6学年上学期高二期中考试数学(理)试题(附答案)
湖南省长沙市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题含答案
2024年下学期期中检测试题高二数学（答案在最后）时量：120分钟分值：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知等差数列{}n a 满足6786a a a ++=，则7a 等于（）A.1B.2C.4D.8【答案】B 【解析】【分析】利用等差数列的性质进行求解.【详解】 6787736,2a a a a a ++==∴=故选：B2.若圆224820x y x y m +-++=的半径为2，则实数m 的值为（）A.-9B.-8C.9D.8【答案】D 【解析】【分析】由圆的一般方程配方得出其标准方程，由半径为2得出答案.【详解】由224820x y x y m +-++=，得22(2)(4)202x y m -++=-，所以2r ==，解得8m =.故选：D.3.若抛物线22(0)y px p =>的焦点与椭圆22195x y +=的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（）A.1x =-B.1x =C.2x =D.2x =-【答案】D 【解析】【分析】先求出椭圆的焦点坐标即是抛物线的焦点坐标，即可求出准线方程.【详解】∵椭圆22195x y +=的右焦点坐标为(2,0)，∴抛物线的焦点坐标为(2,0)，∴抛物线的准线方程为2x =-，故选：D.4.空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为[)0,50、[)50,100、[)100,150、[)150,200、[)200,300和[]300,500六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“严重污染”六个等级．如图是某市2月1日至14日连续14天的空气质量指数趋势图，则下面说法中正确的是（）．A.这14天中有5天空气质量为“中度污染”B.从2日到5日空气质量越来越好C.这14天中空气质量指数的中位数是214D.连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日【答案】B 【解析】【分析】根据折线图直接分析各选项.【详解】A 选项：这14天中空气质量为“中度污染”有4日，6日，9日，10日，共4天，A 选项错误；B 选项：从2日到5日空气质量指数逐渐降低，空气质量越来越好，B 选项正确；C 选项：这14天中空气质量指数的中位数是179214196.52+=，C 选项错误；D 选项：方差表示波动情况，根据折线图可知连续三天中波动最小的是9日到11日，所以方程最小的是9日到11日，D 选项错误；故选：B.5.已知双曲线C ：22x a -22y b=1的焦距为10，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为A.220x -25y =1B.25x -220y =1C.280x -220y =1D.220x -280y =1【答案】A 【解析】【详解】由题意得，双曲线的焦距为10，即22225a b c +==，又双曲线的渐近线方程为by x a=0bx ay ⇒-=，点1(2)P ，在C 的渐近线上，所以2a b =，联立方程组可得，所以双曲线的方程为22=1205x y -．考点：双曲线的标准方程及简单的几何性质．6.定义22⨯行列式12142334a a a a a a a a =-，若函数22cos sin ()πcos 22x xf x x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则下列表述正确的是（）A.()f x 的图象关于点(π,0)中心对称B.()f x 的图象关于直线π2x =对称C.()f x 在区间π,06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D.()f x 是最小正周期为π的奇函数【答案】C 【解析】【分析】由行列式运算的定义，结合三角恒等变换，求出()f x 解析式，AB 选项关于函数图象的对称性，代入检验即可判断；整体代入验证单调性判断选项C ；公式法求最小正周期，检验函数奇偶性判断选项D.【详解】由题中所给定义可知，22ππ()cos sin 2cos 222cos 223f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π(π)2cos103f ==≠，点(π,0)不是()f x 图象的对称中心，故A 错误；ππ2cos 1223f ⎛⎫=-=-≠± ⎪⎝⎭，直线π2x =不是()f x 图象的对称轴，故B 错误；π,06x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2ππ2,333x ⎡⎤⎢⎥-⎣-∈⎦-，2ππ,33⎡⎤--⎢⎥⎣⎦是余弦函数的单调递增区间，所以()f x 在区间π,06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故C 正确；()f x 的最小正周期2ππ2T ==，但(0)0f ≠，所以函数不是奇函数，故D 错误.故选：C7.已知ABC V 中，6AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，D 为BC 的中点，则AD =（）A.25B.19C.D.【答案】C 【解析】【分析】由题意可得：1()2AD AB AC =+，结合向量的数量积运算求模长.【详解】由题意可得：16,4,64122AB AC AB AC ==⋅=⨯⨯=uu u r uuu r uu u r uuu r ，因为D 为BC 的中点，则1()2AD AB AC =+，两边平方得，()22212194AD AB AC AB AC =++⋅=，即AD =uuu r .故选：C.8.已知椭圆：2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是C 上一点，且2PF x ⊥轴，直线1PF 与椭圆C 的另一个交点为Q ，若11||4||PF F Q =，则椭圆C 的离心率为（）A.255B.2C.155D.217【答案】D 【解析】【分析】由2PF x ⊥轴可得：22||b PF a=，不妨设点2(,)b P c a ，设0(Q x ，0)y ，由11||4||PF F Q =，解得0x 、0y ，代入椭圆方程化简即可求解．【详解】解：由2PF x ⊥轴可得：22||b PF a=，不妨设点2(,)b P c a ，设0(Q x ，0)y ，由11||4||PF F Q =，得032c x =-，204b y a =-，代入椭圆方程得：222291416c b a a+=，结合222a b c =+，化简上式可得：2237c a =，所以椭圆的离心率为7c e a ==，故选：D ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.设i 为虚数单位，下列关于复数z 的命题正确的有（）A.2025i 1=-B.若1z ，2z 互为共轭复数，则12=z z C.若1z =，则z 的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆D.若复数1(1)i =++-z m m 为纯虚数，则1m =-【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项，利用复数的乘方运算得到A 正确；B 选项，设1i z a b =+，2i z a b =-，则12=z z ；C 选项，由复数的几何意义得到C 正确；D 选项，根据纯虚数的定义得到方程，求出1m =-.【详解】对于A ：()()1012101220252i i i 1i i =⋅=-⋅=，A 错；对于B ：令1i z a b =+，2i,,R z a b a b =-∈，1z =，2z =所以12=z z ，故B 正确；对于C ：1z =，故z 的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆，C 正确；对于D ：若复数1(1)i =++-z m m 为纯虚数，则10,10m m +=-≠，即1m =-，故D 正确.故选：BCD10.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是棱CD 上的动点（含端点）.则下列结论正确的是（）A.三棱锥11A B D E -的体积为定值B.11EB AD ⊥C.存在某个点E ，使直线1A E 与平面ABCD 所成角为60o D.二面角11E A B A --的平面角的大小为π4【答案】BD 【解析】【分析】A.根据等体积法的等高等底即可判断；B.结合正方体的性质，由垂影必垂斜即可判断；C.结合正方体的性质即可判断；D.根据二面角的平面角定义即可判断.【详解】对于选项A ：三棱锥11E AB D -的底面积为定值，高变化，体积不为定值，故选项A 不正确；对于选项B ：1,B E 两点在平面11ADD A 上的射影分别为1,A D ,即直线1B E 在平面11ADD A 上的射影为1A D ，而11A D AD ⊥,根据三垂线定理可得11EB AD ⊥.故选项B 正确；对于选项C ：因为1A A ⊥平面ABCD ,直线1A E 与平面ABCD 所成角为1AEA ∠,当点E 和点D 重合时，1A E 在平面ABCD 射影最小，这时直线1A E 与平面ABCD 所成角θ最大值为π4，故选项C 不正确；对于选项D ：二面角11E A B A --即二面角11D A B A --，因为111DA A B ⊥，111AA A B ⊥，1DA ⊂平面11E AB ，1AA ⊂平面11AA B ，所以1DA A ∠即为二面角11E A B A --的平面角，在正方形11ADD A 中，1π4DA A ∠=，所以二面角11E A B A --的大小为π4，故选项D 正确.故选：BD.11.数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美､对称美､和谐美的产物，曲线()32222:16C x y x y +=为四叶玫瑰线，下列结论正确的有（）A.方程()()32222160x y x y xy +=<，表示的曲线在第二和第四象限；B.曲线C 上任一点到坐标原点O 的距离都不超过2；C.曲线C 构成的四叶玫瑰线面积大于4π；D.曲线C 上有5个整点（横､纵坐标均为整数的点）.【答案】AB 【解析】【分析】本题首先可以根据0xy <判断出A 正确，然后根据基本不等式将()3222216x y x y +=转化为224x y +≤，即可判断出B 正确，再然后根据曲线C 构成的面积小于以O 为圆心、2为半径的圆O 的面积判断出C 错误，最后根据曲线C 上任一点到坐标原点O 的距离都不超过2以及曲线C 的对称性即可判断出D 错误.【详解】A 项：因为0xy <，所以x 、y 异号，在第二和第四象限，故A 正确；B 项：因为222x y xy +≥，当且仅当x y =时等号成立，所以222x yxy ≤+，()()22232222222161642x y x y x y x y ⎛⎫++=≤=+ ⎪⎝⎭，即224x y +≤2£，故B 正确；C 项：以O 为圆心、2为半径的圆O 的面积为4π，显然曲线C 构成的四叶玫瑰线面积小于圆O 的面积，故C 错误；D 项：可以先讨论第一象限内的图像上是否有整点，因为曲线C 上任一点到坐标原点O 的距离都不超过2，所以可将()0,0、()2,0、()1,0、()1,1、()0,1、()0,2代入曲线C 的方程中，通过验证可知，仅有点()0,0在曲线C 上，故结合曲线C 的对称性可知，曲线C 仅经过整点()0,0，故D 错误，故选：AB.【点睛】本题是创新题，考查学生从题目中获取信息的能力，考查基本不等式的应用，考查数形结合思想，体现了综合性，是中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.12.圆22250x y x +--=与圆222440x y x y ++--=的交点为A ，B ，则公共弦AB 所在的直线的方程是________.【答案】4410x y -+=【解析】【分析】两圆相减得到公共弦所在的直线的方程.【详解】由题意可知圆22250x y x +--=与圆222440x y x y ++--=相交，两圆方程相减得，2222244441025x x y x y x x y y ++=--+--+--=-，故公共弦AB 所在的直线的方程是4410x y -+=.故答案为：4410x y -+=13.若数列{}n a 满足111n nd a a +-=（*n ∈N ，d 为常数），则称数列{}n a 为“调和数列”，已知正项数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“调和数列”，且12202220220b b b +++= ，则12022b b 的最大值是________.【答案】100【解析】【分析】根据题设易知正项数列{}n b 为等差数列，公差为d ，应用等差数列前n 项和公式得1202220b b +=，应用基本不等式求12022b b 最大值.【详解】由题意，正项数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“调和数列”，则1n n d b b +=-（d 为常数），所以正项数列{}n b 为等差数列，公差为d ，则()120221220222022202202b b b b b +++==⨯+ ，则1202220b b +=，则2212022120222010022b b b b +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（当且仅当0122110b b ==时等号成立），所以12022b b 的最大值是100.故答案为：10014.如图，在四棱锥P ABCD -中，顶点P 在底面的投影O 恰为正方形ABCD 的中心且AB =，设点M ，N 分别为线段PD ，PO 上的动点，已知当AN MN ＋取得最小值时，动点M 恰为PD 的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为____________．【答案】643π.【解析】【分析】根据题意有=B AN MN N MN BM ≥＋＋,动点M 恰为PD 的中点即4BP BD ==,及可求出PO =，则可求出外接球的半径，方可求出其表面积．【详解】由题意知=B AN MN N MN BM ≥＋＋当BM PD ⊥时BM 最小，因为M 为PD 的中点，故而为PD 的中点，即=4BP BD =，2BO =PO ∴=，设外接球的半径为r ，则22)4r r =+．解得433r =.故外接球的表面积为26443r ππ=.【点睛】本题考查锥体的外接球表面积，求出其外接球的半径，即可得出答案，属于中档题．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列{}n a 是等差数列，n S 是{}n a 的前n 项和，84a =，1122S =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最小值.【答案】（1）320n a n =-（2）-57【解析】【分析】根据等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程组求出117,3,a d =-⎧⎨=⎩即可得，（2）由通项公式可求得当6n ≤时，0n a <，从而可得当6n =时，n S 取到最小值，进而可求出其最小值【小问1详解】设数列 的公差为d ，则8111174115522a a d S a d =+=⎧⎨=+=-⎩，解得1173a d =-⎧⎨=⎩，所以1(1)320n a a n d n =+-=-.【小问2详解】令3200n a n =->，解得203n >，所以当6n ≤时，0n a <.故当6n =时，n S 取到最小值，为6161557S a d =+=-.16.已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10110S =，且1a ，2a ，4a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若3n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和.【答案】（1）2n a n=（2）199(1)8n n n +-++【解析】【分析】（1）设出公差，利用题意得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式；（2）29nn b n =+，利用分组求和，结合等差数列和等比数列求和公式得到答案.【小问1详解】根据{}n a 为等差数列，设公差为0d ≠.10110S =，即11101045a d =+①，1a ，2a ，4a 成等比数列∴2214a a a =⋅，()()21113∴+=+a d a a d ②，由①②解得：122a d =⎧⎨=⎩，∴数列{}n a 的通项公式为2n a n =.【小问2详解】由232329n a n n n n b a n n =+=+=+，数列{}n b 的前n 项和()()122212999nn n T b b b n =++⋯+=⨯+++++++ ()1919(1)992(1)2198n n n n n n +-+-=⨯+=++-.17.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD BC ∥，AD AB ⊥，侧面PAB ⊥底面ABCD ，122PA PB AD BC ====，且E ，F 分别为PC ，CD 的中点，（1）证明：//DE 平面PAB ；（2）若直线PF 与平面PAB 所成的角为60︒，求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）取PB 中点M ，连接AM ，EM ，通过证明四边形ADEM 为平行四边形，即可证明结论；（2）由直线PF 与平面PAB 所成的角为60︒，可得,,,,GF PG AG BG AB ，建立以G 为原点的空间直角坐标系，利用向量方法可得答案.【小问1详解】取PB 中点M ，连接AM ，EM ，E 为PC 的中点，//ME BC ∴，12ME BC =，又AD //BC ，12AD BC =，//ME AD ∴，ME AD =，∴四边形ADEM 为平行四边形，//DE AM ∴，DE ⊄ 平面PAB ，AM ⊂平面PAB ，//DE ∴平面PAB ；【小问2详解】平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面,ABCD AB BC =⊂平面ABCD ，,BC AB BC ⊥∴⊥平面PAB ，取AB 中点G ，连接FG ，则//,FG BC FG ∴⊥平面PAB ，()160,32GPF GF AD BC ∴∠=︒=+=，3tan60,PG PG∴︒=∴=2,1,2PA PB AG GB AB ==∴===，如图以G 为坐标原点，GB 为x 轴，GF 为y 轴，GP 为z轴建立空间直角坐标系，(()(),1,4,0,1,2,0P C D ∴-，(()1,4,,2,2,0PC CD ∴==-- ，设平面PCD 的一个法向量，()1,,n x y z = ，则1140220n PC x y n CD x y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩ ，取1y =，则(1n =- ，平面PAB 的一个法向量可取()20,1,0n = ，设平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角为θ，1212cos5n nn nθ⋅∴==，所以平面PAB与平面PCD 所成锐二面角的余弦值55.18.已知抛物线2:2(0)C x py p=>上一点(,6)P m到焦点F的距离为9.（1）求抛物线C的方程；（2）过点F且倾斜角为5π6的直线l与抛物线C交于A，B两点，点M为抛物线C准线上一点，且MA MB⊥，求MAB△的面积.（3）过点(2,0)Q的动直线l与抛物线相交于C，D两点，是否存在定点T，使得TC TD⋅为常数？若存在，求出点T的坐标及该常数；若不存在，说明理由.【答案】（1）212x y=（2）（3）存在定点191,93T⎛⎫⎪⎝⎭，TC TD⋅为常数37081.【解析】【分析】（1）利用抛物线的定义得02pPF y=+，计算出p得抛物线方程；（2）直线方程与抛物线方程联立方程组，求出,A B两点坐标，利用0MA MB⋅=求出M点坐标，求出M 点到直线l的距离和弦长AB，可求MAB△的面积；（3）设()00,T x y，()33,C x y，()44,D x y，过点Q的直线为(2)y k x=-，与抛物线方程联立方程组，利用韦达定理表示出TC TD⋅，求出算式的值与k无关的条件，可得TC TD⋅为定值的常数.【小问1详解】由拋物线的定义得02pPF y=+，解得692p+=，6p=.∴抛物线的方程为212x y=.【小问2详解】设()11,A x y，()22,B x y，由（1）知点(0,3)F，∴直线l的方程为0x +-=.由20,12,x x y ⎧+-=⎪⎨=⎪⎩可得21090y y -+=，则1210y y +=，129y y =，12121061622p p AB AF BF y y y y p ⎛⎫⎛⎫∴=+=+++=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则不妨取11y =，29y =，则点A ，B的坐标分别为，(-.设点M 的坐标为(,3)t -，则,4)MA t =-uuu r，(,12)MB t =--uuu r ，则)()4120MA MB t t ⋅=--+⨯= ，解得t =-.即(3)M --，又点M 到直线l的距离d =d =，故MAB △的面积12S d AB =⋅=；【小问3详解】设()00,T x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，过点Q 的直线为(2)y k x =-，2(2)12y k x x y =-⎧⎨=⎩联立消去y 得：212240x kx k -+=，0∆>时，3412x x k +=，3424x x k =，联立消去x 得：()22241240y k k y k +-+=，234124y y k k +=-，2344y y k =，()()()()30403040TC TD x x x x y y y y ⋅=--+-- ()()22340343403400x x x x x y y y y y x y =-++-+++()2222000024124124k x k k y k k x y =-⋅+--++()()2220000024124412x y k y k x y =-++-++要使()()2220000024124412x y k y k x y -++-++与k 无关，则00241240x y -+=且04120y -=，0199x ∴=，013y =，存在191,93T ⎛⎫ ⎪⎝⎭此时TC TD ⋅ 为定值37081.19.“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张纸片，按如下步骤折纸：步骤1：在纸上画一个圆A ，并在圆外取一定点B ；步骤2：把纸片折叠，使得点B 折叠后与圆A 上某一点重合；步骤3：把纸片展开，并得到一条折痕；步骤4：不断重复步骤2和3，得到越来越多的折痕.你会发现，当折痕足够密时，这些折痕会呈现出一个双曲线的轮廓.若取一张足够大的纸，画一个半径为2的圆A ，并在圆外取一定点,4B AB =，按照上述方法折纸，点B 折叠后与圆A 上的点T 重合，折痕与直线TA 交于点,P P 的轨迹为曲线C .（1）以AB 所在直线为x 轴建立适当的坐标系，求C 的方程；（2）设AB 的中点为O ，若存在一个定圆O ，使得当C 的弦PQ 与圆O 相切时，C 上存在异于,P Q 的点,M N 使得//PM QN ，且直线,PM QN 均与圆O 相切.（i ）求证：OP OQ ⊥；（ii ）求四边形PQNM 面积的取值范围.【答案】（1）2213y x -=；（2）（i ）证明见解析；（ii ）[)6,+∞.【解析】【分析】（1）建立平面直角坐标系，根据双曲线定义可得双曲线方程；（2）假设存在符合条件的圆，依据条件，可得四边形PQNM 为菱形，设直线,OP OQ 的斜率分别为1,k k -，将直线,OP OQ 分别与双曲线方程联立求得||,||OP OQ ，通过计算O 到直线PQ 的距离可得定圆的方程.【小问1详解】以AB 所在直线为x 轴，以AB 的中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系.则()()2,0,2,0A B -.由折纸方法可知：PB PT =，所以2PB PA PT PA TA AB -=-==<.根据双曲线的定义，C 是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线，设其方程为()222210,0,x y a b a b-=>>则1,2a c ===，所以221,3a b ==.故C 的方程为2213y x -=.【小问2详解】（i ）假设存在符合条件的圆O ，如图所示：由//PM QN 可得180MPQ NQP ∠+∠=︒，根据切线的性质可知，,MPO OPQ NQO OQP ∠=∠∠=∠,所以90OPQ OQP ∠+∠=︒，即OP OQ ⊥.（ii ）分别作,P Q 关于原点O 的对称点,N M ''，则,N M ''均在C 上，且四边形PQN M ''为菱形，所以,PM QN ''均与O 相切，所以M '与M 重合，N '与N 重合，所以四边形PQNM 为菱形.显然，直线,OP OQ 的斜率均存在且不为0.设直线,OP OQ 的斜率分别为1,k k-，则直线OP 的方程为y kx =，直线OQ 的方程为1=-y x k .设()()1122,,,P x y Q x y ，则由22,13y kx y x =⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()2233k x -=，所以230k ->，且21233x k =-，所以203k <<，且1||OP ==.同理可得：213k >，且||OQ =所以四边形PQNM 的面积2||||S OP OQ =⋅=.设241,43t k t =+<<，故S ==.设1=u t ，则1344u <<，所以S =因为216163y u u =-+-在11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，所以(]0,1y ∈.所以[)6,S ∈+∞.所以四边形PQNM 的面积的取值范围是[)6,+∞.。
高二上学期期中考试数学试卷含答案(共5套)
高二上学期期中考试数学试题本卷分Ⅰ（选择题）、Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中Ⅰ卷1至2页，第二卷2至4页，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共12个小题，每小题5分1．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．有下列四个命题：（1）“若，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若（4）“若，则，则有实数解”的逆否命题；”的逆否命题.其中真命题为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（1）（2）（3）3．若则为（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．有一个内角为30°的直角三角形D．有一个内角为30°的等腰三角形4．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是A．(1，+∞)B．(－∞，3)C．(1，3)D．5．为的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积A．B．C．D．6．已知中，，则等于（）A．B．或C．D．或7．等差数列的前项和为，若，则等于（）A．58B．54C．56D．528．已知等比数列中，，，则（）A．2B．C．D．49．已知，则z=22x+y的最小值是A．1B．16C．8D．4）10．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（A．B．C．D．11．当ａ＞０，关于代数式，下列说法正确的是（）A．有最小值无最大值B．有最大值无最小值C．有最小值也有最大值D．无最小值也无最大值12．在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为A．B．3C．4D．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分13．命题的否定是______________．114．已知的三边长构成公差为 2 的等差数列，且最大角的正弦值为 ，则这个三角形的周长为________.15．已知数列{a n }的前 n 项和为 S n ，a 1＝1，当 n≥2时，a n ＋2S n － ＝n ，则 S 2017的值____ ___16．已知变量满足约束条件 若目标函数 的最小值为2，则的最小值为__________．三、解答题：共 6 题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
北京市房山区2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题含答案
房山区2023-2024学年度第一学期期中学业水平调研高二数学（答案在最后）第一部分（选择题共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知()1,3A -，()3,5B ，则线段AB 的中点坐标为（）A.（1，4）B.（2，1）C.（2，8）D.（4，2）【答案】A 【解析】【分析】用中点坐标公式即可求解.【详解】设线段AB 的中点坐标为(),M a b ，则132352a b -+⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即14a b =⎧⎨=⎩，则线段AB 的中点坐标为()1,4M .故选：A.2.如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，E 为1CC 中点．设AB a =，AD b =，1AA c = ，用基底{},,a b c 表示向量AE，则AE = （）A.a b c ++r r rB.12a b c++ C.12a b c++ D.12a b c ++ 【答案】B【分析】利用几何图形的关系，结合向量的加法运算，即可求解.【详解】11122AE AC CE AB AD AA a b c =+=++=++.故选：B3.在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AB 与1BC 所成角的大小为（）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C 【解析】【分析】根据异面直线所成角的定义及正方体的特征求解【详解】连接1A D ，DB ，如图，因为正方体中11//A D B C ，所以1BA D ∠就是1A B 与1B C 所成的角，在1BA D 中，11A D A B BD ==.∴160BA D ∠=︒.故选：C4.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，11AA BC ⋅=（）A. B. C.2D.4【解析】【分析】根据向量数量积定义计算即可.【详解】在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,易知12AA =，1BC = 因为11AA BB = ，1BB 与1BC 的夹角为π4，所以1AA 与1BC 的夹角为π4，1111π2cos 2442AA BC AA BC ⋅=⋅=⨯= .故选：D5.如图，在四面体A BCD -中，AD ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，则下列叙述中错误的是（）A.ACD ∠是直线AC 与平面BCD 所成角B.ABD ∠是二面角A BC D --的一个平面角C.线段AC 的长是点A 到直线BC 的距离D.线段AD 的长是点A 到平面BCD 的距离【答案】B 【解析】【分析】根据线面垂直即可求解AD ，根据BC ⊥平面ACD ，即可得BC AC ⊥，进而判断C ，结合二面角的定义即可判断B.【详解】对于AD ，由于AD ⊥平面BCD ，所以ACD ∠是直线AC 与平面BCD 所成角，线段AD 的长是点A 到平面BCD 的距离，故AD 正确，对于B ，AD ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ,所以BC AD ⊥,又BC CD ⊥，,,AD CD D AD CD =⊂ 平面ACD ，所以BC ⊥平面ACD ，CA ⊂平面ACD ,故BC AC ⊥,又BC CD ⊥，AC ⊂平面ABC ,CD ⊂平面BCD ,故ACD ∠是二面角A BC D --的一个平面角，故B 错误，对于C ，由于BC AC ⊥，所以线段AC 的长是点A 到直线BC 的距离，C 正确,故选：B6.已知直线1l ：()210x a y a +-+=与直线2l ：20ax y ++=平行，则a 的值为（）A.1-或2B.13C.2D.1-【答案】D 【解析】【分析】根据两直线平行，即可列式求解.【详解】因为12l l //，所以2112a a a -=≠，解得：1a =-.故选：D7.在同一平面直角坐标中，表示1l ：y ax b =+与2l ：y bx a =-的直线可能正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】结合各选项分析直线的斜率与在y 轴上的截距，即可判断.【详解】对于A ：由图可得直线1l 的斜率0a >，在y 轴上的截距0b >；而2l 的斜率0b <，矛盾，故A 错误．对于B ：由图可得直线1l 的斜率0a >，在y 轴上的截距0b >；而2l 的斜率0b <，矛盾，故B 错误．对于C ：由图可得直线1l 的斜率a<0，在y 轴上的截距0b >；而2l 的斜率0b >，在y 轴上的截距0a ->，即a<0，故C 正确．对于D ：由图可得直线1l 的斜率a<0，在y 轴上的截距0b <；而2l 的斜率0b >，矛盾，故D 错误．故选：C ．8.长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，M 为AB 的中点，1D M MC ⊥，则AD =（）A.1B.2C.3D.4【答案】A 【解析】【分析】连接1CD ，设AD a =()0a >，表示出CM ，1CD ，1MD ，利用勾股定理计算可得.【详解】如图连接1CD ，设AD a =()0a >，则CM =1==CD ，1MD ==因为1D M MC ⊥，所以22211MC MD CD +=，即22158a a +++=，解得1a =（负值舍去）.故选：A9.设P 为直线1y =-上的动点，过点P 作圆C ：()()22324x y ++-=的切线，则切线长的最小值为（）A.2B.C.3D.【答案】B 【解析】【分析】根据切线最小时为圆心到直线上的点的距离最小时可以求出圆心到直线的距离，再求出切线长即可.【详解】圆心为()3,2C -，半径为2r =，设切点为Q ，要使得切线长PQ 最小，则CP 最小，此时CP l ⊥，所以3CP =，所以PQ ==故选：B10.古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数(0k k >且)1k ≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点()1,0A -，()2,0B ，圆()()()221:204C x y m m -+-=>，在圆上存在点P 满足2PA PB =，则实数m 的取值范围是（）A.22⎣⎦B.521,42⎡⎢⎣⎦C.212⎛ ⎝⎦D.521,22⎢⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】设(),P x y ，根据2PA PB =求出点P 的轨迹方程，根据题意可得两个圆有公共点，根据圆心距大于或等于半径之差的绝对值小于或等于半径之和，解不等式即可求解.