估计概率，则每个学生评分在分的概率为，据题意知，的可能取值为，，，，所以，，，，，那么的分布列为：则数学期望，或知．【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列；n次独立重复试验与二项分布；离散型随机变量的数学期望；古典概型；用样本的数字特征估计总体的数字特征问题；众数、中位数、平均数；频率分布直方图；分层随机抽样19.改革开放年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国年至年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图为体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（）．（1）（2）（3）体育产业增加值体育产业年增长率从年至年随机选择年，求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多亿元以上的概率．从年至年随机选择年，设是选出的三年中体育产业年增长率超过的年数，求的分布列与数学期望．由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明）【答案】（1）（2）（3）．分布列为：期望值．从年或年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大．从年开始连续三年的体育产业增加值方差最大．【解析】（1）（2）设表示事件“从年至年随机选出年，该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多亿元以上”．由题意可知，年，年，年，年满足要求，故．由题意可知，的所有可能取值为，，，，且；；；．（3）所以的分布列为：故的期望值．从年或年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大．从年开始连续三年的体育产业增加值方差最大．【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；离散型随机变量的分布列（1）（2）20.已知某同学每次投篮的命中率为，且每次投篮是否命中相互独立，该同学投篮次．求至少有次投篮命中的概率．设投篮命中的次数为，求的分布列和期望．【答案】（1）（2）．的分布列为：．【解析】（1）（2）设次投篮至少有次投篮命中为事件，则，∴至少有次投篮命中的概率为．由题意知的可能取值为，，，，，，，，，，，，∴的分布列为：∵，∴．【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列；n次独立重复试验与二项分布；离散型随机变量的数学期望5. 超几何分布A. B. C. D.21.某小组有名男生，名女生，从中任选名同学参加活动，若表示选出女生的人数，则（）．【答案】C【解析】名男生，名女生中任选名参加活动，则女生人数为人时，女生人数为人时，，∴，∴故答案选．【标注】【素养】数学运算；逻辑推理【知识点】超几何分布（1）（2）22.已知箱中装有个白球和个黑球，且规定：取出一个白球得分，取出一个黑球得分．现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）个球，记随机变量为取出球所得分数之和．求的分布列；求的数学期望．【答案】（1）（2）分布列为．【解析】（1）（2）的可能取值有：45．，故所求的分布列为所求的数学期望为．【标注】【知识点】超几何分布，，，（1）（2）23.某学校组织一项益智游戏，要求参加该益智游戏的同学从道题目中随机抽取道回答，至少答对道可以晋级．已知甲同学能答对其中的道题．设甲同学答对题目的数量为，求的分布列及数学期望．求甲同学能晋级的概率．【答案】（1）（2）的分布列为数学期望．．【解析】（1）（2）可取，，，，则，，，，的分布列为．甲同学能晋级的概率．【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；离散型随机变量的分布列（1）（2）24.在某年级的联欢会上设计一根摸奖游戏，在一个口袋中装有个红球和个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出个球，表示摸出红球的个数．求的分布列．（用数字作答）至少摸到个红球就中奖，求中奖的概率．（用数字作答）【答案】（1）（2）．【解析】（1）（2）的取值为，，，，设摸出个红球的概率为，，，，．中奖的概率为．【标注】【知识点】超几何分布；离散型随机变量的数学期望；离散型随机变量的分布列25.年突如其来的新冠疫情，不仅是一场危机，更是一场考验，给人民的生命财产，身体健康和经济社会发展都带来了巨大的挑战．在党中央的坚强领导下，国内疫情防控取得了阶段性的成果．某企业在此期间积极应对疫情带来的影响，拓展线上经营业务，创造就业机会．该企业招聘员工，其中、、、、五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到）如下：岗位男性应聘人数男性录用人数男性录用比例女性应聘人数女性录用人数女性录用比例（1）（2）（3）总计从表中所有应聘人员中随机选择人，试估计此人被录用的概率．从应聘岗位的人中随机选择人．记为这人中被录用的人数，求的分布列和数学期望．表中、、、、各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）【答案】（1）（2）（3）．的分布列为：．，，，【解析】（1）（2）（3）由表可得：应聘人员总数为：，被录用的人数为：，所以从表中所有应聘人员中随机选择人，此人被录用的概率为：．可能的取值为，，，∵岗位的人中，被录用的有人，未被录用的有人，∴，，，∴的分布列为：∴．取掉岗位，男性录用比例为：，女性录用比例为：，∴去掉岗位后，男女比例接近，∴这四种岗位是：，，，．【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列；古典概型；分层随机抽样频率组距重量克（1）（2）（3）26.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的件产品作为样本并称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为，，，，，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．求的值．在上述抽取的件产品中任取件，设为重量超过克的产品数量，求的分布列．用这件产品组成的样本中各组产品出现的频率估计概率，现在从流水线上任取件产品，求恰有件产品的重量超过克的概率．【答案】（1）（2）（3）．．【解析】（1）（2）频率分布直方图中每个矩形面积之和为，可得，解得．件产品中任取件重量超过克的产品数量为：，的所有取值为，，；，（3），，从流水线上任取件产品，重量超过克的概率为，重量不超过克的概率为，恰有件产品的重量超过克的概率．【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列；n 次独立重复试验与二项分布；频率分布直方图（1）（2）27.从名演员中选人参加表演．求甲在乙前表演的概率．若甲参加表演，门票收入会增长万元，若乙参加表演，门票收入会增长万元，若甲乙都参加演出，门票收入会增加万元，记门票增长为（万元），求的分布列和数学期望．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）记“甲在乙前表演”为事件，∴，∴甲在乙前表演的概率是．可能取值有，，，，∴，，，，∴的分布列为：∴．【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；古典概型（1）（2）（3）28.新生婴儿性别比是指在某段时间内新生儿中男婴人数与女婴人数的比值的倍．下表是通过抽样调查得到的某地区年到年的年新生婴儿性别比．年份新生婴儿性别比根据样本数据，估计从该地区年的新生儿中随机选取人为女婴的概率（精确到）．从年到年这五年中，随机选取两年，用表示该地区的新生婴儿性别比高于的年数，求的分布列和数学期望．根据样本数据，你认为能否否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断？并说明理由．【答案】（1）（2）（3）．的分布列为的数学期望.可以否定，证明见解析；不能否定，证明见解析；无法判断，证明见解析．【解析】（1）（2）设“从该地区年的新生儿中随机选取人为女婴”为事件，则．的可能取值为，，，，，，所以的分布列为（3）所以的数学期望.答案一：可以否定；从样本数据看这五年的男婴在新生儿中的比例都高于，由样本估计总体，所以可以否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断；答案二：不能否定；尽管从样本数据看这五年的男婴在新生儿中的比例都高于，但由于抽样调查本身存在一定的随机性，且从数据上看，男女婴在新生儿中的比例都近似于，所以不能否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断；答案三：无法判断；由于样本容量未知，如果样本容量较小，那么通过样本数据不能“否定生男孩和生女孩是等可能的”这个判断，如果样本容量足够大，那么根据样本数据，可以否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断．【标注】【知识点】古典概型；离散型随机变量的数学期望；超几何分布；离散型随机变量的分布列（1）（2）（3）29.年月份，我国湖北武汉出现了新型冠状病毒，人感染后会出现发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命．为了增强居民防护意识，增加居民防护知识，某居委会利用网络举办社区线上预防新冠肺炎知识答题比赛，所有居民都参与了防护知识网上答卷，最终甲、乙两人得分最高进入决赛，该社区设计了一个决赛方案：①甲、乙两人各自从个问题中随机抽个．已知这个问题中，甲能正确回答其中的个，而乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两人对每个问题的回答相互独立、互不影响；②答对题目个数多的人获胜，若两人答对题目个数相同，则由乙再从剩下的道题中选一道作答，答对则判乙胜，答错则判甲胜．求甲、乙两人共答对个问题的概率．试判断甲、乙谁更有可能获胜？并说明理由．求乙答对题目数的分布列和期望．【答案】（1）（2）（3）．乙胜出的可能性更大，证明见解析．分布列为：期望．【解析】（1）（2）（3）推出两人共答题，甲答对个，乙答对个，两人共答题，甲答对个，乙答对个．然后求解甲、乙两名学生共答对个问题的概率．甲、乙共答对个问题分别为：两人共答题，甲答对个，乙答对个，两人共答题，甲答对个，乙答对个，所以甲、乙两名学生共答对个问题的概率﹔．故答案为：．设甲获胜为事件，则事件包含“两人共答题甲获胜”和“两人共答题甲获胜”两类情况，其中第一类包括甲乙答对题个数比为，，，，，六种情况，第二类包括前三题甲乙答对题个数比为，，三种情况，然后求解概率；设乙获胜为事件，则，为对立事件，求出的概率，得到结论．设甲获胜为事件，则事件包含“两人共答题甲获胜”和“两人共答题甲获胜”两类情况，其中第一类包括甲乙答对题个数比为，，，，，六种情况，第二类包括前三题甲乙答对题个数比为，，三种情况，所以甲胜的概率，设乙获胜为事件，则，为对立事件，所以，，所以乙胜出的可能性更大．设学生乙答对的题数为，则的所有可能取值为，，，，，求出概率，得到随机变量的分布列，然后求解期望．设学生乙答对的题数为，则的所有可能取值为，，，，，，，，，，所以随机变量的分布列为：所以期望．【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列；离散型随机变量的数学期望；古典概型的概率计算（涉及计数原理）6. 正态分布A. B. C. D.30.已知随机变量，若，，则=（）．【答案】D【解析】根据题意，，∵随机变量，∴，故选：．【标注】【知识点】正态分布31.已知随机变量服从正态分布，若，则．【答案】【解析】因为，所以．【标注】【知识点】正态分布A.B.C.D.32.下列有关说法正确的是（ ）．的展开式中含项的二项式系数为的展开式中含项的系数为已知随机变量 服从正态分布，，则已知随机变量 服从正态分布，，则【答案】ACD【解析】、选项：对于二项式的展开式中项为，∴系数为，二次项系数为，故正确，错误；、选项：对于随机变量服从正态分布，∵，∴，∴，又∵对于随机变量服从正态分布且正态分布为∴，故正确、正确．故选．【标注】【知识点】求二项式展开式的特定项；求项的系数或二项式系数；正态分布33.在某市年月份的高三质量检测考试中，所有学生的数学成绩服从正态分布，现任取一名学生，则他的数学成绩在区间内的概率为 ．（附：若，则，．)【答案】【解析】∵学生的数学成绩服从正态分布，∴，．故答案为．【标注】【知识点】正态分布A.B.C.D.34.在一次数学测验中，学生的成绩服从正态分布，其中分为及格线，分为优秀线．下面说法正确的是（ ）．附：；；．学生数学成绩的期望为学生数学成绩的标准差为学生数学成绩及格率超过学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等【答案】AC 【解析】，，∴，显然正确，错误；．，故正确；．，故错误．故选．【标注】【知识点】正态分布35.已知随机变量，，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（ ）．A.B.C.D.的取值比的取值更集中于平均值左右两支密度曲线与轴之间的面积均为【答案】B【解析】A 选项：B 选项：C 选项：D 选项：因为，，故正确；由图可知，故错误；因为正态分布曲线越瘦高，数据越集中，故正确；根据正态分布曲线的性质可知，故正确．故选 B .【标注】【知识点】正态分布（1）（2）（3）36.某市需对某环城快速道路进行限速，为了调查该道路的车速情况，于某个时段随机对辆车的速度进行取样，根据测量的车速制成下表：车速频数经计算，样本的平均值，标准差，以频率作为概率的估计值．已知车速过慢与过快都被认为是需矫正速度，现规定车速小于或车速大于需矫正速度．从该快速车道上的所有车辆中任取辆，求该车辆需矫正速度的概率．从样本中任取辆车，求这辆车均需矫正速度的概率．从该快速车道上的所有车辆中任取辆，记其中需矫正速度的车辆数为．求的分布列和数学期望．【答案】（1）．（2）（3）．分布列：，．【解析】（1）（2）（3），，∴小于有辆，大于有辆，∴所求概率．．，，，∴，，，∴分布列：，∴．【标注】【知识点】正态分布；离散型随机变量的数学期望；古典概型（1）1（2）37.为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图：分数频率组距根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩．精确到个位）研究发现，本次检测的理科数学成绩近似服从正态分布（，约为），按以往的统计数据，理科数学成绩能达到自主招生分数要求的同学约占．2估计本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位）从该市高三理科学生中随机抽取人，记理科数学成绩能达到自主招生分数要求的人数为，求的分布列及数学期望．（说明：表示的概率．参考数据（，）【答案】（1）12（2）．．分布列为：∴．【解析】（1）12（2）．设本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩为，则，∴，∴，解得．由题意可知，∴，，，，，，∴的分布列为：∴．【标注】【知识点】n 次独立重复试验与二项分布；离散型随机变量的数学期望38.《山东省高考改革试点方案》规定：从年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；年高考总成绩由语数外三门统考科目和物理，化学等六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、，，，、、、共个等级，参照正态分布原则，确定各等级人。
高考数学二轮复习讲义(新高考版)专题5培优点17概率与统计的创新题型(学生版+解析)
培优点17 概率与统计的创新题型概率统计问题在近几年的高考中背景取自现实，题型新颖，综合性增强，难度加深，掌握此类问题的解题策略在高考中就显得非常重要．【典例】 (2020·青岛模拟)某网络购物平台每年11月11日举行“双十一”购物节，当天有多项优惠活动，深受广大消费者喜爱．(1)已知该网络购物平台近5年“双十一”购物节当天成交额如表所示：求成交额y (百亿元)与时间变量x (记2016年为x ＝1,2017年为x ＝2，…依次类推)的线性回归方程，并预测2021年该平台“双十一”购物节当天的成交额(百亿元)；(2)在2021年“双十一”购物节前，某同学的爸爸、妈妈计划在该网络购物平台上分别参加A ，B 两店各一个订单的“秒杀”抢购，若该同学的爸爸、妈妈在A ，B 两店订单“秒杀”成功的概率分别为p ，q ，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的订单总数量为X . ①求X 的分布列及E (X )；②已知每个订单由k (k ≥2，k ∈N *)件商品W 构成，记该同学的爸爸和妈妈抢购到商品W 的总数量为Y ，假设p ＝7sin πk 4k －πk 2，q ＝sinπk4k，求E (Y )取最大值时正整数k 的值．【拓展训练】一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站…第100站，共101站，设棋子跳到第n站的概率为P n，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站(获胜)或第100站(失败)时，游戏结束(骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)．(1)求P0，P1，P2，并根据棋子跳到第n站的情况，试用P n－2和P n－1表示P n；(2)求证：{P n－P n－1}(n＝1,2，…，99)为等比数列；(3)求玩该游戏获胜的概率．培优点17 概率与统计的创新题型概率统计问题在近几年的高考中背景取自现实，题型新颖，综合性增强，难度加深，掌握此类问题的解题策略在高考中就显得非常重要．【典例】 (2020·青岛模拟)某网络购物平台每年11月11日举行“双十一”购物节，当天有多项优惠活动，深受广大消费者喜爱．(1)已知该网络购物平台近5年“双十一”购物节当天成交额如表所示：求成交额y (百亿元)与时间变量x (记2016年为x ＝1,2017年为x ＝2，…依次类推)的线性回归方程，并预测2021年该平台“双十一”购物节当天的成交额(百亿元)；(2)在2021年“双十一”购物节前，某同学的爸爸、妈妈计划在该网络购物平台上分别参加A ，B 两店各一个订单的“秒杀”抢购，若该同学的爸爸、妈妈在A ，B 两店订单“秒杀”成功的概率分别为p ，q ，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的订单总数量为X . ①求X 的分布列及E (X )；②已知每个订单由k (k ≥2，k ∈N *)件商品W 构成，记该同学的爸爸和妈妈抢购到商品W 的总数量为Y ，假设p ＝7sin πk 4k －πk 2，q ＝sinπk4k ，求E (Y )取最大值时正整数k 的值．【解析】解 (1)由已知可得 x ＝1＋2＋3＋4＋55＝3，y ＝9＋12＋17＋21＋275＝17.2，i y i ＝1×9＋2×12＋3×17＋4×21＋5×27＝303， 2i＝12＋22＋32＋42＋52＝55. 所以b ^＝303－5×3×17.255－5×32＝4510＝4.5，所以a ^＝y －b ^x ＝17.2－4.5×3＝3.7， 所以y ^＝4.5x ＋3.7.当x ＝6时，y ^＝4.5×6＋3.7＝30.7(百亿元)，所以预测2021年该平台“双十一”购物节当天的成交额为30.7百亿元．(2)①由题意知，X 的所有可能取值为0,1,2. P (X ＝0)＝(1－p )(1－q )， P (X ＝1)＝(1－p )q ＋(1－q )p ， P (X ＝2)＝pq . 所以X 的分布列为E (X )＝0×(1－p )(1－q )＋(p ＋q －2pq )＋2pq ＝p ＋q . ②因为Y ＝kX ，所以E (Y )＝kE (X )＝k (p ＋q ) ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫7sin πk 4k －πk 2＋sin πk 4k ＝2sin πk －πk . 令t ＝1k ∈⎝⎛⎦⎤0，12， 设f (t )＝2sin πt －πt ，则E (Y )＝f (t )．因为f ′(t )＝2πcos πt －π＝2π⎝⎛⎭⎫cos πt －12，且πt ∈⎝⎛⎦⎤0，π2，所以，当t ∈⎝⎛⎭⎫0，13时，f ′(t )>0， 所以f (t )在区间⎝⎛⎭⎫0，13上单调递增； 当t ∈⎝⎛⎭⎫13，12时，f ′(t )<0， 所以f (t )在区间⎝⎛⎭⎫13，12上单调递减， 所以，当t ＝13时，f (t )max ＝3－π3，即E (Y )取最大值时，正整数k 的值为3.【方法总结】概率统计问题考查学生的数据分析能力，要从已知数表中经过阅读分析判断获取关键信息，搞清各数据、各事件间的关系，建立适当的数学模型．【拓展训练】一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站…第100站，共101站，设棋子跳到第n 站的概率为P n ，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站(获胜)或第100站(失败)时，游戏结束(骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)．(1)求P 0，P 1，P 2，并根据棋子跳到第n 站的情况，试用P n －2和P n －1表示P n ； (2)求证：{P n －P n －1}(n ＝1,2，…，99)为等比数列；(3)求玩该游戏获胜的概率．【解析】(1)解 棋子开始在第0站是必然事件，所以P 0＝1.棋子跳到第1站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点，其概率为12，所以P 1＝12.棋子跳到第2站，包括两种情形，①第一次掷骰子出现偶数点，其概率为12；②前两次掷骰子都出现奇数点，其概率为14，所以P 2＝12＋14＝34.棋子跳到第n (2≤n ≤99)站，包括两种情形，①棋子先跳到第n －2站，又掷骰子出现偶数点，其概率为12P n －2；②棋子先跳到第n －1站，又掷骰子出现奇数点，其概率为12P n －1.故P n ＝12P n －2＋12P n －1(2≤n ≤99，n ∈N *)．棋子跳到100站只有一种情况，棋子先跳到第98站，又掷骰子出现偶数点，其概率为12P 98，所以P 100＝12P 98.(2)证明 由(1)知，当2≤n ≤99时， P n ＝12P n －2＋12P n －1，所以P n －P n －1＝－12(P n －1－P n －2)．又因为P 1－P 0＝－12，所以{P n －P n －1}(n ＝1,2，…，99)是首项为－12，公比为－12的等比数列．(3)解 由(2)知，P n －P n －1＝－12⎝⎛⎭⎫－12n －1＝⎝⎛⎭⎫－12n. 所以P 99＝(P 99－P 98)＋(P 98－P 97)＋…＋(P 1－P 0)＋P 0 ＝⎝⎛⎭⎫－1299＋⎝⎛⎭⎫－1298＋…＋⎝⎛⎭⎫－12＋1 ＝⎝⎛⎭⎫－12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12991－⎝⎛⎭⎫－12＋1＝23⎝⎛⎭⎫1－12100. 所以玩该游戏获胜的概率为23⎝⎛⎭⎫1－12100.。
