高等数值分析作业--插值

1. 四边形八节点单元二维插值函数及导数积分公式y c 2(1,-1)1(-1,-1) 5(0,-1)设有矩形单元1234，边长是2a ，2b ，为使推导简便，以平行于两边的轴为x 轴和y 轴， 矩形单元的中心坐标为(12345678)/4(12345678)/4xc x x x x x x x x yc y y y y y y y y =+++++++⎧⎨=+++++++⎩引入局部坐标系ξ，η，可使结果简洁，局部坐标原点取在矩形形心，进行坐标变换()/()/c c x x ay y bξη=-=-对于8节点矩形单元，其自由度为8216⨯=，因此位移函数选为：222212345678222212345678u a a a a a a a a v b b b b b b b b ξηξξηηξηξηξηξξηηξηξη=+++++++=+++++++通过将9节点的矩形单元消去第9个节点，即在其双二次多项式的形状函数中去掉22ξη项，就可得到8节点矩形单元的不完全双二次多项式形状函数，公式如下：1(,)(1)(1)(1),1,2,3,44i i i i i N i ξηξξηηξξηη=+++-= 21(,)(1)(1),5,72i i N i ξηξηη=-+= 21(,)(1)(1),6,82i i N i ξηηξξ=-+= 矩形单元应变列阵为{}x y xy u u x x v v y y u v u v y x y x ξξεηεεηγηξηξ⎧⎫⎧⎫∂∂∂⎪⎪⎪⎪∂∂∂⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪∂∂∂===⎨⎬⎨⎬⎨⎬∂∂∂⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪⎪⎪∂∂∂∂∂∂++⎪⎪⎪⎪∂∂∂∂∂∂⎩⎭⎩⎭其中11c c x x x x a ay y y y b b ξη-∂∂⎛⎫== ⎪∂∂⎝⎭-∂∂⎛⎫== ⎪∂∂⎝⎭所以{}1111u a v b u v b a ξεηηξ⎧⎫∂⎪⎪∂⎪⎪⎪⎪∂=⎨⎬∂⎪⎪⎪⎪∂∂+⎪⎪∂∂⎩⎭将,m mi i i i iiu N u v N v ==∑∑（i=1，m=8），代入上式得{}{}[,,],1,8eBi Bm i m εδ===其中，{}ei i u v δ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭{}010i i i i i N b N a B abN a N b ξηηξ∂⎡⎤⎢⎥∂⎢⎥∂⎢⎥=⎢⎥∂⎢⎥∂∂⎢⎥∂⎢⎥∂⎣⎦当i=1,2,3,4时，{}2222(1)0410(1)4(1)(1)44i i i i i i i i i i i b u a v ab a b ξηηηεξξηξξξηη⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎢⎥=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥+⎢⎥+⎢⎥⎣⎦当i=5,6时，{}22(1)010(1)2(1)(1)2i i i i i i i b u a v ab a b ξηηηεξηξξηη-+⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭-⎢⎥-+⎣⎦当i=7,8，{}22(1)021(1)0(1)(1)2i i i i i ii b u a v ab a b ξηεηξξξηξξη⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥-+-⎢⎥⎣⎦2. 牛顿插值公式在低次时（如二次插值）与拉格朗日插值公式的异同（1） Lagrange 插值多项式,()()()()()n nn i i ii i i i x L x y l x y x x x ωω====-∑∑， 公式（1） 其中1()()nk k x x x ω==-∏ 公式（2）上式满足插值条件的次数不超过n 的多项式。

Lagrange 插值多项式存在一个主要缺陷，即当用已知的n+1个数据点求出插值多项式后，又获得了新的数据点，但是要用它连同原有的n+1个数据点一起求出插值多项式，从原有已计算出的n 次插值多项式计算出新的n+1次插值多项式是很困难的，必须全部重新计算。

（2） Newton 插值多项式在Lagrange 插值多项式的基础上作如下处理：010211()()[()()][()()][()()]n n n L x L x L x L x L x L x L x L x -=+-+-+⋅⋅⋅+-，公式（3） 若记1()()()k k k Q x L x L x -=-， 公式（4） 则得到01()()()nn k k L x L x Q x ==+∑ 公式（5）上式即为Newton 插值多项式。