【详解】设(),P x y ，因为点()1,0A -，()2,0B ，2PA PB =，=22650x y x +-+=，所以()2234x y -+=，可得圆心()3,0，半径2R =，由圆()()221:24C x y m -+-=可得圆心()2,C m ，半径12r =，因为在圆C 上存在点P 满足2PA PB =，所以圆()2234x y -+=与圆()()221:24C x y m -+-=有公共点，所以112222-≤≤+，整理可得：2925144m ≤+≤，解得：52122m ≤≤，所以实数m的取值范围是22⎤⎢⎥⎣⎦，故选：D.第二部分（非选择题共100分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11.已知()2,1A ，()0,3B -，则直线AB 的斜率AB k =__________．【答案】2【解析】【分析】根据直线斜率公式进行计算即可.【详解】根据题意，1(3)220AB k --==-，故答案为：2.12.已知()0,0A ，()2,2B ，()4,2C ，则ABC 外接圆的方程为____________．【答案】22620x y x y +-+=【解析】【分析】首先设ABC 外接圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，从而得到044220164420F D E F D E F =⎧⎪++++=⎨⎪++++=⎩，再解方程组即可.【详解】设ABC 外接圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则064422021644200F D D E F E D E F F ==-⎧⎧⎪⎪++++=⇒=⎨⎨⎪⎪++++==⎩⎩，所以ABC 外接圆的方程为：22620x y x y +-+=.故答案为：22620x y x y +-+=13.已知直线l 与平面α所成角为45︒，A ，B 是直线l 上两点，且6AB =，则线段AB 在平面α内的射影的长等于____________．【答案】【解析】【分析】依题意可得线段AB 在平面α内的射影的长等于45cos AB ︒.【详解】因为直线l 与平面α所成角为45︒，A ，B 是直线l 上两点，且6AB =，则线段AB 在平面α内的射影的长等于456s 2co AB ︒=⨯=故答案为：14.如图，长方体1111ABCD A B C D -中，11AA AD ==，2AB =，则点1D 到点B 的距离等于____________；点1D 到直线AC 的距离等于____________．【答案】①.②.5【解析】【分析】以向量DA ，DC ，1DD所在方向为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，根据两点间的距离公式可求点1D 到点B 的距离；连接1D A ，作1D E 垂直AC ，垂足为E ，求出向量1AD uuu r 在向量AC上的投影，由勾股定理即可求点1D 到直线AC 的距离.【详解】如图，以向量DA ，DC ，1DD所在方向为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，由11AA AD ==，2AB =，则()10,0,1D ，()1,2,0B ，所以1D B ==，所以点1D 到点B .连接1D A ，作1D E 垂直AC ，垂足为E ，由()1,0,0A ，()0,2,0C ，所以()11,0,1AD =- ，()1,2,0AC =-，所以15AD AC AE AC⋅===，又1AD =，所以点1D 到直线AC 的距离5d ==.；5.15.已知圆O ：()2220x y rr +=>和直线l ：40x y -+=，则圆心O 到直线l 的距离等于_____________；若圆O 上有且仅有两个点到直线l ，写出一个符合要求的实数r 的值，r =______________．【答案】①.②.2（答案不唯一）.【解析】【分析】根据点到直线距离公式计算；将圆O 上有且仅有两个点到直线l 转化为半径与圆心O 到直线l 的距离之间的关系即可求解.【详解】圆心O 到直线l 的距离为d ==；因为圆O 上有且仅有两个点到直线l ，所以d r <-<r <<.故答案为：2（答案不唯一）.16.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PAB 是等边三角形，O 为AB 的中点，且PO ⊥底面ABCD ，点F 为棱PC 上一点．给出下面四个结论：①对任意点F ，都有CD OF ⊥；②存在点F ，使//OF 平面PAD ；③二面角P AC B --；④平面PAB ⊥平面ABCD ．其中所有正确结论的序号是____________．【答案】②③④【解析】【分析】根据题意，利用空间直线与直线，直线与平面位置关系，依次进行判断即可.【详解】对于①，若点F 与点C 重合，显然不满足CD OF ⊥，所以①错；对于②，若点F 为线段PC 中点，取线段PD 中点E ，连接EF ，则//EF CD 且12EF CD =，所以//EF AO 且EF AO =，则四边形AOFE 为平行四边形，得//OF AE ，因为OF ⊄平面PAD ，AE ⊂平面PAD ，所以//OF 平面PAD ，所以②正确；对于③，因为O 为AB 的中点，且PO ⊥底面ABCD ，过O 作OH AC ⊥于H ，则PHO ∠即为二面角P AC B --的平面角，根据边长可求得32PO =，4OH =，所以32tan 24PHO ∠==，所以③正确；对于④，因为PO ⊥底面ABCD ，PO ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面ABCD ，所以④正确；故答案为：②③④三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17.已知三条直线1l ：20x y +-=，2l ：3100x y -+=，3l ：3450x y -+=．（1）求直线1l ，2l 的交点M 的坐标；（2）求过点M 且与直线3l 平行的直线方程；（3）求过点M 且与直线3l 垂直的直线方程．【答案】（1）()1,3M -（2）34150x y -+=（3）4350x y +-=【解析】【分析】（1）联立直线方程，即可求解；（2）根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解；（3）根据已知条件，结合直线垂直的性质，即可求解；【小问1详解】联立203100x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得13x y =-⎧⎨=⎩，故交点M 坐标为()1,3M -；【小问2详解】所求直线与直线3l 平行，则所求直线可设3405x y C C -+=≠（），所求直线过点()1,3M -，则()31430C ⨯--⨯+=，解得15C =，故所求直线方程为34150x y -+=；【小问3详解】所求直线与直线3l 垂直，则所求直线可设430x y D ++=，所求直线过点()1,3M -，则()41330D ⨯-+⨯+=，解得5D =-，故所求直线方程为4350x y +-=．18.已知圆C 的圆心为点()1,3C -，半径为2．（1）写出圆C 的标准方程；（2）若直线l ：20x y --=与圆C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【答案】（1）()()22134x y -++=（2）【解析】【分析】（1）根据圆的标准方程定义可得解；（2）求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理计算可得.【小问1详解】因为圆心()1,3C -，半径2r =，所以圆C 的标准方程为()()22134x y -++=.【小问2详解】圆心C 到直线l 的距离d ==2AB∴===AB ∴=19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，1==PA AB ，M 为PB 的中点．（1）求证：AM ⊥平面PBC ；（2）求直线PD 与平面PBC 所成角的大小；（3）求点D 到平面PBC 的距离．【答案】（1）见解析（2）π6（3）2【解析】【分析】（1）根据线线，线面的垂直关系的转化，即可证明线面垂直；（2）首先建立空间直角坐标系，由（1）可知向量AM是平面PBC 的法向量，利用向量法求线面角的大小；（3）根据（2）的结果，结合点到平面的距离的定义，即可求解.【小问1详解】因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA BC ⊥，又BC AB ⊥，PA AB A = ，,PA AB ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ，AM ⊂平面PAB ，所以BC AM ⊥，因为PA AB =，且点M 是PB 的中点，所以AM PB ⊥，且BC PB B = ，,BC PB ⊂平面PBC ，所以AM ⊥平面PBC ；【小问2详解】以点A 为原点，以向量,,AB AD AP 为,,x y z 轴的方向向量，建立空间直角坐标系，()0,0,0A ，11,0,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,0,1P ，()0,1,0D ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，11,0,22AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,1,1PD =- ，由（1）可知，向量AM是平面PBC 的法向量，设直线PD 与平面PBC 所成角为θ，所以1sin cos ,2PD AM θ== ,则π6θ=，所以直线PD 与平面PBC 所成角的大小为π6；【小问3详解】因为1PA AD ==，则PD =由（2）可知，直线PD 与平面PBC 所成角的大小为π6，所以点D 到平面PBCπ62=.20.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，D 是BC的中点，BC =11A A AB AC ===．（1）求证：1//A B 平面1ADC ；（2）求二面角1D AC C --的余弦值；（3）判断直线11A B 与平面1ADC 是否相交，如果相交，求出A 到交点H 的距离；如果不相交，求直线11A B 到平面1ADC 的距离．【答案】（1）见解析（2）3（3）相交，AH =【解析】【分析】（1）构造中位线，利用线线平行证明线面平行；（2）建立空间直角坐标系，利用法向量求二面角的余弦值；（3）利用平面的性质，即可判断直线11A B 与平面1ADC 的位置关系，并利用图形求解.【小问1详解】连结1AC 交1AC 于点E ，连结DE，因为点,D E 分别是1,BC A C 的中点，所以1//DE A B ，且DE ⊂平面1ADC ，1A B ⊄平面1ADC ，所以1//A B 平面1ADC ；【小问2详解】因为1AB AC ==，BC =，所以AB AC ⊥，且1A A ⊥平面ABC ，所以如图，以点A 为原点，以向量1,,AB AC AA 为,,x y z轴的方向向量建立空间直角坐标系，()0,0,0A ，11,,022D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()10,1,1C ，11,,022AD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10,1,1AC =uuu r ，设平面1ADC 的法向量为(),,m x y z=，则1110220AD m x y AC m y z ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩ ，令1x =，则1y =-，1z =，所以平面1ADC 的法向量为()1,1,1m =-，平面1ACC 的法向量()1,0,0n =，设二面角1D AC C --的平面角为θ，则13cos cos ,33m n m n m n θ⋅==== ，所以二面角1D AC C --的余弦值为33；【小问3详解】如图，延长1C D 交1B B 于点G ，连结GA 并延长，交11B A 的延长线于点H ，因为点D 是BC 的中点，所以11GB BB ==，所以112BA B H =，即111A H AA ==，则22112AH =+=21.已知圆M ：22420x y x y +--=和直线l ：1y kx =-．（1）写出圆M 的圆心和半径；（2）若在圆M 上存在两点A ，B 关于直线l 对称，且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线AB 的方程．【答案】（1）圆心为()2,1，半径为5（2）30x y +-=或0x y +=【解析】【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，得到圆心和半径；（2）推出直线l 即为AB 的垂直平分线，过圆心()2,1M ，从而得到1k =，直线AB 的斜率为1-，再结合图形，得到当AB 过点M 和过原点时，满足要求，得到答案.【小问1详解】22420x y x y +--=变形为()()22215x y -+-=，故圆M 的圆心为()2,1【小问2详解】由垂径定理可知，线段AB 的垂直平分线一定过圆心()2,1M ，又A ，B 关于直线l 对称，故直线l 即为AB 的垂直平分线，所以直线l 过点()2,1M ，将其代入1y kx =-中得，211k -=，解得1k =，故直线AB 的斜率为1-，又以线段AB 为直径的圆经过原点，圆M 也经过原点，故当AB 过点M 时满足要求，此时直线AB 的方程为()12y x -=--，即30x y +-=，当当AB 过原点时，也满足要求，此时直线AB 的方程为()00y x -=--，即0x y +=，综上，直线AB 的方程为30x y +-=或0x y +=.。
2022-2023学年内蒙古自治区包头市高二年级上册学期期中考试数学(理)试题【含答案】
2022-2023学年内蒙古自治区包头市第一中学高二上学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．命题“R x ∃∈，2210x x +-<”的否定是（ ） A ．R x ∀∈，2210x x +-≥ B ．R x ∃∉，2210x x +-≥ C ．R x ∃∈，2210x x +-≥ D ．R x ∀∉，2210x x +-≥【答案】A【分析】将特称命题否定为全称命题即可. 【详解】命题“R x ∃∈，2210x x +-<”的否定是 “R x ∀∈，2210x x +-≥”， 故选：A.2．圆()()22341x y -+-=与圆2236x y +=的位置关系为（ ） A ．相离 B ．内切 C ．外切 D ．相交【答案】B【分析】根据圆心距与21r r -的关系求得正确答案.【详解】圆()()22341x y -+-=的圆心为()3,4A ，半径11r =；圆2236x y +=的圆心为()0,0O ，半径26=r ， 圆心距215OA r r ==-，所以两圆的位置关系是内切. 故选：B3．已知双曲线221x y m +=（m 为非零常数）的渐近线方程为y x =，则双曲线的虚轴长是（ ）A ．－3B ．3C ．D 【答案】C【分析】根据双曲线的渐近线方程求得m ，进而求得双曲线的虚轴长. 【详解】双曲线221x y m+=，即221x y m -=-，双曲线的渐近线方程为y x =，3m ==-，所以双曲线方程为2213x y -=，所以b =2b =故选：C4．已知椭圆经过点()，且焦点分别为()10,1-F ，()20,1F ，则椭圆的离心率为（ ）A B C D 【答案】D【分析】根据已知条件求得,a c ，从而求得椭圆的离心率. 【详解】由于焦点()10,1-F ， 所以焦点在y 轴上，且1c =，由于椭圆经过点()，所以b =所以a ==所以椭圆的离心率为c a =故选：D5．过抛物线22y x =的焦点作直线l ，交抛物线于,A B 两点，若线段AB 中点的横坐标为4，则AB 等于（ ） A ．10 B ．9 C ．6 D ．5【答案】B【分析】利用抛物线的几何意义求解即可. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得1242x x +=， 所以由抛物线的几何意义得1281922p pAB x x =+++=+=， 故选：B.6．已知空间四边形ABCO 中，OA a =，OB b =，OC c =，M 为OA 中点，点N 在BC 上，且2NB NC =，则MN 等于（ ）A ．121233a b c -+-B ．121233a b c -++C ．111232a b c +- D ．112233a b c -++【答案】D【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算法则，即可求解． 【详解】如图所示：点N 在BC 上，且2NB NC =，∴2BN NC =， 由OB b =，OC c =，∴111212()333333ON OC CN OC CB OC OB OC OB OC b c =+=+=+-=+=+，M 为OA 中点，OA a =，1122OM OA a ==，∴11122233MN ON OM ON OA a b c =-=-=-++．故选：D ．7．曲线()2216126x y m m m +=<--与曲线()2212828x y m m m+=<<--的（ ）A ．焦距相等B ．焦点相同C ．离心率相等D ．顶点相同【答案】A【分析】先分清两曲线分别是什么类型的曲线，再分别求出每个曲线的几何特征即可. 【详解】对于曲线()2216126x y m m m +=<-- ，1260m m ->-> ，是焦点在x 轴上的椭圆， 2222212,6,6,6a m b m c a b c =-=-=-==；对于曲线()2212828x y m m m +=<<-- ，20,80m m -<-> ，是焦点在y 轴上的双曲线， 222228,2,6,6a m b m c a b c =-=-=+== ；所以两曲线的焦距相同. 故选：A8．下列命题中的说法正确的是（ ）A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠”B ．命题“p q ∨”为真命题，则“命题p ”和“命题q ”均为真命题C ．“220a b +=，则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 不全为0，则220a b +≠”D ．命题“若空间向量a b =，则a b =”的逆命题是真命题 【答案】C【分析】利用否命题、逻辑连接词、逆否命题和逆命题的定义判断各选项即可. 【详解】命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x ≠，则1x ≠”，选项A 错误；命题“p q ∨”为真命题，则“命题p ”和“命题q ”均为真命题或其中一个为真命题，选项B 错误； “220a b +=，则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 不全为0，则220a b +≠”，选项C 正确； 命题“若空间向量a b =，则a b =”的逆命题为“若空间向量a b =，则a b =”，由于模长相等方向不一定相等，所以该命题为假命题，选项D 错误； 故选：C9．已知圆()22:316M x y ++=外一点()3,0N ，点P 是圆上任意一点，线段NP 的垂直平分线l 和直线MP 交于点Q ，则点Q 的轨迹方程为（ ） A ．22145x y -=B ．2211620x y -=C ．221167x y +=D ．2213627x y +=【答案】A【分析】结合双曲线的定义求得正确答案. 【详解】圆M 的圆心为()3,0M -，半径4r =， 由于线段NP 的垂直平分线l 交直线MP 于Q ， 所以QP QN =，所以4QN QM QP QM r MN -=-==<，所以Q 点的轨迹是双曲线，且3,24,2,c a a b === 所以Q 点的轨迹方程为22145x y -=. 故选：A10．椭圆22163x y +=中，以点11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为中点的弦所在直线斜率为（ ）A ．1B ．12C ．－1D ．12-【答案】C【分析】先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率．【详解】设弦的两端点为()11,A x y ，()22,B x y ，则12122,1x x y y +=+=，因为22112163⎛⎫ ⎪⎝⎭+<，所以点11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆22163x y +=内， 将()11,A x y ，()22,B x y 代入椭圆得22112222163163x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得()()()()12121212063x x x x y y y y -+-++=，即()()()()1212121263x x x x y y y y -+-+=-，即()()1212121236x x y y y y x x +--=+-， 即12123261y y x x -⨯-=⨯-， 即12121y y x x -=--， 所以弦所在的直线的斜率为1-. 故选：C ．11．直线1ax by +=与圆221x y +=有公共点是点(),P a b 在该圆外的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】结合直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系、充分和必要条件的知识确定正确答案. 【详解】圆221x y +=的圆心为()0,0，半径为1，当直线1,10ax by ax by +=+-=与圆221x y +=有公共点时，221,1a b ≤+≥，所以P 在圆上或圆外，所以直线1ax by +=与圆221x y +=有公共点是点(),P a b 在该圆外的必要不充分条件. 故选：B12．已知P 是抛物线24y x =上的一点，过点P 作直线2x =-的垂线，垂足为H ，设圆()()22:331C x y ++-=上任意一点Q ，则PQ PH +的最小值是（ ）A．1 B ．5 C ．6 D ．4【答案】B【分析】结合抛物线的定义以及圆的几何性质求得正确答案. 【详解】抛物线24y x =的焦点()1,0F ，准线方程为=1x -， 根据抛物线的定义可知1PH PF =+，圆()()22:331C x y ++-=的圆心为()3,3C -，半径1r =，min 1PQ PC =-，5CF ==所以115PQ PH PC PF PC PF CF +≥-++=+≥=, 所以当,,F P C 三点共线时，PQ PH +取得最小值5. 故选：B二、填空题13．抛物线28y x =-的准线方程是________． 【答案】132y =【分析】先将抛物线方程化为标准形式，即可得出其准线方程.【详解】因为抛物线28y x =-的标准方程为：218=-x y ，因此128=p ，即116=p ；所以其准线方程为：132y =. 故答案为：132y =【点睛】本题主要考查求抛物线的准线方程，熟记抛物线的标准方程即可，属于基础题型.14．过点)的等轴双曲线，其焦点到渐近线的距离是______．【分析】根据点)求得等轴双曲线的方程，求得双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，从而求得正确答案.【详解】当双曲线的焦点在x 轴上时，设等轴双曲线的方程为222x y a -=，由于等轴双曲线过点)，所以2312a =-=，所以a b ==2c =双曲线方程为22122x y -=，渐近线方程为y x =±，即0x y ±=，双曲线其中一个焦点()2,0到其中一条渐近线0x y -=的距离为2022，根据对称性可知，双曲线焦点到渐近线的距离是2.当双曲线的焦点在y 轴上时，设等轴双曲线的方程为222y x a -=， 由于等轴双曲线过点()3,1，所以2122a =-=-，不符合题意.综上所述，该等轴双曲线的焦点到渐近线的距离是2. 故答案为：215．点P 是椭圆22149x y +=上的一点，则点P 到直线2150x y +-=的距离最大值是______．【答案】45【分析】设()2cos ,3sin P θθ，θ为OP 与x 轴正半轴的夹角，由点线距离公式及辅助角公式即可求化简大值.【详解】设()2cos ,3sin P θθ，θ为OP 与x 轴正半轴的夹角，则点P 到直线2150x y +-=的距离为()225sin 154cos 3sin 15521d θϕθθ+-+-==+，其中43sin ,cos 55ϕϕ==，故()5sin 155154555d θϕ+---=≤=.故答案为：4516．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.【答案】26米【详解】如图建立直角坐标系，设抛物线方程为2x my =， 将A （2，-2）代入2x my =， 得m=-2，∴22x y =-，代入B ()0,3x -得06x =， 故水面宽为26米，故答案为26米． 【解析】抛物线的应用17．已知2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的右焦点，P 是双曲线右支上的一点，且2PF x ⊥轴，点A 是双曲线的左顶点，若222PF AF =，则双曲线的离心率为______． 【答案】3【分析】根据22222PF AF a c ==+，得到1PF ，2PF ，进而利用勾股定理，得到2222211PF F F PF +=，列方程计算可得答案.【详解】如图，22222PF AF a c ==+，又122PF PF a -=，则有142PF a c =+， 且12PF F △为直角三角形，2222211PF F F PF ∴+=，列方程得， 222(42)4()4a c a c c +=++，化简得22320a ac c +-=，再整理得，2230e e --=，解得3e =或1e =-（舍去） 故答案为：318．已知曲线22:1C mx ny +=有如下命题：1p ：若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上2p ：若0m n =>，则C3p ：若0mn <，则C是双曲线，其渐近线方程为y =4p ：若0m =，0n >，则C 是两条直线则下述命题中所有真命题的序号是______． ①14p p ∨②12p p ∧③()23p p ⌝∧④()()34p p ⌝∨⌝ 【答案】①③【分析】根据椭圆、圆、双曲线、直线的知识对四个命题进行分析，结合逻辑连接词的知识求得正确答案.【详解】依题意，曲线22:1C mx ny +=，1p ：若0m n >>，则110m n<<， 曲线22:111x y C m n +=表示焦点在y 轴上的椭圆，1p 为真命题. 2:p 若0m n =>，则曲线221:C x y n+=，=的圆，2p 是假命题，2p ⌝是真命题. 3:p 若0mn <，则当00m n >⎧⎨<⎩时，曲线22:111x y C m n -=-表示焦点在x 轴上的双曲线， 由22220,m mx ny y x n +==-，所以双曲线的渐近线方程为y =当00m n <⎧⎨>⎩时，曲线22:111y x C n m-=-表示焦点在y 轴上的双曲线， 由22220,m mx ny y x n +==-，所以双曲线的渐近线方程为y =综上所述，3p 是真命题，3⌝p 是假命题.4:p 若0m =，0n >，C的方程为21,y y n ==所以C 是两条直线，所以4p 是真命题，4p ⌝是假命题， 所以①14p p ∨为真命题；②12p p ∧为假命题； ③()23p p ⌝∧为真命题；④()()34p p ⌝∨⌝为假命题.所以真命题的序号①③. 故答案为：①③三、解答题19．已知圆C 经过点()2,0A -，()6,0B ，且圆心C 在直线y x =上． (1)求圆C 的一般方程；(2)若线段OP 的端点P 在圆C 上运动，端点O 为坐标原点，求线段OP 的中点M 的轨迹方程． 【答案】(1)2244120x y x y +---= (2)222230x y x y +---=【分析】（1）利用待定系数法即可求得圆C 的一般方程； （2）利用直接代入法即可求得点M 的轨迹方程.【详解】（1）设所求圆的C 的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，则圆心,22D E C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由题意得()2222066022D F D F E D ⎧⎪--+=⎪++=⎨⎪⎪-=-⎩，解得4412D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的C 的一般方程为2244120x y x y +---=. （2）依题意，设(),M x y ，()00,P x y ，因为M 为线段OP 的中点，()0,0O ，所以002,2x x y y ==，又因为点P 在圆C 上运动，所以22000044120x y x y +---=，故()()()()22224242120x y x y +-⨯-⨯-=， 整理得：222230x y x y +---=，所以点M 的轨迹方程为222230x y x y +---=.20．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l的参数方程为x y λ⎧=⎪⎨=⎪⎩（λ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设l 与C 交于P ，Q(1)求l 与C 的极坐标方程；(2)求PQ ．【答案】(1)l 的极坐标方程为()π6θρ=∈R ，圆C 的极坐标方程为2cos 0ρθ-=；(2)PQ =【分析】（1）先把参数方程化为直角坐标方程，再化为极坐标方程；（2）求出直线l 、圆C 的直角坐标方程和交点坐标，再由两点间的距离公式计算即可.【详解】（1）l的直角坐标方程为y =，化为极坐标方程为()π6θρ=∈R ， 将圆C 的参数方程1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩平方相加得()2211x y -+=， 化为极坐标方程为2cos 0ρθ-=；（2）设()()1122,,,P x y Q x y ，由()2211y x x y ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩得2203-=x x ，解得 1230,2x x ==， 当10x =时10y =，即()0,0P ， 当232x =时2y =32Q ⎛ ⎝⎭， 所以==P Q 21．已知抛物线顶点在原点，焦点在x 轴上，又知此抛物线上一点()3,Q m 到焦点的距离为4．(1)求此抛物线的方程．(2)若此抛物线方程与直线2y kx =+相交于不同的两点A ，B ，且AB 中点横坐标为4，求k 的值．【答案】(1)24y x =(2)1k =-【分析】（1）结合抛物线的定义求得p ，进而求得抛物线的方程.（2）联立直线2y kx =+的方程与抛物线的方程，化简写出根与系数关系，根据AB 中点的横坐标求【详解】（1）依题意，抛物线焦点在x 轴，且()3,Q m 的横坐标为正数，所以抛物线开口向右，设抛物线的方程为()220y px p =>，由于抛物线上一点()3,Q m 到焦点的距离为4，所以34,22p p +==， 所以抛物线方程为24y x =. （2）由224y kx y x=+⎧⎨=⎩消去y 并化简得()224440k x k x +-+=， 则()220Δ44160k k k ≠⎧⎪⎨=-->⎪⎩，016320k k ≠⎧⎨->⎩， 解得12k <且0k ≠， 设()()1122,,,A x y B x y ，则12244k x x k -+=-， AB 中点横坐标为4，所以2224k k --=， 解得1k =-或12k =（舍去）. 22．已知1F ，2F 椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点，椭圆上的任意一点P 使得124PF PF +=，且1PF 的最大值为2(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆经过椭圆的右顶点．求证直线l 过定点，并求出该定点的坐标．【答案】(1)22142x y += (2)证明详见解析，定点坐标为2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据已知条件求得,,a b c ，从而求得椭圆的标准方程.（2）对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线l 的方程并与椭圆的方程联立，化简写出根与系数关系，根据“以AB 为直径的圆经过椭圆的右顶点”列方程，由此求得定点坐标.【详解】（1）依题意，1242,2PF PF a a +===，由于1PF 的最大值为2a c +=c =所以b ==22142x y +=. （2）椭圆的右顶点为()2,0Q ，当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为()22x t t =-<<， 由22142x t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得22221242t t y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 设()()00,,,A t y B t y -，则22022t y =-， 由于以AB 为直径的圆经过椭圆的右顶点()2,0Q ，所以AQ BQ ⊥，()2002221222t y y t t t --⋅=-=----，解得23t =， 所以直线l 过2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭. 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+， 由22142y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并化简得()222124240k x kmx m +++-=， ()()2222221641224328160k m k m k m ∆=-+-=-+>，即22420k m -+>①.设()()1122,,,A x y B x y ，则2121222424,1212km m x x x x k k --+==++， 由于以AB 为直径的圆经过椭圆的右顶点()2,0Q ，所以AQ BQ ⊥，()()1212121212222y y y y x x x x ⋅==-----， ()()121222y y x x =---，()()()()121222kx m kx m x x ++=--- ，()()221212121224k x x km x x m x x x x +++=+--，()()()2212121240k x x km x x m ++-+++=，()()2222224412401212m km k km m k k--+⋅+-⋅++=++， 整理得()()3220m k m k ++=，23m k =-或2m k =-， 若23m k =-，代入①得222432422099k k k -+=+>，成立， 若2m k =-，代入①得2244220k k -+=>成立，所以直线l 的方程为2233y kx k k x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，过点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭； 或()22y kx k k x =-=-，过点()2,0Q ，不符合题意，舍去.综上所述，直线l 过定点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】求解直线过定点问题，关键点是研究直线方程中参数的关系，从而求得定点的坐标.有关直线和圆锥曲线相交的题目，要注意验证判别式是否成立.。
四川省师范大学附属中学2022-2023学年高二上学期期中考试理科数学试题
对于D，由 ，所以 是 和 的最大公约数，因此用更相减损术求294和84的最大公约数时，需做减法的次数是 ，故D错误；
故选：B.