概率与统计 高中数学讲义解析版
第九章概率与统计9.1 两个计数原理、排列与组合1.通过实例,了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.2.通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.【教材梳理】1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理（1）分类加法计数原理①定义：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.②拓展：完成一件事，如果有n类方案,且：第1类方案中有m1种不同的方法，第2类方案中有m2种不同的方法,… ,第n类方案中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+⋯+m n种不同的方法.（2）分步乘法计数原理①定义：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法.②拓展:完成一件事，如果需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法,… ,做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×m n种不同的方法.2.排列与组合（1）排列:一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.两个排列相同的充要条件是：两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同.（2）排列数做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.（4）组合数3.A n m =(n −m +1)A n m−1=nA n−1m−1 ；(n +1)!−n!=n ⋅n! .4.kC n k =nC n−1k−1 ；C n m =C n−1m−1+C n−2m−1+⋯+C m−1m−1 .1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.（1） 在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事.( √ ) （2） 在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.( × )（3） 所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( × )（4） (n +1)！−n ！=n ⋅n ！ .( √ )（5） kC n k =nC n−1k−1 .( √ )2. 公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，所有乘客下车的可能方式有( D )A. A 105 种B. C 105 种C. 105 种D. 510 种[解析]解：所有乘客下车的可能方式有510 种.故选D.3. （教材改编题）已知集合M ={1,−2,3} ，N ={−4,5,6,−7} ，从M ，N 这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标、纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是( C )A. 12B. 8C. 6D. 4[解析]解：分两步：第一步先确定横坐标，有3种情况，第二步再确定纵坐标，有2种情况，因此第一、二象限内不同点的个数是3×2=6 .故选C.4. 已知n ，m 为正整数，且n ≥m ，则下列各式中正确的个数是( C )①A 63=120 ；②A 127=C 127A 77 ；③C n m +C n+1m =C n+1m+1 ；④C n m =C n n−m .A. 1B. 2C. 3D. 4[解析]解：对于①，A 63=6×5×4=120 ，故①正确；对于②，因为C 127=A 127A 77 ，所以A 127=C 127A 77 ，故②正确；对于③，因为C n m +C n m−1=C n+1m ，所以C n m+1+C n m =C n+1m+1 ，故③错误；对于④，C n m =C n n−m ，故④正确.故选C.考点一 分类加法计数原理与分步乘法计数原理例1 （1） 满足a ，b ∈{−1,0,1,2} ，且关于x 的方程ax 2+2x +b =0 有实数解的有序数对(a,b) 的个数为13.[解析]解：当a =0 时，b 的值可以是−1 ，0 ，1 ，2 ，故(a,b) 的个数为4；当a ≠0 时，要使方程ax 2+2x +b =0 有实数解，需使Δ=4−4ab ≥0 ，即ab ≤1 .若a =−1 ，则b 的值可以是−1 ，0 ，1 ，2 ，(a,b) 的个数为4；若a =1 ，则b 的值可以是−1 ，0 ，1 ，(a,b) 的个数为3；若a =2 ，则b 的值可以是−1 ，0 ，(a,b) 的个数为2.由分类加法计数原理可知，(a,b) 的个数为4+4+3+2=13 .故填13.（2） 某旅游景区有如图所示A 至H 共8个停车位，现有2辆不同的白色车和2辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为( B )A. 288B. 336C. 576D. 1 680[解析]解：第一步:排白车,第一行选一个位置,则第二行有三个位置可选,由于车是不相同的,故白车的停法有4×3×2=24（种）.第二步：排黑车,若白车选AF,则黑车有BE,BG,BH,CE,CH,DE,DG共7种选择,黑车是不相同的,故黑车的停法有2×7=14（种）.根据分步计数原理,共有24×14=336（种）,故选B.（3）（教材改编题）某儿童游乐园有5个区域要涂上颜色，现有四种不同颜色的油漆可供选择，要求相邻区域不能涂同一种颜色，则符合条件的涂色方案种数为( D )A. 36B. 48C. 54D. 72[解析]解：如图，将五个区域分别记为①，②，③，④，⑤.涂色分为5步完成，前三步涂区域①②③，有4×3×2=24（种）方法.后两步涂区域④⑤，可分为两类：区域②④涂色相同，有1×2种方案；区域②，④涂色不相同，有1×1种方案.所以不同的涂色方案共有24×(1×2+1×1)=72（种）.故选D.【点拨】解答计数应用问题的总体思路：根据完成事件所需的过程，对事件进行整体分类，确定可分为几大类，整体分类以后，再确定在每类中完成事件要分几个步骤，这些问题都弄清楚了，就可以根据两个基本原理解决问题了.此外，还要掌握一些非常规计数方法，如：①枚举法：将各种情况一一列举出来，它适用于种数较少且计数对象不规律的情况；②转换法：转换问题的角度或转换成其他已知问题；③间接法：若用直接法比较复杂，难以计数，则可考虑利用正难则反的策略，先计算其反面情形，再用总数减去即得.变式1.（1）从2，3，4，5，6，7，8，9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为( D )A. 56B. 54C. 53D. 52[解析]解：在8个数中任取2个不同的数共有8×7=56个对数值，但在这56个数值中，log24=log39，log42=log93，log23=log49，log32=log94，即满足条件的对数值共有56−4=52（个）.故选D.（2）某学校有东、南、西、北四个校门.翻新改造期间，学校对进入四个校门做出如下规定：学生只能从东门或西门进入校园，教师只能从南门或北门进入校园.现有3名教师和4名学生要进入校园（不分先后顺序），请问进入校园的方式共有128种.（用数字作答）[解析]解：因为学生只能从东门或西门进入校园，所以4名学生进入校园的方式共24=16种.因为教师只能从南门或北门进入校园，所以3名教师进入校园的方式共有23=8种.所以3名教师和4名学生要进入校园的方式共有16×8= 128种.故填128.（3） [2023届湖南长郡中学高三入学考试]某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分，如图所示．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种，且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有( B )A. 80种B. 120种C. 160种D. 240种[解析]解：第一步，对1号区域栽种，有4种选择.第二步，对2号区域栽种，有3种选择.第三步，对3号区域栽种，有2种选择.第四步，对5号区域栽种，分为三种情况：①5号与2号颜色相同，则4号仅有1种选择，6号有2种选择；②5号与3号颜色相同，情况与①类似；③5号与2，3号颜色都不同，则4，6号只有1种选择.所以共有4×3×2×(1×2×2+1×1)=120（种）.故选B.考点二排列、组合的基本问题命题角度1 排列的基本问题例2 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数. （1）选其中5人排成一排；[答案]解：从7个人中选5个人排，排法总数有A75=7×6×5×4×3=2 520（种）.（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；[答案]分两步完成，先选3人排在前排，有A73种方法，余下4人排在后排，有A44种方法，故共有A73A44=5 040（种）.另解：本题即为7人排成一排的全排列.（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；[答案]（优先法）（方法一）甲为特殊元素.先排甲，有5种方法，其余6人有A66种方法，故共有5×A66=3 600（种）.（方法二）排头与排尾为特殊位置.排头与排尾从除甲的其余6个人中选2个排列，有A62种方法，中间5个位置由余下4人和甲进行全排列，有A55种方法，共有A62×A55=3 600（种）.（4）全体排成一排，女生必须站在一起；[答案]（捆绑法）将女生看成一个整体，与3名男生一起全排列，有A44种方法，再将4名女生进行全排列，也有A44种方法，故共有A44A44=576（种）.（5）全体排成一排，男生互不相邻；[答案]（插空法）男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有A53种方法，故共有A44A53=1 440（种）.（6）全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人；[答案]（捆绑法）把甲、乙及中间3人看作一个整体，第一步：先排甲乙两人，有A22种方法；第二步：从余下5人中选3人排在甲乙中间，有A53种；第三步：把这个整体与余下2人进行全排列，有A 33 种方法.故共有A 22A 53A 33=720（种）.（7） 全体排成一排，甲必须排在乙前面（可不相邻）；[答案]（消序法）7人的全排列有A 77 种，其中甲在乙前面与乙在甲前面各占12 ，故共有A 772=2 520 （种）.另解：7个位置中任选5个排除甲、乙外的5人，余下的两个位置甲、乙的排法即定，故有A 75=2 520 （种）.（8） 全部排成一排，甲不排在左端，乙不排在右端.[答案]甲、乙为特殊元素，左、右两端为特殊位置.（方法一）（特殊元素法）甲在最右端时，其他的可全排，有A 66 种；甲不在最右端时，可从余下5个位置中任选一个，有A 51 种，而乙可排在除去最右端位置后剩余的5个中的任意一个上，有A 51 种，其余人全排列，共有A 51A 51A 55 种.由分类加法计数原理，共有A 66+A 51A 51A 55=3 720 （种）.（方法二）（特殊位置法）先排最左端，除去甲外，有A 61 种，余下6个位置全排，有A 66 种，但应剔除乙在最右端时的排法A 51A 55 种，因此共有A 61A 66−A 51A 55=3 720 （种）.方法三（间接法）：7个人全排，共A 77 种，其中，不合条件的有甲在最左端时，有A 66 种，乙在最右端时，有A 66 种，其中都包含了甲在最左端，同时乙在最右端的情形，有A 55 种.因此共有A 77−2A 66+A 55=3 720 （种）.【点拨】有约束条件的排列问题一般有以下几种基本类型与方法：①特殊元素优先考虑；②对于相邻问题采用“捆绑法”，整体参与排序后，再考虑“捆绑”部分的排序；③对于不相邻问题，采用“插空”法，先排其他元素，再将不相邻元素插入空档；④对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列数.变式2. 【多选题】某学院学生会的3名男生和2名女生在社区参加志愿者活动，结束后这5名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是( BCD )A. 若让其中的男生甲排在两端，则这5名同学共有24种不同的排法B. 若要求其中的2名女生相邻，则这5名同学共有48种不同的排法C. 若要求其中的2名女生不相邻，则这5名同学共有72种不同的排法D. 若要求其中的1名男生排在中间，则这5名同学共有72种不同的排法[解析]解：对于A，男生甲排在两端，共有2A44=48（种）不同的排法，A错误.对于B，2名女生相邻，共有A22A44=48（种）不同的排法，B正确.对于C，2名女生不相邻，共有A33A42=72（种）不同的排法，C正确；对于D，要求1名男生排在中间，则这5名同学共有3A44=72（种）不同的排法，D正确.故选BCD.命题角度2 组合的基本问题例3 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长.现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？（1）只有1名女生；[答案]解：1名女生，4名男生，故共有C51C84=350（种）.（2）两队长当选；[答案]将两队长作为一类，其他11个作为一类，故共有C22C113=165（种）.（3）至少有1名队长当选；[答案]至少有1名队长当选含有两类：只有1名队长和2名队长.故共有C21C114+ C22C113=825（种）.或采用间接法：C135−C115=825（种）.（4）至多有2名女生当选；[答案]至多有2名女生含有三类：有2名女生、只有1名女生、没有女生，故选法有C52C83+C51C84+C85=966（种）.（5）既要有队长，又要有女生当选.[答案]分两类：第一类女队长当选，有C124种选法；第二类女队长不当选，有C41C73+C42C72+C43C71+C44种选法.故选法共有C124+C41C73+C42C72+C43C71+C44=790（种）.【点拨】解组合问题时要注意：①分类时不重不漏；②注意间接法的使用，在涉及“至多”“至少”等问题时，多考虑用间接法（排除法）；③应防止出现如下常见错误：如第3小题，先选1名队长，再从剩下的人中选4人得C21C124≠825，请同学们自己找错因.变式3. 【多选题】为响应政府部门号召，某红十字会安排甲、乙、丙、丁四名志愿者奔赴A，B，C三地参加健康教育工作，则下列说法正确的是( BCD )A. 不同的安排方法共有64种B. 若恰有一地无人去，则不同的安排方法共有42种C. 若甲必须去A地，且每地均有人去，则不同的安排方法共有12种D. 若甲、乙两人都不能去A地，且每地均有人去，则不同的安排方法共有14种[解析]解：四人到三地去，一人只能去一地，方法数为34=81，A错误.若恰有一地无人去，则不同的安排方法数是C31(C41+C42+C43)=42，B正确.若甲必须去A地，且每地均有人去，则不同的安排方法数为A33+C31+C32= 12，C正确.若甲、乙两人都不能去A地，且每地均有人去，分甲、乙去同一个地方和不去同一个地方，则不同的安排方法数为2×5+2A22=14，D正确．故选BCD.考点三排列、组合的综合问题命题角度1 分堆与分配问题例4 按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？（1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；[答案]解：无序不均匀分组问题.先选1本，有C61种选法；再从余下的5本中选2本，有C52种选法；最后余下3本全选，有C33种选法.故共有C61C52C33=60（种）.（2）甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；[答案]有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同的三人，在（1）题基础上，还应考虑再分配，共有C 61C 52C 33A 33=360 （种）.（3） 平均分成三份，每份2本；[答案]无序均匀分组问题.先分三步，则应是C 62C 42C 22 种方法，但是这里出现了重复.不妨记六本书为A ，B ，C ，D ，E ，F ，若第一步取了AB ，第二步取了CD ，第三步取了EF ，记该种分法为(AB,CD,EF) ，则C 62C 42C 22 种分法中还有(AB,EF,CD) ，(CD,AB,EF) ，(CD,EF,AB) ，(EF,CD,AB) ，(EF,AB,CD) ，共有A 33 种情况，而这A 33 种情况仅是AB ，CD ，EF 的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有C 62C 42C 22A 33=15 （种）.（4） 平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；[答案]有序均匀分组问题.在（3）的基础上再分配给3个人，共有分配方式C 62C 42C 22A 33⋅A 33=C 62C 42C 22=90 （种）.（5） 分成三份，1份4本，另外两份每份1本；[答案]无序部分均匀分组问题.共有C 64C 21C 11A 22=15 （种）.（6） 甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；[答案]有序部分均匀分组问题.在（5）的基础上再分配给3个人，共有分配方式C 62C 21C 11A 22⋅A 33=90 （种）.（7） 甲得1本，乙得1本，丙得4本.[答案]直接分配问题.甲选1本，有C 61 种方法；乙从余下的5本中选1本，有C 51 种方法，余下4本留给丙，有C 44 种方法，故共有分配方式C 61C 51C 44=30 （种）.【点拨】平均分配给不同人的分法等于平均分堆的分法乘以堆数的全排列.分堆到位相当于分堆后各堆再全排列，平均分堆不到指定位置，其分法数为：平均分堆到指定位置.对于分堆与分配问题应注意：①处理分配问题要注意先分堆再堆数的阶乘分配；②被分配的元素是不同的（如“名额”等则是相同元素，不适用），位置也应是不同的（如不同的“盒子”）；③分堆时要注意是否均匀，如6分成(2,2,2)为均匀分组，分成(1,2,3)为非均匀分组，分成(4,1,1)为部分均匀分组.