它可由较低次插值多项式计算出增加一个插值点的插值多项式，而不需要像Lagrange 插值多项式那样重新构建数据点进行计算。

由公式（5）可以看出，计算Newton 插值多项式的关键在与计算1()nk k Q x =∑，由于()k Q x 还是k 次多项式011()()()()k k k Q x x x x x x x α-=--⋅⋅⋅-，将其代入到公式（5）可得010201011()()()()()()()n n k L x x x x x x x x x x x x x αααα-=+-+--+⋅⋅⋅+--⋅⋅⋅- 公式（6） 这样再根据插值条件得0001101012022021201020101()()()()()()()()()n n n n n n n n y x x y x x x x x x y x x x x x x x x x x y αααααααααα-=+-=+-+--=+-+--+⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅-=公式（7）推导计算得：001012012012[][,][,,][,,,,]k n y x y x x y x x x y x x x x αααα====⋅⋅⋅公式（7）在上式中012[,,,,]n y x x x x ⋅⋅⋅被定义为k 阶差商，这样就得到另一个形式的Newton 插值多项式，以符号N n (x)记为001001201012011()[][,]()[,,]()()[,,,,]()()()n n k N x y x y x x x x y x x x x x x x y x x x x x x x x x x -=+-+--+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅--⋅⋅⋅- 公式（8）只要计算出各阶差商，就可获得Newton 插值多项式。

（3）两种插值多项式计算方法的比较Lagrange 插值多项式的计算方法相对简单，通过构建数据点即可求得多项式，但是当数据点增加时，就必须把这些新数据点连同原有的数据点一起重新计算插值多项式，影响了计算效率；Newton 插值多项式对Lagrange 插值多项式进行了改进，计算方法略为复杂，但由于添加了差商和差商表的概念，在增加一个数据点11(,)n n x y ++时，可轻易计算出包含新数据点的插值多项式，只要在公式（8）中增加一项012011[,,,,]()()()n n y x x x x x x x x x x -⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-即可。

总体来说，在数据点数量不变或变动较小以及对数据点变化规律未知的场合比较适合选用Lagrange 插值多项式，而在经常更新数据点数量以及对数据点变化规律已知的的场合比较适用Newton 插值多项式。

3. 数据插值一维数据插值命令 interp1功能 对一维函数()y f x =进行内插值。

格式yi=inerp1(x,y,xi)%返回插值向量yi ，每一元素对应于参量xi ，同时由向量x 与y 的内插值决定。

应用实例对曲线sin()y x x =⋅的插值。

x=0:10; %X 坐标值向量 y=x.*sin(x); %Y 坐标值向量xx=0:0.25:10; %插值后的X 坐标值向量 yy=interp1(x,y,xx); %插值后的Y 坐标值向量 plot(x,y,'kd',xx,yy)二维数据插值 命令 Interp2功能高维插值的一种，主要应用于图像处理和数据可视化，其基本思路与一位插值大体相同，它是对两个变量的函数(,)z f x y =进行插值。

插值前的数据点 — 插值后的曲线格式zi=inerp2(x,y,z,xi,yi) %返回在插值向量xi、yi处的函数值向量，它是根据向量x、y与z插值而来。

应用实例 [X,Y]=meshgrid(-3:0.25:3); %插值前的X,Y向量Z=peaks(X,Y); %插值前的Z向量[X1,Y1]=meshgrid(-3:0.125:3); %插值后的X,Y向量Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1) %插值后的Z向量surfl(X,Y,Z);hold on; %绘制曲面axis([-3 3 -3 3 -5 20]); %调节X,Y,Z三个坐标轴的量程三维数据插值命令Interp3功能对三个变量的函数(,,)f x y z进行插值，格式vi=inerp3(x,y,z,xi,yi) %返回三维函数v在插值向量xi、yi、zi处的函数值向量。

应用实例[x,y,z,v]=flow(10) %插值前的x，y，z，v[xi,yi,zi]=meshgrid(0.1:0.25:10,-3:0.25:3,-3:0.25:3);%插值后的xi，yi，zivi=interp3(x,y,z,v,xi,yi,zi); %插值后的vislice(xi,yi,zi,vi,[6 9.5],2,[-2,0.2]) %绘图三次样条数据插值命令Spline插值功能三次样条数据插值格式yy=spline(x,y,xx) % 对于给定的离散的测量数据x，y（称为断点），要寻找一个三次多项式p（x），以逼近每对数据（x，y）点间的曲线。

应用实例x=0:10y=sin(x)xx=0:0.25:10yy=spline(x,y,xx)plot(x,y,'o',xx,yy)。