8. 已知一个三棱锥的三视图如图所示，俯视图是等腰直角三角形，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该球的体积为（ ）
A. B. C. D.
A. 63B. 64C. 127D. 128
【答案】C
【解析】
【详解】由 及 是公比为正数的等比数列，得公比q=2，
所以 ．
6. 已知命题 “关于 的方程 有实根”，若非 为真命题的充分不必要条件为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出当命题 为真命题时 的取值范围，根据已知条件可得出关于实数 的不等式，即可求得 的取值范围.
（1）求样本的容量 及直方图中 的值；
（2）估计参加这次数学竞赛成绩的众数､中位数､平均数.
20. 已知圆 方程为
（1）若 时，求圆 与圆 ： 的公共弦所在直线方程及公共弦长；
（2）若圆 与直线 相交于 ， 两点，且 （ 为坐标原点），求实数 的值.
21. 如图，正三棱柱 中（底面是正三角形且侧棱与底面垂直的棱柱是正三棱柱），底面边长为 ，若 为 的中点.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意结合零点分析可得 ， ，结合等差数列的定义与前 项和公式求 ，再根据恒成立问题结合裂项相消法理解运算.
【详解】当 时，令 ，则 ，即 ，
由题意可得： ，
则 ，
∴ ，即 ，
故数列 是以首项为0，公差为1的等差数列，则 ，
当 时，则 ，
2022-2023学年四川省泸州市叙永第一中学校高二上学期期中考试数学(理)试题(解析版)
2022-2023学年四川省泸州市叙永第一中学校高二上学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．已知直线10x ay ++=和直线210x y -+=互相平行，则a 的值为（ ） A ．2 B ．2-C ．12D ．12-【答案】D【分析】直接利用两条直线平行的充要条件进行求解即可． 【详解】解：因为直线10x ay ++=和直线210x y -+=互相平行，所以1(1)201(1)10a a ⨯--=⎧⎨⨯--⨯≠⎩，解得12a =-．故选：D ．2．若a b >，则下列结论正确的是（ ） A ．22a b > B ．11a b> C ．22a b > D ．ln ln a b >【答案】C【分析】利用特殊值1a =-，4b =-判断选项A ，利用作差法判断选项B ，利用指数函数的单调性判断选项C ，利用对数的定义判断选项D ，【详解】解：因为a b >，若1a =-，4b =-，则22a b <，故选项A 错误； 因为11b a a b ab--=，当0ab >时，11a b <，故选项B 错误；因为2x y =在R 上为增函数，若a b >，则22a b >，故选项C 正确； 若0a b >>，则lna 和lnb 无意义，故选项D 错误． 故选：C ．3．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n 名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高二学生中抽取的人数应为（ ） A ．10 B ．9C ．8D ．7【答案】B【分析】由分层抽样的概念求解，【详解】设从高二学生中抽取的人数为x ，则7=210270x ，得9x =， 故选：B4．有一组样本数据12,,,n x x x ，由这组数据得到新样本数据12,,,n y y y ，其中()1,2,3,i i y x c i n =+=，c 为非零常数，则这两组样本数据（ ）A ．平均数相同B ．中位数相同C ．标准差不相同D ．极差相同【答案】D【分析】由各个统计量的概念判断， 【详解】对于A ，设12,,,n x x x 的平均数为x ，则12,,,n y y y 的平均数为x c +，对于B ，设12,,,n x x x 的中位数为m ，则12,,,n y y y 的中位数为m c +，对于C ，由方差与标准差的计算公式，可得12σσ=， 对于D ，max min max min x x y y -=-，两组样本数据极差相同 故选：D5．现有以下两项调查：①从100台刚出厂的电视机中抽取3台进行质量检查；②某社区有1000户家庭，其中高收入家庭100户，中等收入家庭820户，低收入家庭80户，为了调查家庭每年生活费的开支情况，计划抽取一个容量为50的样本，则完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是（ ） A ．①②都采用简单随机抽样 B ．①②都采用分层随机抽样C ．①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样D ．①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样 【答案】C【分析】根据简单随机抽样和分层抽样的特点，判断选项. 【详解】①的总体中的个体数较少，宜采用简单随机抽样，②中1000户家庭中收入存在较大差异，层次比较明显，宜采用分层抽样. 故选：C6．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖膳（biē nào ）.如图，网格纸上小正方形的边长1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑表面积为A ．6B ．21C ．27D ．54【答案】C【分析】结合三视图,还原直观图,计算表面积,即可. 【详解】结合三视图,还原直观图为已知3,4,3AB BC CD ===,则该四面体1111272222S AB BC AC CD AB BD BC CD =⋅+⋅+⋅+⋅=,故选C. 【点睛】本道题考查了三视图还原直观图,难度中等.7．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ） A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】D【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有27C 21=种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：()()()()()()()2,4,2,6,2,8,3,6,4,6,4,8,6,8，共7种， 故所求概率2172213P -==.故选：D.8．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，由下列四个命题，其中正确的是（ ） A ．若,m m n α⊥⊥，则//n α B ．若//,//m n αα，则//m n C ．若//,m αβα⊂，则//m β. D ．若//m β，m α⊂，则//αβ.【答案】C【解析】A 选项可能n ⊂α，B 选项两条直线位置关系不能确定，C 选项正确，D 选项两个平面相交也能满足//m β，m α⊂.【详解】A 选项，当,m m n α⊥⊥可能n ⊂α，所以该选项不正确；B 选项，平行于同一平面的两条直线可能平行，可能相交，可能异面，所以该选项不正确；C 选项，根据面面平行的性质，说法正确；D 选项，当两个平面相交，m α⊂且平行于交线，也满足//m β，m α⊂，所以不能推出面面平行. 故选：C【点睛】此题考查空间点线面位置关系的辨析，根据已知条件判断线面平行，线线平行和面面平行，关键在于熟练掌握相关定理公理.9．在一个实验中，某种豚鼠被感染A 病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数： 192 907 966 925 271 932 812 458 569 683 257 393 127 556 488 730 113 537 989 431 据此估计三只豚鼠都没被感染的概率为（ ） A ．0.25 B ．0.4 C ．0.6 D ．0.75【答案】A【分析】求得三只豚鼠都没有被感染的数量，结合题意，求解即可.【详解】20组数据中，都不含1,2,3,4的数据有5个，分别是：907，966，569，556，989； 故三只豚鼠都没被感染的概率为：50.2520=. 故选：A .10．若正数x ，y 满足32x y xy +=，则34x y +的最小值是（ ） A ．245B ．25C ．5D ．252【答案】D【分析】由基本不等式求解， 【详解】由题意得3132x y xy y x+=+=，则 31123()131323625(34)2222y xx y x y x y +++++=≥=，当且仅当123y x x y =即55,24x y ==时等号成立， 故选：D11．在如图的直角梯形ABCD 中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形面积”．可以简洁明了地推证出勾股定理，把这一证明方法称为“总统证法”．设15BEC ∠=︒，在梯形ABCD 中随机取一点，则此点取自等腰直角CDE 中（阴影部分）的概率是（ ）A ．23B ．34C 3D 2【答案】A【分析】根据()()()=ΩS A P A S 计算即可． 【详解】解：记此点取自等腰直角CDE 中（阴影部分）为事件A ， 此点取自梯形ABCD 为事件Ω， 在Rt CEB △中，·sin b c CEB =∠，·cos a c CEB =∠，()22222232?sin cos ?sin 302a b c c CEB CEB c c c ∴+=+∠⋅∠=+︒=， 212△=⋅DCE S c ，()221324梯形=⋅+=ABCD S a b c ，()()()22122334∴===Ωc S A P A S c ．故选：A ．12．若,x y 满足221+-=x y xy ，则（ ）A ．1x y +≥B ．2x y +≥C ．221x y +≤D ．222x y +≤【答案】D【分析】由基本不等式求解，【详解】由题意得222x y xy ≤+，即222221x x y y -++≤，得222x y +≤，当且仅当1x y ==±时等号成立，故C 错误，而0,1x y ==-时满足题意，故A ，B 错误， 故选：D二、填空题13．若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩， ，则z =3x +2y 的最大值为_________．【答案】7【分析】作出可行域，利用截距的几何意义解决. 【详解】不等式组所表示的可行域如图 因为32z x y =+，所以322x zy =-+，易知截距2z 越大，则z 越大，平移直线32x y =-，当322x zy =-+经过A 点时截距最大，此时z 最大， 由21y x x =⎧⎨=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，(1,2)A ，所以max 31227z =⨯+⨯=. 故答案为：7.【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14．从甲、乙等5名同学中随机选3名组成校庆志愿小分队，则甲、乙都不入选的概率为 ________. 【答案】110##0.1 【分析】由组合数与古典概型求解，【详解】由题意得甲、乙都不入选的概率为3511C 10p ==， 故答案为：11015．某产品的广告费用x （万元）与销售额y （万元）的统计数据如下表：若x 与y 之间是线性关系，且根据上表可得回归直线方程ˆ68y x =+，现发现表中有一个数据模糊看不清，该数据是___________. 【答案】31【分析】根据回归方程过样本中心点可得答案. 【详解】设表中模糊不清数据为m ，由表知6345109: 4.5,44m x y ++++===， 代人回归方程ˆ68yx =+中，得1096 4.584m+=⨯+，解得31.m = 故答案为：31.16．在三棱锥ABCD -中，平面ABC ⊥平面BCD ，ABC 与BCD △都是边长为6的正三角形，则该三棱锥的外接球的体积为________. 【答案】【分析】取BC 的中点为,,M E F 分别是正三角形ABC 和正三角形BCD 的重心，O 是该三棱锥外接球的球心，连接,,,,,AM DM OF OE OM OB ,可证明AM DM ⊥，通过几何关系可得到外接球的半径为OB =【详解】取BC 的中点为,,M E F 分别是正三角形ABC 和正三角形BCD 的重心，O 是该三棱锥外接球的球心，连接,,,,,AM DM OF OE OM OB ,则,E F 分别在,AM DM 上，OF ⊥平面BCD ，OE ⊥平面ABC ，AM BC ⊥，DM BC ⊥， 因为平面ABC ⊥平面BCD ，AM BC ⊥，平面ABC ⋂平面BCD BC =，AM ⊂平面,ABC 所以AM ⊥平面BCD ，所以//AM OF ，同理可得//DM OE ，所以四边形OEMF 是平行四边形， 因为AM BC ⊥，DM BC ⊥，AMDM M =，,AM DM ⊂平面ADM ，所以BC ⊥平面ADM ，又OM ⊂平面ADM ，所以OM BC ⊥， 因为AM ⊥平面BCD ，DM ⊂平面BCD ， 所以AM DM ⊥， ∵3633AM DM === ∴133EM FM AM ==∴四边形OEMF 为正方形，∴6OM = 在直角三角形OMB 中，球半径()22226315OB OM BM =++∴外接球体积为341520153ππ⨯=，故答案为：2015π三、解答题17．求下列不等式的解集： (1)2450x x -++<； (2)5131x x +<+. 【答案】(1){|1x x <-或5}x > (2){|11}x x -<<【分析】（1）由一元二次不等式的解法求解， （2）移项，通分后化简求解，【详解】（1）由2450x x -++<，得2450x x --> 解得1x <-或5x >.所以不等式的解集为{|1x x <-或5}x >； （2）由5131x x +<+，可得2201x x -<+， 等价于(1)(1)0x x -+<，解得11x -<<， 所以不等式的解集为{|11}x x -<<．18．某收费APP （手机应用程序）自上架以来，凭借简洁的界面设计､方便的操作方式和强大的实用功能深得用户的喜爱.该APP 所在的公司统计了用户一个月月租减免的费用x （单位：元）及该月对应的用户数量y （单位：万人），得到如下数据表格：已知x 与y 线性相关.(1)求y 关于x 的线性回归方程55211135,41.7i i i i i x x y ==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑；(2)据此预测，当月租减免费用为10元时，该月用户数量为多少？参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据(),(1,2,,)i i x y i n =，其回归直线y bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()1122211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nxybx x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =- 【答案】(1)0.320.06y x =- (2)3.14万人【分析】（1）根据已知数据，先求得,x y ，然后利用公式计算回归方程中的系数，得到回归方程； （2）利用回归方程估计.【详解】（1）解：由()13456755x =⨯++++=()11 1.1 1.5 1.9 2.2 1.54.5y =⨯++++=有241.755 1.54ˆ0.32, 1.540.3250.0613555ba -⨯⨯===-⨯=--⨯， 故y 关于x 的线性回归方程为0.320.06y x =-；（2）解：由（1）知回归方程为0.320.06y x =-，当10x =时，0.32100.06 3.14y =⨯-=， 所以预测该月的用户数量为3.14万人.19．已知某保险公司的某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的400名续保人在一年内的出险情况，得到下表：该保险公司这种保险的赔付规定如下：将所抽样本的频率视为概率．（1）求本年度续保人保费的平均值的估计值；（2）按保险合同规定，若续保人在本年度内出险3次，则可获得赔付()2.5 1.5a a a ++元；若续保人在本年度内出险6次，则可获得赔付()2.5 1.50.5a a a a +++元；依此类推，求本年度续保人所获赔付金额的平均值的估计值．【答案】（1）1.035a ；（2）0.945a .【分析】（1）得出保费0.9a ，a ，1.5a ，2.5a ，4a 对应的概率，即可得出本年度续保人保费的平均值的估计值；（2）先计算出每个赔偿金额对应的概率，然后按照平均值的计算公式得出本年度续保人所获赔付金额的平均值的估计值；【详解】（1）由题意可得保费（元）0.9a a 1.5a 2.5a4a概率0.7 0.2 0.06 0.03 0.01本年度续保人保费的平均值的估计值为0.90.70.2 1.50.06 2.50.0340.01 1.035⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=a a a a a a（2）由题意可得赔偿金额（元）0 2.5a4a5a 5.5a概率0.7 0.2 0.06 0.03 0.01本年度续保人所获赔付金额的平均值的估计值⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=a a a a a00.7 2.50.240.0650.03 5.50.010.94520．某学校为了了解高二年级学生数学运算能力，对高二年级的200名学生进行了一次测试.已知参x i=全部介于45分到95分之间，该校将所有分数分成5组：加此次测试的学生的分数(1,2,3,,200)i[45，55)，[55，65)，⋯，[85，95]，整理得到如下频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）.(1)求m的值，并估计此次校内测试分数的平均值x；x i=的方差2s，并判断此次得分为52分和94分的两名(2)试估计这200名学生的分数(1,2,3,,200)i同学的成绩是否进入到了[2,2]x s x s -+范围内？（参考公式：2211()n i i i s f x x n ==-∑，其中i f 为各组频数；参考数据：12911.4)≈【答案】(1)m 0.024=，75(2)129，进入【分析】（1）由各组的频率和为1，可求出m 的值，再根据平均数的定义可求出x ；（2）利用方差公式求出方差2s ，然后计算出[2,2]x s x s -+，再判断即可.【详解】（1）(0.0060.014++m 0.0360.020)101++⨯=．∴m 0.024=.∴该次校内考试测试分数的平均数的估计值为：500.06600.14700.24800.36900.275⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=分.（2）2211()n i i i s f x x n ==-∑ 222220.06(5075)0.14(6075)0.24(7075)0.36(8075)0.2(9075)=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-129=．∴s 12911.4=≈，∴252.2,297.8x s x s -=+=．∴得分为52分的同学的成绩没有进入到[52.2，97.8]内，得分为94分的同学的成绩进入到了[52.2，97.8]内．21．如图，四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，2PD AB ==，E 为PC 中点．(1)求证：DE ⊥平面PCB ；(2)求二面角E BD P --的余弦值．【答案】(1)证明见解析6【分析】（1）根据条件先证BC ⊥平面PCD ，得到BC ⊥DE ，再由DE ⊥PC ，即可证明DE ⊥平面PCB .（2）以点D 为坐标原点，分别以直线DA ，DC ，DP 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面BDE ，平面PDB 的法向量，即可求得二面角的余弦值.【详解】（1）证明:PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥BC ，又∵正方形ABCD 中，CD ⊥BC ，PD CD ＝D ，∴BC ⊥平面PCD ，又∵DE ⊂平面PCD ，∴BC ⊥DE ，∵PD ＝CD ，E 是PC 的中点，DE ⊥PC ，PC BC ＝C ，且PC ⊂面PCB ，BC ⊂面PCB∴DE ⊥平面PCB（2）以点D 为坐标原点，分别以直线DA ，DC ，DP 为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知：()()()()0,0,0,0,0,2,2,2,0,0,1,1,D P B E则()()2,2,0,0,1,1DB DE ==，设平面BDE 的法向量为(),,n x y z =，则220000x y n DB y z n DE ⎧+=⎧⋅=⇒⎨⎨+=⋅=⎩⎩， 令1z =，得到1,1y x =-=，()1,1,1n ∴=-又()()0,2,0,2,0,0C A ，则()2,2,0AC =-，且AC ⊥平面PDB ，∴平面PDB 的一个法向量为()1,1,0m =-，设二面角E BD P --的平面角为α，则1cos cos ,m n α+=<>== 所以二面角E BD P -- 22．已知函数()2()22f x ax a x =-++，a R ∈(1)求关于x 的不等式()0f x ≥的解集；(2)若存在0m >使关于x 的方程(21)xf -11m m=++有四个不同的实根，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2)(,4-∞--【分析】(1)对a 进行讨论，分别求出其解集即可；（2）先令11t m m =++ 由0m >，则可得3t ≥，再将关于x 的方程1(||)1f x m m=++有四个不同的实根，转化为2(2)20ax a x t -++-= 有两个不同正根，结合根与系数的关系，即可求解.【详解】（1）当a<0时，不等式的解集为或2{|1}x x a≤≤； 当0a =时，不等式的解集为 {|1}x x ≤；当02a <<时，不等式的解集为 {|1x x ≤或2}x a ≥； 当2a =时，不等式的解集为R ；当2a >时，不等式的解集为 2{|x x a ≤或1}x ≥； （2）当 0m > 时，令 1113s m m =++≥=，当且仅当1m =时取等号，设 |21|x t -=，则原方程可化为2()(2)20g t at a t s =-++-=.由题意知()0g t =在(0,1)有两个不等的实根.因为(0)20g s =-<，(1)0g s =-<，固有()()224200201a a s a aa ⎧⎪∆=+-->⎪<⎨⎪+⎪<<⎩解得4a <--故实数a的取值范围是(,4-∞--.。
辽宁省大连市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析
2023-2024学年度上学期期中考试高二年级数学科试卷（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.以下四个命题中，正确的是（）A.向量()1,1,3a =-与向量()3,3,6b =- 平行B.已知()()1,1,2,0,2,2A B --，则5AB =C.|()|||||||a b c a b c ⋅=⋅⋅ D.若{},,a b c 为空间的一个基底，则a b + ，b c + ，c a + 构成空间的另一基底2.已知直线l 的一个方向向量为()2,1-，且经过点()1,0A ，则直线l 的方程为（）A.10x y --=B.10x y +-=C.210x y --= D.210x y +-=3.如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱1111ABCD A B C D -中，122AAAB ==，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（）A.15B.25C.35D.454.已知椭圆22:14x C y +=，直线:20l x y -=，则l 与C 的位置关系为（）A.相交B.相切C.相离D.以上选项都不对5.已知()()()2,1,3,1,4,2,4,5,a b c λ=-=--= ，若,,a b c共面，则实数λ的值为（）A.6B.5C.4D.36.已知P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，12F F ､分别是椭圆的左､右焦点､若12PF F △的周长为6，且椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为1，则椭圆的离心率为（）A.12B.13C.2 D.37.已知圆22:64120,,C x y x y M N +--+=是圆上的两点，点()1,0A ，且AM AN λ=，则AM AN ⋅ 的值为（）A.B.7C. D.88.如图，在正四面体ABCD 中，点,N M 分别为ABC 和ABD △的重心，P 为线段CM 上点，且DP ⊥平面ABC ，设CP CM λ=，则λ的值为（）A.23B.12C.34D.35二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分）9.下列命题中是假命题的为（）A.若非零向量m 与平面α平行，则m所在直线与平面α也平行B.若平面,αβ的法向量分别为()()120,1,3,1,0,3n n ==，则//αβC.已知v 为直线l 的方向向量，n 为平面α的法向量，则//v n l α⊥⇔D.若两个空间非零向量,a b 满足0a b +=，则//a b10.圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为,A B ，则有（）A.公共弦AB 所在直线方程为0x y +=B.线段AB 中垂线方程为10x y +-=C.公共弦AB 的长为22D.P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB 距离的最大值为12+11.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，Q 是棱1DD 上的动点，则下列说法正确的是（）A.存在点Q ，使得11//C Q A CB.存在点Q ，使得11C Q A C⊥C.对于任意点Q ，Q 到1AC 的距离的取值范围为,23⎣⎦D.对于任意点Q ，1A CQ △都是钝角三角形12.已知椭圆222:1(2)3x y C a a +=>的左､右焦点分别为12,F F ，过椭圆C 上一点P 和原点O 作直线l 交圆222:4O x y a +=+于,M N 两点，下列结论正确的是（）A.椭圆C 离心率的取值范围是1,12⎛⎫⎪⎝⎭B .若12PF PF ⊥，且OP PM =，则2203a =C.若1260F PF ∠=，则12F PF S =D.若126PF PF ⋅=，则7PM PN ⋅=三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知空间向量,,a b c 两两夹角均为60︒，其模均为1，则23a b c +-= __________.14.已知圆22:(1)(1)16C x y -+-=，直线()():2240l m x y x y ---+-=.当直线l 被圆C 截得弦长取得最小值时，直线l 的方程为__________.15.已知点()11,1,A F 是椭圆22184x y+=的左焦点，P 是椭圆上任意一点.则1PF PA +的取值范围为__________.16.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是矩形，22,AD SA SD AB P ====为棱AD 的中点，且,SP AB M ⊥为棱SA 上的一点，若BM 与平面SBD 所成角的正弦值为4，则AM =__________.四､解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.已知圆心为C 的圆经过()()1,3,1,1A B -两点，且圆心C 在直线:0l x y +=上.（1）求圆C 的方程：（2）求过点()3,1-且与圆C 相切的直线方程.18.如图，直二面角D AB E --中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，,AE EB F =为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ，（1）求二面角B AC E --的正弦值：（2）求点D 到平面ACE 的距离.19.已知ABC 的顶点()2,0,B AB -边上的高所在的直线方程为470x y -+=.（1）求直线AB 的方程；（2）在两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.①角A 的平分线所在直线方程为10x y +-=；②BC 边上的中线所在的直线方程为3240x y +-=.若__________.求直线AC 的方程.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.20.已知椭圆Γ的中心是坐标原点O ，它的短轴长为，一个焦点F 的坐标为(),0(0)c c >，过点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆Γ交于,C D 两点，3CD =.（1）求椭圆Γ的方程；（2）若过点()3,0M 的直线与椭圆Γ相交于,P Q 两点，且OP OQ ⊥，求直线PQ 的方程.21.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，PAD 为等边三角形，平面PAD ⊥平面,ABCD PB BC ⊥.（1）求直线AC 与平面PBC 所成角的正弦值.（2）E 为线段PC 上一点.若直线AE 与平面ABCD 所成的角的正弦值为8，求平面ADE 与平面PBC 夹角的余弦值.22.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点1,,2M F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为椭圆C 的右焦点，O 为坐标原点，OFM △的面积为34.