变式4.（1） [2020年新高考Ⅰ卷]6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( C )A. 120种B. 90种C. 60种D. 30种[解析]解：首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数为C61；然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数为C52；最后剩下的3名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有C61C52=6×10=60种.故选C.（2）【多选题】2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”有着可爱的外表和丰富的寓意，现有5个不同造型的“冰墩墩”，则下列说法正确的是( BCD )A. 把这5个“冰墩墩”装入3个不同的盒内，共有129种不同的装法B. 从这5个“冰墩墩”中选出3个分别送给3位志愿者，每人1个，共有60种选法C. 从这5个“冰墩墩”中随机取出3个，共有10种不同的取法D. 把这5个“冰墩墩”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，共有150种不同的装法[解析]解：对于A，每个“冰墩墩”可选择3个盒子中的任意一个，根据分步乘法原理共有35=243（种）不同的装法，故A错误.对于B，共有C53A33=60（种）选法,故B正确.对于C，共有C53=10（种）不同的取法，故C正确.对于D，若3个盒子中“冰墩墩”的数量为1，1，3，则有C53C31A22=60（种）不同的装法；若3个盒子中“冰墩墩”的数量为1，2，2，则有C51C31C42=90（种）.共有60+90=150（种），故D正确.故选BCD.命题角度2 数字排列问题例5 用0，1，2，3，4，5这六个数字：（1）能组成多少个无重复数字的四位奇数？[答案]解：先排个位数，有C31种方法，然后排千位数，有C41种方法，剩下百位和十位任意排，有A42种方法，故所求为C41C31A42=144个.（2）能组成多少个无重复数字且比1 325大的四位数？[答案]分为三类，第一类是千位是2,3,4,5中任意一个，有A41A53个数;第二类是千位是1，且百位是4,5中的一个，有A21A42个数；第三类是千位是1，且百位是3和十位是4,5中的一个，有A21A31个数.故所求为A41A53+A21A42+A21A31=270个.【点拨】对于有限制条件的数字排列问题，先满足特殊元素或特殊位置的要求，再考虑其他元素或位置，同时注意隐含条件：0不能在首位.变式5.（1）设集合A={0,2,4} ,B={1,3,6} .现分别从A，B中任取2个元素组成无重复数字的四位数，其中不能被5整除的数共有( C )A. 64个B. 96个C. 144个D. 152个[解析]解：所求的四位数中，数字含0的数有C21C32C21A33=72个，数字不含0的数有C22C32A44=72个，共有72+72=144个.故选C.（2）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2不相邻，这样的六位数的个数是32.（用数字作答）[解析]解：任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，可分三步：第一步：先将3,5排列，共有A22种排法；第二步：再将4,6插空排列，共有2A22种排法；第三步：将1,2捆绑放到3，5，4，6形成的空中，共有C51种排法.共有A222A22C51=40（种）排法.又任何相邻两个数字的奇偶性不同，共有2A33A33=72（种）排法，所以所求为72−40=32.故填32.【巩固强化】1. 体育场南侧有3个大门，北侧有2个大门，某学生到该体育场练跑步，每个门都可进出，则他进出体育场的方案共有( D )A. 6种B. 10种C. 5种D. 25种[解析]解：该学生进出体育场都有5种可能，故他进出体育场的方案共有5×5=25（种）.故选D.2. 某学校为落实“双减政策”，在每天放学后开设拓展课程供学生自愿选择，开学第一周的安排如下表.周内选择编程、书法、足球三门课，则不同的选课方案共有( A )A. 15种B. 10种C. 8种D. 5种[解析]解：若周二选编程，则选课方案有C31C31=9（种）；若周三选编程，则选课方案有C21C31=6（种）.综上，不同的选课方案共有9+6=15（种）.故选A.3. [2023届安徽高三开学考试]如图，“天宫空间站”是我国自主建设的大型空间站，其基本结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱三个部分. 假设有6名航天员（4男2女）在天宫空间站开展实验，其中天和核心舱安排4人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人，且两名女航天员不在一个舱内，则不同的安排方案种数为( B )A. 14B. 18C. 30D. 36[解析]解：将6名航天员安排在3个实验舱的方案种数为C64C21C11=30（种），其中两名女航天员在一个舱内的方案种数为C42C21C11=12（种）.所求为30−12=18（种）.故选B.4. 给如图所示的5块区域A，B，C，D，E涂色，要求同一区域用同一种颜色，有公共边的区域使用不同的颜色，现有红、黄、蓝、绿、橙5种颜色可供选择，则不同的涂色方法有( D )A. 120种B. 720种C. 840种D. 960种[解析]解：A有5种颜色可选，B有4种颜色可选，D有3种颜色可选，C，E 均可涂除D的涂色外的其它颜色，均有4种可选.故共有5×4×3×4×4= 960（种）不同的涂色方法．故选D.5. 语文里流行一种特别的句子，正和反读起来都一样的，比如：“清水池里池水清”“中山自鸣钟鸣自山中”，那么在所有的四位数中符合这个规律且四个数字不能都相同的四位数有( A )A. 81个B. 90个C. 100个D. 729个[解析]解：设符合题意的四位数为xyyx，则当x=1时，y=0,2,3,…,9，共9个；当x=2时，y=0,1,3,…,9,共9个；…当x=9时，y=0,1,2,…,8，共9个.由分类加法计数原理可知满足条件的四位数有9×9=81（个）.故选A.6. 某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远地区支教（每地至少1人），其中甲和乙一定不同地，甲和丙必须同地，则不同的选派方案共有( D ) A. 27种 B. 36种 C. 33种 D. 30种[解析]解：因为甲和乙一定不同地，甲和丙必须同地，所以有(2,2,1)和(3,1,1)两种分配方案：①分成(2,2,1)三组，其中甲和丙为一组，从余下3人选出2人组成一组，然后排列，有C32A33=3×3×2=18（种）；②分成(3,1,1)三组，在丁、戊中选出1人，与甲丙组成一组，然后排列，有C21A33=2×3×2=12（种）.共有18+12=30（种）.故选D.7.（1）若C n4>C n6，则n的取值集合是{6,7,8,9} .[解析]解：因为C n4>C n6，所以n≥6，且n!4!(n−4)!>n!6!(n−6)!，所以30>(n−4)(n−5)，即(n−10)(n+1)<0，解得−1<n<10.综上，6≤n<10.故n 的取值集合是{6,7,8,9}.（2）C22+C32+C42+⋯+C102=165 .[解析]解：C22+C32+C42+⋯+C102=C33+C32+C42+⋯+C102=C43+C42+⋯+ C102=⋯=C102+C103=C113=165.8. 【多选题】上海某校举办了主题为“党在我心中”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，则下列结论正确的是( BCD )A. 若甲、乙、丙三名同学全参加，则不同的朗诵排列顺序有36种B. 若甲、乙、丙三名同学恰有一人参加，则不同的朗诵排列顺序有288种C. 若甲、乙、丙三名同学恰有二人参加，则不同的朗诵排列顺序有432种D. 选派的4名学生不同的朗诵排列顺序有768种[解析]解：对于A，甲、乙、丙三名同学全参加，有C41A44=96（种）情况，由捆绑法易得其中甲、乙相邻的有C41A22A33=48（种）情况.所以甲、乙、丙三名同学全参加时，甲和乙的朗诵排列顺序不能相邻有96−48=48（种）情况，故A错误.对于B，甲、乙、丙三名同学恰有一人参加，不同的朗诵排列顺序有C43C31A44= 288（种）情况，故B正确.对于C，甲、乙、丙三名同学恰有二人参加时，不同的朗诵排列顺序有C42C32A44=432（种）情况，故C正确.对于D，选派的4名学生不同的朗诵排列顺序有288+432+48=768（种）情况，故D正确.故选BCD.【综合运用】9. 直线l:xa +yb=1，a∈{1,3,5,7}，b∈{2,4,6,8} .若l与坐标轴围成的三角形的面积不小于10，则这样的直线的条数为( B )A. 6B. 7C. 8D. 16[解析]解：l与坐标轴围成的三角形的面积为S=12ab≥10，即ab≥20.当a= 1时，不满足；当a=3时，b=8，即1条；当a∈{5,7}时，b∈{4,6,8}，此时a的取法有2种，b的取法有3种，则直线l的条数为2×3=6.故满足条件的直线的条数为1+6=7.故选B.10. 洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象（如图），结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数（图中白圈表示的数为阳数，黑点表示的数为阴数）.现利用阴数和阳数构成一个四位数，规则如下：（从左往右数）第一位数是阳数，第二位数是阴数，第三位数和第四位数一阴一阳和为7，则这样的四位数的个数有( A )A. 120个B. 90个C. 48个D. 12个[解析]解：根据题意，阳数为1，3，5，7，9，阴数为2，4，6，8.第一位数的选择有5种，第二位数的选择有4种，第三位数和第四位数的组合可以为(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)共6种选择，根据分步乘法计数原理，这样的四位数共有5×4×6=120（个）.故选A.11. 如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是( D )A. 48B. 18C. 24D. 36[解析]解：第1类，对于每一条棱，都可以与两个面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12=24（个）；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个.所以正方体中“正交线面对”共有24+12=36（个）.故选D.12. 【多选题】从1，2，3，4，5，6中任取三个不同的数组成一个三位数，则在所组成的数中( ACD )A. 偶数有60个B. 比300大的奇数有48个C. 个位和百位数字之和为7的数有24个D. 能被3整除的数有48个[解析]解：对于A，先从2，4，6中任取一个数放在个位，再任取两个数放在十位和百位，共有3A52=60（个），故A正确.对于B，若百位数字为3或5,有2×2×4=16（个）三位奇数；若百位数字为4或6,有2×3×4=24（个）三位奇数.则符合题意的三位数有16+24=40（个），故B错误.对于C，个位和百位的数可以是{1,6}，{2,5}，{3,4}顺序可以交换，再从剩下的数中任选一个放在十位上，共有A22C31C41=24（个），故C正确.对于D，要使组成的数能被3整除，则各位数之和为3的倍数，取出的数有{1,2,3}，{1,2,6}，{1,3,5}，{1,5,6}，{2,3,4}，{2,4,6}，{3,4,5}，{4,5,6}，共8种情况，所以组成的能被3整除的数有8A33=48（个），故D正确．故选ACD.13. 中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.如图是利用算筹表示数1-9的一种方法.例如：3可以表示为“”，26可以表示为“”.现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1-9这9个数字表示两位数的个数为16. [解析]解：根据题意，6根算筹可以表示的数字组合为15，19，24，28，33，37，46，68，77.数字组合15，19，24，28，37，46，68中，每组可以表示2个两位数，则可以表示2×7=14（个）两位数；数字组合33，77共可表示2个两位数.则共可表示14+2=16（个）两位数.故填16.【拓广探索】。
高考理科数学二轮复习：专题透析(5)概率与统计名师讲义(含答案)
5概率与一、数原理1.分加法数原理和分步乘法数原理的区是什么?分加法数原理“分” ,此中各样方法互相独立 ,用此中任何一种方法都能够做完件事 ;分步乘法数原理“分步” ,各个步互相依存 ,只有各个步都达成了才算达成件事 .2.摆列数、合数的公式及性是什么?(1)=n(n-1)(n-2) ⋯(n-m+1)=公(2)= =式=(n,m∈N+ ,且 m≤n)特地 , =1性(1)0!= 1; =n!(2) =;=+3.二式系数的性是什么?性性描绘称与首末两头“等距离”的两个二式系数相等 ,即 =性增减二式系当 k<(n∈N+ ) ,二式系数是增的性数(n∈N+ ) ,二式系数是减的当 k>二式当 n 偶数 ,中的一获得最大系数的最大当 n 奇数 ,中的两与获得最大而且相等4.各二式系数的和是什么?(1)(a+b )n睁开式的各二式系数的和+ + + ⋯+= 2n.(2)偶数的二式系数的和等于奇数的二式系数的和,即+ + + ⋯= + ++ ⋯= 2n- 1.二、概率1.互斥事件与立事件有什么区与系?互斥与立都是两个事件的关系,互斥事件是不行能同生的两个事件,而立事件除要求两个事件不一样生外 ,要求两者之一必有一个生 .所以 ,立事件是互斥事件的特别状况 ,而互斥事件不必定是立事件 .2.基本领件的三个特色是什么?(1)每一个基本领件生的可能性都是相等的;(2)任何两个基本领件都是互斥的;(3)任何事件 (除不行能事件 )都能够表示成基本领件的和.3.古典概型、几何概型的概率公式分是什么?古典概型的概率公式 :P(A)=.几何概型的概率公式 :P(A)=.三、统计初步与统计事例1.分层抽样的合用范围是什么?当整体是由差别明显的几个部分构成时,常常采纳分层抽样的方法.2.怎样作频次分布直方图?(1)求极差 (即一组数据中最大值与最小值的差).(2)决定组距与组数 .(3)将数据分组 .(4)列频次分布表 .(5)画频次分布直方图 .3.频次分布直方图的特色是什么?(1)频次分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距,纵坐标表示,频率=组距×.(2)在频次分布直方图中 ,各小长方形的面积总和等于 1.由于在频次分布直方图中组距是一个固定值 ,所以各小长方形高的比也就是频次比 .(3)频次分布表和频次分布直方图是一组数据频次分布的两种形式,前者正确 ,后者直观 .4.怎样进行回归剖析 ?(1)定义 :对拥有有关关系的两个变量进行统计剖析的一种常用方法.(2)本点的中心于一拥有性有关关系的数据 (x1,y1),(x2,y2), ⋯ ,(x n,y n),此中 ( , )称本点的中心 .(3)有关系数当r> 0 ,表示两个量正有关; 当r< 0 ,表示两个量有关 .r 的越靠近于 1,表示两个量的性有关性越 .r 的越靠近于 0,表示两个量之的性有关性越弱 .往常当 |r|大于 0.75 ,两个量有很的性有关性.5.独立性的一般步是什么?解决独立性的用,必定要依照独立性的步得出.独立性的一般步 :(1)依据本数据制成2×2 列表 ;(2)依据公式 K2=算K2的k;(3)比 k 与界的大小关系 ,做出推测 .四、随机量及其用1.失散型随机量的分布列及性是什么?(1)失散型随机量的分布列:若失散型随机量X 全部可能的取x1,x2, ⋯,x i⋯,x n,X 取每一个 x i(i= 1,2, ⋯,n)的概率 p1,p2, ⋯,p n,表X x1x2⋯x i⋯x nP p1p2⋯p i⋯p n称失散型随机量X 的概率分布列或称失散型随机量X 的分布列.(2)失散型随机量的分布列的性:①0≤p≤1(i= 1,2,3,⋯,i n);②p1+p2+ ⋯+p n= 1;③P(x i≤X≤x j)=p i+p i+ 1+ ⋯+p j .2.事件的互相独立性的观点及公式是什么?(1)互相独立的定 :事件 A 能否生事件 B 能否生的概率没有影响,即 P(B|A)=P (B). ,称事件 A 与事件 B 互相独立 ,并把两个事件叫作互相独立事件 .(2)概率公式条件事件 A,B 互相独立事件 A⋯,1,A2, A n互相独立公式P(A∩B)=P (A) ·P(B) P(A1∩A2∩⋯∩A n) =P (A1) ·P(A2) ·⋯·P(A n)3.独立重复与二分布的观点和公式是什么?(1)独立重复①定 :在同样条件下 ,重复地做n 次 ,各次互相独立 ,那么一般就称它 n 次独立重复 .②概率公式 :在一次中事件 A 生的概率p, n 次独立重复中,事件 A 恰巧生 k 次的概率 P k n-k⋯,n(k)=p (1-p)(k=0,1,2,n).(2)二分布 :在 n 次独立重复中 ,事件 A 生的次数 X,事件 A 不生的概率 q= 1-p, n 次独立重复中事件 A 恰巧生 k 次的概率是P(X=k)= p k q n-k,此中 k=0,1,2,⋯,n于是 X 的分布列 :X 0 1 ⋯k ⋯np0pq p k q n p n qP⋯⋯q n n-1-k0此称失散型随机量X 听从参数 n,p 的二分布 ,作 X~B(n,p).4.正分布的观点及性是什么?(1)正曲 :正量的概率密度函数的象叫作正曲,其函数表达式 f(x)=·,x∈R,此中μ,σ 参数 ,且σ>0,-∞<μ<+∞.(2)正曲的性①曲位于 x 上方 ,与 x 不订交 ,与 x 之的面1;②曲是峰的 ,它对于直 x=μ 称 ;③曲在 x=μ 达到峰;④当μ必定 ,曲的形状由σ确立 ,σ越小 ,曲越“瘦高”,表示体的分布越集中 ;σ越大 ,曲越“矮胖”,表示体的分布越分别 .(3)正体在三个特别区内取的概率①P(μ-σ<X≤μ+σ)= 0.6826;②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)= 0.9544;③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)= 0.9974.5.失散型随机量的数学希望(或均 )与方差的观点是什么 ?一个失散型随机量X 全部可能取的是x1,x2, ⋯,x n些的概率分是 p1,p2, ⋯,p n.(1)数学希望 :称 E(X)=x 1p1+x2p2+ ⋯+x n p n失散型随机量 X 的均或数学希望 (称希望 ),它刻画了个失散型随机量取的均匀水平 .(2)方差 :称 D(X)= (x1-E(X))2p1+ (x2-E(X))2p2+ ⋯+ (x n-E(X))2p n失散型随机量 X 的方差 ,它反应了失散型随机量取相于希望的均匀波大小(或失散程度 ),D(X)的算平方根叫作失散型随机量X 的准差 .6.均与方差的性有哪些?(1)E(aX+b)=aE (X)+b(a,b 常数 ).(2)D(aX+b )=a2D(X)(a,b 常数 ).(3)两点分布与二分布的均、方差的公式①若 X 听从两点分布 ,E(X)=p ,D(X)=p (1-p).②若 X~B(n,p), E(X)=np,D(X)=np(1-p).几何概型、古典概型、互相独立事件与互斥事件的概率、条件概率是高考的点 ,几何概型主要以客形式考,求解的关在于找准度(度或面 );互相独立事件、互斥事件常作解答的一部分考,也是一步求分布列、希望与方差的基础,求解该类问题要正确理解题意,正确判断概率模型,恰当选择概率公式 .近几年的高考数学试题对统计事例的考察一般不独自命题 ,而是与概率、随机变量的数学希望交汇命题 ,高考对此类题目的要求是能依据给出的或经过统计图表给出的有关数据求线性回归方程,认识独立性查验的思想方法 ,会判断两个分类变量能否有关.从近几年高考情况来看,该类专题在高考取占的比率大概为15%,以简单题、中档题为主,考察题型分选择题、填空题和解答题 .一、选择题、填空题的命题特色(一)考察摆列、组合的应用 ,以考察两个计数原理和摆列、组合的应用为主,难度中等 ,常常以选择题、填空题的形式出现.1.(2018 ·全国Ⅰ卷·理 T15 改编 )从 2 名女生 ,4 名男生中选 3 人参加科技竞赛 ,恰有 1 名女生当选 ,则不一样的选法共有种.(用数字填写答案)分析 ?由题意可得有1名女生,2名男生,则有 C = 12 种不一样的选法 .答案?122.(2018 ·浙江卷·T16 改编 )从 1,3,5,7,9 中任取 2 个数字 ,从 2,4,6 中任取 2 个数字,一共能够构成个没有重复数字的四位数.(用数字作答 )分析 ?一共能够构成 A = 720 个没有重复数字的四位数.答案 ?7203.(2017 ·全国Ⅱ卷·理 T6 改编 )安排 5 名志愿者达成 4 项工作 ,每项工作只需由1 人达成 ,则不一样的安排方式共有 ().A.120 种B.180 种C.240 种D.360 种分析 ?由题意可得 ,5 人中选出 4 人达成工作 ,剩下 1 人没有工作 ,故不同的安排方式有 A = 120(种).