（1）求椭圆C 的标准方程：（2）椭圆C 的左､右两个顶点分别为,A B ，过点)K的直线m 的斜率存在且不为0，设直线m 交椭圆C 于点,M N ，直线n 过点()T 且与x 轴垂直，直线AM 交直线n 于点P ，直线BN 交直线n 于点Q ，则TPTQ是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.2023-2024学年度上学期期中考试高二年级数学科试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.以下四个命题中，正确的是（）A.向量()1,1,3a =-与向量()3,3,6b =- 平行B.已知()()1,1,2,0,2,2A B --，则5AB =C.|()|||||||a b c a b c ⋅=⋅⋅ D.若{},,a b c 为空间的一个基底，则a b + ，b c + ，c a + 构成空间的另一基底【答案】D 【解析】【分析】利用向量共线的坐标表示判断A ；求出向量的模长判断B ；根据数量积的定义求解判断C ；利用共面向量基本定理及基底的概念判断D.【详解】因为336113-=≠-，因此()1,1,3a =- 和()3,3,6b =- 不平行，A 错误；由()()1,1,2,0,2,2A B --，得(1,3,4)AB =--，因此||AB =B 错误；|()||||||cos ,|||a b c a b a b c ⋅=⋅⋅〈〉⋅ ，当|cos ,|1a b 〈〉≠ 时，|()|||||||a b c a b c ⋅≠⋅⋅，C 错误；假设()()a b b c c a λμ+=+++，,R λμ∈，因为{},,a b c 为空间的一个基底，则110λμμλ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，无解，所以a b + ，b c + ，c a + 不共面，即a b + ，b c + ，c a +构成空间的另一基底，D 正确.故选：D2.已知直线l 的一个方向向量为()2,1-，且经过点()1,0A ，则直线l 的方程为（）A.10x y --=B.10x y +-=C.210x y --=D.210x y +-=【答案】D 【解析】【分析】由直线的方向向量求出直线的斜率，再由点斜式求出直线方程.【详解】因为直线l 的一个方向向量为()2,1-，所以直线l 的斜率1122k -==-，又直线l 经过点()1,0A ，所以直线l 的方程为()112y x =--，即210x y +-=.故选：D3.如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱1111ABCD A B C D -中，122AAAB ==，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（）A.15B.25C.35D.45【答案】D 【解析】【分析】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值.【详解】在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 为正方形，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()1,0,0A 、()1,1,0B 、()11,0,2A 、()10,0,2D ，所以，()10,1,2A B =- ，()11,0,2AD =-，所以，11111144cos ,555A B AD A B AD A B AD ⋅==-⨯⋅，因此，异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为45.故选：D.4.已知椭圆22:14x C y +=，直线:220l x y -=，则l 与C 的位置关系为（）A.相交B.相切C.相离D.以上选项都不对【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，联立方程并借助一元二次方程判别式判断得解.【详解】由2222044x y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得：2210x x -=，显然2(2)41(1)60∆=-⨯⨯-=>，因此方程组2222044x y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩有两个不同的解，所以l 与C 相交.故选：A5.已知()()()2,1,3,1,4,2,4,5,a b c λ=-=--= ，若,,a b c共面，则实数λ的值为（）A.6B.5C.4D.3【答案】B 【解析】【分析】用向量a，b表示向量c，利用共面向量定理构造方程组，求解方程组即得结果.【详解】显然向量()2,1,3a =- 与()1,4,2b =-- 不平行，而a ，b ，c共面，则存在实数x ，y 使c xa yb =+，即()()()4,5,2,1,31,4,2x y λ=-+--，于是244532x y x y x y λ-=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩，解得325x y λ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以实数λ的值为5.故选：B6.已知P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，12F F ､分别是椭圆的左､右焦点､若12PF F △的周长为6，且椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为1，则椭圆的离心率为（）A.12B.13C.32D.3【答案】A 【解析】【分析】根据椭圆的定义和性质列式求,a c ，进而可得离心率.【详解】由题意可知：2261a c a c +=⎧⎨-=⎩，解得21a c =⎧⎨=⎩，所以椭圆的离心率12c e a ==.故选：A.7.已知圆22:64120,,C x y x y M N +--+=是圆上的两点，点()1,0A ，且AM AN λ=，则AM AN ⋅ 的值为（）A.B.7C. D.8【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，设出直线MN 的方程，与圆C 的方程联立，借助韦达定理及向量数量积的坐标表示求解即得.【详解】圆22:(3)(2)1C x y -+-=的圆心()3,2C ，半径1r =，由AM AN λ=，得点,,A M N 共线，显然直线MN 不垂直于坐标轴，设直线MN 的方程为1x ty =+2|22|47471331t t -+<⇔<<+，由221(3)(2)1x ty x y =+⎧⎨-+-=⎩消去x 得：22(1)4(1)70t y t y +-++=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则12271y y t =+，又111122(1,)(,),(,)AM x y ty y AN ty y =-== ，所以22121212(1)7AM AN t y y y y t y y ⋅=+=+= .故选：B8.如图，在正四面体ABCD 中，点,N M 分别为ABC 和ABD △的重心，P 为线段CM 上点，且DP ⊥平面ABC ，设CP CM λ=，则λ的值为（）A.23B.12C.34D.35【答案】B 【解析】【分析】根据正四面体的结构特征可知点P 为正四面体ABCD 内切球的球心，利用等体积法运算求解.【详解】在正四面体ABCD 中，若DP ⊥平面ABC ，所以DN CM P ⋂=，则点P 为正四面体ABCD 内切球的球心，设正四面体ABCD 内切球的半径为r ，因为D ABC P ABC P ABD P BCD P ACD V V V V V -----=+++，所以1111133333ABC ABC ABD BCD ACD S DN S r S r S r S r ⋅=⋅+⋅+⋅+⋅△△△△△，解得4DN r NP ==，而14MP N DN CM P ==，所以34CP CM = ，即34λ=.故选：C.二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分）9.下列命题中是假命题的为（）A.若非零向量m 与平面α平行，则m所在直线与平面α也平行B.若平面,αβ的法向量分别为()()120,1,3,1,0,3n n ==，则//αβC.已知v 为直线l 的方向向量，n 为平面α的法向量，则//v n l α⊥⇔D.若两个空间非零向量,a b 满足0a b +=，则//a b【答案】ABC 【解析】【分析】利用空间位置关系的向量证明判断ABC ；利用空间向量共线的意义判断D.【详解】若非零向量m 与平面α平行，则m所在直线可能与平面α平行，也可能在平面α内，A 是假命题；显然向量()()120,1,3,1,0,3n n ==不共线，因此平面,αβ不平行，B 为假命题；由v n ⊥ ，得v与平面α平行，则//l α或l ⊂α，C 为假命题；两个空间非零向量,a b 满足0a b +=，即a b =- ，则//a b ，D 为真命题．故选：ABC10.圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为,A B ，则有（）A.公共弦AB 所在直线方程为0x y +=B.线段AB 中垂线方程为10x y +-=C.公共弦AB 的长为22D.P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB距离的最大值为12+【答案】BD 【解析】【分析】两圆方程作差后可得公共弦方程，从而可判断A ；求出垂直平分线的方程判断B ；利用垂径定理计算弦长判断C ；求出圆1O 到直线的距离的最大值判断D ．【详解】圆2121)1:(x O y -+=的圆心1(1,0)O ，半径11r =，222:(1)(2)5O x y ++-=的圆心2(1,2)O -，半径2r =，显然122121||(,)O O r r r r =-+，即圆1O 与圆2O 相交，对于A ，将方程2220x y x +-=与22240x y x y ++-=相减，得公共弦AB 所在直线的方程为440x y -=，即0x y -=，A 错误；对于B ，由选项A 知，直线AB 的斜率1AB k =，则线段AB 中垂线的斜率为1-，而线段AB 中垂线过点1(1,0)O ，于是线段AB 中垂线方程为()011y x -=-⨯-，即10x y +-=，B 正确；对于C ，点1(1,0)O 到直线0x y -=的距离为2d ==，因此AB ==，C 错误；对于D ，P 为圆1O 上一动点，圆心1(1,0)O 到直线0xy -=的距离为2d =，因此点P 到直线AB 距离的最大值为112d r +=+，D 正确．故选：BD11.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，Q 是棱1DD 上的动点，则下列说法正确的是（）A.存在点Q ，使得11//C Q A CB.存在点Q ，使得11C Q A C⊥C.对于任意点Q ，Q 到1AC 的距离的取值范围为26,23⎣⎦D.对于任意点Q ，1A CQ △都是钝角三角形【答案】BC 【解析】【分析】根据题意，以A 为原点，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】由题知，在正方体1111ABCD A B C D -中，Q 是棱1DD 上的动点，建立以A 为原点，分别以AB ，AD ，I AA的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向的空间直角坐标系A xyz -．所以()10,0,1A ，()1,1,0C ，()11,1,1C ，设()0,1,Q a ，其中01a ≤≤，所以()11,0,1C Q a =-- ，()11,1,1A C =-，当11C Q A C λ= ，即()(1,0,1)1,1,1a λ--=-，所以101a λλλ-=⎧⎪=⎨⎪-=-⎩，显然方程组无解，所以不存在λ使得11C Q AC λ=，即不存在点Q ，使得11//C Q A C ，故A 项错误；当111010C Q A C a ⋅=-++-=时，解得0a =，故B 项正确；因为1(0,1,1)A Q a =-，其中01a ≤≤，所以点Q 到1AC=26,23=⎢⎣⎦，故C 项正确；因为()1,0,QC a =- ，()10,1,1QA a =--，其中01a ≤≤，所以2111cos ,0QC QA QC QA QC QA -⋅===≤，所以三角形1A CQ 为直角三角形或钝角三角形，故D 项错误．故选：BC ．12.已知椭圆222:1(2)3x y C a a +=>的左､右焦点分别为12,F F ，过椭圆C 上一点P 和原点O 作直线l 交圆222:4O x y a +=+于,M N 两点，下列结论正确的是（）A.椭圆C 离心率的取值范围是1,12⎛⎫⎪⎝⎭B.若12PF PF ⊥，且OP PM =，则2203a =C.若1260F PF ∠=，则12F PF S =D.若126PF PF ⋅=，则7PM PN ⋅=【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ：由椭圆的离心率e 的表达式及a 的范围，可得离心率的范围运算求解；对于B ：由题意，可得P 在以12F F 为直径的圆上，再由||||OP PM =，可得P 为OM 的中点，由圆的半径r 可得11||||22OP OM r c ===，从而求出2a 的值；对于C ：由椭圆的定义，结合解三角形的相关知识运算求解；对于D ：由余弦定理及椭圆的定义，可得||OP 的表达式，然后得到||PM ，||PN 的表达式，进而求出||||PN PM ⋅的值．【详解】对于选项A ：由椭圆的方程，可得椭圆的离心率c e a ==，因为2a >，所以24a >，所以2334a <，所以12e =>，结合椭圆的离心率(0,1)e ∈，可得1,12e ⎛⎫∈⎪⎝⎭，故A 正确；对于选项B ：若12PF PF ⊥，且OP PM =，则P 在以12F F 为直径的圆上，如图所示：所以122OP c c =⨯=，由题意可得2c =，即2244c a =+，所以224(3)4a a -=+，解得2163a =，故B 错误；对于选项C ：设12,PF m PF n ==，由椭圆的定义可得2m n a +=，可知122F F c =，在12PF F △中，由余弦定理可得：()222221423432=+-⨯=+-=-c m n mn m n mn a mn ，整理的4mn =，所以12122=⨯=V F PF S mn ，故C 正确；对于选项D ：因为12||||2PF PF a +=，所以22222121212||||(||||)2||||426412PF PF PF PF PF PF a a +=+-⋅=-⨯=-，在1PFO 中，由余弦定理，可得2221111||||||2||||cos PF OP OF OP OF POF =+-∠，①在2PF O △中，由余弦定理，可得2222222||||||2||||cos PF OP OF OP OF POF =+-∠，②而12||||OF OF c ==，12cos cos POF POF ∠=-∠，①+②，可得222212||||2||2PF PF OP c +=+，即2224122||2a OP c -=+，所以222222||2626(3)3OP a c a a a =--=---=-，所以2222||||(||)(||)||4(3)7PM PN r OP r OP r OP a a ⋅=-+=-=+--=，故D 正确．故选：ACD ．三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知空间向量,,a b c 两两夹角均为60︒，其模均为1，则23a b c +-= __________.【解析】【分析】利用空间向量数量积的运算法则计算即得.【详解】单位向量,,a b c 两两夹角均为60︒，则111cos 602a b b c c a ︒⋅=⋅=⋅=⨯⨯= ，所以23a b c +-====.14.已知圆22:(1)(1)16C x y -+-=，直线()():2240l m x y x y ---+-=.当直线l 被圆C 截得弦长取得最小值时，直线l 的方程为__________.【答案】40x y +-=【解析】【分析】先求出直线l 所过的定点P ，再根据当直线PC l ⊥时，直线l 被圆C 截得弦长取得最小值，求出直线l 的斜率，进而可得出答案.【详解】在直线()():2240l m x y x y ---+-=中，令22040x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，即直线l 过定点()2,2P ，圆()()22:1116C x y -+-=的圆心()1,1C ，半径4r =，当直线PC l ⊥时，直线l 被圆C 截得弦长取得最小值，直线PC 斜率21121PC k -==-，此时直线l 的斜率为1-，所以直线l 的方程为2(2)y x -=--，即40x y +-=.故答案为：40x y +-=15.已知点()11,1,A F 是椭圆22184x y+=的左焦点，P 是椭圆上任意一点.则1PF PA +的取值范围为__________.【答案】[32,52]【解析】【分析】利用椭圆的定义，把1PF 转化为P 到右焦点2F 的距离，再借助线段和差的三角形不等式求解即得.【详解】令2F 是椭圆22184x y+=的右焦点，显然2(2,0)F ，长半轴长22a =，222(21)(01)2F A =-+-=，由椭圆定义知，122242()PF PA a PF PA PA PF +=-+=+-，而222PA PF AF -≤=，当且仅当2,,P A F 共线时等号成立，于是222PA PF -≤-≤，因此当2F 在,P A 之间时，1PF PA +取得最大值52，当A 在2,P F 之间时，1PF PA +取得最小值32，所以1PF PA +的取值范围为[32,52].故答案为：[32,52]16.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是矩形，22,AD SA SD AB P ====为棱AD 的中点，且,SP AB M ⊥为棱SA 上的一点，若BM 与平面SBD 所成角的正弦值为34，则AM =__________.【答案】34##0.75【解析】【分析】根据给定条件，证得SP ⊥平面ABCD ，以P 为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即得.【详解】过点P 作//PE CD ，交BC 于点E ，由SD SA =，P 为AD 中点，得SP AD ⊥，又SP AB ⊥，且AD AB A ⋂=，,AD AB ⊂平面ABCD ，则SP ⊥平面ABCD ，而PE ⊂平面ABCD ，有SP PE ⊥，又ABCD 是矩形，则,,SP PA PE 两两垂直，以P 为原点，,,PA PE PS 所在直线分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，如图：由2AD SA SD ===，1AB =，P 为AD 中点，得3SP =，E 为BC 的中点，则点()0,0,0P ，(1,0,0)A ，3)S ，(1,1,0)B ，(1,0,0)D -，(2,1,0)DB = ，3DS = ,(3)AS =-，(0,1,0)BA =- ，令(3),01AM AS λλλλ==-≤≤，(,3)BM BA AM λλ=+=-- ，设平面SBD 法向量为(,,)m x y z = ，则2030m DB x y m DS x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1z =，得(3,23,1)m =- ，由BM 与平面SBD所成角的正弦值为4，得4||||cos ,||||BM m BM m BM m ⋅〈〉==，解得38λ=，所以3||||24AM AS λλ=== .故答案为：34四､解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.已知圆心为C 的圆经过()()1,3,1,1A B -两点，且圆心C 在直线:0l x y +=上.（1）求圆C 的方程：（2）求过点()3,1-且与圆C 相切的直线方程.【答案】（1）()()22114x y ++-=；（2）1y =-和433y x =-+.【解析】【分析】（1）求出线段AB 的垂直平分线方程，与已知直线方程联立求出圆心坐标及半径，即得圆的方程.（2）设出切线方程，借助点到直线距离公式即可求得切线方程.【小问1详解】设圆心(),C x y 依题意，,A B 的中点为(0,2)，直线AB 的斜率1AB k =-，则线段AB 的垂直平分线方程为20x y -+=，显然圆心C 在线段AB 的垂直平分线上，由020x y x y +=⎧⎨-+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，因此圆心C 的坐标是()1,1-，圆的半径2r AC ==，所以圆C 的方程是()()22114x y ++-=．【小问2详解】依题意，过点()3,1-且与圆C 相切的直线斜率存在，设该切线方程为1(3)y k x +=-，即310kx y k ---=，2=，解得0k =或43k =-，所以所求切线方程为1y =-和433y x =-+.18.如图，直二面角D AB E --中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，,AE EB F =为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ，（1）求二面角B AC E --的正弦值：（2）求点D 到平面ACE 的距离.【答案】（1）63；（2233【解析】【分析】（1）连接BD AC O ⋂=，连接OF ，利用几何法求出二面角B AC E --的正弦值.（2）由（1）中信息，求出点B 到平面ACE 的距离即得点D 到平面ACE 的距离.【小问1详解】连接BD AC O ⋂=，连接OF ，如图，由四边形ABCD 是边长为2的正方形，得BD AC ⊥，且O 为AC 的中点，BO =由BF ⊥平面ACE ，AC ⊂平面ACE ，得BF AC ⊥，而,,BD BF B BD BF ⋂=⊂平面BOF ，则AC ⊥平面BOF ，又OF ⊂平面BOF ，于是OF AC ⊥，因此BOF ∠是二面角B AC E --的平面角，由二面角D AB E --为直二面角，得平面ABCD ⊥平面ABE ，而平面ABCD ⋂平面ABE AB =，又CB AB ⊥，CB ⊂平面ABCD ，则有CB ⊥平面ABE ，,AE BE ⊂平面ABE ，则CB AE ⊥，由BF ⊥平面ACE ，AE ⊂平面ACE ，得BF AE ⊥，,,BC BF B BC BF =⊂ 平面BCE ，于是⊥AE 平面BCE ，而BE ⊂平面BCE ，则AE BE ⊥，又AE EB =，因此EB =显然CB BE ⊥，从而CE ==，由BF ⊥平面ACE ，,CE OF ⊂平面ACE ，得,BF CE BF OF ⊥⊥，于是3BC BE BF CE ⋅===，则sin 3BF BOF BO ∠==，所以二面角B AC E --的正弦值为3.【小问2详解】由（1）知，3BF =，O 为线段BD 的中点，即平面ACE 经过线段BD 的中点，因此点D 到平面ACE 的距离等于点B 到平面ACE 的距离，而BF ⊥平面ACE ，即点B 到平面ACE 的距离为线段BF 长3，所以点D 到平面ACE 的距离为3.19.已知ABC 的顶点()2,0,B AB -边上的高所在的直线方程为470x y -+=.（1）求直线AB 的方程；（2）在两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.①角A 的平分线所在直线方程为10x y +-=；②BC 边上的中线所在的直线方程为3240x y +-=.若__________.求直线AC 的方程.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.【答案】（1）420x y ++=；（2）470x y +-=.【解析】【分析】（1）根据直线垂直，求得斜率，利用点斜式方程，可得答案.（2）联立直线方程，求得点A 的坐标，选择条件①，②分别利用角平分线的对称或中线的对称，求解即得答案.【小问1详解】由AB 边上的高所在的直线方程为470x y -+=，得直线AB 的斜率14k =-，而ABC 的顶点()2,0B -，所以直线AB 的方程为：1(2)4y x =-+，即420x y ++=.【小问2详解】选①，角A 的平分线所在直线方程为10x y +-=，令该直线与边BC 交于点E ，由10420x y x y +-=⎧⎨++=⎩，解得21x y =⎧⎨=-⎩，即点A 坐标为(2,1)A -，设点B 关于10x y +-=的对称点为()00,B x y '，则000001221022y x x y -⎧=⎪+⎪⎨-⎪+-=⎪⎩，解得0013x y =⎧⎨=⎩，即B '坐标为(1,3)，显然点(1,3)B '在直线AC 上，则直线AC 的斜率13421AC k --==--，所以直线AC 的方程为34(1)y x -=--，即470x y +-=.选②，BC 边上的中线所在的直线方程为3240x y +-=，由4203240x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，解得21x y =⎧⎨=-⎩，即点A 坐标为(2,1)A -，设点11(,)C x y ，则BC 的中点112(,)22x y D -在直线3240x y +-=上，即113202242x y⋅+⋅-=-，整理得1132140x y +-=，又点11(,)C x y 在直线470x y -+=上，即11470x y -+=，由111132140470x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得110,7x y ==，即点(0,7)C ，直线AC 的斜率17420AC k --==--，所以直线AC 的方程为34(1)y x -=--，即470x y +-=.20.已知椭圆Γ的中心是坐标原点O ，它的短轴长为，一个焦点F 的坐标为(),0(0)c c >，过点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆Γ交于,C D 两点，3CD =.（1）求椭圆Γ的方程；（2）若过点()3,0M 的直线与椭圆Γ相交于,P Q 两点，且OP OQ ⊥，求直线PQ 的方程.【答案】（1）22162x y +=（2）()35y x =±-【解析】【分析】（1）根据短轴长和通径求,a b ，即可得椭圆方程；（2）设()()1122,,,P x y Q x y ，利用“设而不求法”把OP OQ ⊥转化为12120x x y y +=，求出斜率k ，即可求出直线方程.【小问1详解】因为短轴长为，所以b =，由题意可知：2243===b CD a a，解得a =，所以椭圆方程为22162x y +=.【小问2详解】因为点()3,0M 在椭圆22162x y +=外，所以过该点的直线PQ 的斜率必然存在，可设直线PQ 的方程为()3y k x =-，()()1122,,,P x y Q x y ，联立方程()221623x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 得()222213182760k x k x k +-+-=，则()()()()22222181327649604k k k k ∆--+-=-=->，解得33k -<<，由根与系数的关系可知:112222221827613,13x x x k x k k k -+++==，可得[]22121212233()913k y y k x x x x k=-++=+.由OP OQ ⊥得12120x x y y +=，即22222227633060131313k k k k k k --+==+++，解得:5k =±，符合0∆>，所以直线PQ的方程为()35y x =±-.21.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，PAD 为等边三角形，平面PAD ⊥平面,ABCD PB BC ⊥.（1）求直线AC 与平面PBC 所成角的正弦值.（2）E 为线段PC 上一点.若直线AE 与平面ABCD 所成的角的正弦值为38，求平面ADE 与平面PBC 夹角的余弦值.【答案】（1）24（2）1010【解析】【分析】（1）取AD 中点O ，连接OB ，OP .通过证明，OP OB AD OB ⊥⊥，可得3OB =，6PB =，由等体积法可求得点A 到平面PBC 的距离，进而可求线面夹角；（2）建立以O 为原点的空间直角坐标系，由直线AE 与平面ABCD 所成的角的正弦值为3010，可得232,3333E ⎛- ⎝.求得平面ADE 的法向量后，利用空间向量可得平面ADE 与平面PBC 夹角的余弦值.【小问1详解】取AD 中点O ，连接OB ，OP ，因为PAD 为等边三角形，则OP AD ⊥，且1,3OA OP ==又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，OP ⊂平面PAD ，所以OP ⊥平面ABC ，由OB ⊂平面ABCD ，可得OP OB ⊥，又因为PB BC ⊥，且//BC AD ，可得PB AD ⊥，且OP AD ⊥，OP ⊂平面POB ，PB ⊂平面POB ，OP PB P = ，所以AD ⊥平面POB .由OB ⊂平面POB ，可知AD OB ⊥，则3OB =，6PB =60BAD ∠=︒，在ACD 中，可知120ADC ∠=︒，由余弦定理可得AC =，设点A 到平面PBC 的距离为h ，则--=A PBC P ABC V V 即1133PBC ABC S h S OP =⋅⋅△△，解得62h =，所以直线AC 与平面PBC所成角的正弦值为224==hAC .【小问2详解】由（1）可知：分别以OA ，OB ，OP 为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则P，(C -，()1,0,0A ，()1,0,0D -，()B，可得(2PC =-，(OP = ，()2,0,0AD =-，(PB = ，设()01PE PC λλ=≤≤uur uu u r，则(2,)PE =-λ，()2OE OP PE λ=+=--，得E ()2λ--，则(2)AE λ=---，因为OP ⊥平面ABC ，则取平面ABCD 的法向量1(0,0,1)n =.，设AE 与平面ABCD 所成的角为θ，则1sin cos ,10AE n θ==，解得13λ=，则233E ⎛- ⎝，5333,AE ⎛=- ⎪⎝⎭.设平面ADE 的法向量2(,,)n x y z = ，则222053230333n AD x n AE x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，令2y =，则取平面ADE 的法向量2(0,2,1)n =-，设平面PBC 的法向量(,,)m a b c =，则20m PC a m PB ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1b =，则取平面PBC 的法向量(0,1,1)m =，故平面ADE 与平面PBC夹角的余弦值为222cos ,10⋅==⋅u r u u ru r u u ru r u u r m n m n m n.22.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点31,,2M F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为椭圆C 的右焦点，O 为坐标原点，OFM △的面积为34.（1）求椭圆C 的标准方程：（2）椭圆C 的左､右两个顶点分别为,A B，过点)K的直线m 的斜率存在且不为0，设直线m 交椭圆C 于点,M N ，直线n过点()T 且与x 轴垂直，直线AM 交直线n 于点P ，直线BN 交直线n 于点Q ，则TPTQ是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=（2）是定值，定值为1【解析】【分析】（1）根据已知条件列方程和代入法求得Γ的方程.（2）设出直线m 的方程并与曲线Γ的方程联立，化简写出根与系数关系，求得,P Q 两点的纵坐标，由此化简TPTQ来求得正确答案.【小问1详解】由题意可得222221314133224a b c a b c⎧+=⎪⎪⎪⨯⨯=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得22241a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的标准方程2214x y +=.【小问2详解】因为)K在椭圆2214x y +=内，则直线m 与椭圆必相交，且直线m 的斜率存在且不为0，设过点K 的直线m的方程为)0x ty t =+≠，1122(,),(,)M x y N x y联立方程2214x ty x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()22410t y ++-=，则121222231,44y y y y t t +=-=-++，可知12122()46=-=++t ty y y y t ，又因为()()2,0,2,0A B -，直线:=n x直线AM 的方程为()1122y y x x =++，则(1122=+P y y x ，同理可得(2222=-+-Q y y x ，所以(()()1221272-==-+TP y x TQyx ，其中()()1212112212222+-==+y ty ty y yy x y x)(11122)7772++--++=y y y y y，所以((771=⨯=--TP TQ（定值）.。
四川省绵阳市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题含答案
绵阳2024年秋季高2023级半期考试数学试题（答案在最后）本测评题分试题卷和答题卷两部份，试题卷共4页，满分150分，时间120分钟.注意事项：1、答题前，请将本人的信息用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔填在答题卡的对应位置上；2、选择题的答案，必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑；3、请用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔将每个题目的答案答在答题卷上每题对应的位置上，答在试题卷上的无效.作图一律用2B 铅笔或0.5毫米黑色签字笔；第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.直线020233=+-y x 的倾斜角是（）A.︒30 B.︒60 C.︒120 D.︒1502.在ABC ∆中，,6),0,2(),0,2(=+-AC AB C B 则顶点A 的轨迹方程（）A.)3(15922±≠=+x y xB.)2(14922±≠=+x y x C.15922=+y x D.14922=+y x 3.已知B 为)1,2,1(-A 在坐标平面Oyz 内的射影，则=OB ()A.3B.5C.2D.64.直线1sin cos :-+θθy x l 与圆22:1O x y +=的位置关系为（）A ．相离B ．相交C ．相切D ．无法确定5.与椭圆13622=+y x 共焦点且过)1,2(P 的双曲线方程为（）A ．2214x y -=B ．2212y x -=C ．2212x y -=D ．2213x y -=6.在平行六面体1111D C B A ABCD -中，,311MC AC =若,,,1c AA b AD a AB ===则1MD =（）A.c b a --31B.c b a 323231--C.c b a 3131-+D.a c b 323131-+7.已知四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PA ⊥平面ABCD ，1==PA AB ，点E 是BC 的中2024年11月点，则点E 到直线PD 的距离是（）A ．45B ．25 C.423D ．228.在平面直角坐标系Oxy 中，点)1,0(),0,1(),0,4(C B A ，若点P 满足2PA PB =，则22PC PO +的最大值为（）A ．7B ．9C ．11D ．13二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错项得0分.9.下列关于空间向量的命题中，是真命题的有（）A.将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面B.若非零向量c b a ,,，满足,//,//c b b a 则有c a //C.与一个平面法向量共线的非零向量都是该平面的法向量D.设OC OB OA ,,为空间的一组基底，且,2121OC OB OA OD ++=则D C B A ,,,四点共10.若方程11522=-+-m y m x 所表示的曲线为C ，则（）A ．曲线C 可能是圆B.当2=m 时，表示焦点在x 轴上的椭圆，焦距为2C ．若51<<m ，则C 为椭圆D ．若C 为椭圆，且焦点在x 轴上，则31<<m 11.过点()()0,R P t t ∈的直线与圆22:(2)3C x y -+=相切，切点分别为B A ,，则（）A ．当0t =时，3=AB B ．存在R t ∈，使得65π=∠APB C ．直线AB 经过点)0,21(D ．直线PC 与直线AB 的交点在定圆上三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请将答案填写在答题卷中的横线上.12.双曲线112422=-y x 的左右焦点分别是21,F F ，M 是双曲线左支上一点，且,51=MF 则=2MF .13.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,,F F 过2F 作x 轴垂线交椭圆于P ，若︒=∠3021PF F ，则该椭圆的离心率是.14.如图所示，在四面体ABCD 中，BCD ∆为等边三角形，2π=∠ADB ，则平面ABD 与平面ACD 夹角的最大值是.四、解答题：本题共5小题，满分77分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点)5,3(M ，AB 边所在直线的方程为,083=+-y x 点)6,0(N 在AD 边所在直线上．(Ⅰ)求AD 边所在直线的方程；(Ⅱ)求对角线AC 所在直线的方程．16.(15分)已知圆C 与y 轴相切，其圆心在x 轴的正半轴上，且圆C 被直线x y =截得的弦长为22.(Ⅰ)求圆C 的标准方程；(Ⅱ)若过点()0,3P 的直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程.第14题图17.（15分）如图所示，在几何体ABCDEFG 中，四边形ABCD 和ABFE 均为边长为2的正方形，//AD EG ，1EG =,平面ABCD ABFE 平面⊥M 、N 分别为DG 、EF 的中点.(Ⅰ)求证：//MN 平面CFG ；(Ⅱ)求直线AN 与平面CFG 所成角的正弦值．18．（17分）在平面直角坐标系Oxy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为)0,3(F ，短轴长为2.过点F 且不平行于坐标轴的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 的中点为M .(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值；(Ⅲ)求AOB ∆面积的最大值.19.(17分)定义：M 是圆C 上一动点，N 是圆C 外一点，记MN 的最大值为m ，MN 的最小值为n ，若2m n =，则称N 为圆C 的“黄金点”；若G 同时是圆E 和圆F 的“黄金点”，则称G 为圆“E F -”的“钻石点”.已知圆A ：()()221113x y +++=，P 为圆A 的“黄金点”(Ⅰ)求点P 的轨迹方程；(Ⅱ)已知圆B ：1)2()2(22=-+-y x ，P ，Q 均为圆“A B -”的“钻石点”.(ⅰ)求直线PQ 的方程；(ⅱ)若圆H 是以线段PQ 为直径的圆，直线31:+=kx y l 与圆H 交于I ，J 两点，对于任意的实数k ，在y 轴上是否存在一点W ，使得y 轴平分IWJ ∠？若存在，求出点W 的坐标；若不存在，请说明理由.绵阳2024年秋季高2023级半期考试数学试题参考答案一、选择题题号1234567891011选项AABCCDCDABCADACD三、填空题12.913.32-14.3π四、解答题15.解：(Ⅰ)法一：因为AB 边所在直线的方程为083=+-y x ，所以31=AB k ．又因为矩形ABCD 中，AB AD ⊥，所以3-=AD k ,所以由点斜式可得AD 边所在直线的方程为：)0(36--=-x y ，即063=-+y x ；法二：因为AB AD ⊥，设AD 边所在直线的方程为：03=++m y x 又因为直线AD 过点)6,0(N ，所以将点)6,0(N 代入上式得:6-=m ．所以AD 边所在直线的方程为：063=-+y x ；(Ⅱ)由⎩⎨⎧=-+=+-063083y x y x ，得：)3,1(A ，得AC 所在直线的方程：131353--=--x y ，即02=+-y x ．16.解：（Ⅰ）由题可设圆C 的方程为)0()(222>=+-a a y a x ，则有2222(2(a a =+，解得)(2舍负=a ；所以圆C 的标准方程为：4)2(22=+-y x ；（Ⅱ）因为43)20(22>+-，所以过P 的切线有两条，当l 斜率存在时，设切线方程为：3+=kx y 即03=+-y kx ，所以有：21322=++k k ，解得：125-=k ；所以l 的方程为：0036125==-+x y x 或。
江苏省扬州市扬州中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题(含答案)
江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试卷高 二 数 学 2024.11一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．圆的圆心和半径分别是（ ）A ．，1B ．，3C ．，2D ．，22．经过两点，的直线的斜率为（ ）A ．B ．C ．D ．3．椭圆x 225+y 216=1的焦点为为椭圆上一点，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知双曲线的离心率大于实轴长，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D．5．两平行直线与之间的距离为（ ）ABCD6．已知圆关于直线对称，则实数（ ）A ．1或B ．1C ．3D ．或37．已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为，若抛物线上一点满足|MF |=2，∠OFM =60°，则（ ）A ．3B ．4C ．6D ．88．如图，双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与该双曲线的两支分别交于、两点（在线段上），⊙与⊙分别为与的内切圆，其半径分别为、，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．(0，+∞)二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．下列说法正确的是（ ）A ．若，且直线不经过第二象限，则，.()()22232x y +++=()2,3-()2,3-()2,3--()2.3-(2,7)A (4,6)B 12-2-12212,,F F P 13PF =2PF =435722:1y C x m -=m (3,)+∞)+∞(0,3)320mx y --=4670x y --=22:330C x y mx y +-++=:0l mx y m +-=m =3-1-F M p =2218y x -=1F 2F 1F l A B A 1F B 1O 2O 12AF F △2ABF △1r 2r 12r r 1132⎛⎫ ⎪⎝⎭，1233⎛⎫⎪⎝⎭，1223⎛⎫ ⎪⎝⎭，0abc ≠0ax by c ++=0ab >0bc <B ．方程（）表示的直线都经过点.C ．，直线不可能与轴垂直.D ．直线的横、纵截距相等.10．已知曲线．点，，则以下说法正确的是（ ）A ．曲线C 关于原点对称B ．曲线C 存在点P，使得C ．直线与曲线C 没有交点D ．点Q 是曲线C 上在第三象限内的一点，过点Q 向作垂线，垂足分别为A ，B ，则.11．已知集合.由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论，正确的有（ ）A ．白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为B ．在阴影部分任取一点，则到坐标轴的距离小于等于3.C ．阴影部分的面积为.D ．阴影部分的内外边界曲线长为.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若双曲线的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角的大小为 .13．已知椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点的直线交椭圆于A 、B 两点，若，则该椭圆的离心率为 .14．已知为曲线y =1+4―x 2上的动点，则的最大值为 .四、解答题:本题共5小题，共77分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知△ABC 的顶点坐标是为的中点.(1)求中线的方程；(2)求经过点且与直线平行的直线方程.16．已知双曲线C :x 2a2―y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为为双曲线的右焦点，且点到直线的()()21250x y λλ++--=R λ∈()2,1m ∈R 220m x y ++=y 3310x y +-=:44C x x y y =-1F 2(0,F 124PF PF -=2y x =2y x =±45QA QB ⋅=(){}22,(cos )(sin )4,0πP x y x y θθθ=-+-=≤≤∣P 1M M 8π8π()222210,0y x a b a b -=>>22221(0)x y a b a b+=>>2F 1AB F B ⊥，14sin 5F AB ∠=(),P a b 223a b a b --++()()()2,0,6,2,2,3,A B C M --AB CM B AC ()5,,03F c F 2a x c=距离为.(1)求双曲线的方程；(2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值.17．已知，是抛物线：上的两点．(1)求抛物线的方程；(2)若斜率为的直线经过的焦点，且与交于，两点，求的最小值．18．椭圆与椭圆：有相同的焦点，且经过点.(1)求椭圆的方程；(2)椭圆的右焦点为，设动直线与坐标轴不垂直，与椭圆交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数.①证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标.②求△OMN 面积的最大值.19．定义：M 是圆C 上一动点，N 是圆C 外一点，记的最大值为m ，的最小值为n ，若，则称N 为圆C 的“黄金点”；若G 同时是圆E 和圆F 的“黄金点”，则称G 为圆“”的“钻石点”.已知圆165C ()12,0A P C PA PF +()6,2A m +()24,8B m +C ()221y px p =>C ()0k k ≠l C C P Q 2PQ k +C 1C 2212x y +=31,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭C C B l l C M N BM BN l x MN MN 2m n =E F -A ：，P 为圆A 的“黄金点”(1)求点P 所在曲线的方程.(2)已知圆B ：，P ，Q 均为圆“”的“钻石点”.①求直线的方程.②若圆H 是以线段为直径的圆，直线l ：与圆H 交于I ，J 两点，对于任意的实数k ，在y 轴上是否存在一点W ，使得y 轴平分？若存在，求出点W 的坐标；若不存在，请说明理由.()()221113x y +++=()()22221x y -+-=A B -PQ PQ 13y kx =+IWJ ∠江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试卷高二数学（参考答案）2024.11参考答案：题号12345678910答案C A D A C C A C BD CD 题号11 答案ABD8．【详解】设，∴S △AF 1F 2=12r 1(8+2m )=(4+m )r 1，S △ABF 2=12r 2(2m +2p )=(m +p )r 2，.在△与△中：，即，，当双曲线的斜率为正的渐近线时，取最大，此时，，当与轴重合时，取最小，此时，经上述分析得：，.故选：C.10．【详解】当时，曲线，即；当时，曲线，即；不存在；时，曲线，即；时，曲线，即；画出图形如右：对于A ，由图可得A 错误，故A 错误；对于B ，方程是以为上下焦点的双曲线，当时，曲线C 存在点P ，使得，故B 错误；对于C ，一三象限曲线的渐近线方程为，所以直线与曲线C 没有交点，故C 正确；对于D ，设，设点在直线上，点在直线，11222,,6,2,2AF m BA p F F AF m BF m p ====+=+-()()11224m r S m S p m p r +∴==+12AF F 2AF B 122cos cos F AF F AB ∠=-∠()()()()()2222222262222224m m m p m p m p m m m pm++-++-+-=-⇒=⋅⋅+⋅+⋅-32212324444444m m r m mp m m m r p mp m m m++-∴===+++--//l m p →+∞404m m ∴-=⇒=l x m 2m =()2,4m ∈1212,23r r ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭0,0x y ≥>22:44C x y =-2214y x -=0,0x y ≥<22:44C x y =--2214y x +=-0,0x y ≤≥22:44C x y -=-2214y x +=0,0x y <≤22:44C x y -=--2214y x -=2214y x -=12,F F 0,0x y ≥>214PF PF -=2y x =2y x =()00,Q x y A 2y x =B 2y x =-又点Q 是曲线C 上在第三象限内的一点，代入曲线方程可得，故D 正确；故选：CD.11．【详解】对于A ，由于，令时，整理得，解得，“水滴”图形与轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为，点，白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为，故A 正确；对于B ，由于，整理得：，所以，所以到坐标轴的距离为或，因为，所以，，所以到坐标轴的距离小于等于3，故B正确；对于C ，由于，令时，整理得，解得，因为表示以为圆心，半径为的圆，则，且，则在x 轴上以及x 轴上方，故白色“水滴”的下半部分的边界为以为圆心，半径为1的半圆，阴影的上半部分的外边界是以为圆心，半径为3的半圆，根据对称可知：白色“水滴”在第一象限的边界是以以为圆心，半径为2的圆弧，设，则，即AN 所对的圆心角为，同理AM 所在圆的半径为2，所对的圆心角为，阴影部分在第四象限的外边界为以为圆心，半径为2的圆弧，设，可得，DG 所对的圆心角为，同理DH 所在圆的半径为2，所对的圆心角为，故白色“水滴”图形由一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成，22004455x y QA QB -⋅==22(cos )(sin )4x y θθ-+-=0x =[]32sin 0,2y yθ=-∈[1]y ∈- y (0,1)B -||1AB =22(cos )(sin )4x y θθ-+-=2cos cos 2sin sin x y αθαθ=+⎧⎨=+⎩2cos cos ,2sin sin )(M αθαθ++M ||2cos cos αθ+|2sin sin |αθ+cos [1,1],sin [0,1]θθ∈-∈2cos cos ||2cos ||cos |213|αθαθ+≤+≤+=|2sin sin ||2sin ||sin |213αθαθ+≤+≤+=M 22(cos )(sin )4x y θθ-+-=0y =[]32cos 2,2y yθ=-∈-[3,1][1,3]x ∈-- 22(cos )(sin )4x y -+-=θθ()cos ,sin Q θθ2r =13r OQ OP OQ r =-≤≤+=0πθ≤≤()cos ,sin Q θθO O ()1,0M -()1,0N 2AN AM MN ===π3π3()1,0N ()()3,0,3,0G H -π1,3ON OD OND ==∠=2π32π3所以它的面积是.轴上方的半圆（包含阴影和水滴的上半部分）的面积为，第四象限的阴影和水滴部分面积可以看作是一个直角三角形和一个扇形的面积的和，且等于所以阴影部分的面积为C 错误；对于D ，轴上方的阴影部分的内外边界曲线长为，轴下方的阴影部分的内外边界曲线长为，所以阴影部分的内外边界曲线长为，故D 正确.故选：ABD.12．13【详解】如图，设，因为，所以．由椭圆定义可知，，由，可得，所以．在Rt △F 1BF 2中，由，可得，即得，故得14．【详解】曲线，由于在曲线上，令，则，（其中），，又，，当时取得最大值15．【详解】（1）因为，所以，212π111π2π1222326S S S S ⎛=++=⨯⨯+⨯+⨯=⎝V 弓形半圆x 219π3π22⨯=2114π21π323⨯⨯+=941116π2(πππ2363++-=+x 1π4132π3223πππ2333⨯⨯+⨯⨯=+=x 111112π1(2π2π2)2π2233⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=13π11π8π33+=π314BF t =1AB F B ⊥，14sin 5F AB ∠=15,3AF t AB t ==21212=25,224AF a AF a t BF a BF a t =--=-=-22493AB AF BF a t t =+=-=13t a =1242,33BF a BF a ==2221212||||||F F BF BF =+222424(()33a a c =+2295c a =c e a ==9+1y =()()22141x y y +-=≥(),P a b ()2cos ,0π12sin a b θθθ=⎧≤≤⎨=+⎩()()222232cos 12sin 32cos 12sin a b a b θθθθ--++=---+++2cos 2sin 454sin 42sin 2cos 54sin θθθθθθ=--++=+-++()96sin 2cos 9θθθϕ=+-=+-sin ϕ=cos ϕ=π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭[][]0,π,πθθϕϕϕ∈∴-∈-- π,02ϕ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭ππ,π2ϕ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∴π2θϕ-=223a b a b --++9+()()2,0,6,2A B -()4,1M -故的方程是，即；（2）因为直线的斜率，所以经过点且与直线平行的直线方程为，即.16．【详解】（1）由题意知，解得，则，所以双曲线的方程为.（2）记双曲线的左焦点为，则，可得，当三点共线时，最小，且最小值为.故的最小值为.17．【详解】（1）∵，是抛物线C ：上的两点，∴，则，整理得，解得， 当时，，解得，不合题意；当时，，解得．故抛物线C 方程为y 2=6x ．（2）由（1）知C 的焦点为，故直线l 的方程为，联立，得，必有，设，，则，∴， ∴，即所以的最小值为18．【详解】（1）椭圆：的焦点坐标为，所以椭圆的焦点坐标也为，即得焦距为，∵椭圆过点，∴，CM 143124y x +-=+--2350x y +-=AC 303224ACk -==---B AC ()3264y x +=--34100x y +-=253165c a a c c ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩35a c =⎧⎨=⎩4b ==C 221916x y -=C 0F ()05,0F -0026PA PF PA PF a PA PF +=++=++0,,P F A 0PA PF +017AF =PA PF +17623+=()6,2A m +()24,8B m +()221y px p =>()()22212,848m p m p⎧+=⎪⎨+=⎪⎩()()22842m m +=+216m =4m =±4m =-()21224p m =+=113p =<4m =()212236p m =+=31p =>3,02⎛⎫⎪⎝⎭32y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2632y xy k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩()222293604k x k x k -++=0∆>()11,P x y ()22,Q x y 212236k x x k ++=2122236636k PQ x x p k k+=++=+=+222666PQ k k k +=++≥+226k k=2k =2PQ k +6+1C 2212x y +=()1,0±C ()1,0±22c =C 31,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭24a +=∴，，∴椭圆的标准方程为.（2）①设直线：（），由，得，设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，所以，，所以，因为直线和的斜率互为相反数，所以，所以，所以，所以.即，所以，因为，所以，所以动直线恒过轴上的定点②由①知，，且，即，又S △OMN =12⋅|OT |⋅|y 1―y 2|=12⋅4⋅(y 1+y 2)2―4y1y 2令，则，∴S △OMN=24⋅n (3n +16)2≤24⋅n (2⋅3n⋅16)2=24⋅n 4⋅3n ⋅16=3（当且仅当时取“＝”）∴(S △OMN )max =3.19．【详解】（1）因为点P 为圆A 的“黄金点”，即，所以点P的轨迹是以AP 所在曲线的方程为（2）①因为P 为圆B 的“黄金点”，则所以，即点P 在圆上，则P 是圆和的交点.因为P ，Q 均为圆“”的“钻石点”，所以直线即为圆和的公共弦所在直线，2a =b =22143x y +=l x my t =+0m ≠223412x my t x y =+⎧⎨+=⎩()2223463120m y mty t +++-=122634mt y y m +=-+212231234t y y m -=+()()()()1221121212111111MF NF y x y x y yk k x x x x -+-+=+=----()()()()1221121111y my t y my t x x +-++-=--BM BN 0MB NB k k =+()()()()12211211011y my t y my t x x +-++-=--()()1221110y my t y my t +-++-=()()1212210my y t y y +-+=()22231262103434t mtm t m m --⨯+-⨯=++()640m t -=0m ≠4t =l x ()4,0T 1222434m y y m +=-+1223634y y m =+()()22Δ24434360m m =-+⋅>24m >224==240n m =->24m n =+316n ==PA =()()2211 3.x y +++=()121PB PB +=-||3PB =()()22229x y -+-=()()22113x y +++=()()22229x y -+-=A B -PQ ()()22113x y +++=()()22229x y -+-=两圆方程相减可得，故直线的方程为.②设的圆心为的圆心为，半径为.直线的方程为，得的中点坐标为，点S 到直线，则，所以圆H 的方程为.假设轴上存在点满足题意，设，.若轴平分，则，即，整理得又，所以代入上式可得，整理得①，由可得，所以x 1+x 2=―23k k 2+1,x 1x 2=―89k 2+1，代入①并整理得，此式对任意的都成立，所以.故轴上存在点，使得轴平分.0x y +=PQ 0x y +=22(1)(1)3x y +++=(11),S --()()22229x y -+-=(2,2)T 3ST y x =PQ (0,0)0x y +==12PQ ==221x y +=y (0),W t ()()1122,,,I x y J x y 120x x ≠y IWJ ∠0IM JW k k +=12120y t y tx x --+=()()21120.x y t x y t -+-=11223,113y kx y kx =+=+211211)33(()0x kx t x kx t +-++-=()12121203kx x t x x ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭22131y kx x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩()22281039k x kx ++-=2203k kt -+=k 3t =y ()0,3W y IWJ ∠。