答案 ?A(二)考察二项式定理的应用,以考察运用二项式定理求特定项、求项数和二项式定理性质的应用为主,难度中等 ,常常以选择题、填空题的形式出现.4.(2018 ·全国Ⅲ卷·理 T5 改编 )的睁开式中x的系数为().A.10B.20C.40D.80分析 ?由题可得 Tr+ 1C25-rC·r ·10-3r, (x ) 2 x令 10-3r= 1,得 r= 3.所以·2r=·32 =80.答案 ?D5.(2017 ·全国Ⅰ卷·理 T6 改编 )(1+x )6的睁开式中 x4的系数为 ().A.15B.16C.30D.35分析 ?由于 (1+x)6睁开式的通项为 T r 所以(1+x)6的展r+ 1C x ,开式中含 x4的项为 1C x4和C x6.由于+= 16,所以(1+x)6的睁开式中x4的系数为16.答案 ?B(三)考察随机事件的概率 ,以考察随机事件、互斥事件与对峙事件的概率为主 ,难度中等 ,常与事件的频次交汇考察.本节内容在高考取三种题型都有可能出现 ,随机事件的频次与概率题目常常以解答题的形式出现,互斥事件、对峙事件的观点及概率题目常常以选择、填空题的形式出现.6.(2018 ·全国Ⅲ卷·文 T5 改编 )若某集体中的成员只用现金支付的概率为0.25,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为().分析 ? 设事件 A 为“不用现金支付”,事件 B 为“既用现金支付也用非现金支付”,事件 C 为“只用现金支付”,则 P(A)= 1-P(B)-P(C)= 1-0.15-0.25= 0.6,故选 C.答案?C(四)考察古典概型 ,全国卷对古典概型每年都会考察 ,难度中等 ,主要考察实质背景的可能事件 ,往常与互斥事件、对峙事件一同考察 .在高考取独自命题时 ,往常以选择题、填空题形式出现 ,属于中低档题 .7.(2018 ·全国Ⅱ卷·理 T8 改编 )我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中获得了世界当先的成就 .哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数能够表示为两个素数的和”,如30= 7+ 23.在不超出 30 的素数中 ,随机选用 2 个不一样的数 ,其和等于26 的概率是 ().A. B. C. D.分析 ?不超出30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10个,从中随机选用 2 个不一样的数 ,共有 C= 45 种取法 .由于 3+ 23= 7+ 19= 26,所以随机选用2 个不一样的数 ,其和等于 26 的有 2 种取法 ,故所求概率为.答案?D8.(2018 ·江苏卷·T6 改编 )某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生 ,现从中任选 2 名学生去参加活动 ,则恰巧选中 1 名男生和 1 名女生的概率为.分析 ?从5名学生中任选2 名学生 ,共有 C = 10 种选法 ,此中恰巧选中1 名男生和 1 名女生的选法有 C C= 6 种,所以所求概率为= .答案 ?(五)考察几何概型 ,难度较大 ,以理解几何概型的观点、概率公式为主,会求一些简单的几何概型的概率 ,常与平面几何、线性规划、不等式的解集等知识交汇考察 ,在高考取多以选择题、填空题的形式考察 ,难度中等 .9.(2018 ·全国Ⅰ卷·理 T10 改编 )折纸艺术是我国古代留下来可贵的民间艺术,拥有很高的审美价值和应用价值.以下图的是一个折纸图案,由一个正方形内切一个圆形 ,而后在四个极点处罚别嵌入半径为正方形边长一半的扇形 .向图中随机投入一个质点 ,则质点落在暗影部分的概率 P1与质点落在正方形内圆形地区外面的概率P2的大小关系是 ().A.P1>P 2B.P1<P 2C.P1=P 2D.不可以确立分析 ?将正方形内圆形地区外面的四个角进行沿直角边重合组合,恰好获得的图形就是暗影部分图形,所以暗影部分地区的面积等于正方形内圆形地区外面的面积 ,故 P1=P 2.答案?C10.(2016 ·全国Ⅱ卷·文 T8 改编 )某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现 ,红灯连续时间为40 秒.若一名行人到达该路口碰到红灯,则起码需要等待 10 秒才出现绿灯的概率为().A. B. C. D.分析 ?起码需要等候10秒才出现绿灯的概率为= ,应选 A .答案?A(六)考察随机抽样 ,在抽样方法的考察中,系统抽样、分层抽样是考察的要点 ,题型主要以选择题和填空题为主,属于中低档题 .11.(2017 ·江苏卷·T3 改编 )某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不一样型号的产品,产量分别为 200、400、300、100 件,为查验产品的质量 ,现用分层抽样的方法从以上全部的产品中抽取60 件进行查验 ,则应从甲种型号的产品中抽取件.分析 ?∵==,∴应从甲种型号的产品中抽取×200= 12(件 ).答案?12(七)用样本预计整体 ,主要考察均匀数、方差等的计算以及茎叶图、频次分布直方图的简单应用 .题型以选择题和填空题为主 ,出现解答题时常常与概率相联合 ,属于中档题 .12.(2018 ·全国Ⅰ卷·理 T3 改编 )某地域经过一年的新乡村建设,乡村的经济收入增添了一倍 ,实现翻番 .为更好地认识该地域乡村的经济收入变化状况,统计了该地域新乡村建设前后乡村的经济收入构成比率,获得以下饼图 :则以下选项中不正确的选项是().A.新乡村建设后 ,栽种收入增添B.新乡村建设后 ,其余收入增添了一倍以上C.新乡村建设后 ,养殖收入没有增添D.新乡村建设后 ,养殖收入与第三家产收入的总和超出了经济收入的一半分析 ? 由题干可知 ,乡村的经济收入增添了一倍 ,实现翻番 .为方即可设建设前后的经济收入分别为 100,200(单位省去 ).A 中,栽种收入前后分别为60,74,收入增添了 ,A 正确 ;B 中,其余收入前后分别为 4,10,增添了一倍以上 ,B 正确 ;C 中,养殖收入前后分别为 30,60,收入增添了一倍 ,C 错误 ;D 中,建设后 ,养殖收入与第三家产收入的总和为(30+ 28)×2= 116> 100,D 正确 .应选 C.答案?C13.(2017 ·全国Ⅲ卷·理 T3)某城市为认识旅客人数的变化规律 ,提升旅行服务质量 ,采集并整理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月时期月招待旅客量 (单位 :万人)的数据 ,绘制了下边的折线图 .依据该折线图 ,以下结论错误的选项是 ().A.月招待旅客量逐月增添B.年招待旅客量逐年增添C.各年的月招待旅客量顶峰期大概在7,8 月D.各年 1 月至 6 月的月招待旅客量相对于7 月至 12 月,颠簸性更小 ,变化比较安稳分析 ? 对于选项 A, 由图易知 ,月招待旅客量每年 7,8 月份明显高于 12 月份 ,故 A 错误 ;对于选项 B,察看折线图的变化趋向可知 ,年招待旅客量逐年增添 ,故 B 正确 ;对于选项 C,D,由图可知明显正确 .答案?A(八)考察失散型随机变量分布列、超几何分布、条件概率、正态分布、数学希望与方差 ,求失散型随机变量的数学希望是全国卷高考要点考察的内容,在选择题、填空题中有时会出现.主要考察失散型随机变量的分布列、数学希望、正态分布等 .14.(2018 ·全国Ⅲ卷·理 T8 改编 )某集体中的每位成员使用挪动支付的概率都为 p,各成员的支付方式互相独立,设 X 为该集体的 10 位成员中使用挪动支付的人数 ,D(X)= 2.1,P(X= 4)<P (X= 6),则 p= ().分析 ? 由于 X~B(n,p),所以 D(X)=np(1-p)= 2.1,所以 p= 0.3 或 p=0.7.由于 P(X= 4)=p4(1-p)6<P (X= 6)=p6(1-p)4,所以 (1-p)2 2可得p> 0.5.故p=0.7.<p ,答案?A15.(2017 ·全国Ⅱ卷·理 T13 改编 )一批产品的二等品率为 0.08,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取 100 次,X 表示抽到的二等品件数,则D(X)=.分析 ?有放回地抽取,是一个二项分布模型, 此中p=0.08,n=100,则D(X)=np(1-p)= 100×0.08×0.92= 7.36.答案 ?7.36二、解答题的命题特色概率与统计综合试题的题干阅读量大,简单造成考生在数学模型转变过程中失误,得分率不高 .这些试题主要考察古典概型,用样本预计整体,利用回归方程进行展望 ,独立性查验的应用 ,失散型随机变量的分布列和数学希望 ,正分布等 .概率、随机量的数学希望交命,高考此目的要求是能依据出的或通表出的有关数据求性回方程.1.(2018 ·全国Ⅱ卷·理 T18)下是某地域 2000 年至 2016 年境基施投y(位 :元)的折.了地域 2018 年的境基施投 ,成立了 y 与量 t 的两个性回模型 .依据2000 年至 2016 年的数据 (量 t 的挨次1,2, ⋯ ,17)成立模型①: =- 30.4+ 13.5t;依据 2010年至 2016 年的数据 (量t 的挨次 1,2, ⋯,7)成立模型②: = 99+ 17.5t.(1)分利用两个模型 ,求地域 2018 年的境基施投的.(2)你用哪个模型获得的更靠谱?并明原因 .分析 ? (1)利用模型①,从 2000 年开始算起 ,2018 年即 t= 19,所以地域2018 年的境基施投的=- 30.4+ 13.5×19= 226.1(元).利用模型②,从 2010 年开始算起 ,2018 年即 t= 9,所以地域 2018 年的境基施投的= 99+ 17.5×9= 256.5(元).(2)利用模型②获得的更靠谱 .原因以下 :(i) 从折能够看出 ,2000年至 2016 年的数据的点没有随机分布在直线 y=- 30.4+ 13.5t 上下 ,这说明利用 2000 年至 2016 年的数据成立的线性模型①不可以很好地描绘环境基础设备投资额的变化趋向.2010 年相对 2009 年的环境基础设备投资额有明显增添,2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的邻近 ,这说明从 2010 年开始环境基础设备投资额的变化规律呈线性增添趋向,利用2010年至2016年的数据成立的线性模型= 99+ 17.5t能够,所以利用模型②较好地描绘2010年此后的环境基础设备投资额的变化趋向获得的展望值更靠谱.(ii)从计算结果看 ,相对于 2016 年的环境基础设备投资额 220 亿元 ,由模型①获得的展望值 226.1 亿元的增幅明显偏低 ,而利用模型②获得的展望值的增幅比较合理 ,说明利用模型②获得的展望值更靠谱 .2.(2018 ·全国Ⅰ卷,理 T20)某工厂的某种产品成箱包装 ,每箱 200 件,每一箱产品在交托用户以前要对产品作查验,如查验出不合格品,则改换为合格品 .查验时 ,先从这箱产品中任取 20 件作查验 ,再依据查验结果断定能否对余下的全部产品作查验 .设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p< 1),且各件产品能否为不合格品互相独立.(1)记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为f(p),求 f(p)的最大值点 p0.(2)现对一箱产品查验了20 件,结果恰有 2 件不合格品 ,以(1)中确立的 p0作为p 的值 .已知每件产品的查验花费为 2 元,如有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25 元的补偿花费 .(i)若不对该箱余下的产品作查验 ,这一箱产品的查验花费与补偿花费的和记为 X,求 E(X).(ii)以查验花费与补偿花费和的希望值为决议依照 ,能否该对这箱余下的全部产品作查验 ?分析 ? (1)由题意可知 ,独立重复试验切合二项分布 ,20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为f(p)C p2(1-p)18= 190p2(1-p)18,对上式求导得 f'(p)= [190p2(1-p)18]'=190[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]=190p(1-p)17[2(1-p)-18p]=380p(1-p)17(1-10p).当 f'(p)= 0 时,有 p(1-p)17由适当∈时(1-10p)= 0,0<p< 1,p,f'(p)> 0,f(p)单一递加 ;当 p∈时,f'(p)< 0,f(p)单一递减.故 f(p)max=f (p0)=f,即 p0= .(2)(i) 由题意 ,节余未作查验的产品有180件,此中 Y表示不合格品的件数 ,其听从二项分布Y~B.故 E(Y)= 180× = 18.又 X= 40+ 25Y,故 E(X)=E (40+ 25Y)= 40+ 25×18= 490(元).(ii)若对这箱余下的全部产品作查验 ,则需要的查验费为 200×2= 400(元).由于 E(X)= 490> 400,所以需要对这箱余下的全部产品作查验.3.(2018 ·全国Ⅲ卷·理 T18)某工厂为提升生产效率 ,睁开技术创新活动 ,提出了达成某项生产任务的两种新的生产方式 .为比较两种生产方式的效率,选用40 名工人 ,将他们随机分红两组 ,每组 20 人,第一组工人用第一种生产方式 , 第二组工人用第二种生产方式 .依据工人达成生产任务的工作时间 (单位 :min) 绘制了以下茎叶图 :(1)依据茎叶图判断哪一种生产方式的效率更高?并说明原因 .(2)求 40 名工人达成生产任务所需时间的中位数 m,并将达成生产任务所需时间超出 m 和不超出 m 的工人数填入下边的列联表 :不超出超出 mm第一种生产方式第二种生产方式(3)依据 (2)中的列联表 ,可否有 99%的掌握以为两种生产方式的效率有差别?附:K2=,P(K2≥k0)0.0500.0100.001k0 3.841 6.63510.828分析 ? (1)第二种生产方式的效率更高.原因以下 :(i)由茎叶图可知 ,用第一种生产方式的工人中 ,有 75%的工人达成生产任务所需时间起码 80 分钟 ,用第二种生产方式的工人中 ,有 75%的工人达成生产任务所需时间至多 79 分钟 ,所以第二种生产方式的效率更高 .(ii)由茎叶图可知,用第一种生产方式的工人达成生产任务所需时间的中位数为 85.5 分钟 ,用第二种生产方式的工人达成生产任务所需时间的中位数为 73.5 分钟 ,所以第二种生产方式的效率更高 .(iii)由茎叶图可知,用第一种生产方式的工人达成生产任务均匀所需时间高于 80 分钟 ,用第二种生产方式的工人达成生产任务均匀所需时间低于80 分钟 ,所以第二种生产方式的效率更高.(iv)由茎叶图可知 ,用第一种生产方式的工人达成生产任务所需时间分布在茎 8 上的最多 ,对于茎 8 大概呈对称分布 ;用第二种生产方式的工人达成生产任务所需时间分布在茎 7 上的最多 ,对于茎 7 大概呈对称分布 .又用两种生产方式的工人达成生产任务所需时间分布的区间同样 ,故能够以为用第二种生产方式达成生产任务所需的时间比用第一种生产方式达成生产任务所需的时间更少 ,所以第二种生产方式的效率更高 .(2)由茎叶图知 m== 80.列联表以下 :超出 m不超出第一种生产方m 155式第二种生产方515式(3)因 K2的 k== 10> 6.635,所以有 99%的掌握两种生方式的效率有差别.4.(2017 ·全国Ⅰ卷·理 T19)了控某种部件的一条生的生程,每日从生上随机抽取16 个部件 ,并量其尺寸 (位 :cm).依据期生 ,能够条生正常状下生的部件的尺寸听从正分布2N(μ,σ).(1) 假生状正常,X 表示一天内抽取的16 个部件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)以外的部件数,求P(X≥1)及X 的数学希望.(2)一天内抽部件中 ,假如出了尺寸在 (μ-3σ,μ+3σ)以外的部件 ,就条生在一天的生程可能出了异样状况 ,需当日的生程行 .(i)明上述控生程方法的合理性 .(ii)下边是在一天内抽取的 16 个部件的尺寸 :9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95算得 =xi= 9.97,s==≈0 .212,此中 x i抽取的第 i 个部件的尺寸 ,i= 1,2,⋯,16.用本均匀数作μ的估 ,用本准差 s 作σ的估 ,利用估判断能否需当日的生程行?剔除 ( -3, + 3 )以外的数据 ,用剩下的数据估μ和σ(精准到 0.01).2附:若随机量Z服从正分布N(μ,σ),P(μ-3σ<Z<μ+3σ)= 0.9974,0.997416≈0.9592,≈0.09.分析 ? (1)由题可知抽取的一个部件的尺寸落在(μ-3σ,μ+3σ)以内的概率为 0.9974,进而部件的尺寸落在 (μ-3σ,μ+3σ)以外的概率为0.0026,故 X~B(16,0.0026).所以 P(X≥1)= 1-P(X= 0)= 1-0.997416≈1-0.9592=0.0408, X 的数学希望 E(X)= 16×0.0026= 0.0416.(2)(i) 假如生产状态正常 ,一个部件尺寸在 (μ-3σ,μ+3σ)以外的概率只有0.0026,一天内抽取的16 个部件中,出现尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)以外的部件的概率只有0.0408,发生的概率很小,所以一旦发生这种状况,就有原因以为这条生产线在这天的生产过程可能出现了异样状况,需对当日的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的 .(ii) 由 = 9.97,s≈0.212,得μ的预计值为 = 9.97,σ的预计值为 = 0.212,由样本数据能够看出有一个部件的尺寸在 ( -3 , + 3 )以外 ,所以需对当日的生产过程进行检查 .剔除( -3 , +3 )以外的数据9.22,剩下数据的均匀数为×(16×9.97-9.22)= 10.02,所以μ的预计值为 10.02.= 16×0.2122+ 16×9.972≈ 1591.134,剔除( -3 , +3 )以外的数据9.22,剩下数据的样本方差为×2-15×10.022) ≈0.008,所以σ的预计值为≈0.09.1.样本数据(1)众数、中位数及均匀数都是描绘一组数据集中趋向的量 ,均匀数是最重要的量 ,与每个样本数占有关 ,这是中位数、众数所不拥有的性质 .(2)标准差、方差描绘了一组数据环绕均匀数颠簸的大小.标准差、方差越大 ,数据的失散程度就越大.(3)茎叶图、频次分布表和频次分布直方图都是用图表直观描绘样本数据的分布规律的 .2.频次分布直方图(1)用样本预计整体是统计的基本思想,而利用频次分布表和频次分布直方图来预计整体则是用样本的频次分布去预计整体分布的两种主要方法 .频次分布表在数目表示上比较正确 ,频次分布直方图比较直观 .(2)频次分布表中的频数之和等于样本容量,各组中的频次之和等于1;在频次分布直方图中,各小长方形的面积表示相应各组的频次,所以全部小长方形的面积的和等于 1;均匀数是频次分布直方图各个小矩形的面积×底边中点的横坐标之和 .3.摆列与组合(1)①解决“在”与“不在”的有限制条件的摆列问题 ,既能够从元素下手 ,也能够从地点下手 ,原则是谁“特别”谁优先 .不论是从元素考虑仍是从地点考虑 , 都要贯彻究竟 ,不可以既考虑元素又考虑地点 .②解决相邻问题的方法是“捆绑法”,即把相邻元素看作一个整体和其余元素一同摆列,同时要注意捆绑元素的内部摆列 .③解决不相邻问题的方法是“插空法”,即先考虑不受限制的元素的摆列,再将不相邻的元素插在前方元素摆列的空中间.④对于定序问题,可先不考虑次序限制,摆列后 ,再除以定序元素的全摆列.⑤若某些问题从正面考虑比较复杂 ,可从其反面下手 ,即采纳“间接法”.(2)组合问题的限制条件主要表此刻拿出元素中“含”或“不含”某些元素,或许“起码”或“最多”含有几个元素 :①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型.“含”,则先将这些元素拿出 ,再由此外元素补足 ; “不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选用 .②“起码”或“最多”含有几个元素的题型 .考虑逆向思想 ,用间接法办理 .(3)分组分派问题是摆列、组合问题的综合运用,解决这种问题的一个基本指导思想就是先分组后分派 .对于分组问题,有整体均分、部分均分和不平分三种 ,不论分红几组 ,都应注意只需有一些组中元素的个数相等 ,就存在均分现象 .4.随机变量的均值与方差一般计算步骤 :(1)理解 X 的意义 ,写出 X 的全部可能取的值 .(2)求 X 取各个值的概率 ,写出分布列 .(3)依据分布列,由均值的定义求出均值 E(X),进一步由公式D(X)=(x i -E(X))2p i=E(X2)-(E(X))2求出 D(X).(4)以特别分布 (两点分布、二项分布、超几何分布 )为背景的均值与方差。
中考数学复习讲义课件 专题4 统计与概率
男 3，男 2 女，男 2
男 3 男 1，男 3 男 2，男 3
女3，女
由表可知，共有 12 种等可能的结果，其中恰好是一男一女的结果有 6 种，
∴抽取的两位学生恰好是一男一女的概率为162＝12.
5．(2021·宁夏)2021 年，“碳中和、碳达峰”成为高频热词．为了解学生对“碳 中和、碳达峰”知识的知晓情况，某校团委随机对该校九年级部分学生进行了 问卷调查，调查结果共分成四个类别：A 表示“从未听说过”，B 表示“不太 了解”，C 表示“比较了解”，D 表示“非常了解”．根据调查统计结果，绘 制成如下两种不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题．
4.(2021·张家界)为了积极响应中共中央文明办关于“文明用餐”的倡议， 某校开展了“你的家庭使用公筷了吗？”的调查活动，并随机抽取了部分 学生，对他们家庭用餐使用公筷情况进行统计，统计分类为以下四种：A(完 全使用)、B(多数时间使用)、C(偶尔使用)、D(完全不使用)，将数据进行整 理后，绘制了两幅不完整的统计图．
(2)请将频数分布直方图补充完整； 解：补全频数分布直方图如图所示．
(3)抽取的 200 名学生中竞赛成绩的中位数落在的组别是 C 组；
(4)若该校共有 1000 名学生，请估计本次党史知识竞赛成绩为“优秀”的学 生人数．
解：1000×(0.25＋0.3)＝1000×0.55＝550(人)． 答：本次党史知识竞赛成绩为“优秀”的学生约有 550 人．
[分析] (1)由频率之和等于 1 可得 b 的值，再由第一组频数及频率求出被调 查的总人数，根据频数＝频率×总人数求解可得 a 的值； (2)根据以上所求数据即可将统计图补充完整； (3)利用样本估计总体的知识求解即可求得答案； (4)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所选 两人正好都是甲班学生的情况，再利用概率公式即可求得答案．
专题 2015统计与概率新题赏析-讲义
统计与概率新题赏析主讲教师：黄老师新题赏析题一：小明统计了他家今年5月份打电话的次数及通话时间，并列出了频数分布表：则通话时间不超过15min的频率为( )A．0.1 B．0.4 C．0.5 D．0.9题二：为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区10户居民进行调查，下表是这10户居民2015A．中位数是50 B．众数是51C．方差是42 D．极差是21题三：两组数据：3，a，2b，5与a，6，b的平均数都是6，若将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据的中位数为___________．题四：某大学自主招生考试只考数学和物理，计算综合得分时，按数学占60%，物理占40%计算．已知孔明数学得分为95分，综合得分为93分，那么孔明物理得分是_______分．题五：如图，已知点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一________．题六：甲、乙两布袋装有红、白两种小球，两袋装球总数量相同，两种小球仅颜色不同．甲袋中，红球个数是白球个数的2倍；乙袋中，红球个数是白球个数的3倍，将乙袋中的球全部倒入甲袋，随机从甲袋中摸出一个球，摸出红球的概率是________．题七：在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个．(1)先从袋子中取出m (m＞1)个红球，再从袋子中随机摸出一个球，将“摸出黑球”记为事件A．请完成下列表格：(2)先从袋子中取出m 个红球，再放入m 个一样的黑球并摇匀，随机摸出一个球是黑球的概率等于45，求m 的值．题八：为了掌握我市中考模拟数学试题的命题质量与难度系数，命题教师赴我市某地选取一个水平相当的初三年级进行调研，命题教师将随机抽取的部分学生成绩(得分为整数，满分为160分)分为5组：第一组85~100；第二组100~115；第三组115~130；第四组130~145；第五组145~160．统计后得到如图所示的频数分布直方图(每组含最小值不含最大值)和扇形统计图，观察图形的信息，回答下列问题：(1)本次调查共随机抽取了该年级多少名学生？并将频数分布直方图补充完整；(2)若将得分转化为等级，规定：得分低于100分评为“D ”，100~130分评为“C ”，130~145分评为“B ”，145~160分评为“A ”，那么该年级1500名考生中，考试成绩评为“B ”的学生大约有多少名？(3)如果第一组只有一名是女生，第五组只有一名是男生，针对考试成绩情况，命题教师决定从第一组、第五组分别随机选出一名同学谈谈做题的感想，请你用列表或画树状图的方法求出所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的概率．统计与概率新题赏析讲义参考答案新题赏析题一：D．题二：C．题三：6．题四：90．题五：25．题六：1724．题七：(1)见下表；(2)2．题八：(1)50；补充频数分布直方图如下图：(2)420；(3)58．。
高中数学必考知识点概率与统计应用题解析及解题技巧总结
高中数学必考知识点概率与统计应用题解析及解题技巧总结在高中数学中，概率与统计是一个重要的知识点，也是必考内容之一。
掌握好概率与统计的应用题解析和解题技巧，对于高考的数学成绩至关重要。
本文将对概率与统计应用题进行解析，并总结一些解题技巧，帮助同学们更好地应对这一考点。
一、概率与统计应用题解析1.概率应用题解析概率应用题主要涉及事件的概率计算、样本空间、互斥事件、独立事件等概念。
解决这类题目需要综合运用这些概念，并结合具体条件进行分析。
下面以一个具体的例子来进行解析。
例：某班有男生20人，女生25人。
从中抽取1名学生，求抽到女生的概率。
解析：这是一个从有限总体中抽取的概率题。
首先，我们需要确定样本空间。
样本空间即抽取一个学生可能出现的所有情况，根据题目的条件，样本空间为45人。
而事件A为抽到女生，其中有25人符合条件。
所以，事件A的概率为 P(A) = 25/45。
2.统计应用题解析统计应用题主要涉及频数、频率、平均数、中位数、众数、方差等概念。
解决这类题目需要根据给定的数据进行分析，并选择合适的统计方法。
下面以一个具体的例子来进行解析。
例：某班有30人，考试的成绩如下：80，85，90，75，65，70，60，95，90，85，80，85，90，75，65，70，60，95，90，85，80，85，90，75，65。
求这组数据的平均数。
解析：根据题目的要求，我们需要求这组数据的平均数。
平均数的计算公式为：平均数 = 所有数据的和 / 数据的个数。
将给定的数据相加得到660，数据的个数为30，所以该组数据的平均数为660/30=22。
二、解题技巧总结1.理解题目背景和要求在解决概率与统计应用题时，首先需要理解题目的背景和要求。
通读题目，搞清楚需要计算概率还是统计指标，明确题目的核心内容。
2.识别关键信息在理解题目的基础上，要能够识别出问题中涉及的关键信息。
关键信息可以是已知的条件、所给数据、需要计算的值等。
中考数学专题统计与概率(解析版)
（1）本次抽样调查了多少户贫困户？
（2）抽查了多少户C类贫困户？并补全统计图；
（3）若该地共有13000户贫困户，请估计至少得到4项帮扶措施的大约有多少户？
（4）为更好地做好精准扶贫工作，现准备从D类贫困户中的甲、乙、丙、丁四户中随机选取两户进行重点帮扶，请用树状图或列表法求出恰好选中甲和丁的概率．
1．（2020年湖北省武汉市江汉区常青第一学校中考数学一模试题）某中学计划根据学生的兴趣爱好组建课外兴趣小组，并随机抽取了部分同学的兴趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列两幅统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：
学校这次调查共抽取了名学生；
求 的值并补全条形统计图；
在扇形统计图中，“围棋”所在扇形的圆心角度数为；
②列表如图所示：
共有9个等可能的结果，乙组两次都拿到8元球的结果有4个，
∴乙组两次都拿到8元球的概率为 ．
【名师点睛】本题考查了众数、中位数以及列表法求概率；熟练掌握众数、中位数的定义，列表得出所有结果是解题的关键．
4．（2019年江西中考）为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．
B组同学的测试成绩按照从小到大排列是：83，84，85，86，87，88，88，94，97，98，
则a＝（87+88）÷2＝87.5，
b＝91，
c＝ ＝5.8，
故答案为：87.5，91，5.8；
高考数学总复习考点知识专题讲解63---统计与概率
zi＝log2yi，－z ＝4.4，
10
zixi＝5548,26.1＝68.6,26.2＝73.5.
i＝1
(1)根据散点图发现样本点分布在函数 y＝2cx＋d 表示的曲 线周围，请根据所给数据建立 y 与 x 的回归方程(小数点后保 留两位数字)；
(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的 1.2 倍为偏 胖，低于 0.8 倍为偏瘦，请根据回归方程估计这个地区一名 身高为 175 cm，体重为 80 kg 的未成年男性的体重是否正 常？
由题意可知 Y～B3，23， 所以 E(Y)＝3×23＝2，D(Y)＝3×23×13＝23. 因为 E(X)＝E(Y)，D(X)<D(Y)， 所以甲被录取的可能性更大．
题型三 统计与概率的综合应用 【典例 3】 (2019·安徽蚌埠二模)网上购物的普及，传 统的实体店遭受到了强烈的冲击，某商场实体店近九年来的 纯利润如表所示：
高考数学总复习考点知识专题讲解 统计与概率
专题概述：1.概率与统计是高考中相对独立的一个内容， 该类问题以应用题为载体，注重考查应用意识及阅读理解能 力、分类讨论与化归转化能力；2.概率问题的核心是概率计 算．其中事件的互斥、对立、独立是概率计算的核心，排列 组合是进行概率计算的工具．统计问题的核心是样本数据的 获得及分析方法，重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的 数字特征，但近两年全国课标卷突出回归分析的考查；3.离 散型随机变量的分布列及其均值的考查是历来高考的重点， 难度多为中低档类题目，特别是与统计内容的渗透，背境新 颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．
[审题程序] 第一步：利用抽样方法进行数据处理； 第二步：确定 X 的取值及对应的概率； 第三步：计算 X 的分布列与数学期望； 第四步：从事件发生的概率确定有无变化．
专题25概率与统计-解析版
专题 25 概率与统计概率与统计是研究随机现象规律的重要手段, 也是高考数学命题中的必选项, 由于概率与统计中的分析方法与计数有关, 而计数中的分析方法不同于逻辑分析方法, 需要重新建立一种独特的思维模式. 在此过程中, 遇到思维障碍较多, 卡壳点较多, 必须寻找排除痛点的有效途径. 样本空间是统计与概率研究的基础, 不清楚样本点是什么就无法展示样本空间,痛点自然产生; 随机变量的分布列建立在随机变量的取值与取值的概率之上, 把随机变量的取值转化为随机事件, 才容易通过计数方法得到取值的概率, 否则即刻产生痛点. 统计假设检验中的列表法比较规范,一种是给出列表, 只需计算分析即可; 另一种需要根据问题信息列表, 如问题 5 , 难度大一点, 在某个环节上出错就会导致痛点产生.概率统计问题本质上难在两个方面:一是模型的识别与分析, 要准确把握给定现象或信息中随机变量所遵循的概率模型; 二是在计算分布列时, 随机变量取值转化为随机事件的概率, 这涉及计数的难点.一、找准古典概率的样本空间古典概率计算离不开对随机现象样本空间中基本事件的分析, 除了按照两个计数原理进行分析以外, 有时也需要对计数原理进行灵活运用.问题 1:一个书桌有 8 个抽屉, 分别用数字1∼8编号. 一份文件随机放在某个的概率会忘记把文件放进抽屉里, 如果要找一份非常重抽屉中, 由于粗心, 有15要的文件, 将按顺序打开每个抽屉,直到找到这份文件为止(或者翻遍所有抽屉都没能找到这份文件).（1）假如打开第 1 个抽屉, 发现里面没有要找的文件,这份文件在其余 7 个抽屉里的概率是多少?（2）假如翻遍了前 4 个抽屉, 发现都没有要找的文件,这份文件在其余 4 个抽屉里的概率是多少?（3）假如翻遍了前 7 个抽屉,里面都没有要找的文件,这份文件在最后 1 个抽屉里的概率是多少?【解析】卡壳点: 不会分析样本空间中的基本事件数.应对策略: 为了能够用计数方法思考, 需要用构造虚拟抽屉的方法.问题解答: 平均每 10 份文件就有 2 份被搞丢,其余 8 份平均地分给了 8 个抽屉,假如把所有搞丢的文件都找了回来, 那么它们占 2 个抽屉,于是想到一个有趣的思路如下.在这 8 个抽屉后加上 2 个虚拟抽屉,即抽屉 9 和抽屉 10 ,这 2 个抽屉专门用来装丢掉的文件,此问题等价地变为: 随机把文件放在 10 个抽屉里,但找文件时不允许打开最后 2 个抽屉, 当已经找过n个抽屉但仍没找到想要的文件时,文件只能在剩下的(10−n)个抽屉里,但只能打开剩下的(8−n)个抽屉.因此所求概率是8−n10−n , 而8−n10−n=1−210−n, 当0⩽n⩽8时, 它是一个递减函数.当n分别为1,4,7时, 概率分别为79,23,13.【反思】 (1) 问题情境贴近生活, 此处设计样本空间的思路是一个智慧点.(2) 问题转化是一个重要的思维, 添加“虚拟抽屉”后, 问题变得容易思考, 这是一个非常智慧的处理方式.（3）找到问题的基本模型, 3 个问题便迎刃而解.二、分辨随机现象中的概率模型随机现象中的概率模型有些是已有的经典模型, 有些需要根据问题情境进行分析建立.问题 2: 某同学报考某大学的“三位一体”自主招生,笔试与面试均分为两个等第: A (合格)、A⃐ (不合格). 已知该同学笔试比面试的表现出色, 表现相互独立. 根据模拟测试, 该同学可能获得等第的部分结果如下:(I) 求该同学在自主招生测试中只获得 1 个A的概率;(II) 若学校的加分政策为每获得一个A加 20 分, 否则不加分, 该同学在此次招生考试中加分的期望为多少?【解析】卡壳点: 不能精准识别概率模型.应对策略: 研究随机变量的取值, 以及将取值的概率转化为事件概率.问题解答: (I) 设笔试为A的概率为p1, 面试为A的概率为p2, 由题意可知p1>p2.又{p1p2=0.24,(1−p1)(1−p2)=0.24,解得p1=0.6,p2=0.4.故该同学在测试中只获得 1 个A的概率P=p i(1−p2)+(1−p1)p2=0.52. (II) 设该同学可能获得的加分为随机变量X, 则X的可能取值为40,20,0.随机变量X的分布列为:X40 20 0P0.240.520.24所以该同学加分的期望E(X)=40×0.24+20×0.52+0×0.24=20.【反思】 (1) 理解题意是前提, “同学笔试比面试的表现出色”隐藏着“ p1>p2”.(2) 笔试与面试的概率是末知的,通过给定的获得等第的部分结果建立方程是关键.(3) 事件“只获得 1 个A” 的概率为p1(1−p2)+(1−p1)p2, 而“该同学在此次招生考试中加分”为随机变量X, 找到其取值与取值的概率, 就能解决问题.三、规范掌握双联表的分析方法统计分析中涉及概率计算、相关分析、假设检验, 虽然中学统计学习中的模型比较规范与固定, 但在分析中叙述不规范、计算有错误, 会导致问题求解失败,产生痛点.问题 3: 为研究患肺癌与吸烟是否有关, 有人做了一次相关调查, 其中部分数据丢失, 但可以确定的是不吸烟人数与吸烟人数相同, 吸烟患肺癌人数占吸烟总人数的45. 不吸烟的人数中, 患肺癌与不患肺癌的人数之比为1:4.（I ) 若吸烟不患肺癌的有 4 人, 现从患肺癌的人中用分层抽样的方法抽取 5 人,再从这 5 人中随机抽取 2 人进行调查,求这 2 人都吸烟患肺癌的概率; (II) 若研究得到在犯错误概率不超过0.001的前提下, 认为患肺癌与吸烟有关, 则吸烟的人数至少有多少?附: K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d), 其中n=a+b+c+d.P(K⩾k)0.1000.0500.0100.001k0 2.706 3.840 6.63510.828【解析】卡壳点:检验模型操作不熟悉.应对策略: 只有搞清楚样本空间, 才能为进一步的假设检验打下基础.问题解答: (I) 设吸烟人数为x, 依题意有15x=4, 所以吸烟的人有 20 人, 故吸烟患肺癌的有 16 人, 不患肺癌的有 4 人.用分层抽样的方法抽取 5 人, 则应抽取吸烟患肺癌的 4 人, 记为a,b,c,d. 不吸烟患肺癌的 1 人, 记为A.从 5 人中随机抽取 2 人, 所有可能的结果有(a,b),(a,c),(a,d),(a,A),(b,c),(b,d),(b,A),(c,d), (c,A),(d,A), 共 10 种.其中 2 人都吸烟患肺癌的情形共有 6 种,所以P=610=35.故这 2 人都吸烟患肺癌的概率为35.(II) 解法 1 设吸烟人数为5x, 由题意可得:患肺癌不患肺癌合计吸烟4x x5x不吸烟x4x5x总计5x5x10x所以K2=10x(16x2−x2)2(5x)4=3.6x.由题意知3.6x⩾10.828, 所以x⩾3.008.因为x为整数, 所以x的最小值为 4 .故5x=20, 即吸烟人数至少为 20 人.解法 2 设吸烟人数为x, 由题意可得:患肺癌不患肺癌合计吸烟45x15x x不吸烟15x45x x总计x x2x所以K2=2x(1625x2−125x2)2(x)4=1825x.由题意得1825x⩾10.828, 所以x⩾15.04.因为x为整数且为 5 的倍数, 所以x的最小值为 20 , 即吸烟人数至少为 20 人.【反思】 (1)第 ( I ) 问, 通过列举法呈现样本空间, 为计算随机事件概率打下基础.（2）第 (II) 问, 要理清吸烟人群、不吸烟人群、患肺癌人群、不患肺癌人群,通过列表, 根据题意求解.(3)若问题样本较小,那么将样本空间的基本事件列举出来或用树形图呈现是非常重要的.四、较大者随机函数的取值转化随机变量的分布与期望是随机现象研究的基础. 关于随机变量的分布问题历年高考都有所变化,近几年来, 设计两个或两个以上随机变量, 研究其分布成为一个热点问题, 此类问题不仅要逐个分析随机变量的取值与取值的概率, 而且还要研究与两个随机变量相关的随机变量的分布, 如随机变量的较大者的分布问题、一般的随机变量函数的分布问题等.问题 4: 甲从装有编号为 1,2,3,4,5 的卡片的箱子中任意取一张,乙从装有编号为 2,4 的卡片的箱 子中任意取一张, 用 ξ1,ξ2 分别表示甲、乙取出的卡片上的数字. (1) 求概率 P (ξ1>ξ2); (2) 记 η={ξ1,ξ1⩾ξ2,ξ2,ξ1<ξ2,求 η 的分布列与期望.【解析】卡壳点: 随机变量函数理解难, 目标分析转化难.应对策略: 首先搞清楚函数的意义, 其次研究随机变量函数的取值情况,再分析随机变量函数取值时随 机变量的取值情况.问题解答: 此题涉及两个随机变量之间的关系与可能性大小问题, ξ1,ξ2 的分布列如下:ξ1 1 2 3 4 5 P (ξ1)15 15 15 15 15ξ2 2 4 P (ξ2)12 12但分析两个随机变量取值之间的数量关系较复杂.(1) 设事件 “ ξ1>ξ2 ”为 A,(ξ1,ξ2) 共有 10 情况, 满足 “ ξ1>ξ2 ” 的 (ξ1,ξ2) 的取值有 4 种情况: (3,2),(4,2), (5,2),(5,4), 所以 P (ξ1>ξ2)=25.