北京市育才2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题含解析
2024-2025年度第一学期北京育才高二数学期中考试试卷（答案在最后）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.圆2221x y y ++=的半径为A.1 B.C.2D.4【答案】B 【解析】【详解】试题分析：由题意得，圆2221x y y ++=，可化为22(1)2x y ++=，所以R =B ．考点：圆的标准方程．2.椭圆221178x y +=的焦点坐标为（）A.(5,0)，(5,0)-B.(3,0)，(3,0)-C.(0,5)，(0,5)-D.(0,3)，(0,3)-【答案】B 【解析】【分析】根据椭圆的标准方程，求得,,a b c 的值，即可求得椭圆的焦点坐标，得到答案.【详解】由题意，椭圆221178x y +=，可得2217,8a b ==，则3c ==，所以椭圆的焦点坐标为(3,0)和(3,,0)-.故选：B.3.圆221:4C x y +=与圆222:(3)1C x y -+=的位置关系为（）A.外离B.外切C.相交D.内切【答案】B 【解析】【分析】根据圆心距与半径的关系判断.【详解】由题意，圆221:4C x y +=，则圆心()10,0C ，半径12r =，圆222:(3)1C x y -+=，则圆心()23,0C ,半径21r =，所以两圆圆心距1212||3C C r r ==+，所以两圆外切.故选：B.4.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面ABCD 的中心，E ，F 分别是1,CC AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成角的余弦值等于（） A.105B.155C.45D.23【答案】B 【解析】【分析】取BC 的中点G ，连接GC 1，则GC 1//FD 1，再取GC 的中点H ，连接HE 、OH ，则∠OEH 为异面直线所成的角，在△OEH 中，利用余弦定理可得结论．【详解】取BC 的中点G ．连接GC 1，则GC 1//FD 1，再取GC 的中点H ，连接HE 、OH ，如图所示，∵E 是CC 1的中点，∴GC 1//EH ，∴∠OEH 为异面直线OE 和1FD 所成的角．在△OEH中，OE =HE＝11522GC ==，OH ＝52．由余弦定理，可得cos ∠OEH＝2221525OE EH OH OE EH+-==⋅．故选：B【点睛】本题考查异面直线所成的角，考查余弦定理的运用，解题的关键是作出异面直线所成的角，属于中档题．5.圆22(2)5x y ++=关于原点()0,0O 对称的圆的方程为（）A .22(2)5x y ++= B.22(2)5x y +-=C.22(2)5x y -+=D.22(2)5x y ++=【答案】C 【解析】【分析】先求出圆心关于原点的对称点，从而可求出所求圆的方程.【详解】圆22(2)5x y ++=的圆心为(2,0)-，因为点(2,0)-关于原点()0,0O 对称点为(2,0)，所以圆22(2)5x y ++=关于原点()0,0O 对称的圆的方程为22(2)5x y -+=，故选：C.6.如果方程221x ky +=表示焦点在x 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围（）A.−∞,1 B.()1,+∞ C.()0,1 D.()(),01,-∞⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】由椭圆的标准方程，明确,a b 的取值，根据焦点的位置，设不等式，可得答案.【详解】由方程221x ky +=，则=1a，=b k，即101k <<，可得1k >.故选：B.7.已知点P 是圆22:(3)1C x y -+=上一点，则点P 到直线:3460l x y ++=的距离的最小值为（）A.0B.1C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】首先求出圆心到直线的距离，再减去半径，即可求解.【详解】圆22:(3)1C x y -+=的圆心为()3,0，半径为1，3=，所以点P 到直线:3460l x y ++=的距离的最小值为312-=.故选：C.8.“1a =”是“直线()110ax a y +--=与直线()110a x ay -++=垂直”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据两直线垂直可构造方程求得a 的值，由推出关系可得结论.【详解】由两直线垂直可得：()()110a a a a -+-=，解得：0a =或1a =；10a a =⇒= 或1a =，0a =或11a a ==¿，∴“1a =”是“直线()110ax a y +--=与直线()110a x ay -++=垂直”的充分不必要条件.故选：A .9.已知直线x y a +=与圆224x y +=交于,A B 两点，且OA OB OA OB +=-（其中O 为坐标原点），则实数a 的值为A.2 B.C.2或2- D.或【答案】C 【解析】【详解】分析：利用OA ⊥OB ，OA=OB ，可得出三角形AOB 为等腰直角三角形，由圆的标准方程得到圆心坐标与半径R ，可得出AB ，求出AB 的长，圆心到直线y=﹣x+a 的距离为AB 的一半，利用点到直线的距离公式列出关于a 的方程，求出方程的解即可得到实数a 的值．详解：∵OA ⊥OB ，OA=OB ，∴△AOB 为等腰直角三角形，又圆心坐标为（0，0），半径R=2，∴=∴圆心到直线y=﹣x+a 的距离d=12，∴|a|=2，∴a=±2．故答案为C ．点睛：这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理和垂径定理.10.在空间直角坐标系O xyz -中，已知()1,2,2a =- ，(),,a b x y z += ，其中2221x y z ++=，则b 的最大值为（）A.3B.1+C.D.4【答案】D 【解析】【分析】根据题意，求得()1,2,2b x y z =--+，根据其几何意义，代入计算，即可得到结果.【详解】因为()1,2,2a =- ，(),,a b x y z +=，则()1,2,2b x y z =--+ ，且2221x y z ++=，其中点(),,x y z 可以看作球心在原点，半径为1的球上的点所以b =()1,2,2-距离，最大值为球心到点()1,2,2-的距离再加球的半径，14=.故选：D二、填空题：本大题共5题，每小题6，共25分11.写出一个圆心在直线0x y -=上，且经过原点的圆的方程：______．【答案】22(1)(1)2x y -+-=（答案不唯一）【解析】【分析】利用圆心在直线0x y -=上设圆心坐标为(,)C a a ，由于圆过原点，得半径0)r a =≠，对a 赋值，可得一个符合条件的圆的方程.【详解】解：因为圆心在直线0x y -=，则设圆心坐标为(,)C a a 又圆经过原点则圆的半径为r OC ===，且0a ≠故取1a =，得圆心为(1,1)C ，半径r =所以圆的方程为：22(1)(1)2x y -+-=.故答案为：22(1)(1)2x y -+-=（答案不唯一）12.过点()1,4A -的直线将()()22231x y -+-=的面积分为相等的两部分，求直线方程______.【答案】3110x y +-=【解析】【分析】根据圆的对称性先判定直线过圆心，利用两点式计算直线方程即可.【详解】因为直线将()()22231x y -+-=的面积分为相等的两部分，所以该直线过圆心()2,3，由两点式知该直线方程为3231104312y x x y --=⇒+-=---.故答案为：3110x y +-=13.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为CD 的中点，则直线1A E 与平面ABCD 所成角的正切值为______.【答案】255##255【解析】【分析】连接AE ，利用正方体的特征及线面角的定义计算即可.【详解】连接AE ，易知1AA ⊥底面ABCD ，所以1AEA ∠为所求角，不妨设正方体棱长为2，则112255,tan 55AA AE AEA AE =∠===.故答案为：25514.已知点()2,2A --，点P 在圆22:20C x y x ++=上，则AP 的取值范围是______；若AP 与圆C 相切，求切线AP 的方程______.【答案】①.1⎤-+⎦②.2x =-或3420x y --=【解析】【分析】利用点与圆的位置关系计算可得第一空；利用直线与圆的位置关系结合点到直线的距离公式分类讨论计算即可得第二空.【详解】易知点A 在圆C 外，且()2222:2011C x y x x y ++=⇒++=，即圆心()1,0C -，半径1r =，AC =，则AC r AP AC r -≤≤+，即1AP ⎤∈⎦；若直线AP 斜率不存在，即:2AP l x =-，此时圆心C 到直线AP 的距离等于半径，满足题意；若直线AP 斜率存在，不妨设其方程为：()22y k x =+-，则圆心C 到直线AP的距离()22112d k k ==⇒+=-，解之得34k =，此时直线AP 方程为3420x y --=.故答案为：1⎤-⎦；2x =-或3420x y --=15.数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线C ：()3222216x y x y +=恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：①曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2；③曲线C 围成区域的面积大于4π；④方程()()32222160x y x y xy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是______.【答案】②④【解析】【分析】利用基本不等式得224x y +≤，可判断②；224x y +=和()3222216x y x y +=联立解得222x y ==可判断①③；由图可判断④.【详解】作出圆224x y +=和四叶玫瑰线()3222216x y x y +=的图示如下图所示：()2223222216162x y xyx y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，解得224x y +≤（当且仅当2x y ==时取等号），则②正确；将224x y +=和()3222216x y x y +=联立，解得222x y ==，即224x y +=与曲线C 相切于点，(，(，，则①和③都错误；由0xy <，得④正确.综上，正确命题为：②④.故答案为：②④【点睛】本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.三、解答题：本大题共6小题，共85分.16.在平面直角坐标系中，已知()3,7A -，()2,2B ，()5,1C ，线段AC 的中点为M .（1）求过点M 与直线BC 平行的直线方程；（2）求△ABC 的面积.【答案】（1）3130x y +-=（2）5【解析】【分析】（1）由点()3,7A -，()5,1C 求出AC 的中点坐标()1,4M 和BC 的斜率，进而求出方程，（2）由（1）可知BC 的斜率求出BC 的直线方程，再点A 到直线BC 的距离，根据面积公式，求出结果.【小问1详解】∵()3,7A -，()5,1C ，∴AC 的中点坐标()1,4M ，又直线BC 的斜率121523k -==--，∴过M 点和直线BC 平行的直线方程为()1413y x -=--，即3130x y +-=.【小问2详解】由（1）可知BC 的斜率13k =-，直线BC 的方程为()1223y x -=--，即380x y +-=，∴点A 到直线BC 的距离d ==，又B 、C 两点间距离BC ==∴△ABC 的面积11522S BC d =⨯⨯==.17.已知圆C 过原点O 和点()1,3A ，圆心在x 轴上.（1）求圆C 的方程；（2）直线l 经过点()1,1，且l 被圆C 截得的弦长为6，求直线l 的方程.【答案】（1）22(5)25x y -+=（2）1x =或15870x y --=【解析】【分析】（1）设圆C 的圆心坐标为(),0a ，由已知列出方程，求得a ，进而求得半径，即可得出结果；（2）设出直线方程，利用垂径定理，列方程求出直线的斜率即可得出结果.【小问1详解】设圆C 的圆心坐标为(),0a .=5a =从而圆C 的半径为5r ==，所以圆C 的方程为22(5)25x y -+=.【小问2详解】依题意，圆C 的圆心到直线l 的距离为4，显然直线1x =符合题意.当直线l 的斜率存在时，设其方程为()11y k x -=-，即10kx y k --+=4=解得158k =，所以直线l 的方程为15870x y --=综上，直线l 的方程为1x =或15870x y --=.18.如图，四边形ABCD 为梯形，//AB CD ，四边形ADEF 为平行四边形.（1）求证：//CE 平面ABF ；（2）若AB ⊥平面ADEF ，AF AD ⊥，1AF AD CD ===，2AB =，求：（ⅰ）二面角A BF C --的余弦值；（ⅱ）点D 到平面BCF 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）66；66【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质与判定结合线面平行的判定证明即可；（2）根据题意判定线线垂直，构造合适的空间直角坐标系，利用面面夹角及点面距离公式计算即可.【小问1详解】过C 作//CG AD 交AB 于G 点，因为//AB CD ，所以四边形ADCG 为平行四边形，则CG AD =，又四边形ADEF 为平行四边形，所以,//AD EF AD EF =，所以,//EF GC EF GC =，则四边形CEFG 为平行四边形，即//CE FG ，易知FG ⊂平面ABF ，CE ⊄平面ABF ，所以//CE 平面ABF ；【小问2详解】因为AB ⊥平面ADEF ，,AD AF ⊂平面ADEF ，所以,AB AD AB AF ⊥⊥，又AF AD ⊥，所以,AD AB AF ,三条线两两垂直，即可以以A为中心建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()2,0,0,0,0,1,1,1,0B F C ，所以()()1,1,0,1,1,1CB CF =-=-- ，设平面BCF 的一个法向量为(),,n x y z = ，则00n CB x y n CF x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩ ，令11,2x y z =⇒==，即()1,1,2n = ，（ⅰ）易知平面ABF 的一个法向量为()0,1,0AD = ，二面角A BF C --的一个平面角为锐角，设二面角A BF C --的一个平面角为α，则6cos 6AD n AD n α⋅===⋅ ；（ⅱ）易知 1, , ，则点D 到平面BCF的距离66DC n d n ⋅=== .19.已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的右焦点为()2,0F，且过点(，直线l 过点F 且交椭圆C 于A 、B 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）若线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点为1,02M ⎛⎫ ⎪⎝⎭.（ⅰ）求直线l 的方程.（ⅱ）若点()4,0P -，求ABP 的面积.【答案】（1）22184x y +=；（2）20x -=或20x +-=；【解析】【分析】（1）根据椭圆的性质并代入所过点坐标计算即可；（2）（ⅰ）先排除直线l 斜率不存在的情况，设其点斜式方程，联立椭圆方程结合韦达定理、直线垂直的斜率积计算即可；（ⅱ）由上的结论及弦长公式、点到直线的距离公式计算即可.【小问1详解】根据题意有222222421a b ab ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解之得224,8b a ==，所以椭圆C 的方程22184x y +=；【小问2详解】（ⅰ）显然若l 斜率不存在，其垂直平分线与横轴重合，不符合题意；不妨设直线l 的方程为()2y k x =-，AB 的中点为C ，设()()()112200,,,,,A x y B x y C x y ，l 与椭圆方程联立有222280y kx k x y =-⎧⎨+-=⎩，整理得()2222128880k x k x k +-+-=，则212221228128812k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，所以2120002242,221212x x k k x y k x k k k+===⋅-=-++，易知20204111612CM y k k k k k x ⋅=-⇒⋅=-=---，解之得2k =±，即()222y x =±-，整理得直线l的方程为20x --=或20x +-=；（ⅱ）由弦长公式可知12 AB x=-==2211121211kk++===++，由直线的对称性知点P到两条直线l的距离相同，即d==，所以ABP的面积为1122d AB=⨯=.20.如图，在长方体1111ABCD A B C D-中，1AD=，12AB AA==，,,H F M分别是棱11C D，1BB，11B C 的中点.（1）判断直线1A M与平面1B HF的位置关系，并证明你的结论；（2）求直线HF与平面1A MD所成角的正弦值；（3）在线段HF上是否存在一点Q，使得点Q到平面11A BCD，若存在，求出HQHF的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）相交但不垂直，证明见解析；（2）73；（3）不存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面夹角即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面夹角即可；（3）假设存在点Q ，利用空间向量研究点面距离计算参数即可.【小问1详解】如图建立空间直角坐标系，则()()()()1111,0,2,1,2,2,,2,2,0,1,2,1,2,12A B M H F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()()111,2,0,0,0,1,1,1,12A M FB HF ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭，设平面1B HF 的一个法向量为 ,䗘,䔹，则100m FB z m HF x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ ，取11,0x y z =⇒=-=，即 1,−1, ，则11155342cos ,34A M m A M m A M m ⋅===⋅ ，连接1A M 与1B H 交于N 点，即直线1A M 与平面1B HF 相交于N 点，则直线1A M 与平面1B HF 的位置关系为相交，直线与平面的夹角的正弦值53434；【小问2详解】由上知()111,0,2,,2,22DA DM ⎛⎫== ⎪⎝⎭，设平面1A MD 的一个法向量为 ,h, ，则12012202n DA a c n DM a b c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩，取41,2a b c =⇒==-，即()4,1,2n =- ，设直线HF 与平面1A MD 所成角为α，则7sin cos ,3HF n HF n HF nα⋅====⋅ ，即直线HF 与平面1A MD所成角的正弦值为3；【小问3详解】设存在Q 满足题意，不妨设[]()0,1HQ HFλλ=∈，则(),,HQ HF λλλλ==- ，易知()()10,2,2,1,0,0A B CB =-= ，设平面11A BCD 的一个法向量为(),,p r s t = ，则12200p A B s t p CB r ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取10,1s r t =⇒==，即()0,1,1p = ，而()11,1,D Q D H HQ λλλ=+=+- ，所以点Q 到平面11A BCD的距离是1D Q p d p ⋅==≠ ，所以不存在.21.在平面直角坐标系xOy 中，O为坐标原点，)M，已知平行四边形OMNP 两条对角线的长度之和等于4．（1）求动点P 的轨迹方程；（2）过)M 作互相垂直的两条直线1l 、2l ，1l 与动点P 的轨迹交于A 、B ，2l 与动点P 的轨迹交于点C 、D ，AB 、CD 的中点分别为E 、F ；证明：直线EF 恒过定点，并求出定点坐标；（3）在（2）的条件下，求四边形ACBD 面积的最小值．【答案】（1）221(0)4x y y +=≠（2）证明见解析，定点43(5（3）3225．【解析】【分析】(1)根据几何位置关系可得14PM PM +=，再根据椭圆定义求解；(2)利用韦达定理表示出,E F 坐标，从而表示出EF 的直线方程即可求解；(3)利用韦达定理表示出弦长,AB CD ，进而可表示面积，利用二次函数的性质可求面积的最小值.【小问1详解】取点1(M ，则有1M O PN ∥，所以四边形1M ONP 是平行四边形，所以1PM ON =，因为4PM ON +=，所以14PM PM +=，所以动点P 的轨迹为椭圆（左右顶点除外），所以24a =，c =，所以2221b a c =-=，所以动点P 的轨迹方程为221(0)4x y y +=≠．【小问2详解】当1l 垂直于x 轴时，AB 的中点E ，直线2l 为x 轴，与椭圆221(0)4x y y +=≠，无交点，不合题意，当直线1l 不垂直于x 轴时，不妨设直线1l 的方程为(0)y k x k =≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，由22(44y k x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得2222(14)1240k x x k +-+-=，所以△22222()4(41)(124)16(1)0k k k =--+-=+>，所以21228341x x k +=+，212212441k x x k -=+，所以31212228323()1414y y k x x k k-+=+-=-=++，所以222433(,)4141E k k ++，因为12l l ⊥，以1k -代替k ，得22433(,)44F k k ++，所以直线EF 的斜率为22222335441(1)4(1)4343441EFk k k k k k k k +==≠±-++，所以直线EF的方程为22225(1)414(1)41k y x k k k k +=-≠±+-+，由椭圆的对称性得，若存在这样的定点必在x 轴上，令0y =，则22225()414(1)41k x k k k =-+-+，所以22221)5(41)5(14)5k x k k ++===++，所以直线EF 恒过定点43(5，当1k =±时，433()55E ，433()55F ，所以直线EF 恒过定点43(5，综上所述，直线EF 恒过定点43(5．【小问3详解】由（2）得21228341x x k +=+，212212441k x x k -=+，所以||AB =224(1)41k k +==+，同理可得224(1)||4k CD k +=+，所以四边形ACBD 的面积222218(1)||||2(41)(4)k S AB CD k k +==++，令21t k =+，则1t >，所以2222288889933(43)(3)4994()34t t S t t t t t t t t ====-++--++-+⋅+，因为1t >，所以303t<<，当332t =，即1k =±时，23325()344t t -+⋅+≤，所以min 3225S =，所以四边形ACBD 的面积最小值为3225．。
2022-2023学年四川省成都市树德中学高二上学期期中考试数学(理)试题(解析版)
2022-2023学年四川省成都市树德中学高二上学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．以椭圆221259x y +=的左焦点为焦点的抛物线的标准方程是（ ）A ．216y x =B ．28y x =-C ．216y x =-D ．216x y =-【答案】C【分析】利用椭圆和抛物线的几何意义求解即可.【详解】由椭圆221259x y +=可得4=c ， 所以左焦点坐标为(4,0)-，所以以(4,0)-为焦点的抛物线的标准方程为216y x =-， 故选：C.2．曲线221x xy y ++=（ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．不具有对称性【答案】C【分析】将点(,)x y -，(,)x y -，(,)x y --分别代入方程，即可检验对称性. 【详解】对于A ，将点(,)x y -代入曲线方程得：221x xy y -+≠， 所以曲线221x xy y ++=不关于x 轴对称，A 错误； 对于B ，将点(,)x y -代入曲线方程得：221x xy y -+≠， 所以曲线221x xy y ++=不关于y 轴对称，B 错误； 对于C ，将点(,)x y --代入曲线方程得：221x xy y ++=， 所以曲线221x xy y ++=关于原点对称，C 正确，D 错误. 故选：C3．已知圆()221:125C x y ++=，圆()222:11C x y -+=，动圆M 与圆2C 外切，同时与圆1C 内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为（ ） A ．2213x y +=B ．22132x y +=C ．2219x y +=D ．22198x y【答案】D【分析】画图，分析出121262C M C M C C +=>=，确定圆心M 的轨迹为椭圆，求出23,8a b ==，得到轨迹方程.【详解】如图，由题意得：15C M MQ =-，21C M MP =+，其中MQ MP =， 所以12125162C M C M MQ MP C C +=-++=>=，由椭圆定义可知：动圆圆心M 的轨迹为以12,C C 为焦点的椭圆，设22221x ya b+=，则26,1a c ==，解得：2223,918a b a c ==-=-=，故动圆圆心M 的轨迹方程为22198x y .故选：D4．已知双曲线1C 过点)5,4，且与双曲线2C ：22152x y -=有相同的渐近线，则双曲线1C 的焦距为（ ） A ．7 B ．14 C 21D ．221【答案】B【分析】首先设出与2C 共渐近线的双曲线方程，再代入点)5，，求出λ，从而求出1C 的方程，进而求解.【详解】设双曲线1C ：()220152x y λλλ-=≠≠且，将()5，代入可得516752λ-=-=.故双曲线1C ：2211435y x -=，则14357c =+，则焦距214c =. 故选：B5．已知命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．()p q ⌝∨【答案】A【分析】由正弦函数的有界性确定命题p 的真假性，由指数函数的知识确定命题q 的真假性，由此确定正确选项.【详解】由于sin0=0，所以命题p 为真命题；由于x y e =在R 上为增函数，0x ≥，所以||01x e e ≥=，所以命题q 为真命题； 所以p q ∧为真命题，p q ⌝∧、p q ∧⌝、()p q ⌝∨为假命题. 故选：A ．6．直线l 过点()0,3与圆C ：222220x y x y +---=交于,A B 两点且AB =l 的方程为（ ）A ．34120x y +-=B ．34120x y +-=或4210x y ++=C ．0x =D ．0x =或34120x y +-=【答案】D【分析】将圆的方程化为标准方程，确定圆心和半径，考虑直线的斜率是否存在，分类讨论，结合弦长和点到直线的距离公式，即可求得答案.【详解】将圆C ：222220x y x y +---=的方程化为 22(1)(1)4x y -+-=， 则圆心C 的坐标为(11)，，半径为2. 当直线l 的斜率不存在时，即直线l 的方程为0x =时，代入圆的方程得2220y y --= ，解得11y =2,1y =，此时||1(1AB == 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为3y kx =+ ，由||AB =，得圆心C 到直线l 22(3)1 ，1=，解得34k =-，故此时直线的方程为334y x =-+ ，即34120x y +-=，综上可得，直线l 的方程为0x = 或34120x y +-=， 故选：D.7．