(2) 随机变量 η 的取值是 ξ1,ξ2 取值中的较大者, η 的取值只有 4 种情况: :2,3,4,5.P (η=2)=P (ξ1=2,ξ2=2)+P (ξ1=1,ξ2=2)=P (ξ1=2)P (ξ2=2)+P (ξ1=1)P (ξ2=2)=15×12+15 ×12=15P(η=3)=P (ξ1=3,ξ2=2)=P (ξ1=3)P (ξ2=2)=15×12=110;P(η=4)=P(ξ1=4,ξ2=2)+P(ξ1=4,ξ2=4)+P(ξ1=1,ξ2=4)+P(ξ1=2,ξ2=4)+P(ξ1=3,ξ2=4)=P(ξ1=4)P(ξ2=2)+P(ξ1=4)P(ξ2=4)+P(ξ1=1)P(ξ2=4)+P(ξ1=2)P(ξ2=4)+P(ξ1=3)P(ξ2=4)=15×12×5=12P(η=5)=P(ξ1=5,ξ2=2)+P(ξ1=5,ξ2=4)=P(ξ1=5)P(ξ2=2)+P(ξ1=5)P(ξ2=4)=15×12+15×12=15综上, η的分布列如下: η 2 3 4 5P(η)151101215E(η)=2×15+3×110+4×12+5×15=3710.【反思】本题最大的亮点是涉及随机变量的联合分布与独立性, 在承认甲、乙两人抽取卡片相互独立的前提下, 才有P(ξ1=k,ξ2=m)=P(ξ1=k)P(ξ2=m).五、阅读统计年鉴提升分析能力各类统计数据是高考数学统计应用问题的主要资源, 其中统计年鉴中的信息具有权威性. 统计年鉴中的数据在统计指标下展示, 学会看统计年鉴, 不仅可以了解社会经济发展的情况, 而且可以了解许多统计专用名词, 这对于提升统计应用问题的求解能力毫无疑问是大有益处的.问题 5 : 改革开放 40 年, 我国卫生事业取得巨大成就, 卫生总费用增长了数十倍. 卫生总费用包括个人现金支出、社会支出、政府支出,以下为 2012-2015 年我国卫生总费用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用(单位: 亿元)在卫生总费用中的占比情况.（I )指出 2012 年到 2015 年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势;（II) 设t=1表示 1978 年, 第n年卫生总费用与年份t之间的拟合函数f(t)=357876.60531+e6.4420−0.1136t, 研究函数f(t)的单调性, 并预测我国卫生总费用首次超过 12 万亿的年份.【解析】卡壳点: 阅读并提取数据的能力弱.应对策略: 从繁杂的数据中寻找问题的解, 数学阅读力是一个关键点.问题解答: (I) 由表格数据可知个人现金支出占比逐渐减少,社会支出占比逐渐增多.(II ) 因为y=e6.4420−0.1136t是减函数, 且y=e6.4420−0.1136t>0, 所以f(t)=357876.60531+e6.4420−0.1136t 在N上单调递增. 令357876.60531+e6.4420−0.1136t>120000, 解得t>50.68.当t=51时,我国卫生总费用超过 12 万亿.预测到 2028 年我国卫生总费用首次超过 12 万亿.【反思】 (1) 从统计年鉴中读出指标来: 个人现金支出、社会支出和政府支出的费用及其所占比例.(2) 观察数据变化的趋势与异常,这是统计工作者与社会工作者的日常工作,在高考答题时,也是基础性工作,这也成为第 (I) 问要完成的事. (3) 针对统计数据的函数拟合, 本来要画散点图、折线图等, 然后才能选择一个最贴近的函数进行拟合分析, 此问题中这些工作命题专家帮助做了, 已经给出了拟合函数, 只需要研究函数性质, 并进行经济预测.六、 识信息交叉结构分解综台问题随着现代社会经济文化越来越综合化,概率统计综合化趋势明显增强, 概率统计内容与传统内容的融 合或交汇成为一种趋势, 形成丰富的概率统计的应用模型. 比如, 2013 年高考四川卷将程序框图与抽样的频率分布图融合, 把数据收集方法与数学处理方法交织在一起, 随机变量的分布与统计和程序设计融合, 反映统计工作者的实际工作全过程; 湖北卷将正态分布与线性规划融合; 江西卷将概率与向量交汇等, 融命题的综合性、新颖性、操作性、多样性为一体, 以此检测考生应用概率统计知识解决实际问题的能力.问题 6 : 某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动, 分别由李老师和张 老师负责. 已知该系共有 n 名学生, 每次活动均需该系的 k 名学生参加 ( n,k 均为固定的正整数), 假设 李老师和张老师分别将各自活动的信息独立、随机地发给该系 k 名学生, 且所发信息都能收到, 记该系 收到李老师和张老师所发活动通知信息的学生人数为 X .(I) 求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率; (II) 求使 P(X =m) 取得最大值的整数 m .【解析】卡壳点:在探求概率 P(X =m) 时, 遇到复杂的组合数函数成为学生最头痛的事.应对策略: 整体把握试题的逻辑结构, 运用较小者函数思想.问题解答: ( I ) 因为事件 A “甲收到李老师所发信息” 和事件 B “甲收到张老师所发信息” 是相互独立事 件,所以 A ⃐,B ⃐ 相互独立. 由于 P(A)=P(B)=C n−1k−1C nk =kn , 故 P(A⃐)=P(B ⃐ )=1−k n. 所以学生甲收到活动通知信息的概率 P =1−(1−k n )2=2kn−k 2n 2.(II) 当 k =n 时, m 只能取 n,P(X =m)=P(X =n)=1.当 k <n 时, 整数 m 满足 k ⩽m ⩽t , 其中 t 是 2k 和 n 中的较小者. 由于“李老师和张老师分别将各自活动的信息独立、随机地发给 k 名学生”所包含的基本事件总数为 (C n k )2, 当 X =m 时, 同时收到李老师和张老师所发信息的学生人数恰为 2k −m , 仅收到李老师或仅收到张 老师所发信息的学生人数均为 m −k .由乘法计数原理知, 事件 X =m 所含基本事件数为 C n k C k 2k−m C n−k m−k=C n k C km−k C n−k m−k . 此时 P(X =m)=C n k C k 2k−m C n−km−k (C n k )2=C k m−k C n−km−k C nk .当 k ⩽m <t 时, P(X =m)⩽P(X =m +1)⇔C k m−k C n−k m−k ⩽C k m−k+1C n−k m−k+1⇔(m −k +1)2⩽(n −m)(2k −m)⇔m ⩽2k −(k+1)2n+2.假如 k ⩽2k −(k+1)2n+2<t 成立，当 (k +1)2 能被 n +2 整除时, k ⩽2k −(k+1)2n+2<2k +1−(k+1)2n+2⩽t ,故 P(X =m) 在 m =2k −(k+1)2n+2和 m =2k +1−(k+1)2n+2处达到最大值; 当(k +1)2不能被 n +2 整除时, P(X =m) 在 m =2k −[(k+1)2n+2] 处达到最大值.下面证明 k ⩽2k −(k+1)2n+2<t .因为 1⩽k <n , 所以 2k −(k+1)2n+2−k =kn−k 2−1n+2⩾k(k+1)−k 2−1n+2=k−1n+2⩾0.又 2k −(k+1)2n+2−n =−(n−k+1)2n+2<0, 故 2k −(k+1)2n+2<n .显然 2k −(k+1)2n+2<2k , 因此 k ⩽2k −(k+1)2n+2<t .【反思】 这是 2013 年高考各份数学试卷概率题中最难的一道, 问题设计的结构如图 1 , 巧妙之处在于隐藏较小者思想, 难在对组合数函数的代数运算与最值分析, 而此部分训练一般在数学竞赛辅导中进行, 普通学生则很少接触到.强化练习1.甲盒子中装有 3 个红球、 1 个黄球, 乙盒子中装有 1 个红球、 3 个黄球, 同时从甲、乙两个盒子中取出i(i=1,2,3)个球交换, 分别记甲、乙两个盒子中红球个数的数学期望为E1(i),E2(i), 则以下结论错误的是（）A. E1(1)>E2(1)B. E1(2)=E2(2)C. E1(1)+E2(1)=4D. E1(3)<E2(1)【解析】考虑概率分布列运算.设甲、乙两个盒子中红球个数分别为ξ,η,则ξ+η=4.(1)交换1个球时,P(ξ=2)=916,P(ξ=3)=616,P(ξ=4)=116,则E1(1)=52.因为ξ+η=4,所以E2(1)=32.(2)交换2个球时,P(ξ=1)=14,P(ξ=2)=12,P(ξ=3)=14,则E1(2)=2.因为ξ+η=4,所以E2(2)=2.(3)交换3个球时,P(ξ=2)=916,P(ξ=1)=616,P(ξ=0)=116,则E2(3)=32.因为ξ+η=4,所以E1(3)=52,所以选项D不正确.换一种思路,用浓度模型处理.E1(1)=75%浓度盐水3升(原有保留的)+25%的盐水1升(调过来的)=2.5升盐; E1(2)=75%浓度盐水2升(原有保留的)+25%的盐水2升(调过来的)=2.0升盐;E 1(3)=75%浓度盐水1升(原有保留的)+25%的盐水3升(调过来的)=1.5升盐; E 2(1)=25%浓度盐水3升(原有保留的)+75%的盐水1升(调过来的)=1.5升盐; E 2(2)=25%浓度盐水2升(原有保留的)+75%的盐水2升(调过来的)=2.0升盐; E 2(3)=25%浓度盐水1升(原有保留的)+75%的盐水3升(调过来的)=2.5升盐; 可知E 1(3)=E 2(1),所以选项D 不正确.【反思】(1)此情境的一个关键点是不论如何交换,只有4个球,红球的个数与黄球的个数在交换中随机变化,产生两个随机变量.(2)在交换不同球的个数前提下准确计算概率分布,从而计算相应的数学期望值. (3)借助浓度模型思考问题是关键,因为问题情境与小学数学应用题中计算浓度的问题类似.由于甲、乙两盒中的球进行交换导致随机变量的分布列计算难度增大.2.设 0<p <q <1, 随机变量 ξ 的分布列是随机变量 η 的分布列是则（ ） A. (Dξ)max >(Dη)max B. (Dξ)max <(Dη)max C. (Dξ)max =(Dη)maxD. (Dξ)max 与 (Dη)max 的大小不定【解析】本题痛点是方差概念不清,计算中出错.ξ1 2P 1−p 2 12 p2η0 1 2 P q 2 12 1−q 2事实上,Eξ=12+p,Eη=32−q ，Dξ=(12+p)21−p 2+(12−p)2×12+(32−p)2×p 2=−p 2+p +14=−(p −12)2+12,(Dξ)max =12.Dη=(32−q)2×q 2+(12−q)2×12+(12+q)2×1−q 2=−q 2+q +14=−(q −12)2+12,(Dη)max =12."所以选择C."【反思】(1)此问题只需要根据数学期望与方差定义进行直接计算即可,找到方差函数后,求其最值.(2)简单的计算中容易出错.(3)分别对两个随机变量求方差函数,然后比较.3.一个盒子中放人 4 个标有 1,2,3,4 的球, 现随机从中有放回地抽取 2 个球, 抽取的球上数字分别为 x 1,x 2, 记 ξ=|x 1−1|+|x 2−2|. (I) 分别求出 ξ 取得最大值和最小值时的概率; (II) 求 ξ 的分布列及数学期望.【解析】(I)球上的数字x 可能为1,2,3,4,则x 1−1分别为0,1,2,3;x 2−2分别为−1,0,1,2.因此ξ的所有取值为:0,1,2,3,4,5.当x 1=x 2=4时,ξ可取最大值5,此时P(ξ=5)=116.当x1=1,x2=2时,ξ可取最小值0,此时P(ξ=0)=116(II)当ξ=1时,(x1,x2)的所有取值为(1,1),(1,3),(2,2),即P(ξ=1)=316.当ξ=2时,(x1,x2)的所有取值为(1,4),(2,1),(2,3),(3,2),即P(ξ=2)=14.当ξ=3时,(x1,x2)的所有取值为(2,4),(3,1),(3,3),(4,2),即P(ξ=3)=14.当ξ=4时,(x1,x2)的所有取值为(3,4),(4,1),(4,3),即P(ξ=4)=316.所以ξ的分布列为ξ0 1 2 3 4 5P 1163161414316116即Eξ=52.【反思】由随机变量x1,x2的分布列,研究随机变量函数ξ=|x1−1|+|x2−2|的分布列,要将其联合分析.4. 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16. 现采用分层抽样的方法从中抽取 7 人, 进行睡眠时间的调查.（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?(II) 若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足, 3 人睡眠充足, 现从这 7 人中随机抽取3 人做进一步的身体检查.(i) 用X表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数, 求随机变量X的分布列与数学期望;(ii)设 A 为事件 “抽取的 3 人中, 既有睡眠充足的员工, 又有睡眠不足的员工”, 求事件 A 发生的概率.【解析】(I)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人、2人、2人.(II)(i)随机变量的所有可能取值为..所以随机变量的分布列为123随机变量的数学期望 (ii)设事件为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”,事件为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则,且与互斥.由(i)知,,故.所以事件发生的概率为. 【反思】判断随机变量服从超几何分布是关键,随后计算不出错即可.5.小型风力发电项目投资较少,开发前景广阔. 受风力的影响, 项目投资存在一定风险. IEC (国际电工 委员会)风能风区的分类标准如下：风能分类一类风区 二类风区3:2:2X 0,1,2,3()()34331C C0,1,2,3C k kP X k k -⋅===X X P 13512351835435X 120123353535357EX =⨯+⨯+⨯+⨯=B C A B C =⋃B C ()()()()2,1P B P X P C P X ====()P A ()()()6217P B C P X P X =⋃==+==A 67平均风速 /(m ⋅s −1)8.5−10 6.5−8.5某公司计划用不超过 100 万元的资金投资 A,B 两个小型风能发电项目. 调研结果如下：末来一年内, 位于一类风区的 A 项目获利 40% 的可能性为 0.6, 亏损 20% 的可能性为 0.4; 位于二类风 区的 B 项目获利 35% 的可能性为 0.6, 亏损 10% 的可能性是 0.2, 不赔不赚的可能性是 0.2.假设投资 A 项目的资金为 x(x ⩾0) 万元, 投资 B 项目的资金为 y(y ⩾0) 万元, 且公司要求对 A 项目 的投资不得低于 B 项目.(I) 请根据公司投资限制条件, 写出 x,y 满足的条件, 并将它们表示在平面 xOy 内;(II) 记投资 A,B 项目的利润分别为 ξ,η, 试写出随机变量 ξ,η 的分布列和期望 Eξ,Eη;(III) 根据 ( I ) 的条件与市场调研, 试估计一年后两个项目的平均利润之和的最大值,并据此给出公司 分配投资金额的建议.【解析】(I)如答图.(II)项目投资利润的分布列为100,,,0,x y x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩A ξξ0.4x 0.2x -P 0.60.4.项目投资利润的分布列为.(III).由(I)可知,当时,公司获得获利最大,最大利润为万元.【反思】两大投资项目利润形成的随机变量间相互制约,因此借助线性规划方法探求最值.6.为了治疗某种疾病, 研制了甲、乙两种新药, 为了知道哪种新药更有效, 进行了动物试验. 试验方案 如下.每一轮选取两只白鼠进行药效对比试验. 对于两只白鼠, 随机选一只施以甲药, 另一只施以乙药. 一轮的治疗结果得出后, 再安排下一轮试验. 当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时, 就停止试验, 并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题, 约定: 对于每轮试验, 若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠末治愈, 则甲药得 1 分, 乙药得 −1 分; 若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠末治愈, 则乙药得 1 分, 甲药得 −1 分; 若都治愈 或都末治愈, 则两种药均得 0 分. 甲、乙两种药的治愈率分别记为 α,β,一轮试验中甲药的得分记为 X . ( I ) 求 X 的分布列.(II) 若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分, p i (i =0,1,⋯,8) 表示“甲药的累计得分为 i 时, 最终认为 甲药比乙药更有效” 的概率, 则 p 0=0,p 8=1,p i =ap i−1+bp i +cp i+1(i =1,2,⋯,7), 其中 a =P(X = −1),b =P(X =0),c =P(X =1).0.240.080.16E x x x ξ=-=B ηη0.35y 0.1y -P 0.60.20.20.210.020.19E y y y η=-=0.160.19z E E x y ξη=+=+50,50x y ==17.5假设 α=0.5,β=0.8.(i) 证明: {p i+1−p i }(i =0,1,2,⋯,7) 为等比数列; (ii)求 p 4, 并根据 p 4 的值解释这种试验方案的合理性. 【解析】(I)的所有可能取值为., , ,所以的分布列为0 1(II)(i)由(I)得. 因此, 故， 即.又,所以,7 是公比为4,首项为的等比数列. (ii)由(i)可得.由于,故, 所以. X 1,0,1-()()11P X αβ=-=-()()()011P X αβαβ==+--()()11P X αβ==-X X 1-P ()1αβ-()()11αβαβ+--()1αβ-0.4,0.5,0.1a b c ===110.40.50.1i i i i p p p p -+=++()()110.10.4i i i i p p p p +--=-()114i i i i p p p p +--=-1010p p p -=≠{}1(0,1,2,i i p p i +-=1p 88776100p p p p p p p p =-+-++-+()()()88776101413p p p p p p p -=-+-++-=81p =18341p =-()()()()443322110p p p p p p p p p =-+-+-+-414113257p -==表示最终认为甲药更有效的概率,由计算结果可以看出,当甲药治愈率为,乙药治愈率为时,认为甲药更有效的概率为,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验方案合理.【反思】随机变量过程形成概率序列,计算中涉及数列累加法.寻源:此题看似很复杂,实则很简单,把递推关系求通项公式融入其中,这在“清北”的自主招生或竟赛题中都有出现,可以视为2011年清华大学七校联考自主招生考试中第15题的改编问题:将一枚质量均匀的硬币连续抛掷次,以表示末出现连续3次正面的概率.(I)求；(II)探究数列的递推公式,并给出证明;(III)讨论数列的单调性及其极限,并阐述该极限的概率意义.因为学生并没有学习极限,在高考题中只需求出.本题是2019年全国I 卷概率压轴题,其描述的综合层次是明确的.第(I)问考查学生求随机变量概率分布的能力,要求学生通过阅读,理解随机变量的取值情况以及取值的概率计算,重点是对“约定”内容的理解.第(II)问展示一个随机过程,转移到数列内容,核心内容是给出复杂的递推关系式“”,经过一系列数字计算,确定参数值,变形递推关系式,完成数列内容的求解与证明,最后再回到实际问题的背景上来,解读数字背后的文化与经济意义.它刻画了某一现象随着时间的推移所形成的规律,也可以看作是随机过程思想的初等化.