执行如图的程序框图，如果输入的,x y ∈R ，那么输出的S 的最大值为（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】在直角坐标系内画出可行解域，根据平移的方式求出S 的最大值，再与1进行比较即可.【详解】不等式组001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩在直角坐标系内表示的平面区域如下图所示：平移直线20x y +=，当直线经过(1,0)A 时，2S x y =+有最大值，最大值为21021⨯+=>， 故选：C8．若椭圆22134x y +=的动弦AB 斜率为1，则弦中点坐标可能是（ ）A ．()34-，B ．3,14⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．()43-， D ．4,13⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B【分析】已知弦中点的斜率，用点差法求中点的坐标. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，则由已知得，2211134x y +=，2222134x y +=， 两式作差可得，22221212034x x y y --+=，整理可得121212124433y y x x x x y y +-=-=-+-.AB 中点D 的坐标为()00,x y ，则有0043y x =-. 又点D 在椭圆的内部，所以02y < 故选：B.9．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，点P 是直线l 上的动点．若点A 在抛物线C 上，且||5AF =，则||||PA PO +（O 为坐标原点）的最小值为（ ）A ．8B ．213C ．41D ．6【答案】B【分析】依题意得点A 坐标，作点O 关于l 的对称点B ，则||||||||PA PO PA PB AB +=+≥，求AB 即为最小值．【详解】如图所示：作点O 关于l 的对称点B ，连接,PB AB ，设点(),A x y ，不妨设0y >由题意知()1,0F ，直线l 方程为=1x -，则||15AF x =+=，得4x = 所以24416y =⨯=，得4y =由||||||||PA PO PA PB AB +=+≥，当,,A B P 三点共线时取等号， 又()()222224425213AB y x =++++== 所以||||PA PO +的最小值为213故选：B【点睛】关键点点睛：作点O 关于l 的对称点B ，将PO 化为PB ，利用三点共线是求得最小值的关键点．10．在棱长为2的正四面体ABCD 中，点P 为ABC 所在平面内一动点，且满足433PA PB +=，则PD 的最大值为（ ） A ．3 B 210C 39D ．2【答案】B【分析】由题意可知，点P 在ABC 所在平面内的轨迹为椭圆，且该椭圆的焦点为A 、B ，长轴长为433，然后以线段AB 的中点O 为坐标原点，直线AB 所在直线为x 轴，以CO 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系，求出椭圆的方程，利用二次函数的基本性质可求得PD 的最大值. 【详解】如图所示，在平面ABC 内，4323PA PB +=>， 所以点P 在平面ABC 内的轨迹为椭圆，取AB 的中点为点O ，连接CO ，以直线AB 为x 轴，直线OC 为y 建立如下图所示的空间直角坐标系O xyz -，则椭圆的半焦距1c =，长半轴23a =223b ac =-=所以，椭圆方程为()2233104x y z +==.点D 在底面的投影设为点E ，则点E 为ABC 的中心，113333OE OC ===故点E 正好为椭圆短轴的一个端点，2233CE OC ==2226DE CD CE =- 因为222PD DE EP =+，故只需计算EP 的最大值. 设(),,0P x y ，则3E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， 则2222223423123543333EP x y y y y y y ⎛=+=-++=-+ ⎝⎭， 当333y ⎡=⎢⎣⎦时，2EP 取最大值， 即22max3233516339EP ⎛⎛=-⨯+= ⎝⎭⎝⎭， 因此可得2241640999PD ≤+=，故PD 210. 故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查线段长度最值的求解，根据椭圆的定义得知点P 的轨迹是椭圆，并结合二次函数的基本性质求解EP 的最大值是解题的关键，在求解时也要注意椭圆有界性的应用. 11．已知圆221(2)4C x y -+=：，()222(25cos )(5sin )1C x y R θθθ--+-=∈：，过圆2C 上一点P 作圆1C 的两条切线，切点分别是E 、F ，则PE PF ⋅的最小值是( ) A ．6 B ．5C ．4D ．3【答案】A【分析】本题首先可以通过圆2C 的方程得出圆2C 的圆心轨迹，然后画出圆2C 的圆心轨迹图像以及圆1C 的图像，通过图像可以得出线段PA 的取值范围以及PE PF ⋅的解析式，最后通过函数性质即可得出结果．【详解】由()222(25cos )(5sin )1C x y R θθθ--+-=∈：可得： 圆2C 的圆心在圆22(2)25x y -+=的圆周上运动，设()20A ，，则[]46PA d =∈，，由图可知：()()222cos2412sin PE PF PE d θθ⋅==--， ()22228324112d d d d ⎛⎫=--=+- ⎪⎝⎭，由()2223212f d d d =+-在[]1636，上为增函数可知， 当216d =时，PE PF ⋅取最小值6，故选A ．【点睛】本题考查圆的相关性质，主要考查圆的方程的相关性质以及圆的切线的相关性质，考查推理能力，考查数形结合思想、方程思想以及化归思想，是难题．12．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左､右焦点，过1F 作C 的一条渐近线的垂线l ，垂足为H ，且l 与双曲线右支相交于点P ，若12F H HP =，且25PF =，则下列说法正确的是（ ）A ．2F 到直线l 的距离为aB ．双曲线的离心率为132C ．12PF F △的外接圆半径为5132D ．12PF F △的面积为9【答案】B【分析】根据题意可知，H 是1F Q 的中点，因此可得，OH 为△12QF F 的中位线，可求2F 到直线l 的距离判断A 选项；利用双曲线的定义，即可求得a ，b 和c 的值，求得双曲线的离心率，可判断B 选项；求得12sin PF F ∠，利用正弦定理即可求得△12PF F 的外接圆半径，可判断C 选项；利用三角形的面积公式，即可求得△12PF F 的面积，可判断D 选项． 【详解】由题意，()1,0F c -到准线0bx ay +=的距离122-===+bc bcF H b cb a ，又1FOc =，∴OH a =，如图过2F 向1F P 作垂线，垂足为Q ，由2//OH F Q ，O 为12F F 中点，则OH 为△12QF F 的中位线，所以1F H HQ =，即H 是1F Q 的中点，因为12F H HP =，2||2F Q a =，||HQ b =，||PQ b =，1||3=PF b ，因此2F 到直线l 的距离为2a ，故A 错误； 在2QPF △中，2222425+==b a PF ，又12||||2PF PF a -=，得到352b a -=， 解得3b =，2a =，13c =13c e a ==B 正确； 121sin sin aPF F HFO c∠=∠=，设△12PF F 的外接圆半径R ， 因此212||551322sin 13PF R PF F ==∠，所以513R =C 错误；△12PF F 的面积1121211||||sin 3231822a S F P F F PF F b c ab c=∠=⨯⨯⨯==．故D 错误. 故选：B ．二、填空题13．若4进制数2m 01（4）（m 为正整数）化为十进制数为177，则m =______. 【答案】3【分析】将各数位上的数乘以其权重累加后，即可求解【详解】将4进制数2m 01（4）化为十进制数为01231404424177m ⨯+⨯+⨯+⨯=，解得3m =. 故答案为：3【点睛】本题考查进制间的转化，属于基础题. 14．设:411p x -≤；2:2110q x a x a a ．若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是______． 【答案】1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，可得q 是p 的必要而不充分条件，分别解不等式利用集合间的真包含关系即可求解.【详解】由题意得，命题:411p x -≤，解得102x ≤≤，记1|02A x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭命题2:(21)(1)0q x a x a a -+++≤，即()[(1)]0x a x a --+≤， 解得：1a x a ≤≤+，记{}|1B x a x a =+≤≤， 又因为p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，即q 是p 的必要而不充分条件，所以A 真包含于B ，所以0112a a ≤⎧⎪⎨+≥⎪⎩（等号不同时成立），解得102a -≤≤，所以实数a 的取值范围为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15．已知M 为抛物线2:4C y x =上一点，过抛物线C 的焦点F 作直线()152x m y m +-=-的垂线，垂足为N ，则MF MN +的最小值为______．【答案】3##3【分析】根据题意先确定出N 点的轨迹为圆，再由抛物线的定义转化||MF ，所求最小值转化为圆上动点到抛物线准线距离的最小值即可得解.【详解】由2:4C y x =知，焦点(1,0)F ，准线l 的方程为=1x -， 由()152x m y m +-=-可得5(2)0x y m y --++=，由5020x y y --=⎧⎨+=⎩解得32x y =⎧⎨=-⎩，即直线恒过定点(3,2)P -，设PF 中点为E ，则(2,1)E ，由题意知NF PN ⊥， 所以N 的轨迹为以PF 为直径的圆， 则圆的方程为22(2)(1)2x y -++=，过M 作MD l ⊥于D ，则||||MF MN MD MN +=+，所以由图知，当M 运动到M '时，N 运动到N '，,,,D M N E '''共线时，||||MD MN +的最小值为圆22(2)(1)2x y -++=上动点N 到准线的距离的最小值，即[](1)32E x r ---=故答案为：3216．已知P 是椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>和双曲线()222222222:10,0x y C a b a b -=>>的交点，1F ，2F 是1C ，2C 的公共焦点，1e ，2e 分别为1C ，2C 的离心率，若122π3F PF ∠=，则1211e e ⋅的最大值为______．23【分析】根据椭圆与双曲线的定义把12,PF PF 用12,a a 来表示，然后在12PF F △中用余弦定理求出12,e e 的关系，然后再用基本等式求解.【详解】设12,PF m PF n == 因为点P 在椭圆上，所以12m n a +=① 又因为点P 在双曲线上，所以22m n a -=② 则①+②得12m a a =+；①-②12n a a =-在12PF F △中由余弦定理得：2221222cos 3F F m n mn π=+- 即()()()()222121212121422c a a a a a a a a ⎛⎫=++--+-- ⎪⎝⎭即2221243c a a =+，即22122234a a c c=+即2212314e e =+由基本不等式得：222212121231312342e e e e =+≥⋅= 所以12112323e e ⋅≤221231e e =即123e e 时成立.23三、解答题17．已知命题 p : “方程22112x y mm+=-表示双曲线”，命题:q : 方程2211x y m m +=-表 示椭圆”(1)若 p q ∧为真命题，求m 的取值范围; (2)若 p q ∨为真命题，求m 的取值范围.【答案】(1)110122⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，(2)()110022m ⎛⎫⎛⎫∈-∞⋃⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，【分析】(1)先分别求出命题p 为真，q 为真的条件，然后根据p q ∧为真命题求出结果即可； (2) 先分别求出命题p 为真，q 为真的条件，然后根据p q ∨为真命题求出结果即可. 【详解】（1）若 p 为真，有()120m m -<，即()102m A ⎛⎫∈=-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，，; 若q 为真，则有0101m m m m>⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，即 110122m B ⎛⎫⎛⎫∈=⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，. 若 p q ∧为真，则有m A B ∈⋂，即112m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，. （2）若 p 为真，有()120m m -<，即()102m A ⎛⎫∈=-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，，; 若q 为真，则有0101m m m m>⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，即 110122m B ⎛⎫⎛⎫∈=⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，. 若 p q ∨为真，则有m A B ∈⋃，即()110022m ⎛⎫⎛⎫∈-∞⋃⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，. 18．已知圆C 的圆心在第一象限且在直线30x y -=上，与x 轴相切，被直线0x y -=截得的弦长为(1)求圆C 的方程；(2)由直线40x y ++=上一点P 向圆C 引切线，A ，B 是切点，求四边形P ACB 面积的最小值． 【答案】(1)()()22139x y -+-=(2)【分析】（1）设出圆心坐标(),3,0a a a >，判断出圆的半径，利用直线0x y -=截圆所得弦长列方程来求得a ，从而求得圆C 的方程. （2）先求得PACB S PA r r =⋅=，通过求PC 的最小来求得PACB S 的最小值.【详解】（1）依题意，设圆C 的圆心坐标为(),3,0a a a >，半径为3a ，(),3a a 到直线0x y -=的距离为d ==，所以=1a ，所以圆C 的方程为()()22139x y -+-=.（2）由（1）得，圆C 的圆心为()1,3C ，半径=3r ，PACB S PA r r =⋅=，所以当PC 最小时，PACB S 最小.()1,3C 到直线40x y ++==所以PC 的最小值为所以四边形P ACB 3=19．已知平面内两个定点(2,0)A -，(2,0)B ，过动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N ，且2||MN AN BN =⋅.(1)求点M 的轨迹E 的方程；(2)若直线:1l y kx =+与曲线E 有且仅有一个交点，求实数k 的取值范围. 【答案】(1)224x y -=(2)1k =±或k =【分析】（1）设点M 坐标为(,)x y ，然后求出MN 、AN 、BN 的坐标，然后根据2||MN AN BN =⋅可得答案；（2）由2214y kx x y =+⎧⎨-=⎩可得()221250k x kx ---=，然后分210k -=、210k -≠两种情况求解即可. 【详解】（1）设点M 坐标为(,)x y ，则(,0)N x ，(0,)MN y =-，(2,0)AN x =+，(2,0)BN x =-， 2||MN AN BN =⋅，224y x ∴=-，即：224x y -=，∴点M 的轨迹方程为224x y -=；（2）将直线方程与曲线方程联立2214y kx x y =+⎧⎨-=⎩，()221250k x kx ∴---=， ①当210k -=，即1k =±时，直线l 与曲线E 渐近线平行，满足②当()2221042010k k k ⎧-≠⎪⎨∆=+-=⎪⎩时，直线l 与曲线E 相切，满足题意，解得k =综上，k 的取值范围为1k =±或k =20．已知椭圆22:132x y E +=的左右顶点分别为A ，B ，点P 为椭圆上异于A ，B 的任意一点．(1)求直线P A 与PB 的斜率之积；(2)任意过Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭且与x 轴不重合的直线交椭圆E 于M ，N 两点，证明：以MN 为直径的圆恒过点A ．【答案】(1)23-；(2)证明见解析.【分析】（1）根据椭圆的方程，可得参数a 的值，则得到顶点坐标，设出点P ，利用椭圆方程和斜率公式，可得答案；（2）设出直线方程，联立直线与椭圆方程，写出韦达定理，利用圆的性质，结合向量数量积建立方程，可得答案.【详解】（1）由椭圆22:132x y E +=，可得223,2a b ==，则()A，)B ．设点(),P x y ，则有22132x y +=，即()222221333x y x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以()22222323333PA PBx y k kx x -⋅====---．（2）证明：设()11,M x y ，()22,N x y ， 因为MN 与x轴不重合，所以设直线):MN l x ty t =∈R ，由222360x ty x y ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩，化简得()2214423025t y +-=； 由题意可知0∆>成立，且1221225231442523y y t y y t ⎧⎪⎪+=⎪+⎨⎪-⎪=⎪+⎩；()()11221212AM AN x y x y ty ty y y ⎛⋅=+=++ ⎝⎭⎝⎭()()2121248125t y y y y =+++，将韦达定理代入上式，可得()2221444825510232325t t t -++⋅+=++，所以AM AN ⊥，即以MN 为直径的圆恒过点A ．21．设抛物线()220y px p =>的准线为l ，A 、B 为抛物线上两动点，AA l '⊥于A '，定点()0,1K 使KA AA '+有最小值2．(1)求抛物线的方程；(2)当KA KB λ=（R λ∈且1λ≠）时，是否存在一定点T 满足TA TB ⋅为定值？若存在，求出T 的坐标和该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)24y x =(2)存在定点19,48T ⎛⎫⎪⎝⎭，使得TA TB ⋅为定值8564．【分析】（1）根据抛物线的定义将抛物线上的点到准线的距离转化为到焦点的距离，然后三点共线时，距离和最短，即可得到关系式；（2）由已知可得，直线AB 经过K 点，设出直线方程和点的坐标，与抛物线联立，根据韦达定理，得到124y y t +=，124y y t =，表示出TA TB ⋅，整理完成得到()()22214222m t n T T m t m A B n =-+-⋅+++，可知当所有t 的形式前面的系数均为0时为定值，即可解出T 的坐标和该定值.【详解】（1）设抛物线焦点为F ，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，根据抛物线的定义有AA AF '=，则2KA AA KA AF KF '+=+≥即()2200122p KF ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭2p =±（舍去负值），则抛物线的方程为24y x =．（2）∵KA KB λ=，∴K 、A 、B 三点共线． ∴设直线AB 方程为()1x t y =-， 设()11,A x y ，()11,B x y ，(),T m n ，联立()241y x x t y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得2440y ty t -+=，()24440t t ∆=-⨯>，则0t <或1t >.124y y t +=，124y y t =，()111x t y =-，()221x t y =-， 且有()()()()1212TA TB x m x m y n y n ⋅=--+--， 而()()()()1212TA TB ty m t ty m t y n y n ⋅=-+-++--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()22212121t y y t m t n y y m t n =+-++++++⎡⎤⎣⎦()()()()()222144t t t m t n t m t n =+-+++++⎡⎤⎣⎦()()22214222m t n m t m n =-+-+++，因为，t 的任意性，要使该值为定值，需满足 140220m n m -=⎧⎨-+=⎩，可得1498m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，此时8564TA TB ⋅=. 22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>3()00,M x y 是C 上的动点，以M 为圆心作一个半径2r =的圆，过原点作该圆的两切线分别与椭圆C 交于点P 、Q ，若存在圆M 与两坐标轴都相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线OP ，OQ 的斜率都存在且分别为1k ，2k ，求证：12k k 为定值； (3)证明：22OP OQ +为定值？并求OP OQ ⋅的最大值． 【答案】(1)221205x y +=； (2)证明见解析； (3)证明见解析，最大值为252．【分析】（1）由存在圆M 与两坐标轴都相切确定圆心M 坐标，由离心率及点M 坐标即可列方程组求参数；（2）分别联立两切线与圆消元得方程，由判别式为0可得1k ，2k 是该方程的两个不相等的实数根，由韦达定理及点()00,M x y 在椭圆C 上可得12k k 为定值；（3）当直线OP ，OQ 不落在坐标轴上时，设()11,P x y ，()22,Q x y ，由（2）得22221212116y y x x =，结合()11,P x y ，()22,Q x y 在椭圆C 上，可得221220x x +=，22125y y +=，即有2225OP OQ +=，当直线OP ，OQ 落在坐标轴上时可直接求；最后由均值定理可得OP OQ ⋅的最大值.【详解】（1）由椭圆的离心率2231c b e a a ==-224a b =，又存在M 与两坐标轴都相切，则此时圆心()2,2M ±±， 代入222214x y b b +=，解得：25b =，则220a =，∴椭圆方程：221205x y +=．（2）因为直线1:OP y x k =，2:OQ y k x =与圆M 相切， 由直线1:OP y x k =与圆()()2200:4M x x y y -+-=联立，可得()()222210100012240k x x k y x x y +-+++-=，同理()()222222000012240k x x k y x x y +-+++-=，由判别式为0可得1k ，2k 是方程()22200004240x k x y k y --+-=的两个不相等的实数根，∴20122044y k k x -=-，因为点()00,M x y 在椭圆C 上，所以2254x y =-，所以1214k k =-．（3）当直线OP ，OQ 不落在坐标轴上时，设()11,P x y ，()22,Q x y ， 因为1214k k =-，所以22221212116y y x x =，因为()11,P x y ，()22,Q x y 在椭圆C 上，所以2222221212121554416x x y y x x ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得221220x x +=，所以22222212121255105444x x x x y y ++=-+-=-=，所以2225OP OQ +=．当直线落在坐标轴上时，显然有2225OP OQ +=， 综上，2225OP OQ +=，所以()2212522OP OQ OP OQ ⋅≤+=， 所以OP OQ ⋅的最大值为252． 【点睛】（2）中由判别式为0可得1k ，2k 是方程的两个不相等的实数根，以及点在椭圆上可得方程，即可进一步消元化简.。
北京市延庆区2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题(含答案)
延庆区2024-2025学年第一学期期中试卷高二数学2024.11本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知向量且，那么（ ）A. B.6C.9D.183.在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点为（）A. B. C. D.4.设分别是空间中直线的方向向量，则直线所成角的大小为（ ）A. B. C. D.5.过和两点的直线的倾斜角是（）A. B.1 C. D.6.“”是“直线与平行”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.在平行六面体中，，点在上，且，则（ ）1i +()()1,2,1,3,,a b x y =-= a ∥b b = ()1,2,3P xOy ()1,2,3-()1,2,3-()1,2,3--()1,2,3-()()120,1,1,1,0,1v v ==- 12,l l 12,l l π65π6π32π3()2,0-()0,21-3π4π41a =1:20l ax y +-=()2:2120l x a y +++=1111ABCD A B C D -1,,AA a AB b AD c === P 1AC 1:1:2A P PC =AP =A. B.C. D.8.已知正方体的棱长为为的中点，则到平面的距离为（ ）9.在正方体中，点是线段上任意一点，则与平面所成角的正弦值不可能是（ ）A. B.10.已知点，直线，若直线上至少存在三个，使得为直角三角形，直线倾斜角的取值范围是（ ）211333a b c ++ 122333a b c ++ 112333a b c -++ 122333a b c -- 1111ABCD A B C D -2,E 1BB 1B 11A D E 1111ABCD A B C D -E 11A C AE ABCD 1323()()0,1,0,1A B -:2l y kx =-l M MAB V lA. B.C. D.第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.复数，则__________.12.已知点，点在线段上，且，则点坐标为__________.13.若平面，平面的法向量为，平面的法向量为，写出平面的一个法向量__________.14.已知点，直线与线段无交点，则直线在轴上的截距为__________；的取值范围是__________.15.如图：在直三棱柱中，，.记，给出下列四个结论：①存在，使得任意，都有；②对于任意点，都不存在点，使得平面平面；③的最小值为3；④当取最小时，过点作三棱柱的截面，则截面周长为.其中，所有正确结论的序号是__________.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题13分）已知的顶点坐标为.π5π0,,π66⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦πππ2π,,3223⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦πππ3π,,4224⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦πππ5π,,6226⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦5i 12iz =-z =()()1,1,4,1,4,2A B -C AB 2AC CB =C αβ⊥α()11,2,3n = β()2,,0n x y = β()()1,3,1,4A B -:2l y ax =-AB l y a 111ABC A B C -13,90AB BB BC ABC ∠==== 1,(01,01)CH xCB CP yCB x y ==<≤≤≤ (),f x y AH HP =+H P AH HP ⊥H P AHP ⊥11A B C (),f x y (),f x y ,,A H P 5ABC V ()()()1,52,14,3A B C ---､､（1）求过点且与直线平行的直线的方程；（2）求边上的中线所在直线的方程；（3）求边上的高所在直线的方程.17.（本小题14分）如图，在三棱柱中，底面是的中点，且.（1）求证：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值；（3）若，求平面与平面所成角的余弦值.18.（本小题14分）设的内角对应的边分别为，且.（1）求角的大小；（2）从下列三个条件中选择一组作为已知，使存在且唯一，并求的面积.条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件使不存在或不唯一，第（2）问得0分.19.（本小题14分）已知函数，且的图像过点.