高中生只需分清上述数学知识层次,分别用相应的知识与方法解决即可,当然,充满字母的表述吓倒一大部分考生,很多考生倒在文字阅读与符号阅读这一关上.7.在 2019 年央视春晩小品《占位子》中,几位家长为了给孩子占到教室的“C 位”各施技巧,闹出了一场笑话. 现有编号为 1,2,3,⋯,n 的 n 个学生, 坐编号为 1,2,3,⋯,n 的 n 个座位, 每个学生坐 1 个座位, 设所坐 的座位号与该学生的编号不同的学生人数为 ξ, 已知当 ξ=2 时, 共有 6 种坐法.4p 0.50.8410.0039257p =≈n n p 1234,,,p p p p {}n p {}n p 4p 11i i i i p ap bp cp -+=++(I) 求 n 的值;(II) 求随机变量 ξ 的概率分布列和数学期望. 【解析】对著名的“装错信封问题”要了解.(I)由题意知,从个学生中选取2人,编号不同,则,所以.(II)因为所坐的座位号与该学生的编号不同的学生人数为,由题意知的取值为.当取0时,表示所坐的座位号与该学生的编号都相同; 当取2时,表示所坐的座位号与该学生的编号有2个相同; 当取3时,表示所坐的座位号与该学生的编号有1个相同. 当取4时,表示所坐的座位号与该学生的编号有0个相同. 当时,; 当时,; 当时,； 当时,.所以随机变量的概率分布列为234数学期望. n 2C 16n ⨯=4n =ξξ0,2,3,4ξξξξ0ξ=()4411024P A ξ===2ξ=()24441612244C P A ξ⨯====3ξ=()34442813243C P A ξ⨯====4ξ=()4444C 934 A 8P ξ⨯===ξξP 1241413381113023*******E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=【反思】(1)一般模型:现有编号为的个学生,坐编号为的个座位,每个学生坐1个座位.设所坐的座位号与该学生的编号不同的学生人数为,求随机变量的概率分布列和数学期望. 解析:的取值为.当时,; 当时,;当时,; 当时,; 当时,个学生坐错座位的方法数为,.故当时,个学生坐错座位的方法数为, . 数学期望.(2)此问题的数学模型是概率论中著名的“装错信封问题:1,2,3,,n n 1,2,3,,n n ξξξ0,2,3,4,,n 0ξ=()10 A n nP ξ==2ξ=()2C 12 A n n nP ξ⨯==3ξ=()323n nn C P A ξ⨯==4ξ=()494n nnC P A ξ⨯==i ξ=i !i ⨯()11111(1)*2!3!!i i ⎡⎤-+-++-⎢⎥⎣⎦()C 111!11(1) A 2!3!!i i n n n P i i i ξ⎡⎤==⨯⨯-+-++-⎢⎥⎣⎦n ξ=n !n ⨯11111(1)2!3!!nn ⎡⎤-+-++-⎢⎥⎣⎦()C 111!11(1) A 2!3!!n nn n n P n n n ξ⎡⎤==⨯⨯-+-++-⎢⎥⎣⎦23C 1C 210234 A ?A ?A n n n n n n n nE ξ⨯⨯=⨯+⨯+⨯+⨯4C 9C 111!11(1) A ?A 2!3!!i i n n n n n n i i i ⨯⎡⎤++⨯⨯⨯-+-++-⎢⎥⎣⎦C 111!11(1) A 2!3!!n n n n n n n n ⎡⎤++⨯⨯⨯-+-++-⎢⎥⎣⎦编号为的封信装入编号为的个信封中,恰有封信装错的方法数为式.(3)用数学眼光看春晩节目时,具有数学应用意识和数学建模能力的人,或在数学应用教学后具有数学应用意识的学生,能在脑海中形成这一个问题并提出.此案例第一个问题为应试状态的,第二个问题为研究性学习状态的.将两个问题进行抽象表达能反映数学研究性学习中形成的概括能力,在数学复习或教学设计中应成为常态,这种数学抽象能力也可以在探究问题中培养.8. 改革开放以来, 人们的支付方式发生了巨大转变, 近年来, 移动支付已成为主要支付方式之一. 为了解某校学生上个月 A,B 两种移动支付方式的使用情况, 从全校学生中随机抽取了 100 人, 发现样本中 A,B 两种支付方式都不使用的有 5 人, 样本仅使用 A 和仅使用 B 的学生的支付金额分布情况如下:支付方式支付金额/元(0,1000] (1000,2000] (2000,+∞)仅使用 A 18 人 9 人 3 人 仅使用 B 10 人14 人1 人(I) 从全校学生中随机抽取 1 人, 估计该学生上个月 A,B 两种支付方式都使用的概率.(II) 从样本仅使用 A 和仅使用 B 的学生中各随机抽取 1 人, 以 X 表示这 2 人中上个月支付金额大于 1000 元的人数, 求 X 的分布列和数学期望. (III) 已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化, 现从样本仅使用 A 的学生中,随机抽查 3 人, 发 现他们本月的支付金额大于 2000 元. 根据抽查结果, 能否认为样本仅使用 A 的学生中本月支付金额大于 2000 元的人数有变化? 说明理由.【解析】(I)由题意可知,两种支付方式都使用的人数为人.1,2,3,,n n 1,2,3,,n n ()1,2,,ii n =()*1003025540---=。
高中数学真题解析第30讲 概率与统计
主讲老师： 贾广素
任职学校：山东省济宁一中
7.3 概率与统计
• 当今社会已进入信息时代.在以信息和技术为基础的现代社 会，人们面临更多的机会和选择，常常需要在不确定的情 境中，根据大量无组织的数据，作出合理的决策.因此，概 率统计的应用随时可以见到: 天气变化的概率预报、债券的 收益串、股市风险、期望寿命等与概率统计有关的名词频 繁出现在报刊、广播和电视上.各种保险、商品有奖销售、 彩票中奖等机会问题，已成为街头巷尾议论的热门话题.可 见概率统计的运题总是把概率当做重点来进行考查.
考点一 概率
【典例分析】
【典例分析】
【典例分析】
【典例分析】
考点二 离散型随机变量的分布列 如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫随机变
量，例如一次射击命中的环数ξ就是一个随机变量，ξ可以取的值有0，1，
2，…，10.如果随机变量的可能取值可以一一列出，这样的随机变量叫离
散型随机变量.
【典例分析】
【典例分析】
【典例分析】
精微酷KE 高效学考
专题12 概率与统计 (解析版)
2021年江苏省高考数学三轮冲刺专项突破专题12概率与统计2020年江苏高考核心考点1.江苏高考对随机变量及分布的考查通常比较基础，对随机变量及分布，超几何分布结合考查通常是中档题。
2.江苏高考对离散型随机变量的均值与方差的考查通常比较基础。
专项突破一、解答题：本大题共16小题，共计160分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1.（2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一））（1）某人抽奖一次，求其获奖金额X的概率分布和数学期望;（2）赵四购物恰好满600元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好为60元的概率.【解析】由题意知，随机变量X的可能取值为10，20，40且35351(40)6CP XA===，35351(20)6CP XA===，所以2 (10)1(40)(20)3 P X P X P X==-=-==，即随机变量X的概率分布为所以随机变量X 的数学期望21150()1020403663E X =⨯+⨯+⨯=； （2）由题意知，赵四有三次抽奖机会，设恰好获得60元为事件A ， 因为60＝20×3＝40＋10＋10，所以312312149()()()636216P A C =+⋅=． 2. （江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试）小丽在同一城市开的2家店铺各有2名员工．节假日期间的某一天， 每名员工休假的概率都是12，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店维持营业，否则该店就停业．（1）求发生调剂现象的概率；（2）设营业店铺数为X ，求X 的分布列和数学期望．【解析】（1）记2家小店分别为A B ，，A 店有i 人休假记为事件()012i A i =，，，B 店有i 人，休假记为事件()012i B i =，，，发生调剂现象的概率为P ． 则()()()2000211C 24P A P B ===， ()()()2111211C 22P A P B ===， ()()()2222211C 24P A P B ===． 所以()()02201111144448P P A B P A B =+=⨯+⨯=． （2）依题意，X 的所有可能取值为012，，． 则()()2211104416P X P A B ===⨯=，()()()122111111142244P X P A B P A B ==+=⨯+⨯=()()()11112101116416P X P X P X ==-=-==--=．所以X 的分布表为：所以()111113210164168E X =⨯+⨯+⨯=．3.（江苏省海安中学高三数学模拟考试数学试卷）某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试.假设某学生每次通过测试的概率都是13，每次测试时间间隔恰当，每次测试通过与否互相独立. （1）求该学生考上大学的概率.（2）如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为X ，求X 的概率分布及X 的数学期望.【解析】（1）记“该生考上大学”的事件为事件A ，其对立事件为A ，每次测试通过与否互相独立，则 4515122112()333243P A C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以112131()1243243P A =-=，所以该学生考上大学的概率为131243. （2）参加测试次数X 的可能取值为2，3，4，5，则211(2)39P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，121214(3)33327P X C ==⨯⨯⨯=，2131214(4)33327P X C ⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭， 341412216(5)+33327P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以X 的概率分布为：所以X 的数学期望为1441638()234592727279E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 4.（江苏省淮安市2020届高三数学模拟测试卷） 乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域,A B ，乙被划分为两个不相交的区域,C D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D 上记1分，其它情况记0分.对落点在A 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为12，在D 上的概率为13；对落点在B 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在,A B 上各一次，小明的两次回球互不影响.求：（1）小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； （2）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望.【解析】（1）设恰有一次的落点在乙上这一事件为A10354615165)(=⨯+⨯=A P（2）643210，，，，，的可能取值为ξ1015121)6(,301151315321)4(15251615121)3(,515331)2(6153615131)1(,3015161)0(=⨯===⨯+⨯===⨯+⨯===⨯===⨯+⨯===⨯==ξξξξξξP P P P P P的分布列为所以ξ309110163011415235126113010)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∴ξE 其数学期望为.5.（南通市2020届高三年级第二学期高考模拟试卷）第十二届中国国际航空航天博览会在珠海举行.在航展期间，从珠海市区开车前往航展地有甲、乙两条路线可走，已知每辆车走路线甲堵车的概率为14，走路线乙堵车的概率为p ，若现在有A ，B 两辆汽车走路线甲，有一辆汽车C 走路线乙，且这三辆车是否堵车相互之间没有影响.（1）若这三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为716，求p 的值.（2）在（1）的条件下，求这三辆汽车中被堵车辆的辆数X 的分布列和数学期望.【解析】（1）由题意知，C 21×14×34×（1-p ）+34×34×p =716， 解得p =13，所以走路线乙堵车的概率p =13；（2）由题意知，随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3； 则P （X =0）=34×34×23=38，P （X =1）=716， P （X =3）=14×14×13=148，所以P （X =2）=1-P （X =0）-P （X =1）-P （X =3）=1-38-716-148=16； 所以随机变量X 的分布列为：数学期望E （X ）=0×38+1×716+2×16+3×148=56．6.（南通市通州区2020届高三年级第二学期复学后联考数学试卷）由数字0,1,2,3,4组成一个五位数α.（1）若α的各数位上数字不重复，求α是偶数的概率；（2）若α的各数位上数字可以重复，记随机变量X 表示各数位上数字是0的个数，求X 的分布列及数学期望.【解析】（1）由0,1,2,3,4组成的五位数共有5454A A 96-=（个）, 其中是偶数的，第一类，个位是0，有44A 24=（个）;第二类，个位是2或4，有113233C C A 36=(个)，所以α是偶数的概率为24365.968P +== （2）因为首位一定不为0，第2位至第5位，各数位上数字为0的概率均是15，且相互独立，所以X1~(4,).5B所以4411()C ()(1),0,1,2,3,4,55i ii P X i i -==-=所以X 的概率分布列为所以14()4.55E X =⨯=7.某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为．现安排甲组研发新产品，乙组研发新产品．设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．【解析】记E ={甲组研发新产品成功}，F ={乙组研发新产品成功}。
高考概率与统常考点解析
高考概率与统计常考点解析概率、统计是每年高考的重点考查内容之一，在近几年新课标各省市的高考试卷中，一般命制1～2道题，在整套试卷中占12～17分左右，一般有一道选择题或填空题和一道解答题，在选择题或填空题中往往单独考查古典概型和几何概型，在解答题中往往是概率与统计综合考查．命题特点是：(1)强化应用意识．试题一般以应用题的形式呈现，例如2011年山东高考题以我们的日常生活和社会热点为背景，重在考查应用数学的能力．(2)注重综合能力，尤其加强对数学符号使用能力的考查．下面简要分析了近年来高考中概率与统计的常考点：考向一：抽样方法：考查抽样方法及抽样中的计算．应抓住各种抽样方法及各自特点．对于分层抽样，与其有关计算在高考试题中较常见，难度较低，关键抓住按怎样的比例分层．【示例1】►(2011·天津)一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为________．解析: 本题主要考查用分层抽样抽取样本的问题，分层抽样是随机抽样常用的方法之一，其特点是样本中各层人数的比例与总体中各层人数的比例相等．抽取的男运动员的人数为2148＋36×48＝12.反思：本题考查了分层抽样方法在解决实际问题中的应用，注重考查了考生的实际应用能力．考向二：频率分布直方图的考查：考查频率分布直方图的识图与计算．重点考查看图、识图的能力，对频率分布直方图中各参数的认识，以及在统计学中样本对总体的估计作用．延伸(1)频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．注意频率分布直方图中的纵轴表示频率与组距的比值，即小长方形面积＝组距×频率组距＝频率．(2)各组频率的和等于1，即所有长方形面积的和等于1.(3)频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势．(4)从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从频率分布直方图本身得不出原始的数据内容．【示例2】►(2010·北京)从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)．由图中数据可知a ＝________.若要从身高在[120,130)， [130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________． 解析: 根据频率之和等于1，可知＋＋＋a ＋×10＝1，解得a ＝；身高在[120,150]内的频率为，人数为60人，抽取比例是1860，而身高在[140,150]内的学生人数是10，故应该抽取10×1860＝3人．反思：本题主要考查频率分布直方图的应用、考生的识图与用图能力，同时也考查了考生的数据处理能力和分析解决问题的能力．考向三：有关茎叶图的考查考查：茎叶图的识图与计算．高考常借助样本的数字特征，频率分布直方图、茎叶图来考查考生的绘图、识图和计算能力．延伸 (1)用茎叶图表示数据有两个优点：一是从统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示；(2)茎叶图只便于表示两位(或一位)有效数字的数据，对位数多的数据不太容易操作；而且茎叶图只方便记录两组数据，两组以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两组数据那么直观、清晰；(3)茎叶图对重复出现的数据要重复记录，不能遗漏．【示例3】►(2010·天津)甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为________和________.解析: 由茎叶图可知甲的平均数为乙的平均数为反思：本题考查茎叶图和平均数的基本知识，考查观察能力和计算能力，属于基本题．茎叶图是近几年考查的热点之一，常与平均数、方差、中位数和众数联合考查．考向四：有关样本的数字特征的考查考查样本的数字特征的计算．中位数、众数、平均数、标准差(方差)是进行统计分析的重要数字特征，是高考的常考点．我们不但要熟练掌握公式进行计算，还要理解公式的本质及联系．【示例4】►(2011·南京模拟)对划艇运动员甲、乙二人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们最大速度的数据如下：甲：27,38,30,37,35,31； 乙：33,29,38,34,28,36. 根据以上数据，试判断他们谁更优秀．解析: 根据统计知识可知，需要计算两组数据的x 与s 2，然后加以比较，最后作出判断．∵x 甲＝16×(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝33，x 乙＝16×(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝33，s 2甲＝16×[(27－33)2＋(38－33)2＋(30－33)2＋(37－33)2＋(35－33)2＋(31－33)2]＝16×94＝1523，s 2乙＝16[(33－33)2＋(29－33)2＋(38－33)2＋(34－33)2＋(28－33)2＋(36－33)2]＝16×76＝1223. ∴x 甲＝x 乙，s 2甲＞s 2乙.由此可以说明，甲、乙二人的最大速度的平均值相同，但乙比甲更稳定，故乙比甲更优秀．反思：(1)现实中总体所包含的个体数往往较多，总体的平均数与标准差、方差是不知道(或不可求)的，所以我们通常用样本的平均数与标准差、方差来估计总体的平均数与标准差、方差．(2)平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的分散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的分散程度越小，越稳定．考向五：变量的相关性：虽然任何一组不完全相同的数据都可以求出回归直线方程，但只有具有线性相关关系的一组数据才能得到具有实际价值的回归直线方程；线性相关系数可以为正、为负或为零，线性相关系数为正时是正相关，为负时是负相关，反之也成立． 【示例5】►(2011·江西)变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1)，,2)，,3)，,4)，(13,5)，变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5)，,4)，,3)，,2)，(13,1)．r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则( )．A ．r 2＜r 1＜0B ．0＜r 2＜r 1C ．r 2＜0＜r 1D ．r 2＝r 1解析：对于变量Y 与X 而言，Y 随X 的增大而增大，故Y 与X 正相关，即r 1＞0；对于变量V 与U 而言，V 随U 的增大而减小，故V 与U 负相关，即r 2＜0，所以有r 2＜0＜r 1.故选C.反思：本题主要考查两个变量间的线性相关性、线性相关系数以及正相关、负相关等概念．利用正相关、负相关求解是问题得到解决的关键所在．考向六：回归分析：对于回归分析，要理解其基本思想方法，建立回归直线方程的基本思想是使通过建立的方程得到的估计值和真实值之差的平方和最小，无论建立的是什么样的回归方程(直线的和曲线的)，由这个回归方程得到的预报变量的值只能是估计值，或者说是在大量的重复情况下得到的数值的平均值，这个值不是精确值，这就是回归分析中建立的函数模型与通常意义下的函数模型的不同之处，也是统计思维和确定性思维的差异所在．【示例6】►(2010·广东)某市居民2005～2009年家庭平均收入x(单位：万元)与年平均支出Y(单位：万元)的统计资料如下表所示：年份20052006200720082009 收入x 1315支出Y 1012均支出有________线性相关关系．解析：由表可以得到中位数为13，画出散点图，可知成正相关关系．反思：本题考查回归分析的基本思想及其初步应用，数据处理的基本方法和能力，考查运用统计知识解决简单实际应用问题的能力．考向七：独立性检验：独立性检验中统计量K2的计算公式中分母是列联表中除了总合计的四个合计量的乘积，分子是总合计量与样本频数中四个数交叉乘积之差的平方的乘积．解题时要对照公式正确使用列联表中的数据．【示例7】►(2011·湖南)通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由 R2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)算得，K2＝260×50×60×50≈.附表：A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．在犯错误的概率不超过%的前提下，认为“爱好该项运运与性别有关”D．在犯错误的概率不超过%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”解析: 据独立性检验的思想方法，可知正确选项为A.反思：本题考查独立性检验的定义，考查学生分析数据的能力，属容易题．考向八：古典概型：古典概型是一种最基本的概率模型，在概率部分占有相当重要的地位．从近年各省市的概率考题来看，古典概型是高考的一个热点．在解答题中常与统计综合，考查基本概念和基本运算，解答时对数学符号的运用要加以重视．对于较为复杂的基本事件空间，列举时要按照一定的规律进行，做到不重不漏．【示例8】►(2011·江西)某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别．公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A 饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为合格．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．(1)求此人被评为优秀的概率；(2)求此人被评为良好及以上的概率．解析：将5杯饮料编号为：1,2,3,4,5，编号1,2,3表示A饮料，编号4,5表示B饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为：(123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)，(235)，(245)，(345)，可见共有10种.令D表示此人被评为优秀的事件，E表示此人被评为良好的事件，F表示此人被评为良好及以上的事件，则(1)P(D)＝1 10；(2)P(E)＝35，P(F)＝P(D)＋P(E)＝710.反思：本题型主要弄清题干中的事件的基本事件个数，一般可以列举出每个事件，从而得到结果．考向九：互斥事件的概率加法公式：概率加法公式是计算概率的一个最基本的公式，根据它可以计算一些较为复杂的事件的概率，运用该公式的关键是分清事件之间是否为互斥的关系，高考题中涉及的事件一般都不复杂，容易辨别，属于中低档题．另外，此类试题往往与统计综合考查，例如2011年陕西高考题．认真审题是正确解决该类问题的前提条件．【示例9】►国家射击队的某队员射击一次，命中7～10环的概率如下表所示：(1)射中9环或10环的概率；(2)至少命中8环的概率；(3)命中不足8环的概率解析：记事件“射击一次，命中k环”为A k(k∈N，k≤10)，则事件A k彼此互斥．(1)记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件的加法公式得P(A)＝P(A9)＋P(A10)＝＋＝.(2)设“射击一次，至少命中8环”的事件为B，那么当A8，A9，A10之一发生时，事件B发生．由互斥事件概率的加法公式得P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝＋＋＝.(3)由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B：“射击一次，至少命中8环”的对立事件，即B表示事件“射击一次，命中不足8环”，根据对立事件的概率公式得P(B)＝1－P(B)＝1－＝.反思：求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接求解法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(A)，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”、“至少”型题目，用间接求解法就显得较简便．考向十：几何概型：几何概型也是一种基本的概率模型，几何概型与古典概型的本质区别在于试验结果的无限性，几何概型经常涉及的几何度量有：长度、面积、体积等，解决该类问题的关键是找准几何度量．例如2011年福建高考题涉及的几何度量就是面积．新课标高考对几何概型的要求较低，因此高考试卷中此类试题以低、中档题为主．【示例10】►(2009·山东)在区间[－1,1]上随机取一个数x ，cos πx 2的值介于0到12之间的概率为( )．解析 在区间[－1,1]上随机取一个实数x ，cosπx2的值位于[0,1]区间，若使cos πx 2的值位于⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12区间，取到的实数x 应在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1内，根据几何概型的计算公式可知P ＝2×132＝13.反思：解答本题要抓住它的本质特征，即与长度有关．考向十一：概率统计初步综合问题：概率统计是高中数学中与实际生活联系最紧密的部分，因此，高考越来越重视对概率统计的考查，把随机抽样、用样本估计总体等统计知识和概率知识相结合命制概率统计解答题已经是一个新的命题趋向．概率统计初步综合解答题的主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键，因此在复习该部分时，要在这些图表上下工夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法．【示例11】►(2011·天津)编号分别为A 1，A 2，…，A 16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：(2)①用运动员编号列出所有可能的抽取结果；②求这2人得分之和大于50的概率．解析：(1)4,6,6.(2)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13.从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A10}，{A3，A11}，{A3，A13}，{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A4，A13}，{A5，A10}，{A5，A11}，{A5，A13}，{A10，A11}，{A10，A13}，{A11，A13}，共15种．②“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”(记为事件B)的所有可能结果有：{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A5，A10}，{A10，A11}，共5种．所以P(B)＝515＝13.反思：本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基础知识，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力．。
专题05 统计与概率(解析版)
《2021年广东省中考数学“选择题” 高分突破必备解题秘笈》专题五统计与概率中“选择题”题型高分突破必备解题秘笈选择题是中考数学试卷中的主要试题类型，在广东省各地中考数学中的分数普遍占百分之二十五左右，而深圳市中考数学题中选择题占比更是接近百分之四十，所占分数比重比较大。
因此，我们掌握选择题这类题型的答题技巧至关重要。
选择题的做法要求解答快速、正确和简练，才能在一定的时间内完成解题，保证解答题和压轴题的时间充裕.但是如何做到快速和正确的解题.必须掌握正确的解题方法，才能在考试时对选择题的解答游刃有余.本专题介绍统计与概率中选择题题型必备解题技巧的方法。
通过对中考数学涉及统计与概率中选择题题型的深度剖析，可以使学生更容易攻克选择题夺取高数。
本专题的主要方法汇总：直接法：从题目所给的条件出发，运用所学的各类公式、定理、定义等法则进行运算和推理来确定备选项中的正确选项，这种方法叫直接法.枚举法：列举所有可能的情况，然后作出正确的判断。
1．（2019年广东.第6题）数据3、3、5、8、11的中位数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C．【方法】直接法【考点】中位数的概念【解析】本题考查了中位数意义．按顺序排列，中间的数或者中间两个数的平均数．故选C．2. （2019年广州.第2题）广州正稳步推进碧道建设，营造“水清岸绿、鱼翔浅底、水草丰美、白鹭成群”的生态廊道，使之成为老百姓美好生活的好去处，到今年底各区完成碧道试点建设的长度分别为（单位：千米）：5，5.2，5，5，5，6.4，6，5，6.68，48.4，6.3，这组数据的众数是（）（A）5 （B）5.2 （C）6 （D）6.4【答案】：A【方法】：直接法【考点】：众数。
【解析】：本题考查众数定义：众数是在一组数据中,出现次数最多的数据,因为5出现5次，出现次数最多，所以，众数为5，选A 。
3.（2019年深圳.第5题）这组数据20，21，22，23，23的中位数和众数分别是（ ）A.20，23B.21，23C.21，22D.22，23【答案】：D【方法】：直接法【考点】：中位数 众数【解析】：本题考查中位数和众数的定义,中位数：先把数据按从小到大排列顺序20，21，22，23，23，则中间的那一个22就是中位数.众数是出现次数最多的那个数就是众数，即是23.故选D4．（2018年广东.第4题）数据1、5、7、4、8的中位数是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B ．【方法】直接法【考点】中位数的定义【解析】本题考查了确定一组数据的中位数的能力．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数。
专题六 概率与统计问题专题精讲课件 理 新人教A版课件
分别参加 2 次、3 次、4 次考试的概率．
高考题型突破
题型一
求事件的概率
【例 1】 某项专业技术认证考试按科目 A 和科目 B 依次进行，
思只维有启当迪科目准A确成地绩分合析格事时件，类才型可，继正续确参地加运科用目概B率的公考式试，．是已解决 这知类每问个题科的目关只键允．许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方
数学 R A（理）
专题六 高考中的概率 与统计问题
第十二章 概率、随机变量及其分布
考点自测
题号
1 2 3 4 5
答案 C
C
A
C 3 5
自我检测 查缺补漏
解析
高考题型突破
题型一
求事件的概率
【例 1】 某项专业技术认证考试按科目 A 和科目 B 依次进行，
只有当科目 A 成绩合格时，才可继续参加科目 B 的考试．已
高考题型突破
题型二
求离散型随机变量的均值与方差
【例 2】 李先生家在 H 小区，他在 C 科技园
区工作，从家开车到公司上班有 L1，L2 两 思条维路启线迪(如图走)，L1路或线L2L遇1 上到有红灯A1的，次A2数，都A3是三独个立路重口复，试各验路问口题遇， 可到结红合灯二的项概分率布均求为其12；概路率线，L选2 何上条有路B线1，是B2要两利个用路均口值，的各大路小口判 定遇．到注红意灯三的个概转率化依：次为34，35. ((11))转若化走为路P线3(1L)＋1，P求3(0)最的多值遇；到 1 次红灯的概率；
(2(2)X)若可走取路0线,1,2L转2，化求为遇独到立红事灯件次的数积X事的件数的学概期率望；； (3)按照“平均遇到红灯的次数最少”的要求，请你帮助李先生
(3分)转析化上为述比两较条路E(线X)中、，E(选Y)择的哪大条小路．线上班更好些，并说明理由．
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第二部分新题赏析
题一
题面：读下面一段话，回答问题。
某日一个“彩迷”去报摊买《彩报》，摊主热心向他介绍：“我琢磨32选7好长时间了，你瞧，一直到上期，13出现12次，7和20有10次，其它的最少也有3回。
但18就1次，28更是一回都没出现，这一期你一定要买这两个号”。
摊主的叙述中，有他本人对概率统计问题的认识，当然有些是对的，有些是错的，请你指出来。
（1）正确的
是：；
（2）指出他的错
误：。
题二
题面：抛掷均匀正四面体（四个面分别标有数字1、2、3、4），总有一个面向下。
记事件A=“标有数字1或2的面向下”；事件B=“标有数字1或3的面向下”；事件C=“标有数字1或4的面向下”。
则下列叙述中正确的是：。
（1）A与B相互独立；（2）A与C相互独立；
（3）C与B相互独立；（4）A、B、C相互独立；
题三
题面：对一批产品进行检验，规定：如果检查完第
n件仍未发现不合格品就认为
这批产品合格，在此之前一旦检查到不合格品即停止检查，且认为这批产品不合格。
设产品数量很大（可以认为每次检查查到不合格品与否相互独立），查到不合格品的概率都是p。
问平均每批要检查多少件？
题四
题面：甲、乙两人玩掷骰子游戏。
甲掷2次，乙掷3次。
各人的得分是各自所掷得点数中最大的。
设甲的得分为X，乙的得分为Y，现规定：当Y
X≥时为甲获胜，当Y
X<时为乙获胜。
你认为谁赢的可能性大？
题五
题面：用天平称某种物品的重量（砝码仅允许放在一个称盘中），
物品的重量以相同的概率为1，2，……，10（单位：克）。
现有3组砝码：
甲组：1，2，2，5，10（克） 乙组：1，2，3，4，10（克） 丙组：1，1，2，5，10（克）
问：若不考虑价格因素，实验室应配备哪一组砝码？ 题六
题面：某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．（I ）求合唱团学生参加活动的人均次数；
（II ）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率； （III ）从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对 值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ。
分析：下面方法对吗？
从合唱团中任意选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率是：
方法1、42.04.04.05.05.01.01.0=⨯+⨯+⨯；方法2、4141.099
41
2
100240250210≈=++C C C C
题七
题面：右图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图.
（I ）求直方图中x 的值；
（II ）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取 3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在 3至4吨的居民数X 的分布列和数学期望. 题八
题面：设不等式组22
2x y -⎧⎨
⎩
≤≤≤≤0确定的平面区域为U ， 20200
x y x y y ⎧⎪⎪
⎨⎪⎪⎩-++-≥≤≥确定的平面区域为V ．
（I ）定义坐标为整数的点为“整点”．在区域U 内任取3个
整点，求这些整点中恰有2个整点在区域V 的概率； （II ）在区域U 内任取3个点，记此3个点在区域V 的个数
为X ，求X 的概率分布列及其数学期望．
第三部分 名师寄语
参考答案
第二部分 新题赏析 题一
答案：（1）每次摇号中，每个数字出现的概率相等；
（2）两次摇号中，某个数字出现与否是相互独立的。
题二
答案： 1，2，3 题三
答案： p
p n 0
)1(1--
题四 答案：甲 题五
解：设123,,ηηη分别表示用甲、乙、丙组砝码称重时所用的（最少）砝码数。
则
物品的重量以相同的概率为1，2，……，10，123,,ηηη的分布列为：
1 1.8E η=，
2 1.7E η=，32E η=，所以：用乙组砝码合适。
题六 答案：（2）正确 题七 答案：略 题八
答案：略。