（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；（2）若函数在上与直线有交点，求实数的取值范围；（3）设函数，记函数在上的最大值为，求的最小B AC BC AB 111ABC A B C -1CC ⊥,ABC D 11A C 12AC BC CC ===1BC ∥1AB D AC BC ⊥1CC 1AB D AC BC ⊥1AB D 11ACC A ABC V ,,A B C ,,a bc sin cos b A B =B ABC V ABC V 3,sin 2sin b C A ==5b a ==b C ==ABC V ()22sin cos 2cos f x a x x x =+()f x π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x ()f x π,12m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3y =m ()()()g x f x t t =-∈R ()g x π11π,612⎡⎤⎢⎥⎣⎦()M t ()M t值及此时的值.20.（本小题15分）如图，已知四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面是正三角形，分别为的中点.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离；（3）线段上是否存在点，使得三棱锥的值；若不存在，说明理由.21.（本小题15分）给定正整数，设集合.对于集合中的任意元素和，记.设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质.（1）判断集合是否具有性质，集合是否具有性质；（直接写出答案，结论不需要证明）（2）判断是否存在具有性质的集合，并加以证明；（3）若集合具有性质，证明：.t P ABCD -ABCD CD ⊥,PAD PAD V ,,,E F G O ,,,PC PD BC AD PO ⊥ABCD A EFG PC M M EFG -PM PC 2n ≥(){}{}12,,,,0,1,1,2,,n k M t t t t k n αα==∈= ∣M ()12,,,n x x x β= ()12,,,n y y y γ= 1122n n x y x y x y βγ⋅=+++ A M ⊆(){}12,,,,1,2,,i i i i in A t t t i n αα=== ∣A ,i j αα,,1,,i j p i j i j αα=⎧⋅=⎨≠⎩A (),T n p ()()(){}1,1,0,1,0,1,0,1,1A =()3,2T ()()()(){}1,1,0,0,1,0,1,0,0,1,1,0,1,0,0,1B =()4,2T ()4,T p A A (),T n p ()121,2,,j j nj t t t p j n +++==延庆区2024-2025学年第一学期期中考试高二数学参考答案及评分标准2024.11一､选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1.D2.A3.B4.C5.D6.C7.A8.B9.A 10.B二､填空题（共5小题，每小题5分，共25分）12. 13.（不唯一，共线即可）14.，（注：第一问3分，第二问2分）15.①③④（注：对一个2分，两个3分，有选错0分）三､解答题（共6小题，共85分）16.（共13分）解：（1）直线的斜率过点且与直线平行的直线的斜率为过点且与直线平行的直线方程为（2）设边的中点为，因为，所以点的坐标为，即，所以边的中线所在直线方程为()1,3,0()2,1,0-2-()6,5-AC 532145AC k -==---B AC 25-B AC ()21225905y x x y +=-+⇒++=BC D ()()2,14,3B C --､D 2413,22-+-+⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,1D 51211AD k -==---BC ()121230y x x y -=--⇒+-=（3）因为，所以边的高线所在直线的斜率为，因此边的高线所在直线方程为.17.（共14分）（1）证明：连接，设，连接，由为三棱柱，得.又是的中点，所以是的中位线，.平面平面，平面；（2）解：底面，以为原点，的方向分别为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为由，得；15621AB k --==-+AB 16-AB ()13462206y x x y -=--⇒+-=1A B 11A B AB E ⋂=DE 111ABC A B C -1A E BE =D 11A C DE 11ΔA BC 1BC ∴∥DE 1BC ⊄ 1,AB D DE ⊂1AB D 1BC ∴∥1AB D 1CC ⊥ ,ABC AC BC ⊥C 1,,CA CB CC ,,x y z ()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0C A B ()()()()1112,0,2,0,2,2,0,0,2,1,0,2A B C D ()()()110,0,2,2,2,2,1,0,2CC AB AD ==-=- 1AB D (),,n x y z =12220220n AB x y z n AD x z ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ()2,1,1n =设直线与平面所成角为.则.直线与平面.（3）设平面与平面所成角为为锐角，平面的法向量为，，平面与平面.18.（共14分）解：（1），由正弦定理得，在中，，，.（2）若选①，由余弦定理，得，解得若选③，1CC 1AB Dθ111sin cos ,n CC n CC n CC θ⋅=<>== ∴1CC 1AB D 1AB D 11ACC A ,αα11ACC A ()0,1,0m =cos cos ,n m n m n m α⋅=<>== 1AB D 11ACC A sin cos b A B =sin sin a b A B =sin sin cos B A A B =ABC V sin 0,tan A B ≠=()0,πB ∈ π3B ∴=sin 2sin ,2C A c a== 2222cos b a c ac B =+-222944cos a a a B =+-a c ==1sin 2S ac B ∴==b C == ()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+=由正弦定理可得：选择②，面积公式2分；余弦定理2分.不超过4分.19.（共14分）解：（1）由题意，，解得，，，的最小正周期；的单调减区间为（2）函数在区间上与直线有交点所以，函数在区间上的最大值为3，又因为所以，解得.实数的取值范围是.（3）当时，取最大值4c =1sin 2S bc A ==2πππ3sin 2cos 206364f a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a =()22cos f x x x ∴=+cos21x x =++π2sin 216x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()f x 2ππ2T ==()f x π2ππ,π,63k k k z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦()f x π,12m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3y =()f x π,12m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ππ20,266x m ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦ππ262m +≥π6m ≥∴m π,6∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭()()ππ11πππ2sin 21,,,2,2π661262g x f x t x t x x ⎛⎫⎡⎤⎡⎤=-=++-∈+∈ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ262x +=()f x t -3t -当时，取最小值所以，当时，当时，所以，当时，20.（共15分）（1）证明：因为是正三角形，是的中点，所以.又因为平面平面，平面，所以面；解：（2）因为两两互相垂直.以点为原点，的方向分别为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.则，设平面的法向量为，由，得，点到平面的距离π3π262x +=()f x t -1t --1t ≤()3M t t=-1t >()1M t t =+1t =min ()2M t =PAD V O AD PO AD ⊥CD ⊥,PAD PO ⊂,PADCD PO ⊥,,AD CD D CD AD ⋂=⊂ABCD PO ⊥ABCD ,,OA OG OP O ,,OA OG OP,,x y z ()()()()()(0,0,0,2,0,0,2,4,0,2,4,0,2,0,0,0,0,O A B C D P --((()1,,,0,4,0,E F G --()((0,2,0,1,2,,1,4,EF EG FG =-==EFG (),,n x y z =2020n EF y n EG x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ )n = (3,AE =- A EFG AE n d n ⋅==（3）设所以点到面的距离为定值解得：或.21.（共15分）（1）集合具有性质，集合B 不具有性质.（2）当时，集合A 中的元素个数为4.由题设.假设集合A 具有性质，则①当时，，矛盾.②当时，，不具有性质，矛盾.③当时，.因为和至多一个在A 中；和至多一个在A 中；和至多一个在A 中，故集合A 中的元素个数小于4，矛盾.④当时，，不具有性质，矛盾.⑤当时，，矛盾.综上，不存在具有性质的集合.11,0,,122PM PC λλ⎡⎫⎛⎤=∈⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦()()2,4,,12,4M EM λλλλ-=-- M EFG 2PF n d nλ⋅== cos ,||||EF EG EF EG EF EG ⋅<>=== 1sin ,22EFG S EF EG EF EG =<>=V 11sin ,36M EFGEFG V S h EF EG EF EG h -==<>=V 14PM PC λ==34A ()3,2T ()4,2T 4n ={}0,1,2,3,4p ∈()4,T p 0p =(){}0,0,0,0A =1p =()()()(){}1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1A =()4,1T 2p =()()()()()(){}1,1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1,0,1,1,0,0,1,0,1,0,0,1,1A ⊆()1,1,0,0()0,0,1,1()1,0,1,0()0,1,0,1()1,0,0,1()0,1,1,03p =()()()(){}1,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,1A =()4,3T 4p =(){}1,1,1,1A =()4,T p A（3）记，则.若，则，矛盾.若，则，矛盾.故.假设存在使得，不妨设，即.当时，有或成立.所以中分量为1的个数至多有.当时，不妨设.因为，所以的各分量有个1，不妨设.由时，可知，中至多有1个1，即的前个分量中，至多含有个1.又，则的前个分量中，含有个1，矛盾.所以.因为，所以.所以.()121,2,,j j j nj c t t t j n =+++= 12n c c c np +++= 0p =(){}0,0,,0A = 1p =(){}1,0,0,,0A = 2p ≥j 1j c p +…1j =11c p +…1c n =0j c =()12,3,,j c j n == 12,,,n ααα ()1212n n n n np +-=-<…11p c n +<…11211,111,0p n t t t t +===== n n p αα⋅=n αp 23,11n n n p t t t +==== i j ≠1i j αα⋅={}121,2,3,,1,,,,q q p q q p t t t +∀∈+ 121,,,p ααα+ 1p +121p p p ++=+()11,2,,1i n i p αα⋅==+ 121,,,p ααα+ 1p +()()1122p p p +++=+()1,2,,j c p j n = …12n c c c np +++= ()1,2,,j c p j n == ()121,2,,j j nj t t t p j n +++==。
四川省雅安市芦山中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题(含答案)
四川省芦山中学2024-2025学年高二上期期中考试数学试题一、选择题（每小题5分，共8小题40分）1．圆C1:x2+y2−2x=0与圆C2:(x+2)2+(y+4)2=a有且仅有一条公切线,则a=( )A．16B．25C．36D．16或362．若直线l1:y=kx+1与l2:x−y−1=0的交点在第一象限内,则k的取值范围是( )A．(1,+∞)B．(−1,1)C．(−∞,−1)∪(1,+∞)D．(−∞,−1)3．若方程(m2−3m+2)x+(m2−m)y−m+4=0表示一条直线,则实数m满足( )A．m≠0B．m≠2C．m≠1,m≠2,m≠0D．m≠14．平面直角坐标系xOy中,直线2xcosα+ysinα=1(α∈R)与圆O:x2+y2=1( )A．相切B．相交C．相离D．相交或相切5．直线l:(k+1)x+2ky+3k−1=0经过定点A,则A的纵坐标为( )A．−2B．−1C．1D．26．如图,正方形与正方形互相垂直,G是的中点,则( )A．与异面但不互相垂直B．与异面且互相垂直C．与相交但不互相垂直D．与相交且互相垂直7．已知圆(x−a)2+y2=a2平分圆的周长,则a的值是( )A．0B．C．D．8．如图,棱长为2的正四面体ABCD的三个顶点A,B,C分别在空间直角坐标系的坐标轴Ox,Oy,Oz上,则定点D 的坐标为( )A．(1,1,1)B．(2,2,2)C．(3,3,3)D．(2,2,2)二、多选题（每小题5分，共3小题15分）9．已知直线l1,l2的方向向量分别为a,b,若向量a=(−2,2,1),b=(0,x,−1),且sin<a,b>=255,则实数x的值为( )A．2B．−2C．−211D．31310．下列说法错误的是( )A ．若直线a 2x−y +1=0与直线x−ay−2=0互相垂直,则a =−1B ．直线xsinα+y +2=0的倾斜角θ的取值范围是[0,π4]∪[3π4,π)C ．过(x 1,y 1),(x 2,y 2)两点的所有直线的方程为y−y 1y 2−y 1=x−x 1x 2−x 1D ．经过点(1,1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为x +y−2=011．直线过点P(4,2),且与以A(3,1),B(5,8)为端点的线段有公共点,则直线斜率可能是( )A ．1B ．2C ．8D ．6三、填空题（每小题5分，共3小题15分）12．若不同的四点A(5,0),B(−1,0),C(−3,3),D(a,3)共圆,则a 的值为__________.13．已知点关于直线对称，则直线的方程为__________．14．棱长为1的正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别是线段BB 1,B 1C 1的中点,则直线MN 到平面ACD 1的距离为__________.四、解答题（每小题12分，共5小题60分）15．已知圆心为M 的圆经过A(−2,6),B(6,0),C(−8,−2)这三个点.(1)求圆M 的标准方程;(2)直线l 过点P(4,6),若直线l 被圆M 截得的弦长为10,求直线l 的方程.16．（1）已知，，在轴上求一点使；（2）已知，，在平面上求一点使为等边三角形.17．如图,在四棱锥P−ABCD 中,PA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 是直角梯形,其中AD//BC ,AB ⊥AD ,AB =AD =12BC =2,PA =4,E 为棱BC 上的点,且BE =14BC .(1)求证:DE ⊥平面PAC ;(2)求二面角A−PC−D 的余弦值;(3)设Q 为棱CP 上的点(不与C ,P 重合),且直线QE 与平面PAC 所成角的正弦值为55,求CQ CP的值.18．求证：设P 1(x 1 ,y 1 ,z 1)和P 2(x 2 ,y 2 ,z 2)是不同的两点，若P 1P =λPP 2 （λ∈R 且λ≠−1），则点P 的坐标为(x 1+λx 21+λ,y 1+λy 21+λ,z 1+λz 21+λ)空间的定比分点公式.19．已知坐标平面上点M (x,y )与两个定点M 1(26,1),M 2(2,1)的距离之比等于5.(1)求点M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形;(2)记(1)中的轨迹为C ,线段AB ,点A 为C 上一点,点B (11,13),求AB 的中点P 的轨迹方程.四川省芦山中学2023-2024学年高二上期期中考试数学试题答案第1题：C 第2题：B 第3题：D 第4题：D 第5题：A 第6题：A 第7题：B 第8题：A 第9题：A,C 第10题：A,C,D 第11题：A,C,D 第12题：7第13题：第14题：第15题：(1)设圆M 的标准方程为(x−a)2+(y−b )2=r 2(r >0), 因为过A(−2,6),B(6,0),C(−8,−2),所以{(−2−a)2+(6−b )2=r 2 (6−a)2+(0−b )2=r 2 (−8−a)2+(−2−b)2=r 2,解得{a =−1b =−1 r 2=50 ,所以圆M 的标准方程为(x +1)2+(y +1)2=50;(2)当直线l 的斜率不存在时,其方程为x =4,由{x =4 (x +1)2+(y +1 )2=50 ,解得{x =4 y =4 或{x =4y =−6 ,所以直线l 被圆M 截得的弦长为4−(−6)=10,符合题意;当直线l 的斜率存在时,设其方程为y−6=k(x−4),即kx−y−4k +6=0,圆心M(−1,−1)到直线l 的距离为d =|−k +1−4k +6|k 2+1=|7−5k|k 2+1,因为直线l 被圆M 截得的弦长为10,所以r 2=d 2+(102)2,即50=(|7−5k|k 2+1)2+25,解得k =1235,直线l 的方程为12x−35y +162=0.综上所述,直线l 的方程为12x−35y +162=0或x =4.第16题：（1）（2）或第17题：(1)因为PA ⊥平面ABCD ,AB ⊂平面ABCD ,AD ⊂平面ABCD 所以PA ⊥AB ,PA ⊥AD ,因为AB ⊥AD ,则以A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.由已知可得A(0,0,0),B (2,0,0),C(2,4,0),D(0,2,0),P(0,0,4),E(2,1,0).所以DE =(2,−1,0),AC =(2,4,0),AP =(0,0,4).因为DE ∙AC =2×2−1×4+0=0,DE ∙AP =0.所以DE ⊥AC ,DE ⊥AP 又AP ∩AC =A ,AP ⊂平面PAC ,AC ⊂平面PAC ,所以DE ⊥平面PAC .(2)设平面PAC 的法向量m ,由(1)可知,m =DE =(2,−1,0)设平面PCD 的法向量n =(x,y,z),因为PD =(0,2,−4),PC =(2,4,−4).所以{n ∙PD =0n ∙PC =0 ,即{2y−4z =02x +4y−4z =0 ,不妨设z =1,得n =(−2,2,1).cos <m ,n >=m ∙n|m |∙|n |=2×(−2)+(−1)×2+022+(−1)2×(−2)2+22+1=−255所以二面角A−PC−D 的余弦值为255.(3)设CQ CP=λ(0<λ<1),即CQ =λCP =(−2λ,−4λ,4λ).所以Q =(2−2λ,4−4λ,4λ),即QE =(2λ,4λ−3,−4λ).因为直线QE 与平面PAC 所成角的正弦值为55所以cos⟨QE ,m⟩∣=m =|2×2λ−(4λ−3)+0|22+(−1)2×(2λ)2+(4λ−3)2+(−4λ)2=55即36λ2−24λ+9=3解得λ=23,即CQ CP =23.第18题：设P 点坐标为P(x,y,z)，则P 1P =(x−x 1 ,y−y 1 ,z−z 1)，PP 2 =(x 2 −x,y 2 −y,z 2−z)，因为P 1P =λPP 2 ，所以有{x−x 1=λ(x 2−x),y−y 1=λ(y 2−y),z−z 1=λ(z 2−z),由此得{x =x 1+λx 21+λ,y =y 1+λy 21+λ,z =z 1+λz 21+λ,故P 点的坐标为(x 1+λx 21+λ,y 1+λy 21+λ,z 1+λz 21+λ).第19题：(1)由題意可得:|MM 1||MM 2|=5⇒(x−26)2+(y−1)2(x−2)2+(y−1)2=5即x 2+y 2−2x−2y−23=0⇒ (x−1)2+ (y−1)2=25.即所求轨迹是以(1,1)为圆心,以5为半径的圆.(2)设P (x,y ),A ( x 0,y 0 )∵B (11,13)且AB 的中点为P ,∴{ 2x =x 0+112y =y 0+13 ⇒{x 0=2x−11y 0=2y−13 因为点A 为C 上一点,∴ ( x 0−1)2+ ( y 0−1)2=25即 (2x−12)2+ (2y−14)2=25即 (x−6)2+ (y−7)2=254.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
江苏省响水中学2015年秋学期高二年级期中考试
数学试题(理科)
考生注意：
1.本试卷满分160分，考试时间120分钟；
2.试题的答案一律写在答题纸上. 一、填空题(每题5分，计70分)
1.若x>0,y>0,x+y=2,则xy 的最大值为 ▲ ；
2.椭圆14
52
2=+y x 的离心率为 ▲ ； 3.若[]2,2x ∈-，则1x ≤的概率为 ▲ ；
4.若执行右图伪代码时没有．．执行y ←x 2＋1，则输入的x 的取值范围是_____▲___；
5.某城市大学20所，中学200所，小学480所．现从中抽取一个容量为70的样本进行某项调查，则应抽取的中学数为 ▲ ；
6.在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积的和的
4
1
，且样本容量为160，则中间一组的频数为 ▲ ； 7.已知焦点在y 轴上的椭圆方程为
19
82
2=++y a x ，则a 的范围是 ▲ ； 8.已知一组数据的平均值和方差分别是1.2和 4，若每一个数据都加上32得到一组新数据，则这组新数据的平均值与标准差的和为 ▲ ；
9.从1,2,3,…,9中,随机抽取2个不同的数,则这2个数的和是偶数的概率是
▲ ；
10.执行右面的流程图，若p ＝4，则输出的S 等于 ▲ ； 11.如果关于x 的不等式f(x)<0和g(x)<0的解集分别为(a,b)和 (a
b 1
,
1),那么称这两个不等式为“对偶不等式”.如果关于x 的两个不等式
2(210)20x m x +++<与2210x mx ++<为“对偶不等式”，则实数m= ▲ ；
12. 已知点P 是椭圆22
194
x y +=上任一点，且点P 在第一象限内，若以P 点的纵横坐标的倒数分别作为一个直角三角形的两直角边长，则该直角三角形斜边长的最小值为 ▲ ；
13已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -.若椭圆上存在点
P ，使
122PF a
PF c
=；则该椭圆离心率的范围是 ▲ ； 14．设正实数x,y,z 满足x+3y+z=1,则
1248x y
x y y z
++++的最小值为 ▲ .
二、解答题(15、16、17每题14分，18、19、20题每题16分，计90分) 15.（本题满分14分）已知不等式2(1)0x a x a -++<； （1）若该不等式的解集为（1,2），求a 的值； （2）若a R ∈，解该不等式.
16.（本题满分14分）设实数x,y 满足20
240230x y x y y --≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
（注：图中的正方形网格的边长为1
个单位长度）.
（1）在给出的直角坐标系中画出平面区域； （2）求x+3y 的最大值； （3）求
y
x
的范围.
17．（本题满分14分）为了让学生了解2022年“北京-张家口”冬季奥运会知识，某中学举行了一次冬季奥运知识竞赛，共有800名学生参加了这次竞赛. 为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计．请你根据尚未完成并有局部缺损的频率分布表及局部缺损的频率分布直方图，解答下列问题：
（1）若用系统抽样的方法抽取50个样本，现将所有学生随机地编号为000，001，002，…，799，试写出第二组第一位学生的编号；
（2）依据题意求出频率分布表中的D 值及频率分布直方图中的F 值；
（3）若成绩在85.5~95.5分的学生为二等奖，问参赛学生中获得二等奖的学生约为多少人？
18.（本题满分16分）如图，在半径为30cm 的半圆形（O 为圆心）铝皮上截取一块矩形材
0.0200.028
频率
组距
F
组距
料ABCD ，其中点A 、B 在直径上，点C 、D 在圆周上。
(1)设BC 的长度为x,矩形ABCD 的面积为y,试写出y 关于x 的函数关系式； (2)求当BC 多少时,矩形ABCD 的面积最大，并求出该最大值。
19．（本题满分16分）已知椭圆C: 22221x y a b +=(0)a b >>,短轴的一个端
点到右焦点的距离为4. (1)求椭圆的标准方程；
(2)若“椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b 时，则椭圆的面积是ab π.” 请针对(1)中求得的椭圆，求解下列问题：
①若,m n R ∈,且||4,||3m n ≤≤，求点(,)P m n 落在椭圆内的概率； ②若,m n Z ∈,且||4,||3m n ≤≤，求点(,)P m n 落在椭圆内的概率.
20. （本题满分16分）如图,,A B是长轴长为6，焦距为2的椭圆
22
22
:1(0)
x y
C a b
a b
+=>>
的左、右顶点,直线l的方程为x=9, M是椭圆C上异于,A B的一点, 直线AM交l于点P.
(1)求椭圆方程；
(2)以MP为直径的圆与直线MB交于点Q,试证明:直线PQ与x轴的交点R为定点,并求该定点坐标.
高二期中考试数学试题参考答案
一、填空题 1.1
2.
3.12
4.x>2.5
5. 20
6. 32
7.-8<a<1
8. 35.2 9. 49 10. 1516 11.-10 12.56
13. 14.54
二、解答题
15.（1）因为不等式可话为(x-1)(x-2)<0,所以a=2……………………7分
(2)a<1,解集为（a,1）a=1，解集为∅,a>1,解集为（1,a ）。
…………..14分
16.（1）画出如图所示的平面区域：……………4分 （2）设x+3y=P ，平移直线y=133P x -
-过点（73
,22
）得P 的最大值为8，所以x+3y 的最大值为8…9分
（3）依据平面区域得min
max 23
1332,84123
y y x x ⎛⎫⎛⎫====
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以
y x 的范围是[13
,42
]………………..14分 17. （1）编号为016； --------------------------4分 （2）D=0.28，F=0.028.........................................9分
（3）在被抽到的学生中获二奖的人数是9+7=16人，占样本的比例是
16
0.3250
=，即获二等奖概率约32%，所以获二等奖的人数估计为800×32%=256人.....14分 18.(1)
连结ＯＣ得OB ，所以
AB=
y=2
(0,30)x ∈……………….8分
(2)
因为22
2900900x x ≤+-=.即22
900,x x =-即
x=max 900y =………………………………15分
答：BC =ABCD 的面积最大，最大为9002
cm ….16分
19.解：（1
）由题2224,94
a e c
b a
c ==
∴=∴=-=,∴椭圆的标准方程是 22
1169
x y +=.…………………..4分； （2）①当,m n 是实数,且||4,||3m n ≤≤时,所有形如(,)m n 的点覆盖的图形面积是48,椭圆围成的区域在其内部,且面积为12
π
,故点P (,)m n 落在椭圆内的概率是
12484
ππ
=…………………..8分； ②当,m n 是整数,且||4,||3m n ≤≤时,点P (,)m n 共有9×7=63个. ………..10分； 其中当0,0m n >>时，点(4,1),(4,2),(4,3),(3,2),(3,3),(2,3), (1,3)共7点落在椭圆外,
由对称性知,当,m n 是整数,且||4,||3m n ≤≤时,共有4×7=28个点落在椭圆外,又因为在椭圆上的整点有四个，故点P (,)m n 落在椭圆内的概率是6328431
6363
--= (16)
分.
20.答：（1）解：由题意：
a=3,c=1,b=∴椭圆C 的方程为22
198
x y +=． ……………6分
（2）证明：由（1）知，A （-3，0），B （3，0）， 设M （00,x y ），R （t ，0），则直线AM 的方程为0
0(+3)3
y y x x =+， 所以点P 的坐标为0
012,
+3
y x （9，），……………………….9分 由题意，MQ ⊥PQ ，∴k MQ k PQ =-1，∴直线PQ 的方程为00
00312y=-
(9)3
x y x y x --+
+ 令y=0结合
22
00198
x y +=， 得x=53-， 所以直线PQ 与x 轴的交点R 为定点 （-5
3
，0）………………………………..….16分。